几种常用的随机过程复习课程

几种常用的随机过程

第十讲 几种常用的随机过程

10.1 马尔可夫过程 10.1.1马尔可夫序列

马尔可夫序列是指时间参数离散，状态连续的马尔可夫过程。

一个随机变量序列x n （n=1,2,…）,若对于任意的n 有

)|(),...,,|(112

1

x x F x x

x x F n n X n n n

X

---=

（10.1） 或

)

|(),...,,|(112

1

x

x f x x

x x f n n

X

n n n

X

---=

（10.2）

则称x n 为马尔可夫序列。x n 的联合概率密度为

)

()|( )

|()|(),...,,(1

1

2

2

11

2

1

x f x x f x x f x x f x x x f X

X

n n X

n n

X

n

X

??---=Λ

（10.3）

马尔可夫序列有如下性质：

（1） 一个马尔可夫序列的子序列仍为马

尔可夫序列。 （2）

)

|(),...,,|(1

2

1

x

x f x x

x x f n n

X

k n n n n

X

-+++=

（10.4）

（3） )

|(),...,|(1

11

x

X x x

X n n n n E E --= （10.5）

（4） 在一个马尔可夫序列中，若已知现

在，则未来与过去相互独立。即

)|()

|()|,(1

x x f x

x f x x x f r

s

X

n n

X

r

s

n

X

-=

，n>r>s （10.6）

（5） 若条件概率密度)|(1x x f n n X -与n 无

关，则称马尔可夫序列是齐次的。 （6） 若一个马尔可夫序列是齐次的，且

所有的随机变量X n 具有同样的概率密度，则称该马尔可夫序列为平稳的。 （7） 马尔可夫序列的转移概率满足切普

曼—柯尔莫哥洛夫方程，即

)|()|

()|(x x f

x x f

x x f

s

r X

r

n X

s

n X

?

∞

∞

-=

，n>r>s

(10.7)

10.1.2马尔可夫链

马尔可夫链是指时间参数，状态方程皆为离散的马尔可夫过程。

1 马尔可夫链的定义 设)

,2,1(Λ=n X n 为离散时间随机过程，其状态空间

}

,,,{21a a a N I Λ=。如果过程在k m t +时刻为任

一状态),,2,1(N i a i k m Λ=+的概率，只与过程在m t 时刻的状态有关，而与过程在m t 时刻以前的状态无关，即

1

1m k {|,,} P{|} (10.8)X m k m m k m m k m m P i i i i i a

a a X X X a a X ++++======L 则称该过程为马尔可夫链，或简称马氏链。

2 马氏链的转移概率及有限维分布

马氏链的转移概率定义为

(,){|},

i,j 1,2,N;m,k

.9m k

m j i ij

m m k p p a a X

X ++====L 皆为正整数（10）

如果

)

,(k m m p ij

+与m 无关，则称该马氏

链为齐次的。下面我们仅研讨齐次马氏

链，并习惯上省去“齐次”二字。

马氏链的一步转移概率及其矩阵分别定义为

m 1

(1)(,1)P{|} (10.10)

X

m ij ij ij m m j i

p p p a

a X +=+====

??

??

??????????==p p p p p p p p p NN N N N N P P ΛM ΛΛ21

2222111211

)1( （10.11）

一步转移概率矩阵P 有以下两个性质

1

0≤≤

p

ij

（10.12）

∑==N

i ij

p

1

1

（10.13）

马氏链的高阶转移概率及其矩阵分别定义为

m n

()(,)P{|} ( 10.14 )

X

m ij ij n m m n j i

p p a

a X +=+===11

12

121

22

21

2

()()()()

()

()() (10.15)

()()()N

N N N NN n n n n n n P n n n n p p

p p p p

p p

p ??????=?????

?

????

L L

M L

n 步转移概率矩阵P(n)具有如下的性质：

0() 1 (10.16)ij

n p ≤

≤

1

() 1 (10.17)

N

ij

i n p ==∑

此外，还规定

???≠====j

i j

i m m ij ij ij p p ,0,1),()0(δ

马氏链的n 步转移概率及其矩阵具有如下的切普慢—柯尔摩哥洛夫方程的离散形式，即

N

ir

r 1

()()() (10.18)

p ij

ij

rj

n l k k p

p

p ==

+=∑()()()() (10.19)

p n p l k p l p k =+=当n 为任意正整数时，则有

()(1) (10.20)

n

p n p p n p =?-==

L 式（7.18），若n=k+1,则有

(1)()() (10.21)

ij

ir

rj

ir

rj

r

r

k k k p p p

p p +==∑∑ 由上可知，以一步转移概率

p ij

为元素的

一步转移概率矩阵P 决定了马氏链状态转移过程的概率法则。但是，P 决定不了初始概率分布，必须引入初始概率

0{},0,1,2, (10.22)i i p i p x a ===L

并称{p i

}=（

Λ,,,210p p p ）为初始分布，显然

有

10, 1 (10.23)i

i

i

p

p ≥≥=∑

若绝对概率}{)(a X p j

k

j

p k ==，则有

(1)(1)() (10.24)j

i

ij

i

ij

i

i

k k k p p p p p +=+=∑∑

马氏链的有限维分布可表示为

01010

10

01

1010101{,,,}

p{}{|}

{|}

(10.25)

i X X p

n

n n n n

n n n p i i i P i i i P i i i i

i i

a a a X X X a a a X a a X X p p ---==========L L L

3．遍历性及平稳分布

（1）遍历性 设)(n X 为齐次马氏链，若

对于一切状态i 与j ，存在不依赖于i 的极

限

lim () (10.36)ij j n p n p →∞

= 则称马氏链X （n ）具有遍历性。

定理 （有限马氏链具有遍历性的充分条件）对有限状态的齐次马氏链X （n ），若存在正整数m ，使

()0,,1,2,..., (10.37)ij p m i j N >=

则此链是遍历的。而且，式（10.36）中的

}

,...,{}{21N j p p p p =是方程组

1

,1,2,..., (10.38)N

j i ij i p p p j N ===∑ 在满足条件

11, 1 (10.39)

N

j j i o p p =<<=∑

下的惟一解。

（2）平稳分布 马氏链的一个概率分布

，如有

和即：10},{0=≥∑∞

=j j j j v v v

.40j i i ij

v v p ∞

==∑（10）

则称它为该链的平稳分布。并有

() (10.41)

i i ij i v v p n ∞

==∑

10.1.3马尔可夫过程

这里论及的马尔可夫过程是指时间， 状态皆连续的马尔可夫过程。扩散过程就

是

这类马尔可夫过程的一个特例。

设有一随机过程：

满足

，，相应的观测值）观测得到

（对，，若在n n n n n n x x x x t X t t t t T t t t t T t t X ,...,...,...,),(121121121---∈<<<<∈

1221122111(;/,,...,,;,...,,)

(;/;),3 .42X n n n n n n X n n n n F x t x x x x t t t t F x t x t n ------=≥的整数（10）

则称此类过程为马尔可夫过程，简称马氏过程。

马氏过程的转移概率分布定义为：

111100000(;|;){()()} (10.43 )(;|;){()|()}, (10.44 )

X n n n n n n n X F x t x t P X t X t x F x t x t P X t x X t x t t ----=≤==≤=>或 转移概率分布是关于x 的分布函数，故有：

00000001|0 .452| 1 .463|0 (10.47 4|X X X X F x t x t F t x t F t x t F x t x ≥∞=-∞=（）（；；）（10）（）（；；）（10）（）（；；））（）（；；1000111100 5||| X X X X t x F x t x t F x t x t d F x t x t ∞-∞

=?）是关于单调不减，右连续的函数。

（）满足切普曼—柯尔莫哥洛夫方程

（；；）（；；）（；；） .48（10）

马氏过程的转移概率密度定义为

0000(;|;)(;|;) .49 X X f x t x t F x t x t x

?

=

?（10）故有

复合泊松过程应用问题

课程名称：《随机过程》 课程设计（论文） 题目: 复合泊松过程应用问题 学院：理学院 专业：数学与应用数学 班级：数学11-1班 学生姓名： abc 学生学号： abc 指导教师： abc 2013 年 12 月 9 日

目录 任务书 (3) 摘要 (4) 第一章绪论 (5) 第二章复合泊松过程的基本理论 (5) 2.1 复合泊松过程的定义及物理意义 (5) 2.2 复合泊松过程的实例 (5) 2.3 与复合泊松过程有关的的命题 (6) 2.4 复合泊松过程恒等式 (8) 2.5复合泊松过程的可加性及证明 (8) 第三章问题描述及分析计算 (10) 3.1 以复合泊松过程为模型的问题 (10) 3.2典型例题的具体分析 (10) 第四章MATLAB程序及运行结果 (11) 4.1 典型1,2的matlab程序 (11) 4.2 问题小结 (13) 第五章结论 (13) 第六章参考文献 (13) 评阅书 (14)

课程设计任务书

摘要 泊松过程是由法国著名数学泊松（Poisson, Simeon-Denis）（1781—1840）证明的。1943年 C.帕尔姆在电话业务问题的研究中运用了这一过程，后来Α.Я.辛钦于50年代在服务系统的研究中又进一步发展了它。现在泊松过程在物理学、地质学、生物学、医学、天文学、金融、服务系统和可靠性理论等领域中都有广泛的应用。非齐次泊松过程和复合泊松过程作为泊松过程推广的一种，其应用更是广泛，那么本文主要讲的是复合泊松过程的应用及其推广。 本文通过应用复合泊松过程的定义、基本理论，及其可加性的重要定理分析生活中的实际问题，并模拟复合泊松过程的模型，利用MATLAB软件进行求解，最后进行问题的分析，给出合理总结及误差分析。在实际问题中，通过结合复合泊松过程的性质，定理和概率论，各种模型的分布等知识去更好的解决，提出实用性建议。 关键字：复合泊松过程 MATLAB软件概率论模型分布

平稳时间序列的模型

目录 摘要 (1) 第一章绪论 (2) 1.1 时间序列模型的发展及其作用 (2) 1.2 什么是时间序列模型 (2) 1.3 本文研究的主要方法和手段 (2) 1.4 本文主要研究思路及内容安排 (2) 第二章 ARMA模型 (4) 2.1 ARMA模型的基本原理 (4) 2.2 样本自协方差函数、自相关函数和偏相关函数 (4) 2.3 ARMA模型识别方法 (5) 2.4 模型参数估计 (6) 第三章实例分析 (7) 3.1 题目 (7) 3.2 问题分析 (7) 3.3 问题求解 (8) 3.3.1数据的观测 (8) 3.3.2数据处理 (8) 3.3.3求解自相关和偏相关函数 (8) 3.4 模型的识别及求解 (9) 3.5 结论 (11) 参考文献 (12) 附录 (12) 评阅书 (15)

《随机过程》课程设计任务书

摘要 ARMA模型是研究时间序列的重要方法，由自回归模型（简称AR模型）与滑动平均模型（简称MA模型）为基础“混合”构成。ARMA模型广泛应用在经济、工程等各个领域得益于其在具体预测方面的优势。在许多方面用该模型所作出的预测比其他传统经济计量方法更加精确。平稳时间序列模型主要有自回归模型(AR)、滑动平均模型(MA)和自回归滑动平均模型(ARMA)等，这些线性模型考虑因素较简单。自回归滑动平均模型(ARMA)计算简单，易于实时更新数据。 本文描述了ARMA模型的原理、自相关函数和偏相关函数的计算过程、模型的识别方法以及ARMA模型的计算过程。并给出一组平稳时间序列的数据，对数据进行分析和处理，求出自相关系数和偏相关，并利用MATLAB软件画出自相关系数和偏相关图形，有图可知它们都是拖尾的，因此可以确定是) ARMA模 p , (q 型。接下来就是确定) ARMA的阶数，本文采用了AIC准则确定模型的阶数， p , (q 在实际问题中，为使线性模型简单起见，通常p与q的数值被取得较小，却需都不为零。确定阶数后，就用我们学过的求解方法解出未知的参数，这样我们就得到了混合模型的表达式。 关键字：) ARMA模型，自相关函数，偏相关函数 p , (q

(完整版)答案应用随机过程a

山东财政学院 2009—2010学年第 1 学期期末考试《应用随机过程》试卷(A ) （考试时间为120分钟） 参考答案及评分标准 考试方式： 闭卷 开课学院 统计与数理学院 使用年级 07级 出题教师 张辉 一． 判断题（每小题2分，共10分，正确划√，错误划ⅹ） 1. 严平稳过程一定是宽平稳过程。（ⅹ ） 2. 非周期的正常返态是遍历态。（√ ） 3. 若马氏链的一步转移概率阵有零元，则可断定该马氏链不是遍历的。（ⅹ ） 4. 有限马尔科夫链没有零常返态。（√ ） 5．若状态i 有周期d, 则对任意1≥n , 一定有：0)(?nd ii p 。（ⅹ ） 二． 填空题（每小题5分，共10分） 1. 在保险公司的索赔模型中，设索赔要求以平均每月两次的速率的泊松过程到达保险公司，若每次赔付金额是均值为10000元的正态分布，一年中保险公司的平均赔付金额是＿＿240000元＿＿＿。 2．若一个矩阵是随机阵，则其元素满足的条件是：（1）任意元素非负（2）每行元素之和为1。 三． 简答题（每小题5分，共10分） 1． 简述马氏链的遍历性。 答：设) (n ij p 是齐次马氏链{}1,≥n X n 的n 步转移概率，，如果对任意 I j i ∈,存在不依赖于i 的极限0)(?=j n ij p p ，则称齐次马氏链{}1,≥n X n 具有遍历性。 2． 非齐次泊松过程与齐次泊松过程有何不同？

答：非齐次泊松过程与齐次泊松过程的不同在于：强度λ不再是常数，而是与t 有关，也就是说，不再具有平稳增量性。它反映了其变化与时间相关的过程。如设备的故障率与使用年限有关，放射物质的衰变速度与衰败时间有关，等等。 四． 计算、证明题（共70分） 1. 请写出C —K 方程，并证明之. （10分） 解： 2. 写出复合泊松过程的定义并推算其均值公式. （15分） 解：若{}0),(≥t t N 是一个泊松过程，是Λ,2,1,=i Y i 一族独立同分布的随机变量，并且与{}0),(≥t t X 也是独立的， )(t X =∑=t N i i Y 1，那么{}0),(≥t t X 复合泊松过程

《应用随机过程》教学大纲

《应用随机过程》课程教学大纲 课程代码：090541007 课程英文名称：Applications Stochastic Processes 课程总学时：40 讲课：40 实验：0 上机：0 适用专业：应用统计学 大纲编写（修订）时间：2017.6 一、大纲使用说明 （一）课程的地位及教学目标 随机过程是现代概率论的一个重要的组成部分，其理论产生于上世纪初期，主要是由物理学、生物学、通讯与控制、管理科学等方面的需求而发展起来的。它是研究事物的随机现象随时间变化而产生的情况和相互作用所产生规律的学科。随机过程的理论为许多物理、生物等现象提供诸多数学模型，同时为研究这类现象提供了数学手段。本课程为统计学专业的专业课程，通过本课程的学习，掌握随机过程的基本概念、基本理论、内容和基本方法，了解随机过程的重要应用，为后继课程学习提供知识准备，另一方面，随机过程的发展也是人们认识客观世界的一个重要组成部分，它有助于学生辩证唯物主义世界观的培养。 （二）知识、能力及技能方面的基本要求 1.基本知识：通过本科程的学习，使学生掌握，要求学生掌握随机过程的基本概念、二阶矩过程的均方微积分、马尔可夫过程的基本理论、平稳过程的基本理论、鞅和鞅表示、维纳过程、Ito定理、随机微分方程等理论和方法。 2.基本能力：通过本课程的学习，使学生能较深刻地理解随机过程的基本理论、思想和方法，并能应用其解决实践中遇到的随机问题，从而提高学生的数学素质，加强学生开展科研工作和解决实际问题的能力。 3.基本技能：掌握建立随机数学模型、分析和解决问题方面的技能，为进一步自学有关专业应用理论课程作好准备。 （三）实施说明 本大纲是根据沈阳理工大学关于制订本科教学大纲的原则意见专门制订的。在制订过 程中参考了其他学校相关专业应用随机过程教学大纲。 本课程思维方式独特，还需要学生有较高的微积分基础，教学中应注意概率意义的解 释和学生基础情况的把握，处理好抽象与具体，偶然与必然、一维与多维，理论与实践的关系。本课程内容分概率论与数理统计两部分，在教学中应充分注意两者之间的联系，重视基本概念，讲清统计思想。 （四）对先修课的要求 本课的先修课程：数学分析，高等代数，概率论。 （五）对习题课的要求 由于本课程内容多学时少，习题课在大纲中未作安排，建议教师授课过程中灵活掌 握；对于学生作业中存在的问题，建议通过课前和课后答疑解决。通过习题课归纳总结章节知识解决重点难点内容。 （六）课程考核方式 1.考核方式：考试 2.考核目标：在考核学生基本知识、基本原理和方法的基础上，重点考核学生解决实际问题的能力。 3.成绩构成：本课程的总成绩主要由两部分组成：平时成绩20-30％；期末成绩70-80％; 平时成绩构成：出勤，测验，作业。其中测验为开卷，随堂测验。

随即过程在通信系统中的应用

随机过程在通信原理中的应用 (陕西理工学院物理与电信工程学院通信工程专业1203班，陕西汉中723000) 指导教师：王桂宝 [摘要]:随机过程是随机信号分析的基石，通过对随机过程的自相关函数和功率谱密度等参量的MA TLAB仿真，理解自相关函数和功率谱密度的特点、波形及其之间的关系,掌握随机过程的自相关函数和功率谱密度的特点、波形及其之间的关系。学会利用MATLAB语句生成高斯白噪声，能够利用MA TLAB工具分析随机过程的性能特性，能够利用MA TLAB基本程序控制语句求信号的功率谱及自相关函数等，并对随机过程进行系统分析。 [关键词]:随机过程；MA TLAB；系统分析

Random processin the application of the communication principle Wang Yupeng （Grade12,Class03Major Communication，Physical and telecommunication engineering institute，Shaanxi University of Technology，Hanzhong 723000，Shaanxi） Instructor: Wang Guibao [Abstract]:Stochastic process is the foundation of random signal analysis, based on the random process of the autocorrelation function and power spectral density parameters of MA TLAB simulation, to understand the characteristics of the autocorrelation function and power spectral density, waveform and the relationship between the master the autocorrelation function of random process and the characteristics of the power spectral density, the waveform and the relationship between. Learn to use the MATLAB statements generated gaussian white noise, can use MA TLAB tools to analyze characteristics of random process, be able to use MA TLAB basic control statements for signal power spectrum and autocorrelation function, and system analysis of stochastic process. [Keywords]:Stochastic process; MA TLAB; System analysis

二进制振幅键控(2ASK)信号的功率谱分析

Harbin Institute of Technology 随机过程课程设计报告 二进制振幅键控(2ASK)信号的功率谱分析院（系）名称：电子与信息工程学院 学生姓名： 学生学号： 指导教师： 哈尔滨工业大学 2014年11月

摘要 二进制振幅键控（2ASK）是出现最早的、也是最简单的数字调制方式，是研究其他数字调制方式的基础。由于数字基带信号是随机信号，因此2ASK信号也是随机信号，不满足傅里叶变换条件，只能分析其功率谱性质。 以前学习这部分知识的时候，缺乏随机过程的知识，书上直接给出相应的结果，对结果不是很理解。通过随机过程的学习，对随机信号功率谱密度的求解有了比较清楚的了解，于是自己动手推算了一下功率谱密度公式的由来，并通过绘图从理论上对2ASK信号的功率谱进行了分析。在这个过程中，我对随机过程的基础知识有了更进一步的掌握，并对数学在通信中的重要作用有了深刻认识，收获很大。 关键词：二进制振幅键控；功率谱密度；随机过程 目录 一、数字调制简介和问题的提出................................................ 错误!未定义书签。 1、数字调制简介 .................................................................. 错误!未定义书签。 2、问题提出 .......................................................................... 错误!未定义书签。 二、二进制振幅键控（2ASK）基本原理.................................. 错误!未定义书签。 三、2ASK功率谱分析................................................................. 错误!未定义书签。 1、2ASK信号的功率谱密度频域表达式的推导 ............... 错误!未定义书签。 2、2ASK信号的功率谱密度具体表达式 ........................... 错误!未定义书签。 3、2ASK信号的功率谱密度分析 ....................................... 错误!未定义书签。 四、心得体会................................................................................ 错误!未定义书签。参考文献........................................................................................ 错误!未定义书签。

非齐次泊松过程课程设计.doc

课程名称：《随机过程》课程设计（论文） 题目: 非齐次泊松过程 在数控机床可靠 性建模中的应用 学院：理学院 专业：数学与应用数学 班级：数学12-1班 学生姓名：王玲玲 学生学号： 2012027149 指导教师：蔡吉花 2015 年 1月 3 日

随机过程课程设计 目录 任务书 (1) 摘要 (1) 前言 (2) １非齐次泊松过程理论 (2) 1.1 非齐次泊松过程的基本理论简介 (2) 1.2 基于试验总时间法的趋势检验 (2) 2 数控机床的非齐次泊松过程可靠性建模 (3) 2.1强度函数的建立................................................. . (3) 2.2 Ｋ台数控机床强度函数的参数估计......................... (4) 2.3 非齐次泊松过程下的可靠性指标............................... ....... (5) 3实例分析 (5) 4结束语 (7) 5程序及结果 (8) 6参考文献 (9) 附录……………………………………………………………………………… 评阅书……………………………………………………………………………

摘要 基于试验总时间法对多样本随机截尾的数控机床现场数据进行趋势检验，在故障过程为浴盆曲线的趋势条件下构建了数控机床的非齐次泊松过程的可靠性模型。本文使用极大似然估计法对非齐次泊松过程的强度函数进行参数估计得到了该模型的可靠性指标，以6台加工中心的现场数据为例建立了非齐次泊松过程的可靠性模型。再通过matlab曲线拟合，绘制出故障时间的曲线，通过曲线的拟合程度，可以确定非齐次泊松过程能够更恰当地表现故障的趋势。 关键词：数控机床可靠性非齐次泊松过程浴盆曲线

应用随机过程试题及答案

应用随机过程试题及答案 一．概念简答题（每题5 分，共40 分） 1. 写出卡尔曼滤波的算法公式 2. 写出ARMA（p,q）模型的定义 3. 简述Poisson 过程的随机分流定理 4. 简述Markov 链与Markov 性质的概念 5. 简述Markov 状态分解定理 6．简述HMM 要解决的三个主要问题得分B 卷（共9 页）第2 页7. 什么是随机过程，随机序列？8．什么是时齐的独立增量过程？二．综合题（每题10 分，共60 分） 1 ．一维对称流动随机过程n Y , 0 1 0, , n n k k Y Y X ? ? ? ? 1 ( 1) ( 1) , 2 k k k X p x p x ? ? ? ? ? 具有的概率分布为且1 2 , , ... X X 是相互独立的。试求1 Y 与2 Y 的概率分布及其联合概率分布。 2. 已知随机变量Y 的密度函数为其他而且，在给定Y=y 条件下，随机变量X 的条件密度函数为? ? 其他试求随机变量X 和Y 的联合分布密度函数( , ) f x y . 得分B 卷（共9 页）第3 页 3. 设二维随机变量( , ) X Y 的概率密度为( ,其他试求p{x<3y} 4．设随机过程( ) c o s 2 , ( , ) , X t X t t ? ? ? ? ? ? X 是标准正态分布的随机变量。试求数学期望( ) t E X ，方差( ) t D X ，相关函数1 2 ( , ) X R t t ，协方差1 2 ( , ) X C t t 。B 卷（共9 页）第4 页5 ．设马尔科夫链的状态空间为I={0,1}, 一步转移概率矩阵为

随机过程习题及答案

第二章 随机过程分析 学习指导 1.1.1 要点 随机过程分析的要点主要包括随机过程的概念、分布函数、概率密度函数、数字特征、通信系统中常见的几种重要随机过程的统计特性。 1. 随机过程的概念 随机过程是一类随时间作随机变化的过程，它不能用确切的时间函数描述。可从两种不同角度理解：对应不同随机试验结果的时间过程的集合，随机过程是随机变量概念的延伸。 2. 随机过程的分布函数和概率密度函数 如果ξ(t )是一个随机过程，则其在时刻t 1取值ξ(t 1)是一个随机变量。ξ(t 1)小于或等于某一数值x 1的概率为P [ ξ(t 1) ≤ x 1 ]，随机过程ξ(t )的一维分布函数为 F 1(x 1, t 1) = P [ξ(t 1) ≤ x 1] (2-1) 如果F 1(x 1, t 1)的偏导数存在，则ξ(t )的一维概率密度函数为 1111111 (,) (, ) (2 - 2)?=?F x t f x t x 对于任意时刻t 1和t 2，把ξ(t 1) ≤ x 1和ξ(t 2) ≤ x 2同时成立的概率 {}212121122(, ; , )(), () (2 - 3)F x x t t P t x t x ξξ=≤≤ 称为随机过程 (t )的二维分布函数。如果 2212122121212 (,;,) (,;,) (2 - 4)F x x t t f x x t t x x ?=??? 存在，则称f 2(x 1, x 2; t 1, t 2)为随机过程 (t )的二维概率密度函数。 对于任意时刻t 1，t 2，…，t n ，把 {}n 12n 12n 1122n n ()(),(),,() (2 - 5) =≤≤≤L L L F x x x t t t P t x t x t x ξξξ，，，；，，，称为随机过程 (t )的n 维分布函数。如果 n n 12n 12n n 12n 12n 12n (x )() (2 - 6)?=???L L L L L F x x t t t f x x x t t t x x x ，，，；，，，，，，；，，， 存在，则称f n (x 1, x 2, …, x n ; t 1, t 2, …, t n )为随机过程 (t )的n 维概率密度函数。 3. 随机过程的数字特征 随机过程的数字特征主要包括均值、方差、自相关函数、协方差函数和互相关函数。 随机过程 (t )在任意给定时刻t 的取值 (t )是一个随机变量，其均值为 []1()(, )d (2 - 7)E t xf x t x ξ∞ -∞ =?

《概率论与随机过程》课程自学内容小结

大学2015～2016学年秋季学期本科生 课程自学报告 课程名称：《概率论与随机过程》 课程编号：07275061 报告题目：大数定律和中心极限定理在彩票选号的应用学生： 学号： 任课教师： 成绩： 评阅日期：

随机序列在通信加密的应用 2015年10月10日 摘 要：大数定律与中心极限定理是概率论中很重要的定理，较多文献给出了不同条件下存在的大数定律和中心极限订婚礼，并利用大数定律与中心极限定理得到较多模型的收敛性。但对于他们的适用围以及在实际生活中的应用涉及较少。本文通过介绍大数定律与中心极限定理，给出了其在彩票选号方面的应用，使得数学理论与实际相结合，能够让读者对大数定律与中心极限定理在实际生活中的应用价值有更深刻的理解。 1. 引言 在大数定律与中心极限定理是概率论中很重要的定理，起源于十七世纪，发展到现在，已经深入到了社会和科学的许多领域。从十七世纪到现在，很多国家对这两个公式有了多方面的研究。长期以来，在大批概率论统计工作者的不懈努力下，概率统计的理论更加完善，应用更加广泛，如其在金融保险业的应用，在现代数学中占有重要的地位。 本文主要通过对大数定律与中心极限定理的分析理解，研究探讨了其在彩票选号中的应用，并给出了案例分析，目的旨在给出大数定律与中心极限定理应用对实际生活的影响，也对大数定律与中心极限定理产生更深刻的理解。 2. 自学容小结与分析 2.1 随机变量的特征函数 在对随机变量的分析过程中，单单由数字特征无法确定其分布函数，所以引入特征函数。特征函数反映随机变量的本质特征，可唯一的确定随机变量的分布函数、随机变量X 的特征函数定义为： 定义1 ][)()(juX jux e E dx e x p ju C ==? +∞ ∞ - (1) 性质1 两两相互独立的随机变量之和的特征函数等于各个随机变量的特征函数之积。 性质1意味着在傅立叶变换之后，时域的卷积变成频域的相乘，这是求卷积的简便方法。类比可知求独立随机变量之和的分布的卷积，可化为乘法运算，这样就简便了计算，提高了运算效率。 性质2 求矩公式：0)(|) ()(][=-=u n u x n n n du C d j X E (2) 性质3 级数展开式：!)(][!|)()()(0 00n ju X E n u du u C d u C n n n n n n n n X ∑∑∞ ==∞ === (3) 2.2 大数定律与中心极限定理 定义2 大数定律：设随机变量相互独立，且具有相同的μ=)(k X E 和,...2,1,)(2 ==k X D k σ, 则0∈>?,有

随机信号分析期中设计

随机信号分析期中设计随机过程的模拟与特征估计 课程设计目的 了解随机过程特征估计的基本概念和方法，学会运用Matlab 函数对随机过程进行特征估计,并且通过实验了解不同估计方法所估计出来结果之间的差异。 设计题目 按照如下模型产生一组随机序列x(n)=0.8x(n-1)+w(n)，其中w(n)为均值为0，方差为4的高斯白噪声序列。 （1）模拟产生X(n)序列的500 观测样本函数，绘出波形图。 （2）用观测点估计信号的均值和方差。 （3）估计该过程的自相关函数和功率谱密度，并画出图形。 课程设计要求 本次课程设计是软件设计题目，使用Matlab软件仿真，请大家认真完成，以设计报告形式提交。设计完成时间时定在2011年6月25日之前，提交电子文档和打印稿各一份。 附加内容（加在报告最后） 简单的写一写这次随机信号分析课程学习体会和感受，为自己学习作个总结，也为教材、课程、授课提提意见，这个不限制内容和字数。 设计所需基本原理与Matlab函数介绍 原理介绍： 用观测点估计信号的均值和方差 设随机序列X(n)、Y(n)为各态历经过程，样本分别为x(n)、y(n)（n=0,1,....N-1）。 1、均值的估计 2、方差的估计 方差估计有两种情况，如果均值m x 已知，则 如果均值未知，那么

3、相关函数估计 4、功率谱估计 功率谱的估计有几种方法， （1）自相关法 先求相关函数的估计， 然后对估计的相关函数做傅立叶变换 （2）周期图法 先对序列x(n)做傅立叶变换， 则功率谱估计为 周期图法是一种非参数谱估计方法 MATLAB估计数字特征的统计函数： （1）均值与方差 mean(A)：返回序列的均值，序列用矢量A 表示。 VAR(X)：返回序列X 的方差。 （2）互相关函数估计 xcorr(x)：计算X 的自相关。option 选项是： 'biased'：有偏估计 'unbiased':：无偏估计 'coeff'：m=0 的相关函数值归一化为1。 'none'：不作归一化处理。

应用随机过程教学大纲

《应用随机过程A》课程教学大纲 课程编号： L335001 课程类别：专业限选课适用专业：统计学专业 学分数：3学分学时数： 48学时 应修（先修）课程：数学分析、概率统计、微分方程、高等代数 一、本课程的地位和作用 应用随机过程是数学与应用数学专业的专业限选课程，是统计学专业的专业课程之一。随机过程是研究客观世界中随机演变过程规律性的学科，随机过程的研究对象为随时间变化的随机现象，即随时间不断变化的随机变量，通常被视为概率论的动态部分。随着科学技术的发展，它已广泛地应用于通信、控制、生物、地质、经济、管理、能源、气象等许多领域，国内外许多高等工科院校在研究生中设此课程，大量工程技术人员对随机分析的方法也越来越重视。通过本课程的学习，使学生初步具备应用随机过程的理论和方法来分析问题和解决问题的能力。 二、本课程的教学目标 使学生掌握随机过程的基本知识，通过系统学习，学生的概率理论数学模型解决随机问题的能力得到更加进一步的提高，特别在经济应用上，通过本课程的学习，可以让数学专业的学生很方便地转向在金融管理、电子通讯等应用领域的研究。 三、课程内容和基本要求 ?”记号标记既（用“*”记号标记难点内容，用“?”记号标记重点内容，用“* 是重点又是难点的内容。） 第一章预备知识 1．教学基本要求 （1）掌握概率空间, 随机变量和分布函数, 矩母函数和特征函数的概念和相关性质。 （2）掌握条件概率, 条件期望和独立性的概念和相关性质。 （3）了解概率中收敛性的概念和相互关系。 2．教学内容 （1）概率空间 （2）▽随机变量和分布函数

（3）▽*数字特征、矩母函数和特征函数 （4）▽*条件概率、条件期望和独立性 （5）收敛性 第二章随机过程的基本概念和类型 1．教学基本要求 （1）掌握随机过程的定义。 （2）了解有限维分布族和Kolmogorov定理。 （3）掌握独立增量过程和独立平稳增量过程概念。 2．教学内容 （1）基本概念 （2）▽*有限维分布和Kolmogorov定理 （3）▽随机过程的基本类型 第三章 Poisson过程 1．教学基本要求 （1）了解计数过程的概念。 （2）掌握泊松过程两种定义的等价性。 （3）掌握泊松过程的到达时刻的分布、等待时间的分布和来到时刻的条件分布。（4）了解泊松过程的推广。 2．教学内容 （1）▽ Poisson过程 （2）▽* 与Poisson过程相联系的若干分布 （3）* Poisson过程推广 第四章更新过程 1．教学基本要求 （1）掌握更新过程的定义和基本性质。 （2）掌握更新函数、更新方程。 （3）了解更新定理及其应用，更新过程的若干推广。 （4）了解更新过程的若干推广。 2．教学内容

随机过程课程设计

《随机过程》 课程设计（论文） 题目: 连续马尔科夫过程的转移 概率及应用 学院：理学院 专业：数学与应用数学 班级：数学09-2班 学生姓名：姜德月 学生学号： 2009026249 指导教师：蔡吉花 2011 年 12 月 20 日

目录 课程设计任务书 -------------------------------------------------------------------------------------------------- I 摘要 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------- I I 第1章绪论----------------------------------------------------------------------------------------------------- - 1 - 第2章连续时间马尔可夫链基本理论 ------------------------------------------------------------------ - 2 - 2.1定义............................................................ - 2 - 2.2转移概率........................................................ - 2 -第3章柯尔莫哥洛夫微分方程 --------------------------------------------------------------------------- - 3 - 3.1跳跃强度........................................................ - 3 - 3.2 Q矩阵......................................................... - 3 - 3.3柯尔莫哥洛夫向后方程............................................ - 4 - 3.4柯尔莫哥洛夫向前方程............................................ - 4 -第4章马尔可夫过程研究的问题的分析--------------------------------------------------------------- - 5 - 4.1连续参数随机游动问题............................................ - 5 -第5章计算结果及程序------------------------------------------------------------------------------------- - 6 - 第6章结论和展望 ----------------------------------------------------------------------------------------- - 11 - 参考文献 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- - 11 - 评阅书 ------------------------------------------------------------------------------------------------- - 12 -

几种常用的随机过程

第十讲 几种常用的随机过程 10.1 马尔可夫过程 10.1.1马尔可夫序列 马尔可夫序列是指时间参数离散，状态连续的马尔可夫过程。 一个随机变量序列x n （n=1,2,…）,若对于任意的n 有 )|(),...,,|(112 1 x x F x x x x F n n X n n n X ---= （10.1） 或 )|(),...,,|(112 1 x x f x x x x f n n X n n n X ---= （10.2） 则称x n 为马尔可夫序列。x n 的联合概率密度为 ) ()|( ) |()|(),...,,(1 1 2 2 11 2 1 x f x x f x x f x x f x x x f X X n n X n n X n X ??---= （10.3） 马尔可夫序列有如下性质： （1） 一个马尔可夫序列的子序列仍为马尔

可夫序列。 （2） ) |(),...,,|(1 21x x f x x x x f n n X k n n n n X -+++= （10.4） （3） )|(),...,|(111x X x x X n n n n E E --= （10.5） （4） 在一个马尔可夫序列中，若已知现在， 则未来与过去相互独立。即 ) |() |()|,(1 x x f x x f x x x f r s X n n X r s n X -= ，n>r>s （10.6） （5） 若条件概率密度)|(1 x x f n n X -与n 无关， 则称马尔可夫序列是齐次的。 （6） 若一个马尔可夫序列是齐次的，且所 有的随机变量X n 具有同样的概率密度，则称该马尔可夫序列为平稳的。 （7） 马尔可夫序列的转移概率满足切普曼 —柯尔莫哥洛夫方程，即 ) |()| ()|(x x f x x f x x f s r X r n X s n X ? ∞ ∞ -= ， n>r>s (10.7) 10.1.2马尔可夫链 马尔可夫链是指时间参数，状态方程皆

应用随机过程习题课二

习题 1. 设随机过程{(,),}X t t ω-∞<<+∞只有两条样本函数 12(,)2cos ,(,)2cos ,X t t X t t x ωω==--∞<<+∞ 且1221 (),()33P P ωω==，分别求： （1）一维分布函数(0,)F x 和(,)4F x π ； （2）二维分布函数(0,;,)4F x y π ； （3）均值函数()X m t ； （4）协方差函数(,)X C s t . 2. 利用抛掷一枚硬币一次的随机试验，定义随机过程 1 2 cos ()2t X t πωω?=??出现正面出现反面 且“出现正面”与“出现反面”的概率相等，各为1 2 ，求 1）画出{()}X t 的样本函数 2）{()}X t 的一维概率分布，1 (;)2F x 和(1;)F x 3）{()}X t 的二维概率分布121 (,1;,)2 F x x 3. 通过连续重复抛掷一枚硬币确定随机过程{()}X t cos ()2 t t X t t π?=? ?在时刻抛掷硬币出现正面 在时刻抛掷硬币出现反面 求：（1）1(,),(1,)2F x F x ； （2）121 (,1;,)2 F x x 4. 考虑正弦波过程{(),0}X t t ≥，()cos X t t ξω=，其中ω为正常数，~(0,1)U ξ. （1）分别求3,,,424t ππππωωωω = 时()X t 的概率密度(,)f t x . （2）求均值函数()m t ，方差函数()D t ，相关函数(,)R s t ，协方差函数(,)C s t . 5. 给定随机过程： ()X t t ξη=+ ()t -∞<<+∞ 其中r. v. (,)ξη的协方差矩阵为1334C ?? = ??? ， 求随机过程{(),}X t t -∞<<+∞的协方差函数. 6. 考虑随机游动{(),0,1,2,}Y n n =

田波平研究生课程设计

前言 应用随机过程是从数量上研究随机现象的规律性学科。它在自然科学，技术科学，社会科学和管理科学中有着广泛的应用。因此从20世纪初以来，发展甚为迅速，新的学科分支不断涌现，成为近代数学的一个重要组成部分。 本书的目的在于向那些已学过相当于应用随机过程课程而需要作课程设计的同学提供一个参考读物。它包括：哈尔滨工业大学课程设计管理规范，成绩考核办法，工科研究生应用随机过程的课程设计标准及综述与建模和计算样本。 作者深深感谢王勇教授以及概率复变教研室其他同志的鼓励和关心，感谢04，05级哈工大工科研究生提出了很多中肯的意见。 由于作者水平所限，书中一定存在着不少缺点和错误，恳请批评指正。 田波平 2008年10月

目录 哈尔滨工业大学课程设计管理规范 (1) 成绩考核办法 (6) 工科研究生应用随机过程的课程设计标准 (7) 综述设计样本……………………………………………………8-13 计算与建模设计样本……………………………………………14-19

哈尔滨工业大学课程设计管理规范 一、课程设计教学基本要求 1．课程设计的教学目的 （ 1）培养学生正确的设计思想，理论联系实际的工作作风，严肃认真、实事求是的科学态度和勇于探索的创新精神。 （ 2）培养学生综合运用所学知识与生产实践经验，分析和解决工程技术问题的能力。 （ 3）通过课程设计实践，训练并提高学生在理论计算、结构设计、工程绘图、查阅设计资料、运用标准与规范和应用计算机等方面的能力。 2．课程设计的教学要求 坚持“规格严格，功夫到家”的优良传统，加强基本功训练，做到理论与实际相结合，继承与创新相结合，充分发挥学生的主观能动性与教师因材施教、严格要求相结合，抓智力因素教育与非智力因素教育相结合，教书育人。 3．课程设计任务书 课程设计任务书由指导教师填写并经教研室主任签字后生效。 课程设计任务书应包括以下的内容： ①题目； ②已知技术参数和设计要求； ③工作量； ④工作计划； ⑤指导教师与教研室主任签字。 课程设计任务书的格式因课程设计类型不同、课程不同而不同，具体格式由指导各门课程设计的教研室负责制定。纸幅大小为 16开纸，由学校统一印制。 课程设计任务书装订于设计计算说明书（或论文）封面之后，目录页之前。4．课程设计图纸及说明书（或论文） 对工程技术类的课程设计，一般要完成 A0正式装配图1张，零件图2张，设计计算说明书1份（不少于5000字），对文管类的课程设计，要撰写一篇完整的论文（一般不少于8000字）。 课程设计图纸及说明书（或论文）由授课教研室（或系）负责保管，一般保管 3年，对于有示范意义的优秀课程设计图纸及说明书（或论文）保管期限可适当延长。 二、课程设计选题 1．选题要求 （ 1）课程设计的内容应属课程范围，应能满足课程设计的教学目的与要求，能使学生得到较全面的综合训练。 （ 2）课程设计的题目应尽可能有实用背景，对模拟性质的“题目”不得年年重复使用。 （ 3）课程设计题目的难度和工作量应适合学生的知识和能力状况，使学生在规定的时间内既工作量饱满，又经过努力能完成任务。 2．课程设计题目由指导教师拟定，并经教研室主任审定。课程设计的题目也可由学生自拟，但必须报教研室主任批审，同意后方可执行。 三、对学生的基本要求 1．学习态度

应用随机过程课程设计-综述

H a r b i n I n s t i t u t e o f T e c h n o l o g y 课程设计（论文） 课程名称：应用随机过程 设计题目：通信系统中的随机过程 院系：电子与信息技术研究院 班级：通信工程一班 设计者： 学号： 指导教师：田波平 设计时间： 2009-12-20 哈尔滨工业大学

摘要 通信系统中用于表示信息的信号不可能是单一的确定的，而是具有不确定性和随机性的。这种具有不确定性，随机性的信号即称为随机信号。 同时通信系统中存在各种干扰和噪声，这些干扰和噪声的波形更具有随机性，是不可预测的。我们称其为随机干扰，或者随机噪声。尽管随机信号和随机噪声都是不可预测的，随机的，，但是它们具有一定的统计规律性。研究随机信号和随机噪声统计规律性的数学工具是随机过程理论，随机过程是随机信号和随机噪声的数学模型。 随机过程是与时间相关的随机变量，在确定的时刻它是随机变量。随机过程的具体取值称作其实现（样函数），是时间函数，所有实现构成的集合称作随机过程的样本函数空间，所有样本函数空间及其统计特性即构成了随机过程。 我们可以对通过研究随机过程的统计特性的探究，来研究随机过程通过线性系统的分析。 关键字：随机过程、通信系统、线性系统

1.通信中研究随机过程的重要性 通信就是互通信息。从这个意义上说，通信在远古时代就已经存在。人之间的对话是通信，用手势表达情绪也可以算通信。以后用烽火传递战事情报是通信，快马与驿站传送文件也是通信。但是现在的通信一般指的是电信，国际上称为远程通信(telecommunication)，即通过电信号或者光信号传送信息。图1是通信系统模型。从信息论的角度来说，通信的过程就是不确定度减小的过程。而不确定性就是过程的随机性，所以从这个角度来说通信过程的研究可以归结到对于随机过程特性的研究过程。 图1 通信系统模型 从图中可以看到，通信系统中用于表示信息的信号不可能是单一的确定的，而是具有不确定性和随机性的。这种具有不确定性，随机性的信号即称为随机信号。 同时通信系统中存在各种干扰和噪声，这些干扰和噪声的波形更具有随机性，是不可预测的。我们称其为随机干扰，或者随机噪声。尽管随机信号和随机噪声都是不可预测的，随机的，，但是它们具有一定的统计规律性。研究随机信号和随机噪声统计规律性的数学工具是随机过程理论，随机过程是随机信号和随机噪声的数学模型。 随机过程整个学科的理论基础，最早是由柯尔莫哥洛夫和杜布奠定的。这一学科最早源于对物理学的研究，如吉布斯、玻尔兹曼、庞加莱等人对统计力学的研究，及后来爱因斯坦、维纳、莱维等人对布朗运动的开创性工作。1907年前后，马尔可夫研究了一系列有特定相依性的随机变量，后人称之为马尔可夫链。1923年维纳给出布朗运动的数学定义，直到今日这一过程仍是重要的研究课题。随机过程一般理论的研究通常认为开始于20世纪30年代。1931年，柯尔莫哥洛夫发表了《概率论的解析方法》，1934年A·辛饮发表了《平稳过程的相关理论》，这两篇著作奠定了马尔可夫过程与平稳过程的理论基础。1953年，杜布出版了名著《随机过程论》，系统且严格地叙述了随机过程基本理论。 随机过程的概念很广泛，因而随机过程的研究几乎包括概率论的全部。虽然不能给出一个有用而又狭窄的定义，但是概率论工作者在使用随机过程这个术语时，通常想到的是其随机变量具有某种有意义的相互关系的随机过程，例如，独