第四章 齿轮机构
第四章齿轮机构
学时8
知识要点：本章重点讲解，内容较多，包含齿轮传动类型、渐开线性质、直齿参数计算、根切现象、变位齿轮、轮系计算，了解斜齿轮、蜗杆传动
§1概述
齿轮传动是精密机械中应用最广泛的传动机构。主要用途是：
1）传递任意两轴间的运动和转矩。
2）变换运动的方式：转动与移动相互转换。
3）变速——实现低速的相互转换。在机器中通常是用来实现减速，而在仪器仪表中，还常用于增速，以实现传动放大作用。
优点：传动比恒定，精度小；尺寸小，结构紧凑；效率高，寿命长。
缺点：制造和安装的精度要求高，费用比较昂贵。
§2齿廓啮合的基本定律
齿轮传动是主动轮轮齿的齿廓，依次推动从动轮轮齿的齿廓实现的。其基本要求是瞬时传动比应保持恒定。否则，当主动轮以等角速转动时，从动轮的角速度将发生变化，产生惯性力，从而影响齿轮的强度；同时还引起振动，影响齿轮的传动精度。
如图8-2的一对相互啮合的齿轮，主动轮1
以角速度ω1顺时针转动，从动轮2以角速度ω2
逆时针回转。齿廓C1、C2在任意点K接触，在
此点的线速度分别为υK1、υK2。υK2K1为两齿
廓接触点间的相对速度。
过K点作两齿廓C1、C2的公法线NN，两
齿廓连续接触传动，则υK1、υK2在NN上分速
度相等，否则两齿廓将会压坏或分离，即
1122
111
222
K K K K
K
K
COS COS
O K
O K
υαυα
υω
υω
=
=?
=?
所以122
12
211
K
K
O KCOS
i
O KCOS
ωα
ωα
==
过O1、O2分别作公法线NN的垂线，得交点
图8-1齿廓啮合基本定理
N 1、N 2，则2222K O KCOS O N α=，O1K 1111K O KCOS O N α=。
而△O 1PN 1∽△O 2PN 2，最后可得
1222122111O N O P i O N O P
ωω=== 要使i 12为定值，则O 2P/O 1P 为常数。而O 1O 2
为定长，故P 点应为定点，即节点P 。
齿轮啮合基本定律：不论两齿轮在任何位置接触，过接触点（啮合点）的公法线必须与两齿轮的连心线交于一定点P 。
从理论上讲，用作共轭齿廓曲线很多，但从设计、制造、安装、互换性、使用上考虑，常用的有渐开线、摆线、修正摆线等。
目前，绝大多数用渐开线齿廓。
§3渐开线齿廓曲线
一、渐开线的形成及其性质
（一）渐开线的形成
如图8-3所示，当一直线NK
上任一点K 的轨迹AK 的基圆，其半径用r b 表示；直线角θk 称为渐开线AK 段的展角。
（二）渐开线的性质
1 N A NK =
2圆的切点N 转动，故发生线上K K 点速度方向应沿渐开线在K 相垂由直，此可知，发生线NK 所以渐开线的法线必与基圆相切。
3）发生线与基圆的切点N 是渐开线上K 点的曲率中心，而线段NK 为其曲率半径。渐
开线在基圆上A 点处的曲率半径等于零。
4）渐开线的形状取决于基圆的大小。如图8-4所示，基圆愈小，渐开线愈弯曲；基圆
愈大，渐开线愈平直，齿条的齿廓就是这种直线齿廓。
5）因渐开线是从基圆开始向外展开，故基圆以内无渐开线。
二、渐开线方程式
如图8-3所示，若以OA 为极坐标轴，则渐开线上任意点K 的坐标可由向径r k 和极
角（展角）θk 来表示。又当以此渐开线作为齿轮的齿廓并且与其共轭齿廓在K 点啮合时，则此齿廓在K 点所受正压力的方向（即齿廓曲线在该点的法线）与K 点速度方向线之间的夹角，称为渐开线在K 点的压力角，用αk 表示。
由ΔONK 可知： r k =r b /cos αk θk =tan αk -αk
由上式可知，展角θk 是随压力角αk 的大小而变化的。只要知道了渐开线上各点的压
力角αk ，该点的展角θk 就可以用上式求出。所以，称展角θk 为压力角αk 的渐开线函数，工程上常用inv αk 表示θk ，即
θk =inv αk =tan αk -αk
综上所述，可得渐开线的极坐标方程式为
r k =r b /cos αk θk =inv αk =tan αk -αk
不同压力角的渐开线函数可查表。
三、渐开线齿廓满足啮合基本定律的证明
如图8-5，C 1、C 2为一对互相啮合齿轮渐开线
齿廓，基圆半径分别为r b1、r b2。当在任一点K 啮
合时，过K 点作公法线N 1N 2，由渐开线的性质可
知：此公法线必同时与两齿廓的基圆相切，即N 1N 2
为两轮基圆的内公切线，并与连心线O 1O 2相交于
P 点。
由于基圆的大小和位置是不变的，所以无论这
两个齿轮在任何位置啮合，如K ‘点，则过K ’点作
两齿廓的公法线，都将于N 1N 2重合，因两基圆只
有一条内公切线。说明N 1N 2是一条定直线，故与
连心线O 1O 2的交点P 必为一定点，符合轮齿啮合
基本定律，其瞬时传动比为一常数。
1222122111O N O P i O N O P
ωω====常数。 以O 1、O 2为圆心，P 点为交点的两圆称为 节圆。
§4渐开线齿轮各部分的名称、符号和几何尺寸的计算
一、 齿轮各部分名称和符号
图8-6a 所示为直齿圆柱外齿轮的一部分，其各部分的名称和符号如下：
顶齿圆：过所有顶齿端的圆
称为顶齿圆，半径用r a 表示，直
径用d a 表示。
齿根圆：过所有齿槽底的圆
称为齿根圆，半径用r f 表示，直
径用d f 表示。
齿槽宽：相邻两齿间的空间称为齿槽，沿任意圆周所量得的齿槽的弧线长度称为该圆周上的齿槽宽，用e k表示。
齿厚：沿任意圆周所量得的轮齿的弧线长度称为该圆周上的齿厚，用s k表示。
齿距：沿任意圆周所量得的相邻两齿上对应点之间的弧长，称为该圆上的齿距用p k表示。同一圆周内p k = s k + e k图8-2齿轮各部分名称和符号
分度圆：为了作为计算齿轮各部分尺寸的基准，在齿顶圆与齿根圆之间规定一直径为d （半径为r）的圆，并把这个圆称为齿轮的分度园。分度圆上的齿厚、齿槽宽和齿距分别用s、e和p表示，而且p=s+e。标准齿轮s=e。
模数：分度圆直径显然与齿距p和齿数z有关。且有d=z p/π
令p/π=m，并把这个比值叫做模数，用m表示，单位为mm。
于是得 d=mz（分度圆直径）
为便于计算、制造、检验和互换使用，模数已标准化（见表8-1）
表8-1 标准模数系列
2.选用模数时应优先采用第一系列，括号内的模数尽可能不用。
分度圆压力角：cosαk= r b/r k
由上式可见，对于同一齿廓上，r k不同αk亦不同，即渐开线齿廓在不同的圆周上有不同的压力角。
通常所说的齿轮压力角是指分度圆上的压力角，用α表示，于是有
cosα＝r b/r或r b＝rcosα
将分度圆上的压力角规定为标准值，一般取α=20。（或15。）
至此，可以给分度圆下一个完整的定义：
分度圆就是齿轮上具有标准模数和标准压力角的圆。
齿顶高：轮齿在分度圆和齿顶圆之间的径向高度，用h a表示。
h a=h a*m
齿根高：轮齿在分度圆和齿根圆之间的径向高度，用h f表示。
h f=（h a*+C*）m
式中h a*为齿顶高系数；
C*为顶隙系数。
当模数m≥1时，h a*=1，C*=0.25
当模数m<1时，h a*=1，C*=0.35
齿宽：轮齿在齿轮轴向的宽度，用b表示。
二、标准直齿圆柱齿轮几何尺寸的计算（见表8-2）
（一）齿轮
第四章 齿轮机构
第四章齿轮机构 学时8 知识要点：本章重点讲解，内容较多，包含齿轮传动类型、渐开线性质、直齿参数计算、根切现象、变位齿轮、轮系计算，了解斜齿轮、蜗杆传动 §1概述 齿轮传动是精密机械中应用最广泛的传动机构。主要用途是： 1）传递任意两轴间的运动和转矩。 2）变换运动的方式：转动与移动相互转换。 3）变速——实现低速的相互转换。在机器中通常是用来实现减速，而在仪器仪表中，还常用于增速，以实现传动放大作用。 优点：传动比恒定，精度小；尺寸小，结构紧凑；效率高，寿命长。 缺点：制造和安装的精度要求高，费用比较昂贵。 §2齿廓啮合的基本定律 齿轮传动是主动轮轮齿的齿廓，依次推动从动轮轮齿的齿廓实现的。其基本要求是瞬时传动比应保持恒定。否则，当主动轮以等角速转动时，从动轮的角速度将发生变化，产生惯性力，从而影响齿轮的强度；同时还引起振动，影响齿轮的传动精度。 如图8-2的一对相互啮合的齿轮，主动轮1 以角速度ω1顺时针转动，从动轮2以角速度ω2 逆时针回转。齿廓C1、C2在任意点K接触，在 此点的线速度分别为υK1、υK2。υK2K1为两齿 廓接触点间的相对速度。 过K点作两齿廓C1、C2的公法线NN，两 齿廓连续接触传动，则υK1、υK2在NN上分速 度相等，否则两齿廓将会压坏或分离，即 1122 111 222 K K K K K K COS COS O K O K υαυα υω υω = =? =? 所以122 12 211 K K O KCOS i O KCOS ωα ωα == 过O1、O2分别作公法线NN的垂线，得交点
图8-1齿廓啮合基本定理 N 1、N 2，则2222K O KCOS O N α=，O1K 1111K O KCOS O N α=。 而△O 1PN 1∽△O 2PN 2，最后可得 1222122111O N O P i O N O P ωω=== 要使i 12为定值，则O 2P/O 1P 为常数。而O 1O 2 为定长，故P 点应为定点，即节点P 。 齿轮啮合基本定律：不论两齿轮在任何位置接触，过接触点（啮合点）的公法线必须与两齿轮的连心线交于一定点P 。 从理论上讲，用作共轭齿廓曲线很多，但从设计、制造、安装、互换性、使用上考虑，常用的有渐开线、摆线、修正摆线等。 目前，绝大多数用渐开线齿廓。 §3渐开线齿廓曲线 一、渐开线的形成及其性质 （一）渐开线的形成 如图8-3所示，当一直线NK 上任一点K 的轨迹AK 的基圆，其半径用r b 表示；直线角θk 称为渐开线AK 段的展角。 （二）渐开线的性质 1 N A NK = 2圆的切点N 转动，故发生线上K K 点速度方向应沿渐开线在K 相垂由直，此可知，发生线NK 所以渐开线的法线必与基圆相切。 3）发生线与基圆的切点N 是渐开线上K 点的曲率中心，而线段NK 为其曲率半径。渐 开线在基圆上A 点处的曲率半径等于零。 4）渐开线的形状取决于基圆的大小。如图8-4所示，基圆愈小，渐开线愈弯曲；基圆 愈大，渐开线愈平直，齿条的齿廓就是这种直线齿廓。
第4章齿轮传动—答案
课程名：机械设计基础 （第四章） 题型 计算题、作图题 考核点：齿轮机构的尺寸计算和齿轮啮合的特性 1. 已知一对外啮合正常齿制标准直齿圆柱齿轮m=3mm ，z1=19，z2=41，试计算这 对齿轮的分度圆直径、中心距。(6分) 解：两齿轮分度圆直径：d1=mz1=3×19=57mm d2=mz2=3×41=123mm 中心距：a=(d1+d2)/2=(57+123)/2=90mm 2.已知一对外啮合标准直齿圆柱齿轮的标准中心距a=160mm ，齿数z1=20,z2=60，求模数和分度圆直径。(6分) 解：由于a=m(z1+z2)/2 故模数m=2a/(z1+z2)=(2×160)/(20+60)=4mm 分度圆直径：d1=mz1＝4×20＝80mm d2=mz2=4×60=240mm 3.已知一正常齿制标准直齿圆柱齿轮的齿数z=25，齿顶圆直径Da=135mm ，求该齿轮的模数。（6分） 解：因正常齿制的齿顶高系数为1，Da=m(z+2)=135mm 该齿轮的模数 m=135/(z+2)=135/(25+2)=5mm *4 已知一正常齿制标准直齿圆柱齿轮α=20°，m=10mm,z=40，试分别求出分度圆、齿顶圆上渐开线齿廓的曲率半径和压力角。(10分) 解：1）分度圆直径：D=mz=10×40=400mm 压力角：α＝20° 分度圆上渐开线齿廓的曲率半径：mm d 4.6820sin 2 400sin 2=??==αρ 2）齿顶圆直径：Da=m(z+2)=10×(40+2)=420mm 基圆直径：Db=Dcos α=400×cos20=375.877mm 齿顶圆压力角：?===--5.26420 877.375cos cos 11 Da Db a α 齿顶圆上渐开线齿廓的曲率半径:mm Da a a 7.935.26sin 2420sin 2=?==αρ
第四章 齿 轮 机 构答案
第四章 齿 轮 机 构 4-1有一对使用日久磨损严重的标准齿轮需要修复。按磨损情况，拟将小齿轮报废，修复大齿轮，修复后的大齿轮的齿顶圆要减小8mm 。已知Z 1=24，Z 2=96，m=4mm ，α=20°，ha *=1及c *=0.25。试求这两个齿轮的几何尺寸。 解：根据题意要求中心距不变，修复大齿轮，即大齿轮负变位，小齿轮正变位。 根据大齿轮的磨损情况，通过对大齿轮进行负变位，把磨损部分切掉。 原齿轮2的齿顶圆直径为：mz 2+2h a *m=4×96+2×1×4=392 现齿轮2的齿顶圆直径为：d a2=392-8=384 齿轮负变位后：d a2=mz 2+2(h a *+x 2)m 即：114 29643842* 222-=-??-=--= a a h m mz d x 为了保持中心距不变，可对新设计的小齿轮进行正变位，x 1=-x 2=1 几何尺寸计算如下： 分度圆直径：d 1=mz 1=4×24=96mm d 2=mz 2=4×96=384mm 齿顶圆直径：d a1=mz 1+2(h a *+x 1)m=4×24+2×(1+1)×4=112mm d a2=mz 2+2(h a *+x 2)m=4×96+2×(1-1)×4=384mm 齿根圆直径：d f1=mz 1-2(h a *+c *-x 1)m=4×24-2×(1+0.25-1)×4=94mm d f2=mz 2-2(h a *+c *-x 2)m=4×96-2×(1+0.25+1)×4=366mm 4-2 已知一对外啮合变位齿轮的齿数Z 1=10，Z 2=12，ha *=1，C *=0.25，α=20°，m=10mm ，求相应的最小变位系数，计算两轮的齿顶圆直径d a 。 （inv 26.985°=0.038264，inv20°=0.014904） 解：因为两齿轮的齿数都小于不产生根切的最小齿数（z min =17），故应采用正变位，最小变位系数为 x 1=(17-z 1)/17=(17-10)/17=0.412 x 2=(17-z 2)/17=(17-12)/17=0.294 038264.02012 1020)294.0412.0(2tan )(22121=?++? +=+++= 'inv tg inv z z x x inv ααα 得：?='985.26α ααcos cos a a ='' 其中a=m(z 1+z 2)/2=10(10+12)/2=110 得：995.115985.26cos 20cos 110cos cos =? ? ?='='ααa a 中心距变动系数 5995.010110 995.115=-=-'=m a a y 齿高变动系数 △y=x 1+x 2-y=0.412+0.294-0.5995=0.1065
第4章 齿轮机构
第4章齿轮机构 4.4 课后习题 4-1 已知一对外啮合正常齿制标准直齿圆柱齿轮，，，试计算这对齿轮的分圆直径、齿顶高、齿根高、顶隙、中心距、齿顶圆直径、齿根圆直径、基圆直径、齿距、齿厚和齿槽宽. 4-2 已知一对外啮合标准直齿圆柱齿轮的标准中心距，齿数，，求模数和分度圆直径。 4-4 已知一正常齿制标准直齿圆柱齿轮，，，试分别求出分度圆、基圆、齿顶圆上渐开线齿廓的曲率半径和压力角。 4-5 试比较正常齿制渐开线标准直齿圆柱齿轮的基圆和齿根圆，在什么条件下基圆大于齿根圆？什么 条件下基圆小于齿根圆？ 4-6 已知一对内啮合正常齿制标准直齿圆柱齿轮，，，试参照教材图 4-1b，计算该对齿轮的中心距和内齿轮的分度圆直径、齿顶圆直径和齿根圆直径。 4-7 根据教材图4-15b证明：正常齿制标准渐开线直齿圆柱齿轮用齿条刀具加工时，不产生根切的最 小齿数。并求短齿制标准渐开线直齿圆柱齿轮用齿条刀具加工时的最少齿数。 4-8 如图所示，用卡尺跨三个齿测量渐开线直齿圆柱齿轮的公法线长度，试证明：只要保证卡脚与渐 开线相切，无论切于何处，测量结果均相同，其值为（注：和分别表示基圆齿距 和基圆齿厚） 4-9 试根据渐开线特性说明一对模数相等，压力角相等，但齿数不等的渐开线标准直齿圆柱齿轮，其 分度圆齿厚、齿顶圆齿厚和齿根圆齿厚是否相等，哪一个较大。 4-10 试与标准齿轮比较，说明正变位直齿圆柱齿轮的下列参数：、、、、、、 、、、，哪些不变，哪些起了变化，变大还是变小。 4-11 已知一对正常齿渐开线标准斜齿轮柱齿轮，，，，试计算其螺旋角、端面模数、端面压力角、当量齿数、分度圆直径、齿顶圆直径和齿根圆直径。 4-12 试设计一对外啮合圆柱齿轮，已知，，，实际中心距为，问 （1）该对齿轮能否采用标准直齿圆柱齿轮传动？ （2）若采用标准斜齿圆柱齿轮传动来满足中心距要求，其分度圆螺旋角、分度圆直径、和 节圆直径、各为若干？ 4-13 试求和的正常齿渐开线标准斜齿圆柱齿轮的不根切最小齿数。 4-14 已知一对等顶隙收缩齿渐开线标准直齿圆锥齿轮的，，，