坐标系中求线段长和三角形面积的通用方法

坐标系中求线段长和三角形面积的通用方法

一、学习目标

1、由数轴上两点间的距离转化为坐标系中求线段的长度，进而探索坐标系内任意两点间的距离；

2、运用所掌握的方法解决坐标系内三角形面积的解题策略；

3、体验和感受用“转化”的数学思想，指导我们探究学习数学问题.

二、学习过程

【基础题型】

1、如下图所示，数轴上有A、B两点，分别表示2和-2，C是数轴上一动点.

①求AB的长；②若点C表示的数是x，请用含x的式子表示出AC和BC的长；③若AC=3，求点C.

解析：①AB=2-（-2）=4；②AC=∣x-2∣，BC=∣x-（-2）∣=∣x-2∣；③分两种情况：若点C在点A 的右边，则点C表示的数是5；若点C在点A的左边，则点C表示的数是-1.

点评：（i）绝对值的意义就是表示数轴上两点间的距离，任意实数的绝对值永远为非负数；（ii）数轴上两定点间的距离就是“大数减小数”，更确切可以记为“右减左”；（iii）若数轴上两点是一定一动，则它们的距离可以用含绝对值符号的式子表示出来.

2、如下图，在平面直角坐标系中，直线m和n分别平行于坐标轴，且交于点C，其中，m和y轴交于点D，n和x轴交于点E，已知点A（3，2）和B（1，4）分别在直线m和n上，求：

①点C的坐标；②AC和BC；③若点F（x，0）是x轴上一点，且位于直线n的右侧，表示出△CEF 的面积.若点F位于直线n的左侧呢？

解析：①C（1，2）；②AC=3-1=2，BC=4-2=2；③如下图，当点F位于直线n的右侧时，即x＞1 ，S△CEF=1/2×EF×CE=1/2×（x-1）×2=x-1；当点F位于直线n的左侧时，即x＜1 ，S△CEF=1/2×EF×CE=1/2×（1-x）×2=1-x.

点评：（i）若两点在x轴上，则求它们之间的距离的方法是“右减左”，若两点在y轴上，则求它们之间的距离的方法是“上减下”；（ii）求坐标系中三角形的面积，就是用上面的方法，把底和高分别表示出来后，代入三角形的面积公式化简计算即可.

【转化题型】

1、如下图，在平面直角坐标系中，线段AB位于第一象限内，若A（4，1），B（1，3），则：①求AB的长；②若点C（-1，1）求三角形ABC的面积.

解析：①因为点A和C的纵坐标都是1，所以AC∥x轴，如下图，过点B作BD⊥x轴于点D，交AC 于点E，则BD⊥AC.在Rt△BEA中，AE=3，BE=2，则由勾股定理可算得AB=√13.

②△BCA中，AC=5，BE=2，故三角形ABC的面积=1/2×AC×BE=5.

2、如下图，在平面直角坐标系中，已知：A（-2，1），B（3，4），C（3，2），求S△ABC.

解析：如下图，过点A作AM⊥BC，垂足是M.S△ABC=1/2×BC×AM=1/2×2×5=5.

点评：三角形的三条边中若有和坐标轴平行的边，就以这条边为底，求出这条边上的高，然后利用三角形面积公式求解即可.

本题还可以用补形法求解，比如可分别过点A和C向x轴作垂线，垂足为M和N，如下图所示，则S△ABC=S梯形AMNB-S梯形AMNC. 本篇主旨是探索坐标系中求三角形面积的通用方法，因此其他解法，不再一一赘述.

3、如下图，在平面直角坐标系中，已知：A（-2，1），B（1，4），C（3，2），求S△ABC.

解析：如下图，过点B作BD∥y轴，交AC于点D.设过AC的直线的解析式为y=kx+b，把A（-2，1）和C（3，2）分别代入解方程组，可求得k=1/5，b=7/5，即过AC的直线的解析式为y=1/5x+7/5. 设点D（1，n），代入解析式可得n=8/5. 设△BDA和△BDC的高分别为h1和h2，则S△ABC=S△BDA+S△BDC=1/2×BD×h1+1/2×BD×h2=1/2×BD×（h1+×h2）=1/2×12/5×5=6.

点评：h1+h2的和就是“C的横坐标减去A的横坐标”，可以认为是△ABC水平的宽度，因此，求解坐标系中斜放置的三角形的面积，通常记为“水平宽×竖直高”的一半，其中竖直高就相当于题中BD 的长.

三、学习总结

①坐标轴上两点间的距离，或者是坐标系中横平竖直线上两点间的距离，都可以用“右减左（水平线）”和“上减下（竖直线）”来表示；

②坐标系中斜放置的线段的长度，可以转化为直角三角形中用勾股定理求斜边，或者运用两点间的距离公式：设A（x?,y?）,B(x?,y?)是平面直角坐标系中的两个点,则

③坐标系中处理问题的原则是：作横平竖直的线.

④求三角形的面积时分两种情况：

（i）有一条边在坐标轴上：以在坐标轴上的边为底边，过顶点作垂线，如下图1，S△ABC＝1/2·AB·|y C| （ii）没有边在坐标轴上（即斜放置的三角形），过顶点作平行于坐标轴的直线，如下图2，S△P AC＝1/2·PP′·|x C－x A|，即“水平宽×竖直高的一半”.（这个结论是9年级二次函数综合题中经常用到的公式）

最全面的三角形面积公式

最全面的三角形面积公式 一提到三角形面积公式，大家都知道。 ① 已知三角形的底边长为a , 高为h ，则 三角形面积S= 底 ? 高 ÷2 2 ah = B 实际上，三角形面积公式太多啦，上面得公式是最基本的公式，根据条件不同，三角形面积公式也不同。 ②已知三角形的周长为l ，内切圆半径为r ，则三角形面积2 lr S = ③已知三角形的三边长的乘积为L ，外接圆半径为R ，则三角形面积4L S R = ④已知三角形AOB 中，向量 OA a =uu r r ，OB b =u u u r r ，则三角形面积S = 此公式也适用于空间三角形求面积。 ⑤已知在平面直角坐标系中，三角形ABC 的三顶点坐标分别为，11(,)A x y ，22(,)B x y ， 33C(,)x y , 则三角形面积1 1223 31 1121 x y S x y x y = 的绝对值1223311321321 2 x y x y x y x y x y x y =++---。

特别地，当(0,0)C ，或经过平移后(0,0)C ，此时，三角形面积12211 2S x y x y =-。 ⑥海伦（Heran ）公式，已知△ABC 中，1 ,,,()2 AB c BC a CA b p a b c ====++，则 三角形面积S 我国宋朝时期也有类似的三角形面积公式，即秦九韶公式，也叫三斜求积公式。 S = ⑦已知三角形两边及夹角，则三角形面积公式为 111 sin sin sin 222 S ab C bc A ca B = == ⑧已知三角形两角及夹边，则三角形面积公式为 222sin sin sin sin sin sin 2sin()2sin()2sin() c A B b A C a B C S A B A C B C === +++ ⑨已知三角形两角A 、B 及其中一边的对边a ，则三角形面积公式为 2sin()sin 2sin a A B B S A += ⑩已知空间三角形ABC 的顶点111222333(,,), (,,),(,,)A x y z B x y z C x y z 。 则三角形面积212121313131 11 22 i j k S AB AC x x y y z z x x y y z z =?=------ 的绝对值

公开课《三角形的面积》教案

三角形的面积 教学内容： 人教版五年级上册 教学目标： 1、引导学生用多种方法推导三角形面积的计算公式，理解长方形、平行四边形和三角形之间的内在联系。 2、通过操作使学生进一步学习用转化的思想方法解决新问题。 3、理解三角形的面积与形状无关，与底和高有关，会运用面积公式求三角形面积。 4、引导学生积极探索解决问题的策略，发展动手操作、观察、分析、推理、概括等多种能力，并培养学生的创新意识。 教学重点：理解并掌握三角形面积的计算公式。 教学难点：理解三角形面积的推导过程。 教法与学法：教法：演示讲解、指导实践。 学法：小组合作、动手操作。 教学准备：三角形卡片、多媒体课件 教学过程： 一、情境引入 同学们，我们每天都佩戴着鲜艳的红领巾，高高兴兴地来到学校学习新的知识，那你知道做一条红领巾需要多少布料呢？（不知道）我们佩戴的红领巾是什么形状的？（三角形），怎样计算三角形的面积呢？这节课我们就一起来研究三角形的计算方法（板书课题） 二、探究新知 1、复习平行四边形面积的求法 回忆一下，平行四边形面积计算公式是什么？是怎么推导的？ 我们是先把平行四边形转化成长方形，运用学过的长方形面积的计算公式，找到平行四边形与长方形之间的联系，推导出了平行四边形面积的计算公式，今天这节课，我们继续用转化的数学思想来探索三角形的面积怎样计算。 2、第一次操作实践 怎样把三角形转化成我们所学过的图形呢？请同学们拿出学具袋里的各种三角形，两人一组想一想，拼一拼。（教师巡回指导） 3、交流反馈 谁来说说你是怎样拼的？

（学生汇报并且交流拼法，明确用两个完全一样的三角形能拼成一个平行四边形。）看看这几种拼法它们有什么共同点呢？认真观察，同桌互相说说。 4、第二次操作实践 下面我们再次合作，根据你们转化的图形，找到它们之间的联系，推导出三角形面积的计算公式。（生讨论交流） 学生汇报 师板书：三角形的面积＝底×高÷2 下面请同学再仔细观察所拼成的平行四边形的底与三角形的底，所拼成的平行四边形的高与三角形的高看看有什么发现？ 我们把这种相等的关系叫等底等高。 那么三角形的底乘以三角形的高求出的是什么？（与三角形等底等高的平行四边形的面积。） 为什么除以2呢？（因为三角形的面积是与它等底等高的平行四边形面积的一半，所以要除以2。） 无论什么样的三角形，它的面积都可以转化成平行四边形的面积来计算，所以我们得到三角形的面积公式＝底×高÷2 能用字母表示三角形的面积公式 师板书s=ah÷2（生齐读） 三、运用公式，解决问题 （1）这里有一条红领巾，求它的面积，你需要知道什么条件？你能估测一下这条底边有多长吗？（100厘米） 师：（出示课件）它的高是33厘米，你能计算出它的面积吗？ 四、总结收获 这节课我们运用转化的思想，通过拼摆把三角形转化成与它等底等高的平行四边形，推导出三角形面积公式，大家还有不明白的地方吗？实际上我们还可以运用剪拼或折叠的方法来推导三角形面积公式（课件演示）课下同学们可以动手试一试。 这节课你们最大的收获是什么？（学会了三角形的面积怎样计算；学会了用转化的方法推导三角形的面积计算公式。） 下节课我们继续运用转化的思想探究梯形面积的计算方法。

坐标三角形及其面积

坐标三角形及其面积 坐标三角形 在平面直角坐标系中,直线()0≠+=k b kx y 与两条坐标轴围成的三角形叫做坐标三角形.坐标三角形是直角三角形. 如图（1）所示,直线()0≠+=k b kx y 与x 轴交于点A ?? ? ??-0,k b ,与y 轴交于点B ()b ,0,Rt △AOB 就是一个坐标三角形. 正比例函数的图象不存在坐标三角形. 与坐标三角形有关的问题: （1）已知直线的解析式,求坐标三角形的面积. （2）求原点O 到直线的距离,即求坐标三角形斜边上的高.（等积法） （3）已知坐标三角形的面积,求直线的解析式. 在图（1）中,因为点A ?? ? ??-0,k b 、B ()b ,0,所以 b OB k b k b k b OA ===-=,, △AOB 的面积为k b OB OA S AOB 2212 =?=?. 于是得到下面的结论: 在平面直角坐标系中,直线()0≠+=k b kx y 与两条坐标轴围成的坐标三角形的面积为 k b S 22 =.（只用于解决选择题和填空题,以及某些解答题答案的检验） 图（1）坐标三角形

图（2） 在解决关于坐标三角形的问题时,应注意分类讨论思想的应用. 习题1. 直线4+-=x y 与两条坐标轴围成的三角形的面积为_________. 习题2. 若直线b x y +-=2与两坐标轴围成的三角形的面积为1,则b 的值为【 】 （A ）4 （B ）4- （C ）4± （D ）2± 分析:使用坐标三角形的面积公式k b S 22 =解决问题. 解:由题意可知: 1222 =-b ,解之得:2±=b . 习题3. 已知直线32 1 -= x y . （1）求该直线x 轴、y 轴的交点坐标; （2）求该直线与两条坐标轴围成的三角形的面积. 习题4. 已知一次函数42+=x y . （1）在如图（2）所示的平面直角坐标系中,画出函数的图象; （2）求图象与x 轴的交点A 的坐标,与y 轴的交点B 点的坐标; （3）在（2）的条件下,求△AOB 的面积.

三角形面积的向量方法

三角形面积的向量方法 向量是一个有力的工具,具有代数形式和几何形式的”双重身份”,向量在几何中以得到广泛应 用．三角形是平面几何中最基本、最重要的图形．向量的模与数量积运算具有鲜明的几何背景． 公式 ABC ?中，若向量CB a = ，CA b = ，则ABC S ?= 证明 1sin ,2ABC S a b a b ?=<> == １．利用公式求三角形的面积． 例1．已知ABC ?，点(1,1)A ，(4,2)B ，(3,5)C ，求ABC ?的面积． 解：∵(3,1)AB = ，(2,4)AC = ，∴210AB = ，220AC = ，10AB AC ?= ， ∴ABC S ?=5==． 例2．已知ABC ?中，向量00 (cos23,cos67)BA = ，00(2cos68,2cos22)BC = ，求ABC ?的 面积． 解：由已知，得00(cos23,sin 23)BA = ，00 (2sin 22,2cos22)BC = ，∴1BA = ，2BC = ， ∴00002(sin 22cos23cos22sin 23)BC BA ?=+ 0 2sin 45== ∴ABC S ?==． ２．利用公式和三角函数的性质求三角形面积最值． 例3．平面直角坐标系内有点(sin ,cos )P x x ，(cos ,sin )Q x x ，[,]2412 x ππ ∈-，O 为坐标原点，求OPQ ?面积的最值． 解：OPQ S ?===1 cos 22 x =．

∵[, ]2412x ππ ∈-， ∴当12 x π = 时，OPQ ? 面积的最小值为 4 ；当0x =时，OPQ ?面积的最大值为 12 ． ３．利用公式和均值不等式求三角形面积最值． 例4.已知OAB ?中,OA a = ，OB b = ，且3,2a b a b +=-= ，求OAB ?面积的最大值． 解：∵3,2a b a b +=-= ，∴2229a a b b +?+= ，22 24a a b b -?+= ，解得54 a b ?= ， 22132a b += ，∴OAB S ?= = ≤3 2=， 当且仅当a b == 时，取“=”号． 例 5.已知向量(cos ,sin )OA a αα== ，(cos ,sin )OB b ββ== ，a 与b 之间有关系 式 ka b kb +=- ，（0k > ，且2k ≠，O 为坐标原点，求AOB ?面积的最大值，并求 此时a 与b 的夹角θ． 解：将ka b kb +=- 两边平方，得222222 23(2)k a ka b b a ka b k b +?+=-?+ ∵1a b == ，∴2 2213(12)k ka b ka b k +?+=-?+ ，又∵0k >，∴111()42a b k k ?=+≥ ， 当且仅当1k =时取“= ”号．∴AOB S ?= = ≤ 4= ∴AOB ? 此时12a b ?= ，∴1c o s 2 a b a b θ?== ，∵000180θ<<，∴0 60θ=．

三角形面积公式5种推导方法

三角形面积公式的五种推导方法 三角形面积的计算》一节，教材上是这样安排的：一、明确目标；二、用数格的方式不能确定三角形的面积；三、能否转化成以前学过的图形进行计算？四、拿两个全等的直角三角形可以拼成以前学习过的学习过的长方形和平行四边形，直角三角形的面积是长方形和平行四边形面积的一半；五、验证锐角三角形和钝角三角形是否也能拼成平行四边形；六、三次试验确定所有类型的三角形能转化成平行四边形，两者的关系是“等底等高，面积一半”；七、总结三角形的面积公式。 我们在多次的课堂教学实践和课下辅导过程中，发现上面的几个“环节”有些地方不太符合学生的认知特点。具体分析一下： 第一步没什么问题，每个教师都有自己的导入新课的方式。 第二步也没有什么：学生在学习长方形和正方形的面积时用的是“数格”的方式。学习平行四边形时用的是切割再组合的方式，就是所谓的“转化”。在大部分学生对面积这个概念的理解还不十分透彻的情况下，面对三角形，学生们的首选方法就是“数格”。因为这是学生学习有关面积计算的第一经验，第一印象，第一个技巧。也是最简单，最直接（当然也是最麻烦）的方法。 关于第三步：教材上只有一句话：能不能把三角形转化成已经学过的图形再计算面积。这是化未知为已知的思维方式，我们常给初中学生提起这些认知策略，但它的基础却在小学阶段和学生的日常生活经验中。教材把这个重要的数学思想一笔带过，把挖掘其内涵，为学生建立辩证观念的重任留给了老师。但很多老师并不特别重视这句话，只是把它当作一个过渡句，当成进入下面环节的引言。 第四步。转化是一定的。但是，转化成什么？怎么转化？把三角形转化成“能计算的图形”大致有五种情况。教材推荐的是第五种（如图）。教材上的引导方式只有教师的主导性，而忽视了学生的主体位置。 前面提到，学生计算三角形面积的首选方法是数格，那么次选方法是什么？他们的第二方案应该还是在自己的经验中寻找帮助。这些经验当中，与计算面积有关的直接、简单、容易操作的内容就是在前面的几节课刚学过的“切割平行四边形成长方形”的方法。他们对“切割”这个动作记忆犹新。因为：一、这个技巧刚刚学过；二、切割是个动作，但这个动作能把不规则变规则，所以印象深刻；三、这个简单的动作能完成面积计算的任务。所以他们的下一步动作会是模仿上一节课的做法，想办法切割三角形的某一角移动填补另一角，变三角形成长方形或平行四边形。按这个说法，学生在寻找计算三角形面积的方法时，他首先会在他手中所拿的三角形卡片上琢磨，对这个三角形进行加工处理。在不得要领，或是找到了办法，问题解决了，但心有余味，继续探索下去时才会考虑到利用其他内容扩展思考空间，再找一个一样的三角形牵线搭桥，把思路引到问题的外面。

小学数学三角形面积大小公式计算方法

小学数学三角形面积大 小公式计算方法 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998

三角形公式 s面积a底h高 面积=底×高÷2 s=ah÷2 三角形高=面积×2÷底 三角形底=面积×2÷高 1、用20厘米的铁丝围成一个三角形，最长的一条边一定小于（）厘米。 2、一个三角形至少有（）个锐角。 3、在一个三角形中，如果两个锐角的和小于90度，那么这个三角形一定是（）三角形。 4、凸六边形的内角和一定是（）度。 5、用一根30厘米的铁丝可以围成一个腰长（）厘米，底边（）厘米的等腰三角形。 6、等边三角形一定是（）三角形。 7、最大的角是87°的三角形一定是（）三角形。 8、列式计算： 已知∠1、∠2、∠3是三角形的三个内角。？ 1. ∠1=40°，∠2的度数是∠1的3倍，求∠3 2. ∠1=80°，∠2比∠1小20°，求∠3。 3. ∠1=∠2，∠3比∠1大30°，求∠3 4. ∠1=∠2，∠3的度数是∠1的1倍，求∠3 一、填空。 1．一个三角形有（）条高。 2．已知三角形的两个角都是50度，那么另一个角是（）度，这是（）三角形。？ 3．一个三角形中，至少有（）个锐角，最多有（）个直角。 4．三角形具有（）性，平行四边形容易（）。 二、判断，对的打"√"、错的打"×"。 1．从一点引出两条线就组成一个角。（）？ 2．由三条线段组成的图形叫做三角形。（） 3．所有的正三角形都是锐角三角形。（） 4．面积相等的三角形，形状也一定相等。（） 5．如果三角形中最大的一个角是锐角，那么这个三角形一定是锐角三角形。（）

坐标系内三角形面积的求法

坐标系内三角形面积的求法 平面直角坐标系内三角形面积的计算问题，是一类常见题型，也是坐标系内多边形面积计算的基础，那么如何解决这类问题呢？ 一、三角形的一边在坐标轴上 例1 如图1，三角形ABC 的三个顶点的坐标分别是A(4,0),B(-2,0),C(2,4),求三角形ABC 的面积. 分析：要求三角形的面积，需要分别求出底边及其高.由图1可知，三角形ABC 的边AB 在x 轴上，容易求得AB 的长，而AB 边上的高，恰好是C 点到x 轴的距离，也就是C 点的纵坐标的绝对值. 解：因为A(4,0),B(-2,0),所以AB=4-（-2）=6.因为C(2,4),所以C 点到x 轴的 距离，即AB 边上的高为4，所以三角形ABC 的面积为12462 1=??. 二、三角形有一边与坐标轴平行 例1 如图2，三角形ABC 三个顶点的坐标分别为A （4，1），B （4，5），C （-1，2），求三角形ABC 的面积. 分析：由A （4，1），B （4，5）两点的横坐标相同，可知边AB 与y 轴平行，因而AB 的长度易求.作AB 边上的高CD ，则D 点的横坐标与A 点的横坐标相同，也是4，这样就可求得线段CD 的长，进而可求得三角形ABC 的面积. 解：因为A ，B 两点的横坐标相同，所以边AB ∥y 轴，所以AB=5-1=4. 作AB 边上的高CD ，则D 点的横坐标为4，所以CD=4-（-1）=5，所以三角形ABC

的面积为10542 1=??. 三、坐标平面内任意三角形的面积 例3 如图3，在直角坐标系中，三角形ABC 的顶点均在网格点上.其中A 点坐标为（2，-1），则三角形ABC 的面积为______平方单位. 分析：本题中三角形ABC 的任何一边都不在坐标轴上或与坐标轴平行，因此直接运用三角形的面积公式不易求解.可运用补形法，将三角形补成长方形，从而把求一般三角形面积的问题转化为求长方形面积与直角三角形面积的问题. 解：由题意知，B （4，3），C(1,2).如图4，过点A 作x 轴的平行线，过点C 作y 轴的平行线，两线交于点E.过点B 分别作x 轴、y 轴的平行线，分别交EC 的延长线于点D ，交EA 的延长线于点F.则长方形BDEF 的面积为3×4=12，三 角形BDC 的面积为5.13121=??, 三角形CEA 的面积为5.1312 1=??，三角形ABF 的面积为4422 1=??.所以三角形ABC 的面积为: 长方形BDEF 的面积 - （三角形BDC 的面积+三角形CEA 的面积 + 三角形ABF 的面积）=12-(1.5+1.5+4)=5（平方单位）.

三角形、平行四边形面积的向量公式

1 三角形、平行四边形面积的向量公式 提到三角形的面积，C ab ah S sin 2 121==应该算最为简捷的两个，尤其是后者，在已知三角形的两边 及其夹角（正弦值）的条件下求三角形面积，常常与正、余弦定理互动也是情理之中的事．下面我们通过 一道高考题，伺机请出三角形面积公式的向量代言人． 引例 （2010年高考辽宁卷8）平面上B A O ,,三点不共线，设=OA a ，=OB b ，则OAB ?的面积等 于（ ） A ．222)(||||b a b a ?- B ．222)(||||b a b a ?+ C ．222)(||||21b a b a ?- D ．222)(||||2 1b a b a ?+ 解：)cos 1(21sin 21222C OB OA C OB OA S OABC -=?=?=-=C b a b a 22222cos ||||||||2 1 222)(||||2 1b a b a ?-．选C ． 因为2222||,||b b a a ==，所以上述公式还可以化为222)(2 1b a b a ?-，意识到没有，之所以写成选项中的形式，可能是怕有同学误认为222)(ab b a =，随手接着一化，得OAB ?的面积等于0！然后开始怀疑人生． 其实这道高考题是有渊源的，现在让它卸了妆，它就变成这样子：已知ABC ?中，=a ，=b ，试用b a ,的向量运算式子表示ABC ?的面积，即=?ABC S ____________________．它是谁？它是2004年全国高中数学联赛湖南预赛第12题．好尴尬呀，说出去的话泼出去的水，悔不该揭它老底儿！ 上述公式便是三角形面积的向量代言人之一，当题目含有公式需要的向量条件时，可考虑让它出手． 例1 （2012年全国高中数学联赛5）在ABC ?中，若7=? 6=-，则ABC ?面积的最大值为 ． 分析：因为7=?，所以只需求出||||?的最大值即可. 解：6=-两边平方，得362||||22=?-+，所以50||||22=+，所以(2 1||||≤?25)||||22=+，当且仅当5||||==时，等号成立． 所以ABC ?面积的最大值为127252 122=-． 评注：本例还可以用几何法求解：记BC 的中点为M ，则() +=21,

小学五年级数学《三角形的面积》

《三角形的面积》 五年级数学教案 教学目标： １、使学生理解和掌握三角形面积计算的公式，能够应用公式计算三角形的面积 ２、经历探索三角形面积计算方法的过程，培养学生抽象概括的能力 ３、在解决实际问题的过程中体验数学与生活的联系 教学重点： 探索并掌握三角形面积计算公式，能正确计算三角形的面积。 教学难点： 理解三角形面积是同底（长）等高（宽）的平行四边形面积的 一半。 教学关键： 让学生经历操作、合作交流、归纳发现和抽象公式的过程。 教具准备： 三组三角形（直角三角形，锐角三角形，钝角三角形） 学具准备: 每个小组至少准备完全一样的直角三角形、锐角三角形、钝角三角形各两个教学过程：

●一、创设情境，揭示课题 复习：平行四边形的面积公式。 大家都是少先队员吗？是少先队员就要佩戴红领巾，那你有没有观察过你所戴的红领巾是什么形状的呢？（三角形）那你有办法计算出它的面积吗？今天就让我们来学习 “三角形的面积”（板书课题） （屏幕出示红领巾图） ●二、动手操作，自主探究 1、大家想一想，我们学过的三角形可以分成几类呢？ （板书：锐角三角形，直角三角形和钝角三角形） 此时在黑板上呈现出提前准备好的三角形教具，并贴在黑板上。 （将三角形的高和底分别表在图上） 将任意一组三角形（大小相等）发给学生， 提问： 上节课，我们把平行四边形转化成长方形来探索平行四边形面积的计算公式的。大家猜一猜：能不能把三角形也转化成已学过的图形来求面积呢？ 讨论并试着回答问题： （1）三角形的面积与转化后的图形的面积有什么关系？ （2）三角形的底与高和转化后的图形的（）与（）有关，有什么关系？ （3）利用转化的图形，你能找到计算三角形面积的方法吗？

平面直角坐标系中三角形面积的求法

平面直角坐标系中面积的求法 姓名：家长签字： 1、在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为：（2，5）、（6，-4）、（-2，0），且边AB与x轴相交于点D，求点D的坐标。 2、在平面直角坐标系中，A（-5，0）、B（3，0），点C在y轴上，且△ABC的面积为12，求点C的坐标。 3、在平面直角坐标系中，P（1，4），点A在坐标轴上，4 PAO S=，求点P的坐标。 4、已知，点A（-2，0）、B（4，0）、C（2，4） （1）求△ABC的面积； （2）设P为x轴上一点，若 1 2 APC PBC S S =，试求点P的坐标。 5、在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（1，-1）、B（-1，4）、C（-3，1），（1）求△ABC的面积； （2）将△ABC先向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，求线段AB扫过的面积。 6、在直角坐标系中，A（-4，0）、B（2，0）、点C在y轴正半轴上，18 ABC S=，（1）求点C的坐标； （2）是否存在位于坐标轴上的点P，使得 1 2 APC ABC S S =。若存在，请求出P的坐标，若不存在，说 明理由。

7、在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（-1，0）、（3，0），现同时将点A、B分别向上平移2个 单位，再向右平移1个单位，分别得到点A、B的对应点C、D，连接AC、BD。 （1）求点C、D的坐标及四边形ABDC的面积； （2）在y轴上是否存在一点P，连接PA、PB，使 1 2 APB ABDC S S 四 ，若存在这样的点，求出点P的坐 标，若不存在，试说明理由。 8、如图，已知长方形ABCO中，边AB=8，BC=4。以O为原点，OAOC所在的直线为y轴和x轴建立直角坐标系。 （1）点A的坐标为（0，4），写出B、C两点的坐标； （2）若点P从C点出发，以2单位/秒的速度向CO方向移动（不超过点O）,点Q从原点O出发，以1单位/秒的速度向OA方向移动（不超过点A），设P、Q两点同时出发，在他们移动过程中，四边形OPBQ的面积是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求变化的范围。 9、在平面直角坐标系中，已知O是原点，四边形ABCD是长方形，A、B、C的坐标分别是A（-3，1）、B （-3，3）、C（2，3）。 （1）求点D的坐标； （2）将长方形ABCD以每秒1个单位长度的速度水平向右平移，2秒钟后所得的四边形A1B1C1D1四个顶点的坐标各是多少？ （3）平移（2）中的长方形A1B1C1D1 ，几秒钟后△OB1D1 的面积等于长方形ABCD的面积？

向量方法和解三角形

向量方法和解三角形 一、向量方法 1．已知ABC ?，若对任意R t ∈，BA tBC AC -≥ ，则ABC ?一定为 A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．斜三角形 2．已知,a b 是单位向量，且,a b 的夹角为3 π，若向量c 满足|2|2c a b -+= ，则||c 的最大值为（ ） A.2 2 2 2 3．M 是ABC ?所在平面上的一点，且D ,23 23=++是AC 中点， 的值为（ ） A. 13 B.1 2 C.1 D.2 4．如图所示，A 、B 、C 是圆O 上的三点，CO 的延长线与线段AB 交于圆内一点D ，若OC = xOA yOB + ，则 （ ） A.01x y <+< B.1x y +> C.1x y +<- D.10x y -<+< 5．在圆O 中，若弦6AB =，弦10AC =，则AO ·BC 的值是 A.－16 B ．－2 C ．32 D ．16 6．在四边形ABCD 中，13 DC AB = ，E 为BC 的中点，且AE x AB y AD =?+? ， 则32x y -= . 7．如图，ABC ? 是边长为P 是以C 为圆心，1为半径的圆上 的任意一点，则AP BP = 8．在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，P 为以A 为圆心，AB 为半径的圆弧上的任 意一点，设向量的最小值为则μλμλ++=,AP DE AC . 9．已知点P 在△ABC 所在的平面内，若2PA ＋3PB ＋4PC ＝3AB ，则△PAB 与 △PBC 的面积的比值为__________． 10．如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ,1,3AD CD AB ===，动点P 在BCD 内运动（含边界），设AP AD AB αβ=+ ，则αβ+的最大值是 ． E D C B A P B A C

三角形的面积计算公式

三角形的面积计算公式 三角形的面积计算公式1.已知三角形底a，高h，则 S＝ah/22.已知三角形三边a,b,c，则（海伦公式）（p=(a+b+c)/2）S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]=（1/4）√[(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)]3.已知三角形两边a,b,这两边夹角C，则S＝1/2 * absinC4.设三角形三边分别为a、b、c，内切圆半径为r则三角形面积=(a+b+c)r/25.设三角形三边分别为a、b、c，外接圆半径为R则三角形面积=a bc/4R6.S△=1/2 *| a b 1 || c d 1 || e f 1 || a b 1 || c d 1 | 为三阶行列式,此三角形ABC在平面直角坐标系内A(a,b),B(c,d), C(e,f),这里ABC| e f 1 |选区取最好按逆时针顺序从右上角开始取，因为这样取得出的结果一般都为正值，如果不按这个规则取，可能会得到负值，但不要紧，只要取绝对值就可以了，不会影响三角形面积的大小！7.海伦--秦九韶三角形中线面积公式:S=√[(Ma+Mb+Mc)*(Mb+Mc-Ma)*(Mc+Ma-Mb)*(Ma+Mb-Mc)]/3其中Ma,Mb,Mc为三角形的中线长.8.根据三角函数求面积S= &frac12;ab sinC=2R&sup2; sinAsinBsinC= a&sup2;sinBsinC/2sinA注:其中R为外切圆半径。9.根据向量求面积SΔ)= &frac12;√(|AB|*|AC|)&sup2;-（AB*AC）

三角形的面积可以怎样求

三角形的面积可以怎样求呢？（出示有小方格的三角形图，引导学生用可以用数方格的方法数出三角形的面积） 2、用数方格的方法求三角形的面积可以用来求很小的三角形，如果要计算一块很大面积的三角形呢？我们用数小方格的方法求就会非常麻烦，那我们还可以用什么方法来求呢？ 活动二：自主探究，合作交流。 1、复习平行四边形面积是怎样推导出来的。 2、三角形面积公式的推导 请同学们拿出课前发下去的三角形，仿照我们推导平行四边形面积的方法，着拼一拼，看能不能推导出三角形的面积公式。操作前，老师提醒大家注意一下几个问题： （1）选择两个一样的三角形拼图，看能拼出什么图形？ （2）尝试着计算拼出的图形的面积。 拼出的图形与原来的三角形有什么联系？（屏幕出示） （3）学生分小组进行操作实践活动，老师到座位上指导巡查。 （4）小组汇报交流操作结果 展示一：用两个完全一样的直角三角形拼成一个长方形，三角形的一条直角边（底）相当于长方形的长，另一条直角边（高）相当于长方形的宽，长方形的面积相当于三角形面积的两倍，因为长方形的面积=长×宽，所以，三角形的面积=底×高÷2。 展示二：两个完全一样的锐角三角形、两个完全一样的钝角三角形拼成一个平行四边形，平行四边形的底相当于三角形的底，平行四边形的高相当于三角形的高，平行四边形的面积相当于三角形的2倍，平行四边形的面积=底×高，所以三角形的面积=底×高÷2。 展示三：两个完全一样的等腰直角三角形可拼成一个正方形。 小结：通过动手操作我们发现，两个完全一样的三角形都可以拼成一个平行四边形（或长方形或正方形）这个平行四边形的底相当于三角形的底，平行四边形的高相当于三角形的高，因为每个三角形的面积等于拼成的平行四边形面积的一半，所以，推出： 平行四边形的面积= 底×高三角形的面积= 底×高÷2 3、用剪拼的方法推导三角形面积的计算。 除了刚才我们用的拼凑三角形面积公式推导方法外，下面请同学们再用剪拼的方法进行推导。要求：（1）小组进行讨论：怎样剪拼可以推导出三角形的面积公式？

平面直角坐标系中三角形面积的求法

平面直角坐标系中面积的求法 交于点D,求点D 的坐标。 P （ 1，4），点A 在坐标轴上， S VPAO 4，求点P 的坐标。 4、已知，点 A （-2，0）、B （4，0）、C （2，4） （1 ）求厶ABC 的面积； 1 （ 2 ）设P 为X 轴上一点，若S vAPC S/PBC ，试求点P 的坐标。 2 5、在平面直角坐标系中，△ ABC 的顶点坐标分别为 A （ 1，-1 ）、B （-1，4）、C （ -3，1）， （1 ）求厶ABC 的面积； （2）将厶ABC 先向下平移2个单位长度，再向右平移 3个单位长度，求线段 AB 扫过的面积。 6、在直角坐标系中，A （ -4，0）、B （ 2，0）、点C 在y 轴正半轴上，S MBC 18， （1） 求点C 的坐标； 1 （2） 是否存在位于坐标轴上的点 P,使得S/APC 1 S/ABC 。若存在，请求出P 的坐标，若不存在，说 1、在平面直角坐标系中，△ 姓名: ABC 的三个顶点的坐标分别为: 家长签字: （2, 5）、（ 6，- 4 ）、（ -2， 0），且边AB 与x 轴相 2、在平面直角坐标系中, A （-5，0）、 B （ 3，0），点 C 在y 轴上，且△ ABC 的面积为 12，求点C 的坐标。 3、在平面直角坐标系中,

明理由。

7、在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为(-1 , 0)、(3, 0),现同时将点A B分别向上平移2个单位，再向右 平移1个单位，分别得到点A、B的对应点C D,连接AC BD (1)求点C D的坐标及四边形ABDQ的面积； (2)在y轴上是否存在一点P,连接PA PB使S VAPB 若不存在，试说明理由。 &如图，已知长方形ABCO中，边AB=8, BC=4以O为原点，OAOC所在的直线为y轴和x轴建立直角坐标系。 (1 )点A的坐标为(0, 4)，写出B、C两点的坐标； (2)若点P从C点出发，以2单位/秒的速度向CO方向移动(不超过点C)，点Q从原点O出发，以1单位/秒的速度向OA方向移动(不超过点A)，设P、Q两点同时出发，在他们移动过程中，四边形OPBQ勺面积是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求变化的范围。 9、在平面直角坐标系中，已知O是原点，四边形ABCD是长方形，A、B C的坐标分别是A (-3 , 1)、B( -3 , 3)、C (2, 3 )。 (1)求点D的坐标； (2)将长方形ABCD以每秒1个单位长度的速度水平向右平移，2秒钟后所得的四边形A1B1C1D四个顶点的坐标各是多少？ (3)平移(2)中的长方形A1B1C1D1，几秒钟后△ OBD的面积等于长方形ABCD勺面积？

三角形的面积

《三角形的面积》教学设计 教学内容： 人教版义务教育课程标准实验教科书《数学》五年级上册P84～P85的内容，三角形的面积。 教材分析： 三角形面积的计算方法是小学阶段学习几何知识的重要内容，也是学生今后学习的重要基础。《数学课程标准》中明确指出：利用方格纸或割补等方法，探索并掌握三角形、平行四边形和梯形的面积公式。学生在学习三角形面积的计算方法之前，已经亲身经历了平行四边形面积计算公式的推导过程，当学生面临三角形面积计算公式的推导过程时，可以借鉴前面“转化”的思想，且为今后逐渐形成较强的探索能力打下较为扎实的基础。 教学目标： 1、使学生理解三角形面积公式的推导过程，并能正确的计算三角形的面积。 2、培养学生分析、推理的能力和实际操作的能力。 3、通过三角形面积计算公式的推导，引导学生运用转化的思考方法探索规 律，培养学生思维的灵活性，发展学生的空间观念。 4、培养学生学习数学的情感和兴趣，懂得运用数学知识解决生活中的问题。教学重、难点： 重点：用转化的方法探索三角形的面积公式，能正确计算三角形的面积。 难点：理解三角形面积公式的推导过程和公式的含义，根据计算公式灵活解决实际问题。 教学关键： 让学生经历操作、合作交流、归纳发现和抽象公式的过程。 教具准备： CAI课件、红领巾、信封若干（内有三角形）、实验报告表

教学过程： 一、情境导入，揭示课题 师：在我们美丽的校园里，有块平行四边形的空地，它的面积怎样计算的？（课件出示校园图，根据学生回答，老师贴出平行四边形并板书：平行四边形的面积=底×高） 师：你还记得平行四边形面积的计算方法怎样推导的吗？（生：是通过把平行四边形转化成长方形推导出来的；老师根据学生回答板书：转化） [设计意图：在课的开始，先让学生回忆平行四边形面积的计算方法，使学生复习旧知，为探究三角形面积的计算打下基础，使学生在后面的探究中很容易想到采用像研究平行四边形面积计算方法一样来探讨三角形的面积的计算方法。] 师：现在园丁叔叔要把它沿着对角线斜着平分成2块，一块种菊花，一块种牵牛花，请看，每块花地是什么形的？（课件出示分法：分出2个三角形）师：每块花地的面积是多少，该如何计算？大家想知道吗？（生：想）好，咱们就一起来研究三角形的面积计算方法。（老师出示课题：三角形的面积）[设计意图：通过园丁叔叔分花地，学生在观察的基础上通过与平行四边形及面积的比较，直觉感知三角形面积计算规律，增强了整体意识，同时为下面的进一步探究，诱发了心理动机；又用学生身边的具体事物——校园花地为媒介，引出要探讨的问题：三角形的面积怎样计算，不仅设置了悬念，同时还让学生感受到生活中处处都有数学问题，可以激发学生的探知欲望，从而将“教”的目标转化为学生“学”的目标。] 二、操作“转化”，推导公式 1、寻找思路 师：我们能不能也学学推导平行四边形面积的方法，把三角形也转化成已学过的图形来推导呢？ 师：想一想，将三角形转化成学过的什么图形？ [设计意图：学生由于有平行四边形面积公式的推导经验，必然会产生：能不能把三角形也转化成已学过的图形来求它的面积呢？从而让学生自己找到新旧知识间的联系，使旧知识成为新知识的铺垫。]

平面直角坐标系中三角形面积的求法

-2 x y 2 34 1 -1 -3 -40 -3-2-12 1 4 3 D C B A 平面直角坐标系中三角形面积的求法 13如图所示,C,D两点的横坐标分别为2,3,线段CD=1;B,D两点的横坐标分别为-2,3,线段BD=5;A,B两点的横坐标分别为-3,-2,线段AB=1. (1)如果x轴上有两点M(x1,0),N(x2,0)(x1

例3 如图2,平面直角坐标系中，已知点A（-3，-1），B（1，3），C（2，-3），你能求出三角形ABC的面积吗？ 21.（6分）如图，在三角形AOB中，A、B两点的坐标分别为（2,4）、（6，2），求三角形AOB 的面积. 22.（8分）在平面直角坐标系中，顺次连接点A（-2,0）、B（0,3）、C（3,3）、D（4,0）. （1）得到的是什么图形？ （2）求该图形的面积. 四．不规则四边形的面积求法 如图，四边形ABCD各个顶点的坐标分别为（– 2，8），（– 11，6），（– 14，0），（0，0）。确定这个四边形的面积，你是怎么做的/ x y 1234567 1 2 3 4 5 B A O 22题图

初中数学数学论文三角形面积公式的五种推导方法

三角形面积公式的五种推导方法 六年制小学数学第九册《三角形面积的计算》一节，教材上是这样安排的：一、明确目标；二、用数格的方式不能确定三角形的面积；三、能否转化成以前学过的图形进行计算？四、拿两个全等的直角三角形可以拼成以前学习过的学习过的长方形和平行四边形，直角三角形的面积是长方形和平行四边形面积的一半；五、验证锐角三角形和钝角三角形是否也能拼成平行四边形；六、三次试验确定所有类型的三角形能转化成平行四边形，两者的关系是“等底等高，面积一半”；七、总结三角形的面积公式。 我们在多次的课堂教学实践和课下辅导过程中，发现上面的几个“环节”有些地方不太符合学生的认知特点。具体分析一下： 第一步没什么问题，每个教师都有自己的导入新课的方式。 第二步也没有什么：学生在学习长方形和正方形的面积时用的是“数格”的方式。学习平行四边形时用的是切割再组合的方式，就是所谓的“转化”。在大部分学生对面积这个概念的理解还不十分透彻的情况下，面对三角形，学生们的首选方法就是“数格”。因为这是学生学习有关面积计算的第一经验，第一印象，第一个技巧。也是最简单，最直接（当然也是最麻烦）的方法。 关于第三步：教材上只有一句话：能不能把三角形转化成已经学过的图形再计算面积。这是化未知为已知的思维方式，我们常给初中学生提起这些认知策略，但它的基础却在小学阶段和学生的日常生活经验中。教材把这个重要的数学思想一笔带过，把挖掘其内涵，为学生建立辩证观念的重任留给了老师。但很多老师并不特别重视这句话，只是把它当作一个过渡句，当成进入下面环节的引言。 第四步。转化是一定的。但是，转化成什么？怎么转化？把三角形转化成“能计算的图形”大致有五种情况。教材推荐的是第五种（如图）。教材上的引导方式只有教师的主导性，而忽视了学生的主体位置。 前面提到，学生计算三角形面积的首选方法是数格，那么次选方法是什么？他们的第二方案应该还是在自己的经验中寻找帮助。这些经验当中，与计算面积有关的直接、简单、容易操作的内容就是在前面的几节课刚学过的“切割平行四边形成长方形”的方法。他们对“切割”这个动作记忆犹新。因为：一、这个技巧刚刚学过；二、切割是个动作，但这个动作能把不规则变规则，所以印象深刻；三、这个简单的动作能完成面积计算的任务。所以他们的下一步动作会是模仿上一节课的做法，想办法切割三角形的某一角移动填补另一角，变三角形成长方形或平行四边形。按这个说法，学生在寻找计算三角形面积的方法时，他首先会在他手中所拿的三角形卡片上琢磨，对这个三角形进行加工处理。在不得要领，或是找到了办法，问题解决了，但心有余味，继续探索下去时才会考虑到利用其他内容扩展思考空间，再找一个一样的三角形牵线搭桥，把思路引到问题的外面。 教材中还有一点缺失：学生在教师的引导下用两个“全等”三角形进行拼接时，是一个尝试的过程。教材举例说：小华拼出了一个长方形一个平行四边形。小林拼出了两个三角形——一个人拼的全是能利用的，一个人拼的全是不能用的，两个人的对比太大。我们想这

由向量形式的三角形面积公式得到的坐标式三角形面积公式及其应用 (2019高考)数学考点分类解析

由向量形式的三角形面积公式得到的坐标式三角形面积公式及其应用 高考题1 (2010年高考辽宁卷理科第8题)平面上B A O ,,三点不共线，设b OB a OA ==,，则OAB ?的面积等于( ) A.2 2 2)(b a b a ?- B.2 2 2)(b a b a ?+ C.22 2)(21b a b a ?- D. 22 2)(2 1 b a b a ?+ 答案：C. 这道高考题的结论就是向量形式的三角形面积公式： 定理1 若三点B A O ,,不共线，则22 2)(2 1 OB OA OB OA S OAB ?-=?. 证明 22 22)(2 1cos 121OB OA OB OA AOB OB OA S OAB ?-=∠-= ?. 由此结论，还可证得 定理2 若三点B A O ,,不共线，且点O 是坐标原点，点B A ,的坐标分别是 ),(),,(2211y x y x ，则12212 1 y x y x S OAB -= ?. 证法1 由定理1，得 1221221212 22221212 1)())((21y x y x y y x x y x y x S OAB -=+-++= ? 证法2 可得直线AB 的方程是 0)()()(12212121=-+---y x y x y x x x y y 所以坐标原点O 到直线AB 的距离是 AB y x y x 1 221-，进而可得AOB ?的面积是 122112212121 y x y x AB y x y x AB S OAB -=-?= ?. 下面用定理2来简解10道高考题. 高考题2 (2014年高考四川卷理科第10题)已知F 为抛物线y 2＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA →·OB → ＝2(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( ) A ．2 B ．3 C.172 8 D.10 解 B.得?? ? ??0,41F ，可不妨设)0)(,(),,(212211y y y x B y x A >>. 由2212 2212121=+=+=?y y y y y y x x OB OA ，可得221-=y y ，所以由定理2，得 2121212112 222112212 12121y y y y y y y y y y y y y x y x S ABO -=-=-?=-=-= ? 所以