计数原理

8. 1 计数原理

一、知识要点

1．分类计数原理（加法原理）：

做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有m 1种不同的方法，在第二类办法中有m 2种不同的方法，……，在第n 类办法中有m n 种不同的方法．那么完成这件事共有 N=m 1+m 2+…+m n 种不同的方法．

2．分步计数原理（乘法原理）：

做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有m 1种不同的方法，做第二步有m 2种不同的方法，……，做第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事有 N=m 1×m 2×…×m n 种不同的方法．

二、例题分析

例1．从集合{1，2，3，…，10}中，选出由5个数组成的子集，使得这5个数中的任何两

个数的和不等于11，这样的子集共有多少个?

变式：把问题中选出5个数组成子集改为选出4个数组成子集，结果如何?

例2．关于正整数2160，求：

（1）它有多少个不同的正因数？ （2）它的所有正因数的和是多少？

例3．用0，1，2，3，4，5这六个数字， （1）可以组成多少个数字不重复的三位数？ （2）可以组成多少个数字允许重复的三位数？

（3）可以组成多少个数字不允许重复的三位数的奇数？

（4）可以组成多少个能被3整除的数字不允许重复的三位数？（数字问题）

例4．（1）三人相互传球，由甲开始发球，经过5次传球后，球仍回到甲手中，则不同的传

球方法的种数是（ ）

A 、6

B 、8

C 、10

D 、16

（2）1，2，3，4号足球运动员各有一件球衣在4人中互相赠送（每一个运动员不能拿自己

的球衣），则不同的赠送方法有（ ）

A ．6种

B ．9种

C ．11种

D ．23种

评注：第（2）小题是著名的贝努利装错信封问题当4n =时的特例．原意是，若一个人写

了n 封不同的信和n 只相应的不同的信封，问这个人把这n 封信都装错了信封的装法有

多少种？问题可转化为：n 个不同元素12,,,n a a a 进行排列，其中()1,2,,i a i n = 不排第i 个位置的排法种数．由容斥原理，可得相应的排法种数为：

()()()()()12!1!2!1!1k

n

k n n n n n n C n C n C n k C -⋅-+⋅--+-⋅-++- ．

例5．如图一,要给①,②,③,④四块区域分别涂上五种颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多

次,但相邻区域必须涂不同颜色,则不同涂色方法种数为( )

D. 60

变式：若变为图二,图三呢? 图四呢？（染色问题）

例6．（1）某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图（1））.现要栽种4

种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有多少？ （2）（2010天津理）如图（2），用四种不同颜色给图中的A,B,C,D,E,F 六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（ ） （A ）288种 （B ）264种 （C ）240种 （D ）168种

三、规律总结

1．弄清两个原理的区别与联系，是正确使用这两个原理的前提和条件.这两个原理都是指完成一件事而言的.其区别在于：（1）分类计数原理是“分类”，分步计数原理是“分步”；（2）分类计数原理中每类办法中的每一种方法都能独立完成一件事，分步计数原理中每步中每种方法都只能做这件事的一步，不能独立完成这件事.

2．分类计数原理和分步计数原理是解决排列、组合问题的理论基础，解题中要力争做到“步骤完整、不重不漏”．

3．元素能重复的问题往往用两个计数原理解决.

图一

图二

图三

图四

四、巩固练习

1．5名运动员争夺3项比赛冠军（每项比赛无并列冠军），那么获得冠军的可能种数为（ ）

A ．3

5

B ．5

3

C ．35A

D ． 35C

2．（2009辽宁卷理）从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有 （ ） A ．70种 B ． 80种 C ． 100种 D ．140种

3．（08全国卷1）如图，一环形花坛分成A B C D ，，，四块，现有4种

不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，

则不同的种法总数为 （ ）

A ．96

B ．84

C ．60

D ．48 4．从{一3,－2,－1，0，1，2，3}中，任取3个不同的数作为抛物线方程c bx ax y 2++= 的系数，如果抛物线经过原点，且顶点在第一象限，则这样的抛物线共有 （ ） A. 7条 B. 8条 C. 9条 D. l0条

5．从集合{1，2，3}和{1，4，5，6}中各取1个元素作为点的坐标，则在直角坐标系中能确定不同点的个数是 （ ） A. l2 B. 11 C. 24 D. 23

6．甲、乙、丙、丁四人相互传球，第一次甲传给乙、丙、丁三人中的一人，第二次由拿球 者再传给其他三人中任一人，这样共传了4次，则第四次仍传回到甲的方法共有（ ）A 、21种 B 、24种 C 、27种 D 、42种

7．从6人中选出4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一

人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有 （ ） A ．300种 B ．240种 C ．144种 D ．96种

8．某赛季足球比赛的计分规则是：胜一场，得3分；平一场，得1分；负一场，得0分， 一球队打完15场，积33分，若不考虑顺序，该队胜、负、平的情况共有 （ ） （A ）3种 （B ）4种 （C ）5种 （D ）6种

9．从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有 ( )

A.8种

B.12种

C.16种

D.20种 10．一个集合有5个元素，则该集合的非空真子集共有 个

11．乘积)c ...c c )(b ...b b )(a ...a a (k 21m 21n 21+++++++++展开后的项数为_______. 12．72的正约数共有__________个.

13．如图，某电子器件是由三个电阻组成的回路，其中有6个焊接点A ，B ， C ，D ，E ，

F ，如果某个焊接点脱落，整个电路就会不通．现发现电路不通了，那么焊接点脱落的可能性共有

14．用1,2,3,,9 这九数字填写在如上图的9个空格中，要求每一行从左到右依次增大，每

一列从上到下依次增大，当数字4固定在中心位置时，则所有填写空格的方法共有 ．

15．同室四人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张另人送出的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方法有__________种．

16．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色.

现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有_____________种.（以数字作答）

①

②

③

④

⑤

17．（2010浙江理）有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复. 若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午都各测试一人. 则不同的安排方式共有______________种（用数字作答）.

18．三边长均为整数，且最大边长为11的三角形的个数是多少?

19．将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色,并使同一条棱上的两端点异色,如果只有5种颜色可供使用,求不同的染色方法总数.

20．用数字0，1，2，3，4组成无重复数字的四位数.

(1)有多少个四位偶数?

(2)若按从小到大排列，3204是第几个数?

8. 1 计数原理

二、例题分析

例1．解：和为11的数共有5组：1与10，2与9，3与8，4与7，5与6，子集中的元素不能取自同一组中的两数，即子集中的元素取自5个组中的一个数.而每个数的取法有2种，

所以子集的个数为2×2×2×2×2=25

=32.

变式：802445=⋅C

例2．解：解：（1）∵N =2160=24×33×5，

∴2160的正因数为P =2α×3β×5γ

，

其中α=0，1，2，3，4，β=0，1，2，3，γ=0，1. ∴2160的正因数共有5×4×2=40个.

（2）式子（20+21+22+23+24

）×（30+31+32+33）×（50+51）的展开式就是40个正因数. ∴正因数之和为31×40×6=7440.

例3．本题是一种典型的选数与组数的问题，与计数有关，故考虑利用两个计数原理解

决，但需要注意的是，无论组成多少位数字，首位均不能为0.

（1）分三步：①先选百位数字，由于0不能作为百位数，因此有5种不同的选法；②十位

数字有5种选法；③个位数字有4种不同的选法，由分步乘法计数原理知，所求的三位数共有554100⨯⨯=个．

（2）分三步：①先选百位数字，由于0不能作为百位数字，因此有5种不同的选法； ②十

位数字有6种不同的选法；③个位数字有6种不同的选法．由分步乘法计原理可知所求的三位数共有5×6×6＝180个．

（3）分三步：①先选个位数字，由于组成的三位数是奇数，因此有3种不同的选法；②再

选百位数字有4种选法；③十位数字也有4种选法．由分步乘法计数原理知，所求的三位数共有3×4×4＝48个.

（4）被3整除的数它的各位数字之和被3整除．对0，1，2，3，4，5这六个数字按被3

除后的余数进行分类：{}00,3A =，{

}11,4A =，{}22,5A =，则这三个数字只能每个集合各取一个，12,A A 中各取一数有

22⨯种选法．若0A 中取数字0，可组成22⨯个三位数；若0A 中取数字3，可组成321⨯⨯个三位数；所求的三位数共有41040⨯=个． 例4．解：（1）画树枝图，共有10种不同的方法，选C ． （2）方法1：画树枝图，略．

方法2：记1，2，3，4号足球运动员对应的球衣为,,,a b c d ，

先让1号运动员选择有3种方法，如选b ；然后，让与 球衣b 对应的2号运动员选择，也有3种方法，如选d ； 再让与d 对应的4号运动员选择，则只能选a ． 因此，不同的赠送方法有339⨯=种． 例5．解：图一，5433180⨯⨯⨯=种； 变式：图二，5434240⨯⨯⨯=；

图三，5×4×4×4=320种．

图四，()541433260⨯⨯+⨯=种．

例6．（1）解法一：从题意来看6部分种4种颜色的花，又从图形看知必有2组同颜色的花，从同颜色的花入手分类求.

（1）②与⑤同色，则③⑥也同色或④⑥也同色，所以共有N 1=4×3×2×2×1=48种； （2）③与⑤同色，则②④或⑥④同色，所以共有N 2=4×3×2×2×1=48种； （3）②与④且③与⑥同色，则共有N 3=4×3×2×1=24种. 所以，共有N =N 1+N 2+N 3=48+48+24=120种. 解法二：记颜色为A 、B 、C 、D 四色，先安排1、2、3有A 34种不同的栽法，不妨设1、2、3已分别栽种A 、B 、C ，则4、5、6栽种方法共5种，由以下树状图清晰可见.

1 2 3 4

a b c d

456C C

C C

D D

D D D B

B

根据分步计数原理，不同栽种方法有N =A 34×

5=120. （2）D 【解析】①B,D,E,F 用四种颜色，则有441124A ⨯⨯=种涂色方法； ②B,D,E,F 用三种颜色，则有334422212192A A ⨯⨯+⨯⨯⨯=种涂色方法； ③B,D,E,F 用两种颜色，则有242248A ⨯⨯=种涂色方法；

所以共有24+192+48=264种不同的涂色方法。 四、巩固练习 1．A

2．A 直接法：一男两女,有C 51C 42＝5×6＝30种,两男一女,有C 52C 41＝10×4＝40种,共计70

间接法：任意选取C 93＝84种,其中都是男医生有C 53

＝10种,都是女医生有C 41＝4种,于是符合条件的有84－10－4＝70种.

3．B.分三类：种两种花有24A 种种法；种三种花有342A 种种法；种四种花有4

4A 种种法.共有234444284A A A ++=.

另解：按A B C D ---顺序种花，可分A C 、同色与不同色有43(1322)84⨯⨯⨯+⨯= 4．C 解析：有条件可得,0,0,0><=b a c 所以有9条

5．D 6．A ；

7．B 提示：去巴黎有4人可以选择、去伦敦有5人可以选择、去悉尼有4人可以选择、去莫斯科有3人可以选择，故共有4543240⨯⨯⨯=种选择． 8．A 9．B 10．30；提示：5

22-． 11．n ⨯m ⨯k 12．12 13．63．提示：每个焊接点脱落与否有2种可能，所有6个焊接点脱落与否有6

2种可能，其中只有1种情形能使电路畅通，故电路不通的可能有6

2163-=种．

14．12；提示：左上角填1，右下角填9，1的两边排2或3，若5与6连在一起，则7与8也连在一起，有2种可能；若5与6分别排列在左下角和右上角，则7与8可分别排列在余下的2个位置上，有22⨯种可能．综上，共有()22412⨯+=种不同的填写方法． 15．9种，画树形图易得．

16．解析：依次染①、②、③、④、⑤.故有C 14·C 13·C 12·C 13·C 11=72种.

17．264 提示：444429264A A +=

18．解：设较小的两边长为x 、y 且x ≤y ，

则 x ≤y ≤11，

x +y >11， x 、y ∈N *.

当x =1时，y =11；当x =2时，y =10，11；

当x =3时，y =9，10，11；当x =4时，y =8，9，10，11；

当x =5时，y =7，8，9，10，11；当x =6时，y =6，7，8，9，10，11； 当x =7时，y =7，8，9，10，11；……当x =11时，y =11 所以不同三角形的个数为 1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=36.

19．解：记四棱锥P ABCD -，顶点P 有5种不同的染法．若,,,A B C D 用4种不同颜色

染，有432124⨯⨯⨯=种不同的染法；若,,,A B C D 用3种不同颜色染，则,A C 或,B D

同色，有243248⨯⨯⨯=种不同的染法；若,,,A B C D 用2种不同颜色染，则,A C 与,B D 同色，有4312⨯=种不同的染法．

综上，共有()5244812420⨯++=种不同的染色方法

20．解：（1）若0在个位，则这样四位数有43224⨯⨯=个；若2或4在个位，因为0不

能作首位，则这样四位数有233236⨯⨯⨯=个；故共有60个四位偶数．

（2）首位为1或2的四位数有243248⨯⨯⨯=个；首位为3，百位为0或1的四位数有

23212⨯⨯=个；第61个四位数是3201，第62个四位数是3204．

分类计数原理与分步计数原理

分类计数原理与分步计数原理 一、分类计数原理 在概率论和组合数学中，分类计数原理是一种常用的计数方法。它基于对样本空间的划分，将问题分解为若干个互不重叠的子问题，然后对每个子问题进行计数，最后将所有子问题的计数结果相加，得到问题的总计数。 分类计数原理的基本思想是将问题分解为若干个子问题，然后对每个子问题进行计数，最后将所有子问题的计数结果相加。这种方法适用于问题的样本空间可以被划分为互不重叠的子集的情况。 分类计数原理的应用非常广泛，例如在概率问题中，可以将样本空间按照事件的性质进行划分，然后对每个子事件进行计数，从而得到事件的概率。在组合数学中，可以将集合按照元素的性质进行划分，然后对每个子集进行计数，从而得到集合的大小。 二、分步计数原理 分步计数原理是一种计数方法，它将一个复杂的计数问题分解为若干个简单的计数问题，并通过逐步求解这些简单问题，最终得到复杂问题的计数结果。 分步计数原理的基本思想是将一个复杂的计数问题分解为若干个简

单的计数问题，然后逐步求解这些简单问题。这种方法适用于问题的计数过程可以划分为多个步骤，并且每个步骤的计数方法相对简单的情况。 分步计数原理的应用也非常广泛。例如，在排列组合问题中，可以将问题分解为选择元素的步骤和排列元素的步骤，然后分别计算每个步骤的计数结果，最后将两个步骤的计数结果相乘，得到问题的总计数。在概率问题中，可以将事件的发生过程分解为多个独立的步骤，然后计算每个步骤的概率，最后将各个步骤的概率相乘，得到事件的总概率。 三、分类计数原理与分步计数原理的联系与区别 分类计数原理和分步计数原理都是常用的计数方法，它们在解决计数问题时具有一定的相似性，但也存在一些区别。 分类计数原理侧重于将问题分解为若干个互不重叠的子问题，并对每个子问题进行计数。而分步计数原理侧重于将问题分解为多个步骤，并逐步求解每个步骤的计数结果。 分类计数原理更加注重问题的样本空间的划分，将问题分解为互不重叠的子集，然后对每个子集进行计数。而分步计数原理更加注重问题的计数过程的划分，将问题分解为多个步骤，然后分别计算每个步骤的计数结果。

计数原理心得(优秀5篇)

计数原理心得(优秀5篇) 计数原理心得篇1 计数原理心得 1.计数原理的重要性 计数原理是概率论和数理统计的基础，是解决计数问题的基本工具。掌握计数原理的重要性不言而喻。 2.计数原理的简介 计数原理是指：在计数时，要把所有的对象放在一起，按一定的标准分类，然后分别计算每一类别的数量，所有类别的数量之和就是总数量。 3.计数原理的应用 计数原理可以应用于各个领域，例如：在心理学中，计数可以帮助我们了解多少人参加了实验；在商业中，计数可以让我们知道有多少产品可用；在医学中，计数可以让我们知道有多少病人需要治疗。 4.计数原理的优点 计数原理具有简单、易懂、实用的优点，可以帮助我们更好地理解计数问题，并且可以快速地解决计数问题。 5.计数原理的缺点 计数原理也有缺点，例如：有些计数问题可能无法用计数原理来解决，需要其他更复杂的方法。此外，计数原理只适用于计数问题，对于其他问题，例如：概率问题，可能需要其他的方法来解决。 6.计数原理的总结

计数原理是解决计数问题的基本工具，可以应用于各个领域。计数原理具有简单、易懂、实用的优点，可以快速地解决计数问题。但是，有些计数问题可能无法用计数原理来解决，需要其他更复杂的方法。 计数原理心得篇2 ____计数原理心得____ 计数原理是数学的基础，它为解决各种问题提供了有效的手段。以下是我对计数原理的一些心得和总结。 ____理解计数原理的重要性____：计数原理是数学的基础，它为解决各种问题提供了有效的手段。计数原理是数学中最基本的原理之一，它在概率论、组合数学、统计学等领域都有广泛应用。因此，理解计数原理并熟练掌握其应用对于数学学习和问题解决至关重要。 ____理解分类计数原理____：分类计数原理是计数原理中最重要的一种。它是指，在解决某一问题时，可以将问题分成若干个步骤，每一步骤都有不同的选择。每一步都有若干种可能的结果，问题解决的步骤数等于所有可能的结果数。例如，在解决一个包含三个步骤的问题时，每一步都有两种可能的结果，那么问题就有2x2x2=8种可能的结果。 ____理解分步计数原理____：分步计数原理是分类计数原理的扩展。在解决某一问题时，需要将问题分成多个步骤，每个步骤都有特定的作用。对于每个步骤，都需要分别进行计数，最后将各个步骤的结果相乘，得到问题的总数。例如，要计算一个由10个人组成的团队中，其中有两个人的生日相同的概率，可以通过计算10个人中所有人的生日不同的组合数，然后再将这个数除以10个人中两个人的生日相同的组合数，得到答案。

计数原理

第二节计数原理 计数原理是第六章数据分析的第二个教学内容，我们先学习两个基本原理，后学习排列、组合，两个基本原理为排列、组合和概率等内容提供思想和理论依据，其基本思想方法贯穿本章的始终。 一、两个基本原理 1．引例1 从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船．一天中，火车有4班，汽车有 2班，轮船有 3班，问一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？ 板书：图 因为一天中乘火车有4种走法，乘汽车有2种走法，乘轮船有3种走法，每一种走法都可以从甲地到达乙地，因此，一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有 4十2十3 = 9 种不同的走法． 一般地，有如下原理： 加法原理（分类计数原理）：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有m n种不同的方法．那么完成这件事共有

N ＝m 1十m 2十…十m n 种不同的方法． 注意： 分类要不重不漏，每种具体方法在且仅在一类方法中 2．引例2 由A 村去B 村的道路有3条，由B 村去C 村的道路有2条．从A 村经B 村去C 村，共有多少种不同的走法？ 板书：图 这里，从A 村到B 村有3种不同的走法，按这3种走法中的每一种走法到达B 村后，再从B 村到C 村又有2种不同的走法．因此，从A 村经B 村去C 村共有 32=6? 种不同的走法． 一般地，有如下原理： 乘法原理（分步计数原理）：做一件事，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有1m 种不同的方法，做第二步有2m 种不同的方法，……，做第n 步有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有 12n N m m m =? 种不同的方法． 注意： （1）各步骤要完整，每一步和下一步要衔接； （2）各步骤顺次完成后就完成了原事件 例1： 书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文 书．

计数原理(最全面的方法汇总)

计数原理（排列组合）插空法，挡板法，捆绑法，优选法，平均分配问题等例题精选+练习 一、挡板法（插板法、隔板法、插刀法） 将n个相同的元素排成一行，n个元素之间出现了（n-1）个空档，现在我们用（m-1）个“档板”插入（n-1）个空档中，就把n个元素隔成有序的m份，每个组依次按组序号分到对应位置的几个元素（可能是1个、2个、3个、4个、….），这样不同的插入办法就对应着n个相同的元素分到m组的一种分法，这种借助于这样的虚拟“档板”分配元素的方法称之为挡板法。 (1)例题解读 【例1】共有10完全相同的球分到5个盒里，每个盒至少要分到一个球，问有几种不同分法？ 解析：我们可以将10个相同的球排成一行，10个球之间出现了9个空隙，现在我们用4个档板”插入这9个空隙中，就“把10个球隔成有序的5份，每个盒子依次按盒子序号分到对应位置的几个球（可能是1个、2个、3个、4个、5个），这样，借助于虚拟“档板”就可以把10个球分到了5个班中。 【基本题型的变形（一）】 题型：有n个相同的元素，要求分到m组中，问有多少种不同的分法？ 解题思路：这种问题是允许有些组中分到的元素为“0”，也就是组中可以为空的。对于这样的题，我们就首先将每组都填上1个，这样所要元素总数就m个，问题也就是转变成将（n+m）个元素分到m组，并且每组至少分到一个的问题，也就可以用插板法来解决。 【例2】有8个相同的球放到三个不同的盒子里，共有（）种不同方法. A．35 B．28 C．21 D．45 解答：题目允许盒子有空，则需要每个组添加1个，则球的总数为8+3×1=11，此题就有C （10，2）=45（种）分法了，选项D为正确答案。 【基本题型的变形（二）】 题型：有n个相同的元素，要求分到m组，要求各组中分到的元素至少某个确定值S（s＞1，且每组的s值可以不同），问有多少种不同的分法？ 解题思路：这种问题是要求组中分到的元素不能少某个确定值s，各组分到的不是至少为一个了。对于这样的题，我们就首先将各组都填满，即各组就填上对应的确定值s那么多个，这样就满足了题目中要求的最起码的条件，之后我们再分剩下的球。这样这个问题就转变为上面我们提到的变形（一）的问题了，我们也就可以用插板法来解决。 【例3】15个相同的球放入编号为1、2、3的盒子内，盒内球数不少于编号数，有几种不同的放法？ 解析： 编号1：至少1个，符合要求。

计数原理知识点

计数原理知识点 计数原理是概率论中非常重要的一部分，它主要用于解决各种计数问题。在实际生活中，我们经常会遇到需要计数的情况，比如排列组合、概率统计等。掌握计数原理的知识，对于解决这些问题至关重要。本文将从基本概念、排列组合、二项式定理和应用实例等方面介绍计数原理的相关知识点。 一、基本概念。 1.1 排列。 排列是指从给定的n个元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列的方式。排列通常用P(n,m)表示，计算公式为P(n,m) = n!/(n-m)!。 1.2 组合。 组合是指从给定的n个元素中取出m(m≤n)个元素，不考虑元素的顺序。组合通常用C(n,m)表示，计算公式为C(n,m) = n!/(m!(n-m)!). 1.3 二项式定理。 二项式定理是代数中的一个重要定理，它用于展开任意幂的二项式。二项式定理的公式为(a+b)^n = C(n,0)a^n + C(n,1)a^(n-1)b + ... + C(n,n)b^n。 二、排列组合。 排列和组合是计数原理中的两个重要概念，它们在实际问题中经常被使用。 2.1 排列的应用。 排列常常用于解决有关顺序的问题，比如从一堆书中选出几本书按照一定的顺序排列，或者从一组人中选出几个人按照一定的顺序站成一排等。 2.2 组合的应用。

组合常常用于解决不考虑顺序的问题，比如从一组人中选出几个人组成一个团队，或者从一组水果中选出几种水果组成一个水果篮等。 三、二项式定理。 二项式定理是代数中的一个重要定理，它在计数原理中也有着重要的应用。 3.1 二项式定理的计数应用。 二项式定理可以用于计算任意幂的展开式，这在一些计数问题中非常有用。比如，我们可以利用二项式定理来计算某个事件发生k次的概率，或者计算某个排列组合的可能性等。 3.2 二项式定理的实际案例。 在实际生活中，二项式定理也有着广泛的应用。比如在赌博游戏中，我们可以 利用二项式定理来计算各种可能的情况，从而制定合理的策略。又如在概率统计中，我们可以利用二项式定理来计算各种事件发生的概率，从而做出科学的决策。 四、应用实例。 4.1 生活中的计数问题。 在我们的日常生活中，计数问题无处不在。比如在购买彩票时，我们常常会计 算中奖的概率；在安排座位时，我们需要计算不同的排列组合方式等。这些都是计数原理在实际生活中的应用。 4.2 工程中的计数问题。 在工程领域，计数问题同样十分重要。比如在设计密码锁时，需要考虑不同的 排列组合方式来确保安全性；在设计通信系统时，需要计算不同的信道分配方式等。这些都需要我们运用计数原理的知识来解决。

计数原理

第一章．计数原理 一．两个基本计数原理 分类计数原理（加法原理）：完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法，…..在第n类方式中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+….mn种不同的方法。 分布计数原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1个有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，….做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1+m2+….+mn种不同的方法。 二．排列 一般的，从n个不同的元素中取出m(m≦n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个元素中取出m个元素的一个排列。 排列数 三．组合 一般的，从n个不同的元素中取出m(m≦n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。 组合数 ㈠简单问题直接法

例一．某班级有男生40人，女生20人，⑴从中 任选一人去领奖，有多少种不同的选法？ 60⑵从中任选男女各一人去参加座谈会， 有多少种不同的选法？800 例二．五名学生报名参加思想体育比赛，每人限 报一项，报名方法的种数为多少？1024 例三．七个人做两排座位，第一排坐3人，第二 排坐4人，有多少种不同的坐法？5040㈡相邻问题捆绑法 例一．七个小孩拍照留念，其中三个是女孩，四个是男孩， ⑴若三个女孩要站在一起，有多少种不同的排法720 ⑵若三个女孩要站在一起，四个男孩也要站在一起， 则有多少种排法288 ㈢不相邻问题插空法 例一．七个小孩拍照留念，其中三个是女孩，四个是男孩， ⑴若三个女孩要互不相邻，有多少种排法1440⑵若 三个女孩互不相邻，四个男孩也互不相邻，有多少 种排法144 例二．8张椅子排成一排，有四个人就坐，每个人一个座位，恰有3个连续的空位的做法共有几种480例三．5名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法有几种

计数原理与排列组合

计数原理与排列组合 计数原理与排列组合是数学中重要的概念和工具，在许多实际问题中起着重要作用。本文将介绍计数原理与排列组合的概念、性质和应用，帮助读者更好地理解和应用这些知识。 一、计数原理的概念和性质 计数原理是数学中的基本原理之一，主要用于求解事件的总数。常见的计数原理有加法原理和乘法原理。 加法原理：若一个事物可以分成若干个互不相容的部分，且这些部分无交集，则该事物的总数等于各部分的数目之和。 乘法原理：若一个事件可以分成若干个独立的步骤，且每个步骤的选择个数相互独立，则该事件的总数等于各步骤的选择个数之积。 计数原理的性质包括交换律、结合律和分配律，这些性质使得计数原理在组合计数中具有灵活性和实用性。 二、排列组合的概念和性质 排列和组合是计数原理的重要应用，它们用于描述对象的选择和排列的方式。 排列：指从n个不同元素中选取r个并按照一定顺序排列的方式。排列的总数用P(n, r)表示，计算公式为P(n, r) = n!/(n-r)! 组合：指从n个不同元素中选取r个元素的方式，不考虑元素的顺序。组合的总数用C(n, r)表示，计算公式为C(n, r) = n!/[(n-r)!*r!]

排列和组合具有许多重要性质，包括互补律、对偶律、加法公式和乘法公式等，这些性质使得排列组合在实际问题中得以应用。 三、排列组合的应用 排列组合在实际生活和学术研究中有广泛的应用，下面简要介绍几个常见的应用领域。 1. 组合数学：排列组合是组合数学的基础，用于研究离散结构和组合问题。在网络安全、密码学等领域中，排列组合作为数学工具发挥着重要作用。 2. 概率统计：排列组合是概率统计的基础，用于计算事件的发生概率和统计样本的组合方式。在数据分析、市场调查等领域中，排列组合被广泛应用。 3. 计算机科学：排列组合是计算机科学中的重要概念，用于算法设计、数据处理和图形处理等领域。在计算机图形学、人工智能等研究中，排列组合具有重要应用。 4. 组合优化：排列组合是组合优化问题的基础，用于求解最优方案和优化策略。在物流规划、工程设计等领域中，排列组合的应用能够实现资源的最优配置。 综上所述，计数原理与排列组合是数学中的重要概念和工具，应用广泛、灵活实用。希望通过本文的介绍，读者能够对计数原理与排列组合有更全面的认识，并能够运用于实际问题的解决中。

计数原理公式

计数原理公式 下面是一些基本的计数原理公式： 1.乘法法则 假设一个事件有m种可能的结果，另一个事件有n种可能的结果，那 么这两个事件的组合就有m某n种可能的结果。 例如，如果你想选择一件衣服和一双鞋子，如果你拥有3件衣服和2 双鞋子，那么你有3某2=6种不同的组合。 2.加法法则 假设一个事件有m种可能的结果，另一个事件有n种可能结果，但这 两个事件并不会同时发生，那么这两个事件的总可能性就是m+n。 例如，如果你想知道你在使用餐厅的时间段内将拿到桌子的可能性， 这个时段有两个可能的时间段可供使用，分别为12：00-14：00和18： 00-20：00，那么你将有2种可能的结果：如果这两个时间段使用同一个 概率，则总共有2种可能的结果，这就是加法法则。 3.圆排列公式 假设你有n个不同的对象，这些对象可以按任意顺序放在一个圆中， 那么圆排列的数量为(n-1)。 例如，在一个由4个数字组成的圆排列中，你会发现只有三个点不同，因为第四个点可以通过选择前三个点的反向来获得。这意味着这个圆排列 可以通过3!种方式重新排列，所以总共有(4-1)!3!=6个不同的排列序列。 4.全排列公式

假设你有n个不同的对象，这些对象可以按任意顺序排列，那么全排列的数量为n。 例如，在一个由4个数字组成的全排列中，有4种可能性来选择第一个数字，3种选择来选择第二个数字，2种选择来选择第三个数字，以及1种选择来选择最后一个数字。 因此，总数为4某3某2某1=24，也就是4。 5.组合公式 将n个不同的对象分成k个无序的组合，组合的数量为 C(n,k)=n!/k!(n-k)。 例如，你有8个人要参加晚宴，但你只有6张餐桌可以使用。你想在这些人中选择6个人参加这个晚宴。这意味着你需要从8个人中选择6个人的组合数量。利用组合公式，你可以得出C(8,6)=8!/6!(8-6)!=28。 6.二项式公式 二项式公式告诉我们，如果一个事件之前已发生k次，而事件完成的概率是p，那么发生事件恰好k次的概率是：P(k)=C(n,k)p^k(1-p)^(n-k)。 例如，如果你抛一枚硬币10次，并且想知道恰好有6个正面朝上的概率，利用二项式公式，你可以得到： P(6)=C(10,6)(0.5)^6(0.5)^4=0.205 这些计数原理公式在数学和计算机科学中经常使用，让我们更好地理解不同事件的组合和排列。熟练掌握这些公式，有助于处理各种计数和概率问题，并有效地解决现实问题。

计数原理知识点

计数原理知识点 计数原理是数字电路中一门基础的理论学科，也是数字逻辑电路设计中的重要组成部分。它研究的是如何进行数字信号的计数和处理。计数原理主要包括同步计数器和异步计数器两个部分。 一、同步计数器 同步计数器是由触发器和逻辑门构成的。触发器是最基本的存储单元，常见的有RS触发器、D触发器、JK触发器等。不同的触发器具有不同的特点和功用。 在同步计数器中，逻辑门用来实现计数器的各种计数方式。常见的逻辑门有与门、或门、非门、与非门、或非门等。通过逻辑门的组合和控制，可以实现计数器的不同计数方式，如二进制计数、BCD码计数、格雷码计数等。 同步计数器的特点是同步输入信号和时钟信号的变化有相同的频率和相位关系。同步计数器的计数是可控的，可以通过控制信号来实现正向计数、负向计数、上下计数等功能。同时，同步计数器可以实现任意的初始值和终止值，具有较高的灵活性和可编程性。 二、异步计数器 异步计数器是由触发器和逻辑门构成的。不同于同步计数器，异步计数器的触发信号来自前一级计数器而不是时钟信号。

异步计数器的特点是触发信号不依赖于时钟信号，计数不受时钟信 号的控制，可以实现不同频率的计数。异步计数器的计数方式一般为 二进制计数，并且可以通过逻辑门的控制实现不同的计数间隔。 异步计数器的设计相对复杂一些，需要考虑到触发器之间的逻辑关 系和计数器的稳定性。但是异步计数器的优点在于可以实现非线性计数、自由计数范围的选择和等间隔计数等功能，适用于特定的计数场合。 三、计数器的应用 计数器是数字电路中非常重要的一个部分，其应用涵盖了各个领域。 1. 时序控制：计数器可以用来生成各种序列信号，进行时序控制。 例如，在微处理器中，计数器可以用来控制指令序列的执行，实现诸 如数据传输、逻辑运算、算术运算等复杂功能。 2. 频率分频器：计数器可以用来分频输入信号的频率。通过计数器 的计数功能，可以将输入信号的频率降低，实现频率的分频效果。 3. 事件计数：计数器可以用来对事件进行计数。例如，在计算机系 统中，计数器可以用来计算CPU的运行周期、内存的访问时间、硬盘 的读写次数等。 4. 数据处理：计数器可以用来进行数据的加减运算。通过计数器的 计数方式和控制信号，可以实现数据的累加、累减、平均值计算等功能。 总结：

计数原理的十二个技巧的典型例题

计数原理的十二个技巧的典型例题 摘要： 一、引言 二、计数原理概述 1.分类计数原理 2.分步计数原理 三、典型例题解析 1.分类计数问题 a.例题1：颜色的分配 b.例题2：排列组合问题 2.分步计数问题 a.例题3：组合数的计算 b.例题4：事件的相互独立性 四、解题技巧总结 1.善于运用分类讨论思想 2.掌握分步计数原理的应用 3.利用数学公式和性质简化计算 4.注意审题，挖掘题目信息 五、结论 正文： 一、引言

计数原理是高中数学中的一个重要知识点，它可以帮助我们解决各种计数问题。掌握计数原理的十二个技巧，可以让我们在解决典型例题时更加游刃有余。本文将详细解析这些技巧，并给出典型例题的解答。 二、计数原理概述 计数原理主要包括分类计数原理和分步计数原理。 1.分类计数原理 当我们面临一个问题时，可以将其分为若干个类别，然后分别计算每个类别的方案数，最后求和得到总方案数。 2.分步计数原理 分步计数原理适用于一个问题可以分为多个步骤完成的情况。我们可以按照每个步骤的方案数计算乘积，得到总方案数。 三、典型例题解析 1.分类计数问题 例题1：有5个不同的颜色，要将这些颜色分配给8个物体，问有多少种分配方法？ 解：可以将问题分为两类，一类是每个物体都分配到颜色，另一类是有一个物体没有颜色。计算可得，第一类的分配方法有5^8种，第二类的分配方法有8种。所以总的分配方法为5^8 + 8 = 391,729种。 例题2：从5个人中选出3个人参加比赛，问有几种不同的选法？ 解：这个问题可以采用组合数的计算公式解决。根据组合数公式，C(n, m) = n! / (m!(n-m)!)，可得C(5, 3) = 5! / (3!(5-3)!) = 10种。 2.分步计数问题

计数原理教案

计数原理教案 计数原理教案 引言： 计数原理是数字电路设计的基础知识之一，它涉及数字信号的传输和处理，是 理解计算机内部工作原理的重要一环。本文将介绍计数原理的基本概念、应用 场景以及教学方法，旨在帮助读者更好地理解和应用计数原理。 一、计数原理的基本概念 计数原理是指利用数字电路进行计数的原理和方法。在数字电路中，计数是通 过递增或递减信号来实现的。计数器是实现计数功能的重要组件，它可以根据 输入信号的变化进行计数，并输出相应的计数结果。 计数原理涉及到计数器的工作原理、计数器的类型以及计数器的应用等方面的 内容。在教学中，可以通过实例和实验来帮助学生理解计数原理的基本概念。 例如，可以通过设计一个简单的电子游戏，让学生了解计数器的工作原理和应用。 二、计数原理的应用场景 计数原理在实际应用中有着广泛的应用场景。其中，最常见的应用场景之一是 时钟电路。时钟电路是计算机中的重要组成部分，它通过计数器来实现对时间 的计算和控制。另外，计数原理还可以应用于频率计、计时器、分频器等领域。在教学中，可以通过实际案例来帮助学生理解计数原理的应用场景。例如，可 以介绍一个实际的计时器设计案例，让学生了解计数原理在实际生活中的应用。 三、计数原理的教学方法 在教学计数原理时，可以采用多种教学方法，以提高学生的学习兴趣和理解能

力。以下是几种常用的教学方法： 1. 理论讲解结合实例分析：通过讲解计数原理的基本概念和原理，并结合实际案例进行分析，帮助学生理解计数原理的具体应用。 2. 实验演示：通过设计一些简单的实验，让学生亲自操作和观察计数器的工作过程，加深对计数原理的理解。 3. 小组讨论：将学生分成小组，让他们共同研究计数原理相关的问题，并进行讨论和交流，促进学生之间的合作和思维碰撞。 4. 项目实践：通过给学生一个实际的项目任务，让他们运用所学的计数原理知识进行设计和实施，培养学生的实践能力和创新思维。 通过以上教学方法的综合运用，可以提高学生对计数原理的理解和应用能力，培养他们的创新思维和解决问题的能力。 结论： 计数原理作为数字电路设计的基础知识，对于理解和应用计算机内部工作原理具有重要意义。通过教学中的理论讲解、实验演示、小组讨论和项目实践等方法，可以帮助学生更好地理解和应用计数原理。教师应根据学生的实际情况和学习需求，灵活运用不同的教学方法，提高教学效果。同时，学生也应主动参与学习，积极思考和实践，以提高对计数原理的理解和掌握能力。

计数原理知识点

计数原理知识点 1. 什么是计数原理？ 计数原理是指在数字系统中，通过一组逻辑电路和时钟信号来完成对输入信号 的计数功能。计数原理在数字电路、计算机科学和通信工程等领域中被广泛应用。 2. 二进制计数 在计数原理中，最基本的计数方式是二进制计数。二进制计数是一种以2为基 数的计数系统，只包含两个数字0和1。它是现代计算机系统中最基本的计数方式，因为计算机内部的数字电路使用的是二进制编码。 在二进制计数中，每一位的权值为2的幂。例如，一个3位的二进制数可以表示的最大值是7，是因为： 2^0 * 1 + 2^1 * 1 + 2^2 * 1 = 1 + 2 + 4 = 7 3. 计数器 计数器是实现计数功能的重要组件。它是一种时序电路，可以根据时钟信号来 逐步改变输出状态，以实现计数的目的。 计数器有多种类型，其中最简单的是二进制计数器，它可以按照二进制方式计数。除此之外，还有BCD计数器、同步计数器、触发器计数器等等。 4. 硬件计数器 硬件计数器是一种专门的数字电路，用于实现计数功能。它由触发器和逻辑门 构成，可以根据时钟信号和输入信号来进行计数操作。 硬件计数器通常由多个触发器级联而成，每个触发器代表一位的计数。例如， 一个4位的硬件计数器可以用4个触发器来表示。 硬件计数器可以实现正向计数和逆向计数，而且可以自由设置起始值和终止值。它可以应用于时序控制、频率分析、数据采样等领域。 5. 软件计数器 软件计数器是在程序中实现的计数器。与硬件计数器不同，软件计数器是通过 编程来实现的。 在编程语言中，通常使用循环语句来实现计数功能。例如，在C语言中，可以 使用for循环来进行计数操作。

两个基本计数原理

两个基本计数原理 基本计数原理是组合学中应用广泛的数学原理，用于计算组合问题的 方法。它包括两个主要原理，分别是加法原理和乘法原理。以下是关于这 两个基本计数原理的详细介绍。 一、加法原理 加法原理也称为分支原理，是一种用于计算多个不同情况的总数的方法。具体而言，加法原理提供了计算不同情况总和的方法。 加法原理适用于以下情况： 1.互斥情况：如果事件A和事件B是不相关的，且两者不能同时发生，那么发生A或发生B的总数就是事件A和事件B发生总数的和。 例如，抛掷一枚硬币，获得正面或者获得背面的总数是1+1=2 2.不互斥情况：如果事件A和事件B之间存在重叠的情况，那么发生 A或发生B的总数是事件A的总数加上事件B的总数，再减去两者发生的 重叠部分的总数。 例如，有10个人中，有4人会弹吉他，5人会弹钢琴，其中有2人 既会弹吉他又会弹钢琴。那么会弹吉他或会弹钢琴的总数是4+5-2=7 二、乘法原理 乘法原理也称为选择原理，是一种用于计算事件依次发生的组合计数 问题的方法。具体而言，乘法原理提供了计算每个阶段都有n种选择的总 数的方法，以及计算一些特定情况下的总数的方法。 乘法原理适用于以下情况：

1.每个阶段都有n种选择的情况：假设一些事件有m个阶段依次发生，且每个阶段都有n种选择，那么该事件发生的总数就是每个阶段选择数量 的乘积。 例如，晨跑时路线有3个选择（A、B、C），早餐有4个选择（米饭、面包、牛奶、鸡蛋），那么不同的晨跑路线加上早餐的总数是3*4=12 2.一些特定情况下的总数：假设一些事件有m个阶段依次发生，而其 中有k个阶段存在多种选择，那么该事件发生的总数就是每个阶段选择数 量的乘积。 例如，密码锁有4位数字密码，每一位数字是0-9之间的任意一个数字，那么可能的密码总数是10*10*10*10=10^4 总结： 加法原理和乘法原理是组合数学中常用的计数方法。加法原理用于计 算互斥情况和不互斥情况下的总数，可以通过求和、减法和加减混合等操 作实现。乘法原理用于计算多个阶段的选择总数，可以通过乘法和幂运算 来实现。基本计数原理是解决组合问题的基础工具，广泛应用于概率论、 组合数学、图论等领域。

高中数学知识点总结 计数原理

高中数学知识点总结计数原理 一、分类加法计数原理和分步乘法计数原理 1．分类加法计数原理和分步乘法计数原理 【注意】区分分类与分步的依据在于“一次性”完成．若能“一次性”完成，则不需分步，只需分类；否则就分步处理． 2．两个计数原理的区别与联系

123,,,,{}n a a a a 的子集有2n 个，真子集有21n -个． 二、排列 1．排列的定义 一般地，从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. 特别提醒 确定一个具体问题是否为排列问题的方法： (1)首先要保证元素的无重复性，即是从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个不同的元素，否则不是排列问题． (2)其次要保证元素的有序性，即安排这m 个元素时是有顺序的，有序的就是排列，无序的不是排列．而检验它是否有顺序的依据是变换元素的位置，看结果是否发生变化，有变化就是有顺序，无变化就是无顺序． 2．解决排列应用问题的步骤： (1)分清问题是否与元素的顺序有关，若与顺序有关则是排列问题． (2)注意对元素或位置有无特殊要求． (3)借助排列数公式计算． 特别提醒 当问题的正面分类较多或计算较复杂，而问题的反面分类较少或计算更简便时往往使用“间接法”．含“至多”、“至少”类词语的排列(组合)问题，是需要分类问题，常用间接法(即排除法)解答．这时可以先不考虑特殊元素(位置)，而列出所有元素的全排列数，从中再减去不满足特殊元素(位置)要求的排列数，即排除法． 3．排列数、排列数公式

从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素的所有不同排列的个数叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号A m n 表示. 特别提醒 排列与排列数是两个不同的概念，一个排列是指“按照一定的顺序排成一列”，它是具体的一件事，排列数是指“从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素的所有不同排列的个数”，它是一个数. 三、组合 1．组合的定义 一般地，从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素合成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合. 特别提醒 解答排列、组合综合问题的一般思路和注意点： （1）一般思路：“先选后排”，也就是把符合题意的元素都选出来，再对元素或位置进行排列．

计数原理基本知识点

计数原理基本知识点 1。分类计数原理：做一件事情,完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法,……,在第n 类办法中有n m 种不同的方法成这件事共有 12n N m m m =+++种不同的方法 2。分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有1m 种不同的方法，做第二步有2m 种不同的方法，……,做第n 步有n m 种不同的方法,那么完成这件事有12n N m m m =⨯⨯⨯ 种不同的方法 3．排列的概念：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤)个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．．．． 4．排列数的定义：从n 个不同元素中，任取m (m n ≤）个元素的所有排列的个数叫做 从n 个元素中取出m 元素的排列数，用符号m n A 表示 5．排列数公式：(1)(2)(1)m n A n n n n m =---+（,,m n N m n *∈≤） 6 阶乘：!n 表示正整数1到n 的连乘积，叫做n 的阶乘规定0!1=． 7．排列数的另一个计算公式：m n A =!()!n n m - 8 组合的概念：一般地，从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合 9．组合数的概念：从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．．． ．用符号m n C 表示． 10．组合数公式：(1)(2)(1)!m m n n m m A n n n n m C A m ---+== 或)! (!!m n m n C m n -=,,(n m N m n ≤∈*且 11 组合数的性质1：m n n m n C C -=．规定：10=n C ; 12．组合数的性质2:m n C 1+＝m n C +1-m n C

计数原理

计数原理 1.分类加法计数原理：完成一件事情，有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法……在第n 类办法中有n m 种不同的方法.那么完成这件事共有 n m m m N +⋅⋅⋅++=21 种不同的方法. 理解分类加法计数原理： 2.分步乘法计数原理：完成一件事情，需要分成n 个步骤，做第一步有1m 种不同的方法，做第二步有2m 种不同的方法……做第n 步有n m 种不同的方法.那么完成这件事共有 n m m m N ⨯⋅⋅⋅⨯⨯=21 种不同的方法. 3.分类加法计数原理和分步乘法计数原理都涉及完成一件事情不同方法的种数，他们的区别在于：分类加法计数原理与种类有关，各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事.分步乘法计数原理与步骤有关，各个步骤互不干扰，只有当各个步骤都完成后，这件事情才算完成. 4.排列的概念：从n 个不同的元素中取出m(m ≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。所有这样排列的个数叫做从n 个不同元 素中取出m 个元素的个排列数，记作m n A 。 排列数公式：()()()!12(1)! m n n A n n n n m n m =⋅-⋅-⋅⋅⋅-+=-。 5.组合的概念：从n 个不同的元素中取出m(m ≤n)个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合。所有这样组合的个数叫做从n 个不同元素中取出m 个元素 的个组合数。记作m n C 。 组合数公式：()!!!!m m n n A n C m m n m ==-。 排列组合问题常见限制条件及解题对策： （1）含特殊元素或特殊位置的排列问题，其解题对策：①直接法，即先排特殊元素或特殊位置；②排除法，即先不考虑元素或位置的特殊性，再排除不符合条件的排法。 （2）元素相邻的排列问题：其解题对策是用“捆绑法” （3）元素相间的排列问题，第一类是不相邻问题，可用“插空法”，即先把其他元素排列好，然后把特殊元素插排在它们之间或两端的空挡里；第二类是元素之间相间固定个数的元素问题，可用“捆绑法”，即先选好元素放入两个元素之间，把他们“捆绑”在一起，再和其他元素排列。 （4）元素有顺序限制的排列问题，其解题策略：①应用除法处理策略，即先不考虑顺序限制排列后，再利用规定顺序的实际，采用除法求出结果；②先选好位置给这些特殊元素排，再排其他元素的位置；③先排其他元素，剩下的位置给那些有顺序的元素排。 （5）带有“含”与“不含”、“至多”与“至少”的组合问题，其解题对策：①直接分类法，根据题目条件按特殊元素的个数进行分类解决；②排除法，先不考虑限制条件求出组合数，再排除不符合要求的组合数而得解。 （6）均匀分堆问题，要注意排除堆与堆之间在选取元素的过程中产生的顺序。 （7）指标分配问题，其解题对策：采用“隔板法”来解决。 例1. 现有印着l ，3，5，7，9的五张卡片，如果允许9可以作6用，那么从中任意抽出三张可以组成多少个不同的三位数?

计数原理及举例

计数原理及举例 一、两个原理： 1．加法原理。 一般地，如果完成一件事情需要n 类办法，在第一类办法中，有1m 种不同方法，在第二类办法中有2m 种不同方法，…，在第n 类办法中，有n m 种不同方法。那么完成这件事共有 n m m m +++ 21 种方法。 上述原理称为加法原理。 2．乘法原理。 如果完成一件需要n 个步骤，做第一步有1m 种方法，做第二步有2m 种方法，…，做第n 步有n m 种方法，那么完成这件事共有 n m m m ⨯⨯⨯ 21 种方法。 上述原理称为乘法原理。 让我们来看一个简单的例子。 如下图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丙地有4条路，从甲地到丁地有3条路，从丁地到丙地也有3条路。问：从甲地到丙地共有多少种不同的走法？ 此题中，首先可根据加法原理，把从甲到丙的走法分为两类。 ① 由甲过乙至丙， ② 由甲过丁至丙。 而这两类办法中，都需要两个步骤，要应用乘法原理来算，最后总的方法为： 2×4+3×3=17（种）。 下面让我们来看几个具体的题。 例1：有一堆火柴共12根，如果规定每次取1~3根，那么取完这堆火柴共有多少种不同取法？ 此题要用到加法原理： 要拿第n 根火柴，可以从第（n-3）、（n-2）及（n-1）根三种基础上来考虑。如果拿第(n-3)根有a 种办法，拿第（n-2）根有b 种办法，拿第(n-1)根有c 种办法，因此拿第n 根共有（a+b+c ）种办法。因此只要知道拿1根、2根、3根的火柴数就可以得到具体的种数。 1，2，4，7，13，24，44，81，149，274，504，927，… 例2：从2，3，4，5，6，10，11，12这八个数中，取出两个数组成一个最简真分数，共有多少种取法？ 此题显然是根据分子或分母的情况来分类，最后种数为15种。 例3：在下图中，从A 点沿实线走最短路径到B 点，有多少种走法？ 甲 乙 丁 丙 A B P

计数原理知识点汇总

计数原理知识点汇总 知识点一 排列与组合 （一）、两个计数原理 1.分步乘法计数原理：如果完成一件事需要n 个步骤，第1步有1m 种不同的方法，第2步有2m 种不同的方法，，第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共 有12 n N m m m =种不同的方法. 2.分类加法计数原理：如果完成一件事有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，，在第n 类办法中有n m 种不同 的方法，那么完成这件事共有12n N m m m =++ +种不同的方法. 3.应用两个计数原理的关键是分清“步”与“类”.完成一件事需要若干步，而每一步缺一不可，则符合乘法原理，需要注意“步”与“步”之间的连续性；完成一件事有若干类方法，每类方法能独立完成这件事，则符合加法原理，需要注意“类”与“类”之间的独立性和等效性. （二）、排列组合 1.排列的概念：从n 个不同的元素中取出()m m n ≤个元素，按照一定的次序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列；从n 个不同的元素中取出()m m n ≤个元素的所有排列的个数叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号m n P 表示. 2.排列数公式：! (1)(2) (1)(,*,)()! m n n P n n n n m m n N m n n m =---+= ∈≤-， !n n P n =，规定：0!1=. 3.组合的概念：从n 个不同的元素中取出()m m n ≤个元素组成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合；从n 个不同的元素中取出()m m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号m n C 表示.

计数原理

计数原理 一、知识导学 1.分类计数原理：完成一件事，有ｎ类办法，在第1类办法中，有1m 种不同的方法， 在第2类办法中，有2m 种不同的方法，……在第ｎ类办法中，有n m 种不同的方法，那么 完成这件事共有N ＝1m ＋2m ＋……＋n m 种不同的方法. 注：“完成一件事，有ｎ类办法”这是对完成这件事的所有办法的一个分类.分类时， 首先要根据问题的特点，确定一个适合它的分类标准，然后在这个标准下进行分类，其次， 分类时要注意满足两条基本原则：第一，完成这件事的任何一种方法必须属于某一类；第二， 分别属于不同类的两种方法是不同的方法.前者保证完成这件事的立法不遗漏，后者保证不 重复. 2. 分步计数原理：完成一件事，需要分成ｎ个步骤，做第1步，有1m 种不同的方法， 做第2步，有2m 种不同的方法，……做第ｎ步，有n m 种不同的方法，那么完成这件事共 有N ＝1m ×2m ×…×n m 种不同的方法. 注：“完成一件事，需要分成ｎ个步骤”这就是说完成这件事的任何一种方法，都要完 成这ｎ个步骤.分步时，首先要根据问题的特点确定一个可行的分步标准，其次，步骤的设 置要满足完成这件事必须并且只需连续完成这ｎ个步骤，这件事才算最终完成. 注：分类计数原理又称加法原理 分步计数原理又称乘法原理 二、典型习题导练 1.有5本不同的中文书，4本不同的数学书，3本不同的英语书，每次取一本，不同的取法 有（ ）种. .A 3 .B 12 .C 60 .D 不同于以上的答案 2.体育场南侧有4个大门，北侧有3个大门，某学生到该体育场练跑步，则他进出门的方案 有 （ ） A ．12 种 B ．7种 C ．24种 D ．49种 3.从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游 览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有 （ ）.A 300种 .B 240种 .C 144种 .D 96种 4.同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿1张别人送出的贺年卡，则4张 贺年卡不同的分配方式有 （ ） .A 23种 .B 11种 .C 9种 .D 6种 5.设集合{ }54321，，，，=I ，选择I 的两个非空子集A 和B ，要使B 中最小的数大于A 中最大的数，则不同的选择方法共有（ ） .A 50种 .B 49种 .C 48种 .D 47种