数字信号处理 离散傅里叶变换的性质及应用

数字信号处理实验

题目：离散傅里叶变换的性质及应用

学院：

专业：

学生姓名：班级/学号

指导老师：

一、实验目的

1．了解DFT的性质及其应用

2．熟悉MATLAB编程特点

二、实验仪器及材料

计算机，MATLAB软件

三、实验内容及要求

1．用三种不同的DFT 程序计算8()()x n R n =的256点离散傅里叶变换()X k ，并比较三种程序计算机运行时间。

（1）编制用for loop 语句的M 函数文件dft1.m ，用循环变量逐点计算()X k ； （2）编写用MATLAB 矩阵运算的M 函数文件dft2.m ，完成下列矩阵运算：

000

0121

012(1)

(1)(1) (0)(0) (1)(1)

(1)(1) N N

N N

N N N N

N

N N N N N N

N N X x W W W W X x W W W W x N X N W W W W -----??????

????????????=????????????

--????????????

（3）调用fft 库函数，直接计算()X k ；

（4）分别调用上述三种不同方式编写的DFT 程序计算序列()x n 的离散傅里叶变换

()X k ，并画出相应的幅频和相频特性，再比较各个程序的计算机运行时

间。

M 函数文件如下： dft1.m:

function[Am,pha]=dft1(x) N=length(x); w=exp(-j*2*pi/N); for k=1:N sum=0; for n=1:N

sum=sum+x(n)*w^((k-1)*(n-1)); end

Am(k)=abs(sum); pha(k)=angle(sum); end dft2.m:

function[Am,pha]=dft2(x) N=length(x); n=[0:N-1];

k=[0:N-1];

w=exp(-j*2*pi/N);

nk=n'*k;

wnk=w.^(nk);

Xk=x*wnk;

Am=abs(Xk);

pha=angle(Xk);

dft3.m:

function[Am,pha]=dft3(x)

Xk=fft(x);

Am=abs(Xk);

pha=angle(Xk);

源程序、运行结果及结论

1、源程序

<1>function[Am,pha] = dft1(x)

N = length(x);

w = exp(-j*2*pi/N);

for k=1:N

sum = 0;

for n = 1:N

sum = sum+x(n)*w^((k-1)*(n-1));

end

Am(k) = abs(sum);

pha(k) = angle(sum);

end

end

<2> function[Am,pha] = dft2(x)

N = length(x);

n = [0:N-1];k = [0:N-1];

w = exp(-j*2*pi/N);nk = n'*k;

wnk = w.^(nk);

Xk = x*wnk;

Am = abs(Xk); pha = angle(Xk);

end

<3> function[Am,pha] = dft3(x)

Xk = fft(x);

Am = abs(Xk); pha = angle(Xk);

end

<4> clear all;

clc;

x = [ones(1,8),zeros(1,256-8)];

t = cputime;

[Am1,pha1] = dft1(x);

t1 = cputime-t;

t = cputime;

[Am2,pha2] = dft2(x);

t2 = cputime-t;

t = cputime;

[Am3,pha3] = dft3(x);

t3 = cputime-t;

subplot(6,1,1);stem(Am1);title('幅频特性1'); subplot(6,1,2);stem(pha1);title('相频特性1'); subplot(6,1,3);stem(Am2);title('幅频特性2'); subplot(6,1,4);stem(pha2);title('相频特性2'); subplot(6,1,5);stem(Am3);title('幅频特性3'); subplot(6,1,6);stem(pha3);title('相频特性3');

2、运行结果

3、 结论

从以上运行结果可以看出，调用FFT 库函数直接计算X(k)速度最快，所

用时间趋于0，矩阵运算次之，用循环变量逐点计算运行速度最慢。因此FF T 算法大大提高了DFT 的实用性。

2．利用DFT 实现两序列的卷积运算，并研究DFT 点数与混叠的关系。

（1）已知两序列： ???>≤≤=3;0

3

0;)5/3()(n n n h n ，用MATLAB 生成随机输入

信号x(n)，n 的取值为0～2；

（2）用直接法（即用线性卷积的定义计算，见下式）计算线性卷积y(n)=x(n)*h(n)的结果，并以图形方式表示结果；

20),()()(1

-+≤≤-?=

∑-=M N n m n h m x n y N m

其中：序列)1N n 0(),n (x -≤≤和序列)1M n 0(),n (h -≤≤

（3）用MATLAB 编制利用DFT 计算线性卷积y(n)=x(n)*h(n)的程序；分别令圆周卷积的点数为L=5，6，8，10，以图形方式表示结果。 （4）对比直接法和圆周卷积法所得的结果。 源程序如下：

用直接法和MATLAB 编制利用DFT 分别计算线性卷积y(n)=x(n)*h(n)的程序： N=0:3; M=3;

x=rand(1,M); h=(3/5).^N; y1=conv(h,x);

Xk2=fft(x,10); %做10点fft Hk2=fft(h,10); Yk2=Xk2.*Hk2; y2=ifft(Yk2);

Xk3=fft(x,8); %做点8点fft Hk3=fft(h,8);

Yk3=Xk3.*Hk3;

y3=ifft(Yk3);

Xk4=fft(x,6); %做6点fft Hk4=fft(h,6);

Yk4=Xk4.*Hk4;

y4=ifft(Yk4);

Xk5=fft(x,5); %做5点fft Hk5=fft(h,5);

Yk5=Xk5.*Hk5;

y5=ifft(Yk5);

Xk6=fft(x,4); %做4点fft 混频Hk6=fft(h);

Yk6=Xk6.*Hk6;

y6=ifft(Yk6);

figure(1);

n=[0:(length(x)-1)];

subplot(4,2,1);stem(n,x); title('xn');xlabel('n');ylabel('幅度'); n=[0:(length(h)-1)];

subplot(4,2,2);stem(n,h); title('hn');xlabel('n');ylabel('幅度'); n=[0:(length(y1)-1)];

subplot(4,2,3);stem(n,y1); title('y1');xlabel('n');ylabel('幅度'); n=[0:(length(y2)-1)];

subplot(4,2,4);stem(n,y2); title('y2');xlabel('n');ylabel('幅度'); n=[0:(length(y3)-1)];

subplot(4,2,5);stem(n,y3); title('y3');xlabel('n');ylabel('幅度');

n=[0:(length(y4)-1)];

subplot(4,2,6);stem(n,y4);

title('y4');xlabel('n');ylabel('幅度');

n=[0:(length(y5)-1)];

subplot(4,2,7);stem(n,y5);

title('y5');xlabel('n');ylabel('幅度');

n=[0:(length(y6)-1)];

subplot(4,2,8);stem(n,y6);

title('混频y6');xlabel('n');ylabel('幅度');

MATLAB程序：

将两个信号的DFT相乘，再做反变换，相当于时域做循环卷积。而循环卷积是线性卷积以N为周期周期性延拓的结果，其中N为离散傅立叶变换的点数。若x1(n)是N1点序列，x2(n)是N2点序列，则其线性卷积为N1+N2-1点，做N =max(N1,N2)点的傅立叶变换，则结果中将有N2-1点是混叠的。

题目中N1=16,N2=8,由程序运行结果可以看出，第二张图的前7（N2-1）个

点为混叠结果，后9个点是线性卷积的结果。

所以，要用DFT来做线性卷积，DFT的点数必须大于或等于线性卷积的结果。

本题中取N1+N2-1=23为DFT的点数，即可得到正确的线性卷积结果。

四、思考题

1．直接计算N=256点的DFT与用FFT计算256点，理论上速度差别应有多少？

答：快速傅里叶变换是离散傅里叶变换的一种快速算法，计算N=256点DFT的x(k)所需要N^2=65536次复数乘法和N(N-1)=65280次复数加法，N=256点的FFT的x(k)所需要N/2lbN=1024次复数乘法和NlbN=2048次复数加法。复数乘法运算速度提高倍数为N^2/(N/2lbN)=64，复数加法提高倍数为N(N-1)/(NlbN)=31.875

2．说明为什么在实验内容2中L=6，8，10时采用FFT法对两序列计算圆周卷积的结果与线性卷积y(n)=x(n)*h(n)的结果相同，而与L=5时计算结

果不同？

答：用图形法求y1=x*h,可得到六个点，所以用FFT法对两序列计算圆周

卷积的结果时，要求使得L>=M+N-1=6。所以在实验内容2中L=6，8，10时采用FFT法对两序列计算圆周卷积的结果与线性卷积y(n)=x(n)*h(n)

的结果相同，而与L=5时计算结果不同。

五、实验心得：

通过这次实验，我对DFT的性质及其应用有了一个更加深入的了解，我并且熟悉了MATLAB编程特点。这次实验不算难，不过还是要用心去编，不然很容易出现错误。希望自己下次可以更细心一点，可以更好地完成实验内容。

傅里叶变换在信号与系统系统中的应用

河北联合大学 本科毕业设计（论文） 题目傅里叶变换在信号与系统中的应用 院系理学院 专业班级07数学一班 学生姓名刘帅 学生学号200710050113 指导教师佟玉霞 2011年5月24日

题目傅里叶变换在信号与系统中的应用 专业数学与应用数学姓名刘帅学号200710050113 主要内容、基本要求、主要参考资料等 主要内容 傅里叶变换是一种重要的变换，且在与通信相关的信号与系统中有着广泛的应用。本文主要研究傅里叶变换的基本原理；其次，掌握其在滤波，调制、解调，抽样等方面中的应用。分析了信号在通信系统中的处理方法，通过傅里叶变换推导出信号调制解调的原理，由此引出对频分复用通信系统的组成原理的介绍。 基本要求 通过傅里叶变换实现一个高通滤波，低通滤波，带通滤波。用傅里叶变换推导出信号调制解调的原理。通过抽样实现连续信号离散化，简化计算。另外利用调制的原理推导出通信系统中的时分复用和频分复用。 参考资料 [1]《信号与系统理论、方法和应用》徐守时著中国科技大学出版社 2006年3月修订二版 [2]《信号与系统》第二版上、下册郑君里、应启珩、杨为理著高等教育出版社 [3]《通信系统》第四版 Simon Haykin 著宋铁成、徐平平、徐智勇等译沈 连丰审校电子工业出版社 [4]《信号与系统—连续与离散》第四版 Rodger E.Ziemer 等著肖志涛等译 腾建辅审校电子工业出版社 [5]《现代通信原理》陶亚雄主编电子工业出版社 [6]《信号与系统》乐正友著清华大学出版社 [7]《信号与线性系统》阎鸿森、王新风、田惠生编西安交通大学出版社 [8]《信号与线性系统》张卫钢主编郑晶、徐琨、徐建民副主编西安电 子科技大学出版社 [9] https://www.wendangku.net/doc/5915826100.html,/view/191871.htm//百度百科傅里叶变换 [10]《通信原理》第六版樊昌信曹丽娜编著国防工业出版社 [11]A．V．Oppenheim,A.S.Willsky with S.H.Nawab.Siganals and systems(Second edition).Prentice-Hall,1997.中译：刘树棠。信号与系统。西安交通工业大学出版社 完成期限 指导教师 专业负责人

matlab-离散信号傅里叶变换

1.请用MATLAB编写程序，实现任意两个有限长度序列的卷积和。要求用图 形显示两个序列及卷积结果。 解：y(n)=∑x(i)h(n-i) 假设x(n)={1,2,3,4,5}; h(n)={3,6,7,2,1,6}; y(n)=x(n)*h(n) 验证：y[n]=[1,12,28,46,65,72,58,32,29,30] 【程序】 N=5 M=6 L=N+M-1 x=[1,2,3,4,5] h=[3,6,7,2,1,6] y=conv(x,h) nx=0:N-1 nh=0:M-1 ny=0:L-1 subplot(131);stem(nx,x,'*b');xlabel('n');ylabel('x(n)');grid on subplot(132);stem(nh,h,'*b');xlabel('n');ylabel('h(h)');grid on subplot(133);stem(ny,y,'*r');xlabel('n');ylabel('y(h)');grid on 【运行结果】

2.已知两个序列x[n]=cos(n*pi/2), y[n]=e j*pi*n/4x[n],请编写程序绘制 X(e jw)和Y(e jw)和幅度和相角,说明它们的频移关系。 –提示：用abs函数求幅度，用angle求相角。 【程序】 n=0:15; x=cos(n*pi/2); y=exp(j*pi*n/4).*x; X=fft(x); Y=fft(y); magX=abs(X); angX=angle(X); magY=abs(Y); angY=angle(Y); subplot(221);stem(n,magX,'*r');xlabel('频率');ylabel('幅度');grid on; subplot(222);stem(n,angX,'*b');xlabel('频率');ylabel('相位');grid on; subplot(223);stem(n,magY,'*r');xlabel('频率');ylabel('幅度');grid on; subplot(224);stem(n,angY,'*b');xlabel('频率');ylabel('相位');grid on;

离散傅里叶变换的分析与研究

XXXX大学 2012届学士学位论文 离散傅里叶变换的分析与研究 学院、专业物理与电子信息学院 电子信息工程 研究方向数字信号处理 学生姓名XX 学号 XXXXXXXXXXX 指导教师姓名XXX 指导教师职称讲师 2012年4月26日

离散傅里叶变换的分析与研究 XX 淮北师范大学物理与电子信息学院 235000 摘要离散傅里叶变换是连续傅里叶变换在时域和频域上都离散的形式，是对连续时间信号频谱分析的逼近。离散傅里叶变换不仅在理论上有重要意义，而且在各种信号的处理中亦起着核心作用。 本文首先介绍了离散傅里叶变换的定义及性质，然后介绍了离散傅里叶变换的应用，主要包括对线性卷积的计算和对连续信号的谱分析。在理解理论的基础上，在matlab环境下实现了线性卷积和对连续信号频谱分析的仿真。仿真结果表明：当循环卷积长度大于或等于线性卷积长度时，可利用循环卷积计算线性卷积；利用DFT对连续信号进行频谱分析必然是近似的，其近似的结果与信号带宽，采样频率和截取长度都有关。 关键词离散傅里叶变换；线性卷积；谱分析

The Analysis and Research of Discrete Fourier Transform XX School of Physics and Electronic Information, Huai Bei Normal University, Anhui Huaibei, 235000 Abstract The discrete Fourier transform is the form that the continuous Fourier transform are discrete both in the time domain and frequency domain,it is a approach to the analysis of continuous time signal spectrum . The discrete Fourier transform not only has important significance in theory, but also plays a central role in all kinds of signal processing . This paper introduced the definition and properties of the discrete Fourier transform first of all.Then introduced the application of the discrete Fourier transform, which mainly including the calculation of linear convolution and analysis of continuous signal the spectral. On the basement of understanding theory, we realized the linear convolution and analysis of continuous signal spectrum on the Matlab environment . The simulation results show that when the length of the cyclic convolution is equal to or greater than linear convolution,we can use cyclic convolution to calculate linear convolution;It is approximately use continuous DFT spectrum to analyze the frequency domain of continuous time signal, the approximation of the results is related to the signal bandwidth, sampling frequency and intercept length. Keywords The discrete Fourier transform; Linear convolution; Spectrum analysis

离散信号的傅里叶变换(MATLAB实验)

离散信号的变换（MATLAB 实验） 一、实验目的 掌握用Z 变换判断离散系统的稳定与否的方法，掌握离散傅立叶变换及其基本性质和特点，了解快速傅立叶变换。 二、实验内容 1、已经系统函数为 5147.13418.217.098.2250 5)(2342-++--+=z z z z z z Z H (1) 画出零极点分布图，判断系统是否稳定； (2)检查系统是否稳定； (3) 如果系统稳定，求出系统对于u(n)的稳态输出和稳定时间b=[0,0,1,5,-50];a=[2,-2.98,0.17,2.3418,-1.5147]; subplot(2,1,1);zplane(b,a);title('零极点分布图'); z=roots(a); magz=abs(z) magz = 0.9000 0.9220 0.9220 0.9900 n=[0:1000]; x=stepseq(0,0,1000); s=filter(b,a,x); subplot(2,1,2);stem(n,s);title('稳态输出'); （1）因为极点都在单位园内，所以系统是稳定的。 （2）因为根的幅值（magz ）都小于1，所以这个系统是稳定的。 （3）稳定时间为570。 2、综合运用上述命令，完成下列任务。 (1) 已知)(n x 是一个6点序列： ???≤≤=其它,050,1)(n n x

计算该序列的离散时间傅立叶变换，并绘出它们的幅度和相位。 要求：离散时间傅立叶变换在[-2π,2π]之间的两个周期内取401个等分频率上进行数值求值。 n=0:5;x=ones(1,6); k=-200:200;w=(pi/100)*k; X=x*(exp(-j*pi/100)).^(n'*k); magX=abs(X);angX=angle(X); subplot(2,1,1);plot(w/pi,magX);grid;title('幅度'); subplot(2,1,2);plot(w/pi,angX);grid;title('相位'); (2) 已知下列序列： a. ,1000),52.0cos()48.0cos()(≤≤+=n n n n x ππ； b ．)4sin()(πn n x =是一个N ＝32的有限序列； 试绘制)(n x 及它的离散傅立叶变换 )(k X 的图像。 a ． n=[0:1:100];x=cos(0.48*pi*n)+cos(0.52*pi*n); subplot(2,1,1);plot(n,x);title('x(n)的图像'); X=dft(x,101); magX=abs(X); subplot(2,1,2);plot(n,magX);title('丨X(k)丨的图像');

离散傅里叶变换应用举例

x=[1,1,1,1];w=[0:1:500]*2*pi/500; [H]=freqz(x,1,w); magH=abs(H);phaH=angle(H); subplot(2,1,1);plot(w/pi,magH);grid;xlabel('');ylabel('|X|'); title('DTFT的幅度') subplot(2,1,2);plot(w/pi,phaH/pi*180);grid; xlabel('以pi为单位的频率');label('度'); title('DTFT的相角')

N=4;w1=2*pi/N;k=0:N-1; X=fft(x,N); magX=abs(X);phaX=angle(X)*180/pi; subplot(2,1,1);plot(w*N/(2*pi),magH,'--');axis([-0.1,4.1,0,5]);hold on; stem(k,magX);ylabel('|X(k)|');title('DFT的幅度:N=4');text(4.3,-1,'k'); hold off; subplot(2,1,2);plot(w*N/(2*pi),phaH*180/pi,'--');axis([-0.1,4.1,-200,200]); hold on; stem(k,phaX);ylabel('度');title('DFT的相角:N=4');text(4.3,-200,'k')

n=(0:1:9);x=cos(0.48*pi*n)+cos(0.52*pi*n); w=[0:1:500]*2*pi/500; X=x*exp(-1i*n'*w); magx=abs(X); x1=fft(x);magx1=abs(x1(1:1:10)); k1=0:1:9;w1=2*pi/10*k1; subplot(3,1,1);stem(n,x);title('signalx(n),0<=n<=9'); axis([0,10,-2.5,2.5]);line([0,10],[0,0]); subplot(3,1,2);plot(w/pi,magx);title('DTFT幅度');xlabel('w');axis([0,1,0,10]); subplot(3,1,3);stem(w1/pi,magx1);title('DFT幅度'); xlabel('频率（单位：pi)');axis([0,1,0,10]) 实验总结：补零运算提供了一个较密的频谱和较好的图示形式，但因为在信号中只是附加了零，而没有增加任何新的信息，因此不能提供高分辨率的频谱。

离散时间信号的傅里叶变换和离散傅里叶变换

离散时间信号的傅里叶变换和离散傅里叶变换 摘要 本文主要介绍了离散时间信号的离散时间傅里叶变换及离散傅里叶变换，说明其在频域的具体表示和分析，并通过定义的方法和矩阵形式的表示来给出其具体的计算方法。同时还介绍了与离散时间傅里叶变换（DTFT ）和离散傅里叶变换（DFT ）相关的线性卷积与圆周卷积，并讲述它们之间的联系，从而给出了用圆周卷积计算线性卷积的方法，即用离散傅里叶变换实现线性卷积。 1. 离散时间傅里叶变换 1.1离散时间傅里叶变换及其逆变换 离散时间傅里叶变换为离散时间序列x[n]的傅里叶变换，是以复指数序列｛n j e ω-｝的序列来表示的（可对应于三角函数序列），相当于傅里叶级数的展开，为离散时间信号和线性时不变系统提供了一种频域表示，其中ω是实频率变量。时间序列x[n]的离散时间傅里叶变换)(ωj e X 定义如下： ∑∞ -∞ =-= n n j j e n x e X ωω ][)( （1.1） 通常)(ωj e X 是实变量ω的复数函数同时也是周期为π2的周期函数，并且)(ωj e X 的幅度函数和实部是ω的偶函数，而其相位函数和虚部是ω的奇函数。这是由于： ) ()()(tan ) ()()() (sin )()()(cos )()(2 22 ωωωωωωωωωωθωθωθj re j im j im j re j j j im j j re e X e X e X e X e X e X e X e X e X = +=== （1.2） 由于式（1.1）中的傅里叶系数x[n]可以用下面给出的傅里叶积分从)(ωj e X 中算出： ωπ ωπ πω d e e X n x n j j )(21 ][?- = （1.3）

离散傅里叶变换

第三章离散傅里叶变换 离散傅里叶变换不仅具有明确的物理意义，相对于DTFT他更便于用计算机处理。但是，直至上个世纪六十年代，由于数字计算机的处理速度较低以及离散傅里叶变换的计算量较大，离散傅里叶变换长期得不到真正的应用，快速离散傅里叶变换算法的提出，才得以显现出离散傅里叶变换的强大功能，并被广泛地应用于各种数字信号处理系统中。近年来，计算机的处理速率有了惊人的发展，同时在数字信号处理领域出现了许多新的方法，但在许多应用中始终无法替代离散傅里叶变换及其快速算法。 § 3-1 引言 一.DFT是重要的变换 1.分析有限长序列的有用工具。 2.在信号处理的理论上有重要意义。 3.在运算方法上起核心作用，谱分析、卷积、相关都可以通DFT在计算机上实现。 二.DFT是现代信号处理桥梁 DFT要解决两个问题： 一是离散与量化， 二是快速运算。 傅氏变换 § 3-2 傅氏变换的几种可能形式 一.连续时间、连续频率的傅氏变换-傅氏变换

对称性： 时域连续，则频域非周期。 反之亦然。 二.连续时间、离散频率傅里叶变换-傅氏级数 时域信号 频域信号 连续的 非周期的 非周期的 连续的 t ? ∞ ∞ -Ω-= Ωdt e t x j X t j )()(:? ∞ ∞ -ΩΩ Ω= d e j X t x t j )(21 )(:π 反

*时域周期为Tp, 频域谱线间隔为2π/Tp 三.离散时间、连续频率的傅氏变换 --序列的傅氏变换 p T 0= Ω时域信号 频域信号 连续的 周期的 非周期的 离散的 ? -Ω-= Ω2 /2 /00)(1 )(:p p T T t jk p dt e t x T jk X 正∑ ∞ -∞ =ΩΩ= k t jk e jk X t x 0)()(:0反

傅里叶变换及应用

傅里叶变换在MATLZB里的应用 摘要：在现代数学中，傅里叶变换是一种非常重要的变换，且在数字信号处理中有着广泛的应用。本文首先介绍了傅里叶变换的基本概念、性质及发展情况；其次，详细介绍了分离变数法及积分变换法在解数学物理方程中的应用。傅立叶变换将原来难以处理的时域信号转换成了易于分析的频域信号，再利用傅立叶反变换将这些频域信号转换成时域信号。应用MATLAB实现信号的谱分析和对信号消噪。 关键词：傅里叶变换；MA TLAB软件；信号消噪 Abstract: In modern mathematics,Fourier transform is a transform is very important ,And has been widely used in digital signal processing.This paper first introduces the basic concepts, properties and development situation of Fourier transform ;Secondly, introduces in detail the method of separation of variables and integral transform method in solving equations in Mathematical Physics.Fourier transformation makes the original time domain signal whose analysis is difficult easy, by transforming it into frequency domain signal that can be transformed into time domain signal by inverse transformation of Fourier. Using Mat lab realizes signal spectral analysis and signal denoising. Key word: Fourier transformation, software of mat lab ,signal denoising 1、傅里叶变换的提出及发展 在自然科学和工程技术中为了把较复杂的运算转化为较简单的运算，人们常常采用所谓变换的方法来达到目的"例如在初等数学中，数量的乘积和商可以通过对数变换化为较简单的加法和减法运算。在工程数学里积分变换能够将分析运算（如微分，积分）转化为代数运算，正是积分变换这一特性，使得它在微分方程和其它方程的求解中成为重要方法之一。 1804年，法国科学家J-.B.-J.傅里叶由于当时工业上处理金属的需要，开始从事热流动的研究"他在题为<<热的解析理论>>一文中，发展了热流动方程，并且指出如何求解"在求解过程中，他提出了任意周期函数都可以用三角级数来表示的想法。他的这种

离散信号变换的matlab实现

实验四 离散信号的频域分析 一、 实验目的 1. 掌握序列的傅里叶变换、离散傅里叶级数、离散傅里叶变换、快速傅里叶变换的Matlab 实现； 2. 学习用FFT 对连续信号和离散信号进行谱分析的方法，了解可能出现的分析误差及其原因，以便在实际中正确应用FFT 。 二、 实验内容及步骤 1. 计算序列的DTFT 和DFT ，观察栅栏效应 设)()(4n R n x =，要求用MATLAB 实现： （1）计算)(n x 的傅里叶变换)(ωj e X ，并绘出其幅度谱； （2）分别计算)(n x 的4点DFT 和8点DFT ，绘出其幅度谱。并说明它们和)(ωj e X 的关系。 （提示：DFT 变换可用MA TLAB 提供的函数fft 实现，也可以自己用C 语言或matlab 编写） 2.计算序列的FFT ，观察频谱泄漏 已知周期为16的信号)1612cos()1610cos()(n n n x π π +=。 （1） 截取一个周期长度M=16点，计算其16点FFT ，并绘出其幅度谱； （2） 截取序列长度M=10点，计算其16点FFT ，绘出其幅度谱，并与（1）的结果进行比 较，观察频谱泄漏现象，说明产生频谱泄漏的原因。 三、 实验报告要求 1. 结合实验中所得给定典型序列幅频特性曲线，与理论结果比较，并分析说明误差产生的原因以及用FFT 作谱分析时有关参数的选择方法。 2. 总结实验所得主要结论。 1. 计算序列的DTFT 和DFT ，观察栅栏效应 设)()(4n R n x =，要求用MATLAB 实现： （1）计算)(n x 的傅里叶变换)(ωj e X ，并绘出其幅度谱； （2）分别计算)(n x 的4点DFT 和8点DFT ，绘出其幅度谱。并说明它们和)(ωj e X 的关系。 （1）代码： n=0:3; M=10;

3.2 离散傅里叶变换的基本性质

第3章 离散傅里叶变换(DFT)
3.2 离散傅里叶变换的基本性质
3.2.1 线性性质
如果x1(n)和x2(n)是两个有限长序列， 长度分别为N1 和N2。 若 y(n)=ax1(n)+bx2(n) 式中a、 b为常数. 取N=max［N1, N2］ ， 则y(n)的N点DFT为 Y(k)=DFT［y(n)］=aX1(k)+bX2 (k), 0≤k≤N-1 (3.2.1) 其中X1(k)和X2(k)分别为x1(n)和x2(n)的N点DFT。
1
PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 https://www.wendangku.net/doc/5915826100.html,
X

第3章 离散傅里叶变换(DFT)
3.2.2
循环移位性质
1. 序列的循环移位 设x(n)为有限长序列， 长度为N， 则x(n)的循环 移位定义为 y(n)=x((n+m))NRN(n) (3.2.2)
2
PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 https://www.wendangku.net/doc/5915826100.html,
X

第3章 离散傅里叶变换(DFT) x(n)
n 0 1 2 3 4 5 6 7
% x ( n)
…
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
…
n
% x(n + 2)
…
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
3
…
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
n
图 3.2.1
循环移位过程示意图 (N=8)
X
PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 https://www.wendangku.net/doc/5915826100.html,

傅里叶变换的应用.

傅立叶变换在图像处理中有非常非常的作用。因为不仅傅立叶分析涉及图像处理的很多方面，傅立叶的改进算法， 比如离散余弦变换，gabor与小波在图像处理中也有重要的分量。 印象中，傅立叶变换在图像处理以下几个话题都有重要作用： 1.图像增强与图像去噪 绝大部分噪音都是图像的高频分量，通过低通滤波器来滤除高频——噪声; 边缘也是图像的高频分量，可以通过添加高频分量来增强原始图像的边缘； 2.图像分割之边缘检测 提取图像高频分量 3.图像特征提取： 形状特征：傅里叶描述子 纹理特征：直接通过傅里叶系数来计算纹理特征 其他特征：将提取的特征值进行傅里叶变换来使特征具有平移、伸缩、旋转不变性 4.图像压缩 可以直接通过傅里叶系数来压缩数据；常用的离散余弦变换是傅立叶变换的实变换； 傅立叶变换 傅里叶变换是将时域信号分解为不同频率的正弦信号或余弦函数叠加之和。连续情况下要求原始信号在一个周期内满足绝对可积条件。离散情况下，傅里叶变换一定存在。冈萨雷斯版<图像处理>里面的解释非常形象：一个恰当的比喻是将傅里叶变换比作一个玻璃棱镜。棱镜是可以将光分解为不同颜色的物理仪器，每个成分的颜色由波长（或频率）来决定。傅里叶变换可以看作是数学上的棱镜，将函数基于频率分解为不同的成分。当我们考虑光时,讨论它的光谱或频率谱。同样,傅立叶变换使我们能通过频率成分来分析一个函数。 傅立叶变换有很多优良的性质。比如线性，对称性（可以用在计算信号的傅里叶变换里面）; 时移性：函数在时域中的时移，对应于其在频率域中附加产生的相移，而幅度频谱则保持不变； 频移性：函数在时域中乘以e^jwt，可以使整个频谱搬移w。这个也叫调制定理，通讯里面信号的频分复用需要用到这个特性（将不同的信号调制到不同的频段上同时传输）； 卷积定理：时域卷积等于频域乘积；时域乘积等于频域卷积（附加一个系数）。（图像处理里面这个是个重点） 信号在频率域的表现 在频域中，频率越大说明原始信号变化速度越快；频率越小说明原始信号越平缓。当频率为0时，表示直流信号，没有变化。因此，频率的大小反应了信号的变化

离散傅里叶变换性质证明

1. [][]()()j j ax n by n aX e bX e ωω+?+ Proof: ([][])[][]()() j n j n j n j j ax n by n e a x n e b y n e aX e bX e ωωωωω∞ --∞ ∞∞ ---∞-∞ +=+=+∑∑∑ 2. (1)[]()d j n j d x n n X e e ωω--? Proof: ()[][].()d d j n d n j n n j n d n j n j x n n e x n n e e X e e ωωωωω∞-=-∞∞---=-∞--=-=∑ ∑ (2) 00()[]()j n j e x n X e ωωω-? Proof: 000()()[][]()j n j n j n j n n e x n e x n e X e ωωωωωω∞∞ ----=-∞=-∞==∑ ∑ 3. []()j x n X e ω--? Proof: ()[][]()j n j n j n n x n e x n e X e ωωω∞∞ ---=-∞=-∞-=-=∑ ∑ if []x n is real ()j X e ω-=*()j X e ω 4. ()[]j dX e nx n j d ωω? Proof: ()[]() ()[]()[]j j n n j j n n j j n n X e x n e dX e jn x n e d dX e j nx n e d ωωωωωωωω∞-=-∞∞-=-∞∞-=-∞=?=-?=∑∑∑

5. (1)22 1|[]||()|2j n x n X e d πωπωπ∞ =-∞-=∑ ? Proof: 2*2221 |()|21 ()()21 [][]21 |[]|21 |[]| 2|[]|j j j j n j n n n n n n X e d X e X e d x n e x n e d x n d x n d x n πωππωωππωωπππππωπ ωπ ωπ ωπ ωπ---∞∞-=-∞=-∞-∞=-∞ -∞=-∞ -∞=-∞ =====??∑∑?∑?∑ ?∑ (2) **1[][]()()2j j n x n y n X e Y e d π ωωπωπ∞=-∞-=∑ ? Proof: *****1 ()()21 ()()21 [][]21[][]21 [][] 2[][] j j j j j n j n n n n n n n X e Y e d X e Y e d x n e y n e d x n y n d x n y n d x n y n πωωππωωππωωπππππωπ ωπ ωπ ωπ ωπ---∞∞-=-∞=-∞-∞ =-∞-∞ ∞=-∞ =-∞-∞=-∞====??∑∑?∑?∑ ∑?∑ 6. []*[]()()j j x n y n X e Y e ωω? Proof:

基于Labview的快速傅里叶变换的实现

一、概述 FFT（Fast Fourier Transformation），即为快速傅氏变换，是离散傅氏变换的快速算法，它是根据离散傅氏变换的奇、偶、虚、实等特性，对离散傅立叶变换的算法进行改进获得的。DFT对于X（K）的每个K值，需要进行4N次实数相乘和（4N-2）次相加，对于N个k值，共需N*N乘和N（4N-2）次实数相加。改进DFT算法，减小它的运算量，利用DFT中的周期性和对称性，使整个DFT的计算变成一系列迭代运算，可大幅度提高运算过程和运算量，这就是FFT的基本思想。虽然它对傅氏变换的理论并没有新的发现，但是对于在计算机系统或者说数字系统中应用离散傅立叶变换，可以说是进了一大步。 虽然FFT大幅度地降低了常规傅立叶变换的运算量，但对于一般的单片机而言，处理FFT运算还是力不从心。主要原冈是FFT计算过程中的蝶形运算是复数运算，要分开实部和虚部分别计算。在这里利用LabVIEW来实现快速傅立叶变化。LabVIEW是一种程序开发环境，类似于BASIC开发环境；但LabVIEW与其它计算机语言相比，有一个特别重要的不同点：其它计算机语言都是采用基于文本的语言产生代码行；而LabVIEW使用图形化编程语言G编写程序，产生.的程序是框图的形式。像C或BASIC一样，LabVIEW也是通用的编程系统，有一个可完成任何编程任务的庞大的函数库。LabVIEW的函数库包括数据采集、GPIB、串口控制、数据分析、数据显示及数据存储等。LabVIEW也有传统的程序调试工具，如设置断点、以动画方式显示数据及其通过程序(子V1)的结果、单步执行等，便于程序的调试。 二、方案论证 1：单一频率正弦信号的FFT 采用Labview的信号产生模板提供的常用的信号发生器，从中找到正弦信号发生器，使其产生一个正弦信号。将此正弦信号输入到实数FFT.vi中的X端进行快速傅里叶变换处理，使时域信号转换为频域信号。然后经过复数至极坐标转换后将其显示出来。其结构如图1所示。 图1 单一频率正弦信号的FFT结构图

离散傅里叶变换及其快速算法

第五章 离散傅里叶变换及其快速算法 1 离散傅里叶变换(DFT)的推导 (1) 时域抽样： 目的：解决信号的离散化问题。 效果：连续信号离散化使得信号的频谱被周期延拓。 (2) 时域截断： 原因：工程上无法处理时间无限信号。 方法：通过窗函数(一般用矩形窗)对信号进行逐段截取。 结果：时域乘以矩形脉冲信号，频域相当于和抽样函数卷积。 (3) 时域周期延拓： 目的：要使频率离散，就要使时域变成周期信号。 方法：周期延拓中的搬移通过与)(s nT t -δ的卷积来实现。 表示：延拓后的波形在数学上可表示为原始波形与冲激串序列的卷积。 结果：周期延拓后的周期函数具有离散谱。 (4) 1。 图1 DFT 推导过程示意图 (5) 处理后信号的连续时间傅里叶变换：∑∑ ∞ -∞=-=π--δ???? ? ????= k N n N kn j s kf f e nT h f H )()()(~ 010/2

(i) )(~f H 是离散函数，仅在离散频率点S NT k T k kf f = ==00处存在冲激，强度为k a ，其余各点为0。 (ii) )(~ f H 是周期函数，周期为s s T NT N T N Nf 1 00= == ，每个周期内有N 个不同的幅值。 (iii) 时域的离散时间间隔(或周期)与频域的周期(或离散间隔)互为倒数。 2 DFT 及IDFT 的定义 (1) DFT 定义：设()s nT h 是连续函数)(t h 的N 个抽样值1,,1,0-=N n ，这N 个点的宽度为 N 的DFT 为：[])1,...,1,0(,)()(1 0/2-=??? ? ? ?==? -=π-∑N k NT k H e nT h nT h DFT s N n N nk j s s N (2) IDFT 定义：设??? ? ??s NT k H 是连续频率函数)(f H 的N 个抽样值1,,1,0-=N k ， 这N 个点的宽度为N 的IDFT 为： ())1,...,1,0(,11 0/21 -==??? ? ? ?=???????????? ???-=π--∑ N k nT h e NT k H N NT k H DFT s N k N nk j s s N (3) N nk j e /2π-称为N 点DFT 的变换核函数，N nk j e /2π称为N 点IDFT 的变换核函数。它们 互为共轭。 (4) 同样的信号，宽度不同的DFT 会有不同的结果。DFT 正逆变换的对应关系是唯一的， 或者说它们是互逆的。 (5) 引入N j N e W /2π-= (i) 用途： (a) 正逆变换的核函数分别可以表示为nk N W 和nk N W -。 (b) 核函数的正交性可以表示为：() )(* 1 0r n N W W kr N N k kn N -δ=∑-= (c) DFT 可以表示为：)1,,1,0(,)(10 -==? ??? ??∑ -=N k W nT h NT k H N n nk N s s (d) IDFT 可以表示为：)1,,1,0(,1 )(1 0-=??? ? ? ?= ∑ -=-N n W NT k H N nT h N k nk N s s (ii) 性质：周期性和对称性： (a) 12==π-j N N e W (b) 12 /-==π-j N N e W (c) r N r N N N r N N W W W W ==+ (d) r N r N N N r N N W W W W -=-=+2/2/ (e) )(1Z m W m N ∈?= (f) ),(/2/2Z n m W e e W n N N n j m N m n j m n m N ∈?===π-π- 3 离散谱的性质 (1) 离散谱定义：称)(Z k NT k H H S k ∈???? ? ?=? 为离散序列)0)((N n nTs h <≤的DFT 离散谱，简称离散谱。 (2) 性质： (i) 周期性：序列的N 点的DFT 离散谱是周期为N 的序列。 (ii) 共扼对称性：如果)0)((N n nTs x <≤为实序列，则其N 点的DFT 关于原点和N /2都

实验四 离散傅里叶变换的性质

实验四离散傅里叶变换的性质 一、实验目的 1. 熟悉matlab软件中离散傅里叶变换的实现方法及FFT函数的使用方法； 2. 通过软件仿真，加深对离散傅里叶变换性质的理解。 二、实验内容 1. 验证离散傅里叶变换的线性性质； 2. 掌握用matlab实现圆周移位的方法； 3. 验证圆周卷积与线性卷积的关系。 三、实验步骤 1. 验证线性性质 设两个有限长序列分别为xn1=[3,1,-2,2,3,4]，xn2=[1,1,1,1]，做4DFT[xn1]+2DFT[xn2],及DFT[4xn1+2xn2]的运算，比较它们的结果。 代码如下： clear,N=20;n=[0:1:N-1]; xn1=[3,1,-2,2,3,4];n1=0:length(xn1)-1; %定义序列xn1 xn2=[1,1,1,1];n2=0:length(xn2)-1; %定义序列xn2 yn1=4*xn1;yn2=2*xn2;[yn,ny]=seqadd(yn1,n1,yn2,n2); %计算4xn1+2xn2 xk1=fft(xn1,N);xk2=fft(xn2,N); %分别求DFT[xn1] 和DFT[xn2] yk0=4*xk1+2*xk2; %计算4DFT[xn1]+2DFT[xn2] yk=fft(yn,N); %计算DFT[4xn1+2xn2] subplot(2,1,1);stem(n,yk0);title('傅里叶变换之和') %显示4DFT[xn1]+2DFT[xn2] subplot(2,1,2);stem(n,yk);title('序列和之傅里叶变换') %显示DFT[4xn1+2xn2] 运行结果如图1所示，从图中可知，用两种方法计算的DFT完全相等，所以离散傅里叶变换的线性性质得到验证。

傅里叶变换 讲解最通俗易懂的一片

【纯技术帖】为什么要进行傅立叶变换？傅立叶变换究竟有何意义？如何用Matlab实现快速傅立叶 变换？来源：胡姬的日志 写在最前面：本文是我阅读了多篇相关文章后对它们进行分析重组整合而得，内容非我所原创。在此 向多位原创作者致敬！！！ 一、傅立叶变换的由来 关于傅立叶变换，无论是书本还是在网上可以很容易找到关于傅立叶变换的描述，但是大都是些故弄玄虚的文章，太过抽象，尽是一些让人看了就望而生畏的公式的罗列，让人很难能够从感性上得到理解，最近，我偶尔从网上看到一个关于数字信号处理的电子书籍，是一个叫Steven W. Smith, Ph.D.外国人写的，写得 非常浅显，里面有七章由浅入深地专门讲述关于离散信号的傅立叶变换，虽然是英文文档，我还是硬着头皮看完了有关傅立叶变换的有关内容，看了有茅塞顿开的感觉，在此把我从中得到的理解拿出来跟大家分享，希望很多被傅立叶变换迷惑的朋友能够得到一点启发，这电子书籍是免费的，有兴趣的朋友也可以从网上下载下来看一下，URL地址是： https://www.wendangku.net/doc/5915826100.html,/pdfbook.htm 要理解傅立叶变换，确实需要一定的耐心，别一下子想着傅立叶变换是怎么变换的，当然，也需要一定的高等数学基础，最基本的是级数变换，其中傅立叶级数变换是傅立叶变换的基础公式。 二、傅立叶变换的提出 让我们先看看为什么会有傅立叶变换？傅立叶是一位法国数学家和物理学家的 名字，英语原名是Jean Baptiste Joseph Fourier(1768-1830), Fourier对热传递很感兴趣，于1807年在法国科学学会上发表了一篇论文，运用正弦曲线来描述温度分布，论文里有个在当时具有争议性的决断：任何连续周期信号可以由一组适当的正弦曲线组合而成。当时审查这个论文的人，其中有两位是历史上著名的数学家拉格朗日(Joseph Louis Lagrange, 1736-1813)和拉普拉斯(Pierre Simon de Laplace, 1749-1827)，当拉普拉斯和其它审查者投票通过并要发表这个论文时，拉格朗日坚决反对，在近50年的时间里，拉格朗日坚持认为傅立叶的方法无法表示带有棱角的信号，如在方波中出现非连续变化斜率。法国科学学会屈服于拉格朗日的威望，拒绝了傅立叶的工作，幸运的是，傅立叶还有其它事情可忙，他参加了政治运动，随拿破仑远征埃及，法国大革命后因会被推上断头台而一直在逃避。直到拉格朗日死后15年这个论文才被发表出来。 谁是对的呢？拉格朗日是对的：正弦曲线无法组合成一个带有棱角的信号。但是，我们可以用正弦曲线来非常逼近地表示它，逼近到两种表示方法不存在能量差别，基于此，傅立叶是对的。 为什么我们要用正弦曲线来代替原来的曲线呢？如我们也还可以用方波或三角 波来代替呀，分解信号的方法是无穷的，但分解信号的目的是为了更加简单地处理原来的信号。用正余弦来表示原信号会更加简单，因为正余弦拥有原信号所不具有的性质：正弦曲线保真度。一个正弦曲线信号输入后，输出的仍是正弦曲线，

傅里叶变换及其在图像处理中的应用

傅里叶变换及其在数字图像处理中的应用 王家硕 学号：1252015 一、 Fourier 变换 1. 一维连续傅里叶变换 设 f (x)为x 的实变函数，如果f (x)满足下面的狄里赫莱条件： （1）具有有限个间隔点。 （2）具有有限个极点。 （3）绝对可积。 则 f (x )的傅里叶变换（Fourier Transformation ，FT ）定义为: Fourier 正变换：dt e t f t f f F t j ? +∞ ∞ --==ωω)()]([)(； Fourier 逆变换：ωωπ ωd e f t F f t f t j ? ∞ +∞ ---= =)(21)]([)(1 ， 式中：1-= j ，ω 为频域变量。 f (x )与F (w )构成傅里叶变换对，可以证明傅里叶变换对总是存在的。由于f (x )为实函数，则它的傅里叶变换F (w )通常是复函数，于是F (w )可写成 F (w ) = R (w ) + j I (w ) (1) 式中：R (w )和I (w )分别是F (w )的实部和虚部。公式1可表示为指数形式： 式中： F (w ) 为f (x )的傅里叶幅度谱，f (w )为f (x )的相位谱。 2. 二维连续傅里叶变换 如果二维函数f (x , y )是连续可积的，即∞