任意角的三角函数的定义教案

教 案

5.3.1任意角的三角函数的定义

授课教师——王定洲

教学目标：

1.掌握任意角的三角函数的定义；

2.任意角的三角函数和锐角的三角函数的联系和区别；

3.理解角的三角函数值与角终边上点的位置无关；

4.正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域；

5.已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值。 教学重点：

1．掌握并理解任意角的三角函数的定义； 2．会运用任意角的三角函数的定义求函数值。

教学难点：理解角的三角函数值与角终边上点的位置无关； 教学方法：

1．情境教学法；

2．问题驱动教学法及小组讨论法。

教学用具：教学课件．多媒体、实物投影仪、教案、三角板等 教学过程： 一、复习引入

（情境1）前面我们学习了角的概念的推广，通过推广，使角动了起来，同时把角的范围也突破了0度和360度的界限，角可为任意大小。这节课我们要研究的问题是任意角的三角函数。

初中阶段我们学习了锐角的三角函数。

【问题1】在Rt △ABC 中，sin α=斜边

的对边

角α= 、

cos α=

斜边

的邻边

角α= 、tan α=的邻边角的对边角αα= ．

【问题2】如图，在Rt △ABC 中，求sin α,cos α,tan α。（学生口答）

sin α= cos α=

tan α=

4

535

4

4

3A

B C

a b

c

B

二、动脑思考，探索新知

（情境2）我们已经把锐角推广到任意角，锐角三角函数的概念也能推广到任意角。那么我们应如何来给任意角的三角函数下定义呢

将Rt△ABC放在直角坐标系中，使得点A与__________重合，AC边在_______上．设点P（即顶点）的坐标为（x,y）,r为角终边上的点P到_______的距离，则r=________.于是，上面的三角函数的定义可以写作：

sinα=、cosα=、tanα=．

设α是任意大小的角，点(,)

P x y为角α的终边

上的任意一点（不与原点重合），点P到原点的距

离为r＝，那么角α的正弦、余弦、正切分别定义为sin

y

r

α=；cos

x

r

α=；tan

y

x

α=．

提问：1、当角大小发生变化时，比值会改变吗

2、比值会随着点P在终边上的位置改变而改变吗

一般地，在比值存在的情况下，对角α的每一个确定的值，按照相应的对应关系，角α的正弦、余弦、正切、都分别有唯一的比值与之对应，它们都是以角α为自变量的函数，分别叫做正弦函数、余弦函数、正切函数，统称为三角函数．

由定义可以看出：当角α的终边在y轴上时，ππ()

2

k k

α=+∈Z，终边上任意

一点的横坐标x的值都等于0，此时tan y

x

α=无意义．除此以外，对于每一个确定的角α，三个函数都有意义．

正弦函数、余弦函数和正切函数的定义域如下表所示：

三、例题分析例1 已知角α的终边经过点(2,3)P -，求角α的正弦、余弦、正切值． 分析 已知角α终边上一点P 的坐标，求角α的某个三角函数值时，首先要根据

关系式r =P 到坐标原点的距离r ，然后根据三角函数定义进行计算．

解 因为2x =，3y =-，所以

r ，因此

sin

y r α=

=， cos x r α=== 3tan 2

y x α=

=-． 例2求角2

π的正弦、余弦和正切值； 解：由三角函数定义得： 当α=2

π

时

sin y r α=

=1 cos x r α==0； tan y

x

α=不存在． 四、运用知识 强化练习

1.已知角α的终边上的点P 的坐标如下，分别求出角α的正弦、余弦、正切值： ⑴ ()3,4P -； ⑵ ()1,2P -；

2.求下列各角的正弦、余弦和正切值； （1）π （2）32

π

五、课堂小结：

通过本课学习，你有哪些收获

1.任意角的三角函数的定义；

2.知道角的弧度制，并会求该角的三角函数;

3.任意角的三角函数值与终边上点的位置无关，只与角的大小和终边的位置有

关；

4.正弦函数，余弦函数，正切函数的定义域。

【结束语】用任意角的三角函数的定义可以研究三角函数的许多知识，比如三角函数在各象限内的符号下节课我们将继续学习三角函数在各象限内的符号！

六、课后作业

1.完成下表

2.完成书上P

147.练习5.3.1、

任意角的三角函数及基本公式

第 18 讲 任意角的三角函数及基本公式 （第课时） 任意角的三角函数? ? ?? ? ? ? ?? ??? ????? ?? ??????? ±±--?±?+????? ????? ??的函数关系与以及的函数关系 与以及的函数关系与的函数关系与诱导公式倒数关系式 商数关系式平方关系式系式同角三角函数的基本关任意角三角函数定义 弧度制角的概念的扩充三角函数的概念ααπαπααααααα232360180360k 重点：1．任意角三角函数的定义；2．同角三角函数关系式；3．诱导公式。 难点：1．正确选用三角函数关系式和诱导公式；2．公式的理解和应用。 2．理解任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解余切、正割、余割的定义；3．掌握同角三角函数的基本关系式；4. 掌握正弦、余弦的诱导公式。 ⑴ 角可以看成是一条射线绕着它的端点旋转而成的，射线旋转开始的位置叫做角的始边，旋转终止的位置叫做角的终边，射线的端点叫做角的顶点。 ⑵ 射线逆时针旋转而成的角叫正角。射线顺时针旋转而成的角叫负角。射线没有任何旋转所成的角叫零角。 2．弧度制 ⑴ 等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角。用“弧度” 作单位来度量角的制度叫做“弧度制”。 注意：1sin 表示1弧度角的正弦，2sin 表示2弧度角的正弦，它们与?1sin 、?2sin 不是

一回事。 ⑵ 一个圆心角所对的弧长与其半径的比就是这个角的弧度数的绝对值。正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零。 ⑶ 设一个角的弧度数为α，则 r l = α （l 为这角所对的弧长，r 为半径）。 ⑷ 所有大小不同的角组成的集合与实数集是一一对应的，这个对应是利用角的弧度制建立的。 ⑸ 1π=?弧度，1弧度?=)180 ( 。 设扇形的弧长为l ，扇形面积为S ，圆心角大小为α弧度，半径为r ， 则 αr l = ，α22 1 21r lr S == 。 3．角的集合表示 ⑴ 终边相同的角 设β表示所有终边与角α终边相同的角（始边也相同），则 αβ+??=360k （也可记为 απβ+=k 2 Z k ∈） 。 ⑵ 区域角 介于某两条终边间的角叫做区域角。例如 ?+??<

高一函数的概念教案

教学内容 第一部分 知识梳理 知识点一，函数的概念 1．函数的定义 设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数.记作：， x A ． 其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x A}叫做函数的值域. 2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 ①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等(或为同一函数)； ②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关. 3．区间的概念 (1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间； (2)无穷区间； (3)区间的数轴表示． 课题名称 函数及其表示 学科 数学 年级 高一 学校 雷锋中学 课时时长（分钟） 120分钟 知识点 函数的概念 教学目标 会用集合与对应的语言刻画函数； 会求一些简单函数的定义域和值域， 初步掌握换元法的简单运用. 能理解函数与映射的关系与区别。 教学重点 函数概念的理解 教学难点 对于求值域问题能灵活运用各种方法解题

区间表示： {x|a≤x≤b}=[a，b]； ；； . 知识点二、映射与函数 1.映射定义： 设A、B是两个非空集合，如果按照某个对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应叫做从A到B的映射；记为f：A→B. 象与原象：如果给定一个从集合A到集合B的映射，那么A中的元素a对应的B中的元素b叫做a的象，a叫做b的原象. 注意： (1)A中的每一个元素都有象，且唯一； (2)B中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一； (3)a的象记为f(a). 2.函数： 设A、B是两个非空数集，若f：A→B是从集合A到集合B的映射，这个映射叫做从集合A到集合B 的函数，记为y=f(x). 注意： (1)函数一定是映射，映射不一定是函数； (2)函数三要素：定义域、值域、对应法则； (3)B中的元素未必有原象，即使有原象，也未必唯一； (4)原象集合=定义域，值域=象集合. 三、规律方法指导 1.函数定义域的求法 (1)当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合.具体地讲，就是考虑分母不为零，偶次根号的被开方数、式大于或等于零，零次幂的底数不为零以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件. (2)当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义. (3)求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示. 3.函数值域的求法 实际上求函数的值域是个比较复杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域就完全确定了，但求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有： 观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的"最高点"和

任意角的三角函数定义

任意角的三角函数定义 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-

教材：任意角的三角函数（定义） 目的：要求学生掌握任意角的三角函数的定义，继而理解角与=2k+(kZ)的同 名三角函数值相等的道理。 过程：一、提出课题：讲解定义： 1．设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ） 则P 与原点的距离0222 2>+=+=y x y x r （图示见P13略） 2．比值 r y 叫做的正弦 记作： r y =αsin 比值r x 叫做的余弦 记作： r x = αcos 比值x y 叫做的正切 记作： x y = αtan 比值 y x 叫做的余切 记作： y x =αcot 比值x r 叫做的正割 记作： x r =αsec 比值 y r 叫做的余割 记作： y r =αcsc 注意突出几个问题： ①角是“任意角”，当=2k+(kZ)时，与的同名 三角函数值应该是相等的，即凡是终边相同的角的三角函数值相等。 ②实际上，如果终边在坐标轴上，上述定义同样适用。（下面有例 子说明） ③三角函数是以“比值”为函数值的函数

④0>r ，而x,y 的正负是随象限的变化而不同，故三角函数的符号 应由象限确定（今后将专题研究） ⑤定义域： αααtan cos sin ===y y y )(2 Z k k R R ∈+≠π πα αααcsc sec cot ===y y y ) ()(2) (Z k k Z k k Z k k ∈≠∈+≠∈≠παπ παπα 二、例一 已知的终边经过点P(2,3)，求的六个三角函数值 解：13)3(2,3,22 2=-+=-==r y x ∴sin=13133 cos=1313 2 23 cot=32 213 csc=3 13 例二 求下列各角的六个三角函数值 ⑴ 0 ⑵ ⑶ 2 3π ⑷ 2 π 解：⑴ ⑵ ⑶的解答见P16-17 ⑷ 当=2 π 时 r y x ==,0 ∴sin 2π=1 cos 2π=0 tan 2π不存在 cot 2π=0 sec 2π不存在 csc 2 π =1 例三 《教学与测试》P103 例一 求函数x x x x y tan tan cos cos + =的值域 解： 定义域：cosx0 ∴x 的终边不在x 轴上

函数概念教案

函数概念教案 各位领导老师大家好，今天我说课的内容是函数的近代定义也就是函数的第一课时内容。一、教材分析 1、教材的地位和作用： 函数是数学中最主要的概念之一，而函数概念贯穿在中学数学的始终，概念是数学的基础，概念性强是函数理论的一个显著特点，只有对概念作到深刻理解，才能正确灵活地加以应用。本课中学生对函数概念理解的程度会直接影响数学其它知识的学习，所以函数的第一课时非常的重要。 2、教学目标及确立的依据： 教学目标： （1）教学知识目标：了解对应和映射概念、理解函数的近代定义、函数三要素，以及对函数抽象符号的理解。 （2）能力训练目标：通过教学培养学生的抽象概括能力、逻辑思维能力。 （3）德育渗透目标：使学生懂得一切事物都是在不断变化、相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点。 教学目标确立的依据： 函数是数学中最主要的概念之一，而函数概念贯穿整个中学数学，如：数、式、方程、函数、排列组合、数列极限等都是以函数为中心的代数。加强函数教学可帮助学生学好其他的数学内容。而掌握好函数的概念是学好函数的基石。 3、教学重点难点及确立的依据： 教学重点：映射的概念，函数的近代概念、函数的三要素及函数符号的理解。 教学难点：映射的概念，函数近代概念，及函数符号的理解。 重点难点确立的依据： 映射的概念和函数的近代定义抽象性都比较强，要求学生的理性认识的能力也比较高，对于刚刚升入高中不久的学生来说不易理解。而且由于函数在高考中可以以低、中、高挡题出现，所以近年来高考有一种“函数热”的趋势，所以本节的重点难点必然落在映射的概念和函数的近代定义及函数符号的理解与运用上。 二、教材的处理： 将映射的定义及类比手法的运用作为本课突破难点的关键。函数的定义，是以集合、映射的观点给出，这与初中教材变量值与对应观点给出不一样了，从而给本身就很抽象的函数概念的理解带来更大的困难。为解决这难点，主要是从实际出发调动学生的学习热情与参与意识，运用引导对比的手法，启发引导学生进行有目的的反复比较几个概念的异同，使学生真正对函数的概念有很准确的认识。 三、教学方法和学法 教学方法：讲授为主，学生自主预习为辅。 依据是：因为以新的观点认识函数概念及函数符号与运用时，更重要的是必须给学生讲清楚概念及注意事项，并通过师生的共同讨论来帮助学生深刻理解，这样才能使函数的概念及符号的运用在学生的思想和知识结构中打上深刻的烙印，为学生能学好后面的知识打下坚实的基础。 学法：四、教学程序 一、课程导入

任意角的三角函数教案

1.2.1 任意角的三角函数 教学目标 1．知识与技能 (1)掌握任意角的三角函数的定义． (2)已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值． (3)记住三角函数的定义域． 2．过程与方法 (1)通过直角三角形中三角函数定义到单位圆中三角函数定义，最后到直角坐标系中一 般化的三角函数定义，培养学生发现数学规律的思维方法和能力． (2)树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数． (3)通过对定义域介绍，提高学生分析、探究、解决问题的能力． 3．情感、态度与价值观 (1)使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度(自变量)与比值(函数值)的 一种联系方式． (2)学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神． 重点、难点 教学重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号)． 教学难点：利用角的终边上点的坐标刻画三角函数，三角函数的符号以及三角函数的几何意义． 授课类型：新授课 教学模式：启发、诱导发现教学. 新知探究 一、三角函数的定义： 提出问题 问题①:在初中时我们学了锐角三角函数,你能回忆一下锐角三角函数的定义吗? 问题②:你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗? 学习了弧度制,知道了角的集合与实数集是一一对应的,在此基础上,我们来研究任意角的三角函数.

图1 如图1,设锐角α的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的正半轴重合,那么它的终边在第一象限.在α的终边上任取一点P(a,b),它与原点的距离22b a >0.过P 作x 轴的垂线,垂足为M,则线段OM 的长度为a,线段MP 的长度为b. 根据初中学过的三角函数定义,我们有 sinα=OP MP =r b ,cosα=OP OM =r a ,tanα=OP MP =a b . 讨论结果: ①锐角三角函数是以锐角为自变量,边的比值为函数值的三角函数. ②sinα=OP MP =r b ,cosα=OP OM =r a ,tanα=OM MP =a b . 提出问题 问题①:如果改变终边上的点的位置,这三个比值会改变吗?为什么? 问题②:你利用已学知识能否通过取适当点而将上述三角函数的表达式简化? 最后可以发现,由相似三角形的知识,对于确定的角α,这三个比值不会随点P 在α的终边上的位置的改变而改变. 过图形教师引导学生进行对比,学生通过对比发现取到原点的距离为1的点可以使表达式简化. 此时sinα=OP MP =b,cosα=OP OM =a,tanα=OM MP =a b . 在引进弧度制时我们看到,在半径为单位长度的圆中,角α的弧度数的绝对值等于圆心角α所对的弧长(符号由角α的终边的旋转方向决定).在直角坐标系中,我们称以原点O 为圆心,以单位长度为半径的圆为单位圆.这样,上述P 点就是α的终边与单位圆的交点.锐角三角函数可以用单位圆上点的坐标表示. 同样地,我们可以利用单位圆定义任意角的三角函数. 图2 如图2所示,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么: (1)y 叫做α的正弦,记作sinα,即sinα=y; (2)x 叫做α的余弦,记作cosα,即cosα=x; (3)x y 叫做α的正切,记作tanα,即tanα=x y (x≠0). 所以,正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,我们将它们统称为三角函数. 值得注意的是:(1)正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以比值为函数值的函数.(2)sinα不是sin 与α的乘积,而是一个比值;三角函数的记号是一个整体,离开自变量的“sin”“tan”等是没有意义的. 二、例题讲解

任意角的三角函数教学设计

《任意角的三角函数》第一课时教学设计 会宁县第二中学数学教研组曹蕊 一、教学内容分析 本节课是三角函数这一章里最重要的一节课，它是本章的基础，主要是从通过问题引导学生自主探究任意角的三角函数的生成过程，从而很好理解任意角的三角函数的定义。在《课程标准》中：三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用。《课程标准》还要求我们借助单位圆去理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。二、学生情况分析 本课时研究的是任意角的三角函数，学生在初中阶段曾经研究过锐角三角函数，其研究范围是锐角；其研究方法是几何的，没有坐标系的参与；其研究目的是为解直角三角形服务。以上三点都是与本课时不同的，因此在教学过程中要发展学生的已有认知经验，发挥其正迁移。 三、教学目标 知识与技能目标:借助单位圆理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义；能根据任意角的三角函数的定义求出具体的角的各三角函数值；能根据定义探究出三角函数值在各个象限的符号。 方法与过程目标:在定义的学习及概念同化和精致的过程中培养学生类比、分析以及研究问题的能力。 情感态度与价值观: 在定义的学习过程中渗透数形结合的思想。 四、教学重、难点分析： 重点：理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。 难点：引导学生将任意角的三角函数的定义同化，帮助学生真正理解定义。 五、教学方法与策略： 教学中注意用新课程理念处理教材，采用学生自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学，师生互动，教师发挥组织者、引导者、合作者的作用，引导学生主体参与、揭示本质、经历过程. 根据本节课内容、高一学生认知特点，本节课采用“启发探索、讲练结合”的方法组织教学. 六、教具、教学媒体准备： 为了加强学生对三角函数定义的理解，帮助学生克服在理解定义过程中可能遇到的障碍，本节课准备在计算机的支持下，利用几何画板动态地研究任意角与其终边和单位圆交点坐标的关系，构建有利于学生建立概念的“多元联系表示”的教学情境，使学生能够更好地数形结合地进行思维． 七、教学过程 （一）教学情景 1．复习锐角三角函数的定义 问题1：在初中，我们已经学过锐角三角函数．如图1（课件中）在直角△POM中，∠M是直角，那么根据锐角三角函数的定义，∠O的正弦、余弦和正切分别是什么？

高中数学优秀教案 函数的概念《函数的概念》教案

课题：函数的概念(一) 教材：普通高中课程标准实验教材教科数学必修(1) 人教版 授课教师：河南郑州外国语学校乔会娜 2008年10月

【三维目标】 1.会用集合与对应的语言来刻画函数，理解函数符号y=f(x)的含义；通过学习函数概念，培养学生观察问题，提出问题的探究能力，进一步培养学生学习数学的兴趣和抽象概括能力；启发学生用函数模型表述和解决现实世界中蕴含的规律，逐渐形成善于提出问题的习惯，学会数学表达和交流，发展数学应用意识. 2.掌握构成函数的三要素，体会对应关系在刻画函数概念中的作用，使学生感受到学习函数的必要性，激发学生学习的积极性. 【教学重点】正确理解函数的概念，体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型. 【教学难点】函数概念及符号y=f(x)的理解. 【教学方法】诱思教学法，即教师通过问题诱导→启发讨论→探索结果，引导学生直观感知→观察分析→归纳类比→抽象概括，使学生在获得知识的同时，能够掌握方法、提升能力. 【教学手段】多媒体课件辅助教学 【教学过程设计】 一、创设情景引入课题 北京时间2007年10月24日18时05分，万众瞩目的“嫦娥一号”探月卫星成功发射，在“嫦娥一号”飞行期间，我们时刻关注着“嫦娥一号”离我们的距离随时间是如何变化的，数学上用函数来描述这种运动变化中的数量关系. 在初中已学习过函数的概念，函数的概念从运动变化的观点描述了变量之间的依赖关系. 本节将进一步学习函数及其构成要素. 二、观察分析探索新知 1.实例分析 （1）一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击中目标. 炮弹的射高为845m，且炮弹距地面的高度h（单位：m）随时间t（单位：s）变化的规律是：h=130t-5t2. （﹡） 提问：你能得出炮弹飞行5秒、10秒、20秒时距地面多高吗？其中，时间t的变化范围是什么？炮弹距离地面高度h的变化范围是什么？ 炮弹飞行时间t的变化范围是数集} =t A，炮弹距地面的高度h ≤ t 26 {≤ 的变化范围是数集} =h h B. {≤ ≤ 845 从问题的实际意义可知，对于数集A中的任意一个时间t，按照对应关系（﹡），在数集B中都有唯一确定的高度h和它对应.

高中数学任意角的三角函数教案

§1.2.1 任意角的三角函数 教学目标 <一> 知识目标 1、掌握任意角的三角函数的定义。 2、已知角α终边上一点,会求角α的各三角函数值。 3、记住三角函数的定义域和诱导公式（一）。 <二> 能力目标 1、理解并掌握任意角的三角函数的定义。 2、树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数。 3、通过对定义域，三角函数值的符号，诱导公式一的推导，提高学生分析、探究、解决问题的能力。 <三> 德育目标 1、使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度（自变量）与比值（函数值）的一种联系方式。 2、学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神。 教学重难点 任意角的正弦、余弦、正切的定义 （包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号），以及这三种函数的第一组诱导公式。 教学过程 问题1：你能回忆一下初中里学过的锐角三角函数（正弦，余弦，正切）的定义吗？ 锐角三角函数定义

问题2：在终边上移动点P的位置,这三个比值会改变吗? 在直角坐标系中,以原点O为圆心,以单位长度为半径的圆叫单位圆 即：锐角三角函数可以用单位圆上的点的坐标来表示 推广: 我们也可以利用单位圆定义任意角三角函数(正弦,余弦,正切) 任意角的三角函数定义: 设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y)，则: 正弦,余弦,正切都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数. (由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系,因此三角函数可以看成是自变量为实数的函数.)

所以三角函数可以记为: 我们把角X的正弦、余弦、正切统称为三角函数 问题3:如何求α角的三角函数值? 求α角的三角函数值即求α终边与单位圆交点的纵、横坐标或坐标的比值。例1： 解： 例2： 事实上: 三角函数也可定义为: 设α是一个任意角,它的终边经过点P(x,y),则

巩固练习_任意角的三角函数_基础

【巩固练习】 1．角θ的终边经过点12? ? ? ??? ，那么tan θ的值为（ ） A ．12 B ．- C ． D ．2．若角0420的终边上有一点()a ,4-，则a 的值是（ ） A ．34 B ．34- C ．34± D ．3 3．下列三角函数值结果为正的是（ ） A ．cos100° B ．sin700° C ．2tan 3π??- ??? D ．9sin 4π??- ??? 4．化简0sin 390的值是（ ） A ． 12B ．12-C ．5．若42π π θ<<，则下列不等式成立的是（ ） A ．sin θ＞cos θ＞tan θ B ．cos θ＞tan θ＞sin θ C ．sin θ＞tan θ＞cos θ D ．tan θ＞sin θ＞cos θ 6．设α角属于第二象限，且2cos 2cos α α -=，则2 α角属于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 7．若θ为锐角且2cos cos 1-=--θθ，则θθ1cos cos -+的值为（ ） A ．22 B ．6 C ．6 D ．4 8．若cos θ＞0，且sin2θ＜0，则角θ的终边所在象限是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 9．5sin90°+2cos0°―3sin270°+10cos180°=________。 10．若α为第二象限角，则|sin |cos sin |cos | αααα-=________。 11．已知角α的终边经过点(230,2cos30)P sin -o o ，则cos α=。 12．已知角α的终边在直线2y x =上，则sin α=。

高一函数的概念教学设计

高一函数的概念教学设计 一、教学目标 1、知识与技能： 函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．高中阶段不仅把函数看成变量之间 的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段更注重函数模型化的思想与意识． 2、过程与方法： （1）通过实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用； （2）了解构成函数的要素； （3）会求一些简单函数的定义域和值域； （4）能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域； 3、情态与价值，使学生感受到学习函数的必要性的重要性，激发学习的积极性。 二、教学重点与难点： 重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数； 难点：符号“y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示； 三、学法与教学用具

1、学法：学生通过自学、思考、交流、讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标. 2、教学用具：投影仪. 四、教学思路 （一）创设情景，揭示课题 1、复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想； 2、阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想： （1）炮弹的射高与时间的变化关系问题； （2）南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题； （3）“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题 3、分析、归纳以上三个实例，它们有什么共同点。 4、引导学生应用集合与对应的语言描述各个实例中两个变量间的依赖关系； 5、根据初中所学函数的概念，判断各个实例中的两个变量间的关系是否是函数关系． （二）研探新知 1、函数的有关概念 （1）函数的概念：

《任意角的三角函数一》 教案苏教版

数学：1.2.1《任意角的三角函数（一）》教案（苏教版必修4） 第 3 课时：§1.2.1 任意角的三角函数（一） 【三维目标】： 一、知识与技能 1.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义； 2.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域和这三种函数的值在各象限的符号。 3.树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数； 二、过程与方法 1.通过网络载体，利用几何画板的直观演示，培养学生主动探索、善于发现的创新意识和创新精神； 2.在学习过程中通过相互讨论培养学生的团结协作精神； 3.通过学生积极参与知识的"发现"与"形成"的过程，培养合情猜测的能力，从中感悟数学概念的严谨性与科学性。 三、情感、态度与价值观 1.使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度（自变量）与比值（函数值）的一种联系方式； 2.学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神；

3.让学生在任意角三角函数概念的形成过程中，体会函数思想，体会数形结合思想。 【教学重点与难点】： 重点：任意角三角函数的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）。 难点：任意角的三角函数概念的建构过程 【学法与教学用具】： 1. 学法： 2. 教学用具：多媒体、实物投影仪. 3. 教学模式：启发、诱导发现教学. 【授课类型】：新授课 【课时安排】：1课时 【教学思路】： 一、创设情景，揭示课题 用与用坐标均可表示圆周上点，那么，这两种表示有什么内在的联系？确切地说， ● 用怎样的数学模型刻画与之间的关系？ 二、研探新知 1.三角函数的定义 【提问】：初中锐角的三角函数是如何定义的？ 在平面直角坐标系中，设的终边上任意一点的坐标是，它与原点的距离是。当为锐角时，过作轴，垂足为，在中，,,

任意角的三角函数和弧度制 基础练习(含解析)

任意角的三角函数和弧度制 基础练习 一、选择题 1.下列选项中与－80°终边相同的角为（ ） A. 100° B. 260° C. 280° D. 380° 2.在平面直角坐标系中，角 3πα+ 的终边经过点P (1,2)，则sin α=（ ） 3.若5sin 13α=- ，且α为第四象限角，则tan α的值等于( ) A. 125 B. 512- C. 512 D. 125 - 4.小明出国旅游，当地时间比中国时间晚一个小时，他需要将表的时针旋转，则转过的角的弧度数是 ( ) A. π3 B. π6 C. -π3 D. -π6 5.已知角α的终边经过点(sin 48,cos48)P ??，则 sin(12)α?-=（ ） A. 12 C. 12- D. 6.若12cos 13x = ，且x 为第四象限的角，则tanx 的值等于 A 、125 B 、－125 C 、512 D 、－512 7.若函数 ()cos 2()6f x x xf π=+'，则()3f π-与()3f π的大小关系是（ ） A. ()()33f f π π-= B. )3()3(ππf f <- C. )3()3(π πf f >- D. 不确定 8.若θ是第四象限角，则下列结论正确的是（ ） A ．sin 0>θ B ．cos 0<θ C ．tan 0>θ D ．sin tan 0>θθ 9.一扇形的中心角为2，对应的弧长为4，则此扇形的面积为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 10.已知tan 2α ，其中α为三角形内角，则cos α=（） A. 5 - D.

二、填空题 11.若扇形的面积是1 cm 2,它的周长是4 cm,则扇形圆心角的弧度数为______. 12.已知角2α的终边落在x 轴下方，那么α是第 象限角． 13.在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若sin α=1 3，则 sin β=_________． 14.已知一扇形所在圆的半径为10cm ，扇形的周长是45cm ，那么这个扇形的圆心角为 弧度． 15.弧长为3π，圆心角为135°的扇形，其面积为____. 三、解答题 16.已知角α的终边经过点P (54，5 3-)． (1)求 sin α的值． (2) 17.(本小题满分14分)某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点O 为圆心的两个 同心圆弧和延长后通过点O 的两条直线段围成．按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的 半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为x 米，圆心角为θ（弧度）． （1）求θ关于x 的函数关系式； （2）已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为 9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y ，求y 关于x 的函数关系式，并求出x 为何值时，y 取得最 大值？

函数的概念教学设计

函数的概念教学设计 张世君 一、教学目标 1、知识与技能 通过丰富的实例，让学生 ①了解函数是非空数集到非空数集的一个对应； ②了解构成函数的三要素； ③理解函数概念的本质； ④理解f(x)与f(a)（a为常数）的区别与联系； ⑤会求一些简单函数的定义域。 2．过程与方法 在教学过程中，结合生活中的实例，通过师生互动、生生互动培养学生分析推理、归纳总结和表达问题的能力，在函数概念的构建过程中体会类比、归纳、猜想等数学思想方法。 3、情感、态度与价值观 让学生充分体验函数概念的形成过程，参与函数定义域的求解过程以及函数的求值过程，使学生感受到数学的抽象美与简洁美。 二、教学重点、难点 重点：函数的概念以及构成函数的三要素； 难点：函数概念的形成及理解。 三、学法与教学方法 1、学法：采用学生动手实践、独立思考、自主探究与合作交流相结合的学习方式。 2、教学方法：有效教学的课堂模式 四、教学过程 （一）创设情景、提出问题 提问1：初中时函数的概念是如何定义的？ [设计意图：通过提问，学生复习了初中函数的概念，为提问2打下铺垫，为引入本节课题，并为学习高中阶段函数的概念作好准备。] 生：一般地,设在一个变化过程中有两个变量x、y,如果对于x的每一个值,y 都有唯一的值与它对应,那么就说x是自变量,y是x的函数.

提问2： y=1是函数吗？ y=x 与 x x y 2 是相同的函数吗？ 【学情预设：学生可能回答的不尽相同】 [设计意图：通过提问，学生发现利用初中的概念很难回答这两个问题，从而理解了从更深的高度学习函数概念的必要，从而引出了本节课题。] （二）师生互动、探究新知 1、函数的有关概念 师：下面我们共同看生活中的三个例子 例1：一枚炮弹发射后,经过26 s 落到地面击中目标. 炮弹的射高为845 m,且炮弹距地面的高度h(单位: m)随时间t (单位: s)变化的规律是h=130t-5t2. 例2：近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空洞问题．图中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从年的变化情况． 例3：国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高．表中恩格尔系数随时间（年）变化的情况表明，“八五”计划以来，我国城镇居民的生活质量发生了显著变化． 时间（年） 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001

高一数学《函数的概念》教案

教案：§1.2.1函数的概念 教材分析：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段 更注重函数模型化的思想． 教学目的：（1）通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关 系在刻画函数概念中的作用； （2）了解构成函数的要素； （3）会求一些简单函数的定义域和值域； （4）能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域； 教学重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数； 教学难点：符号“y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示； 教学过程： 一、引入课题 1.复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想； 2.阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想： （1）炮弹的射高与时间的变化关系问题； （2）南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题； （3）“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题 3.引导学生应用集合与对应的语言描述各个实例中两个变量间的依赖关系； 4.根据初中所学函数的概念，判断各个实例中的两个变量间的关系是否是函数关 系． 二、新课教学 （一）函数的有关概念 1．函数的概念： 设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数（function）． 记作：y=f(x)，x∈A．

其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域（range）．注意： ○1“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”； ○2函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x．2．构成函数的三要素： 定义域、对应关系和值域 3．区间的概念 （1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间； （2）无穷区间； （3）区间的数轴表示． 4．一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域讨论 （由学生完成，师生共同分析讲评） （二）典型例题 1．求函数定义域 课本P20例1 解：（略） 说明： ○1函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如果课前三个实例； ○2如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合； ○3函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式． 巩固练习：课本P22第1题 2．判断两个函数是否为同一函数 课本P21例2 解：（略） 说明： ○1构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）

任意角的三角函数知识点

2.1任意角的三角函数 课前复习： 1. 特殊角的三角函数值记忆 新课讲解： 任意点到原点的距离公式： 1．三角函数定义 在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P （除了原点）的坐标为(,)x y ， 它与原点的距离为(0)r r == >，那么 （1）比值y r 叫做α的正弦，记作sin α，即sin y r α=； （2）比值x r 叫做α的余弦，记作cos α，即cos x r α=； （3）比值y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan y x α=； （4）比值x y 叫做α的余切，记作cot α，即cot x y α=； 说明：①α的始边与x 轴的非负半轴重合，α的终边没有表明α一定是正角或负角，以及α 的大小，只表明与α的终边相同的角所在的位置； ②根据相似三角形的知识，对于确定的角α，四个比值不以点(,)P x y 在α的终边上的位置的改变而改变大小； ③当()2k k Z π απ=+∈时，α的终边在y 轴上，终边上任意一点的横坐标x 都等 于0，所以tan y x α= 无意义；同理当()k k Z απ=∈时，y x =αcot 无意义； ④除以上两种情况外，对于确定的值α，比值 y r 、x r 、y x 、x y 分别是一个确定的实数。 正弦、余弦、正切、余切是以角为自变量，比值为函数值的函数，以上四种函数统称为三角函数。

当角的终边上一点(,)P x y 1=时，有三角函数正弦、余弦、正切值的几何表示——三角函数线。 有向线段： 坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向。 规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负。 有向线段：带有方向的线段。 2．三角函数线的定义： 设任意角α的顶点在原点O ，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点 P (,)x y ，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过点(1,0)A 作单位圆的切线，它与角α的终边或其反向延长线交与点T . 由四个图看出： 当角α的终边不在坐标轴上时，有向线段,OM x MP y ==，于是有 sin 1y y y MP r α====， cos 1x x x OM r α====，tan y MP AT AT x OM OA α==== 我们就分别称有向线段,,MP OM AT 为正弦线、余弦线、正切线。 （Ⅳ） （Ⅲ）

任意角的三角函数教案(第一课时)

任意角的三角函数教案（第一课时） 一．教材分析 三角函数是函数的一个基本组成部分，也是一个重要组成部分，在整个高中以至于大学都会经常用到三角函数的知识。初中已经学习过锐角的三角函数，教材第一节学习了任意角的表示方法，这些是学习任意角三角函数的基础。本节课的主要内容是：弦、余弦、正切的定义；正弦、余弦、正切函数的定义域和这三种函数的值在各个象限的符号 二．教学目标 1、理解任意角的三角函数的定义； 2、会求任意角的三角函数值； 3、体会类比，数形结合的思想。 三.重点，难点 教学重点：理解任意角的三角函数的定义。 教学难点：从函数的角度理解三角函数。 四，教学过程 （一） 新课引入 （二） 练习：sin30= cos30= tan30= 那么300度，30000度呢？ 我们已经学习了锐角三角函数，知道它是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数，你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗？ 设锐角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的正半轴重合，那么它的终边在第一象限。在α的终边上任取一点P （a,b ），它与原点的距离r ＝22b a +>0,表示三角函数；

sin α=r b , cos α=r a , tan α=a b .取P ，使r=1,则sin α=b cos α=a tan α=a b ,引入单位圆的概念。 （三） 概念介绍 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P （x,y ），那么， （1） y 叫做α的正弦，记作sin α,即sin α＝y ； （2） x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x ； （3） x y 叫做α的正切，记作tan α，即tan α=x y 。 正弦，余弦，正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数。 （四） 例题讲解 例一 求3 5π的正弦，余弦和正切值。 小结：让学生熟悉三角函数的概念，用单位圆表示三角函数。 例二 已知角α的终边经过p （－3，－4），求角α的正弦，余弦，正切值。 小结：通过这道题的求解，让学生知道质押知道终边上一个点的左边就可以求出三角函数值，于是用角的终边上任意点坐标的比值来定义三角函数和用单位圆是等价的。引导学生思考这种“等价性”的原因，并让他们自己给出新的定义： 角α的终边上一点P （a,b ），它与原点的距离r ＝22b a +>0,则 （1） r b 叫做三角形的正弦，即sin α=r b ; （2） r a 叫做三角形的余弦，即cos α=r a ; （3） a b 叫做三角形的正切，即tan α=.a b

任意角的三角函数及同角三角函数的基本关系式同步测试(含答案)

任意角的三角函数及同角三角函数的基本关系式同步测试 一、选择题（每小题5分，共60分，请将所选答案填在括号内） 1．已知的正弦线与余弦线相等，且符号相同，那么的值 为（） A． B． C． D． 2．若为第二象限角，那么的值（） A．正值 B．负值C．零 D．不能确定 3．已知的值（） A．-2 B．2 C． D．－ 4．函数的值域是（） A．{－1，1，3} B．{－1，1，－3} C．{－1，3} D．{－3，1} 5．已知锐角终边上一点的坐标为（则= （）

A． B．3 C．3－ D．－3 6．已知角的终边在函数的图象上，则的值为（）A． B．－ C．或－ D． 7．若那么2的终边所在象限为（） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象 限 D．第四象限 8．、、的大小关系为（） A． B． C． D． 9．已知是三角形的一个内角，且，那么这个三角形的形状 为（） A．锐角三角形B．钝角三角形 C．不等腰的直角三角形 D．等腰直角三角形

10．若是第一象限角，则中能确定为正值有（） A．0个 B．1个 C．2 个 D．2个以上 11．化简（是第三象限角）的值等于（） A．0 B．－ 1 C． 2 D．－2 12．已知，那么的值为（） A． B．－ C．或－ D．以上全错 二、填空题（每小题4分，共16分，请将答案填在横线上） 13．已知则 . 14．函数的定义域是_________. 15．已知，则=______. 16．化简 .

三、解答题（本大题共74分，17—21题每题12分，22题14分） 17．已知 求证：. 18．若, 求角的取值范围. 19．角的终边上的点P和点A（）关于轴对称（）角的终边上的点Q与A关于直线对称. 求 的值. 20．已知是恒等式. 求a、b、c 的值.

高中数学人教版必修4任意角的三角函数教学设计

高中数学人教版必修4任意角的三角函数教学设计 一、教学内容解析 这是一节关于任意角的三角函数的概念课。 三角函数是高中范围内即指数函数、对数函数和幂函数之后的最后学习的函数，是函数的一个下位概念，与指对数函数、幂函数属于同一抽象（概括）层次。它是一种重要的基本初等函数，是解决实际问题的重要工具，也是学习数学中其他知识内容的基础。 在初中，学生已学过锐角三角函数，知道直角三角形中锐角三角函数等于相应边长的比值。在此基础上，随着角的概念的推广，引入弧度制，相应地将锐角三角函数推广为任意角的三角函数，此时它与三角形已经没有什么关系了。任意角的三角函数是研究一个实数集（角的弧度数构成的集合）到另一个实数集（角的终边与单位圆交点的坐标或其比值构成的集合）的对应关系。认识它需要借助单位圆、角的终边以及两者的交点这些几何图形的直观帮助，这里体现了数形结合的思想，由锐角三角函数到坐标表示的锐角三角函数，再到单位圆上的点的坐标表示的锐角三角函数，直至得到任意角的三角函数的定义，体现了合情推理的思想方法。本节课将围绕任意角三角函数的概念展开，任意角三角函数的概念是本节课的重点，能够利用单位圆认识这个概念是解决教学重点的关键 一、教学目标设置 1、借助终边上一点的坐标理解任意角三角函数的定义： （1）能利用直角坐标系中角的终边上一点的坐标表示锐角三角

函数； （2）能利用直角坐标系中角的终边上一点的坐标表示任意角的三角函数； 2、借助单位圆理解任意角三角函数的定义： （3）能利用直角坐标系中角的终边与单位圆交点的坐标表示锐角三角函数； （4）能利用直角坐标系中角的终边与单位圆交点的坐标表示任意角的三角函数； 3、知道三角函数是研究一个实数集（角的弧度数构成的集合）到另一个实数集（角的终边与单位圆交点的坐标或其比值构成的集合）的对应关系，正弦、余弦和正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数。 4、在借助单位圆认识任意角三角函数概念的过程中，体会数学结合思想，并利用这一思想解决有关定义应用的问题。 三、学生学情分析 1、学生在利用终边上一点的坐标表示锐角三角函数时可能存在障碍，因为之前掌握的是用直角三角形的边长的比值来表示的，要克服这个困难，关键是引导学生联系之前新学的内容，怎样把角放在坐标系内，怎样做出三角形，帮助学生建立终边上点的坐标的比值与直角三角形有过边长的比值的联系。 2、学生在如何使终边上一点的坐标表示锐角三角函数的表达式变得更简洁的这个节点处，联想不到使用单位圆，因为以前没有接触