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专题23 数学文化(客观题)(理)(解析版)

1 专题23 数学文化（客观题）

一、单选题

1．1750年，

欧拉在给哥德巴赫的一封信中列举了多面体的一些性质，其中一条是如果用V 、E 和F 表示闭的凸多面体的顶点数、棱数和面数，则有如下关系：2V E F -+=．已知正十二面体有20个顶点，则正十二面体有条棱

A ．30

B ．14

C ．20

D ．26

【试题来源】云南师范大学附属中学2021届高考适应性月考卷（四）（文）

【答案】A

【分析】由已知条件得出20V =，12F =，代入欧拉公式2V E F -+=可求得E 的值，即为所求．

【解析】由已知条件得出20V =，12F =，

由欧拉公式2V E F -+=可得22012230E V F =+-=+-=．故选A ．

2．远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，就是现在我们熟悉的“进位制”，下图所示的是一位母亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是

A ．27

B ．42

C ．55

D ．210

【试题来源】陕西省宝鸡市金台区2020-2021学年高三上学期11月教学质量检测（理）

【答案】B

【分析】根据题意可得孩子已经出生天数的五进制数为()5132，化为十进制数即可得出结果．

【解析】由题意可知，孩子已经出生的天数的五进制数为()5132，化为十进制数为()251321535242=⨯+⨯+=．故选B ．

【名师点睛】本题考查五进制数化为十进制数，考查计算能力，属于基础题． 3．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“

今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，

2020年江苏省高考数学专项拔高训练专题23 立体几何中的计算(解析版)

专题23 立体几何中的计算一、例题选讲题型一、简单几何体的体积与表面积简单的几何体一般指简单的柱、锥和球，在历年的高考考查中涉及到求体积或者与面积有关的问题，解决此类问题的关键是要把几何体的高、斜高等基本量求出然后运用体积或者面积公式求出。例1、（2019江苏卷）如图，长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点，则三棱锥E -BCD 的体积是_____. 【答案】10. 【解析】因为长方体1111ABCD A B C D -的体积为120，所以1120AB BC CC ??=，因为E 为1CC 的中点，所以11 2 CE CC = ，由长方体的性质知1CC ⊥底面ABCD ，所以CE 是三棱锥E BCD -的底面BCD 上的高，所以三棱锥E BCD -的体积1132V AB BC CE =???=11111 1201032212 AB BC CC =???=?=. 例2、(2019镇江期末）已知一个圆锥的底面积为π，侧面积为2π，则该圆锥的体积为________．【答案】 3π 3 【解析】先求出圆锥的底面半径和高．设圆锥的底面半径、高、母线长分别为r ，h ，l ，则? ??? ?πr 2 ＝π，πrl ＝2π，解得? ????r ＝1，l ＝2.所以h ＝ 3.圆锥的体积V ＝13Sh ＝3π3. 例3、（2017江苏卷）如图，圆柱O 1O 2内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O 1O 2的体积为V 1，球O 的体积为V 2，则V 1 V 2 的值是________．

【答案】 3 2 【解析】设球的半径为R ，则圆柱的底面半径为R ，高为h ＝2R .因为V 1＝πR 2 h ＝2πR 3 ，V 2＝4πR 3 3，所以V 1 V 2 ＝ 3 2 . 【解后反思】因为所求的是两体积的比值，所以不妨设R ＝1，不会影响结果题型二、运用等积法求几何体的体积或者高若一个几何体的高或者底面积不好求时，要考虑运用等积法求体积，要换顶点，以便高以及底面积都可以求出，有时几何体往往会涉及到换体，但要主要体之间的关系。运用等积法也可以求几何体的高。例4、(2019南京、盐城一模）如图，PA ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，PA ＝4，AC ＝3，BC ＝1，E ，F 分别为AB ，PC 的中点，则三棱锥BEFC 的体积为________．【答案】. 36 【解析】：V BEFC ＝V FBEC ＝12V PBEC ＝12·(13·S △BEC ·PA)＝12×13×34×4＝3 6 . 例5、（2016无锡期末）如图，在圆锥VO 中，O 为底面圆心，半径OA ⊥OB ，且OA ＝VO ＝1，则O 到平面VAB 的距离为________．【答案】 3 3 【解析】思路分析在立体几何求点到平面的距离问题中，往往有两种途径：(1) 利用等体积法，这种方法一般不需要作出高线；(2) 利用面面垂直的性质作出高线，再进行计算．解法1因为VO ⊥平面AOB ，OA ?平面AOB ，所以VO ⊥OA ，同理VO ⊥OB ，又因为OA ⊥OB ，OA ＝

专题23 矩阵与变换(解析版)

专题23 矩阵与变换 1、（2019年江苏卷）已知矩阵3122?? =???? A （1）求A 2；（2）求矩阵A 的特征值. 【分析】 (1)利用矩阵的乘法运算法则计算2A 的值即可； (2)首先求得矩阵的特征多项式，然后利用特征多项式求解特征值即可. 【解析】（1）因为3122??=???? A ，所以2 31312222???? =???????? A =3312311223222122?+??+??????+??+???=115106?? ???? ．（2）矩阵A 的特征多项式为 23 1 ()542 2 f λλλλλ--= =-+--. 令()0f λ=，解得A 的特征值121,4λλ==. 2、（2018年江苏卷）已知矩阵．（1）求的逆矩阵；（2）若点P 在矩阵对应的变换作用下得到点，求点P 的坐标．【解析】分析：（1）根据逆矩阵公式可得结果；（2）根据矩阵变换列方程解得P 点坐标. 详解：（1）因为，，所以A 可逆，从而．（2）设P (x ，y )，则，所以，因此，点P 的坐标为(3，–1)．

点睛：本题考查矩阵的运算、线性变换等基础知识，考查运算求解能力. 3、（2017江苏卷）已知矩阵A ＝?? ????0110，B ＝???? ??1002. (1) 求AB ； (2) 若曲线C 1：x 28＋y 2 2＝1在矩阵AB 对应的变换作用下得到另一曲线C 2，求C 2的方程．规范解答：(1) 因为A ＝??????0110，B ＝???? ??1002，所以AB ＝??????0110??????1002＝???? ??0210. (2) 设Q (x 0，y 0)为曲线C 1上的任意一点，它在矩阵AB 对应的变换作用下变为P (x ，y )，则??????0210??????x 0y 0＝??????x y ，即??? ?? 2y 0＝x ，x 0＝y ，所以? ???? x 0＝y ，y 0＝x 2. 因为点Q (x 0，y 0)在曲线C 1上，所以x 208＋y 20 2＝1，从而y 28＋x 2 8 ＝1，即x 2＋y 2＝8. 因此曲线C 1在矩阵AB 对应的变换作用下得到曲线C 2：x 2＋y 2＝8. 4、(2016年江苏卷)已知矩阵A ＝??????1 20－2，矩阵B 的逆矩阵B －1＝????????1－120 2，求矩阵AB . 规范解答设B ＝???? ??a b c d ，则B －1B ＝?? ? ?? ???1－120 2 ??????a b c d ＝???? ??1001，即????? ???a －12c b －12d 2c 2d ＝??????1001，故????? a －1 2 c ＝1，b －12 d ＝0，2c ＝0，2d ＝1，解得????? a ＝1， b ＝14， c ＝0， d ＝12 ，所以B ＝?? ?? ??1 14 012 .

2023年新高考数学大一轮复习专题23 数列的基本知识与概念 (解析版)

专题23 数列的基本知识与概念【考点预测】 1．数列的概念（1）数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．（2）数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集N *（或它的有限子集{}12n ⋯，，，）为定义域的函数()n a f n =当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．（3）数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和通项公式法． 2．数列的分类（1）按照项数有限和无限分：（2）按单调性来分：111()n n n n n n a a a a a a C +++≥⎧⎪ ≥⎪⎨==⎪ ⎪⎩ 递增数列：递减数列：，常数列：常数摆动数列 3．数列的两种常用的表示方法（1）通项公式：如果数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．（2）递推公式：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．【方法技巧与总结】（1）若数列{}n a 的前n 项和为n S ，通项公式为n a ，则1112n n n S n a S S n n N * -=⎧⎪=⎨-≥∈⎪⎩ ，，，注意：根据n S 求n a 时，不要忽视对1n =的验证．（2）在数列{}n a 中，若n a 最大，则11n n n n a a a a -+≥⎧⎨≥⎩ ，若n a 最小，则11.n n n n a a a a -+≤⎧⎨ ≤⎩ 【题型归纳目录】题型一：数列的周期性题型二：数列的单调性题型三：数列的最大（小）项题型四：数列中的规律问题题型五：数列的最值问题【典例例题】

2023届河南省九师联盟高三上学期12月月考数学(理)试题(解析版)

2023届河南省九师联盟高三上学期12月月考数学（理）试题一、单选题 1．设全集U =R ，集合{}39x A x =>，{}24 B x x =-≤≤，则()U A B ⋂=（） A ．[)1,0- B ．()0,5 C ．[]0,5 D ．[]22-, 【答案】D 【分析】根据指数不等式化简集合A ,进而根据集合的交并补运算即可求解. 【详解】{}{}392x A x x x =>=>，故 {}U 2A x x =≤ ，所以(){}[]U 222,2A B x x ⋂=-≤≤=-. 故选:D 2．在复平面内，3i 1i -+对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】C 【分析】先化简 3i 1i -+，即可判断. 【详解】()()()23i 1i 3i 3i 3i 33i 1i 1i 1i 222----+===--++-，故3i 1i -+对应的点为33,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭ ，位于第三象限. 故选：C. 3．新能源汽车是指采用非常规的车用燃料作为动力来源（或使用常规的车用燃料、采用新型车载动力装置），综合车辆的动力控制和驱动方面的先进技术，形成的技术原理先进、具有新技术、新结构的汽车．新能源汽车包括混合动力电动汽车（HEV ）、纯电动汽车（BEV ，包括太阳能汽车）、燃料电池电动汽车（FCEV ）、其他新能源（如超级电容器、飞轮等高效储能器）汽车等．非常规的车用燃料指除汽油、柴油之外的燃料．下表是2021年我国某地区新能源汽车的前5个月销售量与月份的统计表：由上表可知其线性回归方程为ˆˆ0.16y bx =+，则ˆb 的值是（）．A ．0.28 B ．0.32 C ．0.56 D ． 0.64

专题23-二次函数与等边三角形存在问题-2022中考数学之二次函数重点题型专题(全国通用版)(解析版

专题23 二次函数与等边三角形存在问题 1．（2021·浙江鄞州·中考一模）如图，点A 是二次函数y 2图象上的一点，且位于第一象限，点B 是直线y 上一点，点B ′与点B 关于原点对称，连接AB ，AB ′，若△ABB ′为等边三角形，则点A 的坐标是（） A ．（13 B ．（23 C ．（1 D ．（43 【答案】B 【分析】连接OA ，作AM ⊥x 轴于M ，BN ⊥x 轴于N ，根据题意∠ABO ＝60°，AO ⊥BB ′，即可得到tan ∠ABO ＝OA OB 设A （m 2），通过证得△AOM ∽△OBN ，得到B （﹣m 2），代入直线y 即可得到关于m 的方程，解方程即可求得A 的坐标．【详解】解：连接OA ，作AM ⊥x 轴于M ，BN ⊥x 轴于N ， ∵点B ′与点B 关于原点对称， ∴OB ＝OB ′， ∵△ABB ′为等边三角形， ∴∠ABO ＝60°，AO ⊥BB ′， ∴∠BON +∠AOM ＝90°，tan ∠ABO ＝ OA OB ∴OA OB ∵∠BON +∠OBN ＝90°， ∴∠AOM ＝∠OBN ， ∵∠BNO ＝∠AMO ＝90°， ∴△AOM ∽△OBN ，

∴BN ON OB OM AM OA ==，设A（m2）， ∴OM＝m，AM2， ∴BN，ON＝m2， ∵点A在第一象限内， ∴B（﹣m2）， ∵点B是直线y上一点，（﹣m2），解得m＝2 3 或m＝0（舍去），当m＝2 3 2 ∴A（2 3 ），故选：B．【点睛】本题考查二次函数上的点的坐标特征、等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质及三角函数的定义，熟练掌握相关性质并熟记特殊角的三角函数值是解题关键． 2．（2021·辽宁朝阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c与x 轴分别交于点A(﹣1，0)和点B，与y轴交于点C(0，3)．（1）求抛物线的解析式及对称轴；（2）如图1，点D与点C关于对称轴对称，点P在对称轴上，若∠BPD＝90°，求点P的坐标；（3）点M是抛物线上位于对称轴右侧的点，点N在抛物线的对称轴上，当BMN为等边三

2020年中考数学必考34个考点专题23 多边形内角和问题(解析版)

专题23 多边形内角和问题 1．多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。 2．多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。 3．多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫多边形的外角。 4．多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。 5．正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。 6．多边形内角和公式：n边形的内角和等于（n-2）·180° 7．多边形的外角和：多边形的内角和为360°。 8.多边形对角线的条数：（1）从n边形的一个顶点出发可以引（n-3）条对角线，把多边形分成（n-2）个三角形。（2）n边形共有 2 3) - n(n 条对角线。【例题1】（2019贵州铜仁）如图为矩形ABCD，一条直线将该矩形分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为a和b，则a+b不可能是（） A．360°B．540°C．630°D．720° 【答案】C．【解析】一条直线将该矩形ABCD分割成两个多边形，每一个多边形的内角和都是180°的倍数，都能被180整除，分析四个答案，只有630不能被180整除，所以a+b不可能是630°．专题知识回顾专题典型题考法及解析

【例题2】（2019广西梧州）正九边形的一个内角的度数是（） A．108°B．120°C．135°D．140° 【答案】D．【解析】先根据多边形内角和定理：180°•（n﹣2）求出该多边形的内角和，再求出每一个内角的度数．该正九边形内角和＝180°×（9﹣2）＝1260°，则每个内角的度数＝．【例题3】（2019湖南湘西州）已知一个多边形的内角和是1080°，则这个多边形是（） A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形【答案】D 【解析】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理。多边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，列方程可求解．设所求多边形边数为n，则（n﹣2）•180°＝1080°，解得n＝8．【例题4】（2019海南）如图，⊙O与正五边形ABCDE的边AB、DE分别相切于点B、D，则劣弧所对的圆心角∠BOD的大小为度．【答案】144．【解析】根据正多边形内角和公式可求出∠E、∠D，根据切线的性质可求出∠OAE、∠OCD，从而可求出∠AOC，然后根据圆弧长公式即可解决问题． ∵五边形ABCDE是正五边形， ∴∠E＝∠A＝＝108°． ∵AB、DE与⊙O相切， ∴∠OBA＝∠ODE＝90°， ∴∠BOD＝（5﹣2）×180°﹣90°﹣108°﹣108°﹣90°＝144°。

专题23 期末质量评估(B卷)-2020-2021学年度人教版七年级数学下册(解析版)

2020－2021学年度人教版七年级数学下册新考向多视角同步训练期末质量评估B 卷 [时间:90分钟满分:120分范围：全册] 一、选择题(本大题共8小题,每小题3分,24分在每小题的4个选项中,只有一个选项是符合题目要求的) 1.(2020独家原创试题)下列实数中,是无理数的是( ) A. 81100 B.2020π C.117 D.3 －27 2.(2020上海中考,3,★☆☆)我们经常将调查收集得来的数据用各类统计图进行整理与表示下列统计图中,能凸显由数据所表现出来的部分与整体的关系的是( ) A.条形图 B.扇形图 C.折线图 D.频数分布直方图 3.(2020天津中考,8★☆☆)如图,四边形OBCD 是正方形,,D 两点的坐标分别是(0,0),(0,6),点C 在第一象限, 则点C 的坐标是( ) A.(6,3) B.(3,6) C.(0,6) D.(6,6) 4.(2019四川攀枝花月考,5,★☆☆)如图所示,直线AB 、CD 相交于点O,OE⊥AB 于点O,OF 平分∠AOE,∠BOD＝15°,则下列结论中不正确的是( ) A.∠AOF＝45° B.∠AOD 与∠BOD 互为邻补角 C.∠BOD＝∠AOC D.∠BOD 的余角等于85° 5.(2020广东深圳实验学校期末,4,★☆☆)已知方程组⎩⎨⎧4x+y ＝10x+4y ＝5 ,则x+y 的值为( ) A.－1 B.0 C.3 D.2

6.(2019广西柳州期末,5,★★☆)将一把直尺和一块含有30°角和60°角的三角板按如图所示的位置放置,如果∠CDE＝40°,那么∠BAF 的大小为( ) A.10° B.15° C.20° D.25° 7.(2020福建厦门一中期末,8,★★☆)不等式组⎩⎨⎧5x －3<3x+5 x