学法大视野·数学·九年级上册湘教版·答案
课时参考答案
(课前预习、课堂探究、课堂训练、课后提升)
第1章 反比例函数
1.1 反比例函数
课前预习
1.y=k x
≠ 零
课堂探究
【例1】 探究答案:-1 k ≠0 B
变式训练1-1:解:判断某函数是否是反比例函数,不是看表示变量的字母是不是有x 与y ,而要看它能否化为y=k x
(k 为常数,k ≠0)的形式.
所以(2)是反比例函数,其中k=-6;(3)是反比例函数, 其中k=-3.
变式训练1-2:解:(1)由三角形的面积公式,得12
xy=36, 于是y=72
x
.
所以,y 是x 的反比例函数.
(2)由圆锥的体积公式,得13
xy=60,于是y=180
x
. 所以y 是x 的反比例函数.
【例2】 探究答案:1.y=k x (k ≠0) 2.(√2,-√2) 解:设反比例函数的解析式为y=k x
(k ≠0), 因为图象过点(√2,-√2), 将x=√2,y=-√2代入,得-√2=
√2
,解得k=-2. 因此,这个反比例函数的解析式为y=-2
x , 将x=-6,y=13
代入,等式成立.
所以函数图象经过-6,
13
.
变式训练2-1:B
变式训练2-2:解:(1)设y 1=k 1x ,y 2=k 2x
(k 1,k 2为常数,且k 1≠0,k 2≠0),则y=k 1x+k 2x
.
∵x=1,y=4;x=2,y=5,∴{
k 1+k 2=4,2k 1+
k 22
=5.
解得{
k 1=2,
k 2=2.
∴y 与x 的函数表达式为y=2x+2x
.
(2)当x=4时,y=2×4+24
=812
.
课堂训练
1.B
2.C
3.A
4.-2
5.解:设大约需要工人y 个,每人每天生产纪念品x 个.
∴xy=100,即y=100
x
(x>0) ∵5≤x ≤8,∴
1008≤y ≤1005
, 即1212
≤y ≤20,
∵y 是整数,∴大约需工人13至20人.
课后提升
1.D
2.A
3.C
4.B
5.C
6.2
7.400
8.-12
9.解:(1)∵y 是x 的正比例函数, ∴m 2-3=1, m 2=4, m=±2.
∵m=2时,m-2=0, ∴舍去. ∴m=-2.
(2)∵y 是x 的反比例函数, ∴m 2-3=-1, m 2=2,
m=±√2.
10.解:(1)由S=12
xy=30,得y=60x
,
x 的取值范围是x>0.
(2)由y=60x
可知,y 是x 的反比例函数,系数为60.
1.2 反比例函数的图象与性质
第1课时 反比例函数的图象
课前预习 3.(1)一、三 (2)二、四
课堂探究
【例1】 探究答案:第一、三象限 >
解:(1)∵这个反比例函数图象的一支分布在第一象限, ∴m -5>0,解得m>5.
(2)∵点A (2,n )在正比例函数y=2x 的图象上, ∴n=2×2=4,则A 点的坐标为(2,4). 又∵点A 在反比例函数y=
m -5
x
的图象上, ∴4=
m -5
2
,即m-5=8. ∴反比例函数的解析式为y=8
x
.
变式训练1-1:C 变式训练1-2:-52
【例2】 探究答案:1.(1,5) 2.{y =k
x ,
y =3x +m
解:(1)∵点(1,5)在反比例函数y=k x
的图象上,
∴5=k 1
,即k=5,
∴反比例函数的关系式为y=5x
.
又∵点(1,5)在一次函数y=3x+m 的图象上, ∴5=3+m , ∴m=2.
∴一次函数的关系式为y=3x+2.
(2)由题意可得{y =5
x ,
y =3x +2, 解得{x 1=1,y 1=5或{
x 2=-5
3,
y 2=-3.
∴这两个函数图象的另一个交点的坐标为-5
3
,-3
.
变式训练2-1:A
变式训练2-2:解:(1)将A (-1,a )代入y=-x+2中, 得a=-(-1)+2,解得a=3.
(2)由(1)得,A (-1,3),将A (-1,3)代入y=k x
中, 得到3=k -1
,即k=-3,
即反比例函数的表达式为y=-3x
. (3)如图:过A 点作AD ⊥x 轴于D , ∵A (-1,3),∴AD=3,
在直线y=-x+2中,令y=0,得x=2, ∴B (2,0),即OB=2, ∴△AOB 的面积
S=12×OB ×AD=12
×2×3=3.
课堂训练
1.A
2.C
3.B
4.m>1
5.解:(1)∵反比例函数y=k x
与一次函数y=x+b 的图象,都经过点A (1,2),
∴将x=1,y=2代入反比例函数解析式得, k=1×2=2,
将x=1,y=2代入一次函数解析式得, b=2-1=1,
∴反比例函数的解析式为y=2x
,
一次函数的解析式为y=x+1. (2)对于一次函数y=x+1, 令y=0,可得x=-1; 令x=0,可得y=1.
∴一次函数图象与x 轴,y 轴的交点坐标分别为(-1,0),(0,1).
课后提升
1.C
2.B
3.A
4.D
5.C
6.-3
7.-24
8.解:m 2=(-4)×(-9)=36,∴m=±6.
∵反比例函数y=m x
的图象位于第一、三象限,∴m>0, ∴m=6.
9.解:(1)∵y=
m -5
x
的一支在第一象限内,∴ m-5>0. ∴m>5.
对直线y=kx+k 来说,令y=0,得kx+k=0,即k (x+1)=0. ∵k ≠0,∴x+1=0,即x=-1. ∴点A 的坐标为(-1,0).
(2)过点M 作MC ⊥AB 于点C ,
∵点A 的坐标为(-1,0),点B 的坐标为(3,0), ∴AB=4,AO=1.
∵S △ABM =12
×AB ×MC =1
2
×4×MC
=8, ∴MC=4.
又AM=5,∴AC=3,
又OA=1,∴OC=2.∴点M 的坐标为(2,4).
把M (2,4)代入y=m -5
x
, 得4=
m -52,则m=13,∴y=8
x
. 第2课时 反比例函数的性质
课前预习 1.在每一象限内 减小 在每一象限内 增大
2.y=±x 坐标原点
课堂探究
【例1】 探究答案:1.一、三 >0 2.减小 >
解:(1)图象的另一支在第三象限,则2n-4>0,解得n>2. (2)把点(3,1)代入y=2n -4
x
,得2n-4=3, 解得n=7
2
.
(3)因为在每个象限内,y 随x 的增大而减小,所以由a 1b 2. 变式训练1-1: A 变式训练1-2:< 【例2】 探究答案:|k|
|k|2
解:设点A 的坐标为a ,
2
a
,则点B 的坐标为-a ,-
2a
,
∵BC ∥x 轴,AC ∥y 轴,∴AC ⊥BC ,
又由题意可得BC=2a ,AC=4a
,
S △ABC =12BC ·AC=12·2a ·4a
=4.
变式训练2-1:1
变式训练2-2:解:设A 的坐标是(m ,n ),则n=k ,即k=mn ,
∵OB=-m ,AB=n ,S 长方形ABOC =OB ·AB=(-m )n=-mn=3, ∴mn=-3,∴k=-3,则反比例函数的解析式是y=-3.
课堂训练
1.A
2.C
3.6
4.2
5.解:设一次函数的解析式为y=kx+b (k ≠0).
∵点A 是直线与反比例函数y=2x
的交点, ∴把A (1,a )代入y=2x
,得a=2. ∴A (1,2).
把A (1,2)和C (0,3)代入y=kx+b ,得{k +b =2,
b =3.
解得k=-1,b=3.
所以一次函数的解析式为:y=-x+3.
课后提升
1.D
2.D
3.A
4.C
5.C
6.C
7.x<-2或0 8.6 9.解:(1)图象的另一支在第三象限, ∵图象在一、三象限,∴5-2m>0, ∴m<52 . (2)b 1 ∵m<52 ,∴m -4 1.3 反比例函数的应用 课堂探究 【例1】 探究答案:1.反比例 v=P 2.减小 解:(1)设反比例函数解析式为v=P F , 把(3000,20)代入上式, 得20= P 3000 ,P=3000×20=60000, ∴v= 60000 F . (2)当F=1200时,v= 60000 1200 =50(米/秒)=180(千米/时), 即当它所受的牵引力为1200牛时,汽车的速度为180千米/时. (3)由v= 60000 F ≤30,得F ≥2000. 所以,若限定汽车的速度不超过30米/秒,则F 应不小于2000牛. 变式训练1-1:C 变式训练1-2:0.5 【例2】 探究答案:1.k 2 -2 2.图象 解:(1)∵双曲线y=k 2x 经过点A (1,2),∴k 2=2. ∴双曲线的解析式为y=2x . ∵点B (m ,-1)在双曲线y=2x 上, ∴m=-2,则B (-2,-1). 由点A (1,2),B (-2,-1)在直线y=k 1x+b 上, 得{ k 1+b =2, -2k 1+b =-1, 解得{k 1=1,b =1. ∴直线的解析式为y=x+1. (2)y 2 变式训练2-1:C 变式训练2-2:解:(1)直线y=12 x+b 经过第一、二、三象限,与y 轴交于点B , ∴OB=b , ∵点A (2,t ),△AOB 的面积等于1. ∴12 ×2×b=1,可得b=1, 即直线为y=12 x+1. (2)由点A (2,t )在直线y=12 x+1上, 可得t=2,即点A 坐标为(2,2), 反比例函数y=k x (k 是常量,k ≠0)的图象经过点A ,可得k=4, 所求反比例函数解析式为y=4x . 课堂训练 1.C 2.C 3.B 4.(1,-2) 5.解:(1)将A (2,4)代入反比例函数解析式得m=8, ∴反比例函数解析式为y 2=8x , 将B (-4,n )代入反比例函数解析式得n=-2, 即B (-4,-2), 将A 与B 坐标代入一次函数解析式得, {2k +b =4,-4k +b =-2, 解得{ k =1, b =2. 则一次函数解析式为y 1=x+2. (2)联立两函数解析式得{y =x +2, y =8 x , 解得{ x =2,y =4或{x =-4, y =-2, 则y 1=y 2时,x 的值为2或-4. (3)利用题图象得,y 1>y 2时, x 的取值范围为-4 课后提升 1.D 2.D 3.C 4.D 5.x<0或1 6.1.6 7.(3,2) 8.1 9.解:(1)∵反比例函数y=k x 的图象过B (4,-2)点, ∴k=4×(-2)=-8, ∴反比例函数的解析式为y=-8x . ∵反比例函数y=-8x 的图象过点A (-2,m ), ∴m=-8-2 =4, 即A (-2,4). ∵一次函数y=ax+b 的图象过A (-2,4),B (4,-2)两点, ∴{ -2a +b =4, 4a +b =-2, 解得{ a =-1, b =2. ∴一次函数的解析式为y=-x+2. (2)∵直线AB :y=-x+2交x 轴于点C , ∴C (2,0). ∵AD ⊥x 轴于D ,A (-2,4), ∴CD=2-(-2)=4,AD=4, ∴S △ADC =1 2 ·CD ·AD=12 ×4×4=8. 10.解:(1)把A (m ,2)代入反比例函数解析式y=2x 得2=2m , 所以m=1. ∴A (1,2). (2)把A (1,2)代入正比例函数解析式y=kx 得2=k ,所以k=2,因此正比例函数的解析式为y=2x. (3)因为正比例函数的解析式为y=2x ,当x=2时,y ≠3,所以点B (2,3)不在正比例函数图象上. 第2章 一元二次方程 2.1 一元二次方程 课前预习 1.一个 2 整式 3.相等 课堂探究 【例1】 探究答案:1.2 =2 2.≠0 解:根据题意,得m 2-2=2,且m-2≠0. 解得m=±2,且m ≠2.所以m=-2. 则m 2+2m-4=(-2)2+2×(-2)-4=-4. 变式训练1-1:C 变式训练1-2:≠±1 = 12 【例2】 探究答案:1.移项 合并同类项 2.符号 0 解:(1)去括号,得 4t 2+12t+9-2(t 2-10t+25)=-41, 去括号、移项、合并得2t 2+32t=0, 所以二次项系数、一次项系数和常数项分别为2,32,0. (2)去括号,得12 x 2-x+12 =3x+13 , 移项、合并,得12 x 2-4x+16 =0, 所以二次项系数、一次项系数和常数项分别为12 ,-4,16 . 变式训练2-1:B 变式训练2-2:解:{m 2-2=2, m +2≠0,? 解得m=±2且m ≠-2. ∴m=2. 【例3】 探究答案:1.根 2.≠0 解:根据题意,得(m-2)×12+(m 2-3)×1-m+1=0, 即m 2-4=0,故m 2=4, 解得m=2或m=-2. ∵方程(m-2)x 2+(m 2-3)x-m+1=0是关于x 的一元二次方程, ∴m -2≠0,即m ≠2.故m=-2. 变式训练3-1:1 变式训练3-2:解:把x=0代入方程得a 2-1=0, ∴a=±1, ∵a -1≠0,∴a ≠1, ∴a=-1. 课堂训练 1.C 2.A 3.-10 4.-2 5.解:去括号,得9x 2+12x+4=4x 2-24x+3 6. 移项、合并同类项得,5x 2+36x-32=0. ∴它的二次项为5x 2 二次项系数为5, 一次项为36x , 一次项系数为36, 常数项为-32. 课后提升 1.D 2.D 3.C 4.C 5.D 6.x (x+5)=300 x 2+5x-300=0 1 5 -300 7.1 8.≠1 =1 9.解:(1)去括号,得x 2-4=3x 2+2x , 移项,得-2x 2-2x-4=0,二次项系数为-2,一次项系数为-2,常数项为-4. (2)去括号,移项合并,得(1-2a )x 2-2ax=0,二次项系数为1-2a ,一次项系数为-2a ,常数项为0. 10.解:小明的话有道理. 理由:若方程为一元二次方程,则m+1=2,m=1. 而m=1时,m 2+m-2=0, 所以此方程不可能为一元二次方程. 2.2 一元二次方程的解法 2.2.1 配方法 第1课时 用配方法解简单的一元二次方程 课前预习 1.(1)平方根 2.(1)a 2±2ab+b 2 (2)完全平方式 课堂探究 【例1】 探究答案:-a ±√b 没有 解:移项,得2(x+1)2=92 , 两边同时除以2,得(x+1)2=9, ∴x+1=±32 , ∴x 1=-1+32=12 ,x 2=-1-32 =-52 . 变式训练1-1:m ≥7 变式训练1-2:解:(1)移项,得(2x-1)2=25, 开平方得2x-1=±5, ∴2x-1=5或2x-1=-5, 解这两个方程得:x 1=3,x 2=-2. (2)两边同除以3,得(x-2)2=4, 开平方得:x-2=±2, ∴x -2=2或x-2=-2. 解这两个方程,得x 1=4,x 2=0. 【例2】 探究答案:一次项系数一半的平方 解:移项,得x 2-12x=12 , 配方,得 x 2- 1 2x+(14)2=916,(x -14)2=916, ∴x -14=34 或x-14 =-34 ,∴x 1=1,x 2=-12 . 变式训练2-1:± 43 变式训练2-2:解:移项,得x 2-2x=2,配方,得(x-1)2=3, 解得x=1±√3. ∴x 1=1+√3,x 2=1-√3. 课堂训练 1.D 2.B 3.±32 4.±8 5.解:(1)移项得x 2-2x=1,配方,得x 2-2x+1=2, 即(x-1)2=2,开方,得x-1=±√2, 则x 1=1+√2,x 2=1-√2. (2)移项,得x 2-4x=-1, 配方,得x 2-4x+4=-1+4,即(x-2)2=3, 开方,得x-2=±√3, ∴原方程的解是x 1=2+√3,x 2=2-√3. 课后提升 1.D 2.B 3.D 4.B 5.3 6.-3 7.900 cm 2 8.解:(1)直接开平方得,x-1=±√3,即x-1=√3或x-1=-√3, ∴x 1=1+√3,x 2=1-√3. (2)配方,得x 2-2x+1=4+1,即(x-1)2=5. ∴x -1=±√5,即x-1=√5或x-1=-√5 ∴x 1=1+√5,x 2=1-√5. (3)方程两边都除以2,得x 2-32 =-52 x , 移项,得x 2+52 x=32 . 配方,得x 2+52x+ 54 2= 32+54 2, 即 x+ 54 2= 4916 . 开平方得,x+54 =±74 ,∴x 1=12 ,x 2=-3. 9.解:用配方法解方程a 2-10a+21=0,得a 1=3,a 2=7. 当a=3时,3、3、7不能构成三角形; 当a=7时,三角形周长为3+7+7=17. 10.解:移项得x 2+px=-q , 配方得x 2+px+ p 2 2=-q+ p 2 2, 即x+ p 2 2= p 2-4q 4 . ∵p 2≥4q , ∴p 2-4q ≥0, ∴x+p 2=±√p 2-4q 2 . ∴x 1= -p+√p 2-4q 2 ,x 2= -p -√p 2-4q 2 . 第2课时 用配方法解复杂的一元二次方程 课前预习 (1)1 (2)二次项和一次项 常数项 (3)一次项系数一半的平方 课堂探究 【例1】 探究答案:1.1 2.完全平方式 解:两边同时除以2,得x 2-32 x+12 =0, 移项,得x 2-32 x=-12 , 配方,得 x 2- 3 2x+(-34)2=-12+(-34 )2, 即(x -34 )2=1 16, 两边开平方,得x-3 4=±14,x-34=14或x-34=-14 , ∴原方程的解为x 1=1,x 2=12 . 变式训练1-1:D 变式训练1-2:解:(1)二次项系数化为1, 得x 2-16 x-2=0, 移项,得x 2-16x=2,配方, 得x 2-16 x+ 1144=2+1144, 即 x-112 2= 289 144 , ∴x -112 =±1712 ,∴x 1=32 ,x 2=-43 . (2)二次项系数化为1,得x 2-12 x-12 =0. 移项,得x 2-1 2 x=12 . 配方得x 2-12x+ 14 2= 12+14 2, 即x-14 2= 916 , ∴x -14 =±34 , ∴x 1=1,x 2=-12 . 【例2】 探究答案:1.1 2.减去 解:2x 2-4x+5=2(x 2-2x )+5 =2(x 2-2x+12-12)+5 =2(x-1)2+3 ∵2(x-1)2≥0, ∴2(x-1)2+3>0, ∴代数式2x 2-4x+5的值总是一个正数. 变式训练2-1:13 变式训练2-2:解:x 2-4x+5=x 2-4x+22-22+5 =(x-2)2+1. ∵(x-2)2≥0,且当x=2时值为0, ∴当x=2时, 代数式x 2-4x+5的值最小,最小值为1. 课堂训练 1.A 2.B 3.x 1=-2,x 2= 12 4.3或-7 5.-3或3 6.解:由题意得2x 2-x=x+6,∴2x 2-2x=6, ∴x 2-x=3,∴x 2-x+14=3+14 , ∴x- 1 2 2= 134,∴x -12=±√132 , ∴x 1=1+√132,x 2=1-√13 2 . ∴x= 1+√132或1-√13 2 时,整式2x 2-x 与x+6的值相等. 课后提升 1.D 2.D 3.B 4.D 5.x 1=1+√3,x 2=1-√3 6.8 7.3 8.1±2√2 9.解:去括号,得4x 2-4x+1=3x 2+2x-7, 移项,得x 2-6x=-8,配方,得(x-3)2=1, ∴x -3=±1,∴x 1=2,x 2=4. 10.解:由题意,得2x 2+x-2+(x 2+4x )=0, 化简,得3x 2+5x-2=0. 系数化为1,得x 2+53 x=23 , 配方,得x+ 56 2= 4936,∴x+56=±76 , ∴x 1=-2,x 2=13 . 2.2.2 公式法 课前预习 1.x= -b±√b 2-4ac 2a (b 2-4ac ≥0) 2.求根公式 课堂探究 【例1】 探究答案:1.一般形式 2.a 、b 、c 解:原方程可化为x 2+2x-1=0, ∵a=1,b=2,c=-1. b 2-4ac=22-4×1×(-1)=8>0, ∴x= -2±√82×1=-2±2√2 2 =-1±√2. ∴x 1=-1+√2,x 2=-1-√2. 变式训练1-1:D 变式训练1-2:解:(1)移项,得2x 2+3x-1=0, ∵a=2,b=3,c=-1,∴b 2-4ac=17>0, ∴x= -3±√17 4 , ∴x 1= -3+√174,x 2=-3-√174 . (2)化简得,x 2+5x+5=0, ∴a=1,b=5,c=5, ∴b 2-4ac=5>0, ∴x= -5±√5 , ∴x 1= -5+√52,x 2=-5-√5 2 . 【例2】 探究答案:1.一元二次方程有实数根 2.相等 解:原方程可化为2x 2+2√2x+1=0, ∵a=2,b=2√2,c=1, ∴b 2-4ac=(2√2)2-4×2×1=0, ∴x= -2√2±√02×2=-√22 . ∴x 1=x 2=-√2 2 . 变式训练2-1:解:(1)b 2-4ac=(-2)2-4×1×1=4-4=0. ∴此方程有两个相等的实数根. (2)b 2-4ac=72-4×(-1)×6=49+24=73>0. ∴此方程有两个不相等的实数根. 变式训练2-2:C 课堂训练 1.D 2.C 3.2 4.解:(1)b 2-4ac=(-4)2-4×2×(-1)=16+8=24>0. ∴x=-b±√b 2-4ac 2a =4±√242×2=4±2√64=2±√62 . ∴x 1= 2+√62,x 2=2-√6 2 . (2)整理,得4x 2+12x+9=0, 所以a=4,b=12,c=9. 因为b 2-4ac=122-4×4×9=0, 所以方程有两个相等的实数根, 所以x=-b±√b 2-4ac 2a =-12±√0 2×4 = -128=-3 2 . ∴x 1=x 2=-3 2 . 课后提升 1.C 2.A 3.D 4.D 5.-1+√32,-1-√3 2 6.x 1=1,x 2= 12 7.25或16 8.解:整理得x 2+2x-1=0, b 2-4ac=22-4×1×(-1)=8, x= -2±√82×1=-2±2√2 2 =-1±√2, ∴x 1=-1+√2,x 2=-1-√2. 9.解:(1)x 2-4x-1=0, ∵a=1,b=-4,c=-1, ∴Δ=(-4)2-4×1×(-1)=20, ∴x= 4±√20 2×1 =2±√5, ∴x 1=2+√5,x 2=2-√5. (2)∵3x (x-3)=2(x-1)(x+1), ∴x 2-9x+2=0, ∵a=1,b=-9,c=2, ∴Δ=(-9)2-4×1×2=73>0, ∴x=-b±√b 2-4ac =9±√73, ∴x 1= 9+√732,x 2=9-√73 2 . 10.解:由题意得,m 2+1=2, 且m+1≠0, 解得m=1. 所以原方程为2x 2-2x-1=0, 这里a=2,b=-2,c=-1. b 2-4ac=(-2)2-4×2×(-1)=12. ∴x= 2±2√34=1±√3 2, ∴x 1= 1+√32,x 2=1-√32 . 2.2.3 因式分解法 课前预习 1.(2)(a-b )(a+b ) (a ±b )2 2.一次因式 0 0 课堂探究 【例1】 探究答案:x [(x+2)-4] 3(x-5)2-2(5-x )=0 (x-5)(3x-13) 解:(1)x (x+2)-4x=0,x [(x+2)-4]=0, 即x (x-2)=0, ∴x=0或x-2=0, ∴x 1=0,x 2=2. (2)3(x-5)2=2(5-x ), 3(x-5)2-2(5-x )=0, (x-5)[3(x-5)+2]=0, ∴x -5=0或3x-15+2=0, ∴x 1=5,x 2=133 . 变式训练1-1:C 变式训练1-2:解:(1)(3x-4)2=3(3x-4), ∴(3x-4)(3x-7)=0, ∴x 1=43,x 2=73 . (2)3(x+2)2=(x+2)(x-2), (x+2)[3(x+2)-(x-2)]=0, ∴(x+2)(2x+8)=0, ∴x 1=-2,x 2=-4. 【例2】 探究答案:直接开平方法 配方法 公式法 因式分解法 解:(1)公式法:∵a=1,b=-3,c=1, ∴b 2-4ac=(-3)2-4×1×1=5>0, ∴x= -(-3)±√5 2×1, ∴x 1= 3+√52,x 2=3-√52 . (2)因式分解法:原方程可化为x (x-3)=0, ∴x=0或x-3=0 ∴x 1=0,x 2=3. (3)配方法:配方,得x 2-2x+1=4+1, 即(x-1)2=5, ∴x -1=±√5, ∴x 1=1+√5,x 2=1-√5. 变式训练2-1:C 变式训练2-2:解:(1)用直接开平方法:原方程可化为 (x-3)2=4, ∴x -3=±2, ∴x 1=5,x 2=1. (2)用配方法:移项,得x 2-4x=7. 配方,得x 2-4x+4=7+4, 即(x-2)2=11, ∴x -2=±√11 ∴x -2=√11或x-2=-√11, ∴x 1=2+√11,x 2=2-√11. (3)用因式分解法:方程两边分别分解因式,得 (x-3)2=2(x-3)(x+3), 移项,得(x-3)2-2(x-3)(x+3)=0. 方程左边分解因式,得 (x-3)[(x-3)-2(x+3)]=0, 即(x-3)(-x-9)=0, ∴x -3=0或-x-9=0. ∴x 1=3,x 2=-9. 课堂训练 1.C 2.D 3.7 4.-1或4 5.解:(1)∵a=3,b=1,c=-1, ∴b 2-4ac=12-4×3×(-1)=13>0, ∴x= -1±√13 2×3 ∴x 1= -1+√136,x 2=-1-√136 . (2)移项,得(3x-2)2-4(3-x )2=0, 因式分解, 得[(3x-2)+2(3-x )][(3x-2)-2(3-x )]=0, 即(x+4)(5x-8)=0, ∴x+4=0或5x-8=0, ∴x 1=-4,x 2=85 . (3)将原方程整理,得x 2+x=0, 因式分解,得x (x+1)=0, ∴x=0或x+1=0, ∴x 1=0,x 2=-1. 课后提升 1.A 2.D 3.B 4.B 5.B 6.x 1=3,x 2=9 7.6 8.-1 9.解:(1)用求根公式法解得y 1=3,y 2=-8. (2)用分解因式法解得x 1=52 ,x 2=-1. (3)用求根公式法解得 y 1= -2+√22,y 2=-2-√2 2 . 10.解:解方程x (x-7)-10(x-7)=0, 得x 1=7,x 2=10. ∵4<第三边长<10, ∴x 2=10(舍去).第三边长为7. 这个三角形的周长为3+7+7=17. 2.3 一元二次方程根的判别式 课前预习 1.a ≠0 2.(1)> (2)= (3)< 课堂探究 【例1】 探究答案:1.一般形式 2.a 、b 、c b 2-4ac 解:(1)原方程可化为x 2-6x+9=0, ∵Δ=b 2-4ac=(-6)2-4×1×9=0, ∴原方程有两个相等的实数根. (2)原方程可化为x2+3x+1=0, ∵Δ=b2-4ac=32-4×1×1=5>0, ∴原方程有两个不相等的实数根. (3)原方程可化为3x2-2√6x+3=0. ∵Δ=b2-4ac=(-2√6)2-4×3×3=-12<0, ∴原方程无实数根. 变式训练1-1:A 变式训练1-2:B 【例2】探究答案:1.≥ 解:由题意知:b2-4ac≥0, 即42-8k≥0,解得k≤2. ∴k的非负整数值为0,1,2. 变式训练2-1:B 变式训练2-2:解:∵a=2,b=t,c=2. ∴Δ=t2-4×2×2=t2-16, 令t2-16=0,解得t=±4, 当t=4或t=-4时,原方程有两个相等的实数根.课堂训练 1.D 2.A 3.D 4.k<-1 5.解:(1)当m=3时, Δ=b2-4ac=22-4×1×3=-8<0, ∴原方程没有实数根. (2)当m=-3时,x2+2x-3=0, x2+2x=3, x2+2x+1=3+1, (x+1)2=4, ∴x+1=±2, ∴x1=1,x2=-3. 课后提升 1.D 2.A 3.C 4.C 5.D 6.m>1 7.m<2且m≠1 8.6或12或10 9.解:由题意,得 {b2-4ac=(-2√k+1)2-4(1-2k)(-1)>0①1-2k≠0② k+1≥0③ 由①,得4(k+1)+4-8k>0,即-4k>-8,解得k<2. 由②得,k≠1 2 ,由③得,k≥-1. ∴-1≤k<2且k≠1 2 . 10.解:(1)Δ=b2-4ac =4-4(2k-4) =20-8k. ∵方程有两个不等的实根, 历史七年级上学法大视野答案 祖国境内的远古居民 一、1、170万 2、元谋县 4、制造工具 二、1、北京西南周口店 3、猿 5、群居 6、(1)天然火 (2)烧烤食物;照明;防寒 三、1、北京周口店 2、3万 3、现代人 4、钻孔 5、人工取火;血缘关系 【问题导学】 1、元谋人。云南省元谋县。 课堂探究·合作学习 探究点 答案：(1)①北京人会使用打制石器和砍削的木棒。 ②生存环境恶劣，过群居生活。 ③使用天然火。 (2)来源：森林自燃生火、雷电生火、偶然碰撞生火、煤的自燃等。 作用：火的使用增强了原始人类适应自然环境的能力，促进了他们体质的发展和脑的进化。 【点睛训练】B 课后训练·巩固提升 一、选择题 1A5D 2B6C 3C7D 4A8B 二、非选择题 9、(1)图1人物的模样和现代人基本相同， 而图2人物还保留了猿的某些特征。 (2)图3是用打制的方法制造的， 图4是采用磨光和钻孔的方法制造的; 搭配：图1与图4;图2与图3。 (3)图2处于原始人群时期， 图1进入了按血缘关系组成的氏族公社时期。 (4)远古人类过着人人平等、共同劳动、共同消费的生活固煞很好，但绝不是“天堂的生活”，因为当时生产力水平极端低下，自然环境极其恶劣，凭个人力量难以生存。 10、(1)图1：北京人。图2：山顶洞人。 (2)山顶洞人已会人工取火，可以缝制衣服，渔猎活动更多等。 11、(1)①北京人 ②70万～20万 ③是进行劳动的有力证据 ④过着群居生活 (2)①3万 ②会缝制衣服 ③掌握了磨光和钻孔技术，懂得爱美 原始的农耕生活 课前预习·轻松入门 一、1、7000 3、长江 4、磨制石器 5、干栏式;定居生活 6、水稻;挖掘水井 二、1、五六千 2、陕西西安 4、粟 5、猪狗 6、文字;纺线 7、半地穴式 8、磨制石器;耒耜 九（上）数学知识点覃勉 第一章一元二次方程 一元二次方程：只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化作ax2+bx+c=0(a,b,c为常数，a≠0)的形式。 （2）一元二次方程的一般式及各系数含义 一般式：ax2+bx+c=0(a,b,c为常数，a≠0)，其中，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。 2、分解因式法 3、配方法 4、公式法 （1）求根公式： b2-4ac≥0时，x= a ac b b 2 4 2- ± - (2)求一元二次方程的一般式及各系数的含义 一、将方程化为一元二次方程的一般ax2+bx+c=0(a,b,c为常数，a≠0)；二、计算b2-4ac 的值，当b2-4ac≥0时，方程有实数根（＞0有两个实数根，=0两个相等实数根）.当b2-4ac ＜0时，方程无实数根；三、代入求根公式，求出方程的根；四、写出方程的两个根。 第三章图形的相似 1、线段的比 一般地，在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比， 那么这四条线段叫作成比例线段 2、比例的基本性质 如果ａ/ｂ＝ｃ/ｄ，那么ａｄ＝ｂｃ． 3、相似三角形的性质和判定 角对应相等，且三条边对应成比例的两个三角形叫作相似三 角形．如果△Ａ′Ｂ′Ｃ′与△ＡＢＣ相似，且Ａ′，Ｂ′，Ｃ′分别与Ａ，Ｂ，Ｃ对应，那么记作△Ａ′Ｂ′Ｃ′∽△ＡＢＣ，读作“△Ａ′Ｂ′Ｃ′相似于△ＡＢＣ”．相似三角形的对应边的比ｋ叫作相似比 判定定理１三边对应成比例的两个三角形相似． 判定定理２两角对应相等的两个三角形相似. 判定定理３两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。 相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方 九年级上册数学期末测试试卷 总分：120 时间：120 姓名 得分 一.选择题（每小题3分，共30分） 1.方程x 2 =x 的解是 （ ） =0 =1 =±1 =1,x=0 2.在Rt △ABC,∠C ＝90°, sinB ＝ 3 5 ,则sinA 的值是( ) A.35 B.45 C.53 D.54 3．一斜坡长10m ，它的高为6m ，将重物从斜坡起点推到坡上4m 处停下，则停下地点的高度为 （ ） A ．2 m B ． m C ．3 m D ．4 m 4.方程x 2-2x-3=0变为(x+a)2 =b 的形式,正确的是 ( ) A. (x+1)2 =4 B (x-1)2 =4 C. (x+1)2 =3 D.(x-1)2 =3 5．如图，若将四根木条钉成的矩形木框变为平行四边形ABCD ，并使其面 积为矩形面积的一半，则这个平行四边形的一个最小内角的值等于 ( ) o B. 45o 6．用13m 的铁丝网围成一个长边靠墙面积为20m 2 的长方形，求这个长方形的长和宽，设平行于墙的一边为x m ，可得方程 ( ) A ．(13)20x x -= B ． 20)13(2 =-x x C ．113202x x ? ?-= ?? ? D ． 20)213(2 =-x x 7. 已知点M (－2，3 )在双曲线x k y = 上，则下列各点一定在该双曲线上的是( ) A.(3，-2 ) B.(-2，-3 ) C.(2，3 ) D.(3，2) 8.在ABC 中,∠C=900 a,b,c 分别是∠A,∠B ,∠C 的对边.则 （ ） = B. b= = = 9、已知点A （11x y ，）、B （22x y ，）是反比例函数x k y =（0>k ）图象上的两点，若210x x <<，则有 （ ） A ．210y y << B ．120y y << C ．021< 湘教版九年级数学上册 第一章反比例函数 （一）反比例函数 1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为，在解决有关自变 量指数问题时应特别注意系数这一限制条件； 2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而 得到反比例函数的解析式； （二）反比例函数的图象与性质 1．函数解析式：（） 2．自变量的取值范围： 3．图象：反比例函数的图象：在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0， 且x应对称取点（关于原点对称）． （1）图象的形状：双曲线越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．越小，图象的弯曲度越大． （2）图象的位置和性质：自变量，函数图象与x轴、y轴无交点，两条坐标轴是双曲线的渐近线． 当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x 的增大而减小； 当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大． （3）对称性：图象关于原点对称，若（a，b）在双曲线的一支上，（，）在双曲线的另一支上． 图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在 双曲线的另一支上． 4．k的几何意义:如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是（三角形PAO和三角形PBO的面积都是）． 如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为． 图1 图2 5．说明： （1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论．（2）直线与双曲线的关系：当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点， 且这两个交点关于原点成中心对称． （三）反比例函数的应用 九年级上学期期末考试数学试题 时间：120分钟满分：120分 一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分) 1．一元二次方程x(x－2)＝2－x的根是( ) A．－1 B. 2 C．1和 2 D．－1和 2 2．cos60°－sin30°＋tan45°的值为( ) A．2 B．－2 C．1 D．－1 3．在反比例函数y＝k x (k<0)的图象上有两点(－1，y1)，(－ 1 4 ，y2)，则y1 －y2的值是( ) A．负数 B．非正数 C．正数 D．不能确定 4．某校为了解八年级学生每周课外阅读情况，随机调查了50名八年级学生，得到他们在某一周里课外阅读所用时间的数据，并绘制成频数分布直方图，如图所示，根据统计图，可以估计在这一周该校八年级学生平均课外阅读的时间约为( ) A．2.8小时 B．2.3小时 C．1.7小时 D．0.8小时 ,第4题图) ,第5题图) ,第6题图) ,第7题图) 5．如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是1∶3(坡比是坡面的铅直高度BC 与水平宽度AC之比)，坝高BC＝3 m，则坡面AB的长度是( ) A．9 m B．6 m C．6 3 m D．3 3 m 6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，c＝10，则下列不正确的是( ) A．∠B＝60° B．a＝5 C．b＝5 3 D．tan B＝ 3 3 7．如图，五边形ABCDE 与五边形A ′B ′C ′D ′E ′是位似图形，O 为位似 中心，OD ＝12 OD ′，则A ′B ′∶AB 为( ) A ．2∶3 B ．3∶2 C ．1∶2 D ．2∶1 8．方程x 2－(m ＋6)x ＋m 2＝0有两个相等的实数根，且满足x 1＋x 2＝x 1x 2，则 m 的值是( ) A ．－2或3 B ．3 C ．－2 D ．－3或2 9、如图，将矩形ABCD 沿对角线BD 折叠，使点C 落在点C ′处，BC ′交AD 于点E ，则下列结论不一定成立的是( ) A ．AD ＝BC ′ B ．∠EBD ＝∠EDB C ．△ABE ∽△CB D D ．sin ∠ ABE ＝AE ED 10、已知二次函数2 y ax bx c =++的图象如图所示，对称轴是1x =，则下列结论中正确的是（ ）． Ａ．0ac > Ｂ．0b < Ｃ．240b ac -< Ｄ．20a b += 第一章 反比例函数 探究内容：1.1 建立反比例函数模型（1） 目标设计：1、引导学生从具体问题中探索出数量关系和变化规律，抽象出反比例函数 的概念； 2、理解反比例函数的概念和意义； 3、培养学生自主探究知识的能力。 重点难点：对反比例函数概念的理解 探究准备：投影片等。 探究过程： 一、旧知回顾： 1、函数的概念： 一般地，在某一变化过程中有两个变量x 与y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数。 2、一次函数的概念： 一般地，如果y kx b =+（k 、b 是常数，0k ≠）那么y 叫做x 的一次函数。如：31y x =-，… 当0b =时，有y kx =（k 为常数，0k ≠）则y 叫做x 的正比例函数。如：1 2 y x =-， 4y x =，… 二、新知探究： 类似地，有反比例函数： 1、概念： 一般地，如果两个变量y 与x 的关系可以表示成k y x =（k 为常数，0k ≠）的形式，那么称y 是x 的反比例函数。 2、强调： ①自变量在分母中，指数为1，且0x ≠； ②也可以写成1y kx -=的形式，此时自变量x 的指数1-； ③自变量x 的取值为0x ≠的一切实数； ④由于0k ≠，0x ≠，因此函数值y 也不等于0。 例题讲评： 1、下列函数中，x 均表示自变量，那么哪些是反比例函数，并指出每一个反比例函数中相应的k 值。 ⑴5y x = ⑵20.4 y x =- ⑶2x y =- ⑷2xy = 分析： ⑴5 y x = 是反比例函数，5k =； ⑵2 0.4 y x =- 不是反比例函数； ⑶2 x y =-是正比例函数； 湘教版九年级数学上册第一章测试题（含答案） (考试时间：120分钟 满分：120分) 第Ⅰ卷(选择题 共36分) 一、选择题(每小题3分，共36分) 1．下列函数关系式中，y 不是x 的反比例函数的是( D ) A ．xy ＝5 B ．y ＝5 3x C ．y ＝－3x － 1 D ．y ＝2x －3 2．点P (－3，1)在双曲线y ＝k x 上，则k 的值是( A ) A ．－3 B ．3 C ．－13 D.1 3 3．下列图象中是反比例函数y ＝－2 x 图象的是( C ) 4．已知反比例函数y ＝k x 的图象经过P (－4，3)，则这个函数的图象位于( D ) A ．第二、三象限 B ．第一、三象限 C ．第三、四象限 D ．第二、四象限 5．若函数y ＝3x m ＋ 1是反比例函数，则m 的值是( B ) A ．2 B ．－2 C ．±2 D ．3 6．函数y ＝k x 的图象如图所示，那么函数y ＝kx －k 的图象大致是( C ) 7．在温度不变的条件下，一定质量的气体的压强p (Pa)与它的体积V (m 3)成反比例．当 V ＝200 m 3时，p ＝50 Pa.则当p ＝25 Pa 时，V 的值为( B ) A ．40 m 3 B ．400 m 3 C ．200 m 3 D ．100 m 3 8.如图，在同一平面直角坐标系中，直线y ＝k 1x (k 1≠0)与双曲线y ＝k 2 x (k 2≠0)相交于A ， B 两点，已知点A 的坐标为(1，2)，则点B 的坐标为( A ) A ．(－1，－2) B ．(－2，－1) C ．(－1，－1) D ．(－2，－2) 第8题图 第11题图 第12题图 9．△ABC 的边BC ＝y ，BC 边上的高AD ＝x ，△ABC 的面积为3，则y 与x 的函数图象大致是( A ) 课时参考答案 (课前预习、课堂探究、课堂训练、课后提升) 第1章 反比例函数 反比例函数 课前预习 =k x ≠ 零 课堂探究 【例1】 探究答案:-1 k ≠0 B 变式训练1-1:解:判断某函数是否是反比例函数,不是看表示变量的字母是不是有x 与y ,而要看它能否化为y=k x (k 为常数,k ≠0)的形式. 所以(2)是反比例函数,其中k=-6;(3)是反比例函数, 其中k=-3. 变式训练1-2:解:(1)由三角形的面积公式,得12 xy=36, 于是y=72 x . 所以,y 是x 的反比例函数. (2)由圆锥的体积公式,得13 xy=60,于是y=180 x . 所以y 是x 的反比例函数. 【例2】 探究答案:=k x (k ≠0) 2.(√2,-√2) 解:设反比例函数的解析式为y=k x (k ≠0), 因为图象过点(√2,-√2), 将x=√2,y=-√2代入,得-√2= √2 ,解得k=-2. 因此,这个反比例函数的解析式为y=-2 x , 将x=-6,y=13 代入,等式成立. 所以函数图象经过-6, 13 . 变式训练2-1:B 变式训练2-2:解:(1)设y 1=k 1x ,y 2=k 2x (k 1,k 2为常数,且k 1≠0,k 2≠0),则y=k 1x+k 2x . ∵x=1,y=4;x=2,y=5,∴{ k 1+k 2=4,2k 1+ k 22 =5. 解得{ k 1=2, k 2=2. ∴y 与x 的函数表达式为y=2x+2x . (2)当x=4时,y=2×4+24 =812 . 课堂训练 5.解:设大约需要工人y 个,每人每天生产纪念品x 个. ∴xy=100,即y=100 x (x>0) ∵5≤x ≤8,∴ 1008≤y ≤1005 , 即1212 ≤y ≤20, ∵y 是整数,∴大约需工人13至20人. 课后提升 9.解:(1)∵y 是x 的正比例函数, ∴m 2-3=1, m 2=4, m=±2. ∵m=2时,m-2=0, ∴舍去. ∴m=-2. (2)∵y 是x 的反比例函数, ∴m 2-3=-1, m 2=2, m=±√2. 10.解:(1)由S=12 xy=30,得y=60x , x 的取值范围是x>0. (2)由y=60x 可知,y 是x 的反比例函数,系数为60. 反比例函数的图象与性质 第1课时 反比例函数的图象 第1章反比例函数 1.1 反比例函数 教学目标 【知识与技能】 理解反比例函数的概念，根据实际问题能列出反比例函数关系式. 【过程与方法】 经历从实际问题抽象出反比例函数的探索过程，发展学生的抽象思维能力. 【情感态度】 培养观察、推理、分析能力，体会由实际问题转化为数学模型，认识反比例函数的应用价值. 【教学重点】 理解反比例函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式. 【教学难点】 能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，体会函数的模型思想. 教学过程 一、情景导入，初步认知 1．复习小学已学过的反比例关系，例如： (1)当路程s一定，时间t与速度v成反比例，即vt=s(s是常数) (2)当矩形面积一定时，长a和宽b成反比例，即ab＝S(S是常数) 2、电流I、电阻R、电压U之间满足关系式U＝IR，当U=220V时,请你用含R的代数式表示I吗？ 【教学说明】对相关知识的复习，为本节课的学习打下基础. 二、思考探究，获取新知 探究1：反比例函数的概念 （1）一群选手在进行全程为3000米的赛马比赛时，各选手的平均速度v(m/s)与所用时间t(s)之间有怎样的关系？并写出它们之间的关系式. （2）利用（1）的关系式完成下表： （3）随着时间t的变化，平均速度v发生了怎样的变化？ （4）平均速度v是所用时间t的函数吗？为什么？ （5）观察上述函数解析式，与前面学的一次函数有什么不同？这种函数有什么特点？ 【归纳结论】一般地，如果两个变量x,y之间可以表示成y=k （k为常数且k≠0）的形式， x 那么称y是x的反比例函数.其中x是自变量，常数k称为反比例函数的比例系数. 【教学说明】先让学生进行小组合作交流，再进行全班性的问答或交流.学生用自己的语言说明两个变量间的关系为什么可以看作函数，了解所讨论的函数的表达形式．探究2：反比例函数的自变量的取值围思考：在上面的问题中，对于反比例函数v=3000/t，其中自变量t可以取哪些值呢？分析：反比例函数的自变量的取值围是所有非零实数，但是在实际问题中，应该根据具体情况来确定该反比例函数的自变量取值围.由于t代表的是时间，且时间不能为负数，所有t的取值围为t>0. 【教学说明】教师组织学生讨论，提问学生，师生互动． 三、运用新知，深化理解 1.见教材P3例题. 2.下列函数关系中，哪些是反比例函数？ (1)已知平行四边形的面积是12cm2，它的一边是acm，这边上的高是hcm，则a与h的函数关系； (2)压强p一定时，压力F与受力面积S的关系； 湘教版九年级上册数学 教案(全册) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 第1章反比例函数 1.1 反比例函数 教学目标 【知识与技能】 理解反比例函数的概念，根据实际问题能列出反比例函数关系式. 【过程与方法】 经历从实际问题抽象出反比例函数的探索过程，发展学生的抽象思维能力. 【情感态度】 培养观察、推理、分析能力，体会由实际问题转化为数学模型，认识反比例函数的应用价值. 【教学重点】 理解反比例函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式. 【教学难点】 能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，体会函数的模型思想. 教学过程 一、情景导入，初步认知 1．复习小学已学过的反比例关系，例如： (1)当路程s一定，时间t与速度v成反比例，即vt=s(s是常数) (2)当矩形面积一定时，长a和宽b成反比例，即ab＝S(S是常数) 2、电流I、电阻R、电压U之间满足关系式U＝IR，当U=220V时,请你用含R的代数式表示I吗？ 【教学说明】对相关知识的复习，为本节课的学习打下基础. 二、思考探究，获取新知 探究1：反比例函数的概念 （1）一群选手在进行全程为3000米的赛马比赛时，各选手的平均速度v(m/s)与所用时间t(s)之间有怎样的关系？并写出它们之间的关系式. （2）利用（1）的关系式完成下表： （3）随着时间t的变化，平均速度v发生了怎样的变化？ （4）平均速度v是所用时间t的函数吗为什么 （5）观察上述函数解析式，与前面学的一次函数有什么不同这种函数有什么特点 【归纳结论】一般地，如果两个变量x,y之间可以表示成y=k x （k为常数且k≠0）的 形式，那么称y是x的反比例函数.其中x是自变量，常数k称为反比例函数的比例系数. 【教学说明】先让学生进行小组合作交流，再进行全班性的问答或交流.学生用自己的语言说明两个变量间的关系为什么可以看作函数，了解所讨论的函数的表达形式．探究2：反比例函数的自变量的取值范围思考：在上面的问题中，对于反比例函数v=3000/t，其中自变量t可以取哪些值呢？分析：反比例函数的自变量的取值范围是所有非零实数，但是在实际问题中，应该根据具体情况来确定该反比例函数的自变量取值范围.由于t代表的是时间，且时间不能为负数，所有t的取值范围为t>0. 【教学说明】教师组织学生讨论，提问学生，师生互动． 三、运用新知，深化理解 1.见教材P3例题. 2.下列函数关系中，哪些是反比例函数？ (1)已知平行四边形的面积是12cm2，它的一边是acm，这边上的高是hcm，则a与h 的函数关系； (2)压强p一定时，压力F与受力面积S的关系； (3)功是常数W时，力F与物体在力的方向上通过的距离s的函数关系． (4)某乡粮食总产量为m吨，那么该乡每人平均拥有粮食y(吨)与该乡人口数x的函数关系式． 分析：确定函数是否为反比例函数，就是看它们的解析式经过整理后是否符合y=k x (k 是常数，k≠0)．所以此题必须先写出函数解析式，后解答．解： (1)a=12/h，是反比例函数； (2)F＝pS，是正比例函数； (3)F=W/s，是反比例函数； (4)y=m/x，是反比例函数． 四年级上册数学第一单元测试卷 一、填空。(1，6题每2空1分、其余每空1分，共22分) 1.714285是由（）个十万、（）个万、（）个千、（）个百、（）个十和（）个一组成的。 2.据统计，2015年春晚微信摇一摇互动总次数超过11000000000次，11000000000的最位是( )位，这个数读作( )。 3.在数位顺序表中，从右数起第三位是( )位，第五位是( )位，第九位是( )位。 4.一个数的最高位是百万位，它是( )位数;一个八位数的最高位是( )位。 5.万、十万、百万、千万、亿都是( )，它们每相邻两个间的进率都是( )。 6.357085是( )位数，最高位是( )位。＂3”在( )位上，表示( )； “7”在( )位上，表示( )。 7.表示物体个数的1，2，3，4，5，…都是( )，一个物体也没有，用( )表示。 8.计算器的“ON/C”键起( )的作用，“AC＂键起( )的作用。 9.由1个亿、45个万和3160个一组成的数写作( )，读作( )，省略万位后面的尾数约是( )。 二、读数与写数。(7分) 1.读出下面各数。(4分) 我是地球，我表面积约有510000000(读作: )平方 千米，陆地面积约有149500000(读作: )平方千米。 截至2014年，生活在我上面的人口约7000000000(读作: )人，土地荒漠化每年给我造成的经济损失约54000000000(读作: )美元。我快承受不了了，快救救我吧！ 2.写出横线上的数。(3分) (1)2015年，我国粮食总产量为六亿二千一百万吨。写作： (2)2014年鲁甸地震后、某地向灾区捐款二百一十四万元。写作： (3)太阳系八大行星之一的火星，按离太阳由近而远的次序计为第四颗，与太阳的平均距离约为二亿二千七百九十四万千米，写作： 三、判断。(对的打“√＂，错的打“×”)(5分) 1.最小的自然数是0，最大的自然数是100000000。（） 2.上海世博会中国国家馆的总建筑面积约为十六万零一百平方米，写作1600100。 （） 3.6060600>6060060 （） 4.算盘上，用一个上珠表示5，一个下珠表示1。（） 5.在56000800中的5个0只读出1个零。（） 四、选择。(将正确答案的序号填在括号里)(5分) 1.个位、十位、百位、千位、万位等都是( )。 A.数位 B.位数 C.计数单位 2.一个数的百万位和百位上都是5，其余各位上都是0，这个数是( )。 A.5000500 B.5005000 C.5500000 3.下面算盘( )上表示的数是603900. 九上 第一章反比例函数 （一）反比例函数 1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件； 2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而 得到反比例函数的解析式； （二）反比例函数的图象与性质 1．函数解析式：（） 2．自变量的取值范围： 3．图象：反比例函数的图象：在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）． （1）图象的形状：双曲线越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．越小，图象的弯曲度越大． （2）图象的位置和性质：自变量，函数图象与x轴、y轴无交点，两条坐标轴是双曲线的渐近线．当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小； 当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大． （3）对称性：图象关于原点对称，若（a，b）在双曲线的一支上，（，）在双曲线的另一支上．图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在 双曲线的另一支上． 4．k的几何意义: 如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是（三角形PAO和三角形 PBO的面积都是）．如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为 ． 图1 图2 5．说明： （1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概 而论．（2）直线与双曲线的关系：当时，两图象没有交点；当时， 两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称． （三）反比例函数的应用 1、求函数解析式的方法：（1）待定系数法；（2）根据实际意义列函数解析式． 2、反比例函数与一次函数的联系． 3、充分利用数形结合的思想解决问题． 第二章一元二次方程 （一）一元二次方程 1、只含有一个未知数的整式方程（分母不含未知数），且都可以化为20 ax bx c ++=（a、b、c为常数， a≠0）的形式，这样的方程叫一元二次方程。 2、把20 ax bx c ++=（a、b、c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般式，a为二次项系数；b为一次项系数；c为常数项（包括符号）。 （二）一元二次方程的解法 1、直接开平方法：如果方程化成的形式，那么可得； 如果方程能化成 (p≥0)的形式，那么进而得出方程的根。 2、配方法：配方式 基本步骤：①把方程化成一元二次方程的一般形式；②将二次项系数化成1；③把常数项移到方程 湘教版数学九年级上册教学计划 一、基本情况: 本学期我担任九年级159班的数学教学工作。共有学生48人,我深感教育教学的压力很大，在本学期的数学教学中务必精耕细作。使用的教材是新课程标准实验教材《湘教版数学九年级上册》，如何用新理念使用好新课程标准教材？如何在教学中贯彻新课标精神？这要求在教学过程中具有创新意识、每一个教学环节都必须巧做安排。为此，特制定本计划。 二、指导思想： 以党和国家的教育教学方针为指导,按照九年义务教育数学课程标准来实施,其目的是教书育人,使每个学生都能够在数学学习过程中获得最适合自己的发展。通过初三数学的教学，提供参加生产实践和进一步学习所必需的数学基础知识与基本技能，进一步培养学生的运算能力、思维能力和空间想象能力，能够运用所学知识解决实际问题，培养学生的数学创新意识、良好个性品质以及初步的唯物主义观。 三、教学内容： 本学期所教初三数学包括第一章一元二次方程，第二章命题定理与证明，第三章解直角三角形，第四章相似形，第五章概率的计算。 四、教学目的： 教育学生掌握基础知识与基本技能，培养学生的逻辑思维能力、运算能力、空间观念和解决简单实际问题的能力，使学生逐步学会正确、合理地进行运算，逐步学会观察分析、综合、抽象、概括。会用归纳演绎、类比进行简单的推理。使学生懂得数学来源与实践又反过来作用于实践。提高学习数学的兴趣，逐步培养学生具有良好的学习习惯，实事求是的态度。顽强的学习毅力和独立思考、探索的新思想。培养学生应用数学知识解决问题的能力。 知识技能目标:掌握一元二次方程的有关概念;会解一元二次方程;能建立一元二次方程的模型解决实际问题；理解命题、定理、证明等概念；能正确写出证明；掌握锐角三角函数的性质;理解直角三角形的性质；能运用三角函数及勾股 定理解直角三角形；掌握相似三角形的概念、性质及判定方法;掌握概率的计算方法；理解概率在生活中的应用。 过程方法目标:培养学生的观察、探究、推理、归纳的能力,发展学生合情 推理能力、逻辑推理能力和推理认证表达能力,提高知识综合应用能力。 态度情感目标:进一步感受数学与日常生活密不可分的联系,同时对学生进 行辩证唯物主义世界观教育。 通过讲授证明的有关知识，使学生经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理论证能力，并能运用这些知识进行论证、计算、和简单的作图。进 第1章反比例函数 1.1反比例函数 一二旧知链接 1.下面的函数是反比例函数的是(). A.y=3x+1 B.y=x2+2x C.y=x2 D.y=3x 2.形如y=k x(k是常数,)的函数称为,其中x是,y是.自变量x 的取值范围是不等于0的一切实数. 3.下列函数中,属于反比例函数的是. ①y=2x+1;②y=2x2;③y=15x;④y=-23x;⑤x y=3;⑥2y=x;⑦x y=-1. 二二新知速递 1.在函数y=3x中,自变量x的取值范围是(). A.x?0 B.x>0 C.x<0 D.一切实数 2.若函数y=k x k-2是反比例函数,则k=. 3.列出下列问题中的函数表达式,并指出它们是什么函数. (1)某农场的粮食总产量为1500t,则该农场人数y(人)与平均每人占有粮食x(t)的函数表达式; (2)在加油站,加油机显示器上显示的某一种油的单价为每升4.75元,总价从0元开始随着加油量的变化而变化,则总价y(元)与加油量x(L)的函数表达式; (3)小明完成100m赛跑时,时间t(s)与他跑步的平均速度v(m/s)之间的函数表达式. 1.在反比例函数y=2x中,自变量x的取值范围是(). A.x?0 B.x>0 C.x<0 D.一切实数 2.当路程s一定时,速度v与时间t之间的函数关系是(). A.正比例函数 B.反比例函数 C.一次函数 D.二次函数 3.函数y=2k+1x是反比例函数,则k的取值范围是(). A.k?-12 B.k>-12 C.k<-12 D.k?0 4.若y与x成正比例,y与z成反比例,则下列说法正确的是(). A.z是x的正比例函数 B.z是x的反比例函数 C.z是x的一次函数 D.z不是x的函数 5.下列说法正确的是(). A.圆面积公式S=πr2中,S与r成正比例关系 B.三角形面积公式S=12a h中,当S是常量时,a与h成反比例关系 C.y=1x+1中,y与x成反比例关系 D.y=x-12中,y与x成正比例关系 6.在温度不变的情况下,一定质量的气体的压强p与它的体积V成反比例,当V=200时,p=50,则p =25时,V=. 7.在平面直角坐标系x O y中,点P到x轴的距离为3个单位长度,到原点O的距离为5个单位长度,则经过点P的反比例函数的表达式为. 8.已知y是x的反比例函数,当x=2时,y=-6. (1)求y与x的函数表达式; (2)当x=4时,求y的值. 基础训练 1.下列问题中两个变量间的函数表达式是反比例函数的是(). A.小红1分钟可以制作2朵花,x分钟可以制作y朵花 B.体积10c m3的长方体,高为h c m时,底面积为S c m2 C.用一根长50c m的铁丝弯成一个矩形,一边长为x c m时,面积为y c m2 D.小李接到一次检修管道的任务,已知管道长100m,设每天能完成10m,x天后剩下的未检修的管道长为y m 2.若函数y=(m+2)x2m+1是反比例函数,则m的值为(). A.-2 B.1 C.2或1 D.-1 3.若y与-3x成反比例,x与z成正比例,则y是z的(). A.正比例函数 B.反比例函数 C.一次函数 D.不能确定 期末测试(一) (时间：90分钟 满分：120分) 题号 一 二 三 总分 合分人 复分人 得分 一、选择题(每小题3分，共24分) 1．下列函数：①y ＝－2x ；②y ＝－x 2；③y ＝2x －1；④y ＝1 x －2.其中是反比例函数的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2．(厦门模拟)两个相似三角形的面积比为1∶4，那么它们的对应边的比为( ) A ．1∶16 B ．16∶1 C ．1∶2 D ．2∶1 3．关于x 的一元二次方程x 2－6x ＋2k ＝0有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是( ) A ．k ≤92 B ．k ＜9 2 C ．k ≥92 D ．k ＞9 2 4．计算cos60°－sin30°＋tan45°的结果为( ) A ．2 B ．－2 C ．1 D ．－1 5．某农科院对甲、乙两种甜玉米各用10块相同条件的试验田进行试验，得到两个品种每公顷产量的两组数据，其 方差分别为s 2甲＝0.002，s 2乙 ＝0.03，则( ) A ．甲比乙的产量稳定 B ．乙比甲的产量稳定 C ．甲、乙的产量一样稳定 D ．无法确定哪一品种的产量更稳定 6．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，c ＝10，则下列不正确的是( ) A ．∠ B ＝60° B ．a ＝5 C ．b ＝5 3 D ．tanB ＝ 33 7．如图，AB ∥CD ，AC 、BD 、EF 相交于点O ，则图中相似三角形共有( ) A ．1对 B ．2对 C ．3对 D ．4对 8．如图，将矩形ABCD 沿对角线BD 折叠，使点C 落在点C′处，BC ′交AD 于点E ，则下列结论不一定成立的是( ) A ．AD ＝BC′ B ．∠EBD ＝∠EDB C ．△ABE ∽△CB D D ．sin ∠AB E ＝AE ED 九（上）数学知识点 第一章 反比例函数 反比例函数及其图象的性质 1．函数解析式：（） 2．自变量的取值范围： 3．图象：（1）图象的形状：双曲线． 越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直． 越小，图象的弯曲度越大． （2）图象的位置和性质： 与坐标轴没有交点 当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y 随x 的增大而减 小； 当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y 随x 的增大而增大． 第二章 一元二次方程 （1）一元二次方程：只含有一个未知数x 的整式方程，并且都可以化作ax 2 +bx+c=0(a,b,c 为常数，a ≠0)的形式。 （2）一元二次方程的一般式及各系数含义 一般式：ax 2 +bx+c=0(a,b,c 为常数，a ≠0)，其中，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项。 1、直接开平方法 2、分解因式法：（1、提公因式法；2、公式法； 3、十字交叉相乘法） 3、配方法：加上一次项系数一半的平方。 4、公式法 （1）根的判别式：2 4b ac ?=-，?>0时，方程有两不等实数根；?=0时，方程有两相 同实数根；?<0时，方程无实数根。 （2）求根公式 ： 当2 4b ac ?=-≥0时，x=a ac b b 242-±- （3）韦达定理：12b x x a +=- ,12c x x a ?= 第三章 图形的相似 1、 线段的比 一般地， 在四条线段中， 如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫作成比例线段 2、比例的基本性质 如果 a c b d =， 那么ａｄ ＝ ｂｃ． 3、相似三角形的性质和判定 三个角对应相等， 且三条边对应成比例的两个三角形叫作相似三角形． 如果△Ａ′Ｂ′Ｃ′与△ＡＢＣ 相似， 且Ａ′， Ｂ′， Ｃ′分别与Ａ， Ｂ， Ｃ 对应， 那么记作△Ａ′Ｂ′Ｃ′∽△ＡＢＣ，读作“△Ａ′Ｂ′Ｃ′相似于△ＡＢＣ”．相似三角形的对应边的比ｋ叫作相似比 判定定理１ 三边对应成比例的两个三角形相似． 判定定理２ 两角对应相等的两个三角形相似. 判定定理３ 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。 相似三角形周长的比等于相似比， 相似三角形面积的比等于相似比的平方 4、相似多边形 把对应角相等， 并且对应边成比例的两个多边形叫作相似多边形．相似多边形的对应边的比ｋ 叫作相似比． 相似多边形周长的比等于相似比， 相似多边形面积的比等于相似比的平方． 取定一点Ｏ， 把图形上任意一点Ｐ 对应到射线ＯＰ （或它的反向延长线）上一点Ｐ ′ ， 使得线段ＯＰ ′与ＯＰ 的比等于常数ｋ（ｋ ＞ ０）， 点Ｏ 对应到它自身， 这种变换叫 湘教版九年级上册初中数学 全册试卷 （5套单元试卷+1套期中试卷+1套期末试卷） 第1章测试卷 一、选择题(每题3分，共24分) 1．下面的函数是反比例函数的是() A．y＝ 3 x－1 B．y＝ x 2C．y＝ 1 3x D．y＝ －1 x3 2．反比例函数的图象经过点(－2，3)，则此函数的图象也经过点() A．(2，－3) B．(－3，－3) C．(2，3) D．(－4，6) 3．若反比例函数y＝k－1 x的图象位于第一、三象限，则k的取值可能是() A．－1 B．0 C．1 D．2 4．已知反比例函数y＝－2 x，下列结论不正确的是() A．图象必经过点(－1，2) B．y随x的增大而减小 C．图象位于第二、四象限D．若x＞1，则－2＜y＜0 5．某厂现有300吨原材料，这些原材料的使用天数y与平均每天消耗的吨数x 之间的函数表达式是() A．y＝300 x(x＞0) B．y＝ 300 x(x≥0) C．y＝300x(x≥0) D．y＝300x(x＞0) 6．反比例函数y＝2 x的图象上有两个点(x1，y1)，(x2，y2)，且x1 A B C D 8．在学完反比例函数图象的画法后，嘉琪同学画出了函数y＝a x－1的图象，如 图所示，那么关于x的分式方程a x－1＝2的解是() A．x＝1 B．x＝2 C．x＝3 D．x＝4 二、填空题(每题4分，共32分) 9．反比例函数y＝－5 x的自变量x的取值范围是________________． 10．反比例函数y＝k x的图象经过点(3，－3)，则k的值为________． 11．若正比例函数y＝－2x与反比例函数y＝k x的图象的一个交点坐标为(－1，2)， 则另一个交点的坐标为____________． 12．在某一电路中，保持电压不变，电流I(A)与电阻R(Ω)成反比例，其图象如图所示，则这一电路的电压为________V. 13．如图，菱形OABC的顶点C的坐标为(3，4)，顶点A在x轴的正半轴上．反 比例函数y＝k x(x>0)的图象经过顶点B，则k的值为____________． 14．已知点P(m，n)在直线y＝x＋3上，也在双曲线y＝2 x上，则m 2＋n2的值为 人教版七年级上册语文专项训练学法大视野答案 篇一：新人教版七年级语文上册课内现代文阅读训练题(含答案) 七年级语文上册期末专题复习 课内现代文阅读训练 一、阅读《散步》第6——8段（原文略），做题。 1.母亲人老了，“要走大路”因为“大路平顺”，儿子“要走小路”，因为“小路有意思”，为什么意见发生分歧后，母亲又选择了走小路？答：因为母亲有涵养，谦让，而且很疼爱孙子，即使自己行走不便，也要宠着孙子。这是老一辈人的奉献精神。 2.当母亲、孩子、妻子都等着“我”来选择走哪条路的时候，为什么“一霎时，我感到了责任的重大”？ 因为无论是母亲、儿子还是妻子都依靠我，都依从我的选择和决定，所以我意识到自己的责任重大。 3.如何理解“她的眼随小路望去：那里有金色的菜花，两行整齐的桑树，尽头一口水波粼粼的鱼塘”这句话的含义？ 小路其实也很美，也充满着旺盛的生命力，正像孙子说的“有意思”。这也是母亲决定走小路的原因，展示了母亲热爱生命而且也充分理解孙子的内心。 4.如何理解“但我和妻子都是慢慢地，稳稳地，走得很仔细，好像我背上的同她背上的加起来，就是整个世界”这句话的含义？ “走得很仔细”表明“我”和妻子尊老爱幼，怕因闪失给孩子和老人带来伤害。“整个世界”可以这样理解：一个是老人，代表着业已过去的时代和世界；一个是孩子，代表着刚刚开始的时代和未来的世界。背着这个“世界”的“我”和妻子作为中年人，起着顶梁柱的作用，从家庭到国家，都是如此。这带有象征性的句子，深化了全文的中心思想表现了中华民族“尊老爱幼”的传统美德。 二、阅读《秋天的怀念》（原文略），做题。 1.双腿瘫痪后，“我”的脾气变得暴怒无常。请在原文中找出相应的句子来。 望着望着天上北归的雁阵——我会猛地把手边的东西摔向四周的墙壁。 2.说说你对“母亲就悄悄地躲出去，在我看不见的地方偷偷地听着我的动静”这句话的理解。母亲充分体谅儿子的痛苦心情，所以在儿子发脾气时，悄悄躲出去，让儿子彻底发泄心中的痛苦，但又担心儿子做出“傻事”，就偷偷地听着儿子的动静。 3.文中母亲说“好好儿活”和“我”说的“要好好儿活”各有什么含义？ 母亲说“好好儿活”指母子俩都要战胜病魔。我说的“要好好儿活”是指为了母亲，我和妹妹要坚强地活下去。 4.文章中的母亲令人难忘，请结合具体内容，谈谈文中母亲给你留下的最深的印象。历史七年级上学法大视野答案
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