物体在流体中运动所受到的作用力(精.选)
物体在流体中运动所受到的作用力
北京教育学院物理系叶禹卿
在中学物理中，研究了自由落体、单摆、抛体、振动等物体的运动。研究时，认为物体在空气和水（流体）中运动时，没有受到流体的作用力，物体的运动是“在理想情况下的运动”。在进行中学物理教学时，应当让学生理解和掌握这种物体的“理想运动”规律。但是也应当清楚：在流体中运动的任何物体，都受到流体的作用力，有些情况下的作用力还很大，明显地影响了物体的运动状态。
对于物体在流体中运动的实际情况，我们应当有所了解。本文仅介绍实际流体对在其中运动物体的阻力、压力，研究一些在流体中运动的实际物体运动规律，简要分析和说明有关理论与实际联系一些问题。
一、对流体的认识
流体由连续分布的介质组成，有自身的结构和特点。物体在流体中运动时，对组成流体的介质有作用，也必定受到介质的反作用。在过去的中学物理中，基本不讨论流体问题。现在，初中和高中都增加了有关流体的内容。例如，在高中实验教材第一册增加了“流体的阻力”“伯努利方程”等，对流体的主要性质及其运动规律做了简单分析。
1．流体具有易流性、粘性和压缩性
易流性是流体在切向力作用下，容易发生连续不断变形运动的特性。液体和气体与固体的差异，或者说流体最显著的特征就是具有“流动性”或者“易流性”。
如果对静止的流体施加一个切向力，即使这个力多么微小，流体也将沿着力的方向运动。流体具有易流性的原因，是流体既不能承受拉力、也不能承受切向力。由于流体具有易流性，所以流体没有固定的形状，并且在流动中能与外界发生各种传输作用。理想流体和实际流体都具有易流性。理想流体的易流性比实际流体更强。气体只能传递纵波、液体主要传递纵波的原因就是流体的易流性。
理想流体是没有粘性的，其内各部分之间不存在切向作用力。实际流体与理想流体的主要差异是实际流体有粘性。粘性大小用粘性系数表示。粘性系数由流体自身的性质决定，与流体的种类、流体的温度等一些因素有关。在国际单位制中，粘性系数的单位是Pa·s。表1为常见的一些流体在标准大气压时的粘性系数。从表可以看出：空气的黏性系数比水的黏性系数小；随着温度的升高，同一个物体的粘性系数减小。
表1 常见流体的粘性系数（Pa·s）
压缩性是在外力的作用下流体体积可以变化的性质。在质量不变时，流体被压缩意味着它的密度加大。理想流体没有压缩性，无论外界施加多大的压力，它的体积都不会改变。实际流体都有压缩性。一般液体的压缩性不大，而气体的压缩性比较大。被压缩后，液体内的分子间距减小、相互间的斥力加大。液体内部压强大小随其分子间距变化，而且十分明显。水的体积减小百万分之一，其压强会增
大上百个大气压。密闭容器内液体施加压力、液体内部较深处压强加大的原因，就是液体被压缩后体积减小。
通常情况下，气体很容易被压缩性。但绝不能由此认为：在任何情况下气体的压缩性都很大。例如，某个物体（如飞机）以接近声速的速度飞行，此时的空气好像钢板一样，飞机穿越时非常困难。
2．流体的层流和湍流
流体在流动时，具有层流和湍流等几种不同的状态。层流是流体的稳定流动，其特征是：在流动时，流体分为若干层，质点在各层内流动，做一层滑过一层的位移，层与层之间没有明显的干扰。各层间的分子只因扩散而转移。流体的流动速度沿着各层的切面方向。一般情况下的河水流动是稳定的，河水此时的运动就是层流。伯努利方程是流体在层流时的规律。
湍流是自然和工程设备中最常见的一种流动状态。相对于层流来说，湍流是一种复杂的、无秩序的、随机性极强的流动现象。例如，物体在流体中运动时，它必须“挤开”其前方的流体前进，同时在后方形成一个“真空”区；流体将通过物体的侧面，进入物体后方区域。
如果物体的运动速度较大、流体不能很快通过物体侧面进入物体后方区域，就会出现湍流。汽车在有灰尘的公路上快速行驶时，车的后方出现被“扬起”的灰尘。这些灰尘的运动没有规则，其运动表现出了在汽车后方空气湍流的情况，如图1所示。
图1左为在液体中运动的圆形物体所形成的湍流照片，右图为相应的示意图。可以看出：在离圆形物体较远的区域，流体的运动与理想情况相似；在靠近圆形物体的区域，流体的运动与理想情况有很大的差异。
湍流的情况与物体与流体之间相对运动的速度有关。将一个圆柱体放在流体中，当流体向右方流动时，流体与圆柱体的相对速度不同，流体流动的情况不同。相对速度比较小时，流体的流动基本为层流。相对速度加大时，湍流现象越来越明显。图2为在不同相对速度时流体的湍流照片，从A 到F 流体与圆柱体的相对速度依次增大。
二、流体对在其中运动物体的阻力和压力
空气等实际流体不是理想流体，物体在运动时受到了流体的阻力，以及与静止流体内部压力不图1 湍流 图2 在运动流体中圆柱体所形成的湍流
同的另外一种压力。实际物体运动的情况与理论分析所得到的结论，有时存在很大的差异。在流体中的物体与流体有相对运动时，受到流体的浮力、压力和阻力。流体对运动物体的阻力，主要有粘性阻力、压差阻力和兴波阻力三种。
1．粘滞阻力
牛顿在1687年用在流体中拖动的平板，做了著名的粘性流动实验（如图3所示）。图中两块板的面积均为ΔS，相互间距为h，上板以速度V运动，下板静止不动，板间的流体运动为层流。牛顿通过实验测定板所受到粘滞阻力的大小。实验结果是：阻力f的大小与物体的截面积ΔS、流体的粘性系数η、流体的速度梯度(dv/dy)存在线性关系。粘滞阻力为
f =ηΔS(dv/dy)
在流体缓慢流过静止的物体或者物体在流体中运动时，流体内各部分流动的速度不同，存在粘滞阻力。粘滞阻力的大小与物体的运动速度成正比，即f∝v，可以写为f = C1v，C1称为粘滞阻力系数。斯托克斯测出球形物体在流体中缓慢运动时，所受到的粘滞阻力大小为
f = 6πηvr
上式称为斯托克斯公式，式中的η为流体的粘性系数、f为球形物体的半径。
在理论力学中所说的“与物体速度一次方成正比的阻力”，指的就是粘滞阻力。在空气中运动速度不十分快的物体，受到的阻力主要是粘滞阻力。
2．压差阻力
当流体运动遇到物体时，流体会被物体分开，从物体的不同侧面流过。如果流体具有一定的粘性，靠近物体的那部分流体的速度将减慢，在物体的后面一侧形成“真空”地带，离物体较远处的流体将向这个“真空”地带补充，出现如图1所示的湍流。图3为圆柱型物体所形成湍流的示意图，由图可见在物体后方形成了“尾流”。此时，物体前后两部分流体内单位体积分子数不同，前后侧面受到流体的压力不同，使得物体受到流体的阻力，这种阻力称为压差阻力。在理论力学中所说的“物体运动时受到空气与速度二次方成正比的阻力”，指的就是空气对物体的压差阻力。降落伞在空中受到空气的阻力是压差阻力。压差阻力的大小与物体运动速度的平方成正比，即f∝v2，可以写为f = C2v2。
产生压差阻力的机制与粘滞阻力不同。粘滞阻力是物体表面处流体与物体相互作用的结果；压差阻力是物体前后面出现压力差的结果。从本质上讲，压差阻力也是由粘滞阻力引起的。因为流体与物体之间存在粘滞阻力，才使得从物体侧面流过的流体不能立刻到达物体的后方，出现后方的“真空”、“尾流”，产生压力差。
压差阻力的大小与流体的密度、物体的速度有关。如果流体的阻力系数为C D，密度为ρ、圆柱体的半径为r、长度为L，圆柱形物体在流体中以速度v运动时，受到如图4所示的压强和压力。运动的圆柱体所受压差阻力大小为
f = C DρrLv2
图3 粘滞阻力
因为气体的密度较小，所以在气体中运动的物体，一般情况下受到的阻力主要是粘滞阻力；在空气中运动速度较大的物体，受到的阻力主要是压差阻力。液体的密度比气体大，在液体中运动的物体受到压差阻力的影响比较大。
3．兴波阻力
船舶在水中前进时，使水离开原来的位置产生振动、形成波浪。波是振动的传播，也是能量的传播。船舶是产生振动的物体，在船前进的时候，一部分能量传递给水，并且随着水波向外传播，能量也向外传播、在产生振动的过程中减少。从能量减少的角度，可以认为船舶在运动中受到水的阻力，这种力称为兴波阻力。
兴波阻力的本质与粘性阻力、压差阻力不同。兴波阻力的大小与流体的粘性无关，而与船舶的外形、运动速度有关。现代一些大的船舶，为了减少兴波阻力，将船体吃水线下方部分做成球形的鼻子状。其作用是在船行驶时，水面上下部分的船体都会产生波浪，为相干波。这两部分波的振动方向相反，它们在相互叠加时互相抵消、减弱，使海面比较平静、减少能量的损失。
4．流体对运动物体的压强
在中学物理中讲到的“液体内部压强”，指的是流体处于静止状态时，液体的内部压强。在流体层流时，还会出现由于流体运动而产生的压强。这个压强是物体与流体有相对运动时出现的。
流体在层流时，遵从连续性方程和伯努利方程。连续性方程是物质质量守恒的体现，说明在每一个时刻，空间每一个区域内的质量不变，其数学表达式为：
ρ1v1＝ρ2v2
伯努利方程是物质能量守恒的体现，说明在流体稳定流动的每一个时刻，空间每一个区域内的能量不变，其数学表达式为：
p1+ρgh1+ρv12/2 = p1+ρgh2+ρv22/2
式中p1、p2、h1、h2、v1、v2、分别为流体在1、2两点处的压强、高度和速度。根据连续性方程和伯努利方程，可以看出：即使1、2两点的高度相同，当它们之间的流体速度有差别时，两点间也产生压强差。在图5中，气体从圆柱体流过，流动情况如图所示。因为从圆柱体上方流过的气体速v度1从比圆柱体下方流过的气体速度v2大，所以在圆柱体上方的气体的压强p1比圆柱体下方气体的压强 p2 小。
三、对几个实际问题的讨论
图5 流体对运动物体的压强
1．在空气中下落物体的运动
在中学物理中讨论自由落体问题时，认为物体是“自由下落”的，只受重力作用，按照牛顿第二定律有 md2x/dt2 = mg，可求出物体的速度为
2
=或
gt
v=
gh
v
实际物体在下落时，受到空气的粘滞阻力C1v和压差阻力C2v2，牛顿第二定律应改为
d2x/dt2 = mg - C1v - C2v2
很容易看出：在各时刻，实际物体下落的速度都小于自由落体的速度；由决定空气阻力大小的因
素可知，实际物体下落速度的大小与物体形状、物体质量有关，与流体的种类有关。
【例1】跳伞运动员从高空跳下，开始阶段不打开伞，下落一定距离后做匀速直线运动，在空中作特技表演。其理论依据就是运动员受到了空气的阻力。
运动员在下落速度比较快时，主要受压差阻力。如果不计粘滞阻力，有
m d 2x/dt 2 = mg - C 2v
2 a = dv/dt = g - C 2v 2/m
从上式可以看出，运动员的下降加速度随下落速度变化，速度越大、加速度越小.解上面的方程式，可求出不同时刻的速度、加速度数值。当速度达到某一数值时，运动员的加速度为零、匀速下降。此时运动员的速度为 2C mg v f = v f 称为收尾速度。已知空气的压差阻力系数C 2为0.24kg/m 。如果运动员的质量为70千克，代入上式可以求出收尾速度为
v r = 53.5m/s
假设运动员从5000米的高空跳下，距地面1000米时再将伞打开。他就在跳下11秒至12秒时达到收尾速度，加速运动的距离为380米。运动员在空中匀速运动的距离为3620米，所用时间约为67秒。在这段时间里，跳伞运动员可以表演各种空中的高难度特技。
【例2】通过“密立根油滴实验”(如图6所示)，可以测出基本电荷的数值。理论分析时，常选取位于两个极板间的一个微小油滴，认为它“在空气中静止”时，受到的重力、浮力、电场力是平衡力，根据力的平衡规律可以计算得出其电量。实际上，由于空气有粘性，一个在空气中静止的油滴，即使它所受到的重力、浮力、电场力不平衡，只要油滴所受到的浮力、重力、电场力之和不大于粘滞阻力，它就可以处于静止状态。我们只有在它做匀速运动时，即已经考虑到它所受空气阻力时，才能精确地测出其所带的电量。
油滴在空气中做匀速运动时的速度很小，压差阻力不大。它受到的阻力主要是粘滞阻力。设油滴的半径为r 、油滴密度为ρ油、空气的粘滞系数为η，若油滴向上匀速运动的速度为v 2、油滴向下匀速运动的速度为v 1、空气的密度为ρ。
若极板不带电，油滴向下做匀速运动，它受重力、浮力和粘滞阻力三个力，重力的大小为G ＝4πr 3ρ油g/3、方向向下，浮力的大小为F ＝4πr 3ρg/3、方向向上，粘滞阻力的大小f ＝6πηrv 1、方向向上。三力平衡，有 G ＝f ＋F ，即
3
4634313g r rv g r ρππηρ
π+=油 若极板带电，油滴向上做匀速运动，它除了受重力G 、浮力F 、粘滞阻力f 外，还受电场力T ＝q E 。四力平衡，有 G ＋f ＝T ＋F ，则
3
4634323g r qE rv g r ρππηρ
π+=+油 f 浮 f 浮
f 场
图6 密立根油滴实验
解上面两式，可得 ()
ρρη-=油g v r 231
()()E
v v g v q 121
3218--=?ρρηπ油 考虑到油滴的大小，求电量时需要对粘滞阻力公式作出修正。修正后为 ()
pr b rv f +=16πη 其中，p 为空气的压强，b 为由经验确定的常数。将各数据代入，求出基本电荷
q ＝（1.601±0.002）×10-19 C
2．固体颗粒在液体中的运动
固体颗粒在液体中时，在水平方向与液体一起运动，在竖直方向受到外力作用沉降。颗粒所受到的作用力有重力G 、浮力F 、液体阻力f 。液体对颗粒的阻力包括粘滞阻力和压差阻力，主要是压差阻力。
研究固体颗粒的运动时，可以建立与液体一起运动的参考系、坐标系。在这样的参考系中，颗粒只在竖直方向运动。开始阶段，颗粒受到的重力大于浮力向下作加速运动；经过不长的时间，颗粒所受粘滞阻力、压差阻力都加大。当颗粒受到的外力之和为零时，它匀速下降。由于液体的粘滞系数比较大，在物体速度不十分大时，压差阻力已经比较大了。圆球形颗粒匀速运动时，受到液体的阻力主要是压差阻力。设液体的密度为ρ，颗粒是圆球形的、半径为r 、在垂直于运动方向的面积为A （A=πr 2），颗粒沉降的速度为v ，压差阻力为
f = φA ρv 2/2
圆球形颗粒匀速沉降时，重力G 、浮力F 、液体阻力f 三个力平衡，有
02
34342
22=-+v A g r g r ρφρπρ
π物 ()φρρρ32-=
油r g v
由上式可以看出，圆形颗粒匀速沉降的速度与颗粒的大小、密度、液体的密度都有关系。在同一种液体中，如果颗粒的种类相同（密度相同）、大小不同，下降速度之比为
2121r r v v =
由此可知，大颗粒的沉降速度快。如果颗粒的大小相同、种类不同，下降速度之比为 ()()ρρρρ--=22121v v
由此可知，密度大的颗粒沉降速度快。
【例3】 在流体中运动物体的形状对运动的影响
流体对物体的阻力大小，与物体的外形有关。由于气体、液体的密度不同，它们对运动物体阻力有所差异。在气体中运动速度不大的物体，只需考虑粘滞阻力；运动速度很快的物体，才需要考虑压差阻力。在液体中运动物体，受到的压差阻力比粘滞阻力大，一般情况下都需要考虑压差阻力。
气体对运动物体的粘滞阻力不大、对运动物体的影响比较小。在空气中运动的物体，其外形在一般情况下不影响它的运动。近来生产制造的悬浮列车、气垫船等运输机械，就是让它们在空气中运动，以减小运动时受到的阻力。
压差阻力是因为流体流动时，在物体后面产生空隙造成的。减小压差阻力的有效方法是改变物体的形状，使运动物体的后方不出现空隙，不出现“真空区”。具体的做法是在物体的后方“加”出一
部分，此时的形状为“流线型”。在空气中快速运动的汽车、飞机等物体，在液体中运动的各种鱼、海兽、潜水艇等物体，其外形都为流线型。
【例4】通常情况下，金矿石中的金粒很小。矿工采出金矿石后，常将它粉碎成“沙”状，再用“沙里掏金”的方法，使用水将金沙、石沙分开。请根据固体颗粒在液体中的运动情况，分析在掏金时用干净清水的效果好，还是用浑浊浑水的效果好？
由圆形颗粒匀速沉降速度
()
φρ
ρ
ρ
3
2-
=油
r
g
v
可知，大小相同、密度分别为ρ1、ρ2的金沙、石沙，在密度为ρ的液体中，下降速度v1、v2之比为
()()ρ
ρ
ρ
ρ-
-
=
2
1
2
1
v
v
很容易看出，v1/v2的数值越大，淘金的效果越好。当金沙、石沙的密度ρ1、ρ2不变时，液体的密度ρ数值越大，v1/v2的数值就越大。
代入具体的数值计算。已知“清水”的密度为103kg/m3，金的密度为19.9×103kg/m3,设石沙的密度为2.5×103kg/m3、“浑水”的密度为1.1×103kg/m3。用清水淘金时，金沙、泥沙下降速度v1、v2之比为
()()66.3
4.1
9.
18
1
5.2
1
9.
19
2
1
≈
=
-
-
=
v
v
用浑水掏金时，金沙、泥沙下降速度v1、v2之比为
()()80.3
3.1
8.
18
1.1
5.2
1
9.
19
2
1
≈
=
-
-
=
v
v
金沙、泥沙下降速度v1、v2之比越大，它们越容易分开。上述结果说明用浑水淘金的效果比用清水好。如果再加大液体的密度，“沙里淘金”的效果更好
3．物体所受到的“升力”
飞机是靠空气对机翼上下两面的压力差上升和下降的。当空气流过机翼时。飞机前
方的空气被机翼“劈开”，分别从机翼的上、下侧面流过。在理想情况下，上方、下方气体在流动时，都不会受到阻力。气体在图7所示情况，于机翼前端A点处被分开，在机翼后端的B点处会合，机翼上方的气体速度比较快、压强比较小。其结果是“机翼上方的压力小于机翼下方的压力，飞机受到向上的压力（常称之为升力）”。飞机受到的“升力”
实际情况与理想情况有所不同。由于空气与飞行飞机的表面之间存在粘滞阻力，通过机翼上、下表面空气所经距离不同，所以粘滞阻力的影响不同。被机翼分开的空气，贴近机翼上表面的流动速度比较小；贴近机翼下表面空气的流动速度比较大，在机翼尾部产生了涡流。这个涡流称为起动涡流（如图8所示）。
图 7
涡流是由空气的运动形成的，有角动量。因为空气最初没要角动量，它又没有受到外力矩的作用，根据角动量守恒定律，空气的角动量应当继续为零。在涡流出现角动量的同时，必然同时出现另一个角动量，它与涡流所产生角动量的方向相反。这个角动量由围绕机翼流动的“环流”产生。在机翼上方的环流向后，在机翼下方的环流向前。环流的大小与机翼的形状有关。图8中的虚线为在机翼处的环流。
【例5】 一架飞机以速度v 在空中飞行。分析这架飞机所受空气的举力与哪些因素有关。
飞机在空中分析的速度为v ，若在飞机上建立参考系，则飞机静止，空气相对于飞机以速度v 向后方运动。设飞机涡流产生的环流速度为u ，则通过机翼上方空气的速度为v+u ，通过机翼下方空气的速度为v - u 。
根据伯努利方程，有 2
222下下下上上上v gh p v gh p ρρρρ++=+
+ 或改写为 ()()2
22下上下上上下v v h h g p p -+-=-ρρ 飞机的机翼的上、下的高度差很小，ρg （h 上-h 下）可以忽略不计。设机翼的表面积为S ，将机翼上、下方空气速度代入，得知飞机升力为
F = （p 下-p 上）S = 2ρvuS
由式可知，飞机的升力与机翼的面积S 、飞行速度v 、环流的数值u 有关。增大机翼的面积S 、提高飞行速度v 和环流的数值u ，都可以增大飞机的升力。
飞机起飞前需要在长长的跑道上加速，目的是提高飞机的速度v ，只有当飞机达到一定速度时，才能受到空气足够大的升力飞上蓝天。由于在空气中运动的机翼受到空气阻力，所以一些运动速度很高的飞机，飞行时可以将机翼“缩回”、“变小”。开始阶段的飞机速度很低，为了增加飞机的升力，采用了“双机翼”甚至“三机翼”的飞机。
为了使飞机能够在较小的速度时起飞、在速度不十分小时降落，飞机的机翼后面一块（图9中的黑色部分）是可以上下翻动的。起飞时向下，加大空气通过机翼上方的长度，增加升力；降落时向上，减短空气通过机翼上方的长度，减小升力。
4．旋转球的运动
在足球、篮球、排球、乒乓球比赛时，优秀的运动员可以制造出漂亮的旋转球，足球中的“香蕉球”、篮球中的“后旋转球”、排球中的“飘球”、乒乓球中的“弧圈球”，都是利用空气对球在其中运动时受到的作用，让球沿着与通常轨道不同的曲线前进，使对手防不胜防。
旋转球在空中飞行时，球在向前运动的同时也在旋转。讨论旋转球问题时，应当以球为参照物建立质心参考系。在这个质心参考系中，流体在运动。如果空气是理想流体，与球之间没有相互作用，球的运动与它是否旋转无关。实际空气是粘性流体，它对旋转球有阻力、同时也受到球的作用，在球
图9 飞机机翼附近的气流
各侧面的空气对球相对速度不同，产生了压力差，使球改变运动方向。
【例6】足球运动员用脚踢球的某个侧面，使得足球旋转着飞出，成为“香蕉球”。假设这个球是“左旋”的（图10）、半径为r ，球的质心以速度v 向前运动，球旋转的角速度为ω。试分析球的运动。
选用质心参考系，此时空气整体上以速度v 向后运动；与球面接触的空气在球面的作用下绕球转动。在球面处的空气与球面相对静止，以角速度ω绕球心转动。对于质心，球左侧空气向后方运动，相对球的速度加大；球右侧空气前方运动，相对球的速度减小。球左侧空气的速度为v 1＝v+r ω、右侧空气的速度为v 2＝v –r ω。左侧空气速度v 1大于右侧空气速度v 2。
球的左右两个侧面高度h 1、h 2基本相同，速度v 1大于v 2，根据伯努利方程可知，足球左侧空气压强p 1 小于右侧空气压强p 2,左旋球受到一个向左的“附加作用力”。在这个力的作用下，球将向左偏转，偏转的程度与球旋转角速度的大小有关。由于其他运动员无法预先知道球转动的方向、转动的角速度，所以无法判定球将如何运动。
如果球的旋转方式改为上旋、下旋、右旋、侧旋等，仍然可以按照上述方法分析，只是在球不同侧面处空气速度的关系、球所受空气的压力差改变，球的运动状态变化情况不同。
【例7】篮球圈的直径为0.450m ，篮球的直径为0.248m 。为了将篮球投进篮球圈，优秀的篮球运动员在投篮时，投出的是“后旋球”。运动员投“后旋球”时，在球的下方用力，使球在向前运动时，还作自下而上的旋转运动。与例6的情况相似，表面粗糙的球带动周围的空气一起运动，改变球的各表面与空气的相对速度，造成球受到了“附加作用力”。这个“附加作用力”的方向向上，作用结果是使球“上飘”，飞行高度加大飞行的，下落时与竖直方向夹角不大；球在下降时阻力加大，下降速度减慢。前者增大了入篮角、减少了球与球圈的碰撞，后者减小了球受篮圈的反弹作用。总之，“后旋球”能够增加投篮的命中率。
5．以声速运动的物体所受阻力
一般物体的运动速度不大，比声速340m/s 小很多。运动速度较小的物体在空气中运动时，使空气产生了扰动。这个扰动以声速向外传播。在扰动到达之处，空气被压缩。物理图景是被压缩的空气以
ω v －r ω
图 10 P 1 P 2 V+r ω 图11 “香蕉球”的运动
高压区 低压区
声速向外传播。因为物体运动的速度小于声速，所以在物体到达某点之前，物体所产生的扰动已经通过，被压缩的空气已经恢复原状，仍然容易被压缩。如果物体以接近声速的速度运动，它的速度与被压缩空气的速度基本相同。让已经被压缩的空气再次压缩，需要更多的作用力和能量，其表现为“阻力”，或者称之为“声障”。
图12中的物体向左运动，它引起的扰动以声速向四面八方传播，呈球面状。左图中的物体速度小于声速，中间图中的物体速度等于声速，右图中的物体速度大于声速。可以看出，中、右两图中的物体所到达的区域为空气被压缩的区域，分析物体的运动时需要考虑空气被压缩的具体情况。
右图中的扰动被包容在一个锥体内，锥面是一个以声速传播的波面，称为马赫波。物体运动速度v 与声速u 之比称为马赫数，即
M = v/u
马赫数是描述气流运动状态的一个重要参数。M 小于1时为亚声速流动；M 等于1时为临界流动；M 大于1时为超声速流动。这三种流动具有截然不同的性质。
四、物理教学要做到理想与实际的有机联系
在某种意义上教学是一种特殊的科学研究，是学生在教师的组织下，对于科学家已经获得结论、自己还不知道结果事物进行的科研活动。在进行物理教学时，不能只讨论理想问题，而需要把理想情况与实际情况有机地联系起来，做到理论联系实际。
过去，教师在讲台上不停地讲授、学生在课桌上费力地记录、背诵，是无法做到理论与实际有机联系的。教师要为创造条件、营造氛围，让学生能够像科学家那样去研究问题、认真思考、得出结论、解决实际问题。在教学时，要让学生认识和理解下面三方面问题：
1．进行理想化的必要性
要清楚实际情况与理想情况是不同的，是有差异的，有时差异很大。对实际情况进行理想化，设定理想模型、研究理想情况，能够使复杂的实际问题简化，有利于认识事物的本质。在科学研究或者科学实践时，都必须抓住主要的矛盾，淡化次要矛盾，解决主要问题。物理学就是对实际情况理想化后，通过实验获得了事物的基本规律。
对实际情况理想化，是科学研究者必须具备的一种素质。在学生学习期间，应当让学生对此有足够的认识。尽管世界上没有质点、没有刚体、没有自由落体、没有平抛运动……但如果不研究这些“不存在”的物体、过程，就不可能理解机械运动的基本规律。
2．对实际问题的理想化
实际情况是千变万化的，要特别注意对实际情况进行事实求是的分析，通过分析知道哪些因素可以理想化（或简化），哪些因素不可以理想化（或简化），学习如何对实际问题进行理想化。应当说，大多数的物理练习题是好的，是经过教育工作者理想化的实际问题。想学好物理，必须做足够数量的练习题。学生做练习题确实有利于他们理解和掌握基本概念、基本规律。但是在前一个阶段，一些练习题的理想化“太充分”或者说“太过分”了，这些练习题脱离了实际，没有训练学生的思维和提高能力，而成了“纯理论问题”。现在的情况有了很大改变，出现了许多如“开放题”
“讨论题”等一批
图12 声障
密切联系实际的习题，帮助学生做到理论联系实际。教学时，要注意多选择这样的练习题。
现在的中学生，对实际问题理想化的能力比较差。多数学生不清楚应当怎样分析问题，不知道怎样去粗取精、去伪存真，不会抓住事物的本质。一个学生在谈到“有没有难题”这个问题时表示：“我认为没有难题，只有老师没有讲到的问题。”他这句话的意思是“只要经过老师的分析，任何难题都不是难题”。他从另外一个方面讲了现在存在的问题，以及提高将实际问题理想化能力的迫切性。
3．对理论结果的实际化
解决实际问题，往往需要先进行理论分析，然后对由理论分析（解有关方程）得到的结果做分析，讨论结果的实际意义和局限性。解决科学问题的一个重要方法是“建立模型，提出假设，进行验证，确定结论”。验证时的一项重要任务，就是为由假设得到的数据赋予实际内容，比较理论与实际的差异。
学习时，单纯学理论是没有用处的，我们学理论的目的就是为了解决实际问题、必须联系实际，只学理论不解决实际问题是毫无意义的。退一步说，为了学好理论，也必须联系实际，如果不与实际联系，理论会变得很“空”，学起来也非常困难。我们在物理教学中，一定要克服过去某些理论与实际脱节的思想和做法，千方百计地将理论与实际联系在一起，让学生更多地接近实际、重视实际、通过自己的努力解决实际问题。
我们需要训练学生的分析能力，让他们对理想化后所得到的结果进行事实求是的分析，并且与实际问题紧紧地联系起来。在大学的理论物理中，就经常运用大量的数学工具，得出较为抽象的数学结果并对结果进行分析讨论。在中学物理中，也同样需要分析理想化后得到的结果。
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《在流体中运动》教案
《在流体中运动》教学设计 一、教学目标 １、知识与技能 （1）知道流体的压强与流速的关系。 （2）了解升力是怎样产生的。 ２、过程与方法 （1）通过观察、实验，让学生经历探究流体压强与流速关系的过程，体会伯努利原理的推理过程。 （2）通过对鸟翼和机翼的观察和探究，认识升力，并培养学生的观察能力和动手能力。 3、情感、态度与价值观 （1）结合日常生活现象，激发学生兴趣。 （2）了解历史，加深人文素养。 （3）培养学生交流讨论意识和协作精神。 二、教学重点与难点 教学重点：流体的压强与流速的关系，并能解释生活现象。 教学难点：对液体压强与流速关系的探究活动，设计实验认识“升力”。 三、教具： 乒乓球两个、漏斗、两张纸、纸片、水槽、水、水杯，吸管两支、多媒体课件 四、教学过程： （一）创设情境、引入新课： 1、创设情境，激发学习兴趣 （课件1）引入：同学们看过特工007系列电影吗？有的同学可能看过，咱们来共同看其中一个电影片段，看一下片段中，007和敌人作战时的一个镜头。 （1）让学生注意观察现象。看完后说一说，你印象深刻的一幕是哪一个镜头，（人被“吸”进飞机的螺旋桨内）。 (2)、你认为出现这种现象的原因可能是什么？ 引导学生得出：可能是飞机螺旋桨那里空气流动快的缘故。 师：空气流动快，就可以把人“吸”进去了吗？ 带着这个疑问，让我们一起走进今天的知识殿堂。 引入今天的课题“在流体中运动”。 （二）进行新课 1、流体的定义：什么是流体？液体和气体都具有流动性，统称为流体。如：空气、水等。流体流动时的压强称作流体压强，空气和水流动时有快有慢，当流速变化时，流体的压强是否变化，如何变化？下面我们来探究他们之间的关系。 2、科学探究活动———研究流体压强与流速的关系 （1）提出问题：流体压强与流速有什么关系？ （2）（课件2） 猜想与假设： 猜想1：液体和气体流动越快，它的压强越大。 猜想2：液体和气体流动越快，它的压强越小。 猜想3：液体和气体流动越快，它的压强不变。 （3）制定计划、设计实验： 我们在探究过程中，提出了猜想假设以后，接下来要做什么？ 生：制定计划，设计实验，然后进行实验，收集证据。
流体力学龙天渝课后答案第三章一元流体动力学基础
第三章 一元流体动力学基础 1.直径为150mm 的给水管道，输水量为h kN /7.980，试求断面平均流速。 解：由流量公式vA Q ρ= 注意：()vA Q s kg h kN ρ=?→// A Q v ρ= 得：s m v /57.1= 2.断面为300mm ×400mm 的矩形风道,风量为2700m 3/h,求平均流速.如风道出口处断面收缩为150mm ×400mm,求该断面的平均流速 解：由流量公式vA Q = 得：A Q v = 由连续性方程知2211A v A v = 得：s m v /5.122= 3.水从水箱流经直径d 1=10cm,d 2=5cm,d 3=2.5cm 的管道流入大气中. 当出口流速10m/ 时,求 (1)容积流量及质量流量;(2)1d 及2d 管段的流速 解：(1)由s m A v Q /0049.0333== 质量流量s kg Q /9.4=ρ (2)由连续性方程： 33223311,A v A v A v A v == 得：s m v s m v /5.2,/625.021== 4.设计输水量为h kg /294210的给水管道，流速限制在9.0∽s m /4.1之间。试确定管道直径，根据所选直径求流速。直径应是mm 50的倍数。 解：vA Q ρ= 将9.0=v ∽s m /4.1代入得343.0=d ∽m 275.0 ∵直径是mm 50的倍数，所以取m d 3.0= 代入vA Q ρ= 得m v 18.1= 5.圆形风道，流量是10000m 3/h,，流速不超过20 m/s 。试设计直径，根据所定直径求流速。直径规定为50 mm 的倍数。 解：vA Q = 将s m v /20≤代入得：mm d 5.420≥ 取mm d 450= 代入vA Q = 得：s m v /5.17= 6.在直径为d 圆形风道断面上，用下法选定五个点，以测局部风速。设想用和管轴同心但不同半径的圆周，将全部断面分为中间是圆，其他是圆环的五个面积相等的部分。测点即位于等分此部分面积的圆周上，这样测得的流速代表相应断面的平均流速。（1）试计算各测点到管心的距离，表为直径的倍数。（2）若各点流速为54321u u u u u ，，，，，空气密度为ρ，求质量流量G 。
在流体中运动教案
在流体中运动教案 一、教材分析： 气体压强与流速的关系、飞机的升力等知识与我们的生活息息相关，我们要探究 这个关系对我们生活的影响。 二、教学目标： 知识技能：1、通过对鸟类翅膀的观察和探究，理解升力。 2、通过实验探究，知道气体压强与流速的关系。 3、会利用此规律解释相关现象。 过程与方法：通过观察，理解气体的压强跟流速相关的现象；体验由气体压强差异产生的力。能简单描述所观察物理现象的主要特征，归纳简 单的科学规律。 情感、态度价值观：初步体验探索问题时的喜悦，领略它的美妙与和谐。 三、教学重点：气体、液体压强与流速的关系。 四、教学难点：飞机的升力产生的原因。 五、教学方式：小组合作实验探究、班级师生交流。 教学用具 1. 教师用具：水槽、漏斗、水、瓶盖、洗衣机下水管、彩纸屑、饮料 2. 学生用具：蜡烛、乒乓球、磁铁、口杯、纸条、纸片 六、教学过程： 1、引人新课：同学们，我们先来实行一次比赛，比比谁最能吹。老师这里有一 个漏斗和一个乒乓球，我把乒乓球放在漏斗里，看看谁能把它吹的 最高。（同学们踊跃的举手想要尝试，找两名力气大的同学来比赛，）师：结果发现用再大的劲吹，也不能把乒乓球吹起来，那么，通过这节课的学习，我们就能揭开问题的答案。 2、新课过程： 师：千百年来，人们就一直梦想着能够像鸟儿一样在天空中翱翔，但直到1783年，德国人奥拓李林达尔模仿仙鹤翅膀的形状，设计并制造出了第一架实用的滑翔机，实现了人类飞翔的梦想。大家知道世界上第一架飞机是谁发明的吗？（莱特兄弟）今天，飞机已经成为我们重要的交通工具，如此重的飞机是如何实现腾空而起的呢？今天我们要采用自主学习的方式来实行。请大家看 自学指导（一）。 请大家认真看书60页的内容，边看书边思考，3分钟后比谁能准确回答下列问题： 鸟的翅膀是什么形状的？ 你能设计并制作一个鸟翼模型吗？ 鸟翼是如何获得升力的呢？和同学交流，阐述你的观点。 学生们阅读教材，自主学习，思考并回答以上问题。 请利用身边的器材制作鸟翼的模型。并实际动手做一做，把细绳拉平绷紧，用嘴对着“鸟翼”前端细绳的位置，用力水平吹气，能够看到什么现象？ 分析鸟翼模型是如何获得升力，向上飞行的。
三流体动力学基础作业题
第三章流体动力学基础复习题 一、概念部分 1、描述流体运动的方法有和；前者以为研究对象，而后者以为研究对象。 2、流体运动的几何描述有：，，和。 3、流线有什么特点？流线、脉线和迹线有什么区别和联系？ 4、流体微团基本运动形式有，和变形运动等， 而变形运动又包括和两种。 5、描述有旋运动几何要素有、和。 6、判断正误：理想流体不存在有旋运动是否正确？为什么？试举例说明。 7、表征涡流的强弱的参数有和。 8、在无涡流空间画出的封闭周线上的速度环量为。 9、简述汤姆孙定理的内容 10、速度势函数?存在的条件是什么？流函数存在的条件是什么？ 11、简述流函数的物理意义的内容，并证明。 12、流网存在的条件是什么？简述流网的性质所包含的内容？ 13、无环量圆柱绕流运动由流、流和流叠加而成，有环量的圆柱绕流运动是无环量的圆柱绕流运动与流叠加而成。 14、是驻点。通过驻点的流线一定是零流线，是否正确？为什么？零流线是。轮廓线是。 15、描述流体运动的微分方程有、和。 写出它们的表达式。 16、纳维-斯托克斯方程中的速度只能是平均速度，是否正确？为什么？ 17、写出总水头和测压管水头的表达式，并说明各项的物理意义。 18、写出总压、全压和势压得表达式，并说明各项的物理意义。 19、简述系统和控制体的定义和特点 二、计算部分 1、已知拉格朗日描述：求速度与加速度的欧拉描述 2、试判断下列流场的描述方式：并转换成另一种描述方式 3、已知用欧拉法表示的流场速度分布规律为： 试求在t=0时刻位于点（a,b)的流体质点的运动轨迹及拉格朗日法表示的速度场 4、粘性流体在半径为R 的直圆管内做定常流动。设圆管截面（指垂直管轴的平面截面）上?????==-t t be y ae x ()()?????+-=+-=-t y t x e b u e a u 1111???+=+=t y u t x u y x
《在流体中运动》教案 教科版
1.在流体中运动 教学目标 三维目标要求 一、知识与技能 1.知道流体的压强与流速的关系：流速大的地方压强小，流速小的地方压强大。 2.了解升力是怎样产生的。 二、过程与方法 1.通过观察法、实验法探究流体的压强与流速的关系，通过分析推理法探究飞机的升力是怎样产生的。 2.通过制作“鸟翼模型”，训练学生的动手能力； 三、情感态度与价值观 1.结合日常生活现象，激发学生兴趣。 2.了解历史，加深人文素养。 教学重点和难点 一、教学重点 知道气体的压强与流速的关系。 二、教学难点 了解飞机的升力是怎样产生的。 教学过程 情景导入 今天，我们先请两位同学来进行一项比赛：“漏斗吹球”比赛。(比赛规则：用手掌托着乒乓球，把乒乓球放在翻转的漏斗中，用嘴通过漏斗向下吹气，同时放开手。看到了什么现象？)
教师提问：乒乓球为什么在漏斗下方不会掉下来呢？ 教师讲述：让我们带着问题一起走进今天的物理课堂。 教学活动 一、鸟儿是怎样翱翔的 提问：鸟儿能在天空中翱翔，依据鸟的原理而设计的滑翔机大家听说过吗？你知道第一个设计滑翔机的人是谁吗？ 德国的奥托·李林达尔，是世界上公认的滑翔机之父（链接到李林达尔），设计和制造了实用的滑翔机（见教材P65图10-1-1），实现了飞行的梦想。 阅读教材P54，实验探究：鸟翼的升力。 鸟类的翅膀形状各异，飞行方式也各不相同，但它们有一个共同的特点，鸟翼横截面的连线是弯曲的，如图10-1-2所示。
设计实验： （1）如图10-1-3，用硬纸做一个鸟翼模型，在其中插一根吸管，穿过吸管将模型套在竖直的铁丝上。 （2）用吹风机对着模型吹风，观察气流对鸟翼模型有什么作用。 实验结论：水平的气流，能使鸟翼获得向上的升力。 什么是升力？ 就是向上的力，使鸟翼上升的力。一般都是说在空气中，向上的力大于向下的力，其合力可以使物体上升。这个力就是升力。 二、伯努利的发现 这个升力是怎样产生的呢？让我们来追溯一下历史；早在1738 年，伯努利就发现了流体压强与流速的关系，这不仅解开了鸟儿在天空翱翔的奥秘，也成了人类打开空中旅行大门的钥匙（链接到伯努利）。 1.流体流速与压强有什么关系呢？ 阅读教材P55，做“活动：液体压强与流速的关系”。 引导学生进行探究实验：取一张纸条，从纸条上方沿纸条吹气，如图10-1-4 ，纸条会怎样运动？
3第三章_流体运动学
第三章 流体运动学 3－1 已知流体质点的运动，由拉格朗日变数表示为 x =ae kt ，y =be -kt ，z =c ，式中k 是不为零的常数。试求流体质点的迹线、速度和加速度。 解：（1）由题给条件知，流体质点在z=c 的平面上运动，消去时间t 后，得 xy =ab 上式表示流体质点的迹线是一双曲线族：对于某一给定的（a ，b ）,则为一确定的双曲线。 （2）0kt kt x y z x y z u kae u kbe u t t t -???= ===-==???，， （3）220y kt kt x z x y z u u u a k ae a k be a t t t -???=== ===???，， 3－2 已知流体运动，由欧拉变数表示为u x =kx ，u y =－ky ，u z =0，式中k 是不为零的常 数。试求流场的加速度。 解：2d d x x x x x x x y z u u u u u a u u u k x t t x y z ????= =+++=???? 2d d y y u a k y t ==，d 0d z z u a t == 3－3 已知u x =yzt ，u y =zxt ，u z =0，试求t =1时流体质点在（1，2，1）处的加速度。 解：2()3m/s x x x x x x y z u u u u a u u u yz zxt zt t x y z ????= +++=+=???? 2()3m/s y y y y y x y z u u u u a u u u zx yzt zt t x y z ????=+++=+=???? 0z z z z z x y z u u u u a u u u t x y z ????=+++=???? 3－4 已知平面不可压缩液体的流速分量为u x =1－y ，u y =t 。试求（1）t =0时，过（0， 0）点的迹线方程；（2）t =1时，过（0，0）点的流线方程。 解：（1）迹线的微分方程式为 d d d d d d d d d d y x y x y x y x y t t t y u t t t u u u u ======，，，， 积分上式得：12 2C t y +=，当t=0时，y=0，C 1=0，所以 2 2t y = (1) 2d d (1)d (1)d 2x t x u t y t t ==-=-，积分上式得：23 6 C t t x +-= 当t =0时，x =0，C 2=0，所以 6 3 t t x - = (2) 消去（1）、（2）两式中的t ，得x =有理化后得 023 49222 3=-+-x y y y
1.在流体中运动
10.1 在流体中运动 导： 【学生活动】：预习检测及反馈 知识点：流体压强与流速的关系 自主检测1：完成下列填空。 _________和___________统称为流体； 自主检测2：小组的实验探究过程。 （1）猜想：你所在的小组是第_____组，你们的猜想是——流体在流速大．的地方压强______？ （2）探究：验证此猜想的简单实验（或生活经验）是：（文字描述或画图说明均可） （3）结论：流体在流速大的地方压强________。 小组互助活动：（1）根据老师给出的正确答案先自行纠错（2）组长记录组员完成及纠错情况： 完成情况： 组员自评：错题_________处。 纠错情况： 物理小组长：此组员纠错_______处，该组员______（是、否）认真纠错，物理组长签字：_____________ 探： 【探1 】如图所示，当松开握小球的手时，为了让漏斗中的小球悬而不落，可以采用__________________方法。 这样做的依据是__________________________________ 。 【及时练习1】下面的实验，不能揭示流体压强与流速关系的是（） A．B．C．D． 【探2】利用如图所示的装置可探究机翼升力产生的原因．压强计的两端分别置于机翼模型的上、下表面附近，用鼓风 机向模型左端吹气，可观察到压强计两侧液面出现高度差．则（） A．模型上方空气流速大，压强小 B．模型下方空气流速大，压强大 C．模型上方空气流速小，压强大 D．模型下方空气流速小，压强小 【及时练习2】根据流体压强与流速的关系，有些跑车的尾部安装了导流板，如图所示。它的作用主要是在跑车高速行 驶时，增加车对地面的压力，提高车轮的抓地性能，那么导流板横截面的形状应是（） A．B．C．D． 达 1、小红撑一把雨伞行走在雨中，如图所示，一阵大风吹来，为了不使雨伞被大风吹起，小红需要额外施加一个向下的 力，是因为伞下方的空气流速______上方的空气流速，所以向上的压强_____向下的压强（选填“大于’或“小于”）。 2、如图是北美草原犬鼠洞穴的横截面示意图。它有两个出口，当风吹过隆起洞口A时，风速较大，吹过平坦洞口B时， 风速较小，从而给洞中的犬鼠带去习习凉风。则有关洞内风向分析正确的是（） A.风总是A口吹入，B口吹出 B.风总是B口吹入，A口吹出 C.风总是A、B口同时吹入 D.风有时从A口吹入，有时从B口吹入 3、学习了“流体压强与流速的关系”后，为了解决“H”形地下通道中过道的通风问题，同学们设计了如下几种方案。如图， 黑色部分为墙面凸出部分，“M”为安装在过道顶的换气扇，其中既有效又节能的是( ) A B C D 4、弧圈球是一种攻击力强、威力大的乒乓球进攻技术．如图为某人某次拉出的弧圈球在空中高速旋转前进的示意图， 此时球上方气体相对球上部流速小于下方气体相对球下部流速，以下说法正确的是（） A．球在空中继续前进是受到惯性力的作用 B．球在空中前进时受平衡力作 C．球因高速旋转前进比不旋转前进时会下落得慢 课堂深探究 预习巧导航 1
物体在流体中运动所受到的作用力(精.选)
物体在流体中运动所受到的作用力 北京教育学院物理系叶禹卿 在中学物理中，研究了自由落体、单摆、抛体、振动等物体的运动。研究时，认为物体在空气和水（流体）中运动时，没有受到流体的作用力，物体的运动是“在理想情况下的运动”。在进行中学物理教学时，应当让学生理解和掌握这种物体的“理想运动”规律。但是也应当清楚：在流体中运动的任何物体，都受到流体的作用力，有些情况下的作用力还很大，明显地影响了物体的运动状态。 对于物体在流体中运动的实际情况，我们应当有所了解。本文仅介绍实际流体对在其中运动物体的阻力、压力，研究一些在流体中运动的实际物体运动规律，简要分析和说明有关理论与实际联系一些问题。 一、对流体的认识 流体由连续分布的介质组成，有自身的结构和特点。物体在流体中运动时，对组成流体的介质有作用，也必定受到介质的反作用。在过去的中学物理中，基本不讨论流体问题。现在，初中和高中都增加了有关流体的内容。例如，在高中实验教材第一册增加了“流体的阻力”“伯努利方程”等，对流体的主要性质及其运动规律做了简单分析。 1．流体具有易流性、粘性和压缩性 易流性是流体在切向力作用下，容易发生连续不断变形运动的特性。液体和气体与固体的差异，或者说流体最显著的特征就是具有“流动性”或者“易流性”。 如果对静止的流体施加一个切向力，即使这个力多么微小，流体也将沿着力的方向运动。流体具有易流性的原因，是流体既不能承受拉力、也不能承受切向力。由于流体具有易流性，所以流体没有固定的形状，并且在流动中能与外界发生各种传输作用。理想流体和实际流体都具有易流性。理想流体的易流性比实际流体更强。气体只能传递纵波、液体主要传递纵波的原因就是流体的易流性。 理想流体是没有粘性的，其内各部分之间不存在切向作用力。实际流体与理想流体的主要差异是实际流体有粘性。粘性大小用粘性系数表示。粘性系数由流体自身的性质决定，与流体的种类、流体的温度等一些因素有关。在国际单位制中，粘性系数的单位是Pa·s。表1为常见的一些流体在标准大气压时的粘性系数。从表可以看出：空气的黏性系数比水的黏性系数小；随着温度的升高，同一个物体的粘性系数减小。 表1 常见流体的粘性系数（Pa·s） 压缩性是在外力的作用下流体体积可以变化的性质。在质量不变时，流体被压缩意味着它的密度加大。理想流体没有压缩性，无论外界施加多大的压力，它的体积都不会改变。实际流体都有压缩性。一般液体的压缩性不大，而气体的压缩性比较大。被压缩后，液体内的分子间距减小、相互间的斥力加大。液体内部压强大小随其分子间距变化，而且十分明显。水的体积减小百万分之一，其压强会增
第三章流体动力学基础
第三章 流体动力学基础 习 题 一、单选题 1、在稳定流动中，在任一点处速度矢量是恒定不变的，那么流体质点是 （ ） A ．加速运动 B ．减速运动 C ．匀速运动 D ．不能确定 2、血管中血液流动的流量受血管内径影响很大。如果血管内径减少一半，其血液的流量将变为原来的（ ）倍。 A ．21 B ．41 C ．81 D ．161 3、人在静息状态时，整个心动周期内主动脉血流平均速度为0.2 m/s ，其内径d =2×10-2m ，已知血液的粘度η =×10-3 Pa·S ，密度ρ=×103 kg/m 3，则此时主动脉中血液的流动形态处于（ ）状态。 A ．层流 B ．湍流 C ．层流或湍流 D ．无法确定 4、正常情况下，人的小动脉半径约为3mm ，血液的平均速度为20cm/s ，若小动脉某部分被一硬斑阻塞使之变窄，半径变为2mm ，则此段的平均流速为（ ）m/s 。 A ．30 B ．40 C ．45 D ．60 5、有水在同一水平管道中流动，已知A 处的横截面积为S A =10cm 2，B 处的横截面积为S B =5cm 2，A 、B 两点压强差为1500Pa ，则A 处的流速为（ ）。 A ．1m/s B ．2m/s C ．3 m/s D ．4 m/s 6、有水在一水平管道中流动，已知A 处的横截面积为S A =10cm 2，B 处的横截面积为S B =5cm 2，A 、B 两点压强之差为1500Pa ，则管道中的体积流量为（ ）。 A ．1×10-3 m 3/s B ．2×10-3 m 3/s C ．1×10-4 m 3/s D ．2×10-4 m 3/s 7、通常情况下，人的小动脉内径约为6mm ，血流的平均流速为20cm/s ，若小动脉某处被一硬斑阻塞而变窄，测得此处血流的平均流速为80cm/s ，则小动脉此处的内径应为（ ）mm 。 A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 8、正常情况下，人的血液密度为×103kg/m 3 ，血液在内径为6mm 的小动脉中流动的平均速度为20cm/s ，若小动脉某处被一硬斑阻塞而变窄，此处内径为4mm ，则小动脉宽处与窄处压强之差（ ）Pa 。 二、判断题 1、有水在同一水平管道中作稳定流动，管道横截面积越大，流速越小，压强就越小。（ ） 2、由直径为15cm 的水平光滑的管子，把20℃的水抽运到空气中去。如果抽水保持水的流速为30cm/s ，已知20℃水的粘度η＝×10-3 Pa/S ，则水在管子中的流动形态属于湍流。（ ） 3、烟囱越高，通风效能越好，即把烟从炉中排出来的本领就越大。（ ） 4、在深海中下落的一个铝球，整个过程始终是加速运动的。（ ） 5、飞机机翼的升力来自机翼上下表面压强之差，这个压强之差主要由于机翼上表面流速大于下表面流速所致。（ ） 6、流体的内摩擦力与固体间接触表面的摩擦力共同的特点都是阻碍相对运动，但流体的内摩擦力不存在最大的静摩擦力。（ ） 三、填空题 1、流管的作用相当于管道，流体只能从流管一端____，从另一端______。 2、液体的粘度与液体的______、温度、_______因素有关，且随着温度的升高而_______。 3、理想流体是指 的流体，是一理想的模型，它是实际流体的近似。 4、稳定流动是实际流体流动的一种特殊情况， ，称为稳定流动。 5、为形象地描绘流速场的分布情况，可在其中描绘一些曲线，使
在流体中运动
10.1 在流体中运动 【学习目标】 1.知道气体的压强与流速的关系。 2.了解飞机的升力是怎样产生是。 【方法指导】 重点是流体的压强与流速的关系，难点是设计与组织学生认识“升力”。 【自主学习】： 知识点一、流体压强与流速的关系 (1)流体：气体、液体都可以，而且没有一定的，它们统称为流体。 (2).实验表明：气体压强与气体的流速有关，气体在流速大的地方压强；反之，在流速小的地方压强。 (3).伯努利原理：流体在流速大的地方压强，流速小的地方压强，这个规律叫做伯努利原理。伯努利原理适用于。 知识点二、升力的产生： (4).升力：在空气中向上的力向下的力时，其合力可以使 物体，这个力就是升力。 (5).鸟翼升力产生的原因：如图所示是鸟翅膀的横截面图。鸟向前飞 翔，空气沿着鸟翼流过，由于鸟翼横截面的形状为， 在相同时间内，鸟翼上方（凸面）气流通过的路程，因而速 度大，它对鸟翼的压强；下方（凹面）气流通过的路 程，因而速度小，它对鸟翼的压强；这样在鸟翼的 上下表面产生了，这个压强差就形成了鸟翼向上的升力。 【合作探究】 1.我国海军舰艇赴亚丁湾护航时，护航编队一般采用前后护航是形式，而 不采用“并排”护航，这是因为流体在流速大的地方小，当两船 并排高速行驶时，容易发生事故。 2.如图所示是小华家购买的一辆小轿车，她发现轿车的外形类似飞机的机 翼。则轿车在快速行驶的过程中，轿车上方空气的流速轿车下 方空气的流速，因而轿车上方气体的压强轿车下方气体的压强， 从而使得轿车对地面的压力车的重力。 3.如图10-1-4所示，小明把一纸条靠近嘴边，在纸条上方沿水平方向吹气 时，纸条会向（选填“上”或“下”）偏移，这个现象说明，气流 流动时，流速的地方压强小。 4.运动型轿车和跑车的尾部设计安装了一种“气流偏导器”（扰流板），它的 上表面平直，底部呈弧形凸起，相当于一个倒置的机翼，这主要 是让车在高速行驶时，车轮能较好地抓住地面，试解释其中的奥 秘。 【学习检测】
《在流体中运动》同步练习
1.如图13-15所示，两船距离很近且并排行驶时，将会 ，这是因为两船内侧水的流速 于两船外侧水的流速，造成了两船内侧水的压强 于外侧水的压强的原因（选填“大”、“小”或“等”）。 2．打开自来水龙头，使自来水流过如图13-16所示的玻璃管，在A 、B 、C 三处，水的流速较大的是 处，压强较小的是 处（选填“ A ”“B ”或“C ”）。 3.如图13-17所示，是喷雾器的原理示意图，当空气从小孔迅速流出，小孔附近空气的流速较大，压强 容器里液面上方的空气压强，液体就沿细管上升，从管口中流出后，受气流的冲击，被喷成雾状。 4.在较光滑的水平桌面上，放两只乒乓球，两球之间间隔1cm,用一根细管向两管之间吹气，发现两球会 ，这是由于吹气时两球之间的气流速度较 ，压强较 的缘故。 5.春天是放风筝的好季节。风筝在空气中飞行利用了下列什么原理（ ） A.风筝下方空气流动速度小，空气压强小 B.风筝下方空气流动速度大，空气压强大 C.风筝上方空气流动速度大，空气压强小 D.风筝上方空气流动速度小，空气压强大 6.如图13-18所示，将一张明信片沿着其边长弯成弧形放在玻璃台面上，形成一座“拱桥”，当你对着“拱桥”使劲吹气时，你会发现（ ） A.“纸桥”被吹开较长的距离 B.“纸桥”被吹开较短的距离 C.“纸桥”被吹得上下跳动几下 D.“纸桥”紧贴桌面不动 7．如图13-19 所示，将一个普通的乒乓球轻轻放人漏斗中，用电吹风从管口向图 13-18 图13-15 图13-16 图13-17
上吹，那么以下分析正确的是（ ） A ．球被向上吹起，因为其下方气体流速大，压强大 B ．球被向上吹起，因为其下方气体流速大，压强小 C ．球不会被向上吹起，因为其下方气体流速大，压强大 D ．球不会被向上吹起，因为其下方气体流速大，压强小 8．龙卷风的实质是高速旋转的气流．它能把地面上的物体或人畜“吸”起卷入空中。龙卷风能“吸”起物体是因为（ ） A ．龙卷风内部的压强远小于外部的压强 B ．龙卷风增大了空气对物体的浮力 C ．龙卷风使物体受到的重力变小 D ．迷信说法中的“龙’把物体“抓”到空中 9．让自来水流过如图13-20所示的装置，当水流稳定后（ ） A.P 点流速等于Q 点流速 B.P 点流速小于Q 点流速 C.P 点压强大于Q 点压强 D.P 点压强小于Q 点压强 10．如图13-21所示，将A 、B 两纸片的上端提起，让纸片自由下垂，当向纸片中间用力吹气时，会发生的现象是（ ） 图 13-20 图13-19
第三章流体动力学基础
第三章流体动力学基础 描述流体运动的两种方法： 拉格朗日法和欧拉法。除个别质点的运动问题外，都应用欧拉法。 拉格朗日法：是以个别质点为研究对象，观察该质点在空间的运动，然后将每个质点的运动情况汇总，得到整个流体的运动。质点的运动参数是起始坐标和时间变量t的连续函数。 欧拉法：是以整个流动空间为研究对象，观察不同时刻各空间点上流体质点的运动，然后将每个时刻的情况汇总起来，描述整个运动。空间点的物理量是空间坐标）和时间变量t的连续函数。 恒定流：各空间点上的运动参数都不随时间变化的流动。 非恒定流：各空间点上的运动参数随时间变化的流动。 一（二、三）元流：流体流动时各空间点上的运动参数是一（二、三）个空间坐标和时间变量的连续函数。 均匀流：流线是平行直线的流动。 非均匀流：流线不是平行直线的流动。 流线：表示某时刻流动方向的曲线，曲线上各质点的速度矢量都与该曲线相切。迹线：流体质点在一段时间内的运动轨迹。 流管：某时刻，在流场内任意做一封闭曲线，过曲线上各点做流线，所构成的管状曲面。 流束：充满流体的流管。 过流断面：与所有流线正交的横断面。 元流：过流断面无限小的流束，断面上各点的运动参数均相同。
总流：过流断面为有限大小的流束，断面上各点的运动参数不相同。流量：单位时间内通过某一过流断面的流体量。以体积计为体积流量，简称流量；以质量计为质量流量；以重量计为重量流量 非均匀渐变流：在非均匀流中流线近似于平行直线的流动。 水头线：总流或元流沿程能量变化的几何图示。 水力坡度：单位流程内的水头损失。 （简答）流线有哪些主要性质？流线和迹线有无重合的情况？答：流线性质：（1）在恒定流中，流线的形状和位置不随时间变化；（2）在同一时刻，一般情况下流线不能相交或转折。在恒定流中流线与迹线重合，非恒定流中一般情况下两者不重合，但当速度方向不随时间变化只是速度大小随时间变化时，两者仍重合。 试述流动分类：（1）根据运动参数是否随时间变化，分为恒定流和非恒定流；（2）根据运动参数与空间坐标的关系，分为一元流、二元流和三元流；（3）根据流线是否平行，分为均匀流和非均匀流。 不可压缩流体的连续性微分方程：不可压缩流体运动必须满足该方程。
流体力学第3章流体运动学
第3章流体运动学 选择题： 【3.1】 用欧拉法表示流体质点的加速度a 等于：（a ）22 d d t r ；（b ）v t ??；（c ）()v v ??； （d ）()t ?+???v v v 。 解：用欧拉法表示的流体质点的加速度为 () d d t t ?= =+??v v a v v （d ） 【3.2】 恒定流是：（a ）流动随时间按一定规律变化；（ b ）各空间点上的运动要 素不随时间变化；（c ）各过流断面的速度分布相同；（d ）迁移加速度为零。 解：恒定流是指用欧拉法来观察流体的运动，在任何固定的空间点若 流体质点的所有物理量皆不随时间而变化的流动. （b ） 【3.3】 一元流动限于：（a ）流线是直线；（b ）速度分布按直线变化；（c ）运 动参数是一个空间坐标和时间变量的函数；（d ）运动参数不随时间变化的流动。 解：一维流动指流动参数可简化成一个空间坐标的函数。 （c ） 【3.4】 均匀流是：（a ）当地加速度为零；（b ）迁移加速度为零；（c ）向心加 速度为零；（d ）合加速度为零。 解：按欧拉法流体质点的加速度由当地加速度和变位加速度（亦称迁移加速度）这两部分组成，若变位加速度等于零，称为均匀流动 （b ） 【3.5】 无旋运动限于：（a ）流线是直线的流动；（b ）迹线是直线的流动；（c ） 微团无旋转的流动；（d ）恒定流动。 解：无旋运动也称势流，是指流体微团作无旋转的流动，或旋度等于零的流动。 （d ） 【3.6】 变直径管，直径1320mm d =，2160mm d =，流速1 1.5m/s V =。2V 为：（a ） 3m/s ；（b ）4m/s ；（c ）6m/s ；（d ）9m/s 。 解：按连续性方程， 22 1 12 2 4 4 V d V d π π =，故
八年级物理下册第十章流体的力现象1在流体中运动教案(新版)教科版
1.在流体中运动 教学目标 1.知识与技能 知道流体的压强与流速的关系：流速大的地方压强小，流速小的地方压强大；了解升力是怎样产生的. 2.过程与方法 通过观察法、实验法探究流体的压强与流速的关系，通过分析推理法探究飞机的升力是怎样 产生的；通过制作“鸟翼模型”，训练学生的动手能力； 3.情感、态度与价值观 结合日常生活现象，激发学生兴趣；了解历史，加深人文素养. 教学重点、难点 流体的压强与流速的关系，探究飞机的升力是怎样产生的？ 教学器材 硬纸、吸管、两张活页纸、硬币一枚、纸条、多媒体教学视频 教学过程 教师活动学生活动 一、设境激趣,导入新 课 (5分钟) 引入：我要飞得更高，像鸟儿一样在天空自由 自在的翱翔，是人类千百年来的一个梦想.为 了实现这个梦想人类一直在不断的努力，那你 知道依据鸟儿飞翔的原理而设计第一个滑翔 机的人是谁吗？ 学生回答问题，若可以回 答，教师做必要的补充；若 不能回答，教师在图片的引 导下，介绍奥托·李林达 尔. 奥托·李林塔尔 0tto Lilienthal （1848-1896）为德国工程师和滑翔飞行家， 世界航空先驱者之一.他最早设计和制造出实 用的滑翔机，是世界上公认的“滑翔机之 父”． 现在航空设计师已经掌握了这项让大型 客机升空的技术，同学们你们想知道这项技术 吗？那就同老师一起学习这一节课《在流体中 运动》 学生了解到滑翔机之父 ——李林达尔 .
二、师生互动,探究新知 (10分钟)引导学生进行体验小实验： 实验一，取两张活页纸，手握两张纸，让 纸自然下垂，如果在两张纸中间向下吹气，你 猜两张纸将怎样运动．试试看. 实验二，把一张小纸条放在嘴边，从纸条 上方沿纸条吹气，会看到什么现象？ 学生动手操作,并回答：两 张纸向一起靠拢,纸条居然 飞了起来(这里和他们日常 生活中以为只要吹气活页 纸就会分开，纸条向下方运 动不同,引起学生好奇)； 要得出两个小实验中为什么会出现这个 现象，我们来探究一下纸条上方的流速和压 强； 探究实验：气体压强与流速的关系 提出问题： 猜想与假设： 进行试验： 学生自主进行硬币跳高实验 学生根据引导一步一 步解决问题； 提问： 从这个实验中，我们得出流速和压强有什 么样的关系？ 吹硬币上方，导致硬币上方的流速比硬币 下方的流速大；硬币上升，说明纸条上方的压 强比下方小；硬币上方的流速大、压强却小， 说明流速与压强之间的关系是什么? 观察实验现象，思考并讨论 得出:气体流速与压强的关 系:气体中的压强,流速较 大的位置,压强较小;流速 较小的位置,压强较大. 三、启发引导,归纳总 结(10分钟) 气体由于具有流动性所以具备流速变化 的条件，那液体呢？那应该如何完善我们刚才 所得出的结论呢？ 伯努利原理——流体在流速大的地方压 强小,流速小的地方压强大. 学生自己用逻辑的语言阐 述自己的结论，并和书上的 结论对照. 向学生介绍这就是著名的 伯努利原理 四、模型探究,知识迁移(10分钟）1、学生利用观看视频，结合流体压强与流速 的关系分析鸟和的升力究竟是怎样产生的.飞 机的机翼和鸟翼有什么共同的特点？ 2、师生共同讨论总结: 鸟翼上方空气流速快,压强小:鸟翼下方空 学生学生回答：列举出共同 点（两支翅膀、头、尾等等） 思考；飞机的机翼和鸟翼有 几乎相同的结构. 我们可以通过流速和压强 的关系来解释升力是怎样
《10.1在流体中运动》教案
《10.1在流体中运动》教案 【 教学目标 】 １.知识与技能 知道流体的压强与流速的关系：流速大的地方压强小，流速小的地方压强大；了解升力是怎样产生的。 ２.过程与方法 通过观察法、实验法探究流体的压强与流速的关系，通过分析推理法探究飞机的升力是怎样产生的；通过制作“鸟翼模型”，训练学生的动手能力； 3.情感、态度与价值观 通过制作“鸟翼模型”，感受自然界的奇妙和人类的伟大。 【教学重点】 流体压强和流速的关系。 【教学难点】 设计和组织学生认识升力。 【实验器材】 教师用器材 PPT 课件、带窗帘房子模型一个、电吹风机一个、洗衣机排水管一个、彩纸。 学生用器材 纸条、纸张、兵乓球、漏斗、小吸管、塑料杯、装有水水槽、木块、注射器、 【 教学过程 】 教师活动设计 学生活动设计 来一、新课引入 （ 1 ）模拟“风吹窗帘”的实验 （ 2 ）模拟“天女散花’实验 学生感受流体压强现象 二[新新新授内容 1.实验探究：鸟是怎样翱的 （ 1 ）让学生说是谁第一个网][利用仙鹤翅膀的形状设计滑翔机的学 #科# 学生回答问题。 [来源:21世纪教育网21世纪教育网[来源:21世纪教育网[21世纪教育网
（ 2 ）引导学生分析不同鸟类鸟翼的共同特点。学生讨论并总结鸟的翅膀的共同特点。 ( 3 )让学生制作鸟翼模型，并巡回指导。用吹风机正对鸟翼模型吹风，观察气流对鸟翼的作用； 学生观察现象，思考为什么向上运动。 2、实验探究：流体压强与流速的关系引导学生分析鸟翼的升力是由于 对它吹风前后，上面的压强和下 面的压强有什么变化，引出流体 压强与流速有关 学生思考讨论交流回答。 （ 1）让学生对流体压强与流速 有什么关系说出猜想，让学生设 计并做实验，教师巡视指导。 学生设计并做实验分析得出 结论，并到前面展示实验成 果。 （ 2）让学生把流动气体和流动 液体的压强规律归纳出流体压强 的规律，教师板书“伯努利原理”。 学生思考并回答。 （ 3 ）让学生利用器材做相关实 验，并用伯努利原理来解释 学生操作并展示、解释。 （ 4 ）引导学生解释引入新课的 两个实验现象的原因。 学生交流并回答。 3、升力是如何产生的让学生解释鸟翼和飞机的升力产 生的原因 学生结合鸟翼模型回答。 4、伯努利原理的应用 让阅读课本62页最后一自然段 并结合生活和生产实际，那些地 方应用了流体压强。 学生交流思考并回答 三、课堂小结引导学生谈这节课的收获。学生谈收获。 四、达标练习让学生做达标练习。学生做题并回答。 五、作业课后63页自我评价1、2、3、4题。 【板书设计】 1升力 2伯努利原理：流体在流速大的地方压强小，流速小的地方压强大。
《大学物理教程》郭振平主编第十一章-流体运动基础知识点及答案
第十一章 流体运动基础 一、基本知识点 流体的可压缩性：流体的体积会随着压强的不同而改变的性质。 流体的黏性：内摩擦力作用导致相邻流体层速度不同的性质。 理想流体：绝对不可压缩且完全没有黏性的流体。 稳定流动：空间各点的流速不随时间变化的流体流动。 流线：在流体空间设想的一系列曲线，其上任意一点的切线方向都与流体通过该点时速度方向一致。任何两条流线不能相交。 流管：在稳定流动的流体中的一个由流线围成的管状微元。 稳定流动的连续性方程：单位时间内通过任一截面的流体质量都相等，即 S ρυ=恒量 也称为质量流量守恒定律。 理想流体稳定流动的连续性方程：单位时间内通过任一截面的流体体积都相等，即 S υ=恒量 也称为体积流量守恒定律。 理想流体的伯努利方程：理想流体作稳定流动时，单位体积的势能、动能及该点压强之和是一恒量，即 21 2 P gh ρρυ++=恒量 牛顿黏滞定律：黏性力f 的大小与两速度不同的流体层的接触面积S 及接触处的速度梯度 d dx υ 成正比，即 d f S dx υη= 式中比例系数η称为流体的黏滞系数或黏度。η值的大小取决于流体本身的性质，并和温度有关，单位是2 N s m -??或Pa s ?。
表11-1 几种流体的黏度 流体 温度()C ? η()Pa s ? 流体 温度()C ? η()Pa s ? 水 0 20 37 100 31.7910-? 31.00510-? 30.69110-? 30.28410-? 空气 0 20 100 617.110-? 618.110-? 621.810-? 蓖麻油 7.5 20 50 60 112.2510-? 19.8610-? 1 1.2210-? 10.8010-? 氢气 -1 251 68.310-? 61310-? 血液 37 3(2.5~3.5)10-? 二氧 化碳 0 300 61410-? 62710-? 雷诺数: 判断黏性流体的流动状态的一个无量纲的数 e r R ρυη = 式中，υ为流速，ρ为流体密度，η为黏度，r 为流管半径。 层流：1000e R < 过渡流动：10001500e R << 湍流：1500e R > 黏性流体的伯努利方程： 2 211122 21122 P gh P gh E ρρυρρυ++=+++? 黏性流体在均匀水平管中稳定流动方程： 12P P E =+? 只有水平管两端存在压强差，黏性流体才能稳定流动。 黏性流体在开放的粗细均匀管道中稳定流动方程：
物体在流体中运动所受到的作用力教程文件
物体在流体中运动所受到的作用力
物体在流体中运动所受到的作用力 北京教育学院物理系叶禹卿 在中学物理中，研究了自由落体、单摆、抛体、振动等物体的运动。研究时，认为物体在空气和水（流体）中运动时，没有受到流体的作用力，物体的运动是“在理想情况下的运动”。在进行中学物理教学时，应当让学生理解和掌握这种物体的“理想运动”规律。但是也应当清楚：在流体中运动的任何物体，都受到流体的作用力，有些情况下的作用力还很大，明显地影响了物体的运动状态。 对于物体在流体中运动的实际情况，我们应当有所了解。本文仅介绍实际流体对在其中运动物体的阻力、压力，研究一些在流体中运动的实际物体运动规律，简要分析和说明有关理论与实际联系一些问题。 一、对流体的认识 流体由连续分布的介质组成，有自身的结构和特点。物体在流体中运动时，对组成流体的介质有作用，也必定受到介质的反作用。在过去的中学物理中，基本不讨论流体问题。现在，初中和高中都增加了有关流体的内容。例如，在高中实验教材第一册增加了“流体的阻力”“伯努利方程”等，对流体的主要性质及其运动规律做了简单分析。 1．流体具有易流性、粘性和压缩性 易流性是流体在切向力作用下，容易发生连续不断变形运动的特性。液体和气体与固体的差异，或者说流体最显著的特征就是具有“流动性”或者“易流性”。 如果对静止的流体施加一个切向力，即使这个力多么微小，流体也将沿着力的方向运动。流体具有易流性的原因，是流体既不能承受拉力、也不能承受切向力。由于流体具有易流性，所以流体没有固定的形状，并且在流动中能与外界发生各种传输作用。理想流体和实际流体都具有易流性。理想流体的易流性比实际流体更强。气体只能传递纵波、液体主要传递纵波的原因就是流体的易流性。 理想流体是没有粘性的，其内各部分之间不存在切向作用力。实际流体与理想流体的主要差异是实际流体有粘性。粘性大小用粘性系数表示。粘性系数由流体自身的性质
流体力学讲义 第三章 流体动力学基础
第三章流体动力学基础 本章是流体动力学的基础。主要阐述了流体运动的两种描述方法,运动流体的基本类别与基本概念，用欧拉法解决运动流体的连续性微分方程、欧拉运动微分方程及N-S方程。此外，还阐述了无旋流与有旋流的判别，引出了流函数与势函数的概念，并且说明利用流网与势流叠加原理可解决流体的诸多复杂问题。 第一节流体流动的基本概念 1.流线 （1）流线的定义 流线（stream line）是表示某一瞬时流体各点流动趋势的曲线，曲线上任一点的切线方向与该点的流速方向重合。图3-1为流线谱中显示的流线形状。 （2）流线的作法： 在流场中任取一点（如图3-2），绘出某时刻通过该点的流体质点的流速矢量u1，再画出距1点很近的2点在同一时刻通过该处的流体质点的流速矢量u2…，如此继续下去，得一折线1234 …，若各点无限接近，其极限就是某时刻的流线。 流线是欧拉法分析流动的重要概念。 图3-1 图3-2 （3）流线的性质（图3-3） a.同一时刻的不同流线，不能相交。图3-3 因为根据流线定义，在交点的液体质点的流速向量应同时与这两条流线相切，即一个质点不可能同时有两个速度向量。 b.流线不能是折线，而是一条光滑的曲线。 因为流体是连续介质，各运动要素是空间的连续函数。 c.流线簇的疏密反映了速度的大小（流线密集的地方流速大，稀疏的地方流速小）。 因为对不可压缩流体，元流的流速与其过水断面面积成反比。 （4）流线的方程（图3-4） 根据流线的定义，可以求得流线的微分方程：图3-4
设d s为流线上A处的一微元弧长: u为流体质点在A点的流速: 因为流速向量与流线相切，即没有垂直于流线的流速分量，u和d s重合。 所以即 展开后得到：——流线方程（3-1） （或用它们余弦相等推得) 2.迹线 (1)迹线的定义 迹线(path line)某一质点在某一时段内的运动轨迹线。 图3-5中烟火的轨迹为迹线。 (2)迹线的微分方程 （3-2） 式中，u x,u y,u z均为时空t,x,y,z的函数，且t是自变量。图3-5 注意：流线和迹线微分方程的异同点。 ——流线方程 3.色线（colouring line) 又称脉线，是源于一点的很多流体质点在同一瞬时的连线。 例如：为显示流动在同一点投放示踪染色体的线，以及香烟线都是色线。图3-6 考考你：在恒定流中，流线、迹线与色线重合。 流线、迹线、色线的比较： 概念名 流线是表示流体流动趋势的一条曲线，在同一瞬时线上各质点的速度向量都与其相切，它描述了流场中不同质点在同一时刻的运动情况。