材力第4章弹性杆件横截面上的切应力分析
第4章 弹性杆件横截面上的切应力分析
4－1 扭转切应力公式p /)(I M x ρρτ=的应用范围有以下几种，试判断哪一种是正确的。
（A ）等截面圆轴，弹性范围内加载； （B ）等截面圆轴；
（C ）等截面圆轴与椭圆轴；
（D ）等截面圆轴与椭圆轴，弹性范围内加载。 正确答案是 A 。
解：p )(I M x ρρτ=在推导时利用了等截面圆轴受扭后，其横截面保持平面的假设，同时推导过程中还应用了剪切胡克定律，要求在线弹性范围加载。
4－2 两根长度相等、直径不等的圆轴承受相同的扭矩受扭后，轴表面上母线转过相同的角度。设直径大的轴和直径小的轴的横截面上的最大切应力分别为max 1τ和max 2τ，切变模量分别为G 1和G 2。试判断下列结论的正确性。
（A ）max 1τ＞max 2τ；
（B ）max 1τ＜max 2τ；
（C ）若G 1＞G 2，则有max 1τ＞max 2τ；
（D ）若G 1＞G 2，则有max 1τ＜max 2τ。 正确答案是 C 。
解：因两圆轴等长，轴表面上母线转过相同角度，指切应变相同，即γγγ==21由剪切胡克定律γτG =知21G G >时，max 2max 1ττ>。
4－3 承受相同扭矩且长度相等的直径为d 1的实心圆轴与内、外径分别为d 2、)/(222D d D =α的空心圆轴，二者横截面上的最大切应力相等。关于二者重之比（W 1/W 2）有如下结论，试判断哪一种是正确的。 （A ）234)1(α-； （B ）)1()1(2234αα--； （C ）)1)(1(24αα--； （D ）)1/()1(2324αα--。 正确答案是 D 。 解：由max 2max 1ττ=得 )
1(π16π164
323
1
α-=
D M d M x x
即 314
2
1)1(α-=D d
（1）
)
1(2
2
22
1
2
12
1α-=
=
D d A A W W （2）
（1）代入（2），得
23
2
42
11)1(α
α--=
W W
4-4 由两种不同材料组成的圆轴，里层和外层材料的切变模量分别为G 1和G 2，且G 1 = 2G 2。圆轴尺寸如图所示。圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动。关于横截面上的切应力分布，有图中所示的四种结论，试判断哪一种是正确的。 正确答案是 C 。
解：因内、外层间无相对滑动，所以交界面上切应变相等21γγ=，因212G G =，由剪切胡克定律得交界面上：212ττ=。
4-5 图示实心圆轴承受外扭转力偶，其力偶矩T = 3kN ·m 。试求：
习题4-4图
习题4-5图
1．轴横截面上的最大切应力； 2．轴横截面上半径r = 15mm 以内部分承受的扭矩所占全部横截面上扭矩的百分比； 3．去掉r = 15mm 以内部分，横截面上的最大切应力增加的百分比。
解：1．7
.7006
.0π1610316
π3
3
3
P
P
max 1=???=
=
=
=
d T W T W M
x
τMPa
2． 4
π2d π2d 4
p
p
1
r
I M I M A M x
x
r
A r
?
=
??
=
?=
?
?
ρρρρτρ
∴
%
25.616
1)
60
15(
161632
π4π24π24
4
4
4
4p 4
==
?==
?
=
=
d
r d r I r M
M x
r
3． ??
? ??
-=
=
43
p
max 2)21(116πd
T
W M
x
τ
4-6 图示开口和闭口薄壁圆管横截面的平均直径均为D 、壁厚均为δ，横截面上的扭矩均为T = M x 。试： 1．证明闭口圆管受扭时横截面上最大切应力
2
max π2D
M
x δτ≈
2．证明开口圆管受扭时横截面上最大切应力
D
M
x
π32
max δτ≈
3．画出两种情形下，切应力沿壁厚方向的分布。 解：1．δττD D A D M A
x
π2
d 2
??=
?=
?
∴ 2
π2D
M
x δτ=
即：2
max π2D M
x δτ=
2．由课本（8－18）式 D
M
D M
hb
M x
x x π3π332
2
2
max δδ
τ=
?=
=
4-7 由同一材料制成的实心和空心圆轴，二者长度和质量均相等。设实心轴半径为R 0，空心圆轴的内、外半径分别为R 1和R 2，且R 1/R 2 = n ，二者所承受的外扭转力偶矩分别为T s 和T h 。若二者横截面上的最大切应力相等，试证明：
2
2h
s 11n
n T T +-=
解：由已知长度和质量相等得面积相等：
)(ππ2
12220R R R -=
（1）
2
π16
π30
s 3
s max R T d T ?=
=
τ
（2）
)
1(16
)
2(π4
3
2h
max n R T -=
τ
（3）
由（2）、（3）式
)
1(4
3
23
h
s n R R T T -=
（4）
习题4-7解图
习题4-6图
τ
(a-1)
(b-1) (a-2) max
max
τ (b-2)
习题4-9图
(a)
由（1） 2
12220R R R -= 代入（4）
∴
2
2
2
2
23
2
4
2
32
4
3
22
321
22
h
s 11)
1)(1()1(1)1()
1()
(n
n n n n n
n n R R R T T +-=
+--=
--=
--
=
4-8 图示三杆受相同的外扭转力偶作用。已知T = 30N ·m ，且最大切应力均不能超过60MPa 。试确定杆的横截面尺寸；若三者长度相等，试比较三者的重量。 解：6
3
m a x a 106016
π?≤=
d M x τ
4.2910π60300161060π163
6
3
6
a =??=
??≥
T d mm 6
3b
3b
12
1m a x a 10
60208.0?≤=
=
=d
M
d
c M hb
c M
x
x x τ
9.28m 02886.01060208.03003
6
b ==??≥
d mm
6
3
c
2
1m a x c 10
602246.0300?≤?=
=d hb
c M
x τ
66.21m 02166.01060246.02300
3
6
c ==???≥
d mm
三者长度相同，重量之比即为面积之比。
816.0)02886
.002942.0(4π4π2
2
b
2
a
b
a ==
=
d d A A
724
.0)02166.002942.0(8π)(8π24π
2
2c a 2
c
2
a
c
a ====d d d d A A
∴
127.1:1:816.0::c b a =A A A 1:887.0:724.0=
4-9 直径d = 25mm 的钢轴上焊有两凸台，凸台上套有外径D = 75mm 、壁厚δ=1.25mm 的薄壁管，
当杆承受外扭转力遇矩T = 73.6N ·m 时，将薄壁管与凸台焊在一起，然后再卸去外力偶。假定凸台不变形，薄壁管与轴的材料相同，切变模量G = 40MPa 。试：
1．分析卸载后轴和薄壁管的横截面上有没有内力，二者如何平衡？ 2．确定轴和薄壁管横截面上的最大切应力。
解：设轴受T = 73.6N ·m 时，相对扭转角为0?， 且
1
p 0d d GI T x
=
? （1）
T 撤消后，管受相对扭转角2?，则轴受相对扭转角201???-=，此时轴、管受扭矩大小相等，方向相反，整个系统平衡。 021???=+ （2）
2
p 1
p 1
p GI l M GI l M GI Tl x x '+= （3） x x M M '= （4）
∴ T I I I M x p2
1p 2p +=
（5）
2
p2
p12
p 2p p2
p12
p max h D I I T W I I I T
W M
x
?+=
?+=
=
τ
（6）
12
12
44
1p 10
5.3834910
)25(32
π32
π--?=?=
=d I
12
1244
44
p21039392210)755.72(13275π)2(
132
π--?
=???
????-?=??????
--=
D D D I δm 4
将I p1、I p2值代入（6）得
习题4-8图
(a) (b) (c) (d) 习题4-14图
管：38.610)3939225.38349(10
2
756.7312
3
max h =?+??
=
--τMPa
轴：86.2110
5.38349)3939225.38349(10
3939222
256.732
d )
(2
d 12
3
2p 1p 1p 2p 1
p max s =??+???
=
?
+?=?=
--I I I T I I M
x
τ MPa
4-10 关于弯曲切应力公式)/(*
Q z z bI S F =τ应用于实心截面的条件，有下列论述，试分析哪一种是正确的。
（A ）细长梁、横截面保持平面；
（B ）弯曲正应力公式成立，切应力沿截面宽度均匀分布； （C ）切应力沿截面宽度均匀分布，横截面保持平面； （D ）弹性范围加载，横截面保持平面。
正确答案是 B 。
解：公式)(*
Q z z bI S F =τ推导时应用了局部截面的正应力合成的轴力，该正应力x σ则要求弯曲正应力
公式成立；另外推导时在∑=0x F 时，应用了τ沿截面宽度均匀分布假设。
4-11 试判断梁横截面上的切应力作用线必须沿截面边界切线方向的依据是： （A ）横截面保持平面； （B ）不发生扭转；
（C ）切应力公式应用条件； （D ）切应力互等定理。
正确答案是 D 。
4-12 槽形截面悬臂梁加载如图示。图中C 为形心，O 为弯曲中心。 关于自由端截面位移有下列结论，试判断哪一种是正确的。 （A ）只有向下的移动，没有转动； （B ）只绕点C 顺时针方向转动；
（C ）向下移动且绕点O 逆时针方向转动；
（D ）向下移动且绕点O 顺时针方向转动。
正确答案是 D 。
4-13 等边角钢悬臂梁，受力如图所示。关于截面A 的位移有以下论述，试分析哪一种是正确的。 （A ）下移且绕点O 转动； （B ）下移且绕点C 转动； （C ）下移且绕z 轴转动； （D ）下移且绕z '轴转动。 正确答案是 D 。
4-14 试判断下列图示的切应力流方向哪一个是正确的。 正确答案是 A 。
4-15 四种不同截面的悬臂梁，在自由端承受集中力，作用方向如图所示，图中O 为弯曲中心。试分析哪几种情形下可以直接应用z
z x
I y M /-=σ
和)/(*
Q z z
bI S F =τ计算横截面上的正应力和切应力。 （A ）仅（a ）、（b ）可以；
（B ）仅（b ）、（c ）可以； （C ）除（c ）之外都可以； （D ）除（d ）之外都不可能。 正确答案是 D 。
习题4-12图
习题4-13图
习题4-16图
q
B
R
(a)
z
(d)
z
(e)
习题4-17图
4-16 梁的受力及横截面尺寸如图 所示。试：
1．绘出梁的剪力图和弯矩图；
2．确定梁内横截面上的最大拉应力和最大压应力；
3．确定梁内横截面上的最大切应力； 4．画出横截面上的切应力流。
解：1．图（a ）：0=∑A M 04248R =?+??-B F q 18R =B F kN
0=∑y F ，22R =A F kN 剪力与弯矩图如图（b ）、（c ）； 2．形心C 位置
mm 45.5520
6022080110
2060602080102080=?+????+??+??=
d
4
6
2
3
2
3
2
3
m m
10855758.755
.54206012
206055
.48020 12
802045
.45208012
2080?=??+?+
??+?+
??+?=
z I
3
m a x m a x 10
45.55-+
??=
z
I M σ
11410855758.710
45.55102.1663
3
=????=--MPa 1331055.64 3
max
max
=??=
--
z
I M
σ
MPa
3． 9
*
max 10
852872
45.3545.352045.452080-?=??+??=z S m 3
94
.1110
855758.710
2010852871022 6
3
93
*
max
Q max =??????=
=
---z
z I S F δτMPa
4．切应力流如图（e ）。
4-17 木制悬臂梁，其截面由7块木料用A 、B 两种钉子连接而成，形状如图所示。梁在自由端承受沿铅垂对称轴方向的集中力F P 作用。已知F P = 6kN ，910504.1?=z I mm 4；A 种钉子的纵向间距为75mm ，B 种钉子的纵向间距为40mm ，间距在图中未标出。试求： 1．A 类钉子每个所受的剪力； 2．B 类钉子每个所受的剪力。
解：)200100300
250400
400(12
1
3
3
3
?-?-?=
z I
1504166667=mm
4 75000015050100*=??=zA S mm 3
F
(c)
习题4-18图
习题4-19图
(a) (b)
(c)
z z
(a) (b)
z
zA
A I
S
F*
Q
δ
τ=
每根A种然受剪力：
224
10
1504166667
10
75
10
750000
10
6
10
75
10
75
12
3
9
3
3
*
Q
3
Q
=
?
?
?
?
?
?
=
?
?
=
?
?
=
-
-
-
-
-
z
zA
A
A I
S
F
Fδ
τN
4125000
175
50
300
150
50
100
2
*=
?
?
+
?
?
?
=
zB
S mm3
每根B种钉子受剪力：
658
10
1504166667
10
40
10
4125000
10
6
10
40
12
3
9
3
3
*
Q
Q
=
?
?
?
?
?
?
=
?
?
=
-
-
-
-
z
zB
B I
S
F
F N
4-18 由四块木板粘接而成的箱形截面梁，其横截面尺寸如图所示。已知横截面上沿铅垂方向的剪力F Q = 3.56kN。试求粘接接缝A、B两处的切应力。
解：8
2
310
3329
.1
25
127
)
2
229
(
229
25
12
1
2?
=
?
?
?
?
?
?
?
?
+
?
?
?
=
z
I mm4
5
*10
460
.1
2
229
25
)5.
12
2
127
(?
=
?
?
-
=
zA
S mm3
156
.0
10
333
.1
25
10
46
.1
10
56
.3
7
9
3
*
Q
=
?
?
?
?
?
=
=
-
-
-
z
zA
A
I
S
F
δ
τMPa
5
*10
176
.2
5.
114
25
76?
=
?
?
=
zB
S mm3
230
.0
156
.0
*
*
*
Q
=
?
=
=
zA
zB
z
zA
B
S
S
I
S
F
δ
τMPa
4-19 图示两根尺寸相同的木梁，左端用垫木和螺栓将二者固结在一起，右端用直径d = 10mm的钢制螺栓拧紧。若木梁中最大正应力不允许超过47MPa，钢制螺栓中最大正应力不允许超过400MPa，试分析当不断拧紧钢制螺栓时，木梁和钢制螺栓中的最大正应力哪一个先达到其极限值。
解：木梁视为悬臂梁，螺栓视为平面拉伸，设螺栓受力F，则
400
N
N
≤
=
A
F
σ
MPa （1）
木梁中固定端2
?
=
M
F
M
M P a
47
10
6
200
120
2
9
2
≤
?
?
=
=
-
M
M
F
W
M
σ
（2）
由（1）
N
31416
4
12
π
400
2
N
=
?
?
≤
F
（3）
由（2）N
18800
≤
M
F
（4）
由（3）、（4）式可知，木梁中最大正应力先达到极限值。
4-20 图中所示均为承受横向载荷的梁的横截面。若剪力均为铅垂方向，试画出各截面上的切应力流方向。
杆件受力变形及其应力分析
第三章 杆件受力变形及其应力分析 §３－１ 概 述 一、构件正常工作的基本要求 为了保证机器或工程结构的正常工作，构件必须具有足够的承受载荷的能力（简称承载能力）。为此，构件必须满足下列基本要求。１畅足够的强度例如，起重机的钢丝绳在起吊不超过额定重量时不应断裂；齿轮的轮齿正常工作时不应折断等。可见，所谓足够的强度是指构件具有足够的抵抗破坏的能力 。它是构件首先应满足的要求。图３－１ 构件刚度不够产生的影响２畅足够的刚度在某些情况下，构件受载后虽未破裂，但由于变形过量， 也会使机械不能正常工作。图３－１所示的传动轴，由于变 形过大，将使轴上齿轮啮合不良，轴颈和轴承产生局部磨损， 从而引起振动和噪声，影响传动精度。因此，所谓足够的刚 度是指构件具有足够的抵抗弹性变形的能力。 应当指出，也有某些构件反而要求具有一定的弹性变形 能力，如弹簧、仪表中的弹性元件等。３畅足够的稳定性例如千斤顶中的螺杆等类似的细长直杆，工作时当压力较小时，螺杆保持直线的平衡形式；当压力增大到某一数值时，螺杆就会突然变弯。这种突然改变原有平衡形式的现象称为失稳。因此，所谓足够的稳定性是指构件具有足够的保持原有平衡形式的能力。 上述的基本要求均与构件的材料、结构、截面形状和尺寸等有关。所以，设计时在保证构件正常工作的前提下，还应合理地选择构件的材料和热处理方法，并尽量减小构件的尺寸，以做到材尽其用，减轻重量和降低成本。 二、变形固体及其基本假设 自然界中的一切物体在外力作用下或多或少地总要产生变形。在本书第二章中，由于物体产生的变形对所研究的问题影响不大，所以在该章中把所有物体均视为刚体。而在图３－１中，如果轴上任一横截面的形心，其径向位移只要达到０畅０００５l （l 为轴的支承间的距离），尽管此时构件变形很小，但该轴已失去了正常工作的条件。因为这一微小变形是影响构件能否正常工作的主要因素。因此，在本章中所研究的一切物体都是变形固体。 在对构件进行强度、刚度和稳定性的计算时，为了便于分析和简化计算，常略去变形固体的 · 75·
材力第4章弹性杆件横截面上的切应力分析
第4章 弹性杆件横截面上的切应力分析 4－1 扭转切应力公式p /)(I M x ρρτ=的应用范围有以下几种，试判断哪一种是正确的。 （A ）等截面圆轴，弹性范围内加载； （B ）等截面圆轴； （C ）等截面圆轴与椭圆轴； （D ）等截面圆轴与椭圆轴，弹性范围内加载。 正确答案是 A 。 解：p )(I M x ρρτ=在推导时利用了等截面圆轴受扭后，其横截面保持平面的假设，同时推导过程中还应用了剪切胡克定律，要求在线弹性范围加载。 4－2 两根长度相等、直径不等的圆轴承受相同的扭矩受扭后，轴表面上母线转过相同的角度。设直径大的轴和直径小的轴的横截面上的最大切应力分别为max 1τ和max 2τ，切变模量分别为G 1和G 2。试判断下列结论的正确性。 （A ）max 1τ＞max 2τ； （B ）max 1τ＜max 2τ； （C ）若G 1＞G 2，则有max 1τ＞max 2τ； （D ）若G 1＞G 2，则有max 1τ＜max 2τ。 正确答案是 C 。 解：因两圆轴等长，轴表面上母线转过相同角度，指切应变相同，即γγγ==21由剪切胡克定律γτG =知21G G >时，max 2max 1ττ>。 4－3 承受相同扭矩且长度相等的直径为d 1的实心圆轴与内、外径分别为d 2、)/(222D d D =α的空心圆轴，二者横截面上的最大切应力相等。关于二者重之比（W 1/W 2）有如下结论，试判断哪一种是正确的。 （A ）234)1(α-； （B ）)1()1(2234αα--； （C ）)1)(1(24αα--； （D ）)1/()1(2324αα--。 正确答案是 D 。 解：由max 2max 1ττ=得 ) 1(π16π164 323 1 α-= D M d M x x 即 314 2 1)1(α-=D d （1） ) 1(2 2 22 1 2 12 1α-= = D d A A W W （2） （1）代入（2），得 23 2 42 11)1(α α--= W W 4-4 由两种不同材料组成的圆轴，里层和外层材料的切变模量分别为G 1和G 2，且G 1 = 2G 2。圆轴尺寸如图所示。圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动。关于横截面上的切应力分布，有图中所示的四种结论，试判断哪一种是正确的。 正确答案是 C 。 解：因内、外层间无相对滑动，所以交界面上切应变相等21γγ=，因212G G =，由剪切胡克定律得交界面上：212ττ=。 4-5 图示实心圆轴承受外扭转力偶，其力偶矩T = 3kN ·m 。试求： 习题4-4图
钢板杆单元应力应变分析
题目：求钢板杆单元的应力应变分析： 一．启动ANSYS。 选择使用菜单Main Menu：File > Change Jobname…打开change jobname对话框，在文本框中输入“lvban”作为新的工作名，然后按OK。 二．设定单元类型相应选项。 选择主菜单Main Menu：Preprocessor > Element Type > Add / Edit / Delete。选择Beam，选择2D elastic 3。 三．定义材料属性。 选择主菜单Main Menu：Preprocessor > Real Constants > Add / Edit / Delete。选择Add，按OK，AREA填横截面积0.0008m^2，IZZ填转动惯量2e-7 kg·m^2，HEIGHT填板的高度0.07m。
选择主菜单Main Menu：Preprocessor > Material Props > Material Models，选择Material Model Number 1，单击Structural，Linear，Elastic，Isotropic，在EX框填弹性模量2e11 Pa，在PRXY填泊松比0.3. 选择主菜单Main Menu：Preprocessor > Material Props > Material Models，选择Material Model Number 1，单击Structural，Density，在DENS框填密度7850 kg/m^3.单击Material，选择Exit.
四．创建基本模型。 选择主菜单Main Menu：Preprocessor > Modeling > Create > Nodes > In Active CS. 选择Apply 选择主菜单Main Menu：Preprocessor > Modeling > Create > Nodes > Fill between Nds，选取点1和点5，点OK，
梁弯曲时横截面上的正应力
梁弯曲时横截面上的正应力 在确定了梁横截面的内力之后，还需要进一步研究横截面上的应力与截面内力之间的定量关系，从而建立梁的强度设计条件，进行强度计算。 1、纯弯曲与横力弯曲 从火车轴的力学模型为图2-53a所示的外伸梁。画其剪力、弯矩图（见图2-53b、 同时存在，故梁在这些段内c）,在其AC、BD段内各横截面上有弯矩M和剪力F Q 发生弯曲变形的同时还会发生剪力变形，这种变形称为剪力弯曲，也称为横力弯 ，梁的这种弯曲称为纯弯曲。曲。在其CD段内各段截面，只有弯矩M而无剪力F Q 2、梁纯弯曲时横截面上的正应力 如图2-54a所示，取一矩形截面梁，弯曲前在其表面两条横向线m—m和n—n，再画两条纵向线a—a和b—b，然后在其两端外力偶矩M，梁将发生平面纯弯曲变形（见图2-54b)。此时可以观察到如下变形现象： ⑴横向线m—m和n—n任为直线且与正向线正交，但绕某点相对转动了一个微小角度。 ⑵纵向线a—a和b—b弯成了曲线，且a—a线缩短，而b—b线伸长。 由于梁内部材料的变化无法观察，因此假设横截面在变形过程中始终保持为平面，这就是纯梁弯曲时的；平面假设。可以设想梁由无数条纵向纤维组成，且纵
向纤维间无相互的挤压作用，处于单向受拉或受压状态。 从图2-54b 中可以看出，；梁春弯曲时，从凸边纤维伸长连续变化到凹边纤维缩短，期间必有一层纤维既不伸长也不缩短，这一纵向纤维层称为中性层（见图2-54c ）。中性层与横截面的交线称为中性轴。梁弯曲时，横截面绕中心轴绕动了一个角度。 由上述分析可知，矩形截面梁弯曲时的应力分布有如下特点： ⑴中性轴的线应变为零，所以其正应力也为零。 ⑵距中性轴距离相等的各点，其线应变相等。根据胡克定律，它们的正应力也必相等。 ⑶在图2-54b 所示的受力情况下，中性轴上部分各点正应力为压应力（即负值），中性轴下部分各点正应力为拉应力（即正值）。 ⑷横截面上的正应力沿y 轴呈线性分布，即ky =σ（k 为特定常数），如图2-55、图2-56所示。最大正应力（绝对值）在离中性轴最远的上、下边缘处。 由于距离中性层上、下的纵向纤维的线应变与到中性层的距离y 成正比，当其正应力不超过材料的比例极限时，由胡克定律可知 y E y E E ?=?=?=ρρεσ 2-24 对于指定的横截面，ρE 为常数（即为上述k 的值）看，由于此时梁轴线的曲率 半径ρ还是一个未知量，通过静力学平衡关系∑z F )(=0，可得
一、横截面上的切应力
一、横截面上的切应力 实心圆截面杆和非薄壁的空心圆截面杆受扭转时，我们没有理由认为它们在横截面上的切应力象薄壁圆筒中那样沿半径均匀分布 导出这类杆件横截面上切应力计算公式，关键就在于确定切应力在横截面上的变化规律。即横截面上距圆心τp任意一点处的切应力p与p的关系 为了解决这个问题，首先观察圆截面杆受扭时表面的变形情况，据此做出内部变形假设，推断出杆件内任意半径p处圆柱表面上的切应变γp，即γp与p的几何关系利用切应力与切应变之间的物理关系，再利用静力学关系求出横截面上任一点处切应力τp的计算公式 实验表明：等直圆杆受扭时原来画在表面上的圆周线只是绕杆的轴线转动，其大小和形状均不变，而且在小变形情况下，圆周线之间的纵向距离也不变 图8-56 扭转时的平面假设：等直圆杆受扭时它的横截面如同刚性圆盘那样绕杆轴线转动显然这就意味着：等直圆杆受扭时，其截面上任一根沿半径的直线仍保持为直线，只是绕圆心旋转了一个角度φ 图8-57 现从等直圆杆中取出长为dx的一个微段，从几何、物理、静力学三个方面来具体分析圆杆受扭时的横截面上的应力
图8-58 1.几何方面 小变形条件下 dφ为dx长度内半径的转角，γ为单元体的角应变 图8-59 或 因为dφ和dx是一定的，故越靠近截面中心即半径R越小，角应变γ也越小且γ与R成正比例(或线性关系) 由平面假设：对同一截面上各点 θ表示扭转角沿轴长的变化率，称为单位扭转角，在同一截面上其为常数
所以截面上任一点的切应力与该点到轴心的距离p成正比 p为圆截面上任一点到轴心距离，R为圆轴半径 图8-60 上式为切应力的变化规律 2.物理方面(材料在线性弹性范围内工作)由剪切胡克定律 由于G和为常数，所以 上式表明受扭等直圆杆在线性弹性范围内工作时，横截面上的切应力在同一半径p 的圆周上各点处大小相同，但它们随p做线性变化 同一横截面上的最大切应力在横截面的边缘处。这些切应力的方向均垂直于各自所对应的半径，指向与扭矩对应 3.静力学方面 前面已找出了受扭等直圆杆横截面上的切应力τp随p变化的规律，但还没有把与扭矩T联系起来。所以一般情况下还不能计算τp的大小 现利用静力学关系求T
杆件的应变能及其应用分析
第十四章杆件的应变能及其应用 一、教学目标和教学内容 1．教学目标 让学生掌握杆件弹性应变能的有关概念。 理解和掌握在工程力学有广泛应用的能量方法。 掌握功能原理、功的互等定理、位移互等定理、卡氏定理。 能够熟练地计算基本变形杆件和常见的组合变形杆件的应变能。 对于简单结构应变能，也能够完成应变能的计算。 能够较为熟练地应用卡氏第二定理，完成杆件的位移计算，并可以求解简单超静定问题。为进一步在结构力学等后续课程中，学习和应用能量方法奠定基础。 2．教学内容 介绍能量法的有关概念。例如，外力的功、应变能、比能等等。 介绍基本变形杆件应变能计算和组合变形杆件应变能计算。 讲解功能原理、功的互等定理和位移互等定理。 讲解余能概念和卡氏定理。 二、重点难点 重点：建立应变能等有关概念。 基本变形杆件和常见的组合变形杆件的应变能的计算。 卡氏第二定理及其应用。 难点：杆件应变能计算中的可否叠加问题。 对于广义力和相应广义位移的正确理解和认识。 应用卡氏第二定理求位移时，如何正确地选取或设定与位移相应的广义力。 能否正确写出内力方程，灵活地进行先求偏导数再积分的运算。三、教学方式 采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。 四、建议学时 6学时 五、讲课提纲 1、弹性应变能与功能原理 弹性体在荷载作用下将发生变形，外力作用点要产生位移．因此，在弹性体的变形过程中，外力沿其作用方向做了功，称为外力功。对于弹性体，因为变形是可逆的，外力功将以一种能量形式积蓄在弹性体内部。当将荷载逐渐卸除时，该能量又将重新释放出来作功，使弹性体恢复到变形前的形状。例如钟表里的发条在被拧紧的过程中，发生了弹性变形而积蓄了能量，在它放松的过程中可带动指针转动，从而发条就作了功。弹性体伴随弹性变形积蓄了能量，从而具有对外界作功的潜在能力，通常把这种形式的能量称为弹性应变能（Dlastic strain
扭转时横截面上的应力
第三节扭转时横截面上的应力 一、应力分布规律 为了建立扭转的强度条件，在求出了圆轴各截面上的扭矩值后，还需要进一步研究扭转应力的分布规律，因而需要研究扭转变形。下面通过一个具体的实例来看看扭转变形。 取一根橡胶圆棒，为观察其变形情况，试验前在圆棒的表面画出许多圆周线和纵向线，形成许多小矩形，见上图。在轴的两端施加转向相反的力偶矩m A、m B，在小变形的情况下，可以看到圆棒的变形有如下特点： 1．变形前画在表面上的圆周线的形状、大小都没有改变，两相邻圆周线之间的距离也没有改变； 2．表面上的纵向线在变形后仍为直线，都倾斜了同一角度γ，原来的矩形变成平行四边形。两端的横截面绕轴的中心线相对转动了一个角度?，叫做相对扭转角，见下图。观看动画，理解微元体的获得。
通过观察到的表面现象，可以推理得出以下结果： ★各横截面的大小、形状在变形前后都没有变化，仍是平面，只是相对地转过了一个角度，各横截面间的距离也不改变，从而可以说明轴向纤维没有拉、压变形，所以，在横截面上没有正应力产生； ★圆轴各横截面在变形后相互错动，矩形变为平行四边形，这正是前面讨论过的剪切变形，因此，在横截面上应有剪应力； ★变形后，横截面上的半径仍保持为直线，而剪切变形是沿着轴的圆周切线方向发生的。所以剪应力的方向也是沿着轴的圆周的切线方向，与半径互相垂直。 由此知道扭转时横截面上只产生剪应力，其方向与半径垂直。 下面进一步讨论剪应力在横截面上的分布规律。 为了观察圆轴扭转时内部的变形情况，找到变形规律，取受扭转轴中的微段dx来分析(上图a)。假想O2DC截面象刚性平面一样地绕杆轴线转动d?，轴表面的小方格ABCD歪斜成平行四边形ABC'D'，轴表面A点的剪应变就是纵线歪斜的角γ，而经过半径O2D上任意点H的纵向线EH在杆变形后倾斜了一个角度γρ，它也就是横截面上任一点E处的剪应变。应该注意，上述剪应变都是在垂直于半径的平面内的。设H点到轴线的距离为ρ，由于构件的变形通常很小，即 所以 (a) 由于截面O2DC象刚性平面一样地绕杆轴线转动，图上△O2HH'与△O2DD'相似，得 (b) 将式(b)代入(a)式得(1-40)
机械零件的应力应变分析
§3－3机械零件的应力应变分析 一、拉（压）杆应力应变分析 （一）应力分析 前面应用截面法，可以求得任意截面上内力的总和，现在进一步分析横截面上的应力情况，首先研究该截面上的内力分布规律，内力是由于杆受外力后产生变形而引起的，我们首先通过实验观察杆受力后的变形现象，并根据现象做出假设和推论；然后进行理论分析，得出截面上的内力分布规律，最后 确定应力的大小和方向。 现取一等直杆，拉压变形前在其表面上画垂直于杆轴的直线和（图3-28）。拉伸变形后，发现 和仍为直线，且仍垂直于轴线，只是分别平行地移动至和。于是，我们可以作出如下假设： 直杆在轴向拉压时横截面仍保持为平面。根据这个“平面假设”可知，杆件在它的任意两个横截面之间的伸长变形是均匀的。又因材料是均匀连续的，所以杆件横截面上的内力是均匀分布的，即在横截面上各点处的正应力都相等。若杆的轴力为，横截面积为,,于是得： ???????????????????????? (3－2) 这就是拉杆横截面上正应力的计算公式。当为压力时，它同样可用 于压应力计算。规定拉应力为正，压应力为负。 例3－3? 图3-29（a）为一变截面拉压杆件，其受力情况如图示，试确定其危险截面。 解? 运用截面法求各段内力，作轴力图[图3-29（b）]： 段：????????? 段： 段：???????? 段： 根据内力计算应力，则得： 段：????????? 段：
段： 最大应力所在的截面称为危险截面。由计算可知，段和段为 危险截面。 （二）、拉（压）杆的变形 杆件受轴向拉力时，纵向尺寸要伸长，而横向尺寸将缩小；当受轴 向压力时，则纵向尺寸要缩短，而横向尺寸将增大。 设拉杆原长为，横截面面积为(图3-30)。在轴向拉力P作用下， 长度由变为，杆件在轴线方向的伸长为, 。 实验表明，工程上使用的大多数材料都有一个弹性阶段，在此阶段范围内，轴向拉压杆件的伸长或缩短量，与轴力和杆长成正比，与横截面积成反比。即，引入比例常数则得到： ??????????????????? （3－3） 这就是计算拉伸（或压缩）变形的公式，称为胡克定律。比例常数称为材料的弹性模量，它表征材料抵抗弹性变形的性质，其数值随材料的不同而异。几种常用材料的值已列入表3－1中。从公式（3－3）可以看出，乘积越大，杆件的拉伸（或压缩）变形越小，所以称为杆件的抗拉（压） 刚度。 上式改写为： 其中，而表示杆件单位长度的伸长或缩短，称为线应变(简称应变)，即。是一个无 量纲的量，规定伸长为正，缩短为负。 则（3－3）式可改写为：????????????????????????????????????????????? ?????????????????????????????????????????????????????? （3-4）式（3-17）表示，在弹性范围内，正应力与线应变成正比。这一关系通常称为单向胡克定律。 杆件在拉伸（或压缩）时，横向也有变形。设拉杆原来的横向尺寸为，变形后为（图3-30），则 横向应变为： 实验指出，当应力不超过比例极限时，横向应变与轴向应变之比的绝对值是一个常数。即 称为横向变形系数或泊松比，是一个无量纲的量。和弹性模量E一样，泊松比也是材料固有的弹 性常数。 因为当杆件轴向伸长时，横向缩小；而轴向缩短时，横向增大，所以和符号是相反的。
第三章 杆件横截面上的应力应变分析
第三章杆件横截面上的应力应变分析 利用截面法可以确定静定问题中的杆件横截面上的内力分量，但内力分量只是横截面上连续分布内力系的简化结果，仅根据内力并不能判断杆件是否有足够的强度。如用同一种材料制成粗细不同的两根杆，在相同的拉力作用下，两杆的轴力是相同的，当拉力增大时，细杆必定先被拉断。这说明拉杆的强度不仅与轴力大小有关，还与横截面面积有关，因此还必须引入内力集度的概，即应力的概念。本章在此基础上分别讨论了杆件在拉压、扭转和弯曲三种基本变形和组合变形下横截面上应力的分布规律，导出了应力计算公式，为后面对杆件进行强度计算打下了基础。 第一节应力、应变及其相互关系 一、正应力、剪应力 观察图3-1a所示受力杆件，在截面上围绕K点取微小面积，其上作用有微内力，于是在上内力的平均集度为： （3-1） 亦称为面积上的平均应力。一般来说截面上的内力并不均匀分布，因此平均应力随所取ΔA的不同而变化。当ΔA趋向于零时，的大小方向都将逐渐趋于某一极限。 (3-2) 式中,p称为K点的应力，它反映内力系在K点的强弱程度。p是一个矢量，一般说既不与截面垂直，也不与截面相切。通常将其分解为垂直于截面的应力分量和相切于截面的应力分量(图3-1b)。称为正应力，称为切应力。 在国际单位制中，应力的单位是牛顿/米2（N/M2），称为帕斯卡，简称帕（Pa）。由于这个单位太小，通常使用兆帕（MPa），1MPa = 106Pa。 二、正应变、切应变
杆件在外力作用下，其尺寸或几何形状将发生变化。若围绕受力弹性体中任意点截取一个微小正六面体（当六面体的边长趋于无限小时称为单元体），六面体的棱边边长分别为Δx 、Δy 、Δz （图3-2 ）。把该六面体投影到xy平面（图3-2b）。变形后，六面体的边长和棱边夹角都将发生变化(图3-2c)。变形前长为Δx的线段MN，变形后长度为Δx+Δs。相对变形 (3-3) 表示线段MN单位长度的平均伸长或缩短，称为平均应变。当Δx趋向于零，即点N趋向于M点时，其极限为 (3-4) 式中，ε称为M点沿x方向的线应变或正应变，ε为无量纲量。用完全相似的方法，还可讨论沿y和z方向的线应变。 弹性体的变形不但表现为线段长度的改变，而且正交线段的夹角也将发生变化，变形前MN 和ML正交，变形后变为∠LˊMˊNˊ，变形前后角度的变化是（π/2-∠LˊMˊNˊ）。当N和L趋于M点时，上述角度变化的极限值称为M点在xy平面内的切应变。 =(π/2-∠LˊMˊNˊ) (3-5) ε为无量纲量；的单位为rad（弧度），它们是度量一点处变形程度的两个基本量。构件是由无数的点组成的，各点处应变的累积将形成构件的变形。 三、虎克定律 由正应力、切应力、正应变与切应变的定义可以看出，与线应变ε相对应的应力是正应力σ，与切应变相对应的是切应力τ。试验表明，对于工程中常用材料制成的杆件，在弹性范围内加载时（应力小于某一极限值），若所取微元只承受单方向正应力或只承受切应力，则正应力与线应变以及切应力与切应变之间存在着线性关系： σ=Eε(3-6) τ=G(3-7)
梁弯曲时横截面上的正应力
# 梁弯曲时横截面上的正应力 在确定了梁横截面的内力之后，还需要进一步研究横截面上的应力与截面内力之间的定量关系，从而建立梁的强度设计条件，进行强度计算。 1、纯弯曲与横力弯曲 从火车轴的力学模型为图2-53a所示的外伸梁。画其剪力、弯矩图（见图2-53b、 同时存在，故梁在这些段内c）,在其AC、BD段内各横截面上有弯矩M和剪力F Q 发生弯曲变形的同时还会发生剪力变形，这种变形称为剪力弯曲，也称为横力弯曲。在其CD段内各段截面，只有弯矩M而无剪力F ，梁的这种弯曲称为纯弯曲。 Q 2、梁纯弯曲时横截面上的正应力 如图2-54a所示，取一矩形截面梁，弯曲前在其表面两条横向线m—m和n—n，再画两条纵向线a—a和b—b，然后在其两端外力偶矩M，梁将发生平面纯弯曲变形（见图2-54b)。此时可以观察到如下变形现象： ⑴横向线m—m和n—n任为直线且与正向线正交，但绕某点相对转动了一个微小角度。 》 ⑵纵向线a—a和b—b弯成了曲线，且a—a线缩短，而b—b线伸长。 由于梁内部材料的变化无法观察，因此假设横截面在变形过程中始终保持为平面，这就是纯梁弯曲时的；平面假设。可以设想梁由无数条纵向纤维组成，且纵向纤维间无相互的挤压作用，处于单向受拉或受压状态。 从图2-54b中可以看出，；梁春弯曲时，从凸边纤维伸长连续变化到凹边纤维缩短，期间必有一层纤维既不伸长也不缩短，这一纵向纤维层称为中性层（见图2-54c）。中性层与横截面的交线称为中性轴。梁弯曲时，横截面绕中心轴绕动了一个角度。 由上述分析可知，矩形截面梁弯曲时的应力分布有如下特点： ⑴中性轴的线应变为零，所以其正应力也为零。 ⑵距中性轴距离相等的各点，其线应变相等。根据胡克定律，它们的正应力也必
本章应力和应变分析与强度理论的知识结构框图
本章应力和应变分析与强度理论重点、难点、考点 本章重点是应力状态分析，要掌握二向应力状态下斜截面上的应力、主应力、主平面方位及最大切应力的计算。能够用广义胡克定律求解应力和应变关系。理解强度理论的概念，能够
按材料可能发生的破坏形式，选择适当的强度理论。 难点主要有 ① 主平面方位的判断。当由解析法求主平面方位时，结果有两个相差 90 ”的方位角，一般不容易直接判断出它们分别对应哪一个主应力，除去直接将两个方位角代人式中验算确定的方法外，最简明直观的方法是利用应力圆判定，即使用应力圆草图。还可约定y x σσ≥，则两个方位中绝对值较小的角度对应max σ所在平面。 ② 最大切应力。无论何种应力状态，最大切应力均为2/)(31max σστ-=，而由式（ 7 一 l ）中第二式取导数0d d =α τα得到的切应力只是单元体的极值切应力，也称为面内最大切应力，它仅对垂直于Oxy 坐标平面的方向而言。面内最大切应力不一定是一点的所有方位面中切应力的最大值，在解题时要特别注意，不要掉人“陷阱”中。 本章主要考点： ① 建立一点应力状态的概念，能够准确地从构件中截取单元体。 ② 二向应力状态下求解主应力、主平面方位，并会用主单元体表示。会计算任意斜截面上的应力分量。 ③ 计算单元体的最大切应力。 ④ 广义胡克定律的应用。 ⑤ 能够选择适当的强度理论进行复杂应力状态下的强度计算，会分析简单强度破坏问题的原因。 本章习题大致可分为四类： ( l ）从构件中截取单元体这类题一般沿构件截面截取一正六面体，根据轴力、弯矩判断横截面上的正应力方向，由扭矩、剪力判断切应力方向，单元体其他侧面上的应力分量由力平衡和切应力互等定理画完整。特别是当单元体包括构件表面（自由面）时，其上应力分量为零。 ( 2 ）复杂应力状态分析一般考题都不限制采用哪一种方法解题，故最好采用应力圆分析，它常常能快速而有效地解决一些复杂的问题。 ( 3 ）广义胡克定律的应用在求解应力与应变关系的题目中，不论构件的受力状态，均采用广义胡克定律，即可避免产生不必要的错误，因为广义胡克定律中包含了其他形式的胡克定律。 ( 4 ）强度理论的应用对分析破坏原因的概念题，一般先分析危险点的应力状态，根据应力状态和材料性质，判断可能发生哪种类型的破坏，并选择相应的强度理论加以解释。计算题一般为组合变形构件的强度分析（详见第 8 章）与薄壁容器的强度分析，薄壁容器可利用平衡条件求出横截面与纵向截面上的正应力，由于容器的对称性，两平面上无切应力，故该应力即为主应力，并选择第三或第四强度理论进行强度计算。
坝体的有限元建模与应力应变分析1
Project2 坝体的有限元建模与应力应变分析 计算分析模型如图2-1 所示, 习题文件名: dam 。 图2－1 坝体的计算分析模型 选择单元类型Solid Quad 4node 42 Options… →select K3: Plane Strain 定义材料参数EX:2.1e11, PRXY:0.3 模型施加约束 ? 分别给下底边和竖直的纵边施加x 和y 方向的约束 ? 给斜边施加x 方向的分布载荷： ANSYS 命令菜单栏: Parameters →Functions →Define/Edit →1) 在下方的下拉列表框内选择x ,作为设置的变量；2) 在Result 窗口中出现{X},写入所施加的载荷函数：1000*{X}； 3) File>Save(文件扩展名：func) →返回：Parameters →Functions →Read from file ：将需要的.func 文件打开，任给一个参数名，它表示随之将施加的载荷→OK →ANSYS Main Menu: Solution →Define Loads →Apply →Structural →Pressure →On Lines →拾取斜边；OK →在下拉列表框中，选择：Existing table →OK →选择需要的载荷参数名→OK 单元控制 纵边20等分；上下底边15等分 结果显示 ANSYS Main Menu: General Postproc →Plot Results →Deformed Shape… → select Def + Undeformed →OK (back to Plot Results window)→Contour Plot →Nodal Solu… →select: DOF solution, UX,UY, Def + Undeformed , Stress ,SX,SY,SZ, Def + Undeformed →OK