高一数学必修一易错题集锦答案
高一数学必修一易错题集锦答案
1. 已知集合M={y |y =x 2＋1,x∈R },N={y|y =x ＋1,x∈R }，则M∩N=（ ）
解：M={y |y =x 2＋1,x∈R }={y |y ≥1}， N={y|y=x ＋1,x∈R }={y|y∈R }．
∴M∩N={y |y ≥1}∩{y|(y∈R)}={y |y ≥1},
注：集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分{x |y =x 2＋1}、{y |y =x 2＋1,x ∈R }、{(x ,y )|y =x 2＋1,x ∈R }，这三个集合是不同的．
2 .已知A={x |x 2－3x ＋2=0},B={x |ax －2=0}且A∪B=A，求实数a 组成的集合C ． 解：∵A∪B=A ∴B A 又A={x |x 2－3x ＋2=0}={1，2}∴B=或{}{}21或∴C={0，1，2}
3 。已知m ∈A,n ∈B, 且集合A={}Z a a x x ∈=,2|，B={}Z a a x x ∈+=,12|，又C={}Z a a x x ∈+=,14|，则有：m +n ∈ (填A,B,C 中的一个)
解：∵m ∈A, ∴设m =2a 1,a 1∈Z , 又∵n B ∈,∴n =2a 2+1,a 2∈ Z ,
∴m +n =2(a 1+a 2)+1,而a 1+a 2∈ Z , ∴m +n ∈B 。
4 已知集合A={x|x 2－3x －10≤0}，集合B={x|p ＋1≤x≤2p－1}．若B A ，求实数p 的取值范围．
解：①当B≠时，即p ＋1≤2p－1p≥2.由B A 得：－2≤p＋1且2p －1≤5. 由－3≤p≤3.∴ 2≤p≤3
②当B=时，即p ＋1>2p －1p ＜2.
由①、②得：p≤3.
点评：从以上解答应看到：解决有关A∩B=、A∪B=，A B 等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题．
5 已知集合A={a,a ＋b,a ＋2b}，B={a,ac,ac 2}．若A=B ，求c 的值．
分析：要解决c 的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性，无序性建立关系式．
解：分两种情况进行讨论．
（1）若a ＋b=ac 且a ＋2b=ac 2，消去b 得：a ＋ac 2－2ac=0，
a=0时，集合B 中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故a≠0．
∴c 2－2c ＋1=0，即c=1，但c=1时，B 中的三元素又相同，此时无解．
（2）若a ＋b=ac 2且a ＋2b=ac ，消去b 得：2ac 2－ac －a=0，
∵a≠0，∴2c 2－c －1=0，
即(c －1)(2c ＋1)=0，又c≠1，故c=－21
．
点评：解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验. 6 设A 是实数集，满足若a∈A，则a -11
∈A ，1≠a 且1?A.
⑴若2∈A，则A 中至少还有几个元素？求出这几个元素⑵A 能否为单元素集合？请说明理由.
⑶若a∈A，证明：1－a 1
∈A.⑷求证：集合A 中至少含有三个不同的元素.
解：⑴2∈A ? －1∈A ? 21
∈A ? 2∈A
∴ A 中至少还有两个元素：－1和21
⑵如果A 为单元素集合，则a ＝a -11
即12+-a a ＝0
该方程无实数解，故在实数范围内，A 不可能是单元素集
⑶a∈A ? a -11∈A ? a
--1111
∈A ?111---a a
∈A ，即1－a 1
∈A
⑷由⑶知a∈A 时，a -11
∈A， 1－a 1
∈A .现在证明a,1－a 1, a -11
三数互不相等.
①若a=a -11
,即a2-a+1=0 ，方程无解，∴a ≠a -11
②若a=1－a 1，即a 2-a+1=0，方程无解∴a ≠1－a 1
③若1－a 1 =a -11
，即a2-a+1=0，方程无解∴1－a 1≠a -11
.
综上所述，集合A 中至少有三个不同的元素.
点评：⑷的证明中要说明三个数互不相等，否则证明欠严谨.
7 设M ＝｛a ，b ，c ｝，N ＝｛－2,0,2｝,求（1）从M 到N 的映射种数；
（2）从M 到N 的映射满足 f (a)>f (b)≥f(c),试确定这样的映射f 的种数. 解：（1）由于M ＝｛a ，b ，c ｝，N ＝｛－2,0,2｝，结合映射的概念，有
一共有27个映射
（2）符合条件的映射共有4个0
222
,2,2,0,0,2220
a a a a
b b b b
c c c c →→→→????????→-→-→→????????→-→-→-→????
8.已知函数()f x 的定义域为[0，1]，求函数(1)f x +的定义域
解：由于函数()f x 的定义域为[0，1]，即01x ≤≤∴(1)f x +满足011x ∴≤+≤ 10x -≤≤，∴(1)f x +的定义域是[－1，0]
9根据条件求下列各函数的解析式：
（1）已知()f x 是二次函数，若(0)0,(1)()1f f x f x x =+=++，求()f x .
（2）已知(1)2f x x x +=+，求()f x
（3）若()f x 满足1
()2(),f x f ax x +=求()f x
解：（1）本题知道函数的类型，可采用待定系数法求解
设()f x ＝2(0)ax bx c a ++≠由于(0)0f =得2()f x ax bx =+，
又由(1)()1f x f x x +=++，∴22(1)(1)1a x b x ax bx x +++=+++
即 22(2)(1)1ax a b x a b ax b x ++++=+++
21
1021a b b a a b a b +=+??∴≠∴==??+=? 因此：()f x ＝21
1
22x x +
(2)本题属于复合函数解析式问题，可采用换元法求解
设22()(1)2(1)1(1)f u u u u u ∴=-+-=-≥∴()f x ＝21x - （1x ≥）
（3）由于()f x 为抽象函数，可以用消参法求解
用1
x 代x 可得：1
1
()2(),f f x a x x +=与 1
()2()f x f ax x +=
联列可消去1
()f x 得：()f x ＝233a ax
x -.
点评：求函数解析式（1）若已知函数()f x 的类型，常采用待定系数法；（2）若已知[()]f g x 表达式，常采用换元法或采用凑合法；（3）若为抽象函数，常采用代换后消参法. 10 已知x y x 62322=+，试求22y x +的最大值.
分析：要求22y x +的最大值，由已知条件很快将22y x +变为一元二次函数,29)3(21)(2+--=x x f 然后求极值点的x 值，联系到02
≥y ，这一条件，既快又准地求出最大值.
解 由 x y x 62322=+得.
20,0323
,0.
323
2222≤≤∴≥+-∴≥+-=x x x y x
x y 又,29
)3(21
32322222+--=+-=+x x x x y x
∴当2=x 时，22y x +有最大值，最大值为.429
)32(21
2=+--
点评：上述解法观察到了隐蔽条件，体现了思维的深刻性.大部分学生的作法如下：
由 x y x 62322=+得 ,323
22x x y +-=
1(0),1(1)
u x x x u u =+≥∴=-≥
,29)3(2132322222+--=+-
=+∴x x x x y x ∴当3=x 时，22y x +取最大值，最大值为2
9 这种解法由于忽略了02≥y 这一条件，致使计算结果出现错误.因此，要注意审题，不仅能
从表面形式上发现特点，而且还能从已知条件中发现其隐蔽条件，既要注意主要的已知条件，又要注意次要条件，甚至有些问题的观察要从相应的图像着手，这样才能正确地解题.. 11设()f x 是R 上的函数，且满足(0)1,f =并且对任意的实数,x y 都有
()()(21)f x y f x y x y -=--+，求()f x 的表达式.
解法一：由(0)1,f =()()(21)f x y f x y x y -=--+，设x y =，
得(0)()(21)f f x x x x =--+，所以()f x ＝21x x ++
解法二：令0x =，得(0)(0)(1)f y f y y -=--+即()1(1)f y y y -=--+
又将y -用x 代换到上式中得()f x ＝21x x ++
点评：所给函数中含有两个变量时，可对这两个变量交替用特殊值代入，或使这两个变量相等代入，再用已知条件，可求出未知的函数.具体取什么特殊值，根据题目特征而定. 12判断函数1()(1)1x
f x x x -=++的奇偶性.
解：1()(1)1x f x x x -=++有意义时必须满足10111x
x x -≥?-<≤+
即函数的定义域是｛x ｜11x -<≤｝，由于定义域不关于原点对称，所以该函数既不是奇函数也不是偶函数
13 判断22()log (1)f x x x =++的奇偶性.
正解：方法一：∵)1(log )1)((log )(222
2++-=+-+-=-x x x x x f ＝11
log 22++x x ＝)1(log
22++-x x ＝－)(x f ∴)(x f 是奇函数
方法二：∵)1(log )1(log )()(2222++-+++=-+x x x x x f x f ＝01log )1()1[(log 2222==++-?++x x x x
)()(x f x f -=- ∴)(x f 是奇函数
14函数y=245x x --的单调增区间是_________.
解：y=245x x --的定义域是[5,1]-，又2
()54g x x x =--在区间[5,2]--上增函数，在区间[2,1]-是减函数，所以y=245x x --的增区间是[5,2]--
15已知奇函数f (x )是定义在(－3，3)上的减函数，且满足不等式f (x －3)+f (x 2－3)<0,求x 的取值范围.
解：由???<<-<
603333332x x x x 得,故0 又∵f (x )是奇函数，∴f (x －3)<－f (x 2－3)=f (3－x 2),又f (x )在(－3，3)上是减函数， ∴x －3>3－x 2,即x 2+x －6>0,解得x >2或x <－3,综上得2 分析：显然直接用已知函数的解析式列表描点有些困难，除去对其函数性质分析外，我们还应想到对已知解析式进行等价变形.在变换函数解析式中运用了转化变换和分类讨论的思想. 解：(1)当x ≥2时，即x-2≥0时， 当x ＜2时，即x-2＜0时， 所以??????? <+--≥--=) 2(49 )21() 2(49 )21 (22x x x x y 这是分段函数，每段函数图像可根据二次函数图像作出(见图) (2)当x ≥1时，lgx ≥0，y =10lgx=x ； 当0＜x ＜1时，lgx ＜0， 所以 这是分段函数，每段函数可根据正比例函数或反比例函数作出.(见图) 点评：作不熟悉的函数图像，可以变形成基本函数再作图，但要注意变形过程是否等价，要特别注意x ，y 的变化范围.因此必须熟记基本函数的图像.例如：一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数，及三角函数、反三角函数的图像. 17若f(x)= 21 ++x ax 在区间（－2，＋∞）上是增函数，求a 的取值范围 解：设1212121211 2,()()22 ax ax x x f x f x x x ++-<<-=-++ 12211212121221121122121212(1)(2)(1)(2) (2)(2) (22)(22) (2)(2) 22(21)() (2)(2)(2)(2) ax x ax x x x ax x ax x ax x ax x x x ax x ax x a x x x x x x ++-++=+++++-+++=++--+--==++++ 由f (x )=21 ++x ax 在区间（－2，＋∞）上是增函数得 12()()0f x f x -<210a ∴-> ∴a ＞21 点评：有关于单调性的问题，当我们感觉陌生，不熟悉或走投无路时，回到单调性的定义上去，往往给我们带来“柳暗花明又一村”的感觉. 18已知函数f (x )在(－1，1)上有定义，f (21 )=－1,当且仅当0 y ∈(－1,1)都有f (x )+f (y )=f (xy y x ++1),试证明： (1)f (x )为奇函数；(2)f (x )在(－1，1)上单调递减 解：证明：(1)由f (x )+f (y )=f (xy y x ++1),令x =y =0,得f (0)=0,令y =－x ,得f (x )+f (－ x )=f (21x x x --)=f (0)=0.∴f (x )=－f (－x ).∴f (x )为奇函数. (2)先证f (x )在(0，1)上单调递减. 令0 11 21x x x x --) ∵0 11 21x x x x -->0, 又(x 2－x 1)－(1－x 2x 1)=(x 2－1)(x 1+1)<0 ∴x 2－x 1<1－x 2x 1, ∴0<121 21x x x x --<1,由题意知f (2 11 21x x x x --)<0 即f (x 2) ∴f (x )在(0，1)上为减函数，又f (x )为奇函数且f (0)=0. ∴f (x )在(－1，1)上为减函数. 点评：本题知识依托：奇偶性及单调性定义及判定、赋值法及转化思想.对函数的奇偶性、单调性的判定以及运算能力和逻辑推理能力要求较高. 如果“赋值”不够准确，运算技能不过关，结果很难获得. 对于(1)，获得f (0)的值进而取x =－y 是解题关键；对于(2)，判定2 11 21x x x x --的范围是解题的焦点. 19已知18log 9,185,b a ==求36log 45 解：∵185,b =∴18log 5b = ∴1818183621818181818log 45log 5log 9log 451818log 36log 4log 92log ()2log ()99b a b a b a a a a ++++=== ==+- ++ 20知)2(log ax y a -=在[0，1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是 解：∵)2(log ax y a -=是由u y a log =，ax u -=2复合而成，又a ＞0 ∴ax u -=2在[0，1]上是x 的减函数，由复合函数关系知 u y a log =应为增函数，∴a ＞1 又由于x 在[0，1]上时 )2(log ax y a -=有意义，ax u -=2又是减函数，∴x ＝1时，ax u -=2取最小值是a u -=2min ＞0即可， ∴a ＜2 综上可知所求的取值范围是1＜a ＜2 21已知函数()log (3)a f x ax =-. （1）当[0,2]x ∈时()f x 恒有意义，求实数a 的取值范围. （2）是否存在这样的实数a 使得函数()f x 在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1，如 果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由. 分析：函数()f x 为复合函数，且含参数，要结合对数函数的性质具体分析找到正确的解题思路，是否存在性问题，分析时一般先假设存在后再证明. 解：（1）由假设，ax -3＞0，对一切[0,2]x ∈恒成立，0,1a a >≠ 显然，函数g(x)= ax -3在[0，2]上为减函数，从而g(2)＝32a -＞0得到a ＜3 2 ∴a 的取值范围是（0，1）∪（1，3 2） (2)假设存在这样的实数a ，由题设知(1)1f =，即(1)log (3)a f a =-＝1 ∴a ＝3 2此时3 ()log (3)2a f x x =- 当2x =时，()f x 没有意义，故这样的实数不存在. 点评：本题为探索性问题，应用函数、方程、不等式之间的相互转化，存在性问题一般的处理方法是先假设存在，结合已知条件进行推理和等价转化，若推出矛盾，说明假设不成立.即不存在，反之没有矛盾，则问题解决. 22已知函数f (x )=1421lg 2+-?++a a a x x , 其中a 为常数，若当x ∈(－∞, 1］时, f (x )有意义， 求实数a 的取值范围. 分析：参数深含在一个复杂的复合函数的表达式中，欲直接建立关于a 的不等式（组）非常困难，故应转换思维角度，设法从原式中把a 分离出来，重新认识a 与其它变元(x )的依存关系，利用新的函数关系，常可使原问题“柳暗花明”. 解：14212+-?++a a a x x >0, 且a 2－a +1=(a －21)2+43 >0, ∴ 1+2x +4x ·a >0, a >)2141 (x x +-, 当x ∈(－∞, 1]时, y =x 41与y =x 21 都是减函数， ∴ y =)2141(x x +-在(－∞, 1]上是增函数，)2141(x x +-max =－43 , ∴ a >－43 , 故a 的取值范围是(－43 , +∞). 点评：发掘、提炼多变元问题中变元间的相互依存、相互制约的关系、反客为主，主客换位，创设新的函数，并利用新函数的性质创造性地使原问题获解，是解题人思维品质高的表现.本题主客换位后，利用新建函数y =)2141 (x x +-的单调性转换为函数最值巧妙地求出了 实数a 的取值范围.此法也叫主元法. 23若1 1 33(1)(32)a a --+<-，试求a 的取值范围. 解：∵幂函数1 3y x -=有两个单调区间， ∴根据1a +和32a -的正、负情况，有以下关系 10320.132a a a a +>??->??+>-?① 10 320.132a a a a +-?② 10.320a a + ->?③ 解三个不等式组：①得2 3＜a ＜3 2，②无解，③a ＜－1 ∴a 的取值范围是（－∞，－1）∪（2 3，3 2） 点评：幂函数1 3y x -=有两个单调区间，在本题中相当重要，不少学生可能在解题中误认 为132a a +>-，从而导致解题错误. 24 已知a>0 且a ≠1 ,f (log a x ) = 12-a a (x －x 1 ) (1)求f(x)； (2)判断f(x)的奇偶性与单调性； (3)对于f(x) ,当x ∈(－1 , 1)时 , 有f( 1－m ) +f (1－ m 2 ) < 0 ,求m 的集合M . 分析：先用换元法求出f(x)的表达式；再利用有关函数的性质判断其奇偶性和单调性；然后利用以上结论解第三问. 解：(1)令t=log a x(t ∈R)，则 ).(),(1)(),(1)(,22R x a a a a x f a a a a t f a x x x t t t ∈--=∴--==-- ,101,.)(,10,)(,01,1.)(,),()(1)()2(22<<><<-=>->∴∈-=--=---a a x f a a a x u a a a x f R x x f a a a a x f x x x x 或无论综上为增函数类似可判断时当为增函数时当为奇函数且 f(x)在R 上都是增函数. ) 1,1().1()1(,)(,0)1()1()3(22-∈-<-∴<-+-x m f m f R x f m f m f 又上是增函数是奇函数且在 .211 11111 1122< -<-∴m m m m m 点评：对含字母指数的单调性，要对字母进行讨论.对本例的③不需要代入f （x ）的表达式可求出m 的取值范围，请同学们细心体会. 25已知函数2()3f x x ax a =++-若[2,2]x ∈-时，()f x ≥0恒成立，求a 的取值范围. 解：设()f x 的最小值为()g a （1）当22a -<-即a ＞4时，()g a ＝(2)f -＝7－3a ≥0，得7 3a ≤故此时a 不存在； (2) 当[2,2]2a -∈-即－4≤a ≤4时，()g a ＝3－a －2 4a ≥0，得－6≤a ≤2 又－4≤a ≤4，故－4≤a ≤2； （3）22a ->即a ＜－4时，()g a ＝(2)f ＝7＋a ≥0，得a ≥－7，又a ＜－4 故－7≤a ＜－4 综上，得－7≤a ≤2 26已知210mx x ++=有且只有一根在区间（0,1）内，求m 的取值范围. 解：设2()1f x mx x =++，（1）当m ＝0时方程的根为－1，不满足条件. （2）当m ≠0∵210mx x ++=有且只有一根在区间（0,1）内 又(0)f ＝1＞0 ∴有两种可能情形①(1)0f <得m ＜－2 或者②1 (1)02f m =-且0<<1得m 不存在 综上所得，m ＜－2 27.是否存在这样的实数k ，使得关于x 的方程 x 2+（2k －3）x －（3k －1）＝0有两个实数根，且两根都在0与2之间？如果有，试确定k 的取值范围；如果没有，试说明理由. 解：令2()(23)(31)f x x k x k =+---那么由条件得到 2 (23)4(31)0(0)130(2)42(23)(31)023022k k f k f k k k ??=-+-≥?=->???=+--->?-?< 1 31 3 7 22 k k k k ?+≥????< 即不存在满足条件的k 值. 28已知二次函数2()f x ax bx c =++对于x 1、x 2∈R ，且x 1＜x 2时 12()()f x f x ≠，求证：方程()f x ＝121 [()()]2f x f x +有不等实根，且必有一根属于区间（x 1，x 2）. 解：设F （x ）＝()f x －121 [()()]2f x f x +， 则方程 ()f x ＝121 [()()]2f x f x + ① 与方程 F （x ）＝0 ② 等价 ∵F （x 1）＝1()f x －121[()()]2f x f x +＝121[()()]2f x f x - F （x 2）＝2()f x －121[()()]2f x f x +＝121[()()]2f x f x -+ ∴ F （x 1）·F （x 2）＝－2121 [()()]4 f x f x -，又12()()f x f x ≠ ∴F （x 1）·F （x 2）＜0 故方程②必有一根在区间（x 1，x 2）内.由于抛物线y ＝F （x ）在x 轴上、下方均有分布，所以此抛物线与x 轴相交于两个不同的交点，即方程②有两个不等的实根，从而方程①有两个不等的实根，且必有一根属于区间（x 1，x 2）. 点评：本题由于方程是()f x ＝121 [()()]2f x f x +，其中因为有()f x 表达式，所以解题中 有的学生不理解函数图像与方程的根的联系，误认为证明()f x 的图像与x 轴相交于两个不同的点，从而证题中着眼于证1()f x 2()f x ＜0，使本题没法解决. 本题中将问题转化为F （x ）＝()f x －121 [()()]2f x f x +的图像与x 轴相交于两个不同的两点是解题的关健所在. 29试确定方程322420x x x --+=最小根所在的区间，并使区间两个端点是两个连续的整数. 分析：只要构造函数()f x ＝32242x x x --+，计算()f x 的自变量x 取整数值时的函数值，根据其符号，确定方程根的个数及根的分布. 解：令()f x ＝32242x x x --+ ∵(3)f -＝－54－9＋12＋2＝－49＜0 (2)f -＝－16－4＋8＋2＝－10＜0 (1)f -＝－2－1＋4＋2＝3＞0，，(0)f ＝0－0－0＋2＝2＞0 (1)f ＝2－1－4＋2＝－1＜0， (2)f ＝16－4－8＋2＝6＞0 根据(2)f -·(1)f -＜0，(0)f ·(1)f ＜0，(1)f ·(2)f ＜0 可知()f x 的零点分别在区间（－2，－1），（0,1），（1,2）内. 因为方程是一个一元三次方程，所以它最多有三个根，所以原方程的最小根在区间（－2，－1）内. 点评：计算一元高次函数值可借助于计算器来完成，在实数范围内一元n 次方程最多有n 个实根，当然本题也可以用因式分解方法来解. 32242x x x --+ 221 (21)2(21)2()(2) 212()(2)(2) 2x x x x x x x x =---=--=-+- 所以32242x x x --+＝0有三个根：1 ,2,22- 30设二次函数2()(0),f x ax bx c a =++>方程0)(=-x x f 的两个根21,x x ，满足0<21x x <. （1）当),0(1x x ∈时，证明1)(x x f x <<； （2）设函数2()(0),f x ax bx c a =++>的图像关于直线0x x =对称，证明： 21 0x x <. 分析：（1）用作差比较法证明不等式1)(x x f x <<； （2）函数2()(0),f x ax bx c a =++>图像关于直线0x x =对称，实际直线0x x =就是二次函数的对称轴，即a b x 20-=，然后用已知条件证明不等式即可. 证明：（1）依题意，设))(()()(21x x x x a x x f x F --=-= 当),0(1x x ∈时，由于21x x <，∴0))((21>--x x x x ，又0>a ∴))(()()(21x x x x a x x f x F --=-=>0即)(x f x < ) 1)(() 1)(()()]([)(2121111ax x x ax ax x x x F x x x F x x x f x -->-+-=--=+-=-
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