第1章流体力学的基本概念
第1章流体力学的基本概念
流体力学是研究流体的运动规律及其与物体相互作用的机理的一门专门学科。本章叙述在以后章节中经常用到的一些基础知识，对于其它基础内容在本科的流体力学或水力学中已作介绍，这里不再叙述。
1.1 连续介质与流体物理量
1.1.1 连续介质
流体和任何物质一样，都是由分子组成的，分子与分子之间是不连续而有空隙的。例如，常温下每立方厘米水中约含有3×1022个水分子，相邻分子间距离约为3×10－8厘米。因而，从微观结构上说，流体是有空隙的、不连续的介质。
但是，详细研究分子的微观运动不是流体力学的任务，我们所关心的不是个别分子的微观运动，而是大量分子“集体”所显示的特性，也就是所谓的宏观特性或宏观量，这是因为分子间的孔隙与实际所研究的流体尺度相比是极其微小的。因此，可以设想把所讨论的流体分割成为无数无限小的基元个体，相当于微小的分子集团，称之为流体的“质点”。从而认为，流体就是由这样的一个紧挨着一个的连续的质点所组成的，没有任何空隙的连续体，即所谓的“连续介质”。同时认为，流体的物理力学性质，例如密度、速度、压强和能量等，具有随同位置而连续变化的特性，即视为空间坐标和时间的连续函数。因此，不再从那些永远运动的分子出发，而是在宏观上从质点出发来研究流体的运动规律，从而可以利用连续函数的分析方法。长期的实践和科学实验证明，利用连续介质假定所得出的有关流体运动规律的基本理论与客观实际是符合的。
所谓流体质点，是指微小体积内所有流体分子的总体，而该微小体积是几何尺寸很小（但远大于分子平均自由行程）但包含足够多分子的特征体积，其宏观特性就是大量分子的统计
平均特性，且具有确定性。
1.1.2 流体物理量
根据流体连续介质模型，任一时刻流体所在空间的每一点都为相应的流体质点所占据。流体的物理量是指反映流体宏观特性的物理量，如密度、速度、压强、温度和能量等。对于流体物理量，如流体质点的密度，可以地定义为微小特征体积内大量数目分子的统计质量除以该特征体积所得的平均值，即
V
M
V V ??=?→?'lim
ρ （1-1）
式中，M ?表示体积V ?中所含流体的质量。 按数学的定义，空间一点的流体密度为
V
M
V ??=→?0
lim
ρ （1-2） 由于特征体积'
V ?很小，按式（1-1）定义的流体质点密度，可以视为流体质点质心（几何点）的流体密度，这样就应予式（1-2）定义的空间点的流体密度相一致。为把物理概念与数学概念统一起来，方便利用有关连续函数的数学工具，今后均采用如式（1-2）所表达的流体物理量定义。所谓某一瞬时空间任意一点的物理量，是指该瞬时位于该空间点的流体质点的物理量。在任一时刻，空间任一点的流体质点的物理量都有确定的值，它们是坐标点
),,(z y x 和时间t 的函数。例如，某一瞬时空间任意一点的密度是坐标点),,(z y x 和时间
t 的函数，即
),,,(t z y x ρρ= （1-3）
1.2 描述流体运动的两种方法
描述流体运动的方法有拉格朗日（Lagrange ）法和欧拉（Euler ）法。
1.2.1 拉格朗日法
拉格朗日法是以个别的流体运动质点为对象，研究这些指定质点在整个运动过程中的轨迹以及运动要素随时间变化的规律。各个质点运动状况的总和就构成了整个流体的运动。这种方法又称为质点系法。
在某直角坐标系0xyz 中，将0t t =时的某流体质点在空间的位置坐标),,(c b a 作为该质点的标记。在此后的瞬间t ，该质点),,(c b a 运动到空间位置),,(z y x 。不同的质点在0t 时，具有不同的位置坐标，如),,(c b a '''、),,(c b a ''''''……，这样就把不同的质点区别开来。同一质点在不同瞬间处于不同位置；各个质点在同一瞬间t 也位于不同的空间位置。因而，任一瞬时t 质点),,(c b a 的空间位置),,(z y x 可表为
??
?
??
===),,,(),,,(),,,(t c b a z z t c b a y y t c b a x x
(1-4a)
式中c b a ,,称为拉格朗日变数。若给定式中的c b a ,,值，可以得到某一特定质点的轨迹方程。将某质点运动的空间位置的时间历程描绘出来就得到该质点的迹线。
将式（1-4a ）对时间t 取偏导数，可得该流体质点在任意瞬间的速度u 在z y x ,,轴向的分量
?
?????
???
=??==??==??=
),,,(),,,(),,,(t c b a u t z u t c b a u t y u t c b a u t
x u z z y y x x （1-5a ）
若坐标用i x 表示，3,2,1=i ，即用321,,x x x 代替z y x ,,；用i u ，即321,,u u u ，代替
z y x u u u ,,；用k x 0，3,2,1=k ，即030201,,x x x ，代替c b a ,,；则式（1-4a ）~ (1-5a)可写
为
),(0t x x x k i i = （1-4b ）
),(0t x u t
x u k i i
i =??=
（1-5b ） 对于某一特定质点，给定c b a ,,值，就可利用式（1-4）~ (1-5)确定不同时刻流质点的坐标和速度。
1.2.1 欧拉法
欧拉法是以考察不同流体质点通过固定的空间点的运动情况来了解整个流动空间内的流动情况，即着眼于研究各种运动要素的分布场。这种方法又叫做流场法。
采用欧拉法，流场中任何一个运动要素可以表示为空间坐标和时间的函数。在直角坐标系中，流速是随空间坐标),,(z y x 和时间t 而变化的。因而，流体质点的流速在各坐标轴上的投影可表示为
?
?
?
??
===),,,(),,,(),,,(t z y x u u t z y x u u t z y x u u z z y y x x （1-6a ）
或
),(t x u u k i i = （1-6b ）
式中3,2,1,=k x k ，代表自变量z y x ,,。若令上式中z y x ,,为常数，t 为变数，即可求得在某一空间点),,(z y x 上，流体质点在不同时刻通过该点的流速变化情况。若令t 为常数，
z y x ,,为变数，则可求得在同一时刻，通过不同空间点上的流体质点的流速分布情况（即流
速场，velocity field ）。
流速v ?
是一个矢量，所以流速场是一个矢量场。流速虽是流动的一个重要参数，但只有流场不足以完全说明流动的全部情况，还应知道其他表达流动的各个参数的分布情况。一个标量，如流体的密度ρ，温度T 等，在空间和时间上的连续分布就成为一个标量场。应力ij
σ
是一个二阶张量，所以应力在空间和时间上的分布是一个张量场。表述流动的各种场的综合成为流场（flow field ），如流速场t)z,y,(x,v ?
，密度场),,,(t z y x ρ等。
1.3 质点的加速度公式和随体导数
1.3.1 质点加速度公式
质点加速度是质点速度向量随时间的变化率。在Lagrange 法中是以单个流体质点作为研究对象，因此位移函数（1-4）式对时间求二次偏导数可得流体质点的加速度a 在各轴向的投影：
?
???
???
??=??==??==??=),,,(),,,(),,,(22
22
22t c b a a t z
a t c
b a a t y
a t c
b a a t x
a z z y y x x （1-7a ）
或
),(022t x a t
x a k i i
i =??= （1-7b ）
欧拉法不追踪质点运动而着眼于流场，由速度场)t ,x (u ,k i 计算),(t x k 处的质点加速度
i a 时必须求出该质点在t δ时间内的速度增量，在求其极值，即
t )
t ,x (u )t t ,x x (u lim
a k i k k i 0x 0t i i δδδδδ-++=
→→ （1-8）
式中k x δ是质点在t δ时间内的位移。利用T aylor ’s Series 展开，则
)x t ,x ,t (O )t
u t ()x u x ()t ,x (u )t t ,x x (u k 2
k 2x i t k i k
k i k k i k δδδδδδδδ+??+??+=++ 略去高阶微小量，所以
t k
i k x i x i t k i k
k i k k i )x u
(x )t u (t )t u t ()x u x ()t ,x (u )t t ,x x (u k k ??+??=??+??=-++δδδδδδ
代入式(1-8)，得
t
x x u t u a k
k i i i δδ??+??=
注意到i x δ是质点位移，因而
k k
t u t
x lim
=→δδδ 则得欧拉法描述流体质点加速度的表达式
k
i k i i x u
u t u a ??+??=
（1-9a ） 或写为
3
i 32i 21i 1i i x u
u x u u x u u t u a ??+??+??+??=
（1-9b ） 以矢量表示为
v )v (t
v a ??????+??= （1-9c ）
在直角坐标系下，加速度表述为
?
?????
???
??+??+??+??==??+??+??+??==??+??+??+??==
z u u y u u x u u t u dt du a z u u y u u x u u t u dt du a z
u u y u u x u u t u dt du a z z z y z x z z y y z y y y x y y y x z x y x x x x x （1-9d ）
以上三式中等号右边第一项
t u x ??、t u y ??、t
u z
??表示在每个固定点上流速对时间的变化
率，称为时变加速度（当地加速度）。等号右边的第二项至第四项之和
z u u y u u x u u x z x y x x ??+??+??、z u u y u u x u u y z y y y x ??+??+??、z
u u y u u x u u z z z y z x ??+??+??是表示流速随坐标的变化率，称为位变加速度（迁移加速度）。因此，一个流体质点在空间点上的全加速度应为上述两加速度之和。
1.3.2 质点的随体导数
将推导加速度公式的方法推广到质点上任意物理量的增长率的计算，引出质点的随体导数的概念。质点携带的物理量随时间的变化率称为质点的随体导数，用Dt
D
表示。在欧拉法描述中的任意物理量Q 的质点随体导数表述如下：
k
k x Q
u t Q Dt DQ ??+??= （1-10） 式中，),(t x Q Q k =可以是标量、向量或张量。质点导数公式对任意物理量都成立，故将质点随体导数的运算符号表示如下：
k
k x u t Dt D ??+??= （1-11a ） 或
3
32211x u x u x u t Dt D ??+??+??+??= （1-11b ） 其中，
t
??
称为局部随体导数，k k x u ??称为对流随体导数，即在欧拉法描述得流动中，物理
量的质点随体导数等于局部随体导数与对流随体导数之和。
1.4 体积分的随体导数
上面讲了质点的随体导数，研究流体运动，还需要考虑由流体质点组成的物质线、物质面和物质体。因为在流体质点组成的线、面、体上，往往定义有某种物理量，如物质线上的速度环量，物质面上的涡通量，物质体上的质量、动量、动能等。在流动过程中，连续的物质线、面、体随时间而不断改变其位置和形状，且将继续维持其连续性。同时，定义在这些线（面、体）上的物理量也随时间而不断变化着。描述这种变化过程就是这些线积分、面积分、体积分的随体导数。其中，体积分的随体导数公式在建立流体力学基本方程时经常用到，推导如下。
考虑一个由流体质点组成的以S 为界的流动体积V （图1-1）。设)t ,r (?
φ是V 内定义的标量函数，体积V 内φ的总量为
?V
dV φ。在运动过程中，组成体积V 的流体质点不断地改
变它的位置，因此流体质点组成的体积V 也不断地改变着它的大小和形状。此外，在体积V 中取值的标量函数φ在运动过程中也改变着它的数值。由此可见，上述积分在不同的瞬间将有不同的数值。上述体积分的变化过程将由该积分的随体导数?V dV dt
d
φ来描述。
图1-1 体积分的随体导数（图中的γ符号换为V ）
设t 时刻的体积为V ，其表面积为S 。过了t ?时段以后，即在t t ?+时刻，表面上的流体质点由于存在着速度的法向分量，在法线方向移动了t u n ?的距离。设t t ?+时隔立体的表面积为)(t t S ?+、体积为)(t t V ?+。根据随体导数的定义，我们有
????????????-+=???+→)
(0),(),(1lim t t V V t V dV t r dV t t r t dV dt d ????φφφ 令V V t t V ??+=+)(，于是，上式改写为
[]{}
?
??++-+=→V
V
t V
dV t t r dV t r t t r t dV dt d ?????),(),(),(1
lim
0φφφφ （1-12）
上式表明，体积分的变化由两部分组成：右边第一项所代表的，即标量函数φ随时间t 所引起的变化。这部分变化可由下式表示为
?
??V
dV t
φ
（1-13） 第二部分的变化是由于流动，体积变化V ?所引起的。从图1-1可以看出，体积的变化
可表示为
tdS u dV n ?=
其中dS 为表面S 中的微小面积，n u 是法线n 方向的速度投影。于是，上式右边第二部分可写为
dS u t r dS u t t r dV t t r t n s n V s t t ???=?+=?+??→?→?),(),(lim ),(1
lim
00φφφ （1-14） 将式（1-13）和（1-14）代入式（1-12），得体积分的随体导数公式
???+??=V S n V
dS u dV t dV dt d φφφ (1-15a) 依同理可得矢量a ?
的体积分的随体导数公式
???+??=V
V S n dS a u dV t dV a dt d (1-16a) 从上式可得重要结论，体积分的随体导数由两项组成：第一项是函数φ（或a ）对时间的偏导数沿体积V 的积分，它是由标量场（或矢量场）的非恒定性所引起的；第二项是函数φ（或a ）通过表面S 的通量
dS u S
n
?φ（或dS u
S
n
?），它是由于体积V 的改变引起的。
应用高斯公式（奥高定理）
?
?=V
S
n dS a dV a div ?
(1-17)
式（1-15a ）和（1-16a ）也可写为
dV v div Dt D dV )v (div t dS u dV t dV dt d V V V S n V ???????
?
???+=??????+??=+??=??φφφφφφφ
(1-15b)
???????
?
??+=??? ???+??=+??=V V V V S n dV
)v div a Dt a D dV )v a (div t a dS a u dV t a dV a dt d ?????????
(1-16b)
式（1-15）和式（1-16）在流体力学应用很广，有时也称之为运输定理（transport theorem ）。
1.5 流体微团运动分析
1.5.1 亥姆霍兹速度分解定理
刚体运动的形式只有平移和转动，流体因为具有易流动性，极易变形，所以任一流体微团在运动过程中，不仅与刚体一样会发生平移和转动，而且还会发生变形运动。
定理：流场)t ,x (u j i 中微团上任意一点的运动可以分解为平动、旋转和变形三部分之和。
证明如下：任取一流体微团，其上的参考点oj x 在时间t 的速度)t ,x (u u oj i oi =，同一时刻，在流体微团上距点oj x 为j x δ任一质点j x ，j oj j x x x δ+=，的速度
)t ,x x (u u j oj i i δ+=。
利用T aylor ’s Series 展开，则
)x (O x x u
x x u x x u )t ,x (u )t ,x x (u 2j 33
i 22i 11i oj i j oj i δδδδδ+??+??+??+
=+ 略去高阶微小量，则有
j j
i
oi j i x x u u )t ,x (u δ??+
= （1-20） 其中
j
i
x u ??是一个二阶张量，可以进一步分解一个对称张量和反对称张量之和，即 )x u x u (21)x u x u (21x u i
j
j i i j j i j i ??-??+??+??=?? （1-21） 上式右端第一项用ij D 表示，是对称张量，它有六个独立分量；第二项用ij R 表示，是反对称张量，有三个独立分量。因为
ji j
i i j i j j i ij D )x u x u (21)x u x u (21D =??+??=??+??=
ji j
i
i j i j j i ij R )x u x u (21)x u x u (21R -=??-??-=??-??=
因此，亥姆霍兹速度分解定理（Helmholtz velocity decomposing theorem ）的数学表达式为
j ij j ij oi j i x )R (x )D (u )t ,x (u δδ++= （1-22）
1.5.2 变形率张量
对于脚标z y x j i ,,3,2,1,或=，写出ij D 的所有分量，则
????????
?
???
???
?
??????+????+????+
??????+????+????+????=z u )
z u y u (21)z u x
u (21)y u z u (21y u )y u x u (21)x u z u (21)x u y u (21x u D z y z x z z y y x
y z
x y x x ij 令
)z
u y u
(21),y u z u (21)z
u x u
(21),x u z u (21)y
u x u (21),x u y u (21z u ,
y u ,x
u y z zy z y yz
x z zx z x xz x
y yx y x xy z
zz y
yy x xx ??+??=??+??=??+??=??+??=??+??=??+??=??=
??=
??=εεεεεεεεε 或写为
)x u x u (21i
j
j i ij ??+??=ε （1-23）
则
????
?
?????=3332312322
211312
11εεεεεεεεεij D （1-24）
其中ii ε 表示所在方向的线性变形率，其余j i ij ≠,ε，为角变形率。ij D 称为变形率张量。
1.5.3 旋转角速度
同理，对于脚标z y x j i ,,3,2,1,或=，写出ij R 的所有分量，则
????????
?
???
???
?
?
???-????-????-
????-????-????-??=0)z u y u (21)z u x u (21)y u z u (210)y u x u (21)x u z u (21)x u y u (210R y z x z z y x
y z
x y x ij 令
?
??
?
???
??
??-??=??-??=??-??=)z u y u
(21)x u z u (21)y u x u (
21y z x z x y x y z ωωω （1-25a ）
或写为
)x u x u (
21j
i
i j k ??-??=ω （1-25b ）
则
???
?
?
????
?---=00
0R x
y x z
y z ij ωωωωωω （1-26）
其中，z y z ωωω,,为流体微团的旋转角速度，显然，ij R 是一反对称张量。ij R 亦可写为
k ijk ij R ωε-= （1-27）
由以上分析得知，在亥姆霍兹速度分解定理的数学表示式（1-22）中， oi u 表示平动；
j ij x D δ)(表示变形，包括线变形和角变形，j ij x R δ)(表示旋转。
流体微团有无旋转对流动分析的影响很大，流体微团有无旋转成为流动分类的一个重要
指标。流体微团没有旋转的流动，称为无旋流动(irrotational flow)，或称无涡流动，亦称有势流动(potential flow)。流体微团有旋转的流动，称为有旋流动(rotational flow)，亦称有涡流动。
下面举例说明微团旋转的概念。
例1-1 设有两块平板，一块固定不动，一块在保持平行条件下作直线等速运动。在两块平板之间装有粘性液体。这时的液体流动称为简单剪切流动，如图1-2所示。其流速分布为 cy u x =，0=y u ，其中0≠c 。试判别这个流动是势流还是有涡流？
解：02
1)(21≠-=??-??=
c y u x u x y z ω 故该流动为有涡流。尽管质点都作直线运动，流线也都是平行直线，在表观上看不出有旋转的迹象。
图1-2 简单剪切流动
例1-2 从水箱底部小孔排水时，在箱内形成圆周运动，其流线为同心圆，如图1-3所时，流速分布可表示为
0c ,y
x cx
u ,y x cy u 2
2y 22x ≠+=+-
= 试判断该流体运动是势流还是有涡流？
解：??
?
???+--+-=??-??=222
2222222)()()()(2c )(21y x x y y x x y y u x u x y z ω 除原点)0,0(==y x 外0=z ω，该流动为势流。尽管质点沿圆周运动，但微团并无绕其自身轴的转动。
图1-3 水箱底部小孔排水时同心圆流线
1.6 涡量与环量
1.6.1 涡量
流体运动可以分为有旋运动和无旋运动，当流体的旋转角速度不为0，即ω≠0时，流体的运动是有旋的；当ω=0时,流体的运动是无旋的。所以判断流体是无旋流动还是有旋流动,应根据流体微团本身是否旋转,而与微团运动的轨迹并无关系。
流体的旋转角速度可以用张量式表示如下
???
?
????-??=
j i i j k x u x u 21ω （1-28） 其中脚标k 表示流体运动平面的法线方向。
流体力学中多采用涡量(vorticity)来描述流体微团的旋转。定义旋转角速度的两倍为涡
量，即
k k ω2=Ω （1-29a ）
涡量是一矢量，它与旋转的平面垂直，其方向的正负按右手法则确定，如图1-4所示。写成矢量形式
rot curl =??== （1-29b ）
在流场中，涡量是位置和时间的函数，即
)t ,z ,y ,x (k k ΩΩ= （1-30）
如同流速场描述质点的运动情况，涡量场则表达流体微团的旋转情况。
用流线用来描述流场，同样，可用与流线类似的涡线来描述涡量场。在某一瞬间,在流场中绘制的处处与涡矢量相切的曲线称为涡线(vortex line)。涡线一般不与流线重合，但相交，如图1-5所示。涡线微分方程与流线微分方程类似,可表示为
z
y x dz dy dx Ω=Ω=Ω （1-31） 以涡线为侧壁的管段称为涡管(vortex tube)。涡管里面绕同一旋转轴旋转着的流体称为涡束或涡丝(vortex filament)。
图1-4 涡量矢量（图中改ω为Ω） 图1-5 涡线（图中改ω为Ω）
1.6.2 速度环量
分析带旋转的流体运动常要用到速度环量的概念。速度沿封闭曲线的积分称为速度环量(circulation),通常用Γ表示
??=L
l d v ρ
Γ （1-32）
在直角坐标系下为
dz u dy u dx u z L
y x ++=Γ? （1-33）
1.6.3 斯托克斯定理
环量与涡量之间由斯托克斯（Stokes ）定理联系。斯托克斯定理表述为：沿包围单连通域的有限封闭周线的速度环量，等于穿过此连通域的涡量通量。数学表述如下
????=?L
S
l d ds n ρρ
ρΩ （1-34）
式中，S 为表面积，L 为周线长度。上式说明通过面的涡通量等于沿边界的速度环量。Stokes 定理应用很广，它把一个面积分和一个线积分联系在一起。
在直角坐标系下，式（1-34）表述为
()()()ds
z ,n cos y u x u y ,n cos x u z u x ,n cos z u y u dz u dy u
dx u S x y Z x y z z y
L
x
??????
????????? ????-??+???
????-??+???? ????-??=
++（1-35）
图1-7 环量与涡量
1.7 应力张量
实际流体具有粘滞性。由于粘滞性的存在，有相对运动的各层流体之间将产生切应力。因此，在运动的实际流体中，不但有压应力，而且还有切应力。如在运动流体中任一点A 取垂直于z 轴的平面（图1-8），则作用在该平面上A 点的表面应力并非沿内法线方向，而是倾斜方向的。表面应力在x 、y 、z 三个轴向都有分量：一个与z 平面成法向的正应力zz p ；两个与z 平面成切向的切应力zx τ及zy τ。压应力和切应力的第一个下标表示作用面的法线方向，即表示应力作用面与那个轴垂直；第二个下标表示应力的作用方向，即表示应力作用方向与那个轴平行。同样在垂直于y 轴平面上，作用的应力有yy p 、yx τ、yz τ；在垂直于x 轴的平面上，作用的应力有xx p 、xy τ、xz τ。这样，任一点在三个互相垂直的作用面上的应力共有9个分量，其中三个压应力xx p 、yy p 、zz p 和六个切应力xy τ、xz τ、yx τ、yz τ、zx τ、zy τ。
写成矩阵形式
???
?
?
?????=??????????=zz zy
zx
yz yy
yx xz xy
xx
p p p p p p p p p p p p P ττττττ3332
31
232221
1312
11
（1-36a ）
或压应力与切应力均用统一符号ij p 表示，表述如下
????
?
?????==3332
31
232221
131211
p p p p p p p p p p P ij （1-36b ） 称为应力张量(stress tensor)，它是一个二阶张量，而且yx xy ττ=，
zy yz ττ=，xz zx ττ=（证明见后）。因此，应力张量是一个对称张量。
图1-8 垂直于z 轴平面上A 点的表面应力
下面讨论切应力和压应力的特性。 1. 切应力的特性
切应力互等定律，即作用在两互相垂直平面上且与该两平面的交线相垂直的切应力大小都是相等的。表述如下：
yx xy ττ=，zy yz ττ=，xz zx ττ= （1-37）
证明如下：在实际流体中取一微小六面体，边长dx 、dy 、dz ，各表面的应力如图1-9所示。对通过六面体中心点S 并平行于x 轴的轴线取力矩，因质量力通过中心点S ，则得
02
1
)(2121)(2
1
=???+-?-???+
+?dy dxdz dy y dy dxdz dz dxdy dz z dz dxdy yz yz yz zy
zy zy ττττττ 忽略三阶以上的微量，则
0dxdydz dxdydz yz zy =-ττ
于是得
yz zy ττ=
同理，可以证明xz zx yx xy ττττ==及。
图1-9 实际流体微小六面体各表面的应力分量
2. 压应力的特性
压应力的大小与其作用面的方位有关，三个相互垂直方向的压应力一般是不相等的，即
zz yy xx p p p ≠≠。但从几何关系上可以证明，同一点上，三个相互垂直面的压应力之和，
与那组垂直面的方位无关，即)(zz yy xx p p p ++值总保持不变。在实际流体中，任何三个互相垂直面上的压应力的平均值定义为动水压强，以p 表示，则
)p p p (3
1
p zz yy xx ++= （1-38）
因此，实际流体的动水压强也只是位置坐标和时间的函数，即),,,(t z y x p p =。 一般规定，切应力的方向与坐标轴一致时为正；法向应力的方向与作用面的外法线一致时为正，与作用面的内法线一致时为负，即压应力为负。
1.8 牛顿流体的本构方程
把应力张量ij p 与变形速率张量ij ε联系起来的方程称为本构方程(constitutive
equation)。
满足切应力与剪切变形线形关系的流体为牛顿流体。一般的牛顿流体有水，空气，油等。本节只讨论不可压缩牛顿流体中应力张量与变形速率张量的关系。
1. 切应力与流速变化的关系
因变形和速度变化有关，所以切应力与流速变化有关。由牛顿内摩擦定律可知，在二维平行直线流动中，切应力的大小表述为
dt
d dy du x yx θ
μμ
τ== 即切应力与剪切变形速度（即角变形率）成比例。这个结论可以推广到三维情况。由流体微团运动分析知，xoy 平面上的角度形率为
)(21y
u x u x
y xy ??+??=ε
这是微团的角变形率，而实际上的直角变形率dt d θ应为上式的两倍。所以
)(
y
u x
u x
y yx ??+
??=μτ 同理，对三个互相垂直的平面上均可得出
??
???
?
??
?
????+??==??+??==??+??==)x u z u ()z u y u ()y u x u (z x zx
xz y
z yz zy x
y
xy yx μττμττμττ
（1-39a ）
这就是粘性流体中切应力的普遍表达式，称为广义的牛顿内摩擦定律。以张量的形式表述为
)j i ,3,2,1j ,i (,
2p ij ij ≠==με （1-39b ）
2. 法向应力与线变形率的关系
各个方向的法向应力可以认为等于动水压强p 加上一个附加应力，即
流体力学期末考试作图
1、作出标有字母的平面压强分布图并注明各点相对压强的大小（3分） 2、作出下面的曲面上压力体图并标明垂直方向分力的方向（4分） h1 A B h2 γ γ1=2γ h1 h2 A B γ
3、请定性作出下图总水头线与测压管水头线（两段均为缓坡）（4分） 28．试定性画出图示等直径管路的总水头线和测压管水头线。 4、转速n=1500r/min 的离心风机，叶轮内径D 1=480mm 。叶片进口处空气相对速度ω1=25m/s， 与圆 周速度的夹角为 β1=60°，试绘制空气在叶片进口处的速度三角形。 题13图
5、画出两台性能相同的离心泵并联工作时的性能曲线，并指出并联工作时每台泵的工作点。 答案：两台性能相同的离心泵并联工作时的性能曲线如图所示，图中B点为并联工作时每台泵的工作点，A点为总的工作点。 1.绘出如图球体的压力体并标出力的方向。 2.试绘制图示AB壁面上的相对压强分布图，并注明大小。 28．试定性画出图示等直径管路的总水头线和测压管水头线。
试定性分析图中棱柱形长渠道中产生的水面曲线。假设流量、粗糙系数沿程不变。 28.有断面形状、尺寸相同的两段棱柱形渠道如图示，各段均足够长，且i1>i c，i2 h''，试绘出水面 01 曲线示意图，并标出曲线类型。 1．试做出下图中的AB壁面上的压强分布图。 1．画出如图示曲面ABC上的水平压强分布图与压力体图。
2．画出如图短管上的总水头线与测压管水头线。 3．有三段不同底坡的棱柱体渠道首尾相连，每段都很长，且断面形状、尺度及糙率均相同。试定性画出各段渠道中水面曲线可能的连接形式。 （此文档部分内容来源于网络，如有侵权请告知删除，文档可自行编辑修改内容，供参考， 感谢您的配合和支持） 0≠上V 0≠下V i 1=i c i 2i c K K
流体力学基础知识
流体力学基础知识 第一节流体的物理性质 一、流体的密度和重度 流体单位体积内所具有的质量称为密度，密度用字母T表示，单位为kg/m3。流体单位体积内所具有的重量称为重度，重度用表示，单位为N/m?,两者之间的关系为 =「g , g 为重力加速度，通常g = 9. 806m/s2 流体的密度和重度不仅随流体种类而异，而且与流体的温度和压力有关。因为当温度和压力不同时，流体的体积要发生变化，所以其密度和重度亦随之变化。对于液体来讲，密度和重度受压力和温度变化的影响不大，可近似认为它们是常数。对于气体来讲，压力和温度对密度和重度的影响就很大。 二、流体的粘滞性 流体粘滞性是指流体运动时，在流体的层间产生内摩擦力的一种性质。 所谓动力粘度系数是指流体单位接触面积上的内摩擦力与垂直于运动方向上的速度变化率的比值，用」来表示。 所谓运动粘度是指动力粘度」与相应的流体密度「之比，用、来表示。 运动粘度或动力粘度的大小与流体的种类有关，对于同一流体，其值又随温度而异。气体的粘性系数随温度升高而升高，而液体的粘性系数则随温度的升咼而降低。 液体粘滞性随温度升高而降低的特性，对电厂锅炉燃油输送和雾化是有利的，因此锅炉燃用的重油需加热到一定温度后，才用油泵打出。但这个特性对水泵和风机等转动机械则是不利的，因为润滑油温超过60C时，由于粘滞性下 降，而妨碍润滑油膜的形成，造成轴承温度升高，以致发生烧瓦事故。故轴承回油温度一般保持在以60C下。 第二节液体静力学知识 一、液体静压力及其特性 液体的静压力是指作用在单位面积上的力，其单位为Pa。 平均静压力是指作用在某个面积上的总压力与该面积之比。点静压力是指在该面积某点附近取一个小面积△卩，当厶F逐渐趋近于零时作用在厶F面积上的平均静压力的极限叫做该面积某点的液体静压力。 平均静压力值可能大于该面积上某些点的液体静压力值，或小于另一些点的液体静压力值，因而它与该面积上某点的实际静压力是不相符的，为了表示 某点的实际液体静压力就需要引出点静压力的概念。
流体力学期末考试计算
水 水银 题1图 1 2 3 题型一：曲面上静水总压力的计算问题（注：千万注意方向，绘出压力体） 1、AB 曲面为一圆柱形的四分之一，半径R=0.2m ，宽度（垂直纸面）B=0.8m ，水深H=1.2m ，液体密度3/850m kg =ρ，AB 曲面左侧受到液体压力。求作用在AB 曲面上的水平分力和铅直分力。（10分） 解：（1）水平分力：RB R H g A h P z c x ?-==)2 (ργ…….(3分) N 1.14668.02.0)22 .02.1(8.9850=??- ??=，方向向右（2分）。 （2）铅直分力：绘如图所示的压力体，则 B R R R H g V P z ??? ? ????+-==4)(2πργ……….（3分） 1.15428.04 2.014.32.0)2.02.1(8.98502=???? ? ?????+?-??=，方向向下（2分） 。 2．有一圆滚门，长度l=10m ，直径D=4.2m ，上游水深H1=4.2m ，下游水深H2=2.1m ，求作用于圆滚门上的水平和铅直分压力。
解题思路：（1）水平分力： l H H p p p x )(2 1222121-=-=γ 方向水平向右。 （2）作压力体，如图，则 l D Al V p z 4 432 πγγγ? === 方向垂直向上。 3.如图示，一半球形闸门，已知球门的半径m R 1= ，上下游水位差m H 1= ，试求闸门受到的水平分力和竖直分力的大小和方向。 解： (1)水平分力： ()2R R H A h P c πγγ?+===左,2R R A h P c πγγ?='=右 右左P P P x -= kN R H 79.30114.31807.92=???=?=πγ， 方向水平向右。 （２）垂直分力： V P z γ=，由于左、右两侧液体对曲面所形成的压力体均为半球面，且两侧方向相反，因而垂直方向总的 压力为0。 4、密闭盛水容器，已知h 1=60cm,h 2=100cm ，水银测压计读值cm h 25=?。试求半径R=0.5m 的半球盖AB 所受总压力的水平分力和铅垂分力。
流体力学的发展现状
流体力学的发展和现状 作为物理的一部分，流体力学在很早以前就得到发展。在19世纪，流体力学沿着两个方面发展，一方面，将流体视为无粘性的，有一大批有名的力学数学家从事理论研究，对数学物理方法和复变函数的发展，起了相当重要的作用; 另一方面，由于灌溉、给排水、造船，及各种工业中管道流体输运的需要，使得工程流体力学，特别是水力学得到高度发展。将二者统一起来的关键是本世纪初边界层理论的提出，其中心思想是在大部分区域，因流体粘性起的作用很小，流体确实可以看成是无粘的。这样，很多理想流体力学理论就有了应用的地方。但在邻近物体表面附近的一薄层中，粘性起着重要的作用而不能忽略。边界层理论则提供了一个将这两个区域结合起来的理论框架。边界层这样一个现在看来是显而易见的现象，是德国的普朗特在水槽中直接观察到的。这虽也是很多人可以观察到的，却未引起重视，普朗特的重大贡献就在于他提出了处理这种把两个物理机制不同的区域结合起来的理论方法。这一理论提出后，在经过约10年的时间，奠定了近代流体力学的基础。 流体力学又是很多工业的基础。最突出的例子是航空航天工业。可以毫不夸大地说，没有流体力学的发展，就没有今天的航空航天技术。当然，航空航天工业的需要，也是流体力学，特别是空气动力学发展的最重要的推动力。就以亚音速的民航机为例，如果坐在一架波音747飞机上，想一下这种有400多人坐在其中，总重量超过300吨，总的长宽有大半个足球场大的飞机，竟是由比鸿毛还轻的空气支托着，这是任何人都不能不惊叹流体力学的成就。更不用说今后会将出现更大、飞行速度更快的飞机。 同样，也不可能想象，没有流体力学的发展，能设计制造排水量超过50万吨的船舶，能建造长江三峡水利工程这种超大规模工程，能设计90万kW汽轮机组，能建造每台价值超过10亿美元的海上采油平台，能进行气候的中长期预报，等等。甚至天文上观测到的一些宇宙现象，如星系螺旋结构形成的机理，也通过流体力学中形成的理论得到了解释。近年来从流体力学的角度对鱼类游动原理的研究，发现了采用只是摆动尾部（指身体大部不动）来产生推进力的鱼类，最好的尾型应该是细长的月牙型。这正是经过几亿年进化而形成的鲨鱼和鲸鱼的尾型，而这些鱼类的游动能力在鱼类中是最好的。这就为生物学进化方面提供了说明，引起了生物学家的很大兴趣。 所以很明显，流体力学研究，既对整个科学的发展起了重要的作用，又对很多与国计民生有关的工业和工程，起着不可缺少的作用。它既有基础学科的性质，又有很强的应用性，是工程科学或技术科学的重要组成部分。今后流体力学的发展仍应二者并重。 本世纪的流体力学取得多方面的重大进展，特别是在本世纪下半叶，由于实验测试技术、数值计算手段和分析方法上的进步，在多种非线性流动以及力学和其他物理、化学效应相耦合的流动等方面呈现了丰富多采的发展态势。 在实验方面，已经建立了适合于研究不同马赫数、雷诺数范围典型流动的风洞、激波管、弹道靶以及水槽、水洞、转盘等实验设备，发展了热线技术、激光技术、超声技术和速度、温度、浓度及涡度的测量技术，流动显示和数字化技术的迅猛发展使得大量数据采集、处理和分析成为可能，为提供新现象和验证新理论创造了条件。 流体力学是在人类同自然界作斗争，在长期的生产实践中，逐步发展起来的。早在几千年前，劳动人民为了生存，修水利，除水害，在治河防洪，农田灌溉，河道航运，水能利用等方面总结了丰富的经验。我国秦代李冰父子根据“深淘滩，低作堰”的工程经验，修建设计的四川都江堰工程具有相当高的科学水平，反映出当时人们对明渠流和堰流的认识已经达
流体力学试题 答案及评分标准
流体力学试卷 一、名词解释(共10小题，每小题4分，共40分) 1、流体力学 2、连续介质基本假设 3、理想流体 4、牛顿内摩擦定律 5、动量定律 6、流线和迹线 7、恒定流 8、层流和紊流 9、水击（锤）现象 10、明渠底坡 二、简答题(共5小题，每小题5分，共30分) 1、简述毕托管测流速的原理 2、雷诺数及其物理意义 3、简述水在土壤中的状态 4、试简述理想液体恒定元流的能量方程z+常数γ=+g v p 22 各项的物理意义 5、简述曲面边界层的分离现象 6、堰流的类型 五、计算题(共3小题，每小题10分，共30分) 1、闸门AB 曲面为一圆柱形的四分之一，半径r=2.0m ，垂直纸面的宽度b=1.0m ，水深H=4.0m ，闸门曲面左侧受到水压力。求作用在闸门AB 曲面上的水平分力和铅直分力。 2、某矩形断面排水沟，采用浆砌块石衬砌，粗糙系数n=0.025，底宽1.5m ，全长1000m ，进出口底板高差为0.4m ，计算水深为1.0m 时输送的明渠均 匀流流量。 3、如图闭合并联管路，用旧铸铁管从A 向B 输水，已知d1=150mm ，l 1=800m ； d2=150mm ，l 2=500m ；d3=200mm ，l 3=1000mm ；总流量Q=100L/s ，求分支路上的流量Q1、Q2、Q3及AB 间损失水头。 一、名词解释(本大题共10小题，每小题4分，共40分)
1、流体力学：是力学的分支（1分），主要研究流体在各种力的作用下，流体本身的运动规律（1分），以及流体与固体壁面、流体与流体间由于存在相对运动时的相互作用（2分）。也即研究流体的机械运动规律。 2、连续介质基本假设：流体力学研究流体的宏观运动规律，对流体的宏观运动（1分），假设流体是由无数质点组成的、没有空隙的连续体（1分），并认为流体的各物理量的变化随时间和空间也是连续的（1分），可应用高等数学中的连续函数来表达流体中各种物理量随空间、时间的变化关系（1分）。 3、理想流体：是流体力学中一个重要假设模型（或流体物理性质的简化）（1分），即流体分子间不存在内聚力（3分）。 4、牛顿内摩擦定律：流体的内摩擦力T（切向力）与流层间的接触面面积A和流层的速度梯度du/dy或变形率成正比（2分），即T=μAdu/dy，μ称为流体动力粘性系数（2分）。 5、动量定律 作用于物体的外力∑F等于该物体在力作用方向上的动量变化率。 6、迹线和流线：迹线：某一流体质点的运动轨迹，是运动的流体质点在不同时刻所占据的空间位置的连线（2分）。流线：是描述流场中各质点瞬态流动方向即速度方向的的曲线（2分）。 7、恒定流：描述流体质点运动的所有参数仅仅是空间坐标（x、y、z）的函数，而与时间 t无关。（或流场中任意空间位置上运动参数或物理量都不随时间而改变，即对时间的偏导数等于零。） 8、层流和紊流：层流：流体质点无横向脉动，质点互不混杂，层次分明，稳定安详的流 动状态（2分）。 紊流：流体质点不仅在轴（纵）向而且在横向均有不规则脉动速度，流体质点杂乱交错的混沌流动状 态（2分）。 9、水击（锤）现象：在有压管道流中（1分），由于某种原因（如阀门突然启闭、换向阀 突然变换工位等），使流体速度突然发生变化（动量发生变化）（1分），从而引起流体压强的突然变化、升压和降压交替进行的水力现象（1分），对于管壁和阀门的作用如锤击一样，也称为水锤（1分）。 10、明渠底坡：明渠渠底与水平线的夹角的正弦值，即流体质点的落差与相应渠长（质点 路径）的比值，i=sinθ=Δz/l。（或单位渠长上的渠底高差。） 11、流体质点：是研究流体宏观运动规律的最小基本单元，具有宏观足够小、微观足够大的性质。一方面，流体质点的尺度比起所研究问题的宏观尺度足够的小，从宏观上可以认为是一个几何上没有体积的点；另一方面，从微观上看，该特征体积远远大于流体分子间的间距，可容纳足够多的流体分子，个别分子运动参数的变化不影响这群分子运动参数的平均值，而不表现其随机性。 二、简答题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 1、简述毕托管测流量的原理（P39） 2、雷诺数及其物理意义。
流体力学发展简史.
流体力学发展简史 流体力学作为经典力学的一个重要分支，其发展与数学、力学的发展密不可分。它同样是人类在长期与自然灾害作斗争的过程中逐步认识和掌握自然规律，逐渐发展形成的，是人类集体智慧的结晶。 人类最早对流体力学的认识是从治水、灌溉、航行等方面开始的。在我国水力事业的历史十分悠久。 4000多年前的大禹治水，说明我国古代已有大规模的治河工程。 秦代，在公元前256-前210年间便修建了都江堰、郑国渠、灵渠三大水利工程，特别是李冰父子领导修建的都江堰，既有利于岷江洪水的疏排，又能常年用于灌溉农田，并总结出“深淘滩，低作堰”、"遇弯截角，逢正抽心"的治水原则。说明当时对明槽水流和堰流流动规律的认识已经达到相当水平。 西汉武帝（公元前156-前87）时期，为引洛水灌溉农田，在黄土高原上修建了龙首渠，创造性地采用了井渠法，即用竖井沟通长十余里的穿山隧洞，有效地防止了黄土的塌方。 在古代，以水为动力的简单机械也有了长足的发展，例如用水轮提水，或通过简单的机械传动去碾米、磨面等。东汉杜诗任南阳太守时（公元37年）曾创造水排（水力鼓风机），利用水力，通过传动机械，使皮制鼓风囊连续开合，将空气送入冶金炉，较西欧约早了一千一百年。 古代的铜壶滴漏（铜壶刻漏）--计时工具，就是利用孔口出流
使铜壶的水位变化来计算时间的。说明当时对孔口出流已有相当的认识。 北宋（960-1126）时期，在运河上修建的真州船闸与十四世纪末荷兰的同类船闸相比，约早三百多年。 明朝的水利家潘季顺（1521-1595）提出了"筑堤防溢，建坝减水，以堤束水，以水攻沙"和"借清刷黄"的治黄原则，并著有《两河管见》、《两河经略》和《河防一揽》。 清朝雍正年间，何梦瑶在《算迪》一书中提出流量等于过水断面面积乘以断面平均流速的计算方法。 欧美诸国历史上有记载的最早从事流体力学现象研究的是古希腊学者 阿基米德（Archimedes，公元前287－212），在公元前250年发表学术论文《论浮体》，第一个阐明了相对密度的概念，发现了物体在流体中所受浮力的基本原理──阿基米德原理。 著名物理学家和艺术家列奥纳德达芬奇（Leonardo.da.Vinci,1452－1519）设计建造了一小型水渠，系统地研究了物体的沉浮、孔口出流、物体的运动阻力以及管道、明渠中水流等问题。 斯蒂文（S.Stevin,1548-1620）将用于研究固体平衡的凝结原理转用到流体上。 伽利略（Galileo,1564-1642）在流体静力学中应用了虚位移原理，并首先提出，运动物体的阻力随着流体介质密度的增大和速度
(完整版)流体力学期末试题(答案)..
中北大学 《流体力学》 期末题
目录 第四模块期末试题 (3) 中北大学2013—2014学年第1学期期末考试 (3) 流体力学考试试题（A） (3) 流体力学考试试题（A）参考答案 (6) 中北大学2012—2013学年第1学期期末考试 (8) 流体力学考试试题（A） (8) 流体力学考试试题（A）参考答案 (11)
第四模块 期末试题 中北大学2013—2014学年第1学期期末考试 流体力学考试试题（A ） 所有答案必须做在答案题纸上，做在试题纸上无效！ 一、 单项选择题（本大题共15小题，每小题1分，共15分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符 合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．交通土建工程施工中的新拌建筑砂浆属于（ ） A 、牛顿流体 B 、非牛顿流体 C 、理想流体 D 、无黏流体 2．牛顿内摩擦定律y u d d μ τ =中的 y u d d 为运动流体的（ ） A 、拉伸变形 B 、压缩变形 C 、剪切变形 D 、剪切变形速率 3．平衡流体的等压面方程为（ ） A 、0=--z y x f f f B 、0=++z y x f f f C 、 0d d d =--z f y f x f z y x D 、0d d d =++z f y f x f z y x 4．金属测压计的读数为（ ） A 、绝对压强 p ' B 、相对压强p C 、真空压强v p D 、当地大气压a p 5．水力最优梯形断面渠道的水力半径=R （ ） A 、4/h B 、3/h C 、2/h D 、h 6．圆柱形外管嘴的正常工作条件是（ ） A 、m 9,)4~3(0>=H d l B 、m 9,)4~3(0<=H d l C 、m 9,)4~3(0>>H d l D 、m 9,)4~3(0< 第一章流体力学基本知识 学习本章的目的和意义：流体力学基础知识是讲授建筑给排水的专业基础知识，只有掌握了该部分知识才能更好的理解建筑给排水课程中的相关内容。 §1-1 流体的主要物理性质 1．本节教学内容和要求： 1.1本节教学内容： 流体的4个主要物理性质。 1.2教学要求： （1）掌握并理解流体的几个主要物理性质 （2）应用流体的几个物理性质解决工程实践中的一些问题。 1.3教学难点和重点： 难点：流体的粘滞性和粘滞力 重点：牛顿运动定律的理解。 2．教学内容和知识要点： 2.1 易流动性 （1）基本概念：易流动性——流体在静止时不能承受切力抵抗剪切变形的性质称易流动性。 流体也被认为是只能抵抗压力而不能抵抗拉力。 易流动性为流体区别与固体的特性 2.2密度和重度 （1）基本概念：密度——单位体积的质量，称为流体的密度即： M ρ= V M——流体的质量，kg ; V——流体的体积，m3。 常温，一个标准大气压下Ρ水=1×103kg/ m3 Ρ水银=13.6×103kg/ m3 基本概念：重度：单位体积的重量，称为流体的重度。重度也称为容重。 G γ= V G——流体的重量，N ; V——流体的体积，m3。 ∵G=mg ∴γ=ρg 常温，一个标准大气压下γ水=9.8×103kg/ m3 γ水银=133.28×103kg/ m3密度和重度随外界压强和温度的变化而变化 液体的密度随压强和温度变化很小，可视为常数，而气体的密度随温度压强变化较大。 2..3 粘滞性 （1）粘滞性的表象 基本概念：流体在运动时抵抗剪切变形的性质称为粘滞性。当某一流层对相邻流层发生位移而引起体积变形时，在流体中产生的切力就是这一性质的表 现。 为了说明粘滞性由流体在管道中的运动速度实验加以分析说明。用流速仪测出管道中某一断面的流速分布如图一所示 设某一流层的速度为u,则与其相邻的流层为u+du,du为相邻流层的速度增值，设相邻流层的厚度为dy，则du/dy叫速度梯度。 由于各流层之间的速度不同，相邻流层间有相对运动，便在接触面上产生一种相互作用的剪切力，这个力叫做流体的内摩擦力，或粘滞力。 平板实验 （2）牛顿内摩擦定律 基本概念：牛顿在平板实验的基础上于1867年在所著的《自然哲学的数学原理》中提出了流体内摩擦力的假说——牛顿内摩擦定律： 当切应力一定时，粘性越大，剪切变形的速度越小，所以粘性又可定义为流体 三计算题 一、粘性 1．一平板在油面上作水平运动，如图所示。已知平板运动速度V=1.0m/s，板与固定边界的距离δ＝1mm，油的粘度μ＝0.09807Pa·s。 试求作用在平板单位面积上的切向力。 2. 一底面积为2 cm 50 45?，质量为6kg的木块，沿涂有润滑油的斜面向下作等速运动，木块运动速度s m 2.1 = u，油层厚度mm 1 = δ，斜面角C 02ο = θ（如图所示），求油的动力粘度μ。 δ u θ 二静力学 1．设有一盛水的密闭容器，如图所示。已知容器内点A的相对压强为4.9×104Pa。若在该点左侧壁上安装一玻璃测压管，已知水的密度ρ＝1000kg/m3,试问需要多长的玻璃测压管？若在该点的右侧壁上安装一水银压差计，已知水银的密度ρHg＝13.6×103kg/m3,h1=0.2m,试问水银柱高度差h2是多大？ 2．如图所示的半园AB 曲面，宽度m 1= b，直径m 3= D，试求曲AB 所受的静水总压力。 D /2 A B 水 水D α O B O A H p a 3. 如下图，水从水箱经管路流出，管路上设阀门K ，已知L=6m,α=30°,H=5m, B 点位于出口断面形心点。假设不考虑能量损失，以 O-O 面为基准面，试问：阀门K 关闭时，A 点的位置水头、压强水头、测压管水头各是多少？ 4. 位于不同高度的两球形容器，分别贮有 2m kN 9.8=g A ρ的 油 和2 m kN 00.10=g B ρ的盐水，差压计内工作液体为水银。 m 21=h ，m 32=h ，m 8.03=h ，若B 点压强2cm N 20=B p ，求A 点压强A p 的大小。 ? ? M M A B 汞 h h h γγA B 1 2 3 5. 球形容器由两个半球面铆接而成，有8个铆钉，球的半径m 1=R ，内盛有水， 玻璃管中液面至球顶的垂直距离2m . 1=H ，求 每个铆钉所受的拉力。 R H 6．设有一盛静水的密闭容器，如图所示。由标尺量出水银压差计左肢内水银液面距A 点的高度h 1=0.46m ，左右两侧液面高度差 h 2=0.4m ，试求容器内液体中A 点的压强，并说明是否出现了真空。已知水银的密度ρHg ＝13.6×103kg/m 3。 工程流体力学三级项目报告multinuclear program design Experiment Report 项目名称： 班级： 姓名： 指导教师： 日期： 摘要 简要介绍了流体力学在生活中的应用，涉及到体育，工业，生活小窍门等。讨论了一些流体力学原理。许许多多的现象都与流体力学有关。为什么洗衣机老翻衣兜？倒啤酒要注意什么诀窍？高尔夫球为什么是麻脸的？本文将就以上三个问题讨论流体力学中一些简单的原理，如伯努力定律，雷诺数，边界层分离等，展现流体力学的广泛应用，证明流体力学妙趣横生。 关键字：伯努利定律;层流;湍流;空气阻力;雷诺数;高尔夫球 前言 也许，到现在你都有点不会相信，其实我们生活在一个流体的世界里。观察生活时我们总可以发现。生活离不开流体，尤其是在社会高速发展的今天。鹰击长空，鱼翔浅底；汽车飞奔，乒乓极旋，许许多多的现象都与流体力学有关。为什么洗衣机老翻衣兜？倒啤酒要注意什么诀窍？高尔夫球为什么是麻脸的？本文将就以上三个问题讨论流体力学中一些简单的原理，如伯努力定律，雷诺数，边界层分离等，展现流体力学的广泛应用，证明流体力学妙趣横生。生活中的很多事物都在经意或不经意中巧妙地掌握和运用了流体力学的原理，让其行动变得更灵活快捷。 一、麻脸的高尔夫球（用雷诺数定量解释） 不知道大家有没有发现，高尔夫球的表面做成有凹点的粗糙表面，而不是平滑光趟的表面，就是利用粗糙度使层流转变为紊流的临界雷诺数减小，使流动变为紊流，以减小阻力的实际应用例子。最初，高尔夫球表面是做成光滑的，如图1—1，后来发现表面破损的旧球 图1-1光滑面1-2粗糙面 反而打的更远。原来是临界Re数不同的结果。光滑的球由于这种边界层分离得早，形成的前后压差阻力就很大，所以高尔夫球在由皮革改用塑胶后飞行距离便大大缩短了，因此人们不得不把高尔夫球做成麻脸的，即表面布满了圆形的小坑。麻脸的高尔夫球有小坑，飞行时小坑附近产生了一些小漩涡，由于这些小漩涡的吸力，高尔夫球附近的流体分子被漩涡吸引， 液压复习参考题 注意:以下题目仅供参考,并非考试题目 一、填空题 1．液压系统中的压力取决于（负载），执行元件的运动速度取决于（流量）。 2．液压传动装置由（动力元件）、（执行元件）、（控制元件）和（辅助元件）四部分组成，其中（动力元件）和（执行元件）为能量转换装置。 3．液体在管道中存在两种流动状态，（层流）时粘性力起主导作用，（紊流）时惯性力起主导作用，液体的流动状态可用（雷诺数）来判断。 4．由于流体具有（粘性），液流在管道中流动需要损耗一部分能量，它由（沿程压力）损失和（局部压力）损失两部分组成。 5．通过固定平行平板缝隙的流量与（压力差）一次方成正比，与（缝隙值）的三次方成正比，这说明液压元件内的（间隙）的大小对其泄漏量的影响非常大。 6．变量泵是指（排量）可以改变的液压泵，常见的变量泵有( 单作用叶片泵)、( 径向柱塞泵)、( 轴向柱塞泵)其中（单作用叶片泵）和（径向柱塞泵）是通过改变转子和定子的偏心距来实现变量，（轴向柱塞泵）是通过改变斜盘倾角来实现变量。 7．液压泵的实际流量比理论流量（小）；而液压马达实际流量比理论流量（大）。 8．斜盘式轴向柱塞泵构成吸、压油密闭工作腔的三对运动摩擦副为（柱塞与缸体）、（缸体与配油盘）、（滑履与斜盘）。 9．外啮合齿轮泵位于轮齿逐渐脱开啮合的一侧是（吸油）腔，位于轮齿逐渐进入啮合的一侧是（压油）腔。 10．为了消除齿轮泵的困油现象，通常在两侧盖板上开（卸荷槽），使闭死容积由大变少时与（压油）腔相通，闭死容积由小变大时与（吸油）腔相通。 11．齿轮泵产生泄漏的间隙为（端面）间隙和（径向）间隙，此外还存在（啮合）间隙，其中（端面）泄漏占总泄漏量的80%～85%。 12．双作用叶片泵的定子曲线由两段（大半径圆弧）、两段（小半径圆弧）及四段（过渡曲线）组成，吸、压油窗口位于（过渡曲线）段。 13．调节限压式变量叶片泵的压力调节螺钉，可以改变泵的压力流量特性曲线上（拐点压力）的大小，调节最大流量调节螺钉，可以改变（泵的最大流量）。 14．溢流阀为（进口）压力控制，阀口常（闭），先导阀弹簧腔的泄漏油与阀的出口相通。定值减压阀为（出口）压力控制，阀口常（开），先导阀弹簧腔的泄漏油必须（单独引回油箱）。 15．调速阀是由（定差减压阀）和节流阀（串联）而成，旁通型调速阀是由（差压式溢流阀）和节流阀（并联）而成。 16．两个液压马达主轴刚性连接在一起组成双速换接回路，两马达串联时，其转速为（高速）；两马达并联时，其转速为（低速），而输出转矩（增加）。串联和并联两种情况下回路的输出功率（相同）。 17．在变量泵—变量马达调速回路中，为了在低速时有较大的输出转矩、在高速时能提供较大功率，往往在低速段，先将（马达排量）调至最大，用（变量泵）调速；在高速段，（泵排量）为最大，用（变量马达）调速。 18．顺序动作回路的功用在于使几个执行元件严格按预定顺序动作，按控制方式不同，分为（压力）控制和（行程）控制。同步回路的功用是使相同尺寸的执行元件在运动上同步，同步运动分为（速度）同步和（位置）同步两大类。 19.在研究流动液体时，把假设既（无粘性）又（不可压缩）的液体称为理想流体。 20.液体流动时，液体中任意点处的压力、流速和密度都不随时间而变化，称为恒定流动。 流体力学基本概念和基础知识（部分） 1．什么是粘滞性？什么是牛顿内摩擦定律？不满足牛顿内摩擦定律的流体是牛顿流体还是非牛顿流体？ 流体内部质点间或流层间因相对运动而产生内摩擦力以反抗相对运动的性质 dy du A T μ= 满足牛顿内摩擦定律的流体是牛顿流体 请阐述液体、气体的动力粘滞系数随着温度、压强的变化规律。 水的黏滞性随温度升高而减小；空气的黏滞性随温度的升高而增大。（动力粘度μ体现黏滞性）通常的压强对流体的黏滞性影响不大，但在高压作用下，气液的动力黏度随压强的升高而增大。 2．在流体力学当中，三个主要的力学模型是指哪三个？并对其进行说明。 连续介质（对流体物质结构的简化）、无黏性流体（对流体物理性质的简化）、不可压流体（对流体物理性质的简化） 3．什么是理想流体？ 不考虑黏性作用的流体，称为无黏性流体（或理想流体） 4．什么是实际流体？ 考虑黏性流体作用的实际流体 5．什么是不可压缩流体？ 流体在流动过程中，其密度变化可以忽略的流动，称为不可压缩流动。 6．为什么流体静压强的方向必垂直作用面的内法线？ 流体在静止时不能承受拉力和切力，所以流体静压强的方向必然是沿着作用面的内法线方向 7．为什么水平面必是等压面？ 由于深度相等的点，压强也相同，这些深度相同的点所组成的平面是一个水平面，可见水平面是压强处处相等的面，即水平面必是等压面。 8．什么是等压面？满足等压面的三个条件是什么？ 在同一种液体中,如果各处的压强均相等由各压强相等的点组成的面称为等压面。满足等压面的三个条件是同种液体连续液体静止液体。 9．什么是阿基米德原理？ 无论是潜体或浮体的压力体均为物体浸入液体的体积，也就是物体排开液体的体积。 10．潜体或浮体在重力G和浮力P的作用，会出现哪三种情况？ 重力大于浮力，物体下沉至底。重力等于浮力，物体在任一水深维持平衡。重力小于浮力，物体浮出液体表面，直至液体下部分所排开的液体重量等于物体重量为止。 11．等角速旋转运动液体的特征有那些？ （1）等压面是绕铅直轴旋转的抛物面簇；（2）在同一水平面上的轴心压强最低，边缘压强最高。 12．什么是绝对压强和相对压强？两者之间有何关系？通常提到的压强是指绝对压强还是相对压强？1个标准大气压值以帕（Pa）、米水柱（mH2O）、毫米水银柱（mmHg）表示，其值各为多少？ 绝对压强：以毫无一点气体存在的绝对真空为零点起算的压强。相对压强：当地同高程的大气压强ap为零点起算的压强。压力表的度数是相对压强，通常说的也是相对压强。1atm=101325pa=10.33mH2O=760mmHg. 13．什么叫自由表面？和大气相通的表面叫自由表面。 14．什么是流线？什么是迹线？流线与迹线的区别是什么？ 流线是某一瞬时在流场中画出的一条空间曲线，此瞬时在曲线上任一点的切线方向与该点的速度方向重合，这条曲线叫流线。区别：迹线是流场中流体质点在一段时间过程中所走过的轨迹线。流线是由无究多个质点组成的，它是表示这无究多个流 1）把有量纲二维Euler方程组转换成无量纲形式。 解：二维Euler方程组如下所示： 引入参考量：自由来流密度，自由来流x方向速度，流场中物体特征长度，则有 将上面式子代入二维Euler方程组，则 2）求出定常不可压缩粘性流动方程组特征根，并分析它的数学性质和类型。 解：定常不可压缩粘性流动方程组为 设流函数为ψ，则有 定常不可压缩粘性流动方程组化简为 ☆ 根据☆方程组有 λ=±i 所以该方程组的数学性质和类型是确定的，它是椭圆形的。 3）对流方程的两步迎风差分格式为： 分析它的精度和稳定性。 解：设，则有 ☆ 根据Taylor展开公式有 据此有 代入☆式 下面分析稳定性 ☆ 代入☆式 放大因子 要使，则有 时两步迎风差分格式是稳定的。 4）的Lax-Wendroff一步差分格式的精度和稳定性。 解：根据Taylor展开公式有 据此有 下面分析稳定性 ☆ 代入☆式 放大因子 当时，，Lax-Wendroff一步差分格式是稳定的。 5）分析Burgers方程的Lax差分格式的精度和稳定性。 解：Lax差分格式为 下面分析稳定性 ☆ 代入☆式 放大因子 ☆☆ 令，求的极值 端点值时令， 综上所述有Lax差分格式稳定的条件是 6）分析的紧致格式的精度和稳定性 解：根据泰勒展开有 下面分析稳定性 放大因子 根据，求得 此时，紧致格式是稳定的。 7）分析差分格式的精度和稳定性。 解：根据泰勒展开有 分析稳定性 8）推导的蛙跳差分格式的修正方程。 解：根据泰勒展开 其修正方程为 9）对流方程的一阶迎风差分格式为： 用Taylor分析方法求出差分格式耗散项和色散项表达式。 解：根据泰勒展开有 10）数值计算实习 采用二阶迎风差分格式或Warming-Beam差分格式数值求解一位激波管问题，并和二阶MacCor mack差分格式计算结果进行比较。 解： ~ 第一章 流体力学 【1-1】 椰子油流过一内径为20mm 的水平管道，其上装有一收缩管，将管径逐渐收缩至 12mm ，如果从未收缩管段和收缩至最小处之间测得的压力差为800Pa ，试求椰子油的流量。 【1-2】 牛奶以2×10－3m 3/s 的流量流过内径等于27mm 的不锈钢管，牛奶的粘度为×10－， 密度为1030kg/m 3，试确定管内流动是层流还是紊流。 【1-3】 用泵输送大豆油，流量为×10－4m 3/s ，管道内径为10mm ，已知大豆油的粘度为40 ×10－，密度为940kg/m 3。试求从管道一端至相距27m 的另一端之间的压力降。 】 【1-7】某离心泵安装在高于井内水面 5.5m 的地面上，吸水量为40m 3/h 。吸水管尺寸为 4114?φmm ，包括管路入口阻力的吸水管路上的总能量损失为kg 。试求泵入口处的真空度。（当地大气压为×105Pa ） 【1-9】每小时将10m 3常温的水用泵从开口贮槽送至开口高位槽。管路直径为357?φmm ， 全系统直管长度为100m ，其上装有一个全开闸阀、一个全开截止阀、三个标准弯头、两个阻力可以不计的活接头。两槽液面恒定，其间垂直距离为20m 。取管壁粗糙度为0.25mm 、水的密度为1000kg/m 3、粘度为1×10－。试求泵的效率为70％时的轴功率。 【1-10】用泵将开口贮槽内密度为1060kg/m 3、粘度为×10－的溶液在稳定流动状态下送到蒸 发器内，蒸发空间真空表读数为40kPa 。溶液输送量为18m 3/h 。进蒸发器水平管中心线高于贮槽液面20m ，管路直径357?φmm ，不包括管路进、出口的能量损失，直管和管件当量长度之和为50m 。取管壁粗糙度为0.02mm 。试求泵的轴功率（泵的效率为65％）。 【1-13】拟用一台3B57型离心泵以60m 3/h 的流量输送常温的清水，已查得在此流量下的允 许吸上真空H s ＝5.6m ，已知吸入管内径为75mm ，吸入管段的压头损失估计为0.5m 。试求： 1) ； 2) 若泵的安装高度为5.0m ，该泵能否正常工作该地区大气压为×104Pa ； 3) 若该泵在海拔高度1000m 的地区输送40℃的清水，允许的几何安装高度为若干米当地大气压为×104Pa 。 06级研究生高等流体力学期末考试试题 一、 概念题： 1． 什么是边界层厚度，位移厚度和动量损失厚度，并解释其物理意义。 边界层中速度为99％主流速度的位置到壁面的垂直距离。 位移厚度00 1 *u dy u δ∞ ? ? =? ??? ? ∫由于壁面存在，使得流量减少，相当于壁面向外推移了一定的厚度。 动量亏损厚度0 001 u u dy u u θ∞ ?? =????? ∫由于由于壁面存在， 使得动量通量减少，相当于壁面向外推移了一定的厚度。 2． 什么是牛顿传热定律，试解释自然对流不满足牛顿传热定律的原因。 单位时间单位面积的换热量正比于温差。 自然对流中温差不仅影响换热，而且影响速度场，从而改变换热系数，换热量与温差的关系不是线性的。 3． 分析Ekman 层和静止坐标系中壁面边界层的相同点与不同点。 相同点：Ekman 层和边界层都是自由流与固壁之间的运动，需要考虑粘性力的影响。Ekman 层坐标系是旋转的，边界层的坐标系是不旋转的。 不同点：Ekman 层中粘性力和科氏力平衡，U ,仅是的函数，与V z x,y 无关，Ekman 层厚度是常数。边界层中惯性力与粘性力平衡，速度沿流动方向是变化的，边界层的厚度是变化的。 4． 什么是Kelvin-Helmholtz 不稳定，举例说明哪些流动可以产生K-H 不稳定。 剪切流中，由于速度分布有拐点引起的不稳定性过程。平面混合层、自由射流，尾流中都可以产生K-H 不稳定。 5． 湍流粘性系数的定义，并说明它与分子粘性系数的区别。 湍流应力张量和平均流场应变率之间的线性关系，比例系数为湍流粘性系数。湍流粘性系数不是物性参数，与流场结构有关。分子粘性系数是物性参数。 二、 密度为ρ的不可压缩均质流体以均匀速度1u 进入半径为R 的水平直圆管， 出口处的速度分布为( )2 2 21r u C R =?，式中 C 为待定常数，r 是点到管轴的距离。 如果进口和出口处的压强分别为1P 和2P ，求管壁对流体的作用力。 第一章习题简答 1-3 为防止水温升高时，体积膨胀将水管胀裂，通常在水暖系统顶部设有膨胀水箱，若系统内水的总体积为10m 3，加温前后温差为50°С，在其温度范围内水的体积膨胀系数αv ＝0.0005/℃。求膨胀水箱的最小容积V min 。 锅炉 散热器 题1-3图 解：由液体的热胀系数公式dT dV V 1V = α ， 据题意， αv ＝0.0005/℃，V=10m 3，dT=50°С 故膨胀水箱的最小容积 325.050100005.0m VdT dV V =??==α 1-4 压缩机压缩空气，绝对压强从4 108067.9?Pa 升高到5 108840.5?Pa ，温度从20℃升高到78℃，问空气体积减少了多少？ 解：将空气近似作为理想气体来研究，则由 RT P =ρ 得出 RT P = ρ 故 () 34 111/166.120273287108067.9m kg RT P =+??==ρ () % 80841 .5166.1841.5/841.578273287108840.52121 211213 5 222=-=-=-=-=?=+??==ρρρρρρρm m m V V V V m kg RT P 1-5 如图，在相距δ＝40mm 的两平行平板间充满动力粘度μ＝0.7Pa·s 的液体，液体中 有一长为a ＝60mm 的薄平板以u ＝15m/s 的速度水平向右移动。假定平板运动引起液体流 动的速度分布是线性分布。当h＝10mm时，求薄平板单位宽度上受到的阻力。 解：平板受到上下两侧黏滞切力T1和T2作用，由 dy du A Tμ =可得 12 U1515 T T T A A0.70.0684 0.040.010.01 U N h h μμ δ ?? =+=+=??+= ? -- ?? （方向与u相 反） 1-6 两平行平板相距0.5mm，其间充满流体，下板固定，上板在2 N/m2的力作用下以0.25m/s匀速移动，求该流体的动力黏度μ。 解：由于两平板间相距很小，且上平板移动速度不大，则可认为平板间每层流体的速 度分布是直线分布，则 σ μ μ u A dy du A T= =，得流体的动力黏度为 s Pa u A T u A T ? ? = ? ? = ? = =- - 4 3 10 4 25 .0 10 5.0 2 σ σ μ 1-7 温度为20°С的空气，在直径为2.5cm的管中流动，距管壁上1mm处的空气速度为3cm/s。求作用于单位长度管壁上的黏滞切力为多少？ 解：温度为20°С的空气的黏度为18.3×10-6 Pa·s 如图建立坐标系，且设u=ay2+c 由题意可得方程组 ?? ? ? ? + - = + = c a c a 2 2 ) 001 .0 0125 .0( 03 .0 0125 .0 解得a= -1250，c=0.195 则u=-1250y2+0.195 一、选择题： 1、从力学的角度分析，一般流体和固体的区别在于流体_________。 A 、能承受拉力，平衡时不能承受切应力 B 、不能承受拉力，平衡时能承受切应力 C 、不能承受拉力，平衡时不能承受切应力 D 、能承受拉力，平衡时也能承受切应力 2、液体在重力场中作加速直线运动时，其自由面与（ ）处处正交。 A 、重力 B 、惯性力 C 、重力和惯性力的合力 D 、压力 3、图示容器内盛有两种不同的液体，密度分别为1ρ，2ρ，则有 A 、g p z g p z B B A A 11ρρ+=+ B 、g p z g p z C C A A 21ρρ+=+ C 、g p z g p z D D B B 21ρρ+=+ D 、g p z g p z C C B B 21ρρ+=+ O 4、流线与流线，在通常情况下： A ．能相交，也能相切； B ．仅能相交，但不能相切； C ．仅能相切，但不能相交； D ．既不能相交，也不能相切。 5、输水管道在流量和水温一定时，随着直径的增大，水流的雷诺数Re 就 A 、增大； B 、减小； C 、不变； D 、不定 6、圆管流动中，过流断面上速度分布为 (a)(b)(c)(d) 7、虹吸管最高处的压强_________。 A 、大于大气压 B 、等于大气压 C 、小于大气压 D 、无法确定 8、在变截面喷管内，亚声速等熵气流随截面面积沿程减小，则有（ ）。 A 、v 减小 B 、p 增大 C 、ρ增大 D 、T 下降。 9、圆管突然扩大的水头损失可表示为（ ）。 A 、g v v 22 2 21- B 、g v v 22 1- C 、 ()g v v 22 21- D 、g v v 22 122- 10、在安排管道阀门阻力试验时，首先考虑要满足的相似准则是（ ）。 A 、雷诺数Re B 、弗劳德数Fr C 、斯特劳哈尔数Sr D 、欧拉数Eu 二、判断题：对的打“√”，错的打“×”（ 1、液体粘度随温度升高而降低；气体粘度随温度升高而升高。 （ ） 2、研究流体的运动规律是应用拉格朗日法分析流体运动的轨迹。 （ ） 3、作为由层流向紊流过度的临界雷诺数，在水中和煤油中是不同的。 （ ） 4、根据尼古拉茨实验结果，管流湍流区沿程摩阻系数随雷诺数增大而呈现 减小的趋势，因此实际工程中为了减小水头损失应该增大管道中流体速度。 （ ） 5、在过流断面突变处一般发生局部水头损失。 （ ） 6、压力管路中的水击现象通常有害，开关阀门时速度一定要足够快速。 （ ） 7、应用总流的伯努利方程时，两过水断面之间不能出现急变流。 （ ） 8、薄壁孔的收缩系数对其出流性能没有影响。 （ ） 9、长度超过10米的管道，通常称为长管；反之称为短管。 （ ） 10、气体运动速度小于当地声速时，气体中某点的微弱扰动理论上可以传播流体力学基础学习知识知识
流体力学期末复习,计算部分
生活中的流体力学知识研究报告
第一章流体力学基础
流体力学基本概念和基础知识..
计算流体力学习题-期中考试题题库2
第一章-流体力学基础习题
06级研究生高等流体力学期末考试试题及参考答案
流体力学第一章答案
重庆科技学院流体力学期末考试卷