圆的一般方程
《圆的一般方程》教学设计（1课时）
一、教材分析
教材是在圆的标准方程的基础上得出了圆的一般方程，然后分析方程特点，即讨论系数在通过配方观察方程何时表示圆、何时不是圆，判断的标准是圆的标准方程，这样做紧扣圆的几何特征，最后得出二元二次方程表示圆的充要条件，使学生加深对圆的一般方程的认识与记忆，认识到标准方程与一般方程的联系与区别。并对数学中分类思想，对比记忆等思想有更深的了解和掌握。
教材配备了两个例题，例3利用圆的标准方程求同心圆方程：例4则是利用待定系数法通过一般方程解过三点的圆的方程，这是数学中常用的一种方法。
二、学情分析
学生是在已有知识的基础上能够推导出圆的一般方程，并能初步利用圆的标准方程的特点研究圆的一般方程，学生在利用圆的一般方程022=++++F Ey Dx y x 解决问题时，常忽略表示圆的条件0422>-+F E D ，灵活使用圆的方程的两种形式解决问题是学生学习的难点。
三、本节渗透的数学思想及教学方法分析
根据以上教材分析，贯彻以启发性教学原则，教师引导，学生学习为主体的教学思想，分析与讨论结合。
1、经历用待定系数法求圆的方程的过程，它是数学中常用的一种方法，在学习过程中体会用代数方法解决几何问题的思想。
2、圆的一般方程含有三个参变量，需要三个条件（坐标）才能确定圆，树立利用方程的思想求解参数变量。
3、引导学生分析两个方程之间的互化关系，选择两个方程解决问题的条件和优缺点。
4.教学中体现了转化、数形结合及方程的数学思想方法。
四.教学目标
知识与技能：
1).掌握圆的一般方程及一般方程的特点
2).能将圆的一般方程化成圆的标准方程，进而求出圆心和半径
3).能用待定系数法由已知条件求出圆的方程
过程与方法：
1).通过问题的分析与解决使学生认识研究问题中由简单到复杂，由特殊到一般的化归思想。
2).通过分析，充分了解分类思想在数学中的重要地位，强化学生的观察，思考能力。
情感态度与价值观：
培养学生主动探索、勇于思考、合作交流的意识，在体现数学美的过程中激发学生的学习兴趣，从而培养学生勤于动脑和动手的良好思维品质。
五.教学重、难点
教学重点：
1.圆的一般方程220x y Dx Ey F ++++=的形式特征。
2.待定系数法求圆的方程。
教学难点：
1. 方程220x y Dx Ey F ++++=及对224D E F +-分类讨论。
2.根据具体条件，选择圆的方程解决有关问题及待定系数法求圆的方程。
难点突破：
通过对224D E F +-的分类讨论，使问题化难为易，难点个个攻破，使课堂教学显得轻松易学。
六．学法分析
在教学活动中，教师提出疑问，引导学生主动思考，主动探究，讨论交流，在积极的学习中解决问题，获得知识。贯穿“疑问”—“思索”—“发现”—“解惑”四个学习环节。
七．教学过程设计
（一）创设情境，引发思考，引入新知
问题1：A.B 两镇相距10km ，为了响应党的号召,丰富人民的文化生活,现在两镇之间修建一个文化广场,为方便大部分群众,现要求广场到两镇之间距离的平方和为60,那么广场应修建在何处?
分析：仅仅依据问题中的几个数据无法表示距离，若将这个问题放在直角坐标系中来考虑，就能很快表示出距离，以AB 两镇所在的直线为x 轴，以AB 的中点为坐标原点建立直角坐标系，则)0,5(),0,5(B A -，设),(y x P 为广场所在的位置，则有
60)5()5(2222=+-+++y x y x ，
化简得522=+y x 。你能说明这是一个什么方程吗？广场应建在什么位置？
设计意图：以生活中的实例提出问题，激发学生的学习兴趣，并借此复习学生已经掌握的圆的标准方程，并为圆方程改写成二元二次方程的形式引出圆的一般方程做铺垫。
问题2：圆的标准方程222r b)-(y a)-(x =+的展开式是什么？：
0r -b a 2by -2ax -y x 22222=+++
由于a,b,r 均为常数，故设 D=-2a ， E =-2b , F = a 2+b 2-r 2 此方程可写成下面的形式：
220x y Dx Ey F ++++= ① 故任何一个圆的方程都可以用上式表示。
思考：形如①的方程表示的曲线一定是圆吗？
设计意图：在问题1的基础上由圆的标准方程展开问题引发概念，给学生思考、探索的空间，让学生体验数学发现和创造的历程，提高分析和解决问题的能力。
（二）深入思考，得出结论
如果形如①的方程表示的曲线是圆，那么由方程可求出圆心和半径。下面我们配方整理可得：22224()()224
D E D E F x y +-+++= ② 比较圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r 2与22224()()224D E D E F x y +-+++=的形式 上式表不表示圆，关键跟224D E F +-的正负有关。
1）当2240D E F +->时，表示以(,)22D E -
-为圆心，以R =为半径的圆。
2）当224D E F +-=0时，方程只有实数解 2D x =-
， 2
E y =-即表示一个点(,)22D E --。 3）当2240D E
F +-<时，方程没有实数解，因而不表示任何图形。
综上所述，方程220x y Dx Ey F ++++=表示的曲线不一定是圆，只有当2240D E F +->时，它表示的曲线才是圆，此时220x y Dx Ey F ++++=叫圆的一般
方程。表示以(,)22D E -
-为圆心，R =为半径的圆。 设计意图：通过本过程，学生实现了对圆的方程更深的理解，实现了对圆的一般方程的理解。引导学生理解圆的一般方程的意义，真正知道什么情况下表示圆，并理解为什么。
（三）两相对比，加深理解
标准方程：(x-a)2+(y-b)2=r 2明确指出了圆心和半径。
一般方程：220x y Dx Ey F ++++=突出了形式上的特点
1．2x 和2y 的系数相同，且不等于0。
2．没有xy 这样的二次项。
3. 2240D E F +->
设计意图：通过比较，不仅复习了以前的知识，增强了记忆。对今天的新课也有了更深层次的理解。
（四）知识运用，巩固概念
例1．判别下列方程表示什么图形,如果是圆,找出圆心和半径。
（1）x 2+y 2-2x+4y+1=0
（2）x 2+y 2+2by=0 （b ≠0）
例2．求过点)1,1(-M ，且圆心与已知圆036422=-+-+y x y x 相同的圆的方程。 方法一：利用配方法将其变成圆的标准形式，求出圆心后再求半径。
方法二：利用圆的一般方程方程形式求解，由于所求圆与已知圆是同心圆，故可设所求圆的方程为：06422=++-+F y x y x ，然后将M 点代入，利用待定系数法求F 。
设计意图：本题较简单，学生独立求解，然后教师点评。设计目的是让学生应用新知，巩固知识，强调圆的标准方程与一般方程方程的相互转化及二元二次方程
220x y Dx Ey F ++++=表示圆的条件。同时也增强学生自信，提高兴趣。
例3．求过三点O (0,0),M 1(1,1), M 2(4,2), 的圆的方程，并指出圆心和半径。
设计意图：让学生通过自主解答，发现困难，教师适时引导，总结出用待定系数法求圆的一般方程的步骤。通过本小题进一步理解待定系数法这一思想。
注：用待定系数法求圆的方程的步骤：
（1）根据题意设所求圆的方程为标准式或一般式；（圆的一般方程与圆的标准方程在运用上的比较，(1)若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单.
(2)若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般方程用待定系数法求解）
（2）根据条件列出关于a 、b 、r 或D 、E 、F 的方程；
（3）解方程组，求出a 、b 、r 或D 、E 、F 的值，代入所设方程，就得要求的方程。
（五）反馈练习，强化概念
教材80页，练习1、（2）（4）2.
（六）课堂小节，形成体系
从知识与方法两个方面进行归纳。（学生先归纳总结，教师补充强调）
1．本节课的主要内容是圆的一般方程,其表达式为220x y Dx Ey F ++++=，其特点是：
（1）2x 和2y 的系数相同，且不等于0。
（2）没有xy 这样的二次项
（3）2240D E F +->
表示以(,)22D E --为圆心，R =为半径的圆。 2．圆的一般方程与圆的标准方程在运用上的比较
（1）若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单.
（2）若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般方程用待定系数法求解.
3.本节课用的数学思想方法：
（1）通过特殊认识一般的思想方法。
（2）配方法(求圆心和半径).待定系数法(求圆的一般方程)
（3）问题转化和分类讨论的思想(原则是不重复,不遗漏)
六．作业布置：
教材85页A 组1、2
七．板书设计：
八、课后练习、巩固新知
一 基础题
1．圆036422=--++y x y x 的圆心坐标和半径分别为 ．
2．若方程054222=-+-+m my x y x 表示的图形是圆，则m 的取值范围是 ．
3．若圆Ey Dx y x +++22+F =0)04(22>-+F E D 的圆心在直线0=+y x 上，则D 、E 、F 的关系有 ．
4．已知圆04422=--+x y x 的圆心是P ，O 是坐标原点，则=||PO ．
5．过点)11( -，M 且与已知圆C ：034222=-+-+y x y x 的圆心相同的圆的方程是 。
6．若圆022222=++++b by x y x 上的点关于直线0=+y x 对称，则=b ．
7．过三)00( ，
O ，)11( ，M ，)24( ，N 的圆的方程是 ． 二 提高题
8．求过三点)51( -，
A ，)55( ，
B ，)26(- ，
C 的圆的方程．
9．求圆012222=+-++y x y x 关于直线03=+-y x 对称的圆的方程．
三 能力题
10．已知点)(y x M ，与两个顶点)00( ，O ，)03( ，A 的距离之比为2
1，那么点M 的坐标满足什么关系？画出满足条件的点M 所形成的曲线．
九、教学后记
本节课采用“问题探讨教学”和“自主探究式教学”相结合，志在体现学生学习的主体地位，教学中突出数学思想方法的渗透，引导学生运用了“通过特殊认识一般”的思想方法探究新知，利用“待定系数法”与“配方法”进行圆的一般方程与标准方程的转化，借助“数形结合”的思想分析问题，解决问题。教学最后让学生从知识与方法两个方面进行归纳小结，培养学生及时梳理，系统总结，巩固所学新知的好习惯，课后练习的完成使学生进一步巩固新知，加强了对本节知识的进一步认识与运用。
另外，学生在学习本节知识时，在对方程220x y Dx Ey F ++++=及对224D E F +-分类讨论及利用“配方法”确定圆的标准方程上存在困难，在今后教学中应加强使学生训练与提高。
圆的一般方程练习(1)
4.1.2 圆的一般方程 练习一 一、 选择题 1、x 2+y 2-4x+6y=0和x 2+y 2-6x=0的连心线方程是（ ） A 、x+y+3=0 B 、2x-y-5=0 C 、3x-y-9=0 D 、4x-3y+7=0 2、已知圆的方程是x 2+y 2－2x+6y+8=0，那么经过圆心的一条直线方程为( ) A .2x －y+1=0 B.2x+y+1=0 C.2x －y －1=0 D.2x+y －1=0 3、以（1,1）和（2,-2）为一条直径的两个端点的圆的方程为（ ） A 、 ｘ2＋ｙ2＋3ｘ－ｙ＝0 B 、ｘ2＋ｙ2－3ｘ＋ｙ＝0 C 、ｘ2＋ｙ2－3ｘ＋ｙ－ 25＝0 D 、ｘ2＋ｙ2－3ｘ－ｙ－2 5＝0 4、方程ｘ2＋ｙ2＋ａｘ＋2ａｙ＋2ａ2＋ａ－1＝0表示圆，则ａ的取值范围是（ ） A 、 ａ＜－2或ａ＞3 2 B 、－3 2＜ａ＜2 C 、－2＜ａ＜0 D 、－2＜ａ＜ 3 2 5、圆x 2+y 2+4x+26y+b 2=0与某坐标相切，那么b 可以取得值是( ) A 、±2或±13 B 、1和2 C 、-1和-2 D 、-1和1 6、如果方程22220(40)x y Dx Ey f D E F ++++=+->所表示的曲线关于y=x 对称，则必有（ ） A 、D=E B 、D=F C 、E=F D 、D=E=F
7、如果直线l 将圆22240x y x y +--=平分，且不通过第四象限， 那么l 的斜率的取值范围是（ ） A 、[0，2] B 、[0，1] C 、1[0]2， D 、1[0]3， 二、填空题 8、已知方程x 2+y 2+4kx-2y+5k=0，当k ∈ 时，它表示圆；当k 时，它表示点；当k ∈ 时，它的轨迹不存在。 9、圆x 2+y 2－4x+2y －5=0，与直线x+2y －5=0相交于P 1,P 2两点，则12PP =____。 10、若方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0，表示以（2，－4）为圆心，4为半径的圆，则F=_____ 11、圆的方程为22680x y x y +--=，过坐标原点作长度为6的弦，则弦所在的直线方程为 。 三、解答题 12、如果直线l 将圆22240x y x y +--=平分，且不通过第四象限，求l 的斜率的取值范围。 13、如果实数x 、y 满足x 2+y 2-4x+1=0，求 y x 的最大值与最小值。 14、ABC 的三个顶点分别为A(－1,5)，(－2,－2),(5,5),求其外接圆方程
(整理)圆的一般方程
《圆的标准方程》教学设计 （教师用） 成都市洛带中学刘德军 一、教材分析 学习了“曲线与方程”之后，作为一般曲线典型例子，安排了本节的“圆的方程”。圆是学生比较熟悉的曲线，在初中曾经学习过圆的有关知识，本节内容是在初中所学知识及前几节内容的基础上，进一步运用解析法研究它的方程，它与其他图形的位置关系及其应用王新敞同时，由于圆也是特殊的圆锥曲线，因此，学习了圆的方程，就为后面学习其它圆锥曲线的方程奠定了基础王新敞也就是说，本节内容在教材体系中起到承上启下的作用，具有重要的地位，在许多实际问题中也有着广泛的应用。 二、学情分析 学生在初中的学习中已初步了解了圆的有关知识，本节将在上章学习了曲线与方程的基础上，学习在平面直角坐标系中建立圆的代数方程，运用代数方法研究直线与圆，圆与圆的位置关系，了解空间直角坐标系，在这个过程中进一步体会数形结合的思想，形成用代数方法解决几何问题的能力。 三、教学目标 (一)知识与技能目标 （1）会推导圆的标准方程。 （2）能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径。 （3）掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程。 (二)过程与方法目标 （1）体会数形结合思想，初步形成代数方法处理几何问题能力。 （2）能根据不同的条件，利用待定系数法求圆的标准方程。 (三)情感与态度目标 圆是基于初中的知识，同时又是初中的知识的加深，使学生懂得知识的连续性；圆在生活中很常见，通过圆的标准方程，说明理论既来源于实践，又服务于实践，可以适时进行辩证唯物主义思想教育． 四、重点、难点、疑点及解决办法 1、重点：圆的标准方程的推导过程和圆标准方程特征的理解与掌握。 2、难点：圆的标准方程的应用。 3、解决办法：充分利用课本提供的2个例题，通过例题的解决使学生初步熟悉圆的标准方程的用途和用法。 五、教学过程 首先通过课件展示生活中的圆，那么我们今天从另一个角度来研究圆。 (一)复习提问 在初中，大家学习了圆的概念，哪一位同学来回答？ 问题1：具有什么性质的点的轨迹称为圆？ 平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆(教师在课件上画圆)．
《圆的一般方程》教案(公开课)
《圆的一般方程》教案 一、教学目标 (一)知识教学点 使学生掌握圆的一般方程的特点；能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程． (二)能力训练点 使学生掌握通过配方求圆心和半径的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方程，培养学生用配方法和待定系数法解决实际问题的能力． (三)学科渗透点 通过对待定系数法的学习为进一步学习数学和其他相关学科的基础知识和基本方法打下牢固的基础． 二、教材分析 1．重点：(1)能用配方法，由圆的一般方程求出圆心坐标和半径；(2)能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程． (解决办法：(1)要求学生不要死记配方结果，而要熟练掌握通过配方求圆心和半径的方法；(2)加强这方面题型训练．) 2．难点：圆的一般方程的特点． (解决办法：引导学生分析得出圆的一般方程的特点，并加以记忆．) 3．疑点：圆的一般方程中要加限制条件D2+E2-4F＞0． (解决办法：通过对方程配方分三种讨论易得限制条件．) 三、活动设计 讲授、提问、归纳、演板、小结、再讲授、再演板． 四、教学过程 (一)复习引入新课 前面，我们已讨论了圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2，现将展开可得 x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0．可见，任何一个圆的方程都可以写成
x2+y2+Dx+Ey+F=0．请大家思考一下：形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程的曲线是不是圆？下面我们来深入研究这一方面的问题．复习引出课题为“圆的一般方程”． (二)圆的一般方程的定义 1．分析方程x3+y2+Dx+Ey+F=0表示的轨迹 将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0左边配方得： (1) (1)当D2+E2-4F＞0时，方程(1)与标准方程比较，可以看出方程 半径的圆； (3)当D2+E2-4F＜0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0没有实数解，因而它不表示任何图形． 这时，教师引导学生小结方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的轨迹分别是圆、 法． 2．圆的一般方程的定义 当D2+E2-4F＞0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0称为圆的一般方程． (三)圆的一般方程的特点 请同学们分析下列问题： 问题：比较二元二次方程的一般形式 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0． (2) 与圆的一般方程
圆的一般方程练习题
课时作业23 圆的一般方程 (限时：10分钟) 1．若圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0的圆心到直线x －y ＋a ＝0的距离为2 2，则a 的值为( ) A ．－2或2 或32 C ．2或0 D ．－2或0 解析：圆的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5，圆心为(1,2)，圆心到 直线的距离|1－2＋a |12＋－1 2＝22，解得a ＝0或2. 答案：C 2．若圆x 2＋y 2－2ax ＋3by ＝0的圆心位于第三象限，那么直线x ＋ay ＋b ＝0一定不经过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 解析：圆心为? ?? ??a ，－32b ，则有a <0，b >0.直线x ＋ay ＋b ＝0变为y ＝－1a x －b a .由于斜率－1a >0，在y 轴上截距－b a >0，故直线不经过第四象限． 答案：D 3．直线y ＝2x ＋b 恰好平分圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0，则b 的值为 ( ) A ．0 B ．2 C ．4 D ．1 解析：由题意可知，直线y ＝2x ＋b 过圆心(－1,2)， ∴2＝2×(－1)＋b ，b ＝4. 答案：C 4．M (3,0)是圆x 2＋y 2－8x －2y ＋10＝0内一点，过M 点最长的弦所在的直线方程为________，最短的弦所在的直线方程是________． 解析：由圆的几何性质可知，过圆内一点M 的最长的弦是直径，最短的弦是与该点和圆心的连线CM 垂直的弦．易求出圆心为C (4,1)， k CM ＝1－04－3＝1，∴最短的弦所在的直线的斜率为－1，由点斜式，分
别得到方程：y＝x－3和y＝－(x－3)，即x－y－3＝0和x＋y－3＝0. 答案：x－y－3＝0x＋y－3＝0 5．求经过两点A(4,7)，B(－3,6)，且圆心在直线2x＋y－5＝0上的圆的方程． 解析：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其圆心为? ? ? ? ? － D 2，－ E 2， 由题意得 ?? ? ??42＋72＋4D＋7E＋F＝0， －32＋62－3D＋6E＋F＝0， 2· ? ? ? ? ? － D 2＋? ? ? ? ? － E 2－5＝0. 即 ?? ? ??4D＋7E＋F＝－65， 3D－6E－F＝45， 2D＋E＝－10， 解得 ?? ? ??D＝－2， E＝－6， F＝－15. 所以，所求的圆的方程为x2＋y2－2x－6y－15＝0. (限时：30分钟) 1．圆x2＋y2＋4x－6y－3＝0的圆心和半径分别为() A．(2，－3)；16B．(－2,3)；4 C．(4，－6)；16 D．(2，－3)；4 解析：配方，得(x＋2)2＋(y－3)2＝16，所以，圆心为(－2,3)，半径为4. 答案：B 2．方程x2＋y2＋4x－2y＋5m＝0表示圆的条件是()
人教版高中数学《圆的一般方程》教案导学案
圆的一般方程 一、教学目标 （一）知识教学点 使学生掌握圆的一般方程的特点；能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程． （二）能力训练点 使学生掌握通过配方求圆心和半径的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方程，培养学生用配方法和待定系数法解决实际问题的能力． （三）学科渗透点 通过对待定系数法的学习为进一步学习数学和其他相关学科的基础知识和基本方法打下牢固的基础． 二、教材分析 1．重点：（1）能用配方法，由圆的一般方程求出圆心坐标和半径；（2）能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程． （解决办法：（1）要求学生不要死记配方结果，而要熟练掌握通过配方求圆心和半径的方法；（2）加强这方面题型训练．） 2．难点：圆的一般方程的特点． （解决办法：引导学生分析得出圆的一般方程的特点，并加以记忆．） 3．疑点：圆的一般方程中要加限制条件D2+E2-4F> 0． （解决办法：通过对方程配方分三种讨论易得限制条件．） 三、活动设计 讲授、提问、归纳、演板、小结、再讲授、再演板． 四、教学过程 （一）复习引入新课
前面，我们已讨论了圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 ，现将展开可得x2+y2- 2ax-2by+a 2+b2-r2=0 ．可见，任何一个圆的方程都可以写成 x2+y2+Dx+Ey+F=0．请大家思考一下：形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程的曲线是不是圆？下面我们来深入研究这一方面的问题．复习引出课题为“圆的一般方程” ( 二) 圆的一般方程的定义 1．分析方程x3+y2+Dx+Ey+F=0表示的轨迹 将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0左边配方得： (1) (1) 当D2+E2-4F>0 时，方程(1) 与标准方程比较，可以看出方程半径的圆； (3) 当D2+E2-4F<0 时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0没有实数解，因而它不表示任何图形． 这时，教师引导学生小结方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的轨迹分别是圆、 法． 2．圆的一般方程的定义 当D2+E2-4F> 0 时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0称为圆的一般方程． ( 三) 圆的一般方程的特点 请同学们分析下列问题：问题：比较二元二次方程的一般形式 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=．0 (2)
圆的一般方程教学设计
圆的一般方程教学设计 高二数学 蔡聪 1．教材所处的地位和作用 《圆的一般方程》安排在高中数学必修2第二章第二节第二课时。圆作为常见的简单几何图形，在实际生活和生产实践中有着广泛的应用。圆的一般方程属于解析几何学的基础知识，是研究二次曲线的开始，对后续直线与圆的位置关系、圆锥曲线等内容的学习，无论在知识上还是思想方法上都有着深远的意义，所以本课内容在整个解析几何中起着承前启后的作用。 2．学情分析 圆的一般方程是学生在掌握了求曲线方程一般方法的基础上，在学习过圆的标准方程之后进行研究的， 但由于学生学习解析几何的时间还不长、学习程度较浅，且对坐标法的运用还不够熟练，在学习过程中难免会出现困难。另外学生在探究问题的能力，合作交流的意识等方面有待加强。 根据上述教材所处的地位和作用分析，考虑到学生已有的认知结构和心理特征，我制定如下教学目标： 3．教学目标 知识与技能：(1) 掌握圆的一般方程及一般方程的特点 (2) 能将圆的一般方程化成圆的标准方程，进而求圆心和半径 (3) 能用待定系数法由已知条件求出圆的方程 过程与方法：(1) 进一步培养学生用代数方法研究几何问题的能力； (2) 加深对数形结合思想的理解和加强待定系数法的运用 情感，态度与价值观：(1)培养学生主动探究知识、合作交流的意识； (2)培养学生勇于思考，探究问题的精神。 (3)在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣。 根据以上对教材、学情及教学目标的分析，我确定如下的教学重点和难点： 4．教学重点与难点 重点：(1) 圆的一般方程。(2) 待定系数法求圆的方程。 难点：(1) 圆的一般方程的应用(2) 待定系数法求圆的方程及对坐标法思想的理解。 5.教学过程 (1)复习引入 师：自初中初步接触圆的概念和研究圆的几何性质以来，上节课我们又在平面直角坐标系中对圆的标准方程进行了定义和学习。 师：请大家回忆圆心为(,)a b ,半径为r 的圆的标准方程是什么？ 生：222 ()()x a y b r -+-= 师：答得很好。如果圆的圆心在坐标原点，那么圆的标准方程是什么？ 生：222x y r +=
圆的一般方程
圆的一般方程 教学目标:1. 理解一个二元二次方程表示圆的条件 2. 掌握圆的一般方程 3. 会求圆的一般方程，并能利用圆的一般方程解决实际问题 重点难点: 求圆的一般方程，二元一次方程与圆的方程的关系 引入新课 问题：求过三点A （0，0），B （1，1），C （4，2）的圆的方程。 利用圆的标准方程解决此问题显然有些麻烦，那么这个问题有没有其它的解决方法呢？带着这个问题我们来共同研究圆的方程的另一种形式——圆的一般方程。 1．圆的一般方程的推导过程． 2．若方程Ey Dx y x +++22+F =0表示圆的一般方程，有什么要求？ 例题剖析 例1．判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径。 ()()222214441290244412110 x y x y x y x y +-++=+-++= 例2． 已知ABC ?的顶点坐标)34( ，A ，)25( ，B ，)01( ，C ，求ABC ?外接圆的方程． 变式训练：已知ABC ?的顶点坐标)11( ，A 、)13( ，B 、)33( ，C ，求A B C ?外接圆的方程．
例3． 某圆拱梁的示意图如图所示，该圆拱的跨度m AB 36=，拱高m OP 6=，每隔m 3 需要一个支柱支撑，求支柱22P A 的长（精确到m 01.0）． 例4． 已知方程0834222=+++++k y kx y x 表示一个圆，求k 的取值范围． 变式训练：若方程02)1(22222=+-+-+m y m mx y x 表示一个圆，且该圆的圆心 位于第一象限，求实数m 的取值范围． 巩固练习 1．下列方程各表示什么图形？ （1）0)2()1(22=++-y x ； （2）044222=-+-+y x y x ； （3）0422=-+x y x ； （4）02222=-++b ax y x ； 2．若方程0424222=-+-++m m y mx y x 表示圆，则实数m 的取值范围为 3．如果方程Ey Dx y x +++22+F =0)04(22>-+F E D 所表示的曲线关于直 线x y =对称，那么必有（ ） A ．E D = B ．F D = C ．F E = D ．F E D == 4．求经过点)14( ， A ，)36( -， B ，)03( ， C 的圆的方程． 课堂小结 圆的一般方程的推导及其条件；圆标准方程与一般方程的互化；用待定系数法求圆的一般方程．
圆的标准方程与一般方程含答案
圆的标准方程与一般方程 知识要点： 1。 平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹)是圆，定点是圆心,定长是半径. 2.以()b a C ,为圆心,r 为半径的圆的标准方程是: . 3。 过圆222r y x =+上一点()00,y x P 的圆的切线是：200r y y x x =+. 4.圆的一般方程：()0402222>-+=++++F E D F Ey Dx y x ； 5.点与圆的位置关系： 点在圆上： 圆内： 圆外： 例1. 已知一圆与直线3x+4y —2=0相切于点P （2，—1）,且截x 轴的正半轴所得的弦的长为8, 求此圆的标准方程. ()()25352 2=-+-y x 例2、求过点A （2,-3）、B(-2,—5）且圆心在直线x —2y —3=0上的圆的方程. ()()10212 2=+++y x 例3、求过三点A(1，1）B （3，1）和C （5,3）的圆的方程。010842 2=+--+y x y x 一、选择题 1、若一圆的标准方程为(x —1）2+（y+5）2 =3,则此圆的的圆心和半径分别为 （b ） A 。（-1，5)，3 B.（1，—5)， 3 C.（—1，5)，3 D.（1，-5），3
2、圆13)2()3(22=++-y x 的周长是( b ) A 。π13 B 。 π132 C. π2 D. π32 3、圆x 2+y 2 +Dx+Ey+F=0的圆心坐标为(-2，3）半径为4，则D ，E ，F 分别是（ d ） A 。-4、-6、3 B.-4、6、3 C.—4、6、–3 D. 4、-6、-3 4、已知圆的方程是122=+y x ，则它的在y 轴上的截距为2的切线方程是(c) A 、02=+-y x B 、02=-+y x C 、02=+-y x 与02=-+y x D 、02=++y x 与02=-+y x 5.点)5,(2m 与圆 2422=+y x 的位置关系是(A) A 。点在圆外 B.点在圆内 C 。点在圆上 D.不能确定 6. 已知直线l 的方程为34250x y +-=，则圆221x y +=上的点到直线l 的距离的最小值是(B) A. 3 B 。 4 C. 5 D 。 6 7。已知圆 :M 2)2()3(22=-+-y x ，直线03:=-+y x l ，点)1,2(P ，那么（C ） A.点P 在直线l 上，但不在圆M 上 B. 点P 在圆M 上，但不在直线l 上 C. 点P 既在圆M 上,又在直线l 上 D. 点P 既不在圆M 上，又不在直线l 上 8．过两点P （2,2），Q （4，2） 且圆心在直线0x y -=上的圆的标准方程是(A) A ．22(3)(3)2x y -+-= B. 22(3)(3)2x y +++= C 。 22(3)(3)x y -+-= D 。 22(3)(3)x y +++ 二、填空题 1、圆()003322222>=+--+a a ay ax y x 的半径为 ；圆心坐标为 。 圆3)2()1(22=-++y x 的圆心坐标是 ,半径是 . 2、方程0222 2=--+b ax y x 表示的图形是 。 3、设圆0542 2=--+x y x 的弦AB 的中点为P(3，1)，则直线AB 的方程是 。
圆的一般方程----典型题(好)
1. 2. 若直线3x+y+a=0过圆x^2+y^2+2X-4y=0的圆心，则a的值为什么? 由圆的方程可知圆心的坐标(-1，2) 把(-1，2)代入直线方程，得3x(-1)+2+a=0 解得a=1 3. 若方程x2+y2-4x+2y+5k=0表示圆，则实数k的取值范围是 x2+y2-4x+2y+5k=0 (x-2)2+(y+1)2=-5k+5 方程x2+y2-4x+2y+5k=0表示圆 -5k+5>0 k<1 4. 当点P在x2+y2=1上变动时，它与定点Q（3,0）的联结线段PQ的中点的轨迹方程是？ . 设M坐标为（x，y），则P点坐标为：X=2x-3，Y=2y 点P在圆X*X+Y*Y=1上，故有：（2x-3）^2+(2y)^2=1 即：（x-1.5）^2+(y)^2=0.25 以（1.5，0）为圆心，0.5为半径的圆 5. 已知点A（1，2）在圆X^2＋Y^2 ＋2X＋3Y＋m＝0内，则m 的取值范围 由公式： 圆的一般方程x2+y2+D x+Ey+F=0 转化为圆的标准方程为：(x+D/2)2.+(y+E/2)2=(D2+E2-4F)/4 则，已知圆的标准方程为：(x+2/2)2.+(y+3/2)2=(22+32-4m)/4 整理得：(x+1)2.+(y+3/2)2=(13-4m)/4
点P（X,Y) 与圆 (x－a)^2+(y－b) ^2=r^2的位置关系： 当(x－a)^2+(y－b) ^2 《圆的一般方程》教学设计（1课时）一、教材分析 教材是在圆的标准方程的基础上得出了圆的一般方程，然后分析方程特点，即讨论系数在通过配方观察方程何时表示圆、何时不是圆，判断的标准是圆的标准方程，这样做紧扣圆的几何特征，最后得出二元二次方程表示圆的充要条件，使学生加深对圆的一般方程的认识与记忆，认识到标准方程与一般方程的联系与区别。并对数学中分类思想，对比记忆等思想有更深的了解和掌握。 教材配备了两个例题，例3利用圆的标准方程求同心圆方程：例4则是利用待定系数法通过一般方程解过三点的圆的方程，这是数学中常用的一种方法。 二、学情分析 学生是在已有知识的基础上能够推导出圆的一般方程，并能初步利用圆的标准方22解决程的特点研究圆的一般方程，学生在利用圆的一般方程0F?Dx?xEy?y??22， 灵活使用圆的方程的两种形式解决问题时，常忽略表示圆的条件0??4D?EF问题 是学生学习的难点。 三、本节渗透的数学思想及教学方法分析 根据以上教材分析，贯彻以启发性教学原则，教师引导，学生学习为主体的教学思想，分析与讨论结合。 1、经历用待定系数法求圆的方程的过程，它是数学中常用的一种方法，在学习过程中体会用代数方法解决几何问题的思想。 2、圆的一般方程含有三个参变量，需要三个条件（坐标）才能确定圆，树立利用方程的思想求解参数变量。 3、引导学生分析两个方程之间的互化关系，选择两个方程解决问题的条件和优缺点。 4.教学中体现了转化、数形结合及方程的数学思想方法。 四.教学目标 知识与技能： 1).掌握圆的一般方程及一般方程的特点 2).能将圆的一般方程化成圆的标准方程，进而求出圆心和半径 3).能用待定系数法由已知条件求出圆的方程 过程与方法： 1).通过问题的分析与解决使学生认识研究问题中由简单到复杂，由特殊到一般的化归思想。 2).通过分析，充分了解分类思想在数学中的重要地位，强化学生的观察，思考能力。 情感态度与价值观： 培养学生主动探索、勇于思考、合作交流的意识，在体现数学美的过程中激发学生的学习兴趣，从而培养学生勤于动脑和动手的良好思维品质。 五.教学重、难点 教学重点： 22的形式特征。 1.圆的一般方程0?F??y??DxxEy2.待定系数法求圆的方程。 教学难点： 2222分类讨论。及对1. 方程F?DE?40?Ey??yF?Dx?x2.根据具体条件，选择圆的方程解决有关问题及待定系数法求圆的方程。 圆的标准方程 1、情境设置： 在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，原是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？ 探索研究： 2、探索研究： 确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a,b)，半径为r 。（其中a 、b 、r 都是常数，r>0）设M(x,y)为这个圆上任意一点，那么点M 满足的条件是（引导学生自己列出）P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点M 适合的条 件 r = ① 化简可得：222 ()()x a y b r -+-= ② 引导学生自己证明2 2 2 ()()x a y b r -+-=为圆的方程，得出结论。 方程②就是圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程。 3、知识应用与解题研究 例（1）：写出圆心为(2,3)A -半径长等于5的圆的方程，并判断点12(5,7),(1)M M --是否在这个圆上。 分析探求：可以从计算点到圆心的距离入手。 探究：点00(,)M x y 与圆222 ()()x a y b r -+-=的关系的判断方法： （1）2200()()x a y b -+->2 r ，点在圆外 （2）2200()()x a y b -+-=2 r ，点在圆上 （3）2200()()x a y b -+-<2 r ，点在圆内 例（2）：ABC ?的三个顶点的坐标是(5,1),(7,3),(2,8),A B C --求它的外接圆的方程 师生共同分析：从圆的标准方程222 ()()x a y b r -+-= 可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定a b r 、、三个参数.（学生自己运算解决） 例(3):已知圆心为C 的圆:10l x y -+=经过点(1,1)A 和(2,2)B -,且圆心在:10l x y -+=上,求圆心为C 的圆的标准方程. 师生共同分析：如图确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小.圆心为C 的圆经过点 (1,1)A 和(2,2)B -,由于圆心C 与A,B 两点的距离相等，所以圆心C 在险段AB 的垂直平分 线m 上，又圆心C 在直线l 上，因此圆心C 是直线l 与直线m 的交点，半径长等于CA 或 CB 。 （教师板书解题过程） 总结归纳：（教师启发，学生自己比较、归纳）比较例（2）、例(3)可得出ABC V 外接圆的标准方程的两种求法： ①、根据题设条件，列出关于a b r 、、的方程组，解方程组得到a b r 、、得值，写出圆的 标准方程. 根据确定圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程. 课堂练习：课本127p 第1、3、4题 4.提炼小结： 1、 圆的标准方程。 2、 点与圆的位置关系的判断方法。 3、 根据已知条件求圆的标准方程的方法。 《圆的一般方程》教案设计 一、学情分析： 圆的一般方程是学生在掌握了求曲线方程一般方法的基础上，在学习过圆的标准方程之后进行研究的，是研究二次曲线的开始。这里主要是用解析法研究它的方程及与其它图形的位置和应用。但由于学生学习解析几何的时间还不长，学习程度较浅，对坐标法的运用还不够熟练，学生在探究问题的能力方面比较薄弱。 因此，根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认识结 构，我特制定如下教学目标。 二、教学目标： 1、知识与技能目标： (1 )将圆的标准方程(x - a)2+(y - b)2=r2，展开得x2+y2—2ax —2by+a2+b2- r2=0——①令D= - 2a, E= - 2b, F=a2+b2- r2,则①式可写成x2+y2+Dx+Ey+F=0 ,从而得到圆的一般方程及其方程特点，同时也让学生掌握了这一知识点。 (2)通过设问：是不是任何一个形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程表示 的曲线都是圆？ D E D2+E2—4F 将方程配方得(x+D)2+(y+E)2= ---- 4—，对比圆的标准方程：(x -a)2+(y - b)2=r2，让学生学会能将圆的一般方程化为圆的标准方程， D E \/D2+E2 - 4F 从而求出其圆心(-D,-刁,r二2— (3)通过例2,培养学生能用待定系数法来求圆的方程。 (4)通过例3,提高学生用坐标法求动点轨迹方程的通知 2、过程与方法目标： 通过展开圆的标准方程(x - a)2+(y - b)2=r2导出圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0这一过程加深了学生在研究问题中由简单到复杂，由特殊到一般的化归思想，培养了学生严密的逻辑思维和严谨的科学态度，通过例1、例3补充题的练习，培养学生数形结合思想、方程思想，提高 安徽省池州一中新课标高中数学必修2解析几何教案：圆的一般方程 一、教学目标 (一)知识教学点 使学生掌握圆的一般方程的特点；能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程． (二)能力训练点 使学生掌握通过配方求圆心和半径的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方程，培养学生用配方法和待定系数法解决实际问题的能力． (三)学科渗透点 通过对待定系数法的学习为进一步学习数学和其他相关学科的基础知识和基本方法打下牢固的基础． 二、教材分析 1．重点：(1)能用配方法，由圆的一般方程求出圆心坐标和半径；(2)能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程． (解决办法：(1)要求学生不要死记配方结果，而要熟练掌握通过配方求圆心和半径的方法；(2)加强这方面题型训练．) 2．难点：圆的一般方程的特点． (解决办法：引导学生分析得出圆的一般方程的特点，并加以记忆．) 3．疑点：圆的一般方程中要加限制条件D2+E2-4F＞0． (解决办法：通过对方程配方分三种讨论易得限制条件．) 三、活动设计 讲授、提问、归纳、演板、小结、再讲授、再演板． 四、教学过程 (一)复习引入新课 前面，我们已讨论了圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2，现将展开可得 x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0．可见，任何一个圆的方程都可以写成x2+y2+Dx+Ey+F=0．请大 家思考一下：形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程的曲线是不是圆？下面我们来深入研究这一方面的问题．复习引出课题为“圆的一般方程”． (二)圆的一般方程的定义 1．分析方程x3+y2+Dx+Ey+F=0表示的轨迹 将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0左边配方得： (1) (1)当D2+E2-4F＞0时，方程(1)与标准方程比较，可以看出方程 半径的圆； (3)当D2+E2-4F＜0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0没有实数解，因而它不表示任何图形． 这时，教师引导学生小结方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的轨迹分别是圆、 法． 2．圆的一般方程的定义 当D2+E2-4F＞0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0称为圆的一般方程． 圆的一般方程 一、教学目标 (一)知识教学点 使学生掌握圆的一般方程的特点；能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程． (二)能力训练点 使学生掌握通过配方求圆心和半径的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方程，培养学生用配方法和待定系数法解决实际问题的能力． (三)学科渗透点 通过对待定系数法的学习为进一步学习数学和其他相关学科的基础知识和基本方法打下牢固的基础． 二、教材分析 1．重点：(1)能用配方法，由圆的一般方程求出圆心坐标和半径；(2)能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程． (解决办法：(1)要求学生不要死记配方结果，而要熟练掌握通过配方求圆心和半径的方法；(2)加强这方面题型训练．) 2．难点：圆的一般方程的特点． (解决办法：引导学生分析得出圆的一般方程的特点，并加以记忆．) 3．疑点：圆的一般方程中要加限制条件D2+E2-4F＞0． (解决办法：通过对方程配方分三种讨论易得限制条件．) 三、活动设计 讲授、提问、归纳、演板、小结、再讲授、再演板． 四、教学过程 (一)复习引入新课 前面，我们已讨论了圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2，现将展开可得 x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0．可见，任何一个圆的方程都可以写成 x2+y2+Dx+Ey+F=0．请大家思考一下：形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程的曲线是不是圆？下面我们来深入研究这一方面的问题．复习引出课题为“圆的一般方程”． (二)圆的一般方程的定义 1．分析方程x3+y2+Dx+Ey+F=0表示的轨迹 将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0左边配方得： (1) (1)当D2+E2-4F＞0时，方程(1)与标准方程比较，可以看出方程 半径的圆； (3)当D2+E2-4F＜0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0没有实数解，因而它不表示任何图形． 这时，教师引导学生小结方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的轨迹分别是圆、 法． 2．圆的一般方程的定义 当D2+E2-4F＞0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0称为圆的一般方程． 2. 若直线3x+y+a=0过圆x^2+y^2+2X-4y=0的圆心，则a的值为什么? 由圆的方程可知圆心的坐标(-1，2) 把(-1，2)代入直线方程，得3x(-1)+2+a=0 解得a=1 3.若方程x2+y2-4x+2y+5k=0表示圆，则实数k的取值范围是 x2+y2-4x+2y+5k=0 (x-2)2+(y+1)2=-5k+5 方程x2+y2-4x+2y+5k=0表示圆 -5k+5>0 k<1 4.当点P在x2+y2=1上变动时，它与定点Q（3,0）的联结线段PQ的中点的轨迹方程是？ . 设M坐标为（x，y），则P点坐标为：X=2x-3，Y=2y 点P在圆X*X+Y*Y=1上，故有：（2x-3）^2+(2y)^2=1 即：（x-1.5）^2+(y)^2=0.25 以（1.5，0）为圆心，0.5为半径的圆 5. 已知点A（1，2）在圆X^2＋Y^2 ＋2X＋3Y＋m＝0内，则m 的取值范围 由公式： 圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 转化为圆的标准方程为：(x+D/2)2.+(y+E/2)2=(D2+E2-4F)/4 则，已知圆的标准方程为：(x+2/2)2.+(y+3/2)2=(22+32-4m)/4 整理得：(x+1)2.+(y+3/2)2=(13-4m)/4 点P（X,Y) 与圆 (x－a)^2+(y－b) ^2=r^2的位置关系： 当(x－a)^2+(y－b) ^2 《圆的一般方程》教学设计（1课时） 一、教材分析 教材是在圆的标准方程的基础上得出了圆的一般方程，然后分析方程特点，即讨论系数在通过配方观察方程何时表示圆、何时不是圆，判断的标准是圆的标准方程，这样做紧扣圆的几何特征，最后得出二元二次方程表示圆的充要条件，使学生加深对圆的一般方程的认识与记忆，认识到标准方程与一般方程的联系与区别。并对数学中分类思想，对比记忆等思想有更深的了解和掌握。 教材配备了两个例题，例3利用圆的标准方程求同心圆方程：例4则是利用待定系数法通过一般方程解过三点的圆的方程，这是数学中常用的一种方法。 二、学情分析 学生是在已有知识的基础上能够推导出圆的一般方程，并能初步利用圆的标准方程的特点研究圆的一般方程，学生在利用圆的一般方程022=++++F Ey Dx y x 解决问题时，常忽略表示圆的条件0422>-+F E D ，灵活使用圆的方程的两种形式解决问题是学生学习的难点。 三、本节渗透的数学思想及教学方法分析 根据以上教材分析，贯彻以启发性教学原则，教师引导，学生学习为主体的教学思想，分析与讨论结合。 1、经历用待定系数法求圆的方程的过程，它是数学中常用的一种方法，在学习过程中体会用代数方法解决几何问题的思想。 2、圆的一般方程含有三个参变量，需要三个条件（坐标）才能确定圆，树立利用方程的思想求解参数变量。 3、引导学生分析两个方程之间的互化关系，选择两个方程解决问题的条件和优缺点。 4.教学中体现了转化、数形结合及方程的数学思想方法。 四.教学目标 知识与技能： 1).掌握圆的一般方程及一般方程的特点 2).能将圆的一般方程化成圆的标准方程，进而求出圆心和半径 3).能用待定系数法由已知条件求出圆的方程 过程与方法： 【课时目标】1．理解圆的一般方程及其特点，会由圆的一般方程求其圆心、半径．2．会依据不同条件利用待定系数法求圆的一般方程，并能简单应用． 1．圆的一般方程的定义 (1)当__________________时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程，其圆心为____________，半径为____________． (2)当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示点____________． (3)当____________时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0不表示任何图形． 2．由圆的一般方程判断点与圆的位置关系 已知点M(x0，y0)和圆的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．，则其位置关系如下表： 一、填空题 1．圆2x2＋2y2＋6x－4y－3＝0的圆心坐标为________，半径为________． 2．方程x2＋y2＋4x－2y＋5m＝0表示圆的条件是________． 3．M(3,0)是圆x2＋y2－8x－2y＋10＝0内一点，过M点最长的弦所在的直线方程是__________． 4．圆x2＋y2－2x＋4y＋3＝0的圆心到直线x－y＝1的距离为________． 5．已知圆x2＋y2－2ax－2y＋(a－1)2＝0(0 2.2圆的一般方程 学习目标： 知识与技能 ： (1)在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征。 (2)能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程．能用待定系数法求圆的 方程。 (3)培养探索发现及分析解决问题的实际能力。 过程与方法：通过对方程x 2＋y 2 ＋Dx ＋Ey ＋F=0表示圆的条件的探究，培养学生探索发现及 分析解决问题的实际能力。 情感态度价值观：渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激 励学生创新，勇于探索。 重点：圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确 定方程中的系数，D 、E 、F ． 难点：对圆的一般方程的认识、掌握和运用王新敞 学习过程： 课题引入： 问题：求过三点A （0，0），B （1，1），C （4，2）的圆的方程。 利用圆的标准方程解决此问题显然有些麻烦，得用直线的知识解决又有其简单的局限性，那么这个问题有没有其它的解决方法呢？带着这个问题我们来共同研究圆的方程的另一种形式——圆的一般方程。 探索研究： 写出圆的标准方程： (x －a)2 ＋(y －b)2 =r 2 ，圆心(a ，b)，半径r ． 把圆的标准方程展开，并整理： x 2 ＋y 2 －2ax －2by ＋a 2 ＋b 2 －r 2 =0． 取2 2 2 ,2,2r b a F b E a D -+=-=-=得 022=++++F Ey Dx y x ① 这个方程是圆的方程． 反过来给出一个形如x 2 ＋y 2 ＋Dx ＋Ey ＋F=0的方程，它表示的曲线一定是圆吗？ 把x 2＋y 2 ＋Dx ＋Ey ＋F=0配方得 4 4)2()2(2222F E D E y D x -+=+++ ② (配方过程由学生去完成)这个方程是不是 表示圆？ (1)当D 2 ＋E 2 －4F ＞0时，方程②表示（1）当042 2>-+F E D 时，表示以（-2 D ，-2 E ）为圆心,F E D 42122-+为半径的圆； （2）当042 2=-+F E D 时，方程只有实数解2D x - =，2 E y -=，即只表示一个点（- 2 D ，-2E ）; （3）当042 2 <-+F E D 时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形王新敞 综上所述，方程022=++++F Ey Dx y x 表示的曲线不一定是圆王新敞 只有当042 2>-+F E D 时，它表示的曲线才是圆，我们把形如 022=++++F Ey Dx y x 的表示圆的方程称为圆的一般方程王新敞 ()2 214x y ++= 我们来看圆的一般方程的特点： (1)①x 2 和y 2 的系数相同，不等于0． ②没有xy 这样的二次项． (2)圆的一般方程中有三个特定的系数D 、E 、F ，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了． (3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。 知识应用与解题研究： 例1：判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径。 ()()2222 14441290 244412110 x y x y x y x y +-++=+-++= 探求解决途径：①、用配方法将其变形化成圆的标准形式。②、运用圆的一般方程的判断方圆的一般方程
圆的标准方程与一般方程
圆的一般方程
2014人教A版数学必修二 解析几何 《圆的一般方程》教案
人教版高中数学《圆的一般方程》教案导学案
圆的一般方程-典型题(好)
圆的一般方程
圆的一般方程及其特点
2.2圆的一般方程(正式 )