第4章 齿轮机构

第4章齿轮机构

4.4 课后习题

4-1 已知一对外啮合正常齿制标准直齿圆柱齿轮，，，试计算这对齿轮的分圆直径、齿顶高、齿根高、顶隙、中心距、齿顶圆直径、齿根圆直径、基圆直径、齿距、齿厚和齿槽宽.

4-2 已知一对外啮合标准直齿圆柱齿轮的标准中心距，齿数，，求模数和分度圆直径。

4-4 已知一正常齿制标准直齿圆柱齿轮，，，试分别求出分度圆、基圆、齿顶圆上渐开线齿廓的曲率半径和压力角。

4-5 试比较正常齿制渐开线标准直齿圆柱齿轮的基圆和齿根圆，在什么条件下基圆大于齿根圆？什么

条件下基圆小于齿根圆？

4-6 已知一对内啮合正常齿制标准直齿圆柱齿轮，，，试参照教材图

4-1b，计算该对齿轮的中心距和内齿轮的分度圆直径、齿顶圆直径和齿根圆直径。

4-7 根据教材图4-15b证明：正常齿制标准渐开线直齿圆柱齿轮用齿条刀具加工时，不产生根切的最

小齿数。并求短齿制标准渐开线直齿圆柱齿轮用齿条刀具加工时的最少齿数。

4-8 如图所示，用卡尺跨三个齿测量渐开线直齿圆柱齿轮的公法线长度，试证明：只要保证卡脚与渐

开线相切，无论切于何处，测量结果均相同，其值为（注：和分别表示基圆齿距

和基圆齿厚）

4-9 试根据渐开线特性说明一对模数相等，压力角相等，但齿数不等的渐开线标准直齿圆柱齿轮，其

分度圆齿厚、齿顶圆齿厚和齿根圆齿厚是否相等，哪一个较大。

4-10 试与标准齿轮比较，说明正变位直齿圆柱齿轮的下列参数：、、、、、、

、、、，哪些不变，哪些起了变化，变大还是变小。

4-11 已知一对正常齿渐开线标准斜齿轮柱齿轮，，，，试计算其螺旋角、端面模数、端面压力角、当量齿数、分度圆直径、齿顶圆直径和齿根圆直径。

4-12 试设计一对外啮合圆柱齿轮，已知，，，实际中心距为，问

（1）该对齿轮能否采用标准直齿圆柱齿轮传动？

（2）若采用标准斜齿圆柱齿轮传动来满足中心距要求，其分度圆螺旋角、分度圆直径、和

节圆直径、各为若干？

4-13 试求和的正常齿渐开线标准斜齿圆柱齿轮的不根切最小齿数。

4-14 已知一对等顶隙收缩齿渐开线标准直齿圆锥齿轮的，，，

，

试求分度圆锥角、分度圆直径、齿顶圆直径、齿根圆直径、外锥距、齿顶角、齿根角、顶锥角、根锥角和当量齿数。

4-15 试述一对直齿圆柱齿轮、一对斜齿圆柱齿轮、一对直齿圆锥齿轮的正确啮合条件。

4.5课后习题详解4-1解分度圆直径

齿顶高

齿根高

顶隙

中心距

齿顶圆直径

齿根圆直径

基圆直径

齿距

齿厚、齿槽宽

4-2解由可得模数

分度圆直径

4-3解由得

4-4解分度圆半径

分度圆上渐开线齿廓的曲率半径

分度圆上渐开线齿廓的压力角

基圆半径

基圆上渐开线齿廓的曲率半径为0；

压力角为。

齿顶圆半径

齿顶圆上渐开线齿廓的曲率半径

齿顶圆上渐开线齿廓的压力角

4-5解正常齿制渐开线标准直齿圆柱齿轮的齿根圆直径：

基圆直径

假定则解得

故当齿数时，正常齿制渐开线标准直齿圆柱齿轮的基圆大于齿根圆；齿数，基圆小于齿根圆。

4-6解中心距

内齿轮分度圆直径

内齿轮齿顶圆直径

内齿轮齿根圆直径

4-7 证明用齿条刀具加工标准渐开线直齿圆柱齿轮，不发生根切的临界位置是极限点正好在刀具

的顶线上。此时有关系：

正常齿制标准齿轮、，代入上式

短齿制标准齿轮、，代入上式

图 4.7 题4-7解图

4-8证明如图所示，、两点为卡脚与渐开线齿廓的切点，则线段即为渐开线的法线。根据渐开线的特性：渐开线的法线必与基圆相切，切点为。

再根据渐开线的特性：发生线沿基圆滚过的长度，等于基圆上被滚过的弧长，可知：

AC

对于任一渐开线齿轮，基圆齿厚与基圆齿距均为定值，卡尺的位置不影响测量结果。

图 4.8 题4-8图图4.9 题4-8解图

4-9解模数相等、压力角相等的两个齿轮，分度圆齿厚相等。但是齿数多的齿轮分度圆直径大，所以基圆直径就大。根据渐开线的性质，渐开线的形状取决于基圆的大小，基圆小,则渐开线曲率大,基圆大，则渐开线越趋于平直。因此，齿数多的齿轮与齿数少的齿轮相比，齿顶圆齿厚和齿根圆齿

厚均为大值。

4-10解切制变位齿轮与切制标准齿轮用同一把刀具，只是刀具的位置不同。因此，它们的模数、压

力角、齿距均分别与刀具相同，从而变位齿轮与标准齿轮的分度圆直径和基圆直径也相同。故参数、

、、不变。

变位齿轮分度圆不变，但正变位齿轮的齿顶圆和齿根圆增大，且齿厚增大、齿槽宽变窄。因此、

、变大，变小。

啮合角与节圆直径是一对齿轮啮合传动的范畴。

4-11解因

螺旋角

端面模数

端面压力角

当量齿数

分度圆直径

齿顶圆直径

齿根圆直径

4-12解（1）若采用标准直齿圆柱齿轮，则标准中心距应

说明采用标准直齿圆柱齿轮传动时，实际中心距大于标准中心距，齿轮传动有齿侧间隙，传动不连续、传动精度低，产生振动和噪声。

（2）采用标准斜齿圆柱齿轮传动时，因

螺旋角

分度圆直径

节圆与分度圆重合，

4-13解

4-14解分度圆锥角

分度圆直径

齿顶圆直径

齿根圆直径

外锥距

齿顶角、齿根角

顶锥角

根锥角

当量齿数

4-15答：一对直齿圆柱齿轮正确啮合的条件是：两齿轮的模数和压力角必须分别相等，即、。

一对斜齿圆柱齿轮正确啮合的条件是：两齿轮的模数和压力角分别相等，螺旋角大小相等、方向

相反（外啮合），即、、。

一对直齿圆锥齿轮正确啮合的条件是：两齿轮的大端模数和压力角分别相等，即、。

第四章 齿轮机构

第四章齿轮机构 学时8 知识要点：本章重点讲解，内容较多，包含齿轮传动类型、渐开线性质、直齿参数计算、根切现象、变位齿轮、轮系计算，了解斜齿轮、蜗杆传动 §1概述 齿轮传动是精密机械中应用最广泛的传动机构。主要用途是： 1）传递任意两轴间的运动和转矩。 2）变换运动的方式：转动与移动相互转换。 3）变速——实现低速的相互转换。在机器中通常是用来实现减速，而在仪器仪表中，还常用于增速，以实现传动放大作用。 优点：传动比恒定，精度小；尺寸小，结构紧凑；效率高，寿命长。 缺点：制造和安装的精度要求高，费用比较昂贵。 §2齿廓啮合的基本定律 齿轮传动是主动轮轮齿的齿廓，依次推动从动轮轮齿的齿廓实现的。其基本要求是瞬时传动比应保持恒定。否则，当主动轮以等角速转动时，从动轮的角速度将发生变化，产生惯性力，从而影响齿轮的强度；同时还引起振动，影响齿轮的传动精度。 如图8-2的一对相互啮合的齿轮，主动轮1 以角速度ω1顺时针转动，从动轮2以角速度ω2 逆时针回转。齿廓C1、C2在任意点K接触，在 此点的线速度分别为υK1、υK2。υK2K1为两齿 廓接触点间的相对速度。 过K点作两齿廓C1、C2的公法线NN，两 齿廓连续接触传动，则υK1、υK2在NN上分速 度相等，否则两齿廓将会压坏或分离，即 1122 111 222 K K K K K K COS COS O K O K υαυα υω υω = =? =? 所以122 12 211 K K O KCOS i O KCOS ωα ωα == 过O1、O2分别作公法线NN的垂线，得交点

图8-1齿廓啮合基本定理 N 1、N 2，则2222K O KCOS O N α=，O1K 1111K O KCOS O N α=。 而△O 1PN 1∽△O 2PN 2，最后可得 1222122111O N O P i O N O P ωω=== 要使i 12为定值，则O 2P/O 1P 为常数。而O 1O 2 为定长，故P 点应为定点，即节点P 。 齿轮啮合基本定律：不论两齿轮在任何位置接触，过接触点（啮合点）的公法线必须与两齿轮的连心线交于一定点P 。 从理论上讲，用作共轭齿廓曲线很多，但从设计、制造、安装、互换性、使用上考虑，常用的有渐开线、摆线、修正摆线等。 目前，绝大多数用渐开线齿廓。 §3渐开线齿廓曲线 一、渐开线的形成及其性质 （一）渐开线的形成 如图8-3所示，当一直线NK 上任一点K 的轨迹AK 的基圆，其半径用r b 表示；直线角θk 称为渐开线AK 段的展角。 （二）渐开线的性质 1 N A NK = 2圆的切点N 转动，故发生线上K K 点速度方向应沿渐开线在K 相垂由直，此可知，发生线NK 所以渐开线的法线必与基圆相切。 3）发生线与基圆的切点N 是渐开线上K 点的曲率中心，而线段NK 为其曲率半径。渐 开线在基圆上A 点处的曲率半径等于零。 4）渐开线的形状取决于基圆的大小。如图8-4所示，基圆愈小，渐开线愈弯曲；基圆 愈大，渐开线愈平直，齿条的齿廓就是这种直线齿廓。

第4章齿轮传动—答案

课程名：机械设计基础 （第四章） 题型 计算题、作图题 考核点：齿轮机构的尺寸计算和齿轮啮合的特性 1. 已知一对外啮合正常齿制标准直齿圆柱齿轮m=3mm ，z1=19，z2=41，试计算这 对齿轮的分度圆直径、中心距。(6分) 解：两齿轮分度圆直径：d1=mz1=3×19=57mm d2=mz2=3×41=123mm 中心距：a=(d1+d2)/2=(57+123)/2=90mm 2.已知一对外啮合标准直齿圆柱齿轮的标准中心距a=160mm ，齿数z1=20,z2=60，求模数和分度圆直径。(6分) 解：由于a=m(z1+z2)/2 故模数m=2a/(z1+z2)=(2×160)/(20+60)=4mm 分度圆直径：d1=mz1＝4×20＝80mm d2=mz2=4×60=240mm 3.已知一正常齿制标准直齿圆柱齿轮的齿数z=25，齿顶圆直径Da=135mm ，求该齿轮的模数。（6分） 解：因正常齿制的齿顶高系数为1，Da=m(z+2)=135mm 该齿轮的模数 m=135/(z+2)=135/(25+2)=5mm *4 已知一正常齿制标准直齿圆柱齿轮α=20°，m=10mm,z=40，试分别求出分度圆、齿顶圆上渐开线齿廓的曲率半径和压力角。(10分) 解：1）分度圆直径：D=mz=10×40=400mm 压力角：α＝20° 分度圆上渐开线齿廓的曲率半径：mm d 4.6820sin 2 400sin 2=??==αρ 2）齿顶圆直径：Da=m(z+2)=10×(40+2)=420mm 基圆直径：Db=Dcos α=400×cos20=375.877mm 齿顶圆压力角：?===--5.26420 877.375cos cos 11 Da Db a α 齿顶圆上渐开线齿廓的曲率半径:mm Da a a 7.935.26sin 2420sin 2=?==αρ

第四章 齿 轮 机 构答案

第四章 齿 轮 机 构 4-1有一对使用日久磨损严重的标准齿轮需要修复。按磨损情况，拟将小齿轮报废，修复大齿轮，修复后的大齿轮的齿顶圆要减小8mm 。已知Z 1=24，Z 2=96，m=4mm ，α=20°，ha *=1及c *=0.25。试求这两个齿轮的几何尺寸。 解：根据题意要求中心距不变，修复大齿轮，即大齿轮负变位，小齿轮正变位。 根据大齿轮的磨损情况，通过对大齿轮进行负变位，把磨损部分切掉。 原齿轮2的齿顶圆直径为：mz 2+2h a *m=4×96+2×1×4=392 现齿轮2的齿顶圆直径为：d a2=392-8=384 齿轮负变位后：d a2=mz 2+2(h a *+x 2)m 即：114 29643842* 222-=-??-=--= a a h m mz d x 为了保持中心距不变，可对新设计的小齿轮进行正变位，x 1=-x 2=1 几何尺寸计算如下： 分度圆直径：d 1=mz 1=4×24=96mm d 2=mz 2=4×96=384mm 齿顶圆直径：d a1=mz 1+2(h a *+x 1)m=4×24+2×(1+1)×4=112mm d a2=mz 2+2(h a *+x 2)m=4×96+2×(1-1)×4=384mm 齿根圆直径：d f1=mz 1-2(h a *+c *-x 1)m=4×24-2×(1+0.25-1)×4=94mm d f2=mz 2-2(h a *+c *-x 2)m=4×96-2×(1+0.25+1)×4=366mm 4-2 已知一对外啮合变位齿轮的齿数Z 1=10，Z 2=12，ha *=1，C *=0.25，α=20°，m=10mm ，求相应的最小变位系数，计算两轮的齿顶圆直径d a 。 （inv 26.985°=0.038264，inv20°=0.014904） 解：因为两齿轮的齿数都小于不产生根切的最小齿数（z min =17），故应采用正变位，最小变位系数为 x 1=(17-z 1)/17=(17-10)/17=0.412 x 2=(17-z 2)/17=(17-12)/17=0.294 038264.02012 1020)294.0412.0(2tan )(22121=?++? +=+++= 'inv tg inv z z x x inv ααα 得：?='985.26α ααcos cos a a ='' 其中a=m(z 1+z 2)/2=10(10+12)/2=110 得：995.115985.26cos 20cos 110cos cos =? ? ?='='ααa a 中心距变动系数 5995.010110 995.115=-=-'=m a a y 齿高变动系数 △y=x 1+x 2-y=0.412+0.294-0.5995=0.1065

第4章 齿轮机构

第4章齿轮机构 4.4 课后习题 4-1 已知一对外啮合正常齿制标准直齿圆柱齿轮，，，试计算这对齿轮的分圆直径、齿顶高、齿根高、顶隙、中心距、齿顶圆直径、齿根圆直径、基圆直径、齿距、齿厚和齿槽宽. 4-2 已知一对外啮合标准直齿圆柱齿轮的标准中心距，齿数，，求模数和分度圆直径。 4-4 已知一正常齿制标准直齿圆柱齿轮，，，试分别求出分度圆、基圆、齿顶圆上渐开线齿廓的曲率半径和压力角。 4-5 试比较正常齿制渐开线标准直齿圆柱齿轮的基圆和齿根圆，在什么条件下基圆大于齿根圆？什么 条件下基圆小于齿根圆？ 4-6 已知一对内啮合正常齿制标准直齿圆柱齿轮，，，试参照教材图 4-1b，计算该对齿轮的中心距和内齿轮的分度圆直径、齿顶圆直径和齿根圆直径。 4-7 根据教材图4-15b证明：正常齿制标准渐开线直齿圆柱齿轮用齿条刀具加工时，不产生根切的最 小齿数。并求短齿制标准渐开线直齿圆柱齿轮用齿条刀具加工时的最少齿数。 4-8 如图所示，用卡尺跨三个齿测量渐开线直齿圆柱齿轮的公法线长度，试证明：只要保证卡脚与渐 开线相切，无论切于何处，测量结果均相同，其值为（注：和分别表示基圆齿距 和基圆齿厚） 4-9 试根据渐开线特性说明一对模数相等，压力角相等，但齿数不等的渐开线标准直齿圆柱齿轮，其 分度圆齿厚、齿顶圆齿厚和齿根圆齿厚是否相等，哪一个较大。 4-10 试与标准齿轮比较，说明正变位直齿圆柱齿轮的下列参数：、、、、、、 、、、，哪些不变，哪些起了变化，变大还是变小。 4-11 已知一对正常齿渐开线标准斜齿轮柱齿轮，，，，试计算其螺旋角、端面模数、端面压力角、当量齿数、分度圆直径、齿顶圆直径和齿根圆直径。 4-12 试设计一对外啮合圆柱齿轮，已知，，，实际中心距为，问 （1）该对齿轮能否采用标准直齿圆柱齿轮传动？ （2）若采用标准斜齿圆柱齿轮传动来满足中心距要求，其分度圆螺旋角、分度圆直径、和 节圆直径、各为若干？ 4-13 试求和的正常齿渐开线标准斜齿圆柱齿轮的不根切最小齿数。 4-14 已知一对等顶隙收缩齿渐开线标准直齿圆锥齿轮的，，，