第
6讲 函数的单调性
[玩前必备]
1.函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数减函数
一般地,设函数y =f (x )的定义域为A ,区间M ?A .如果取区间M 中的
任意两个值x 1,x 2,
定义改变量 Δx =x 2-x 1>0,则当Δy =f (x 2)-f (x 1)>0时,就称函数y =f (x )在区间M 上是增函数改变量 Δx =x 2-x 1>0,当Δy =
f (x 2)-f (x 1)<0时,就称函数y =
f (x )在区间M 上是减函数
增函数减函数
图象描述
自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y =f (x )在区间D 上是增函数或减函数,那么就说函数y =f (x )在这一区间具有(严格的)单调性,区间D 叫做函数y =f (x )的单调区间.
2.函数的最值
前 提设函数y =f (x )的定义域为I ,如果存在实数M 满足
条 件
(1)对于任意x ∈I ,都有f (x )≤M ;(2)存在x 0∈I ,使得f (x 0)=M (1)对于任意x ∈I ,都有f (x )≥M ;
(2)存在x 0∈I ,使得f (x 0)=M
结 论M 为最大值M 为最小值
[玩转典例]
题型一 函数单调性的判断和证明
例1 判断并证明函数y =x +2
x +1在(-1,+∞)上的单调性.
例2.设函数f (x )=Error!g (x )=x 2f (x -1),则函数g (x )的递减区间是________.例3. 函数的单调递增区间为 .
[玩转跟踪]
1.已知函数f (x )=2-x
x +1,证明:函数f (x )在(-1,+∞)上为减函数.
2.定义在R 上的函数f (x )对任意两个不相等的实数a ,b ,总有f (a )-f (b )
a -
b >0,则必有(
)A.函数f (x )先增后减
223y x x =--
B.f (x )是R 上的增函数
C.函数f (x )先减后增
D.函数f (x )是R 上的减函数
3.画出函数y =-x 2+2|x |+1的图象并写出函数的单调区间.
题型二 函数单调性的应用
角度一:利用函数的单调性求最值
例4 (1)函数f (x )=Error!的最大值为________.
(2)已知函数f (x )=ax +1a
(1-x )(a >0),且f (x )在[0,1]上的最小值为g (a ),求g (a )的最大值.角度二:利用函数的单调性求解不等式
例5 1.(1)已知y =f (x )在定义域(-1,1)上是减函数,且f (1-a ) (2) 已知函数f (x )为(0,+∞)上的增函数,若f (a 2-a )>f (a +3),则实数a 的取值范围为________. 2.探究与创新 设f (x )是定义在(0,+∞)上的函数,满足条件: (1)f (xy )=f (x )+f (y ); (2)f (2)=1; (3)在(0,+∞)上是增函数. 如果f (2)+f (x -3)≤2,求x 的取值范围. 角度三:利用函数的单调性求参数 例6 (1)如果函数f (x )=ax 2+2x -3在区间(-∞,4)上是单调递增的,则实数a 的取值范围是( ) A.(-14 ,+∞) B.[-14,+∞)C.[-14,0) D.[-14,0](2).已知f (x )=Error!是定义在R 上的减函数,那么a 的取值范围是________. 题型三 分类讨论二次函数单调性和最值 例7 求函数在闭区间上的单调性和最小值. 【玩转跟踪】 12)(2--=ax x x f ]2,0[ 1.已知函数,求在上的最大值与最小值. 2.已知函数,当,时,求的最大值与最小值.题型四 抽象函数单调性和最值 例8 已知函数对于任意x ,y ∈R ,总有f (x )+f (y )=f (x +y ),且当x >0时,f (x )<0, f (1)=-23 .(1)求证:在R 上是减函数; (2)求在[-3,3]上的最大值和最小值. 【玩转跟踪】 1.已知函数的定义域为,,且当时,且 . (1)求的值; (2)证明在定义域上的增函数; (3)解不等式.[玩转练习] 2()22f x x ax =++()f x []5,5-32)(2 +-=x x x f t x [∈]1+t )(x f )(x f )(x f )(x f )(x f 0()∞+1>x 0)(>x f )()()(y f x f y x f +=?)1(f )(x f 02 1([<-x x f 1.下列说法中,正确的有( ) ①若任意x 1,x 2∈I ,当x 1<x 2时, f (x 1)-f (x 2) x 1-x 2>0,则y =f (x )在I 上是增函数;②函数y =x 2在R 上是增函数; ③函数y =-1x 在定义域上是增函数;④函数y =1x 的单调区间是(-∞,0)∪(0,+∞).A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 2.下列函数中,在区间(0,1)上是增函数的是( ) A.y =|x | B.y =3-x C.y =1x D.y =-x 2+4 3.若函数f (x )=4x 2-kx -8在[5,8]上是单调函数,则k 的取值范围是( ) A.(-∞,40) B.[40,64] C.(-∞,40]∪[64,+∞) D.[64,+∞) 4.若f (x )为R 上的增函数,kf (x )为R 上的减函数,则实数k 的取值范围是( ) A.k 为任意实数 B.k >0 C.k <0 D.k ≤0 5.函数y =x |x -1|的单调递增区间是________. 6. 函数f (x )=2x 2-mx +3,当x ∈[2,+∞)时是增函数,当x ∈(-∞,2]时是减函数,则f (1)=________. 7.求证:函数f (x )=-1x -1在区间(-∞,0)上是增函数. 8.如果函数f(x)=ax2+2x-3在区间(-∞,4)上是单调递增的,则实数a的取值范围是( ) A.a>-1 4 B.a≥- 1 4 C.-1 4 ≤a<0 D.- 1 4 ≤a≤0 9.已知函数f(x)=x2+bx+c的图象的对称轴为直线x=1,则( ) A.f(-1) B.f(1) C.f(2) D.f(1) 10.讨论函数y=x2-2(2a+1)x+3在[-2,2]上的单调性. 11.已知函数f(x)在实数集中满足f(xy)=f(x)+f(y),且f(x)在定义域内是减函数. (1)求f(1)的值; (2)若f(2a-3)<0,试确定a的取值范围. 6、函数之函数的单调性 函数单调性的相关知识点: 一:函数的单调性的定义。(设函数)(x f y = 的定义域为 I )。 1.增函数:如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值 2121x x x x <,且、。当1x <2x 时,都有)(1x f <)(2x f ,那么称函数)(x f 在区间D 上是增 函数。相应的区间D 为函数)(x f 的单调递增区间。 2.减函数:如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值 2121x x x x <,且、。当1x <2x 时,都有)(1x f <)(2x f ,那么称函数)(x f 在区间D 上是减 函数。相应的区间D 为函数)(x f 的单调递减区间。 3.单调性:如果一个函数)(x f 在某个区间上是增函数或是减函数,就说这个函 数)(x f 在这个区间上具有单调性,或者说函数在区间上是单调的。 二:证明或判断单调性的方法与步骤。 1. 定义法:(1)取值。 (2)作差变形。 (3)定号。 (4)下结论。 2. 导数法:(1)求导。 (2)判断导函数f ′(x )的符号。若f ′(x ) > 0,则函数 为增函数。 若f ′(x ) < 0,则函数为减函数。 3. 图像法:主要用来判断。 三:函数单调性的有关性质。 若函数)()(x g x f 、在区间D 上具有单调性,则在区间D 上具有以下性质。 1. 函数C x f x f +)()(与具有相同的单调性。 2. 函数)()(x af x f 与,当0>a 时,具有相同的单调性,当0 调性。 3. 当函数)(x f 恒不等于0时。函数 )() (1 x f x f 与具有相反的单调性。 4. 当函数0)(≥x f 时。函数)()(x f x f 与具有相同的单调性。 5. 若)(),(x g x f 均为某个区间上的增(减)函数,则:)()(x g x f +为某个区间上的增(减)函数。 6. 若)(),(x g x f 均为某个区间上的增(减)函数,则)()(x g x f ?:当两者都恒大于零时,是增(减)函数;当两者都恒小于零时,是减(增)函数。 7. 奇函数在原点的两侧具有相同的单调性,偶函数在原点的两侧具有相反的单调性。 8. 互为反函数的两个函数具有相同的单调性。 9. 若)(x f 在区间D 上为增函数,且D x x ∈21,。则:()[]0 ) ()()3(0)()()()2() ()(12 12121212121>-->-?- 函数的单调性 知识梳理 1. 单调性概念 一般地,设函数()f x 的定义域为I : (1)如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ,当12x x <时,都有12()()f x f x <,那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数; (2)如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ,当12x x <时,都有12()()f x f x >,那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数. 2. 单调性的判定方法 (1)图像法:从左往右,图像上升即为增函数,从左往右,图像下降即为减函数。 (2)定义法步骤; ①取值:设12,x x 是给定区间内的两个任意值,且12x x < (或12x x >); ②作差:作差12()()f x f x -,并将此差式变形(注意变形到能判断整个差式符号为止); ③定号:判断12()()f x f x -的正负(要注意说理的充分性),必要时要讨论; ④下结论:根据定义得出其单调性. (3)复合函数的单调性: 当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数;当内外层函数的单调性相反时则复合函数为减函数。也就是说:同增异减(类似于“负负得正”) 3. 单调区间的定义 如果函数()y f x =,在区间D 上是增函数或减函数,那么就说函数在这个区间上具有单调性,区间D 叫做()y f x =的单调区间. 例题精讲 【例1】下图为某地区24小时内的气温变化图. (1)从左向右看,图形是如何变化的? (2)在哪些区间上升哪些区间下降? 解:(1)从左向右看,图形先下降,后上升,再下降; (2)在区间[0,4]和[14,24]下降,在区间[4,14]下降。 【例2】画出下列函数的图象,观察其变化规律: (1)f (x )=x ; ①从左至右图象上升还是下降 ②在区间(-∞,+∞)上,随着x 的增大,f (x )的值随着怎么变化? 高考数学一轮专题:第5讲函数的单调性与最值 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、单选题 (共13题;共26分) 1. (2分)设奇函数在上为增函数,且,则不等式的解集为() A . B . C . D . 2. (2分) (2016高一下·龙岩期中) 已知函数f(x)= (a是不为0的常数),当x∈[﹣2,2]时,函数f(x)的最大值与最小值的和为() A . a+3 B . 6 C . 2 D . 3﹣a 3. (2分)下列四个函数:(1)(2)(3) (4)f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),其中同时满足:①f(-x)+f(x)=0 ②对定义域内的任意两个自变量x1,x2 ,都有 的函数个数为() A . 1 B . 2 C . 3 D . 4 4. (2分) (2016高一上·南充期中) 若f(x)=x2+a,则下列判断正确的是() A . f()= B . f()≤ C . f()≥ D . f()> 5. (2分) (2017·浙江模拟) 设正实数x,y,则|x﹣y|+ +y2的最小值为() A . B . C . 2 D . 6. (2分)下列函数中,既是奇函数又是增函数的为() A . y=x+1 B . C . D . 7. (2分)在同一平面直角坐标系中,函数f(x)=lg(x+1)的图像与函数g(x)=lg(-x+1)的图像关于() A . 原点对称 B . x轴对称 C . 直线y=x对称 D . y轴对称 8. (2分)若函数f(x)=ax2+b|x|+c(a≠0)有四个单调区间,则实数a,b,c满足() A . ﹣4ac>0,a>0 B . ﹣4ac>0 C . ﹣>0 D . ﹣<0 9. (2分) (2018高一下·泸州期末) 下列函数中,在上单调递减的是 A . B . C . D . 10. (2分)对于任意实数x,表示不超过x的最大整数,如.定义在R上的函数 ,若,则A中所有元素的和为() A . 65 B . 63 C . 58 D . 55 11. (2分) (2019高一上·嘉兴期中) 若函数在区间上的最大值是,最小值是,则() A . 与无关,但与有关 函数的单调性及奇偶性 一、单选题(共10道,每道10分) 1.已知函数是上的增函数,若,则下列不一定正确的是( ) A. B. C. D. 答案:D 解题思路: 试题难度:三颗星知识点:函数单调性的定义 2.已知定义在上的函数满足:对任意不同的x1,x2,都有.若 ,则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案:C 解题思路: 试题难度:三颗星知识点:函数单调性的定义 3.已知定义在上的函数满足:对任意不同的x1,x2,都有 .若,则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案:B 解题思路: 试题难度:三颗星知识点:函数单调性的定义 4.函数的单调递减区间是( ) A. B. C. D.无减区间 答案:A 解题思路: 试题难度:三颗星知识点:含绝对值函数的单调性 5.函数的单调递减区间是( ) A., B., C., D., 答案:A 解题思路: 试题难度:三颗星知识点:函数的单调性及单调区间 6.函数的单调递增区间是( ) A. B. C. D. 答案:B 解题思路: 试题难度:三颗星知识点:含绝对值函数的单调性 7.若是奇函数,则实数a的值为( ) A.1 B.-1 C.0 D.±1 答案:A 解题思路: 试题难度:三颗星知识点:函数奇偶性的性质 8.若是定义在上的偶函数,则a的值为( ) A.±1 B.1 C.-1 D.-3 答案:C 解题思路: 试题难度:三颗星知识点:函数奇偶性的性质 9.设是定义在[-2,2]上的奇函数,若在[-2,0]上单调递减,则使成立的实数a的取值范围是( ) A.[-1,2] B. C.(0,1) D. 1.函数的单调性:在某个区间( a,b )内,如果f (x) . 0 ,那么函数y = f (x)在这个区间内单调递增;如果f (x) :::0,那么函数y = f(x)在这个区间内单调递减?如果f(x)=0,那么函数y = f(x)在这个区间上是常数函数? 注:函数y = f (x)在(a,b )内单调递增,贝U f (x)亠0,f (x) . 0是y = f (x)在(a,b )内单调递增的充分不必要条件? 2.函数的极值:曲线在极值点处切线的斜率为0,并且,曲线在极大值点左侧切线的斜率为正,右侧为 负;曲线在极小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正. 一般地,当函数 y = f(x)在点沧处连续时,判断f(X。)是极大(小)值的方法是: (1)如果在X。附近的左侧f ' (x) 0 ,右侧f'(x)::: ,那么f(X0)是极大值. (2)如果在X o附近的左侧f '(X):::0 ,右侧f'(x) 0,那么f(X0)是极小值. 注:导数为0的点不一定是极值点 知识点一:导数与函数的单调性 方法归纳: 在某个区间(a,b )内,如果f (x) ?0,那么函数y = f (x)在这个区间内单调递增;如果「(x) :::0,那 么函数y二f(x)在这个区间内单调递减?如果f (x) =0,那么函数y二f(x)在这个区间上是常数函数?注:函数y = f (x)在(a,b )内单调递增,贝U f (x) _ 0 , f (x) 0是y = f (x)在(a,b )内单调递增的 充分不必要条件? 例1】(B类)已知函数f(x)=x3 bx2 cx d的图象过点P(0, 2),且在点M(-1, f(-1))处的切线方程为6x「y ?7 = 0 ? (I)求函数y = f(x)的解析式;(n)求函数y=f(x)的单调区间? 【解题思路】注意切点既在切线上,又原曲线上?函数f(x)在区间[a,b]上递增可得:f'(x)_0 ;函数 f (x)在区间[a,b]上递减可得:f'(x) E0. 3 【例2】(A类)若f(x)二ax x在区间[—1,1]上单调递增,求a的取值范围? 【解题思路】利用函数 f (x)在区间[a,b]上递增可得:f'(x)_0;函数f(x)在区间[a,b]上递减可得: f '(x)岂0.得出恒成立的条件,再利用处理不等式恒成立的方法获解 a 【例 3 】(B 类)已知函数f(x)=l nx,g(x) (a 0),设F(x^ f (x) - g(x). x (I)求函数F(x)的单调区间; 山东省临沂市高考数学一轮专题:第5讲函数的单调性与最值 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、单选题 (共13题;共26分) 1. (2分) (2017高二下·定州开学考) 已知函数f(x)在[0,+∞)上是增函数,g(x)=﹣f(|x|),若g (lgx)>g(1),则x的取值范围是() A . (0,10) B . (10,+∞) C . D . 2. (2分)使函数f(x)=|x|与g(x)=﹣x2+2x都是增函数的区间可以是() A . [0,1] B . (﹣∞,1] C . (﹣∞,0] D . [0,2] 3. (2分)下列函数中,既是偶函数又在单调递增的是() A . B . C . D . 4. (2分) (2017高三下·上高开学考) 若y=(m﹣1)x2+2mx+3是偶函数,则f(﹣1),f(﹣),f() 的大小关系为() A . f()>f(﹣)>f(﹣1) B . f()<f(﹣)<f(﹣1) C . f(﹣)<f()<f(﹣1) D . f(﹣1)<f()<f(﹣) 5. (2分)(2019·晋城模拟) 已知函数,若对,, 且,使得,则实数的取值范围是() A . B . C . D . 6. (2分)已知函数f(x)= ,在(﹣∞,+∞)上是减函数,则实数a的取值范围为() A . (2,3) B . [2,3) C . (1,3) D . [1,3] 7. (2分)设函数D(x)=,则下列结论错误的是() A . D(x)的值域为{0,1} B . D(x)是偶函数 C . D(x)不是周期函数 D . D(x)不是单调函数 8. (2分) (2018高二下·阿拉善左旗期末) 已知命题p:a2≥0(a∈R),命题q:函数f(x)=x2-x在区间[0,+∞)上单调递增,则下列命题中为真命题的是() A . p∨q B . p∧q C . (┐p)∧(┐q) D . (┐p)∨q 9. (2分) f(x)为定义在R上的偶函数,对任意的,f(x)为增函数,则下列各式成立的是() A . f(-2)>f(0)>f(1) B . f(-2)>f(1)>f(0) C . f(1)>f(0)>f(-2) D . f(1)>f(-2)>f(0) 10. (2分)已知全集 ,设函数的定义域为集合A,函数的值域为集合B,则() A . [1,2) B . [1,2] C . (1,2) D . (1,2] 函数单调性 一. 填空题 1. 函数()1 2 x f x x -= +的单调递增区间是__________________. 2. 函数()2 32f x x x =-+的单调递减区间是__________________. 3. 函数()2f x x ax =+在()1,-+∞是增函数,那么a 的取值范围是__________. 4. 函数()f x 在R 上是增函数,()g x 在R 上是减函数,那么()()f x g x -在R 上是 _________. 5. 函数()f x 在()0,+∞上是增函数,(1)若()f x 在R 上是偶函数,那么()f x 在(),0-∞上是_________;(2)若()f x 在R 上是奇函数,那么()f x 在(),0-∞上是_________. 6. 设奇函数)(x f 的定义域为[]5,5-,若当[]0,5x ∈时, )(x f 的图象如右图,则不等式()0f x <的解是________. 7. 已知()()() () 2 3411a x a x f x x x --?=?≥??是R 上增函数,那么 a 的取值范围是______. 8. 函数()1 2||1 f x x = +-的递增区间是______________. 9. 若()f x 为奇函数,且在(,0)-∞上是减函数,又(2)0f -=,则()0x f x ?<的解集为 ____________. 10. 定义在R 上的函数()f x 在(),2-∞上是减函数,且()2y f x =+图象的对称轴是0x =,那么, 那么()1f -_________()3f .(填,,>=<) 11. 已知函数( )f x = []0,1是减函数,则a 的取值范围是____________. 12. 设()f x 是R 上的减函数,则()3y f x =-的单调递减区间为 . 二. 选择题 13. 下列函数在(),0-∞上为增函数的是------------------------------------------------( ) 第05讲-函数的单调性与最值 一、考情分析 借助函数图象,会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值,理解它们的作用和实际意义. 二、知识梳理 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数减函数 定义设函数y=f(x)的定义域为A,区间M?A,如果取区间M中任意两个值x1,x2,改变量Δx=x2-x1>0,则当 Δy=f(x2)-f(x1)>0时,就称 函数y=f(x)在区间M上是增 函数 Δy=f(x2)-f(x1)<0时,就称函数y =f(x)在区间M上是减函数 图象 描述 自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的 (2)上是增函数或是减函数, 性,区间M称为单调区间. 2.函数的最值 前提设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足 条件(1)对于任意x∈I,都有f(x)≤M; (2)存在x0∈I,使得f(x0)=M (3)对于任意x∈I,都有f(x)≥M; (4)存在x0∈I,使得f(x0)=M 结论M为最大值M为最小值 [方法技巧] 1.(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值,当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到. (2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(或最小值). 2.函数y =f (x )(f (x )>0)在公共定义域内与y =-f (x ),y =1 f (x ) 的单调性相反. 3.“对勾函数”y =x +a x (a >0)的增区间为(-∞,-a ),(a ,+∞);单调减区间是[-a ,0),(0,a ]. 三、 经典例题 考点一 确定函数的单调性(区间) 【例1-1】(2019·安徽省泗县第一中学高二开学考试(理))如果函数f(x)在[a ,b]上是增函数,对于任意的x 1,x 2∈[a ,b](x 1≠x 2),下列结论不正确的是( ) A . ()()1212 f x f x x x -->0 B .f(a) 高中数学 第6课时函数的单调性(1)(教师版) 苏教 版 【学习导航】 知识网络 学习要求 1.理解函数单调性概念; 2.掌握判断函数单调性的方法,会证 明一些简单函数在某个区间上的 单调性; 3.提高观察、抽象的能力.; 自学评价 1.单调增函数的定义: 一般地,设函数()y f x =的定义域为 A ,区间I A ?. 如果对于区间I 内的任意两个值1x , 2x ,当12x x <时,都有12()()f x f x <,那 么就说()y f x =在区间I 上是单调增 函数,I 称为()y f x =的单调 增 区间. 注意:⑴“任意”、“都有”等关键词; ⑵. 单调性、单调区间是有区别的; 2.单调减函数的定义: 一般地,设函数()y f x =的定义域为 A ,区间I A ?. 如果对于区间I 内的任意两个值1x , 2x ,当12x x <时,都有 12()()f x f x >, 那么就说()y f x =在区间I 上是单调 减 函数,I 称为()y f x =的单调 减 区间. 3.函数图像与单调性:函数在单调增区间上的图像是 上升 图像;而函数在其单调减区间上的图像是 下降 的图像。(填"上升"或"下降") 12x x < ; (2) 比较12(),()f x f x 大小 ; (3) 下结论"函数在某个区间上是单调增 (或减)函数" . 【精典范例】 一.根据函数图像写单调区间: 例1:画出下列函数图象,并写出单调区间. (1)2 2y x =-+; (2)1 y x =; (3)21, 0 ()22, 0x x f x x x ?+≤=?-+>? . 【解】 (图略) (1)函数2 2y x =-+的单调增区间为 (,0)-∞,单调减区间为(0,)+∞; (2)函数1 y x = 在(,0)-∞和(0,)+∞上分别单调减,即其有两个单调减区间分别是(,0)-∞和 (0,)+∞. (3)函数21, 0 ()22, 0x x f x x x ?+≤=?-+>? 在实数集R 上是减函数; 2.2.1导数与函数的单调性 基础巩固题: 1.函数f(x)= 21 ++x ax 在区间(-2,+∞)上为增函数,那么实数a 的取值范围为( ) A.021 C.a>2 1 D.a>-2 答案:C 解析:∵f(x)=a+221+-x a 在(-2,+∞)递增,∴1-2a<0,即a>2 1 . 2.已知函数f (x )=x 2+2x +a ln x ,若函数f (x )在(0,1)上单调,则实数a 的取值范围是( ) A .a ≥0 B .a <-4 C .a ≥0或a ≤-4 D .a >0或a <-4 答案:C 解析:∵f ′(x )=2x +2+a x ,f (x )在(0,1)上单调, ∴f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在(0,1) 上恒成立,即2x 2+2x +a ≥0或2x 2+2x +a ≤0在(0,1)上恒成立, 所以a ≥-(2x 2+2x )或a ≤-(2x 2+2x )在(0,1)上恒成立.记g (x )=-(2x 2+2x ),0 1.函数单调性的定义:一般地,设函数y =f (x )地定义域为A ,区间A M ?,如果取区间M 中地任意两个值x 1、x 2,则当改变量△x =x 1-x 2>0时,有△y =f (x 1)-f (x 2)_______,那么就称函数y =f (x )在区间M 上是增函数;当改变量△x =x 1-x 2>0时,有△y =f (x 1)-f (x 2)_______,那么就称函数y =f (x )在区间M 上是减函数.如果一个函数在某个区间M 上是增函数或者是减函数,就说函数在区间M 上具有_______,区间M 叫做____________. 2.基本初等函数的单调性: (1)一次函数f (x )=kx +b :当_________,f (x )单调递增;当_________,f (x )单调递减. (2)二次函数f (x )=ax 2+bx +c :当a>0时,f (x )在区间_________上是增函数,在区间_________上是减函数;当a<0时,f (x )在区间_________上是增函数,在区间_________上是减函数. (3)反比例函数x k )x (f =:k>0时,f (x )在区间______________上是______函数 k<0时,f (x )在区间______________上是______函数 (4)指数函数y =a x :当_________,f (x )单调递增;当_________,f (x )单调递减. (5)对数函数y =log a x :当_________,f (x )在区间_________上单调递增; 当_________,f (x )在区间_________上单调递减. 3.复合函数y =f [)x (?]的单调性:若y =f (μ)和μ=)x (?在相应的区间内具有相同的单调性,则y =f [)x (?]在这个区间上是__________;若y =f (μ)和μ=)x (?在相应的区间内具有相反的单调性,则y =f [)x (?]在这个区间上是__________. 4.增减函数的性质: (1)增(减)函数+增(减)函数为_________函数; (2)增(减)函数-减(增)函数为_________函数; (3)y =f (x )与y =kf (x )(k ≠0),当k>0时,增减性_________;当k<0时,增减性_________; (4)当f (x )恒为正或恒为负时,) x (f 1y =与y =f (x )的单调性_________. 【基础知识检测】 1.函数y =x +x 1的递增区间是__________.6、函数之函数的单调性(教师版)
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