图形变换共顶点旋转习题集

【例1】下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）．

（2013北京中考）【答案】A

【例2】在ABC

△中，AB AC

=，BACα

∠=（?

<

<

?60

0α），将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD．

（1）如图1，直接写出ABD

∠的大小（用含α的式子表示）；

（2）如图2，15060

BCE ABE

∠=?∠=?

，，判断ABE

△的形状并加以证明；

（3）在（2）的条件下，连结DE，若45

DEC

∠=?，求α的值．

（2013北京中考）

【答案】（1）30

2

ABD

α

∠=?-；

（2）ABE

△是等边三角形．

证明：连结AD CD

，，

∵60

DBC BD BC

∠=?=

，，

∴BDC

△是等边三角形，60

BDC BD DC

∠=?=

，．

又∵AB AC AD AD

==

，，

∴ABD ACD

≌

△△，

∴ADB ADC

∠=∠，

∴150

ADB

∠=?，

∵60

ABE DBC

∠=∠=?，

∴ABD EBC

∠=∠，

又∵150

BD BC ADB ECB

=∠=∠=?

，，

真题链接

共顶点旋转

∴ABD EBC ≌

△△， ∴AB EB =，

∴ABE △是等边三角形．

B

C

E

D

A

（3）∵BDC ?是等边三角形， ∴60BCD ∠=?，

∴90DCE BCE BCD ∠=∠-∠=?， 又∵45DEC ∠=?， ∴CE CD BC ==， ∴15EBC ∠=?，

∵302

EBC ABD α

∠=∠=?-，

∴30α=?．

一、旋转的概念和性质

【例3】 下图中，不是旋转对称图形的是（ ）．

【答案】B

【例4】 有下列四个说法，其中正确说法的个数是（ ）．

①图形旋转时，位置保持不变的点只有旋转中心；

②图形旋转时，图形上的每一个点都绕着旋转中心旋转了相同的角度； ③图形旋转时，对应点与旋转中心的距离相等；

④图形旋转时，对应线段相等，对应角相等，图形的形状和大小都没有发生变化 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个

【答案】D

【例5】 如图，若正方形DCEF 旋转后能与正方形ABCD 重合，则图形所在平面内可作为旋转中心的点共

有（ ）个．

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

课堂练习

【答案】C

【解析】本题很多考生容易做错，将答案选为B ，认为只有两个旋转点，但是一定要注意CD 边的中点也是

一个旋转点，所以应该有3个旋转点．

【例6】 如图，这是一个正面为黑，反面为白的未拼完的拼木盘，给出如下四块正面为黑、反面为白的拼

木，现欲拼满拼木盘并使其颜色一致，请问应选择的拼木是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】B

【解析】将所给的拼木分别尝试拼接或由拼木盘观察，直接选出拼木．A 、C 和D 旋转之后都不能与图形拼

满，B 旋转180°后可得出与图形相同的形状，故选B ．

【例7】 已知：如图，若线段CD 是由线段AB 经过旋转变换得到的．

求作：旋转中心O 点．

【答案】分两类：（1）A 与C 是对应点．（2）B 与C 是对应点，对（1）的作法：

首先，连结AC ，作线段AC 的垂直平分线l 1；

其次，连结BD ，作线段BD 的垂直平分线l 2，与l 1交于O 点，则O 点为所求． 同理可作出（2）的O ′选点．

【解析】采用旋转的作图方法和旋转的性质进行解题．

【例8】 如图，在平面直角坐标系xOy 中，ABC △顶点的横、纵坐标都是整数．若将ABC △以某点

为旋转中心，顺时针旋转90?得到DEF △，则旋转中心的坐标是（ ）． A ．(0,0) B ．(1,0) C ．(1,1)- D ．(2.5,0.5)

（2014西城期末）

【答案】C

【解析】旋转中心为对应顶点连线的垂直平分线，故选C ．

【例9】 实验操作

（1）如图1，在平面直角坐标系xOy 中，ABC △的顶点的横、纵坐标都是整数，若将ABC △以点()

1,1P -为旋转中心，按顺时针方向旋转90?得到DEF △，请在坐标系中画出点P 及DEF △；

【例10D

【例11】下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）．

A ．

B ．

C ．

D ．

（2014海淀一模）【答案】A

【例12】有五张形状、大小、质地都相同的卡片，上面分别画有下列图形：①正方形；②正三角形；③平行四边形；④等腰梯形；⑤圆．将卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，正面图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是（）．

A．1 5

B．

2

5

C．

3

5

D．

4

5

（2014东城一模）【答案】B

【例13】已知：如图，四边形ABCD与四边形EFGH成中心对称，试画出它们的对称中心，并简要说明理由．

【答案】

H

G

F

E

D

C

B

A

【解析】根据中心对称的性质，分别连结CG、BF，则它们的交点O为两四边形的对称中心．其理由是关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而CG、BF两线段不共线，所以它们的交点即为对称中心．

三、共顶点旋转之全等

【例14】如图，点C为线段AB上一点，ACM

?、CBN

?是等边三角形，D是AN中点，E是BM中点，求证：CDE

?是等边三角形．

M D

N

E

C B

A

【答案】∵ACN MCB

??

≌，∴AN BM

=，ABM ANC

∠=∠

又∵D 、E 分别是AN 、BM 的中点，

∴BCE NCD ??≌，∴CE CD =，BCE NCD ∠=∠

∴60DCE NCD NCE BCE NCE NCB ∠=∠+∠=∠+∠=∠=o ∴CDE ?是等边三角形

【例15】 在等边ABC △中，AD BC ⊥于点D ．

（1）如图1，请你直接写出线段AD 与BC 之间的数量关系：AD =__________BC ；

（2）如图2，若P 是线段BC 上一个动点（点P 不与点B 、C 重合），连结AP ，将线段AP 绕点A 逆时针旋转60?，得到线段AE ，连结CE ，猜想线段AD 、CE 、PC 之间的数量关系，并证明你的结论； （3）如图3，若点P 是线段BC 延长线上一个动点，（2）中的其他条件不变，按照（2）中的作法，请在图3中补全图形，并直接写出线段AD 、CE 、PC 之间的数量关系．

（2014大兴一模）

【答案】（13

． （2）3

)AD CE PC =

+． 理由如下：∵线段AP 绕点A 逆时针旋转60?，得到线段AE ， ∴60PAE ∠=?，AP AE =， ∵等边三角形ABC ， ∴60BAC ∠=?，AB AC =， ∴BAC PAC PAE PAC ∠-∠=∠-∠， ∴BAP CAE ∠=∠， 在ABP △和ACE △中 AB AC BAP CAE AP AE =??

∠=∠??=?

， ∴ABP ACE ?△△， ∴BP CE =， ∵BP PC BC +=， ∴CE PC BC +=， ∵3

AD =， ∴3

)AD CE PC =

+．

（3）如图，3

()AD CE PC =

-． 【例16】 已知：等边ABC △中，点D 、E 、F 分别为边AB 、AC 、BC 的中点，点M 在直线BC 上，以点

M 为旋转中心，将线段MD 顺时针旋转60?至MD '，连接ED '．

（1）如图1，当点M 在点B 侧时，线段ED '与MF 的数量关系是__________；

（2）如图2，当点M 在BC 边上时，（1）中的结论是否依然成立？如果成立，请利用图2证明，如果不成立，请说明理由；

（3）当点M 在点C 右侧时，请你在图3中画出相应的图形，直接判断（1）中的结论是否依然成立？不必给出证明或说明理由．

（2014通州一模）

【答案】（1）ED MF '=；

（2）ED '与MF 的相等关系依然成立． 证明：连接DE 、DF 、DD '，

∵D 、E 、F 分别是AB 、AC 、BC 的中点，

∴DE BC ∥，12DE BC =，DF AC ∥，1

2

DF AC =， ∴四边形DFCE 为平行四边形． ∵ABC △是等边三角形， ∴BC AC =，60C ∠=?， ∴DE DF =，60EDF C ∠=∠=?． ∵MD=MD '，DMD '∠=60o， ∴DMD '△是等边三角形，

∴60MDD '∠=?，MD DD '=， ∴MDD EDF '∠=∠．

∵MDF MDD FDD ''∠=∠-∠， ∴EDD EDF FDD ''∠=∠-∠， ∴MDF EDD '∠=∠，

∴DD E DMF '?△△(SAS)． ∴ED MF '=．

D'

E

D

E

D

A

（3）ED '与MF 的相等关系依然成立， 画出正确图形．

【例17】 如图1，已知90DAC ∠=?，ABC △是等边三角形，点P 为射线AD 上任意一点（点P 与点A 不重

合），连结CP ，将线段CP 绕点C 顺时针旋转60?得到线段CQ ，连结QB 并延长交直线AD 于点E ． （1）如图1，猜想=QEP ∠_________?；

（2）如图2，3，若当DAC ∠是锐角或钝角时，其它条件不变，猜想QEP ∠的度数，选取一种情况加以证明；

（3）如图3，若135DAC ∠=?，15ACP ∠=?，且4AC =，求BQ 的长．

（2014东城一模）

【答案】（1）60QEP ∠=?．

（2）60QEP ∠=?．

证明：如图，以DAC ∠是锐角为例． ∵ABC △是等边三角形， ∴AC BC =，60ACB ∠=?．

又由题意可知，CP CQ =，60PCQ ∠=?． ∴ACP BCQ ∠=∠． ∴ACP BCQ ?△△． ∴APC Q ∠=∠． 设PC 与BQ 交于点G ， ∵12∠=∠，

∴60QEP PCQ ∠=∠=?．

（3）由题意可求，30APC ∠=?，45PCB ∠=?． 又由（2）可证60QEP ∠=?．

∴可证QE 垂直平分PC ，GBC △为等腰直角三角形． ∵4AC =，

∴22GC =，26GQ =． ∴2622BQ =-．

【例18】 问题解决

如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC 和DEF 重合放置，其中90C ∠=?，30B E ∠=∠=?． （1）如图2，固定ABC △，将DEC △绕点C 旋转，当点D 恰好落在AB 边上时，设BDC △的面积为1S ，

AEC △的面积为2S ，那么1S 与2S 的数量关系是__________；

（2）当DEC △绕点C 旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中1S 与2S 的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了BDC △和AEC △中BC 、CE 边上的高，请你证明小明的猜想．

（3）如图4，60ABC ∠=?，点D 在其角平分线上，6BD CD ==，DE AB ∥交BC 于点E ，若点F 在射线BA 上，并且DCF BDE S S =△△，请直接写出相应的BF 的长．

A

C

A （D ）

B （E ）

C D E

图1 图2

B

（2014通州一模）

【答案】（1）相等．

（2）证明：∵DM 、AN 分别是BDC △和AEC △中BC 、CE 边上的高， ∴90DMC ANC ∠=∠=?． ∵90DCE ∠=?， ∴90DCN ∠=?， ∴90DCB BCN ∠+∠=?． ∵90ACB ∠=?， ∴90ACN BCN ∠+∠=?， ∴DCB ACN ∠=∠． ∵DC AC =，

∴DCM ACN ?△△(AAS)． ∴DM AN =， ∵12BCD BC DM S S ?=

=△，22

ACE CE AN

S S ?==△，且CE BC =， ∴12S S =．

（3）23BF =或43BF =．

【例19】 将等腰Rt ABC △和等腰Rt ADE △按图1方式放置，90A ∠=?，AD 边与AB 边重合，

24AB AD ==．将ADE △绕点A 逆时针方向旋转一个角度(0180)αα?≤≤?，BD 的延长线交直线

CE 于点P ．

（1）如图2，BD 与CE 的数量关系是__________，位置关系是__________； （2）在旋转的过程中，当AD BD ⊥时，求出CP 的长； （3）在此旋转过程中，求点P 运动的路线长．

A

B

C

D

E

N M

A

B

C

D

E 图4

A

B

C

D

E

N M

图3

图形变换共顶点旋转.习题集(2014-2015)

【例1】 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）． （2013北京中考） 【答案】A 【例2】 在ABC △中，AB AC =，BAC α∠=（?<

∴ADB ADC ∠=∠， ∴150ADB ∠=?， ∵60ABE DBC ∠=∠=?， ∴ABD EBC ∠=∠， 又∵150BD BC ADB ECB =∠=∠=?，， ∴ABD EBC ≌ △△， ∴AB EB =， ∴ABE △是等边三角形． B C E D A （3）∵BDC ?是等边三角形， ∴60BCD ∠=?， ∴90DCE BCE BCD ∠=∠-∠=?， 又∵45DEC ∠=?， ∴CE CD BC ==， ∴15EBC ∠=?， ∵302 EBC ABD α ∠=∠=?-， ∴30α=?． 一、旋转的概念和性质 【例3】 下图中，不是旋转对称图形的是（ ）． 【答案】B 【例4】 有下列四个说法，其中正确说法的个数是（ ）． 课堂练习

小学六年级数学图形的变换训练一

小升初数学之图形的变换 一．填空题（共1小题） 1．（1）由①图到②图是向_________平移_________格． （2）由①图到③图是向_________平移_________格． （3）把②图向左平移3格，画出平移后的图形． （4）把③图向上平移2格，画出平移后的图形． 二．解答题（共13小题） 2．（2008?南靖县）（1）0A为对称轴，画出图形另一半，成为图形1． （2）将画好的整个图形向右平移4格，再画出来． （3）将图形1绕O点顺时针旋转90°，并画出来． 3．（2007?惠山区）①画出下面三个图形中轴对称图形的对称轴． ②将梯形围绕A点逆时针旋转90°，画出旋转后的图形． ③将平行四边形先向右平移5格，再向下平移2格，画出平移后的图形．

4．（2009?兴国县模拟）（1）以0A为对称轴，画出图形另一半，成为图形A． （2）将画好的图形A向右平移4格，得到图形B． （3）将图形A绕O点顺时针旋转90°，得到图形C． 5．图形A向右平移5格得到图形B，图形B向下平移2格得到图形C，请在图中画出图形B和图形C． 6．图中，图形A是如何变换得到图形B？ 7．请画出先向右平移8格，再向下平移2格后得到的图形．

8．按要求画一画． （1）在方格子中画出图①绕O点顺时针方向旋转90°后的图形．（2）画出将图②向右平移7格，再向上平移3格后的图形．（3）画出图③的另一半，使它成为轴对称图形． 9．按要求画图． （1）将图形A向上平移5格，再向右平移7格，得到图形B．（2）以横虚线为对称轴，画出和图形A对称的图形． （3）以竖虚线为对称轴，画出和图形C对称的图形． 10．先画出图形： （1）向下平移3小格后的图形 （2）再画出图形①绕顶点A逆时针旋转90度后的图形③．

第三章《图形的平移与旋转》专题复习(含答案)

第三章《图形的平移与旋转》专题专练 专题一 图形的平移概念 重点知识回顾 1.平移的概念：在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形变换称为平移. 注意：（1）平移过程中，对应线段可能在一条直线上. （2）平移过程中，对应点所连的线段也可能在一条直线上. 2.平移的两个基本要素： “平移的方向”和“平移的距离”.图形的平移是由它的移动方向和移动距离决定的.当图形平移的方向没有指明时，就需要认真观察图形的形状和位置的变化特征，根据平移的性质先确定平移的方向，再确定对应点、对应线段和对应角. 3.图形的平移是指图形整体的平移，经过平移后的图形，与原图形相比，只改变了位置，而不改变图形的大小，这个特征是得出平移性质的依据. 典型例题剖析 例1 生活中有很多平移的例子，下列物体的运动是平移的是（ ） A.水中小鱼的游动 B.天空中划过的流星的运动 C.出膛的子弹沿水平直线的运动 D.小华在跳高时的运动 分析：正确判断物体是否为平移运动关键是理解和掌握平移的概念和特征.看物体是否在同一个平面内运动，是否沿某个方向平行移动一定的距离，而“水中小鱼的游动”、“天空中划过的流星的运动”、“小华在跳高时的运动”显然不符合平移的概念，只有“出膛的子弹沿水平直线的运动”才是平移运动. 点悟：识别平移现象的关键是抓住平移的特征：物体必须在平面内运动，在曲面上运动物体一定不是平移，平移是直线的运动，平移只与物体的位置有关，与速度无关，平移只关注物体的位置变化. 例2 （2008年福建省泉州市）在图1的方格纸中，ABC △向右平移 格后得到111A B C △． 分析：因为△A 1B 1C 1是△ABC 平移后得到的图形，所以点A 1与点 A 、 B 1与B 、 C 1与C 分别是对应点，故只需随便数一数一对对应点之间的格数，即为平移 图1

(完整word版)图形变换共顶点旋转.知识精讲(2014-2015).doc

共顶点旋转中考大纲 中考内容 A 了解图形的旋转，理解对应点 到旋转中心的距离相等、对应图形的旋转 点与旋转中心连线所成的角彼 此相等的性质；会识别中心对 称图形 中考要求 B C 能按要求作出简单平面图形旋转后的图能运用旋转的形，能依据旋转前、后的图形，指出旋知识解决简单转中心和旋转角问题 知识网络图 定义：绕定点旋转一定的角度 概念与性质 性质：旋转前后两个图形全等 中心对称：旋转 180 能重合 等边三角形 旋转 等腰三角形 共顶点旋转 等腰直角三角形 正方形 费马点与最值 知识精讲 一、旋转 1、定义 把一个图形绕着某一点 O 转动一个角度的图形变换叫做旋转，点 O 叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点 P 经过旋转变为点 P ' ，那么这两个点叫做这个旋转的的对应点．如下图． P Q O P' Q' 【注意】 1、研究旋转问题应把握两个元素：旋转中心与旋转角． 2、每一组对应点所构成的旋转角相等． 2、性质 （ 1）旋转后的图形与原图形是全等的；（进而得到相等的线段、相等的角）

（2）旋转前后两个图形对应点到旋转中心的距离相等；（进而得到等腰三角形） （3）对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角；（若特殊角则得到等边三角形、等腰直角三角形） 3、作图的重要条件 由旋转的性质可知，旋转作图必须具备两个重要条件 （1）旋转中心 （2）旋转方向及旋转角度． 4、作图的基本步骤 具体步骤分以下几步 连：即连接图形中每一个关键点与旋转中心． 转：即把连线按要求绕旋转中心转过一定角度（作旋转角） 截：即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点． 连：即连接所得到的各点． 二、中心对称 1、中心对称的定义 把一个图形绕着某一点旋转 180 ，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做中心对称点，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点（如下图） A D O B C 【注意】 1、图形成中心对称是旋转角为定角（180）的旋转问题，它是一种特殊的旋转，反映的是两个图形的一种特殊关系． 2、中心对称阐明的是两个图形的特殊位置关系． 2、中心对称的性质 关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分． 关于中心对称的两个图形是全等图形． 关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等． 如果连接两个图形的对应点的线段都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形一定关于这一点成中心对称． 3、中心对称图形 把一个图形绕着某一点旋转180 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．（如下图） A D O B C

图形变换共顶点旋转.知识精讲(2014-2015)

中考内容 中考要求 A B C 图形的旋转 了解图形的旋转，理解对应点 到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质；会识别中心对称图形 能按要求作出简单平面图形旋转后的图形，能依据旋转前、后的图形，指出旋转中心和旋转角 能运用旋转的知识解决简单问题 180???? ?? ?????? ?? ?? ?? ?? ??? ???定义：绕定点旋转一定的角度概念与性质性质：旋转前后两个图形全等中心对称：旋转能重合等边三角形旋转等腰三角形共顶点旋转等腰直角三角形正方形费马点与最值 一、旋转 1、定义 把一个图形绕着某一点O 转动一个角度的图形变换叫做旋转，点O 叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P 经过旋转变为点'P ，那么这两个点叫做这个旋转的的对应点．如下图． Q' P' Q P O 【注意】1、研究旋转问题应把握两个元素：旋转中心与旋转角． 2、每一组对应点所构成的旋转角相等． 2、性质 （1）旋转后的图形与原图形是全等的；（进而得到相等的线段、相等的角） 共顶点旋转 中考大纲 知识精讲 知识网络图

（2）旋转前后两个图形对应点到旋转中心的距离相等；（进而得到等腰三角形） （3）对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角；（若特殊角则得到等边三角形、等腰直角三角形） 3、作图的重要条件 由旋转的性质可知，旋转作图必须具备两个重要条件 （1）旋转中心 （2）旋转方向及旋转角度． 4、作图的基本步骤 具体步骤分以下几步 连：即连接图形中每一个关键点与旋转中心． 转：即把连线按要求绕旋转中心转过一定角度（作旋转角） 截：即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点． 连：即连接所得到的各点． 二、中心对称 1、中心对称的定义 把一个图形绕着某一点旋转180?，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做中心对称点，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点（如下图） A D O C B 【注意】1、图形成中心对称是旋转角为定角（180?）的旋转问题，它是一种特殊的旋转，反映的是两个图形的一种特殊关系． 2、中心对称阐明的是两个图形的特殊位置关系． 2、中心对称的性质 关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分． 关于中心对称的两个图形是全等图形． 关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等． 如果连接两个图形的对应点的线段都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形一定关于这一点成中心对称． 3、中心对称图形 把一个图形绕着某一点旋转180?，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．（如下图） A D O C B

图形变换—旋转综合题(含答案)-

图形变换—旋转综合题 1.如图，在△ABC中，∠C=90o，∠A=30o，BC=2，D是AB中点，等腰直角三角板的直角顶点落在点D上，使三角板绕点D旋转。 （1）如图1，当三角板两边分别交边AC、BC于F、E时，线段EF与AF、BE有怎样的关系并加以证明。 （2）如图1,设AF=x，四边形CEDF的面积为y.求y关于x的函数关系式，写出自变量x的取值范围. （3）在旋转过程中，当三角板一边DM经过点C时，另一边DN交CB延长线于点E,连结AE与CD延长线交于H,如图2，求DH的长。

2.如图，已知正方形ABCD，将一块等腰直角三角尺的锐角顶点与A重合，并将三角尺绕点旋转，如图1，使它的斜边与BC交于点E，一条直角边与CD交于点F（E、F不与B、D重合），AE、AF分别与BD交于P、Q两点. （1）求证：△ABP∽△ACF，且相似比为1∶2； （2）请再在图1中（不再添线和加注字母）找出两对相似比为1∶2的非直角三角形的相似三角形；（直接写出） （3），如图2当M点旋转到BC的垂直平分线PQ上时，连结ON,若ON=8,求MQ的长。

3.如图，操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与边DC或射线DC相交于点Q。 ①当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到的结论； ②当点Q在边CD运动上时，设四边形PBCQ的面积为S时，试用含有x的代数式表示S： ③当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x的值；如果不可能，试说明理由。

图形变换(图形的平移旋转与轴对称)

一、选择题 1. （2015江苏徐州，6，3分）下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是( ) A.直角三角形 B.正三角形 C.平行四边形 D.正六边形 【答案】B 【解析】：A.直角三角形不是轴对称图形也不是中心对称图形；B.正三角形只是轴对称图形；C.平行四边形只是中心 对称图形； D.正六边形是轴对称图形也是中心对称图形.故选B 2. （2015省市，3，分）一张菱形纸片按图1-1、图1-2一次对折，再按图1-3打出1个圆形小孔． 展铺平后的图案是（ ） 【答案】C 【解析】解：打孔时，小孔距离铅垂对角线近，水平对角线远，且由折纸知道是对称的，因此C 选项正确，故选C ． 3. （2015河北省，15，2分）如图7，点A 、B 为定点，定直线l ∥AB ，P 是l 上一动点，点M ，N 分别为PA ，PB 的 中点，对于下列各值： ①线段MN 的长； ②△PAB 的周长； ③△PMN 的面积； ④直线MN ，AB 之间的距离； ⑤∠APB 的大小． 其中会随点P 的移动而变化的是（ ） A ．②③ B ．②⑤ C ．①③④ D ．④⑤ 【答案】B 【解析】解：①线段MN 是△PAB 的中位线，所以MN 的长度是AB 的一半；②点P 移动过程中，PA 、PB 的长度都 会发生变化，因此△PAB 的周长也会发生改变；③△PMN 的面积始终是△PAB 的14 ，不会发生变化；④MN 与AB 之间的距离始终等于△PAB 的高的一半，不会变化；⑤∠APB 会发生变化，故会发生变化的有②⑤，故选B ． 4. （2015山东省莱芜市，6，3分）下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是 A ． B ．D ． 【答案】D 【解析】根据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义即可知 5. （2015湖南省邵阳市，10题，3分）如图（七），在矩形ABCD 中，已知AB =4，BC =3，矩形在直线l 上绕其右下 角的顶点B 向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置，…，依次类推，这样连续旋转2015次后，顶点A 在整个旋转过程中所经过的路程之和是（ ） A. 2015π B. 3019.5π C. 3018π D. 3024π 图（七） 【答案】D 【解析】旋转4次是一个循环，其中前三次旋转，第四次是绕A 点旋转，点A 不移动距离，每一个循环，所转过的弧 长之和是 904905903180180180πππ???++= 9012180 π?= 6π，2015=4×503＋3，因此 连续旋转2015次后，顶点A 在整个旋转过程中所经过的路程之和是503×6π＋6π=3024π，答案选择D. 6（2015四川省雅安市，4，3分）下列大写英文字母既可以看成是轴对称图形又可以看成是中心对称图形的是（ ） l 图7

中考数学试题分类解析 专题 图形的旋转变换

20XX 年全国中考数学试题分类解析汇编(159套63专题） 专题54：图形的旋转变换 一、选择题 1. （2012天津市3分）将下列图形绕其对角线的交点逆时针旋转900，所得图形一定与原图形重合的是【 】 （A ）平行四边形 （B ）矩形 （C ）菱形 （D ）正方形 【答案】D 。 【考点】旋转对称图形 【分析】根据旋转对称图形的性质，可得出四边形需要满足的条件：此四边形的对角线互相垂直、平分且相等，则这个四边形是正方形。故选D 。 2. （2012广东佛山3分）如图，把一个斜边长为2且含有300角的直角三角板ABC 绕直角顶点C 顺时针旋转900到△A 1B 1C ，则在旋转过程中这个三角板扫过的图形的面积是【 】 A ．π B ．3 C ．33+4π D ．113+12π 【答案】D 。 【考点】旋转的性质，勾股定理，等边三角形的性质，扇形面积。 【分析】因为旋转过程中这个三角板扫过的图形的面积分为三部分扇形ACA 1、 BCD 和△ACD 计算即可： 在△ABC 中，∠ACB =90°，∠BAC =30°，AB =2， ∴BC =12 AB =1，∠B =90°－∠BAC =60°。∴22AC AB BC 3=-=。 ∴ABC 13S BC AC 2?= ??=。 设点B 扫过的路线与AB 的交点为D ，连接CD ， ∵BC =DC ，∴△BCD 是等边三角形。∴BD =CD =1。 ∴点D 是AB 的中点。

∴ACD ABC 1133S S 22?? ==?=S 。 ∴1ACD ACA BCD ABC S S S ??=++扇形扇形的面扫过积 22903 601333113 3604612πππππ????=++=++=+（） 故选D 。 3. （2012广东汕头4分）如图，将△ABC 绕着点C 顺时针旋转50°后得到△A ′B ′C ′．若∠A =40°．∠B ′=110°，则∠BCA ′的度数是【 】 A ．110° B ．80° C ．40° D ．30° 【答案】B 。 【考点】旋转的性质，三角形内角和定理。 【分析】根据旋转的性质可得：∠A ′=∠A ，∠A ′CB ′=∠ACB ， ∵∠A =40°，∴∠A ′=40°。 ∵∠B ′=110°，∴∠A ′CB ′=180°﹣110°﹣40°=30°。∴∠ACB =30°。 ∵将△ABC 绕着点C 顺时针旋转50°后得到△A ′B ′C ′，∴∠ACA ′=50°， ∴∠BCA ′=30°+50°=80°，故选B 。 4. （2012江苏苏州3分）如图，将△AOB 绕点O 按逆时针方向旋转45°后得到△A ＇OB ＇，若 ∠AOB =15°，则∠AOB ＇的度数是【 】 B A ＇ A B ＇ A .25° B .30° C .35° D . 40° 【答案】B 。 【考点】旋转的性质。 【分析】根据旋转的性质，旋转前后图形全等以及对应边的夹角等于旋转角，从而得出答案：

几何图形旋转变换

几何图形旋转变换 1.已知：在ABC ?中，AC BC >，动点D 绕ABC ?的顶点A 逆时针旋转，且BC AD =，连结DC ．过AB 、DC 的中点E 、F 作直线，直线EF 与直线AD 、BC 分别相交于点M 、N ． （1）如图1，当点D 旋转到BC 的延长线上时，点N 恰好与点F 重合，取AC 的中点H ，连结HE 、HF ，根据三角形中位线定理和平行线的性质，可得结论BNE AMF ∠=∠（不需证明） ． （2）当点D 旋转到图2或图3中的位置时，AMF ∠与BNE ∠有何数量关系？请分别写出猜想，并任选一种情况证明． 图2 图3 图1 A D

2、已知：在四边形ABCD中，A D∥BC，∠BAC=∠D，点E、F分别在BC、CD上， 且∠AEF=∠ACD,试探究AE与EF之间的数量关系。 （1）如图1，若AB=BC=AC,则AE与EF之间的数量关系为______________; （2）如图2，若AB=BC，你在（1）中的得到的结论是否发生变化？写出你的猜想，并加以证明； （3）如图3，若AB=KBC，你在（1）中的得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明.

L 3．如图1，ABC △的边BC 在直线l 上，AC BC ⊥，且A C B C =；EFP △的边FP 也在直线l 上，边EF 与边AC 重合，且EF FP =． （1）在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB 与AP 所满足的数量关系和位置关系； （2）将EFP △沿直线l 向左平移到图2的位置时，EP 交 AC 于点Q ，连结AP ，BQ ．猜想并写出BQ 与AP 所满足 图1 的数量关系和位置关系，请证明你的猜想； （3）将EFP △沿直线l 向左平移到图3的位置时，EP 的延长 线交AC 的延长线于点Q ，连结AP ，BQ ．你认为（2）中所 猜想的BQ 与AP 的数量关系和位置关系还成立吗？若成立， 图2 给出证明；若不成立，请说明理由． L

图形变换共顶点旋转.习题集(2014-)

【例1】下列图形中,是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）． （2013北京中考）【答案】A 【例2】在ABC △中,AB AC =，BACα ∠=(? < < ?60 0α)，将线段BC绕点B逆时针旋转6０°得到线段BD． (1）如图1，直接写出ABD ∠的大小（用含α的式子表示）; （2）如图２,15060 BCE ABE ∠=?∠=? ，,判断ABE △的形状并加以证明； (３）在（2）的条件下，连结DE,若45 DEC ∠=?,求α的值． （2013北京中考) 【答案】(1）30 2 ABD α ∠=?-; (2）ABE △是等边三角形. 证明:连结AD CD ，, ∵60 DBC BD BC ∠=?= ，， ∴BDC △是等边三角形，60 BDC BD DC ∠=?= ，. 又∵AB AC AD AD == ，, ∴ABD ACD ≌ △△， ∴ADB ADC ∠=∠, ∴150 ADB ∠=?, ∵60 ABE DBC ∠=∠=?, ∴ABD EBC ∠=∠， 又∵150 BD BC ADB ECB =∠=∠=? ，, 真题链接 共顶点旋转

∴ABD EBC ≌ △△， ∴AB EB =, ∴ABE △是等边三角形． B C E D A （3）∵BDC ?是等边三角形， ∴60BCD ∠=?， ∴90DCE BCE BCD ∠=∠-∠=?， 又∵45DEC ∠=?， ∴CE CD BC ==, ∴15EBC ∠=?, ∵302 EBC ABD α ∠=∠= ?-, ∴30α=?． 一、旋转的概念和性质 【例3】 下图中，不是旋转对称图形的是( ). 【答案】B 【例4】 有下列四个说法,其中正确说法的个数是( ）. ①图形旋转时，位置保持不变的点只有旋转中心； ②图形旋转时，图形上的每一个点都绕着旋转中心旋转了相同的角度; ③图形旋转时,对应点与旋转中心的距离相等; ④图形旋转时,对应线段相等,对应角相等，图形的形状和大小都没有发生变化 A.1个 B ．2个 Ｃ．3个?Ｄ.4个 【答案】D 【例5】 如图,若正方形D ＣEF 旋转后能与正方形ABCD 重合,则图形所在平面内可作为旋转中心的点共有 （ ）个． A.1 Ｂ.2?C.3 D ．4 课堂练习

专题46 以正方形为基础的图形的旋转变换问题(解析版)

专题46 以正方形为基础的图形的旋转变换问题 【例题精讲】 根据图形回答问题： （1）线段AB上任取一点C，分别以AC和BC为边作等边三角形，试回答△ACE可看作哪个三角形怎么样旋转得到．（不用说明理由） （2）线段AB上任取一点C，分别以AC和BC为边作正方形，连接DG，M为DG中点，连接EM并延长交FG于N，连接FM，猜测FM和EM的关系，并说明理由． （3）在（2）的基础上将正方形CBGF绕C点旋转，其它条件不变，猜测FM和EM的关系，并说明理由． 解：（1）将△ACE以点C为旋转中心，顺时针方向旋转60°后得到△DCB，所以可得△ACE可以由△DCB以C点为轴逆时针旋转60度得到．

（2）FM△ME ，FM=ME ，连接GN 和DE ， 在△DME 和△GMN 中，MDE MHG DME GMN DM MG ∠∠∠∠?? ??? ＝＝＝， △△DME△△GMN （AAS ），△DM=MN ，DE=NG ，△FN=FG -NG=FG -DE=FC -EC=FE ， △△NFE 是等腰直角三角形， △FM△ME ，并且FM=ME （等腰三角形中线就是垂线，直角三角形中线等于斜边的一半） （3）延长EM 至N 点，使EM=MN ，连接NG 、EF 、FN ．（EC 与DM 的交点标为P ，FC 与DM 交点标为Q ） 在△DME 和△GMN 中，EM MN DME GMN DM MG ? ∠?? ∠??＝＝＝，△△DME△△GMN ．△DE=NG ， △EDM=△NGM ， △EC=NG ，△△ECF=180°-△CPQ -△CQP=180°-△DPE -△FQG=180°-（90°-△MDE ）-（90°-△FGM ）=△EDM+△FGM ，△△NGM+△FGM=△NGF ，△△ECF=△NGF ，△EC=DE=NG ， 在△ECF 和△NGF 中，FC FG ECF NGF EC NG ? ∠?? ∠??＝＝＝，△△ECF△△NGF ，△EF=NF ，△EFC=△NFG ， △△EMN=△EFC+△CFN=△NFG+△CFN=△CFG=90°，△△EFN 是等腰直角三角形，△FM△EM ，并且FM=EM 。 【针对训练】

图形变换共顶点旋转.知识精讲(-2015)教学教材

中考内容 中考要求 A B C 图形的旋转 了解图形的旋转，理解对应点 到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质；会识别中心对称图形 能按要求作出简单平面图形旋转后的图形，能依据旋转前、后的图形，指出旋转中心和旋转角 能运用旋转的知识解决简单问题 180???? ?? ???????? ?? ?? ?? ??? ???定义：绕定点旋转一定的角度概念与性质性质：旋转前后两个图形全等中心对称：旋转能重合等边三角形旋转等腰三角形共顶点旋转等腰直角三角形正方形费马点与最值 一、旋转 1、定义 把一个图形绕着某一点O 转动一个角度的图形变换叫做旋转，点O 叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P 经过旋转变为点'P ，那么这两个点叫做这个旋转的的对应点．如下图． Q' P' Q P O 【注意】1、研究旋转问题应把握两个元素：旋转中心与旋转角． 2、每一组对应点所构成的旋转角相等． 2、性质 （1）旋转后的图形与原图形是全等的；（进而得到相等的线段、相等的角） 共顶点旋转 中考大纲 知识精讲 知识网络图

（2）旋转前后两个图形对应点到旋转中心的距离相等；（进而得到等腰三角形） （3）对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角；（若特殊角则得到等边三角形、等腰直角三角形） 3、作图的重要条件 由旋转的性质可知，旋转作图必须具备两个重要条件 （1）旋转中心 （2）旋转方向及旋转角度． 4、作图的基本步骤 具体步骤分以下几步 连：即连接图形中每一个关键点与旋转中心． 转：即把连线按要求绕旋转中心转过一定角度（作旋转角） 截：即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点． 连：即连接所得到的各点． 二、中心对称 1、中心对称的定义 把一个图形绕着某一点旋转180?，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做中心对称点，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点（如下图） A D O C B 【注意】1、图形成中心对称是旋转角为定角（180?）的旋转问题，它是一种特殊的旋转，反映的是两个图形的一种特殊关系． 2、中心对称阐明的是两个图形的特殊位置关系． 2、中心对称的性质 关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分． 关于中心对称的两个图形是全等图形． 关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等． 如果连接两个图形的对应点的线段都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形一定关于这一点成中心对称． 3、中心对称图形 把一个图形绕着某一点旋转180?，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．（如下图） A D O C B

《图形的变换》知识点整理

轴对称 一、本节学习指导 图形变换的基本方式是平移、对称和旋转。这一节我们来学习轴对称，要正确理解轴对称的概念，很多轴对称图形有很多条对称轴，在找对称轴时候不能漏掉。 二、知识要点 1、轴对称: 如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。 (1)学过的轴对称平面图形:长(正）方形、圆形、等腰三角形、等边三角形、等腰梯形…… 等腰三角形有1条对称轴,等边三角形有3条对称轴，长方形有2条对称轴，正方形有4条对称轴,等腰梯形有1条对称轴，任意梯形和平行四边形不是轴对称图形。 (2）圆有无数条对称轴。 (3）对称点到对称轴的距离相等。 2、轴对称图形的特征和性质: (1）、对应点到对称轴的距离相等; (２）、对应点的连线与对称轴垂直；

(3)、对称轴两边的图形大小、形状完全相同。 ３、对称图形包括轴对称图形和中心对称图形。平行四边形（除棱形)属于中心对称图形。 例:画出下列图形的对轴承 三、经验之谈: 上图中我们画出了六个图形的对称轴,同学们再找找看,还有没有图形的对称轴没有画完的呢? 这种题图形有很多,我们给它们画对称轴时，先观察，然后想想一条线穿过这个图形，对折看是否能重叠,如果不能重叠那么这条线就不是对称轴，如果能重叠就画出来,在画完对称轴时我们还要再想想有没有漏掉。 旋转 一、本节学习指导 本节较简单,在画图前同学们先观察图形，然后在作图。常想想我们周围的旋转实例。 二、知识要点 1、旋转:在平面内，一个图形绕着一个顶点旋转一定的角度得到另一个图形的变化较做旋转，定点O叫做旋转中心，旋转的角度叫做旋转角,原图形上的一点旋转后成为的另一点成为对应点。 （１）生活中的旋转:电风扇、车轮、纸风车

利用图形的旋转变换解题举例

利用图形的旋转变换解题举例 这一轮课程改革,对几何作了较大幅度的调整,印象较深之一是加强了"几何 变换"的内容,即从变换的角度去认识传统几何中的证题术。初中几何涉及的变换 主要有平移、对称和旋转,本文从"旋转"这一角度举些例子,供大家参考。 我们知道,图形的旋转变换不改变图形的形状、大小,只改变图形的位置,故 解题时可充分利用图形的旋转变换的这一特点,把图形位置进行改变,从而达到 优化图形结构,进一步整合图形〔题设〕信息的目的,使较为复杂的问题得以顺利 求解。 例1、如图〔1〕分别以正方形ABCD的边AB、AD为直径画半圆,若正方形的 边长为 ,求阴影部分的面积。 解:连AC、BD如右图,则绕AD中点将图中②逆时针旋转到图中③,将图中① 绕AB中点顺时针方向旋转到图中④,则原图中阴影部分的面积就和△DBC的面 积相等,所以图中阴影部分的面积=S⊿DCB = S 正方形ABCD= 。这里我们用旋 转变换的方法改变了图中①和②的位置,从而顺利地完成了计算。 例2、如图⑵所示,在⊿ABC中,AB=AC,∠BAC= ,D是BC上任一点,试说明。 证法一(非旋转法):过A点作 AE⊥BC于E,如图⑶,则容易证明AE=BE=EC, 又BD=BE-DE,DC=CE+DE, 所以 , , 所以 = + = ,而在直角三角形ADE中,存在 ,所以 ,这是传统的证明方法。 本题考虑到BD、DC、AD三线段分散在两个三角形中,而且构成平方和的条件 不明显,若利用旋转变换,将BD、DC放到一个三角形中,若这个三角形是直角三角形,则创造就更能接近所证的目标了. 证法二(旋转法): 将△ADC绕A点顺时针方向旋转到△AEB,如图⑷, 连DE, 易知△ADE、△DBE均为直角三角形,且AE=AD,BE=DC, 所以在Rt△EBD中有 , 在Rt△AED中有 ,所以。 例3、如图⑸所示,P为正方形内一点,且PA=1,BP=2,PC=3,求∠APB的大小解: 如图(6),将⊿BPC绕B点逆时针旋转到△BEA, 连EP易知∠PBE= 且AE=PC=3 BE=BP=2,在Rt⊿BEP中, , 且∠EPB= ,在⊿AEP中,又,所以△APE是直角三角形,即 ∠APE= ,∠APB=∠APE+∠EPB= + = ,即∠APB为。 传统几何中,有许多旋转的例子,尤其是正方形和等腰三角形中。如图(7), 正方形ABCD的边长为1,AB、AD上各有一点P、Q,如果△APQ的周长为2,求∠PCQ 的度数。 将△CDQ绕C点逆时针旋转90°像图(8)那样,立刻可得QA+AB+BE=2,由 △APQ周长为2得 PQ=PE,进一步可得△CPQ≌△CPE,∠PCQ=∠PCE,又∠QCE=90°,所以∠PCQ=45°。 又如图(9),△ABC中,AB=AC,P为三角形内一点,且∠APB>∠APC,求证:PC>PB。 将△APB绕A点逆时针旋转成右图那样,不难得到条件∠APB>∠APC变成了 ∠PQC>∠QPC,从而PC>CQ,由旋转关系,PC>PB。 最能体现旋转法的莫过于下面这个问题了:如图(10),四边形ABCD 中,AB=AD,∠A=∠C=90°,其面积为16,求A到BC的距离。通过旋转变换,将图(10)

图形变换共顶点旋转.知识精讲(2014-2015)(可编辑修改word版)

? 知识网络图 中考大纲 共顶点旋转 中考内容 中考要求 了解图形的旋转，理解对应点 到旋转中心的距离相等、对应 能按要求作出简单平面图形旋转后的图 能运用旋转的 图形的旋转 点与旋转中心连线所成的角彼 形，能依据旋转前、后的图形，指出旋 知识解决简单 此相等的性质；会识别中心对 转中心和旋转角 问题 称图形 ? ?定义：绕定点旋转一定的角度 ?概念与性质? ? ?性质：旋转前后两个图形全等 ?中心对称：旋转180?能重合 旋转? ?等边三角形 ? ? ?共顶点旋转?等腰三角形 ? ? ? ?等腰直角三角形 ? ??正方形 ? ??费马点与最值 知识精讲 一、旋转 1、定义 把一个图形绕着某一点O 转动一个角度的图形变换叫做旋转，点O 叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点 P 经过旋转变为点 P ' ，那么这两个点叫做这个旋转的的对应点．如下图． O 【注意】1、研究旋转问题应把握两个元素：旋转中心与旋转角． 2、每一组对应点所构成的旋转角相等． 2、性质 （1） 旋转后的图形与原图形是全等的；（进而得到相等的线段、相等的角） P Q P' Q'

A O （2） 旋转前后两个图形对应点到旋转中心的距离相等；（进而得到等腰三角形） （3） 对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角；（若特殊角则得到等边三角形、等腰直角三角 形） 3、作图的重要条件 由旋转的性质可知，旋转作图必须具备两个重要条件 （1） 旋转中心 （2） 旋转方向及旋转角度． 4、作图的基本步骤具体步骤分以下几步 连：即连接图形中每一个关键点与旋转中心． 转：即把连线按要求绕旋转中心转过一定角度（作旋转角） 截：即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点． 连：即连接所得到的各点． 二、中心对称 1、中心对称的定义 把一个图形绕着某一点旋转180? ，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做中心对称点，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点（如下图） D B C 【注意】1、图形成中心对称是旋转角为定角（180? ）的旋转问题，它是一种特殊的旋转，反映的是两个图 形的一种特殊关系． 2、中心对称阐明的是两个图形的特殊位置关系． 2、中心对称的性质 关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分． 关于中心对称的两个图形是全等图形． 关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等． 如果连接两个图形的对应点的线段都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形一定关于这一点成中心对称． 3、中心对称图形 把一个图形绕着某一点旋转180? ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．（如下图） A D O B C

中考复习专题图形变换之旋转

2015年中考复习专题——图形旋转变换 【知识点拨】 在正ΔABC中，P为ΔABC内一点， 将ΔABP绕A点按逆时针方向旋转600， 使得AB与AC重合。经过这样旋转变化， 将图（1-1-a）中的PA、PB、PC三条线段集中于图（1-1-b）中的一个ΔP'CP中，此时ΔP'AP也为正三角形。 在正方形ABCD中，P为正方形ABCD内一点， 将ΔABP绕B点按顺时针方向旋转900，使得BA 与BC重合。经过旋转变化，将图（2-1-a）中 的PA、PB、PC三条线段集中于图（2-1-b）中 的ΔCPP'中，此时ΔBPP'为等腰直角三角 形 在等腰直角三角形ΔABC中，∠C=900, P为ΔABC内一点，将ΔAPC绕C点按逆时针方向旋转900，使得AC与BC重合。经过这样旋转变化，在图（3-1-b）中的一个ΔP'CP为等腰直角三角形。 【典例精讲】 例1、如图，设P是等边ΔABC内的一点，PA=3， PB=4，PC=5，∠APB的度数是________.

例2、如图，P是正方形ABCD内一点，点P到正方形的三个顶点A、B、C的距离分别为PA=1，PB=2， PC=3，则此正方形ABCD面积是________. 例3．如图，在ΔABC中，∠ACB =900，BC=AC，P为ΔABC内一点，且PA=3，PB=1，PC=2，则 ∠BPC的度数是_______. 一、等边三角形中的旋转问题 【例1变式】如图，p是等边三角形ABC内的一点,PB=2,PC=1,∠BPC=150°，求PA 的长. 例2、如图，点E、D分别等边△ABC边AB、BC上的两点，且BE=CD，AD与CE交于点M，求∠AME的大小. 二、等腰直角三角形中的旋转问题 【例3变式】如图，△ABC为等腰直角三角形，若BD=3，CD=1，∠BDC=90°，求AD 的长. 1、如图，△ABC为等腰直角三角形，而△AFC是由△ABD按逆时针方向旋转得到的，如果BD=EC，试问： （1）△AFC是由△ABD旋转多少度得到的？旋转中心是什么？

图形变换共顶点旋转习题集

【例1】下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）． （2013北京中考）【答案】A 【例2】在ABC △中，AB AC =，BACα ∠=（? < < ?60 0α），将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD． （1）如图1，直接写出ABD ∠的大小（用含α的式子表示）； （2）如图2，15060 BCE ABE ∠=?∠=? ，，判断ABE △的形状并加以证明； （3）在（2）的条件下，连结DE，若45 DEC ∠=?，求α的值． （2013北京中考） 【答案】（1）30 2 ABD α ∠=?-； （2）ABE △是等边三角形． 证明：连结AD CD ，， ∵60 DBC BD BC ∠=?= ，， ∴BDC △是等边三角形，60 BDC BD DC ∠=?= ，． 又∵AB AC AD AD == ，， ∴ABD ACD ≌ △△， ∴ADB ADC ∠=∠， ∴150 ADB ∠=?， ∵60 ABE DBC ∠=∠=?， ∴ABD EBC ∠=∠， 又∵150 BD BC ADB ECB =∠=∠=? ，， 真题链接 共顶点旋转

∴ABD EBC ≌ △△， ∴AB EB =， ∴ABE △是等边三角形． B C E D A （3）∵BDC ?是等边三角形， ∴60BCD ∠=?， ∴90DCE BCE BCD ∠=∠-∠=?， 又∵45DEC ∠=?， ∴CE CD BC ==， ∴15EBC ∠=?， ∵302 EBC ABD α ∠=∠=?-， ∴30α=?． 一、旋转的概念和性质 【例3】 下图中，不是旋转对称图形的是（ ）． 【答案】B 【例4】 有下列四个说法，其中正确说法的个数是（ ）． ①图形旋转时，位置保持不变的点只有旋转中心； ②图形旋转时，图形上的每一个点都绕着旋转中心旋转了相同的角度； ③图形旋转时，对应点与旋转中心的距离相等； ④图形旋转时，对应线段相等，对应角相等，图形的形状和大小都没有发生变化 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【答案】D 【例5】 如图，若正方形DCEF 旋转后能与正方形ABCD 重合，则图形所在平面内可作为旋转中心的点共 有（ ）个． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 课堂练习

图形变换知识点练习题汇总

图形的平移旋转与对称变换 一、知识点总结 （一）平移 关键：平移不改变图形的形状和大小，也不会改变图形的方向. 1 、平移的规律：经过平移，对应线段、对应角分别相等，？对应点所连的线段平行且相等（或共线且相等）. 2 、简单作图 平移的作图主要关注要点：1?方向2 ?距离?整个平移的作图，就象把整个图案的每个特征点放在一套平 行的轨道上滑动一样，每个特征点滑过的距离是一样的. （二八旋转 1 、定义：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，？这样的图形运动称为旋转. 关键：旋转不改变图形的大小和形状，但改变图形的方向. 2 、旋转的规律 经过旋转，图形上的每一点，都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，任意一对对应点与旋转中心的连 线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等. 3、简单的旋转作图：旋转作图关键有两点：①旋转方向，②旋转角度.主要分四步：边、转、截、连.旋 转就象把每个特征点与旋转中心用线连住的风筝，每个点转的角度是相同的，每个点与旋转中心的距离是不会改变的，即对应点与旋转中心距离相等. （三）、轴对称 1、定义 把一个图形沿着某条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，该直线叫做对称轴。 2、性质 （1）关于某条直线对称的两个图形是全等形。 （2）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。 （3）两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上。 3、判定

如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。 4、轴对称图形 把一个图形沿着某条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形, 这条直线就是它的对称轴。 （四）、中心对称 1定义 把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中 心对称图形，这个点就是它的对称中心。 2、性质 （1）关于中心对称的两个图形是全等形。 （2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。 （3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。 3、判定 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。 4、中心对称图形 把一个图形绕某一个点旋转180°,如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心 对称图形，这个店就是它的对称中心。 （五）、坐标系中对称点的特征 1、关于原点对称的点的特征 两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为P' （-x，-y） 2、关于x轴对称的点的特征 两个点关于x轴对称时，它们的坐标中，x相等，y的符号相反，即点P（x，y）关于x轴的对称点为P'（x， -y） 3、关于y轴对称的点的特征 两个点关于y轴对称时，它们的坐标中，y相等，x的符号相反，即点P（x，y）关于y轴的对称点为P'（-x， y） （六）、视图与投影 1、试图