交通灯数学建模

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驾车通过校园

一、摘要

本文通过对康奈尔大学交通路况以及在不同时间段人流量和车流量的调查，建立适当的优化模型着重解决六个问题中的四个问题。

问题一中，首先提出车辆尾部增长速度的概念，建立一个目标函数，使得一个交通周期内积累的车辆长度最小，并以行人通过人行道的最短时间为约束条件，然后求解出一个交通周期

整。

?Find a good way to “synchronize” the new traffic light with the three existing ones (at the Thurston Ave Bridge, at Garden Ave. & Tower Rd., and at Central Ave. & Campus Rd.)

? Suggest several different possible modes / synchronization programs based on the time of the day. (E.g., note that on weekdays the pedestrian traffic spikes in between classes.)

? Will some of the motorists (or pedestrians) switch to alternative routes once this traffic light is installed?

? Will the resulting vehicular traffic flow become more efficient than it is at present?

? How much of a delay would this plan add for an average pedestrian at this intersection?

? Assuming that the majority of pedestrians will follow the rules, are the sidewalks near that intersection wide enough for the crowd waiting to cross the road?

三、问题分析

3.1 针对问题一的分析

本问题主要目标是要通过分析康奈尔大学的交通状况，在交叉路口设置一个交通灯与已经有的三个交通灯同步，让校园内的交通更加顺畅。由于没有找到已经有的三个交通灯的亮暗情况，所以设计了这四个路口的交通灯亮暗规律。这四个交通灯之间是相互影响的，只有把一个路口的交通灯的规律确定下来才能确定其他三个交通灯的规律，根据康奈尔大学的地图可知，塔路和东大道的交

目标，道路条件、

3.2

3.3

行

3.4 针对问题四的分析

在没有安装交通灯时候，当很多行人过马路时车都要让着行人先过，所以这时候交通肯定会堵塞。而当安装完交通灯之后，在过马路时候因为有交通灯，所以即使有行人过马路也不用让着行人，只需要按照交通灯的指示行驶。而且从行人的角度分析，当没有交通灯时，行人过马路不受任何限制，而在安装完交通灯之后，行人过马路的时候要受到红灯的限制。所以从这两点分析，车辆交通的流动肯定比原来的会好些，但是行人多的时候行人流动肯定会受到堵塞，行人少的时候行人的流动效果跟原来基本相同。

3.5 针对问题五的分析

因为在没有交通灯时候，行人在过交叉路口时候不用等，可以直接通过。而安装完交通灯之后，行人在绿灯的时候可以通过，在红灯的时候则要等一段时间。但是在一天中的不同时间段等待的时间不一样，因为人少的时候，所有等待过马路的人在绿灯的时候都能通过。但是在行人比较多的时候，因为斑马线的宽度和绿灯的时间都有限，所以在绿灯的时候可能只能通过部分行人，其他行人可能还要等一个或者几个红灯。于是在这个问题上分为两种情况讨论：第一种情况是大部分时间人比较少的情况，第二种情况是上下班还有两节课之间人比较多的情况。第一种情况认为大部分人可以顺利通过不耽误时间，第二种情况可以用所有人耽误的时间与总人数的比值来估计对于普通行人耽误了多长时间。

3.6

的。

4.1

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

4.2 符号说明

U：在i=1,2,3时分别为a1、b1、c1在遇到红灯后的停止车队尾部增长速度；

i

T：在i=1,2,3时分别为a1、b1、c1的绿灯时间；

i

T：在i=1,2,3时分别为a1、b1、c1的红灯时间；

i

五、 模型建立及求解

5.1 针对问题一的模型建立及求解

首先研究在塔路和东大道的交叉处的路口，为了简化问题，把该路口看成是丁字路口。分析交通路口的堵塞程度，主要参量是路口积存车辆的长度。均匀车流在遇到红灯后会产生长度不断增长的停止车队，记停止车队尾部的增加速度为i U ，则时间t 内总积存车辆长度为i U ×t。下面的讨论将直接基于i U ，首先建立了塔路和东大道路口的交通灯时间安排优化模型，此部分以使单位时间模型。然后讨而且从积存容易总的来讲，车道，123T T T ++记作T i i i T T ==∑j T (2)

23i T U T +? (3)

123231321()()()U T T U T T U T T ?++?++?+ (4)

则单位时间内路口积累的车队最大长度为

123231*********()()()

(,,)U T T U T T U T T f T T T T T T ?++?++?+=++ (5)

我们的目标是在一定约束条件下求123min (,,)

f T T T 下面寻找这个问题的可行区域.首先,可行区域的确定依赖于现有经验.例如,多长的等待时间是一

般司机可以接受的、车流量在某个范围内的路口,其交通周期的范围大概是多少等等.不妨设某个路

口的交通周期有经验范围[]12,T T '',于是

3

121i i T T T T =''≤=≤∑ (6)

此外,实际中必须考虑行人过马路的问题.如图1，A 、B 、C 处都可设立人行横道，A 、C 通行要求a1、a2、c1、c2同时红灯;B 通行要求b1、b2、c1、c2同时红灯或a1，a2，b1，b2同时红灯，亦即A 、C 要求a1、a2、c1、c2在b1，b2通行时亮红灯，B 要求b1、b2、c1、c2要在a1，a2通行时亮红灯或要求a1，a2，b1，b2在c1，c2通行亮红灯。

下面初步确定绿灯时间1T 、2T 、3T 的下限01T 、02T 、03T ，a2的红灯时间长度的下限，即行人穿过B 所需的时间为B T ；显然有

101B T T T ≥= (7)

同理,设行人穿过A 所需的时间为A T ，则有

此外303T T T ≥=此时（11）

若它记1T 2T ,3T 调整后的下界分别为11T ,12T ,13T ,于是我们有：111T T ≥ （12）

212T T ≥ （13）

313T T ≥ （14）

于是.这个.最用180()T s =,230()T s = ,330()T s = ,间安排才最理想.亦即对于1U 较大的a1车流,还应增长其绿灯时间长度,同时应调短b1的绿灯时间.同时,这个路口还存在行人通过人行横道B 有困难的情况,故也建议按照上述模型的分析安排a2和b2的红灯时间.根据相位图以及得到的数据，可得到各个车道的在不同相位下的红绿灯时间分配图：

图3 不同相位的时间分配示意图

由图3可以清晰的看到各个相位下不同车道的红绿灯时间分配情况，在1相位下只允许b1和b2通行，即b1和b2车道绿灯，同时允许A 、C 人行道通行，其他车道都禁行，即a1，a2，c1，c2和人行道B 都是红灯。在2相位下只允许a1和a2通行，即a1和a2车道绿灯，同时允许B 人行道通行，其他车道都禁行，即b1，b2，c1，c2和人行道A 、C 都是红灯。在3相位下只允许c1和c2

通行，即c1和c2车道绿灯，同时允许B 人行道通行，其他车道都禁行，即a1，a2，b1，b2和人行道A 、C 都是红灯。

多个路口相连时红绿灯的情况：根据谷歌地图可以知道，其他三个路口离搭路和东大道的交叉口的距离都非常近，所以必须考虑它们之间的影响，如果“下游”的路口(例如图中的A)没有及时进行疏散，积存的车辆长度很可能达到上一个路口，从而影响了“上游”(例如图中的D)的交通，这显然不好。又由于A,B 两个路口都是十字路口，所以讲A,B 两路口的对D 的影响同时考虑，得出D 的红绿灯时间，然后再根据D 的红绿灯时间确定C 处的红绿灯时间。

首先在此讨论A ，B 与D 路口相邻的情况，主要考虑问题的两个方面：一是确定相邻路口各自的周期；一个是确定这两个路口交通周期的间隔，根据康奈尔大学实测的数据，将其路形简化为如下图4所示，实测DA 和DB 距离相等并设其距离间隔为L 。

图4 实测丁字路口右转车辆红灯图

首先

5.1.1 1情况在的车流量为A Q c1，c2D 假设辆数位m 但放行，也有可能车尾的长度还在增加，这是一种非正常情况，也就是在车流量的极大的情况下才会发生，如遇到这样的情况，数学的方法将不能改善此处的交通状况，只有通过拓宽道路的方法才能的得以解决。假设在此不会发生此类情况，故不予以考虑。所以认为c1，c2从红灯变为绿灯，车尾长度必然减少，那么在绿灯期间从A 路口开进AD 的车辆总和为n ，故m+n 的车辆总数，可以在D 路口c1，c2放行时全部通过，这样每个周期里从A 开到D 的车都能全部走完，不会累计到下一个周期，故在正常情况下不会造成拥堵。这样根据前面的时间优化模型，再加以考虑此处的两个限制条件，可以分别得到一个D 处合理的红灯和绿灯时间。假设从丁字路口既就是从c1，c2开出去的车流量为D Q ，c1，c2的绿灯时间为T c 绿，总的周期为T ，那么A D Q T Q T '?≤?c 绿；这样可以得出c1，c2车

道的绿灯时间T 'c 绿，在参考前面模型优化得到的孤立路口时的绿灯时间230()T s =，在满足T 'c 绿的情况下，取2T ，如果的取不到则取足够接近的值。最终可以得到一个合适的c T 绿

下面确定两个路口的绿灯时间间隔，对于此路口的情况下，由于A 路口总是有车开往D 路口，故只需要设计A ，D 两路口的绿灯开启时间有一个时间差t ，使得从A 出发的车经过时间t 到达D 路口，并且同时此刻D 路口的交通灯由绿灯变为红灯，这样就可以在接下来的一个相同周期内满足上述条件下，从A 出发的车都能从D 处开走，不至于留到下一个周期。也就是说D 的绿灯比A 滞后一个t 时间。从A 到D 的距离实测L=0.3英里，此路的限制时速为30km/h ，所以严格的计算可以得出从A 出发的车到D 的时间t=57.6s ，这是按最高的限速来计算处理得到的，而实际情况下车速不可能总是在最高限速30km/h 下行驶，故时间会延长，在取此t=60s 。也就是说在A 红灯变为绿灯之后，在经过60秒，D 处也就是c1，c2车道红绿灯由红灯变为绿灯。可以画出A 和D 处的放行车道即就是c1，c2车道的红绿灯相对开启时间。如图7所示：

图7 A ，D 路口绿灯“同步”方案

B ，D 路口之间的同步方案讨论方法与上述A ，D 之间的讨论方法相同，不同的只是L '值与L 得到2、 如图9,

C 1T ,2T 联系与与1T ,2T 的和小等于1T ,2T 的和大于A

D 限制条件一，排队的车辆最大长度必须小于一个经验值23

L 。假设从路口C 处进入到CD 的车流量为c Q ，D 处红灯时间为a T 红，那么c a b 23Q T T L ''?+≤绿绿（）；在此如果进入CD 车道的车没有达到23

L ，那么由于a T 红时间内也一定不能达到23

L 。 限制条件二，车道1

a '和2a '绿灯时时进入的车辆总数要能在a1，a2放行时全部通过，没有剩余的车辆留给下一个周期。为了更好的阐明此种限制情况，不妨设D 丁字路口的周期开始时刻即为a1，a2变为红灯的时刻，那么a1，a2刚从绿灯变为红灯时刻，假设第一辆车刚从C 处开到D 处停下，同时依次往后累积，那么可以假设a1，a2红灯时间段累积的车辆数位m 辆。下一时刻a1，a2

从红灯变为绿灯，此时正常情况下CD 车道上车辆总数应该减少，但是也不排除有这样的情况存在：a1，a2在放行但是车尾的长度还在增加，这是一种非正常情况，也就是在车流量的极大的情况下才会发生，如果发生这样的情况数学的方法将不能改善此路口的交通状况，只能通过拓宽道路来改变。假设在此不会发生此类情况，故不予以考虑。所以认为a1，a2从红灯变为绿灯，车尾长度必然减少，那么在绿灯期间从C 路口开进CD 的车辆总和为n ，故m+n 的车辆总数，可以在D 路口a1，a2放行时全部通过，这样每个周期里从C 开到D 的车都能全部走完，不会累计到下一个周期，故在正常情况下不会造成拥堵。这样根据前面的时间优化模型，再加以考虑此处的两个限制条件，可

以分别得到一个C 处合理的红灯和绿灯时间。假设从丁字路口a1，a2开出去的车流量为D

Q ''，a1，a2的绿灯时间为a T 绿，总的周期为T ，C 路口绿灯的时间为a b T T ''绿绿，，那么

a b a C D

Q T T Q T ''''?+≤?绿绿绿（）；从C 出发的车要到达D 同样需要经历时间t=60s ，故根据得到的c T 绿和c T 红

12T T +和3T ，如果不能满足，则在满足限制条件得到的值得前提下，取

为2T 。

5.2 5.3 从伊萨卡市中心到达校园的车被限制在两条路径上，西面陡峭的山坡限制车辆从西面进入校园。从东部和东南部进出校园的车限制较少。校园的街道适合所有类型的车辆通行（对车辆负载有要求除外）。从康奈尔大学官网中得知，学校大力倡导步行，并建设了校园步行网络。

而且在美国，车是让着行人的，所以在没有安装交通灯之前，在交叉路口处只要有行人过马路则车一定要先让人，行人可以自由通过。而安装完交通灯之后，行人在过马路时要遵守交通规则，肯定会比没有安装交通灯时候要耽误一些时间，而车在过马路时不必要再让着行人，只需要按照交通灯的指示。

所以无论在一天中的哪个时间段，对于行人肯定会耽误一些时间，而对于车则会比原来节省一些时间。基于以上的原因，我们认为车不会改路线，而人要根据改路线所需要的时间和耽误的时间相比较来确定是否改换路线。图11是在康奈尔大学官网上查找的图片，根据图片可知人们要到一

个地方可以有很多条路线，这其中肯定有一条是最短的，但是其他的路线的距离与最短路线的距离可能很接近，所以行人需要比较一下走最短路线时候的时间和耽误的红灯时间的和与走其他路线用的时间哪个更短些。如果走其他路线用的时间短，则行人会转向其他的路线，如果走其他路线的时间长，则不会转向其他的路线。此外，我们通过查阅资料，得知美国人过道时候主要会考虑两点原因，一是绿灯的时间是否足够长让他们通过，二是红灯时间是否过长，他们忍受的红灯时间只有50s ，如果等待时间超过50s 可能也会改变路线，所以行人是否变换路线的主观因素很多，只能给出以上相对可能的模型。

图11 人行道网络图

5.4 针对问题四的模型建立及求解

虽然所所以原来限制，5.5 在没有交通灯之前，行人过马路时候不需要等待，可以直接通过。安装交通灯之后，绿灯的时候可以顺利通过（在过马路的人不是很多的情况下），如果是红灯则需要等待，所以等待的时间即为等红灯的时间。具体模型如下：

根据经验设人步行速度为1.2m/s ，人与人前后之间的距离为0.5m ，人与人左右之间的距离0.8m ，

道路的宽L=8m ，人行道宽度d=3m ，人行道允许并排通过的人数48

.0 d ，等待过马路的人数N ，一次绿灯时间内可以通过的人数为n ，以问题一中的A 人行道为例，则行人通行的红灯时间为1T ，绿灯时间为1T 。

下面分两种情况讨论：

第一种情况，当等待过马路的人数少于一次绿灯时间段内可以通过的人数 （即N

第二种情况，当等待过马路的人数少于一次绿灯时间段内可以通过的人数 （即N>n ），则只有部分行人能通过，剩下的行人等待下一次绿灯，具体分析如下：

根据绿灯时间和人的行走速度以及每两排人之间的距离可知，一次绿灯时间内可以通过的人数为：

11.2140.5T n ??=+? ???

（15） 而剩下的人只能等待下一次绿灯，详细情况见图13：

图13 行人过道等待时间图 （16） D 5??

()2112T D D T =-? （17）

1T （18） 5.6 1T ，绿灯时间为1T ，具体过道分析见图：

图三，去，这样会使问题更加简化而且效果是一样的。根据调查可以知道在排队等候过马路的人流量q 和交通灯的周期T ，则每一次绿灯通过的人数为：

N q t =? （19）

设人行道的宽度为d ，人与人之间左右的距离为0.8m ，前后距离为0.5m ，并且行人在等待过人行道的时候都自觉按顺序排队，每排有/0.8d 人，总共有(/0.8)N d ÷排，因为在一个周期内行人不累计，则可以列出下列等式：

1[(/0.8)1]0.5 1.2[(/0.8)1]0.5 1.2N d q t d T ÷-?÷=?÷-?÷= （20）

其中N、

T都可以都过调查得到具体的数据，所以根据等式（20）即可以求出人行道的宽度d，

1

此宽度为保证行人不累积的最小宽度。将求出的人行道宽度的值与实际的人行道宽度进行比较，即可以知道是否够宽。

六、模型评价

6.1 模型优点

1

2

3、

4、

6.2

1

2

3

1

2

3

[1]张开广、孟红玲、巴明廷等.《洛阳智慧交通系统的数据库应用研究》，河南科学， 30(4)：0461-04，2012

[2]王炜、郭秀成编着，《交通工程学》，东南大学出版社，2000

[3]陆化普编着，《城市交通现代化管理》，人民交通出版社，1999

[4]姜启源、谢金星、叶俊编着，《数学模型》，高等教育出版社，2003

数学建模论文十字路口绿灯

江西师范高等专科学校 论文题目：十字路口绿灯亮30秒，最多可以通过多少辆汽车？ 组长：肖根金学号：9015300135 班级：15数教1班 组员：叶强学号：9015300143 班级：15数教1班 组员：谭伟学号：9015300132 班级：15数教1班 2017年4月15日

目录 一、问题重述 (3) 1.1问题背景 (3) 1.2问题简述 (4) 二、模型假设 (4) 3.1 停车位模型 (5) 3.2 启动时间模型 (5) 3.3 行驶模型 (5) 三、模型建立 (5) 四、模型求解 (5) 五、模型的检验与应用 (6) 5.1调查一个路口有关红绿灯的数据验证模型是否正确 5.2分析绿灯亮后，汽车开始以最高限速穿过路口的时间 5.3给出穿过路口汽车的数量n随时间t变化的数学模型 六、模型的评价 (6) 6.1 模型的优点 (6) 6.2 模型的缺点 (7) 参考文献

一、问题重述 1.1问题背景 随着经济和社会快速发展,我国城市道路建设增多,出行车辆增加,城市交通进入了快速发展阶段,城市交通的几个问题,即交通阻塞、交通事故、公共交通问题城市，道路交通问题日益突出.,为城市交通建设和路网规划提供方案和依据,达到优化城市道路交通状况的目的.因此我们针对于交通问题事故，将“十字路口绿灯亮30秒问题”单独列出以建模的形式来进行合理的规划，让十字路口的交通，更安全。在每年的节假时间里，有很多的人喜欢去旅游，交通的拥挤阻塞已经是很大问题，好多事故的发生。这是我们不愿意见到的事实。“十字路口绿灯亮30时间”对于现在的这个新时代的我们来说，城市的汽车车水马龙，它的合理设计是十分重要的。在交通管理中，绿灯的作用是为了维持交通秩序。在十字路口行驶的车辆中，主要因素是机动车辆，驶近交叉路口的驾驶员，在看到绿色信号后要通过路口。利用数学模型解决绿灯在十字路口亮30秒的问题，可以减少交通事故的发生，也相对合理的运用社会科学知识解决实际问题。某一天一个式子路口的绿灯灯亮30秒，那么能通过几辆汽车呢？ 1.2问题简述 因为十字路口的交通现象较复杂，通过路口的车辆的多少依赖于路面上汽车的型号，数量和它们的行驶速度和方向以及同时穿过路口的非机动车辆的行人的状态等因素有关，因此，我们在求解“十字路

什么是数学模型与数学建模

1. 什么是数学模型与数学建模 简单地说：数学模型就是对实际问题的一种数学表述。 具体一点说：数学模型是关于部分现实世界为某种目的的一个抽象的简化的数学结构。 更确切地说：数学模型就是对于一个特定的对象为了一个特定目标，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。数学结构可以是数学公式，算法、表格、图示等。 数学建模就是建立数学模型，建立数学模型的过程就是数学建模的过程（见数学建模过程流程图）。数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻划并"解决"实际问题的一种强有力的数学手段。 2.美国大学生数学建模竞赛的由来： 1985年在美国出现了一种叫做MCM的一年一度大大学生数学模型（1987年全称为Mathematical Competition in Modeling,1988年改全称为Mathematical Contest in Modeling,其所写均为MCM）。这并不是偶然的。在1985年以前美国只有一种大学生数学竞赛（The william Lowell Putnam mathematial Competition,简称Putman(普特南）数学竞赛），这是由美国数学协会（MAA--即Mathematical Association of America的缩写）主持，于每年12月的第一个星期六分两试进行，每年一次。在国际上产生很大影响，现已成为国际性的大学生的一项著名赛事。该竞赛每年2月或3月进行。 我国自1989年首次参加这一竞赛，历届均取得优异成绩。经过数年参加美国赛表明，中国大学生在数学建模方面是有竞争力和创新联想能力的。为使这一赛事更广泛地展开，1990年先由中国工业与应用数学学会后与国家教委联合主办全国大学生数学建模竞赛（简称CMCM），该项赛事每年9月进行。

建模与仿真

第1章建模与仿真的基本概念 参照P8例子，列举一个你相对熟悉的简单实际系统为例，采用非形式描述出来。 第2章建模方法论 1、什么是数学建模形式化的表示？试列举一例说明形式化表示与非形式化表示的区别。 模型的非形式描述是说明实际系统的本质，但不是详尽描述。是对模型进行深入研究的基础。主要由模型的实体、包括参变量的描述变量、实体间的相互关系及有必要阐述的假设组成。模型的非形式描述主要说明实体、描述变量、实体间的相互关系及假设等。 例子：环形罗宾服务模型的非形式描述： 实体 CPU，USR1，…，USR5 描述变量 CPU:Who,Now(现在是谁)----范围{1,2,…,5}; Who.Now=i表示USRi由CPU服务。 USR：Completion.State（完成情况）----范围[0，1]；它表示USR完成整个程序任务的比例。参变量 X-----范围[0，1]；它表示USRi每次完成程序的比率。 i 实体相互关系 （1）CPU 以固定速度依次为用户服务，即Who.Now为1，2，3，4，5，1，2…..循环运行。 X工作。假设：CPU对USR的服务时间固定，不（2）当Who.Now=I,CPU完成USRi余下的 i X决定。 依赖于USR的程序；USRi的进程是由各自的参变量 i 2、何谓“黑盒”“白盒”“灰盒”系统？ “黑盒”系统是指系统内部结构和特性不清楚的系统。对于“黑盒”系统，如果允许直接进行实验测量并通过实验对假设模型加以验证和修正。对属于黑盒但又不允许直接实验观测的系统，则采用数据收集和统计归纳的方法来假设模型。 对于内部结构和特性清楚的系统，即白盒系统，可以利用已知的一些基本定律，经过分析和演绎导出系统模型。 3、模型有效性和模型可信性相同吗？有何不同？ 模型的有效性可用实际系统数据和模型产生的数据之间的符合程度来度量。它分三个不同级别的模型有效：复制有效、预测有效和结构有效。不同级别的模型有效，存在不同的行为水平、状态结构水平和分解结构水平的系统描述。 模型的可信度指模型的真实程度。一个模型的可信度可分为： 在行为水平上的可信性，即模型是否重现真实系统的行为。 在状态结构水平上可信性，即模型能否与真实系统在状态上互相对应，通过这样的模型可以对未来的行为进行唯一的预测。 在分解结构水平上的可信性，即模型能否表示出真实系统内部的工作情况，而且是惟一表示出来。 不论对于哪一个可信性水平，可信性的考虑贯穿在整个建模阶段及以后各阶段，必须考虑以下几个方面： 1在演绎中的可信性。2在归纳中的可信性。3在目的方面的可信性。 4、基于计算机建模方法论与一般建模方法论有何不同？（P32） 经典的建模与仿真的主要研究思路，首先界定研究对象-实际系统的边界和建模目标，利用已有的数学建模工具和成果，建立相应的数学模型，并用计算装置进行仿真。这种经典的建

数学建模培训课程体系设计

数学建模培训课程体系设计探讨 王茂芝，徐文皙，郭科 （成都理工大学信息管理学院，四川成都 610059） 摘要：数学建模培训的目标是培养学生应用数学解决实际问题的能力．对参与数学建模培训的学生的能力要求主要包括： 对数学学科的宏观驾驭能力，分析和解决问题以及数学建模的能力，数学模型的求解能力以及对计算机工具和数学软件的使 用能力，数学迁移能力和创新能力等．数学建模培训课程体系设计包括以下几个阶段：准备阶段，建模预处理阶段，专题培 训阶段及模拟和实战阶段． 关键词：数学建模；工科数学；数学教学改革 中图分类号： G642.3，O29 文献标识码： A 文章编号：1004–9894（2005）01–0079–03 全国大学生数学建模活动对于全方位提高学生的素质 和能力；提升教师的教学水平、业务能力和科研水平；促进 工科数学的教学改革等方面都起到了积极有效的推动作 用．《数学模型》和《数学实验》课程的开设，数学实验室 的建立等多种教学方式、措施和手段的出现都是数学建模活 动的开展带来的实际教学改革成果．本文作者根据多年来组 织、指导全国大学生数学建模的实际，针对在数学建模培训 过程中所讲授的内容以及开设的专题，从数学学科的角度对 数学建模培训课程体系的设置进行一些探讨． 1 数学建模培训的目标 数学建模是把数学作为一种工具，并应用它解决实际问 题的教学活动方式．由于实际问题背景的复杂性和广泛性， 同时也因为数学学科涵盖范围的广泛性，导致在数学建模培 训过程中相关课程（或专题）的开设既要考虑到点，又要照 顾到面．在点和面相结合的同时，重点培养并提高学生的多

种能力．这样才能达到应用数学解决实际问题的目的 [1~3]． 由于大学生数学建模竞赛的主要参赛对象是大学二、三 年级的学生，所以参与培训的学生一般都具有一定的数学基础（基本都学过《线性代数》《高等数学》《概率论与数理统计》这 3门基础课程）．同时，由于数学建模集中培训（集 训）的时间有限，不可能在这么短的时间里把数学的相关基础课程和专业课程进行详尽地讲解．比较现实和可行的方法是：根据数学建模的目标要求以及数学学科的特点，通过开设一些专题讲座，有针对性地提高学生的能力． 1.1 数学建模培训的能力要求 经过多年的实践和探索，我们认为对于参与数学建模培 训的学生的能力要求有以下几个方面． 第一是对数学学科的宏观驾驭能力．也就是通过培训， 使学生对数学的学科划分、专业设置、相关课程设置、学科特点等都有一定的理解和认识．这实际上是一个占领制高点的过程，对于后续课程有一个清晰的脉络和清醒的认识．这 一步的完成在很大程度上可以使整个培训过程达到事半功 倍的效果．但前提是要求参与培训讲解的指导老师需要有较好的数学素养． 第二是对于一个给定的复杂问题背景，要学会理清两个 问题．一是透过问题背景知道告诉了我们什么已知信息；二是要求我们明确做什么，解决什么问题．然后紧密联系上面两个问题，实现两个量化．一是对已知条件的符号化和量化； 二是对需解决问题的转化和量化．最后，再联系自己对数学知识的把握、对数学建模方法的领悟，借助一系列数学工具（方程、函数、矩阵、向量等）把量化后的符号（变量）组 织起来建立数学模型． 第三是数学模型的求解能力，以及对计算机和数学软件

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交通管理中非数字灯闪烁时间模型 摘要 本文在了解过车辆通过红绿灯所遇见的情况，以及对车型的分析下，重点通过常微分方程建立起时间，刹车距离，以及刹车制动因素相关的数学模型。 在问题中对红绿灯灯应闪烁时间做出等价转换，闪烁的意图是让车辆在黄灯前停在停止线前，对于影响车辆刹车距离的因素主要由车辆制动力控制，闪烁时间应为驾驶员观察到信号变换反应的时间与驾驶员制动使车辆停在停车线所需时间之和。在法定通过红绿灯的速度下对大型车辆进行讨论，因为小型车辆制动距离明显小于大型载货汽车。 对于模型的评价，本文采用与实际生活中数据以及对车辆理论数据进行对比，以此检验模型建立的合理性及正确性。 最后，本文分析了现有模型的缺陷，并提出进一步改进方法，使之与贴合生活方面进一步。 【关键词】微分方程；刹车制动力；制动因素

目录 一、问题重 述………………………………………………………………………………… …4 二、基本假 设………………………………………………………………………………… …4 三、符号说 明………………………………………………………………………………… …4 四、模型建立、分析与求 解 (5) 五、模型评价与改 进 (6) 六、参考文 献 (7)

一、问题重述 从2013年元月一日，国家开始实行新的交通法规。在十字路口的交通管理中，最大而且最有争议的改变是闯黄灯。在以前的交规中，亮红灯之前要亮一段时间黄灯，这是为了让那些行驶在十字路口或距十字路口太近以致无法停下来的车辆通过路口.现在规定闯黄灯也是违规行为，为了不违反交通法规，对有时间数字的交通灯，司机根据时间数字可以提前对自己的行动作出决策，但还有很多交通灯是非数字的，这就不可避免的对司机的判断造成障碍，为此，非数字的交通灯在变灯前加入了闪烁，以提醒司机。为了让司机在十字路口有足够的时间决定过不过马路，请你考察实际生活中的道路，给出最佳的闪烁时间。 二、基本假设 1.假设刹车途中，刹车制动力恒定 2.行驶过程中没有意外事故

数学建模常用方法

数学建模常用方法 建模常用算法,仅供参考： 1、蒙特卡罗算法（该算法又称随机性模拟算法,是通过计算机仿真来解决问题的算法,同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性,是比赛时必 用的方法） 2、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法（比赛中通常会遇到大量的数据需要处理,而处理数据的关键就在于这些算法,通常使用M a t l a b作为工具） 3、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题（建模竞赛大多数问题属于最优化问题,很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述,通 常使用L i n d o、L i n g o软件实现） 4、图论算法（这类算法可以分为很多种,包括最短路、网络流、二分图等算法,涉及到图论的问题可以用这些方法解决,需要认真准备） 5、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法（这些算法是算法设计中比较常用的方法,很多场合可以用到竞赛中） 6、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法（这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法,对于有些问题非常有帮助,但是算法的实现比较困难,需慎重使用） 7、网格算法和穷举法（网格算法和穷举法都是暴力搜索最优点的算法,在很多竞赛题中有应用,当重点讨论模型本身而轻视算法的时候,可以使用这种 暴力方案,最好使用一些高级语言作为编程工具） 8、一些连续离散化方法（很多问题都是实际来的,数据可以是连续的,而计 算机只认的是离散的数据,因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的） 9、数值分析算法（如果在比赛中采用高级语言进行编程的话,那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用） 10、图象处理算法（赛题中有一类问题与图形有关,即使与图形无关,论文 中也应该要不乏图片的,这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题,通常使用M a t l a b进行处理） 一、在数学建模中常用的方法： 1.类比法 2.二分法 3.量纲分析法 4.差分法 5.变分法 6.图论法 7.层次分析法 8.数据拟合法 9.回归分析法 10.数学规划（线性规划、非线性规划、整数规划、动态规划、目标规划） 11.机理分析 12.排队方法

管理系统数学建模课程教学大纲

“管理系统数学建模”课程教学大纲 英文名称：Management system mathematic modeling 课程编号：MAGT3776 学时：32 （理论学时：30 实验学时：0上机学时：0课外学时：20）学分：2 适用对象：行政管理，社会保障专业 先修课程：高等数学，线性代数，运筹学、经济博弈论 使用教材及参考书： [1]经济数学模型教改组编.经济数学模型.西安：西安交通大学理学 院,2005. [2]齐欢，代建民，奇翔.公共部门数学建模方法及案例.北京：科学出 版社，2007. [3]高洪深.经济系统分析法.北京：清华大学出版社，2007. [4]谭跃进，陈英武，易进先.系统工程原理.长沙:国防科技大学出版社， 1999. [5]谢识予.经济博弈论.上海：复旦大学出版社，2002. 一、课程性质和目的 性质：专业应用课 目的：使本专业学生掌握数学建模方法，并能应用到专业领域。 二、课程内容简介 本课程通过对初等经济方法模型、微分学模型、线性代数模型、随机决策模型和AHP、博弈论的相关知识、MATLAB的基

本功能和使用等知识的学习，让学生对管理系统数学建模的知识有所掌握，使本专业学生的定量分析能力进一步得到提高，增加学生对所学知识的应用能力和实践能力，把管理学与经济学的相关知识应用到数学建模中去。 三、教学基本要求 1．熟练掌握初等经济方法模型 2．掌握微分学模型 3．熟练掌握线性代数模型 4．掌握随机决策模型和AHP 5. 掌握博弈论的相关知识 6．熟悉MATLAB的基本功能和使用 四、教学内容及安排 第一章：公共部门数学建模概论 1.公共管理与数学建模概况 2. 复杂科学与公共管理 教学安排及教学方式

数学建模 红绿灯问题

十字路口红绿灯的合理设置 陈金康 检索词：红绿灯设置、红绿灯周期 一、问题的提出 作为城市交通的指挥棒，红绿灯对交通的影响起着决定性作用。如果红绿灯的设置不合理，不仅会影响到交通秩序；还有可能会影响到行人和自行车的安全。 目前杭城还有很多路口的红绿灯设置存在一些不合理的因素，我们以古墩路一个路口(界于天目山路和文苑路之间)的红绿灯设置为例，该路口是刚开通的，交管部门对路况和车流量的研究还不是很成熟，因此红绿灯的设置存在一些问题。该路口的车流量相对比较小，有几个方向的车流量特别小，但绿灯时间设置太长，经常出现路口空荡荡但是车辆必须长时间等待的情况；同时在这样的路口，右转红灯显得有些多余。另外，该路口不同时段的红绿灯设置没有什么区别，显然这是非常不合理的。 下面我们就针对该路口来研究一下红绿灯设置的合理方案。我们主要研究两个方面：红绿灯周期的设置以及一个周期内各个方面开绿灯的时间。 二、模型的建立 1、红绿灯周期 从《道路交通自动控制》中，我们可以找到有关红绿信号灯的最佳周期公式： s q L C ∑ -+= 15 其中 : C 为周期时间。 相位：同时启动和终止的若干股车流叫做一个相位。 L 为一个周期内的总损失时间。每一相位的损失时间I=启动延迟时间-结束滞后时间；而整个周期的总损失时间为各个相位总损失时间的和加上各个绿灯间隔时间R 。（通俗地讲，启动延迟时间即司机看到绿灯到车子启动的反应时间，结束滞后时间即绿灯关闭到最后一辆车通过的时间。） 即R I L +∑= q 为相应相位的车流量 s 为相应相位的饱和车流量。（当车辆以大致稳定的流率通过路口时，该流率即该相位的饱和车流量。） 2、南北方向和东西方向开绿灯时间的分配 不妨忽略黄灯，将交通信号灯转换的一个周期取作单位时间，又设两个方向的车流量是稳定和均匀的，不考虑转弯的情形。

数学建模：课程安排优化问题

数学建模：课程安排优化问题

2012年数学建模竞赛 参赛队员 题目 A题：课程安排优化问题 关键词排课问题，优化矩阵，有效矩阵 摘要 每学期的开学初，总有许多老师对阳光校区的课程安排很有意见，本文选取武汉纺织大学机械设计系的师生情况、课程、教室间数为研究对象，以课程与上课时间之间的关系矩阵为目标矩阵，通过用各影响矩阵优化目标矩阵的方法，对机械设计系的课表进行了重排。在具体模型建立过程中采用了0-1矩阵法，矩阵的乘法等数学方法，建立优化类数学模型来求解有效矩阵，根据有效矩阵初排课表，结合多方面因素建立修正矩阵，对初排课表逐层修改，得出最优排课表。 运用我们建立的数学模型，对武汉纺织大学机械设计系的课表进行重排，将所得新课表与现有的课表进行比较，显然新排的课表更加合理化、人性化。根据新课表中每节课对应的相关因素（课程名称、教室、老师、班级）进行分析整合，可衍生出新的安排表（如通过对不同时间段上课老师人数的研究安排校车的接送）。我们以学校、教师和学生对所排课表满意度作为衡量标准，以···大学机械设计系的课表为例，可得学校、教师和学生对我们所排课表的满意度主因素分别为校车接送次数、在阳光校区逗留时间、专业课排在早上，可见对本模型使三方的满意度基本均衡且都超过80%，即做到了三者兼顾的满意最大化。最后，根据我们建立的模型，分析了模型的优缺点。

一、问题重述 我校现有三个校区，有在校学生近25000人，其中阳光校区在校学生人数最多。阳光校区现有四栋教学楼，分别是3号、6号、7号和8号楼，四栋教学楼之间有较大的距离，如从3号楼到8号楼步行需要约10分钟。我校的学生作息时间安排中，一天共有13节课，划分为5个时间段，分别是1-2节、3-5节、6-8节、9-10节、11-13节。按学校的规定同一门课程一天中最多可集中上3节课，一周不得超过6节。同一年级的相同课程可以合班上课，合班一般由各个院系或公共课教学部门给出具体安排。每学期临近结束时，学校教务处根据各个专业的培养计划向各院系下达下一学期的教学任务，由各个专业将教学任务分解到具体的任课教师，然后由教务处排出下一学期的课程表。每学期我校的课程表排出并开始运行后都会受到师生的抱怨。有学生说自己的课程分布不均衡，某天要上10节课，而某天又一节课都没有；有的学生抱怨一天中要在不同的教学楼之间反复奔波；有的教师抱怨自己的课程安排太分散，从南湖跑到阳光路上要花近两个小时，却只上两节课，这样太浪费时间。由此可见，我校的课程安排尚存在一些不太合理的地方，有进一步优化的必要。针对这一问题，请完成以下任务： 一.了解我校师生对课程安排的需求； 二.了解我校课程安排的相关规定； 三.收集与课程安排相关的数据； 四.建立我校课程安排的优化模型，分析模型的优缺点。 二、问题分析 首先，解决班级、课程与教师之间的多对多关系，例如当出现多个班级上同一门课而该由多个教师任教时，课程是否合上，由哪几个班级合上、哪位教师任教的问题。解决上应满足可 手动调整的要求。然后，取出全部班级，求出班级所上课程的优先级总和，按优先级高低排定班级顺序，按此顺序且遵照排课规则为每一个班级的每一门课程安排上课时间与地点。 首先，要进行预排课处理。预排课处理的目的是要解决两个基本问题: 1) 班级与课程之间的多对多关系，即合班上课的问题; 2) 课程与教师之间的多对多关系，即为每门课程安排任课教师。在预排课处理完成后，以班级作为外部大循环、以课程作为内部小

交通路口红绿灯__数学建模

交通路口红绿灯 十字路口绿灯亮30秒，最多可以通过多少辆汽车？一问题重述 因为十字路口的交通现象较复杂，通过路口的车辆的多少依赖于路面上汽车的型号，数量和它们的行驶速度和方向以及同时穿过路口的非机动车辆的行人的状态等因素有关，因此，我们在求解“十字路口绿灯亮30秒，最多可以通过多少辆汽车”时应综合考虑各方面因素二模型假设 (1)十字路的车辆穿行秩序良好不会发生阻塞； (2)所有车辆都是直行穿过路口，不拐弯行驶，并且仅考虑马路一侧的车辆。 (3)所有车辆长度相同，并且都是从静止状态开始匀加速启动； (4)红灯下等侍的每辆相邻车之间的距离相等； (5)前一辆车启动后同后一辆车启动的延迟时间相等。 另外在红灯下等侍的车队足够长，以至排在队尾的司机看见绿灯又转为红灯时仍不能通过路口。 参数，变量：车长L，车距D，加速度a，启动延迟T，在时刻 t 第n 辆车的位置 S n（t） 用数轴表示车辆行驶道路,数轴的正向为汽车行驶方向, 数轴原点为红绿灯的位置。于是, 当S n(30)>0时, 表明在第30秒第n辆车已通过红绿灯，否则，结论相反。

三模型建立 1.停车位模型： S n（0）=–(n-1)(L+D) 2. 启动时间模型: t n =(n-1)T 3. 行驶模型: S n(t)=S n(0)+1/2 a (t-t n) 2, t>t n 参数估计 L=5m，D=2m，T=1s，a=2m/s 四模型求解 解: S n(30)=-7(n-1)+(30-(n-1))2>0 得 n≤19 且 t19=18<30=t 成立。 答案: 最多19辆车通过路口. 改进：考虑到城市车辆的限速，在匀加速运动启动后，达到最高限速后，停止加速, 按最高限速运动穿过路口。 最高限速：校园内v*=15公里/小时=4米/秒，长安街上v*=40公里/小时=11米/秒，环城路上 v*=60公里/小时=17米/秒 取最高限速 v*=11m/s，达到最高限速时间t n*=v* /a+t n =5.5+n-1 限速行驶模型: S n(t)=S n(0)+1/2 a(t n *–t n )2+v*(t-t n*), t>t n* =S n(0)+1/2 a (t-t n) 2, t n*>t>t n = S n(0) t n>t 解：S n(30)=-7(n-1)+(5.5)2+11(30-5.5-(n-1))>0 得 n≤17 且 t17 * =5.5+16=21.5<30=t 成立。 结论: 该路口最多通过17辆汽车.

系统的描述与数学建模

系统的描述与数学建模 [摘要]数学建模就是利用数学方法将系统的文字语言描述转化成数学方式表达。由于影响系统的因素多种多样，当用数学表达系统时，我们要求尽可能要使得数学建模既能从本质上反映系统，又能使得系统的数学模型具有简单性。 [关键词]系统的建模数学建模 数学建模就是利用数学方法将系统的文字语言描述转化成数学方式表达。由于影响系统的因素多种多样，当用数学表达系统时，我们要求尽可能要使得数学建模既能从本质上反映系统，又能使得系统的数学模型具有简单性。一个极其复杂的数学模型对于分析系统毫无帮助。 为了说明这种数学建模的方法，我们举一个简单的例子。比如我们研究某一地区人口的健康状况。假定在我们的研究时段内没有人口的自然死亡，按照自然规律人口总是以一定的概率，变成亚健康、或者患上某种轻疾病、或者患上重疾病。在一定的环境和医疗条件下，部分亚健康者和患者会得以康复，这是一种简单运算的系统描述，并没有具体地给出定量表达。为了能用数学的方法表达这个描述，我们按照以下方式将人口分类：（1）健康人。（2）亚健康人。（3）患轻病人。（4）患重病人。 根据上面的关系和一些假定条件，我们可以得到相应的微分方程，至于方程的详细导出我们以后再讨论。这里我们需要指出，前面我们只是一种说明性的举例，在实际建模过程中，要依赖于系统所在的环境，按照前面方法得到的应是确定性模型，在随机环境中，上面所述的量应当对应成相应状态的概率。 再比如排队系统，是最常见的一种系统，这类系统主要描述顾客到达，接受服务然后离开这一过程。系统由顾客与服务员两个单元组成。这类问题主要由以下四个因素决定：（1）顾客来到窗口的频率。（2）窗口的个数。（3）排队规则。（4）服务时间分布；所以我们必须对它们作适当的假定。 在单个服务台的排队系统模型M/M/1，即系统只设一个服务台床的情况。假定顾客是相互独立地到达系统，而且顾客到达系统的间隔时间服从负指数分布 F(t)=1-e -λt (输入过程)，又服务窗为每一位顾客的服务时间也同时服从负指 数分布H(t)=1-e -μt (运行方式)。对这种最简单的排队模型，我们将依照不同的系统规则确定排队系统所满足的微分方程。 M/M/1损失制排队模型是指系统内只设一个服务窗，系统容量为1（即有一个排队位置而无排队等待位置），顾客到达和窗口服务时间均为负指数分布，且

长安大学排课问题数学建模论文最终版

一、问题的重述 排课问题是高校制定教学计划、安排教学过程中的一项较为复杂的工作，在高校教务管理工作中处于重要地位。高校在每学期末都要根据培养计划和教学资源作出下学期的教学安排, 这主要体现在对课表的编排上。其中涉及的关键要素很多, 包括教师、班级、教室和授课时段等。根据排课总体目标、约束条件、及优先级, 充分利用紧缺资源, 设计并实现高校课表安排系统。我校所面临的问题主要有：第一，渭水校区有包括从大一至大三三个年级的学生，20个学院近700个班级，教学任务繁重，课表安排难度较大；第二，校区地处偏僻,距市区较远，老师上课需乘车来回奔波，如果课表安排不当，就会导致部分老师前往渭水乘车次数过多或在渭水逗留时间过长；第三，基于学生的学习规律与习惯，应根据课程的难度与重要性进行课程时段的安排，若安排不当，会导致学生的学习效果不佳；第四，为节省学校在校车往返方面的开支，安排课表时应尽量减少校车运行车次。为此应根据教学计划和排课要求,综合考虑教师、课程、班级和授课时段等因素，协调合理的编排课表,制作一个系统模型，根据这个模型使老师、同学和学校尽可能满意，并且具有足够的可行性和可变动性。让老师满意，即让每位老师一周前往渭水的乘车次数尽可能少，同时还要使每位老师在渭水逗留的时间尽可能少；让学生满意，即同一班级同一门课程在时间段上尽量间隔开来，另外相对重要的课程应尽量安排在较好的教学时段上；让学校满意，即节约学校开支，使每周派往渭水的车次尽可能少。 二、问题的分析 课表安排的主要任务是把各学院的课程汇总, 然后根据教学计划或教学环

节制订全校各班级的课表。根据学校的实际情况和学校所面临的问题，可以将这类题归为以老师、学生和学校的满意情况为多目标的多约束的规划问题。为了使课表的编排准确、合理、快速、高效, 充分利用学校资源，根据已知条件提出以下可行性要求： 1、课程的优先级：将大学所有课程分为三类，1）公共必修课：多个学院开设的课程，课程重要且开设的班级数最多，这类课尽量安排在最好时段；2）专业必修课：少数学院或一个学院开设的课程，课程重要且开设的班级数较多，这类课尽量安排在较好时段；3）其他如专业选修课或公共选修课等：少数班级开设的课程，课程相对简单，可以任意安排时段授课。 2、课程时段的规定：将每天分为5个时段(上午两个,下午两个,晚上一个)，并规定为：1-2节课为第一时段，3-4节课为第二时段……依此类推。根据学生的学习效果及课程难度与重要性，将课程时段按有利程度分为五个等级，即第一时段>第二时段>第三时段>第四时段>第五时段。 3、时间段的分配优先级：周一至周五的白天共20个时段用来安排公共必修课和专业必修课及部分选修课,每天晚上及周六、周日安排其他课程；先安排公共必修课表,在剩余的时间段安排各系专业课程，最后再安排选修课程；将相对重要的课程安排在较好时段。 4、时间段的有效性：1）同一班级同一门课的两次授课时间必须隔天，但相隔天数不宜超过两天；2）一个老师一天的两节课应连排, 即尽量安排在同一天上午或同一天下午, 为教师上课提供方便，同时也减少了派往渭水的车次 5、应避免各种冲突:1）教室不冲突, 同一教室同一时间不能安排两门课程，人数不能超过教室的最大容量；2）学生不冲突, 同一班级学生不能在同一时间

数学建模--交通问题

摘要 近年来随着机动车辆的迅猛增长，城市道路的交通压力日渐增大，各大城市对旧城改造及城市道路建设的投入也不断扩大，交通拥挤问题却仍旧日益严重。因此，科学全面地分析和评价城市的绩效，进而找到适合我国的城市交通规划模式，已成为我国城市交通迫切需要解决的课题。 本文通过大量查阅城市交通绩效评价指标，结合目前我国交通发展现状，以兰州为例，首先建立了绩效评价指标的层次结构模型，确定了目标层，准则层（一级指标），子准则层（二级指标）。 其次，建立评价集V=(优，良，中，差)。对于目标层下每个一级评价指标下相对于第m 个评价等级的隶属程度由专家的百分数u 评判给出，即U ＝[0,100]应用模糊统计建立它们的隶属函数A(u)， B(u)， C(u) ，D(u)，最后得出目标层的评价矩阵Ri ，（i=1,2,3,4,5）。利用A,B 两城相互比较法，根据实际数据建立二级指标对于相应一级指标的模糊判断矩阵P i （i=1,2,3,4,5） 然后，我们经过N 次试验调查，明确了各层元素相对于上层指标的重要性排序，构造模糊判断矩阵P ，利用公式 1 ,ij ij n kj k u u u ==∑ 1 ,n i ij j w u ==∑ 1 ,i i n j j w w w ==∑ []R W R W R W R W R W W R W O 5544332211,,,,==计算出权重值，经过一致性检验公式RI CI CR = 检验后，均有0.1CR <，由此得出各层次的权向量()12,,T n W W W W =K 。然后后， 给出建立绩效评价模型（其中O 是评价结果向量），应用模糊数学中最大隶属度原则，对被评价城市交通的绩效进行分级评价。 接着，为了优化兰州安宁区道路交通，我们建立了评价城市交通的指标体系，继而构造模糊判断矩阵P ，计算出相应的权重值。我们挑选了道路因素进行优化，以主干道利用率约束、红绿灯效率约束、公交站点数目约束、非负约束为约束条件建立了安宁区道路交通优化方案的权系数模型，最后利用实际测算数据给出最终优化模型，提出合理化的优化建议，希望能为更好的建设兰州交通体系作出贡献。 关键词：城市交通 层次分析 模糊综合评判 绩效评价 隶属度

数学建模 自习室管理系统

一．问题重述： 近年来，大学用电浪费比较严重，集中体现在学生上晚自习上，一种情况是去某个教室上自习的人比较少，但是教室的灯却全部打开，第二种情况是晚上上自习的总人数比较少，但是开放的教室比较多，这要求提供一种最节约、最合理的管理方法。根据题目所给出的数据，有以下问题。数据见表。 1．假如学校有8000名同学，每个同学是否上自习相互独立，上自习的可能性为0.7. 要使需要上自习的同学满足程度不低于95%，开放的教室满座率不低于4/5，同时尽量不超过90%。问该安排哪些教室开放，能达到节约用电的目的。 2．在第一问基础上，假设这8000名同学分别住在10个宿舍区，现有的45个教室分为9个自习区，按顺序5个教室为1个区，即1,2,3,4,5为第1区，…， 41,42,43,44,45为第9区。这10个宿舍区到9个自习区的距离见表2。学生到各教室上自习的满意程度与到该教室的距离有关系，距离近则满意程度高，距离远则满意程度降低。假设学生从宿舍区到一个自习区的距离与到自习区任何教室的距离相同。请给出合理的满意程度的度量，并重新考虑如何安排教室，既达到节约用电目的，又能提高学生的满意程度。另外尽量安排开放同区的教室。3．假设临近期末，上自习的人数突然增多，每个同学上自习的可能性增大为0.85，要使需要上自习的同学满足程度不低于99%，开放的教室满座率不低于4/5，同时尽量不超过95%。这时可能出现教室不能满足需要，需要临时搭建几个教室。 假设现有的45个教室仍按问题2中要求分为9个区。搭建的教室紧靠在某区，每个区只能搭建一个教室，搭建的教室与该区某教室的规格相同（所有参数相同），学生到该教室的距离与到该区任何教室的距离假设相同。问至少要搭建几个教室，并搭建在什么位置，既达到节约用电目的，又能提高学生的满意程度。

课程时间安排-数学建模

课程时间安排的优化模型 摘要 排课是教务运作中的一项重要工作，同时排课问题也是一个复杂的组合优化问题，对此问题的建模和求解，难度都非常大。多数情况下我们只是满足于求解问题的一个可行解，而对此可行解的进一步优化往往通过手工完成，效率很低。目前有很多计算机专家和数学专家都致力于对大规模排课问题的研究，在此我们给出一个规模相对较少，约束相对较少的较为简单的排课问题。解决排课中的问题，既能满足老师授课上机的要求又能满足学生对上机时间的合理安排。让学校、老师和同学的满意。 让老师满意，就是安排尽量少出现像同一天同一位老师上1-2节，7-8节，最好是1-2节面授然后4-5节课上机；让同学们满意，可从以下几方面考虑，比如，同一班级同一门课程，至少应隔一天上一次，另外对学生感到比较难学的课程尽量安排在最好的时段，上机时间要安排在面授课之后；让学校满意，就是尽量减少因出现问题而不得不为老师调课的次数。根据实际情况在具体模型建立过程中采用了0-1矩阵法，矩阵的乘法等数学方法，建立优化类数学模型来求解有效矩阵，根据有效矩阵初排课表，结合多方面因素建立修正矩阵，对初排课表逐层修改，得出最优排课表。并通过matlab实现算法和给出模型的解。 先将123班级课表和20张老师课表转换为0-1变量，有课改为0，没课改为1，组成两个矩阵，然后可用VB编程得到一个新的矩阵，两矩阵中元素都为1时，新的矩阵对应的元素就为1，即老师和班级同时有空时为1。将多目标函数转换为单目标函数，其他的要求可直接在约束条件中满足。然后用lingo软件编程解决（其约束条件和目标函数都可用lingo的语句表示出来）

关键词：排课问题 0-1矩阵矩阵的乘法优化目标矩阵 lingo VB 1 问题重述 排课是教务运作中的一项重要工作，同时排课问题也是一个复杂的组合优化问题，对此问题的建模和求解，难度都非常大。多数情况下我们只是满足于求解问题的一个可行解，而对此可行解的进一步优化往往通过手工完成，效率很低。目前有很多计算机专家和数学专家都致力于对大规模排课问题的研究，在此我们给出一个规模相对较少，约束相对较少的较为简单的排课问题，请同学们加以解决。 目前，某校的计算机上机课大都安排在计算机学院，计算机学院有5个机房用于学生上机，每个机房大约容纳90人。安排上机的课程共有4门，指导上机的教师共有24人，其中20人为课程的授课教师，见附件1，其他四人为机房的管理人员，依次为陆老师，章老师，张老师和彭老师，其中陆老师负责2个机房。共有123个班级需要上机，详细名单见附件1。教师和学生的上机时间不能和他们的授课课程时间冲突，为此我们给出了各位教师和各个班级学生的课程表，见文件夹附件2。四名管理人员可全天进行上机指导，但只能在自己负责的机房进行. 要求： （1）为了保证授课效果，学院规定每个老师在同一个时间段只能为1个班级进行指导；而同一时段允许有两名教师在同一个机房分别指导一个班级； （2）上机指导老师尽可能指导自己授课班级的学生； （3）周末尽可能不安排上机；其次晚上尽可能不安排上机。 （4）为了减少教师到新校区的次数，上机时间尽可能与其授课时间安排在同一天。 （5）还有其它要求可根据高校教学的情况，酌情给出，给出时要充分考虑教学规律、教学效果和大部分老师、学生的要求。

数学建模课表安排

宝鸡文理学院新校区课表安排问题 编号：J4004 摘要：每学期的开学初，总有许多老师对新校区的课程安排很有意见，本文选取宝鸡文理学院某系某专业的师生情况、课程、教室间数为研究对象，以课程与上课时间之间的关系矩阵为目标矩阵，通过用各影响矩阵优化目标矩阵的方法，对新校区各系各专业的课表进行了重排。在具体模型建立过程中采用了0-1矩阵法，矩阵的乘法等数学方法，建立优化类数学模型来求解有效矩阵，根据有效矩阵初排课表，结合多方面因素建立修正矩阵，对初排课表逐层修改，得出最优排课表，最后通过lingo软件加以实现。运用我们建立的数学模型，对宝鸡文理学院数学系08级信息与计算科学专业的课表进行重排，将所得新课表与现有的课表进行比较，显然新排的课表更加合理化、人性化。根据新课表中每节课对应的相关因素（课程名称、教室、老师、班级）进行分析整合，可衍生出新的安排表（如通过对不同时间段上课老师人数的研究安排校车的接送）。我们以学校、教师和学生对所排课表满意度作为衡量标准，以宝鸡文理学院数学系08级信息与计算科学专业的课表为例，可得学校、教师和学生对我们所排课表的满意度主因素分别为校车接送次数、在新区逗留时间、专业课排在早上，计算得评价指标分别为 0.88、1、1，可见对本模型使三方的满意度基本均衡且都超过80%，即做到了三者兼顾的满意最大化。最后，通过我们建立的模型，我们给教务处排课表问题给处了一些合理的、可行性的建议。 关键字：排课问题 0-1矩阵矩阵的乘法优化目标矩阵满意度

一． 问题重述 每学期的开学初，总有许多老师对对新校区的课程安排进行抱怨，还有许多老师要求调课，教务处对这一问题很是头疼。根据宝鸡文理学院院的实际情况，用数学建模的方法解决这一问题，既要让老师满意，又要让同学和学校满意。 让老师满意，就是要让每位老师在一周内前往新校区上课的乘车次数尽可能少，同时还要使每位老师在新校区逗留的时间尽可能少，比如安排尽量少出现像同一天同一位老师上1-2节，7-8节；让同学们满意，可从以下几方面考虑，比如，同一班级同一门课程，至少应隔一天上一次，另外对学生感到比较难学的课程尽量安排在最好的时段；同时为避免下课楼道拥挤，对于上午有四节课的班级，在教室功能允许的情况下，应尽量避免更换教室；让学校满意，就是要节约支出，每周派往新校区的车次尽可能的少。 从学院的实际情况出发，收集相关数据，用数学建模的方法解决以下问题： 1) 建立排课表的数学模型，并研制出排课表的软件包； 2) 利用建立模型及软件对本学期新校区的课表进行重排，并与现有的课表进行比较； 3) 给出评价指标评价你的模型，特别要指出模型的优点与不足之处； 4) 对学校教务处排课表问题给出你的建议 二． 问题分析 问题一：通过对多张课表的研究，发现排课表过程中的主要影响因素间关系如下图 分别以单箭头左边的为行右边的为列建立两关系间的有效矩阵A 、B 、D ，由A B 得矩

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TOMLAB课表编排问题 我们老师让我们做一个课表编排问题，题目见 https://www.wendangku.net/doc/7c13533998.html,/bbs/viewthread.php?tid=1799 我试图用基于MATLAB的一个软件TOMLAB做，因为他有一个例子：见 https://www.wendangku.net/doc/7c13533998.html,/examples/tomsym_collegetimetable.html 由于我对MATLAB、TOMLAB应用不熟练，我试图先写一个程序尽可能和例子相似。我将问题简化，先安排第一类课程，有三个老师，5门课。并且我不考虑教室问题。由于每堂课是以两个课时为一个单位，五门课每周分别上2 2 322堂课，每个老师教任意的课，他们的每周最大课时数分别是2 2 3，每天可以上4节课（晚上不排课）（以上的“一节课”均指两小节课） 优化目标： 1：最好在每天的第2、3节安排课程，第一节、第四节尽可能不安排课 2:尽可能满足老师们的最大课时数，使他们加班尽可能少。 程序（TOMLAB实现） teacher=[1 2 3]; lesson=[1 2 3 4 5]; lesson_times=[2 2 3 2 2]; slots=4*5; t=tomArrayIdx('t',1:3); l=tomArrayIdx('l',1:length(lesson)); s=tomArrayIdx('s',1:20); teach=tomArray('teach',[3,5,20]); %create a array of 3*5*20 (teacher*lesson*slots) bnds1={0<=teach<=1}; % All variables are binary bnds2={sum(sum(teach(t,l,s),s),t)==lesson_times}; %所有的课程必须全部安排进课表 bnds3={sum(sum(teach(t,l,s),t),l)<=1}; % Teacher constraint, one teacher per slot bnds={bnds1,bnds2,bnds3}; not_so_good_slots=tomArrayIdx('l',[1,4,5,8,9,12,13,16,17,20]); objective1=sum(vec(teach(l,t,not_so_good_slots))); %the goal is to minimize teaching courses in these no so good slots max_work=[2 2 3]; objective2=0;