浅谈有关概率论的几个有趣的随机偶然问题

浅谈有关概率论的几个有趣的

随机偶然问题

摘要概率论是数学中的一门基础学科，不仅可以研究古老难题，解决应试的需求，更广泛应用于现实生活中的各个方面。尤其在解决带有偶然性的问题时，其独特的思维方法使得问题浅显易懂，从而变的简单易解。现实生活中那些趣味性的随机问题更离不开概率论的思想。

关键词概率论偶然性趣味性随机

On probability on the several interesting

random chance problem

Abstract Probability thoery is a basic study in mathematics.Not only can be studied old problem, should try to solve the demand, the more widely used in real life in all aspects.Especially in solving the problem with contingency, its unique thinking methods make simple problem, thus become simple easy solution.Real life those interesting problems more from probability theory of random thoughts.

Keywords probability thoery；contingency；interesting；random

2002年8月在北京举行国际数学家大会（ICM2002）期间，陈省身大师为儿童题词，写下了“数学好玩”4个大字。也许这会让很多学生不解，数学如何好玩？更有学生会坦言在所有学科里面最让人头疼的就是数学，它怎么可能会好玩？陈省身先生之所以说它好玩是因为他是数学大师，他乐于其中。然而我们这种出于对应试需求的一种学习当然会认为它枯燥、难理解等等。其实不然，陈省身大师在他十几岁的时候就觉得数学好玩，他是因为觉得好玩才专研其中，并不是因为专研其中才觉得数学好玩的。这就如同世间上的很多事情，只有感受体验才能食髓知味。就比方酒，“酒仙”李白写到“但得此中味，勿为醒着传”，不体会是不能理解诗人所传达的意境与乐趣的。

概率论是研究随机现象的数量规律学科。17、18世纪，数学获得了巨大的进步。数学家们冲破了古希腊的演绎框架，向自然界和社会生活的多方面汲取灵感，至此数学领域里出现了众多崭新的生长点。概率论就是这一时期"使欧几里得几何相形见绌"的若干重大成就之一。早在16世纪，意大利学者卡丹与塔塔里亚等人就已经开始从数学角度研究赌博问题。他们的研究不仅包含赌博还涉及到当时的人口、保险业等，但由于卡丹等人的思想未引起重视，概率概念的要旨也不明

确，于是很快被人淡忘了。真正的概率论的历史开始于17世纪中叶，最初概率论是起源于对赌博问题的研究。据说，1654年左右爱好赌博的法国人梅雷（A.G.C.de Mere,1610-1685）写信向帕斯卡（B.Pascal,1623-1662）请教。两个赌徒相约赌若干局，谁先赢s 局就算赢，现在一个人赢了a （a

数学的有趣性体现于此，它能把生活中的问题转化为数学问题，用数学的思想与方法解决。与上述案例大致相同的一例有关概率论的赌博游戏就是著名的两个吸收壁的随机游戏问题，也叫做赌徒输光问题。原题如下：

设袋中有a 个白球b 个黑球。甲、乙两赌徒分别有n 元、m 元，他们不知道袋中哪种球多。他们约定：每次有放回从袋中摸一个球，如果摸到白球甲给乙11元，如果摸到黑球，乙给甲1元，知道两个人有一个人输光为止。求甲输光的概率。由题知，甲赢1元的概率为b

a b p +=，输1元的概率为p q -=1，设n y 为甲输光的概率，t x 表示赌t 次（摸t 次球）后甲的赌金，τ=inf {}m n x x t t t +==或0:，即τ表示最终摸球次数。如果{}=+==m n x x t t t 或0:Φ

（Φ为空集），则令τ=∞。

设A=“第一局（次）甲赢”，则P(A)=p ，q A P =)(，且在第一局甲赢的条件下（因为甲有n+1元）甲最终输光的概率为1+n y ，在第1局甲输的条件下甲最终输光的概率为1-n y ，由全概率公式，得齐次一元二阶常系数差分方程与界条件 11-++=n n n qy py y (1) 0,10==+m n y y (2) 解具有边界条件（2）的差分方程（1）有两种方法，其解分别介绍如下。 解法一：

令n n y λ=，由（1）得关于λ的代数方程

q p q p +=+2)(λλ （3） （Ⅰ）当)(b a p q ≠≠即时，方程（3）有两个解p q =

=21,1λλ，故方程（1）有两个特解：1与（

p

q ），从而方程（1）通解为 n n q p C C y )(21+= 由边界条件（2）得

m n m n m n p q C p q p

q C +++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=11,1)(21

故得 m n n

n p q p q y +⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111 (Ⅱ) 当p=q 时，方程（3）有两个相等的解121==λλ，故方程（1）有通解n C C y n 21+=，再由边界条件（2）得

n

m C C +-==1,121 从而得 m

n n y n +-

=1 综合（Ⅰ）与（Ⅱ）得 ⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧=+-≠---+=q p m n n q p p q p q y m n n n ,1,)(1)(11 （4）

解法二：

（Ⅰ）当q p ≠时，由方程（1）得

()11-+-=-n n n n y y p q y y （递推）

=()......)(212=---n n y y p

q =()()1101-⎪⎭

⎫ ⎝⎛=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛y p q y y p q n n （5） 又因 ()∑-+=++-=-=-1

101m n k k k m n y y y y =()()11111101--⎪⎭⎫

⎝⎛-=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=∑y p

q p q y p q m

n m n k k 所以m n p q p

q

y +⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛---=-1111，从而由（5）得

n y =1111-+-+⎪⎭

⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-n m

n n y p q p

q

p q

（递推） =∑-=+⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎭

⎫ ⎝⎛---10011n k k

m

n p q p q p q

y =m

n n

p q p q

+⎪⎭

⎫ ⎝⎛-⎪⎭

⎫ ⎝⎛--111

（Ⅱ）当q p =时，由方程（1）得

1

10111-=-=-=--+y y y y y y y n n n n （递推） 又因 ()()∑∑-+=+=+-=

-=-1

01-m 0

1111m n k n k k k y y y =()()11-+y m n 所以，m n y +-=-1

11，从而

()1111

1--++-=-+=n n n y m n y y y

（递推）

=m

n n y m n n +-=++-

10 从而，亦得（4）。 这样我们就圆满的算出了所要求的量，而且每个步骤都是非常的清晰，使人一看就很明了，我们在此题中也是充分的运用了概率论的知识。这样的题目现在已经从大学的课本中“下放”到高中的知识，相信还是会有同学不觉得概率论有趣，不过下面这一例问题相信会改变一些同学会概率论的看法——蒲丰（Buffon ）投针问题，题目如下：

平面上画着一些平行线，它们之间的距离都是a 。向此平面随意投一长度为l(l

刚看到此题的时候如果不是要求所求的答案为概率是不是很难想象的到它能和概率论结合在一起？甚至根本不会联系到概率呢？这就是概率的有趣之处，随后我们将详细的展现它的有趣。

解：以x 表示针的中点到最近一条平行线的距离，以δ表示针与平行线的交角，针与平行线的位置关系见图1-1.显示样本空间为

图1-1

很多对数学有偏见甚至讨厌数学的人依然会说这不还是计算题吗？不还是一样的数学死模版：分析—假设—大胆求证—得出正确的结果，还是数学的那一套模式也逃不出数学求解的框框，最终还是那么的讨厌。也许像这样出现数字，明显一看就是算数的题目不会引起对数学反感之人的兴趣，那么也就无从谈起概率论的有趣。可是如果概率论和《红楼梦》“扯”上关系，是不是从文学的方面能说明概率论的有趣，也能引起对数字反感之人的兴趣？

a M

δsin 2

l x

众所周知《红楼梦》的问世过程比较复杂，一经流传就受到极大地关注。“红学”的影响很深，至今仍有很多的学者为之陶醉，沉迷于研究不曾自拔。要说这《红楼梦》的内容，在各类小说横行的今天看来已经没有太多的新颖，可是为什么大家还是那么的热衷它，还是那么的废寝忘食研究？因为《红楼梦》不但只是我国的四大名著之一，它里面所暗含的内容已经远远超出人们的想象，甚至敢于说出那个年代人们忌讳的话语。

霍国玲女士曾经提出《红楼梦》中有暗喜雍正归天之意，在“红学”界，认为有暗骂雍正的看法。其实在此之前已经有多种版本的论说，在此我们只论霍国玲女士提出的骂雍正的一条具体例证，并用概率统计的思想方法加以讨论，认为可信概率很大，也就是说很可能就是曹雪芹自己的意思。

相信读过《红楼梦》的人对曹氏家族与两个黄帝之间的关系都非常的了解，就现代的思想来看曹雪芹骂雍正正是绝对有动机的，这一点毋庸置疑。可是想必大家都清楚，在清朝中期“文字狱”就像一个魔鬼一样住在每个文人的心中，稍加不注意的文人就会被捕风捉影的人按上“藐视朝廷”、“轻视皇上”诸如此类的罪过，轻则打入地牢重则杀头甚至满门抄斩。试想一下在这样的坏境下又怎么可能容得下骂皇上？可曹雪芹却在小说《红楼梦》中多次暗骂皇上。其中暗喜雍正归天就是显著地一例。可以简单的概括为：

八月二十三日=雍正死亡日

=曹雪芹欢欣鼓舞之日

就当时的情形而言，曹雪芹肯定不能明目张胆的表达出自己的欢喜之情，那么他用了怎样的手法呢？若写的显而易见，便有灭顶之灾；若忽略则难以表达曹家的怨恨，于是使用了多种隐蔽的技巧，下面我们便对大家一一的详解。

史书记载，雍正的死亡之日是8月22日深夜与8月23日凌晨之间，这一年曹雪芹21岁，他必会记住这个日期，又因为有抄家的怨恨内心欢喜是必然的。在《红楼梦》的前80回中，多记载的是贵族的生活场景，尤以37~41回将鲜花着锦之盛，欢乐无限之态，推向了顶峰。只要看了第40回中贵妇人、贵公子和贵小姐们的欢笑场面便会有具体的感受。曹雪芹誓要将此无比欢腾的场面呈现在雍正忌日这一天，可是曹雪芹知道自己不能如实地写出8月23日小说中任务的欢呼雀跃，那么这一愿望如何实现呢？不得不说曹雪芹确实有很高超的文学技巧与笔法。

在地37回的开端处，有这样两行文字：“这年贾政又点了学差，择于八月二十起身……”注意，这两行是承前启后文字，其中的日期可以不必写的如此准确，可用“这日”一类的简单记述。这里似乎又别有用意了。在第42回的开端处，尤以小段文字是对前几回欢唱而豪放场面的收敛，却借着查看崇书之机说出：“八月二十五日，病者在东南方得遇花神”。请注意，此处十分自然而巧妙地设计出又一个确凿日期。在第37~41回的5回里，大约有四万字的篇幅，只管大书特书如何欢呼如何盛宴，再看不到任何月日的记述。不过在关键时刻都能找到“这日”或“次日”等字眼，使得8月20日至8月25日的活动安排井然有序。然而作者仍旧未进行，还在第38回中，暗笔点明这一天正是8月23日，记述了大观园里吟诗作乐欢天喜地的盛况，浓墨林黛玉菊花诗夺魁，淡抹薛宝钗螃蟹咏讽和。后半回看似累赘（有文学家这样认为），好像是给薛宝钗一个安慰赛，实则是有难言之隐，看看她的称冠的“螃蟹咏”吧：

桂霭桐阴坐举觞，长安涎口盼重阳。

眼前道路无经纬，皮里春秋空黑黄。

酒未敌醒还用菊，性防积冷定须姜。

于今落斧成何益？月浦空余禾黍香。

书中还明白写道，在看了“眼前道路无经纬，皮里春秋空黑黄”之后，“众人不禁叫绝”“写的痛快！”。看完全诗后，“都说这是食螃蟹绝唱，这些小题目，原要寓大意才算是人才，只是讽刺世人太毒了些。”作者痛快淋漓地骂出了心里话，横行霸道诡计多端者，终究逃脱不了落入汤锅的下场。结合前文的叙述，所骂何人不言而明。

很明显，这样的例证属于陈维昭所说的“既不能直接形成定论，而无论通过如何缜密的逻辑推理，最终依然不能间接形成定论”。但即使是问到曹雪芹本人，恐怕情况的不同答案也会不同的。如此说来，对这一结论无话可说了吗？不是的，这时恰好可用概论来分析两种可能性大小的差别，如C.R.Rao所指出的“当经济或实验中获取的知识中的不确定性的度量”。这不仅仅是估算两个概率大小的问题，更重要的是一种方法论，带有“哲学、逻辑和实践的问题”。这里将要论述的对“不确定性的度量”，也是来源于公众生活的实践。对概率不熟悉的人也许会看不懂我在这里的叙述，下面我就用一个简单的例子阐述我的原理。

想必大家都玩过扑克牌，那我们都知道在每局开始之前都要先洗牌再抓牌。若某人第一手抓牌时，无意之中发现他抓到的是一张大王牌，于是牌友之间对他是否作弊可能产生争执。通常分为三种：其一，有人看到了他作弊的动作，他会受到批评；其二。洗牌的动作是对方完成的，他没有作弊的可能，当然也就不应当受到为难；其三，他自己洗牌，又第一个抓牌，不能排除作弊的可能性。此时，大家也会有共识，即重新洗牌，而且要按标准程序操作。

在这样的了结方案中，对于前两种情况我们是很容易理解的。对于第三种情况的共识心态，应当进行思索和解释，这恰好与概率有关系。首先注意，某人未作弊而又第一手抓到大王牌是可能的。这种可能性的大小也是可以计算的。每副扑克牌的张数为54，按照第一节的论述，此可能性是1/54，或者说概率是1.85%（=1/54=0.0185），容易看出这种概率是非常小的。相反，若是有人呢作弊，那么它的概率就不再是1/54，是多少那就取决于作弊人水平的高低了。对于高手，可能近乎于100%。而此时我们只讨论100%的情况，不仅仅因为这种情况容易讨论，而且在后文的应用只与此情况有关。那么我们现在就用概率的方法解释第三种情况的共识心态。

我们先想一下前述的第三种情况：某人自己洗牌，又第一手抓牌，又抓到了一张大王牌。此时产生对某人是否作弊的争论，源于他既有可能作弊，也有可能没作弊，这都和情况不冲突。显然，只承认存在作弊的可能性，不足以了结此番争论。就某人自己而言，他应当知道是否作弊了。但就某种意义而言，他是受害者，他的陈述算不得数。对于牌友而言，他们一致认为：不作弊而又一手抓到大王牌的概率是1.85%（=1/54=0.0185）；如果作弊则可以确保抓到大王牌。换言之也就是说，若牌友坚持他作弊的说法则冤枉他的概率是1.85%，即“某人作弊”之说不真的概率为1.85%，那么为真的概率是98.15%（100%-1.85%）。我们看到真与不真的概率相差甚远，那么最终就会以包括某人在内的多数人都要求重新洗牌，而且按照标准程序操作了结。其实也就暗含了相信以及接受“某人作弊”的说法，使用“共识”一词只是为了达到缓和气氛的目的。

相信很多人已经明白了，上述所说的玩扑克牌的例子就与暗骂雍正之事有类似之处。看《红楼梦》怀疑作者暗骂雍正与玩牌时怀疑某人作弊才抓到大王牌，两者在逻辑上是相同的。我们可以仿照计算“为作弊而又第一手抓到大王牌”的

概率算法，再注意到农历的天数是354，那么书中人数的欢畅与雍正死亡时间相同的巧合为1/354（0.28%），那么非巧合的概率就是353/354(1-0.28%=99.72%),这比刚刚不作弊抓大王牌真假的概率相差还要大。相反，如果不是作者故意而为之，那么就与洗牌作弊的道理相似，虽然能想到用如此高妙的手法不容易，但成功率却是100%。曹雪芹先生有宣泄的动机有知道雍正死亡的时间，这就类似于玩扑克“自己洗牌又第一手抓牌”的情况，故无法排除作者故意所为的可能性，除非《红楼梦》在雍正死之前就已经问世，那么这样自然不会有人怀疑其中暗骂雍正之事，这与“他人洗牌”的情况相类似。

至此，按照“归纳概率推理”的思考结果是：在“可能”与“不可能”的两种观点中，曹雪芹在《红楼梦》中有暗喜雍正归天的看法，具有最大的概率，而且与相反看法“为真”概率的差别是悬殊的。

看到此，我们是否要为概率欢呼？是否在心中暗暗惊叹，如此博大精深的《红楼梦》竟然也要用到概率论的知识？其实概率论的有趣不仅仅体现在《红楼梦》的这几回中，后面亦有用到。我们这里所讨论到的还只是九牛一毛，仅介绍这一处，希望有兴趣人士可以自行阅读。

其实概率的有趣又岂是几页纸，几句话就能概括的。众所周知的《中国古算解趣》一书中也只是涵盖了比较广为流传的有趣数学题，譬如“三翁垂钓”、“五猴分桃”等等诸如此类的题目。要想更加深入的体会到概率的有趣还需要多加钻研，由于篇幅有限，上述论文仅以典型例子解说。若有不妥之处还望谅解。

参考文献

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[12]William Feller.概率论及其应用。胡迪鹤，刘文泽。北京，科学出版社，1979.

致谢

在论文的准备和写作过程中，笔者得到了孟燕玲老师的悉心指导和热情帮助。。。

概率统计小故事

http://211.71.86.13:8081/web/jp/gltj/web/C_Page09_12.htm 1.分赌本问题 A 、 B 二人赌博，各出注金a 元，每局个人获胜概率都是2/1，约定：谁先胜S 局，即赢得全部注金a 2元，现进行到A 胜1S 局、B 胜2S 局(1S 与2S 都小于S )时赌博因故停止，问此时注金a 2应如何分配给A 和B 才算公平？此问题文字上最早见于1494年帕西奥利的一本著作，是对6=S ，51=S 和22=S 的情况。 由于对“公平分配”一词的意义没有一个公认的正确理解，在早期文献中出现过关于此问题的种种不同的解法，如今看来都不正确。例如，帕西奥利本人提出按2:S S 1的比例分配。塔泰格利亚则在1556年怀疑找到一种数学解法的可能性，他认为这是一个应由法官来解决的问题，但他也提出了如下的解法：若2S S 1>，则A 取回自己下的注a ,并取走B 下的注的S S S 1/)(2-，这等于按)(:)(22S S S S S S 11+--+的比例瓜分注金。法雷斯泰尼在1603年根据某种理由，提出按)12(:)12(22S S S S S S 11+---+-的比例分配。卡丹诺在其1539年的著作中，通过较深的推理提出了一种解法：记1S S r -=1，22S S r -=。把注金按)1(22+r r ：)1(11+r r 之比分给A 和B 。他这个解法如今看来虽然仍不正确，但有一个重要之点，即他注意到起作用的是1S ,2S 与S 的差距，而不在其本身。 这个问题的症结在于：他关乎各人在当时状况下的期望值。从以上这些五花八门的解法，似乎可以认为，这些作者已多少意识到这一点，但未能明确期望与概率的关系。而此处有关的是：假定赌博继续进行下去，各人最终取胜的概率。循着这个想法问题很易解决：至多再赌121-+=r r r 局，即能分出胜负。为A 获胜，他在这r 局中至少须胜1r 局。因此按二项分布，A 取胜的概率为 r r r i A i r p -=∑???? ??=21，而B 取胜的概率为1B A p p =-。注金按B A p p :之比分配给A 和B ，因A ap 2和B ap 2是A 、B 在当时状态下的期望值。这个解是巴斯噶（B.Pascal, 1623～1662）在1654年提出的。他用了两种方法，其一是递推公式法，其二是用“巴斯噶三角”（即杨辉三角）。1710年，蒙特姆特在一封信中给出了我们在前面写出的解法，且不必规定二人的获胜概率相同。后来他又把此问题推广到多个赌徒的情形。 分赌本问题在概率史上起的作用，在于通过这个在当时来说较复杂的问题的探索，对数学期望及其与概率的关系，有了启示。有的解法，特别是巴斯噶的解法，使用或隐含了若干直到现在还广为使用的计算概率的工具。如组合法、递推公式、条件概率和全概率公式等。可以说，通过对这个问题的研究，概率计算从初期简单计数步入较为精细的阶段。 2. 巴斯噶与费尔马的通信 巴斯噶与费尔马(P. de Fermat ，1601～1665)的名字，对学习过中学以上数学的人来说，想必不陌生。巴斯噶三角，在我国称杨辉三角，中学教科书中已有提及。至于费尔马，因其“费尔马大定理”(不存在整数0,,,≠xyx z y x 和整数 3≥n ，使n n n z y x =+) 于近年得到证明，名声更远播数学圈子之外。费尔马在 数学上的名声主要因其数论方面的工作，其在概率史上占到一席地位，多少有些

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《事件的概率》资料：“偶然”、“随机”应用的妙处

“偶然”、“随机”应用的妙处 在某些国家的天气预报节目中，你会看到画面下方有一行注释性的文字：“降水 概率82%”，关于这些注释，不用解说员过多解释人们也能明白：“今天下雨的可能 性很大”．或人们常说的：“八成要下雨了，带上伞比较好．”但如果说降水概率为20%，你要不要为下雨作准备呢?一般人可能会想：“算了，下雨的可能性不大，不用 带伞了．”可有时就因为这20%，你就会被雨淋一下子，这时你能怪气象台吗?天气预报并没有说不下雨，只是下雨的“概率”很小而已． 太阳从东方升起，这是必然现象，永远也不会改变，但明天是否下雨，一般来说 就没有必然性了，可能下，也可能不下，是偶然事件．在数学上，把偶然事件又称作 随机事件，可事件的发生与否会随机而定吗? 必然事件发生的可能性是100%，不发生的可能性为0%，而随机事件就不是这样了，发生的可能性可以为1%，也可以为99%，发生的大小可以用一个小数来衡量，这 个数就叫做概率，概率的最大值取1，最小值取0． 随机事件大量存在，自然界刮风下雨，社会中的彩票，炒股等等，都是随机现象．今天的股票是涨还是跌?那可没准，既可能疯狂飚升，也可能一落千丈．其他如 某城市一天中交通事故的数目、学生某次考试的成绩等都具有随机性．人们常说的 “风险”就是随机事件的一种认识．人活于世，不可能事事顺心，样样如意，有时候 必须去搏，敢于冒险，对随机事件做出自己的判断，把“不一定”发生的事情变成现实，这就是我们的“胜利”．如果老是想干十拿九稳的事，大概成就不了大事业．说了这么多，究竟“偶然”、“随机”有什么用处呢?概率论能帮我们去处理随 机事件吗?回答是肯定的，概率论就是用数学方法来计算各种随机事件发生的概率的 大小，并用于指导人们的行动，虽说“天有不测风云”，气象台还是要给出各种天气 现象发生的概率．1999年的冬天，中央气象台没有预报内蒙古的一次大的降雪过程(即得出降雪的概率为0)．结果那里下了大雪，为此天气预报主持人还表示道歉，由 此表明，中央电视台的预报准确率还是比较高的，由于偶然出错，才需要道歉．同样，尽管股市风险无常，股评家仍然在电视台上做各种预测，只不过其准确性远不如气象 预报，股评不准，电台就不会负责任了． 如此看来，概率确实和人们的生活息息相关，从而我们都应去了解概率的知识，“偶然”、“随机”各有自己的妙处，在各种场合的中奖问题中，这一点尤为突出．

浅谈有关概率论的几个有趣的随机偶然问题

浅谈有关概率论的几个有趣的 随机偶然问题 摘要概率论是数学中的一门基础学科，不仅可以研究古老难题，解决应试的需求，更广泛应用于现实生活中的各个方面。尤其在解决带有偶然性的问题时，其独特的思维方法使得问题浅显易懂，从而变的简单易解。现实生活中那些趣味性的随机问题更离不开概率论的思想。 关键词概率论偶然性趣味性随机 On probability on the several interesting random chance problem Abstract Probability thoery is a basic study in mathematics.Not only can be studied old problem, should try to solve the demand, the more widely used in real life in all aspects.Especially in solving the problem with contingency, its unique thinking methods make simple problem, thus become simple easy solution.Real life those interesting problems more from probability theory of random thoughts. Keywords probability thoery；contingency；interesting；random 2002年8月在北京举行国际数学家大会（ICM2002）期间，陈省身大师为儿童题词，写下了“数学好玩”4个大字。也许这会让很多学生不解，数学如何好玩？更有学生会坦言在所有学科里面最让人头疼的就是数学，它怎么可能会好玩？陈省身先生之所以说它好玩是因为他是数学大师，他乐于其中。然而我们这种出于对应试需求的一种学习当然会认为它枯燥、难理解等等。其实不然，陈省身大师在他十几岁的时候就觉得数学好玩，他是因为觉得好玩才专研其中，并不是因为专研其中才觉得数学好玩的。这就如同世间上的很多事情，只有感受体验才能食髓知味。就比方酒，“酒仙”李白写到“但得此中味，勿为醒着传”，不体会是不能理解诗人所传达的意境与乐趣的。 概率论是研究随机现象的数量规律学科。17、18世纪，数学获得了巨大的进步。数学家们冲破了古希腊的演绎框架，向自然界和社会生活的多方面汲取灵感，至此数学领域里出现了众多崭新的生长点。概率论就是这一时期"使欧几里得几何相形见绌"的若干重大成就之一。早在16世纪，意大利学者卡丹与塔塔里亚等人就已经开始从数学角度研究赌博问题。他们的研究不仅包含赌博还涉及到当时的人口、保险业等，但由于卡丹等人的思想未引起重视，概率概念的要旨也不明

有趣的概率问题

有趣的概率问题 保险业的兴起 18世纪的欧洲，因工商业的迅速发展，加之概率论的研究，兴起了一门崭新的行业――保险业. 保险公司为了获取利润，必须先调查统计火灾、水灾、意外死亡等事件的概率，据此来确定保险的价格. 例如，要确定人寿保险的价格，先统计各年龄段死亡的人数，如右表. 然后算出死亡概率，如40岁，死亡概率为765÷78 106≈0.009 8，如有一万个40岁的人参加保险，每人付A元保险金，死亡可得B元人寿保险金，预期这1万个人中死亡数是9.8人，因此，保险公司需付出9.8×B元人寿保险金，其收支差额10 000×A-9.8×B（元）就是公司的利润. 扑克牌中的概率 四条（四张同点数的牌）出现概率≈0.0 002 401； 同花（四张同花色的牌）出现概率≈0.001 981； 顺子（五张连续点数的牌）出现概率≈0.00 394； 同花顺（五张同花色的顺子）出现概率≈0.00 001 539； 葫芦（三张同点数，二张另同点数）出现概率≈0.00 144. 按照概率的大小，决定打牌的游戏规则：

同花顺>四条>葫芦>同花>顺子. 两个骰子的概率 装错信封 概率计算往往与组合计数有关，这里介绍一下“装错信封”问题. 装错信封问题由法国数学家蒙莫尔于1713年提出，并给出解法. 后来瑞士数学家伯努利提出等价命题. 大数学家欧拉称赞该问题是组合数学的妙题. 某人写了4封信，并在4只信封上写下4个收信人的地址与姓名. 但匆忙之中，他把所有信笺装错了信封. 问有几种可能的错装情况？ 我们把信封记为A、B、C、D， 相应的信笺记为a、b、c、d. 两封信装错的可能性只有1种：Ab Ba 三封信装错的可能性只有2种： Ab Bc Ca 和Ac Ba Cb 四封信装错的可能性共有9种： Ab Ba Cd Dc Ac Ba Cd Db Ad Ba Cb Dc Ab Bc Cd Da Ac Bd Ca Db Ad Bc Ca Db Ab Bd Ca Dc Ac Bd Cb Da Ad Bc Cb Da 同学的生日会相同吗 如果我说“班上一定有两个同学的生日是相同的！”你

浅谈《概率论》教学中的一些问题

浅谈《概率论》教学中的一些问题 概率论是研究随机现象的数量规律性的学科。由于随机现象的普遍性决定了该学科应 用的广泛性。鉴于概率论在教与学中的一些问题，本文进行了相关论述。 概率论教学概率模型知识结构 概率论是研究随机现象的数量规律性的学科，由于随机现象的普遍性决定了该学科应 用的广泛性。如今，概率统计已被高等院校的众多专业列为一门必修的基础课。可是，对 于刚刚接触这门新课的大学生来说，这是一门全新的课程，与以前学过的知识有着本质的 区别。因此，学生在概率论的学习过程中容易出现畏难情绪；另一方面，教师授课也难以 达到好的教学效果。 一、注意培养和激发学生学习该门课程的兴趣 兴趣是最好的老师，因此在教学中如何激发学生的兴趣是每一位教师都要面临的问题。在这一点上，概率论的教学具有得天独厚的优势，因为概率论具有很强的实际背景，而且，在概率论的发展过程中，出现过很多引人入胜的典故。因而在教学过程中要尽量避免照本 宣科，可以利用这些资源来激发学生的兴趣。 例如，第一堂课可简单讲讲概率论的发展史，让学生了解到这门学科与生活紧密相关，还可结合学生所学专业讲讲概率论知识的用途。讲到数学期望这个概念时，可举例说明购 买一张彩票的期望所得，保险公司的赢利情况等。讲到小概率事件时，可联系生活实际： 尽管某些事件发生的概率很小，但一旦发生，便会被引起广泛关注，如买彩票中头等奖、 发生重大交通事故（如空难）、出现特大自然灾害等，这样学生便会对小概率事件留下深 刻印象，小概率事件不容忽视。 二、帮助学生将概率知识融入到已有的知识结构中去，做到前后知识的连贯 1.帮助学生找到新知识和旧知识的联系 新旧知识的结合点，往往是教学的重点，有时也是教学的启发点．对于实例做精辟而 深刻的分析，这是促进新旧知识相互作用，使新知识“同化”在已有的知识结构中。例如，事件的关系及运算与集合的关系及运算的形式完全是一致的，只不过有不同的含义。连续 型随机变量的概率密度函数这个概念，学生一般不好理解，可打个比方，与物理知识联系 起来。若将区间上的概率看成“物体的质量”，区间的长度看作“物体的体积”，两者之

中学数学中概率的相关问题分析

中学数学中概率的相关问题分析 概率论是一门研究随机现象的数量规律性的数学学科，其基础知识是中学数学中重要的内容之一。由于在思考方法上，概率的基础知识初步揭示偶然性中存在着必然性的规律，学生一开始接触和学习，接受起来比较困难，尤其是对概率这一概念的理解和与概念相关的问题的思考解决中，常会出现困惑或错误。本文通过实例从不同的侧面来说明在概率的学习中应该注意的问题。 1 从时空的角度理解概率的概念 在中学数学的范畴内理解，概率就是是表示随机事件发生的可能性大小的0到1之间的一个数，概率越接近于1则随机事件发生的可能性大，接近于0则随机事件发生的可能性小。从时间的角度来说，已经发生的事件属于过去，尚未发生的事件属于将来。从空间的角度来说，甲地的人对于乙地的（从时间上说相对已成为过去）某事件是否发生不知道，从而判断其发生的可能性的大小也是有意义的。 例1：说昨天下雨的概率是0.9毫无意义，而说明天下雨的概率是0.9则表示明天下雨的可能性比较大。 例2：甲对乙说：昨天去年你在A地的概率是0.09。虽然事件已成为过去，但这一说法中的“概率”显然是有意义的，甲认为乙去年在A地的可能很小甚至不可能在A地。 2 计算概率的问题的关键 行为之前与之后的区别是解决计算概率的问题的关键在某些实际的问题中，会出现不同的时间更是解决问题的的关键，如果忽略了就很容易导致错误。 例3：用一台机床制造某种产品，制造的产品是次品的概率是0.03。在它的产品中任取1件来检验，求是合格品的概率。 一种错误的解法是：记事件为“取出的产品是合格品”，则“取出的产品是次品”为事件（即事件的对立事件），而P（）=0.03，所以P（）=1-P（）=1-0.03=0.97。表面看起来并没有错，可是如果仔细分析就会发现P（）=0.03显然不成立。这是因为：0.03表示制造产品这一行为之前对随机事件“制造的产品是次品”发生的可能

概率在生活中的几个典型问题

概率在生活中的几个典型问题 概率论是研究现实世界随机现象数量规律的一门科学，其思维方法独特。概率论不仅是当代科学的重要数学基础之一，而且还是当代社会和人类日常生活最重要的知识之一。正如十九世纪著名数学家拉普拉斯所说，“对于生活中的大部分最重要的问题，实际上只是概率问题，你可以说几乎我们所掌握的所有知识都是不确定的，只有一小部分我们能确定，甚至数学科学本身，归纳法、类推法和发现真理的首要手段都是建立在概率论的基础之上的。因此，整个的人类知识系统是与这一理论相联系的。” 的确，我们只要浏览一下当今的报纸，看一看电视，就会发现在某种程度上概率统计的语言已经成为人类生活中重要的一部分。然而，饶有趣味的是，这门被拉普拉斯称为“人类知识的最重要的一部分”的数学，却直接地起源于一种相当独特的人类行为的探索——人们对于机会性游戏的研究思考。所谓机会性游戏，就是靠运气取胜。随机事件与概率是概率论中最重要和最基本的概念，只有正确地理解和真正掌握，才能学好概率论。在自然界及各种社会活动中，人们所观察到的现象大致可分为两类：一类称为确定性现象，另一类称为随机现象。我们把在一定的条件下必然发生或必然不发生的现象称为确定性现象。例如，从10件产品(其中 2件是次品，8件是正品)中，任意地抽取3件进行检验，这3件 1/ 6

产品绝不会全是次品；向上抛掷一枚硬币必然下落，等等。这类现象的一个共同点是事先可以断定其结果。我们把在一定的条件下，具有多种可能发生的结果的现象称为随机现象。例如，从10件产品(其中2件是次品，8件是正品)中，任取1件出来，可能是正品，也可能是次品；向上抛掷一枚硬币,落下以后可能是正面朝上，也可能是反面朝上；将要出生的婴儿可能是男性，也可能是女性。这类现象的一个共同点是事先不能预知多种可能结果中究竟出现哪一种。本文主要是对随机事件和概率的一些容易混淆的概念进行辨析，探讨生活中与概率相关的一些例子。 一、抽奖问题 例如：如果有5张可当场兑奖的彩票，其中2张是有奖的。有甲、乙、丙、丁、戊5人依次各抽一张彩票，甲中奖的概率为。当已知甲中奖，乙再去抽奖，则乙的中奖概率，乙似乎吃亏了；当已知甲没有中奖，乙再去抽奖的中奖概率，乙似乎又占便宜了，你认为这样公平吗?解：这样的抽奖方案是公平的。因为这里的和分别是在已知甲中奖和甲没有中奖的情况下，乙中奖的条件概率，都不能算是这个抽奖方案中乙中奖的概率。因为甲中奖的概率是,故出现“乙中奖概率为”这件事的概率是；同样，甲不中奖的概率为是，故出现“乙中奖概率为”这件事的概率是，而“甲中奖”和“甲不中奖”是互斥事件。按互斥事件的和的概率计算方法可知，这个抽奖方案中乙中奖的概率应为。由此可见，这个抽奖方案， 2/ 6

概率论中几个有趣的例子

概率论中几个有趣的例子 概率论中几个有趣的例子 转载】概率论中几个有趣的例子 [ 2021-6-3 13:06:00 | By: Byron ] 作者: ni1985 (妮子||从东方席地卷来一团野火), 原发新水木Mathematics 已经酝酿很长时间的本文终于出场了。 写本文的主要目的：1 很多人看了我前面大量的历史日志后，对我的数学水平产生了怀疑；2 有高中的校友师妹咨询关于大学数学学习的问题；3 概率论是数学中一个重要而美的分支，可惜多数同学尚没有机会看到其冰山一角。 本文的读者适用范围：最低标准是学过工科专业的高等数学和概率论，最高标准不清楚（也许水平比我高的人就不屑于读了） 当我跟皇上提到要写这篇文章的想法时，我提到：试图用比较短的篇幅让只要有初等概率论基础的人，也能看懂，从而对较深的概率论的研究对象和有趣的结论有一个初步的了解，激发其进一步深入学习概率论的兴趣。皇上说：那可不容易，相当于一个毕业设计了。我觉得，确实如此，本文是基本失败还是基本成功，还要看读者的评价。 要想引入本文的内容，首先从数学美的定义说起。关于数学美，我比较欣赏的有两种观点，一是Birkhoff 的观点，数学美=逻辑的复杂程度/表述的复杂程度；二是Von Neumann的观点，数学的活力依赖于与它有联系的科学分支的多寡与分支的活力。也许做应用的人更喜欢后者，但我是比较喜欢前者的。因此，我下面的主要内容就是介绍一些概率论中的基本例子，这些例子的表述是相当简单的，但得到这些例子的手段却比较复杂。我将试图把每个例子表述清楚，让只要有初等概率论基础的读者就知道在说什么，但对得到这些结果的证明过程则一律省略，只简要提出涉及的基本工具，但其中有些比较简单的细节会给大家留为习题。这些例子一律来自伟大的Durrett 的著作：Probability theory and examples——我认为最优秀的概率论教材。 例1. Coupon collector问题：X1,X2,…是独立同分布，均匀的取自集合{1，…，n}的随机变量序列。大家把集合{1，…，n}想象为若干张扑克牌，每次我们等概率的取一张扑克牌，取完放回。 ，意思就是手中取过k 种不同的扑克牌所需的次数。T(n) =t(n,n)表示取过所有扑克牌所需的次数。X(n,k)=t(n,k)-t(n,k-1)，则X(n,k)服从参数是1-(k-1)/n的几何分布（思考题！），它的期望和方差可求，且容易发现 X(n,1),…,X(n,n)相互独立，从而可以求出E T(n),Var T(n)（习题！) 。且去证明

一个很有趣的条件概率问题

一个很有趣的条件概率问题：三扇门问题 (2009-03-10 18:26:27) 转载▼ 标签： 分类：人性感悟 参赛者 条件概率 山羊 主持人 美国 杂谈 昨天看一片电影《玩转21点》，片中有一个很趣的概率问题。 片中涉及的那个车和羊的问题也被称作蒙提霍尔问题（Monty Hall Problem）或三门问题，是一个源自博弈论的数学游戏问题，大致出自美国的电视游戏节目“Let's Make a Deal”。问题的名字来自该节目的主持人蒙提·霍尔（Monty Hall）。 这个游戏的玩法是：参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇的后面有一辆汽车，选中后面有车的那扇门就可以赢得该汽车，而另外两扇门后面则各藏有一只山羊。当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，节目主持人会开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊。主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门。 明确的限制条件如下： 参赛者在三扇门中挑选一扇。他并不知道内里有什么。 主持人知道每扇门后面有什么。 主持人必须开启剩下的其中一扇门，并且必须提供换门的机会。 主持人永远都会挑一扇有山羊的门。 如果参赛者挑了一扇有山羊的门，主持人必须挑另一扇有山羊的门。 如果参赛者挑了一扇有汽车的门，主持人随机在另外两扇门中挑一扇有山羊的门。 参赛者会被问是否保持他的原来选择，还是转而选择剩下的那一道门。 请问如果是你，你会做哪种选择，哪个选择得到车的概率会更大呢？ 讨论： •当参赛者转向另一扇门而不是继续维持原先的选择时，赢得汽车的机会将会加倍。 •解释如下： •有三种可能的情况，全部都有相等的可能性(1/3)︰ •参赛者挑山羊一号，主持人挑山羊二号。转换将赢得汽车。

从概率论角度解决生活中的悖论

从概率论角度解决生活中的悖论 概率论是数学中一个重要的分支，它研究的是随机现象的概率规律。在生活中，我们常常会遇到一些看似悖论的情况，但通过概率论的角度来分析，可以得到一些合理的解释。 一个经典的悖论是“生日悖论”。生日悖论指的是，在一个房间里只要有23个人，那么至少有两个人生日相同的概率超过50%。这个结果常常让人感到困惑，因为23个人中，生日相同的可能性看起来并不高。但通过概率论的分析，我们能够得到一个相对合理的解释。 假设每个人的生日是在一年中的任意一天，并且每一天出生的人数是相同的。那么第一个人的生日无论在哪一天，都不会与其他人的生日相同，概率为1。第二个人的生日与第一个人不同的概率为364/365，即除去第一个人的生日。以此类推，第三个人的生日与前两个人不同的概率为363/365，第四个人的生日与前三个人不同的概率为362/365，依次类推。那么23个人中没有任意两个人生日相同的概率就是(365/365) * (364/365) * (363/365) * … * (343/365)。这个概率约为0.4927，即23个人中至少有两个人生日相同的概率超过50%。 由此可见，生日悖论的解释在于我们往往低估了事件发生的概率。在这个例子中，虽然每个人生日相同的概率很低，但是要考虑到每个人都与其他人进行比较，而不只是与我们自己的生日进行比较。尽管每个人生日相同的概率看似低，但当多个人同时比较时，这个概率就会增加。 除了生日悖论，还有许多其他的悖论可以通过概率论来解释。“碰巧遇到熟人”的悖论。当我们在陌生的地方偶然遇到一个熟人时，我们会感到非常惊讶。但从概率论的角度来看，这并不是一个稀奇的事件。如果我们考虑到每个人可能会在不同的地方出现，那么在一个较大的人群中遇到一个熟人的概率并不低。 通过概率论的分析，我们能够更好地理解生活中的一些悖论。概率论告诉我们，看似不可能或者非常罕见的事件在较大的概率空间中是有可能发生的。当我们遇到一些看似悖论的情况时，可以通过概率论的思维方式来分析，从而得到一个合理的解释。

利用概率论解决随机过程问题的方法

利用概率论解决随机过程问题的方法在解决随机过程问题时，利用概率论是一种常用且有效的方法。概 率论是研究随机事件发生的可能性和规律的数学工具，通过对随机事 件的概率进行建模和分析，可以得出一些重要的结论和解决问题的思路。本文将介绍利用概率论解决随机过程问题的一般方法，包括建模、分析和优化。 一、建模 在解决随机过程问题时，首先需要将具体的问题转化为概率模型。 建模的关键是确定随机过程的状态空间、转移概率和初始概率分布。 状态空间表示随机过程可能处于的所有状态，转移概率表示从一个状 态转移到另一个状态的概率，初始概率分布表示随机过程的初始状态。 以一个简单的例子来说明建模的过程。假设我们有一个骰子，每个 面的点数为1至6，我们将掷骰子n次，问在这n次掷骰子中，点数为 1的次数为k的概率是多少？首先，我们可以将该随机过程建模为一个 马尔可夫链，状态空间为{0, 1, 2, ..., n}，表示点数为1的次数。然后， 我们需要确定转移概率和初始概率分布。转移概率可以通过分析骰子 的规律得出，初始概率分布可以假设为点数为1的次数为0的概率为1。 二、分析 在建立了概率模型后，可以通过概率论的方法进行分析。分析的目 的是计算和推导与问题相关的概率和期望，以获得对问题的一些定量 认识。

在前面的例子中，我们可以通过计算转移概率和初始概率分布得到 点数为1的次数为k的概率。具体的计算方法是使用条件概率和全概 率公式，将问题转化为一个递推的过程，最终得到概率的表达式。 除了计算概率，还可以通过分析随机过程的性质来得到一些结论。 例如，可以计算随机过程的平均值、方差和矩等统计量，以及稳态分 布和转移概率的极限特性等。 三、优化 在解决实际问题时，除了分析随机过程的性质，还需要进行一些优化。优化的目标可以是最大化或最小化某个指标，或者在约束条件下 寻找最优解。 通过概率论的方法，可以建立随机过程的优化模型，并利用优化算 法求解。常用的优化方法包括动态规划、蒙特卡洛模拟、遗传算法等。这些方法可以帮助我们在复杂的随机环境中进行决策和规划，以获得 最优的结果。 总结 利用概率论解决随机过程问题是一种重要的方法。通过建立概率模型、分析概率和优化随机过程，可以得到对问题的定量认识和有效的 解决方案。概率论在许多领域都有广泛的应用，包括金融、运筹学、 工程等。希望本文对读者能够有所启发，并在实际问题中能够灵活应 用概率论的方法。

概率问题的一些例子

1654年，有一个法国赌徒梅勒遇到了一个难解的问题：梅勒和他的一个朋友每人出30个金币，两人谁先赢满3局谁就得到全部赌注。在游戏进行了一会儿后，梅勒赢了2局，他的朋友赢了1局。这时候，梅勒由于一个紧急事情必须离开，游戏不得不停止。他们该如何分配赌桌上的60个金币的赌注呢？梅勒的朋友认为，既然他接下来赢的机会是梅勒的一半，那么他该拿到梅勒所得的一半，即他拿20个金币，梅勒拿40个金币。然而梅勒争执道：再掷一次骰子，即使他输了，游戏是平局，他最少也能得到全部赌注的一半——30个金币；但如果他赢了，并可拿走全部的60个金币。在下一次掷骰子之前，他实际上已经拥有了30个金币，他还有50%的机会赢得另外30个金币，所以，他应分得45个金币。赌本究竟如何分配才合理呢？后来梅勒把这个问题告诉了当时法国著名的数学家帕斯卡，这居然也难住了帕斯卡，因为当时并没有相关知识来解决此类问题，而且两人说的似乎都有道理。帕斯卡又写信告诉了另一个著名的数学家费马，于是在这两位伟大的法国数学家之间开始了具有划时代意义的通信，在通信中，他们最终正确地解决了这个问题。他们设想：如果继续赌下去，梅勒(设为甲)和他朋友(设为乙)最终获胜的机会如何呢？他们俩至多再赌2局即可分出胜负，这2局有4种可能结果：甲甲、甲乙、乙甲、乙乙。前3种情况都是甲最后取胜，只有最后一种情况才是乙取胜，所以赌注应按3：1的比例分配，即甲得45个金币，乙15个。虽然梅勒的计算方式不一样，但他的分配方法是对的。三年后，也就是1657年，荷兰著名的天文、物理兼数学家惠更斯把这一问题置于更复杂的情形下，试图总结出更一般的规律，结果写成了《论掷骰子游戏中的计算》一书，这就是最早的概率论著作。正是他们把这一类问题提高到了理论的高度，并总结出了其中的一般规律。同时，他们的研究还吸引了许多学者，由此把赌博的数理讨论推向了一个新的台阶，逐渐建立起一些重要概念及运算法则，从而使这类研究从对机会性游戏的分析发展上升为一个新的数学分支。由赌徒的问题引起，概率逐渐演变成一门严谨的科学。相同的概率，不同的结论有时，面对同一个概率事件，随着问题的着眼点不同，我们得出的结论可能截然相反。这一点会使一般人感到迷惑不解，我们在这里打一个通俗的比喻：某人是嫌疑犯，也找到了一些他的犯罪证据，但不是决定性的，若我们要求“只有找到了更重要的犯罪证据才能判他有罪”，则他将被判为无罪；反之，若要求“只有找到了证明他没有犯罪的重要证据才能判他无罪”，则他将被判有罪，在这里，着眼点的不同决定了不同的判罚。这方面的著名事例是辛普森杀妻案。1994年6月12日深夜，美国洛杉矶西部一个豪华住宅区里，一只小狗在不停地狂吠，引起了邻居家的注意。当人们随着狗吠声来到一住宅门前时，赫然发现两具血淋淋的尸体！警察接到报警后迅速赶到现场，发现两名死者是美国黑人橄榄球明星辛普森的妻子和一个餐馆服务员，而这所豪宅就是辛普森的家。警方在经过大量艰苦细致的调查后，搜集到了大量证据都表明辛普森有重大杀人嫌疑：他的汽车上染有死者血迹，车道上也发现血迹，案发现场还有染血手套和其它证据；还有证人作证说在辛普森妻子死亡的时间段内看到了辛普森就在其豪华住宅附近；历年报警记录还显示辛普森曾多次暴力虐妻。这些证据都对辛普森极为不利，检察官据此向法院控告辛普森犯有一级谋杀罪。遗憾的是，控方所提供的证据中有小一部分因不符合法定程序而不被法庭采信。即便如此，在这起案件中，辛普森杀人的概率也有95%以上。然而，最后的审判结果却让全世界大吃一惊：辛普森被无罪释放！原来，美国的刑事法律是建立在无罪推定的基础上的，尤其是对于杀人案这样重大的案件，要最后给被告定罪，控方所提供的证据要近乎100%令人信服才行，稍有疑问就不得被判有罪。95%以上的概率不足以使辛普森被判有罪。颇具戏剧性的是，当辛普森前妻的娘家在向法院提起民事诉讼时，法院却判决辛普森输，赔偿原告3350万美元。之所以有如此结果，是因为刑事审判与民事审判的证据采用规则有差别，在民事诉讼中，只要原告提供的证据只要比被告的有说服力就可以赢。用数学概率来表示，刑事诉讼中控方需要近乎100%的证明，民事诉讼中原告只要证明有51%以上的可能性即可。在这起案件中，95%

几个有趣的概率悖论

·几个有趣的概率悖论 所谓悖论，是一个逻辑学的术语，原本是指那些会导致逻辑矛盾的命题或论述。数学中经常有各种各样的悖论，有些在数学哲学史上产生过重要影响．一些著名的悖论曾使高明的哲学家与数学家为之震惊，为之绞尽脑汁，并引发了人们长期艰难而深人的思考。其中最有震撼力的一个悖论应该是罗素关于集合论的悖论，它几乎动摇了整个数学大厦的基础，引发了所谓的“第三次数学危机”．概率论中也有一些有趣的悖论，下面列出几个以引发大家思考。 悖论一： A、B、C三个人被关在一个狱里。第二天，三人中有一人且只有一人将被执行死刑，另外两人将被释放，而看守知道哪个人将被执行死刑，哪两个人将会获释。A知道自己会被执行死刑的概率是 ，另外两人中至少一个人会被释放，于是A写了一封家书，想托B或C中能获释的一个人带出去。A想问问看守，到底应该把信交给谁（即B和C到底谁能获释）。看守想：“此时A被执行死刑的概率是，若我把B或C中那个会获释的人告诉了A，那么只有两人可能被执行死刑，A被执行死刑的概率就上升到了，如果自己隐瞒这个信息，A被执行死刑的概率还会是”。现在的问题是，A 明明知道B和C中一定会有一个被释放，为什么自己不知道这个人是谁时，自己被执行死刑的概率是 个人是谁时，自己被执行死刑的概率就上升到了，而知道了这了呢？或者说，两人中反正有一个肯定会被释放，知道不知道这个人的名字为什么会影响自己被执行死刑的概率呢？问题的答案是：看守的担心是没有必要的，不论他是否把B、C中一个会被释放的人的名字告诉A，A还是只有 我们这样来分析： 可能被 可能情况 序号执行死刑

的人看守可能告 诉A 被释放的人。 出现这个事件的概率 1aAB1bC 2BC 3CB如果A什被执行死刑（这个事的概率是 选A还是选B是等可能的，因此，“ 件事的概率是），那么看守可以选择B或C告诉A，A被执行死刑且看守告诉A：B会释放”这的 ，也就是 。表中的其他情况可以类似的分析。现在我们来看，如果看守告诉A，明天B会被释放，我们看看此时A被执行死刑的概率是多大。从表中可以看出，此时只有情况1a或3可能发生，而情况3发生的概率是情况1a发生的概率的2倍，因此，情况1a发生的概率是 而情况3发生的概率是 ，也就是此时C执行死刑的概率上升了。 与这个悖论相关的，有一个有意思的问题： 假设你在参与一个游戏节目，有三扇门，其中两扇门后面是山羊，另一扇门后面是轿车，你可以选择一扇门，门后的东西就归你了。现在你选择了一扇门，比如1号门，而知道另外两扇门后面是什么的主持人给你打开了另两扇门中的一扇，比如2号，里面是山羊，你现在需要作一个决定：你改变自己的选择吗？也就是说你还是坚持选择1号门还是改选3号门？

概率论经典实例

概率论经典实例 概率论的研究问题大多与现实世界联系十分密切，有的甚至引人入胜，非常值得我们探讨以便激发我们对概率论学习的兴趣，同时引导我们对生活的思考，这对我们每一个大学生思维能力的培养有着重要的意义。下面我列举几个典型的概率实例加以说明其重要意义。 1990 年9 月9 日，美国一家报纸检阅提出一个有趣的概率问题：电视主持人指着三扇关着的门说，其中一扇后是汽车，另两扇后各有一只山羊。你可随意打开一扇，后面的东西就归你了。你当然想得到汽车。当你选定一扇门，如1 号门(但未打开) ，这时主持人打开有山羊的另一个扇门，不妨说是3号门( 主持人清楚哪扇门后是汽车) ，并对你说：现在再给你一次机会，允许你改变原来的选择。你为了得到汽车是坚持1号门还是改选2号门？问题及答案公诸于众后引发了出乎意料的轰动，编辑部收到了上万封从小学二年级的学生到大学教授的来信，给出了不尽相同的答案（当然正确的答案是唯一的），热烈讨论持续两年之久。此时，无论是一号门还是二号门都有可能门后是汽车，看上去好像每一个都是一半的几率。但从主持人的角度看，他不会让你轻易就得到汽车，于是打开三号门来迷惑你的思想，让你放弃一号门。由此看出，可能一号门的几率会大一点。若从主持人的话语中判断出他没有那种想法，则可以这样思考这个问题。将一号门看成一部分，里面有汽车的概率为0.33，将二号门和三号门看成另一部分，里面有汽车的概率为0.67。当发现三号门里没有汽车时，则一号门和二号门有汽车的概率分别为0.33和0.67。因此，选择二号门比较理智。 稍加留意就会发现若利用概率统计提供的科学思维方法就会大大提高获胜的几率。比如抛两颗均匀骰子，规定如下规则：总数之和小于6为出现小点，大于6为大点，则每局可押大点或小点，若押对了，以出现的点数为对应的奖品数目，若押不中则同样以出现的点数为惩罚品的数目。可以这样思考，当假设骰子理论意义上是均匀的，则六面中点数少的面较重，在抛出后点数多的面朝上的可能性较大，从而抛出点数大的情况的概率应大一些，这样，即可作如下观察：(1)随机抛2颗骰子若干次，观察出现的点数，若点数大于6的次数占多数，则初步判断骰子是均匀的。(2) 当比赛开始时，可做以下决策：刚开始可先押大点，无论押中或不中，第二轮可接着押大点，然后观察一轮，当出现小点后，可继续押大点，当然也可在连续出现几个大点后押一次小点，也有取胜的把握。这是因为，出现大点的机会要多于出现小点的机会，开始出现大点的概率要大一些，故应押大点，当出现几次大点后，小概率的事件也是会发生的，故可押一次小点，若一次不中可继续押，此时出现小点的概率将变大。另外，当连续出现几次小点或大点，则情况即将发生转变，应考虑押相反的情况。运用概率的思想来解决此类问题让我们更有把握赢得我们所要的东西，对此类问题，一味的乱猜，只能让我们处于劣势。 在第二次世界大战中，美国曾经宣布：一个优秀的数学家的作用超过10 个师的兵力，这句话有一个非同寻常的来历。1943年以前，在大西洋的英美运输船队常常受到德国潜艇的袭击。当时，英美两国限于实力，无力增派更多的护航舰，一时间德国的潜艇战搞得盟军焦头烂额。为此，有位美国海军将领专门去请教了几位数学家，数学家们运用概率论分析后，舰队与潜艇相遇是一个随机事件。从数学角度来看这一问题，它具有一定的规律性，一定数量的船（为100艘），编队规模越小，编次就越多（为每次20艘，就要有5个编次），编次越多，与敌

小谈生活中有趣的数学概率现象

小谈生活中有趣的数学概率现象 一、概率学科起源与发展 关于概率的应用与研究很早就有，但真正正式关于随机现象的概率论的研究出现在15世纪之后，当时保险业已经蓬勃发展但很不成熟，保险公司要承担很大的不确定性风险，渴望有精确的计算方法指导保险风险计算，这新方法的渴望却因为15世纪末大规模赌博现象的出现而得到解决。法国数学家帕斯卡和费马系统分析了赌徒朋友提出的“分赌注”问题，并在讨论中形成了概率论中的一个重要概念—数学期望。荷兰数学家惠更斯在听闻他们的讨论过程后整理出版了一本书《赌博中的计算》。之后伯努利发表了《猜度术》，棣莫弗最早使用正态曲线，拉格朗日提出了误差理论，到了1812年拉普拉斯总结之前概率论的众多论述发表了《概率的解析理论》，将古典概率论和数学强有力的结合在一起，并做了很多数学证明，并在书中讨论了概率在保险业、天文学、度量衡甚至法律等方面的应用，自此概率论开始广泛使用在生活中各个方面。 二、概率统计中的一些常用概念 （1）小概率事件 小概率事件一般就是指发生概率很小的事件，在具体的事件中小概率有不同的标准，一般根据事件的重要程度多采用0.01和 1/ 5

0.05两个阈值，这两个值也被成为小概率标准。小概率事件和不可能事件是有很大区别的，小概率事件虽然发生的可能性很小，但依旧存在发生的概率，下面通过一个简单的计算分析下两者的不同。假设事件甲发生的可能性很小，为小概率事件，可能性为P甲，很小接近于零，但只要这个事件重复进行下去就总会有可能发生。因为这件事上一次不发生的概率为P=（1-P甲），前n 次都不发生的概率为（1-P甲）n，当事件重复进行下去，即n→∞，则前n次发生事件甲的概率则为1-（1-P甲）n→1，事件甲必然会发生。 （2）墨菲定律 墨菲定理是由美国人爱德华·墨菲提出的，它其实是一种心理效应，如果有一种选择方式将导致事件结果变坏，那么无论这种方式被采纳的可能性有多小，则必定有人会做出这种选择。墨菲定理主要论述有：所有的事都会比你预计的时间长；还有你担心可能会出错的事情它总会出错；一旦你担心某件不好的事情发生，那么它就更加可能发生；任何事都没有其表面看起来那么容易解决。墨菲定律虽然是一个心理学定律，但它给我们能够给我们一个警醒，对于全世界而言，任何事件的发生似乎都是必然的。但对于每个个体来说，很多看上去几乎不可能发生的事件，突然有一天这件事就在他身上发生了，对于他这个小概率事件就成了必然事件。所以我们做事情时对于事情可能变坏的再小的可能性 2/ 5

概率问题在中学数学中的探讨

概率问题在中学数学中的探讨 刘雄 （长江师范学院数学与计算机学院，重庆涪陵 408100) 摘要：概率论是研究随机现象数量规律的数学分支。随机现象是相对于决定性现象 而言的。在一定条件下必然发生某一结果的现象称为决定性现象. 随着科学的发展,概率在生活中的应用越来越广，本文对概率在实际生活中的应用和自身发展现状进行了简单的分析，对概率论在中学教育中的价值、意义进行了简单的研究. 关键词：概率；随机现象；中学教学；探讨；应用；价值 概率，简单地说，就是一件事发生的可能性的大小.比如：太阳每天都会东升西落，这件事发生的概率就是100％或者说是1,因为它肯定会发生；而太阳西升东落的概率就是0，因为它肯定不会发生。但生活中的很多现象是既有可能发生,也有可能不发生的,比如某天会不会下雨、买东西买到次品等等,这类事件的概率就介于0和100%之间，或者说0和1之间。在日常生活中无论是股市涨跌，还是发生某类事故，但凡捉摸不定、需要用“运气”来解释的事件，都可用概率模型进行定量分析.不确定性既给人们带来许多麻烦，同时又常常是解决问题的一种有效手段甚至唯一手段。 一、概率论的产生与发展 1。概率论的产生背景 起源：概率论的起源与赌博问题有关。16世纪,意大利的学者吉罗拉莫·卡尔达诺（Girolamo Cardano,1501—-1576）开始研究掷骰子等赌博中的一些简单问题。17世纪中叶，当时的法国宫廷贵族里盛行着掷骰子游戏，游戏规则是玩家连续掷 4 次骰子，如果其中没有6点出现，玩家赢，如果出现一次6点，则庄家(相当于现在的赌场）赢。按照这一游戏规则，从长期来看，庄家扮演赢家的角色，而玩家大部分时间是输家，因为庄家总是要靠此为生的，因此当时人们也就接受了这种现象。 后来为了使游戏更刺激，游戏规则发生了些许变化，玩家这回用 2 个骰子连续掷24 次，不同时出现2个6点，玩家赢，否则庄家赢。当时人们普遍认为，2 次出现 6 点的概率是一次出现6 点的概率的 1 / 6 ,因此6 倍于前一种规则的次数，也既是24 次赢或输的概率与以前是相等的。然而事实却刚好相反，从长期来看，这回庄家处于输家的状态，于是他们去请教当时的数学家帕斯卡,求助其对这种现象作出解释,这个问题的解决直接推动了概率论的产生。 2。概率论的发展 发展：随着18、19世纪科学的发展，人们注意到在某些生物、物理和社会现象与机会游戏之间有某种相似性，从而由机会游戏起源的概率论被应用到这些领域中;同时这也大大推动了概率论本身的发展。使概率论成为数学的一个分支的奠基人是瑞士数学家j.伯努利，