行列式按行列展开定理

行列式按行列展开定理

一、 余子式的定义：

在n 阶行列式中，把（i.j ）元ij a 所在的第i 行，第j 列去掉之后，留下来的n-1阶行列式称作ij a 的余子式，记作ij M

二、 代数余子式：

在n 阶行列式的ij a 余子式ij M 加上符号(1)

i j +-，称作ij a 的代数

余子式ij A ： (1)i j ij ij A M +=-

三、 引理1：一个n 阶行列式，如果其中的第i 行所有元素除了（i,j ）元ij a 外都为0，则这个行列式等于ij a 与它的代数余子式乘积： i j i j

D a A =? 四、 行列式按行（列）展开法则：

定理3：行列式等于它的任一行（列）的各个元素与其对应的代数余子式的乘积之和：

1122i i i i in in D a A a A a A =?+?+???+?

1122j j j j nj nj D a A a A a A =?+?+???+? （i j ≠）

推论：行列式某一行（列）的元素与对应的另一行（列）元素的代数余子式乘积之和等于0：

1122i j i j in jn D a A a A a A =?+?+???+?

1122i j i j ni nj D a A a A a A =?+?+???+? （i j ≠）

五、 克拉默法则：

如果含有n 个未知数的n 个线性方程组： 11112211n n a x a x a x b ++???+=

21122222n n a x a x a x b ++???+=

31132233n n a x a x a x b ++???+=

…………………………………

…………………………………

…………………………………

1122n n nn n n a x a x a x b ++???+=

其系数行列式不等于0，即：1111......

......0...n

n nn

a a D a a =≠ 那么，方程组有惟一解：

11D x D =,22D x D =,…n N D x D

= 1111,1122,1

1,1............

.......

...j n

j j n n n j nn a b a a b a D a b a a +++=

① 定理4：如果含n 个未知数的n 个线性方程组的系数行列式不等于0，则方程一定有解，且解是惟一的。 ② 定理4'：如果含n 个未知数的n 个线性方程组无解或

者有两个不同的解，则它的系数行列式必然为0 ③ 定理5：上述方程对应的齐次线性方程组：

11112210n n a x a x a x ++???+=

21122220n n a x a x a x ++???+=

31132230n n a x a x a x ++???+=

…………………………………

…………………………………

…………………………………

11220n n nn n a x a x a x ++???+=

120n x x x ==???==一定是它的解，这个解叫做齐次线性方程组的0解，如果是一组不全为0的数是齐次线性方程组的解，叫做齐次线性方程组的非0解，齐次线性方程组一定有0解，但是不一定有非0解。

定理5：如果齐次线性方程组有非0解，则它的系数行列式必然等于0

定理5'：如果齐次线性方程组的系数行列式等于0，则它一定没有非0解

六、 求解行列式的基本方法:

① 利用初等变换

② 利用性质

③特殊规律行列式解法

第2讲行列式按行(列)展开及计算

授课时间 第 周 星期 第 节 课次 2 授课方式 （请打√） 理论课□ 讨论课□ 实验课□ 习题课□ 其他□ 课时 安排 2 授课题目（教学章、节或主题）： 第二讲 行列式按行（列）展开及计算 教学目的、要求（分掌握、熟悉、了解三个层次）： 熟练掌握行列式按行（列）展开；掌握运用行列式的定义与性质计算行列式；熟悉一些典型行列式的计算；熟悉用数学归纳法证明行列式. 教学重点及难点： 重点：行列式按行（列）展开；利用行列式的定义与性质计算行列式 难点：行列式的计算 教 学 基 本 内 容 备注 一、行列式按行（列）展开 引理 一个n 阶行列式，如果其中第i 行所有元素除),(j i 元ij a 外都为零， 那么这行列式等于ij a 与它的代数余子式的乘积. 定理 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即 ) ,2,1(,),2,1(,22112211n j A a A a A a D n i A a A a A a D nj nj j j j j in in i i i i =++==++= （按行（列）展开法则） 推论 行列式的某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即 j i A a A a A a D jn in j i j i ≠++=,2211 或 .,2211j i A a A a A a D nj ni j i j i ≠++= 例1、3 2 3 1 11024315211 14----= D

解 法 1:241227 1 51271031251 13 4 312014 260211 14-=?-=---=----=------= D 解法2：244 8 224 8 1112021 2 3 5 010******** 14-=-= ---=-----= D 例2、设2 1 3 12 1014112 5 1 014---=D ，（1）求41312111A A A A +--；（2）444342412A A A A +-+。 解：（1）041312111=+--A A A A （2）4444444342414443424133422A A A A A A A A A A -=-+-+=+-+ 61 11 13 1 011121 13=--=---= 二、行列式的计算 例3、n n n n n b a a a a b a a a a b a D +++= 2 1 2212 1 1，其中021≠n b b b 解：n n n n n n n b a a a a b a a a a b a a a a D D +++==+ 2 1 2 212112 11 0001＝n n b b b a a a 0 0100100112121---

行列式的性质

行列式的性质 基本性质 性质1 行列式与它的转置行列式相等。 性质2 互换行列式的两行(列)，行列式变号。 推论 如果行列式有两行(列)完全相同，则此行列式为零。 性质3 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k ，等于用数k 乘此行列式。 推论 行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。 性质4 行列式中如果有两行(列)元素成比例，则此行列式等于零。 性质5 若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和，例如第j 列的元素都是两数之和 性质6 把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变。 一般利用行列式的定义计算高阶行列式比较繁琐，下面我们将推导出行列式的一些性质，为行列式的计算做准备. 设 111212122212 n n n n nn a a a a a a D a a a = ， 112111222212n n T n n nn a a a a a a D a a a = 称行列式T D 为D 的转置行列式．T D 可以看成是D 的元素沿着主对角线旋转180所得，亦可看成是将D 的所有行（列）按序写成所有列（行）所得（即所谓行列互换）． 性质1. 1 行列式的值与其转置行列式的值相等，即 111212122212 n n n n nn a a a a a a a a a 112111222212n n n n nn a a a a a a a a a = . 证明 将等式两端的行列式分别记作D 和T D ，对行列式的阶数用数学归纳法. 当2n =时，可以直接计算出T D D =成立，假设结论对小于n 阶的行列式都成立，下面考虑n 阶的情况. 根据定义 1111121211n n D a A a A a A =++ +，

行列式的定义及其性质证明

行列式的定义及其性质证明 摘要:本文给出了与原有行列式定义不同的定义，利用此定义和引理导出定理，进一步导出行列式的性质，给出了行列式性质与以往教材不同的完整证明，形成了有关行列式的新的知识体系，通过定理性质的证明过程，重点在培养同学们的逻辑思维能力、推理能力和创新能力。 关键词:行列式；定义；性质；代数余子式；逆序数 1 基本定理与性质的证明 引理设t为行标排列q1q2…qn与列标排列p1p2…p n的逆序数之和，若行标排列与列标排列同时作相应的对换，则t的奇偶性不变。 证明根据对换定理:一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性。若行标排列与列标排列同时作相应的对换，则行标排列的逆序数与列标排列的逆序数的奇偶性同时改变，因而它们的逆序数之和的奇偶性不变。 定理1 n阶行列式也可定义为 证明由定义1和引理即可证得。 性质1 行列式与它的转置行列式相等(由定理1即可证得)。 (根据性质1知对行成立的性质对列也成立) 性质2 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。 证明利用定理1和代数余子式的定义即可证得。 性质3 如果行列式中有两行(两列)元素对应相等，则此行列式等于零。 证明(利用递推方法来证)设行列式中第k行和第j行的元素对应相等，由性质2可知 又A is=(-1)i+s(s=1，2，…，n)，根据性质2，M i+s又可以展开成n-1项的和，每一项都是一实数与n-1阶行列式的乘积，以此类推，M i+s 总可以展开成一个实数与一个二阶行列式的乘积之和，即 (mi为实数，Di为含有原行列式中k行和j行的二阶行列式)，这个二阶行列式的两行就是原n阶行列式中的k行j行对应的元素，由于这

第三讲 行列式按行按列展开

单位：理学院应用数学物理系计算数学教研室 批准：日期：年月日任课教员：刘静 课程名称：线性代数 章节名称：第一章行列式 课题：第三讲行列式按行按列展开 目的、要求： 1. 行列式的按行按列展开法则； 2. 掌握行列式的计算方法。 难点、重点：行列式按行按列展开法则及其应用。 器材设备：多媒体设备 课前检查

教学内容课堂组织

教学内容： 本讲主要介绍： 1. 行列式的按行（列）展开法则； 2. 掌握行列式的计算方法。 教学方法与思路： 1. 首先介绍余子式和代数余子式的概念； 2. 对于三阶行列式，容易验证： 1112132223212321232122231112 13 32 33 31 33 31 33 31 32 33 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =-+ 可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式的计算。 由此容易想到：一个n 阶行列式是否可以转化为若干个 n －1 阶行列式来计算？ 3. 给出一个特殊的n 阶行列式的计算方法，从而给出一个引理； 4. 进而介绍行列式的按行（列）展开法则。 教学中运用多媒体手段，讲解、板书与教学课件相结合，以讲解为主。 教学步骤： 教学内容、方法、步骤

教学内容课堂组织 1. 介绍余子式和代数余子式的概念； 2. 引理； 3. 行列式的按行（列）展开法则； 4. 应用举例。 5. 小结并布置作业。

212 n n n nn a a a 中仅含下面形式的项 a M =1 0n ij n nj nn a a a a 行依次与第i-1行，第i-2行，……，第21,1,11,,1 (1)i j j i j i n ij nj n j nn a a a M a a a +-----=-

行列式按行列展开定理

行列式按行列展开定理 一、 余子式的定义： 在n 阶行列式中，把（i.j ）元ij a 所在的第i 行，第j 列去掉之后，留下来的n-1阶行列式称作ij a 的余子式，记作ij M 二、 代数余子式： 在n 阶行列式的ij a 余子式ij M 加上符号(1) i j +-，称作ij a 的代数 余子式ij A ： (1)i j ij ij A M +=- 三、 引理1：一个n 阶行列式，如果其中的第i 行所有元素除了（i,j ）元ij a 外都为0，则这个行列式等于ij a 与它的代数余子式乘积： i j i j D a A =? 四、 行列式按行（列）展开法则： 定理3：行列式等于它的任一行（列）的各个元素与其对应的代数余子式的乘积之和： 1122i i i i in in D a A a A a A =?+?+???+? 1122j j j j nj nj D a A a A a A =?+?+???+? （i j ≠） 推论：行列式某一行（列）的元素与对应的另一行（列）元素的代数余子式乘积之和等于0： 1122i j i j in jn D a A a A a A =?+?+???+? 1122i j i j ni nj D a A a A a A =?+?+???+? （i j ≠）

五、 克拉默法则： 如果含有n 个未知数的n 个线性方程组： 11112211n n a x a x a x b ++???+= 21122222n n a x a x a x b ++???+= 31132233n n a x a x a x b ++???+= ………………………………… ………………………………… ………………………………… 1122n n nn n n a x a x a x b ++???+= 其系数行列式不等于0，即：1111...... ......0...n n nn a a D a a =≠ 那么，方程组有惟一解： 11D x D =,22D x D =,…n N D x D = 1111,1122,1 1,1............ ....... ...j n j j n n n j nn a b a a b a D a b a a +++= ① 定理4：如果含n 个未知数的n 个线性方程组的系数行列式不等于0，则方程一定有解，且解是惟一的。 ② 定理4'：如果含n 个未知数的n 个线性方程组无解或

习题1-3 行列式的性质

1、用行列式的性质计算下列行列式： () 134215352152809229092 ； 【分析】可见行列式中1，2两列元素大部分数字是相等的，列差同为1000，易于化为下三角行列式，于是， 【解法一】 3421535215280922909221 c c -34215100028092100012 r r -61230 280921000 下三角6123000。 【解法二】 34215352152809229092 12 r r -6123 6123 2809229092 21 c c -6123 280921000 下三角6123000。 () 2ab ac ae bd cd de bf cf ef ---； 【分析】各行、列都有公因，抽出后再行计算。 【 解 】 ab ac ae bd cd de bf cf ef ---123 a r d r f r ←←← b c e adf b c e b c e ---12 3 b c c c e c ←←←1111 111 1 1 adfbce --- 上三角2(1)2abcdef -?-?4abcdef =。 () 31111111111 1 1 1111 ------； 【分析】将第一行加到以下各行即成为上三角行列式， 【解】 1111111111 1 1 1111 ------213141 r r r r r r +++1111022200220002 上三角3 12 ?8=。 2、把下列行列式化为上三角形行列式，并计算其值：

() 12240 4135 31232 051-----； 【解法一】 224 4 1353 1232 5 1 -----21 c c ?2240 143513230 2 5 1 ------21 r r ?1435 2240 13230 2 5 1 ----- 270=-。 【解法二】 2 240 4 1353 1232 5 1 -----1 2 r ←1120 41352 31232 5 1 -----21 c c ?1120 1435 213230 2 5 1 ------ 上三角221(1)(135)??-?-270=-。 () 21234 234134124123 。 【分析】该行列式属于同行元素之和相等的类型，应将2，3，4列加到第1列： 【解】 1234 234134124123 1234 () c c c c +++10234 103411041210123213141 r r r r r r ---10 234011 3 02 22 111 ------ 3242 2 r r r r -+102 340113004 40 4 --- 上三角2 101(4) ??-160=。 3、设行列式 ij a m =(,1,2,,5)i j =L ，依下列次序对ij a 进行变换后，求其结果： 交换第一行与第五行，再转置，用2乘所有元素，再用(-3)乘以第二列加到第四列，最后用4除第二行各元素。 【解】 ()1交换第一行与第五行，行列式变号，结果为m -； ()2再转置，行列式的值不变，m -；

行列式的展开法则

03. 行列式的展开法则 一、按一行(列)展开法则 定义3.1 (,)i j 元素或(,)i j 位置的余子式ij M 、代数余子式(1)i j ij ij A M +=- 例3.1 3111112121313111112121313||ij a a M a M a M a A a A a A =-+=++. 定理3.1 1)按一行展开法则 1122||(1,2,,)A i i i i in in a A a A a A i n =+++=L L ； 2)按一列展开法则 1122||(1,2,,)A j j j j nj nj a A a A a A j n =+++=L L . 按第一行的展开公式就是n 阶行列式(2)n ≥的降阶定义. 例3.2 计算下列n 阶行列式 1) x y x y y x O O ； 2) 11 11 11 1 21n n ----O O L ； 3)121111 n n n a a x D a x a x ---=-M O O . 解 1)按1c 展开得 原式1111111(1)(1)n n n n n n n xA yA xx y y x y -+-+=+=+-=+-. 2)原式 121 (1) (12)2 n n nn n c c c c n n n A c -++++++++= L L 按展开 . 3)法1 按1r 展开得 法2 在n D 中，元素(21)i a i n ≤≤-的余子式为 1111 1 (1)11i n i i x x M x x x x -----= =---O O O O . 将n D 按1c 展开得 11211211 (1)n i n n n i i n n i D a M a x a x a x a +---==-=++++∑L . 法3 112 1 2121 12121101 ,1,,2 10 i i n n n n n n n n a a x a r xr D i n n a x a x a a x a x a x a --------+-+=-+++-++++M O O L L L 12121n n n n a x a x a x a ---=++++L . () 11111(1)(1)(1)1n n n n n A M ++-=-=--= 法4 按n r 展开得 定理3.2 当i j ≠时，

行列式按行列展开定理讲解学习

行列式按行列展开定 理

行列式按行列展开定理 一、 余子式的定义： 在n 阶行列式中，把（i.j ）元ij a 所在的第i 行，第j 列去掉之后，留下来的n-1阶行列式称作ij a 的余子式，记作ij M 二、 代数余子式： 在n 阶行列式的ij a 余子式ij M 加上符号(1) i j +-，称作ij a 的代数余 子式ij A ： (1)i j ij ij A M +=- 三、 引理1：一个n 阶行列式，如果其中的第i 行所有元素除了（i,j ）元ij a 外都为0，则这个行列式等于ij a 与它的代数余子式乘积： ij ij D a A =? 四、 行列式按行（列）展开法则： 定理3：行列式等于它的任一行（列）的各个元素与其对应的代数余子式的乘积之和： 1122i i i i in in D a A a A a A =?+?+???+? 1122j j j j nj nj D a A a A a A =?+?+???+? （i j ≠） 推论：行列式某一行（列）的元素与对应的另一行（列）元素的代数余子式乘积之和等于0： 1122i j i j in jn D a A a A a A =?+?+???+? 1122i j i j ni nj D a A a A a A =?+?+???+? （i j ≠）

五、 克拉默法则： 如果含有n 个未知数的n 个线性方程组： 11112211n n a x a x a x b ++???+= 21122222n n a x a x a x b ++???+= 31132233n n a x a x a x b ++???+= ………………………………… ………………………………… ………………………………… 1122n n nn n n a x a x a x b ++???+= 其系数行列式不等于0，即：1111...... ......0...n n nn a a D a a =≠ 那么，方程组有惟一解： 11D x D =,22D x D =,…n N D x D = 1111,1122,1 1,1............ ....... ...j n j j n n n j nn a b a a b a D a b a a +++= ① 定理4：如果含n 个未知数的n 个线性方程组的系数 行列式不等于0，则方程一定有解，且解是惟一的。

行列式的性质

教学单元教案设计

教学单元讲稿 一、复习提问与上次课作业典型问题答疑 1. 二、三阶行列式的定义及计算法则 2. n 阶行列式的定义，并讲解P23 T1(1)(2) P23 T2 T3 二、教学单元名称 第三节 行列式的性质 三、课程导入 复习导入 四、分析思路 首先给出对换的概念及对换如何改变排列的奇偶性，再推导出出行列式的6条性质，最后通过讲解几个例题让学生掌握行列式的性 质。 五、讲授内容 第三节 行列式的性质 对换 对换的定义：在排列中,将任意两个元素对调,其余元素不动,这种作出新排列的手续叫做对换． 将相邻两个元素对调,叫做相邻对换． 例：b b b a a a l ΛΛ11 ——b b a b a a l ΛΛ11. 定理1 一个排列中的任意两个元素对换,排列改变奇偶性. 推论

奇排列调成标准排列的对换次数为奇数, 偶排列调成标准排列的对换次数为偶数. 证明 ： 由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的 变化次数,而标准排列是偶排列(逆序数为0),因此知推论成立 定理2 ：n 阶行列式为： .)1(211 21 2322211312 112 1 n p p p t n n n n a a a a a a a a a a a a ΛΛ ΛΛΛΛΛΛ -∑= 其中t 为n p p p Λ21的逆序数. （以4阶行列式为例,对证明过程作以说明） （补充）定理3 n 阶行列式也可定义为 .)1(1 2 121 11 21 2322211312 11n q p q p q p t n n n n a a a a a a a a a a a a ΛΛ ΛΛΛΛΛΛ -∑= 其中n p p p Λ21和 n q q q Λ21是两个n 级排列,t 为行标排列逆序数与列标排列逆序数的和.

行列式的性质

教学单元教案设计 授课周次第2周授课时间计划学时数 2 教学单元1-3行列式的性质 授课方式√理论课□实验（实训）课□上机课□其他 教学目标掌握对换的概念； 掌握n阶行列式的性质； 会利用n阶行列式的性质计算n阶行列式的值； 教学重点 及难点 行列式的性质； 教学方法与手段1.教学方法：讲授与讨论相结合； 2.教学手段：黑板讲解与多媒体演示. 教学过程 1.对换的概念及对换如何改变排列的奇偶性 2. 简单推导行列式的6条性质以及性质的应用 课外安排思考题： 1.把排列54132作一次对换变为24135,问相当于作几次 相邻对换？把排列12345作偶数次对换后得到的新排列是奇排列还是偶排列？ 2.计算： a b a a a b b a a a b a D . 作业题： ?习题二：P23 T1(3) 7(2)(5)

教研室主任审批意见 教学反思 1.通过学习学员掌握了n阶行列式的定义和对换的概念； 2.对利用n阶行列式的定义和对换等方面的应用有待加强.

教学单元讲稿 一、复习提问与上次课作业典型问题答疑 1. 二、三阶行列式的定义及计算法则 2. n 阶行列式的定义，并讲解P23 T1(1)(2) P23 T2 T3 二、教学单元名称 第三节 行列式的性质 三、课程导入 复习导入 四、分析思路 首先给出对换的概念及对换如何改变排列的奇偶性，再推导出出行列式的6条性质，最后通过讲解几个例题让学生掌握行列式的性 质。 五、讲授内容 第三节 行列式的性质 1.3.1对换 对换的定义：在排列中,将任意两个元素对调,其余元素不动,这种作出新排列的手续叫做对换． 将相邻两个元素对调,叫做相邻对换． 例：b b b a a a l 11 ——b b a b a a l 11. 定理1 一个排列中的任意两个元素对换,排列改变奇偶性.

三阶行列式展开

9.4 （2）三阶行列式按一行（或一列）展开 一、教学内容分析 三阶行列式按一行（或一列）展开是三阶行列式计算的另外一种法 则，学习这种法则有助于学生更好地理解二阶行列式、三阶行列式的内在联系，同时这个法则也是较复杂的行列式计算的常用方法，这个法则更是蕴涵了数学问题研究过程中将复杂问题转化为简单问题的研究方法.本节课的教学内容主要围绕代数余子式的符号的确定研究三阶行列式按一行（或一列）展开法则. 二、教学目标设计 ⑴ 掌握余子式、代数余子式的概念； ⑵ 经历实验、分析的数学探究，逐步归纳和掌握代数余子式的符号的确定方法和三阶行列式按一行（或一列）展开方法，体验研究数学的一般方法； ⑶体会用简单（二阶行列式）刻画复杂（三阶行列式）、将复杂问题简单化的数学思想. 三、教学重点及难点 三阶行列式按一行（或一列）展开、代数余子式的符号的确定. 四、教学过程设计 一、情景引入 【实验探究1】 （1）将下列行列式按对角线展开： （2）对比、分析以上几个行列式的展开式，你能将三阶行列式 a1 b1 c1 a2 b2 C2表示成含有几个二阶行列式运算的式子吗？ a3 b3 C3 ［说明］

(i)请学生展开几个行列式的主要目的是：巩固复习前面学习的 知识；同时，有意识地设计这几个行列式的展开，有助于学生发现三 G C 2 C 3 等等. 二、学习新课 1 .知识解析 阶行列式运算的式子，主要有: 请同学生选择其中的一个为例谈谈他们是如何发现这些等式 的？ a i b i a 2 b 2 a 3 b 3 与相应的二阶行列式间的关系. 阶行列式 (2)将三阶行列式 a i b i a 2 b 2 a 3 b 3 式子，结果可能不唯一，可以有 表示成几个含有二阶行列式运算的 a i b i a 2 b 2 a 3 b 3 C i C 2 C a i b 2 C 2 b 3 C 3 b i a 2 C 2 a 3 C 3 C i a 2 b 2 a 3 b 3 在刚才的实验中，将三阶行列式 a i b i C i a 2 b 2 C 2 a 3 b 3 C 3 表示成了含有二个二 a i a 2 a 3 a i a 2 a 3 a i a 2 a 3 b i C i b 2 C 2 b 3 C 3 b i C i b 2 C 2 b 3 C 3 b i C i b 2 C 2 b 3 C 3 b 2 C 2 b i a 2 C 2 a 2 b 2 a i b 3 C 3 a 3 C 3 C i a 3 b 3 b 2 C 2 bi C i b i C i a i b 3 C 3 a 2 a 3 C 3 a 3 b 2 C 2 a 2 C 2 b 2 a i C i b 3 a i C i a 3 C a 3 C 3 a 2 C 2 等等. 事实上，以 ai bi a 2 b 2 a 3 b 3 C i C 2 C a i b 2 C 2 b 3 C 3 bi a 2 C a 3 C 3 C i a 2 a 3 b 2 b 3 为例，先将展 开式 a i bi C i a 2 b 2 C 2 a 3 b 3 C 3 a a b 2C i a 2b i C 3 a 〔b 3C 2 变形为: C i C 2 C b i

行列式按行列展开定理

一、 余子式的定义： 在n 阶行列式中，把（）元ij a 所在的第i 行，第j 列去掉之后，留下来的n-1阶行列式称作ij a 的余子式，记作ij M 二、 代数余子式： 在n 阶行列式的ij a 余子式ij M 加上符号(1) i j +-，称作ij a 的代数 余子式ij A ： (1)i j ij ij A M +=- 三、 引理1：一个n 阶行列式，如果其中的第i 行所有元素除了（i,j ）元ij a 外都为0，则这个行列式等于ij a 与它的代数余子式乘积： ij ij D a A =? 四、 行列式按行（列）展开法则： 定理3：行列式等于它的任一行（列）的各个元素与其对应的代数余子式的乘积之和： 1122i i i i in in D a A a A a A =?+?+???+? 1122j j j j nj nj D a A a A a A =?+?+???+? （i j ≠） 推论：行列式某一行（列）的元素与对应的另一行（列）元素的代数余子式乘积之和等于0： 1122i j i j in jn D a A a A a A =?+?+???+? 1122i j i j ni nj D a A a A a A =?+?+???+? （i j ≠） 五、 克拉默法则： 如果含有n 个未知数的n 个线性方程组： 11112211n n a x a x a x b ++???+=

21122222n n a x a x a x b ++???+= 31132233n n a x a x a x b ++???+= ………………………………… ………………………………… ………………………………… 1122n n nn n n a x a x a x b ++???+= 其系数行列式不等于0，即：1111...... ......0...n n nn a a D a a =≠ 那么，方程组有惟一解： 11D x D =,22D x D =,…n N D x D = 1111,1122,11,1... .... .... ...... .....j n j j n n n j nn a b a a b a D a b a a +++= ① 定理4：如果含n 个未知数的n 个线性方程组的系数行列式不等于0，则方程一定有解，且解是惟一的。 ② 定理4'：如果含n 个未知数的n 个线性方程组无解或者有两个不同的解，则它的系数行列式必然为0 ③ 定理5：上述方程对应的齐次线性方程组： 11112210n n a x a x a x ++???+= 21122220n n a x a x a x ++???+= 31132230n n a x a x a x ++???+= ………………………………… …………………………………

行列式按行(列)展开

第四节 行列式按行(列)展开 分布图示 ★ 引例 ★ 余子式与代数余子式 ★ 例1 ★ 引理 ★ 行列式按行（列）展开 ★ 例2 ★ 例3 ★ 应用按行（列）展开法则计算行列式 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6 ★ 例7 ★ 例8 ★ 拉普拉斯定理 ★ 例9 ★ 例10 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题1-4 内容要点 一、行列式按一行(列)展开 定义1 在n 阶行列式D 中,去掉元素ij a 所在的第i 行和第j 列后,余下的1-n 阶行列式,称为D 中元素ij a 的余子式, 记为ij M , 再记 ij j i ij M A +-=)1( 称ij A 为元素ij a 的代数余子式. 引理 一个n 阶行列式D , 若其中第i 行所有元素除ij a 外都为零，则该行列式等于ij a 与它的代数余子式的乘积，即 ij ij A a D = 定理1 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和, 即 ),,,2,1(2211n i A a A a A a D in in i i i i =+++= 或 ).,,2,1(2211n j A a A a A a D nj nj j j j j =+++= 推论 行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零, 即 ,,02211j i A a A a A a jn in j i j i ≠=+++ 或 .,02211j i A a A a A a nj ni j i j i ≠=+++ 综上所述, 可得到有关代数余子式的一个重要性质:

? ??≠===∑=;,0, ,1j i j i D D A a ij n k kj ki 当当δ 或 ? ??≠===∑=. , 0,,1 j i j i D D A a ij n k jk ik 当当δ 其中，?? ?≠==j i j i ij , 0, 1δ 二、行列式的计算 直接应用按行(列)展开法则计算行列式, 运算量较大, 尤其是高阶行列式. 因此, 计算行列式时，一般可先用行列式的性质将行列式中某一行(列)化为仅含有一个非零元素, 再按此行(列)展开,化为低一阶的行列式, 如此继续下去直到化为三阶或二阶行列式. 例题选讲 例1 设有5阶行列式: 1 5131 31200011231 45201 3101-----=D . (1),111=a 其余子式,1 513 312 001121452 11----= M 其代数余子式 .)1()1(11112111111M M M A =-=-=+ (2),134=a 其余子式1 13 13 2 001520110 134---= M , 其代数余子式 .)1()1(34347344334M M M A -=-=-=+ 例2求下列行列式的值: （1）214 121 312 -- （2）1 20250723 解 (1) 2 13 142131)1(211222 1 4 121 312 -?+-?--?=-- .272856)61(4)32()14(2-=--=--+--+-=

行列式按行列展开

§6 行列式按行（列）展开 一、余子式与代数余子式 定义1.6 在行列式 111111 j n i ij in n nj nn a a a a a a a a a 中划去元素a ij 所在的第i 行与第j 列，剩下的(n -1)2 个元素按原来的顺序构成的n -1级行列式 111,11,111,11,1 1,1 1,1,11,11,11,1 ,1,1 j j n i i j i j i n i i j i j i n n n j n j nn a a a a a a a a a a a a a a a a -+----+-++-+++-+ 称为元素ij a 的余子式，记为ij M .记 (1)i j ij ij A M +=-， 称ij A 为元素ij a 的代数余子式. 由定义可知，ij A 与行列式中第i 行、第j 列的元素无关. 例如，在4阶行列式中 ,23a 的代数余子式为 .)(44 42 41 343231 141211 2332231a a a a a a a a a M A -=-=+ 二、行列式的依行依列展开定理 引理 对于n 阶行列式D ，如果第i 行元素除ij a 外全部为零，那么这行列式等于ij a 与它的代数余子式的乘积，即 ij ij D a A =. 证 先证1,1i j ==的情形.即

11 21222321 2 3 000n n n n nn a a a a a D a a a a = 232323()1123(1)n n n j j j j j nj j j j a a a a τ= -∑ 232323()11 23(1)n n n j j j j j nj j j j a a a a τ=-∑ 21 2223233311 2 3n n n n nn a a a a a a a a a a = 11111111111111(1)a M a M a A +==-=. 对一般情形，只要适当交换D 的行与列的位置，即可得到结论. 定理1.3（依行依列展开定理） 行列式D 等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即 1122i i i i in in D a A a A a A =+++ （i =１，２，…，n ） 或 1122j j j j nj nj D a A a A a A =+++ （j =１，２，…，n ）. 证 11121121 200 000 00n i i in n n nn a a a D a a a a a a = ++++++++++ 1112111121111211 21 2 1 2 1 2 00000 0n n n i i in n n nn n n nn n n nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =+++ 1122i i i i in in a A a A a A =+++ . 行列式的依行依列展开定理的意义：可把高阶行列式化为较低阶行列式来计算. 例1.11 计算行列式