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第二章 2.1 第1课时数列的概念与通项公式【教师版】

§2.1数列的概念与简单表示法第1课时数列的概念与通项公式

学习目标

1.理解数列及其有关概念.

2.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项.

3.对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式．

知识点一数列及其有关概念

1．按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项)，排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n位的数称为这个数列的第n项．

2. 数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，a n，…，简记为{a n}．

思考数列1,2,3与数列3,2,1是同一个数列吗？

答案不是．顺序不一样．

知识点二通项公式

如果数列{a n}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子a n＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．

知识点三数列的分类

1．按项数分类，项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列．

2．按项的大小变化分类，从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列；各项相等的数列叫做常数列；从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列．

1．1,1,1,1是一个数列．( √ )

2．数列1,3,5,7，…的第10项是21.( × ) 3．每一个数列都有通项公式．( × )

4．如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列．( × )

题型一数列的分类

例1 下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是( ) A ．1，12，13，1

4，…

B ．－1，－2，－3，－4，…

C ．－1，－12，－14，－1

8，…

D ．1，2，3，…，n

答案 C

解析 A ，B 都是递减数列，D 是有穷数列，只有C 符合题意．

反思感悟判断数列的单调性时一定要确保每一项均大于(或均小于)后一项，不能有例外．跟踪训练1 下列数列哪些是有穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是摆动数列？哪些是常数列？

(1)2 010,2 012,2 014,2 016,2 018； (2)0，12，2

3，…，n －1n ，…；

(3)1，12，14，…，1

2n －1，…；

(4)－

11×2，12×3，－13×4，1

4×5

，…； (5)1,0，－1，…，sin n π

，…； (6)9,9,9,9,9,9.

解 (1)(6)是有穷数列；(1)(2)是递增数列；(3)是递减数列；(4)(5)是摆动数列；(6)是常数列．题型二由数列的前几项写出数列的一个通项公式

例2 写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (1)1，－12，13，－14；

(2)12，2，9

2，8； (3)9,99,999,9 999.

解 (1)这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为a n ＝(－1)n ＋

，n ∈N *.

(2)数列中的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：12，42，92，16

2，…，

所以它的一个通项公式为a n ＝n 2

，n ∈N *.

(3)各项加1后，变为10,100,1 000,10 000，…，此数列的通项公式为10n ，可得原数列的一个通项公式为a n ＝10n －1，n ∈N *.

反思感悟要由数列的前几项写出数列的一个通项公式，只需观察分析数列中项的构成规律，看哪些部分不随序号的变化而变化，哪些部分随序号的变化而变化，确定变化部分随序号变化的规律，继而将a n 表示为n 的函数关系．

跟踪训练2 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：

(1)－

11×2，12×3，－13×4，14×5

； (2)22－12，32－13，42－14，52－15；

(3)7,77,777,7 777.

解 (1)这个数列前4项的分母都是序号数乘以比序号数大1的数，并且奇数项为负，偶数项为正，

所以它的一个通项公式为a n ＝(－1)n

n ×(n ＋1)

，n ∈N *.

(2)这个数列的前4项的分母都是比序号大1的数，分子都是比序号大1的数的平方减1，所以它的一个通项公式为a n ＝(n ＋1)2－1

n ＋1

，n ∈N *.

(3)这个数列的前4项可以变为79×9，79×99，79×999，7

9×9 999，

即79×(10－1)，79×(100－1)，79×(1 000－1)，7

9×(10 000－1)，即79×(10－1)，79×(102－1)，79×(103－1)，7

9×(104－1)，所以它的一个通项公式为a n ＝7

9×(10n －1)，n ∈N *.

题型三数列通项公式的简单应用

例3 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n 2－10n ＋4. 问当n 为何值时，a n 取得最小值？并求出最小值．解 ∵a n ＝2n 2－10n ＋4＝2????n －522－172

， ∴当n ＝2或3时，a n 取得最小值，其最小值为a 2＝a 3＝－8. 反思感悟利用函数的性质研究数列的单调性与最值．跟踪训练3 (1)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1n (n ＋2)

(n ∈N *)，那么1

120是这个数列的第

项．答案 10

解析 ∵1n (n ＋2)＝1

120

，∴n (n ＋2)＝10×12，∴n ＝10.

(2)已知数列{a n }中，a n ＝－n 2＋25n (n ∈N *)，则数列{a n }的最大项是第项．答案 12或13

解析 ∵a n ＝－????n －2522＋????25

22是关于n 的二次函数，又n ∈N *， ∴当n ＝12或n ＝13时，a n 最大．

归纳法求数列的通项公式

典例观察图中5个图形的相应小圆圈的个数的变化规律，猜想第n个图中有小圆圈．

答案n2－n+1

解析观察图中5个图形小圆圈的个数分别为1,1×2＋1,2×3＋1,3×4＋1,4×5＋1.故第n个图中小圆圈的个数为(n－1)·n＋1＝n2－n＋1.

[素养评析]归纳是逻辑推理的一类，可以发现新命题．本例完美诠释了“观察现象，归纳规律，大胆猜想，小心求证”这一认识发展规律．

1．下列叙述正确的是( )

A ．数列1,3,5,7与7,5,3,1是相同的数列

B ．数列0,1,2,3，…可以表示为{n }

C ．数列0,1,0,1，…是常数列

D ．数列?

???

n n ＋1是递增数列

答案 D

解析由数列的通项a n ＝n

n ＋1知，

a n ＋1－a n ＝n ＋1n ＋2－n n ＋1＝1

(n ＋2)(n ＋1)

>0，

即数列?

???

n n ＋1是递增数列，故选D.

2．数列2,3,4,5，…的一个通项公式为( ) A ．a n ＝n ，n ∈N * B ．a n ＝n ＋1，n ∈N * C ．a n ＝n ＋2，n ∈N * D ．a n ＝2n ，n ∈N *

答案 B

解析这个数列的前4项都比序号大1，所以，它的一个通项公式为a n ＝n ＋1，n ∈N *. 3．数列{a n }中，a n ＝2n 2－3，n ∈N *，则125是这个数列的第项．答案 8

解析令2n 2－3＝125，解得n ＝8(n ＝－8舍去)．所以125是该数列第8项．

4．已知数列{a n }的通项公式a n ＝(－1)n －

1·n

2n －1，n ∈N *，则a 1＝；a n ＋1＝ .

答案 1 (－1)n ·(n ＋1)

2n ＋1

解析 a 1＝(－1)1－

1×1

2×1－1

＝1，

a n ＋1＝(－1)n ＋1－

1·(n ＋1)2(n ＋1)－1＝(－1)n ·(n ＋1)2n ＋1

5．写出数列：1，－3,5，－7,9，…的一个通项公式．解该数列的通项公式为a n ＝(－1)n ＋

1·(2n －1)，n ∈N *.

1．与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质

(1)确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的．

(2)可重复性：数列中的数可以重复．

(3)有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且也与这些数的排列次序有关．2．并非所有的数列都能写出它的通项公式．例如，π的不同近似值，依据精确的程度可形成一个数列3,3.1，3.14，3.141，…，它没有通项公式．根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；

③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征．并对此进行联想、转化、归纳．

3．如果一个数列有通项公式，则它的通项公式可以有多种形式．

一、选择题

1．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1＋(－1)n ＋

2，n ∈N *，则该数列的前4项依次为( )

A ．1,0,1,0

B ．0,1,0,1 C.12，0，1

2，0 D ．2,0,2,0

答案 A

解析当n 分别等于1,2,3,4时，a 1＝1，a 2＝0，a 3＝1，a 4＝0.

2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－n －50，n ∈N *，则－8是该数列的( ) A ．第5项 B ．第6项 C ．第7项 D ．非任何一项答案 C

解析解n 2－n －50＝－8，得n ＝7或n ＝－6(舍去)． 3．数列1,3,6,10，…的一个通项公式是( ) A ．a n ＝n 2－n ＋1 B ．a n ＝n (n －1)

C ．a n ＝n (n ＋1)2

D ．a n ＝n 2＋1 答案 C

解析令n ＝1,2,3,4，代入A ，B ，C ，D 检验，即可排除A ，B ，D ，故选C. 4．数列23，45，67，8

9，…的第10项是( )

A.1617

B.1819

C.2021

D.2223 答案 C

解析由数列的前4项可知，数列的一个通项公式为 a n ＝2n 2n ＋1，n ∈N *，

当n ＝10时，a 10＝

2×102×10＋1＝20

5．已知a n ＋1－a n －3＝0，n ∈N *，则数列{a n }是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列 D ．不能确定

答案 A

解析 a n ＋1＝a n ＋3＞a n ，n ∈N *，即该数列每一项均小于后一项，故数列{a n }是递增数列．

6．设a n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋1

2n (n ∈N *)，那么a n ＋1－a n 等于( )

A.1

2n ＋1

B.12n ＋2

C.12n ＋1＋12n ＋2

D.12n ＋1－12n ＋2

答案 D

解析 ∵a n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋1

2n ，

∴a n ＋1＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＋12n ＋1＋1

2n ＋2，

∴a n ＋1－a n ＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝12n ＋1－1

2n ＋2

7．数列0.3,0.33,0.333,0.333 3，…的一个通项公式a n 等于( ) A.1

(10n －1) B.1

(10n －1) C.1

3????1－110n D.3

10(10n －1) 答案 C

解析代入n ＝1检验，排除A ，B ，D ，故选C.

8．如图1是第七届国际数学教育大会(简称ICME －7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的，其中OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A 7A 8＝1，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记OA 1，OA 2，…，OA n ，…的长度构成数列{a n }，则此数列的通项公式为( )

A ．a n ＝n ，n ∈N *

B ．a n ＝n ＋1，n ∈N *

C ．a n ＝n ，n ∈N *

D ．a n ＝n 2，n ∈N *

答案 C

解析 ∵OA 1＝1，OA 2＝2，OA 3＝3，…，OA n ＝n ，…， ∴a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3，…，a n ＝n ，…. 二、填空题

9．观察数列的特点，用一个适当的数填空：1，3，5，7，，11，…. 答案 3

解析由于数列的前几项中根号下的数都是由小到大的奇数，所以需要填空的数为9＝3. 10．数列3,5,9,17,33，…的一个通项公式是．答案 a n ＝2n ＋1，n ∈N *

11．323是数列{n (n ＋2)}的第项．答案 17

解析由a n ＝n 2＋2n ＝323，解得n ＝17(负值舍去)． ∴323是数列{n (n ＋2)}的第17项．三、解答题

12．在数列{a n }中，a 1＝2，a 17＝66，通项公式a n 是n 的一次函数． (1)求{a n }的通项公式；

(2)判断88是不是数列{a n }中的项？解 (1)设a n ＝kn ＋b ，k ≠0.