(完整word版)3。2 正规子群与商群
§3.2 正规子群与商群
对一般的群G 及N G ≤，左、右陪集不一定相等，即一般aN Na ≠， （见上一章例子，3,{(1),(12)}G S N ==，(13)(13)N N ≠）。
但对某些群G 及其子群N G ≤，总有性质：,a G aN Na ?∈=。 例如，取3,G S = 3{(1),(123),(132)},N A G ==≤ 则当
a 取3(1),(123),(132)A ∈时，总有aN Na =。而当a 取(12),(13),(23)时， (12){(12),(23),(13)}(12)N N ==，
(13){(13),(23),(12)}(13)N N ==，
(23){(23),(13),(12)}(23)N N ==，
所以3a G S ?∈=，都有aN Na =。
再比如，交换群的子群总满足上述性质。
设G 是群，N G ≤，若,a G aN Na ?∈=有，则 称N 是G 的正规子群（Normal subgroup ），记作N G 。
由前面，3A 是3S 的正规子群：3
3.A S
交换群的子群都是正规子群；
任何群的中心都是的正规子群：()C G G 。
{}e 和G 总是G 的正规子群，称为平凡正规子群，其余的正规子 群称为非平凡正规子群。
定理1. 设N G ≤，则 1,N
G a G aNa N -??∈?有； ?,,a G x N ?∈?∈ 都有1.axa N -∈
例1 证明n n A S 。
例2. 设(){|(),||0}n n G GL R A A M R A =∈≠且，
(){|||1}n N SL R A A R A =∈=，且， 证明：N G 。
证明：,X G A N ?∈?∈，则
111||||||||||||||||1,X AX X A X X A X A ---==== 从而，1X AX N -∈，所以N G 。
例3 证明：{}44(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23)K S =。
证明：注意，4K 中除单位元之外其余3个元素是4S 中仅有的2
阶偶置换。现44,x K S σ?∈?∈，则1x σσ-的阶为2且是偶置换，
从而14x K σσ-∈，故44K S 。
由,H K K N H N ≤≤?≤，即子群具有传递性。
但正规子群不具有传递性，即由,H K K N 推不出H
N 。 例如，由例3，4
4K S 。现取{}44(1),(12)(34)B K =≤，由于4K 是 交换群，显然有44B K 。但是4B 不是4S 的正规子群，因为取
4(13)S ∈，有{}{}44(13)(13),(1234)(13),(1432)(13)B B =≠=。
上一章有：一个群的两个子群的乘积不一定是子群，但是下面 定理表明：两个正规子群的乘积还是正规子群。
1）设N G ，H G ≤，记{|,}NH nh n N h H =∈∈，则NH G ≤；
（2）若N G ，H G ，则.NH G
证明 （1）注意NH G NH HN ≤?=。
(,)nh NH n N h H ?∈∈∈，由N G 有hN Nh =，故
nh Nh hN HN ∈=?，从而NH HN ?。
同理可证HN NH ?。所以NH HN =，NH G ≤。
（2）首先由（1）NH G ≤。其次，a G ?∈，有
()()()()()()a NH aN H Na H N aH N Ha NH a =====，
所以 .NH G
设:f G G →是群G 到群G 的满同态，则
（1）()N
G f N G ?，即正规子群的像还是正规子群； （2）1()N G f N G -?，即正规子群的逆像还是正规子群。 证明 （1）设N G ，有上一节有()f N G ≤。再(),,n f N a G ?∈?∈ 由f 满射有,,n N a G ∈∈ 使得(),()n f n a f a ==。于是
1111()()()()()()()ana f a f n f a f a f n f a f ana ----===。
由于N G ，所以1ana N -∈，从而1
()ana f N -∈，即()f N G 。
（2）可类似证明，见上一节。
定义：设N G ≤，用G N 表示N 在G 中的全部陪集的集合（不分 左、右），即
{|}G aH a G H =∈。
在G N 中定义运算如下：,,G aN bN N ?∈ 规定
((()aN bN ab N ?）
）=。
定理4. G N 关于上面定义的运算构成群，叫做G 对N 的商群。
其中，G
N 的单位元为eN N =；11()aN a N --=。
例4. 设4{,,,}G K e a b c ==，取{,}N e a =，则可验证：N
G （G 交换群），此时
{}{,,,}{,},{,}G eN aN bN cN e a b c N ==。
{,}e a 是G N 的单位元，{,}{,}{,}e a b c b c =；{,}{,}{,}b c b c e a =。
例5. 设,n G S = ,n N A = 则
{,}n n n n S A B A =，其中n B 是全体奇置换 的集合。n A 是n n S A 的单位元，n n n A B B =，n n n B B A = 注意，n B 可以写成(12).n n B A =
注意：在商群G N 中，a G ?∈，有()k k aN a N =；||(:)G G N N
=；
对有限群还有
||||(:)||
G G G N N N ==。 商群的应用 定理5 设G 是一个pn 阶的有限交换群，其中p 是素数，则G 有 p 阶元，从而G 有p 阶子群。 证明 对n 用数学归纳法。
当1n =时，G 是p 阶循环群，G 的非单位元都是p 阶元，定理成立。 假设定理对阶数为(1)pk k n ≤<的有限交换群成立，以下证对阶数 为pn 的有限交换群也成立。a G ?∈且a e ≠。
（1）若||p a ，令||a ps =，则||s a p =，s a G ∈，s a 是G 的一个
p 阶元， 定理成立。
（2）若p 不整除||a ，记||a m =，则1,(,)1m m p ≠=。由于||||a G ， 即|m pn ，所以|m n 。令H a =<>，由G 交换群得H G ，且 ||||G n G p H H m ==。此时G H 是一个(1)n pk k n m ≤=<阶的有限交 换群。由归纳假设，G H 存在p 阶元，设为()bH b G ∈，||bH p =。
令||b r =，则
()r r bH b H eH H ===，从而|p r 。设r pt =，由 ||b r pt ==得||t b p =，t b 是G 的一个p 阶元，定理成立。 推论 pq (,p q 为互异素数)阶交换群必为循环群。 证明 设||G pq =，G 交换群。由定理5，G 有p 阶元a 和q 阶元b 。 又因为,p q 为互异素数，且ab ba =，所以||||ab pq G ==，从而 G 是由ab 生成的循环群。
例如，623=?阶交换群只能是6阶循环群；1025=?阶交换群只 能是10阶循环群，…。
注意：推论对非交换群不成立。例如3||623S ==?，3S 不是循环
群.
（1）哈密尔顿群：如果G 是一个非交换群，且G 的每个子群都
是正规子群，则称G 是一个哈密尔顿群。
例6 四元数群{}81,,,,1,,,Q i j k i j k =----是哈密尔顿群。 证明 首先8Q 是非交换群。其次由Lagrange 定理及其推论，可以
找出8Q 的真子群只有{}1,1-，{}1,1,,i i --，{}1,1,,j j --，{}1,1,,k k --。
其中{}1,1-显然是8Q 的正规子群。对{}1,1,,N i i =--，不难检验
{}1,,,,1,,,x i j k i j k ?∈----， xN Nx =恒成立，所以{}1,1,,i i --是 8Q 的正规子群。同理，{}1,1,,j j --，{}1,1,,k k --也是8
Q 的正规子群。从而8Q 是哈密尔顿群。
注意：1，2，3，5，7阶群都是循环群，因而是交换群，从而都 不是哈密尔顿群。再由上一节例3和习题，4阶和6阶群也都不 是哈密尔顿群。因此，例4表明，四元数群8Q （8阶）是阶数最
小的哈密尔顿群。
（2）单群：阶数大于1且只有平凡正规子群的群称为单群
（交换非交换都可以）。
例如，素数阶的群一定是单群。另外，由例3得交错群4A 不是 单群，因为44K A 。而23,A A （1阶，3阶）显然是单群。又当 5n ≥时，可以证明n A 都是单群（证明略）。这样，4A 是所有交 错群中唯一的非单群。
另外还可以证明：当3n ≥且4n ≠时，n S 的正规子群只有{(1)}， n A 和它自己n S ，这样n S 几乎是单群（仅有一个非平凡正规子群）。
单群可以分为交换单群和非交换单群两大类。其中有限交换 单群的结构非常简单，即
有限交换群G 是单群当且仅当它是素数阶的循环群。 证明 首先，素数阶的循环群一定是单群。
反之，设G 是一个有限交换单群且||1G n =>。a G ?∈且a e ≠， 若||a n <，由于G 是交换群，所以由a 生成的子群a <>是G 的 一个非平凡正规子群，这与G 是单群矛盾。因此必有||a n =， 这样G 是一个n 阶循环群。再由循环群的子群定理，n 必为素数。（否则，n 的每个正因子都对应一个真子群，与G 是单群矛盾）。这样G 只能是素数阶的循环群。
非交换单群的确定远比交换单群复杂。
三次函数的对称中心与切线条数
三次函数的对称中心与切线条数问题 证明：三次函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠一定有对称中心。 提示：可根据奇函数图像的平移得到。 分析：我们知道奇函数的图像关于原点对称，所以要证结论成立，只需证任意一个三次函数都可以由关于原点对称的三次函数（奇函数）平移得来，也即任意的三次函数都可以写成3()()y a x m k x m n =-+-+的形式，因为上述函数图像可以看成奇函数3y ax kx =+按向量(,)m n 平移之后的结果，一定是中心对称图形 展开得：32233(3)()y ax amx am k x n km am =-+++-- 与32y ax bx cx d =+++比较系数得：23 33am b am k c n km am d -=?? +=??--=? 容易发现，上述方程组一定是有解的，解得：3b m a =- 故三次函数一定是中心对称图形，且对称中心为(,())33b b f a a - - 问题：过三次函数图像上一点00(,)P x y 能作三次函数图像多少条切线？ 分析：由于三次函数有对称中心，可假设其对称中心在原点，设3()f x ax bx =+，则2()3f x ax b '=+ 设11(,)Q x y 为函数图像上任意一点，则以Q 为切点的切线为21111(3)()y y ax bx x x -=+- 将点00(,)P x y 代入得：201101(3)()y y ax b x x -=+-，即3 320 011101()(3)()ax bx ax bx ax b x x +-+=+- 整理得：3231010 230x x x x -+=，问题转化为关于1x 的方程323 1010230x x x x -+=有几个实根的问题 为了看起来习惯，我们将上述方程中的1x 换成x ，即323 00 230x x x x -+= ① 显然当00x =时，方程①即为30x =，解得：0x =，故过(0,0)能作函数图像的一条切线 当00x ≠时，由方程①解得：0x x =或02x -，故过00(,)x y 能作函数图像的两条切线 问题：过三次函数图像外任意一点能作三次函数图像多少条切线？ 分析：根据三次函数中心对称的特征，我们知道一定可以将函数图像平移至关于原点对称，而本问题的结论显然只与点P 与三次函数图像的相对位置有关，故可简单地考虑三次函数对称中心在坐标原点的情形，设三次函数的解析式为3()f x ax bx =+，并且不妨设0a >，这两个假设并不会影响本结论的一般性。 设点00(,)P x y 为平面上任意一点，易求得函数在坐标原点（对称中心）处的切线方程为y bx = 设3111(,)x ax bx +为()y f x =上任意一点，则该点处的切线方程为：321111()(3)()y ax bx ax b x x -+=+- 将点P 代入得：32011101()(3)()y ax bx ax b x x -+=+- 问题转化为讨论方程3200()(3)()y ax bx ax b x x -+=+-有几个解的问题 将上述方程化简得：32000230ax ax x y bx -?+-= 令32000()23g x ax ax x y bx =-?+-，则：0()6()g x ax x x '=- 注意到000()()g x y f x =-，00(0)g y bx =-，下面讨论函数()g x 的零点个数
正规子群
§3.4 正规子群同态基本定理 在本节中讨论群的同态基本定理。首先考虑一种特殊的等价关系。 3.4.1 定理H是G的子群，在G上定义二元关系~如下： a ~ b当且仅当ab-1∈H，则~是G上等价关系。 证(1) 任给a∈G，都有aa-1 = e∈H，所以a ~ a； (2) 任给a, b∈G，如果a ~ b，则ab-1∈H，所以ba-1 = (b-1)-1a-1 = (ab-1)-1∈H，因此b ~ a； (3) 任给a, b, c∈G，如果a ~ b且b ~ c，则ab-1, bc-1∈H，所以ac-1 = aec-1 = a(b-1b)c-1 = (ab-1)(bc-1)∈H，因此a ~ c。■这种等价关系记为~H，称为由H生成的等价关系。由H生成的等价关系中的等价类有一个明显的表示。 3.4.2 定理H是G的子群，~H是由H生成的等价关系。 (1) 任给a∈G，都有a= Ha = {ha | h∈H}。特别地，e= He = H。 (2) 任给a∈G，都有|a|= |H|。 证(1) 任给x∈a，都有x ~H a，由~H的定义得xa-1∈H，设xa-1 = h∈H，则x = xe = x(a-1a) =(xa-1)a = ha，因此y∈Ha。 任给x∈Ha，都存在h∈H，使得x = ha，所以xa-1 = (ha)a-1 = h(aa-1) = he = h∈H，由~H的定义得x ~H a，因此x∈|a|。 (2) 取H到a的映射F：H→a F(h) = ha。 显然F是满射。 任给x, y∈H，如果F(x) = F(y)，则xa = ya，由消去律得x = y，所以F是单射。 因为F是双射，所以|a| = |H|。■ 因为e= H，所以a~H b当且仅当ab-1∈H=e当且仅当ab-1~H e。 1
三次函数性质总结
三次函数性质的探索 我们已经学习了一次函数，知道图象是单调递增或单调递减，在整个定义域上不存在 最大值与最小值，在某一闭区间取得最大值与最小值．那么，是什么决定函数的单调性呢？ 利用已学过的知识得出：当k>0时函数单调递增；当k<0时函数单调递增；b决定函数与y轴相交的位置． 其中运用的较多的一次函数不等式性质是： 在上恒成立的充要条件 接着，我们同样学习了二次函数， 利用已学知识归纳得出：当时(如图1) ，在对称轴的左侧单调递减、右侧单调递增， 对称轴 上取得最小值； 当时(图2) ，在对称轴的左侧单调递增、右侧单调递减， 对称轴 上取得最大值． 在某一区间取得最大值与最小值． 其中决定函数的开口方向，同时决定对称轴，决定函数与轴相交的位置． 总结：一次函数只有一个单调性，二次函数有两个单调性，那么三次函数是否就有三个单调性呢？ 三次函数专题 一、定义 定义1 形如的函数，称为“三次函数”（从函数解析式的结构上命名）。 定义 2 三次函数的导数 ，把叫做三次函数导函数的判 别式。 由于三次函数的导函数是二次函数，而二次函数是高中数学中的重要内容，所以三次函数的问题，已经成为高考命题的一个新的热点和亮点。 系列探究1： 从最简单的三次函数开始 反思1 ：三次函数的相关性质呢？ 反思2 ：三次函数的相关性质呢？ x y O
反思3 ：三次函数的相关性质呢？ 例题 1.（2012天津理4） 函数在区间内的零点个数是( ) （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 探究一般三次函数的性质： 先求导 1、单调性： （1 ）若，此时函数() f x在R上是增函数； （2 ）若 ，令两根为 12 ,x x 且， 则 在 上单调递增，在上单调递减。 导函数 图 象 极值点 个数 2 0 2 0 2、零点 (1) 若0 3 2≤ -ac b，则恰有一个实根； (2) 若,且，则恰有一个实根； (3) 若,且，则有两个不相等的实根； (4) 若,且，则有三个不相等的实根. 说明: (1)(2) 有一个实根的充要条件是曲线与轴只相交一次，即在上为单调函数或两极值 同号. x x1x 2 x0x x1x2 x x0 x
三次函数的对称性
三次函数的对称性 二次函数是轴对称图形，如)0()(2≠++=a c bx ax x f 的）对称轴方程式是a b x 2-=。 三次函数cx ax x f +=3)(是奇函数，其图象关于)0,0(对称，三次函数d bx ax x f ++=3)(的图象关于点),0(d 对称，那么对于一般的三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 有没有对称中心呢？答案是肯定的，有对称中心，其对称中心是))3(,3(a b f a b -- 。下面给出证明。 证明1：二次函数通过配方可以消去一次项。类似得，三次函数通过配方可以消去二次项。 = ++=cx bx ax x f 23)(d cx a b a x a b a a b x a b x a b x a ++--+++=323223)3()3(3])3()3(333[ d a b a x c a b a a b x a +---+=323)3(])3(3[)3( )3]()3(3[)3()3]()3(3[)3(2323a b c a b a d a b a a b x c a b a a b x a -++-+--+ = 而)3()3()3()3]()3(3[)3(2323a b c a b b d a b a a b c a b a d a b a -++-=-++-)3(a b f -= )0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 的图象关于))3(,3(a b f a b -- 对称。 证明2：设函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 的对称中心为（m ，n ）。 按向量),(n m --=将函数的图象平移，则所得函数n m x f y -+=)(是奇函数，所以 02)()(=-+-++n m x f m x f 化简得： 上式对恒成立，故 ，得 ，
三次函数的对称性中心问题
三次函数的对称性中心问题
而)3()3()3()3]()3( 3[) 3(2323 a b c a b b d a b a a b c a b a d a b a -++-=-++-)3(a b f -= ) 0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 的图象关于))3(,3(a b f a b --对称。 证明3：设函数) 0()(23 ≠+++=a d cx bx ax x f 的对称中心为 （m ，n ）。 按向量),(a n m --=将函数的图象平移，则所得函数n m x f y -+=)(是奇函数，所以 2)()(=-+-++n m x f m x f +++++++d m x c m x b m x a )()()(23d m x c m x b m x a ++-++-++-)()()(23-2n =0 化简得： 上式对 恒成立，故 ???=-+++=+0 032 3n d cm bm am b am 得 ， 。 所以，函数的对称中心是 （ ）。 定理3：若三次函数 有极值，则它的对称中心 是两个极值点的中点
证明：不妨设0232 =++c bx ax 为)(x f 的导方程，判别式01242 >-=?ac b ,设)(x f 两极值点为))(,()),(,(2 211x f x B x f x A [][] a c x x a b x x d x x c x x x x b x x x x x x a d x x c x x b x x a d cx bx ax d cx bx ax x f x f 3,322)(2)(3)()(2)()()()()(212121212212122121212 22 13 23 122 2321213121=-=++++-++-++=++++++=+++++++=+∴ 又 d a b c a b b a b a d a b c a c b a b b a c a b a a b a x f x f 2)3(2)3(2)3(22)32(32323)32(332)()(232 3 21+-+-+-=+-+-??? ??-+--?? ? ??-=+∴ )3(2)(21a b f x x f -=+∴ 所以此时的对称中心是两个极值点的中点，同时也是函数)(x f 的拐点。 定理4：)(x f y =是可导函数，若)(x f y =的图像关于点),(n m A 对称，则)('x f y =的图像关于直线m x =对称 证明：)(x f y =的图像关于),(n m A 对称，则n x m f x f 2)2()(=-+ 由x x f x x f x f x ?-?+=→?) ()()(lim 0 ' )()()(lim )()(lim ) (2)(2lim )2()2(lim )2('0000'x f x x f x x f x x x f x f x x f n x x f n x x m f x x m f x m f x x x x =?--?-=??--=?+-?--=?--?+-=-→?→?→?→?
3。2 正规子群与商群
§3.2 正规子群与商群 对一般的群G 及N G ≤，左、右陪集不一定相等，即一般aN N a ≠， （见上一章例子，3,{(1),(12)}G S N ==，(13)(13)N N ≠）。 但对某些群G 及其子群N G ≤，总有性质：,a G aN Na ?∈=。 例如，取3,G S = 3{(1),(123),(132)},N A G ==≤ 则当 a 取3(1),(123),(132)A ∈时，总有aN N a =。而当a 取(12),(13),(23)时， (12){(12),(23),(13)}(12)N N ==， (13){(13),(23),(12)}(13)N N ==， (23){(23),(13),(12)}(23)N N ==， 所以3a G S ?∈=，都有aN N a =。 再比如，交换群的子群总满足上述性质。 设G 是群，N G ≤，若,a G aN Na ?∈=有，则 称N 是G 的正规子群（Normal subgroup ），记作N G 。 由前面，3A 是3S 的正规子群：33.A S 交换群的子群都是正规子群； 任何群的中心都是的正规子群：()C G G 。 {}e 和G 总是G 的正规子群，称为平凡正规子群，其余的正规子 群称为非平凡正规子群。
定理1. 设N G ≤，则 1 ,N G a G aNa N -??∈? 有； ?,,a G x N ?∈?∈ 都有1 .axa N -∈ 例1 证明：次交错群n A 是次对称群n S 的正规子群：n n A S 。 例2. 设(){|(),||0}n n G G L R A A M R A =∈≠ 且， (){|||1}n N SL R A A R A =∈= ，且， 证明：N G 。 证明：,X G A N ?∈?∈，则 111 ||||||||||||||||1,X AX X A X X A X A ---==== 从而，1X AX N -∈，所以N G 。 例3 证明：{}44(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23)K S = 。 证明：注意，4K 中除单位元之外其余3个元素是4S 中仅有的2 阶偶置换。现44,x K S σ?∈?∈，则1 x σσ -的阶为2且是偶置换， 从而1 4 x K σσ-∈，故44K S 。 由,H K K N H N ≤≤?≤，即子群具有传递性。 但正规子群不具有传递性，即由,H K K N 推不出H N 。 例如，由例3，44K S 。现取{}44(1),(12)(34)B K =≤，由于4K 是 交换群，显然有4 4B K 。但是4 B 不是4S 的正规子群，因为取 4(13)S ∈，有{}{}44(13)(13),(1234)(13),(1432)(13)B B =≠=。
论述全特征子群 特征子群与正规子群之间的关系
本科生代数论文 课题:论述全特征子群，特征子群与正规子群之间的关系 班级：2011级应用数学班 姓名：xx 学号：xxxxxxxx 专业：xxxxxxxxxxx 学院：xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 指导老师：xxxx
摘要本论文通过对近世代数的一些基本定理及相关性质的阐述，如：全特征子群，特征子群，正规子群等等。从而推导出全特征字群，特征子群，正规子群间的关系。本文先从全特征子群开始研究，依次为特征子群，正规子群。经过本文对全特征字群，特征子群，正规子群的研究，我发现了其规律：全特征子群包含与特征子群，特征子群包含于正规子群。 一．陪集的引入 定理1 设H是群G的一个子群，a∈G。则称群G的子集aH=｛ax|x∈H｝为群H关于子群H的一个左陪集。而称Ha=｛xa|x∈H｝为群G关于子群H的一个右陪集。 左陪集的相关性质：⑴如果a∈H,则a∈aH。 ⑵a∈H ﹤﹦﹥aH=H ⑶b∈aH﹤﹦﹥aH=bH ⑷aH=bH，即a与b同在一个作陪集中﹤﹦﹥ a b∈H（b ∈H） ⑸若aH∩bH≠空集，则aH=bH 定理2 设H，K是群G的两个子群，则群G关于交H∩K的所有左陪集，就是关于H与K的左陪集的所有非空的交。 即有：c（H∩K）=cH∩cK。 定理3如果用aH，bH，cH，…表示子群G中的所有不同的左陪集，则有等式G=aH∪bH∪cH…,称其为群G关于子群H的左陪集分解。而称｛a,b,c, …｝为G关于H的一个左陪集代表系。 同理关于有陪集的分解：G=H a ∪H b ∪Hc …。则称{ a ，b ，c ，…}是关于子群H的一个右陪集代表系。 例1：取S的子群H={(1)，（12）}，则（1）H={（1），（12）}，H（1）={（1），（12）}，（13）H={（13），（123）}，H（13）={（13），（132）}，（132）H={(132),(23)};H （123）={（123），（23）}。则有:S=H∪(13)H∪(132)H=H∪H(13)∪H（123）。 定理4群G中关于子群H的互异的左（或右）陪集的个数，叫做H在G的指数，记为：（G∶H）。 定理5设H是有限群G的一个子群，则：|G|=|H|（G∶H），从而任何子群的阶和指数都是群G的阶的因数。 推论有限群中的每个元素的阶都整除群的阶。 例2：由于S(3)=6，故三次对称群S(3)的子群及元素的阶都是6的因数。例如：子群H={（1），（12）}的阶是2，指数是3，且有|S(3)|=|H|（S(3):H）,即6=2 ?3。 定理6设G是一个有限群，又K≤H≤G，则：（G∶K）（H∶K）=（G∶K）。 二．自同构群的定义 定理1 设M是一个有代数运算的集合（不必是群），则M的
三次函数的对称中心问题
三次函数的对称中心问题 广州市第四中学高二3班 梁隽铭 指导教师 刘运科 对于三次函数()320y ax bx cx d a =+++≠，作出图象，经观察，发现其图象有四种形状： 可以发现，其图象具有中心对称性.如何考虑求出()320y ax bx cx d a =+++≠的图象 的对称中心坐标呢？下面是我的探究过程. 先考虑较简单的两个特殊情况： 一、求()30y ax cx a =+≠的图象对称中心坐标. 此特殊情况较简单.因()30y ax cx a =+≠是奇函数，故其对称中心坐标为()00O ，. 二、求()30y ax cx d ad =++≠的图象对称中心坐标. 此特殊情况也较简单.将3y ax cx =+的图象通过适当平移就可得到 ()30y ax cx d ad =++≠的图象.当0d >时，将3y ax cx =+的图象向上平移d 个单位长 度，就可得到()30y ax cx d ad =++≠的图象；当0d <时，将3y ax cx =+的图象向下平移d 个单位长度，就可得到()30y ax cx d ad =++≠的图象.因3y ax cx =+是奇函数，对称中心坐标为()00O ，，故()30y ax cx d ad =++≠的图象对称中心为()0P d ，. 上面两个特殊情况，主要是利用了奇函数的性质、平移的性质.有了上面两种情况 的铺垫，似乎求()320y ax bx cx d ab =+++≠的图象的对称中心坐标较容易了，其实不然.因()320y ax bx cx d ab =+++≠是非奇非偶函数，无法从奇偶性方面找到突破口.下面先来
最新函数对称中心的求法解析
函数对称中心的求法解析 题目 函数32 ()367f x x x x =-+-的图象是中心对称图象，其对称中心为________. 一、利用定义求对称中心 分析 根据中心对称图形的定义，在函数()f x 图象上的任意一点(,)A x y 关于对称中心(,)a b 的对称点(,)A x y '''也在函数()f x 的图象上. ∴22x x a y y b '+=??'+=?，即22x a x y b y '=-??'=-?. ∴(2,2)A a x b y '--， 代入函数式有：322(2)(2)3(2)6(2)7b y f a x a x a x a x -=-=---+--, 化简得：32232 (36)(12126)(2781212)y x a x a a x b a a a =+-+-+++-+-， 与32 ()367f x x x x =-+-是同一函数，则对应系数相等， 故23236312126627812127a a a b a a a -=-??-+=??+-+-=-? ，∴1a =，3b =-，即函数()f x 的对称中心为(1,3)-. 点评 利用中心对称的定义求解是基本方法，考察基本概念，通过同一函数的对应系数相等构建方程解出对称中心. 二、巧取特殊点求对称中心 分析 在函数()f x 的图象上取点(1,3)-、(2,1)，它们关于对称中心(,)a b 的对称点分别为(21,23)a b -+、(22,21)a b --也在函数()f x 的图象上. ∴323223(21)3(21)6(21)721(22)3(22)6(22)7 b a a a b a a a ?+=---+--??-=---+--??，相减则26(253)0a a -+=，
有限群的几乎次正规子群与可解性
有限群的几乎次正规子群与可解性 摘要：引进几乎次正规子群的概念，应用某些子群的几乎次正规性给出了有限群为可解群的若干充分条件。 关键词：几乎次正规子群可解群有限群 在群论中，人们常常利用有限群g的子群的性质来研究原群的结构。1996年王燕鸣引进了c-正规的概念，称有限群g的子群h在g 中c-正规的，如果存在g的正规子群k，使得g=hk且h∩k≤hg。2003年张新建等减弱c-正规的条件，给出了s-正规子群的概念，称有限群g的子群h在g中s-正规的, 如果存在g的次正规子群k，使得g=hk且h∩khsg,其中hsg是包含在h中的g的最大次正规子群。2006年杨高才从另一个方面减弱了c-正规的条件，给出了几乎正规子群的概念，称有限群g的子群h在g中几乎正规，如果存在g的正规子群n，使得nh和n∩h都是g的正规子群。本文将引入一个比s-正规和几乎正规更加广泛的概念——几乎次正规，并研究某些子群具有几乎次正规性质的有限群的结构。文中的所有群皆为有限群，soc(g)表示g的基柱；h g表示h是g的正规子群；h g 表示h是g的次正规子群；h≤g表示h是g的子群;h＜g表示h是g的真子群；sylp(g)表示群g的sylowp-子群集合；表示某一素数集； (g)表示|g|的素因子的集；p,q表示素数。所用的概念和符号参考文献[4]。 1 基本概念
定义1 群g的子群h称为在g中几乎次正规，如果存在g的一个次正规子群n，使得nh和n∩h都是g的次正规子群。 注：显然s-正规子群, 几乎正规子群和次正规子群一定是几乎次正规子群。但反之不真。事实上，设g=s4为四次对称群， h1={(1),(1,2,3),(1,3,2)}是g的几乎次正规子群，但不是g的s-正规子群，也不是g的次正规子群。h2={(1),(1,2),(3,4)}是g的几乎次正规子群，但不是g的几乎正规子群。 为了获得本文的主要结果，我们先证明下面的引理。 引理1 若群g的子群h在g中几乎次正规， (1)k是g的子群并且h≤k,则h也k是的几乎次正规子群。 (2)t是g的正规子群且t≤h，则h/t在g/t中几乎次正规当且仅当h/t在g/t中几乎次正规。 证明 (1)h在g中几乎次正规，那么存在n g使得hn g且h ∩n g。注意到k∩n k，我们有(k∩n)h=nh∩k k且(k∩n)∩h=h ∩n k,故h是k的几乎次正规子群。 (2)h在g中几乎次正规，那么存在n g使得hn g且h∩n g。同时注意到nt/t为g/t的次正规子群，我们有(nt/t)∩(h/t)=(n ∩h)t/t g/t且(nt/t)(h/t)=nh/t g/t,即h/t在g/t中几乎次正规。反之若h/t在g/t中几乎次正规，那么存在s/t g/t使得 (s/t)(h/t)=sh/t g/t,且(s/t)∩(h/t)=s∩h/t g/t。显然 s,sh,s∩h都是g中的次正规子群，即h在g中几乎次正规。
三次函数的切线问题
高考中三次函数图象的切线问题 镇江实验高中 杨勇 一、已知斜率为k 与三次函数图象相切的切线 三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 1、0>a ,斜率a b a c k 332 -=时，有且只有一条切线； a b a c k 332 ->时，有两条不同的切线； a b a c k 332 -<时，没有切线； 2、0时，没有切线； 证明 c bx ax x f ++=23)(2/ 1、 0>a 当a b x 3-=时，.33)(2 min /a b a c x f -= ∴ 当a b ac k 332-= 时，方程a b a c c bx ax 33232 2-=++有两个相同解， 所以斜率为k 的切线有且只有一条；其方程为： ).3(33)3(2a b x a b a c a b f y +-=-- 当a b a c k 332 ->时，方程k c bx ax =++232，有两个不同的解21,x x ，且21x x +=-a b 32-，即存在两个不同的切点))(,()),(,(2211x f x x f x ，且两个切点关于