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n次独立重复试验及二项分布

n 次独立重复试验及二项分布

一基础知识

1.条件概率及其性质

(1)条件概率的定义：对于任何两个事件A 和B ，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做条件概率，用符号P (B |A )来表示，其公式为P (B |A )＝P (AB )

P (A )

(P (A )＞0).

(2)条件概率的性质 ①非负性：0≤P (B |A )≤1；

②可加性：如果B 和C 是两个互斥事件，则P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A ). 2.相互独立事件

(1)对于事件A ，B ，若事件A 的发生与事件B 的发生互不影响，则称事件A ，B 是相互独立事件.

(2)若P (AB )＝P (A )P (B )，则A 与B 相互独立.

(3)若A 与B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立. (4)若A 与B 相互独立，则P (B |A )＝P (B )， P (AB )＝P (B |A )P (A )＝P (A )P (B ).

(5)一般地，如果事件A 1，A 2，…，A n (n ＞2，n ∈N *)相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P (A 1A 2…A n )＝P (A 1)P (A 2)·…·P (A n ).

互斥事件与相互独立事件的相同点与不同点

(1)相同点：二者都是描述两个事件间的关系；

(2)不同点：互斥事件强调两事件不可能同时发生，即P (AB )＝0，相互独立事件则强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响.

3.独立重复试验与二项分布

(1)独立重复试验：一般地，在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验. 独立重复试验的条件：①每次试验在相同条件下可重复进行；②各次试验是相互独立的；③每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生.

(2)二项分布：一般地，在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为X ，在每次试验

中事件A 发生的概率为p ，则事件A 恰好发生k 次的概率为P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )

n －

k ，k ＝0,1,2，…，n ，则称随机变量X 服从二项分布，记作X ～B (n ，p )，并称p 为成功概率.

判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点：,(1)是否为n 次独立重复试验；,(2)

随机变量是否为某事件在这n 次独立重复试验中发生的次数.

考点一条件概率

[典例精析](1)(2019·合肥模拟)将三颗骰子各掷一次，记事件A 为“三个点数都不同”，B 为“至少出现一个6点”，则条件概率P (A |B )＝__________，P (B |A )＝________. (2)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝________.

[解析] (1)P (A |B )的含义是在事件B 发生的条件下，事件A 发生的概率，即在“至少出现一个6点”的条件下，“三个点数都不相同”的概率，因为“至少出现一个6点”有6×6×6－5×5×5＝91种情况，“至少出现一个6点，且三个点数都不相同”共有C 13×5×4＝60种情况，所以P (A |B )＝6091.P (B |A )的含义是在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率，

即在“三个点数都不相同”的条件下，“至少出现一个6点”的概率，因为“三个点数都不同”有6×5×4＝120种情况，所以P (B |A )＝12

(2)P (A )＝C 23＋C 2

2C 2

5＝410＝25，P (AB )＝C 22

C 25＝110

，由条件概率公式，得P (B |A )＝P (AB )P (A )

＝1

1025

＝1

[答案] (1)6091 12 (2)1

[题组训练]

1.(2019·石家庄摸底)某种电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为12，两次闭合后都出现红灯的概率为1

5，则开关在第一次闭合后出现红灯

的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为________.

解析：设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件A ，“开关第二次闭合后出现红灯”为事件B ，则“开关两次闭合后都出现红灯”为事件AB ，“开关在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯”为事件B |A ，由题意得P (B |A )＝P (AB )P (A )＝2

答案：25

2.现有3道理科题和2道文科题共5道题，若不放回地一次抽取2道题，则在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为________.

解析：法一：设第1次抽到理科题为事件A ，第2次抽到理科题为事件B ，则P (B |A )＝

P (AB )P (A )

＝3×2A 2

535

＝1

法二：在第1次抽到理科题的条件下，还有2道理科题和2道文科题，故在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为1

答案：12

考点二相互独立事件的概率

[典例精析](1)设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为

0.6,0.5,0.5,0.4，各人是否需使用设备相互独立，则同一工作日至少3人需使用设备的概率为

________.

(2)某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为________.

[解析] (1)设甲、乙、丙、丁需使用设备分别为事件A ，B ，C ，D ，则P (A )＝0.6，P (B )＝P (C )＝0.5，P (D )＝0.4，恰好3人使用设备的概率P 1＝P (A BCD ＋A B CD ＋AB C D ＋ABC D )＝(1－0.6)×0.5×0.5×0.4＋0.6×(1－0.5)×0.5×0.4＋0.6×0.5×(1－0.5)×0.4＋0.6×0.5×0.5×(1－0.4)＝0.25，4人使用设备的概率P 2＝0.6×0.5×0.5×0.4＝0.06，故所求概率P ＝0.25＋0.06＝0.31.

(2)依题意，该选手第2个问题回答错误，第3,4个问题均回答正确，第1个问题回答正误均有可能，则所求概率P ＝1×0.2×0.82＝0.128.

[答案] (1)0.31 (2)0.128 [变式发散]

1.(变设问)保持本例(2)条件不变，则该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为________.

解析：依题意，该选手第3个问题的回答是错误的，第4,5个问题均回答正确，第1,2个问题回答均错误或有且只有1个错误，则所求概率P ＝0.23×0.82＋2×0.2×0.8×0.2×0.82＝0.005 12＋0.040 96＝0.046 08.

答案：0.046 08

2.(变设问)保持本例(2)条件不变，则该选手回答了5个问题(5个问题必须全部回答)就结束的概率为________.

解析：依题意，设答对的事件为A ，可分第3个回答正确与错误两类，若第3个回答正

确，则有A A A A 或A A A A 两类情况，其概率为：0.8×0.2×0.8×0.2＋0.2×0.2×0.8×0.2＝0.025 6＋0.006 4＝0.032.若该选手第3个问题的回答是错误的，第1,2个问题回答均错误或有且只有1个错误，则所求概率P ＝0.23＋2×0.2×0.8×0.2＝0.008＋0.064＝0.072.所以所求概率为0.032＋0.072＝0.104.

答案：0.104

[题组训练]

1.在高三的某次模拟考试中，对于数学选修4系列的考查中，甲同学选做《不等式选讲》的概率为13，乙同学选做《不等式选讲》的概率为1

4，假定二人的选择相互之间没有影响，那

么这次模拟考试中甲、乙两个同学至少有1人选做《不等式选讲》的概率为________.

解析：记高三的某次模拟考试中“甲同学不选做《不等式选讲》”为事件A ，“乙同学不选做《不等式选讲》”为事件B ，且A ，B 相互独立.

依题意，P (A )＝1－13＝23，P (B )＝1－14＝34，

所以P (AB )＝P (A )·P (B )＝23×34＝1

又因为甲、乙二人至少有一人选做《不等式选讲》的对立事件为甲、乙二人都不选做《不等式选讲》，所以所求概率为1－P (AB )＝1－12＝12

答案：12

2.从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，1

(1)设X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X 的分布列； (2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率. 解：(1)随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3，则P (X ＝0)＝????1－12×????1－13×????1－14＝14

， P (X ＝1)＝1

2×????1－13×????1－14＋????1－12×13×????1－14＋????1－12×????1－13×14＝1124， P (X ＝2)＝????1－12×13×14＋12×????1－13×14＋12×13×????1－14＝14， P (X ＝3)＝12×13×14＝1

24.

所以随机变量X 的分布列为

(2)设Y 表示第一辆车遇到红灯的个数，Z 表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为

P (Y ＋Z ＝1)＝P (Y ＝0，Z ＝1)＋P (Y ＝1，Z ＝0) ＝P (Y ＝0)P (Z ＝1)＋P (Y ＝1)P (Z ＝0) ＝14×1124＋1124×14 ＝1148

. 所以这2辆车共遇到1个红灯的概率为11

48.

考点三独立重复试验与二项分布

[典例精析]九节虾的真身是虎斑虾，虾身上有一深一浅的横向纹路，煮熟后有明显的九节白色花纹，肉味鲜美.某酒店购进一批九节虾，并随机抽取了40只统计质量，得到的结果

如下表所示：

(1)若购进这批九节虾35 000 g ，且同一组数据用该组区间的中点值代表，试估计这批九节虾的数量(所得结果保留整数)；

(2)以频率估计概率，若在本次购买的九节虾中随机挑选4只，记质量在[5,25)间的九节虾的数量为X ，求X 的分布列.

[解] (1)由表中数据可以估计每只九节虾的质量为

×(4×10＋12×20＋11×30＋8×40＋5×50)＝29.5(g)，因为35 000÷29.5≈1 186(只)，所以这批九节虾的数量约为1 186只.

(2)由表中数据知，任意挑选1只九节虾，质量在[5,25)间的概率p ＝4＋1240＝2

5，X 的所有可

能取值为0,1,2,3,4，

则P (X ＝0)＝????354＝81

625，

P (X ＝1)＝C 14

×25×????353＝216625， P (X ＝2)＝C 24

×????252×????352＝216625，

P (X ＝3)＝C 34×????253×35＝96625

， P (X ＝4)＝????254＝16

625. 所以X 的分布列为

[题组训练]

1.甲、乙两名运动员练习定点投球，已知在该点每次投篮甲命中的概率是0.8，乙命中的概率是0.9，每人投两次，则甲、乙都恰好命中一次的概率为( )

A.0.32

B.0.18

C.0.50

D.0.057 6

解析：选D 甲命中一次的概率为C 12×0.8×(1－0.8)＝0.32，乙命中一次的概率为C 1

×0.9×(1－0.9)＝0.18，他们投篮命中与否相互独立，所以甲、乙都恰好命中一次的概率为P ＝0.32×0.18＝0.057 6.

2.一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分).设每次击鼓出现音乐的概率为1

，且各次击鼓出现音乐相互独立.

(1)设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的分布列； (2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率为多少？解：(1)X 可能的取值为10,20,100，－200. 根据题意，有

P (X ＝10)＝C 13×????121×????1－122＝38

， P (X ＝20)＝C 23

×????122×????1－121＝38， P (X ＝100)＝????123＝1

8， P (X ＝－200)＝????1－123＝1

8. 所以X 的分布列为

(2)设“第i 盘游戏没有出现音乐”为事件A i (i ＝1,2,3)，则P (A 1)＝P (A 2)＝P (A 3)＝P (X ＝－200)＝1

所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为 1－P (A 1A 2A 3)＝1－????183＝1－1512＝511

512

. 因此，玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率为511512

[课时跟踪检测]

A 级

1.如果生男孩和生女孩的概率相等，则有3个小孩的家庭中女孩多于男孩的概率为( )

A.2

3 B.12 C.34

D.14

解析：选B 设女孩个数为X ，女孩多于男孩的概率为P (X ≥2)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝C 23×????122×12＋C 33×????123＝3×18＋18＝12

. 2.(2018·广西三市第一次联考)某机械研究所对新研发的某批次机械元件进行寿命追踪调查，随机抽查的200个机械元件情况如下：

命在30天以上的概率为( )

A.1316

B.2764

C.2532

D.2732

解析：选D 由表可知元件使用寿命在30天以上的频率为150200＝34

，则所求概率为C 23????342

×14＋????343＝27

. 3.(2019·武汉调研)小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事

件A 为“4个人去的景点不相同”，事件B 为“小赵独自去一个景点”，则P (A |B )＝( )

A.29

B.13

C.49

D.59

解析：选A 小赵独自去一个景点共有4×3×3×3＝108种情况，即n (B )＝108,4个人去的景点不同的情况有A 44

＝4×3×2×1＝24种，即n (AB )＝24，∴P (A |B )＝n (AB )n (B )＝24108＝2

. 4.甲、乙两个小组各10名学生的英语口语测试成绩如下(单位：分). 甲组：76,90,84,86,81,87,86,82,85,83 乙组：82,84,85,89,79,80,91,89,79,74

现从这20名学生中随机抽取一人，将“抽出的学生为甲组学生”记为事件A ；“抽出的学生的英语口语测试成绩不低于85分”记为事件B ，则P (AB )，P (A |B )的值分别是( )

A.14，59

B.14，49

C.15，59

D.15，49

解析：选A 由题意知，P (AB )＝1020×510＝14，根据条件概率的计算公式得P (A |B )＝

P (AB )

P (B )＝1

4920

＝59. 5.在一个质地均匀的小正方体的六个面中，三个面标0，两个面标1，一个面标2，将这个小正方体连续抛掷两次，若向上的数字的乘积为偶数，则该乘积为非零偶数的概率为( )

A.14

B.89

C.116

D.532

解析：选D 两次数字乘积为偶数，可先考虑其反面——只需两次均出现1向上，故两次数字乘积为偶数的概率为1－????262＝8

9；若乘积非零且为偶数，需连续两次抛掷小正方体的情况为(1,2)或(2,1)或(2,2)，概率为13×16×2＋16×16＝5

36.故所求条件概率为5

3689

＝532

6.设由0,1组成的三位编号中，若用A 表示“第二位数字为0的事件”，用B 表示“第一位数字为0的事件”，则P (A |B )＝________.

解析：因为第一位数字可为0或1，所以第一位数字为0的概率P (B )＝1

，第一位数字为0且第二

位数字也是0，即事件A ，B 同时发生的概率P (AB )＝12×12＝14，所以P (A |B )＝P (AB )P (B )＝1

412

＝1

答案：12

7.事件A ，B ，C 相互独立，如果P (AB )＝16，P (B C )＝18，P (AB C )＝1

8，则P (B )＝________，

P (A B )＝________.

解析：由题意得?????

P (A )·P (B )＝16

， ①

P (B )·P (C )＝1

， ②P (A )·P (B )·P (C )＝18

， ③

由③÷①得P (C )＝34，所以P (C )＝1－P (C )＝1－34＝14.将P (C )＝14代入②得P (B )＝1

2，

所以P (B )＝1－P (B )＝12，由①可得P (A )＝13，所以P (A B )＝P (A )·P (B )＝23×12＝1

答案：12 1

8.某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第17,18,19,20层停靠，若该电梯在底层有5个乘客，且每位乘客在这四层的每一层下电梯的概率为1

4，用ξ表示5位乘客在第20层下电

梯的人数，则P (ξ＝4)＝________.

解析：考查一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验，故ξ～B ????5，14，即有P (ξ＝k )＝C k 5????14k ×????345－k ，k ＝0,1,2,3,4,5.故P (ξ＝4)＝C 45????144×????341＝151 024

. 答案：

1 024

9.挑选空军飞行员可以说是“万里挑一”，要想通过需要过五关：目测、初检、复检、文考(文化考试)、政审.若某校甲、乙、丙三位同学都顺利通过了前两关，根据分析甲、乙、丙三位同学能通过复检关的概率分别是0.5,0.6,0.75，能通过文考关的概率分别是0.6,0.5,0.4，由于他们平时表现较好，都能通过政审关，若后三关之间通过与否没有影响.

(1)求甲、乙、丙三位同学中恰好有一人通过复检的概率； (2)设只要通过后三关就可以被录取，求录取人数X 的分布列.

解：(1)设A ，B ，C 分别表示事件“甲、乙、丙通过复检”，则所求概率P ＝P (A B C )＋P (A B C )＋P (A B C )＝0.5×(1－0.6)×(1－0.75)＋(1－0.5)×0.6×(1－0.75)＋(1－0.5)×(1－0.6)×0.75＝0.275.

(2)甲被录取的概率为P 甲＝0.5×0.6＝0.3，同理P 乙＝0.6×0.5＝0.3，P 丙＝0.75×0.4＝0.3.

∴甲、乙、丙每位同学被录取的概率均为0.3，故可看成是独立重复试验，即X ～B (3,0.3)，

X 的可能取值为0,1,2,3，其中P (X ＝k )＝C k 3(0.3)k

(1－0.3)3－

k ，k ＝0,1,2,3. 故P (X ＝0)＝C 03×0.30×(1－0.3)3

＝0.343， P (X ＝1)＝C 13×0.3×(1－0.3)2＝0.441， P (X ＝2)＝C 23×0.32×(1－0.3)＝0.189， P (X ＝3)＝C 33×0.33＝0.027，

故X 的分布列为

10.甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别为23和3

4.假设两人射击是否击中目标相

互之间没有影响，每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响.

(1)求甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率；

(2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；

(3)假设每人连续2次未击中目标，则终止其射击.问：乙恰好射击5次后，被终止射击的概率为多少？

解：(1)记“甲连续射击4次，至少有1次未击中目标”为事件A 1，则事件A 1的对立事件A 1为“甲连续射击4次，全部击中目标”.由题意知，射击4次相当于做4次独立重复试验.

故P (A 1)＝C 44????234＝1681

. 所以P (A 1)＝1－P (A 1)＝1－1681＝65

所以甲连续射击4次，至少有一次未击中目标的概率为65

(2)记“甲射击4次，恰好有2次击中目标”为事件A 2，“乙射击4次，恰好有3次击中目标”为事件B 2，

则P (A 2)＝C 24

×????232×????1－232＝827， P (B 2)＝C 34????343×????1－341＝2764. 由于甲、乙射击相互独立，故P (A 2B 2)＝P (A 2)P (B 2)＝827×2764＝1

所以两人各射击4次，甲恰有2次击中目标且乙恰有3次击中目标的概率为1

(3)记“乙恰好射击5次后，被终止射击”为事件A 3，“乙第i 次射击未击中”为事件D i (i ＝1,2,3,4,5)，

则A 3＝D 5D 4D 3(D 2

D 1∪D 2D 1∪D 2D 1)，

且P (D i )＝1

由于各事件相互独立，故 P (A 3)＝P (D 5)P (D 4)P (D 3)P (D

D 1＋D 2D 1＋D 2D 1)

＝14×14×34×?

???1－14×14＝451 024. 所以乙恰好射击5次后，被终止射击的概率为45

1 024

B 级

1.箱子里有5个黑球，4个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新取球；若取出白球，则停止取球，那么在第4次取球之后停止的概率为( )

A.C 35C 14C 45

B.????593×49

C.35×1

D.C 14×????593×49

解析：选B 由题意知，第四次取球后停止是当且仅当前三次取的球是黑球，第四次取的球是白球的情况，此事件发生的概率为????593×4

2.已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为( )

A.3

10 B.29 C.78

D.79

解析：选D 设事件A 为“第1次抽到的是螺口灯泡”，事件B 为“第2次抽到的是卡口灯泡”，则P (A )＝310，P (AB )＝310×79＝730.则所求概率为P (B |A )＝P (AB )P (A )

＝7

30310

＝7

3.为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售.已知某产品第一轮检测

不合格的概率为16，第二轮检测不合格的概率为1

10，两轮检测是否合格相互没有影响.若产品

可以销售，则每件产品获利40元；若产品不能销售，则每件产品亏损80元.已知一箱中有4件产品，记一箱产品获利X 元，则P (X ≥－80)＝________.

解析：由题意得该产品能销售的概率为????1－16????1－110＝3

4.易知X 的所有可能取值为－320，－200，－80,40,160，设ξ表示一箱产品中可以销售的件数，则ξ～B ????4，3

4，所以P (ξ＝k )＝C k 4????34k ????144－k

，

所以P (X ＝－80)＝P (ξ＝2)＝C 24????342????142＝27128，

P (X ＝40)＝P (ξ＝3)＝C 34????343????141＝2764， P (X ＝160)＝P (ξ＝4)＝C 44????344????140＝81256

，故P (X ≥－80)＝P (X ＝－80)＋P (X ＝40)＋P (X ＝160)＝243256.

答案：243256

4.从某市的高一学生中随机抽取400名同学的体重进行统计，得到如图所示的频率分布直方图.

(1)估计从该市高一学生中随机抽取一人，体重超过60 kg 的概率； (2)假设该市高一学生的体重X 服从正态分布N (57，σ2).

①利用(1)的结论估计该高一某个学生体重介于54～57 kg 之间的概率；

②从该市高一学生中随机抽取3人，记体重介于54～57 kg 之间的人数为Y ，利用(1)的结论，求Y 的分布列.

解：(1)这400名学生中，体重超过60 kg 的频率为(0.04＋0.01)×5＝1

4，

由此估计从该市高一学生中随机抽取一人，体重超过60 kg 的概率为1

(2)①∵X ～N (57，σ2)，由(1)知P (X ＞60)＝1

，

∴P (X ＜54)＝1

，

∴P (54＜X ＜60)＝1－2×14＝1

2，

∴P (54＜X ＜57)＝12×12＝1

，

即高一某个学生体重介于54～57 kg 之间的概率为1

②∵该市高一学生总体很大，∴从该市高一学生中随机抽取3人，可以视为独立重复试验，其中体重介于54～57 kg 之间的人数Y ～B ????3，14，其中P (Y ＝i )＝C i 3????14i ????343－i

，i ＝0,1,2,3. ∴Y 的分布列为

5.为了适当疏导电价矛盾，保障电力供应，支持可再生能源发展，促进节能减排，某省于2018年推出了省内居民阶梯电价的计算标准：以一个年度为计费周期、月度滚动使用，第一阶梯电量：年用电量2 160度以下(含2 160度)，执行第一档电价0.565 3元/度；第二阶梯电量：年用电量2 161至4 200度(含4 200度)，执行第二档电价0.615 3元/度；第三阶梯电量：年用电量4 200度以上，执行第三档电价0.865 3元/度.

某市的电力部门从本市的用电户中随机抽取10户，统计其同一年度的用电情况，列表如下表：

(2)现要在这10户家庭中任意选取4户，对其用电情况作进一步分析，求取到第二阶梯电量的户数的分布列；

(3)以表中抽到的10户作为样本估计全市的居民用电情况，现从全市居民用电户中随机地抽取10户，若抽到k 户用电量为第一阶梯的可能性最大，求k 的值.

解：(1)因为第二档电价比第一档电价多0.05元/度，第三档电价比第一档电价多0.3元/度，编号为10的用电户一年的用电量是4 600度，则该户本年度应交电费为4 600×0.565 3＋(4 200－2 160)×0.05＋(4 600－4 200)×0.3＝2 822.38(元).

(2)由题表可知，10户中位于第二阶梯电量的有4户，设取到第二阶梯电量的用户数为

ξ，则ξ可取0,1,2,3,4.

P (ξ＝0)＝C 04C 46C 410＝114，P (ξ＝1)＝C 14C 36C 410＝821，P (ξ＝2)＝C 24C 26C 410＝37，P (ξ＝3)＝C 34C 16

C 410＝435，

P (ξ＝4)＝C 44C 0

C 410＝1210

，

故ξ的分布列为

(3)由题意可知从全市中抽取10户，用电量为第一阶梯的户数满足X ～B ?

???10，2

5，可知P (X ＝k )＝C k 10????25k ·???

?3510－k (k ＝0,1,2,3，…，10). 由???

C k 10????25k ????3510－k ≥C k ＋110

????25k ＋1????359－k ，

k 10????25k ????3510－k ≥C k －110????25k －1????3511－k

，

解得175≤k ≤22

.又k ∈N *，所以当k ＝4时概率最大，故k ＝4.

高考数学(理)总复习讲义： n次独立重复试验及二项分布

第七节n 次独立重复试验及二项分布 1.条件概率及其性质 (1)条件概率的定义：对于任何两个事件A 和B ，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做条件概率，用符号P (B |A )来表示，其公式为P (B |A )＝P (AB ) P (A ) (P (A )＞0). (2)条件概率的性质 ①非负性：0≤P (B |A )≤1； ②可加性：如果B 和C 是两个互斥事件，则P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A ). 2.相互独立事件 (1)对于事件A ，B ，若事件A 的发生与事件B 的发生互不影响，则称事件A ，B 是相互独立事件. (2)若P (AB )＝P (A )P (B )，则A 与B 相互独立. (3)若A 与B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立. (4)若A 与B 相互独立，则P (B |A )＝P (B )， P (AB )＝P (B |A )P (A )＝P (A )P (B ). (5)一般地，如果事件A 1，A 2，…，A n (n ＞2，n ∈N *)相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P (A 1A 2…A n )＝P (A 1)P (A 2)·…·P (A n ). 互斥事件与相互独立事件的相同点与不同点 (1)相同点：二者都是描述两个事件间的关系； (2)不同点：互斥事件强调两事件不可能同时发生，即P (AB )＝0，相互独立事件则强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响. 3.独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验：一般地，在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验. 独立重复试验的条件：①每次试验在相同条件下可重复进行；②各次试验是相互独立的；③每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生. (2)二项分布：一般地，在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为X ，在每次试验中事件A 发生的概率为p ，则事件A 恰好发生k 次的概率为P (X ＝k )＝C k n p k (1－p ) n － k ，k ＝0,1,2，…，n ，则称随机变量X 服从二项分布，记作X ～B (n ，p )，并称p 为成功概率. 判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点：,(1)是否为n 次独立重复试验；,(2)随机变量是否为某事件在这n 次独立重复试验中发生的次数.

独立重复试验教案

独立重复试验教案教学目的使学生了解独立重复试验的实际背景和能利用其法则进行实际计算．教学重点和难点独立重复试验的概念及其公式推导． (教学方法：讲练结合) 教学过程 1．独立重复试验的意义独立重复试验，又叫做贝努里试验，是在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验，这种试验在概率论中占有相当重要的地位，因为随机现象的统计规律只有在大量独立重复试验中才能显示出来．在这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生；要么不发生．在一定条件下，种子要么发芽；要么不发芽．在产品抽样检查中，要么抽到合格品；要么抽不到合格品．所以在n次独立重复试验中某事件恰好发生k(k=0，1，2，…，n)次，另外(n－k)次就是某事件不发生． 2．n次独立重复试验中事件恰好发生k次的概率公式．的展开式中x m的系数．因此，我们可将概率P n(m)的分布叫做二项式分布． 3．举例 (1)某批产品中有20%的次品，进行重复抽样检查，共取5个样品，求其中次品数等于0、1、2、3、4、5的概率．解：已知n=5 P=0.2，

(2)一批产品中有30%的一等品，进行重复抽样检查，共取5个样品，求： (i)取出的5个样品中恰有2个一等品的概率是多少？ (ii)取出的5个样品中至少有2个一等品概率是多少？ =1－[P5(0)＋P5(1)] =1－0.52822 =0.47178≈0.472 (3)某厂大量生产的某种小零件，经抽查检验知道其次品率为0.3%，现把这种零件每100件装成一盒．试分别计算每盒中不含次品、恰好含1件次品、含2件次品、含3件次品、含4件次品的概率．并求一盒中至少含有3件次品的概率是多少？解：将100个零件装进盒内，可以看成是进行了100次检验零件的随机试验．在一盒中不含次品的概率同理，可算得 P100(1)≈0.2228≈22% P100(2)≈0.0332≈3.3% P100(3)≈0.0033≈0.3%

n次独立重复实验与二项分布随堂练习(含答案)

n 次独立重复实验与二项分布 (时间：45分钟分值：100分) 一、选择题 1. [2013·河池模拟]高一新生军训时，经过两天的打靶训练，甲每射击10次可以击中9次，乙每射击9次可以击中8次．甲、乙两人射击同一目标(甲、乙两人互不影响)，现各射击一次，目标被击中的概率为( ) A. 9 10 B. 45 C. 8 9 D. 8990 答案：D 解析：目标被击中的概率为P ＝1－(1－910)(1－89)＝1－190＝89 90 . 2. [2013·湖北调研]如图，用K 、A 1、A 2三类不同的元件连接成一个系统．当K 正常工作且A 1、A 2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K 、A 1、A 2正常工作的概率依次是0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为( ) A. 0.960 B. 0.864 C. 0.720 D. 0.576 答案：B 解析：系统正常工作概率为C 12×0.9×0.8×(1－0.8)＋0.9×0.8×0.8＝0.864，所以选B. 3. [2013·大庆模拟]某单位在一次春游踏青中，开展有奖答题活动，从2道文史题和3道理科题中不放回地依次抽2道，在第一次抽到理科题的前提下第二次抽到理科题的概率为( ) A. 9 25 B. 625 C. 3 10 D. 12 答案：D 解析：因为第一次抽到的是理科题，此时剩下2道文史题和2道理科题，故第二次抽到理科题的概率为24＝1 2 . 4. [2013·北京海淀模拟]已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同，现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率( ) A. 3 10 B. 13

n次独立重复试验与二项分布

二项分布及其应用 1．条件概率及其性质 (1)对于任何两个事件A 和B ，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做______________，用符号__________来表示，其公式为P (B |A )＝__________. 在古典概型中，若用n (A )表示事件A 中基本事件的个数，则P (B |A )＝n (AB ) n (A ) . (2)条件概率具有的性质： ①____________； ②如果B 和C 是两互斥事件，则P (B ∪C |A )＝__________________________________. 2．相互独立事件 (1)对于事件A 、B ，若A 的发生与B 的发生互不影响，则称_______________________． (2)若A 与B 相互独立，则P (B |A )＝________， P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝____________. (3)若A 与B 相互独立，则________，________，________也都相互独立． (4)若P (AB )＝P (A )P (B )，则________________． 3．二项分布 (1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有______种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的． (2)在n 次独立重复试验中，事件A 发生k 次的概率为________________________(p 为事件A 发生的概率)，事件A 发生的次数是一个随机变量X ，其分布列为____________，记为____________． 1．“互斥事件”与“相互独立事件”的区别与联系 (1)“互斥”与“相互独立”都是描述的两个事件间的关系． (2)“互斥”强调不可能同时发生，“相互独立”强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响． (3)“互斥”的两个事件可以独立，“独立”的两个事件也可以互斥． 2．条件概率条件概率通常是指在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率．放在总体情况下看：先求P (A )，P (AB )再求P (B |A )＝P (AB ) P (A ).关键是求P (A )和P (AB )． 1．已知P (AB )＝320，P (A )＝3 5，则P (B |A )＝________. 2．如图所示的电路，有a ，b ，c 三个开关，每个开关开或关的概率都是，且是相互独立的，则灯泡甲亮的概率为 . 3．(2010·福建)某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为________． 4．在4次独立重复试验中事件A 出现的概率相同，若事件A 至少发生一次的概率为65 81 ，则事件A 在1次试验

第七节 n次独立重复试验与二项分布

第七节n次独立重复试验与二项分布 A组基础题组 1.打靶时甲每打10次,可中靶8次;乙每打10次,可中靶7次.若两人同时射击一个目标,则他们都中靶的概率是( ) A. B. C. D. 答案 D 由题意知甲中靶的概率为,乙中靶的概率为,两人打靶相互独立,同时中靶的概率P=×=. 2.(2018福建厦门二模,6)袋中装有2个红球,3个黄球,有放回地抽取3次,每次抽取1球,则3次中恰有2次抽到黄球的概率是( ) A. B. C. D. 答案 D 袋中装有2个红球,3个黄球,有放回地抽取3次,每次抽取1球,每次取到黄球的概率P 1 =,∴3次中恰有2次抽到黄球的概率P=-=. 3.如图,元件A i (i=1,2,3,4)通过电流的概率均为0.9,且各元件是否通过电流相互独立,则电流能在M,N之间通过的概率是( ) A.0.729 B.0.882 9 C.0.864 D.0.989 1 答案 B 电流能通过A 1,A 2 的概率为0.9×0.9=0.81,电流能通过A 3 的概率为0.9,故电流不能通过A 1,A 2 ,且也不能通过A 3 的概率为(1-0.81)×(1-0.9)=0.019. 故电流能通过元件A 1,A 2 ,A 3 的概率为1-0.019=0.981, 而电流能通过A 4 的概率为0.9, 故电流能在M,N之间通过的概率是0.981×0.9=0.882 9.

4.甲、乙两名羽毛球运动员要进行三场比赛,且这三场比赛可看作三次独立重复试验,若甲至少取胜一次的概率为 ,则甲恰好取胜一次的概率为( ) A. B. C. D. 答案 C 假设甲取胜为事件A,每次甲胜的概率为p,由题意得,事件A 发生的次数X~B(3,p),则有1-(1-p)3 = ,得p= ,则事件A 恰好发生一次的概率为 × × - = . 5.甲、乙两人同时解答某一问题,解答成功的概率是0.8,已知甲单独解答成功的概率是0.6,甲、乙单独解答成功与否互不影响,则乙单独解答成功的概率是 . 答案 0.5 解析设乙单独解答成功的概率是p, 则0.6(1-p)+(1-0.6)p+0.6p=0.8, 解得p=0.5. 6.甲、乙两个狙击手对同一个目标各射击一次,其命中率分别为0.9,0.95.现已知目标被击中,则它被乙击中的概率是 .(精确到小数点后第三位) 答案 0.955 解析设“目标被击中”为事件A,“被乙击中”为事件B, 则P(A)=0.9×(1-0.95)+(1-0.9)×0.95+0.9×0.95=0.995,P(AB)=P(B)=0.95, 所以P(B|A)= ( ) ( )= . . ≈0.955. 7.某气象站天气预报的准确率为80%,计算(结果保留到小数点后两位): (1)5次预报中恰有2次准确的概率; (2)5次预报中至少有2次准确的概率; (3)5次预报中恰有2次准确,且其中第3次预报准确的概率.

高考理科数学练习训练题n次独立重复试验与二项分布含解析理

高考理科数学复习训练题 (建议用时：60分钟) A 组基础达标一、选择题 1．甲、乙、丙三人进行象棋比赛，每两人比赛一场，共赛三场．每场比赛没有平局，在每一场比赛中，甲胜乙的概率为23，甲胜丙的概率为14，乙胜丙的概率为1 5.则甲获第一名且丙获第二名的概率为( ) A.11 12 B.16 C.130 D.215 D [设“甲胜乙”“甲胜丙”“乙胜丙”分别为事件A ，B ，C ，事件“甲获第一名且丙获第二名”为A ∩B ∩–C ，所以P (甲获第一名且丙获第二名)＝P (A ∩B ∩–C )＝P (A )P (B )P (– C )＝23×14×45＝215 .] 2．甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为12和1 3，甲、乙两人各射击一次，有下列说法：①目标恰好被命中一次的概率为12＋13；②目标恰好被命中两次的概率为12×1 3；③目标被命中的概率为12×23＋12×13；④目标被命中的概率为1－12×2 3 ，以上说法正确的是( ) A ．②③ B ．①②③ C ．②④ D ．①③ C [对于说法①，目标恰好被命中一次的概率为12×23＋12×13＝1 2，所以①错误，结合选项可知，排除B 、D ；对于说法③，目标被命中的概率为12×23＋12×13＋12×1 3，所以③错误，排除 A.故选C.] 3．两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为23和3 4，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( ) A.12 B.512

C.14 D.16 B [设事件A ：甲实习生加工的零件为一等品；事件B ：乙实习生加工的零件为一等品，则P (A )＝23，P (B )＝3 4 ，所以这两个零件中恰有一个一等品的概率为 P (A B －)＋P (A －B )＝P (A )P (B －)＋P (A － )P (B )＝ 23×? ????1－34＋? ????1－23×34＝5 12.] 4．某种电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为12，两次闭合后都出现红灯的概率为1 5，则开关在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为( ) A.1 10 B.15 C.25 D.12 C [设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件A ，“开关第二次闭合后出现红灯”为事件B ，则“开关两次闭合后都出现红灯”为事件AB ，“在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯”为事件B |A ，由题意得P (B |A )＝ P AB P A ＝2 5 ，故选C.] 5．(2018·绵阳诊断)某射手每次射击击中目标的概率是2 3，且各次射击的结果互不影响．假设这名射手射击5次，则有3次连续击中目标，另外2次未击中目标的概率为( ) A.89 B.7381 C.881 D.19 C [因为该射手每次射击击中目标的概率是23，所以每次射击不中的概率为1 3，设“第i 次射击击中目标”为事件A i (i ＝1,2,3,4,5)，“该射手在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件A ，则P (A )＝P (A 1A 2A 3–A 4– A 5)＋P (–A 1A 2A 3A 4–A 5)＋P (–A 1– A 2A 3A 4A 5) ＝? ????233 ×? ????132 ＋13×? ????233 ×13＋? ????132 ×? ????233 ＝881 .] 二、填空题

n次独立重复试验

n次独立重复试验独立重复试验： (1)独立重复试验的意义：做n次试验，如果它们是完全同样的一个试验的重复，且它们相互独立，那么这类试验叫做独立重复试验． (2)一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每件试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为，此时称随机变量X 服从二项分布，记作，并称p为成功概率． (3)独立重复试验：若n次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，则称这n次试验是独立的． (4)独立重复试验概率公式的特点：是n次独立重复试验中某事件A恰好发生k次的概率．其中，n是重复试验的次数，p是一次试验中某事件A发生的概率，k是在n次独立重复试验中事件A恰好发生的次数，需要弄清公式中n，p，k的意义，才能正确运用公式．求独立重复试验的概率： (1)在n次独立重复试验中，“在相同条件下”等价于各次试验的结果不会受其他试验的影响，即 2，…，n)是第i 次试验的结果． (2)独立重复试验是相互独立事件的特例，只要有“恰好”“恰有”字样的用独立重复试验的概率公式计算更简单，要弄清n，p，k的意义。相互独立事件同时发生的概率相互独立事件的定义：如果事件A（或B）是否发生对事件B（A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。若A，B是两个相互独立事件，则A与与，与B都是相互独立事件。相互独立事件同时发生的概率：

两个相互独立事件同时发生，记做A·B，P（A·B）＝P（A）·P（B）。若A 1，A 2 ，…A n 相互独立，则n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P（A 1·A 2 ·…·A n ）＝P（A 1 ）·P（A 2 ）·…·P（A n ）。求相互独立事件同时发生的概率的方法：（1）利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；（2）正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算。条件概率条件概率的定义： (1)条件概率的定义：对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号P（B|A）来表示． (2)条件概率公式：称为事件A与B的交（或积）． (3)条件概率的求法： ①利用条件概率公式，分别求出P（A）和P(A∩B)，得P(B|A)=。 ②借助古典概型概率公式，先求出事件A包含的基本事件数n(A)，再在事件A发生的条件下求出事件B包含的基本事件数，即n（A∩B），得P(B|A)= 。 P(B|A)的性质：（1）非负性：对任意的A∈Ω，；（2）规范性：P（Ω|B）=1；（3）可列可加性：如果是两个互斥事件，则。

2.2.3独立重复试验与二项分布(教学设计)

2.2.3独立重复试验与二项分布（教学设计）教学目标知识与技能：理解n 次独立重复试验及二项分布模型，会判断一个具体问题是否服从二项分布，培养学生的自主学习能力、数学建摸能力，并能解决相应的实际问题。过程与方法：通过主动探究、自主合作、相互交流，从具体事例中归纳出数学概念，使学生充分体会知识的发现过程，并渗透由特殊到一般，由具体到抽象的数学思想方法。情感态度与价值观：使学生体会数学的理性与严谨，了解数学来源于实际，应用于实际的唯物主义思想，培养学生对新知识的科学态度，勇于探索和敢于创新的精神。教学重点：独立重复试验、二项分布的理解及应用二项分布模型解决一些简单的实际问题。教学难点：二项分布模型的构建。教学过程：一、复习回顾： 1、条件概率：在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率：()(|)() P AB P B A P A

2、事件的相互独立性：事件A 与事件B 相互独立，则： P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) , 若A 与B 是相互独立事件，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立二、创设情景，新课引入：三个臭皮匠顶个诸葛亮的故事已知诸葛亮解出问题的概率为0.8,臭皮匠老大解出问题的概率为0.6,老二为0.6,老三为0.6,且每个人必须独立解题，问三个臭皮匠中至少有一人解出的概率与诸葛亮解出的概率比较，谁大？略解: 三个臭皮匠中至少有一人解出的概率为三、师生互动，新课讲解： 1、分析下面的试验，它们有什么共同特点？（1）投掷一个骰子投掷5次; （2）某人射击1次，击中目标的概率是0.8，他射击10次; （3）实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5局3胜制（即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛）; （4）抛硬币实验。在研究随机现象时，经常需要在相同的条件下重复 1()10.40.40.40.9360.8 P A B C -??=-??=>

独立重复试验与二项分布

独立重复试验与二项分布 1．n 次独立重复试验一般地，在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验． 2．二项分布前提在n 次独立重复试验中字母的含义 X 事件A 发生的次数 p 每次试验中事件A 发生的概率分布列 P (X ＝k )＝C k n p k (1－p ) n －k ，k ＝0，1，2，…，n 结论随机变量X 服从二项分布记法记作X ～B (n ，p )，并称p 为成功概率明确该公式中各量表示的意义：n 为重复试验的次数；p 为在一次试验中某事件A 发生的概率；k 是在n 次独立重复试验中事件A 发生的次数．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)n 次独立重复试验的每次试验结果可以有多种．( ) (2)n 次独立重复试验的每次试验的条件可以略有不同．( ) (3)二项分布与超几何分布是同一种分布．( ) (4)两点分布是二项分布的特殊情形．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ 已知随机变量X 服从二项分布，X ～B ? ?? ??6，13，则P (X ＝2)等于( ) A.316 B.4243 C.13243 D. 80243 答案：D 任意抛掷三枚均匀硬币，恰有2枚正面朝上的概率为( ) A.34 B.38 C.13 D.14 答案：B

设随机变量X ～B (2，p )，若P (X ≥1)＝5 9，则p ＝________．答案：13 探究点1 独立重复试验的概率甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是23和3 4，假设每次射击是否击中目标，相互之间没有影响．(结果须用分数作答) (1)求甲射击3次，至少1次未击中目标的概率； (2)求两人各射击2次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率．【解】 (1)记“甲射击3次至少有1次未击中目标”为事件A 1，由题意，射击3次，相当于3次独立重复试验，故P (A 1)＝1－P (A 1)＝1－(23)3＝19 27 . (2)记“甲射击2次，恰有2次击中目标”为事件A 2，“乙射击2次，恰有1次击中目标”为事件B 2，则P (A 2)＝C 2 2×(23)2＝49，P (B 2)＝C 12×(34)1×(1－34)＝38，由于甲、乙射击相互独立，故P (A 2B 2)＝49×38＝1 6. 1．[变问法]在本例(2)的条件下，求甲、乙均击中目标1次的概率？解：记“甲击中目标1次”为事件A 3，“乙击中目标1次”为事件B 3，则P (A 3)＝C 1 2×23×13＝ 49，P (B 3)＝38 ，所以甲、乙均击中目标1次的概率为P (A 3B 3)＝49×38＝16 . 2．[变问法]在本例(2)的条件下，求甲未击中、乙击中2次的概率？解：记“甲未击中目标”为事件A 4，“乙击中2次”为事件B 4，则P (A 4)＝C 0 2(1－23)2＝19，P (B 4) ＝C 22(34)2 ＝916，所以甲未击中、乙击中2次的概率为P (A 4B 4)＝19×916＝116 . 独立重复试验概率求法的三个步骤

n次独立重复试验的模型及二项分布.

第八节 n 次独立重复试验与二项分布 [备考方向要明了] 考什么怎么考 1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念． 2.理解n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题. 相互独立事件、n 次独立重复试验的概率求法是每年高考的热点，特别是相互独立事件、n 次独立重复试验及二项分布的综合更是高考命题的重中之重，如2012年山东T19等. [归纳·知识整合] 1．条件概率及其性质条件概率的定义条件概率的性质设A 、B 为两个事件，且P (A )>0，称P (B |A )＝ P AB P A 为在事件A 发生条件下，事件B 发生的条件概率 (1)0≤P (B |A )≤1 (2)如果B 和C 是两个互斥事件，则P (B ∪ C |A )＝P (B |A )＋P (C |A ) 2.事件的相互独立性 (1)定义：设A 、B 为两个事件，如果P (AB )＝P (A )·P (B )，则称事件A 与事件B 相互独立． (2)性质： ①若事件A 与B 相互独立，则P (B |A )＝P (B )，P (A |B )＝P (A )，P (AB )＝P (A )P (B )． ②如果事件A 与B 相互独立，那么A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立． [探究] 1.“相互独立”和“事件互斥”有何不同？提示：两事件互斥是指两事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响，两个事件相互独立不一定互斥． 3．独立重复试验与二项分布

独立重复试验二项分布定义在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率是p ，此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ～B (n ，p )，并称p 为成功概率计算公式 A i (i ＝1,2，…，n )表示第i 次试验结果，则P (A 1A 2A 3…A n )＝P (A 1)P (A 2)…P (A n ) 在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为P (X ＝k )＝C k n p k (1－p ) n －k (k ＝0，1,2，…，n ) [探究] 2.二项分布的计算公式和二项式定理的公式有何联系？提示：如果把p 看成a,1－p 看成b ，则C k n p k (1－p ) n －k 就是二项式定理中的通项． [自测·牛刀小试] 1．若事件E 与F 相互独立，且P (E )＝P (F )＝1 4，则P (EF )的值等于( ) A ．0 B.116 C.14 D.12 解析：选B EF 代表E 与F 同时发生，故P (EF )＝P (E )·P (F )＝1 16 . 2．已知P (B |A )＝12，P (AB )＝3 8，则P (A )等于( ) A.3 16 B.1316 C.34 D.14 解析：选C 由P (AB )＝P (A )P (B |A )可得P (A )＝3 4 . 3．有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.9，在两批种子中各取一粒，则恰有一粒种子能发芽的概率是( ) A ．0.26 B ．0.08 C ．0.18 D ．0.72 解析：选A P ＝0.8×0.1＋0.2×0.9＝0.26.

独立重复实验与二项分布教学设计(罗雪梅)

课题：独立重复试验与二项分布人教A版选修2-3第二章第二单元第三课时授课教师：广东省清远市英德中学罗雪梅一、教学目标 ●知识与技能：理解n次独立重复试验及二项分布模型，会判断一个具体问题是否服从二项分布，培养学生的自主学习能力、数学建摸能力，并能解决相应的实际问题。 ●过程与方法：通过主动探究、自主合作、相互交流，从具体事例中归纳出数学概念，使学生充分体会知识的发现过程，并渗透由特殊到一般，由具体到抽象的数学思想方法。 ●情感态度与价值观：使学生体会数学的理性与严谨，了解数学来源于实际，应用于实际的唯物主义思想，培养学生对新知识的科学态度，勇于探索和敢于创新的精神。二、教学重点、难点重点：独立重复试验、二项分布的理解及应用二项分布模型解决一些简单的实际问题。难点：二项分布模型的构建。三、教学方法与手段教学方法：诱思探究教学法学习方法：自主探究、观察发现、合作交流、归纳总结。教学手段：多媒体辅助教学

四、教学过程

附：板书设计与时间安排1、板书设计

教案说明我有这样的深刻体会：好的教学情景的创设，等于成功的一半。因而，我以一个轻松愉快的猜数游戏把学生带进一个轻松愉快的课堂环境中。从游戏开始，诱思深入，把老师在堂上讲、学生在堂下听的教学过程变为师生共同探索，共同研究的过程。学生围绕老师提出的一系列具有趣味性和启发性的层层入深的问题，展开讨论，使问题得到解决，从而突出本节重点，突破本节难点。在整个教学过程中，我主要采用“诱思探究教学法”，其核心是“诱导思维，探索研究”，其教学思想是“教师为主导，学生为主体，训练为主线，思维为主攻”的“四为主”原则。教师不是抛售现成的结论，而是充分暴露学生的思维，展示“发现”的过程，突出“师生互动”的教学，这种设计充分体现了教师的主导作用。学生在一系列的思考、探究中逐步完成了本节的学习任务，充分实现了学生的主体性地位，在整个教学过程中，始终着眼于培养学生的思维能力，这种设计符合现代教学观和学习观的精神，体现了素质教育的要求。教与学有机结合而对立统一。良好的教学设想，必须通过教学实践来体现，教师必须善于驾驭教法，指导学法，完成教学目标，从而使学生愉快地、顺利地、认真地、科学地接受知识。

n次独立重复实验与二项分布

n 次独立重复实验与二项分布一、选择题 1．某一试验中事件A 发生的概率为p ，则在n 次这样的试验中，A 发生k 次的概率为( ) A ．1－p k B ．(1－p )k p n －k C ．(1－p )k D ．C k n (1－p )k p n －k [答案] D [解析] 在n 次独立重复试验中，事件A 恰发生k 次，符合二项分布，而P (A )＝p ，则P (A )＝1－p ，故P (X ＝k )＝C k n (1－p )k p n －k ，故答案选D. 2．某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为4 5，那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是( ) [答案] B [解析] P ＝C 24? ????452? ????152 ＝96625 . 3．某电子管正品率为34，次品率为1 4，现对该批电子管进行测试，设第ξ次首次测到正品，则P (ξ＝3)＝( ) A ．C 23? ????142 ×34 B ． C 23? ????342 ×14 2 ×34 2 ×14 [答案] C 4．某射手射击1次，击中目标的概率是，他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响．则他恰好击中目标3次的概率为( ) A ．× B ． C ．C 3 4×× D ．1－ [答案] C

[解析] 由独立重复试验公式可知选C. 5．每次试验的成功率为(01)p p <<，重复进行10次试验，其中前7次都未成功后3次都成功的概率为（C ） ()A 33710(1)C p p - ()B 333 10(1)C p p - ()C 37(1)p p - ()D 73(1)p p - 6．甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，甲队与乙队实力之比为3:2，比赛时均能正常发挥技术水平，则在5局3胜制中，甲打完4局才胜的概率为（ A ） ()A 23332()55C ? ()B 22332()()53C ()C 33432()()55C ()D 33421()() 33C 7. [2013·河池模拟]高一新生军训时，经过两天的打靶训练，甲每射击10次可以击中9次，乙每射击9次可以击中8次．甲、乙两人射击同一目标(甲、乙两人互不影响)，现各射击一次，目标被击中的概率为( ) A. 9 10 B. 45 C. 8 9 D. 8990 答案：D 解析：目标被击中的概率为P ＝1－(1－910)(1－89)＝1－190＝89 90 . 8. [2013·湖北调研]如图，用K 、A 1、A 2三类不同的元件连接成一个系统．当K 正常工作且A 1、A 2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K 、A 1、A 2正常工作的概率依次是、、，则系统正常工作的概率为( ) A. B. C. D. 答案：B 解析：系统正常工作概率为C 1 2×××(1－＋××＝，所以选B. 9. [2013·大庆模拟]某单位在一次春游踏青中，开展有奖答题活动，从2道文史题和3道理科题中不放回地依次抽2道，在第一次抽到理科题的前提下第二次抽到理科题的概率为( ) A. 9 25 B. 625 C. 3 10 D. 12 答案：D 解析：因为第一次抽到的是理科题，此时剩下2道文史题和2道理科题，故第二次抽

5.独立重复试验解析

基础达标 1．若在一次测量中出现正误差和负误差的概率都是1 2，则在5次测量中恰好出现2次正误差的概率是( ) A ．5 16 B ．2 5 C ．58 D ．132 解析：选 A ．P ＝C 25· ????123×????122 ＝516 . 2．某电子管正品率为34，次品率为1 4，现对该批电子管进行测试，设第X 次首次测到正品，则P (X ＝3)＝( ) A ．C 23 ????142 ×34 B ． C 23 ????342 ×14 C ．????142 ×34 D ．????342 ×14 解析：选C ．X ＝3表示第3次首次测到正品，而前两次都没有测到正品，故其概率是??? ? 142 ×34 . 3．甲、乙两人进行羽毛球比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为2 3 ，则甲以3∶1的比分获胜的概率为( ) A ．827 B ．6481 C ．49 D ．89 解析：选A ．当甲以3∶1的比分获胜时，说明甲乙两人在前三场比赛中，甲只赢了两局，乙赢了一局，第四局甲赢，所以甲以3∶1的比分获胜的概率为P ＝C 23(23)2(1－23)×23＝3×49 ×13×23＝8 27 ，故选A ． 4．一个学生通过某种英语听力测试的概率是1 2，他连续测试n 次，要保证他至少有一次通过的概率大于0.9，那么n 的最小值为( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 解析：选C ．由1－C 0n ????12n >0.9，得??? ?12n <0.1，所以n ≥4.

5．口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球，每次有放回地摸取一个球，定义数列 {a n }，a n ＝? ????－1，第n 次摸取红球 1，第n 次摸取白球，如果S n 为数列{a n }的前n 项和，那么S 7＝3的概率为( ) A ．C 57×(13)2×(23)5 B ． C 27×(23)2×(13)5 C ．C 57×(13)2×(13 )5 D ．C 27×(13)2×(23 )2 解析：选B ．由S 7＝3知，在7次摸球中有2次摸取红球，5次摸取白球，而每次摸取红球的概率为23，摸取白球的概率为13，则S 7＝3的概率为C 27×(23)2×(13 )5 ，故选B ． 6．下列例子中随机变量ξ服从二项分布的有________．(填序号) ①随机变量ξ表示重复抛掷一枚骰子n 次，出现点数是3的倍数的次数； ②某射手击中目标的概率为0.9，从开始射击到击中目标所需的射击次数ξ； ③有一批产品共有N 件，其中M 件为次品，采用有放回抽取方法，ξ表示n 次抽取中出现次品的件数(M

n次独立重复试验及二项分布

n 次独立重复试验及二项分布一基础知识 1.条件概率及其性质 (1)条件概率的定义：对于任何两个事件A 和B ，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做条件概率，用符号P (B |A )来表示，其公式为P (B |A )＝P (AB ) P (A ) (P (A )＞0). (2)条件概率的性质 ①非负性：0≤P (B |A )≤1； ②可加性：如果B 和C 是两个互斥事件，则P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A ). 2.相互独立事件 (1)对于事件A ，B ，若事件A 的发生与事件B 的发生互不影响，则称事件A ，B 是相互独立事件. (2)若P (AB )＝P (A )P (B )，则A 与B 相互独立. (3)若A 与B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立. (4)若A 与B 相互独立，则P (B |A )＝P (B )， P (AB )＝P (B |A )P (A )＝P (A )P (B ). (5)一般地，如果事件A 1，A 2，…，A n (n ＞2，n ∈N *)相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P (A 1A 2…A n )＝P (A 1)P (A 2)·…·P (A n ). 互斥事件与相互独立事件的相同点与不同点 (1)相同点：二者都是描述两个事件间的关系； (2)不同点：互斥事件强调两事件不可能同时发生，即P (AB )＝0，相互独立事件则强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响. 3.独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验：一般地，在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验. 独立重复试验的条件：①每次试验在相同条件下可重复进行；②各次试验是相互独立的；③每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生. (2)二项分布：一般地，在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为X ，在每次试验中事件A 发生的概率为p ，则事件A 恰好发生k 次的概率为P (X ＝k )＝C k n p k (1－p ) n － k ，k ＝0,1,2，…，n ，则称随机变量X 服从二项分布，记作X ～B (n ，p )，并称p 为成功概率. 判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点：,(1)是否为n 次独立重复试验；,(2)

第七节 n次独立重复试验与二项分布(数学建模五)

第七节n次独立重复试验与二项分布(数学建模五) A组基础题组 1.打靶时甲每打10次,可中靶8次;乙每打10次,可中靶7次.若两人同时射击一个目标,则他们都中靶的概率是() A. B. C.D. 答案D由题意知甲中靶的概率为,乙中靶的概率为,两人打靶相互独立,同时中靶的概率P=×=. 2.(2018福建厦门二模,6)袋中装有2个红球,3个黄球,有放回地抽取3次,每次抽取1球,则3次中恰有2次抽到黄球的概率是() A. B. C. D. 答案D袋中装有2个红球,3个黄球,有放回地抽取3次,每次抽取1球,每次取到黄球的概率P1=,∴3次中恰有2次抽到黄球的概率P=-=. 3.如图,元件A i(i=1,2,3,4)通过电流的概率均为0.9,且各元件是否通过电流相互独立,则电流能在M,N之间通过的概率是() A.0.729 B.0.8829 C.0.864 D.0.9891 答案B电流能通过A1,A2的概率为0.9×0.9=0.81,电流能通过A3的概率为0.9,故电流不能通过A1,A2,且也不能通过A3的概率为(1-0.81)×(1-0.9)=0.019. 故电流能通过元件A1,A2,A3的概率为1-0.019=0.981, 而电流能通过A4的概率为0.9,

故电流能在M,N之间通过的概率是0.981×0.9=0.8829. 4.甲、乙两名羽毛球运动员要进行三场比赛,且这三场比赛可看作三次独立重复试验,若甲至少取胜一次的概率为,则甲恰好取胜一次的概率为() A. B. C.D. 答案C假设甲取胜为事件A,每次甲胜的概率为p,由题意得,事件A发生的次数X~B(3,p),则有1-(1-p)3=,得p=,则事件A恰好发生一次的概率为××-=. 5.甲、乙两人同时解答某一问题,解答成功的概率是0.8,已知甲单独解答成功的概率是0.6,甲、乙单独解答成功与否互不影响,则乙单独解答成功的概率是. 答案0.5 解析设乙单独解答成功的概率是p, 则0.6(1-p)+(1-0.6)p+0.6p=0.8, 解得p=0.5. 6.甲、乙两个狙击手对同一个目标各射击一次,其命中率分别为0.9,0.95.现已知目标被击中,则它被乙击中的概率是.(精确到小数点后第三位) 答案0.955 解析设“目标被击中”为事件A,“被乙击中”为事件B, 则P(A)=0.9×(1-0.95)+(1-0.9)×0.95+0.9×0.95=0.995,P(AB)=P(B)=0.95, 所以P(B|A)==≈0.955. 7.某气象站天气预报的准确率为80%,计算(结果保留到小数点后两位): (1)5次预报中恰有2次准确的概率; (2)5次预报中至少有2次准确的概率;

11.3每次试验只有两个可能结果的n次独立重复试验模型

11.3 每次试验只有两个可能结果的n次独立重复试验模型教学目标: １．理解相互独立事件．２．掌握概率的乘法定理、伯努利概率模型的计算公式．３．理解伯努利概率模型的特点．教学重点：概率的乘法定理、伯努利概率模型的计算公式．教学难点：对伯努利概率模型的理解及应用．教学方法：启发引导式、讲解式．授课类型：新授课课时安排：2课时一、复习提问： 1、在掷两次硬币的随机试验中，它的样本空间是什么． 2、事件A的发生会不会影响事件B的发生．（引出课题）二、新课引入：给出事件A与事件B独立的定义：在随机试验中，如果事件A的发生不会影响事件B发生的可能性大小，即在事件A发生的情况下，事件B发生的概率等于事

件B 原来的概率，那么称事件A 与事件B 独立．在掷硬币的随机试验中事件A 与事件B 独立，引导学生得出P (AB ) 、P (A )、P (B ) 之间的关系 P (AB ) = P (A )P (B )．三、探究新课：（一）概率的乘法定理（幻灯片给出）定理1（概率的乘法定理）如果随机试验的样本点只有有限多个，那么事件A 与B 独立的充分必要条件是P (AB ) = P (A )P (B )．当随机试验的样本点有无穷多个时，如果事件A 与事件B 满足P (AB ) = P (A )P (B )，那么称事件A 与事件B 独立．定义事件A 与B 独立当且仅当事件B 与A 独立，这时我们就说：事件A 与事件B 相互独立．例1 在掷两次硬币的试验中，“至少有一次出现正面”的事件C 与“至少有一次出现反面”的事件D 是否独立？解： C ＝{}），（正，反）（正，正），（反，正 D ＝{}），（反，反）（正，反），（反，正 {}）（正，反），（反，正＝＝D C CD 于是，）＝（43C P ，）＝（43D P 2 1 42＝）＝（CD P ．所以 2 11694343)()(≠=?= D P C P ，所以 )()()(D P C P CD P ≠，从而事件 C 与事件 D 不独立．