九年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第七讲函数的最值(含答案)

第七讲函数的最值

趣题引路】

例一幢33层的大楼里有一部电梯停在第一层，它一次最多能容纳32人，而且只能在第2层至第33层中某一层停一次.对于每个人来说，他往下走一层楼梯感到1分不满意，往上走一层楼梯感到3分不满意. 现在有32个人在第一层，并且他们分别住在第2层至第33层的每一层.问：电梯停在哪一层，可以使得这32个人不满意的总分达到最小?最小值是多少？(有些人可以不乘电梯而直接从楼梯上楼).

解析对于每一个乘电梯上、下楼的人，他所住的楼层数一定不小于直接上楼的人所住的层数，事实上，设P层的人乘电梯，而住。层的人直接上楼，PQ.设电梯停在第x层，在第一层有y个人没有乘电梯而直接上楼，那么不满意总分为

S = 3[l + 2 + 3 + --+(33-x)]+3(l+2 + 3 + ---+y)+[l+2+-+(x-y-2)]

=3(34-x)(33-x) * 3(y + l)y 十(x_ Y _ 2)(x_)? _1)

2 2 2

=2x2 - (y + 102)x + 2)d + 3y +1684

=2(x - ^02)2 + y (y - 6)2 + 316 > 316

当y = 6,乳=纟竺=27时S取最小值为316.

4

点评通过配方，把S的代数表达式用非负数与常数的和或积表示而求最值是常用方法，应掌握.

知识延伸】例1求二次函数y = x2+2x + 2的最大值和最小值，其中x的取值范围分别是：(1)全体实数; (2)-2

2

解析y =疋+ 2x + 2 = (x +1)' +1,图象顶点为(-1,1),且开口向上

函数y在[-1,-KJO)上是增函数，在(-oo,-l]±为减函数.

(1)由故y有最小值为-1,没有最大值；

(2)因为-le[-2,l],所以儿—1, =max{/(-2),/(l)} = /(l) = 5 ；

(3)=/(-!) = !,

[40]讨论.不属于时，则/(X)在区间[%0]上是单调的，/XQ的最大值、最小值在端点处取到；属于时,

只要比较顶点处的函数值与端点的两个函数值的人小即可.

(4)：?.?兀=一1所对应的x不在定义域l

点评对于限定条件xe[a,/3]的二次函数f(x) = ax2+bx + c的最值要分其对称轴x =

-b

是否属于区间

= /⑴=5 ,儿工=/⑵=10 .

例2求函数y = (4-x) + 2? + 9的最值.

解析设“ =2心+9-x ,则”>0，且y=4+u.于是(u + x)2 = 4(x2 + 9),即3x2 -2u x+36-u2 =0. vxeR..-.±式的判别式A = (2w)2-4x3x(36-ir)>0,即u2 >27 ,故“》3的.「? )，= 4-尤+2心’+9 的最小值为4 + 3的(当x=>/3时取到).

点评通过换元，把原函数转变成关于x的一元二次方程，考虑到一元二次方程有解，由△?()即可求得“ 的范围，从而求得),的最值.这是一种常用的方法，应掌握.

好题秒解】

佳题新题品味

例 1 设0

解析如图7-1,先作抛物线尸，-2屈-1,然后将x轴下方的图象翻转上来，即得y = |x2-2>/3A -l|的图象，对称轴是直线x = b方程X2-2^X-1的两根是長±2.由此可知，0与3位于图象与x轴两交点之间，且位于对称轴两侧，故最大值为：/(>/3) = |(73)2-273 j3-l| = 4,而最小值为/(0), /(3)中较小者.Y/(0)=1, /(>/3) = 673-8 >1,..最小值为1.

点评函数y = \f(x)\的图象可以这样来完成：画出y = \f(x)\的图象，然后将y = f(x)位于X轴上方的部分保持不变，而将位于兀轴下方的图彖作关于尤轴的对称图形，即得到y = |/U)|图象.

中考真题欣赏例1 (安徽省中考试题)心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间尤(单位：min) 之间满足函数关系：y = -0.W + 2.6x + 43(0H0), y值越大，表示接受能力越强.(l)x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？(2)第10 min时，学生的接受能力是多

少？(3)第几分钟时，学生的接受能力最强.

解析(1) y = -0. lx2 + 2.6x + 43 = -0. l(x -13): + 59.9

二当0

(2)当x = 10时，y = -0.1(10-13)2+59.9 = 59,即第10mm时，学生的接受能力为59：

(3)x=13W，y取得最大值，「?在第13 min时，学生的接受能力最强.

点评二次函数y = ax2+bx+c = a(x+—)2+ —_—.当a>0时，抛物线开口向上，此时当x< —W, y随2a 4a

2a X增大而减小；当X>岂时，y随兀增大而增大；当"也时，)，取最小值皱土 .当X0时，抛物线2a 2a 4a

开口向下，此时当x< —时，y随xt曾大而增大；当兀>丄时，y随兀增大而减小；当兀=上时，y取最2a 2a

2a

大值仏".

4a

竞赛样题展示

例1 (1995年全国初中数学联赛试题)设x为正实数，则函数y = +丄的最小值是_______ .

x

解析配方y = F-x+Z = (x-1)2 +(x+ -)-1 = (x-1)2 + (y/x--^s)2 +1,要求y 的最小值，最好有(x-1)2 = 0 兀x y/x 且(石-*)—0,这时得到x = l.于是当x = l时，y = x2-x+-取得最小值1.

yjX X

点评函数y = x2-x+丄含有丄，不能直接用求二次函数的最值方法，求最值的最原始、最有效的方法仍X X

是配方法.

例2 (1997年湖北省荆州市初中数学联赛试题)已知二次函数y = (a2-a + l)x2+bx+-a的图象与

6

X轴交点为A3,0) ,3也,0),其顶点横坐标为扌，设f = x：+x；.

(1)试用a把『表示出来；

(2)问实数a取何值时，/取最小值，最小值是多少？

解析根据题意得

1 _ -b

2~ 2(a2-a + 1)

-b

< x + x,= ----- --------

'a~-a + 1

a

\ ^2 —— ~

a~ -a + 1

b = 一(a~ —67 + 1) y+ x2 = 1 .此时

A = /?2 -4(a2 - a + 1) — = (a2 -a + 1)2 - —a(cr -a-\-l) = (ar -a +1)2(?2 - -￡7 +1)

6 3 3

2 己知二次函数〉，=曲,当。>0时，若y恒大于0,则自变量的取值范围是__________ .

= [(_$ +沁-討 +物>0

? -a可取任意实数值.

(1)/ = ￡+￡=(兀 + 召)3 4 5 6_3尤心+兀)=]_3牡=]_\ , ° 丄| =負_/ + ；；

2 a - a + l 2a -2a+ 2

(2)将”_3a + 2变形得2(『_])p +(3_25 + 2(/_ 1) = 0 ,显然，当 a = 0 时，1 = 1;当F H I时,

2a~ -2a+ 2

A a =(3-202-4x2(r-l)x2(f-l)>0,即12r-20/ + 7<0, 一-丄

2 6

综上所述，￡=*，仅当兀=1取得.

点评在求二次函数最值时，若二次函数有字母系数，则应考虑△?()与二次项系数不为0的条件.

过关检测】

A级

1.抛物线y = -2x2+8x-9的顶点坐标是_________ ,对称轴是_______ ,最大值是 ________ ? x （元）满足一次函数：加=162-3兀.

（1）写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件销售价兀之间的函数关系式；

（2）如果商场要想每天获得最人的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最人销售利润为多少?

1.函数y = x2 + （jn + l）x + 2m-3 .

（1）求证：对于任何实数用，函数图象与x轴均有两个不同交点；

（2）加为何值时，函数图彖与x轴两交点距离的平方取最小值，并求其最小值;

3 己知两点A(0,2),B(4,l),点P是兀轴上的一点，且B4+PB的值最小，则P点坐标是____________ .

4 一次函数y = kx+b ,当-3'<9 ,则R的值为 ______________ .

5 若二次函数y = ax2 +4x + a-l的最小值是2,则a的值是 _________ .

6 某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量加(件)与每件的销售价

（3）函数图象与y轴交于（0, 1）点下方时，求加的取值范围.

2.如图7-2,有一边长为5cm的正方形ABCD和等腰△ PQR, PQ = PR = 5cm, QR= 8cm,点B、C、Q、R在同一直线/上，当C、0两点重合时，等腰△P0R以lcm/s的速度沿直线/按箭头所示方向开始匀速运动，/s后正方形ABCD 与等腰△POR重合部分的面积为5cm-,解答下列问题：

（1） f =3s时，求S的值；

（2） f =5s时，求S的值；

（3）当5

A D

图7-2

3.设二次函数y = /(x) = ax2+bx (a >0) t ti 与 b 都是整数，且x- 15 时，yvO,兀=16 时，y >0 .

(1)求证：a不能整除b, b是负整数；

(2)当x取整数"所得到的所有函数值/(”)中，最小值的“是多少?

4.己知函数y = f(x) = -9x2 -6ax + 2a-a2,当y的最大值为一3,求 a.

5.设实数a, b使方程x4 +ax3 +bjr +ax+l = O有实根，求a2+b2的最小值.

6.己知a, b, c是实数，函数f(x) = ax2 +bx + c , g(x) = ax + b ,当一时，|/(x)|

(1)证明：|c|Sl ；

(2)证明：当一lSxSl时，|g(x)|<2 :

(3)设a>0 ,当一时，g(x)的最大值为2,求f(x).

第七讲函数的最值

A级

1?(2, -1) = -1,

2.% 5^0.

4?2或-2.

5.4.

6. (l)y= -3八25右_4 860;

(2)y= -3X2+252Z-4860= -3?-42尸+432.

???当毎件商品的销售价定为42元时，每天有最大利润432元.

B级

1.(1)令,=0 得,?3 + (m +1 +2m -3 =0.

A = (m + 1 )2 -4(2m -3) = -3)2 +4 >0,

.?.无论肌取何值，均有两个交点；

(2)Ixi I2 =(J?j —)a = —4*| ? Xj

-[+ ]2 -[4(2/n -S)]

= (wt-3)2 +4,

???当RI=3时，1巧?a；2l"有最小值4. :

(3)函数y=s2 + (/n + i>?+2w-3与y轴交点为(0,2m-3),要使交点位于点(0,1)下方丫即2m-3 < 1 m <2.

■ t ? 'f a? u, . ?

2.(1)作M丄Q/?于E.利用AQCGs AQEP,.?.= 则S彳刘x6 二辛(co?)；

⑵当25时*CR =3.设PR与DC交于G,如图5,由MCG5氐REP,可求出S AKGG= 12-^ =

8 8

69 , 八

■g- (cm )；

图S 图历

.1

⑶当5WCW8时,Q—5,/?C = 8i?设PQ交肋于点比如图y&QBHfQEP,可得跟卿= 得兀心弓（8 3,?：E2二荻

“严駅8 7凡即S —霁+孚

3. (1)显然,抛物线过原点，与%轴的另一交点横坐标设为％?而对称电为皐熊 牝，依题设知」5 5 <16,即15 < -y<16.故有理数■吕是分数(aXl) ,a 不能整除九且6为员整数(因 为八0)?

⑵由75 < -苏8亂-缶于7与8之间?但距离8更近，赢亦涵:技話妄誠在对称轴 两侧的递减与递增性知，当叫V7 <8 <码时/(?,) >/(7) >f(8) ^(n^) ”(8).由此知，在所有的/*(“)中最 小值是/(8),即所求的n = 8.

4.

将已知函数配方得了寸&>八9("寺寸+2d,显然,当"时，函数y 取得最大值2a.

⑴如果2兀-3,即?，则函数y 取不到-3,不合题意；

(2) 如果此垠大值2“ -3,即"-壬,此时沪-9宀9一￥取得最大值-3的不满足?* WX*占题意木符； (3)

如果此最大值2a A -3,即丰时,设直线，=：-3与抛物线交于力」两点，如@0 7,它们的横坐

标玄满足方程■ 9x 6

- 6ax + 2a - a 2 = ■ 3,解之得x t ---------- ---- ----- 9 x t =

6. ⑴取"O G [ -1 J],由已知得 Icl =1/(0) I Cl ；

G2)痢用不尊式Idl ?MfWla 士blWlal +161.' 、二

???对"[?1,叮,有1/(巧IWL,而gGO =

/( -1)g(i>=/(i) -7(o),g( -1) =/(o)-/(-!)>??■ I^

-1,1]成立；

(3) V a>0时,g(ar)=妙讥在[一1,1]上是增函数，当戈"时取得最大值2,艮卩 2弋(1)訂(1)寸(0)"+6,①

-1 今(0) =/< 1 > -2 W — 2 = -1,.?.c=/(0) = -1.但 n [ - 1,1 ]时/(%) A ? 1 *(0),这表明二 次函数f (幻在

—1,1]上不单调，

则-￡$[ -1.1]且彳-￡)寸(°)?由二次函数极值的唯一性，得 0,6=0.代人①，得 a =2匸 /(x) =2x 1-l.

迄

申 —2,为了使- 时,取得最大值-3 ?有两种可能，其一，点

A 的横坐标扫工寺，其二，点

B 的横坐标％ = -y. B 卩_a 二伴+3兰壬或 -g4/2a4-3= _±^^^/5^ + 3= -a-1 ^/5Tt3=a-l.

当—a — 1 ^Qf 即aW - 1时，解得a =-杠、 当即a^l 时，解得a=2+風 综上所述,所求的a = -血或2+応 5.

原方程是倒数方程，可化为； + a(? +

因为卜+卜|心|占卜(e -心2,故方程①有实根建价于方程

X. .

； ................... ,

综上，满足题设的r+卩的最小值为冬

+6 -2 =0,①

图7

12 + at 4-6-2 =0, ?

有绝对值不小于2的实根，故ab4(6-2),③

lai +y4(b_2) 34.④

由③、鈿1,只須讨论的情形：

当。R时?令心0,易验证条件③④均溝足,故此时a* l + b2的最小值就是a? ( M1);

当0 <4^1时，条件④变为a—4(b-2)M(4_a)2,化简，得g2a-2,所以6 <0,满足条件③，此时6 的绝对值的最小值为12a-21(V Ibl=l2a-2I).故八只沁 4 (血一2儿5卜?令)+y.

学a肓令时,J + 62取最小值￡■，这时& = -y.