任意角的三角函数公开课教案(精.选)

任意角的三角函数（第一课时）

教学目标

1．掌握任意角的正弦、余弦、正切函数的定义（包括定义域、正负符号判断）；了解任意角的余切、正割、余割函数的定义.

2．经历从锐角三角函数定义过度到任意角三角函数定义的推广过程，体验三角函数概念的产生、发展过程. 领悟直角坐标系的工具功能，丰富数形结合的经验.

3．培养学生通过现象看本质的唯物主义认识论观点，渗透事物相互联系、相互转化的辩证唯物主义世界观.

4．培养学生求真务实、实事求是的科学态度.

一、重点、难点、关键

重点：任意角的正弦、余弦、正切函数的定义、定义域、（正负）符号判断法.

难点：把三角函数理解为以实数为自变量的函数.

关键：如何想到建立直角坐标系；六个比值的确定性（α确定，比值也随之确定）与依赖性（比值随着α的变化而变化）.

二、教学过程

[执教线索：

回想再认：函数的概念、锐角三角函数定义（锐角三角形边角关系）——问题情境：能推广到任意角吗？——它山之石：建立直角坐标系（为何？）——优化认知：用直角坐标系研究锐角三角函数——探索发展：对任意角研究六个比值（与角之间的关

系：确定性、依赖性，满足函数定义吗？）——自主定义：任意角三角函数定义——登高望远：三角函数的要素分析（对应法则、定义域、值域与正负符号判定）——例题与练习——回顾小结——布置作业]

（一）复习引入、回想再认

开门见山，面对全体学生提问：

在初中我们初步学习了锐角三角函数，前几节课，我们把锐角推广到了任意角，学习了角度制和弧度制，这节课该研究什么呢？

探索任意角的三角函数（板书课题），请同学们回想，再明确一下：

（情景1）什么叫函数？或者说函数是怎样定义的？

让学生回想后再点名回答，投影显示规范的定义，教师根据回答情况进行修正、强调：

传统定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值和它对应，那么就说y是x的函数，x叫做自变量，自变量x的取值范围叫做函数的定义域.

现代定义：设A、B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数，在集合B中都有唯一确定的数 f（x）和它对应，那么就称映射?：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作： f（x），x∈A ，其中x叫自变量,自变量x的取值范围A叫做函数的定义域.

（情景2）我们在初中通过锐角三角形的边角关系，学习

了锐角的正弦、余弦、正切等三个三角函数. 请回想：这三个三角函数分别是怎样规定的？

（情景

3）我们已经把锐角推广到了任意角，锐角的三角函数概念也能推广到任意角吗？试试看，可以独立思考和探索，也可以互相讨论！

留时间让学生独立思考或自由讨论，教师参与讨论或巡回对学困生作启发引导.

能推广吗？怎样推广？针对刚才的问题点名让学生回答. 用角的对边、临边、斜边比值的说法显然是受到阻碍了，由于前面已经以直角坐标系为工具来研究任意角了，学生一般会想到（否则教师进行提示）继续用直角坐标系来研究任意角的三角函数.

教师对学生回答情况进行点评后布置任务情景：请同学们用直角坐标系重新研究锐角三角函数定义！

把锐角α安装（如何安装？角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴非负半轴重合）在直角坐标系中，在角α终边上任取一点P ，作⊥x 轴于M ，构造一个Δ，则∠ α（锐角），设P （）（x ＞0、y ＞0），α的临边 、对边，斜边长∣.

根据锐角三角函数定义用x 、y 、r 列出锐角α的正弦、余弦、正切三个比值，并补充对应列出三个倒数比值：

α=

斜边对边，α=

斜边

邻边，α=

邻边

对边

（图

（情景4）各个比值与角之间有怎样的关系？比值是角的函数吗？

追问：锐角α大小发生变化时，比值会改变吗？

先让学生想象思考，作出主观判断，再用几何画板动画演示，同时作好解释说明：保持r 不变，让P 绕原点O 旋转即α在锐角范围内变化，六个比值 随之变化的直观形象。结论是：比值随α的变化而变化.

引导学生观察图3

探索发现： 对于锐角α确定的，不会随P 得出结论(强调)：当α为锐角时，六个比值随α的变化而变化；但对于锐角α的每一个确定值，六个比值都是确定的，不会随P 在终边上的移动而变化. 所以，六个比值分别是以角α为自变量、以比值为函数值的函数.

（三）分析归纳、自主定义

（情境5）能将锐角的比值情形推广到任意角α吗? 水到渠成，师生共同进行探索和推广：

对于一个任意角α，它的终边所在位置包括下列两类共八种情形（投影展示并作分析）：

终边分别在四个象限的情形： 终边分别在四个半

α

斜边对边

r

y

，α

斜边邻边

r x ，α邻边对边x y

y r

x r y x

（图

（图

轴上的情形：

（指出：不画出角的方向，表明角具有任意性） 怎样刻画任意角的三角函数呢？研究它的六个比值： （板书）设α是一个任意角，在α终边上除原点外任意取一点P （x ，y ），P 与原点O 之间的距离记作r （22y x ＞0），列出六个比值：

r

y

r x x

y y

r x

r y

x

απ+π/2时，0，比值 、 无意义； α= k π时，0，比值x 、r 无意义.

追问：α大小发生变化时，比值会改变吗？

先让学生想象思考，作出主观判断，再用几何画板动画演示，同时作好解释说明：使r 保持不变，P 绕原点O 逆时针、顺时针旋转即角α变化，六个比值随之改变的直观形象。结论是：各比

（图4）

P()

y

x

O

·

P()

y x

O

· P() y

x

O ·

P()

y x O · （图5）

值随α的变化而变化.

再引导学生利用相似三角形知识，探索发现： 对于任意角α的每一个确定值，六个比值都是确定的，不会随P 在终边上的移动而变化

.

综上得到（强调）：当角α变化时，六个比值随之变化；对于确定的角α， 六个比值（如果存在的话）都不会随P 在角

α终边上的改变而改变，六个比值是确定的(对应的多值性即诱导公式一留到下节课分析).

因此，六个比值分别是以角α为自变量、以比值为函数值的函数.

根据历史上的规定，对比值进行命名，指出英文记法和读法，记作（承前作复合板书）：

r

y α（正弦） r x α（余弦） x

y α（正切） y

r α（余割） x

r

（正弦） y

x α（余切）

教师强调：α表示与α的乘积吗？不是，α是函数记号，是一个整体,相当于函数记号f （x ）. 其它几个三角函数也如此

投影显示图六，指导学生分析其对应关系，进一步体会其函数内涵：

（图六）

指导学生识记六个比值及函数名称.

教师指出：正弦、余弦、正切、余切、正割、余割六个函数统称为三角函数，三角函数有非常丰富的知识和思想方法，我们以后主要学习正弦、余弦、正切三个函数的相关知识和方法，对于余切、正割、余割，只要同学们了解它们的定义就够了（遵循大纲要求）.

引导学生进一步分析理解：

已知角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，对于每一个确定的实数，把它看成一个弧度数，就对应着唯一的一个角，从而分别对应着六个唯一的三角函数值. 因此，（板书）三角函数可以看成是以实数为自变量的函数，这将为以后的应用带来很多方便.

（四）探索定义域

（情景6）（1）函数概念的三要素是什么？

函数三要素：对应法则、定义域、值域.

正弦函数α的对应法则是什么？

正弦函数α的对应法则，实质上就是α的定义：对α的每一个确定的值，有唯一确定的比值与之对应，即α→α.

(2)布置任务情景：什么是三角函数的定义域？请求出六个

三角函数的定义域，填写下表：

引导学生自主探索：

如果没有特别说明，那么使解析式有意义的自变量的取值范围叫做函数的定义域，三角函数的定义域自然是指：使比值有意义的角α的取值范围.

关于α、α，对于任意角α（弧度数），r＞0，、恒有意义，定义域都是实数集R.

对于α，α= kπ+π/2 时0，无意义，α的定义域是：{α|α∈R，且α≠kπ+π/2 }. ………

教师指出: α、α、α的定义域必须紧扣三角函数定义在理解的基础上记熟，α、α、α的定义域不要求记忆.

（关于值域，到后面再学习）.

（五）符号判断、形象识记

（情景7）能判断三角函数值的正、负吗？试试看！

引导学生紧紧抓住三角函数定义来分析，r＞0,三角函数值的符号决定于x、y值的正负，根据终边所在位置总结出形象的识记口诀：

（

同好得正、异号得负）

α= ：上正下负横为0 α：左负右正纵为0 α：交叉正负

练习巩固、理解记忆

1、自学 例

1：已知角α的终边经过点P （2，-3），求α的六

个三角函数值.

要求：读完题目，思考：计算什么?需要准备什么?闭目心算，对照解答，模仿书面表达格式，巩固定义.

课堂练习：

p19题1：已知角α的终边经过点P （-3，-1），求α的六个三角函数值.

要求心算，并提问中下学生检验，

点评：角α终边上有无穷多个点，根据三角函数的定义，只要知道α终边上任意一个点的坐标，就可以计算这个角的三角函数值（或判断其无意义）.

补充例题：已知角α的终边经过点P （x ，-3），α=4/5，求α的其它五个三角函数值.

师生探索：已知3，要求其它五个三角函数值，须知？，？.

－ y － ＋ ＋

x

－ y ＋

－ ＋

x

＋ y －

－ ＋

x

根据定义得22)3(-+x x =4（方程思想）， x ＞0，解得4，从而 .解答略.

2、自学 例

2：求下列各角的六个三角函数值：(1) 0；(2)

π/2 ；(3) 3π/2.

提问，据反馈信息作点评、修正.

师生探索：紧扣三角函数定义求解，首先要在终边上取定一点。终边在哪儿呢？取定哪一点呢？任意点、还是特殊点？要灵活，只要能够算出三角函数值，都可以。

取特殊点能使计算更简明。

课堂练习：p19题2.（改编）填表：

处理：要求取点用定义求解，针对计算过程提问、点评，理解巩固定义.

强调：终边在坐标轴上的角叫轴线角，如0、π/2 、π、3π/2 等，今后经常用到轴线角的三角函数值，要结合三角函数定义记熟这些值.

（六）回顾小结、建构网络

要求全体学生根据教师所提问题进行总结识记，提问检查并强调：

1．你是怎样把锐角三角函数定义推广到任意角的？或者说

任意角三角函数具体是怎样定义的？（建立直角坐标系，使角的顶点与坐标原点重合，，在终边上任意取定一点P，）

2．你如何判断和记忆正弦、余弦、正切函数的定义域？（根据定义，）

3．你如何记忆正弦、余弦、正切函数值的符号？（根据定义，想象坐标位置，）

（七）布置课外作业

1．书面作业：习题4.3第3、4、5题.

2．认真阅读p22“阅读材料：三角函数与欧拉”，了解欧拉的生平和贡献，

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高中数学必修四1.2.1任意角的三角函数导学案

1.2.1任意角的三角函数（A 层学案） 学习目标：1.能借助单位圆记住任意角的正弦、余弦、正切函数的定义； 2.记住诱导公式一并会应用。 学习重点：任意角三角函数的定义及诱导公式一的应用。 学习难点：任意角的三角函数的定义。 一、课前预习案 1．任意角三角函数 (1)在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么： ①y 叫做α的________，记作______，即sin α＝y ； ②x 叫做α的________，记作______，即cos α＝x ； ③ y x 叫做α的________，记作______，即tan α＝y x (x ≠0)． (2)在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边上任意一点P (x ，y )，它到原点的距离r(r>0),r= ,那么任意角α的三角函数的定义为： sin α＝ cos α＝ tan α＝ 2．正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号 记忆口诀： 。 3．诱导公式一 终边相同的角的同一三角函数的值________，即： sin(α＋k ·2π)＝________，cos(α＋k ·2π)＝________， tan(α＋k ·2π)＝________，其中k ∈Z . 4.利用任意角三角函数的定义推导特殊角的三角函数值. 角α 0 π6 π4 π3 π2 23π 34π 56π π 3 2 π 2π sin α cos α tan α

二、课内探究案 知识点一利用定义求角的三角函数值 例1：已知角α的终边经过点P(－4,3)，求sin α、cos α、tan α的值．变式训练1： （1）已知角α的终边过点 0(3,4) P--，求角α的正弦、余弦和正切值. （2）已知角α的终边经过点P(－4a,3a)(a≠0)，求sinα、cosα、tanα的值． 知识点二：三角函数值的符号问题 例2. （1）α是第四象限角，则下列数值中一定是正值的是( ) A.sin α B.cos α C.tan α D.cos α或tan α （2）若sin θ·tan θ＞0，cos θ·tan θ＜0，则sin θ·cos θ______0 (填“＞”“＜”或“=”). (3)函数的值域是_______. 变式训练2：判断下列各式的符号. (1)sin 370°+cos 370°.

七选五公开课教案

公开课教案：利用逻辑关系来解答七选五 汕头市达濠华侨中学胡志伟 Teaching aims: 1. To help students understand cohesion in the context; 2. To help the students get some skill of Gap-filling in the NMET. Teaching important and difficult points: 1. Get some skills of Gap-filling in the NMET based on cohesion; 2. Apply theories to practice. Teaching Procedures: Step 1: Warming up 1. Ask students to read the following 2 passages and think about the question: What method does the author use to develop the text? A Q: The method the author uses to develop the text is _____________ . Some chemicals can cause food poisoning. They are often added to food while it is being grown, processed, or prepared. For example, many farmers spray（喷洒） chemicals on crops to kill weeds and insects. Some people may have a bad reaction to those chemicals when they eat the crops. B Q: The method the author uses to develop the text is _____________ . Make your time worth it. When you do find time to cook a meal, make the most of it and save yourself time later on. Are you making one loaf of bread? Make three or four instead. It takes around the same amount of time to make more of something. So save yourself the effort for a future meal. 2. Introduce some basic characteristics of Gap-filling. Step 2: Presentation of skills and methods 常见逻辑关系: 因果关系并列递进关系转折关系解释关系例证关系因果关系常见词：__________________________________________________________________________________________________________ Ex 1: It is a good thing to stay in touch. However, try not to press your new friend with calls, messages or visits as this would likely wear him or her out and finally you may lose your friend. ________________ The best friendships are the ones that grow naturally. A. Making new friends comes easy for some people. B. For a friendship to develop you need to stay in touch C. So you will need to give your friend time to react to you. Ex 2: （2011 年全国） Parents should help their children understand money. ________ So you may start talking about money when your child shows an interest in buying things, candy or toys, for example. A. Ask yourself what things that cost money are most important to you. B. You should teach your children the value of money as early as possible. C. The best time to teach a child anything about money is when he shows an interest. 并列递进关系常见词： ____________________________________________________________________________________ Ex 1: Enjoy your friendship The best way to enjoy your friendship is to allow your friends to be themselves. _______ Try not to change them from who they are to what you want them to be. Become the kind of friend you will want your friend to be to you. A. Do not wait to be spoken to.

2020年普通高考数学一轮复习第22讲任意角的三角函数及诱导公式精品学案

2020年普通高考数学科一轮复习精品学案 第22讲任意角的三角函数及诱导公式 一?课标要求： 1 .任意角、弧度了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化； 2.三角函数 （1）借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义； （2）借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式（n /2 ±a , n±a的正弦、余弦、正切）。 二.命题走向 从近几年的新课程高考考卷来看，试题内容主要考察三角函数的图形与性质，但解决这类问题的基础是任意角的三角函数及诱导公式，在处理一些复杂的三角问题时，同角的三角函数的基本关系式是解决问题的关键。 预测2020年高考对本讲的考察是： 1.题型是1道选择题和解答题中小过程； 2 .热点内容是三角函数知识的综合应用和实际应用，这也是新课标教材的热点内容。 三.要点精讲 1.任意角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。一条射 线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到终止位置OB，就形成角。旋转开始时的射线OA叫做角的始边，OB叫终边，射线的端点O叫做叫的顶点。 为了区别起见，我们规定：按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角。如果一条射线没有做任何旋转，我们称它形成了一个零角。 2.终边相同的角、区间角与象限角 角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合。那么，角的终边（除端点外）在 第几象限，我们就说这个角是第几象限角。要特别注意：如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限，称为非象限角。 终边相同的角是指与某个角a具有同终边的所有角，它们彼此相差2k n （k € Z），即 { 3 | 3 =2k n +a, k€ Z},根据三角函数的定义，终边相同的角的各种三角函数值都相等。 区间角是介于两个角之间的所有角，女口a€ { a| — WaW—}=[_,—]。 6666 3 .弧度制 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作 1 rad , 或1弧度，或1（单位 可以省略不写）。 角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如-n, -2n等等，一般地，正角 的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋 转方向来决定。 角的弧度数的绝对值是：丄，其中，|是圆心角所对的弧长，r是半径。 r 角度制与弧度制的换算主要抓住180 rad。 180

任意角的三角函数教案

1.2.1 任意角的三角函数 教学目标 1．知识与技能 (1)掌握任意角的三角函数的定义． (2)已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值． (3)记住三角函数的定义域． 2．过程与方法 (1)通过直角三角形中三角函数定义到单位圆中三角函数定义，最后到直角坐标系中一 般化的三角函数定义，培养学生发现数学规律的思维方法和能力． (2)树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数． (3)通过对定义域介绍，提高学生分析、探究、解决问题的能力． 3．情感、态度与价值观 (1)使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度(自变量)与比值(函数值)的 一种联系方式． (2)学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神． 重点、难点 教学重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号)． 教学难点：利用角的终边上点的坐标刻画三角函数，三角函数的符号以及三角函数的几何意义． 授课类型：新授课 教学模式：启发、诱导发现教学. 新知探究 一、三角函数的定义： 提出问题 问题①:在初中时我们学了锐角三角函数,你能回忆一下锐角三角函数的定义吗? 问题②:你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗? 学习了弧度制,知道了角的集合与实数集是一一对应的,在此基础上,我们来研究任意角的三角函数.

图1 如图1,设锐角α的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的正半轴重合,那么它的终边在第一象限.在α的终边上任取一点P(a,b),它与原点的距离22b a >0.过P 作x 轴的垂线,垂足为M,则线段OM 的长度为a,线段MP 的长度为b. 根据初中学过的三角函数定义,我们有 sinα=OP MP =r b ,cosα=OP OM =r a ,tanα=OP MP =a b . 讨论结果: ①锐角三角函数是以锐角为自变量,边的比值为函数值的三角函数. ②sinα=OP MP =r b ,cosα=OP OM =r a ,tanα=OM MP =a b . 提出问题 问题①:如果改变终边上的点的位置,这三个比值会改变吗?为什么? 问题②:你利用已学知识能否通过取适当点而将上述三角函数的表达式简化? 最后可以发现,由相似三角形的知识,对于确定的角α,这三个比值不会随点P 在α的终边上的位置的改变而改变. 过图形教师引导学生进行对比,学生通过对比发现取到原点的距离为1的点可以使表达式简化. 此时sinα=OP MP =b,cosα=OP OM =a,tanα=OM MP =a b . 在引进弧度制时我们看到,在半径为单位长度的圆中,角α的弧度数的绝对值等于圆心角α所对的弧长(符号由角α的终边的旋转方向决定).在直角坐标系中,我们称以原点O 为圆心,以单位长度为半径的圆为单位圆.这样,上述P 点就是α的终边与单位圆的交点.锐角三角函数可以用单位圆上点的坐标表示. 同样地,我们可以利用单位圆定义任意角的三角函数. 图2 如图2所示,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么: (1)y 叫做α的正弦,记作sinα,即sinα=y; (2)x 叫做α的余弦,记作cosα,即cosα=x; (3)x y 叫做α的正切,记作tanα,即tanα=x y (x≠0). 所以,正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,我们将它们统称为三角函数. 值得注意的是:(1)正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以比值为函数值的函数.(2)sinα不是sin 与α的乘积,而是一个比值;三角函数的记号是一个整体,离开自变量的“sin”“tan”等是没有意义的. 二、例题讲解

2018版高中数学三角函数1.2.1任意角的三角函数一导学案新人教A版

1.2.1 任意角的三角函数(一) 学习目标 1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义，了解三角函数是以实数为自变量的函数.2.借助任意角三角函数的定义理解并掌握正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号.3.通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同的角的同一三角函数值相等. 知识点一 任意角的三角函数 使锐角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P ，作PM ⊥x 轴于M ，设P (x ，y )，|OP |＝r . 思考1 角α的正弦、余弦、正切分别等于什么？ 答案 sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x . 思考2 对确定的锐角α，sin α，cos α，tan α的值是否随P 点在终边上的位置的改变而改变？ 答案 不会.因为三角函数值是比值，其大小与点P (x ，y )在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关. 思考3 在思考1中，当取|OP |＝1时，sin α，cos α，tan α的值怎样表示？ 答案 sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x . 梳理 (1)单位圆 在直角坐标系中，我们称以原点O 为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆. (2)定义 在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么： ①y 叫做α的正弦，记作sin α， 即sin α＝y ； ②x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x ； ③y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝y x (x ≠0). 对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的.故正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数.

高中数学任意角的三角函数教案

§1.2.1 任意角的三角函数 教学目标 <一> 知识目标 1、掌握任意角的三角函数的定义。 2、已知角α终边上一点,会求角α的各三角函数值。 3、记住三角函数的定义域和诱导公式（一）。 <二> 能力目标 1、理解并掌握任意角的三角函数的定义。 2、树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数。 3、通过对定义域，三角函数值的符号，诱导公式一的推导，提高学生分析、探究、解决问题的能力。 <三> 德育目标 1、使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度（自变量）与比值（函数值）的一种联系方式。 2、学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神。 教学重难点 任意角的正弦、余弦、正切的定义 （包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号），以及这三种函数的第一组诱导公式。 教学过程 问题1：你能回忆一下初中里学过的锐角三角函数（正弦，余弦，正切）的定义吗？ 锐角三角函数定义

问题2：在终边上移动点P的位置,这三个比值会改变吗? 在直角坐标系中,以原点O为圆心,以单位长度为半径的圆叫单位圆 即：锐角三角函数可以用单位圆上的点的坐标来表示 推广: 我们也可以利用单位圆定义任意角三角函数(正弦,余弦,正切) 任意角的三角函数定义: 设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y)，则: 正弦,余弦,正切都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数. (由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系,因此三角函数可以看成是自变量为实数的函数.)

所以三角函数可以记为: 我们把角X的正弦、余弦、正切统称为三角函数 问题3:如何求α角的三角函数值? 求α角的三角函数值即求α终边与单位圆交点的纵、横坐标或坐标的比值。例1： 解： 例2： 事实上: 三角函数也可定义为: 设α是一个任意角,它的终边经过点P(x,y),则

数学人教A版高中必修1任意角的三角函数导学案

2.2.2任意角的三角函数（1） 【学习目标】 1．掌握任意角三角函数的定义，并能借助单位圆理解任意角三角函数的定义 2．会用三角函数线表示任意角三角函数的值 3．掌握正弦、余弦、正切函数的定义域和这三种函数的值在各象限的符号 【学习重点、难点】 任意角的正弦、余弦、正切的定义 【自主学习】 一、复习旧知，导入新课 在初中，我们已经学过锐角三角函数： 角的范围已经推广，那么对任意角是否也能定义其三角函数呢？ 二、建构数学 1．在平面直角坐标系中，设点是角终边上任意一点，坐标为,它与原点的距离，一般地，我们规定： ⑴比值___________叫做的正弦,记作___________,即___________=___________； ⑵比值___________叫做的余弦,记作___________,即___________=___________； ⑶比值___________叫做的正切,记作___________,即___________=___________. 2.当=___________________时, 的终边在轴上,这时点的横坐标等于____________,所以_____________无意义.除此之外,对于确定的角,上面三个值都是______________.所以, 正弦、余弦、正切都是以_________为自变量,以__________为函数值的函数,我们将它们统称为___________________. 3.由于________________________与________________________之间可以建立一一对应关系,三角函数可以看成是自变量为_________________的函数. 4.其中，和的定义域分别是________________；

《任意角的三角函数一》 教案苏教版

数学：1.2.1《任意角的三角函数（一）》教案（苏教版必修4） 第 3 课时：§1.2.1 任意角的三角函数（一） 【三维目标】： 一、知识与技能 1.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义； 2.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域和这三种函数的值在各象限的符号。 3.树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数； 二、过程与方法 1.通过网络载体，利用几何画板的直观演示，培养学生主动探索、善于发现的创新意识和创新精神； 2.在学习过程中通过相互讨论培养学生的团结协作精神； 3.通过学生积极参与知识的"发现"与"形成"的过程，培养合情猜测的能力，从中感悟数学概念的严谨性与科学性。 三、情感、态度与价值观 1.使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度（自变量）与比值（函数值）的一种联系方式； 2.学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神；

3.让学生在任意角三角函数概念的形成过程中，体会函数思想，体会数形结合思想。 【教学重点与难点】： 重点：任意角三角函数的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）。 难点：任意角的三角函数概念的建构过程 【学法与教学用具】： 1. 学法： 2. 教学用具：多媒体、实物投影仪. 3. 教学模式：启发、诱导发现教学. 【授课类型】：新授课 【课时安排】：1课时 【教学思路】： 一、创设情景，揭示课题 用与用坐标均可表示圆周上点，那么，这两种表示有什么内在的联系？确切地说， ● 用怎样的数学模型刻画与之间的关系？ 二、研探新知 1.三角函数的定义 【提问】：初中锐角的三角函数是如何定义的？ 在平面直角坐标系中，设的终边上任意一点的坐标是，它与原点的距离是。当为锐角时，过作轴，垂足为，在中，,,

高考数学《三角函数》专题 任意角的三角函数学案

高考数学《三角函数》专题 任意角的三角函数学案 一、角的概念的推广 1．与角α终边相同的角的集合为 ． 2．与角α终边互为反向延长线的角的集合为 ． 3．轴线角（终边在坐标轴上的角） 终边在x 轴上的角的集合为 ，终边在y 轴上的角的集合为 ，终边在坐标轴上的角的集合为 ． 4．象限角是指： ． 5．区间角是指： ． 6．弧度制的意义：圆周上弧长等于半径长的弧所对的圆心角的大小为1弧度的角，它将任意角的集合与实数集合之间建立了一一对应关系． 7．弧度与角度互化：180o＝ 弧度，1o＝ 弧度，1弧度＝ ≈ o． 8．弧长公式：l ＝ ； 扇形面积公式：S ＝ . 二、任意角的三角函数 9．定义：设P(x, y)是角α终边上任意一点，且 |PO| ＝r ，则sin α＝ ； cos α＝ ；tan α＝ ； 10．三角函数的符号与角所在象限的关系： 12解析式 y ＝sinx y ＝cosx y ＝tanx 定义 域 值 域 13．三角函数线：在图中作出角α的正弦线、余弦线、正切线． － ＋ － + cos x , ＋ ＋ － － sin x , － ＋ ＋ － tan x , x y O x y O x y O αx y O

例1. 若α是第二象限的角，试分别确定2α,2α ,3α 的终边所在位置. 解： ∵α是第二象限的角，∴k·360°+90°＜α＜k·360°+180°（k∈Z ）. （1）∵2k·360°+180°＜2α＜2k·360°+360°（k∈Z ）， ∴2α是第三或第四象限的角，或角的终边在y 轴的非正半轴上. （2）∵k·180°+45°＜2α ＜k·180°+90°（k∈Z ）， 当k=2n （n∈Z ）时， n·360°+45°＜2α ＜n·360°+90°； 当k=2n+1（n∈Z ）时， n·360°+225°＜2α ＜n·360°+270°. ∴2α 是第一或第三象限的角. （3）∵k·120°+30°＜3α ＜k·120°+60°（k∈Z ）， 当k=3n （n∈Z ）时， n·360°+30°＜3α ＜n·360°+60°； 当k=3n+1（n∈Z ）时， n·360°+150°＜3α ＜n·360°+180°； 当k=3n+2（n∈Z ）时， n·360°+270°＜3α ＜n·360°+300°. ∴3α 是第一或第二或第四象限的角. 变式训练1：已知α是第三象限角，问3α 是哪个象限的角？ 解： ∵α是第三象限角，∴180°+k·360°＜α＜270°+k·360°（k∈Z ）， 60°+k·120°＜3α ＜90°+k·120°. ①当k=3m(m∈Z )时，可得 典型例题

任意角的三角函数教学设计

《任意角的三角函数》第一课时教学设计 会宁县第二中学数学教研组曹蕊 一、教学内容分析 本节课是三角函数这一章里最重要的一节课，它是本章的基础，主要是从通过问题引导学生自主探究任意角的三角函数的生成过程，从而很好理解任意角的三角函数的定义。在《课程标准》中：三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用。《课程标准》还要求我们借助单位圆去理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。二、学生情况分析 本课时研究的是任意角的三角函数，学生在初中阶段曾经研究过锐角三角函数，其研究范围是锐角；其研究方法是几何的，没有坐标系的参与；其研究目的是为解直角三角形服务。以上三点都是与本课时不同的，因此在教学过程中要发展学生的已有认知经验，发挥其正迁移。 三、教学目标 知识与技能目标:借助单位圆理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义；能根据任意角的三角函数的定义求出具体的角的各三角函数值；能根据定义探究出三角函数值在各个象限的符号。 方法与过程目标:在定义的学习及概念同化和精致的过程中培养学生类比、分析以及研究问题的能力。 情感态度与价值观: 在定义的学习过程中渗透数形结合的思想。 四、教学重、难点分析： 重点：理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。 难点：引导学生将任意角的三角函数的定义同化，帮助学生真正理解定义。 五、教学方法与策略： 教学中注意用新课程理念处理教材，采用学生自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学，师生互动，教师发挥组织者、引导者、合作者的作用，引导学生主体参与、揭示本质、经历过程. 根据本节课内容、高一学生认知特点，本节课采用“启发探索、讲练结合”的方法组织教学. 六、教具、教学媒体准备： 为了加强学生对三角函数定义的理解，帮助学生克服在理解定义过程中可能遇到的障碍，本节课准备在计算机的支持下，利用几何画板动态地研究任意角与其终边和单位圆交点坐标的关系，构建有利于学生建立概念的“多元联系表示”的教学情境，使学生能够更好地数形结合地进行思维． 七、教学过程 （一）教学情景 1．复习锐角三角函数的定义 问题1：在初中，我们已经学过锐角三角函数．如图1（课件中）在直角△POM中，∠M是直角，那么根据锐角三角函数的定义，∠O的正弦、余弦和正切分别是什么？

2016届高考英语阅读理解七选五教案

阅读理解七选五 学生课前能结合潍坊一模考试题中的“七选五”语篇温故知新。 Read the passage and enjoy it. Do you have a spare room in your house? Do you like to share your driveway in front of your garage with others? Both of these can help you make money. Many people are benefiting from this new business of renting. Perhaps the best-known example of a company in this field is Airbnb – an American web business which allows you to rent out your spare room to holiday makers. It says it operates in 34,000 cities and it has 800,000 listings of rooms and apartments. They seem to have occupied the majority of the market. A British company is doing something with parking spaces. JustPark’s founder, Anthony Eskinazi, says, “when I had the original idea, I spotted a driveway close to a sports stadium. I would have been so convenient if I could have just parked in that driveway rather than in a commercial car park.”And his great idea has proved a success. Around 20,000 people have advertised their spaces on the website, and he says around half a million drivers use it. But the new business of renting has its competitors.They are people who run things like traditional hotels and commercial car parks. They are afraid of ending up losing money. And there is another problem. Regulations for these new businesses are unclear. How will renting out you driveway affect your neighbor? Because this is a new business world, those rules aren’t there yet. (2015.3.潍坊一模统考题) 教师课堂教学活动 一、结合学习目标引领学生明确学习任务。 学习目标： 1. 知道并理解《英语课程标准》和《考试说明》对七选五题型的命题要求。 2.掌握七选五题型的六种常用高效解题方法，熟悉语篇设空规律。 3. 熟练七选五答题步骤，大胆推敲2015年备考方向。 二、合理引导学生分析考题特点、课标要求及考纲要求。 命题特点： 1. 短文一般300词左右（240+60）。 2. 选项为7个完整句子，句型不一。 3. 挖句一般每段一个，可在段中，段首或段尾。 4. 备选项分为主旨概括句（文章整体内容）、过渡性句子（文章结构）和注释性句子（上下文逻

人教版高中数学必修四学案 任意角的三角函数(1)

一、复习：锐角三角函数的定义： 如图：设P(x,y)是角α终边上不同于原点的任意一点，P Ｍ⊥x 轴，∣ＯＰ∣＝r ， 当α为锐角时sin α= ;cos α= ;tan α= . P αr y x y x O M 二、自主学习：自学14P -16P 完成下面的填空： １。三角函数的定义：设P(x,y)是角α终边上不同于原点的任意一点，∣ＯＰ∣＝r ，(r= 22y x +，r ＞0) 则：sin α= ;cos α= ;tan α= . sec α= ;csc α= ;cot α= . 思考：三角函数是函数吗？ 2. 三角函数的定义域：完成下表 三角函数 定 义 域 sin α cos α tan α ３。三角函数符号： sin α= r y ：若y ＞0，则sin α 0;此时α的终边在第 象限或第 象限 或在 上；若y ＜0,则sin α 0;此时α的终边在第 象限或第 象限 或在 上.若y=0,则sin α 0;此时α的终边在 轴上。 cos α= r x ：若x ＞0，则cos α 0;此时α的终边在第 象限或第 象限 或在 上； 若x<0，则cos α 0;此时α的终边在第 象限或第 象限

或在 上.若x=0,则cos α 0;此时α的终边在 轴上。 tan α= x y ，若x 、y 号，则tan α＞0，此时α的终边在第 象限或第 象限 若x 、y 号，则tan α＜0. 此时α的终边在第 象限或第 象限 若y=0, 则tan α 0;此时α的终边在 轴上。 若x=0, 则tan α不存在，此时α的终边在 轴上。 记忆口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦” 四、小结： 五、作业： 1.已知α的终边过点P （4，－3），则下面各式中正确的是（ ） A.sin α= 5 3 B.cos α=- 5 4 C.tan α=- 4 3 D.cot α=- 4 3 2.若角α的终边上有一点P （k k 54 ,53-）（0?k ），则sin α·tan α的值是（ ） A. 15 16 B.－1516 C.1615 D.－16 15 3.已知角α的终边经过点P （a ，b ），其中a ＜0，b ＜0,在α的六个三角函数中，符号为正的是（ ） A.sin α与csc α B.cos α与sec α C.tan α与cot α D.sec α与csc α 4.若角α的终边与直线y=3x 重合，且sin α＜0，又P （m ，n ）是α终边上一点，且 10=OP ，则m －n ＝（ ） A.2 B.－2 C.4 D.－4 5.已知点P （3，y ）在角α的终边上，且满足y ＜0，cos α=5 3 ，则tan α的值为（ ） A.4 3 - B. 3 4 C. 4 3 D.－3 4 6若sin θcos θ＞0，则θ在第 象限。

七选五公开课教学反思

四步互助教学反思 高一英语李晓娅 本节课为高一教材一篇阅读课文和高考题型的整合，教师设计主要结合阅读技巧和阅读内容的内在逻辑性。本节课的目标是学生通过本节课的学习，能够通过练习总结一些七选五的技巧，如固定搭配、关键词、代词和时间顺序等，再运用本课所学技巧完成一篇练习，学以致用。 本节课的引入我非常满意，取得了很好的效果。过程是这样的：老师随机邀请六个学生到教室前面，给他们分发教师写的一首关于每天要做的事情的诗歌，孩子们每人一句，打乱顺序，让他们在音乐结束前把按照时间顺序重新排序。诗歌如下： “Boys and girls in Class 4 Get up as early as birds Brush teeth, wash faces Have breakfast, enjoy classes Do sports and play games Also homework waiting for us! 这个环节的设置有两个作用：一、很好的调动了课堂的气氛，让孩子们以轻松积极的态度进入本节课七选五阅读技巧的学习，让本来看似很沉闷的话题有趣起来。二、按照时间顺序排序，实际上也是本节课的要学生体会总结的一个阅读技巧，是教学的主要内容之一，因此，也为以下的教学埋好了伏笔。 另外，本节课的亮点还有对于文章材料的取舍和整合的效果很好。从内容到形式上，教师选取的两篇文章都有很强的关联性。学生会感

觉自然而然地过渡到技巧的总结。教师在教授过程中，并没有给出所要教的技巧，而是每一步都通过练习、思考、体会，由学生总结出技巧。这才是学生真正得到的东西，只有自己作为思考的主体，才有可能是自己所收获的。 本节课的作业是一篇高考七选五，按照本节课所学，进行巩固练习，第二天课上再进行讲解。效果也很好。 本节课总体比较成功，受到了听课教师的肯定。特别是对于阅读材料的解读与使用，非常有新意。正如一本专业书里所说，“有计划、有目的地渗透阅读技能于教学过程之中，以提高学生的阅读效率，提升获取、整合文本信息的能力。”对于学生阅读技能的提升势在必行，也是未来阅读课的重心之一。 但是，我想还可以让本节课更生动些，更充实些，学生思维可以调动地更积极些，学生说话的机会更多一些，这样，一定会取得更好地效果。这也是我努力的方向。

任意角三角函数学案

1．2．1 任意角的三角函数（1） 【学习目标】 1.能举例说明任意角的三角函数的定义；已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值；能记住三角函数的定义域、值域和各种函数值在各象限的符号； 2.通过对三角函数定义的探究，使同学们认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角 度（自变量）与比值（函数值）的一种联系方式，明白三角函数又是以实数为自变量的函数； 3.通过探究，明白方程与函数的思想、数形结合的思想、转化的思想在三角函数的运用；提高同学们分析、探究、解决问题的能力，培养同学们严谨治学、一丝不苟的科学精神. 【学习重点】 任意角的正弦、余弦、正切的定义及函数的定义域、函数值在各象限的符号 【难点提示】对用角的终边上的点的坐标（比值）来刻画三角函数的理解. 【学法提示】1.请同学们课前将学案与教材1118P -结合进行自主学习（对教材中的文字、图象、表格、符号、观察、思考、说明与注释、例题及解答、阅读与思考、小结等都要仔细阅读）、小组讨论，积极思考提出更多、更好、更深刻的问题，为课堂学习做好充分的准备； 2.在学习过程中用好“十二字学习法”即：“读”、“挖”、“举”、“联”、“用”、“悟”、“听”、“问”、“通”、“总”、“研”、“会”，请在课堂上敢于提问、敢于质疑、敢于讲解与表达. 【学习过程】 一、学习准备 在前面我们学习了函数的概念、性质，一些特殊函数（包括初中的锐角三角函数、三角形、圆等知识）的概念、性质，任意角的概念等，请同学们回顾后完成下列填空： （1）函数的概念是 ； （2）在Rt ABC ?中，设A 对边为a ，B 对边为b ，C 对边为c ，则sinA= 、CosA= ；tanA= ； （3）任意角指的是 ；象限角指的是 ； （4）与α同终边的角的集合S 为 ； （5）两个三角形相似如何判定、有哪些性质与结论？ （6）圆的概念怎样？圆的圆心可为原点吗？圆的半径可以取一个单位吗？ 在（2）中显然是锐角的三角函数的定义，怎样将锐角的三角函数推广到任意角呢？这就是我们本节课要研究的问题！ 二、学习探究 （一）三角函数定义 思考猜想 我们对上面（2）中的锐角三角函数的定义作深入的思考，这个函数的定义域是什么？值域是什么？对应法则是什么？其中最为核心的什么？ 那么在平面坐标系中确定一个任意角α的大小与什么联系的最为紧密？是不是这个角的终边？终边又是什么构成的呢？是不是点？点是不是用坐标表示？ 请同学们大胆猜想，能不能用任意角α上任意一点P 的坐标来定义α的三角函数！ 归纳概括 在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P （除了原点） 的坐标为(),x y ，P 到原点的距离为PO =(0)r r ==>，过点P

任意角的三角函数教案(第一课时)

任意角的三角函数教案（第一课时） 一．教材分析 三角函数是函数的一个基本组成部分，也是一个重要组成部分，在整个高中以至于大学都会经常用到三角函数的知识。初中已经学习过锐角的三角函数，教材第一节学习了任意角的表示方法，这些是学习任意角三角函数的基础。本节课的主要内容是：弦、余弦、正切的定义；正弦、余弦、正切函数的定义域和这三种函数的值在各个象限的符号 二．教学目标 1、理解任意角的三角函数的定义； 2、会求任意角的三角函数值； 3、体会类比，数形结合的思想。 三.重点，难点 教学重点：理解任意角的三角函数的定义。 教学难点：从函数的角度理解三角函数。 四，教学过程 （一） 新课引入 （二） 练习：sin30= cos30= tan30= 那么300度，30000度呢？ 我们已经学习了锐角三角函数，知道它是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数，你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗？ 设锐角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的正半轴重合，那么它的终边在第一象限。在α的终边上任取一点P （a,b ），它与原点的距离r ＝22b a +>0,表示三角函数；

sin α=r b , cos α=r a , tan α=a b .取P ，使r=1,则sin α=b cos α=a tan α=a b ,引入单位圆的概念。 （三） 概念介绍 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P （x,y ），那么， （1） y 叫做α的正弦，记作sin α,即sin α＝y ； （2） x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x ； （3） x y 叫做α的正切，记作tan α，即tan α=x y 。 正弦，余弦，正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数。 （四） 例题讲解 例一 求3 5π的正弦，余弦和正切值。 小结：让学生熟悉三角函数的概念，用单位圆表示三角函数。 例二 已知角α的终边经过p （－3，－4），求角α的正弦，余弦，正切值。 小结：通过这道题的求解，让学生知道质押知道终边上一个点的左边就可以求出三角函数值，于是用角的终边上任意点坐标的比值来定义三角函数和用单位圆是等价的。引导学生思考这种“等价性”的原因，并让他们自己给出新的定义： 角α的终边上一点P （a,b ），它与原点的距离r ＝22b a +>0,则 （1） r b 叫做三角形的正弦，即sin α=r b ; （2） r a 叫做三角形的余弦，即cos α=r a ; （3） a b 叫做三角形的正切，即tan α=.a b

高中数学人教版必修4任意角的三角函数教学设计

高中数学人教版必修4任意角的三角函数教学设计 一、教学内容解析 这是一节关于任意角的三角函数的概念课。 三角函数是高中范围内即指数函数、对数函数和幂函数之后的最后学习的函数，是函数的一个下位概念，与指对数函数、幂函数属于同一抽象（概括）层次。它是一种重要的基本初等函数，是解决实际问题的重要工具，也是学习数学中其他知识内容的基础。 在初中，学生已学过锐角三角函数，知道直角三角形中锐角三角函数等于相应边长的比值。在此基础上，随着角的概念的推广，引入弧度制，相应地将锐角三角函数推广为任意角的三角函数，此时它与三角形已经没有什么关系了。任意角的三角函数是研究一个实数集（角的弧度数构成的集合）到另一个实数集（角的终边与单位圆交点的坐标或其比值构成的集合）的对应关系。认识它需要借助单位圆、角的终边以及两者的交点这些几何图形的直观帮助，这里体现了数形结合的思想，由锐角三角函数到坐标表示的锐角三角函数，再到单位圆上的点的坐标表示的锐角三角函数，直至得到任意角的三角函数的定义，体现了合情推理的思想方法。本节课将围绕任意角三角函数的概念展开，任意角三角函数的概念是本节课的重点，能够利用单位圆认识这个概念是解决教学重点的关键 一、教学目标设置 1、借助终边上一点的坐标理解任意角三角函数的定义： （1）能利用直角坐标系中角的终边上一点的坐标表示锐角三角

函数； （2）能利用直角坐标系中角的终边上一点的坐标表示任意角的三角函数； 2、借助单位圆理解任意角三角函数的定义： （3）能利用直角坐标系中角的终边与单位圆交点的坐标表示锐角三角函数； （4）能利用直角坐标系中角的终边与单位圆交点的坐标表示任意角的三角函数； 3、知道三角函数是研究一个实数集（角的弧度数构成的集合）到另一个实数集（角的终边与单位圆交点的坐标或其比值构成的集合）的对应关系，正弦、余弦和正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数。 4、在借助单位圆认识任意角三角函数概念的过程中，体会数学结合思想，并利用这一思想解决有关定义应用的问题。 三、学生学情分析 1、学生在利用终边上一点的坐标表示锐角三角函数时可能存在障碍，因为之前掌握的是用直角三角形的边长的比值来表示的，要克服这个困难，关键是引导学生联系之前新学的内容，怎样把角放在坐标系内，怎样做出三角形，帮助学生建立终边上点的坐标的比值与直角三角形有过边长的比值的联系。 2、学生在如何使终边上一点的坐标表示锐角三角函数的表达式变得更简洁的这个节点处，联想不到使用单位圆，因为以前没有接触