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江苏省南京市、盐城市2015届高三第一次模拟考试数学 Word版含答案

南京市、盐城市2015届高三年级第一次模拟考试

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.

1．设集合{}2,0,M x =，集合{}0,1N =，若N M ?，则x = ▲ . 答案：1 2．若复数a i

z i

+=（其中i 为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数a = ▲ . 答案：－1

3．在一次射箭比赛中，某运动员5次射箭的环数依次是9,10,9,7,10，则该组数据的方差是 ▲ . 答案：

4．甲、乙两位同学下棋，若甲获胜的概率为0.2，甲、乙下和棋的概率为0.5，则乙获胜的概率为 ▲ . 答案：0.3

解读：为了体现新的《考试说明》，此题选择了互斥事件，选材于课本中的习题。 5．若双曲线222(0)x y a a -=>的右焦点与抛物线24y x =的焦点重合，则a = ▲ .

6．运行如图所示的程序后，输出的结果为 ▲ . 答案：42

解读：此题的答案容易错为22。

7．若变量,x y 满足202300x y x y x -≤??-+≥??≥?

，则2x y

+的最大值为 ▲ .

答案：8

8．若一个圆锥的底面半径为1，侧面积是底面积的2倍，则该圆锥的体积为 ▲ .

答案：

9．若函数()sin()(0)6

f x x π

ωω=+

>图象的两条相邻的对称轴之间的距离为

，且该函数图象关于点0(,0)x 成中心对称，0[0,]2

x π

∈，则0x = ▲ .

答案：

512

π 10．若实数,x y 满足0x y >>，且22log log 1x y +=，则22

x y x y

+-的最小值为 ▲ .

答案：

第6题图

11．设向量(sin 2,cos )θθ=a ，(cos ,1)θ=b ，则“//a b ”是“1

tan 2

θ=

”成立的 ▲ 条件 (选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”) . 答案：必要不充分

12．在平面直角坐标系xOy 中，设直线2y x =-+与圆222(0)x y r r +=>交于,A B 两点，O 为坐标原点，若圆上一点C 满足53

OC OA OB =+，则r = ▲ .

13．已知()f x 是定义在[2,2]-上的奇函数，当(0,2]x ∈时，()21x

f x =-，函数

2()2g x x x m =-+. 如果对于1[2,2]x ?∈-，2[2,2]x ?∈-，使得21()()g x f x =，则实

数m 的取值范围是 ▲ . 答案：[5,2]--

14．已知数列{}n a 满足11a =-，21a a >，*1||2()n n n a a n N +-=∈，若数列{}21n a -单调递减，数列{}2n a 单调递增，则数列{}n a 的通项公式为n a = ▲ .

答案：(2)13n --（说明：本答案也可以写成21

21,3

n n

n n ?--???-???为奇数为偶数

）

二、解答题：

15．在平面直角坐标系xOy 中，设锐角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于

点11(,)P x y ，将射线OP 绕坐标原点O 按逆时针方向旋转2

后与单位圆交于点22(,)Q x y . 记12()f y y α=+.

（1）求函数()f α的值域；

（2）设ABC ?的角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，

若()f C =

a =

1c =，求b .

解：（1）由题意，得12sin ,sin()cos 2y y π

ααα==+=， ………4分

所以()sin cos )4

f π

αααα=+=+， ………………6分

因为(0,)2πα∈，所以

3(,)444

πππα+∈，

故

((1,2]f α∈. ………………8分

（

2）因

为

()sin()4

f C C π

=+=，又

(0,)2

C π

∈，所以

C π

， ………………10分

第15题图

第17题图在ABC

?中，由余弦定理得2222cos

c a b ab C

=+-，即2

=+-，解得

b=. (14)

分

（说明：第（2）小题用正弦定理处理的，类似给分）

16．(本小题满分14分)

如图，在正方体

1111

ABCD A BC D

-中，,O E分别为

B D AB的中点.

（1）求证：//

OE平面

BCC B；

（2）求证：平面

B DC⊥平面

B DE.

证明（1）：连接

BC，设

BC B C F

=，连接OF，………2分

因为O，F分别是

B D与

B C的中点，所以//

OF DC，且

OF DC

=，

又E为AB中点，所以//

EB DC，且1

EB DC

=，

从而//,

OF EB OF EB

=，即四边形OEBF是平行四边形，

所以//

OE BF，……………6分

又OE?面

BCC B，BF?面

BCC B，

所以//

OE面

BCC B. ……………8分

（2）因为DC⊥面

BCC B，

BC?面

BCC B，

所以

BC DC

⊥，…………10分

又

BC B C

⊥，且

DC B C?面

B DC，

DC B C C

=，

所以

BC⊥面

B DC，…………12分

而

BC OE，所以OE⊥面

B DC，又OE?面

B DE，

所以面

B DC⊥面

B DE. ………14分

17．在平面直角坐标系xOy中，椭圆

:1(0)

x y

C a b

a b

+=>>

准线方程为4

x=，右顶点为A，上顶点为B，右焦点为F

的直线l经过点A，且点F到直线l的距离为

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）将直线l绕点A旋转，它与椭圆C相交于另一点P，当,,

B F P

三点共线时，试确定直线l的斜率.

解：（1）由题意知，直线l的方程为2(

y x a

=-，即

220

x y a

--=，……………2分

∴右焦点F到直线l的距离为=，1

a c

∴-=，……………4分

又椭圆C的右准线为4

x=，即24

=，所以

c=，将此代入上式解得2,1

a c

==，

第16题图

∴=，

∴椭圆C的方程为22

x y

+=；……………6分

（2）由（1）知(3)

B，(1,0)

F，∴直线BF的方程为1)

y x

=-，……………8分

联立方程组22

y x

x y

?=-

，解得

或

（舍），即

(,)

P，…………12分

∴直线l的斜率

……………14分

其他方法：

方法二: 由（1）知B，(1,0)

F，∴直线BF的方程为1)

y x

=-，由题(2,0)

A，显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为(2)

y k x

=-，联立方程组

(2)

y x

y k x

?=-

，解得

，代入椭圆解得：

k=或

k=-，又由题意知，0

y=>得0

k>或k<

k=.

方法三：由题(2,0)

A，显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为(2)

y k x

=-，联立方程组22

(2)

y k x

x y

，得()

2222

431616120

k x k x k

+-+-=，

A P

x x

，所以

1686

4343

k k

=-=

，当,,

B F P三点共线时有，

BP BF

k k

=，

即2

，解得k=或k=，又由题意知，0

y=>得0

k>或k

线AB 是以点E 为圆心的圆的一部分，其中(0,)E t （025t <≤，单位：米）；曲线BC 是抛物线250(0)y ax a =-+>的一部分；CD AD ⊥，且CD 恰好等于圆E 的半径. 假定拟建体育馆的高50OB =米.

（1）若要求30CD =米，AD =t 与a 的值；

（2）若要求体育馆侧面的最大宽度不超过75米，求a 的取值范围；（3）若1

a =

，求AD 的最大值.

（参考公式：若()f x =()

f x '=）

解

：

（1）因为

t -=，解得

20t =. …………… 2分

此时圆222:(20)30E x y +-=，令0y =，得AO =

所以

255145O D A D =-=，将点C 代入

50(0

)y a x a =-+>中，解

得

a =

. ………… 4分

（2）因为圆E 的半径为50t -，所以50CD t =-，在250y ax =-+中令50y t =-，得

OD =

则

由

题

意

知

5075

F D =+≤对(0,25]t ∈恒成

立， ………… 8分

≤=，即25t =取最小值10，

故

10，解得

100

a ≥

. ………… 10分

（3）当125

a =时，OD =E 的方程为222

()(50)x y t t +-=-，令0y =，得

x =±，所以AO =

从

而

(

)A D ==

， …………

12分

又因为

)

()

f t '==，令

()

0f t '=，得

5t =， ………… 14分

当(0,5)t ∈时，()0f t '>，()f t 单调递增；当(5,25)t ∈时，()0f t '<，()f t 单调递

减，从而当5t = 时，()f t 取最大值为

答：当5t =米时，

AD 的最大值为

米. …………16分

（说明：本题还可以运用三角换元，或线性规划等方法解决，类似给分）

19．设数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，其前n 项和为n S ，若1564a a =，5348S S -=.

（1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）对于正整数,,k m l （k m l <<），求证：“1m k =+且3l k =+”是“5,,k m l a a a 这

三项经适当排序后能构成等差数列”成立的充要条件；

（3）设数列{}n b 满足：对任意的正整数n ，都有121321n n n n a b a b a b a b --+++

13246n n +=?--，且集合*|,n n b M n n N a λ??

=≥∈????

中有且仅有3个元素，试求λ

的取值范围.

解：（1）

数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，∴2

15364a a a ==，38a ∴=，

又

5348

S S -=，

2458848

a a q q ∴+=+=，

q ∴=，

3822n n n a -∴=?=； ………… 4分（2）（ⅰ）必要性：设5,,k m l a a a 这三项经适当排序后能构成等差数列，

①若25k m l a a a ?=+，则10222k m l ?=+，1022m k l k --∴=+，11522m k l k ----∴=+，

1121,2

4m k l k ----?=?∴?=??

m k l k =+?∴?=+?. ………… 6分 ②若25m k l a a a =+，则22522m k l ?=?+，1225m k l k +--∴-=，左边为偶数，等式不成

立，

③若25l k m a a a =+，同理也不成立，

综合①②③，得1,3m k l k =+=+，

所

以

必

要

性

成

立. …………8分

（ⅱ）充分性：设1m k =+，3l k =+，

则5,,k m l a a a 这三项为135,,k k k a a a ++，即5,2,8k k k a a a ，调整顺序后易知2,5,8k k k a a a 成等差数列，

所以充分性也成立. 综合（ⅰ）（ⅱ），原命题成

立. …………10分（3）因为11213213246n n n n n a b a b a b a b n +--+++

+=?--，

即1

112122223246n n n n n b b b b n +--+++

+=?--，

（*） ∴当2n ≥时，1231123122223242n n n n n b b b b n ----+++

+=?--，

（**）则（**）式两边同乘以2，得2

1123122223284n n n n n b b b b n +

---+++

+=?

--，

（***） ∴（*）－（***），得242n b n =-，即21(2)n b n n =-≥，

又当1n =时，2

1232102

b =?-=，即11b =，适合21(2)n b n n =-≥，21n b n ∴=-.………14分

212n n n b n a -∴

=，111212352222n n n n n

n n b b n n n a a ------∴-=-=， 2n ∴=时，

110n n n n b b a a --->，即21

21b b a a >； 3n ∴≥时，

0n n n n b b a a ---<，此时n n b a ??????

单调递减，又1112b a =，2234b a =，3358

b a =，447

16b a =，

162

λ∴<≤. ……………16分 20．已知函数()x f x e =，()g x mx n =+.

（1）设()()()h x f x g x =-.

① 若函数()h x 在0x =处的切线过点(1,0)，求m n +的值；

② 当0n =时，若函数()h x 在(1,)-+∞上没有零点，求m 的取值范围；

（2）设函数1()()()

r x f x g x =+

，且4(0)n m m =>，求证：当0x ≥时，()1r x ≥. 解：（1）由题意，得()(()())()x x h x f x g x e mx n e m '''=-=--=-，

所以函数()

h x 在0x =处的切线斜率1k m =-， ……………2分

又(0)1h n =-，所以函数()h x 在0x =处的切线方程(1)(1)y n m x --=-，

将点(代入，得

2m n +=. ……………4分

（2）方法一：当0n =，可得()()x x h x e mx e m ''=-=-，因为1x >-，所以1x

e e

>，

①当1m e

≤时，()0x

h x e m '=->，函数()h x 在(1,)-+∞上单调递增，而(0)1h =，

所以只需1(1)0h m e -=+≥，解得1

m e

≥-，从而

m e e

-≤≤. ……………6分 ②当1m e

>时，由()0x

h x e m '=-=，解得ln (1,)x m =∈-+∞，

当(1,ln )x m ∈-时，()0h x '<，()h x 单调递减；当(ln ,)x m ∈+∞时，()0h x '>，()

h x 单调递增.

所以函数()h x 在(1,)-+∞上有最小值为(ln )ln h m m m m =-，

令ln 0m m m ->，解得m e <，所以1

m e e

<<. 综

上

所

述

，

[,)m e e

∈-. ……………10分

方法二：当0n =，x

e mx = ①当0x =时，显然不成立；

②当1x >-且0x ≠时，x e m x =，令x e y x =，则()22

x x e x e x e y x x --'==，当10x -<<时，0y '<，函数x e y x =单调递减，01x <<时，0y '<，函数x

e y x

=单调递减，当1x >时，

0y '>，函数x

e y x

=单调递增，又11x e y =-=-，1x y e ==，由题意知1[,)m e e ∈-.

（3）由题意，1114()()()4x x n x

nx x

m r x n f x g x e e x x m

=+=+=+

++，而14()14

x x

r x e x =+

≥+等价于(34)40x e x x -++≥，令

()(34)4x F x e x x =-++， ………

……12分

则(0)0F =，且()(31)1x F x e x '=-+，(0)0F '=，令()()G x F x '=，则()(32)x G x e x '=+，因

x ≥，所以(G x '>

， ……………14分所以导数()F x '在[0,)+∞上单调递增，于是()(0)0F x F ''≥=，

从

而

函

数

()

F x 在

[0,)

+∞上单调递增，即

()(F x F ≥=. ……………16分

附加题答案

21. A 、（选修4—1：几何证明选讲）

如图，已知点P 为Rt ABC ?的斜边AB 的延长线上一点，且PC 与Rt ABC ?的外接圆相切，过点C 作AB 的垂线，垂足为D ，若18PA =，6PC =，求线段CD 的长.

解：由切割线定理，得2

PC PA PB =?，解得2PB =，

所以16AB =，即Rt ABC ?的外接圆半径8r =，……5分记Rt ABC ?外接圆的圆心为O ，连OC ，则OC PC ⊥，

在Rt POC ?中，由面积法得OC PC PO CD

?=?，解得

CD =

. ………………10分 B 、（选修4—2：矩阵与变换）

求直线10x y --=

在矩阵2222M -??=?????

的变换下所得曲线的方程. 解：设(,)P x y 是所求曲线上的任一点，它在已知直线上的对应点为(,)Q x y ''，

B D P

第21-A 题图

则

x y x x y y ''=''+=，解得

()2)x x y y y x ?'=+????'=-??

， ………………5分代入10x y ''--=))10x y y x +--=，

化

简

可

得

所

求

曲

线

方

程

为

x =

. ………………10分 C 、（选修4—4：坐标系与参数方程）

在极坐标系中，求圆2cos ρθ=的圆心到直线2sin()13

ρθ+

=的距离.

解：将圆2c o s ρθ=化

为普通方程为2220x y x +-=，圆心为(1,0)， ………………4分

又2sin()13π

ρθ+=，即12(sin )122

ρθθ+=，所以直

线的普通

方程为10

y +-=， ………………8分故

所

求

的

圆

心

到

直线

的

距

离

d =

. ………………10分 D 、解不等式124x x ++-<.

解：当1x <-时，不等式化为12x x --+-

<，解得

312

x -<<-； ………………3分当12x -≤≤时，不等式化为124x x ++-<，解得12x -≤≤； ………………6分

当2x >时，不等式化为124x x ++-<，

解

得

22x <<； ………………9分

所

以

原

不

等

式

的

解

集为

(,)22

-. ………………10分 22．（本小题满分10分）

C 1

（2）若二面角1B AB P --的大小为3

，求λ的值. 解：（1）以点A 为坐标原点，1,,AB AC AA 分别为,,x y z 轴，

建立空间直角坐标系，

设1CC m =，则1(3,0,)B m ，(3,0,0)B ，(0,4,)P m λ，所

以

(3,0,)

B m =，(3,4,)PB m λ=--，

(3,0,0)AB =， ………………2分

当12λ=时，有11

(3,0,)(3,4,)02AB PB m m ?=?--=

解

得m =，即棱1

CC 的长

为

………………4分（2）设平面PAB 的一个法向量为1(,,)n x y z =，

则由1100

AB n PB n ??=???=??

，得30340x x y z =???--=??

，即040x y z =???+=??，

令1z =，

则y =，所以平面PAB 的一个法向量

为

1(0,,1)4

n =-，………………6分

又平面1ABB 与y 轴垂直，所以平面1ABB 的一个法向量为2(0,1,0)n =，

因二面角1B AB P --的平面角的大小为3

，

所

以

121cos ,2

n n =

=，结合

λ>，解得

λ=

………………10分 23．设集合{}*

1,2,3,,(,2)S n n N n =∈≥L ，,A B 是S 的两个非空子集，且满足集合A 中

的最大数小于集合B 中的最小数，记满足条件的集合对(,)A B 的个数为n P . （1）求23,P P 的值；

（2）求n P 的表达式.

解：（1）当2n =时，即{}1,2S =，此时{}1A =，{}2B =，所以21P =， ………………2分

当3n =时，即{}1,2,3S =，若{}1A =，则{}2B =，或{}3B =，或{}2,3B =；若

{}

2A =或

{}

1,2A =，则

{}

3B =；所以

35P =. ………………4分

（2）当集合A 中的最大元素为“k ”时，集合A 的其余元素可在1,2,

,1k -中任取若干个

（包含不取），所以集合A 共有01

21111

12k k k k k k C C C C --

----++++=种情

况， ………………6分此时，集合B 的元素只能在1,2,,k k n ++中任取若干个（至少取1个），所以集合B 共

有12321n k n k

n k n k n k n k

C C C C ------+++

+=-种情况，所以，当集合A 中的最大元素为“k ”时，集合对(,)

A B 共有1

21)

k n k

-=-

对， ………………8分

当k 依次取1,2,3,,1n -时，可分别得到集合对(,)A B 的个数，求

和

可

得

01221(1)2

(2222)(2)21n n n n P n n ---=-?-++++=-?+L . ………………10分

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