人教A版(2019)高中数学选择性必修第三册《计数原理》单元教学总体设计

《计数原理》总体设计

一、本章学习目标

1.两个基本计数原理

通过实例，了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义.

2.排列与组合

通过实例，理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.

3.二项式定理

能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.

二、本章知识结构框图

三、内容安排

从幼儿时期，我们就开始运用“一个一个地数”的方法解决计数问题；在生活中，

遇到复杂的计数问题时，也会自然而然地分类、分步计算.从这些直观经验出发，本章系统安排了解决计数问题的原理和方法，包括两个基本计数原理——分类加法计数原理与分步乘法计数原理，两类特殊的计数问题——排列与组合，以及这些知识的应用——二项式定理.

6.1节是分类加法计数原理与分步乘法计数原理.分类加法计数原理与分步乘法计数原理是处理计数问题的两种基本思想方法.一般地，面对一个复杂的计数问题时，人们往往通过分类或分步先将它分解为若干个简单计数问题，在解决这些简单问题的基础上，再将它们整合起来而得到原问题的答案，这也是在日常生活中被经常使用的思想方法.在6.1节，教科书从设计巧妙的“数法”入手，首先通过“给一个座位编号”创设不同的情境，让学生分析比较各自的问题特征及解决问题的基本环节；然后从特殊到一般，抽象概括出两个基本原理；最后选取了8个例题，逐步实现从原理理解到综合应用.

6.2节是排列与组合.排列与组合是两类特殊而重要的计数问题，而解决它们的基本思想和工具就是两个计数原理.在6.2节，教科书从简化运算的角度提出排列与组合的学习任务，通过具体实例的概括而得出排列、组合的概念；应用分步乘法计数原理得出排列数公式；应用分步计数原理和排列数公式推出组合数公式.对于排列与组合，有两个基本想法贯穿始终：一是根据一类问题的特点和规律寻找简便的计数方法，就像乘法可以作为特定条件下加法的简便运算一样；二是注意应用两个计数原理思考和解决问题.

6.3节是二项式定理.二项式定理的学习过程是应用两个计数原理解决问题的典型过程，其基本思路是“先猜后证”.猜想不仅是通过对()n

a b +中n 取1，2，3，4的展开式的形式特征的分析而归纳得出，更主要的是运用多项式乘法法则和两个计数原理对()n a b +展开式的项的特征进行分析.这个分析过程不仅使学生对二项式的展开式与两个计数原理之间的内在联系获得认识的基础，而且也为说明猜想的正确性提供了基本思路.

基于以上分析，本章的重点是两个计数原理、排列数公式和组合数公式、二项式定理.本章的难点是原理的归纳、公式和定理的推导.无论是概念的得出还是数学公式的推导，都是从特殊到一般，从具体到抽象，通过归纳而得到，这既是代数中研究问题的基本方法，也是数学学习中经常使用的思维方法.这个学习过程，能很好地培养学生的抽象能力和推理能力，从而提升学生的数学抽象、逻辑推理等素养.但是由于学生思维水平的差异，在这个过程中，有些学生可能会遇到学习困难.例如组合数公式的推导，“发现”的基础是对组合与排列的关系的观察与分析，这种观察与分析是从具体的“从4个不同元素中取出3个元素的排列数与组合数的关系”出发,从具体到抽象，发现从a，b，c，d中取出3个元素的排列数与组合数之间的关系，并抽象概括出一般的方法，然后从特殊到一般，推广到一般情形.突破难点的关键在于设置情境和问题，引导学生一步步深入思考，经历数学思维的各个环节，经历知识发生发展的过程.

四、课时安排

本章教学约需12课时，具体分配如下（仅供参考）：

6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理约4课时

6.2 排列与组合约4课时

6.3 二项式定理约2课时

小结约2课时

五、本章编写思考

本章内容属于《标准（2017年版）》选择性必修课程的“主题三概率与统计”，既相对独立，又是后续概率与统计内容学习的基础.通过本章的学习，学生能够理解两个基本计数原理，能够理解排列、组合、二项式定理与两个计数原理的关系，能够运用计数原理推导排列、组合、二项式定理的相关公式，并能够运用它们解决简

单的实际问题，特别是概率中的某些问题.虽然两个计数原理是人们在大量实践经验的基础上归纳出来的基本规律，几乎可以说它们是一种常识，简单又朴素，易学、能懂、好用.但是从常识抽象到数学原理，从数学原理逐步推导出各种公式，再从原理、公式到灵活应用，并不容易.因此本章编写时，既注重知识发生发展过程的展开，又注重分析、抽象、推理和论证等思维能力的运用，从而提升学生的数学抽象与逻辑推理素养.

1.采用归纳式的概念建构方式，加强对概念的理解，提升数学抽象素养

本章涉及两个计数原理、排列和排列数、组合和组合数，以及与二项式定理相关的一些概念.这些概念都有一定的抽象性，如何使学生建立理解这些概念的认知基础，是教科书编写过程中重点考虑的问题.总的来说，教科书采取“归纳式”来构建概念的理解过程，即先引导学生分析一些典型事例，从中抽象出共同特征，再进一步概括出本质特征，最后还以一定量的应用题示例，在应用中加深对概念的理解.

例如两个计数原理，计数是人类最基本、最原始和最古老的数学实践活动，“一个一个地数”的过程非常烦琐而且容易出错，促使人们寻找方便、快捷的方法，即设法“不通过一个个地数”而达到正确、迅速地计数的目的.教科书就以此作为研究两个计数原理的基本出发点，先在引言中介绍了研究计数原理的上述目的，由此激发学生的学习欲望，然后采取了“问题情境—引导探究—抽象概括”的方式，安排了从具体例证中归纳两个计数原理的活动，以引导学生经历原理的概括过程.同样地，在排列与组合中，仍然沿用“减少重复、避免烦琐、简便计数”的想法，安排学生熟悉的问题情境（“从3名学生中选两名分别参加上、下午的活动”“从1，2，3，4中取三个不同数字排成三位数”等），引导学生详细分析计数过程，并抽象概括出排列、组合的概念及其计数公式；在二项式定理的探究中，也安排了“用两个计数原理分析当n=2时的二项展开式—学生独立分析当n=3，4时的二项展开式—猜想并说明二项式定理”的过程.

总之，在这样一个强调知识展开和思维运用的过程中，学生不仅通过分析和比较、抽象和概括，获得和理解了概念，而且还提升了数学抽象素养.

2.加强两个计数原理的基础性作用，提升逻辑推理素养

两个计数原理是解决计数问题的“根本大法”，排列、组合及二项式定理都是两个计数原理的典型应用.因此，教科书编写时，一是注意引导学生“追本溯源”，把排列、组合和二项式定理的研究引导到如何应用计数原理的思考上来；二是注意引导学生根据原理分析和解决问题，灵活运用，避免机械套用公式.

例如二项式定理的推导，直接联系到两个计数原理是不容易的.为此，教科书安排了如下过程：（1）在“探究”中提出如何利用两个计数原理得出

234(),(),()a b a b a b +++的展开式的问题.（2）详细写出用多项式乘法法则得到2()a b +展开式的过程，并从两个计数原理的角度对展开过程进行分析，概括出项数和项的形式.（3）用组合知识分析展开式中具有同一形式的项的个数，从而得出用组合数表示的2()a b +的展开式.（4）让学生模仿上述过程推导34(),()a b a b ++的展开式.（5）得出关于()n

a b +的展开式的猜想，并予以说明.由此可以看到，得到二项式定理的猜想及其证明方法的核心就是应用两个计数原理.

再如，教科书选取了一些典型的、多角度的应用问题，设计例题和习题，让学生通过一定量的训练，应用两个计数原理进行分析、推理和论证，从而灵活应用.像计数原理概念之后安排难度逐步增大的8个例题，排列组合习题中安排辨析排列与组合，内含重复或遗漏等情况的问题,让学生在分析问题和解决问题中认识到两个计数原理的基础性地位，而这些问题的选材又同时关注了典型性、时代性和贴切性，如经典又灵活多变的“几位数”问题，富有时代气息的共享单车问题，贴近学生生活的食堂选菜问题等.

无论是从原理出发推导公式，还是回归到原理解决问题，都是培养学生推理能力的好时机，而充分经历这些过程，就能逐步提升学生的逻辑推理素养.

3.通过联系和比较，归纳数学思想和方法

本章内容涉及分类、化归、多元联系表示等众多数学思想方法.适当渗透并及时归纳数学思想方法是教科书编写中考虑的一个重要问题.其一，教科书通过联系和比

较，引入、渗透这些数学思想方法.例如，在两个计数原理中，联系实际情境的分类和分步需求，渗透了分类以达到“以简驭繁”目的的基本思想：运用分类加法计数原理解决问题就是将一个复杂问题分解为若干“类别”，然后各个击破，分类解决；运用分步乘法计数原理则是将一个复杂问题的解决过程分解为若干“步骤”，先对每一个步骤进行细致分析，再整合为一个完整的过程.再如在排列、组合中，通过比较的方法，引导学生讨论排列与组合的关系；运用多元联系表示思想，采用树状图、表格、等值语言叙述、构造模型等多种方法，探讨排列、组合的概念及其计数公式等.其二，教科书通过归纳栏目和章小结，明确、总结每一节及本章所学习的数学思想方法.例如，在学完两个计数原理之后，教科书安排了“归纳"，细致说明了分类和分步，并提出问题，让学生通过类比加法和乘法两种运算的关系，思考两个计数原理之间的关系.再如在章小结中，明确指出何为重要而基本的思想方法及其具体体现.

4.选择具有时代性的事例，增强学生的应用意识

应当说，计数问题非常多，而且可以人为地大量编制.实际上这也是造成本章学习困难的原因之一.为了体现“能够结合具体实例，理解相关知识，并能够运用它们解决简单的实际问题”的要求，教科书将“学以致用”的思想贯穿本章始终，而且特别注意选材的典型性、时代性和现实性，不把那些人为编制的计数难题、需要特殊技巧的计数问题纳入教科书中.例如，具有时代感的计算机程序设计中程序模块命名、字符编码、程序测试路径问题，贴近学生生活实际的大学专业选择、汽车牌照号码问题；等等.这些丰富的问题既可以让学生感受到计数问题的时代性，增强应用意识，还可以让学生在应用过程中加深对原理的理解，提高学生的分析问题和解决问题的能力.

六、本章教学建议

1.注意认真剖析概念

所谓“剖析概念”，实际上是对概念内涵的深入分析，也就是要对概念的各种属性及其关系进行认真分析.在本章教学中，有几个概念的关键属性需要认真分析：

（1）两个计数原理中的“完成一件事情”.这是一个比较抽象的词汇，它比学生熟悉的“完成一件工作”“完成一项工程”等的含义要广泛得多，教学中应当结合实例让学生辨析.例如，“选一个专业”“选男生和女生各一名”“从中任取一本书”“从中任取数学书、语文书各一本”“从甲地到乙地”等，这些都是原理中所说的“完成一件事情”.排列、组合中的“确定一个满足条件的排列”“确定一个满足条件的组合”也是指“完成一件事情”.建议在概念和例题的教学中，都要求学生先思考并说出要完成的一件事情是什么.在实际应用中，学生容易把“完成一件事情”与“计算完成这件事情的方法总数”混同.例如，在分析“从1~9这九个数字中任取两个，共可组成多少没有重复数字的两位数”时，学生容易把要完成的事情理解成为“求满足条件的两位数的个数”，教学时应当注意利用简单实例引导学生消除这种误解.只有准确理解了什么叫“完成一件事情”，才能进一步分析可以用什么方法完成，是否需要分类或分步完成，这样才能确定到底应该用哪个计数原理.

（2）排列概念中的“一定顺序”.同样地，为了让学生理解其含义，要结合实例进行认真分析.例如，学生熟悉的排队问题中，“从前到后”“从左到右”“从上到下”都是“一定顺序”；安排工作时“上午在前下午在后”也是“一定顺序”；“从1~9这九个数字中选三个不同数字组成三位数”中，“一定顺序”可以规定为“百十个位”；等等.最后要使学生明确，若干个元素按照一定的顺序排成一列，元素不同或元素相同但顺序不同的排列都是不同的排列，即当且仅当两个排列的元素和顺序都相同时才是同一个排列.

（3）“排列数”与“一个排列”，“组合数”与“一个组合”.可以通过实例引导学生分析它们的关系.例如，123，321，213，…都是“从1~9这九个数字中选三个不同数字组成三位数的一个排列”，这样的排列数共有3

9A 504 个.

2.精心设计思维活动，充分展开过程

教科书编写中最为关注的一点就是“过程”，包括概念的抽象过程和公式的推导过程.正是在这些过程中，既能充分体现数学思想方法的作用，又能让学生充分运用各种数学思维.因此，这是进行数学思想方法教学和提升学生数学素养的最好时机.

在教学中，要根据知识的特点，分析思维过程，精心设计教学活动.

例如组合数公式的推导过程，有这样一个关键的思维活动，它包括两个方面：

（1）从特殊到一般，将方法一般化.首先，明确求“3个不同元素中取出2个元素的组合数”的方法：①3取2的排列数，②以“元素相同”分组.然后，“运用同样的方法”，

求“4个不同元素中取出3个元素的组合数”，并转换角度，获得等式3

33443A C A =⨯.最

后，“同样地”将获得上述等式的方法推广到一般情形，得到组合数公式.

（2）从不同角度看问题，灵活转换.如何得出等式3

33443A C A =⨯，既是组合数公

式推导的关键，也是教学难点.虽然以“元素相同”分组，可以求得3

445C ,C 等组合数，

但是很难得到一般的公式，这就需要“一条路走不通时，寻找另一条路”.事实上，在数学上，这是很普遍的，而且也由此产生了许多新思想、新方法.在教学中，重点是引导学生转换角度来重新分析已有结果，即“还可以怎样理解”求解的过程，获得新的推理方法.

事实上，“从不同角度看问题”不仅可以解决求组合数的教学难点，它也可以解决本章很多学习难点.这是因为计数问题一般都涉及实际背景，有一个数学化的过程，这个过程中容易出现理解上的错漏，而且分类或分步过程中都有可能产生重复或遗漏的情况.但是从不同角度思考，对一个问题给出不同的解决方法，既可以加深对问题本质的理解，又可以检验解答是否正确，而且对于培养学生思维的灵活性，提高他们分析和解决问题的能力等都是十分有利的.

3.关注原理，淡化技巧

在《标准（2017年版）》中，关于计数原理的教学，要求“结合具体情境，引导学生理解许多问题可以归结为分类和分步两类问题，引导学生根据计数原理分析问题、解决问题”；关于计数原理的学习，要求“能解决简单的实际问题，特别是概率中的某些问题”.因此，教科书始终把两个计数原理的理解放在突出位置，并给学生提供辨别容易混淆的概念、用不同思路分析和解决问题的机会.在教学中，一是要把握好这种定位，避免在技巧和难度上做文章；二是要让学生意识到原理的重要性，

往往很多时候，无法直接套用公式时，需要回归到原理本身来分析问题和解决问题.

人教A版22019高中数学选修2-3教学案：复习课(一) 计数原理_含解析

复习课(一)计数原理对应学生用书P48 (1)两个计数原理是学习排列与组合的基础，高考中一般以选择题、填空题的形式出现，难度中等． (2)运用两个计数原理解题的关键在于正确区分“分类”与“分步”．分类就是能“一步到位”——任何一类中任何一种方法都能完成这件事情，而分步则只能“局部到位”——任何一步中任何一种方法都不能完成这件事情，只能完成事件的某一部分，只有当各步全部完成时，这件事情才完成． [考点精要] 计数原理 (1)分类加法计数原理：N＝n1＋n2＋n3＋…＋n m； (2)分步乘法计数原理：N＝n1·n2·n3·…·n m． [典例]如图所示，花坛内有五个花池，有五种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种同种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则最多的栽种方案有() A．180种B．240种 C．360种D．420种 [解析]由题意知，最少用三种颜色的花卉，按照花卉选种的颜色可分为三类方案，即用三种颜色，四种颜色，五种颜色． ①当用三种颜色时，花池2,4同色和花池3,5同色，此时共有A35种方案． ②当用四种颜色时，花池2,4同色或花池3,5同色，故共有2A45种方案． ③当用五种颜色时有A55种方案． 因此所有栽种方案为A35＋2A45＋A55＝420(种)． [答案] D [类题通法] 使用两个原理解决问题时应注意的问题 (1)对于一些比较复杂的既要运用分类加法计数原理又要运用分步乘法计数原理的问题，我们可以恰当地画出示意图或列出表格，使问题更加直观、清晰．

(2)当两个原理混合使用时，一般是先分类，在每类方法里再分步． [题组训练] 1．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法有() A．24种B．18种 C．12种D．6种 解析：选B法一：(直接法)若黄瓜种在第一块土地上，则有3×2＝6种不同的种植方法．同理，黄瓜种在第二块、第三块土地上均有3×2＝6种不同的种植方法．故不同的种植方法共有6×3＝18种． 法二：(间接法)从4种蔬菜中选出3种种在三块地上，有4×3×2＝24种方法，其中不种黄瓜有3×2×1＝6种方法，故共有不同的种植方法24－6＝18种． 2．有红、黄、蓝旗各3面，每次升一面、二面或三面在旗杆上纵向排列表示不同的信号，顺序不同则表示不同的信号，共可以组成的信号有________种． 解析：每次升1面旗可组成3种不同的信号；每次升2面旗可组成3×3＝9种不同的信号；每次升3面旗可组成3×3×3＝27种不同的信号．根据分类加法计数原理，共可组成3＋9＋27＝39种不同的信号． 答案：39 (1)高考中往往以实际问题为背景，考查排列与组合的综合应用，同时考查分类讨论的思想方法，常以选择题、填空题形式出现，有时与概率结合考查． (2)解决排列组合问题的关键是掌握四项基本原则 ①特殊优先原则：如果问题中有特殊元素或特殊位置，优先考虑这些特殊元素或特殊位置的解题原则． ②先取后排原则：在既有取出又需要对取出的元素进行排列中，要先取后排，即完整地把需要排列的元素取出后，再进行排列． ③正难则反原则：当直接求解困难时，采用间接法解决问题的原则． ④先分组后分配原则：在分配问题中如果被分配的元素多于位置，这时要先进行分组，再进行分配． [考点精要] 1．排列与组合的概念

人教A版(2019)高中数学选择性必修第三册《计数原理》单元教学总体设计

《计数原理》总体设计 一、本章学习目标 1.两个基本计数原理 通过实例，了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义. 2.排列与组合 通过实例，理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式. 3.二项式定理 能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 二、本章知识结构框图 三、内容安排 从幼儿时期，我们就开始运用“一个一个地数”的方法解决计数问题；在生活中，

遇到复杂的计数问题时，也会自然而然地分类、分步计算.从这些直观经验出发，本章系统安排了解决计数问题的原理和方法，包括两个基本计数原理——分类加法计数原理与分步乘法计数原理，两类特殊的计数问题——排列与组合，以及这些知识的应用——二项式定理. 6.1节是分类加法计数原理与分步乘法计数原理.分类加法计数原理与分步乘法计数原理是处理计数问题的两种基本思想方法.一般地，面对一个复杂的计数问题时，人们往往通过分类或分步先将它分解为若干个简单计数问题，在解决这些简单问题的基础上，再将它们整合起来而得到原问题的答案，这也是在日常生活中被经常使用的思想方法.在6.1节，教科书从设计巧妙的“数法”入手，首先通过“给一个座位编号”创设不同的情境，让学生分析比较各自的问题特征及解决问题的基本环节；然后从特殊到一般，抽象概括出两个基本原理；最后选取了8个例题，逐步实现从原理理解到综合应用. 6.2节是排列与组合.排列与组合是两类特殊而重要的计数问题，而解决它们的基本思想和工具就是两个计数原理.在6.2节，教科书从简化运算的角度提出排列与组合的学习任务，通过具体实例的概括而得出排列、组合的概念；应用分步乘法计数原理得出排列数公式；应用分步计数原理和排列数公式推出组合数公式.对于排列与组合，有两个基本想法贯穿始终：一是根据一类问题的特点和规律寻找简便的计数方法，就像乘法可以作为特定条件下加法的简便运算一样；二是注意应用两个计数原理思考和解决问题. 6.3节是二项式定理.二项式定理的学习过程是应用两个计数原理解决问题的典型过程，其基本思路是“先猜后证”.猜想不仅是通过对()n a b +中n 取1，2，3，4的展开式的形式特征的分析而归纳得出，更主要的是运用多项式乘法法则和两个计数原理对()n a b +展开式的项的特征进行分析.这个分析过程不仅使学生对二项式的展开式与两个计数原理之间的内在联系获得认识的基础，而且也为说明猜想的正确性提供了基本思路.

高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第三册第六章计数原理

排列数的综合应用 1.现有5名学生,甲、乙、丙、丁、戊排成一队照相,则甲与乙相邻,且甲与丁不相邻的站法种数为() A.36 B.24 C.22 D.20 2.由1,2,3,4,5组成没有重复数字的四位数,按从小到大的顺序排成一个数列{a n},则a72等于() A.1 543 B.2 543 C.3 542 D.4 532 3.甲同学与本校的另外2名男同学2名女同学一同参加《中国成语大全》的海选,5人坐成一排,若甲与2名女同学都相邻,则不同坐法的种数为() A.6 B.12 C.18 D.24 4.甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动,要求每人参加一天且每天至多安排一人,并要求甲安排在另外两位前面.不同的安排方法共有() A.20种 B.30种 C.40种 D.60种 5.现有高一学生两人,高二学生两人,高三学生一人,将这五人排成一行,要求同一年级的学生不能相邻,则不同的排法总数为________. 6.把5件不同产品摆成一排.若产品A与产品B相邻,且产品A与产品C不相邻,则不同的摆法有________种. 7.从-3,-2,-1,0,1,2,3,4八个数字中任取3个不同的数字作为二次函数y=ax2+bx+c的系数a,b,c,问: (1)共能组成多少个不同的二次函数? (2)在这些二次函数中,图像关于y轴对称的有多少个? 8.某小组6个人排队照相留念. (1)若分成两排照相,前排2人,后排4人,有多少种不同的排法? (2)若分成两排照相,前排2人,后排4人,但其中甲必须在前排,乙必须在后排,有多少种排法? (3)若排成一排照相,甲、乙两人必须在一起,有多少种不同的排法? (4)若排成一排照相,其中甲必在乙的右边,有多少种不同的排法? (5)若排成一排照相,其中有3名男生3名女生,且男生不能相邻有多少种排法? (6)若排成一排照相,且甲不站排头乙不站排尾,有多少种不同的排法? 扩展练习 1.在由数字1,2,3,4,5组成的所有没有重复数字的5位数中,大于23 145且小于43 521的数共有() A.56个 B.57个 C.58个 D.60个

分类加法计数原理与分步乘法计数原理——数学人教A版(2019)选择性必修第三册

6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 —— 数学人教A版（2019） 选择性必修第三册课前导学 一、新知自学 1.分类加法计数原理：完成一件事有不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=种不同的方法. 2.分步乘法计数原理：完成一件事需要两个，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=种不同的方法. 二、问题思考 1.利用分类加法计数原理解题的思路方法及注意事项有哪些？ 2.利用分步乘法计数原理解题的思路方法及注意事项有哪些？ 3.应用两个计数原理解题的思路方法是什么？ 4.涂色问题的解题策略有哪些？ 三、练习检测

1.从0，1，2，3，4，5这6个数中，任取2个不同的数相加，则其和为偶数的不同取法的种数为( ) A.30 B.20 C.10 D.6 2.从6人中选出4人参加某大学举办的数学、物理、化学、生物比赛，每人只能参加其中一项，且每项比赛都有人参加，其中甲、乙两人都不能参加化学比赛，则不同的参赛方案的种数为( ) A.94 B.180 C.240 D.286 3.已知一个公园的形状如图所示，现有3种不同的植物要种在此公园的A，B，C，D，E这五个区域内，要求两块相邻区域种不同的植物，则不同的种法共有_________种. 4.某班一天上午有4节课，每节都需要安排一名教师去上课，现从 A B C D E F6名教师中安排4人分别上一节课，第一节课只能从,A B两人中,,,,, 安排一人，第四节课只能从,A C两人中安排一人，则不同的安排方案共有 ________________种.(用数字作答)

人教A版高中数学选择性必修第三册《计数原理》单元教学总体设计

人教A版高中数学选择性必修第三册《计数原理》单元 教学总体设计 一、教学目标： 1.理解计数原理的基本概念和方法，能够熟练应用。 2.掌握排列、组合和二项式定理的基本原理和公式，能够解决相关问题。 3.培养学生的逻辑思维能力、推理能力和解决问题的能力。 二、教学内容： 1.排列与组合的基本概念 （1）排列的定义和性质 （2）组合的定义和性质 （3）二项式定理的定义和性质 2.排列与组合的计算方法 （1）全排列 （2）循环排列 （3）n元排列 （4）重排与分组 （5）等价排列 （6）组和子集的计数

（7）多重循环排列 3.二项式定理与组合恒等式 （1）二项式定理的证明和应用 （2）数学归纳法的应用 （3）组合恒等式的证明和应用 三、教学方法： 1.提问引导法：通过提出问题引导学生了解计数原理的基本概念和方法，激发学生的思考和讨论。 2.演示讲解法：通过具体的例子和实际问题，展示计数原理的应用方法，帮助学生理解和掌握相关知识和技能。 3.合作探究法：将学生分成小组，让他们自己通过讨论和探究，归纳 总结计数原理的基本规律和计算方法。 4.案例分析法：通过分析典型问题和实际应用案例，引导学生将计数 原理与解决问题紧密结合起来，培养学生的问题解决能力。 四、教学过程： 1.导入： 通过提问引导学生回顾排列与组合的基本概念，为后续的学习做铺垫。例如：有多少种不同的方式可以从一副扑克牌中取出5张？ 2.知识讲解： （1）讲解排列与组合的定义和性质，介绍相关的计算方法。

（2）讲解二项式定理的定义和性质，以及相关的恒等式。 3.组织实践活动： 将学生分成小组，每组给出一个实际问题，让学生通过排列与组合的计算方法解决问题，并展示解决过程和结果。 4.深化拓展： 给学生提出一些拓展性问题，引导他们通过计数原理解决这些问题，培养学生的逻辑思维和创新意识。 5.案例分析： 通过分析一些典型的实际案例，让学生将计数原理与解决各类问题相结合，培养学生的问题解决能力和创新思维。 6.复习总结： 结合课堂练习和课后作业，复习计数原理的基本概念和计算方法，梳理知识框架，为下一次学习打下基础。 五、教学评价： 1.学生的平时表现和课堂参与度。 2.学生的课后作业完成情况。 3.学生在实践活动和案例分析中解决问题的能力。 4.学生在综合性考试中的表现。 六、教学资源： 1.人教A版(2024)高中数学选择性必修第三册教材。

《计数原理》小结(第2课时)教学设计

第六章计数原理单元复习 （第2课时） 一、教材分析 本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第三册》第六章《计数原理》，本章主要学习了分类加法计数原理与分步乘法计数原理；然后，从一般到特殊，学习了两类特殊的计数问题——排列与组合，并用两个计数原理推导出排列数公式与组合数公式；最后，作为一个应用，根据多项式的乘法运算法则和计数原理推导了二项式定理，并研究了二项式系数的一些性质.本节课主要复习和巩固二项式定理，并学习简单的应用. 二、学情分析 高二（6）班是理科重点班，数学基础较好.从学生整体而言，能理解数学新的内容一一计数原理，并能处理简单的计数原理问题.具备了一定的分析问题，解决问题，概括问题等能力。通过生活情境问题，进一步掌握本节课的数学思想和方法，从特殊到一般，从一般到特殊来理解本节课的复习内容. 三、教学目标 1.理解两个计数原理和组合与二项式定理的形成与联系； 2.会用二项式定理去处理简单的数学问题； 3.通过本节课复习二项式定理来体验“从特殊到一般”、“从一般到特殊”的核心素养，提高自己观察、分析、概括和数学运算的核心素养. 四、教学重难点 重点：应用二项式定理解决实际问题.

难点：具体问题转化为二项式定理，并运用本章内容去处理问题，以简驭繁. 五、教学方法 启发，引导，自主，探究，总结. 六、教学过程 （一）本章知识结构 设计意图：通过引导回顾本章学习的主要内容去发现知识间的联系，加强数学知识间的联系，是深入理解和掌握知识的重要方法并提高概括能力. （二）复习旧知，提出问题 1二项式定理 (Q+b)n=Cθσn+C^a n-1b+・・・+CAa n fbk+… +CJib n(n∈N*) (1)二项式系数:Cjtk=Oj,…,n∙

第6章 计数原理-2023年高考数学基础知识汇总(人教A版2019)(选择性必修第三册)

第6章 计数原理 §6.1 分类加法与分步乘法计数原理 1.分类加法计数原理： 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m 种不同的方法，在第2类方案中有n 种不同的方法，那么完成这件事情共有N m n =+种不同的方法. 2.分步乘法计数原理： 完成一件事有两个步骤，做第1步有m 种不同的方法，做第2步有n 种不同的方法，那么完成这件事情共有N m n =⨯种不同的方法. §6.2 排列与组合 1.排列定义：从n 个不同的元素中任取个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同的元素中取出个元素的一个排列. 全排列：把n 个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n 个元素的一个全排列. 2.排列数：从n 个不同的元素中任取个元素的所有不同排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，记作. 3.排列数公式： （1）； （2），规定. ； 4.组合定义：从n 个不同的元素中取出个元素作为一组，叫做从n 个不同的元素中取出m 个元素的一个组合. 5.组合数：从n 个不同的元素中取出个元素的所有不同组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数，记作. 6.组合数公式： （1）m m n n m m A C A =或或； （2），规定； （3）. §6.3 二项式定理 1.二项式定理 ()n m m ≤m ()n m m ≤m n A ()()()121+---=m n n n n A m n !n A n n =1!0=()! m n n A m n -=！()n m m ≤()n m m ≤m n C ()()()!121m m n n n n C m n +---= ()! !m n m n C m n -=！m n n m n C C -=10=n C 11-++=m n m n m n C C C

高中数学选择性必修三 6 1分类加法计数原理与分步乘法计数原理教案

6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理教学设计

法．根据分步乘法计数原理，共有4×3×2=24种. 课堂练习： 1、完成一项工作，有两种方法，有5个人只会用第一种方法，另外有4个人只会用第二种方法，从这9个人中选1个人完成这项工作，则不同的选法共有（ C ） A．5种B．4种C．9种D．20种2、我校教学楼共有5层，每层均有两个楼梯，由一楼到五楼共有（ B ）种走法 A．10种B．16种C．25种D．32种3、某公司利用业余时间开设太极、书法、绘画三个培训班，甲、乙、丙、丁四人报名参加，每人只报名参加一项，且甲乙不参加同一项，则不同的报名方法种数为_____54________. 4、现有5种不同的颜色要对图形中(如图)的四个部分涂色,要求有公共边的两部分不能用同一颜色,则不同的涂色方法有__180__种. 拓展提高一： 5、现某学校共有34人自愿组成数学建模社团，其中高一年级13人，高二年级12人,高三年级9人. (1)选其中一人为负责人，共有多少种不同的选法？ (2)每个年级选一名组长，有多少种不同的选法？ (3)选两人作为代表,要求这两人来自不同的年级，有多少种不同的选法？ 答：(1) 13+12+9=34 (2) 13×12×9＝1404 (3)分三种情况讨论：①若选出的是高一、高二学生，有13×12＝156种情况;②若选出的是高一、高三学生，有13×9＝117种情况;③若选出的是高二、高三学生，有12×9＝108种情况. 由分类加法原理可得，共有156+117+108＝381种选法 链接高考： 6、（2020 全国高三模拟）某城市地铁公司为鼓励人们绿色出行，决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策，不超过9站的地铁票价如下表所示，现有小华、小李两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过9站，且他们各自在每个站下地铁的可能性是相同的. 乘坐站数0

人教A版高中数学选择性必修第三册 《分类加法计数原理与分步乘法计数原理的概念》一等奖创新教学设计

人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册《分类加法计数原理与分步乘法计数原理的概念》一等奖创新教学 设计 《分类加法计数原理与分步乘法计数原理的概念》教学设计 一、创设情境,引出课题 问题1:用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的一个座位编号,总共能编出多少种不同的号码 (因为英文字母共有26个,阿拉伯数字共有10个,所以总共可以编出不同号码的个数为26+10=36) 问题2:从甲地到乙地,可以乘火车也可以乘汽车.一天中,火车4班,汽车8班.乘这些交通工具从甲地到乙地,有多少种不同方法(从甲地到乙地,乘火车有4班,乘汽车有8班,所以不同方法的种数为4+8=12) 教师提出问题,学生思考、回答. 设计意图:通过设置问题情境,引出分类计数问题,激发学生的学习兴趣. 二、探究新知 1.你能概括一下上述问题的共同特征吗 【师生活动】学生回答,教师注意引导学生概括到“分类”和“加法”上.可以由学生叙述分类加法计数原理,教师适当补充. 归纳概括分类加法计数原理: 完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有m种不同的方法,在第2类方案中有n种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法. 教师对原理进行解释,特别注意强调明确要完成的“一件事”的重要性. 问题1中要完成的一件事是指“给一个座位编号”,问题2中要完成的一件事是指“从甲地到乙地”. 特别注意:完成一件事都需要分类完成;每一类中的每一种方法都能完成这件事,两类不同的方案中的方法互不相同. 设计意图:概括分类计数问题的特征,得出分类加法计数原理.

2.你能举出生活中的一些分类计数的问题吗 【师生活动】学生举例,教师适当评价,特别注意让学生思考回答要完成的“一件事”是什么. 设计意图:使学生辨析和理解分类加法计数原理. 例1 在填写高考志愿表时,一名高中毕业生了解到,A,B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业,如表所示. 如果这名同学只能选一个专业,那么他共有多少种选择 教师提问:例1中要完成的一件事是什么 教师引导学生分析问题获得解答.要完成的一件事是“选一个专业”. 分析:要完成的事情是“选一个专业”.因为这名同学在A,B两所大学中只能选择一所,而且只能选择一个专业,又因为这两所大学没有共同的强项专业,所以符合分类加法计数原理的条件. 解:这名同学可以选择A,B两所大学中的一所.在A大学中有5种专业选择方法,在B大学中有4种专业选择方法.因为没有一个强项专业是两所大学共有的,所以根据分类加法计数原理,这名同学可能的专业选择种数为. 设计意图:巩固概念,学会用分类加法计数原理解答简单问题. 3.探究:如果完成一件事有三类不同方案,在第1类方案中有种不同的方法,在第2类方案中有种不同的方法,在第3类方案中有种不同的方法,那么完成这件事共有多少种不同的方法 (完成这件事共有种不同的方法) 如果完成一件事有类不同方案,在每一类中都有若干种不同的方法,那么应当如何计数呢 (如果完成一件事情有类不同方案,在第1类方案中有种不同的方法,在第2类方案中有种不同的方法……在第类方案中有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法) 让学生自主探究,得出答案. 设计意图:推广分类加法计数原理,加深对分类加法计数原理的理解与认识. 4.用前6个大写英文字母和这9个阿拉伯数字,以的方式给教室

高中数学第六章 6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理学案含解析新人教A版选择性必修第三册

第六章计数原理 6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理 最新课标 通过实例，了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义 [教材要点] 要点一分类加法计数原理 完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法……在第n类方案中有m n种不同的方法．那么完成这件事共有______________种不同的方法． 状元随笔 1.“完成一件事有n类不同方案”是指完成这件事的所有方法可分为n类，即用任何一类中的任何一种方法都可以做完这件事，而不需要再用其他方法；每一类没有相同的方法，且完成这件事的任何一种方法都在某一类中． 2.分类加法计数原理与集合类比：S＝S1∪S2∪…∪S n且S i∩S j＝∅(i≠j，i，j ＝1，2，…，n)，如图所示． 集合S共有(m1＋m2＋…＋m n)个元素 完成事件S共有(m1＋m2＋…＋m n)种方法 要点二分步乘法计数原理 完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有________________种不同的方法． 状元随笔分步乘法计数原理中“完成一件事需要n个步骤”是指完成这件事的任何一种方法都要分成n个步骤，在每一个步骤中任取一种方法，然后相继完成所有这些步骤才能完成这件事，即步与步之间是连续的、缺一不可的，且不能重复、交叉．简单地说，就是应用分步乘法计数原理时要做到“步骤完整”． 要点三分类加法计数原理与分步乘法计数原理的区别与联系

状元随笔解决计数问题的总体思路 一般地，完成一件事需先对事件进行整体分类，确定可分为几大类，整体分类以后，再确定在每类中完成该事件要分几个步骤，这些问题都弄清楚了，就可以根据两个计数原理解决问题了．此外，还要掌握一些其他的计数方法如下． (1)枚举法：将各种情况一一列举出来，它适用于种数较少且计数对象不规律的情况． (2)转换法：将问题转换成其他已知问题． (3)间接法：若用直接法比较复杂，难以计数，则可考虑采用“正难则反”的策略，先计算反面情形的方法数，再用总方法数将其减去即可． [教材答疑] 1.[教材P3探究] 完成这件事共有N＝m1＋m2＋m3种不同的方法． 如果完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法……在第n类方案中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋m n种不同的方法． 2.[教材P5探究] 完成这件事共有N＝m1×m2×m3种不同的方法． 如果完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×m n种不同的方法． [基础自测] 1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)

6.1-6.2 计数原理与排列组合 -(人教A版2019选择性必修第二、三册) (教师版)

计数原理与排列组合 1分类加法计数原理与分步乘法计数原理 ①分类加法计数原理 做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有m n种不同的方法那么完成这件事共有N=m1+m2+⋯+m n种不同的方法. ②分步乘法计数原理 做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事有N=m1× m2×⋯× m n种不同的方法. ③分类计数原、理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事. 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． Eg 小芳要去party，衣柜里有3件连衣裙、4件上衣和5件裙子，那她有多少种搭配的方式去party呢？显然是3+4×5=23种方式. 2排列 ①排列概念 从n个不同元素中，任取m(m≤ n)个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列，叫做从n不同元素中取出m个元素的一个排列. ②排列数 从n个不同元素中，任取m(m≤ n)个元素的所有排列的个数叫做从n个元素中取出m元素的排列数，用符号A n m表示.其中 A n m=n(n−1)(n−2)⋯(n−m+1) (m ,n∈N∗ ,m≤n) 或 A n m= n ! (n−m)! ③阶乘 n !表示正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘规定0 !=1． 3 组合 ①组合概念

一般地，从n 个不同元素中取出m(m ≤ n)个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合. ② 组合数 从n 个不同元素中取出m(m ≤ n)个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合 数．用符号C n m 表示．其中 C n m =A n m A m m =(n −1)(n −2)⋯(n −m +1)m!=n !m!(n −m )! (n ,m ∈N ∗ ,且 m ≤ n) ③ 排列与组合的区别 (1) 排列是讲“顺序”，而组合不讲“顺序”， 比如 (Ⅰ)一个班有50个学生，选两个班长有多少种选法？ (Ⅱ)一个班有50个学生，选正副班长各1人有多少种选法？ 显然问题Ⅰ，Ⅱ的答案是C 502,A 502，选正副班长就意味着：选出的班长还要讲“顺序”. (2) 从n 个元素中取出m 个元素的排列(排列数A n m ) 可以理解为分为两步： 第一步 从n 个元素中取出m 个元素组合，得到组合数C n m ； 第二步 再对m 个元素进行排列，得到排列数A m m ，根据分步乘法计数原理得到 A n m =C n m A m m ⇒C n m =A n m A m m ③ 组合数的性质 ① 规定: C n 0=1 ② C n m =C n n−m (比如C 108=C 102，从10个抽出8个组合的组合数与从10个抽出2个组合的组合数相等) ③ C n+1m =C n m +C n m−1 (从n +1个中抽出m 个C n+1m =抽不到元素A 的组合数C n m +抽到元素A 的组合数C n m−1) ④ rC n r =nC n−1r−1 (rC n r =r ∙n !r!(n−r )!=n !(r−1)!(n−r )! ， nC n−1r−1=n ∙(n−1)!(r−1)!(n−r )!=n !(r−1)!(n−r )!) PS 若能理解每个公式是怎么推导的，有助于你灵活运用它们！

高中数学第六章计数原理阶段复习课第一课计数原理教师用书教案选择性第三册

阶段复习课第一课计数原理 核心整合·思维导图 考点突破·素养提升 素养一逻辑推理 角度1数学思想方法在求解计数问题中的应用 【典例1】(1）设集合S={1，2，3,4,5，6,7，8,9｝，集合A=｛a1,a2，a3}是S的子集，且a1，a2,a3满足a1

分类较多,而其对立面a3-a2〉6包含的情况较少,当a3=9时，a2取2,a1取1，只有这一种情况,利用正难则反思想解决。 集合S含有三个元素的子集的个数为=84.在这些含有三个元 素的子集中能满足a16的集合只有{1，2,9｝,故满足题意的集合A的个数为84—1=83. （2)方法一:设A，B代表2位老师傅. A，B都不在内的选派方法有=5（种）, A，B都在内且当钳工的选派方法有=10（种）, A，B都在内且当车工的选派方法有=30(种)， A，B都在内且一人当钳工,一人当车工的选派方法有 =80(种）， A,B有一人在内且当钳工的选派方法有=20(种）， A，B有一人在内且当车工的选派方法有=40（种）， 所以共有+++++=185（种). 方法二：5名男钳工有4名被选上的方法有 ++=75（种），5名男钳工有3名被选上的方法有+=100（种）, 5名男钳工有2名被选上的方法有=10（种)，

人教A版(2019)高中数学选择性必修第三册《分类加法计数原理与分步乘法计数原理课时2》教学设计

《分类加法计数原理与分步乘法计数原理》教学设计 课时2两个基本计数原理的综合应用 一、本节内容分析 本节内容是第六章“计数原理”第1节的内容,计数就是数数,原理是在大量观察、实践的基础上,经过抽象、归纳、概括而得出具有普遍意义的基本规律.两个计数原理不仅是继续学习排列、组合和二项式定理的理论依据,更是处理计数问题的两种基本思想方法,在本章中是奠基性的知识. 从认知基础的角度看,两个计数原理实际上是学生从小学就开始学习的加法运算与乘法运算的拓展应用,是体现加法与乘法运算相互转化的典型例证. 从思想方法的角度看,运用分类加法计数原理解决问题是将一个复杂的计数问题分解为若干“类别”,再分类解决;运用分步乘法计数原理解决问题则是将一个复杂的计数问题分解为若干“步骤”,先对每个步骤分类处理,再分步完成.综合运用两个计数原理就是将综合问题分解为多个单一问题,再对每个单一问题各个击破.也就是说,两个计数原理的灵魂是化归与转化的思想、分类与整合的思想和特殊与一般的思想. 从数学本质的角度看,以退为进,以简驭繁,化难为易,化繁为简,是理解和掌握两个计数原理

的关键,运用两个计数原理是知识转化为能力的. 本节包含的核心知识和体现的核心素养如下: 二、学情整体分析 计数问题学生并不陌生,在不同的学段都有相应的接触.两个计数原理虽简单,易学好懂,但如何让学生借助已有的数学活动经验,抽象概括出两个计数原理,并领悟其中重要的数学思想方法,实现认知的飞跃,则是本课必须要突破的难点.为此,抓住以下两个要点尤为重要: 一是要通过典型丰富的实例来帮助学生完成归纳、提炼的过程,加强学生应用两个计数原理解决问题的意识——这是有效提升学生抽象概括能力的契机. 二是要在解决问题的过程中,始终突出两个计数原理的核心要素,即弄清“完成一件事”的含义和区分“分步”与“分类”的特征——这是如何选择两个计数原理的关键. 学情补充:____________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ 三、教学活动准备 【任务专题设计】 1.分类加法计数原理与分步乘法计数原理及其应用 2.两个基本计数原理的综合应用 【教学目标设计】 1.通过给出的具体实例,学生经历两个计数原理的抽象概括的发现过程,能归纳出两个计数原理,并能说出两个计数原理的联系与区别,体会从特殊到一般的思维过程. 2.根据具体的问题情境,学生能描述“完成一件事”的具体含义,说出“分类”与“分步”的区别,总结出应用两个计数原理的基本步骤. 3.会正确选择和应用两个计数原理解决一些简单的实际问题,领悟运用两个计数原理所包含的化归与转化、分类与整合和特殊与一般的思想方法,以及以退为进的思维策略.

高中数学第六章计数原理6.2.2排列数学案含解析新人教A版选择性必修第三册

6.2.2 排列数 [教材要点] 要点一排列数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有________的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号________表示． 状元随笔“排列数”与“排列”的区别 “排列数”是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数”，它是一个正整数；“排列”是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列”，它是指具体的排法． 要点二排列数公式 A m n＝________________________＝________(m≤n). 状元随笔(1)排列的定义中包含两个基本内容：一是取出元素，二是按一定顺序排列． (2)一个排列就是完成一件事情的一种方法，不同的排列就是完成一件事情的不同方法． (3)两个排列相同，需要满足两个条件：一是元素完全相同，二是元素的排列顺序相同． (4)A m n表示一个数，且A m n∈N*. (5)A n n＝n！，0！＝1. [基础自测] 1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)由于排列数的阶乘式是一个分式，所以其化简的结果不一定是整数．() (2)A25表示从5个不同元素中取出(5－2)个元素的所有不同的排列的个数．() (3)若A m n＝10×9×8×7×6，则n＝10，m＝6.() (4)n！＝1×2×3×…×(n－1)×n.() 2.A26＝() A．30 B．24 C．20 D．15 3.若A32n＝10A3n，则n＝() A．6 B．7 C．8 D．9 4.3名男生和3名女生排成一排，男生不相邻的排法有________种． 题型一排列数的计算——自主完成 1.18×17×16×…×9×8＝() A．A918B．A1018 C．A1118D．A1218 2.已知A2n －A2n＝10，则n的值为() ＋1 A．4 B．5

新教材人教版高中数学选择性必修三教案

6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理(1) 本节课选自《2019人教A 版高中数学选择性必修第三册》，第六章《计数原理》，本节课主要学习分类加法计数原理与分步乘法计数原理。 两个计数原理，其核心是准确理解两个原理，弄清它们的区别。理解它关键就是要根据实例概括两个计数原理。学生对计数问题已经有一些经验和技巧，本节课的内容分类计数原理和分步计数原理就是在此基础上的发展。由于排列、组合及二项式定理的研究都是以两个计数原理为基础,所以在本学科计数问题中有重要的地位，是本学科的核心内容。教学的重点是两个原理的理解与应用，解决重点的关键是从单一到综合，恰当安排实例。 重点： 分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其简单应用 难点： 准确应用两个计数原理解决问题 多媒体

问题1. 用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？ 因为英文字母共有 问题2.你能说说这个问题的特征吗？ 上述计数过程的基本环节是：

解：方法一：解决计数问题可以用“树状图”列举出来 方法二：由于6个英文字母中的任意一个都能与 一个组成一个号码，而且它们互不相同，因此共有

N＝m 1×m 2 ×m 3 如果完成一件事需要有n个步骤,做每一步中都有若干种不同方法,那么应当如何计数呢? 如果完成一件事需要n个步骤，做第1步有m 1 种不同的方法，做第 2步有m 2种不同的方法，…,做第n步有m n 种不同的方法,那么完成 这件事的方法总数如何计算？分步乘法计数原理一般结论： N＝m 1×m 2 ×…×m n 例3.书架上第1层放有4本不同的计算机书,第2层放有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的体育杂志. (1)从书架上任取1本书,有多少种不同的取法? (2)从书架的第1、2、3层各取1本书,有多少种不同取法? (3)从书架上取2本不同学科的书,有多少种不同的取法? 解：（1）根据分类加法计数原理可得：N＝4＋3+2＝9； （2）根据分步乘法计数原理可得：N＝4 ×3×2＝24； （3）需先分类再分步. 第一类：从一、二层各取一本，有4×3=12种方法； 第二类：从一、三层各取一本,有4×2=8种方法； 第三类：从二、三层各取一本,有3×2=6种方法； 根据两个基本原理，不同的取法总数是 N=4×3+4×2+3×2=26 答: 从书架上取2本不同种的书,有26种不同的取法. 应用分步乘法计数原理解题的一般思路