抛物线高考基础拔高练解析版

抛物线高考基础拔高练解析版

1．（山东省烟台市2019届高三5月适应性练习二）已知过抛物线2

:4C y x =焦点的直线交抛物线C 于P ,Q

两点,交圆2

2

20x y x +-=于M ,N 两点,其中P , M 位于第一象限,则14

||||

PM QN +的值不可能为（ ） A ．3 B ．4

C ．5

D ．6

【答案】A 【解析】

作图如下：可以作出下图，

由图可得，可设PF m =，QF n =，则1PM m =-，1QN n =-，

24y x =，2p ∴=，根据抛物线的常用结论，有

112

1m n p

+==， 1m n

mn

+∴

=，则m n mn +=， 14||||PM QN ∴

+14

11m n =+

--4545()1m n m n mn m n +-==+--++ 又

11(4)1(4)(

)m n m n m n +⋅=+⋅+441m n n m =+++452m n n m

≥+⋅ 得49m n +≥，454m n ∴+-≥ 则

14

||||

PM QN +的值不可能为3，

答案选A

2．（江西省新八校2019届高三第二次联考理）如图，过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线l 交抛物线于点,A B ，交其准线于点C ，若4BC BF =，且6AF =，则p 为（ ）

A ．

9

4

B ．

92

C ．9

D ．18

【答案】B 【解析】

设准线与x 轴交于点P ，作BH 垂直于准线，垂足为H

由4BC BF =，得：

4

5

BH BC PF CF == 由抛物线定义可知：BF BH =，设直线l 倾斜角为θ

由抛物线焦半径公式可得：41cos 5

p

BF BF PF p p θ+===，解得：1cos 4

θ= 4

6

131cos 3

144

p p p AF p θ∴=

====--，解得：92

p = 本题正确选项：B

3．（陕西省2019届高三年级第三次联考理）已知双曲线，若抛物线（为

双曲线半焦距）的准线被双曲线截得的弦长为（为双曲线的离心率），则双曲线的渐近线方程为（ ）

A ．

B ．

C．D．

【答案】D

【解析】

∵抛物线的准线：，它正好经过双曲线的下焦点，

∴准线被双曲线截得的弦长为，

∴，∴，

∴，∴，

∴双曲线的渐近线方程为.

故应选D.

4．（陕西省2019届高三年级第三次联考理）已知是抛物线的焦点，是该抛物线上的两点，

，则线段的中点到准线的距离为（）

A．B．C．1 D．3

【答案】B

【解析】

∵是抛物线的焦点，∴，准线方程，

设，，根据抛物线的定义可得，，

∴.

解得，∴线段的中点横坐标为，

∴线段的中点到准线的距离为.故应选B.

5．（四川省双流中学2019届高三第一次模拟考试数学理）已知是抛物线上一点，为其焦点，为

圆的圆心，则的最小值为( )．

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】B

【解析】

设抛物线的准线方程为，为圆的圆心，所以的坐标为，过作的垂线，垂足为,根据抛物线的定义可知,所以问题求的最小值，就转化为求

的最小值，由平面几何的知识可知，当在一条直线上时，此时，有最小值，最小值为，故本题选B.

6．（安徽省蚌埠市2019届高三年级第三次教学质量检查考试数学理）设抛物线的焦点为，

点在抛物线上，，若以为直径的圆过点，则抛物线的焦点到准线距离为（）

A．2 B．2或4 C．8 D．8或16

【答案】A

【解析】

设点的坐标为，,抛物线的焦点，抛物线的准线为，由抛物线的定义可知：

①，

因为以为直径的圆过点，所以有

，代入①中得，

，抛物线的焦点到准线距离为2，故本题选A.

7．（四川省乐山市高中2019届高三第三次调查研究考试数学理）已知抛物线上的点到其焦点的距离为，则该抛物线的标准方程为( )

A．B．

C．D．

【答案】A

【解析】

抛物线的准线方程，

∵抛物线上的点到其焦点的距离为，

∴，

∴

，即该抛物线的标准方程为

，

故选：A

8．（湖南省2017届高三高考冲刺预测卷六理）已知抛物线2

2x y = 上一点P 到焦点F 的距离为1，,M N

是直线2y =上的两点，且2MN =，MNP ∆的周长是6，则sin MPN ∠=（ ） A ．

4

5

B ．

25

C ．

23

D ．

13

【答案】A 【解析】

由题意，22p = ，则122p = ，故抛物线22x y = 的焦点坐标是10,2⎛⎫

⎪⎝⎭

，由抛物线的定义得，点P 到准线1

2

y =-

的距离等于PF ，即为1 ，故点P 到直线2y =的距离为132122d ⎛⎫

=---= ⎪⎝⎭

. 设 点P 在直线MN 上的射影为P' ，则3'2PP = . 当点,M N 在

P'的同一侧（不与点P'重合）时，35

2=622

PM PN MN ++>

++ ，不符合题意；当点,M N 在P'的异侧（不与点P'重合）时，不妨设()'02P M x x =<<，则'2P N x =- ，故由

()2

2

2

23322=622PM PN MN x x ⎛⎫

⎛⎫

++=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭

⎝⎭

，解得0x = 或2 ，不符合题意，舍

去，综上,M N 在两点中一定有一点与点P'重合，所以

24552

sin MPN <=

=

，故选A. 9．（山西省晋城市2019届高三第三次模拟考试数学理）已知抛物线C ：2

2(0)y px p =>的焦点为F ，准

线为l ，l 与x 轴的交点为P ，点A 在抛物线C 上，过点A 作'AA l ⊥，垂足为'A .若四边形'AA PF 的面积为14，且3

cos '5

FAA ∠=，则抛物线C 的方程为（ ） A ．28y x = B ．24y x =

C ．22y x =

D ．2y x =

【答案】B 【解析】

作出图形如下所示，过点F 作''FF AA ⊥，垂足为'F .设

'3AF x =，因为3

cos '5

FAA ∠=

，故5A F x

=，

'4FF x =，由抛物线定义可知，'5AF AA x ==，则''2A F x p

==，故2

p

x =

.四边形'AA PF 的面积()52''214

22

p p p PF AA PA S ⎛⎫+⋅ ⎪+⋅⎝⎭===，解得2p =，故抛物线C 的方程为2

4y

x =. 故选：B

10．（河南省百校联盟2019届高三考前仿真试卷数学理）已知,A B 为抛物线22(0)x py p =>上的两个动点，以AB 为直径的圆C 经过抛物线的焦点F ，且面积为2π，若过圆心C 作该抛物线准线l 的垂线CD ，垂足为D ，则||CD 的最大值为（ ）

A ．2

B 2

C ．

2

2

D ．

12

【答案】A 【解析】

根据题意，2

22AB ππ⎛⎫= ⎪

⎝⎭

，

∴22AB =设||||AF a BF b ==，

，过点A 作AQ l ⊥于Q ，过点B 作BP l ⊥于P ， 由抛物线定义，得AF AQ BF BP ==，，在梯形ABPQ 中， ∴2CD AQ BP a b =+=+， 由勾股定理得，228a b =+，

∵2

22

2282244a b a b ab CD ab ++++⎛⎫==== ⎪⎝⎭

2222424ab a b +++=…， 所以2CD ≤（当且仅当a b =时，等号成立）.

11．（湖北部分重点中学2020届高三年级新起点考试数学理）已知抛物线2:2C y px =（0p >）的焦点为F ，准线为l ，O 为坐标原点，点M 在C 上，直线MF 与l 交于点N ．若3

MFO π

∠=

，则

MF MN = A ．

1

4

B ．

13

C ．

12

D ．

23

【答案】C 【解析】

作MQ 垂直l 于Q ，则在RT △MQN 中，2MQN π∠=

，6

MNQ π

∠=，所以

12MF MQ MN MN ==．选C ． 12．（北京市通州区2019届高三4月第一次模拟考试数学理）设抛物线2

4y x =的焦点为F ，已知点

1,4M a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,2N b ⎛⎫

⎪⎝⎭

，()1,P c ，()4,Q d 都在抛物线上，则,,,M N P Q 四点中与焦点F 距离最小的点是（ ） A ．M B ．N C ．P

D ．Q

【答案】A 【解析】

抛物线2

4y x =的焦点为F(1,0)，准线方程为1x =-；

则点1,4M a ⎛⎫

⎪⎝⎭

到焦点F 的距离为15||(1)44MF =--=，

点1,2N b ⎛⎫

⎪⎝⎭

到焦点F 的距离为13||(1)22NF =--=，

点P(1, c)到焦点F 的距离为|P F|=1-(-1)=2 点Q(4, d)到焦点F 的距离为|Q F|=4-(-1)=5； 所以点M 与焦点F 的距离最小. 故选：A

13．（山西省2019届高三高考考前适应性训练三理）抛物线2

4y x =的焦点坐标为（ ）

A ．()1,0

B ．()2,0

C ．10,8⎛

⎫ ⎪⎝⎭

D ．10,

16⎛⎫

⎪⎝⎭

【答案】D 【解析】

抛物线2

4y x =的标准方程为2

14x y =

，故其焦点坐标为10,16⎛⎫

⎪⎝⎭

，故选D. 14．（山东省泰安市教科研中心2019届高三考前密卷数学理）已知F 为抛物线y 2

＝4x 的焦点，过点F 且斜

率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，则||FA|﹣|FB||的值等于（ ） A ．2B ．8

C ．42

D ．4

【答案】C 【解析】

F （1，0），故直线AB 的方程为y ＝x ﹣1，联立方程组241

y x y x ⎧=⎨=-⎩，可得x 2﹣6x+1＝0，

设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由根与系数的关系可知x 1+x 2＝6，x 1x 2＝1． 由抛物线的定义可知：|FA|＝x 1+1，|FB|＝x 2+1， ∴||FA|﹣|FB||＝|x 1﹣x 2|()

2

1212436442x x x x +-=-=

故选：C ．

15．（辽宁省沈阳市2019届高三教学质量监测三数学理）已知抛物线

2

:2(0)C x py p =>的焦点为F ，()

02,M y -是C 上一点，且

2

MF =．

（1）求C 的方程；

（2）过点F 的直线与抛物线C 相交于,A B 两点，分别过点,A B 两点作抛物线C 的切线12,l l ，两条切线相交于点P ，点P 关于直线AB 的对称点Q ，判断四边形PAQB 是否存在外接圆，如果存在，求出外接圆面积的最小值；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）2

4x y =（2）见解析 【解析】

（1）解：根据题意知，042py =① 因为2MF =，所以022

p

y +

=② 联立①②解得01,2y p ==． 所以抛物线C 的方程为2

4x y =． （2）四边形PAQB 存在外接圆．

设直线AB 方程为1y kx =+，代入2

4x y =中，得2440x kx --=， 设点()()1122,,,A x y B x y ，则216160k ∆=+>， 且4,42121-==+x x k x x

所以()

2212||141AB k x k =+-=+，

因为2

:4C x y =，即2

4

x y =，所以'2x y =．

因此，切线1l 的斜率为112x k =，切线2l 的斜率为222

x

k =， 由于12

1214

x x k k =

=-，所以PA PB ⊥，即PAB △是直角三角形， 所以PAB △的外接圆的圆心为线段AB 的中点，线段AB 是圆的直径， 所以点Q 一定在PAB △的外接圆上，即四边形PAQB 存在外接圆． 又因为(

)

2

41AB k =+，所以当0k =时，线段AB 最短，最短长度为4，

此时圆的面积最小，最小面积为4π．

16．（四川省宜宾市2019届高三第三次诊断性考试数学理）已知抛物线2

2(0)y px p =>上一点3,2M m ⎛⎫

⎪⎝⎭

到它的准线的距离为5

2

． （1）求p 的值；

（2）在直线l 上任意一点(),2P a -作曲线C 的切线，切点分别为,M N ，求证：直线MN 过定点． 【答案】（1）2；（2）证明见解析. 【解析】

（1）抛物线2

20y px p =（＞）的准线为2

p

x =-

, 由已知得32M m ，⎛⎫ ⎪⎝⎭到准线的距离为52

∴

35222

p += ∴2p =

（2）证明：由已知可设112222l x m y l x m y =+=+：，：

由,2142y x x m y ⎧=⎪⎨=+⎪⎩

化简得21480y m y --= 设1122A

x y C x y （，），（，） ，则1214y y m += ∴12M y m =，又2

122M x m =+，即()

211222M m m +，

同理可得：(

)

2

22222N m m +，

∴()()

()211222

1221221

02222MN m m k m m m m m m -=

=+≠++-+ ∴()

21112

1

222MN y m x m m m -=

--+：

即()1212

1

22y x m m m m =

-++

∵12l l ， 的斜率之积为-2

∴

12112m m ⋅=-即1212

m m =- ∴()12

1

3MN y x m m ：=

-+即直线MN 过定点30（，）

当120m m +=时，不妨设1200m m ＞，＜ 则1222

22

m m =

=-

直线MN 也过点()30，

综上，即直线MN 过定点()30，

． 17．（北京市人大附中2019届高三高考信息卷三理科）已知抛物线2:2C y px =过点(2,2)M ，,A B 是抛物线C 上不同两点，且AB OM （其中O 是坐标原点），直线AO 与BM 交于点P ，线段AB 的中点为Q . （Ⅰ）求抛物线C 的准线方程； （Ⅱ）求证：直线PQ 与x 轴平行.

【答案】(1) 1

2x =-.(2)见解析.

【解析】

（Ⅰ）由题意得2

2=4p ，解得1p =．

所以抛物线C 的准线方程为122

p x =-

=-． （Ⅱ）设211,2y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2

22,2y B y ⎛⎫

⎪⎝⎭

， 由AB OM 得1AB OM

k k ==，则212

22121

2

122

y y y y y y -==+-，所以212y y +=． 所以线段AB 中点Q 的为纵坐标1Q y =． 直线AO 方程为

12112

2

y y x x y y =

=┅①

直线BM 方程为

()()22

2222

222222

y y x x y y --=

-=-+-┅② 联立①②解得1

{ 21

y x y =

=，即点P 的为纵坐标1P y =．

如果直线BM 斜率不存在，结论也显然成立．

18．（山东省淄博市部分学校2019届高三5月阶段性检测（三模)数学理）已知圆22

:4O x y +=，抛物线

2:2(0)C x py p =>．

（1）若抛物线C 的焦点F 在圆O 上，且A 为抛物线C 和圆O 的一个交点，求AF ；

（2）若直线l 与抛物线C 和圆O 分别相切于,M N 两点，设()00,M x y ，当[]03,4y ∈时，求MN 的最大值．

【答案】（1）252；（2135

. 【解析】

（1）由题意知(0,2)F ，所以4p =. 所以抛物线C 的方程为2

8x y =.

将2

8x y =与22

4x y +=联立得点A 的纵坐标为2(52)A y =，

结合抛物线定义得||2522

A p

AF y =+

=. （2）由2

2x py =得：22x y p

=，x y p '

=，

所以直线l 的斜率为

0x p ，故直线l 的方程为()0

00x y y x x p

-=

-. 即000x x py py --=. 又由0

2

2

0||2py ON x p -=

=+得0

2

084

y p y =

-且2

040y -> 所以22222

00||||||4MN OM ON x y =-=+-

2

2

000002

08242

44

y py y y y y =+-=+-- ()22022

00022

001644164444

y y y y y y -+=+-=+--- 2

02

0641644

y y =+

+-- 令2

04t y =-，0[3,4]y ∈，则[5,12]t ∈，

令64()16f t t t =++

，则264()1f t t

'

=-； 当[5,8]t ∈时()0f t '

≤，()f t 单调递减，

当(8,12]t ∈时()0f t '

>，()f t 单调递增，

又64169(5)16555f =++=，64100169(12)16121235

f =++=<， 所以max 169()5f x =

，即||MN 135

. 19．（陕西省汉中市2019届高三全真模拟考试）已知点为直线上的动点，

，过作直线的

垂线，交

的中垂线于点，记点的轨迹为.

（Ⅰ）求曲线的方程； （Ⅱ）若直线

与圆

相切于点，与曲线交于，两点，且为线段

的中点，求直线的方程. 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）直线的方程为

或

【解析】

解：（Ⅰ）由已知可得，

，

即点到定点的距离等于它到直线的距离， 故点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， ∴曲线的方程为. （Ⅱ）设，，

，

由，得

，

∴，

∴

，

，即

，

∵直线与圆相切于点，

∴，且

，

从而

，

，

即：，

整理可得，即，

∴

，

故直线的方程为或.

20．（河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第五次测评数学理）已知O 为坐标原点，过点()1,0M 的直线l 与抛物线C ：2

2(0)y px p =>交于A ，B 两点，且3OA OB ⋅=-． （1）求抛物线C 的方程；

（2）过点M 作直线'l l ⊥交抛物线C 于P ，Q 两点，记OAB ∆，OPQ ∆的面积分别为1S ，2S ，证明：

22

1211

S S +为定值. 【答案】（1）2

4y x =；（2）详见解析. 【解析】

（1）设直线l ：1x my =+，与2

2y px =联立消x 得，2

220y pmy p --=.

设()11,A x y ，()22,B x y ，则122y y pm +=，122y y p =-.

因为g x （），所以()()1112222111OA OB x x y m y y y y y m ⋅++==++

()()2121211m y y m y y =++++()()221221213m p pm p =+-++=-+=-，

解得2p =.

所以抛物线C 的方程为2

4y x =.

（2）由（1）知()1,0M 是抛物线C 的焦点，所以2

1212244AB x x p my my p m =++=+++=+.

原点到直线l 的距离21d m =

+，所以()222

1412121OAB

S m m m ∆=+=++因为直线'l 过点()1,0且'l l ⊥，所以2

22

11212OPQ

m S m m ∆+⎛⎫=+= ⎪⎝⎭

. 所以()()22222121111

4

4141m S S m m +=+=++. 即

221211S S +为定值14

. 21．（广东省肇庆市2019届高中毕业班第三次统一检测数学理）已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直

线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，O 是坐标原点． （1）若直线l 过点F 且8AB =，求直线l 的方程；

（2）已知点(2,0)E -，若直线l 不与坐标轴垂直，且AEO BEO ∠=∠，证明：直线l 过定点． 【答案】（1）1y x =-或1y x =-+；（2）(2,0). 【解析】

解：（1）法一：焦点(1,0)F ，

当直线l 斜率不存在时，方程为1x =，与抛物线的交点坐标分别为(1,2)，(1,2)-， 此时4AB =，不符合题意，故直线的斜率存在．

设直线l 方程为(1)=-y k x 与2

4y x =联立得(

)

22

2

2

220k x k x k -+-=，

当0k =时，方程只有一根，不符合题意，故0k ≠.()212

2

22k x x k

++=，

抛物线的准线方程为1x =-，

由抛物线的定义得()()12||||||11AB AF BF x x =+=+++()22

2228k k

+=+=，

解得1k =±，

所以l 方程为1y x =-或1y x =-+.

法二：焦点(1,0)F ，显然直线l 不垂直于x 轴，设直线l 方程为1x my =+,

与24y x =联立得2

440y my --=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，124y y m +=，124y y =.

()()

()

22

2

2

121212||1AB x x y y m y y =

-+-=+-()

()2

2

212121441m y y y y m =++-=+，

由8AB =，解得1m =±， 所以l 方程为1y x =-或1y x =-+. （2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，

设直线l 方程为(0)x my b m =+≠与2

4y x =联立得：2

440y my b --=，

可得124y y m +=，124y y b =-. 由AEO BEO ∠=∠得EA EB k k =，即

121222

y y

x x =-++. 整理得121122220y x y x y y +++=，即121122()2()20y my b y my b y y +++++=， 整理得12122(2)()0my y b y y +++=， 即84(2)0bm b m -++=，即2b =. 故直线l 方程为2x my =+过定点(2,0).

22．（北京市房山区2019年第二次高考模拟检测高三数学理）已知抛物线2

2(0)x py p =>过点(2,1).

（Ⅰ）求抛物线的方程和焦点坐标；

（Ⅱ）过点(0,4)A -的直线l 与抛物线交于两点,M N ，点M 关于y 轴的对称点为T ，试判断直线TN 是否过定点，并加以证明.

【答案】（Ⅰ）抛物线方程为2

4x y =，焦点坐标为()0,1（Ⅱ）详见解析.

【解析】

（Ⅰ）因为抛物线2

2(0)x py p =>过点(2,1)P ，所以24p = 所以抛物线方程为24x y =，焦点坐标为(0,1) （Ⅱ）设直线l 的方程为4y kx =-,

由2

4

4y kx x y

=-⎧⎨

=⎩消y 整理得24160x kx -+=， 则216640k ∆=->，即||2k > 设1122(,),(,)M x y N x y 则T 11(,)x y - 且12124,16x x k x x +==. 直线21

2221

:()y y TN y y x x x x --=

-+ 21

22

21

222

21221222

212

122

2112

()1()4()41444 44y y y x x y x x x x y x x x x x x x x x x y x x x x x x y x -∴=

-++-∴=-++--∴=

-+-∴=+

即2

1

44x x y x -=+ 所以，直线TN 恒过定点(0,4).

23．（重庆南开中学2019届高三第四次教学检测考试数学理）过抛物线()2

:20C y px p =>的焦点F 且斜

率为1的直线交抛物线C 于M ，N 两点，且2MN =． （1）求p 的值；

（2）抛物线C 上一点()0,1Q x ，直线:l y kx m =+（其中0k ≠）与抛物线C 交于A ，B 两个不同的点（均与点Q 不重合），设直线QA ，QB 的斜率分别为1k ，2k ，121

2

k k =-

．动点H 在直线l 上，且满足0OH AB ⋅=，其中O 为坐标原点．当线段OH 最长时，求直线l 的方程．

【答案】(1) 1

2

p = (2) 310y x =- 【解析】

（1）抛物线的焦点为,02p F ⎛⎫

⎪⎝⎭

，设直线MN 方程为2p x y =+

联立抛物线方程可得2

2

20y py p --=

故：2M N y y p +=，2·

M N y y p =- ∴4222M N M N p p MN x x p y y p p ⎛

⎫⎛⎫=++=++++== ⎪ ⎪

⎝

⎭⎝⎭，解得12p =． （2）由（1）知抛物线C 方程为2

y x =，从而点()1,1Q ，设()11,A x y ，()22,B x y

22

0y kx m

ky y m y x

=+⎧⇒-+=⎨=⎩ ()140*km ∆=->

∵0k ≠，∴121y y k +=，12m y y k

⋅=． 由121212221212121111111

1111112

y y y y k k x x y y y y ----=

⋅=⋅=⋅=-----++ 可得()121230y y y y +++=，即1

30m k k

++= 从而13m k +=-该式满足()*式

∴()31y k x =--即直线l 恒过定点()3,1T -．

设动点(),H x y ，∵·0OH AB =，∴()(

),?3,10x y x y -+= ∴动点H 在22

30x x y y -++=，故H 与T 重合时线段OH 最长，

此时直线():331l y x =--，即：310y x =-．

24．（山东省青岛市2019届高考模拟检测数学理）已知为坐标原点，点，，

，

动点满足

，点为线段的中点，抛物线：上点的纵坐标为

，

.

（1）求动点的轨迹曲线的标准方程及抛物线的标准方程；

（2）若抛物线的准线上一点满足，试判断是否为定值，若是，求这个定值；若不是，请说明理由.

【答案】（1）曲线的标准方程为.抛物线的标准方程为.（2）见解析

【解析】

（1）由题知，，

所以，

因此动点的轨迹是以，为焦点的椭圆，

又知，，

所以曲线的标准方程为.

又由题知，

所以，

所以，

又因为点在抛物线上，所以，

所以抛物线的标准方程为.

（2）设，，

由题知，所以，即，

所以，

又因为，，

所以，

所以为定值，且定值为1.

25．（湖南省株洲市2019届高三第二次教学质量检测二模理）已知抛物线()2

:20E y px p =>经过点

()1,2A ，过A 作两条不同直线12,l l ，其中直线12,l l 关于直线1x =对称.

（Ⅰ）求抛物线E 的方程及准线方程；

（Ⅱ）设直线12,l l 分别交抛物线E 于B C 、两点（均不与A 重合），若以线段BC 为直径的圆与抛物线E 的准线相切，求直线BC 的方程.

【答案】（Ⅰ） 24y x =；准线方程为1x =- ；（Ⅱ）10x y +-=

【解析】

（Ⅰ）∵抛物线E 过点()1,2A ， ∴24p =，解得2p =，

∴抛物线的方程为2

4y x =，准线方程为1x =-．

（Ⅱ）方法一：不妨设B 在C 的左边，从而可设直线AB 的方程为()12(0)x m y m -=->，即

21x my m =-+，

由2

214x my m y x

=-+⎧⎨=⎩消去x 整理得24840y my m -+-=． 设(),B B B x y ，

则24B y m +=，故42B y m =-，

∴2

441B x m m =-+，

∴点(

)

2

441,42B m m m -+-．

又由条件得AB 与AC 的倾斜角互补，以m -代替点B 坐标中的m ， 可得点(

)

2

441,42C m m m ++--．

2023年高考数学一轮复习精讲精练第29练 抛物线(解析版)

第29练 抛物线 学校____________ 姓名____________ 班级____________ 一、单选题 1．抛物线22y x =的焦点到其准线的距离是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】A 【详解】 解：抛物线22y x =的焦点为1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，准线方程为1 2x =-， 所以焦点到准线的距离11122d ⎛⎫ =--= ⎪⎝⎭ ； 故选：A 2．已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，点P 在抛物线上，6PF =，则点P 的横坐标为（ ） A ．6 B ．5 C ．4 D ．2 【答案】C 【详解】 解：设点P 的横坐标为0x ，抛物线28y x =的准线方程为2x =-， 点P 在抛物线上，||6PF =， 026x ∴+=，04x ∴=． 故选：C ． 3．过点()1,2-，且焦点在y 轴上的抛物线的标准方程是（ ） A ．24y x = B ．24y x =- C ．21 2 =-x y D ．212 x y = 【答案】C 【详解】 解：依题意设抛物线方程为2x my =，因为抛物线过点()1,2-， 所以()212m =⨯-，解得12m =-，所以抛物线方程为2 12 =-x y ； 故选：C 4．抛物线24y x =上A 点到焦点F 的距离为17 16，则点A 的纵坐标为（ ）A ．1 B ． 1716 C ． 116 D ． 916

【答案】A 【详解】 解：由题得2 14x y = ，所以抛物线的准线方程为116 y =-. 设点A 纵坐标为A y ,则117 ()1616 A y --=，所以1A y =. 故选：A 5．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，点P 在C 上，直线PF 交y 轴于点Q ，若 3PF FQ =，则点P 到准线l 的距离为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 【答案】C 【详解】 解：由抛物线2:4C y x =，可知(1,0)F ，准线l 的方程为1x =-， 过点P 作y 轴的垂线，垂足为N ， 因为OF PN ∥，所以 ||||1 ||||4 OF FQ PN QP ==， 所以||4||4PN FO ==， 所以点P 到准线l 的距离为415+=． 故选：C ． 6．已知抛物线E :24x y =的准线交y 轴于点M ， 过点M 作直线l 交E 于A ，B 两点，且0BM BA +=，则直线l 的斜率是（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】B 【详解】 解：抛物线2 :4E x y =的准线为1y =-，所以()0,1M -， 由题意可知直线l 的斜率存在，

最新高考数学难点题型拔高训练含解析

难点题型拔高练(一) 1．过抛物线y ＝14x 2 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点C 在直线y ＝－1上，若 △ABC 为正三角形，则其边长为( ) A ．11 B ．12 C ．13 D ．14 解析：选B 由题意可知，焦点F (0,1)，易知过焦点F 的直线的斜率存在且不为零，设为k (k ≠0)，则该直线方程为y ＝kx ＋1(k ≠0)，联立方程得????? y ＝14 x 2， y ＝kx ＋1， ∴x 2 ＝4(kx ＋ 1)，即x 2 －4kx －4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4，设线段AB 的中点为M ，则M (2k ，2k 2 ＋1)，|AB |＝ 1＋k 2 [x 1＋x 2 2 －4x 1x 2]＝1＋k 2 16k 2 ＋16 ＝4(1＋k 2 )，设C (m ，－1)，连接MC ，∵△ABC 为等边三角形，∴k MC ＝2k 2 ＋22k －m ＝－1k ，m ＝2k 3 ＋4k ，点C (m ，－1)到直线y ＝kx ＋1的距离|MC |＝|km ＋2|1＋k 2＝32|AB |，∴|km ＋2|1＋k 2 ＝3 2×4(1＋k 2 )，∴2k 4 ＋4k 2 ＋21＋k 2 ＝23(1＋k 2)，∴1＋k 2＝3，∴k ＝±2，∴|AB |＝4(1＋k 2 )＝12. 2．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)，f ? ????π8＝2，f ? ?? ??π2＝0，且f (x )在(0，π)上单调．下列说法正确的是( ) A ．ω＝1 2 B ．f ? ?? ??－π8＝6－22 C ．函数f (x )在??????－π，－π2上单调递增 D ．函数f (x )的图象关于点? ?? ? ?3π4，0中心对称 解析：选C 由题意得函数f (x )的最小正周期T ＝2π ω ， 因为f (x )在(0，π)上单调，所以T 2＝π ω ≥π，得0<ω≤1. 因为f ? ????π8＝2，f ? ?? ??π2＝0，所以f (x )在(0，π)上单调递减，又0<φ<π，0<ω≤1，

高考数学考点练习第七章平面解析几何54抛物线试题理

考点测试54 抛物线 一、基础小题 1．已知抛物线x 2 ＝4y 上一点A 的纵坐标为4，则点A 到抛物线焦点的距离为( ) A.10 B ．4 C.15 D ．5 答案 D 解析 由题意知，抛物线的准线方程为y ＝－1，所以由抛物线的定义知，点A 到抛物线焦点的距离为5. 2．已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝12，P 为C 的准线上一点，则△ABP 的面积为( ) A ．18 B ．24 C ．36 D ．48 答案 C 解析 如图，设抛物线方程为y 2 ＝2px (p >0)． ∵当x ＝p 2 时，|y |＝p ，

∴p ＝|AB |2＝122＝6. 又P 到AB 的距离始终为p ， ∴S △ABP ＝1 2 ×12×6＝36. 3．已知过抛物线y 2 ＝6x 焦点的弦长为12，则此弦所在直线的倾斜角是( ) A.π6或5π6 B.π4或3π 4 C.π3或2π3 D.π2 答案 B 解析 焦点坐标为? ?? ??32，0，当斜率不存在时，弦长为2p ＝6，不符合题意，故此弦所在直线斜率存在设为k ，所以方程为y ＝k ? ????x －32，代入y 2＝6x ，得k 2x 2－(3k 2 ＋6)x ＋94k 2＝0， 设弦的两端点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，x 1＋x 2＋p ＝12，即3k 2 ＋6k 2＋3＝12，k 2 ＝1.∴k ＝tan α＝ ±1，结合x ∈[0，π)，可得α＝π4或3 4 π. 4．已知P 是抛物线y 2 ＝4x 上一动点，则点P 到直线l ：2x －y ＋3＝0和y 轴的距离之和的最小值是( ) A. 3 B. 5 C ．2 D.5－1 答案 D 解析 由题意知，抛物线的焦点为F (1,0)．设点P 到直线l 的距离为d ，由抛物线的定义可知，点P 到y 轴的距离为|PF |－1，所以点P 到直线l 的距离与到y 轴的距离之和为d ＋|PF |－1.易知d ＋|PF |的最小值为点F 到直线l 的距离，故d ＋|PF |的最小值为|2＋3|22 ＋－ 2 ＝5，所以d ＋|PF |－1的最小值为5－1. 5．抛物线y 2 ＝2px 的焦点为F ，点A 、B 、C 在此抛物线上，点A 坐标为(1,2)．若点F 恰为△ABC 的重心，则直线BC 的方程为( ) A ．x ＋y ＝0 B ．x －y ＝0 C ．2x ＋y －1＝0 D ．2x －y －1＝0 答案 C 解析 ∵点A 在抛物线上，∴4＝2p ，p ＝2. 抛物线方程为y 2＝4x ，焦点F (1,0)． 设点B (x 1，y 1)，点C (x 2，y 2)， 则有y 2 1＝4x 1，① y 22＝4x 2，② 由①－②，得(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝4(x 1－x 2)， 得k BC ＝ y 1－y 2x 1－x 2＝4 y 1＋y 2 .

【新课改专版】2020年高考数学一轮复习课时练50《抛物线》附答案解析

【新课改专版】2020年高考数学一轮复习课时精练 50.抛物线 [A 级 基础题——基稳才能楼高] 1．(2019·石家庄模拟)抛物线y ＝2x 2的准线方程是( ) A ．x ＝12 B ．x ＝－12 C ．y ＝18 D ．y ＝－18 2．已知抛物线C 与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C 的方程是( ) A ．y 2 ＝±22x B ．y 2 ＝±2x C ．y 2＝±4x D ．y 2 ＝±42x 3．(2019·齐齐哈尔一模)若抛物线x 2＝4y 上的点P (m ，n )到其焦点的距离为5，则n ＝( ) A ．194 B ．9 2 C ．3 D ．4 4．(2019·衡水金卷高三联考)抛物线有如下光学性质：由焦点发出的光线，经抛物线上的一点 反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线上的一点反射后，必经过抛物线的焦点．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，一平行于x 轴的光线从点M (3,1)射入，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则直线AB 的斜率为( ) A.43 B ．－4 3 C ．±43 D ．－16 9 5．(2019·珠海模拟)已知抛物线y 2 ＝4x 的焦点为F ，准线为l ，点P 为抛物线上一点，且在第一象限，PA ⊥l ，垂足为A ，|PF |＝4，则直线AF 的倾斜角等于( ) A.7π12 B.2π 3 6．(2019·江苏高邮模拟)抛物线y 2 ＝14 x 的焦点坐标是________． 、 [B 级 保分题——准做快做达标] 1．(2019·武汉调研)过抛物线C ：y 2 ＝2px (p ＞0)的焦点F ，且斜率为3的直线交C 于点M (M 在x 轴上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，若|NF |＝4，则M 到直线NF 的距离为( ) A. 5 B ．2 3 C ．3 3 D ．2 2 2．(2019·长沙质检)设经过抛物线C 的焦点的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，那么抛物线C 的准线与以AB 为直径的圆的位置关系为( )

2021版高考数学一轮复习练案(56)第八章解析几何第七讲抛物线(含解析)

[练案56]第七讲 抛物线 A 组基础巩固 一、单选题 1．(2020·河北邯郸质检)已知抛物线C ：y 2 ＝2px (p >0)的焦点为F ，抛物线上一点M (2， m )满足|MF |＝6，则抛物线C 的方程为( D ) A ．y 2 ＝2x B ．y 2 ＝4x C ．y 2＝8x D ．y 2 ＝16x [解析] 设抛物线的准线为l ，作MM ′⊥直线l 于点M ′，交y 轴于M ″，由抛物线的定义可得：MM ′＝MF ＝6，结合x M ＝2可知：M ′M ″＝6－2＝4，即p 2＝4，∴2p ＝16，据此可知抛 物线的方程为：y 2 ＝16x .选D. 2．(2019·山东济宁期末)抛物线y ＝4x 2 的准线方程是( A ) A ．y ＝－1 16 B ．y ＝1 16 C ．x ＝1 D ．x ＝－1 [解析] 抛物线标准方程为x 2 ＝14y ，∴p ＝18，∴准线方程为y ＝－p 2，即y ＝－116，故选 A. 3．(2020·吉林长春模拟)已知F 是抛物线y 2 ＝4x 的焦点，则过F 作倾斜角为60°的直线分别交抛物线于A ，B (A 在x 轴上方)两点，则|AF | |BF | 的值为( C ) A ． 3 B ．2 C ．3 D ．4 [解析] 由题意知F (1,0)，AB ：y ＝3(x －1)， 由⎩⎨ ⎧ y ＝3x －1y 2＝4x ，得3x 2 －10x ＋3＝0， 解得x 1＝3，x 2＝1 3， ∴ |AF ||BF |＝3＋1 1 3 ＋1＝3，故选C. 4．(2019·湖北荆州模拟)从抛物线y 2 ＝4x 在第一象限内的一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且|PM |＝9，设抛物线的焦点为F ，则直线PF 的斜率为( C ) A ．627 B ．1827

2021高三数学(理)一轮复习专练53抛物线含解析

2021高三数学（理）人教版一轮复习专练53抛 物线含解析 专练53抛物线 命题范围：抛物线的定义、标准方程与简单的几何性质 [基础强化］ 一、选择题 1．抛物线y＝1 4x 2的焦点到其准线的距离为(） A．1 B．2 C。1 2D。错误! 2．已知抛物线y2＝2px（p〉0）的准线经过点（－1，1),则该抛物线的焦点坐标为(） A．（－1,0) B．（1,0) C．(0，－1) D．(0，1） 3．动点M到点F(2，1)的距离和到直线l：3x＋4y－10＝0的距离相等，则动点M的轨迹为（） A．抛物线B．直线 C．线段D．射线 4．若抛物线y2＝2px的焦点与双曲线错误!－y2＝1的右焦点重合，则p的值为（） A．－4 B．4 C．－2 D．2 5．若抛物线y2＝2px（p〉0)上横坐标为6的点到此抛物线焦点的距离为10，则该抛物线的焦点到准线的距离为（）A．4 B．8 C．16 D．32 6．［2019·全国卷Ⅱ]若抛物线y2＝2px（p〉0)的焦点是椭圆错误!＋错误!＝1的一个焦点，则p＝（） A．2 B．3 C．4 D．8

7。 如图，过抛物线y2＝2px（p>0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B,C，若｜BC|＝2|BF|，且|AF｜＝4，则抛物线的方程为() A．y2＝8x B．y2＝4x C．y2＝2x D．y2＝x 8．设坐标原点为O,抛物线y2＝2x与过焦点的直线交于A,B两点，则错误!·错误!等于() A。错误!B．－错误! C．3 D．－3 9．已知抛物线y2＝2px(p〉0）的焦点为F，准线为l,过点F 的直线交抛物线于A，B两点，过点A作准线l的垂线，垂足为E，当A点坐标为(3,y0）时,△AEF为正三角形，则此时△OAB的面积为(） A.错误!B。错误! C.错误! D.错误! 二、填空题 10．已知抛物线的顶点是原点,对称轴为坐标轴，并且经过点P(－2，－4)，则该抛物线的标准方程为______________．11．过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P（x1，y1），Q(x2,y2)两点，若x1＋x2＝6，则|PQ|＝________。 12．已知直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k的值为________． ［能力提升] 13．［2020·全国卷Ⅰ]已知A为抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12,到y轴的距离为9，则p＝(）A．2 B．3 C．6 D．9

专题15 抛物线中的三类直线与圆相切问题-高中数学必备考试技能之二级结论提高速度原创精品(解析版)

的垂线,垂足分别为A1,B1,E AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦(焦点弦),过A,B分别作准线l:x=-p 2 为A1B1的中点. (1)如图①所示,以AB为直径的圆与准线l相切于点E. (2)如图②所示,以A1B1为直径的圆与弦AB相切于点F,且EF2=A1A·BB1. (3)如图③所示,以AF为直径的圆与y轴相切.

1,0时，．在平面直角坐标系()(1OC tOM t ON t =+-∈R (1)求证:;OA OB ⊥ (2)在x 轴上是否存在一点(P m 求出m 的值及圆心的轨迹方程；若不存在，请说明理由()(1OC tOM t ON t R =+-∈() ()13314x --=-，即y x =-化简得212160x x -+=，

设C 的轨迹与抛物线2 4y x =的交点坐标为()11,A x y ，()22,B x y ， 所以1212x x +=，1216x x =， ()()()121212124441616y y x x x x x x =--=-++=- ， 因为121216160OA OB x x y y ⋅=+=-= 所以OA OB ⊥， （2）假设存在这样的P 点，并设AB 是过抛物线的弦，其方程为x ny m =+， 代入24y x =得2440y ny m --=， 此时124y y n +=，124y y m =-，计算两直线的斜率之积， 所以121 222121212164144 OA OB y y y y k k y y x x y y m =⋅=⋅==-=-， 所以4m =（定值），故存在这样的点()4,0P 满足题意， 设AB 的中点为(),T x y ， 则()12122y y y n =+=，()()()21212121144424222 n x x x ny ny y y n =+=+++=++=+ ， 消去n 得228y x =-．

2022届高考数学统考一轮复习第九章抛物线学案文含解析新人教版

高考数学统考一轮复习： 第七节 抛物线 【知识重温】 一、必记2个知识点 1．抛物线定义、标准方程及几何性质 (p ＞0) ________ ________ ________ x 轴 ⑤________ y 轴 ⑥________ 设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 (1)x 1x 2＝p 2 4 ，y 1y 2＝－p 2. (2)弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2p sin 2α (α为弦AB 的倾斜角)． (3)以弦AB 为直径的圆与准线相切． (4)通径：过焦点且垂直于对称轴的弦，长等于2p . 二、必明2个易误点 1．抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线． 2．抛物线标准方程中参数p 易忽视，只有p >0，才能证明其几何意义是焦点F 到准线l 的距离，否则无几何意义． 【小题热身】 一、判断正误

1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)． (1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( ) (2)抛物线y 2＝4x 的焦点到准线的距离是4.( ) (3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( ) (4)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝⎛⎭⎫ a 4，0，准线 方程是x ＝－a 4 .( ) 二、教材改编 2．过点P (－2,3)的抛物线的标准方程是( ) A ．y 2＝－92x 或x 2＝4 3y B ．y 2＝92x 或x 2＝4 3y C ．y 2＝92x 或x 2＝－4 3y D ．y 2＝－92x 或x 2＝－4 3y 3．抛物线y 2 ＝8x 上到其焦点F 距离为5的点P 有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．4个 三、易错易混 4．已知抛物线C 与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C 的方程是( ) A ．y 2＝±22x B ．y 2＝±2x C ．y 2＝±4x D ．y 2＝±42x 5．设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是________． 四、走进高考 6．[2020·全国卷Ⅰ]已知A 为抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p ＝( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．9 考点一 抛物线的定义和标准方程 [自主练透型] 1．[2020·北京卷]设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ，P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ ⊥l 于Q .则线段FQ 的垂直平分线( ) A ．经过点O B ．经过点P C ．平行于直线OP D ．垂直于直线OP 2．[2021·湖北鄂州调研]过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作斜率为3的直线，与抛物线在

2022年高考数学基础题型+重难题型突破抛物线的焦点弦问题(解析版)

类型九 抛物线的焦点弦问题 【方法 总结】 直线与抛物线相交的问题，若直线过抛物线的焦点，可使用焦点弦长公式求弦长，利用焦点弦的特殊结论求解题目． 【典例1】如图，过抛物线y 2＝2PX(P>0)的焦点F 的直线与抛物线相交于M 、N 两点，自M 、N 向准线L 作垂线，垂足分别为M 1、N 1 (Ⅰ)求证：FM 1⊥FN 1: (Ⅱ)记△FMM 1、、△FM 1N 1、△FN N 1的面积分别为S 1、、 S 2 、， S 3，试判断S 22＝ 4S 1S 3是否成立，并证明你的结论。 【解析】 证法1：由抛物线的定义得 11,,MF MM NF NN == 1111,MFM MM F NFN NN F ∴∠=∠∠=∠ 如图，设准线l 与x 的交点为1F 111////MM NN FF w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 111111,F FM MM F F FN NN F ∴∠=∠∠=∠ 而0 111111180F FM MFM F FN N FN ∠+∠+∠+∠= 即0 111122180 F FM F FN ∠+∠= 0111190F FM F FN ∴∠+∠=故11 FM FN ⊥ 证法2：依题意，焦点为( ,0),2p F 准线l 的方程为2 p x =- 设点M,N 的坐标分别为1122,),,),M x y N x y （（直线MN 的方程为2 p x my =+，则有 11121112(,),(,),(,),(,)22 p p M y N y FM p y FN p y - -=-=- 由222p x my y px ⎧=+⎪⎨ ⎪=⎩ 得2220y mpy p --= 于是，122y y mp +=，212y y p =-

2022版新高考数学一轮复习专题限时练习：54 抛物线 (含解析)

2022年新高考数学专题限时练习(五十 四) 抛物线 建议用时：40分钟 一、选择题 1．点M (5,3)到抛物线y ＝ax 2的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是 ( ) A ．x 2＝1 12y B ．x 2＝112y 或x 2＝－1 36y C ．x 2＝－1 36y D ．x 2＝12y 或x 2＝－36y D [将y ＝ax 2化为x 2＝1a y .当a >0时，准线y ＝－14a ，则3＋14a ＝6，∴a ＝1 12. 当a <0时，准线y ＝－14a ，则⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪3＋14a ＝6， ∴a ＝－1 36. ∴抛物线方程为x 2＝12y 或x 2＝－36y .] 2．(2020·泰安模拟)已知抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，O 为坐标原点，OF 为菱形OBFC 的一条对角线，另一条对角线BC 的长为2，且点B ，C 在抛物线E 上，则p ＝( ) A ．1 B ． 2 C ．2 D ．2 2 B [由题意，⎝ ⎛⎭⎪⎫ p 4，1在抛物线上，代入抛物线方程可得1＝p 22，∵p ＞0，∴p ＝2，故选B.] 3．(2020·北京高考)设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l .P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ ⊥l 于Q ，则线段FQ 的垂直平分线( ) A ．经过点O B ．经过点P

C．平行于直线OP D．垂直于直线OP B[如图所示： 因为线段FQ的垂直平分线上的点到F，Q的距离相等， 又点P在抛物线上，根据定义可知，|PQ|＝|PF|，所以线段 FQ的垂直平分线经过点P.故选B.] 4．(多选)(2020·辽宁锦州月考)以下四个命题中，真命题的序号是() ①平面内到两定点距离之比等于常数λ(λ≠1)的点的轨迹是圆； ②平面内与定点A(－3,0)和B(3,0)的距离之差等于4的点的轨迹方程为x2 4－ y2 5 ＝1； ③点P是抛物线x2＝4y上的动点，点P在x轴上的射影是M，点A的坐标是A(1,0)，则|P A|＋|PM|的最小值是2＋1； ④已知点P为抛物线y2＝4x上一个动点，点Q为圆x2＋(y－4)2＝1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是17－1. A．①B．② C．③D．④ AD[对于①，平面内到两定点的距离之比为定值(不等于1)的点的轨迹是圆，这个圆被称为阿波罗尼斯圆，所以①正确；对于②，根据题意，结合双曲线的定义，可知题中点的轨迹是双曲线的一支，所以②错误；对于③，根据题意，结合抛物线的定义，可求得|P A|＋|PM|的最小值应为2－1，所以③错误；对于④，根据抛物线的定义，可知抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离是相等的，将其转化为到焦点的距离，结合圆的相关性质可知④是正确的．] 5．(多选)(2020·山东胶州一中月考)已知抛物线y2＝4x上一点P到准线的距离为d1，到直线l：4x－3y＋11＝0的距离为d2，则d1＋d2的取值可以为()

高中数学第二章平面解析几何2.7.2抛物线的几何性质课后练习含解析新人教B版选择性必修第一册

第二章平面解析几何 2.7 抛物线及其方程 2.7.2 抛物线的几何性质 课后篇巩固提升 必备知识基础练 1.已知抛物线C :y 2=8x 上一点A 到焦点F 的距离等于6,则直线AF 的斜率为( ) A.2 B.±2 C.2√2 D.±2√2 ,点F (2,0),因为|AF|=x A +2=6,可得x A =4,又因为点A 在抛物线上,所以y A 2 =32,则y A =±4√2, 所以点A (4,±4√2),则k AF = ±4√2 2 =±2√2. 2.已知直线y=kx-k 及抛物线y 2=2px (p>0),则( ) A.直线与抛物线有一个公共点 B.直线与抛物线有两个公共点 C.直线与抛物线有一个或两个公共点 D.直线与抛物线可能没有公共点 直线y=kx-k=k (x-1),∴直线过点(1,0), 又点(1,0)在抛物线y 2=2px 的内部, ∴当k=0时,直线与抛物线有一个公共点;当k ≠0时,直线与抛物线有两个公共点. 3.若抛物线y 2=2x 上有两点A ,B ,且AB 垂直于x 轴,若|AB|=2√2,则点A 到抛物线的准线的距离为( ) A.1 B.3 2 C.2 D.5 2 y 2=2x ,其准线方程为x=-1 2,∵AB 垂直于x 轴,|AB|=2√2,A 到y 轴的距离为√2,假设A 在 y 轴上侧,即y=√2,代入抛物线y 2=2x ,求得x=1, 点A 到抛物线的准线的距离d=1+1 2=3 2. 4.P 为抛物线y 2=2px 的焦点弦AB 的中点,A ,B ,P 三点到抛物线准线的距离分别是|AA 1|,|BB 1|,|PP 1|,则有 ( ) A.|PP 1|=|AA 1|+|BB 1| B.|PP 1|=1 2|AB| C.|PP 1|>12|AB| D.|PP 1|<12|AB|

2022年高考数学一轮复习专题 专题41 抛物线基础巩固检测题(解析版)

专题41 抛物线基础巩固检测题（解析版） 一、单选题 1．过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于A B 、两点，若F 是线段AB 的中点，则AB =（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】D 【分析】 依据题意可知线段AB 为抛物线的通径可得结果. 【详解】 由题可知：线段AB 为抛物线的通径 所以AB 4= 故选：D 2．P 为抛物线22(0)y px p =>上一点，点P 到抛物线准线和对称轴的距离分别为10和6，则p =（ ） A ．2 B ．4 C ．4或9 D ．2或18 【答案】D 【分析】 由抛物线22(0)y px p =>可得准线l 的方程为：2 p x =-，设点(,)P x y ，再由点P 到抛物线准线和对称轴的距离分别为10和6，可得102 p x +=，6y =±，再与抛物线方程22(0)y px p =>，联立解方程组，即可求解. 【详解】 解：由题意可得：抛物线22(0)y px p =>的准线l 的方程为：2 p x =- 设点(,)P x y ，又因点P 到抛物线准线和对称轴的距离分别为10和6， 所以有210262p x y y px ⎧+=⎪⎪=±⎨⎪=⎪⎩ ，解得118x p =⎧⎨=⎩或92x p =⎧⎨=⎩，

即p 的值分别为18或2. 故选：D. 【点睛】 本题考查了抛物线的标准方程及其性质，考查理解辨析能力及运算求解能力，属于基础题. 3．已知抛物线方程为24x y =，则该抛物线的焦点坐标为（ ） A ．(0,1)- B ．1,016⎛- ⎫ ⎪⎝⎭ C ．1,016⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．(0,1) 【答案】D 【分析】 根据抛物线方程求出2p =，即可得抛物线的焦点坐标. 【详解】 由抛物线方程24x y =可知24p =，所以2p =， 又抛物线的焦点在y 轴正半轴上，所以该抛物线的焦点坐标为(0,1). 故选：D 4．已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点在直线10x y +-=上，又经过抛物线C 的焦点且倾斜角为60︒的直线交抛物线C 于A ､B 两点，则||AB =（ ） A ．12 B ．14 C ．16 D ．18 【答案】C 【分析】 直线10x y +-=与y 轴的交点就是抛物线的焦点，从而可求出抛物线方程，然后将倾斜角为60︒的直线方程与抛物线方程联立成方程组，消去x ，整理后利用根与系数的关系可得1214y y +=，从而再利用抛物线的定义可求出||AB 【详解】 解：因为直线10x y +-=与y 轴的交点为(0,1)， 所以抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点坐标为(0,1)，设(0,1)F ，抛物线方程为 24x y =， 所以过焦点且倾斜角为60︒的直线方程为1y =+，

2021届新高考数学艺考生百日冲刺专题32抛物线的方程及几何性质(解析版)

专题32 抛物线的方程及几何性质 抛物线的标准方程与几何性质 焦半径公式：设抛物线()220y px p =>的焦点为F ，(),A x y ，则2 AF x =+ 焦点弦长：设过抛物线()2 20y px p =>焦点的直线与抛物线交于()()1122,,,A x y B x y ，则 12AB x x p =++（AB AF BF =+，再由焦半径公式即可得到） 题型一、抛物线的定义与性质 例1、【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知A 为抛物线C :y 2=2px （p >0）上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =

A ．2 B ．3 C ．6 D ．9 【答案】C 【解析】设抛物线的焦点为F ，由抛物线的定义知||122 A p AF x =+=，即1292p =+， 解得6p . 故选：C ． .变式1、【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线C ： 22(0)y px p =>交于D ，E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为 A ． 1,04⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ． 1 ,02⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ． (1,0) D ． (2,0) 【答案】B 【解析】因为直线2x =与抛物线2 2(0)y px p =>交于,E D 两点，且OD OE ⊥， 根据抛物线的对称性可以确定4 DOx EOx π ∠=∠= ，所以()2,2D ， 代入抛物线方程44p =，求得1p =，所以其焦点坐标为1 (,0)2 ， 故选：B ． 变式2、【2020年高考北京】设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ l ⊥于Q ，则线段FQ 的垂直平分线 A ． 经过点O B ． 经过点P

《抛物线》测试题一(解析版)

《抛物线》训练题答 一、单项选择题：(本大题共8小题，每小题5分，共40分．) 1．抛物线241x y =的准线方程是（ A ） A ． 1-=y B ． 2-=y C ． 1-=x D ． 2-=x 2．设F 为抛物线2 :=3C y x 的焦点，过F 且倾斜角为30︒的直线交C 于A ,B 两点，则 AB =（D ） A.303 B.6 C. 73 D. 12 3．设M （x 0，y 0）为抛物线C ：y 2=8x 上一点，F 为抛物线C 的焦点，若以F 为圆心，|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则x 0的取值范围是（ A ） A ．（2，+∞） B ．（4，+∞） C ．（0，2） D ．（0，4） 4. 如图过抛物线y 2 =2px （p ＞0）的焦点F 的直线依次交抛物线及准线于点A ，B ，C ，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则抛物线的方程为（ D ） A ．y 2=x B ．y 2=9x C ．y 2=x D ．y 2=3x 5．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，经过F 且斜率为3的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK ⊥l ，垂足为K ，则△AKF 的面积是( C ) A ．4 B ．33 C ．4 3 D ．8 6．设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若FA FB FC ++＝0，则||||||FA FB FC ++等于( B ) A ．9 B ．6 C ．4 D ．3 7．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( A ) A ．2 B ．3 C.115 D.3716 8. 抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，设A ，B 是抛物线上的两个动点，|AF |＋|BF |＝233 |AB |，则∠AFB 的最大值为( D ) A.π3 B.3π4 C.5π6 D.2π3 二、多项选择题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分．) 9.已知直线l 过抛物线2:8C y x =的焦点F 3l 与抛物线交于,P Q 两点（P 在 第一象限），以,PF QF 为直径的圆分别与y 轴相切于,A B 两点，则下列结论正确的是（ ） A ．32||3PQ = B ．83AB = C ．若M 为抛物线C 上的动点，(2,1)N ，则min (||||)4MF MN += D ．若0(,210)M x 为抛物线C 上的点，则9MF =

2021届高考数学新高考下基于问题探究考点4.4 抛物线(解析版)

考点4.4 抛物线 圆锥曲线中的抛物线问题是高考重点考查的内容之一，其命题形式多种多样，其中基于问题情境的抛物线问题在高考中逐步成为热点。通过具体的问题背景或新的定义，考察抛物线知识在问题情境中的应用，以此来检验学生的核心价值，学科素养，关键能力，必备知识。本专题以单选题，填空题及解答题等形式体现抛物线的实际应用。 解决基于问题情境的抛物线问题，常用的解题思路是：审题、建模、研究模型、解决实际问题。解题要点：(1) 利用抛物线的定义，平面几何等知识建立方程或不等式； (2)利用方程或不等式进行实际问题求解。 基础知识 1．抛物线的定义 (1)定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )的距离相等的点的轨迹． (2)焦点：点F 叫做抛物线的焦点． (3)准线：直线l 叫做抛物线的准线． 2．抛物线的标准方程、简单的几何性质及常用公式 2 2212122121222 )11) ()4(1)(1)()4,x x x x x y y y y y k k +-=+ =++-为直线与抛物线的两个交点 p – (x +x ) p +y +y p – (y +y )

抛物线 （1） 单选题 1．（2020·全国高三专题练习）如图为一个抛物线形拱桥，当水面经过抛物线的焦点时，水面的宽度为36m ，则此时欲经过桥洞的一艘宽12m 的货船，其船体两侧的货物距离水面的最大高度应不超过（ ） A ．6m B ．6.5m C ．7.5m D ．8m 【答案】D 【分析】 根据题意,抽象出抛物线的几何模型.根据抛物线的通经性质求得抛物线方程,即可求得当宽为12m 时的纵坐标,进而求得水面到顶部的距离. 【详解】 根据题意,画出抛物线如下图所示: 设宽度为36m 时与抛物线的交点分别为,A B .当宽度为12m 时与抛物线的交点为,C D . 当水面经过抛物线的焦点时,宽度为36m 由抛物线性质可知236p =,则抛物线方程为2 36x y =- 则()18,9A -当宽度为12m 时,设()6,C a 代入抛物线方程可得2636a =-,解得1a =-

历年高考抛物线真题详解理科

历年高考抛物线真题详解理科 1.2017课标1,理10已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点,过F 作两条互相垂直的直线l 1,l 2,直线l 1 与C 交于A 、B 两点,直线l 2与C 交于D 、E 两点,则|AB |+|DE |的最小值为 A ．16 B ．14 C ．12 D ．10 2.2016年高考四川理数设O 为坐标原点,P 是以F 为焦点的抛物线上任意一 点,M 是线段PF 上的点,且 =2 ,则直线OM 的斜率的最大值为 A B C D1 3.2016年高考四川理数设O 为坐标原点,P 是以F 为焦点的抛物线2 2(p 0)y px =>上任意一 点,M 是线段PF 上的点,且 PM =2MF ,则直线OM 的斜率的最大值为 B 23 C D1 4.2016高考新课标1卷以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点,交C 的准线于 D 、 E 两点.已知|AB |= DE|=则C 的焦点到准线的距离为 A2 B4 C6 D8 5.2015高考四川,理10设直线l 与抛物线 24y x =相交于A,B 两点,与圆 () ()2 2250x y r r -+=>相切于点M,且M 为线段AB 的中点.若这样的直线l 恰有4条,则r 的取值范围是 A ()13， B ()14， C ()23， D ()24， 6.2015高考浙江,理5如图,设抛物线24y x =的焦点为F ,不经过焦点的直线上有三个不同的点 A , B , C ,其中点A ,B 在抛物线上,点C 在y 轴上,则BCF ∆与ACF ∆的面积 之比是 A. 11BF AF -- B. 2211BF AF -- C. 11BF AF ++ D. 2 2 11 BF AF ++

高考数学易错题专项突破__易错点30抛物线及其性质含解析

易错点30 抛物线及其性质 一、单选题 1. 以抛物线y 2=2yy (y >0)的焦半径|yy |为直径的圆与y 轴的位置关系是 A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不确定 2. 设抛物线y 2=8y 的焦点为F ,过F 的直线l 与抛物线交于点A ,B ,与圆y 2+y 2− 4y +3=0交于点P ,Q ,其中点A ,P 在第一象限,则2|yy |+|yy |的最小值为 A. 2√2+3 B. 2√2+5 C. 4√2+3 D. 4√2+5 3. 已知P 为抛物线y 2=12y 上一个动点,Q 为圆(y −4)2+y 2=1上一个动点,则点P 到 点Q 的距离与点P 到x 轴距离之和的最小值是 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 4. 抛物线y 2=4y 的焦点为F ,点y (y ,y )为该抛物线上的动点,又点y (−1,0),则|yy | |yy |的 最小值是 A. 1 2 B. √22 C. √32 D. 2√2 3 5. 已知y 1,y 2分别是椭圆y 2 y 2+y 2 y 2=1(y >y >0)的左、右焦点,以y 2为焦点的抛物线 与椭圆交于点P ,且∠yy 1y 2=y 4,则椭圆的离心率是 A. √3−1 B. √2−1 C. √22 D. √32 6. 已知抛物线y 2=2yy (y >0),F 为抛物线的焦点,O 为坐标原 点,y (y 1,y 1),y (y 2,y 2)为抛物线上的两点,y ,y 的中点到抛物线准线的距离为5,yyyy 的重心为F ,则y = A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 已知抛物线y :y 2=4y 的焦点为F ,过点F 的直线l 交抛物线于y ,y 两点,且|yy |= 2|yy |,则直线l 的斜率为 A. ±√2 B. ±2√2 C. ±√2 2 D. ±√2 4 8. 设抛物线y 2=4y 的焦点为F ,过点y (2,0)的直线与抛物线相交于y ,y 两点,与抛物线 的准线相交于C ,若|BF |=2,则ΔBCF与ΔACF的面积之比y yyyy y yyyy = A. 3 5 B. 2 5 C. 3 2 D. 2 3

专题38 抛物线——备战2023年高考数学一轮复习讲义(解析版)

<备战2023年高考数学一轮复习讲义> 专题38 抛物线 1．（2021·新高考Ⅱ卷）抛物线 2 2(0)y px p => 的焦点到直线 1y x =+ 的距离为 2 ， 则 p = （ ） A ．1 B ．2 C ．22 D ．4 【答案】B 【解析】解：抛物线的焦点坐标为,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，则其到直线x -y+1=0的距离为12 22 p d +==，解得p=2或p=-6(舍去)，故p=2. 故答案为：B 2．（2020·新课标Ⅱ·理）设O 为坐标原点，直线x=2与抛物线C ：y 2=2px(p>0)交于D ，E 两点，若ODⅡOE ，则C 的焦点坐标为（ ） A ．（ 1 4 ，0） B ．（ 1 2 ，0） C ．（1，0） D ．（2，0） 【答案】B 【解析】因为直线 2x = 与抛物线 2 2(0)y px p => 交于 ,C D 两点，且 OD OE ⊥ ， 根据抛物线的对称性可以确定 4 DOx COx π ∠=∠= ，所以 (2,2)C ， 代入抛物线方程 44p = ，求得 1p = ，所以其焦点坐标为 1 (,0)2 ， 故答案为：B. 1．抛物线的概念 把平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线． 2．抛物线的标准方程和简单几何性质 标准方程 y 2＝2px (p >0) y 2＝－2px (p >0) x 2＝2py (p >0) x 2＝－2py (p >0)

图形 范围 x ≥0，y ⅡR x ≤0，y ⅡR y ≥0，x ⅡR y ≤0，x ⅡR 焦点 ⎝⎛⎭ ⎫p 2，0 ⎝⎛⎭ ⎫－p 2，0 ⎝⎛⎭ ⎫0，p 2 ⎝ ⎛⎭⎫0，－p 2 准线方程 x ＝－p 2 x ＝p 2 y ＝－p 2 y ＝p 2 对称轴 x 轴 y 轴 顶点 (0,0) 离心率 e ＝1 抛物线焦点弦的几个常用结论 设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 (1)x 1x 2＝p 2 4 ，y 1y 2＝－p 2； (2)若A 在第一象限，B 在第四象限，则|AF |＝p 1－cos α，|BF |＝p 1＋cos α ，弦长|AB |＝x 1＋x 2 ＋p ＝2p sin 2α(α为弦AB 的倾斜角)； (3)1|F A |＋1|FB |＝2p ； (4)以弦AB 为直径的圆与准线相切； (5)以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切； (6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上； (7)通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p . 考点一 抛物线的定义和标准方程 1．已知点M (20,40)，抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F .若对于抛物线上的一点P ，|PM |＋|PF |的最小值为41，则p 的值等于________． 【答案】42或22 【解析】当点M (20,40)位于抛物线内时，如图Ⅱ，过点P 作抛物线准线的垂线，垂足为D ，