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图形变换共顶点旋转.知识精讲(-2015)教学教材

中考内容

中考要求

A B C

图形的旋转

了解图形的旋转，理解对应点

到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质；会识别中心对称图形

能按要求作出简单平面图形旋转后的图形，能依据旋转前、后的图形，指出旋转中心和旋转角能运用旋转的知识解决简单问题

180????

????????

???

???定义：绕定点旋转一定的角度概念与性质性质：旋转前后两个图形全等中心对称：旋转能重合等边三角形旋转等腰三角形共顶点旋转等腰直角三角形正方形费马点与最值

一、旋转

1、定义

把一个图形绕着某一点O 转动一个角度的图形变换叫做旋转，点O 叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P 经过旋转变为点'P ，那么这两个点叫做这个旋转的的对应点．如下图．

【注意】1、研究旋转问题应把握两个元素：旋转中心与旋转角．

2、每一组对应点所构成的旋转角相等． 2、性质

（1）旋转后的图形与原图形是全等的；（进而得到相等的线段、相等的角）共顶点旋转

中考大纲

知识精讲

知识网络图

（2）旋转前后两个图形对应点到旋转中心的距离相等；（进而得到等腰三角形）

（3）对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角；（若特殊角则得到等边三角形、等腰直角三角形）

3、作图的重要条件

由旋转的性质可知，旋转作图必须具备两个重要条件

（1）旋转中心

（2）旋转方向及旋转角度．

4、作图的基本步骤

具体步骤分以下几步

连：即连接图形中每一个关键点与旋转中心．

转：即把连线按要求绕旋转中心转过一定角度（作旋转角）

截：即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点．

连：即连接所得到的各点．

二、中心对称

1、中心对称的定义

把一个图形绕着某一点旋转180?，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做中心对称点，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点（如下图）

【注意】1、图形成中心对称是旋转角为定角（180?）的旋转问题，它是一种特殊的旋转，反映的是两个图形的一种特殊关系．

2、中心对称阐明的是两个图形的特殊位置关系．

2、中心对称的性质

关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分．

关于中心对称的两个图形是全等图形．

关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等．

如果连接两个图形的对应点的线段都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形一定关于这一点成中心对称．

3、中心对称图形

把一个图形绕着某一点旋转180?，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．（如下图）

4、中心对称与中心对称图形的区别与联系

中心对称是指两个图形的关系，中心对称图形是指具有某种性质的一个图形．若把中心对称图形的两个部分分别看作两个图形，则他们成中心对称；若把中心对称的两个图形看作一个整体，则成为中心对称图形．

5、关于原点对称的点的坐标特征

两个点关于原点对称时，他们坐标符号相反，反过来，只要两个点的坐标符号相反，则两个点关于原点对称．

6、中心对称图形与旋转对称图形的比较

名称

定义

区别联系旋转对称图形

如果一个图形绕着某一点旋转一

定角度（小于周角）后能与原图形完全重合，那么这个图形叫做旋转对称图形

旋转角度不一定是180?

旋转对称图形只有旋转180?才是中心对称图形，而中心对称图形一定是旋转

对称图形

中心对称图形如果一个图形绕某一点旋转180?

后能与自身重合，那么这个图形叫做中心对称图形

必须旋转180?

7、中心对称图形与轴对称图形比较名称

定义

基本图形区别举例中心对称图形

如果一个图形绕着某

点旋转180?后能与自身重合，那么这个图形叫做中心对称图形

绕某一点旋转

180?

线段、平行四边形、

矩形、菱形、圆

轴对称图形

如果一个图形沿某一

条直线翻折180?后，直

线两旁的部分能够互相重合，那么这样的图形叫做轴对称图形

180

沿某一条直线翻折180?（对折）

线段、等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圆

三、共顶点旋转

1、共顶点旋转三角形

有出现一个公共的顶点，两个三角形可以通过旋转相互得到，这类题目需要找到两个旋转三角形或者通过作出辅助线找到两个旋转三角形．

等边三角形共顶点

共顶点等腰直角三角形

【注意】以上给出了各种图形连续变化图形，图中出现的两个阴影部分的三角形是全等三角形，此模型需要注意的是利用“全等三角形”的性质进行边与角的转化．证明的基本思想“SAS”．

【例题】如图，等边三角形ABC

?与等边DEC

?共顶点于C点．求证：AE BD

=．

【答案】∵ABC

?是等边三角形，∴60

ACB

∠=?，AC BC

=．

∴60

BCD DCA

∠+∠=?，同理60

ACE DCA

∠+∠=?，DC EC

=．∴BCD ACE

∠=∠

在BCD

?与ACE

?中，

BC AC

BCD ACE

DC EC

∠=∠

∴BCD ACE

≌，∴BD AE

=．

四、费马点与最值

1、三线共点问题

图形中出现有公共端点的相等线段，可考虑将含有相等线段的图形绕公共端点旋转两相等线段的夹角后与另一相等线段重合．

2、OA与OB共用顶点O，固定OA将OB绕点O旋转过程中的，会出现AB的最大值与最小值，如图．

最大值位置

最小值位置

3、费马点的定义

到三个定理的三条线段之和最小，夹角都为120°．旋转与最短路程问题主要是利用旋转的性质转化为两点之间线段最短的问题，同时与旋转有关路程最短的问题，比较重要的就是费马点问题

4、费马点的结论

（1）平面内一点P到△ABC三顶点的之和为PA PB PC

++，当点P为费马点时，距离之和最小．（2）三内角皆小于120°的三角形，分别以AB,BC,CA为边，向三角形外侧做正三角形1

ABC

ACB,

BCA,

然后连接

AA,

BB,

CC,则三线交于一点P,则点P就是所求的费马点．

（3）若三角形有一内角大于或等于120度,则此钝角的顶点就是所求的费马点．

（4）当ABC

?为等边三角形时,此时内心与费马点重合

【例题】下面简单说明如何找点P 使它到ABC ?三个顶点的距离之和PA PB PC ++最小？这就是所谓的费

尔马问题．

【解析】如图1，把APC ?绕A 点逆时针旋转60°得到△AP ′C ′，连接PP ′．则△APP ′为等边三角形，AP = PP ′，

P ′C ′=PC ，所以PA PB PC ++= PP ′+ PB + P ′C ′．

点C ′可看成是线段AC 绕A 点逆时针旋转60°而得的定点，BC ′为定长，所以当B 、P 、P ′、C ′ 四点在同一直线上时，PA PB PC ++最小．这时∠BPA =180°-∠APP ′=180°-60°=120°，

∠APC =∠A P ′C ′=180°-∠AP ′P =180°-60°=120°，

∠BPC =360°-∠BPA -∠APC =360°-120°-120°=120° 因此，当ABC ?的每一个内角都小于120°时，所求的点P 对三角形每边的张角都是120°，可在AB 、BC 边上分别作120°的弓形弧，两弧在三角形内的交点就是P 点；当有一内角大于或等于120°时，所求的P 点就是钝角的顶点．

费尔马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换．

1、利用旋转思想构造辅助线

（1）根据相等的线段先找出被旋转的三角形．（2）根据对应边找出旋转角度，画出旋转三角． 2、四大旋转全等模型（关键找伴随全等三角形）

等腰三角形、等腰直角三角形、等边三角形伴随旋转出全等，处于各种位置的旋转模型，及残缺的旋转模型都要能很快看出来

（1）等腰三角形旋转模型图（共顶点旋转等腰出伴随全等）

解题方法技巧

（2）等边三角形旋转模型图（共顶点旋转等边出伴随全等）

（3）等腰直角旋转模型图（共顶点旋转等腰直角出伴随全等）

（4）不等边旋转模型图（共顶点旋转不等腰出伴随相似）

（5）正方形共顶点旋转

图形的变换知识点

人教版五年级下册数学第一单元图形的变换包括：、、。其中只是改变原图形位置的变换是、。一、图形的平移 1、平移不改变图形的和。 2、平移的三要素：原图形的位置、平移的方向、平移的距离。平移的方向一般为：水平方向、垂直方向两种。平移的距离：一般为几个单位长度（也即几个方格）。 3、平移是整个图形的移动，图形的每个关键点都需要按要求移动。 4、图形平移的步骤：（1）确定原图形位置、平移的方向、平移的距离。（2）找出原图形的各关键点。（3）根据题目要求将各个点依次平移。（4）顺次连接平移后的各点，标明各点名称。二、轴对称 1、一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线的图形能够重合，就说这一个图形是轴对称图形。这条直线叫做图形的。 2、轴对称图形一定有对称轴，而且至少有条对称轴，常见的例如：、、、、、；有两条对称轴的常见图形有、；有三条对称轴的常见图形有；正方形有条对称轴；五角星和正五边形有条对称轴；正六变形有条对称轴。三、轴对称图形的画法 1、轴对称图形的性质：（1）对称轴两边的图形一定完全相同（2）对应点也关于对称轴对称（3）对应点的连线垂直于对称轴（4）对应点到对称轴的距离相等 2、轴对称图形的画法：（1）根据题意确定已知图形以及对称轴位置（2）找出已知图形的关键点（3）一次过每个点作垂直于对称轴的虚线（根据性质3）（4）在对称轴另一侧确定各对应点位置（根据性质4）（5）标明各点对应名称，顺次连接各对应点得到轴对称图形。四、确定轴对称图形的对称轴沿某条直线对折之后，两边的图形能够完全重叠，这条直线就是图形的对称轴。

六、图形旋转的特点 1、旋转前后图形形状和大小都不变。 2、每组对应点与旋转中心的连线所成角的度数都等于旋转角度。 3、各对应点之间的距离也相等。七、图形旋转的三要素 1、旋转中心：可以在已知图形上也可以在已知图形外。 2、旋转方向：顺时针和逆时针。 3、旋转角度：常见的有45°、90°180°等。八、旋转图形的画法 1、确定旋转中心、旋转方向、旋转角度 2、找去原图形的各关键点 3、依次将各关键点与旋转中心连接（用虚线） 4、将各连线按要求旋转一定角度后，确定各虚线的长度，标出对应点。 5、将个对应点连接并标出名称。

解直角三角形的知识点总结

解直角三角形一、锐角三角函数（一）、锐角三角函数定义在直角三角形ABC 中，∠C=900，设BC=a ，CA=b ，AB=c ，锐角A 的四个三角函数是： (1) 正弦定义：在直角三角形中ABC ，锐角A 的对边与斜边的比叫做角A 的正弦，记作sinA ，即 sin A = c a , （2）余弦的定义：在直角三角行ABC ，锐角A 的邻边与斜边的比叫做角A 的余弦，记作cosA ，即 cos A = c b , （3）正切的定义：在直角三角形ABC 中，锐角A 的对边与邻边的比叫做角A 的正切，记作tanA ，即 tan A =b a ， (4)锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切,记作cotA 即 a A A A b 的对边的邻边cot =∠∠= 锐角A 的正弦、余弦，正切、余切都叫做角A 的锐角三角函数。这种对锐角三角函数的定义方法，有两个前提条件：（1）锐角∠A 必须在直角三角形中，且∠C=900；（2）在直角三角形 ABC 中，每条边均用所对角的相应的小写字母表示。否则，不存在上述关系

注意:锐角三角函数的定义应明确(1) c a ， c b ，b a ，a b 四个比值的大小同△ABC 的三边的大小无关，只与锐角的大小有关，即当锐角A 取固定值时，它的四个三角函数也是固定的；（2）sinA 不是sinA 的乘积，它是一个比值，是三角函数记号，是一个整体，其他三个三角函数记号也是一样；（3）利用三角函数定义可推导出三角函数的性质，如同角三角函数关系，互余两角的三角函数关系、特殊角的三角函数值等；（二）、同角三角函数的关系（1）平方关系： 12 2 sin =?+COS α (2)倒数关系：tan ａ cota=1 (3)商数关系：? ? =???= sin cos cot ,cos sin tan 注意：（1）这些关系式都是恒等式，正反均可运用，同事还要注意它们的变形公式。 (2)()??sin sin 2 2 是的简写，读作“?sin 的平方”，不能将 ??2 2 sin 写成sin 前者是a 的正弦值的平方，后者无意义；（3）这里应充分理解“同角”二字，上述关系式成立的前提是所涉及的角必须相同，如1cot tan ,12 2 3030cos sin 2 2 =?=? +? ，而1cos sin 2 2 =+ ?β就不一定成立。（4）同角三角函数关系用于化简三角函数式。（三）余角的函数关系式

图形变换共顶点旋转.习题集(2014-2015)

【例1】下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）．（2013北京中考）【答案】A 【例2】在ABC △中，AB AC =，BAC α∠=（?<

∴ADB ADC ∠=∠， ∴150ADB ∠=?， ∵60ABE DBC ∠=∠=?， ∴ABD EBC ∠=∠，又∵150BD BC ADB ECB =∠=∠=?，， ∴ABD EBC ≌ △△， ∴AB EB =， ∴ABE △是等边三角形． B C E D A （3）∵BDC ?是等边三角形， ∴60BCD ∠=?， ∴90DCE BCE BCD ∠=∠-∠=?，又∵45DEC ∠=?， ∴CE CD BC ==， ∴15EBC ∠=?， ∵302 EBC ABD α ∠=∠=?-， ∴30α=?．一、旋转的概念和性质【例3】下图中，不是旋转对称图形的是（）．【答案】B 【例4】有下列四个说法，其中正确说法的个数是（）．课堂练习

直角三角形知识点总结

直角三角形边角关系知识点考点总结考点一、直角三角形的性质（3~5分） 1、直角三角形的两个锐角互余可表示如下：∠C=90°?∠A+∠B=90° 2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 ∠A=30° 可表示如下： ?BC=2 1 AB ∠C=90° 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ∠ACB=90° 可表示如下： ?CD=2 1 AB=BD=AD D 为AB 的中点 4、勾股定理直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+ 5、摄影定理在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项 ∠ACB=90° BD AD CD ?=2 ? AB AD AC ?=2 CD ⊥AB AB BD BC ?=2 6、常用关系式由三角形面积公式可得： AB ?CD=AC ?BC

考点二、直角三角形的判定（3~5分） 1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。 2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。考点三、锐角三角函数的概念（3~8分） 1、如图，在△ABC 中，∠C=90° ①锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记为sinA ，即 c a sin =∠= 斜边的对边A A ②锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记为cosA ，即 c b cos =∠= 斜边的邻边A A ③锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记为tanA ，即b a tan =∠∠= 的邻边的对边A A A ④锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记为cotA ，即a b cot =∠∠=的对边的邻边A A A 2、锐角三角函数的概念锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数 3、一些特殊角的三角函数值三角函数 0° 30° 45° 60° 90° sinα 0 21 22 2 3 1 cos α 1 2 3 2 2 21 0 tan α 0 3 3 1 3 不存在 cot α 不存在 3 1 3 3

《图形的变换——轴对称》的教学反思

《图形的变换——轴对称》的教学反思Reflection on the teaching of "transformation of figures - axisymmetry"

《图形的变换——轴对称》的教学反思前言：小泰温馨提醒，数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科，从某种角度看属于形式科学的一种，在人类历史发展和社会生活中，数学发挥着不可替代的作用，是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具。本教案根据数学课程标准的要求和针对教学对象是小学生群体的特点，将教学诸要素有序安排，确定合适的教学方案的设想和计划、并以启迪发展学生智力为根本目的。便于学习和使用，本文下载后内容可随意修改调整及打印。对称是一种最基本的图形变换，是学习空间与图形知识的必要基础，对于帮助学生建立空间观念，培养学生的空间想象力有着不可忽视的作用。本册第一课教学任务就是教学轴对称，教材中安排了形式多样的操作活动，在本节课的教学中，我结合教材的特点，设计了三次操作活动，让学生在动手操作中逐步体验轴对称图形的基本特征。创设情境教学，请会折叠衣服的同学上台来展示一下叠衣服的方法。从而引出课题。接着1、出示轴对称物体：天安门、飞机、奖杯、让学生观察它们有什么共同特点？学生观察发现，它们的两边都是一样的。2 剪小树：通过不同剪法师生共同评价得出这些图形两边都一样的，所以先把纸对折，然后再剪，剪定后再展开，就是这棵小树了。这是本节课第一次操作活动，安排在学生观察生活中的对称现象后，目的在于让学生在操作中初步感知轴对称现象。学生这

次操作活动看似一次无目的操作活动，但要一棵小树甚至一个漂亮的窗花，不去寻找规律，也是非常困难的，通过学生的交流，能初步感知到两边一样的图形可以对折起来再剪，这就是轴对称图形特征的初步感知。本节课教学中我更多的是作为学生学习的引导者、组织者、欣赏者而存在于学生的学习过程之中。教学中我更多的是关注学生对数学美感的感受、捕捉和创造能力的培养。主要体现在以下几个方面：一、通过游戏与生活，感知对称美。学生们都学习过剪纸，就已经会用对折的方法剪出左右两边形状、大小完全一样的图形。因此，现实中一些对称的图形学生在课前早已接触过，然而何谓“对称”，这一概念对于学生来说却是新鲜的。由此可见，如何让学生科学地认识并建立“对称”的概念是我这节课要达成的重要目标之一。因此，我设计“玩纸飞机”的这样一个活动，有效地帮助学生构建科学的“对称”概念，抓住对称的本质特征，让学生对“对称”的概念有更清晰的认识，也为其在生活中如何判断对称现象提供方法。二、动手创造，感受对称美。在“剪对称图形”这一环节，我注重学生主体性的探索与发现过程的经历，试图让学生通过自己的经验和思维得到对新知识的理解、顿悟。当出现一部分学生剪得慢，甚至剪不出来的情况时，我没有置之不理，更没有主导学生的思维，而是充分利用了

小学六年级数学图形的变换训练一

小升初数学之图形的变换一．填空题（共1小题） 1．（1）由①图到②图是向_________平移_________格．（2）由①图到③图是向_________平移_________格．（3）把②图向左平移3格，画出平移后的图形．（4）把③图向上平移2格，画出平移后的图形．二．解答题（共13小题） 2．（2008?南靖县）（1）0A为对称轴，画出图形另一半，成为图形1．（2）将画好的整个图形向右平移4格，再画出来．（3）将图形1绕O点顺时针旋转90°，并画出来． 3．（2007?惠山区）①画出下面三个图形中轴对称图形的对称轴． ②将梯形围绕A点逆时针旋转90°，画出旋转后的图形． ③将平行四边形先向右平移5格，再向下平移2格，画出平移后的图形．

4．（2009?兴国县模拟）（1）以0A为对称轴，画出图形另一半，成为图形A．（2）将画好的图形A向右平移4格，得到图形B．（3）将图形A绕O点顺时针旋转90°，得到图形C． 5．图形A向右平移5格得到图形B，图形B向下平移2格得到图形C，请在图中画出图形B和图形C． 6．图中，图形A是如何变换得到图形B？ 7．请画出先向右平移8格，再向下平移2格后得到的图形．

8．按要求画一画．（1）在方格子中画出图①绕O点顺时针方向旋转90°后的图形．（2）画出将图②向右平移7格，再向上平移3格后的图形．（3）画出图③的另一半，使它成为轴对称图形． 9．按要求画图．（1）将图形A向上平移5格，再向右平移7格，得到图形B．（2）以横虚线为对称轴，画出和图形A对称的图形．（3）以竖虚线为对称轴，画出和图形C对称的图形． 10．先画出图形：（1）向下平移3小格后的图形（2）再画出图形①绕顶点A逆时针旋转90度后的图形③．

小学六年级数学图形的变换试题及答案

2013年图形的变换一．填空题（共1小题） 1．（1）由①图到②图是向_________平移_________格．（2）由①图到③图是向_________平移_________格．（3）把②图向左平移3格，画出平移后的图形．（4）把③图向上平移2格，画出平移后的图形．二．解答题（共13小题） 2．（2008?南靖县）（1）0A为对称轴，画出图形另一半，成为图形1．（2）将画好的整个图形向右平移4格，再画出来．（3）将图形1绕O点顺时针旋转90°，并画出来． 3．（2007?惠山区）①画出下面三个图形中轴对称图形的对称轴． ②将梯形围绕A点逆时针旋转90°，画出旋转后的图形． ③将平行四边形先向右平移5格，再向下平移2格，画出平移后的图形．

直角三角形知识讲解

直角三角形（提高）【学习目标】 1．理解和掌握判定直角三角形全等的一种特殊方法——“斜边，直角边”（即“HL”）. 2．能熟练地用判定一般三角形全等的方法及判定直角三角形的特殊方法判定两个直角三角形全等. 3. 能应用直角三角形的性质解题. 【要点梳理】要点一、判定直角三角形全等的一般方法由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了。这里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定理. 要点二、判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备. 要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了. （2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL. 证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法. （3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”. 要点三、直角三角形的性质定理1：直角三角形的两个锐角互余. 定理2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 推论1：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 推论2：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°. 要点诠释：这个定理的前提条件是“在直角三角形中”，是证明直角三角形中一边等于另一边（斜边）的一半的重要方法之一，通常用于证明边的倍数关系. 【典型例题】类型一、直角三角形全等的判定——“HL” 1、判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理由：（1）一个锐角和这个角的对边对应相等；（）（2）一个锐角和斜边对应相等；（）（3）两直角边对应相等；（）（4）一条直角边和斜边对应相等．（）【答案】（1）全等，“AAS”；（2）全等，“AAS”；（3）全等，“SAS”；（4）全等，“HL”. 【解析】理解题意，画出图形，根据全等三角形的判定来判断.

中考数学图形的变换专题秘籍

中考数学图形的变换专题复习 1.通过具体实例认识轴对称、平移、旋转，探索它们的基本性质； 2.能够按要求作出简单平面图形经过轴对称、平移、旋转后的图形，能作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形； 3.探索基本图形（等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆）的轴对称性质及其相关性质. 4.探索图形之间的变换关系（轴对称、平移、旋转及其组合）； 5.利用轴对称、平移、旋转及其组合进行图案设计；认识和欣赏轴对称、平移、旋转在现实生活中的应用. 【知识网络】【考点梳理】考点一、平移变换 1.平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移，平移不改变图形的形状和大小．【要点诠释】（1）平移是运动的一种形式，是图形变换的一种，本讲的平移是指平面图形在同一平面内的变换；（2）图形的平移有两个要素：一是图形平移的方向，二是图形平移的距离，这两个要素是图形平移的依据；（3）图形的平移是指图形整体的平移，经过平移后的图形，与原图形相比，只改变了位置，而不改变图形的大小，这个特征是得出图形平移的基本性质的依据． 2．平移的基本性质：由平移的概念知，经过平移，图形上的每一个点都沿同一个方向移动相同的距离，平移不改变图形的形状和大小，因此平移具有下列性质：经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应角相等．【要点诠释】（1）要注意正确找出“对应线段，对应角”，从而正确表达基本性质的特征；（2）“对应点所连的线段平行且相等”，这个基本性质既可作为平移图形之间的性质，又可作为平移作图的依据．考点二、轴对称变换 1．轴对称与轴对称图形轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也叫做这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的对应点，叫做对称点. 轴对称图形：把一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形. 2．轴对称变换的性质 ①关于直线对称的两个图形是全等图形.

第三章《图形的平移与旋转》专题复习(含答案)

第三章《图形的平移与旋转》专题专练专题一图形的平移概念重点知识回顾 1.平移的概念：在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形变换称为平移. 注意：（1）平移过程中，对应线段可能在一条直线上. （2）平移过程中，对应点所连的线段也可能在一条直线上. 2.平移的两个基本要素： “平移的方向”和“平移的距离”.图形的平移是由它的移动方向和移动距离决定的.当图形平移的方向没有指明时，就需要认真观察图形的形状和位置的变化特征，根据平移的性质先确定平移的方向，再确定对应点、对应线段和对应角. 3.图形的平移是指图形整体的平移，经过平移后的图形，与原图形相比，只改变了位置，而不改变图形的大小，这个特征是得出平移性质的依据. 典型例题剖析例1 生活中有很多平移的例子，下列物体的运动是平移的是（） A.水中小鱼的游动 B.天空中划过的流星的运动 C.出膛的子弹沿水平直线的运动 D.小华在跳高时的运动分析：正确判断物体是否为平移运动关键是理解和掌握平移的概念和特征.看物体是否在同一个平面内运动，是否沿某个方向平行移动一定的距离，而“水中小鱼的游动”、“天空中划过的流星的运动”、“小华在跳高时的运动”显然不符合平移的概念，只有“出膛的子弹沿水平直线的运动”才是平移运动. 点悟：识别平移现象的关键是抓住平移的特征：物体必须在平面内运动，在曲面上运动物体一定不是平移，平移是直线的运动，平移只与物体的位置有关，与速度无关，平移只关注物体的位置变化. 例2 （2008年福建省泉州市）在图1的方格纸中，ABC △向右平移格后得到111A B C △．分析：因为△A 1B 1C 1是△ABC 平移后得到的图形，所以点A 1与点 A 、 B 1与B 、 C 1与C 分别是对应点，故只需随便数一数一对对应点之间的格数，即为平移图1

八年级数学直角三角形知识点

八年级数学直角三角形知识点 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】

八年级数学《直角三角形》知识点一、直角三角形的性质 1、直角三角形的两个锐角互余可表示如下：∠C=90°?∠A+∠B=90° 2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 ∠A=30° 可表示如下： ?BC= 21AB ∠C=90° 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ∠ACB=90° 可表示如下： ?CD= 2 1AB=BD=AD D 为AB 的中点 4、勾股定理直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+ 5、射影定理(了解) 在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的射影和斜边的比例中项 ∠ACB=90° BD AD CD ?=2 CD ⊥AB 6、常用关系式由三角形面积公式可得： AB ?CD=AC ?BC

二、直角三角形的判定 1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。 2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a ，b ，c ，有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。三、解直角三角形 1、解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。 2、解直角三角形的理论依据在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c （1）三边之间的关系：222c b a =+（勾股定理）（2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90° （3）边角之间的关系：练习：一、选择题 1. 直角三角形的斜边比一直角边长2 cm ，另一直角边长为6 cm ，则它的斜边长为（） A 、4 cm B 、8 cm C 、10 cm D 、12 cm 2. 已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（） A 、25 B 、14 C 、7 D 、7或25 3. 等腰三角形的腰长为10,底长为12,则其底边上的高为( ) A 、13 B 、8 C 、25 D 、64 4. 将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( ) A 、钝角三角形 B 、锐角三角形 C 、直角三角形 D 、等腰三角形. 5、等腰三角形腰长为13，底边长为10，则它底边上的高为（）

(完整word版)图形变换共顶点旋转.知识精讲(2014-2015).doc

共顶点旋转中考大纲中考内容 A 了解图形的旋转，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应图形的旋转点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质；会识别中心对称图形中考要求 B C 能按要求作出简单平面图形旋转后的图能运用旋转的形，能依据旋转前、后的图形，指出旋知识解决简单转中心和旋转角问题知识网络图定义：绕定点旋转一定的角度概念与性质性质：旋转前后两个图形全等中心对称：旋转 180 能重合等边三角形旋转等腰三角形共顶点旋转等腰直角三角形正方形费马点与最值知识精讲一、旋转 1、定义把一个图形绕着某一点 O 转动一个角度的图形变换叫做旋转，点 O 叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点 P 经过旋转变为点 P ' ，那么这两个点叫做这个旋转的的对应点．如下图． P Q O P' Q' 【注意】 1、研究旋转问题应把握两个元素：旋转中心与旋转角． 2、每一组对应点所构成的旋转角相等． 2、性质（ 1）旋转后的图形与原图形是全等的；（进而得到相等的线段、相等的角）

（2）旋转前后两个图形对应点到旋转中心的距离相等；（进而得到等腰三角形）（3）对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角；（若特殊角则得到等边三角形、等腰直角三角形） 3、作图的重要条件由旋转的性质可知，旋转作图必须具备两个重要条件（1）旋转中心（2）旋转方向及旋转角度． 4、作图的基本步骤具体步骤分以下几步连：即连接图形中每一个关键点与旋转中心．转：即把连线按要求绕旋转中心转过一定角度（作旋转角）截：即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点．连：即连接所得到的各点．二、中心对称 1、中心对称的定义把一个图形绕着某一点旋转 180 ，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做中心对称点，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点（如下图） A D O B C 【注意】 1、图形成中心对称是旋转角为定角（180）的旋转问题，它是一种特殊的旋转，反映的是两个图形的一种特殊关系． 2、中心对称阐明的是两个图形的特殊位置关系． 2、中心对称的性质关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分．关于中心对称的两个图形是全等图形．关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等．如果连接两个图形的对应点的线段都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形一定关于这一点成中心对称． 3、中心对称图形把一个图形绕着某一点旋转180 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．（如下图） A D O B C

图形变换共顶点旋转.知识精讲(2014-2015)

中考内容中考要求 A B C 图形的旋转了解图形的旋转，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质；会识别中心对称图形能按要求作出简单平面图形旋转后的图形，能依据旋转前、后的图形，指出旋转中心和旋转角能运用旋转的知识解决简单问题 180???? ?? ?????? ?? ?? ?? ?? ??? ???定义：绕定点旋转一定的角度概念与性质性质：旋转前后两个图形全等中心对称：旋转能重合等边三角形旋转等腰三角形共顶点旋转等腰直角三角形正方形费马点与最值一、旋转 1、定义把一个图形绕着某一点O 转动一个角度的图形变换叫做旋转，点O 叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P 经过旋转变为点'P ，那么这两个点叫做这个旋转的的对应点．如下图． Q' P' Q P O 【注意】1、研究旋转问题应把握两个元素：旋转中心与旋转角． 2、每一组对应点所构成的旋转角相等． 2、性质（1）旋转后的图形与原图形是全等的；（进而得到相等的线段、相等的角）共顶点旋转中考大纲知识精讲知识网络图

（2）旋转前后两个图形对应点到旋转中心的距离相等；（进而得到等腰三角形）（3）对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角；（若特殊角则得到等边三角形、等腰直角三角形） 3、作图的重要条件由旋转的性质可知，旋转作图必须具备两个重要条件（1）旋转中心（2）旋转方向及旋转角度． 4、作图的基本步骤具体步骤分以下几步连：即连接图形中每一个关键点与旋转中心．转：即把连线按要求绕旋转中心转过一定角度（作旋转角）截：即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点．连：即连接所得到的各点．二、中心对称 1、中心对称的定义把一个图形绕着某一点旋转180?，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做中心对称点，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点（如下图） A D O C B 【注意】1、图形成中心对称是旋转角为定角（180?）的旋转问题，它是一种特殊的旋转，反映的是两个图形的一种特殊关系． 2、中心对称阐明的是两个图形的特殊位置关系． 2、中心对称的性质关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分．关于中心对称的两个图形是全等图形．关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等．如果连接两个图形的对应点的线段都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形一定关于这一点成中心对称． 3、中心对称图形把一个图形绕着某一点旋转180?，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．（如下图） A D O C B

直角三角形的边角关系知识点

直角二角形的边角关系知识考点知识讲解： 1.锐角三角函数的概念如图，在ABC 中，/ C 为直角，则锐角 A 的各三角函数的定义如下： (1)角A 的正弦：锐角A 的对边与斜边的比叫做/ A 的正弦，记作sinA , ⑵ 角A 的余弦：锐角A 的邻边与斜边的比叫做/ A 的余弦，记作 cosA , 口口 b 即 cosA = (3)角A 的正切：锐角A 的对边与邻边的比叫做/ A 的正切，记作tanA , 即 tanA =7 b (4) 角A 的余切：锐角A 的邻边与对边的比叫做/ A 的余切，记作cotA , 即 si nA

b 即cotA =- a 2.直角三角形中的边角关系

(1) 三边之间的关系：a 2 + b 2 = c 2 (2) 锐角之间的关系：A + B = 90° (3) 边角之间的关系： sinA = cosB = -, cosA = sinB =2 c c a b tanA = cotB = , cotA = tanB = 3. 三角函数的关系 (1) 同角的三角函数的关系 2) 倒数关系：tan A -c otA = 1 sinA cosA tanA = , cotA =. cosA st nA (2) 互为余角的函数之间的关系 sin(90 ° - A) = cosA , cos(90 ° - A) = sinA tan (90 ° — A) = cotA , cot (90 ° — A) = tanA 4. 一些特殊角的三角函数值 1) 平方关系：sinA 2 + cosA 2 = 1 3) 商的关系:

图形的变换与对称图形

中考复习之八：图形变换与对称图形知识结构中心对称图形中心对称轴对称图形旋转轴对称平移图形的变换知识要点 1.我们学过的图形变换包括、轴对称、等三种. 2.把一个图形沿着某直线方向移动，叫做图形的 . 3.把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一图形，那么就说这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴. 4.如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相，这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴. 5.把一个平面图形绕着平面内某一点转动一个角度，叫做图形的，这个点叫做中心，转动的角叫做角. 6.把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形，那么就说这两个图形中心对称，这个点叫做对称中心. 7.把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心. 例题精选例1 下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）（A ）（B ）（C ）（D ）答案：（C ）例2 已知△ABC 在直角坐标系中的位置如图所示，如果 △A ′B ′C ′与△ABC 关于y 轴对称，那么点A 的对应点A ′ 的坐标为（）. （A ）(-4，2) （B ）(-4，-2) （C ）(4，-2) （D ）(4，2)

分析：关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标相反.A点的坐标是(-4，2)，则A点关于y 轴的对应点A′的坐标为(4，2). 答案：（D）例3已知点P(5，a)与P′(b，-1)是关于原点的对称点，则a、b的值是（）. （A）a=1，b=5 （B）a=1，b=-5 （C）a=-1，b=5 （D）a=-1，b=-5 分析：关于原点对称的点，横坐标、纵坐标都相反，所以a=1，b=-5. 答案：（B）例4如图，在直角坐标系中，右边的图案是由左边的图案经过平移以后得到的.左图案中左右眼睛的坐标分别是(-4，2)，(-2，2)，右图中左眼的坐标是(3，4)，则右图案中右眼的坐标是 . 分析：平移前左眼的坐标是(-4，2) ，平移后左眼的坐标是(3 ，4)，它的横坐标增加了7，纵坐标增加了2.根据这个规律，平移后右眼的坐标是(5，4). 答案：(5，4) 中考集训 1.将图中所示的图案通过平移后可以得到的图案是（）. （A）（B）（C）（D） 2.点A的坐标是（2，-3），把点A向左平移4个单位，向上平移6个单位长度得到点B，则点 B的坐标是（）. （A）(-2，3) （B）(-2，-9) （C）(6，3) （D）(6，-9) 3.（2000年）一个等边三角形的对称轴共有（）. （A）0条（B）1条（C）2条（D）3条 4.一个正方形的对称轴共有（）. （A）1条（B）2条（C）4条（D）无数条 5.（2001年）下列图形中，是轴对称图形而不是中心对称图形的是（）. （A）等腰梯形（B）菱形（C）矩形（D）圆 6.（2005年）下列图形中不是中心对称图形的是（）. （A）正方形（B）等边三角形（C）菱形（D）圆 7.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）. （A）等腰梯形（B）平行四边形（C）正三角形（D）矩形 8.（2006年）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）. （A）（B）（C）（D） -6 -6 6 6 1 1 2 23 3 4 4 5 5 -1 -1 -2 -2 -3 -3 -4 -4 -5 -5 x y o

《图形的平移与旋转》专题专练

《图形的平移与旋转》专题专练专题一：确定图形变换后的坐标把图形放在平面直角坐标系中，利用点的坐标，可进行图形的变换或确定图形的位置与形状，解答这类问题，是数与形结合的体现，有利于提高综合运用知识的能力．现以坐标系中的平移与旋转的图形变换为例加以说明．例1 如图1，在△AOB中，AO＝AB．在直角坐标系中，点A的坐标是（2，2），点O的坐标是（0，0），将△AOB平移得到△A′O′B′，使得点A′在y轴上，点O′、B′在x轴上．则点B′的坐标是．析解：因为△AOB是等腰三角形，容易得到B点坐标为（4，0），将△AOB 平移得到 △A′O′B′，使得点A′在y轴上，是将图形向左平移2个单位长度．根据平移特点，平移后对应线段相等，因此点B也向左平移2个单位长度，所以点B′的坐标为（2，0）．例2 已知平面直角坐标系上的三个点O（0，0），A（-1，1），B（-1，0），将△ABO绕点O按顺时针方向旋转135°，则点A，B的对应点坐标为A1（，），B1（，）．析解：建立如图2所示的直角坐标系，则OA＝2，所以OA1＝OA＝2，所以点A1的坐标是（2，0）．因为∠AOB＝45°，所以△AOB是等腰直角三角形，所以△A1OB1是等腰直角三角形，且OA1边上的高为 2 2 ，所以B1 22 22 ?? ? ? ?? ，．练习一：1．如图3，若将△ABC绕点C顺时针旋转90°后得到△A′B′C′，则A点的对应点A′的坐标是（）．（A）（-3，-2）（B）（2，2）（C）（3，0）（D）（2，1）

2．如图4，在直角坐标系中，右边的图案是由左边的图案经过平移以后得到的．左图案中左右眼睛的坐标分别是（－4，2）、（－2，2），右图案中左眼的坐标是（3，4），则右图案中右眼的坐标是． 3．在平面直角坐标系中，已知点P0的坐标为（1，0），将点P0绕着原点O 按逆时针方向旋转60°得点P1，延长OP1到点P2，使OP2＝2OP1，再将点P2绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P3，则点P3的坐标是．4．如图5，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点间连线为边的三角形称为“格点三角形”，图中的△ABC就是格点三角形．在建立平面直角坐标系后，点B的坐标为（－1，－1）．（1）把△ABC向左平移8格后得到△A1B1C1，画出△A1B1C1的图形，并写出点B1的坐标；（2）把△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°后得到△A2B2C，画出△A2B2C 的图形，并写出点B2的坐标．专题二：图形的变换分析分析图形的变换一般选择合适的“基本图形”，然后由平移、旋转的定义考查这一基本图形变换到另一个基本图形的运动方式是平移还是旋转，以及运动的距

图形变换—旋转综合题(含答案)-

图形变换—旋转综合题 1.如图，在△ABC中，∠C=90o，∠A=30o，BC=2，D是AB中点，等腰直角三角板的直角顶点落在点D上，使三角板绕点D旋转。（1）如图1，当三角板两边分别交边AC、BC于F、E时，线段EF与AF、BE有怎样的关系并加以证明。（2）如图1,设AF=x，四边形CEDF的面积为y.求y关于x的函数关系式，写出自变量x的取值范围. （3）在旋转过程中，当三角板一边DM经过点C时，另一边DN交CB延长线于点E,连结AE与CD延长线交于H,如图2，求DH的长。

2.如图，已知正方形ABCD，将一块等腰直角三角尺的锐角顶点与A重合，并将三角尺绕点旋转，如图1，使它的斜边与BC交于点E，一条直角边与CD交于点F（E、F不与B、D重合），AE、AF分别与BD交于P、Q两点. （1）求证：△ABP∽△ACF，且相似比为1∶2；（2）请再在图1中（不再添线和加注字母）找出两对相似比为1∶2的非直角三角形的相似三角形；（直接写出）（3），如图2当M点旋转到BC的垂直平分线PQ上时，连结ON,若ON=8,求MQ的长。

3.如图，操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与边DC或射线DC相交于点Q。 ①当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到的结论； ②当点Q在边CD运动上时，设四边形PBCQ的面积为S时，试用含有x的代数式表示S： ③当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x的值；如果不可能，试说明理由。

五年级数学下册《图形的变换》习题(人教版)

五年级数学第一单元《图形的变换》一、在下面图形中，你还能画出其它对称轴吗？如果能，请画出来。二、下面的图案各是从哪张纸张上剪下来的？请连线。三、你知道方格纸上图形的位置关系吗？ (1)图形B 可以看作图形A 绕点顺时针方向旋转90°得到的。 (2)图形C 可以看作图形B 绕点O 顺时针方向旋转得到的。 (3)图形B 绕点O 顺时针旋转180°到图形所在位置。 (4)图形D 可以看作图形C 绕点O 顺时针方向旋转得到的。四、如图 ( )条对称轴 ( )条对称轴 ( )条对称轴 ( )条对称轴 ( )条对称轴 ( )条对称轴（1）指针从“1”绕点0顺时针旋转600 后指向（2）指针从“1”绕点0逆时针旋转900 后指向

五、画出图形的另一半，使它成为一个轴对称图形。六、(1)画出三角形AOB 绕O点（2）绕O点顺时针旋转90° 顺时针旋转90度后的图形。（3）绕O点逆时针旋转90° 一、这些现象哪些是“平移”现象，哪些是“旋转”现象：（1）张叔叔在笔直的公路上开车，方向盘的运动是（）现象。

（2）升国旗时，国旗的升降运动是（）现象。（3）妈妈用拖布擦地，是（）现象。（4）自行车的车轮转了一圈又一圈是（）现象。二、移一移，说一说。（1）向（）平移了（）格。（2）向（）平移了（）格。（3）向（）平移了（）格三、动手操作。 ①②③ 图形①是以点（）为中心旋转的；图形②是以点（）为中心旋转的；图形③是以点（）为中心旋转的。四．请按照给出的对称轴画出第一个图形的对称图形，第二个图形请向上移动3格。

2、（1）图形1 绕A 点（）旋转90。到图形2。（2）图形2绕A 点（）旋转90。到图形3。（3）图形4绕A 点顺时针旋转（）到图2。（4）图形3绕A 点顺时针旋转（）到图1。六、画出下图经过平移或旋转的图形。 1432