大学物理讲稿(第15章量子力学基础)

第15章 量子力学基础

人们用经典物理解释黑体辐射、光电效应、氢原子光谱等实验规律时,遇到了不可克服的困难.经过不断的探索和研究,终于突破了经典物理的传统观念,建立起量子理论.量子理论和相对论是现代物理学的两大支柱.

量子理论的诞生,对研究原子、电子、质子、光子等微观粒子的运动规律提供了正确的导向.从此使物理学发生了一次历史性的飞跃,促进了原子能、激光、超导、半导体等众多新技术的生产和发展.本章前部分,分别介绍黑体辐射、光电效应、氢原子光谱等实验规律以及为解释这些实验规律而提出的量子假设,即早期的量子论.本章的后部分简要介绍量子力学的基本概念及原理,并通过几个具体事例的讨论说明量子力学处理问题的一般方法.

§15.1 黑体辐射与普朗克的量子假设

一、黑体辐射的基本规律

1 热辐射

组成物体的分子中都包含着带电粒子,当分子作热运动时物体将会向外辐射电磁波,由于这种电磁波辐射与物体的温度有关,故称其为热辐射.实验表明,热辐射能谱是连续谱,发射的能量及其按波长的分布是随物体的温度而变化的.随着温度的升高,不仅辐射能在增大,而且辐射能的波长范围向短波区移动.

物体在辐射电磁波的同时,也吸收投射到物体表面的电磁波.理论和实验表明,物体的辐射本领越大,其吸收本领也越大,反之亦然.当辐射和吸收达到平衡时,物体的温度不再变化而处于热平衡状态,这时的热辐射称为平衡热辐射.

为描述物体热辐射能按波长的分布规律,引入单色辐射出射度（简称单色辐出度）这一物理量,其定义为：物体单位表面积在单位时间内发射的、波长在λ+λ→λd 范围内的辐射能dM λ与波长间隔d λ的比值,用M λ(T)表示,即

λ

=

λλd dM T M )( (15.1) 而辐出度定义为

⎰∞λλ=0d T M T M )()( (15.2) 2 黑体辐射的基本规律

投射到物体表面的电磁波,可能被物体吸收,也可能被物体反射和透射.能够全部吸收各种波长的辐射能而完全不发生反射和透射的物体称为绝对黑体,简称黑体.绝对黑体是一种理想模型,实验室中用不透明材料制成带有小孔的空腔物体可近似看作黑体.

图15.1为用实验方法测得的黑体单色辐出

度M B λ (T)按波长和温度分布的曲线.

关于黑体辐射,有两个基本定律：一个

是斯特藩—玻耳兹曼定律(M B (T )=σT 4 ,即

黑体的辐出度与其热力学温度的四次方成

正比 ,其中σ=5.6705×10-8 W•m -2 • K -4 称

为斯特藩—玻耳兹曼常数);另一个是维恩

位移定律(λm T=b,即黑体单色辐出度的最

大值对应的波长λm 与其绝对温度T 成反比,其中b=2.8978×10-3m •K 为与温度无关的常数).这两个定律在现代科学技术中有广泛的应用.通常用于测量高温物体(如冶炼炉、钢水、太阳或其他发光体等)温度的光测高温法就是在这两个定律的基础上建立起来的,同时,这两个定律也是遥感技术和红外跟踪技术的理论依据.

从理论上导出绝对黑体单色辐出度与波长和温度的函数关系,即M Bλ=f(λ, T) ,是19世纪末期理论物理学面临的重大课题.

维恩(W.Wien,1864—1928年)假定带电谐振子的能量按频率的分布类似于麦克斯韦速率分布率,然后用经典统计物理学方法导出了黑体辐射的下述公式

T c B e c T M λ-λλ=/)(25

1 (15.3) 其中 和 是两个由实验

确定的参数.上式称为维

恩公式.维恩公式只是在

短波波段与实验曲线相

符,而在长波波段明显偏

离实验曲线,如图15.2所

示.

瑞利(J.W.S.Rayleigh,

1842—1919年)和金斯

(J.H.Jeans,1877—1946年)

根据经典电动力学和经典统计物理学导出了另一个力图反映绝对黑体单色辐出度与波长和温度关系的函数 4

2λπ=λckT T M B )( (15.4) 式中c 是真空中的光速,k 是玻耳兹曼常数.上式称为瑞利—金斯公式.该公式在长波波段与实验相符,但在短波波段与实验曲线有明显差异,如图15.2所示.这在物理学史上曾称为“紫外灾难”.

234167895οοοοοοοοο

οοοοο瑞利—金斯线 维恩线 普朗克线 能量密度 m

/μ波长图15.2

二、普朗克的量子假设

1900年普朗克(M.Planck,1858—1947年)在综合了维恩公式和瑞利—金斯公式各自的成功之处以后,得到黑体的单色辐出度为

)()(/1

1252-λπ=λλkT hc B e hc T M (15.5) 这就是普朗克公式,式中h 为普朗克常数,1986年的推荐值为 h=6.6260755×10-34 J ·s.普朗克公式与实验结果的惊人符合预示了其中包含着深刻的物理思想.普朗克指出,如果作下述假定,就可以从理论上导出他的黑体辐射公式：物体若发射或吸收频率为ν的电磁辐射,只能以ε=hν为单位进行,这个最小能量单位就是能量子,物体所发射或吸收的电磁辐射能量总是这个能量子的整数倍,即

),,,(Λ321=ν=ε=n nh n E (15.6)

普朗克的能量子思想是与经典物理学理论不相容的,也正是这一新思想,使物理学发生了划时代的变化,宣告了量子物理的诞生.普朗克也因此荣获1918年的诺贝尔物理学奖.

作业(P224)：23

§15.2 光电效应与爱因斯坦的光量子假设

普朗克的量子假设提出后的最初几年中,并未受到人们的重视,甚至普朗克本人也总是试图回到经典物理的轨道上去.最早认识普朗克假设重要意义的是爱因斯坦,他在1905年发展了普朗克的思想,提出了光子假设,成功的解释了光电效应的实验规律.

一、光电效应的实验规律

金属在光的照射下,有电子从表面逸出,这

种现象称为光电效应.光电效应中逸出金属表面

的电子称为光电子.光电子在电场的作用下所形

成的电流叫光电流.研究光电效应的实验装置如

图15.3所示.在一个抽空的玻璃泡内装有金属电

极K(阴极)和A(阳极),当用适当频率的光从石

英窗口射入照在阴极K 上时,便有光电子自其表

面逸出,经电场加速后为阳极A 所吸收,形成光

电流.改变电位差U AK ,测得光电流 i ,可得光电

效应的伏安特性曲线,如图15.4所示.

实验研究表明,光电效应有如下规律：

1）阴极K 在单位时间内所发射的光电子数

与照射光的强度成正比.

从图15.4可以看出,光电流i 开始时随 增

大而增大,而后就趋于一个饱和值 ,

它与单位时间内从阴极K 发射的光

子数成正比.所以单位时间内从阴极

K 发射的光电子数与照射光强成正

比.

2）存在截止频率.

实验表明,对一定的金属阴极,当

照射光频率小于某个最小值i s 时,不

管光强多大,都没有光电子逸出,这个

最小频率v 0称为该种金属的光电效应截止频率,也叫红限,对应的波长0λ称为截止波长.每一种金属都有自己的红限.

3）光电子的初动能与照射光的强度无关,而与其频率成线性关系.

在保持光照射不变的情况下,改变电位差U AK ,发现当U AK =0时,仍有光电流.这显然是因为光电子逸出时就具有一定的初动能.改变电位差极性,使U AK <0 ,当反向电位差增大到一定值时,光电流才降为零,如图15.4所示.此时反向电位差的绝对值称为遏止电

压,用U a 表示.不难看出,遏止电压与光电子的初动能间有如下关系

a eU m =υ202

1 (15.7) 式中m 和e 分别是电子的静质量和电量, 0υ是光电子逸出金属表面的最大速率. 实验还表明,遏止电压U a 与光强I 无关,而与照射光的频率v 成线性关系,即 0V K U a -ν= (15.8)

式中K 和V 0都是正值,其中K 为普适恒量,对一切金属材料都是相同的,而V 0=Kv 0对同一种金属为一恒量,但对于不同的金属具有不同的数值.将式(15.8)代入式(15.7)得 )(00202

1ν-ν=-ν=υeK eV eK m (15.9) 上式表明,光电子的初动能与入射光的频率成线性关系,与入射光强无关.

4）光电子是即时发射的,滞后时间不超过10-9s.

实验表明,只要入射光的频率大于该金属的红限,当光照射这种金属表面时,几乎立即产生光电子,而无论光强多大.

二、爱因斯坦光子假设和光电效应方程

对于上述实验事实,经典物理学理论无法解释.

按照光的波动理论,光波的能量由光强决定,在光照射下,束缚在金属内的“自由电子”将从入射光波中吸收能量而逸出表面,因而逸出光电子的初动能应由光强决定,但光电效应中光电子的初动能与光强无关；另外,如果光波供给金属中“自由电子”逸出表面所需的足够能量,光电效应对各种频率的光都能发生,不应该存在红限,而且,光电子从光波中吸收能量应有一个积累过程,光强越弱,发射光子所需要的时间就越长,这都与光电效应的实验事实相矛盾.由此可见,光的波动理论无法解释光电效应的实验规律.

为了克服光的波动理论所遇到的困难,从理论上解释光电效应,爱因斯坦发展了普朗克能量子的假设,于1905年提出了如下的光子假设：一束光就是一束以光速运动的粒子流,这些粒子称为光量子（简称光子）；频率为v 的光子所具有的能量为hv ,它不能再分割,而只能整个的被吸收或产生出来.

按照光子理论,当频率为v 的光照射金属表面时,金属中的电子将吸收光子,获得 的能量,此能量的一部分用于电子逸出金属表面所需要的功(此功称为逸出功A)；另一部分则转变为逸出电子的初动能.据能量守恒定律有

(15.10) 这就是爱因斯坦的光电效应方程.

)(00202

1ν-ν=-ν=υ↓eK eV eK m 比较 00eK νeV A eK,h === (15.11)

由实验可测量K 和V 0,算出普朗克常数h 和逸出功A,进而还可求出金属的红限v 0.

按照光子理论,照射光的光强就是单位时间到达被照物单位垂直表面积的能量,它是由单位时间到达单位垂直面积的光子数N 决定的.因此光强越大,光子数越多,逸出的光电子数就越多.所以饱和光电流与光强成正比；由于每一个电子从光波中得到的能量只与单个光子的能量hv 有关,所以光电子的初动能与入射光的频率成线性关系,与光强无关.当光子的能量hv 小于逸出功A,即入射光的频率v 小于红限v 0时,电子就不能从金属表面逸出；另外,光子与电子作用时,光子一次性将能量 全部传给电子,因而不需要时间积累,即光电效应是瞬时的.这样光子理论便成功地解释了光电效应的实验规律,爱因斯坦也因此获得1921年的诺贝尔物理学奖.

例题15.1 用波长为400nm 的紫光去照射某种金属,观察到光电效应,同时测得遏止电压为1.24V ,试求该金属的红限和逸出功.

解：由光电效应方程得逸出功为

1.87eV J 10

2.9919=⨯=-=-=-020eU λ

c h m υ21h νA 根据红限与逸出功的关系,得红限为

Hz 1051410

626610992143419

⨯=⨯⨯==--...h A ν0 三、光（电磁波）的波粒二象性

一个理论若被实验证实,它必定具有一定的正确性.光子论被黑体辐射、光电效应以及其他实验所证实,说明它具有一定的正确性.而早已被大量实验证实了的光的波动论以及其他经典物理理论的正确性,也是无可非议的.因此,在对光的本性的解释上,不应该在光子论和波动论之间进行取舍,而应该把它们同样地看作是光的本性的不同侧面的描述.这就是说,光具有波和粒子这两方面的特性,这称为光的波粒二象性.

既是粒子,也是波,这在人们的经典观念中是很难接受的.实际上,光已不是经典意义下的波,也不是经典意义下的粒子,而是波和粒子的统一.光是由具有一定能量、动量和质量的粒子组成的,在它们运动的过程中,在空间某处发现它们的几率却遵从波动的规律.描述光的粒子特征的能量与描述其波动特征的频率之间的关系为

(15.12)

由狭义相对论能量—动量关系并考虑光子的静质量为零得光子动量与波长的关系为

====P

h Pc/h c E/h c νc λ (15.13) 它们通过普朗克常数紧密联系起来.通过质能关系还可得光子的质量为

c P c

h c E m 22=ν==

作业(P224)：26

§15.3 氢原子光谱与玻尔的量子论

经典物理学不仅在说明电磁辐射与物质相互作用方面遇到了如前所述的困难,而且在说明原子光谱的线状结构及原子本身的稳定性方面也遇到了不可克服的困难.丹麦物理学家玻尔发展了普朗克的量子假设和爱因斯坦的光子假设等,创立了关于氢原子结构的半经典量子理论,相当成功的说明了氢原子光谱的实验规律.

一、氢原子光谱的实验规律

实验发现,各种元素的原子光谱都由分立的谱线所组成,并且谱线的分布具有确定的规律.氢原子是最简单的原子,其光谱也是最简单的.对氢原子光谱的研究是进一步学习原子、分子光谱的基础,而后者在研究原子、分子

结构及物质分析等方面有重要的意义.

在可见光范围内容易观察到氢原子光谱的四条

谱线,这四条谱线分别用H α、H β、H γ和H δ表示,如图

15.5所示.1885年巴耳末(J.JBalmer,1825—1898)发现

可以用简单的整数关系表示这四条谱线的波长

6543,,,=-=n ,2

n n B λ222

(15.14) 式中B 是常数,其值等于364.57nm.后来实验上还观察到相当于n 为其他正整数的谱线,这些谱线连同上面的四条谱线,统称为氢原子的巴耳末系.

光谱学上经常用波数 表示光谱线,它被定义为波长的倒数,即

λ

=ν1~

(15.15) 引入波数后,式(15.14)可改写为

Λ,,,),(~5431212

2=-=n n R ν (15.16) 式中172m 100967761B 2R -⨯==./,称为里德伯(J.R.Rydberg,1854—1919)常数.

在氢原子光谱中,除了可见光范围的巴耳末线系以外,在紫外区、红外区和远红外区分别有赖曼(T.Lyman)系、帕邢(F.Paschen)系、布拉开(F.S.Brackett)系和普丰德

(A.H.Pfund)系.这些线系中谱线的波数也都可以用与式(15.16)相似的形式表示.将其综合起来可表为

)(~2

211n k R T(n)T(k)νkn -=-= (15.17) 式中k 和n 取一系列有顺序的正整数,k 取1、2、3、4、5分别对应于赖曼线系、巴耳

末线系、帕邢线系、布拉开线系和普丰德线系；一旦k 值取定后,n 将从k+1 开始取k+1, k+2, k+3等分别代表同一线系中的不同谱线. T(n)=R/n 2称为氢的光谱项.式(15.17)称为里德伯—里兹并合原理.实验表明,并合原理不仅适用于氢原子光谱,也适用于其他元素的原子光谱,只是光谱项的表示式要复杂一些.

并合原理所表示的原子光谱的规律性,是原子结构性质的反映,但经典物理学理论无法予以解释.

按照原子的有核模型,根据经典电磁理论,绕核运动的电子将辐射与其运动频率相同的电磁波,因而原子系统的能量将逐渐减少.随着能量的减少,电子运动轨道半径将不断减小；与此同时,电子运动的频率（因而辐射频率）将连续增大.因此原子光谱应是连续的带状光谱,并且最终电子将落到原子核上,因此不可能存在稳定的原子.这些结论显然与实验事实相矛盾,从而表明依据经典理论无法说明原子光谱规律等.

二、玻尔的量子论

玻尔(N.H.D.Bohr,1885—1962)把卢瑟福关于原子的有核模型、普朗克量子假设、里德伯—里兹并合原理等结合起来,于1913年创立了氢原子结构的半经典量子理论,使人们对于原子结构的认识向前推进了一大步.玻尔理论的基本假设是

1）原子只能处在一系列具有不连续能量的稳定状态,简称定态,相应于定态,核外电子在一系列不连续的稳定圆轨道上运动,但并不辐射电磁波；

2）作定态轨道运动的电子的角动量L 的数值只能是)/(π2h η的整数倍,即

(15.18)

这称为角动量量子化条件,n 称为主量子数,m 是电子的质量；

3）当原子从一个能量为E k 的定态跃迁到另一个能量为E n 的定态时,会发射或吸收一个频率为v kn 的光子

(15.19) 上式称为辐射频率公式, v kn >0表示向外辐射光子, v kn <0表示吸收光子.

玻尔还认为,电子在半径为r 的定态圆轨道上以速率υ绕核作圆周运动时,向心力就是库仑力,因而有

22

02r

e πεr υm ⋅=41 (15.20) 由式(15.18)和式(15.20)消去υ,即可得原子处于第n 个定态时电子轨道半径为

),,,()Λ321(1===n r n πme h εn r 222

02

n (15.21)

对应于n=1的轨道半径r 1是氢原子的最小轨道半径,称为玻尔半径,常用a 0表示,其值为

m 10291772495111-⨯===.2200πme h εr a (15.22) 这个数值与用其他方法得到的数值相符合.氢原子的能量应等于电子的动能与势能之和,即

r

e πεr e πεm υE 2

0202⋅-=⋅-=814121 处在量子数为n 的定态时,能量为

),,,()(Λ321n 81812n n =-=⋅-=2204

20h εme n r e πεE (15.23)

由此可见,由于电子轨道角动量不能连续变化,氢原子的能量也只能取一系列不连续的值,这称为能量量子化,这种量子化的能量值称为原子的能级.式(15.23)是氢原子能级公式.通常氢原子处于能量最低的状态,这个状态称为基态,对应于主量子数n=1, E 1=-13.6 eV . n>1的各个稳定状态的能量均大于基态的能量,称为激发态,或受激态.处于激发态的原子会自动地跃迁到能量较低的激发态或基态,同时释放出一个能量等于两个状态能量差的光子,这就是原子发光的原理.随着量子数n 的增大,能量E n 也增大,能量间隔减小. 当n →∞时,rn →∞, E n →0 ,能级趋于连续,原子趋于电离. E > 0时,原子处于电离状态,能量可连续变化.图15.6和图15.7分别是氢原子处于各定态的电子轨道图和氢原子的能级图.

使原子或分子电离所需要的能量称为电离能.根据玻尔理论算出的氢原子基态能量值与实验测得的氢原子基态电离能值13.6eV 相符.

下面用玻尔理论来研究氢原子光谱的规律.按照玻尔假设,当原子从较高能态E n 向较低能态E k (n>k)跃迁时,发射一个光子,其频率和波数为

1n =2n =3

n =4

n =1r r =1

4r r =1

9r r =1

16r r =赖曼系

巴耳末系

帕邢系 图15.6 氢原子定态的轨道图

h

E E νk n nk -= (15.24) )~k n nk nk nk E E hc

c νλν-===(11 (15.25) 将能量表示式(15.23)代入即可得氢原子光谱的波数公式

)()(~k n n

k c h εme ν0nk >-=22324118 (15.26) 显然式(15.26)与氢原子光谱的经验公式(15.17)是一致的,同时可得里德伯常数的理论

值为

173204m 10097373118-⨯=ε=.c

h me R H 理论 (15.27) 这也与实验值符合得很好.这表示玻尔理论在解释氢原子光谱的规律性方面是十分成

功的,同时也说明这个理论在一定程度上反映了原子内部的运动规律.

三、玻尔理论的缺陷和意义

玻尔的半经典量子理论在说明光谱线规律方面取得了前所未有的成功.但是它也有

很大的局限性,如只能计算氢原子和类氢离子的光谱线,对其他稍微复杂的原子就无能

为力了；另外,它完全没有涉及谱线强度、宽度及偏振性等.从理论体系上讲,这个理论

的根本问题在于它以经典理论为基础,但又生硬的加上与经典理论不相容的若干重要

假设,如定态不辐射和量子化条件等,因此它远不是一个完善的理论.但是玻尔的理论第

一次使光谱实验得到了理论上的说明,第一次指出经典理论不能完全适用于原子内部

运动过程,揭示出微观体系特有的量子化规律.因此它是原子物理发展史上一个重要的

里程碑,对于以后建立量子力学理论起到了巨大的推动作用.另外,玻尔理论在一些基本

概念上,如“定态”、“能级”、“能级跃迁决定辐射频率”等在量子力学中仍是非常重要

的基本概念,虽然另有一些概念,如轨道等已被证实对微观粒子不再适用.

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§15.4 微观粒子的波—粒二象性 不确定关系

一、微观粒子的波—粒二象性

1923～1924年间,德布罗意仔细地分析了光的微粒说和波动说的历史,深入的研究了光子假设.他认为,19世纪以来,在光的研究中人们只重视了光的波动性,而忽视了它的粒子性.但在实物粒子的研究中却又发生了相反的情况,只重视实物粒子的粒子性,而忽略了它的波动性.在这种思想的支配下,德布罗意大胆的提出了物质的波—粒二象性假设.他认为,质量为m,速度为υ的自由粒子,一方面可用能量E 和动量p 来描述它的粒子性；另一方面还可用频率v 和波长λ来描述它的波动性.它们之间的关系与光的波—粒二相性所描述的关系一样,即

h/p λE/h,ν== (15.28)

式(15.28)叫德布罗意公式.这种和实物粒子相联系的波称为德布罗意波,或叫物质波.德布罗意因这一开创性工作而获得了1929年的诺贝尔物理学奖.

由于自由粒子的能量和动量均为常量,所以与自由粒子相联系的波的频率和波长

均不变,这说明与自由粒子相联系的德布罗意波可用平面波描述.

对于静质量为m 0,速度为υ的实物粒子,其德布罗意波长为

220/c υυ

m h p h λ-==1 (15.30) 德布罗意关于物质波的假设,1927年首先由戴维孙(C.J.Davisson,1881—1958)和革

末(L.H.Germer,1896—1971)通过电子衍射实验所证实.戴维孙和革末作电子束在晶体表面散射实验时,观察到了和X 射线在晶体表面衍射相似的电子衍射现象,从而证实了电子具有波动性.当时的实验中,采用50KV 的电压加速电子,波长约为0.005nm.由于波长非常短,实验难度很高,因此这一实验是极其卓越的.

后来证实了不仅电子具有波动性,其他微观粒子,如原子、质子和中子等也都具有

波动性.微观粒子的波动性在现代科学技术上已得到广泛的应用,利用电子的波动性,已制造出了高分辨率的电子显微镜；利用中子的波动性,制成了中子摄谱仪.

既然微观粒子具有波动性,原子中绕核运动的电子无疑也具有波动性.不过处于原

子定态中的电子的波动形式,与戴维孙和革末实验中由小孔衍射

的电子束的波动形式是不同的,后者可认为是行波,而前者则应看

为驻波.处于定态中的电子形成驻波的情形,与端点固定的振动弦

线形成驻波的情形是相似的.原子中电子驻波可如图15.8形象地

表示.由图可见,当电子波在离开原子核为r 的圆周上形成驻波时,

圆周长必定等于电子波长的整数倍,即

),,,(Λ3212==n n λπr (15.31)

利用德布罗意关系便可得电子的轨道角动量应满足下面的关系

),,,(Λη3212====n n λ

h πλn rP L (15.32) 这正是玻尔作为假设引入的量子化条件,在这里,考虑了微观粒子的波动性就自然的得

出了量子化条件.

例题15.2 计算经过电势差U=150V 和U=104V 加速的电子的德布罗意波长(在

U<104V 时,可不考虑相对论效应).

解：忽略相对论效应,经过电势差U 加速后,电子的动能和速率分别为

202,21m eU eU υm =υ= 式中m 0为电子的静止质量.利用德布罗意关系可得德布罗意波长

nm 11.225m 1102512121000U

U U e m h υm h λ=⨯=⋅==-. 式中U 的单位是伏特. 1nm 0150V U 11.=λ→=,0.0123nm V 10U 242=λ→=

由此可见,在这样的电压下,电子的德布罗意波长与X 射线的波长相近。由德布罗

意关系同样可计算质量m=0.01kg,速度υ =300m/s 的子弹的德布罗意波长

m 1021234-⨯=λ..可见,由于h 是一个非常小的量,宏观粒子的德布罗意波长是如此的小,

一致在任何实验中都不可能观察到它的波动性,而仅表现出它的粒子性.

二、不确定关系

在经典力学中,粒子在任何时刻都有完全确定的位置和动量,在一过程中,粒子的运

动具有确定的轨道.与此不同,微观粒子具有明显的波动性,以致它的某些成对物理量不

可能同时具有确定的量值.例如位置坐标和动量、角坐标和角动量等不能同时具有确定

的量值.其中一个量的不确定程度越小,另一个量的不确定程度就越大.

1927年,德国物理学家海森伯(W.K.Heisenberg,1901—1976)提出微观粒子不能同

时具有确定的位置和动量,同一时刻位置的不确定量x ∆与该方向的动量不确定量x

P ∆的乘积大于或等于2/η,即

2

ΔΔη≥⋅x P x (15.33) 此式称为海森伯坐标和动量的不确定关系式.

这一规律直接来源于微观粒子的波粒二象性,可以借助于电子单缝衍射实验结果

来说明.如图15.9所示,设单缝宽度为x ∆,使一束电子沿Y 轴方向射向狭缝,在缝后放置

照相底片,以记录电子落在底片上的位置.

电子可以从缝上任何一点通过单缝,因此在电子通过单缝时刻,其位置的不确定量

就是缝宽x ∆.由于电子具有波动性,底片上呈现出和光通过单缝时相似的单缝电子衍

射图样,电子流强度的分布已示于图中.显然电子在通过狭缝时刻,其横向动量也有一个

不确定量x P ∆,可从衍射电子的分布来估算x P ∆的大小,为简便,先考虑到达单缝衍射中

央明纹区的电子.设ϕ为中央明纹旁第一级暗纹的衍射角,则sin ϕ=λ/x ∆,又有x P ∆=P

sin ϕ,再由德布罗意关系式P=h/λ,就可得到

h P x x h x λλh Psin θP x x ≥⇒===ΔΔΔΔΔ 式中大于号是在考虑还有一些电子落在中央明纹以外区域.以上只是作粗略估算,严格

推导所得关系式为(15.33).

不确定关系式(15.33)表明,微观粒子的位置坐标和同一方向的动量不可能同时具

有确定值.减小x ∆,将使x P ∆增大,即位置确定越准确,动量确定就越不准确.这和实验结

果是一致的.如作单缝衍射实验时,缝越窄、电子在底片上分布的范围就越宽.因此,对于

具有波—粒二象性的微观粒子,不可能用某一时刻的位置和动量描述其运动状态,轨道

的概念已失去意义,经典力学规律也不再适用.

如果在所讨论的具体问题中,粒子坐标和动量的不确定量相对很小,则说明粒子的

波动性不显著,实际上观察不到,则仍可用经典力学处理.

例题15.3 由玻尔理论算得氢原子中电子的运动速率为2.2×106m/s,若其不确定量

为1.0%,求电子位置的变化范围.

解：根据不确定关系可得电子位置的不确定量为

m 106201

010221011921005122ΔΔ963134

----⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=υ∆=≥.....e m P x ηη 此值已超出原子的线度(1010m).所以,就原子中的电子而言,说它有确定的位置同时又

有确定的速率,是没有意义的.显然,由于微观粒子的波动性,核外电子轨道的概念是没

有意义的.

不确定关系不仅存在于坐标和动量之间,也存在于能量和时间之间,如果微观粒子

处于某一状态的时间为t ∆,则其能量必有一个不确定量ΔE ,由量子力学可推出二者之

间有如下关系

2

Δt ΔE η≥⋅ (15.34) 此式称为能量和时间的不确定关系.将其应用于原子系统可以讨论原子各受激态能级

宽度ΔE 和该能级平均寿命t ∆之间的关系.显然,受激态的平均寿命越长(能级越稳定),

能级宽度就越小(能级越确定),跃迁到基态所发射的光谱线的单色性就越好.

不确定关系式是微观客体具有波—粒二象性的反映,是物理学中重要的基本规律,

在微观世界的各个领域中有很广泛的应用.

作业(P224)：30

§15.5 量子力学的基本概念和基本原理

描述微观粒子运动的系统理论是量子力学,它是薛定谔、海森伯等人在1925～

1926年期间初步建立起来的.本节介绍量子力学的基本概念和基本方程.

一、波函数极其统计解释

在经典力学中我们已经知道,一个被看作为质点的宏观物体的运动状态,是用它的

位置矢量和动量来描述的.但是,对于微观粒子,由于它具有波动性,根据不确定关系,其位置和动量是不同时具有确定值的,所以我们就不可能仍然用位置、动量及轨道这样一些经典概念来描述它的运动状态.微观粒子的运动状态称为量子态,是用波函数来描述的,这个波函数所反映的微观粒子的波动性,就是德布罗意波.这是量子力学的一个基本假设.

例如一个沿X 轴正方向运动的不受外力作用的自由粒子,由于能量E 和动量p 都

是恒量,由德布罗意关系式可知,其物质波的频率ν和波长λ也都不随时间变化,因此自由粒子的德布罗意波是一个单色平面波.

对机械波和电磁波来说,一个单色平面波的波函数可用复数形式表示为

)(2）x/λνt πi Ae t y(x,--=

但实质是其实部.类似地,在量子力学中,自由粒子的德布罗意波的波函数可表示为

η)/(0）(Px Et i e t x,--ψ=ψ

式中0ψ是一个待定常数, η/0iPx e ψ相当于x 处波函数的复振幅,而ηiEt/e -则反映波函数随时间的变化.

对于在各种外力场中运动的粒子,它们的波函数要随着外场的变化而变化.力场中

粒子的波函数可通过下面要讲的薛定谔方程来求解.

经典力学中的波函数总代表某一个物理量在空间的波动,然而量子力学中的波函

数又代表着什么呢？对此,历史上提出了各种不同的看法,但都未能完善的解释微观粒子的波—粒二象性,直到1926年玻恩(M.Born,1882—1970)提出波函数的统计解释才完善的解释了微观粒子的波—粒二象性.玻恩认为：实物粒子的德布罗意波是一种几率波；t 时刻,粒子在空间 r 附近的体积元dV 中出现的几率dW 与该处波函数的模方成正比,即

V t r,Ψt r,ΨV t r,ΨW *d d d 2

)()()(== (15.35)

由式(15.35)可知,波函数的模方2)(t r,Ψ代表t 时刻粒子在空间r 处的单位体积中出现的几率,称为几率密度.这就是波函数的物理意义,波函数本身没有直接的物理意义.

波函数的这种统计解释将量子概念下的波和粒子统一起来了.其量子概念中的粒

子性表现为它们具有一定的能量、动量和质量等粒子的属性,同时某时刻,一个粒子总

是作为整体出现在某处的,但粒子的运动不具有确定的轨道；量子概念中的波动性是指

用波函数的模方表示在空间某处出现的几率密度,而波函数并不代表某个实在的物理

量在空间的波动.

由于用波函数的模方表示粒子在空间出现的几率密度分布,所以波函数允许包含

一个任意常数因子,如)(t r,ΨA 和)(t r,Ψ表示相对几率密度相同的同一个量子态.

既然波函数与粒子在空间出现的几率相联系,所以波函数必定是单值的、连续的和

有限的.这是波函数的标准条件.又因为粒子必定要在空间中的某一点出现,因此粒子在

空间各点出现的几率的总和应等于1,即应有

1d 2=⎰⎰⎰V t r,Ψ)( (15.36)

此式称为波函数的归一化条件,其中积分区域遍及粒子可能达到的所有空间.

在经典力学中,曾经讨论过波动遵从的叠加原理,即各列波共同在某质点引起的振

动,是各列波单独在该质点所引起的振动的合成.在量子力学中也有一个类似的原理,这

个原理称为态叠加原理,是量子力学原理的又一个基本假设,适用于一切微观粒子的量

子态.态叠加原理可以表述为：如果波函数, )(t r,Ψ1 , )(t r,Ψ2，… ,都是描述系统的可

能的量子态,那么它们的线性叠加

Λϖϖϖ+ψ+ψ=ψ),(),(),(t r c t r c t r 2211 (15.37)

也是这个系统的一个可能的量子态.式中c 1，c 2是任意的复数.

二、薛定谔方程

1薛定谔方程和算符

薛定谔建立了适用于低速情况下的、描述微观粒子在力场中运动的波函数)

(t r,Ψ所满足的微分方程,也就是物质波波函数所满足的方程,称为薛定谔方程.

质量为m 的粒子在外力场中运动时,一般情况下,其势能V 可能是空间坐标和时间

的函数,即),(t r V V ϖ=,而薛定谔方程为

t

t r i t r H ∂ψ∂=ψ),(),(ˆϖηϖ (15.38) 式中 )],()([ˆt r V z

y x m H ϖη+∂∂+∂∂+∂∂-=22222222 (15.39) 称为哈密顿算符.

在量子力学中,一切力学量都要用算符来表示,这是量子力学的一个基本假设.算符

代表对波函数的某种运算(即操作),如微分运算( d/dt)称为微分算符.

一般情况下,一算符对某一量子态波函数的运算结果将得到另一个量子态波函数.

若一算符作用在某波函数Ψ上的效果和Ψ与某一常数的乘积相当,即

ψ=ψF F

ˆ (15.40) 则F 称为F

ˆ的本征值,Ψ称为算符F ˆ对应于本征值F 的本征函数,它所描述的状态称为F 的本征态,而上式称为本征值方程.

对自由粒子波函数Ψ,由于r ˆϖΨ=r ϖΨ,所以坐标算符

r r ϖϖ=ˆ (15.41)

而 ψ=ψ∇-P i η ,所以动量算符为

∇-=ηi P

ˆ (15.42) 一般地说,在量子力学中,某力学量若在经典力学中有相应的力学量 ,则只需将力

学量F(r ,P )中的r , P 换成其算符就得到该力学量的算符 ,即

),(),(ˆ∇-=ηϖϖϖi r F P r F (15.43)

在经典力学中,哈密顿量V m

P H +=22

,所以有式(15.39)所表示的哈密顿算符.在哈密顿算符中,前项是动能算符,后项是势能算符.

薛定谔方程式(15.38)是一个关于r 和t 的线性偏微分方程,具有波动方程的形式.

可以证明,自由粒子的波函数满足上述方程.它实际上是量子力学的一个基本假设,而不

是由更基本的原理经过逻辑推理得到的.但将这个方程应用于分子、原子等微观体系所

得到的大量结果和实验符合,这就说明了它的正确性.薛定谔因在创立量子理论方面的

贡献而荣获1933年诺贝尔物理学奖.

2 定态薛定谔方程

在一般情况下,势能函数是空间和时间的函数,但在有些情况下,势能函数只与空间

坐标有关,即V=V(r).在这种情况下,波函数可表示为

)()(),(r t f t r ϖϖψ=ψ (15.44)

将其代入薛定谔方程式 (15.38)可得如下两常微分方程

ηη/)(iEt Ce t f Ef dt

df i -=−−→−=解得 (15.45)

(15.46)

其中C 为常数.这时波函数为

ηϖϖ/)(),(iEt r t r -ψ=ψe (15.48)

这种状态下,粒子的能量具有确定的值,把具有这种形式的波函数所描述的状态称为定

态,这样的波函数称为定态波函数.显然定态下,几率密度分布

22)()(),(r t ,r Ψt r ϖϖϖψ==ρ

与时间无关,这是定态的一个重要特征.从这个意义上讲,可将Ψ(r )直接称为定态波函数

或波函数.定态波函数Ψ(r )所满足的方程式 (15.46)称为定态薛定谔方程 (或不含时薛

定谔方程).在本课程中我们只处理定态问题.

在关于微观粒子的各种定态问题中,把势能函数V(r)的具体形式

))(,)((22022

14x m r V r e r V ω=πε=对一维线性谐振子如对氢原子中的电子代入定态薛定谔方程(15.46)中即可求得定态波函数,同时也就确定了几率密度的分布以及能量和角

动量等.我们将看到,如果粒子处于束缚态,即只能在有限区域中运动时,由于波函数必

须满足单值、有限、连续的条件,解出微观粒子的能量、角动量等必定不连续,即它们

是量子化的.

三、一维无限深势阱

作为量子力学一些概念和原理的具体应用,我们本节介绍最简单的一种情形——

一维无限深势阱.在金属中自由电子、原子核中的质子等,它们的运动都被限制在一个

很小的空间内,作为近似和简化,我们抽象出一维无限深势阱模型.它是解释金属物理性

质等的基础.通过对这一模型的量子力学处理的学习,可以大致了解量子力学的基本概

念和基本原理.

一维无限深势阱的势能函数为

⎪⎩⎪⎨⎧≥≤∞<<=)

,()()(a x x a x r V 000 (15.49) 其曲线形如深井,如图15.10所示,故称为一维无限深势阱.

因为势能V (x )与时间无关,所以属定态问题.在势阱内

V (x ) =0,其定态薛定谔方程可写作

02222=ψ+ψη

mE dx d (15.50) 其中m 是势阱中粒子的质量,令η

mE k 2=

方程(15.50)变为

0222=ψ+ψk dx

d (15.52) 其通解为

kx B kx A x cos sin )(+=ψ (15.53)

式中A 和B 是积分常数,应通过边界条件和归一化条件确定.

由于是无限深势阱,粒子不能穿越阱壁而到达阱外去,它只能限制在阱内的平底深谷中运动.所以在阱壁和阱外波函数应为零.据波函数的连续条件应有000=ψ==ψ)()(a ,将代入通解(15.53)式得

00000=⇒=ψ=⇒=ψka A a B sin )(,)(

此时不能取A=0 ,否则只能得到零解,那么只有

),,,(sin Λ3210=π=⇒=n n ka ka (15.54)

由式(15.51)和式(15.54)得粒子的能量为

),,,(Ληη3212222

2222=π==n ma

n m k E n (15.55) 由此可见,一维无限深势阱中粒子的能量是量子化的,n 称为量子数.当n=1时,粒子处于能量最低的基态,基态能量为

022

2

21≠π=ma E η (15.56) 这一能量也称为零点能,零点能01≠E 表明束缚在势阱中的粒子不会静止,这也是不确定关系所要求的,因为x ∆有限, x P ∆不能为零,从而粒子动能也不可能为零.

相应于量子数为n 的定态波函数为

);,,,(sin

)(a x n x a

n A x <<=π=ψ0321n n Λ (15.57) 而归一化波函数为

);,,,(sin )(a x n x a n x <<=π=ψ0321a 2n Λ (15.58) 如图15.11所示画出了对应于能量本征值4321E E E E 和、、的波函数以及相应的几率密度.由图15.11(a)可以看出,波函数在阱内区域的分布与在弦线上形成的驻波情形

大学物理讲稿(第15章量子力学基础)

第15章 量子力学基础 人们用经典物理解释黑体辐射、光电效应、氢原子光谱等实验规律时,遇到了不可克服的困难.经过不断的探索和研究,终于突破了经典物理的传统观念,建立起量子理论.量子理论和相对论是现代物理学的两大支柱. 量子理论的诞生,对研究原子、电子、质子、光子等微观粒子的运动规律提供了正确的导向.从此使物理学发生了一次历史性的飞跃,促进了原子能、激光、超导、半导体等众多新技术的生产和发展.本章前部分,分别介绍黑体辐射、光电效应、氢原子光谱等实验规律以及为解释这些实验规律而提出的量子假设,即早期的量子论.本章的后部分简要介绍量子力学的基本概念及原理,并通过几个具体事例的讨论说明量子力学处理问题的一般方法. §15.1 黑体辐射与普朗克的量子假设 一、黑体辐射的基本规律 1 热辐射 组成物体的分子中都包含着带电粒子,当分子作热运动时物体将会向外辐射电磁波,由于这种电磁波辐射与物体的温度有关,故称其为热辐射.实验表明,热辐射能谱是连续谱,发射的能量及其按波长的分布是随物体的温度而变化的.随着温度的升高,不仅辐射能在增大,而且辐射能的波长范围向短波区移动. 物体在辐射电磁波的同时,也吸收投射到物体表面的电磁波.理论和实验表明,物体的辐射本领越大,其吸收本领也越大,反之亦然.当辐射和吸收达到平衡时,物体的温度不再变化而处于热平衡状态,这时的热辐射称为平衡热辐射. 为描述物体热辐射能按波长的分布规律,引入单色辐射出射度（简称单色辐出度）这一物理量,其定义为：物体单位表面积在单位时间内发射的、波长在λ+λ→λd 范围内的辐射能dM λ与波长间隔d λ的比值,用M λ(T)表示,即 λ = λλd dM T M )( (15.1) 而辐出度定义为 ⎰∞λλ=0d T M T M )()( (15.2) 2 黑体辐射的基本规律 投射到物体表面的电磁波,可能被物体吸收,也可能被物体反射和透射.能够全部吸收各种波长的辐射能而完全不发生反射和透射的物体称为绝对黑体,简称黑体.绝对黑体是一种理想模型,实验室中用不透明材料制成带有小孔的空腔物体可近似看作黑体.

第15章量子力学习题解答

第15章 量子物理基础习题 15.1 钾的光电效应红限波长为μm 62.00=λ。求（1）钾的逸出功；（2）在波长nm 330=λ的紫外光照射下，钾的遏止电势差。 解：（1）逸出功eV 01.2J 1021.31900=?== =-λνhc h W （2）由光电效应方程W m h m +=221υν及022 1eU m m =υ 可得 V 76.10=-=-=e W e hc e W e h U λν 15.2 铝的逸出功为4.2eV ，今用波长为200nm 的紫外光照射到铝表面上，发射的光电子的最大初动能为多少？遏止电势差为多大？铝的红限波长是多大？ 解：（1）由光电效应方程W m h m +=22 1υν，得 eV 0.2J 1023.321192=?=-=-=-W hc W h m m λ νυ （2）由022 1eU m m =υ，得 V 0.22120==e mv U m （3）由00λνhc h W ==，得 nm 2960==W hc λ 15.3 钨的逸出功是4.52eV ，钡的逸出功是2.50eV ，分别计算钨和钡的截止频率。哪一种金属可以作可见光范围内的光电管阴极材料？ 解：由光电效应方程W m h m +=22 1υν可知，当入射光频率

.02 120===υννm h W 表面，其初动能时，电子刚能逸出金属因此0ν是能产生光电效应的入射光的最低频率（即截止频率），它与材料的种类有关。 钨的截止频率 z h W H 1009.115101?==ν 钡的截止频率 z h W H 10603.015202?== ν 对照可见光的频率范围0.395×1015～0.75×1015z H 可知，钡的截止频率02ν正好处于该范围内，而钨的截止频率01ν大于可见光的最大频率，因而钡可以用于可见光范围内的光电管阴极材料。 15.4 钾的截止频率为4.62×1014z H ，今以波长为435.8nm 的光照射，求钾放出的光电子的初速度。 解：根据光电效应的爱因斯坦方程 W m h m +=22 1υν 其中 0νh W =， λ νc = 所以电子的初速度 152/10s m 1074.5)(2-??=??????-=νλυc m h 由于逸出金属的电子的速度c <<υ，故式中m 取电子的静止质量。 15.5 用波长nm 1.00=λ的光子做康普顿散射实验。求散射角为900的散射波长是多少？（普朗克常量h =6.63×10-34J ·s ，电子静止质量m e =9.11×10-31kg ） 解：(1)康普顿散射光子波长改变为： m 10024.0)cos 1(10-?=-=?θλc m h e m 10024.1100-?=?+=λλλ

Ch22量子力学基础

Ch. 22 量子力学基础 §22.1 实物粒子的波动性（物质波） 一、物质波的引入 光具有波粒二象性。光子能量和动量为 E h h p ν λ=?? ?=?? 左边是描写粒子性的 E 、p ，右边是描写波动性的ν、λ —— 将光的粒子性与波动性联系起来。1923年到1924年，光的波粒二象性作为一个普遍的概念，已为人们所理解和接受。法国物理学家路易·德布罗意认为，如同过去对光的认识比较片面一样，对实物粒子的认识或许也是片面的，二象性并不只是光才具有的，实物粒子也可能具有二象性。 1924年11月，德布罗意在博士论文《量子理论的研究》中阐述了著名的物质波理 实物粒子：静止质量不为零的微观粒子（如电子、质子、中子等）。 实物粒子的波粒二象性的意思是：微观粒子既具有粒子的特性又具有波动的特性。实物粒子的波称为物质波或德布罗意波，物质波的波长称为德布罗意波长。 这一理论为建立波动力学（根据微观粒子的波动性建立起来的，用波动方程描述微观粒子运动规律的理论，量子力学理论的一种表述形式）奠定了坚实基础。由于这一划时代的研究成果，使他获得1929年的诺贝尔物理学奖，同时也使他成为第一个以学位论文获得诺贝尔奖的学者。 二、德布罗意关系式 德布罗意把爱因斯坦对光的波粒二象性的描述应用到实物粒子，动能为E ，动量为p 的粒子的频率和波长： 220E mc h h h h p mv νλ?== =??? ?===?? 三、物质波的实验验证 德布罗意撰写论文时，他的哥哥（莫里斯·德布罗意）建议他的论文应包括实验部

分，但他没有采纳这个建议。他的物质波理论是在没有得到任何实验事实支持的情况下提出来的，这就使得答辩委员会对物质波的真实性存在疑虑，答辩委员会主席佩兰就提出了物质波如何用实验来证实的问题。对佩兰的提问，德布罗意回答：用晶体对电子的衍射实验验证物质波的存在是可能的。 1、戴维孙-革末实验：1927年（美国）C. J. 戴维森与G . P. 革末作电子衍射实验。戴维逊和革末的实验是用电子束垂直投射到镍晶体的晶面上，观察到和 X 射线衍射类似的电子衍射现象。其强度分布可用德布罗意关系和衍射理论给以解释，从而验证了物质波的存在。 2、汤姆孙实验：1927年（英国）G . P. 汤姆逊也独立完成了电子束穿过多晶薄膜的衍射实验。 G . P. 汤姆逊与C. J. 戴维森共获1937年诺贝尔物理学奖。 此后，人们相继证实了原子、分子、中子等都具有波动性。 【例】质量m = 50kg 的人，以v =10m/s 的速度运动，试求人的德布罗意波长。 ·解： 34 366.62610 1.33105010 h h p mv λ--?== ==??（m ） 说明：一切实物粒子都具有波粒二象性。宏观物体的波长是很短的，波动性不显著，因此对宏观物体不必考虑其波动性，只考虑其粒子性即可；而微观粒子，特别是匀速运动的粒子，它们物质波波长显著，不能把它们再看作经典粒子。 【例】电子经电场加速后，设加速电压U （单位：V ）。电子速率v<

大学物理讲义(第15章量子力学基础)第二节

§15.2 光电效应与爱因斯坦的光量子假设 普朗克的量子假设提出后的最初几年中,并未受到人们的重视,甚至普朗克本人也总是试图回到经典物理的轨道上去.最早认识普朗克假设重要意义的是爱因斯坦,他在1905年发展了普朗克的思想,提出了光子假设,成功的解释了光电效应的实验规律. 一、光电效应的实验规律 金属在光的照射下,有电子从表面逸出,这 种现象称为光电效应.光电效应中逸出金属表 面的电子称为光电子.光电子在电场的作用下 所形成的电流叫光电流.研究光电效应的实验 装置如图15.3所示.在一个抽空的玻璃泡内装 有金属电极K(阴极)和A(阳极),当用适当频率的 光从石英窗口射入照在阴极K 上时,便有光电子 自其表面逸出,经电场加速后为阳极A 所吸收, 形成光电流.改变电位差U AK ,测得光电流 i ,可得 光电效应的伏安特性曲线,如图15.4所示. 实验研究表明,光电效应有如下规律： 1）阴极K 在单位时间内所发射的光电子数 与照射光的强度成正比. 从图15.4可以看出,光电流i 开始时随 增 大而增大,而后就趋于一个饱和值 , 它与单位时间内从阴极K 发射的光 子数成正比.所以单位时间内从阴极 K 发射的光电子数与照射光强成正 比. 2）存在截止频率. 实验表明,对一定的金属阴极,当 照射光频率小于某个最小值i s 时,不 管光强多大,都没有光电子逸出,这个 最小频率v 0称为该种金属的光电效应截止频率,也叫红限,对应的波长0λ称为截止波长.每一种金属都有自己的红限. 3）光电子的初动能与照射光的强度无关,而与其频率成线性关系. 在保持光照射不变的情况下,改变电位差U AK ,发现当U AK =0时,仍有光电流.这显然是因为光电子逸出时就具有一定的初动能.改变电位差极性,使U AK <0 ,当反向

答案 第15章 量子力学基础训练题

第15章 量子力学基础 综合训练题 一、选择题 1. 如果两种不同质量的粒子，其德布罗意波长相同，则这两种粒子的 [ A ] (A) 动量大小相同。 (B) 能量相同。 (C) 速度相同。 (D) 动能相同。 2. 若α粒子在磁感应强度为B 的均匀磁场中沿半径为R 的圆形轨道运动，则粒子的德布罗意波长是 [ A ] (A) eRB h 2 (B) eRB h (C) eRB 21 (D) eRBh 1 3. 设粒子运动的波函数图线分别如图(A)、(B)、(C)、(D)所示，那么其中确定粒子动量的精确度最高的波函数是哪个图？ [ A ] 4. 关于不确定关系??? ? ? =≥???π2h p x x 有以下几种理解： (1) 粒子的动量不可能确定。 (2) 粒子的坐标不可能确定。 (3) 粒子的动量和坐标不可能同时确定。 (4) 不确定关系不仅适用于电子和光子，也适用于其它粒子。 其中正确的是： [ C ] (A) (1)、(2) (B) (2)、(4) (C) (3)、(4) (D) (4)、(1) 5. 已知粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函数为： ()()a x a a x a x ≤≤-?= 23cos 1πψ 那么粒子在6/5a x =处出现的概率密度为 [ A ] (A) a 21 (B) a 1 (C) a 21 (D) a 1 6. 根据玻尔氢原子理论，巴耳末线系中谱线最小波长与最大波长之比为 [ A ] (A) 9 5 (B) 9 4 (C) 9 7 (D) 9 2 7. 若外来单色光把氢原子激发至第三激发态，则当氢原子跃迁回低能态时，可发出的可见光光谱线的 () D x x x () A () B () C

15量子物理基础

105 班级______________学号____________姓名________________ 练习 二十六 一、选择题 1． 下列哪一能量的光子，能被处在n =2的能级的氢原子吸收？ （ ） （A ）1.50eV ； （B ）1.89eV ； （C ）2.16eV ； （D ）2.41eV ； （E ）2.50eV 。 2． 光谱系中谱线的频率（如氢原子的巴尔末系） （ ） （A ）可无限制地延伸到高频部分； （B ）有某一个低频限制； （C ）可无限制地延伸到低频部分； （D ）有某一个高频限制； （E ）高频和低频都有一个限制。 3． 关于辐射，下列几种表述中哪个是正确? （ ） （A ）只有高温物体才有辐射； （B ）低温物体只吸收辐射； （C ）物体只有吸收辐射时才向外辐射； （D ）任何物体都有辐射。 4． 光电效应中光电子的初动能与入射光的关系是 （ ） （A ）与入射光的频率成正比； （B ）与入射光的强度成正比； （C ）与入射光的频率成线性关系； （D ）与入射光的强度成线性关系。 5． 用两束频率、光强都相同的紫光照射到两种不同的金属表面上，产生光电效应，则： （ ） （A ）两种情况下的红限频率相同； （B ）逸出电子的初动能相同； （C ）在单位时间内逸出的电子数相同； （D ）遏止电压相同。 6． 在康普顿散射中，若散射光子与原来入射光子方向成θ角，当θ等于多少时，散射光子的频率减少最多？ （ ） （A ） 180； （B ） 90； （C ） 45； （D ） 30。 选择题：B E D C C A 一、选择题 1． 根据德布罗意的假设 （ ） （A ）辐射不能量子化，但粒子具有波的特性； （B ）运动粒子同样具有波的特性； （C ）波长非常短的辐射有粒子性，但长波辐射却不然； （D ）长波辐射绝不是量子化的； （E ）波动可以量子化，但粒子绝不可能有波动性。 2． 钠光谱线的波长是λ，设h 为普朗克恒量，c 为真空中的光速，则此光子的

量子力学基础_西安交通大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年

量子力学基础_西安交通大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年 1.从一炉子的小孔射出的热辐射的总辐射本领为，以黑体辐 射估算，炉子内部的温度为___________K 答案: 2.恒星可近似看出黑体，实验测得北极星的峰值波长为，它 的表面温度为________K 答案: 3.同一金属材料的光电效应实验中，测量不同入射光的频率对应的截止电压， 坐标纸做截止电压和入射光频率的图线，该图线的斜率为_________(h为 Planck常数，e为电子电量，A为金属材料逸出功) 答案: h/e 4.处于基态的氢原子吸收了13.06eV的能量后，可激发到n = _______的能级

答案: 5 5.质量为46g速度为30m/s的高尔夫球的de Broglie波长为________m 答案: 6.由Bohr理论，氢原子的电子在n=3的轨道角动量和n=2轨道角动量之比 为______ 答案: 3:2 7.二人文章中得到的量子力学基本对易关系，则p和q 在能量表象下的矩阵必定是___________维的 答案: 无限

8.设f(p,q)为所有p,q的有理函数，由基本对易关系可得 fq-qf等于____________ 答案: 9.已知为谐振子升降算符，为粒子数算符，分别满足 ，则有 ______________ 答案: 10.A,B两个物理量的经典泊松括号定义为{A,B}=, 则有经典物理的基本对易关系=_______ 答案:

11.经典力学中某系统的任何物理量A的运动方程可用泊松括号表示 {A,H}，式中H为系统哈密顿量，量子力学中该系统任何力学量算符的Heisenberg运动方程为_______________ 答案: 12.用分离变量法求解含时Schrödinger方程，解得定态能量为E的波函数的时 间项为______ 答案: 13.一维谐振子基态波函数为，式中 ,则谐振子在该态时势能的平均值为_______(查阅高斯积分公式) 答案:

大学物理-量子力学基础习题思考题及答案

习题 22-1．计算下列客体具有MeV 10动能时的物质波波长，(1)电子；（2）质子。 解：(1) 电子高速运动，设电子的总能量可写为：20K E E m c =+ 用相对论公式， 222240E c p m c =+ 可得 p = = = h p λ= = 834 -= 131.210m -=⨯ （2）对于质子，利用德布罗意波的计算公式即可得出： 3415h 9.110m p λ--= ===⨯ 22-2．计算在彩色电 视显像管的加速电压作用下电子的物质波波长，已知加速电压为kV 0.25，（1）用非相对论公式；（2）用相对论公式。 解：（1）用非相对论公式： m meU h mE h 123 193134108.71025106.1101.921063.622p h ----⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯====λ（2）用相对论公式： 420222c m c p +=E eU E E k ==-20c m m eU eU c m h mE h 12220107.722p h -⨯=+=== ） （λ 22-3．一中子束通过晶体发生衍射。已知晶面间距nm 1032.72 -⨯=d ，中子的动能 eV 20.4k =E ，求对此晶面簇反射方向发生一级极大的中子束的掠射角. 解：先利用德布罗意波的计算公式即可得出波长： 34 11h 1.410p m λ--====⨯

再利用晶体衍射的公式，可得出：2sin d k ϕλ= 0,1,2k =… 11 11 1.410sin 0.095227.3210k d λϕ--⨯===⨯⨯ ， 5.48ϕ= 22-4．以速度m/s 1063 ⨯=v 运动的电子射入场强为5V/cm =E 的匀强电场中加速， 为使电子波长 A 1=λ，电子在此场中应该飞行多长的距离？ 解：34 10 h 110p m λ--== ==⨯ 可得：U=150.9V ，所以 U=Ed ，得出d=30.2cm 。 22-5．设电子的位置不确定度为 A 1.0，计算它的动量的不确定度；若电子的能量约为 keV 1，计算电子能量的不确定度。 解：由测不准关系： 34 2410 1.0510 5.2510220.110 h p x ---⨯∆===⨯∆⨯⨯ 由波长关系式：E c h =λ 可推出： E E c h ∆=∆λ 2 151.2410E E E J hc pc λ-∆∆= ==⨯∆ 22-6．氢原子的吸收谱线 A 5.4340=λ的谱线宽度为 A 102 -，计算原子处在被激发态 上的平均寿命。 解：能量hc E h νλ == ，由于激发能级有一定的宽度ΔE ，造成谱线也有一定宽度Δλ，两 者之间的关系为：2 hc E λ λ∆=∆ 由测不准关系，/2,E t ∆∆≥平均寿命τ=Δt ，则 22 224t E hc c λλτλπλ=∆===∆∆∆102112108 (4340.510)510s 4 3.141010310 ----⨯==⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 22-7．若红宝石发出中心波长m 103.67 -⨯=λ的短脉冲信号，时距为)s 10(ns 19 -，计 算该信号的波长宽度λ∆。 解：光波列长度与原子发光寿命有如下关系： x c t ∆=∆ 22 24x x p λλπλλ ∆==≈∆∆∆ 72 2 389 (6.310) 1.32310nm 31010 c t λλ---⨯∆===⨯∆⨯⨯ 22-8．设粒子作圆周运动，试证其不确定性关系可以表示为h L ≥∆∆θ，式中L ∆为粒

量子力学的基础知识

量子力学的基础知识 量子力学是物理学的一个分支，它旨在研究细小、基本的属性微观世界。它是现代物理学的基础，也是其他学科的基础。量子力学的基础知识主要包括波动粒子双重性、原子与多原子体的结构与能级、原子核的结构、分子的结构与条件引力、量子化中所运用的一些基本原理、量子热力学和量子力学应用。 首先，量子力学的最基本原理是波动粒子双重性。根据普朗克定律，宇宙中所有物理实体都可以作为同时具有粒子和波动性质的双重性体来描述，即物质既具有粒子性质也具有波动性质。粒子性质表现为它们可以被视为有形的小粒子，具有线性和有效质量。而波动性质表现为它们可以被视为一种振幅，可以按照一定的波动模式移动。 紧接着，原子与多原子体的结构与能级是量子力学的另一个基本知识点。原子与多原子体通常由多个电子组成，每个电子都在其单独的能量状态中运动。它们的不同的能量状态由电子的总角动量和总角动量的分量来描述。由于电子的角动量和角动量分量差异，不同的原子和分子会在不同的能量状态之间跃迁，从而产生一系列的光辐射，从而产生一系列的化学作用。 随后，原子核的结构是量子力学研究的另一个重要方面。核子通常由多个中子和多个质子组成，这些中子和质子受到强大的内部核力的作用，由此产生了一个复杂的核子结构。这种结构决定了原子核的稳定性，决定了其在环境中的变化，以及原子核可能会产生哪些核反应。 此外，分子的结构与条件引力也是量子力学的基本知识点之一。分子由多个原子组成，这些原子之间存在着一种叫做条件引力的相互作用，这种作用使得它们可以形成分子结构。对于一个给定的分子，它的结构由条件引力的强弱来确定，其稳定性也由当时的条件引力来决定。条件引力也为分子谱研究提供了基础，通过研究条件引力的本质，可以计算出分子的振动能以及分子的吸收光谱。

大学物理量子力学的基础

大学物理量子力学的基础 量子力学是一门研究微观世界的物理学科，它是对自然界最基本的物质粒子行为进行描述的理论。在大学物理学课程中，量子力学作为重要的一部分，对于学生来说是一门具有挑战性的学科。本文将介绍大学物理中量子力学的基础知识，包括量子力学的起源、基本理论、波粒二象性等内容。 一、量子力学的起源 量子力学最早起源于20世纪初的实验观察，其中包括普朗克黑体辐射定律和爱因斯坦光电效应等重要实验结果。这些实验现象无法被经典物理学所解释，迫使科学家们提出一种新的理论来描述微观尺度的物理现象。1918年，德国物理学家玻恩提出了量子假设，为后来的量子力学奠定了基础。 二、量子力学的基本理论 量子力学的基本理论由薛定谔方程和量子力学算符理论构成。薛定谔方程是描述量子系统演化的基本方程，它描述了系统波函数随时间的演化规律。而量子力学算符则用来描述物理量的测量和运算，它们对应于物理量的观测值和运动方程。 三、波粒二象性 波粒二象性是量子力学的核心概念之一。根据量子力学的理论，微观粒子在不同的实验条件下既可以呈现出波动性质，又可以表现出粒子性质。具体而言，光的行为表现为波动性，在双缝实验中呈现出干

涉和衍射现象；而电子、中子等微观粒子也可以表现出波动性质，例 如在杨氏实验中呈现出干涉条纹。 四、量子力学中的基本概念 为了更好地理解量子力学，我们需要掌握其基本概念。首先是波函数，它描述了量子系统的状态，并且可以用来计算物理量的平均值。 其次是量子态，量子系统所处的状态可以用量子态来描述，量子力学 中的态叠加原理也是量子力学与经典物理学的一个重要差异。最后是 测量，量子力学中的测量与经典物理学有很大的不同，测量结果会塌 缩波函数，并且存在不确定性原理。 五、量子力学在实际应用中的意义 量子力学不仅是基础物理学的重要学科，还被广泛应用于许多领域。在材料科学中，量子力学的理论模型可以用来解释材料的电子结构和 性质。在计算机科学中，量子计算的概念正在成为未来计算机技术的 重要方向。在量子通信领域，量子力学的非局域性和不可克隆性被广 泛应用于加密传输和信息安全。 综上所述，大学物理中的量子力学是一门具有挑战性的学科，它的 基础知识包括量子力学的起源、基本理论、波粒二象性等内容。掌握 量子力学的基本概念和原理对于学生深入理解微观世界的行为规律具 有重要意义。同时，量子力学在实际应用中也具有广泛的意义，为材 料科学、计算机科学、通信等领域的发展提供了重要的理论支持。对 于学生来说，通过深入学习量子力学可以加深对自然界基本规律的认识，并为未来的科学研究和科技创新奠定坚实的基础。

量子力学的基础原理

量子力学是现代物理学的一支重要学科，它以其非常特殊和独特的基础原理而 闻名。量子力学的基础原理包括波粒二象性、量子叠加原理和不确定性原理。 首先，波粒二象性是量子力学的基本原理之一。根据这一原理，微观粒子既可 以表现为粒子，又可以表现为波动。这就意味着，微观粒子具有粒子的特性， 比如质量和位置，同时也具有波动的特性，比如频率和波长。这种波粒二象性 在双缝实验中得到了有力的证实。实验结果表明，当光通过两个狭缝的时候， 它表现出干涉和衍射的现象，说明光既可以看作是粒子，也可以看作是波动。 波粒二象性的发现颠覆了我们对微观世界的传统认识，揭示了物质的本质是复 杂且多样的。 其次，量子叠加原理是量子力学的又一基本原理。根据这一原理，量子系统可 以处于多个状态的叠加态。在经典物理学中，一个物体只能处于一个确定的状态，比如一个球只能是红的或者蓝的。然而，在量子力学中，一个粒子的状态 可以同时处于红和蓝两种状态，即红和蓝的叠加态。这种叠加态的存在在实验 中也得到了证实，比如双缝实验中的干涉条纹。这些干涉条纹表明，粒子的位 置不是确定的，而是处于多个可能的位置之间的叠加态。量子叠加原理的发现 极大地改变了我们对世界本质的理解，推动了现代科学的发展。 最后，不确定性原理是量子力学的又一基本原理，由爱因斯坦、波尔和黑塞尔 首次提出。根据不确定性原理，无法准确同时测量一个粒子的位置和动量。这 就意味着，我们无法同时知道一个粒子的精确位置和速度，只能得到它们之间 的一种不确定性的关系。这种不确定性在经典物理学中是无法想象的，因为我 们在经典物理学中能够准确地同时测量物体的位置和速度。然而，在量子力学中，粒子的位置和动量之间存在着一种基本的限制，即我们不能同时精确地测 量这两个物理量。 综上所述，量子力学的基础原理包括波粒二象性、量子叠加原理和不确定性原理。这些原理揭示了微观世界的奇妙和复杂性，挑战了我们对世界的传统认知。量子力学的基础原理为我们理解和解释微观世界的行为提供了坚实的理论基础，也为科学技术的发展带来了巨大的推动力。因此，深入研究和理解量子力学的 基础原理对于推动现代科学的发展至关重要。

大学物理量子力学

大学物理量子力学 量子力学是物理学中一门重要的学科，它探索了微观领域中粒子的行为和性质。量子力学的理论框架最早由康普顿、德布罗意等科学家在20世纪初提出，并经过多年的实验证实。本文将详细介绍量子力学的基本概念、主要理论以及它在现代科技中的应用。 一、量子力学的基本概念 量子力学的一个核心概念是量子，它表示物质在微观领域中存在的最基本单元。与经典物理学不同，量子力学认为微观粒子的性质无法准确地同时确定，而是通过概率分布来描述。这是由于量子力学的不确定性原理所决定的。 量子力学中的另一个重要概念是波粒二象性，即微观粒子既可以表现出波动性，又可以表现出粒子性。这个概念最早由德布罗意在他的波动力学理论中提出，并在实验证实了电子的波动性。波粒二象性的存在使得量子力学的理论更加复杂和奇特。 二、量子力学的主要理论 1. 波函数和薛定谔方程 量子力学中，波函数是描述量子系统状态的数学工具。它包含了有关粒子位置、动量和能量等信息。薛定谔方程是描述波函数随时间演化的基本方程。它是量子力学中的核心方程之一，通过求解薛定谔方程可以得到粒子的能级和波函数的形式。

2. 算符和观测量 在量子力学中，算符是一种数学工具，用来描述物理量的运算。物 理量通常用厄米算符表示，例如位置算符、动量算符等。观测量则是 通过测量来得到的物理量，量子力学认为观测量的结果是离散的，即 只能取特定的值。 3. Heisenberg不确定性原理 Heisenberg不确定性原理是量子力学中的重要原理之一，它表明在 测量某个物理量时，不可能同时准确地确定另一个共轭物理量。例如，位置和动量是共轭的物理量，根据不确定性原理，我们无法同时确定 粒子的精确位置和动量。 三、量子力学的应用 量子力学的理论不仅在理论物理学中有重要应用，而且在现代科技 中也有广泛的应用。以下是几个重要的应用领域： 1. 量子计算与量子通信 量子计算利用了量子叠加和量子纠缠的特性，可以实现比传统计算 更快速和更强大的计算能力。而量子通信则利用量子纠缠实现了更加 安全可靠的通信方式。 2. 量子光学与量子电子学

大学物理2 (电磁学、光学和量子物理)

大学物理2 (电磁学、光学和量子物理) 本文将介绍大学物理2，主要包括电磁学、光学和量子物理三 个方面。我们将分别从物理概念和实际应用两个方面进行讨论。 1. 电磁学 电磁学是关于电和磁现象以及它们之间相互作用的学科，它是现代物理学的基础之一。在大学物理2中，我们将学习关于电场、磁场、电磁波、电磁感应、电路和电动力学等内容。 电场和磁场是电磁学中最基本的概念之一，电场与带电粒子产生的相互作用有关，而磁场与带电粒子的运动有关。在本课程中，我们将学习电场和磁场的基本概念、数学描述和物理特性。我们将深入了解库仑定律、高斯定理和安培定律等电场和磁场的基本定律。 电磁波是电磁场的一种传播方式，它包括电场和磁场的相互耦合。电磁波有许多应用，例如广播、手机通讯和卫星导航系统。在本课程中，我们将学习麦克斯韦方程组，并了解它们如何描述电磁波的传播。 电磁感应是指磁场和电场相互作用产生的现象。对于电磁感应，法拉第电磁感应定律和利沃次定律是我们必须了解的基本定律。它们不仅仅是理论上的重要概念，同时也在工业和实际应用中广泛运用。 电路和电动力学是电磁学的两个重要分支。电路理论研究电子

元件之间组成的电路的性质，而电动力学研究带电粒子的运动。在本课程中，我们将了解欧姆定律、基尔霍夫定律、麦克斯韦方程组和洛伦兹力等概念。 2. 光学 光学研究有关光的性质、传播和相互作用的学科。在大学物理 2中，我们将学习几何光学、物理光学和量子光学等方面。 在几何光学方面，我们将学习光的传播和反射的数学描述和实际应用。我们将研究光的成像原理，例如平面镜成像和球面镜成像，并了解光的折射和全反射等现象。 在物理光学方面，我们将研究光的波动性质。光波的性质包括干涉、衍射和极化等方面。涉及到较多的物理、数学和工程等学科知识。我们将详细了解光的干涉和衍射的原理，并初步了解光的极化现象。 量子光学是光学的最新分支之一，它研究光的量子特性。它提供了一种新的处理光的方式，可以应用于多种学科领域，例如光通信、光计算和量子加密等方面。在本课程中，我们将初步了解量子光学的基本概念和量子力学中关于光的描述。 3. 量子物理 量子物理研究微观领域内物质和辐射的性质和相互作用的基础学科。量子力学是量子物理中的基础理论，它描述了微观粒子的运动和相互作用。在本课程中，我们将学习量子物理的基本

量子力学的基础

量子力学的基础 量子力学是20世纪初建立起来的一门物理学理论，它的出现彻底颠覆了经典物理学的观念。量子力学的基础包括了几个重要概念和原理，本文将对这些基础内容进行介绍和解析。 一、波粒二象性 量子力学的基础之一是波粒二象性。在经典物理学中，光被认为是粒子的流动，例如光的传播速度可以解释为光粒子在空间中的移动速度。然而，根据量子力学的观点，光既展现出粒子特性，又表现出波动特性。这意味着光既可以看作是一束光子流动，又可以看作是波动在空间中传播。类似地，电子、中子等微观粒子也具有波粒二象性。 二、不确定性原理 不确定性原理是量子力学的另一个基础概念。量子力学认为，对于一个粒子的某些物理量（如位置和动量），无法同时进行精确测量，只能得到其一定范围的测量值。这就是著名的不确定性原理。如海森堡不确定性原理就表明，无法同时准确测量一个粒子的位置和动量。这个原理挑战了经典物理学中的确定性观念，引发了科学界的巨大震动。 三、波函数和量子态 量子力学中，波函数是描述粒子运动状态的数学函数。波函数的平方值给出了粒子存在于某个位置的概率密度，而不再是经典物理学中的精确位置。波函数可以用于计算任何粒子的性质和行为，因此是量

子力学的核心概念之一。根据波函数的形式，我们可以将粒子的状态 分为几种不同的量子态，如基态、激发态等。 四、量子力学算符 量子力学中，算符是一个非常重要的概念，用来描述和操作量子力 学中的物理量。算符对应于在物理现象中观察到的各种不同可测量的 物理量，如位置、动量、能量等。通过对算符进行操作和变换，我们 可以得到粒子的各种物理性质和运动状态。 五、量子力学的数学框架 量子力学除了以上基础概念外，还建立了一套严密的数学框架。其 中包括了波函数的薛定谔方程、量子力学算符的定义和性质、态矢量 的表示等。这些数学工具为量子力学的计算和研究提供了强大的支持。 结论 量子力学的基础概念和原理为我们理解微观世界的规律和现象提供 了有效的工具。波粒二象性、不确定性原理、波函数和量子态、量子 力学算符以及数学框架等内容是量子力学的重要组成部分。通过深入 学习和研究这些基础内容，我们可以更好地理解量子力学的本质，并 探究量子世界的奥秘。量子力学的发展不仅在物理学领域带来了颠覆 性的进展，也对其他学科产生了深远的影响，如化学、材料科学等。 因此，深入理解量子力学的基础是我们追求科学发展的必然选择。

大学物理量子力学的基本原理

大学物理量子力学的基本原理量子力学是研究微观粒子行为的物理学分支，是现代物理学的基石 之一。本文将介绍大学物理量子力学的基本原理及其相关概念。 1. 波粒二象性 量子力学将微观粒子视为同时具有波动性和粒子性的实体。这一思 想由德布罗意提出，称为波粒二象性。根据波动性，粒子可以用波函 数来描述，波函数可以求解出粒子的位置和动量等物理量。同时，粒 子也具有局部化的特点，可以在特定位置被探测到，具有粒子性。波 粒二象性的发现颠覆了经典物理学的观念，成为量子力学基本原理之一。 2. 玻尔原子模型 玻尔原子模型是量子力学的重要里程碑之一。玻尔根据氢原子光谱 实验结果，提出了能级和跃迁的概念。按照玻尔模型，氢原子的电子 绕核运动呈离散的能级，当电子跃迁时会吸收或发射特定能量的光子。这一模型成功解释了氢原子的光谱线，为后续量子力学模型的发展奠 定了基础。 3. 波函数和薛定谔方程 波函数是描述粒子状态的数学函数，用于求解粒子位置、动量等物 理量的概率分布。薛定谔方程是量子力学的基本方程，描述了波函数 随时间演化的规律。薛定谔方程是一个偏微分方程，根据不同情况可

以得到不同的解。解薛定谔方程可以得到粒子的波函数，从而得到粒子的行为和性质。 4. 不确定性原理 不确定性原理是量子力学的基本原理之一，由海森堡提出。不确定性原理指出，对于一对互相对易的物理量，比如位置和动量，它们的测量结果无法同时具有无限精确度。精确测量一个物理量将导致另一个物理量的测量结果变得不确定。不确定性原理限制了我们对微观世界的认识和测量，揭示了自然界的一种固有的不确定性。 5. 波函数坍缩和量子纠缠 当测量一个粒子的某个物理量时，其波函数会发生坍缩，随之确定一个特定的测量结果。波函数坍缩的原理目前尚不明确，但在量子力学中被广泛接受。量子纠缠是一种奇特的现象，当两个或更多个粒子相互作用后，它们之间的状态将紧密相关，无论它们有多远的距离。这个纠缠状态不受时间和空间的限制，提出了关于量子力学的非局域性的思考。 6. 光子和粒子统计 光子是电磁辐射的基本粒子，也是量子力学中研究的对象之一。根据玻色-爱因斯坦统计和费米-狄拉克统计，不同类型的粒子遵循不同的统计规律。玻色子可以集聚在同一个量子态，无数个粒子可以处于同一个量子态，如激光。而费米子则按照其泡利不相容原理，不同自旋的粒子无法处于同一个量子态，如电子。

物理学 量子力学 大学期末论文

物理学量子力学大学期末论文摘要： 本文旨在探讨量子力学的基本概念、原理及其在物理学领域的应用。首先介绍了科学家们对量子力学的研究历程，然后深入解析了量子力 学的核心理论和基本原理，包括波粒二象性、不确定性原理、波函数等。接着，阐述了著名的量子力学实验和薛定谔方程的重要性，再详 细讨论了量子力学在原子物理、固态物理以及信息科学等领域的应用。最后，总结了量子力学的局限性，并对未来发展方向提出了展望。 1. 引言 在近现代物理学的发展过程中，量子力学作为一门革命性的理论， 在解释微观世界的物理现象方面起到了举足轻重的作用。量子力学的 基本原理和概念对于研究原子、分子、固体和核物理等领域具有重要 意义，也在信息科学和计算机科学中发挥着日益重要的作用。 2. 量子力学的历史 量子力学的历史可以追溯到20世纪初。在此期间，诸多物理学家 如普朗克、爱因斯坦、德布罗意等人都对量子力学的基础概念做出了 重要贡献。其中普朗克的能量量子化假设和爱因斯坦的光电效应等实 验现象的解释为量子力学的发展奠定了基础。 3. 量子力学的基本原理

量子力学具有波粒二象性，即微观粒子既具有粒子性又具有波动性。不确定性原理指出，对于某些物理量的测量存在不确定性，即无法同 时确定粒子的位置和动量。此外，波函数是量子力学中的核心概念， 它描述了粒子在空间中的行为。 4. 薛定谔方程 薛定谔方程是量子力学中的重要方程，描述了波函数随时间的演化。它为量子力学的定态和非定态问题提供了解决方法，并在粒子在势能 场中的运动研究中具有广泛应用。 5. 量子力学的实验验证 量子力学的实验验证对于验证理论的正确性和进一步发展起着关键 作用。例如，描写电子云模型的费曼双缝实验以及描述原子的量子力 学实验等都为量子力学的发展提供了重要支持。 6. 量子力学的应用领域 量子力学在原子物理、固态物理和信息科学等领域具有广泛的应用。在原子物理中，量子力学被用来解释原子光谱现象，以及描述电子在 原子轨道中的运动。在固态物理中，通过量子力学可以研究电子在晶 格中的行为，解释导电性和磁性等现象。同时，量子力学在信息科学 中的应用也越来越受到关注，例如量子计算和量子通信等。 7. 量子力学的局限性

大学量子场论教案

大学量子场论教案 量子场论是现代物理学中最基础也是最重要的理论之一。它是描述微观物理学中的粒 子及其相互作用的一种量子力学理论。本教案将介绍大学量子场论的基础概念和理论 框架。 一、课程目标 1、了解量子场论的概念和基础原理。 2、掌握量子场论中的数学工具和方法。 3、学会如何计算量子场论中的基本过程。 二、课程内容 1、相对论性量子力学的回顾 量子场论是相对论性量子力学的推广和发展。因此，首先需要对相对论性量子力学中 的基本概念有所了解，如薛定谔方程、相对论性矩阵力学等。 2、量子场论的基础概念 介绍量子场、量子态、产生湮灭算符、Feynman图等基础概念，为后续的理论分析和计算打下基础。 3、量子场的形式化理论 介绍量子场的形式化理论，包括场算符的定义和性质，场算符的展开，波粒二象性等。 4、量子场论中的对称性和守恒量 介绍量子场论中对称性和守恒量的概念，如规范对称性、自旋对称性等，并以Maxwell场为例介绍对称性和守恒量的具体应用。 5、量子场论的路径积分 介绍路径积分的概念和基本原理，并以谷山积分为例介绍量子场论中路径积分的具体 应用。 6、量子场论中的重要过程

介绍量子场论中的一些重要过程，并以标量场理论为例进行计算和分析，包括自由标 量场、相互作用标量场等。 7、量子场论中的其他重要内容 介绍量子场论中的其他重要内容，如维度规则、重正化、群论在量子场论中的应用等。 三、教学方法 1、理论讲解：通过讲解理论、引导学生思考的方式，让学生对量子场论的基础概念和理论框架有一个整体的认识。 2、实例分析：通过引入实例，分析量子场论的具体过程，让学生能够按照理论框架，独立计算出实际问题。 3、课外阅读：推荐有关量子场论的专业书籍和论文供学生参考，可以帮助学生深入了解量子场论的一些深刻问题。 四、教学评估 1、期末考试：以学生对课程内容的掌握和应用能力为重点，进行考核。 2、课堂问答：通过课堂问答的方式，了解学生对课程的掌握程度，及时发现和纠正问题。 3、小组讨论：通过小组讨论，让学生更深入地了解量子场论的一些深刻问题，从而进一步提高对课程的理解功力。 五、教学资源 本教案所需的资源包括：基本教材、课件、视频教程、考试试题、大量量子场论相关 的文献资料等。 总之，大学量子场论是相对论性量子力学的重要分支之一，它的理论内容和实际应用 广泛，尤其是在高能物理和凝聚态物理领域。这门课程的学习对于理论物理和相关学 科的发展具有重要的意义和作用。

量子力学课件文档

第一章量子力学基础 微观粒子(如电子、原子、分子和光子等)具有波粒二象性的运动特点。这一特点体现在以下的现象中，而这些现象均不能用经典理论来解释，由此人们提出了量子力学理论，这一理论就是本课程的一个重要的基础。 §1.1 量子力学产生的背景 一量子论 1 黑体辐射 黑体是理想的吸收体，也是理想的发射体。即能够全部吸收投射到它上面的辐射的物体。 当把几种物体加热到同一温度，黑体放出的能量最多。从图中不同温度的能量变化曲线 可见，随温度增加，Ev增大，且其极大值向高频方向移动(如图）。 这种现象不能用经典理论来解释，后来普朗克(Planck)提出一个假设： 认为黑体腔内辐射能的吸收或释放不能连续进行，只能以某一个最小单位ε做跳跃式改变，而且ε大小与辐射波频率ν有关： 称作普朗克常数。于是黑体辐射能为：

（n=1,2,3…） 象这种某物理量的变化是不连续的，而以某一最小单位做跳跃式的增减，就称这物理量的变化是"量子化"的，这一最小单位就叫做这个物理量的"量子"。因此，后人称普朗克的假设为量子说。 第一章量子力学基础 ２氢原子光谱 氢原子光谱是一些不连续的线状光谱，如图。 氢原子在可见和近紫外区域的发射光谱 1885年瑞士的一个中学物理教师巴尔麦（J.Balmer）经实验测定，给出了一个光谱经验公式，后经里德堡（Rydberg）改进，成如下形式： （n1=1,2,3…） 式中称里德堡常数,是波长的倒数，称作波数。 按照经典电磁理论，应该得到连续的原子光谱而不是线状光谱。1913年玻尔（N.Bohr）把量子概念运用到原子电子结构和氢原子光谱问题上。 核心是两条基本假定： ①定态假设原子有一些具有分立能值的稳定状态，称作定态。定态的条件是当电子在核外圆形轨道上运动时，其轨道角动量量子化。 n称作"量子数"。 ②量子跃迁假设原子处于定态时不发生电磁辐射，当电子由一个定态E1跃迁到另一个定态E2时，以光的形式吸收或放出能量，光的频率是

量子力学基础简答题(经典)

量子力学基础简答题 1、简述波函数的统计解释； 2、对“轨道”和“电子云”的概念，量子力学的解释是什么？ 3、力学量G ˆ在自身表象中的矩阵表示有何特点？ 4、简述能量的测不准关系； 5、电子在位置和自旋z S ˆ表象下，波函数⎪ ⎪⎭ ⎫ ⎝⎛=ψ),,(),,(21z y x z y x ψψ如何归一化？解释各项的几率意义。 6、何为束缚态？ 7、当体系处于归一化波函数ψ(,) r t 所描述的状态时，简述在ψ(,) r t 状态中测量力学量F 的可能值及其几率的方法。 8、设粒子在位置表象中处于态),(t r ψ,采用Dirac 符号时，若将ψ(,) r t 改写为ψ(,) r t 有何 不妥？采用Dirac 符号时，位置表象中的波函数应如何表示？ 9、简述定态微扰理论。 10、Stern —Gerlach 实验证实了什么？ 11、一个物理体系存在束缚态的条件是什么？ 12、两个对易的力学量是否一定同时确定？为什么？ 13、测不准关系是否与表象有关？ 14、在简并定态微扰论中，如 () H 0的某一能级) 0(n E ，对应f 个正交归一本征函数i φ（i =1，2，…， f ），为什么一般地i φ不能直接作为()H H H '+=ˆˆˆ0的零级近似波函数？ 15、在自旋态χ 1 2 ()s z 中， S x 和 S y 的测不准关系( )( )∆∆S S x y 22•是多少？ 16、在定态问题中，不同能量所对应的态的迭加是否为定态Schrodinger 方程的解？同一能量对应的各简并态的迭加是否仍为定态Schrodinger 方程的解？ 17、两个不对易的算符所表示的力学量是否一定不能同时确定？举例说明。 18说明厄米矩阵的对角元素是实的，关于对角线对称的元素互相共轭。 19何谓选择定则。 20、能否由Schrodinger 方程直接导出自旋？ 21、叙述量子力学的态迭加原理。 22、厄米算符是如何定义的？ 23、据[a ˆ，+ a ˆ]=1，a a N ˆˆˆ+=，n n n N =ˆ，证明：1ˆ-=n n n a 。 24、非简并定态微扰论的计算公式是什么？写出其适用条件。