用方程思想解几何题

用方程思想解几何题 姓名：______________

1、Rt ⊿ABC 中，∠C= 90o， AC=6，BC=8，则斜边AB 上的高线CD=_________

2、如图， ⊿ABC 中，D 、E 是AB 、AC 上的点，且DE ∥BC ，若DE=2，BC=3，BD=1, 则AD 的长是_________

3、如图，⊙O 的弦AB ⊥半径OE 于D ，若AB=12，DE=2，则⊙O 的半径是__________

.,53,2,904的长求中在AC SinA AC AB C ，ABC Rt 、=

+=?=∠?

5.如图，已知矩形ABCD 中，E 是AB 上一点，沿EC 折叠，使点B 落在AD 边的B ’处，若AB=6，BC=10，求AE 的长。

D C

A B

E A B C D B

A D o E

C B A

E

D A B C

B'

6.如图，已知矩形ABCD 中，E 是AB 上一点，沿EC 折叠，使点B 落在对角线AC 的B ’处， 若AB=6，BC=8，求AE 的长。

1.要善于用方程思想解决几何问题；

2.几何图形中常用的等量关系是：

①面积不变性

②勾股定理

③相似三角形的性质

④直角三角形的边与角的关系

SinA=_________ cosA=____________

tanA=_________ 3.设好未知数后，要尽量把已知条件在图上标出来；

4. 要尝试一题多解,选择最优方案 B E A C D B D A

a

B C E

B ’

C B

A

用方程的思想解一道初中几何题

用方程的思想解一道初中几何题 大方一中 李 顺 题目：如图，在ΔABC 中，点D,E 分别在AB,AC 上，且CD 与BE 相交与点F ，已知ΔBDF 的面积为6，ΔBCF 的面积为9，ΔCEF 的面积为6，则四边形ADFE 的面积为 底之比，想到连接DE,ΔCEF 与ΔBCF 积之比为6:9，即为2:3,即EF ：BF=2:3 所以ΔDEF 与ΔBDF 的面积之比为2:3， ΔDEF 与ΔBDF 的面积之比等于EF ：，而的面积是6，所以ΔDEF 的面积是4设ΔADE 的面积为x ,则 BD AD S S DB AD S S BDC ADC BDF ADE = =????, BDF ADC BDF ADE S S S S ????= ∴ 9 66446+++=+∴x x 20,1001015=+=∴x x x 24420=+=+=∴??D FE AD C AD FE S S S 四边形 探究：用相似三角形的面积比等于相似比的平方，得到下面的解法 1596,1596=+==+=??BEC BD C S s BFC BD C S S ??=∴ 所以，D 、E 两点到BC 边的距离相等，DE ⅡBC ，ΔADE 与ΔABC 相似，于是有 94 322 22=??? ??=??? ??=??? ??=??FC DF BC DE S S ABC ADE 设ΔADE 的面积为S,则有ΔABC 面积为S+4+6+6+9=S+25 F

20,1005,10049,94 25==+==+∴ S S S S S S 24420=+=+=∴??D FE AD C AD FE S S S 四边形 写于2018年5月16日

第2讲 几何问题中的方程思想

第2讲 几何问题中的方程思想 笛卡尔曾在《思维的法则》一书中提出过一个解决各种问题的“万能方法”： 任何问题→数学问题→代数问题→方程求解 可见利用图形中的数量关系，建立方程，把几何问题转化成代数问题，是一种非常重要的方法. 【例1】如图，在△ABC 中 ，AB =AC ，点D 在AC 上，且BD =BC =AD ，求△ABC 各角的度数. 【例2】 如图，已知正方形ABCD 的边长为a ，△PQA 是为等边三角形，求PB 的长。 A B C D A B C D P Q

变式1：如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B′处，点A对应点为A′，且B’C＝3，则AM的长是( ) A．1.5 B．2 C．2.25 D．2.5 变式2：如图，AB＝AC＝20，BC＝32，∠DAC＝90°．求BD的长． 【例3】如图，EF与GH把正方形ABCD分成四个矩形，其中矩形PHCF的面积是矩形AEPG的面积的2倍．求证：HF=BH+DF． A B C D G H E F P

变式1：如图，△ABC内三个三角形的面积分别为5，8，10，求四边形AEFD的面积。 变式2：如图，边长为1的正方形ABCD被两条与边平行的线段EF、GH分割为四个小矩形，EF与GH交于点P，若RtΔGBF的周长为1，求矩形EPHD的面积. 归纳在几何问题中，如果图形中的边或角存在数量关系，通常设1-2个未知量，将其它未知的边或角表示出来，再利用三角形内角和或勾股定理或面积关系建立边或角的等量关系，从而列方程求解.

1.如图，在△ABC中，∠B=30°,∠ACB=120°,D是BC上一点，且∠ADC=45°，若CD=8，求BD的长. 2.已知线段AB的长为a．以AB为边在AB的下方作正方形ACDB．取AB边上一点E．以AE为边在AB的上方作正方形AENM．过E作EF⊥CD．垂足为F点．若正方形AENM与四边形EFDB的面积相等．则AE的长为________________． 3.已知 ABCD，AB=4，BC=6，AC=5，求BD的长. A B C D

中考专题--方程思想

方程应用试题 姓名___________ 应用方程思想解题时应注意：①要具备用方程思想解题的意识；②要具有正确列出方程的能力；(正确的找到等量关系)③要掌握运用方程思想解决问题的要点 一．方程思想在代数问题中的应用 （1）整式与方程思想 1．已知25A x mx n =-+，2 321B y x =-+-，若A B +中不含有一次项和常数项，则222m mn n -+的值为 2．单项式2343m n m n x y ++与422y x -是同类项，则m n 的值为 （2）函数与方程思想 3．若函数2 1 5m m y mx --=+是一次函数，且y 随x 的增大而减小，则m = 4．已知反比例函数k y x = 与一次函数2y x k =+的图像的一个交点的纵坐标是4-，则k 的值为 5．已知点(1,)P m 在正比例函数2y x =的图像上，那么点P 的坐标为 二．方程思想在几何问题中的应用 在解答几何问题中经常会①运用勾股定理建立方程；②运用相似三角形对应边成比例建立方程；③运用锐角三角函数的意义建立方程 （1）三角形和四边形与方程思想 通常解决等腰三角形相关问题时要列出方程 6．如图，矩形纸片ABCD 中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合，折痕为DG ，则AG 的长为（ ） A ．1 B ． 34 C ．2 3 D ．2 7．如图，如图，矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，对角线AC 的垂直平分线分别交AD ，BC 于点E 、F ，连接CE ， 则CE 的长________. 8．如图，已知等腰△ABC 中，顶角∠A=36°，BD 为∠ABC 的平分线，则 AD AC 的值为( ) ． A ． 1 2 B ．51- C ．1 D ．51+ 9．如图，在△ABC 中，∠C=45°，BC=10，高AD=8，矩形EFPQ 的一边QP 在边上，E 、F 两点分别在AB 、AC 上，AD 交EF 于点H 。设EF=x ，当x 为何值时，矩形EFPQ 的面积最大？并求其最大值 （3）圆与方程思想 通常以半径相等或者切线长相等为突破口 以“勾股定理”为等量关系列出方程 10．如图，ABC Rt ?中，?=∠90ACB ，4=AC ，3=BC ，以BC 上一点O 为圆心作⊙O，与AC 、AB 分别相切于C 点、E 点，则⊙O 的半径为 11．如图，已知AB 是⊙O 的弦，P 是AB 上一点，若AB ＝10cm ，PB ＝4cm ，OP ＝5cm ，则⊙O 的半径等于______________cm 。 A ′ G D C 6题 第7题 F A D O E B C E B O 第10题 O B A P D 第11题 第8题

方程思想 (几何)

方程思想 类型一 找等量关系 例1 已知：如图，正方形ABCD 的边长为a ，△PQA 是其内接等边三角形。求PB 的长。 变式1： 如图，在△ABC 中，∠B=30°,∠ACB=120°,D 是BC 上一点，且∠ADC=45°，若CD=8，求BD 的长。 变式2：（潍坊）已知线段AB 的长为a ．以AB 为边在AB 的下方作正方形ACDB ．取AB 边上一点E ．以AE 为边在AB 的上方作正方形AENM ．过E 作EF ⊥CD ．垂足为F 点．若正方形AENM 与四边形EFDB 的面积相等．则AE 的长为________________． 变式3：如图，在梯形ABCD 中，BC AD //，4=AD ，14=BC ，5=AB ，65=DC ，则梯形ABCD 的面积为 变式4：如图，在平行四边形ABCD 中，AE 、AF 是两条高线，?=∠60EAF ,6CE =,3CF =,则线段BE 长为 变式5：如图，已知AB 是⊙O 的弦，P 是AB 上一点，若AB ＝10cm ，PB ＝4cm ，OP ＝5cm ，则⊙O 的半径等于______________cm 。 A C D A B C D P Q C B D A E B C F A D

变式6：如图，已知正方形纸片ABCD 的边长为8，⊙0的半径为2，圆心在正方形的中心上，将纸片按图示方式折叠，使EA 恰好与⊙0相切于点A ′(△EF A ′与⊙0除切点外无重叠部分)，延长F A ′交CD 边于点G ，则A ′G 的长是 变式7：如图，已知等腰△ABC 中，顶角∠A=36°，BD 为∠ABC 的平分线，则AD AC 的值为( ) ． A ． 12 B C ．1 D 变式8：如图Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝5，⊙O 内切Rt △ABC 的三边AB 、BC 、CA 于D 、E 、F ，半径r ＝2，则△ABC 的周长为 变式9：如图，矩形ABCD 中，E 、F 、M 为AB 、BC 、CD 边上的点，且AB ＝6，BC ＝7， AE ＝3，DM ＝2，EF ⊥FM ，则EM 的长为 ( ) A ．5 B ．5 2 C ．6 D ．6 2 变式10：如图，在△ABC 中，∠C=45°，BC=10，高AD=8，矩形EFPQ 的一边QP 在边上，E 、F 两点分别在AB 、AC 上，AD 交EF 于点H 。设EF=x ，当x 为何值时，矩形EFPQ 的面积最大？并求其最大值

中考专题方程思想

A ．1 B ． C ． D ．2 A ．如图，已知等腰△8 A BC 中，顶角∠A=36°，BD 为∠ABC 的平分线，则 的值为( ) ． A ． B ． C ．1 D ． 中考数学专题复习—方程思想 方程思想是指对所求问题通过列方程（组）求解的一种思想方法。方程思想在初中数学的多个知 识点中均有体现，并且应用其解题可以使问题由复杂变得简单，易懂，易于求解。方程思想也是解几 何计算题的重要策略。 应用方程思想解题时应注意：①要具备用方程思想解题的意识；②要具有正确列出方程的能力； ③要掌握运用方程思想解决问题的要点 一．方程思想在代数问题中的应用 （1）整式与方程思想 1．已知 A = 5 x 2 - mx + n ， B = -3 y 2 + 2 x - 1 ，若 A + B 中不含有一次项和常数项， 则 m 2 - 2mn + n 2 的值为 2．单项式 3x m +2n y 3m +4n 与 -2 y 4 x 2 是同类项，则 n m 的值为 （2）函数与方程思想 3．若函数 y = mx m 2-m -1 + 5 是一次函数，且 y 随 x 的增大而减小，则 m = 4．已知反比例函数 y = k 与一次函数 y = 2 x + k 的图像的一个交点的纵坐标是 -4 ，则 k 的值为 x 5．已知点 P(1,m ) 在正比例函数 y = 2 x 的图像上，那么点 P 的坐标为 二．方程思想在几何问题中的应用 在解答几何问题中经常会①运用勾股定理建立方程； ②运用相似三角形对应边成比例建立方程；③运用锐角三角函数的意义建立方程 （1）三角形和四边形与方程思想 通常解决等腰三角形相关问题时要列出方程 6．如图，矩形纸片 ABCD 中，AB=4，AD=3，折叠纸片使 AD 边与对角线 BD 重合，折痕为 DG ， 则 AG 的长为（ ） 4 3 3 2 7．如图，如图，矩形 A BCD 中，AB ＝2，BC ＝3，对角线 AC 的垂直平分线分别交 AD ，BC 于点 E 、 F ，连接 CE ，则 CE 的长________. D C E D A ′ O A G 6 题 B B F C 第 7 题 第 8 题 AD AC 1 5 - 1 5 + 1 2 2 2 △9．如图，在 ABC 中，∠C=45°，BC=10，高 AD=8，矩形 EFPQ 的一边

初中数学专题复习方程思想想 专题训练(含解答)

方程思想 在解决数学问题时，有一种从未知转化为已知的手段就是通过设元，寻找已知与未知之间的等量关系，构造方程或方程组，然后求解方程完成未知向已知的转化，这种解决问题的思想称为方程思想。 1. 要具有正确列出方程的能力 有些数学问题需要利用方程解决，而正确列出方程是关键，因此要善于根据已知条件，寻找等量关系列方程。 2. 要具备用方程思想解题的意识。 有些几何问题表面上看起来与代数问题无关，但是要利用代数方法——列方程来解决，因此要善于挖掘隐含条件，要具有方程的思想意识，还有一些综合问题，需要通过构造方程来解决。在平时的学习，应该不断积累用方程思想解题的方法。 3. 要掌握运用方程思想解决问题的要点。 除了几何的计算问题要使用方程或方程思想以外，经常需要用到方程思想的还有一元二次方程根的判别式，根与系数关系，方程、函数、不等式的关系等内容，在解决与这些内容有关的问题时要注意方程思想的应用。 例题分析 例1：一商店以每3盘16元钱的价格购进一批录音带，又从另外一处以每4盘21元钱价格购进比前一批数量加倍的录音带，如果以每3盘k 元的价格全部出售可得到所投资的20％的收益，求k 的值。 分析：可以设商店第一次购进x 盘录音带，则第二次购进2x 盘录音带。根据题意，列出方程： ()()(x x k x x x k x x x k +? =?+?+?= +??≠=23163221 4 120%)326366 5 019 解这个方程：两边除以，得： 答：k 的值是19。 小结：上述例题是应用问题，正确列出方程是解题的关键，在学习过程中要不断培养这方面的能力。其中所设的x 是辅助元，它在解题过程中是参加变化的量，可以消去，也叫做参变量，并不是最终所求的未知量。从本题可以看出，设辅助元x 以后可以方便我们解题。 例2：?ABC AB AC 中，，=以AB 为直径的圆交BC 于D ，交AC 于F ，DE 切半圆于D ，交AC 于E ，若AB ：BC ＝5：6，且AF ＝7，求CE 的长。 解：连结AD 、FD 。 AB 是直径 ∴∠=? =∴∴=ADB AC AB D BC CD BD 90 是中点

初中数学——方程思想解题实例

方程思想解题实例 一、知识梳理 方程思想是指从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数,把所研究的数学问题中已知量和未知量之间的数量关系,转化为方程或方程组的数学模型，从而使问题得到解决的思维方法 方程思想的独特优势是使问题简单化,方便解题，我们在初中阶段陆续学习了一元一次方程，二元一次方程（组),分式方程,一元二次方程，感受到了方程思想在解决实际问题中的魅力。同样，方程思想在几何问题及函数问题中仍然有相当广泛的应用,我们会经常利用到这些方程、方程组作为解题的工具方程思想的本质是用设未知数用未知量表示已知量的方法，通过分析题中的等量关系，利用所学定理、性质等寻找出等量关系。本专题主要从几何中的方程思想及函数中的方程思想展开讨论。 二、课堂案例讲练 几何中的方程思想 在几何中建立等量关系的常用方法有 错误!利用勾股定理建立等量关系； 错误!利用图形中的线段相等建立等量关系； 错误!利用图形中的相似三角形对应边成比例建立等量关系。 ○，4利用三角形外角定理及三角形内角和建立等式 (一)利用勾股定理建立等量关系 例1如图所示，折叠长方形(四个角都是直角)的一边AD使点Ｄ落在BC边的点Ｆ处,已知AB=Ｄ C=8cm,AＤ=BC＝10cm，求EC的长． 解析:想求得EC长,利用勾股定理计算，需求得FC长,那么就需求出BＦ的长，利用勾股定理即可求得B Ｆ长 解：设EC的长为xcm, ∴DE=(8－x）ｃm． ∵△ＡDE折叠后的图形是△AFＥ, ∴AＤ=AＦ,∠D＝∠ＡＦE，DE＝ＥF.?∵AD=BC=1０cm，?∴ＡF=AＤ=１０cm. 又∵AB=8cm，在Rｔ△ABF中,根据勾股定理，得AB２+BＦ２=AF2?∴82+BF２=102 ∴BF＝6cm． ∴FC=ＢC-BF=1０-６=4ｃm.?在Rt△EFC中，根据勾股定理,得:FＣ2+EC2＝ＥF2?∴４2+ｘ2=（8-x)2,即１6+ｘ２=64-16x+ｘ２,?化简，得1６x=48． ∴x=3. 故ＥＣ的长为３cｍ．

巧解几何题-妙用未知数1

活用未知数 巧解几何题 在初中阶段，除了几个特定的问题常用设未知数列方程的方法以外，其实还有很多题目类型可以通过引入未知数，利用方程思想来解决。特别是几何问题，学生由于受到定式思维的影响，很难意识到几何与方程之间的关系，从而更加难以从方程的角度切入解决几何问题。因此，本文试举例探讨几类几何题利用未知数，根据几何性质建立等量关系列方程的解题思路和方法。 1 在等腰三角形中引入未知数 例1（2009年邵阳市中考题） 如图1-1，在梯形ABCD 中，CD AD AB ==,AB AC ⊥,将CB 延长至点F ，使CD BF =. (1) 求ABC ∠的度数； (2) 求证：CAF ?为等腰三角形. 图1-1 分析：从已知条件可以得到两个等腰三角形和一个等腰梯形，根据等边对等角的性质，我们不难得到多个角度之间的数量关系，很容易想到从某一个角出发，依次得到各个角的度数，来得到题目所求角的度数。但是，这个题目最大的困扰就是没有给出任何一个角的度数，也就是说我们没有一个出发点，那么这么多的数量关系也无法利用。因此，我们可以引入未知数，设 x ABC =∠，以这个角为切入点根据数量关系依次得出所需角的表达式，再根据他们之间的等量关系列方程求解，即巧妙地突破了这个题目的难点。 解： (1)设 x ABC =∠ ∵ AB AC ⊥ ∴ 90=∠CAB ∴ )90(x ABC CAB ACB -=∠-∠=∠ 又∵ BC AD // ∴ )90(x ACB DAC -=∠=∠ ∵ CD AD = ∴ )90(x DAC DCA -=∠=∠ ∴ )2180()90()90(x x x ACB DCA DCB -=-+-=∠+∠=∠ ∵ AB CD = ∴ ABC DCB ∠=∠ 即 x x =-)2180( 解得 60=x ∴ 60=∠ABC (2) 略 总结：本题利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理，将线段间的相等关系转化为角度之间的相等关系，然后选取题目所求角设未知数x ，其他各角均可用含x 的代数式表示出来，利用等腰梯形的性质寻求等量关系列方程，求得题目所求。通过引入未知数，经过代换，列方程解决问题的方法是突破三角形问题最常见的技巧。 F D C B A

高考数学(理)二轮专题练习【专题8】(1)函数与方程思想(含答案)

第1讲函数与方程思想 1．函数与方程思想的含义 (1)函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等．(2)方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．方程的教学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题．方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系． 2．和函数与方程思想密切关联的知识点 (1)函数与不等式的相互转化，对函数y＝f(x)，当y>0 时，就化为不等式f(x)>0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式． (2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要． (3)在三角函数求值中，把所求的量看作未知量，其余的量通过三角函数关系化为未知量的表达式，那么问题就能化为未知量的方程来解． (4)解析几何中的许多问题，例如直线与二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决．这都涉及二次方程与二次函数的有关理论． (5)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决，建立空间直角坐标系后，立体几何与函数的关系更加密切.

热点一 函数与方程思想在不等式中的应用 例1 (1)f (x )＝ax 3－3x ＋1对于x ∈[－1,1]总有f (x )≥0成立，则a ＝________. (2)设f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x <0时，f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0，且g (－3)＝0，则不等式f (x )g (x )<0的解集是__________． 答案 (1)4 (2)(－∞，－3)∪(0,3) 解析 (1)若x ＝0，则不论a 取何值，f (x )≥0显然成立； 当x >0即x ∈(0,1]时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≥3x 2－1 x 3. 设g (x )＝3x 2－1 x 3，则g ′(x )＝3(1－2x )x 4 ，所以g (x )在区间????0，12上单调递增，在区间????12，1上单调递减， 因此g (x )max ＝g ???? 12＝4，从而a ≥4； 当x <0即x ∈[－1,0)时， f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≤3x 2－1x 3， 设g (x )＝3x 2－1 x 3，且g (x )在区间[－1,0)上单调递增， 因此g (x )min ＝g (－1)＝4，从而a ≤4，综上a ＝4. (2)设F (x )＝f (x )g (x )，由于f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，得F (－x )＝f (－x )g (－x )＝－f (x )g (x )＝－F (x )，即F (x )在R 上为奇函数． 又当x <0时，F ′(x )＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0， 所以x <0时，F (x )为增函数． 因为奇函数在对称区间上的单调性相同， 所以x >0时，F (x )也是增函数． 因为F (－3)＝f (－3)g (－3)＝0＝－F (3)． 所以，由图可知F (x )<0的解集是(－∞，－3)∪(0,3)． 思维升华 (1)在解决不等式问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，利用函数的图象和性质解决问题；(2)函数f (x )>0或f (x )<0恒成立，一般可转化为f (x )min >0或f (x )max <0；已知恒成立求参数范围可先分离参数，然后利用函数值域求解． (1)若2x ＋5y ≤2－ y ＋5－ x ，则有( ) A ．x ＋y ≥0 B ．x ＋y ≤0 C ．x －y ≤0 D ．x －y ≥0

函数与方程思想总结很好很全面

函数与方程思想 函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的。函数与方程的思想是中学数学的基本思想，也是历年高考的重点。 1．函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。 2．方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系； 3．函数方程思想的几种重要形式 (1)函数和方程是密切相关的，对于函数y＝f(x)，当y＝0时，就转化为方程f(x)＝0，也可以把函数式y＝f(x)看做二元方程y －f(x)＝0。 (2)函数与不等式也可以相互转化，对于函数y＝f(x)，当y ＞0时，就转化为不等式f(x)＞0，借助于函数图像与性质解决有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式；

(3)数列的通项或前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点处理数列问题十分重要； (4)函数f(x)＝(1+x)^n(n∈N*)与二项式定理是密切相关的，利用这个函数用赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题； (5)解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，涉及到二次方程与二次函数的有关理论； (6)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用布列方程或建立函数表达式的方法加以解决。 【例1】.关于x的方程(x2－1)2－|x2－1|＋k＝0，给出下列四个命题： ①存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根； ②存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根； ③存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根； ④存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根. 其中真命题是_____________ 解答：根据题意可令｜x2－1｜＝t(t≥0)，则方程化为t2－t＋k＝0，(*) 作出函数t＝｜x2－1｜的图象，结合函数的图象可知①当t＝0或t＞1时，原方程有两上不等的根，②当0＜t＜1时，原方程有4个根，③当t＝1时，原方程有3个根. (1)当k＝－2时，方程(*)有一个正根t＝2，相应的原方程的解有2个； (2)当k＝时，方程(*)有两个相等正根t＝，相应的原方程的解有4个； (3)当k＝0时，此时方程(*)有两个不等根t＝0或t＝1，故此时原方程有5个根；

用方程思想解决几何问题(2)

（第2题） 九年级数学培优学案 专题：用方程思想解决几何问题（2） 主备人：范大阳 编号：002 班级：___________ 姓名：____________ 学号：___________ 得分：_____________ 一．选择题： 1.如图，将边长为8㎝的正方形ABCD 折叠，使点D 落在BC 边的中点E 处，点A 落在F 处，折痕为MN ，则线段CN 的长是（ ） A ．3cm B ．4cm C ．5cm D ．6cm 2.矩形纸片ABCD 的边长AB =4，AD =2．将矩形纸片沿EF 折叠，使点A 与点C 重合，折叠后在其一面着色（如图），则着色部分的面积为（ ） A ． 8 B ． 112 C ． 4 D ．5 2 二．填空题： 3. 将三角形纸片（△ABC ）按如图所示的方式折叠，使点B 落在边AC 上，记为点B ′，折痕为EF ．已知AB ＝AC ＝3，BC ＝4，若以点B ′，F ，C 为顶点的三角形与△ABC 相似，那么BF 的长度是 ． 4. 如图，已知正方形纸片ABCD 的边长为8，⊙0的半径为2，圆心在正方形的中心上，将纸片按图示方式折叠，使E A ′恰好与⊙0相切于点A ′(△EFA′与⊙0除切点外无重叠部分)，延长FA ′交CD 边于点G ，则A ′G 的长是 _______ 5. 如图，正方形A 1B 1P 1P 2的顶点P 1、P 2图象上，顶点A 1、B 1分别在x 轴、y P 2P 3A 2B 2，顶点P 3在反比例函数y ＝ 2 x （x ＞0P 3的坐标为______________． N E 第1题

三．解答题： 6.如图，线段AB DC 、分别表示甲．乙两建筑物的高，AB BC DC BC ⊥，⊥，从B 点测得D 点的仰角α为60°从A 点测得D 点的仰角β为30°，已知甲建筑物高36AB =米． （1）求乙建筑物的高DC ； （2）求甲．乙两建筑物之间的距离BC （结果精确到0.01米）． 1.414 1.732） 7. 如图，矩形ABCD 中，截去正方形ABMN 后，矩形MNDC 与原矩形ABCD 相似，求矩形ABCD 长与宽的比。 8. 如图所示，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的弦，⊙O?的割线PDE?垂直AB 于点F ，交BC 于点G ，连结PC ，∠BAC=∠BCP ，求解下列问题： （1）求证：CP 是⊙O 的切线； （2）当∠ABC=30°， ， 时，求以PD 、PE 的长为两根的一元二次方程． （3）若（1）的条件不变，当点C 在劣弧AD 上运动时，应再具备什么条件可使结论BG 2 =BF ·DO 成立？试写出你的猜想，并说明理由． α β D 乙 B A 甲 E

数学思想篇：二、方程思想

数学思想篇：二、方程思想 【思想指导】 在解决数学问题时，有一种从未知转化为已知的手段就是通过设元，寻找已知与未知之 间的等量关系，构造方程或方程组，然后求解方程完成未知向已知的转化，这种解决问题的 思想称为方程思想。 【范例讲析】： 1方程思想在几何中的应用 1.1基于几何定理的数量关系，利用方程解决所研究几何图形的数量关系 中学数学几何中的许多定理都蕴含了图形数量上的相等关系，例如常见勾股定理、垂径定理等。在很多情况下，若能根据这些定理反映的数量关系，合理设出未知数并建立方程，可以从容解决问题。 例1.如图1，折叠矩形的一边AD，点D落在BC边的点F处，已知AB=8, BC=10 ，求DE的长。 例2.如图2，已知点E在直角△ABC的斜边AB上，以AE为直径的⊙O与直角边BC相切于点D。（1）求证：AD平分BAC ∠；（2）若BE=2，BD=4，求⊙O的半径． 1.2对三角函数所体现的数量关系，借助方程思想解直角三角形 例3．如图3，某校研究性学习小组测量学校旗杆AB的高度，如图在教学楼一楼C处测得旗杆顶部的仰角为60?，在教学楼三楼D处测得旗杆顶部的仰角为30?，旗杆底部与教学楼一楼在同一水平线上，已知每层楼的高度为3米，则旗杆AB的高度为米. 2方程思想在代数中的应用 2.1整式与方程思想 在中学数学中，我们要接触许许多多的定义、性质、规律等理论性知识，那么这些知 识往往本身就直接或间接的体现着方程关系，如：单项式与同类二次根式的定义、不同类型的方程的定义、非负数的性质等。 例4．若n m m b a3 2 2+与8 3 2b a n-的和仍是一个单项式，则m与n的值分别是（） （A）1，2 （B）2，1 （C）1，1 （D）1，3 例5．已知(221)(37)(37)(13) x x x x -----，可分解因式为(3)() x a x b ++，其中a b 、均为整 数，则求3 a b +=ab=。 2.2用方程思想解决实际问题 例6．小林准备如下操作实验：把一根长为40cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个 正方形。（1）要使这两个正方形的面积之和等于582 cm，小林该怎么剪？ （2）小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于482 cm.”他的说法对吗？请说明理由。

用方程思想解决几何问题(1)

九年级数学培优学案 专题：用方程思想解决几何问题（1） 主备人：范大阳 编号：001 班级：___________ 姓名：____________ 学号：___________ 得分：_____________ 一．选择题： 1.如图，在矩形ABCD 中，AB=2，BC=4，对角线AC 的垂直平分线分别交AD 、AC 于点E 、O ，连接CE ，则CE 的长为（ ） A. 3 B.3.5 C.2.5 D.2.8 2. 如图5，两个正方形的面积分别为16、9，两阴影部分的面积分别为a ，b （a>b ），则（a-b ） 等于 （ ） Ａ．7 Ｂ．6 Ｃ．5 Ｄ．4 3.如图，用邻边长为a,b(a ＜b )的矩形硬纸板截出以a 为直径的两个半圆，再截出与矩形的较边、两个半圆均相切的两个小圆，把半圆作为圆锥形圣诞帽的侧面，小圆恰好能作为底面，从而做成两个圣诞帽（拼接处材料忽略不计），则a 与b 关系式是（ ） （A ）b= 3 a (B)b=5+12 (C) 52 (D) b= 2 a 二．填空题： 4.当宽为3cm 的刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆的两个交点处的读书如图6所示（单位：cm ），那么该圆的半径为 cm. 5.把一张矩形纸片(矩形ABCD)按如图7方式折叠，使 顶点B 和点D 重合，折痕EF ，若AB=3cm ，BC=5cm ， 则重叠部分△DEF 的面积是__________ cm 2． 三．解答题: 6.如图，在矩形ABCD 中，对角线BD 的垂直平分线MN 与AD 相交于点M ,与BD 相较于点O ，与BC 相较于N ，连接MN DN ，。 (1)求证：四边形BMDN 是菱形； (2) 若 4 , 8 ,AB AD ==求MD 的长。 A D