有限元方法理论及其应用

1 课程论文：弹性力学有限元位移法原理（30分）

撰写一篇论文，对有限元位移法的原理作一般性概括和论述。要求论文论及但不限于下列内容：1）弹性力学有限元位移法的基本思想和数学、力学基础；2）有限元法求解的原理和过程，推导计算列式；对基本概念和矩阵符号进行解释和讨论；3）等参单元的概念、原理和应用。

1.1 对一维杆单元有限元形式的理解

我对此提出了几点疑问：

1)为什么边界条件u1=0，就要划去刚度矩阵[K]中对应的行列再解方程？

2)为什么刚度矩阵[K]会奇异？

3)为什么平衡方程本身是矛盾的，而加上边界条件u1=0之后就能解出一

个唯一的近似解？

4)为什么刚度矩阵[K]是对称的？

下面我谈谈自己的理解:节点平衡方程是在u1不定的前提下，假设单元内位移都是线性变化推导出来的，由此u1相当于一个不确定的定值约束，再加上中间两个节点的连续性要求，系统实际上只有三个独立的自由度（广义坐标）。

对于第一个问题，其实刚度矩阵[K]中的元素不是一成不变的，相反它是伴随边界条件动态变化的。当u1=0时由刚度矩阵的推导过程可以知道，刚度矩阵的第一行和第一列都会变为0，所以此时第一行和第一列对于求解方程是没有作用的。

对于第二个问题，由于系统自由度（广义坐标）只有三个，而我们的方程却列出

了四个，显然

这四个方程不可能线性无关，所以刚度矩阵奇异。

对于第三个问题，首先我们应该明确方程区别于等式，虽然左右两边都是用“=”连接，但是方程只在特殊条件下取得定解。由于平衡方程是在没有约束的条件下推导出来的，显然它不可能满足等式要求。宏观上看，系统在没有外部约束，而又施加有外力，显然系统会产生加速度而绝不会平衡。所以平衡方程本身是矛盾的。而加上边界条件之后，不但满足了平衡的前提，还改变了矩阵的结构和性质，所以有解。但是，由于我们提前假设了位移线性变化，相当于人为对单元施加了额外约束，让位移按照我们假设的规律变化，所以得到的解是过刚的近似解。但对于方程本身而言是精确解。

对于第四个问题，其力学的作用机理类似于作用力与反作用力，由于刚度矩阵不表征方向，所以其大小是相等的。

1.2 有限元法的思想

有限元法是求解连续介质力学问题的数值方法，更一般意义是一种分析结构问题和连续场数学物理问题的数值方法。

有限元法的基本思想是离散化和分片插值。

即把连续的几何机构离散成有限个单元，并在每一个单元中设定有限个节点，从而将连续体看作仅在节点处相连接的一组单元的集合体，同时选定场函数的节点值作为基本未知量并在每一单元中假设一个近似插值函数以表示单元中场函数的分布规律，再建立用于求解节点未知量的有限元方程组，从而将一个连续域中的无限自由度问题转化为离散域中的有限自由度问题。

求解得到节点值后就可以通过设定的插值函数确定单元上以至个集合体上的场函数。对每个单元，选取适当的插值函数，使得该函数在子域内部、在子域分界面上以及子域与外界面上都满足一定的条件。单元组合体在已知外载荷作用下处于平衡状态时，列出一系列以节点、位移为未知量的线性方程组，利用计算机解出节点位移后，再用弹性力学的有关公式，计算出各单元的应力、应变，当各单元小到一定程度，那么它就代表连续体各处的真实情况。

1.3 有限元法的数学基础

有限元法的数学基础是加权余量法和变分原理。

有限元法区别于有限差分法，即不是直接从问题的微分方程和相应的定解条件出发，而是从其等效的积分形式出发。

加权余量法是等效积分的一般形式，它适用于普遍的方程形式。利用加权余量法的原理，可以建立多种近似解法，如配点法、最小二乘法、伽辽金法、力矩法等都属于这一类数值方法。

如果问题的方程具有某些特定的性质，则它等效积分形式的伽辽金法可以归结为某个泛函的变分。相应的近似解实际上是求泛函的驻值问题。里兹法就是属于这一类数值解法。

1.4 有限元法的力学基础

一个弹性系统的所有可能位移中，满足平衡条件的位移（真实位移）使总势能取最小值。也就是说，弹性力学中平衡问题的正确解（位移），其相应的系统总势能为一切满足位移边界条件和连续条件的位移构型对应的总势能中的最小者。一个“系统”是指一个结构加上作用其上的力。对于保守系统，系统总势能定义为：

总势能 = 应变能－外力做功

系统总势能是对应系统任何一个可能构型的由系统力学状态量（载荷、位移、应力、应变）决定的状态函数。系统总势能用符号Πp表示，当载荷不变时，运用弹性力学的几何方程和物理方程，可以将它转化为系统位移场函数的泛函。对于系统每一个“可能位移（场）”，系统有一个总势能（泛函）与之对应。

“可能位移”—— 满足内部连续性和位移边界条件的位移场。

瑞利-里兹法是针对连续系统从一族满足约束条件的假定解中利用泛函驻值条件求“最好”近似解的一种普遍适用方法。其基本思想是：如果问题有相应的变分原理，就构造一族带有待定参量的试探函数（弹性力学中就是假定位移场），将其代入泛函表达式，泛函立刻成为多元函数，由驻值条件确定待定参量，就得到问题的近似解答。

从经典里兹法解弹性体变形和应力的原理和过程可以总结出该方法的重要特点：

1)在求解域整体上假定位移场（试探函数）；

2)假定的位移场必须是可能位移（或称为许可位移，即满足连续性和边界几何

约束条件）和简单的。

3)要得到收敛解，试探函数必须是完备的。

4)里兹解往往过刚，除非位移试探函数包含了精确解。由于假定的位移模式往

往给结构加上了约束，使结构不能按其要求的方式自由变形，从而刚化了结

构。

1.5 有限元法求解的原理和过程，推导计算列式

1.5.1 有限元分析的基本步骤

有限元法的基本解题步骤如下：

1)建立研究对象的近似模型

2)将研究对象分割成有限数量的单元

3)用标准方法对每一个单元提出一个近似解

4)将所有单元按标准方法组合成一个与原有系统近似的系统

5)用数值方法求解这个近似系统

6)计算结果处理与结构验证

1.5.2 一维杆的有限元分析

下面以一维杆件的分析为例，研究有限元分析的求解原理和过程：

图 1-1

1)单元描述

L——杆长

A——截面积

E ——弹性模量

单元上的力学量和基本=关系如下：

——杆单元沿轴向位移分布

——杆单元应变分布

——杆单元应力分布 应变——位

移关 (1-

1) （1-2）

2) 单元特性方程（刚度方程） ① 直接法导出杆单元特性

采用材料力学基本知识对单元进行力学分析。

（1-3）

（1-4） （1-5）

杆内力

（1-6） （1-7） 由于轴向变形模式下，可以直接写出杆单元刚度方程：

（1-8） 写成符号形式：

f = kd （1-9）

因此杆单元的刚度矩阵为：

（1-10）

②公式法导出杆单元特性

a)在单元上假设近似位移场

对图1-1所示的杆单元，首先利用函数插值法构造以单元节点位移为未知量的简单多项式函数，作为单元上的假设位移分布函数。插值过程如下。

考虑到杆单元只有2个沿轴向的未知节点位移分量，因此假设单元上位移函数为一次多项式：

（1-11）将单元两个节点的坐标值0，L分别带入上式得到：

对上面2个方程联立求解，得到节点位移表示的多项式系数：

上两式带入式（1-11），整理得：

（1-12）

i,j的插值基函数，有限元法中称为形状函数，简称“形函数”。

单元位移模式（1-12）写成矩阵形式为

（1-13）

式中N称为单元的形函数矩阵。

b)单元应变和单元应力公式

可由直杆的应变——位移方程（1-1）和单元位移模式（1-13）求出单元的应变分布和节点位移的关系：

（1-14）式中：

（1-15

）

由杆的应力——应变关系（1-2），得单元应力分布和单元节点位移的关系：

（1-16）

c)用虚功原理导出杆单元刚度方程

变形体的虚位移：假想在变形体上发生的，满足位移连续性条件和协调性条件的微小、任意位移场。

虚功原理：变形体受力平衡时，若发生虚位移，则外力虚功等于变形体内的虚应变能。

根据虚功原理，上述节点力虚功等于虚应变能，因此有如下关系：

(1-17)考虑到的任意性，从上式可以得到：

有限元理论方法

关于有限元分析法及其应用举例 摘要：本文主要介绍有限元分析法，作为现代设计理论与方法的一种，已经在 众多领域普遍使用。介绍了它的起源和国内外发展现状。阐述了有限元法的基 本思想和设计方法。并从实际出发，例举了有限元法的一个简单应用———啤 酒瓶的应力分析和优化,表明了利用有限元分析法的众多优点。随着计算机的 发展，基于有限元分析方法的软件开发越来越多。本文也在其软件开发方面进 行阐述，并简单介绍了一下主流软件的发展情况和使用范围。并就这一领域的 未来发展趋势进行阐述。 关键词：有限元分析法软件啤酒瓶 Abstract：This thesis mainly introduces the finite element analysis, as a modern design theory and methods used widely in in most respects. And this paper introduces its origins and development in world. It also expounds the basic thinking and approach of FEM..Proceed from the actual situation,this text holds the a simple application of finite-element method———the analysis and optimized of an beer bottle and indicate the the numerous benefits of finite element analysis .As computers mature and based on the finite element analysis of the software development is growing. This article introduces its application in the software development aspects as well, and briefly states the development and scope of the mainstream software. And it’s also prospect future development tendency in this area . Key: Finite Element Analysis Software Beer bottle 0 绪论 有限元法(Finite Element Method，FEM)，是计算力学中的一种重要的方法，它是20世纪50年代末60年代初兴起的应用数学、现代力学及计算机科学相互渗透、综合利用的边缘科学。有限元法最初应用在工程科学技术中，用于模拟并且解决工程力学、热学、电磁学等物理问题。对于过去用解析方法无法求解的问题和边界条件及结构形状都不规则的复杂问题，有限元法则是一种有效的分析方法。有限元法的基本思想是先将研究对象的连续求解区域离散为一组有限个且按一定方式相互联结在一起的单元组合体。由于单元能按不同的联结方式进行组合，且单元本身又可以有不同形状，因此可以模拟成不同几何形状的求解小区域；

有限元分析理论基础

有限元分析概念 有限元法：把求解区域看作由许多小的在节点处相互连接的单元（子域）所构成，其模型给出基本方程的分片（子域）近似解，由于单元（子域）可以被分割成各种形状和大小不同的尺寸，所以它能很好地适应复杂的几何形状、复杂的材料特性和复杂的边界条件 有限元模型：它是真实系统理想化的数学抽象。由一些简单形状的单元组成，单元之间通过节点连接，并承受一定载荷。 有限元分析：是利用数学近似的方法对真实物理系统（几何和载荷工况）进行模拟。并利用简单而又相互作用的元素，即单元，就可以用有限数量的未知量去逼近无限未知量的真实系统。 线弹性有限元是以理想弹性体为研究对象的，所考虑的变形建立在小变形假设的基础上。在这类问题中，材料的应力与应变呈线性关系，满足广义胡克定律；应力与应变也是线性关系，线弹性问题可归结为求解线性方程问题，所以只需要较少的计算时间。如果采用高效的代数方程组求解方法，也有助于降低有限元分析的时间。 线弹性有限元一般包括线弹性静力学分析与线弹性动力学分析两方面。 非线性问题与线弹性问题的区别： 1）非线性问题的方程是非线性的，一般需要迭代求解； 2）非线性问题不能采用叠加原理； 3）非线性问题不总有一致解，有时甚至没有解。 有限元求解非线性问题可分为以下三类：

1）材料非线性问题 材料的应力和应变是非线性的，但应力与应变却很微小，此时应变与位移呈线性关系，这类问题属于材料的非线性问题。由于从理论上还不能提供能普遍接受的本构关系，所以，一般材料的应力与应变之间的非线性关系要基于试验数据，有时非线性材料特性可用数学模型进行模拟，尽管这些模型总有他们的局限性。在工程实际中较为重要的材料非线性问题有：非线性弹性（包括分段线弹性）、弹塑性、粘塑性及蠕变等。 2）几何非线性问题 几何非线性问题是由于位移之间存在非线性关系引起的。 当物体的位移较大时，应变与位移的关系是非线性关系。研究这类问题一般都是假定材料的应力和应变呈线性关系。它包括大位移大应变及大位移小应变问题。如结构的弹性屈曲问题属于大位移小应变问题，橡胶部件形成过程为大应变问题。 3）非线性边界问题 在加工、密封、撞击等问题中，接触和摩擦的作用不可忽视，接触边界属于高度非线性边界。 平时遇到的一些接触问题，如齿轮传动、冲压成型、轧制成型、橡胶减振器、紧配合装配等，当一个结构与另一个结构或外部边界相接触时通常要考虑非线性边界条件。 实际的非线性可能同时出现上述两种或三种非线性问题。

有限元理论与方法-第3讲

讲 授 内 容 备 注 第3讲(第3周) 3. θ i i U u , 为例， 作用于杆单元的节点力是[U ij V ij ]T ，而作用于节点i 的节点力是[-U ij -V ij ]T 。将节点脱离出来，受力分析如图1-4b 所示，在水平和垂直方向的节点受力平衡方程为 ? ?? =---=---00ip im ij i ip im ij i V V V Y U U U X （1-2-15） 由式（1-2-14）知道杆单元ij 在节点i 的节点力为 j ij i ii ij ij ij V U δK δK F +=? ?? ???= （1-2-16） 其它单元施于节点i 的节点力同样可以写出，一起代入式（1-2-15），得到 i p ip m im j ij i e ii P δK δK δK δK =+++?? ? ??∑ （1-2-17） 每个节点都有一对平衡方程如上，对于全部节点i =1,2,…,N 的结构，得到2N 阶线性方程组，即结构的 节点平衡方程组 P δK = （1-2-18） 其中 T 21],...,,[N δδδδ= T 21],...,,[N P P P P = 式中，δ为全部节点位移组成的列阵；P 为全部节点荷载组成的列阵；K 为结构的整体刚度矩阵。 4.总体刚度矩阵的合成 由单元刚度矩阵合成结构的整体刚度矩阵通常采用两种方法，一种为编码法，一种为大域变换矩阵法，前者对自由度较少的结构简单明了，后者特别适合计算机编程运算。下面重点阐述后者。 结构总体刚度矩阵[K ]与单元刚度矩阵[K ]e 之间的关系为 () e e e e G K G K ∑=T （1-2-19）

有限元理论与方法

第一章 绪论 有限元发展过程： 有限元法在西方起源于收音机和导弹的结构设计，发表这方面文章最早而且最有影响的是西德教授，于1954—1955年间分阶段在《Aircraft Engineering 》上发表上许多有关这方面的论文，并在此基础上写成了《能量原理与结构分析》，此书内容提供了有限元法的理论基础。美国的、 、 和等人于1956年发表了了篇题为《复杂结构的刚度和挠度分析》一文，此文提出了计算复杂结构刚度影响系数的方法，并说明了如何利用计算机进行分析。美国于1960年在一篇介绍平面应力分析的论文中，首先提出了有限元的名字。1965年英国及其合作者解决了将有限元法应用于所有场的问题，使有限元法的应用更加广泛。 有限元法的基本思路： 有限元法的基本思路和基本原理以结构力学中的位移法为基础，把复杂的结构或连续体看成为有限个单元的组合，各单元彼此在节点处连续而组成整体，把连续体分成有限个单元和节点，称之为离散化，先对单元进行特性分析，然后根据各单元在节点处的平衡协调条件建立方程，综合后作整体分析。 这样一分一合，先离散再综合的过程，就把复杂结构或连续体的计算问题转化为简单单元的分析与综合问题。 有限元分析中可采取三种方法： 位移法——取节点位移作为基本未知数 力 法——取节点力作为基本未知数 混合法—— 有限元法分析过程： 1、结构离散化（单元划分） 2、选择位移模式 为了能用节点位移表示单元体的位移、应变和应力，在分析连续体时，必须对单元中位移的分布做出一定的假定，也就是假定位移是坐标的某种简单函数，这种函数称为位移模式或位移函数（形函数）。 {}[]{}e u N δ= (1) 3、分析单元的力学特性 （1）利用几何方程：由位移表达式导出用点位移表示单元应变的关系式 {}[]{} e εδ=B {}ε为单元内任一点的应变列阵 (2) 非线性有限元 线性有限元 几何非线性 材料非线性 有限元

有限元法及其在工程中的应用

机械与汽车学院 曹国强 主要内容： 1、有限元法的基本思想。 2、结构力学模型的简化和结构离散化。 3、有限元法的实施过程。 一、有限元法的基本思想 有限元法是随着计算机的发展而发展起来的一种有效的数值方法。其基本思想是：将连续的结构分割成数目有限的小单元体（称为单元），这些小单元体彼此之间只在数目有限的指定点（称为节点）上相互连接。用这些小单元体组成的集合体来代替原来的连续结构。再把每个小单元体上实际作用的外载荷按弹性力学中的虚功等效原理分配到单元的节点上，构成等效节点力，并按结构实际约束情况决定受约束节点的约束。这一过程称为结构的离散化。其次，对每个小单元体选择一个简单的函数来近似地表示其位移分量的分布规律，并按弹性力学中的变分原理建立起单元节点力和节点位移之间的关系（单元刚度方程），最后，把全部单元的节点力和节点位移之间的关系组集起来，就得到了一组以结构节点位移为未知量的代数方程组（总体刚度方程），同时考虑结构的约束情况，消去那些结构节点位移为零的方程，再由最后的代数方程组就可求得结构上有限个离散节点的各位移分量。求得了结构上各节点的位移分量之后，即可按单元的几何方程和物理方程求得各单元的应变和应力分量。 有限元法的实质就是把具有无限个自由度的连续体，理想化为有限个自由度的单元的集合体，使问题简化为适合于数值解法的结构型问题。 经典解法（解析法）与有限元法的区别 解析法 { } 建立一个描述连续体性质的偏微分方程组 有限元解法 连续体 数目增加到∞ 大小趋于0 微元 有限元 离散化 （单元分析）集合 总体分析 求得近似解

二、结构力学模型的简化和结构离散化 （一）结构力学模型的简化 用有限元法研究实际工程结构问题时，首先要从工程实际问题中抽象出力学模型，即要对实际问题的边界条件、约束条件和外载荷进行简化，这种简化应尽可能地反映实际情况，不至于使简化后的解答与实际差别过大，但也不要带来计算上的过分复杂，在力学模型的简化过程中，必须判断实际结构的问题类型，是二维问题还是三维问题。如果是平面问题，是平面应力问题，还是平面应变问题。同时还要搞清楚结构是否对称，外载荷大小和作用位置，结构的几何尺寸和力学参数（弹性模量E、波松比μ等）。 （二）结构的离散化 将已经简化好的结构力学模型划分成只在一些节点连续的有限个单元，把每个单元看成是一个连续的小单元体，各单元之间只在一些点上互相联结，这些点称作节点，每个单元体称为一个单元。用只在节点处连接的单元的集合体代替原来的连续结构，把外载荷按虚功等效原理移置到有关受载的节点上，构成节点载荷，把连续结构进行这样分割的过程称为结构的离散化。现举例说明。 设一平面薄板，中间有一个园孔，其左端固定，右端受面力载荷q，试对其进行有限元分割和力学模型简化。

有限元方法理论及其应用

有限元方法理论及其应用

1 课程论文：弹性力学有限元位移法原理（30分） 撰写一篇论文，对有限元位移法的原理作一般性概括和论述。要求论文论及但不 限于下列内容：1）弹性力学有限元位移法的基本思想和数学、力学基础；2）有限元法求解的原理和过程，推导计算列式；对基本概念和矩阵符号进行解释和讨论；3）等参单元的概念、原理和应用。 1.1 对一维杆单元有限元形式的理解 将一维杆单元分成三段加以推导，并应用驻值条件0p D ?∏=?，我们得到节点的平衡 方程[K]{D}{R}=，即： 12 2341100112106012112600118u u AE cL u L u -?? ???? ?? ????--??????= ??????--??????????-???? ?? 我对此提出了几点疑问： 1) 为什么边界条件u 1=0，就要划去刚度矩阵[K]中对应的行列再解方程？ 2) 为什么刚度矩阵[K]会奇异？ 3) 为什么平衡方程本身是矛盾的，而加上边界条件u 1=0之后就能解出一个唯一的近似解？ 4) 为什么刚度矩阵[K]是对称的？ 下面我谈谈自己的理解:节点平衡方程是在u 1不定的前提下，假设单元内位移都是线性变化推导出来的，由此u 1相当于一个不确定的定值约束，再加上中间两个节点的连续性要求，系统实际上只有三个独立的自由度（广义坐标）。 对于第一个问题，其实刚度矩阵[K]中的元素不是一成不变的，相反它是伴随边界条件动态变化的。当u 1=0时由刚度矩阵的推导过程可以知道，刚度矩阵的第一行和第一列都会变为0，所以此时第一行和第一列对于求解方程是没有作用的。 对于第二个问题，由于系统自由度（广义坐标）只有三个，而我们的方程却列出了四个，显然这四个方程不可能线性无关，所以刚度矩阵奇异。

有限元法基本原理与应用

有限元法基本原理与应用 班级机械2081 姓名方志平 指导老师钟相强 摘要：有限元法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。 关键词：有限元法；变分原理；加权余量法；函数。 Abstract：Finite element method is based on the variational principle and the weighted residual method, the basic idea is to solve the computational domain is divided into a finite number of non-overlapping units, each unit, select some appropriate function for solving the interpolation node points as , the differential variables rewritten or its derivative by the variable value of the selected node interpolation functions consisting of linear expressions, by means of variational principle or weighted residual method, the discrete differential equations to solve. Different forms of weight functions and interpolation functions, it constitutes a different finite element method. Keywords：Finite element method; variational principle; weighted residual method; function。 引言 有限元方法最早应用于结构力学，后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学的数值模拟。在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。在河道数值模拟中，常见的有限元计算方法是由变分法和加权余量法发展而来的里兹法和伽辽金法、最小二乘法等。根据所采用的权函数和插值函数的不同，有限元方法也分为多种计算格式。从权函数的选择来说，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽辽金法，从计算单元网格的形状来划分，有三角形网格、四边形网格和多边形网格，从插值函数的精度来划分，又分为线性插值函数和高次插值函数等。不同的组合同样构成不同的有限元计算格式。对于权函数，伽辽金(Galerkin)法是将权函数取为逼近函数中的基函数；最小二乘法是令权函数等于余量本身，而内积的极小值则为对代求系数的平方误差最小；在配置法中，先在计

有限元分析软件及应用

3.5 ANSYS软件加载、求解、后处理技术 3.5.1 ANSYS 3.5.1 ANSYS 荷载概述荷载概述 在这一节中将讨论: 有限元分析软件及应用 8 有限元分析软件及应用 8 A. 载荷分类 3.5 ANSYS 软件加载、求解、后处理技术 3.5 ANSYS 软件加载、求解、后处理技术 B. 加载 C. 节点坐标系 D. 校验载荷 孙瑛 孙瑛 E. 删除载荷 哈哈尔尔滨滨工工业业大学空大学空间结间结构研构研究中心究中心 2010秋 2010秋 SSRC SSRC 1/ 76 S Space pace S Stru truc ctu ture re R Res esear earc ch h C Center enter, H , HI IT, T, CH CHIN INA A

理技术 A. 载荷分类 B. 加载 A. 载荷分类 B. 加载 ANSYS中的载荷可分为: 可在实体模型或 FEA 模型节点和单元上加载自由度DOF - 定义节点的自由度( DOF )值结构分析_ 沿单元边界均布的压力 沿线均布的压力 位移集中载荷 - 点载荷结构分析_力面载荷 - 作用在表面的分布载荷结构分析_压力 在关键点处 在节点处约 约束体积载荷 - 作用在体积或场域内热分析_ 体积膨胀、内生 束 成热、电磁分析_ magnetic current density等实体模型 FEA 模型惯性载荷 - 结构质量或惯性引起的载荷重力、角速度等 在关键点加集中力在节点加集中力 SSR SSRC C SSR SSRC C 2/ 76 3/ 76 S Space pace S Stru truc ctu ture re R Res esear earc ch h C Center enter, H , HI IT, T, CH CHIN INA A S Space pace S Stru truc ctu ture re R Res esear earc ch h C Center enter, H , HI IT, T, CH CHIN INA A

有限元分析的典型应用领域

有限元分析的典型应用领域 6-4：对该问题进行有限元分析的过程如下。 (1)进入ANSYS（设定工作目录和工作文件） 程序→ANSYS→ANSYS Interactive →Working directory（设置工作目录）→Initial jobname（设置工作文件名）：Press →Run →OK (2)设置分析特性 ANSYSMain Menu：Preferences…→Structural →OK (3)定义单元类型 ANSYSMain Menu：Preprocessor →Element Type →Add/Edit/Delete... →Add…→Solid: Quad 4node 42 →OK（返回到Element Types窗口）→Options…→K3：Plane Strs w/thk（带厚度的平面应力问题）→OK →Close (4)定义材料参数 ANSYSMain Menu：Preprocessor →Material Props →Material Models →Structural →Linear →Elastic →Isotropic：EX：2.1e11（弹性模量），PRXY：0.3（泊松比）→OK →点击该窗口右上角的“×”来关闭该窗口 (5)定义实常数以确定平面问题的厚度 ANSYSMain Menu：Preprocessor →Real Constants…→Add/Edit/Delete →Add →Type 1 PLANE42 →OK →Real Constant Set No：1（第1号实常数），THK：3.4（平面问题的厚度）→OK →Close （6）生成几何模型 生成上拱形梁 ANSYSMain Menu：Preprocessor →Modeling →Create →Keypoints→In Active CS →NPT Keypoint number：1，X，Y，Z Location in active CS：-4.5，8.5→Apply →同样输入后5个特征点坐标（坐标分别为（-2.25，8.5），（2.25，8.5），（4.5，8.5），（0，13），（0，10.75））→OK →Lines →Lines →Straight Line 用鼠标分别连接特征点1，2和3，4生成直线→OK→Arcs →By End KPs & Rad →用鼠标点击特征点2，3 →OK →用鼠标点击特征点6 →OK →RAD Radius of the arc：2.25→Apply （出现Warning对话框，点Close关闭）→用鼠标点击特征点1，4 →OK →用鼠标点击特征点5 →OK →RAD Radius of the arc：4.5→OK（出现Warning对话框，点Close关闭）→Areas →Arbitrary →By Lines →用鼠标点击刚生成的线→OK 生成下拱形梁 ANSYSMain Menu：Preprocessor →Modeling →Create →Keypoints→In Active CS →NPT Keypoint number：7，X，Y，Z Location in active CS：-4.5，-8.5→Apply →同样输入后5个特征点坐标（坐标分别为（-2.25，-8.5），（2.25，-8.5），（4.5，-8.5），（0，-13），（0，-10.75）→OK →Lines→Lines →Straight Line →用鼠标分别连接特征点7，8和9，10生成直线→OK →Arcs →By End KPs & Rad →用鼠标点击特征点8，9 →OK用鼠标点击特征点12 →OK →RAD Radius of the arc：2.25→Apply （出现Warning对话框，点Close关闭）→用鼠标点击特征点7，10 →OK →用鼠标点击特征点11 →OK →RAD Radius of the arc：4.5→OK（出现Warning对话框，点Close关闭）→Areas →Arbitrary →By Lines →用鼠标点击刚生成的线→OK 生成两根立柱 ANSYSMain Menu：Preprocessor →Modeling →Create →Areas →Rectangle →By 2 Corners →WP X：-4.5，WP Y：-8.5，Width：2.25，Height：17→Apply →WP X：2.25，WP Y：-8.5，Width：2.25，Height：17→OK 粘结所有面

有限元理论与方法

第一章 绪论 有限元发展过程： 有限元法在西起源于收音机和导弹的结构设计，发表这面文章最早而且最有影响的是西德J.H.Argyrb 教授，于1954—1955年间分阶段在《Aircraft Engineering 》上发表上多有关这面的论文，并在此基础上写成了《能量原理与结构分析》，此书容提供了有限元法的理论基础。美国的M.T.Turner 、 R.W.cloagh 、 H.C.martin 和L.J.Topp 等人于1956年发表了了篇题为《复杂结构的刚度和挠度分析》一文，此文提出了计算复杂结构刚度影响系数的法，并说明了如利用计算机进行分析。美国于1960年在一篇介绍平面应力分析的论文中，首先提出了有限元的名字。1965年英国及其合作者解决了将有限元法应用于所有场的问题，使有限元法的应用更加广泛。 有限元法的基本思路： 有限元法的基本思路和基本原理以结构力学中的位移法为基础，把复杂的结构或连续体看成为有限个单元的组合，各单元彼此在节点处连续而组成整体，把连续体分成有限个单元和节点，称之为离散化，先对单元进行特性分析，然后根据各单元在节点处的平衡协调条件建立程，综合后作整体分析。 非线性有限元 线性有限元 几何非线性 材料非线性 有限元

这样一分一合，先离散再综合的过程，就把复杂结构或连续体的计算问题转化为简单单元的分析与综合问题。 有限元分析中可采取三种法： 位移法——取节点位移作为基本未知数 力 法——取节点力作为基本未知数 混合法—— 有限元法分析过程： 1、结构离散化（单元划分） 2、选择位移模式 为了能用节点位移表示单元体的位移、应变和应力，在分析连续体时，必须对单元中位移的分布做出一定的假定，也就是假定位移是坐标的某种简单函数，这种函数称为位移模式或位移函数（形函数）。 {}[]{}e u N δ= (1) 3、分析单元的力学特性 （1）利用几程：由位移表达式导出用点位移表示单元应变的关系式 {}[]{}e εδ=B {}ε为单元任一点的应变列阵 (2) （2）利用物理程，由应变的表达式导出用节点位移表示单元应力的关系式 {}[][]{}[]{}e D D δδε=B = (3) {}δ是单元任一点的应力列阵 []D 是材料的弹性矩阵 （3）利用虚功原理建立作用于单元上的节点力和节点位移之间的关系式，即单元的刚度程（平衡程） []{}{}e e K R δ=

有限元方法的发展及应用

有限元方法的发展及应用 摘要：有限元法是一种高效能、常用的计算方法。有限元法在早期是以变分原理为基础发展起来的，所以它广泛地应用于以拉普拉斯方程和泊松方程所描 述的各类物理场中。自从1969年以来，某些学者在流体力学中应用加权余数法中的迦辽金法或最小二乘法等同样获得了有限元方程，因而有限元法可应用于 以任何微分方程所描述的各类物理场中，而不再要求这类物理场和泛函的极值 问题有所联系。基本思想：由解给定的泊松方程化为求解泛函的极值问题。 1有限元法介绍 1.1有限元法定义 有限元法（FEA，Finite Element Analysis）的基本概念是用较简单的问题代替复杂问题后再求解。它是起源于20世纪50年代末60年代初兴起的应用数学、现代力学及计算机科学相互渗透、综合利用的边缘科学。 有限元法的基本思想是将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域 组成，对每一单元假定一个合适的(较简单的）近似解，然后推导求解这个域总 的满足条件(如结构的平衡条件），从而得到问题的解。这个解不是准确解，而 是近似解，因为实际问题被较简单的问题所代替。由于大多数实际问题难以得 到准确解，而有限元不仅计算精度高，而且能适应各种复杂形状，因而成为行 之有效的工程分析手段。有限元法最初应用在工程科学技术中,用于模拟并且解 决工程力学、热学、电磁学等物理问题。 1.2有限元法优缺点 有限元方法是目前解决科学和工程问题最有效的数值方法，与其它数值方 法相比，它具有适用于任意几何形状和边界条件、材料和几何非线性问题、容 易编程、成熟的大型商用软件较多等优点。 （1）概念浅显，容易掌握，可以在不同理论层面上建立起对有限元法的理解，既可以通过非常直观的物理解释来理解，也可以建立基于严格的数学理论 分析。 （2）有很强的适用性，应用范围极其广泛。它不仅能成功地处理线性弹性

有限元法理论及应用参考答案分析

有限元法理论及应用大作业 1、试简要阐述有限元理论分析的基本步骤主要有哪些？ 答：有限元分析的主要步骤主要有： （1）结构的离散化，即单元的划分； （2）单元分析，包括选择位移模式、根据几何方程建立应变与位移的关系、根据虚功原理建立节点力与节点位移的关系，最后得到单元刚度方程； （3）等效节点载荷计算； （4）整体分析，建立整体刚度方程； （5）引入约束，求解整体平衡方程。 2、有限元网格划分的基本原则是什么？指出图示网格划分中不合理的地方。 题2图 答：一般选用三角形或四边形单元，在满足一定精度情况，尽可能少一些单元。 有限元划分网格的基本原则: 1.拓扑正确性原则。即单元间是靠单元顶点、或单元边、或单元面连接 2.几何保持原则。即网络划分后，单元的集合为原结构近似 3.特性一致原则。即材料相同，厚度相同 4.单元形状优良原则。单元边、角相差尽可能小 5.密度可控原则。即在保证一定精度的前提下，网格尽可能的稀疏一些。（a）(b)中节点没有有效的连接，且（b）中单元边差相差很大。 （c）中没有考虑对称性，单元边差很大。 3、分别指出图示平面结构划分为什么单元？有多少个节点？多少个自由度？

题3图 答：（a ）划分为杆单元， 8个节点，12个自由度。 （b ）划分为平面梁单元，8个节点，15个自由度。 （c ）平面四节点四边形单元，8个节点，13个自由度。 （d ）平面三角形单元，29个节点，38个自由度。 4、什么是等参数单元？。 答：如果坐标变换和位移插值采用相同的节点，并且单元的形状变换函数与位移插值的形函数一样，则称这种变换为等参变换，这样的单元称为等参单元。 5、在平面三节点三角形单元中，能否选取如下的位移模式，为什么？ (1). ?????++=++=2 65432 21),(),(y x y x v y x y x u αααααα (2). ?????++=++=2 65242 3221),(),(y xy x y x v y xy x y x u αααααα 答：（1）不能，因为位移函数要满足几何各向同性，即单元的位移分布不应与人为选取的 坐标方位有关，即位移函数中的坐标x,y 应该是能够互换的。所以位移多项式应按巴斯卡三角形来选择。 （2）不能，位移函数应该包括常数项和一次项。

有限元方法理论及其应用

1 课程论文：弹性力学有限元位移法原理（30分） 撰写一篇论文，对有限元位移法的原理作一般性概括和论述。要求论文论及但不限于下列内容：1）弹性力学有限元位移法的基本思想和数学、力学基础；2）有限元法求解的原理和过程，推导计算列式；对基本概念和矩阵符号进行解释和讨论；3）等参单元的概念、原理和应用。 1.1 对一维杆单元有限元形式的理解 我对此提出了几点疑问： 1)为什么边界条件u1=0，就要划去刚度矩阵[K]中对应的行列再解方程？ 2)为什么刚度矩阵[K]会奇异？ 3)为什么平衡方程本身是矛盾的，而加上边界条件u1=0之后就能解出一 个唯一的近似解？ 4)为什么刚度矩阵[K]是对称的？ 下面我谈谈自己的理解:节点平衡方程是在u1不定的前提下，假设单元内位移都是线性变化推导出来的，由此u1相当于一个不确定的定值约束，再加上中间两个节点的连续性要求，系统实际上只有三个独立的自由度（广义坐标）。 对于第一个问题，其实刚度矩阵[K]中的元素不是一成不变的，相反它是伴随边界条件动态变化的。当u1=0时由刚度矩阵的推导过程可以知道，刚度矩阵的第一行和第一列都会变为0，所以此时第一行和第一列对于求解方程是没有作用的。 对于第二个问题，由于系统自由度（广义坐标）只有三个，而我们的方程却列出

了四个，显然

这四个方程不可能线性无关，所以刚度矩阵奇异。 对于第三个问题，首先我们应该明确方程区别于等式，虽然左右两边都是用“=”连接，但是方程只在特殊条件下取得定解。由于平衡方程是在没有约束的条件下推导出来的，显然它不可能满足等式要求。宏观上看，系统在没有外部约束，而又施加有外力，显然系统会产生加速度而绝不会平衡。所以平衡方程本身是矛盾的。而加上边界条件之后，不但满足了平衡的前提，还改变了矩阵的结构和性质，所以有解。但是，由于我们提前假设了位移线性变化，相当于人为对单元施加了额外约束，让位移按照我们假设的规律变化，所以得到的解是过刚的近似解。但对于方程本身而言是精确解。 对于第四个问题，其力学的作用机理类似于作用力与反作用力，由于刚度矩阵不表征方向，所以其大小是相等的。 1.2 有限元法的思想 有限元法是求解连续介质力学问题的数值方法，更一般意义是一种分析结构问题和连续场数学物理问题的数值方法。 有限元法的基本思想是离散化和分片插值。 即把连续的几何机构离散成有限个单元，并在每一个单元中设定有限个节点，从而将连续体看作仅在节点处相连接的一组单元的集合体，同时选定场函数的节点值作为基本未知量并在每一单元中假设一个近似插值函数以表示单元中场函数的分布规律，再建立用于求解节点未知量的有限元方程组，从而将一个连续域中的无限自由度问题转化为离散域中的有限自由度问题。 求解得到节点值后就可以通过设定的插值函数确定单元上以至个集合体上的场函数。对每个单元，选取适当的插值函数，使得该函数在子域内部、在子域分界面上以及子域与外界面上都满足一定的条件。单元组合体在已知外载荷作用下处于平衡状态时，列出一系列以节点、位移为未知量的线性方程组，利用计算机解出节点位移后，再用弹性力学的有关公式，计算出各单元的应力、应变，当各单元小到一定程度，那么它就代表连续体各处的真实情况。

有限元法概念意义与应用

有限元法概论、意义与 应用 班级： 2013信息姓名：张正 学号： 2013040692 指导老师：曾伟梁

摘要：有限元法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。 关键词：有限元法；变分原理；加权余量法；函数。 Abstract：Finite element method is based on the variational principle and the weighted residual method, the basic idea is to solve the computational domain is divided into a finite number of non-overlapping units, each unit, select some appropriate function for solving the interpolation node points as , the differential variables rewritten or its derivative by the variable value of the selected node interpolation functions consisting of linear expressions, by means of variational principle or weighted residual method, the discrete differential equations to solve. Different forms of weight functions and interpolation functions, it constitutes a different finite element method. Keywords：Finite element method; variational principle; weighted residual method; function。 引言 随着现代科学技术的发展，人们正在不断建造更为快速的交通工具、更大规模的建筑物、更大跨度的桥梁、更大功率的发电机组和更为精密的机械设备。这一切都要求工程师在设计阶段就能精确地预测出产品和工程的技术性能，需要对结构的静、动力强度以及温度场、流场、电磁场和渗流等技术参数进行分析计算。例如分析计算高层建筑和大跨度桥梁在地震时所受到的影响，看看是否会发生破坏性事故；分析计算核反应堆的温度场，确定传热和冷却系统是否合理；分析涡轮机叶片内的流体动力学参数，以提高其运转效率。这些都可归结为求解物理问题的控制偏微分方程式往往是不可能的。近年来在计算机技术和数值分析方法支持下发展起来的有限元分析（FEA，Finite Element Analysis）方法则为解决这些复杂的工程分析计算问题提供了有效的途径。 有限元法是一种高效能、常用的计算方法．有限元法在早期是以变分原理为基础发展起来的，所以它广泛地应用于以拉普拉斯方程和泊松方程所描述的各类物理场中（这类场与泛函的极值问题有着紧密的联系）。自从1969年以来，某些学者在流体力学中应用加权余数法中的迦辽金法(Galerkin)或最小二乘法等同样获得了有限元方程，因而有限元法可应用于以任何微分方程所描述的各类物理场中，而不再要求这类物理场和泛函的极值问题有所联系． 有限元方法最早应用于结构力学，后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学的数值模拟。在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中

有限元理论与方法讲

讲 授 内 容 备 注 第13讲(第13周) 4.1 结构动力学问题有限元方法 动力学问题在国民经济和科学技术的发展中有着广泛的应用领域。最经常遇到的是结构动力学问题，它有两类研究对象：一类是在运动状态下工作的机械或结构，例如高速旋转的电机、汽轮机、离心压缩机，往复运动的内燃机、冲压机床，以及高速运行的车辆、飞行器等，它们承受着本身惯性及与周围介质或结构相互作用的动力载荷。如何保证它们运行的平稳性及结构的安全性，是极为重要的研究课题。另一类是承受动力载荷作用的工程结构，例如建于地面的高层建筑和厂房，石化厂的反应塔和管道，核电站的安全壳和热交换器，近海工程的海洋石油平台等，它们可能承受强风、水流、地震以及波浪等各种动力载荷的作用。这些结构的破裂、倾覆和垮塌等破坏事故的发生，将给人民的生命财产造成巨大的损失。正确分析和设计这类结构，在理论和实际上也都是具有意义的课题。 动力学研究的另一重要领域是波在介质中的传播问题。它是研究短暂作用于介质边界或内部的载荷所引起的位移和速度的变化，如何在介质中向周围传播，以及在界面上如何反射、折射等的规律。它的研究在结构的抗震设计、人工地震勘探、无损探伤等领域都有广泛的应用背景，因此也是近20多年一直受到工程和科技界密切关注的课题。 现在应用有限单元法和高速电子计算机，已经可以比较正确地进行各种复杂结构的动力计算，本章阐明如何应用有限单元法进行动力分析。 4.1.1 运动方程 结构离散化以后，在运动状态中各节点的动力平衡方程如下 F i +F d +P (t )=F e (2-2-1) 式中：F i 、F d 、P (t )分别为惯性力、阻尼力和动力荷载，均为向量；F e 为弹性力。 弹性力向量可用节点位移δ和刚度矩阵K 表示如下 F e =K δ 式中：刚度矩阵K 的元素K ij 为节点j 的单位位移在节点i 引起的弹性力。 根据达朗贝尔原理，可利用质量矩阵M 和节点加速度22t ??δ 表示惯性力如下 22i t ??-=δ M F 式中：质量矩阵的元素M ij 为节点j 的单位加速度在节点i 引起的惯性力。 设结构具有粘滞阻尼，可用阻尼矩阵C 和节点速度 t ??δ 表示阻尼力如下 2d t ??-=δC F 式中：阻尼矩阵的元素C ij 为节点j 的单位速度在节点i 引起的阻尼力。 将各力代入式(2-2-1)，得到运动方程如下 )(22t t t P K δδC δM =+??+?? (2-2-2)

浅析有限元方法的发展与应用

浅析有限元方法的发展与应用 摘要:1965年“有限元”这个名词第一次在我国出现,到今天有限元在工程上得到广泛应用,经历了三十多年的发展历史,理论和算法都已经日趋完善。有限元法(Finite Element Method,简写为FEM)是求解微分方程的一种非常有效的数值计算方法,用这种方法进行波动数值模拟受到越来越多的重视。 关键字:有限元法发展应用 Abstract:1965 the term "finite element" first appeared in our country, to this day the finite ele ment is widely used in engineering, has experienced more than 30 years of development history, the ory and algorithm have been becoming more complete.FEM (Finite Element Method, abbreviated a s FEM) is a very effective to solve the differential equation of numerical calculation Method of wav e numerical simulation by using this Method is more and more attention. Keywords: finite element method development Application 绪论 有限元法是50年代首先在连续体力学领域--飞机结构静、动态特性分析中应用的一种有效的数值分析方法，随后很快广泛的应用于求解热传导、电磁场、流体力学等连续性问题。它是用较简单的问题代替复杂问题后再求解。它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成，对每一单元假定一个合适的(较简单的）近似解，然后推导求解这个域总的满足条件(如结构的平衡条件），从而得到问题的解。这个解不是准确解，而是近似解，因为实际问题被较简单的问题所代替。由于大多数实际问题难以得到准确解，而有限元不仅计算精度高，而且能适应各种复杂形状，因而成为行之有效的工程分析手段。有限单元法是随着电子计算机的发展而迅速发展起来的一种现代计算方法。 一、有限元的发展历程 有限元法的发展历程可以分为提出(1943)、发展(1944-1960)和后期(1961-二十世纪九十年代)三个阶段。有限元法是受内外动力的综合作用而产生的。 1943年，柯朗在《美国数学学会公报》(Bulletin of The American Mathematical Society)上发表了《平衡和振动问题的变分解法》 (Variational Methods for The Solution of Problems of Equilibrium And Vibration)一文，这篇文章实际上是他1941年在美国数学学