图形变换共顶点旋转.知识精讲(2014-2015)(可编辑修改word版)

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知识网络图

中考大纲

共顶点旋转

中考内容

中考要求

了解图形的旋转，理解对应点

到旋转中心的距离相等、对应 能按要求作出简单平面图形旋转后的图 能运用旋转的 图形的旋转

点与旋转中心连线所成的角彼 形，能依据旋转前、后的图形，指出旋 知识解决简单 此相等的性质；会识别中心对 转中心和旋转角 问题

称图形

? ?定义：绕定点旋转一定的角度

?概念与性质?

?

?性质：旋转前后两个图形全等 ?中心对称：旋转180?能重合 旋转?

?等边三角形 ?

? ?共顶点旋转?等腰三角形 ?

? ?

?等腰直角三角形 ? ??正方形 ?

??费马点与最值

知识精讲

一、旋转

1、定义

把一个图形绕着某一点O 转动一个角度的图形变换叫做旋转，点O 叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点 P 经过旋转变为点 P ' ，那么这两个点叫做这个旋转的的对应点．如下图．

O

【注意】1、研究旋转问题应把握两个元素：旋转中心与旋转角．

2、每一组对应点所构成的旋转角相等． 2、性质

（1） 旋转后的图形与原图形是全等的；（进而得到相等的线段、相等的角）

P

Q

P'

Q'

A

O

（2） 旋转前后两个图形对应点到旋转中心的距离相等；（进而得到等腰三角形）

（3） 对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角；（若特殊角则得到等边三角形、等腰直角三角

形）

3、作图的重要条件

由旋转的性质可知，旋转作图必须具备两个重要条件

（1） 旋转中心

（2） 旋转方向及旋转角度．

4、作图的基本步骤具体步骤分以下几步

连：即连接图形中每一个关键点与旋转中心．

转：即把连线按要求绕旋转中心转过一定角度（作旋转角）

截：即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点． 连：即连接所得到的各点．

二、中心对称

1、中心对称的定义

把一个图形绕着某一点旋转180? ，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做中心对称点，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点（如下图）

D

B

C

【注意】1、图形成中心对称是旋转角为定角（180? ）的旋转问题，它是一种特殊的旋转，反映的是两个图

形的一种特殊关系．

2、中心对称阐明的是两个图形的特殊位置关系． 2、中心对称的性质

关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分． 关于中心对称的两个图形是全等图形．

关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等．

如果连接两个图形的对应点的线段都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形一定关于这一点成中心对称． 3、中心对称图形

把一个图形绕着某一点旋转180? ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．（如下图）

A

D

O

B

C

4、中心对称与中心对称图形的区别与联系

中心对称是指两个图形的关系，中心对称图形是指具有某种性质的一个图形．若把中心对称图形的两个部分分别看作两个图形，则他们成中心对称；若把中心对称的两个图形看作一个整体，则成为中心对称图形．

5、关于原点对称的点的坐标特征

两个点关于原点对称时，他们坐标符号相反，反过来，只要两个点的坐标符号相反，则两个点关于原点对称．

6、中心对称图形与旋转对称图形的比较

名称定义区别联系如果一个图形绕着某一点旋转一

旋转对称图形定角度（小于周角）后能与原图

形完全重合，那么这个图形叫做

旋转角度不一定是180?

旋转对称图形只有

旋转180?才是中心旋转对称图形对称图形，而中心对如果一个图形绕某一点旋转180? 称图形一定是旋转

中心对称图形后能与自身重合，那么这个图形必须旋转180? 对称图形叫做中心对称图形

7、中心对称图形与轴对称图形比较

名称定义基本图形区别举例

中心对称图形如果一个图形绕着某点

旋转180?后能与自身

重合，那么这个图形叫

做中心对称图形

绕某一点旋转

180?

线段、平行四边

形、矩形、菱形、

圆

轴对称图形如果一个图形沿某一

条直线翻折180?后，直

线两旁的部分能够互

相重合，那么这样的图

180

沿某一条直线翻

折180?（对折）

线段、等腰三角

形、矩形、菱形、

正方形、圆

形叫做轴对称图形

三、共顶点旋转

1、共顶点旋转三角形

有出现一个公共的顶点，两个三角形可以通过旋转相互得到，这类题目需要找到两个旋转三角形或者通过作出辅助线找到两个旋转三角形．

三三三三三三三三

?

?

三三三三三三三三三三

【注意】以上给出了各种图形连续变化图形，图中出现的两个阴影部分的三角形是全等三角形，此模型需

要注意的是利用“全等三角形”的性质进行边与角的转化．证明的基本思想“SAS”．

【例题】如图，等边三角形?ABC 与等边?DEC 共顶点于C 点．求证： AE = BD ．

【答案】∵ ?ABC 是等边三角形，∴ ∠ACB = 60? ， AC = BC ．

∴ ∠BCD + ∠DCA = 60? ，同理∠ACE + ∠DCA = 60? ， DC = EC ．∴ ∠BCD = ∠ACE 在?BCD 与?ACE 中，

?BC = AC ?

∠BCD = ∠ACE ?DC = EC ∴ ?BCD ≌ ?ACE ，∴ BD = AE ．

四、费马点与最值

1、三线共点问题

图形中出现有公共端点的相等线段，可考虑将含有相等线段的图形绕公共端点旋转两相等线段的夹角后与另一相等线段重合．

2、OA 与OB 共用顶点O ，固定OA 将OB 绕点O 旋转过程中的，会出现 AB 的最大值与最小值，如图．

B

三三三三三

三三三三三

3、费马点的定义

到三个定理的三条线段之和最小，夹角都为120 °．旋转与最短路程问题主要是利用旋转的性质转化为两点之间线段最短的问题，同时与旋转有关路程最短的问题，比较重要的就是费马点问题 4、费马点的结论

（1） 平面内一点 P 到△ABC 三顶点的之和为 PA + PB + PC ，当点 P 为费马点时，距离之和最小． （2） 三内角皆小于 120°的三角形，分别以 AB , BC , CA 为边，向三角形外侧做正三角形 ABC 1 ACB 1 , BCA 1 ,

然后连接 AA 1 , BB 1 , CC 1 ,则三线交于一点 P ,则点 P 就是所求的费马点．

（3） 若三角形有一内角大于或等于 120 度,则此钝角的顶点就是所求的费马点． （4） 当?ABC 为等边三角形时,此时内心与费马点重合

E

D

B

C A

O

解题方法技巧

【例题】下面简单说明如何找点P 使它到?ABC 三个顶点的距离之和PA +PB +PC 最小？这就是所谓的费尔马问题．

C'

B C

【解析】如图1，把?APC 绕A 点逆时针旋转60°得到△AP′C′，连接PP′．则△APP′为等边三角形，AP= PP′，P′C′=PC，所以PA +PB +PC = PP′+ PB+ P′C′．

点C′可看成是线段AC 绕A 点逆时针旋转60°而得的定点，BC′为定长，所以当B、P、P′、C′ 四

点在同一直线上时，PA +PB +PC 最小．

这时∠BPA=180°-∠APP′=180°-60°=120°，

∠APC=∠A P′C′=180°-∠AP′P=180°-60°=120°，

∠BPC=360°-∠BPA-∠APC=360°-120°-120°=120°

因此，当?ABC 的每一个内角都小于120°时，所求的点P 对三角形每边的张角都是120°，可在AB、BC 边上分别作120°的弓形弧，两弧在三角形内的交点就是P 点；当有一内角大于或等于120°时，所求的P 点就是钝角的顶点．

费尔马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转

变换．

1、利用旋转思想构造辅助线

（1）根据相等的线段先找出被旋转的三角形．

（2）根据对应边找出旋转角度，画出旋转三角．

2、四大旋转全等模型（关键找伴随全等三角形）

等腰三角形、等腰直角三角形、等边三角形伴随旋转出全等，处于各种位置的旋转模型，及残缺的旋转模型都要能很快看出来

（1）等腰三角形旋转模型图（共顶点旋转等腰出伴随全等）

A

P'

P

（2）等边三角形旋转模型图（共顶点旋转等边出伴随全等）

（3）等腰直角旋转模型图（共顶点旋转等腰直角出伴随全等）

（4）不等边旋转模型图（共顶点旋转不等腰出伴随相似）（5）正方形共顶点旋转

3、旋转秘籍

（1）图形中出现等腰三角形，常考虑将以腰为边的某三角形绕等腰三角形的顶角所在的顶点旋转一顶角后

与另一腰重合．

（1） 图形中出现等边三角形，常考虑将含有等边三角形边长的某个三角形绕顶点旋转60? 角后与另一边重

合．

（2） 图形中出现正方形时，常考虑将含有正方形边长的某个三角形绕顶点旋转90? 角后与另一边重合．

4、正方形等面积结论

（1）

S △ABC =S △CDE （2） G 为 AB 中点，则CG = 1

DE

2

（3） G 为 AB 中点， CG ⊥ DE

B

A

D

5、等边三角形手拉手共线的结论（△ABC 和△BDE 均为等边三角形， A 、B 、D 三点共线）

（1） △ABE ≌△CBD （2） AE =CD

（3） △ABF ≌△CBG （4） △DBG ≌△EBF （5） BF = BG

（6） AF = CG ，

EF = DG （7） △FBG 为等边三角形

（8） HB 平分∠AHD

（9）

∠CHA = 60?

C

A

B

D

G

E

C

E H

F G

6、等腰直角三角形共顶点旋转常见的变式

（1）基本模型：△OAB 和△OCD 均为等腰直角三角形

结论：BD =AC ，BD ⊥AC

B

C

O

A D

（2）变式一：在上面模型的基础上连接AD ，分别取AB 、CD 、AD 的中点E 、F 、G ，连接EG 、FG

结论：EG =FG ，EG ⊥FG

B

C

E

F

O

A D

G

（3）变式二：在上面模型的基础上连接OE 、OF ，则△OEA 和△OFD 均为等腰直角三角形，如下图去掉别的线段

结论：EG =FG ，EG ⊥FG

E

F

O

A D

G

H

I

E

F

O

M

N

O

O

F

E

（4） 变式三：在上面模型的基础上分别取OA 、OD 的中点 M 、 N ，分别以ON 、OM 为边作正方形

结论： EG = FG ， EG ⊥ FG

A

D

G

7、等边三角形共顶点旋转常见的变式

（1） 基本模型：△OAB 和△OCD 均为等腰三角形

结论： BD = AC ， BD 与 AC 所夹锐角为60?

C

B

A

D

（2） 变式：在上面模型的基础上连接 AD ，分别取 AB 、CD 、 AD 的中点 E 、 F 、G ，连接 EG 、 FG

结论： EG = FG ， ∠EGF =120?

C

B

A

D

G

易错点辨析

8、等腰三角形共顶点旋转常见的变式

（1） 基本模型：△OAB 和△OCD 均为等腰三角形， ∠BOA = ∠COD

结论： BD = AC ， BD 与 AC 的夹角等于∠AOB

B

O

C

（2） 变式：在上面模型的基础上连接 AD ，分别取 AB 、CD 、 AD 的中点 E 、 F 、G ，连接 EG 、 FG

结论： EG = FG ， ∠EGF =2∠BAO

B

O

E

C

9、终极模型提炼：只要△OAB 和△OCD 相似，且∠BOA = ∠COD ， ∠OBA = ∠OCD

结论： BG = CG ， ∠BGC =2∠BAO

O

B

C

D

G

A

1、 找旋转中心时是对应点连线垂直平分线的交点，要注意和对称中心相区别．

2、 找共顶点全等三角形时，要注意找旋转图形的对应点．

3、 遇到正方形的共顶点旋转，基本上都可以转化成等腰直角三角形的共顶点旋转．

A

D

A

G

F

D

解直角三角形的知识点总结

解直角三角形 一、锐角三角函数 （一）、锐角三角函数定义 在直角三角形ABC 中，∠C=900，设BC=a ，CA=b ，AB=c ，锐角A 的四个三角函数是： (1) 正弦定义：在直角三角形中ABC ，锐角A 的对边与斜边的比叫做角A 的正弦，记作sinA ，即 sin A = c a , （2）余弦的定义：在直角三角行ABC ，锐角A 的邻边与斜边的比叫做角A 的余弦，记作cosA ，即 cos A = c b , （3）正切的定义：在直角三角形ABC 中，锐角A 的对边与邻边的比叫做角A 的正切，记作tanA ，即 tan A =b a ， (4)锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切,记作cotA 即 a A A A b 的对边的邻边cot =∠∠= 锐角A 的正弦、余弦，正切、余切都叫做角A 的锐角三角函数。 这种对锐角三角函数的定义方法，有两个前提条件： （1）锐角∠A 必须在直角三角形中，且∠C=900； （2）在直角三角形 ABC 中，每条边均用所对角的相应的小写字母表示。 否则，不存在上述关系

注意:锐角三角函数的定义应明确(1) c a ， c b ，b a ，a b 四个比值 的大小同△ABC 的三边的大小无关，只与锐角的大小有关，即当锐角A 取固定值时，它的四个三角函数也是固定的； （2）sinA 不是sinA 的乘积，它是一个比值，是三角函数记号，是一个整体，其他三个三角函数记号也是一样； （3）利用三角函数定义可推导出三角函数的性质，如同角三角函数关系，互余两角的三角函数关系、特殊角的三角函数值等； （二）、同角三角函数的关系 （1）平方关系： 12 2 sin =?+COS α (2)倒数关系：tan ａ cota=1 (3)商数关系：? ? =???= sin cos cot ,cos sin tan 注意：（1）这些关系式都是恒等式，正反均可运用，同事还要注 意它们的变形公式。 (2)()??sin sin 2 2 是 的简写，读作“?sin 的平方”，不能将 ??2 2 sin 写成sin 前者是a 的正弦值的平方，后者无意义； （3）这里应充分理解“同角”二字，上述关系式成立的前提是所涉及的角必须相同，如1cot tan ,12 2 3030cos sin 2 2 =?=? +? ，而1cos sin 2 2 =+ ?β就不一定成立。 （4）同角三角函数关系用于化简三角函数式。 （三）余角的函数关系式

初三《相似三角形》知识点总结

相似三角形知识点总结 知识点1、三角对应相等，三边对应成比例的三角形叫相似三角形。 如△ABC 与△A /B /C /相似，记作: △ABC ∽△A /B /C / 。 相似三角形的比叫相似比 相似三角形的定义既是相似三角形的性质，也是三角形相似的判定方法。 注意：（1）相似比是有顺序的。 （2）对应性，两个三角形相似时，通常把对应顶点写在对应位置，这 样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边。 （3）顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的，若△ABC ∽△A /B /C /， 相似比为k ，则△A /B /C /与△ABC 的相似比是1 k 知识点2、相似三角形与全等三角形的关系 （1）两个全等的三角形是相似比为1的相似三角形。 （2）两个等边三角形一定相似，两个等腰三角形不一定相似。 （3）二者的区别在于全等要对应边相等，而相似要求对应边成比例。 知识点3、平行线分线段成比例定理 1. 比例线段的有关概念： 在比例式 ：：中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，a b c d a b c d a d b c a c ==() b 、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，那么b 叫做a 、d 的比例中项。 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，使AC 2 =AB ·BC ，叫做把线段AB 黄金分割，C 叫做线段AB 的黄金分割点。 2. 比例性质： ①基本性质： a b c d ad bc =?= ②合比性质：±±a b c d a b b c d d =?= ③等比性质： ……≠……a b c d m n b d n a c m b d n a b ===+++?++++++=()0 3. 平行线分线段成比例定理 （1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 已知l1∥l2∥l3, A D l1 B E l2 C F l3 可得 EF BC DE AB DF EF AC BC DF EF AB BC DF DE AC AB EF DE BC AB =====或或或或等.

图形变换共顶点旋转.习题集(2014-2015)

【例1】 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）． （2013北京中考） 【答案】A 【例2】 在ABC △中，AB AC =，BAC α∠=（?<

∴ADB ADC ∠=∠， ∴150ADB ∠=?， ∵60ABE DBC ∠=∠=?， ∴ABD EBC ∠=∠， 又∵150BD BC ADB ECB =∠=∠=?，， ∴ABD EBC ≌ △△， ∴AB EB =， ∴ABE △是等边三角形． B C E D A （3）∵BDC ?是等边三角形， ∴60BCD ∠=?， ∴90DCE BCE BCD ∠=∠-∠=?， 又∵45DEC ∠=?， ∴CE CD BC ==， ∴15EBC ∠=?， ∵302 EBC ABD α ∠=∠=?-， ∴30α=?． 一、旋转的概念和性质 【例3】 下图中，不是旋转对称图形的是（ ）． 【答案】B 【例4】 有下列四个说法，其中正确说法的个数是（ ）． 课堂练习

直角三角形知识点总结

直角三角形边角关系知识点考点总结 考点一、直角三角形的性质 （3~5分） 1、直角三角形的两个锐角互余 可表示如下：∠C=90°?∠A+∠B=90° 2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 ∠A=30° 可表示如下： ?BC=2 1 AB ∠C=90° 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ∠ACB=90° 可表示如下： ?CD=2 1 AB=BD=AD D 为AB 的中点 4、勾股定理 直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+ 5、摄影定理 在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项 ∠ACB=90° BD AD CD ?=2 ? AB AD AC ?=2 CD ⊥AB AB BD BC ?=2 6、常用关系式 由三角形面积公式可得： AB ?CD=AC ?BC

考点二、直角三角形的判定 （3~5分） 1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。 2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。 考点三、锐角三角函数的概念 （3~8分） 1、如图，在△ABC 中，∠C=90° ①锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记为sinA ，即 c a sin =∠= 斜边的对边A A ②锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记为cosA ，即 c b cos =∠= 斜边的邻边A A ③锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记为tanA ，即b a tan =∠∠= 的邻边的对边A A A ④锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记为cotA ，即a b cot =∠∠=的对边的邻边A A A 2、锐角三角函数的概念 锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数 3、一些特殊角的三角函数值 三角函数 0° 30° 45° 60° 90° sinα 0 21 22 2 3 1 cos α 1 2 3 2 2 21 0 tan α 0 3 3 1 3 不存在 cot α 不存在 3 1 3 3

相似三角形知识点归纳(全)

《相似三角形》—中考考点归纳与典型例题 知识点１ 有关相似形得概念 (1)形状相同得图形叫相似图形,在相似多边形中,最简单得就是相似三角形、 (２)如果两个边数相同得多边形得对应角相等,对应边成比例,这两个多边形叫做相似多 边形、相似多边形对应边长度得比叫做相似比(相似系数)、 知识点2 比例线段得相关概念、比例得性质 (1)定义: 在四条线段中,如果得比等于得比,那么这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段、 注:①比例线段就是有顺序得,如果说就是得第四比例项,那么应得比例式为:、 ② 核心内容: (2)黄金分割:把线段分成两条线段,且使就是得比例中项,即,叫做把线段黄金分割,点叫做线段得黄金分割点,其中≈0、618、即 简记为: 注:①黄金三角形:顶角就是３６０ 得等腰三角形 ②黄金矩形:宽与长得比等于黄金数得矩形 (３)合、分比性质:。 注:实际上,比例得合比性质可扩展为:比例式中等号左右两个比得前项,后项之间 发生同样与差变化比例仍成立、如:等等、 （4）等比性质:如果, 那么、 知识点3 比例线段得有关定理 平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线, 已知A Ｄ∥BE ∥C Ｆ, 可得 AB DE AB DE BC EF BC EF AB BC BC EF AC DF AB DE AC DF DE EF ===== 或或或或等。 特别在三角形中: 由ＤE ∥B Ｃ可得: 知识点４ 相似三角形得概念 (1)定义:对应角相等,对应边成比例得三角形,叫做相似三角形、相似用符号“∽”表示,读作“相似于” 。相似三角形对应边得比叫做相似比(或相似系数)、相似三角形对应角相等,对应边成比例、 注:①对应性:即把表示对应顶点得字母写在对应位置上 ②顺序性:相似三角形得相似比就是有顺序得。 ③两个三角形形状一样,但大小不一定一样、 ④全等三角形就是相似比为１得相似三角形、 (2)三角形相似得判定方法 B

小学六年级数学图形的变换训练一

小升初数学之图形的变换 一．填空题（共1小题） 1．（1）由①图到②图是向_________平移_________格． （2）由①图到③图是向_________平移_________格． （3）把②图向左平移3格，画出平移后的图形． （4）把③图向上平移2格，画出平移后的图形． 二．解答题（共13小题） 2．（2008?南靖县）（1）0A为对称轴，画出图形另一半，成为图形1． （2）将画好的整个图形向右平移4格，再画出来． （3）将图形1绕O点顺时针旋转90°，并画出来． 3．（2007?惠山区）①画出下面三个图形中轴对称图形的对称轴． ②将梯形围绕A点逆时针旋转90°，画出旋转后的图形． ③将平行四边形先向右平移5格，再向下平移2格，画出平移后的图形．

4．（2009?兴国县模拟）（1）以0A为对称轴，画出图形另一半，成为图形A． （2）将画好的图形A向右平移4格，得到图形B． （3）将图形A绕O点顺时针旋转90°，得到图形C． 5．图形A向右平移5格得到图形B，图形B向下平移2格得到图形C，请在图中画出图形B和图形C． 6．图中，图形A是如何变换得到图形B？ 7．请画出先向右平移8格，再向下平移2格后得到的图形．

8．按要求画一画． （1）在方格子中画出图①绕O点顺时针方向旋转90°后的图形．（2）画出将图②向右平移7格，再向上平移3格后的图形．（3）画出图③的另一半，使它成为轴对称图形． 9．按要求画图． （1）将图形A向上平移5格，再向右平移7格，得到图形B．（2）以横虚线为对称轴，画出和图形A对称的图形． （3）以竖虚线为对称轴，画出和图形C对称的图形． 10．先画出图形： （1）向下平移3小格后的图形 （2）再画出图形①绕顶点A逆时针旋转90度后的图形③．

图形的旋转--知识讲解

图形的旋转--知识讲解 【学习目标】 1、掌握旋转的概念，探索它的基本性质，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中 心连线所成的角彼此相等的性质； 2、能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形，并能利用旋转进行简单的图案设计. 【要点梳理】 要点一、旋转的概念 将一个图形绕一个定点转动一定的角度，这样的图形运动称为图形的旋转.定点称为旋转中心，旋转的角度称为旋转角. 要点诠释：旋转的三要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度； 图形的旋转不改变图形的形状、大小. 要点二、旋转的性质 一个图形和它经过旋转所得到的图形中： (1)对应点到旋转中心的距离相等； (2)两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等. 要点诠释：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转. 要点三、旋转的作图 在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形． 要点诠释： 作图的步骤： (1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心； (2)把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）； (3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点； (4)连接所得到的各对应点. 【典型例题】 类型一、旋转的概念与性质 1.（优质试题春?内江期末）如图所示，△ABC直角三角形，延长AB到D，使BD=BC，在BC上取BE=AB，连接DE．△ABC顺时针旋转后能与△EBD重合，那么： （1）旋转中心是哪一点？旋转角是多少度？ （2）AC与DE的关系怎样？请说明理由．

【思路点拨】（1）由条件易得BC和BD，BA和BE为对应边，而△ABC旋转后能与△EBD重合，于是可判断旋转中心为点B；根据旋转的性质得∠ABE等于旋转角，从而得到旋转角度；（2）根据旋转的性质即可判断AC=DE，AC⊥DE． 【答案与解析】 解：（1）∵BC=BD，BA=BE， ∴BC和BD，BA和BE为对应边， ∵△ABC旋转后能与△EBD重合， ∴旋转中心为点B； ∵∠ABC=90°， 而△ABC旋转后能与△EBD重合， ∴∠ABE等于旋转角， ∴旋转角是90度； （2）AC=DE，AC⊥DE．理由如下： ∵△ABC绕点B顺时针旋转90°后能与△EBD重合， ∴DE=AC，DE与AC成90°的角，即AC⊥DE． 【总结升华】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 举一反三 【变式】如图所示：O为正三角形ABC的中心．你能用旋转的方法将△ABC分成面积相等的三部分吗？如果能，设计出分割方案，并画出示意图． 【答案】下面给出几种解法： 解法一：连接OA、OB、OC即可．如图甲所示； 解法二：在AB边上任取一点D，将D分别绕点O旋转120°和240°得到D1、D2，连接OD、OD1、OD2即得，如图乙所示． 解法三：在解法二中，用相同的曲线连结OD、OD1、OD2即得如图丙所示

直角三角形知识讲解

直角三角形（提高） 【学习目标】 1．理解和掌握判定直角三角形全等的一种特殊方法——“斜边，直角边”（即“HL”）. 2．能熟练地用判定一般三角形全等的方法及判定直角三角形的特殊方法判定两个直角三角形全等. 3. 能应用直角三角形的性质解题. 【要点梳理】 要点一、判定直角三角形全等的一般方法 由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了。这里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定理. 要点二、判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理 在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备. 要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了. （2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL. 证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三 角形全等的证明方法. （3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三 角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”. 要点三、直角三角形的性质 定理1：直角三角形的两个锐角互余. 定理2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 推论1：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 推论2：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°. 要点诠释：这个定理的前提条件是“在直角三角形中”，是证明直角三角形中一边等于另一边（斜边）的一半的重要方法之一，通常用于证明边的倍数关系. 【典型例题】 类型一、直角三角形全等的判定——“HL” 1、判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明 理由： （1）一个锐角和这个角的对边对应相等；（） （2）一个锐角和斜边对应相等；（） （3）两直角边对应相等；（） （4）一条直角边和斜边对应相等．（） 【答案】（1）全等，“AAS”；（2）全等，“AAS”；（3）全等，“SAS”；（4）全等，“HL”. 【解析】理解题意，画出图形，根据全等三角形的判定来判断.

相似三角形知识点讲解及专项练习

相似三角形知识点讲解及专项练习 相似三角形的判定方法总结： 1. 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似. 2. 三边成比例的两个三角形相似.（SSS ） 3. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. (SAS) 4. 两角分别相等的两个三角形相似.(AA) 5. 斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似(HL) 相似三角形的模型方法总结： “反A”型与“反X”型. 示意图 结论 E D C B A 反A 型： 如图，已知△ABC ，∠ADE =∠C ，则△ADE ∽△ACB （AA ），∴AE · AC =AD ·AB. 若连CD 、BE ，进而能证明△ACD ∽△ABE (SAS) O D C B A 反X 型： 如图，已知角∠BAO =∠CDO ，则△AOB ∽△DOC （AA ），∴OA ·OC =OD ·OB . 若连AD ，BC ，进而能证明△AOD ∽△BOC . “类射影”与射影模型 示意图 结论 相似三角形证明方法 模块一 相似三角形6大证明技巧 专题

类射影 如图，已知2AB AC AD =?，求证： BD AB BC AC = A B C D 射影定理 已知△ABC ，∠ACB =90°，CH ⊥AB 于H ，求证：2AC AH AB =?，2BC BH BA =?，2HC HA HB =? 通过前面的学习，我们知道，比例线段的证明，离不开“平行线模型”（A 型，X 型，线束型），也离不开上述的6种“相似模型”. 但是，王老师认为，“模型”只是工具，怎样选择工具，怎样使用工具，怎样用好工具，取决于我们如何思考问题. 合理的思维方法，能让模型成为解题的利刃，让复杂的问题变简单。 在本模块中，我们将学比例式的证明中，会经常用到的思维技巧. 技巧一：三点定型法 技巧二：等线段代换 技巧三：等比代换 比例式的证明方法 模块二

第三章《图形的平移与旋转》专题复习(含答案)

第三章《图形的平移与旋转》专题专练 专题一 图形的平移概念 重点知识回顾 1.平移的概念：在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形变换称为平移. 注意：（1）平移过程中，对应线段可能在一条直线上. （2）平移过程中，对应点所连的线段也可能在一条直线上. 2.平移的两个基本要素： “平移的方向”和“平移的距离”.图形的平移是由它的移动方向和移动距离决定的.当图形平移的方向没有指明时，就需要认真观察图形的形状和位置的变化特征，根据平移的性质先确定平移的方向，再确定对应点、对应线段和对应角. 3.图形的平移是指图形整体的平移，经过平移后的图形，与原图形相比，只改变了位置，而不改变图形的大小，这个特征是得出平移性质的依据. 典型例题剖析 例1 生活中有很多平移的例子，下列物体的运动是平移的是（ ） A.水中小鱼的游动 B.天空中划过的流星的运动 C.出膛的子弹沿水平直线的运动 D.小华在跳高时的运动 分析：正确判断物体是否为平移运动关键是理解和掌握平移的概念和特征.看物体是否在同一个平面内运动，是否沿某个方向平行移动一定的距离，而“水中小鱼的游动”、“天空中划过的流星的运动”、“小华在跳高时的运动”显然不符合平移的概念，只有“出膛的子弹沿水平直线的运动”才是平移运动. 点悟：识别平移现象的关键是抓住平移的特征：物体必须在平面内运动，在曲面上运动物体一定不是平移，平移是直线的运动，平移只与物体的位置有关，与速度无关，平移只关注物体的位置变化. 例2 （2008年福建省泉州市）在图1的方格纸中，ABC △向右平移 格后得到111A B C △． 分析：因为△A 1B 1C 1是△ABC 平移后得到的图形，所以点A 1与点 A 、 B 1与B 、 C 1与C 分别是对应点，故只需随便数一数一对对应点之间的格数，即为平移 图1

图形的旋转--知识讲解

图形的旋转--知识讲解 撰稿：赵炜审稿：杜少波 【学习目标】 1、掌握旋转的概念，探索它的基本性质，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中 心连线所成的角彼此相等的性质； 2、能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形，并能利用旋转进行简单的图案设计. 【要点梳理】 要点一、旋转的概念 把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转..点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角(如∠AO A′),如果图形上的点A经过旋转变为点A′，那么，这两个点叫做这个旋转的对应点. 要点诠释：旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度. 要点二、旋转的性质 (1)对应点到旋转中心的距离相等（OA= OA′）； (2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； '''). (3)旋转前、后的图形全等(△ABC≌△A B C 要点诠释：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转. 要点三、旋转的作图 在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形． 要点诠释： 作图的步骤： (1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心； (2)把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）； (3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点； (4)连接所得到的各对应点. 【典型例题】 类型一、旋转的概念与性质 【高清课堂：高清ID号：388634 关联的位置名称（播放点名称）：旋转的有关概念和例1】 1.如图，把四边形AOBC绕点O旋转得到四边形DOEF. 在这个旋转过程中： （1）旋转中心是谁? （2）旋转方向如何?

八年级数学直角三角形知识点

八年级数学直角三角形 知识点 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】

八年级数学《直角三角形》知识点 一、直角三角形的性质 1、直角三角形的两个锐角互余 可表示如下：∠C=90°?∠A+∠B=90° 2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 ∠A=30° 可表示如下： ?BC= 21AB ∠C=90° 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ∠ACB=90° 可表示如下： ?CD= 2 1AB=BD=AD D 为AB 的中点 4、勾股定理 直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+ 5、射影定理(了解) 在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在 斜边上的射影的比例中项，每条直角边是它们在斜 边上的射影和斜边的比例中项 ∠ACB=90° BD AD CD ?=2 CD ⊥AB 6、常用关系式 由三角形面积公式可得： AB ?CD=AC ?BC

二、直角三角形的判定 1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。 2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a ，b ，c ，有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。 三、解直角三角形 1、解直角三角形的概念 在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。 2、解直角三角形的理论依据 在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c （1）三边之间的关系：222c b a =+（勾股定理） （2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90° （3）边角之间的关系： 练习： 一、选择题 1. 直角三角形的斜边比一直角边长2 cm ，另一直角边长为6 cm ，则它的斜边长为（ ） A 、4 cm B 、8 cm C 、10 cm D 、12 cm 2. 已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ） A 、25 B 、14 C 、7 D 、7或25 3. 等腰三角形的腰长为10,底长为12,则其底边上的高为( ) A 、13 B 、8 C 、25 D 、64 4. 将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( ) A 、 钝角三角形 B 、 锐角三角形 C 、 直角三角形 D 、等腰三角形. 5、等腰三角形腰长为13，底边长为10，则它底边上的高为 （ ）

九年级相似三角形知识点总结及例题讲解

相似三角形基本知识 知识点一：放缩与相似 1.图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。 2.把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似性。 注意：⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。 ⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。 ⑶我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的． ⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形． 3.相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。 注意：当两个相似的多边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是1. 知识点二：比例线段有关概念及性质 （1）有关概念 1、比：选用同一长度单位量得两条线段。a 、b 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比是a ：b ＝m ： n （或n m b a = ） 2、比的前项，比的后项：两条线段的比a ：b 中。a 叫做比的前项，b 叫做比的后项。 说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。 3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如d c b a = 4、比例外项：在比例d c b a = （或a ：b ＝c ：d ）中a 、d 叫做比例外项。 5、比例内项：在比例 d c b a =（或a ：b ＝c ：d ）中b 、c 叫做比例内项。 6、第四比例项：在比例 d c b a =（或a ：b ＝ c ： d ）中，d 叫a 、b 、c 的第四比例项。 7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为a b b a = （或 a:b ＝b:c 时，我们把b 叫做a 和d 的比 例中项。 8.比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即 d c b a =（或a ：b= c ： d ） ，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。（注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位）

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共顶点旋转中考大纲 中考内容 A 了解图形的旋转，理解对应点 到旋转中心的距离相等、对应图形的旋转 点与旋转中心连线所成的角彼 此相等的性质；会识别中心对 称图形 中考要求 B C 能按要求作出简单平面图形旋转后的图能运用旋转的形，能依据旋转前、后的图形，指出旋知识解决简单转中心和旋转角问题 知识网络图 定义：绕定点旋转一定的角度 概念与性质 性质：旋转前后两个图形全等 中心对称：旋转 180 能重合 等边三角形 旋转 等腰三角形 共顶点旋转 等腰直角三角形 正方形 费马点与最值 知识精讲 一、旋转 1、定义 把一个图形绕着某一点 O 转动一个角度的图形变换叫做旋转，点 O 叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点 P 经过旋转变为点 P ' ，那么这两个点叫做这个旋转的的对应点．如下图． P Q O P' Q' 【注意】 1、研究旋转问题应把握两个元素：旋转中心与旋转角． 2、每一组对应点所构成的旋转角相等． 2、性质 （ 1）旋转后的图形与原图形是全等的；（进而得到相等的线段、相等的角）

（2）旋转前后两个图形对应点到旋转中心的距离相等；（进而得到等腰三角形） （3）对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角；（若特殊角则得到等边三角形、等腰直角三角形） 3、作图的重要条件 由旋转的性质可知，旋转作图必须具备两个重要条件 （1）旋转中心 （2）旋转方向及旋转角度． 4、作图的基本步骤 具体步骤分以下几步 连：即连接图形中每一个关键点与旋转中心． 转：即把连线按要求绕旋转中心转过一定角度（作旋转角） 截：即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点． 连：即连接所得到的各点． 二、中心对称 1、中心对称的定义 把一个图形绕着某一点旋转 180 ，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做中心对称点，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点（如下图） A D O B C 【注意】 1、图形成中心对称是旋转角为定角（180）的旋转问题，它是一种特殊的旋转，反映的是两个图形的一种特殊关系． 2、中心对称阐明的是两个图形的特殊位置关系． 2、中心对称的性质 关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分． 关于中心对称的两个图形是全等图形． 关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等． 如果连接两个图形的对应点的线段都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形一定关于这一点成中心对称． 3、中心对称图形 把一个图形绕着某一点旋转180 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．（如下图） A D O B C

《图形的旋转》知识点

图形的旋转 本节我们重点了解旋转、平移性质，除外还有一个重点是点的对称变换。 二、知识要点 1、旋转：将一个图形绕着某点O转动一个角度的变换叫做旋转。其中，O叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。 2、旋转性质 ①旋转后的图形与原图形全等 ②对应线段与O形成的角叫做旋转角 ③各旋转角都相等 3、平移：将一个图形沿着某条直线方向平移一定的距离的变换叫做平移。其中，该直线的方向叫做平移方向，该距离叫做平移距离。 4、平移性质 ①平移后的图形与原图形全等 ②两个图形的对应边连线的线段平行相等（等于平行距离） ③各组对应线段平行且相等

5、中心对称与中心对称图形 ①中心对称：若一个图形绕着某个点O旋转180°，能够与另一个图形完全重合，则这两个图形关于这个点对称或中心对称。其中，点O叫做对称中心、两个图形的对应点叫做关于中心的对称点。 ②中心对称图形：若一个图形绕着某个点O旋转180°，能够与原来的图形完全重合，则这个图形叫做中心对称图形。其中，这个点叫做该图形的对称中心。6、轴对称与轴对称图形 (1)、轴对称：若两个图形沿着某条轴对折，能够完全重合，则这两个图形关于这条轴对称或它们成轴对称。其中，这条轴叫做对称轴。 注：轴对称的性质：①两个图形全等；②对应点连线被对称轴垂直平分（2）轴对称图形：若一个图形沿着某条轴对折，能够完全重合，则这个图形叫做轴对称图形。 7、点的对称变换 （1）、关于原点对称的点的特征 两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为 P＇（-x，-y）

（2）、关于x轴对称的点的特征 两个点关于x轴对称时，它们的坐标中，x相等，y的符号相反，即点P（x，y）关于x轴的对称点为P＇（x，-y） （3）、关于y轴对称的点的特征 两个点关于y轴对称时，它们的坐标中，y相等，x的符号相反，即点P（x，y）关于y轴的对称点为P＇（-x，y） （４）、关于直线y＝x对称 两个点关于直线y＝x对称时，横坐标与纵坐标与之前对换，即：P（x，y）关于直线 y＝x的对称点为P＇（y，x） （5）、两个点关于直线y＝-x对称时，横坐标与纵坐标与之前完全相反，即：P（x，y）关于直线y＝x的对称点为P＇（-y，-x） 注：y＝x的直线是过一三象限的角平分线，y＝-x的直线是过二四象限的角平分线。 三、经验之谈： 本节中点的对称变换考得相对较多，如果在大脑中百思不得其解的话，我们可以动手作图出来观察。 5

九年级相似三角形知识点总结及例题讲解

相似三角形基本知识 知识点一：放缩与相似 1.图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。 2.把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似性。 注意：⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。 ⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。 ⑶我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的． ⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形． 3.相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。 注意：当两个相似的多边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是1. 知识点二：比例线段有关概念及性质 （1）有关概念 1、比：选用同一长度单位量得两条线段。a 、b 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比是a ：b ＝m ： n （或 n m b a =） 2、比的前项，比的后项：两条线段的比a ：b 中。a 叫做比的前项，b 叫做比的后项。 说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。 3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如d c b a = 4、比例外项：在比例 d c b a =（或a ：b ＝c ：d ）中a 、d 叫做比例外项。 5、比例项：在比例d c b a = （或a ：b ＝c ：d ）中b 、c 叫做比例项。 6、第四比例项：在比例 d c b a =（或a ：b ＝c ：d ）中，d 叫a 、b 、c 的第四比例项。 7、比例中项：如果比例中两个比例项相等，即比例为 a b b a =（或a:b ＝b: c 时，我们把b 叫做a 和 d 的比例 中项。

图形变换共顶点旋转.知识精讲(2014-2015)

中考内容 中考要求 A B C 图形的旋转 了解图形的旋转，理解对应点 到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质；会识别中心对称图形 能按要求作出简单平面图形旋转后的图形，能依据旋转前、后的图形，指出旋转中心和旋转角 能运用旋转的知识解决简单问题 180???? ?? ?????? ?? ?? ?? ?? ??? ???定义：绕定点旋转一定的角度概念与性质性质：旋转前后两个图形全等中心对称：旋转能重合等边三角形旋转等腰三角形共顶点旋转等腰直角三角形正方形费马点与最值 一、旋转 1、定义 把一个图形绕着某一点O 转动一个角度的图形变换叫做旋转，点O 叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P 经过旋转变为点'P ，那么这两个点叫做这个旋转的的对应点．如下图． Q' P' Q P O 【注意】1、研究旋转问题应把握两个元素：旋转中心与旋转角． 2、每一组对应点所构成的旋转角相等． 2、性质 （1）旋转后的图形与原图形是全等的；（进而得到相等的线段、相等的角） 共顶点旋转 中考大纲 知识精讲 知识网络图

（2）旋转前后两个图形对应点到旋转中心的距离相等；（进而得到等腰三角形） （3）对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角；（若特殊角则得到等边三角形、等腰直角三角形） 3、作图的重要条件 由旋转的性质可知，旋转作图必须具备两个重要条件 （1）旋转中心 （2）旋转方向及旋转角度． 4、作图的基本步骤 具体步骤分以下几步 连：即连接图形中每一个关键点与旋转中心． 转：即把连线按要求绕旋转中心转过一定角度（作旋转角） 截：即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点． 连：即连接所得到的各点． 二、中心对称 1、中心对称的定义 把一个图形绕着某一点旋转180?，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做中心对称点，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点（如下图） A D O C B 【注意】1、图形成中心对称是旋转角为定角（180?）的旋转问题，它是一种特殊的旋转，反映的是两个图形的一种特殊关系． 2、中心对称阐明的是两个图形的特殊位置关系． 2、中心对称的性质 关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分． 关于中心对称的两个图形是全等图形． 关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等． 如果连接两个图形的对应点的线段都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形一定关于这一点成中心对称． 3、中心对称图形 把一个图形绕着某一点旋转180?，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．（如下图） A D O C B

图形的旋转知识讲解

图形的旋转一、目标与策略 明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！ 学习目标： ●掌握旋转的概念，探索它的基本性质，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等 的性质； ●能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形，并能利用旋转进行简单的图案设计． 学习策略： ●类比轴对称变换来学习本节内容； ●掌握基本概念是学好图形旋转的基础． 二、学习与应用 1. 如果一个图形沿着某条直线折叠，直线两旁的部分能够，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做这个 图形的 . 2．关于x轴对称的两个点，坐标相同，坐标相反；关于y轴对称的两个点坐标相同，坐标相反. 要点一、旋转的概念 将一个图形绕一个定点转动一定的角度，这样的图形运动称为图形的旋转.定点称 为，旋转的角度称为 . “凡事预则立，不预则废”．科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性．我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记． 要点梳理——预习和课堂学习 认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听 课学习．课堂笔记或者其它补充填在右栏． 知识回顾——复习 学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？

要点二、旋转的性质 一个图形和它经过旋转所得到的图形中： (1) 对应点到旋转中心的距离 ； (2)两组对应点分别与旋转中心连线所成的 相等. 要点诠释：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转. 要点三、旋转的作图 在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点 沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形． 要点诠释： 作图的步骤： (1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心； (2)把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）； (3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点； (4)连接所得到的各对应点. 类型一、旋转的概念与性质 例1. 如图，把四边形AOBC 绕点O 旋转得到四边形DOEF. 在这个旋转过程中 （1）旋转中心是谁? （2）旋转方向如何? （3）经过旋转,点A 、B 的对应点分别是谁？ （4）图中哪个角是旋转角？ （5）四边形AOBC 与四边形DOEF 的形状、大小有何关系？ （6） AO 与DO 的长度有什么关系？ BO 与EO 呢？ （7）∠AOD 与∠BOE 的大小有什么关系？ 【总结升华】 举一反三 【变式】 如图所示：O 为正三角形ABC 的中心．你能用旋转的方法将△ABC 分成面积 相等的三部分吗？如果能，设计出分割方案，并画出示意图． 例2. 如图，将图(1)中的正方形图案绕中心旋转180°后，得到的图案是( ) 典型例题——自主学习 认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完 成举一反三．课堂笔记或者其它补充填在右栏．

直角三角形的边角关系知识点

直角二角形的边角关系知识考点 知识讲解： 1.锐角三角函数的概念 如图，在ABC 中，/ C 为直角，则锐角 A 的各三角函 数的定义如下： (1)角A 的正弦：锐角A 的对边与斜边的比叫做/ A 的正弦，记作sinA , ⑵ 角A 的余弦：锐角A 的邻边与斜边的比叫做/ A 的余弦，记作 cosA , 口口 b 即 cosA = (3)角A 的正切：锐角A 的对边与邻边的比叫做/ A 的正切，记作tanA , 即 tanA =7 b (4) 角A 的余切：锐角A 的邻边与对边的比叫做/ A 的余切，记作cotA , 即 si nA

b 即cotA =- a 2.直角三角形中的边角关系

(1) 三边之间的关系：a 2 + b 2 = c 2 (2) 锐角之间的关系：A + B = 90° (3) 边角之间的关系： sinA = cosB = -, cosA = sinB =2 c c a b tanA = cotB = , cotA = tanB = 3. 三角函数的关系 (1) 同角的三角函数的关系 2) 倒数关系：tan A -c otA = 1 sinA cosA tanA = , cotA =. cosA st nA (2) 互为余角的函数之间的关系 sin(90 ° - A) = cosA , cos(90 ° - A) = sinA tan (90 ° — A) = cotA , cot (90 ° — A) = tanA 4. 一些特殊角的三角函数值 1) 平方关系：sinA 2 + cosA 2 = 1 3) 商的关系:

相似三角形知识点梳理

相似三角形知识点汇总 重点、难点分析： 1、相似三角形的判定性质是本节的重点也是难点． 2、利用相似三角形性质判定解决实际应用的问题是难点。 一、重要定理 （比例的有关性质）： 二、有关知识点： 1.相似三角形定义： 对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。 2.相似三角形的表示方法：用符号“∽”表示，读作“相似于”。 3.相似三角形的相似比： 相似三角形的对应边的比叫做相似比。 4.相似三角形的预备定理： 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成的三角形与原三角形相似。 5.相似三角形的判定定理： 6.直角三角形相似： (1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。 (2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。 7.相似三角形的性质定理： (1)相似三角形的对应角相等。 (2)相似三角形的对应边成比例。 (3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。 (4)相似三角形的周长比等于相似比。 (5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。 8. 相似三角形的传递性 如果△ABC ∽△A 1B 1C 1，△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2，那么△ABC ∽A 2B 2C 2 反比性质：c d a b = 更比性质：d b c a a c b d ==或 合比性质：d d c b b a ±=± ?=?=bc a d d c b a （比例基本定理）

相似三角形判定的基本模型 A字型 X字型反A字型反8字型母子型旋转型双垂直三垂直相似三角形判定的变化模型 C B E D A