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泛函分析题1_3列紧集p19
1.3.1 在完备的度量空间中，求证：为了子集A是列紧的，其充分必要条件是对?ε > 0，存在A的列紧的ε网．
证明：(1) 若子集A是列紧的，由Hausdorff定理，
?ε > 0，存在A的有限ε网N．
而有限集是列紧的，故存在A的列紧的ε网N．
(2) 若?ε > 0，存在A的列紧的ε/2网B．
因B列紧，由Hausdorff定理，存在B的有限ε/2网C．
因C ?B ?A，故C为A的有限ε网．
因空间是完备的，再用Hausdorff定理，知A是列紧的．
1.3.2 在度量空间中，求证：紧集上的连续函数必是有界的，并且能达到它的上、下确界．
证明：设(X, ρ)是度量空间，D是紧子集，f : D→ 是连续函数．
(1) 若f无上界，则?n∈?+，存在x n∈D，使得f (x n) > 1/n．
因D是紧集，故D是自列紧的．
所以{x n}存在收敛子列x n(k) →x0∈D (k→∞)．
由f的连续性，f (x n(k))→f (x0) (k→∞)．
但由f (x n) > 1/n知f (x n)→ +∞(n→∞)，
所以f (x n(k))→ +∞ (k→∞)，矛盾．
故f有上界．同理，故f有下界．
(2) 设M = sup x∈D f(x)，则?n∈?+，存在y n∈D，使得f (y n) > M- 1/n．
{y n}存在子列y n(k) →y0∈D (k→∞)．
因此f ( y0 ) ≥M．
而根据M的定义，又有f ( y0 ) ≤M．
所以f ( y0 ) = M．因此f能达到它的上确界．
同理，f能达到它的下确界．
1.3.3 在度量空间中，求证：完全有界的集合是有界的，并通过考虑l 2的子集E = {e k }k≥ 1，其中e k = { 0, 0, ..., 1, 0, ... } (只是第k个坐标为1，其余都是0 )，来说明一个集合可以是有界的但不完全有界的．
证明：(1) 若A是度量空间(X, ρ)中的完全有界集．
则存在A的有限1-网N = { x0, x1, x2, ..., x n }．
令R = ∑1 ≤j≤nρ(x0, x j) + 1．
则?x∈A，存在某个j使得0 ≤j≤n，且ρ(x, x j) < 1．
因此，ρ(x, x0) ≤ρ(x, x j) + ρ(x j, x0) ≤ 1 + ∑1 ≤j≤nρ(x0, x j) = R．
所以A是度量空间(X, ρ)中的有界集．
(2) 注意到ρ(e k , e j) = 21/2 ( ?k ≠ j )，
故E中任意点列都不是Cauchy列．
所以，E中任意点列都没有收敛子列(否则，该收敛子列就是Cauchy列，矛盾)．因此，E不是列紧集．
由l 2是完备的，以及Hausdorff定理，知E不是全有界集．
但E显然是有界集．
1.3.4 设(X, ρ)是度量空间，F1, F2是它的两个紧子集，求证：?x i ∈F i( i = 1, 2)，使得ρ(F1, F2) = ρ(x1, x2)．其中ρ(F1, F2) = inf {ρ(x, y) | x∈F1, y∈F2 }
证明：由ρ(F1, F2)的定义，?n∈?+，?x i(n)∈F i( i = 1, 2)，使得
ρ(x1(n), x2(n)) < ρ(F1, F2) + 1/n．
因F1, F2紧，故不妨假设{x1(n)}, {x2(n)}都是收敛列．
设它们的极限分别为x1, x2，则ρ(x1, x2) ≤ρ(F1, F2)．
因此ρ(F1, F2) = ρ(x1, x2)．
1.3.5 设M是C[a, b]中的有界集，求证集合{F(x) =?[a, x]f(t) dt | f∈M }是列紧集．证明：设A = {F(x) =?[a, x]f(t) dt | f∈M }．
由M有界，故存在K > 0，使得?f∈M，ρ( f, 0) ≤K．
先证明A是一致有界的和等度连续的．
?F∈A，存在f∈M，使得F(x) =?[a, x]f(t) dt．
由于ρ(F, 0) = max x∈[a, b] | F(x) | = max x∈[a, b] | ?[a, x]f(t) dt |
≤ max x∈[a, b] | f(t) | · (b -a ) = ρ( f, 0) · (b -a ) ≤K (b -a )．
故A是一致有界的．
?ε > 0，?s, t∈[a, b]，当| s-t| < ε/K时，
?F∈A，存在f∈M，使得F(x) =?[a, x]f(u) du．
| F(s) -F(t) | = | ?[s, t]f(u) du | ≤ max u∈[a, b] | f(u) | · | s -t |
= ρ( f, 0) · | s -t | ≤K · (ε/K) = ε．
故A是等度连续的．
由Arzela-Ascoli定理，A是列紧集．
1.3.6 设E = {sin nt}n≥ 1，求证：E在C[0, π]中不是列紧的．
证明：显然E是一致有界的．
根据Arzela-Ascoli定理，我们只要证明E不是等度连续的即可．
我们的想法是找一个E中的点列f n，以及[0, π]中的两个点列s n和t n，使得| s n -t n | → 0，但| f n(s n)-f n(t n)|不收敛于0．
事实上，这是可以做到的，只要令
f n (u) = sin (2n u)，s n = (π/2)(1 + 1/(2n))，t n = (π/2)(1 - 1/(2n))．
则s n + t n = π；s n -t n = π/(2n)→ 0(n→∞)．
因此，| f n(s n)-f n(t n)| = 2 | sin (2n s n) - sin (2n t n) |
= 2 | sin (n (s n -t n)) cos (n (s n + t n)) |
= 2 | sin (π/2) cos (n π) | = 2．
所以，E不是等度连续的．进而，E在C[0, π]中不是列紧的．
1.3.7 求证S空间的子集A是列紧的充要条件是：?n∈?+，?C n> 0，使得
?x = (ξ1, ξ2, ..., ξn, ...)∈A，都有| ξn | ≤C n( n = 1, 2, ...)．
证明：(?) 设x k = (ξ1(k), ξ2(k), ..., ξn(k), ...) ( k = 1, 2, ... )是A中的点列．
存在{x k}的子列{x1, k}使得其第1个坐标ξ1(1, k)收敛；
存在{x1, k}的子列{x2, k}使得其第2个坐标ξ2(2, k)收敛；
如此下去，得到一个{x k}的子列的序列，第( j +1)个子列是第j个子列的子列，且第j个子列的第j个坐标是收敛的．
选取对角线构成的点列{x j, j}，则{x j, j}是{x k}的子列，且每个坐标都收敛．
根据习题1.2.1的证明可知，S空间的点列收敛的充要条件是坐标收敛．
故{x j, j}是收敛点列．所以，A是列紧的．
(?) 我们只要证明，?n∈?+，A中的点的第n个坐标所构成的集合是有界集．若不然，设A中的点的第N个坐标所构成的集合是无界的．
则存在A中的点列x k = (ξ1(k), ξ2(k), ..., ξn(k), ...) ( k = 1, 2, ... )，使得| ξN(k) | > k．
显然，{ ξN(k) }无收敛子列，故{ x k }也无收敛子列，这与A列紧相矛盾．
这样就完成了必要性的证明．
1.3.8 设(X, ρ)是度量空间，M是X中的列紧集，映射f : X →M满足
ρ( f (x1), f (x2)) < ρ( x1, x2 )(?x1, x2∈M, x1≠x2)．
求证：f在X中存在唯一的不动点．
证明：(1) 首先证明cl(M)是紧集．为此只要证明cl(M)列紧即可．
设{ x n }是cl(M)中的点列，则存在M中的点列{ y n }使得ρ( x n, y n) < 1/n．
因M列紧，故{ y n }有收敛子列{ y n(k)}，设y n(k) →u∈cl(M)．
显然{ x n(k)}也是收敛的，并且也收敛于u∈cl(M)．
所以cl(M)是自列紧的，因而是紧集．
(2) 令g(x) = ρ( x, f (x))，则g是X上的连续函数．
事实上，由ρ( f (x1), f (x2)) < ρ( x1, x2 )可知f : X →M是连续的，因而g也连续．由习题1.3.2知存在x0∈cl(M)，使得g(x0) = inf {ρ( x, f (x)) | x∈cl(M) }．
(3) 若g(x0) > 0，则ρ( x0, f (x0)) > 0，即x0≠f (x0)．
故ρ( x0, f (x0)) = g(x0) ≤g( f (x0)) = ρ( f (x0), f ( f (x0))) < ρ( x0, f (x0))，矛盾．
所以，必有g(x0) = 0，即ρ( x0, f (x0)) = 0，因此x0就是f的不动点．
1.3.9 设(M, ρ)是一个紧距离空间，又E?C(M)，E中的函数一致有界并且满足下列的H?lder条件：| x(t1) -x(t2) | ≤Cρ(t1, t2)α(?x∈E，?t1, t2∈M )，
其中0 < α≤ 1，C > 0．求证：E在C(M)中是列紧集．
证明：由H?lder条件易知E是等度连续的．又E中的函数一致有界，
由Arzela-Ascoli定理知E是C(M)中的列紧集．
[第3节完] 泛函分析题1_4线性赋范空间p39
1.4.1 在2维空间 2中，对每一点z = (x, y)，令
|| z ||1 = | x | + | y |；|| z ||2 = ( x 2 + y 2 )1/2；|| z ||3 = max(| x |, | y |)；|| z ||4 = ( x 4 + y 4 )1/4；
(1) 求证|| · ||i( i = 1, 2, 3, 4 )都是 2的范数．
(2) 画出( 2, || · ||i )( i = 1, 2, 3, 4 )各空间中单位球面图形．
(3) 在 2中取定三点O = (0, 0)，A = (1, 0)，B= (0, 1)．试在上述四种不同的范数下求出?OAB三边的长度．
证明：(1) 正定性和齐次性都是明显的，我们只证明三角不等式．
设z = (x, y), w = (u, v)∈ 2，s = z + w= (x + u, y + v )，
|| z||1 + || w||1 = (| x | + | y |) + (| u | + | v |) = (| x | + | u |) + (| y | + | v |)
≥ | x + u | + | y + v | = || z+ w||1．
( || z||2 + || w||2 )2 = ( ( x 2 + y 2 )1/2 + ( u 2 + v 2 )1/2 )2
= ( x 2 + y 2 ) + ( u 2 + v 2 ) + 2(( x 2 + y 2 )( u 2 + v 2 ))1/2
≥ ( x 2 + u 2 ) + ( y 2 + v 2 ) + 2( x u+ y v )
= ( x + u )2 + ( y + v)2 = ( || z+ w||2 )2．
故|| z||2 + || w||2 ≥ || z+ w||2．
|| z||3 + || w||3 = max(| x |, | y |) + max(| u |, | v |)
≥ max(| x | + | u |, | y | + | v |) ≥ max(| x + u |, | y + v |) = || z+ w||3．
|| ·||4我没辙了，没找到简单的办法验证，权且用我们以前学的Minkowski不等式(离散的情况，用H?lder不等式的离散情况来证明)，可直接得到．
(2) 不画图了，大家自己画吧．
(3) OA = (1, 0)，OB = (0, 1)，AB = (- 1, 1)，直接计算它们的范数：
|| OA||1 = 1，|| OB||1 = 1，|| AB||1 = 2；
|| OA||2 = 1，|| OB||2 = 1，|| AB||2 = 21/2；
|| OA||3 = 1，|| OB||3 = 1，|| AB||3 = 1；
|| OA||4 = 1，|| OB||4 = 1，|| AB||4 = 21/4．
1.4.2 设c[0, 1]表示(0, 1]上连续且有界的函数x(t)全体．?x∈c[0, 1]，令
|| x || = sup{| x(t) | | 0 < t≤ 1}．求证：
(1) || ·||是c[0, 1]空间上的范数．
(2) l∞与c[0, 1]的一个子空间是等距同构的．
证明：(1) 正定性和齐次性都是明显的，我们只证明三角不等式．
|| x || = sup{| x(t) | | 0 < t≤ 1}．
|| x || + || y || = sup{| x(t) | | 0 < t≤ 1} + sup{| y(t) | | 0 < t≤ 1}
≥ sup{| x(t) + y(t) | 0 < t≤ 1} = || x + y ||．
所以|| ·||是c[0, 1]空间上的范数．
(2) 任意取定(0, 1]中的一个单调递减列{a k }，满足
(i) a1 = 1；
(ii) lim k→∞a k = 0．
显然，在每个[a k + 1, a k]上为线性函数的f∈c[0, 1]是存在的．
设X = { f∈c[0, 1] | f在每个[a k + 1, a k]上为线性函数}．
容易验证X是c[0, 1]的子空间．
定义? : X →l∞，f #? ( f ) = ( f (a1), f (a2), ...)．
则? : X →l∞是线性双射，且
|| ? ( f ) ||∞= sup k ≥ 1 | f (a k) | = sup0 < t≤ 1 { | f (t ) | } = || f ||．
所以，? : X →l∞是等距同构．
因此，l∞与c[0, 1]的一个子空间是等距同构的．
1.4.3 在C1[a, b]中，令|| f ||1 = (?[a, b] ( | f(x) |2 + | f’(x) |2) dx )1/2 (?f∈C1[a, b])．
(1) 求证：|| · ||1是C1[a, b]上的范数．
(2) 问(C1[a, b], || · ||1)是否完备？
证明：(1) 正定性和齐次性都是明显的，和前面的习题一样，只验证三角不等式．我们先来证明一个比较一般的结果：
若线性空间X上的非负实值函数p, q都满足三角不等式：
p(x) + p(y) ≥p(x +y)，q(x) + q(y) ≥q(x +y)，?x, y∈X；
则函数h = ( p2 + q2 )1/2也满足三角不等式．
事实上，?x, y∈X，由Minkowski不等式，我们有
h(x) + h(y) = ( p(x)2 + q(x)2 )1/2 + ( p(y)2 + q(y)2 )1/2
≥ (( p(x)+ p(y))2 + ( q(x) + q(y))2 )1/2 ≥ ( p(x + y)2 + q(x + y)2 )1/2 = h(x + y)．
回到本题：若令p( f ) = (?[a, b] | f(x) |2dx )1/2，q( f ) = (?[a, b] | f’(x) |2dx )1/2，则
( p( f ) + p( g ))2 = ((?[a, b] | f(x) |2dx )1/2 + (?[a, b] | g(x) |2dx )1/2)2
= ?[a, b] | f(x) |2dx + 2(?[a, b] | f(x) |2dx )1/2 · (?[a, b] | g(x)|2dx )1/2 + ?[a, b] | g(x) |2dx
≥?[a, b] | f(x)|2dx + 2 ?[a, b] | f(x) | · | g(x)| dx + ?[a, b] | g(x)|2dx
= ?[a, b] ( | f(x) | + | g(x)| )2dx ≥?[a, b] ( | f(x) + g(x)| )2dx = ( p( f + g ))2．
所以有p( f ) + p( g ) ≥p( f + g )．
特别地，p( f’) + p( g’) ≥p( f’+ g’)，即q( f ) + q( g ) ≥q( f + g )．
因此，线性空间C1[a, b]上的非负实值函数p, q都满足三角不等式．
根据开始证明的结论，|| · ||1也满足三角不等式．
所以，|| · ||1是C1[a, b]上的范数．
(2) 在C1[- 1, 1]中，令f n(x) = (x2 + 1/n2 )1/2 ( ?x∈[- 1, 1] )．
则f’n(x) = 2x (x2 + 1/n2 )-1/2 ( ?x∈[- 1, 1] )．
显然，f n(x)几乎处处收敛于| x |，f’n(x)几乎处处收敛于2sign( x )．
因此，f n(x)依测度收敛于| x |，f’n(x)依测度收敛于2sign( x )．
则f’n(x) = 2x (x2 + 1/n2 )-1/2 ( ?x∈[- 1, 1] )．
显然，f n(x)几乎处处收敛于| x |，f’n(x)几乎处处收敛于2sign( x )．
因此，f n(x)依测度收敛于| x |，f’n(x)依测度收敛于2sign( x )．
故在L2[- 1, 1]中，f n(x) → | x |，f’n(x) → 2sign( x )．
因此，它们都是L2[- 1, 1]中的基本列，故
?[- 1, 1] | f n(x) -f m(x) |2 dx → 0(m, n→∞)；
?[- 1, 1] | f’n(x) -f m’(x) |2 dx → 0(m, n→∞)．
故|| f n-f m ||1 = (?[- 1, 1] ( | f n(x) -f m(x) |2 + | f’n(x) -f m’(x) |2 ) dx )1/2→ 0 (m, n→∞)．即{ f n }是C1[- 1, 1]中的基本列．
下面我们证明{ f n }不是C1[- 1, 1]中的收敛列．
若不然，设{ f n }在C1[- 1, 1]中的收敛于f∈C1[- 1, 1]．
因|| f n-f ||1 = (?[- 1, 1] ( | f n(x) -f(x) |2 + | f’n(x) -f’(x) |2 ) dx )1/2
≥ (?[- 1, 1] | f n(x) -f(x) |2dx )1/2，
故在L2[- 1, 1]中，f n(x) →f．
而在前面已说明L2[- 1, 1]中，f n(x) → | x |；
由L2[- 1, 1]中极限的唯一性以及f的连续性，知f(x) = | x |．
这样就得到f?C1[- 1, 1]，矛盾．
所以，{ f n }不是C1[- 1, 1]中的收敛列．
这说明C1[- 1, 1]不是完备的．
对一般的C1[a, b]，只要令f n(x) = (x - (a + b )/2)2 + 1/n2 )1/2( ?x∈[a, b] )就可以做同样的讨论，就可以证明C1[a, b]不是完备空间．
1.4.4 在C[0, 1]中，对每个f∈C[0, 1]，令
|| f ||1 = (?[0, 1] | f(x) |2dx )1/2，|| f ||2 = (?[0, 1] ( 1 + x) | f(x) |2dx )1/2．
求证：|| · ||1和|| · ||2是C[0, 1]中的两个等价范数．
证明：(1) 在习题1.4.3的证明中已经包含了|| · ||1是C[0, 1]中的范数的证明．
下面我们证明|| · ||2是C[0, 1]中的范数，我们仍然只要验证三角不等式．
|| f ||2 + || g ||2 = (?[0, 1] ( 1 + x) | f(x) |2dx )1/2 + (?[0, 1] ( 1 + x) | g(x) |2dx )1/2
= || (1 + x)1/2f(x) ||1 + || (1 + x)1/2g(x) ||1
≥ || (1 + x)1/2f(x) + (1 + x)1/2g(x) ||1
= || (1 + x)1/2 ( f(x) + g(x) ) ||1
≥ (?[0, 1] (1 + x) | f(x) + g(x) |2dx )1/2= || f + g ||2．
所以，|| · ||2也是C[0, 1]中的范数．
(2) 我们来证明两个范数的等价性．?f∈C[0, 1]
|| f ||1 = (?[0, 1] | f(x) |2dx )1/2 ≤ (?[0, 1] ( 1 + x) | f(x) |2dx )1/2 = || f ||2，
|| f ||2 = (?[0, 1] ( 1 + x) | f(x) |2dx )1/2 ≤ 2 (?[0, 1] | f(x) |2dx )1/2 = 2 || f ||1．
因此两个范数等价．
1.4.5 设BC[0, ∞)表示[0, ∞)上连续且有界的函数f(x)全体，对每个f ∈BC[0, ∞)及
a > 0，定义|| f ||a = (?[0, ∞) e-ax | f(x) |2dx )1/2．
(1) 求证|| ·||a是BC[0, ∞)上的范数．
(2) 若a, b > 0，a≠b，求证|| ·||a与|| ·||b作为BC[0, ∞)上的范数是不等价的．
证明：(1) 依然只验证三角不等式．
|| f ||a + || g ||a = (?[0, ∞) e-ax | f(x) |2dx )1/2 + (?[0, ∞) e-ax | g(x) |2dx )1/2
= || e-ax/2f(x)||L2 + || e-ax/2g(x)||L2
≤ || e-ax/2f(x)+ e-ax/2g(x)||L2
= || e-ax/2 ( f(x)+ g(x))||L2
= (?[0, ∞) e-ax | f(x)+ g(x) |2dx )1/2
= || f + g ||a，
所以|| ·||a是BC[0, ∞)上的范数．
(2) 设f n(x)为[n, +∞)上的特征函数．
则f n∈BC[0, ∞)，且
|| f n||a = (?[0, ∞) e-ax | f n(x) |2dx )1/2 = (?[n, ∞) e-ax dx )1/2 = ((1/a)e-an)1/2．
同理，|| f n||b = ((1/b)e-bn)1/2．
故若a < b，则
|| f n||a/|| f n||b = (b/a)1/2e-(b -a)n/2→ +∞ (n→+∞)．
因此|| ·||a与|| ·||b作为BC[0, ∞)上的范数是不等价的．
1.4.6 设X1, X2是两个B*空间，x1∈X1和x2∈X2的序对(x1, x2)全体构成空间
X = X1?X2，并赋予范数
|| x || = max{ || x1 ||1, || x2 ||2 }，
其中x = (x1, x2)，x1∈X1，x2∈X2，|| · ||1和|| ·||2分别是X1和X2的范数．
求证：如果X1, X2是B空间，那么X也是B空间．
证明：(1) 先验证|| · ||的三角不等式．
设x = (x1, x2), y = (y1, y2)∈X1?X2，则
|| x + y || = || (x1 + y1, x2 + y2) || = max{ || x1 + y1 ||1, || x2 + y2 ||2 }
≤ max{ || x1 ||1 + || y1 ||1, || x2 ||2 + || y2 ||2 }
≤ max{ || x1 ||1, || x2 ||2 } + max{ || y1 ||1, || y2 ||2 }
= || (x1, x2) || + || (y1, y2) ||
= || x || + || y ||，
而|| · ||的正定性和齐次性是显然的，
所以，|| · ||是X1?X2的范数．
(2) 设X1, X2是B空间，我们来证明X也是B空间．
设x(n) = (x1(n), x2(n))是X = X1?X2中的基本列，
则|| x(n) -x(m) || = max{ || x1(n) -x1(m) ||1, || x2(n) -x2(m)||2 } ≥ || x1(n) -x1(m) ||1，
故{x1(n)}是X1中的基本列，同理，{x2(n)}是X2中的基本列．
因X1, X2是B空间，故{x1(n)}和{x2(n)}分别是X1, X2中的收敛列．
设x1(n) →x1∈X1，x2(n) →x2∈X2，令x = (x1, x2)．
则|| x(n) -x || = max{ || x1(n) -x1 ||1, || x2(n) -x2 ||2 }
≤ || x1(n) -x1 ||1 + || x2(n) -x2 ||2→ 0 (n→∞)．
所以，|| x(n) -x ||→ 0 (n→∞)．
即{ x(n) }为X = X1?X2中的收敛列．
所以X = X1?X2也是B空间．
1.4.7 设X是B*空间．求证：X是B空间，必须且只须
对?{x n}?X，∑n≥ 1 || x n || < +∞?∑n≥ 1x n 收敛．
证明：(?) ?{x n}?X，记S n = ∑1 ≤j≤n x j，B n = ∑1 ≤j≤n || x n ||，
则|| S n + p-S n || = || ∑1 ≤j≤n + p x j -∑1 ≤j≤n x j ||
= || ∑n +1 ≤j≤n + p x j ||
≤∑n +1 ≤j≤n + p || x j ||
= B n + p-B n → 0，(n→∞)．
故{ S n }为X中的Cauchy列．
由X完备，故{ S n }为X中的收敛列，即∑n≥ 1x n 收敛．
(?) 反证法．若(X, ρ)不完备，设(Y, d )为(X, ρ)的一个完备化．
不妨设(X, ρ)是(Y, d )的子空间，则存在y∈Y \ X．
因cl( X ) = Y，故?n∈?+，存在x n∈X，使得d(x n, y) < 1/2n．
则ρ(x n, x m) = d(x n, x m) ≤d(x n, y) + d(x m, y) ≤ 1/2n+ 1/2m → 0，
因此{x n}是X中的Cauchy列，但不是收敛列．
令z n = x n+1-x n，S n = ∑1 ≤j≤n z j；则z n, S n∈X．
因|| z n || = || x n+1-x n || = ρ(x n+1, x n) ≤d(x n+1, y) + d(x n+1, y) ≤ 1/2n+1+ 1/2n < 1/2n - 1，
故∑n≥ 1 || z n || < +∞．
而S n = ∑1 ≤j≤n z j = ∑1 ≤j≤n ( x j+1-x j ) = x n+1-x1；
故∑n≥ 1z n 在中不收敛．矛盾．
1.4.8 记[a, b]上次数不超过n的多项式全体为 n．求证：?f(x)∈C[a, b]，存在
P0(x)∈ n，使得max a ≤x≤b| f(x) –P0(x) | = min{ max a ≤x≤b| f(x) –P(x) | | P∈ n }．证明：注意到 n是B*空间C[a, b]中的n+1维子空间．
{1, x, x2, ..., x n}是 n中的一个向量组，把它看成C[a, b]中的一个有限向量组．根据定理p35, 1.4.23，对任意?f(x)∈C[a, b]，存在最佳逼近系数{λ0, λ1, ..., λn}，使得|| f(x) –∑0 ≤j≤n λj x j || = min{ || f(x) –∑0 ≤j≤n a j x j || | (a0, a1, ..., a n)∈ n+1}．
令P0(x) = ∑0 ≤j≤n λj x j 就得到要证明的结论．
1.4.9 在 2中，对?x = (x1, x2)∈ 2，定义范数|| x || = max(| x1 |, | x2 |)，并设
e1 = (1, 0)，x0 = (0, 1)．求a∈ 适合|| x0–a e1 || = minλ∈ || x0–λ e1 ||．
并问这样的a是否唯一？请对结果作出几何解释．
解：g(λ) = || x0–λ e1 || = || (0, 1) –λ(1, 0)|| = || (–λ, 1)|| = max(| λ |, 1) ≥ 1，
故g(λ) 当| λ| ≤ 1时取得最小值1．
所以a = 0满足要求．显然满足要求的a不是唯一的．
从几何上看就是某线段上的点到某定点的距离都是1．
1.4.10 求证范数的严格凸性等价于下列条件：
|| x + y || = || x || + || y || ( ?x≠θ, y≠θ) ?x = c y ( c > 0)．
证明：(?) 设范数是严格凸的，若x, y ≠θ满足|| x + y || = || x || + || y ||，
事实上，我们总有|| (x/|| x ||) || = || (y/|| y ||) || = 1．
因x, y ≠θ，故|| x || + || y || > 0，所以|| x + y || ≠ 0．
于是|| x ||/|| x + y || + || y ||/|| x + y || = 1．
假若x/|| x || ≠y/|| y ||，
由严格凸性，得到|| (|| x ||/|| x + y ||)(x/|| x ||) + (|| y ||/|| x + y ||)(y/|| y ||) || < 1，
即|| (( x + y )/|| x + y ||) || < 1，矛盾．
因此必然有x/|| x || = y/|| y ||，即x = (|| x ||/|| y ||) y．
(?) 设?x, y ≠θ，|| x + y || = || x || + || y ||蕴涵x = c y ( c > 0)．
下面证明范数是严格凸的．
设x≠y，且|| x || = || y || = 1，又设α, β∈(0, 1)，且α + β= 1．
我们知道|| α x + β y || ≤ || α x || + || β y || = α || x || + β|| y || = α + β= 1．
假若|| α x + β y || = 1，
根据我们的条件，就得到α x = c (β y)，其中c > 0．
那么，就有|| α x || = || c (β y) ||，
而|| x || = || y || = 1，所以α= c β；
故x = y，这就与x≠y相矛盾．
所以必然有|| α x + β y || < 1，即范数是严格凸的．
1.4.11 设X是线性赋范空间，函数? : X → 1称为凸的，如果不等式
?( λ x + (1 -λ) y ) ≤λ?( x ) + (1 -λ)?( y ) ( ? 0 ≤λ≤ 1)
成立．求证凸函数的局部极小值必然是全空间的最小值．
证明：设x0是凸函数?的一个局部极小点．
如果存在x∈X，使得?( x ) < ?( x0)，则? t ∈(0, 1)，
?( t x + (1 -t ) x0) ≤t ?( x ) + (1 -t )?( x0) < t ?( x0) + (1 -t )?( x0) = ?( x0)．而对x0的任意邻域U，都存在t ∈(0, 1)，使得t x + (1 -t ) x0∈U．
这就与x0是局部极小点相矛盾．
因此?x∈X，都有?( x0) ≤?( x )，即x0是?的最小点．
1.4.12 设(X, || · ||)是一线性赋范空间，M是X的有限维子空间，{e1, e2, ..., e n}是M的一组基，给定g∈X，引进函数F : n → 1．对?c = (c1, c2, ..., c n)∈ n，规定F(c) = F(c1, c2, ..., c n) = || ∑1 ≤i≤n c i e i-g ||．
(1) 求证F是一个凸函数；
(2) 若F的最小值点是c = (c1, c2, ..., c n)，求证f = ∑1 ≤i≤n c i e i给出g在M中的最佳逼近元．
证明：(1) 设c = (c1, c2, ..., c n), d = (d1, d2, ..., d n)∈ n, λ∈[0, 1]，
则F(λ c + ( 1 -λ) d ) = || ∑1 ≤i≤n ( λ c i + ( 1 -λ) d i ) e i-g ||
= || λ∑1 ≤i≤n c i e i + ( 1 -λ) ∑1 ≤i≤n d i e i- (λ g+ ( 1 -λ)g )||
= || λ(∑1 ≤i≤n c i e i -g) + ( 1 -λ) ( ∑1 ≤i≤n d i e i-g )||
≤λ|| ∑1 ≤i≤n c i e i -g || + ( 1 -λ) || ∑1 ≤i≤n d i e i-g ||
= λ F(c)+ ( 1 -λ)F(d)，
故F是一个凸函数．
(2) 因为{e1, e2, ..., e n}是M的一组基，
故M中的每个元h都可表示为h = ∑1 ≤i≤n d i e i，其中d = (d1, d2, ..., d n)∈ n．
因为F(c) ≤F(d)，故|| f-g || = F(c) ≤F(d) = || h-g ||．
那么f就是g在M中的最佳逼近元．
1.4.13 设X是B*空间，X0是X的线性子空间，假定?c∈(0, 1)使得?y∈X，有
inf { || y–x || | x ∈X0 } ≤c || y ||．求证：X0在X中稠密．
证明：设y∈X，?ε > 0，
?x1∈X0，s.t. || y–x1 || < c || y || + ε /4．
?x2∈X0，s.t. || (y–x1) –x2 || < c || y–x1 || + ε /8．
?x3∈X0，s.t. || (y–x1 –x2 ) –x3 || < c || y–x1 –x2 || + ε /16．
如此下去，可得到一个X0中的点列{ x n }，满足
|| y–∑1 ≤j≤n +1x j|| < c || y–∑1 ≤j≤n x j|| + ε /2n + 2(?n∈?+)．
那么，我们可以用数学归纳法证明
|| y–∑1 ≤j≤n x j|| < c n || y || + ε (∑1 ≤j≤n 1/2j + 1)．
当n = 1时，|| y–x1 || < c || y || + ε /4．结论成立．
当n = 2时，|| (y–x1) –x2 || < c || y–x1 || + ε /8
< c (c || y || + ε /4) + ε /8 < c 2 || y || + ε (1/4 + 1/8)，结论成立．
当n≥ 3时，若|| y–∑1 ≤j≤n x j|| < c n || y || + ε (∑1 ≤j≤n 1/2j + 1)成立，
则|| y–∑1 ≤j≤n +1x j|| < c || y–∑1 ≤j≤n x j|| + ε /2n + 2
< c (c n || y || + ε (∑1 ≤j≤n 1/2j + 1)) + ε /2n + 2
< c n+1 || y || + ε (∑1 ≤j≤n 1/2j + 1)) + ε /2n + 2
< c n+1 || y || + ε (∑1 ≤j≤n+ 11/2j + 1))，因此结论也成立．
由数学归纳法原理，?n∈?+，|| y–∑1 ≤j≤n x j|| < c n || y || + ε (∑1 ≤j≤n 1/2j + 1)．
因为c∈(0, 1)，故存在N∈?+，使得c N || y || < ε /2．
令x = ∑1 ≤j≤N x j，则x∈X0．
且|| y–x || < ε /2 + ε (∑1 ≤j≤N 1/2j + 1) < ε．
所以，X0在X中稠密．
[张峰同学的证明] 反证法．若不然，则cl(X0)是X的真闭线性子空间．
用Riesz引理，存在y∈X，使得|| y || = 1，且inf { || y–x || | x ∈ cl(X0)} > c．
故对此y∈X，有inf { || y–x || | x ∈X0 } > c || y ||，矛盾．
1.4.14 设C0表示以0为极限的实数全体，并在C0中赋以范数|| x || = max n≥1| ξn |，( ?x = (ξ1, ξ2, ..., ξn, ...)∈C0 )．又设M = {x = (ξ1, ξ2, ..., ξn, ...)∈C0 | ∑n ≥1 ξn/2n = 0}．
(1) 求证：M是C0的闭线性子空间．
(2) 设x0= (2, 0, 0, ...)，求证：inf z ∈M || x0–z || = 1，但?y∈M，有|| x0–y || > 1．证明：(1) 显然M ≠?，容易直接验证M是C0的线性子空间．
若x k = (ξ1(k), ξ2(k), ..., ξn(k), ...)为M中的点列，且x k→x = (ξ1, ξ2, ..., ξn, ...)∈C0．则?ε > 0，存在N∈?+，使得?k > N，|| x k -x || < ε．
此时，?n∈?+，有|ξn -ξn(k)| ≤ max n≥1| ξn -ξn(k) | = || x k -x || < ε．
| ∑n ≥1 ξn/2n | = | ∑n ≥1 ξn/2n-∑n ≥1 ξn(k)/2n | = | ∑n ≥1 (ξn -ξn(k))/2n |
≤∑n ≥1 |ξn -ξn(k)|/2n≤∑n ≥1 ε/2n = ε．
所以，∑n ≥1 ξn/2n = 0，即x = (ξ1, ξ2, ..., ξn, ...)∈M．
所以M是C0的闭线性子空间．
(2) x0= (2, 0, 0, ...)，?z = (ξ1, ξ2, ..., ξn, ...)∈M，
|| x0–z || = max{| 2 -ξ1 |, | ξ2 |, | ξ3 |, ... }．
如果| 2 -ξ1 | > 1，则|| x0–z || > 1．
如果| 2 -ξ1 | ≤ 1，则| ξ1 | ≥ 1，我们断言{| ξ2 |, | ξ3 |, ... }中至少有一个大于1者．否则，假若它们都不超1，因为ξn → 0 (n→∞)，故它们不能全为1．
由∑n ≥1 ξn/2n = 0知| ξ1 |/2 = | ∑n ≥2 ξn/2n | ≤∑n ≥2 | ξn | /2n < ∑n ≥2 1/2n = 1/2，
这样得到| ξ1 | < 1，矛盾．
故{| ξ2 |, | ξ3 |, ... }中至少有一个大于1者．
因此也有|| x0–z || > 1．
综上所述，但?y∈M，有|| x0–y || > 1．
由此，立即知道inf z ∈M || x0–z || ≥ 1．
下面证明inf z ∈M || x0–z || ≤ 1．
?n∈?+，令z n= (1 - 1/2n, -1, -1, ..., -1, 0, 0, ...)．
( z n从第2个坐标开始有连续的n个-1，后面全部是0 )，
则(1 - 1/2n)/2 - 1/4 - 1/8 - ... - 1/2n + 1 = 0，因此z n∈M．
此时，|| x0–z n || = max{| 1 + 1/2n|, | 1/4|, | 1/8|, ... } = 1 + 1/2n．
故inf z ∈M || x0–z || ≥ inf n || x0–z n || = inf n (1 + 1/2n ) = 1．
所以，inf z ∈M || x0–z || = 1．
1.4.15 设X是B*空间，M是X的有限维真子空间，求证：?y∈X，|| y|| = 1，使得|| y–x || ≥ 1 ( ?x ∈M )．
证明：取定z∈X \ M，令Y = span{z} + M．记S = { y∈Y | || y || = 1 }．
则M是Y的真闭子空间，而S是Y中的单位球面．
由Riesz引理，?n∈?+，存在y n∈S，使得d( y n, M ) ≥ 1 - 1/n．
因为Y也是有限维的，故其中的单位球面为自列紧集．
存在{y n}的收敛子列．不妨设y n(k) →y∈S．
则d( y n(k), M ) ≥ 1 - 1/n(k)，故有d( y, M ) ≥ 1．
即|| y–x || ≥ 1 ( ?x ∈M )．
1.4.16 若f是定义在区间[0, 1]上的复值函数，定义
ωδ( f ) = sup{| f (x) – f (y) | | ?x, y∈[0, 1], | x–y | ≤δ}．
如果0< α≤ 1对应的Lipschitz空间Lipα，由满足
|| f || = | f(0) | + supδ > 0{δ–αωδ( f )} < +∞
的一切f组成，并且以|| f ||为模．又设
lipα = { f∈Lipα| lim δ→ 0 δ–αωδ( f ) = 0}．
求证Lipα是B空间，而且lipα是Lipα的闭子空间．
证明：(1) 显然，C1[0, 1]?Lipα，因此Lipα不空．
对区间[0, 1]上的复值函数f, g，?λ∈ ，我们有
ωδ( f + g ) = sup{| f (x) + g (x) – f (y) – g (y) | | ?x, y∈[0, 1], | x–y | ≤δ}
≤ sup{| f (x) – f (y) | + | g (x) – g (y) | | ?x, y∈[0, 1], | x–y | ≤δ}
≤ωδ( f ) + ωδ( g )．
ωδ( λ f ) = sup{|λ f (x) –λ f (y) | | ?x, y∈[0, 1], | x–y | ≤δ}
= | λ| sup{| f (x) – f (y) | | ?x, y∈[0, 1], | x–y | ≤δ}
= | λ| ·ωδ( f )．
若f, g∈Lipα，λ∈ ，则
|| f + g || = | f(0) + g(0) | + supδ > 0{δ–αωδ( f + g ) }
≤ | f(0) | + | g(0) | + supδ > 0{δ–α(ωδ( f ) + ωδ( g )) }
= | f(0) | + | g(0) | + supδ > 0{δ–αωδ( f ) + δ–αωδ( g ) }
≤ | f(0) | + | g(0) | + supδ > 0{δ–αωδ( f ) }+ supδ > 0{ δ–αωδ( g ) }
= || f || + || g || < +∞．
|| λ f || = | λ f(0) | + supδ > 0{δ–αωδ( λ f )}
= | λ| · | f(0) | + | λ| · supδ > 0{δ–αωδ( f )}
= | λ| · || f || < +∞．
因此，f + g, λ f∈Lipα，且上述两个不等式表明|| · ||有齐次性和三角不等式．显然，|| f || ≥ 0．
当|| f || = 0时，| f(0) | + supδ > 0{δ–αωδ( f )} = 0，
意味着f(0) = 0，且ωδ( f ) = 0(?δ> 0)．
而ωδ( f ) = 0(?δ> 0)则意味着f为常值．
所以，f = 0．即|| · ||有正定性．
综上所述，Lipα是B*空间．
(2) 我们首先证明集合Lipα?C[0, 1]．
?f∈Lipα，?x, y∈[0, 1]，x ≠y，记δ = | x -y |．
则| f (x) – f (y) | ≤ωδ( f )．
而δ–αωδ( f ) ≤ supδ > 0{δ–αωδ( f n-f m) } ≤ || f ||，
所以，| f (x) – f (y) | ≤ || f || δα= || f || · | x -y |α，
故f∈C[0, 1]．
我们再证明，?f∈Lipα，|| f ||C≤ || f ||，其中|| ·||C是C[0, 1]范数．
事实上，?x∈[0, 1]，| f (x) | ≤ | f (0) | + | f (x) – f (0) |，故
|| f ||C = max x∈[0, 1] | f (x) | ≤ | f (0) | + max x∈[0, 1] | f (x) – f (0) |
≤ | f (0) | + sup x∈(0, 1] | f (x) – f (0) |/| x |α
≤ | f (0) | + sup x∈(0, 1] { δ–αωδ( f ) } ≤ || f ||．
这说明，如果{ f n }是Lipα中的基本列，则它也必是C[0, 1]中的基本列．
而C[0, 1]是完备的，故存在f∈C[0, 1]，使得{ f n }一致收敛于f．
而{ f n }作为Lipα中的基本列，有
|| f n-f m || = | f n(0) -f m(0) | + supδ > 0{δ–αωδ( f n-f m) } → 0 (n, m→∞)，
因此?ε > 0，?N∈?+，使得?n, m > N，有
| f n(0) -f m(0) | + supδ > 0{δ–αωδ( f n-f m) } < ε．
因此supδ > 0{δ–αωδ( f n-f m) } < ε．
故?δ > 0，ωδ( f n-f m) < εδα．
即?x, y∈[0, 1]，| x -y | ≤δ，都有
| ( f n(x) -f m(x)) - ( f n(y) -f m(y)) | < εδα．
令m→∞，得到| ( f n(x) -f(x)) - ( f n(y) -f(y)) | ≤εδα．
因此，sup {| ( f n(x) -f(x)) - ( f n(y) -f(y)) | | x, y∈[0, 1]，| x -y | ≤δ}≤εδα．即?δ > 0，ωδ( f n-f ) ≤εδα．
故supδ > 0{δ–αωδ( f n-f ) } ≤ε．
同样地，对不等式| f n(0) -f m(0) | < ε令m→∞，就得到| f n(0) -f(0) | ≤ε．
所以，| f n(0) -f(0) | + supδ > 0{δ–αωδ( f n-f ) } ≤ 2ε．
这说明f n-f∈Lipα．
而f n∈Lipα，故f = ( f -f n ) + f n∈Lipα．
而前面的式子也表明|| f -f n || ≤ 2ε．
因此|| f n-f || → 0 (n→∞)，即{ f n }为Lipα中的收敛列．
所以，Lipα是Banach空间．
(3) 记lipα = { f∈Lipα| lim δ→ 0 δ–αωδ( f ) = 0 }．
?f, g∈lipα，?λ∈ ，我们有
δ–αωδ( f + g ) ≤δ–α(ωδ( f ) + ωδ( g ) ) = δ–αωδ( f ) + δ–αωδ( g ) → 0 (δ→ 0)．δ–αωδ( λ f ) = | λ| ·δ–αωδ( f ) → 0 (δ→ 0)．
故f + g, λ f∈lipα，因此，lipα是Lipα的线性子空间．
设{ f n }是lipα中的序列，且f n→f∈Lipα(n→∞)．
则{ f n }一致收敛于f．
?ε > 0，存在N∈?+，使得|| f N →f || < ε /2．
故有supδ > 0{δ–αωδ( f N-f ) } < ε /2．
因为lim δ→ 0 δ–αωδ( f N) = 0，
所以，?? > 0，使得?δ∈(0, ?)，有δ–αωδ( f N) < ε /2．
此时我们有δ–αωδ( f ) ≤δ–α(ωδ( f N) + ωδ( f -f N))
= δ–αωδ( f N) + δ–αωδ( f -f N)
< ε /2 + supδ > 0{δ–αωδ( f N-f ) } < ε．
所以，lim δ→ 0 δ–αωδ( f ) = 0，即f∈lipα．
所以lipα是Lipα的闭子空间．
1.4.17 (商空间) 设X是线性赋范空间，X0是X的闭线性子空间，将X中的向量分类，凡是适合x’-x’’∈X0的两个向量x’, x’’归于同一类，称其为等价类，把一个等价类看成一个新的向量，这种向量的全体组成的集合为X/X0表示，并称其为商空间．下列是关于商空间的命题．
(1) 设[ y ]∈X/X0，x∈X，求证：x∈[ y ]的充分必要条件是[ y ] = x + X0．
证明：设x’, x’’∈X，若它们归于同一类，则记为x’～x’’．
我们用[ x ]表示x所在的等价类（大家注意，题目形式已经作了相应的修改）．(?) 若x∈[ y ]，则x～y．
?u ∈[ y ]，u～y，故u～x，即u –x∈X0．因此u ∈x + X0．所以[ y ] ?x + X0．反过来，?u ∈x + X0，则u～x，故u～y．因此u ∈[ y ]．所以x + X0 ? [ y ]．
所以[ y ] = x + X0．
(?) 若[ y ] = x + X0，则y –x∈X0，即y～x．从而x∈[ y ]．
(2) 在X/X0中定义加法与数乘如下：
[ x ] + [ y ] = x + y + X0(?[ x ], [ y ] ∈X/X0 )
λ[ x ] = λ x + X0(?[ x ]∈X/X0 , ?λ∈ )
其中x和y分别表示属于等价类[ x ]和[ y ]的任一元素．又规定范数
|| [ x ] ||0 = inf z∈[ x ] || z || ( ?[ x ]∈X/X0 )
求证：(X/X0, || · ||0)是一个B*空间．
证明：第(1)部分说明了[ x ] = x + X0．容易看出加法与乘法的定义是合理的．
进一步可以证明X/X0 构成数域 上的线性空间，且其零元为[ θ] = X0．
下面证明|| · ||0是X/X0 上的范数．
显然，?[ x ]∈X/X0，|| [ x ] ||0≥ 0．
若[ x ] = [ θ] = X0，则|| [ x ] ||0 = 0．
若|| [ x ] ||0 = 0，则inf z∈[ x ] || z || = 0．
存在z n∈[ x ]使得|| z n || → 0，即z n→θ (n→∞)．
那么，x-z n∈X0，x-z n→x (n→∞)，而X0是闭集，故x∈X0．
所以x～θ，即[ x ] = X0．
因此|| · ||0有正定性．
?[ x ]∈X/X0，?λ∈ ，
|| λ[ x ]||0 = || [ λ x ] ||0 = inf y∈[ x ] || λ y || = inf y∈[ x ] | λ| · || y ||
= | λ| · inf y∈[ x ] || y || = | λ| · ||[ x ]||0．
因此|| · ||0有齐次性．
?[ x ], [ y ]∈X/X0，
|| [ x ] + [ y ] ||0 = inf z∈[ x ] + [ y ] || z || = inf u∈[ x ], v∈[ y ] || u + v ||
≤ inf u∈[ x ], v∈[ y ] { || u || + || v || } ≤ inf u∈[ x ] { inf v∈[ y ] { || u || + || v ||} }
≤ inf u∈[ x ] { inf v∈[ y ] { || u || + || v ||} } = inf u∈[ x ] { || u || + inf v∈[ y ] || v || }
= inf u∈[ x ] || u || + inf v∈[ y ] || v || = || [ x ] ||0 + || [ y ] ||0．
因此|| · ||0的三角不等式成立．
所以，(X/X0, || · ||0)是一个B*空间．
(3) 设[ x ]∈X/X0, 求证对?y∈[ x ]有inf { || y -z || | z∈X0 } = || [ x ] ||0．
证明：|| [ x ] ||0 = inf u∈[ x ] || u || = inf u∈[ y ] || u || = inf { || u || | u∈y + X0 }
= inf { || y + v || | v∈X0 } = inf { || y -z || | z∈X0 }．
(4) 定义映射? : X →X/X0为? (x) = [ x ] = x + X0(?x∈X )．
求证?是线性连续映射．
证明：?x, y∈X，?α, β∈ ，
?( α x + β y ) = [α x + β y ] = [α x ] + [ β y ] = α [ x ] + β[ y ] = α? (x) + β? (y)．|| ? (x) -? (y) ||0 = || [ x ] - [ y ] ||0 = || [ x-y ] ||0 = inf z∈[ x-y ] || z || ≤ || x-y ||．
所以，?是线性连续映射．
(5) ?[ x ]∈X/X0，求证?y∈X，使得? (y) = [ x ]，且|| y || ≤ 2|| [ x ] ||0．
证明：因为|| [ x ] ||0 = inf z∈[ x ] || z ||，
若|| [ x ] ||0 = 0，则由|| · ||0的正定性，知[ x ] = X0，取y = θ即满足要求．
若|| [ x ] ||0≠ 0，则inf z∈[ x ] || z || = || [ x ] ||0 < 2 || [ x ] ||0，
存在?y∈[ x ]，使得|| y || ≤ 2|| [ x ] ||0．
此时显然有? (y) = [ x ] = [ y ]．
(6) 设(X, || · ||)完备，求证(X/X0, || · ||0)也是完备的．
证明：设{ [ x ]n }是X/X0中的基本列．
为证明它是收敛列，只需证明它存在收敛子列．
由基本列性质，可选出子列{ [ x ]n(k)}使得|| [ x ]n(k) - [ x ]n(k+1) ||0 ≤ 1/2k．
故∑k ≥ 1 || [ x ]n(k) - [ x ]n(k+1) ||0 收敛．
根据(5)，?k∈?+，?y k∈[ x ]n(k+1) - [ x ]n(k)，使得
|| y k || ≤ 2|| [ x ]n(k+1) - [ x ]n(k) ||0．
那么，∑k ≥ 1|| y k ||收敛．
由X的完备性，s k = ∑ 1 ≤j ≤k y j是X中的收敛列．设其极限为s．
由(5)中?的连续性，在X/X0中，?(s k) →?(s) ( k→∞ )．
而?(s k) = ?( ∑ 1 ≤j ≤k y j ) = ∑ 1 ≤j ≤k ?( y j )
= ∑ 1 ≤j ≤k ( [ x ]n(j+1) - [ x ]n(j)) = [ x ]n(k+1) - [ x ]n(1)．
故{[ x ]n(k+1) - [ x ]n(1)}收敛，因而{[ x ]n(k)}是收敛列．
因此X/X0中的基本列{ [ x ]n }存在收敛子列{[ x ]n(k)}，
所以，{ [ x ]n }是X/X0中的收敛列．
因此，(X/X0, || · ||0)是完备的．
(7) 设X = C[0, 1]，X0 = { f∈X | f (0) = 0 }，求证：X/X0 ? ，其中记号“?”表示等距同构．
证明：显然，X0是C[0, 1]中的线性子空间．
记X0所确定的等价关系为～，则f～g ? f (0) = g (0)．
定义Φ : X/X0 → ，Φ([ f ]) = f (0)．显然定义是合理的．
?f, g∈X，?α, β∈ ，
Φ(α[ f ] + β[ g ]) = Φ([αf + β g ]) = (αf + β g )(0)
= αf (0)+ β g (0) = αΦ([ f ])+ βΦ([ g ])．
因此Φ是线性映射．
因Φ(X0) = 0，故Φ是单射．
而?c∈ ，若记所对应的常值函数为h c∈C[0, 1]，
则Φ( [ h c] ) = c．故Φ是满射．
综上所述，Φ : X/X0 → 是线性同构．
?f∈X，|| [ f ]||0 = inf g∈[ f ] { || g || } ≥ inf g∈[ f ] { | g (0) | }
= inf g∈[ f ] { | f (0) | } = | f (0) | = | Φ([ f ]) |．
另一方面，因为常值函数h f (0)∈[ f ]，
故|| [ f ]||0 = inf g∈[ f ] { || g || } ≤ || h f (0) || = | f (0) | = | Φ([ f ]) |．
所以，?f∈X，都有|| [ f ]||0 = | Φ([ f ]) |，因此Φ : X/X0 → 是等距同构．
[第4节完] 泛函分析题1_5凸集与不动点p52
1.5.1 设X是B*空间，E是以θ为内点的真凸子集，P是由E产生的Minkowski 泛函，求证：
(1) x∈int(E) ?P(x) < 1；
(2) cl(int(E)) = cl(E)．
证明：(1) (?) 若x∈int(E)，存在δ > 0，使得Bδ(x) ?E．
注意到x + x/n→x ( n→∞ )，故存在N ∈?+，使得x + x/N ∈Bδ(x) ?E．
即x/( N/( 1 + N ) ) ∈E．因此P(x) ≤N/( 1 + N ) < 1．
(?) 若P(x) < 1．则存在a > 1，使得y = a x∈E．
因θ∈int(E)，故存在δ > 0，使得Bδ(θ) ?E．
令η = δ(a - 1)/a，?z∈Bη(x)，令w = (a z-y )/(a - 1)，
则|| w || = || (a z-y )/(a - 1) || = || a z-y ||/(a - 1)
= || a z-a x ||/(a - 1) = a || z-x ||/(a - 1) < aη/(a - 1) = δ．
故w∈Bδ(θ) ?E．
故z = ((a - 1)w + y )/a ∈E，
因此，Bη(x) ?E．
所以x∈int(E)．
(2) 因int(E) = E，故有cl(int(E)) ? cl(E)．下面证明相反的包含关系．
若x∈cl(E)，则?ε > 0，存在y∈E，使得|| x -y || < ε/2．
因ny/(n + 1) →y ( n →∞ )．
故存在N ∈ +，使得|| Ny/(N + 1) -y || < ε/2．
令z = Ny/(N + 1)，则z∈E，且P(z) ≤N/(N + 1) < 1，
由(1)知z∈int(E)．
而|| z -x || ≤ || z -y || + || y -x || < ε/2 + ε/2 = ε．
故x∈cl(int(E))，因此cl(E) ? cl(int(E))
所以cl(int(E)) = cl(E)．
1.5.2 求证在B空间中，列紧集的凸包是列紧集．
证明：设A是B空间X中的列紧集，?ε > 0，存在A的有限ε /3网B．
设B = {b1, b2, ..., b n}，M = max j{ || b j || }，
取δ > 0，使得n δ M < ε /3．
设[0, 1]分划D为0 = t0 < t1 < t2 < ... < t m = 1，使得max 1 ≤j ≤m {| t j–t j–1|} < δ．
设?x∈co(A)，设x= λ1 a1 + λ2 a2+ ... + λ k a k，其中a j∈A，λ j > 0，∑ j λ j = 1．
对每个j ≤k，存在b i( j )∈B使得|| a j-b i( j ) || < ε /3；
令y= λ1 b i(1) + λ2 b i(2)+ ... + λ k b i(k)，
则|| x - y || = || λ1 (a1 -b i(1)) + λ2 (a2 -b i(2))+ ... + λ k (a k-b i(k))||，
≤λ1 · || a1 -b i(1) || + λ2 · || a2 -b i(2) || + ... + λ k · || a k-b i(k) ||
≤ ( λ1 + λ2 + ... + λ k ) · (ε /2) = ε /3．
将y= λ1 b i(1) + λ2 b i(2)+ ... + λ k b i(k)中的那些含有相同b j的项合并起来，
于是，y可表示为y= μ1 b1 + μ2 b2+ ... + μ n b n，其中μj ≥ 0，且∑ j μj = 1．
对每个l ≤n，存在t s( l )∈D，使得|| μl-t s( l ) || < δ；
令z= t s(1) b1 + t s(2) b2+ ... + t s(n) b n，
则|| y - z || = || (μ1 -t s(1))b1 + (μ2 -t s(2))b2+ ... + (μn -t s(n))b n ||
≤∑ l | μl-t s( l ) | · max j{ || b j || } ≤n δ M < ε /3；
令C = {t s(1) b1 + t s(2) b2+ ... + t s(n) b n | t s(i)∈D，1 ≤i≤n}，
则C是有限集，且C是co(A)的有限ε网．
因空间是完备的，故co(A)是列紧集．
1.5.3 设C是B*空间X中的一个紧凸集，映射T : C →C连续，求证T在C上有一个不动点．
证明：因为C是紧集，所以C是闭集．
因为C是紧集，故C的任意子集都列紧．
而T(C) ?C，故T(C)列紧．
于是，由Schauder不动点定理，T在C上有一个不动点．
[Schauder定理：B*空间中闭凸集C上使T(C)列紧的连续自映射T必有不动点] 1.5.4 设C是B空间X中的一个有界闭凸集，映射T i : C→X (i = 1, 2)适合
(1) ?x, y∈C ?T1x + T2y∈C；
(2) T1是一个压缩映射，T2是一个紧映射．
求证：T1 + T2在C上至少有一个不动点．
证明：[邸双亮老师解] 设压缩映射T1的压缩系数为α∈(0, 1)．
?y∈C，映射K y : C→C，x#T1x + T2y是压缩映射，
因此K y有唯一不动点u y∈C (即u y满足u y = T1 u y + T2 y)．
故可定义映射U : C→C，y #u y；
考察映射I–T1 : C→X，x#x -T1x，则?x, y∈C，
||( I–T1 ) x - ( I–T1 )y || = ||( x -y) – (T1 x -T1y) ||
≥ || x -y || – || T1 x -T1y || ≥ || x -y || –α|| x -y || = (1 –α) || x -y ||；
故I–T1为单射．
因此存在逆映射( I–T1 )–1 : (I–T1)(C) →C．
而不等式||( I–T1 ) x - ( I–T1 )y || ≥ (1 –α) || x -y ||表明，( I–T1 )–1还是连续的．因?y∈C，U(y)= u y ∈C满足U(y) = T1(U(y)) + T2 y，即( I–T1 )U(y) = T2 y；
故U(y) = ( I–T1 )–1 T2 y，即U = ( I–T1 )–1 ?T2．
因T2紧且( I–T1 )–1连续，故U = ( I–T1 )–1 ?T2是紧映射．
由Schauder不动点定理，U有不动点．
即存在u∈C，使得( I–T1 )–1 T2 u = u；
即T2 u = ( I–T1 )u；也就是T1u + T2u = u．
1.5.5 设A是n?n矩阵，其元素a ij> 0 (1 ≤ i, j≤n)．求证，存在λ> 0及各分量非负但不全为零的向量x∈ n，使得Ax = λ x．
证明：设C = {x = (x1, x2, ..., x n)∈ n | ∑ 1 ≤i ≤n x i = 1，x i ≥ 0 ( i = 1, 2, ..., n) }．
则C是有界闭集，且是凸集，因此C是紧凸集．
因为?x∈C，x i 不全为0，而a ij> 0，故Ax的各分量也非负但不全为零．
?x∈C，设f (x) = (Ax)/( ∑ 1 ≤i ≤n (Ax)i )，则f (x)∈C．
容易验证f : C→C还是连续的．
由Brouwer不动点定理，存在f的不动点x0∈C．
即f (x0) = x0，也就是(Ax0)/( ∑ 1 ≤i ≤n (Ax0)i ) = x0．
令λ= ∑ 1 ≤i ≤n (Ax0)i，则有Ax0 = λ x0．
1.5.6 设K(x, y)是[0, 1]?[0, 1]上的正值连续函数，定义映射
(T u)(x) = ?[0, 1]K(x, y) u(y) dy ( ?u∈C[0, 1] )．
求证：存在λ> 0及非负但不恒为零的连续函数u满足T u = λ u．
证明：设B = { u∈C[0, 1] | ?[0, 1]u(x) dx = 1，u(x) ≥ 0 }，
则B是C[0, 1]中闭凸集．
设max (x, y)∈[0, 1]?[0, 1]K(x, y) = M，min (x, y)∈[0, 1]?[0, 1]K(x, y) = m，
?[0, 1] (?[0, 1]K(x, y) dy) dx = N，max x∈[0, 1] | ?[0, 1]K(x, y) dy |= P．
令(S u)(x) = (?[0, 1]K(x, y) u(y) dy)/(?[0, 1] (?[0, 1]K(x, y) u(y) dy) dx )
则?[0, 1] (S u)(x) dx = 1，u(x) ≥ 0；
即S u∈B．因此S是从B到B内的映射．
?u, v∈B，
|| ?[0, 1]K(x, y) u(y) dy -?[0, 1]K(x, y) v(y) dy ||
= || ?[0, 1]K(x, y) (u(y)-v(y)) dy ||
= max x∈[0, 1] | ?[0, 1]K(x, y) (u(y)-v(y)) dy |
≤M · || u -v ||；
因此映射u #?[0, 1]K(x, y) u(y) dy在B上连续．
类似地，映射u #?[0, 1] (?[0, 1]K(x, y) u(y) dy) dx也在B上连续．
所以，S在B上连续．
下面证明S(B)列紧．
首先，证明S(B)是一致有界集．?u∈B，
|| S u || = || (?[0, 1]K(x, y) u(y) dy )/(?[0, 1] (?[0, 1]K(x, y) u(y) dy) dx )||
= max x∈[0, 1] | ?[0, 1]K(x, y) u(y) dy |/(?[0, 1] (?[0, 1]K(x, y) u(y) dy) dx )
≤ (M ·?[0, 1]u(y) dy |/(m ?[0, 1] (?[0, 1]u(y) dy) dx ) = M/m，
故S(B)是一致有界集．
其次，证明S(B)等度连续．?u∈B，?t1, t2∈[0, 1]，
| (S u)(t1) - (S u)(t2)|
= | ?[0, 1]K(t1, y) u(y) dy-?[0, 1]K(t2, y) u(y) dy |/(?[0, 1] (?[0, 1]K(x, y) u(y) dy) dx )
≤?[0, 1] | K(t1, y) -K(t2, y) | u(y) dy /(m?[0, 1] (?[0, 1]u(y) dy) dx )
≤ (1/m) · max y∈[0, 1] | K(t1, y) -K(t2, y) |
由K(x, y)在[0, 1]?[0, 1]上的一致连续性，
?ε > 0，存在δ> 0，使得?(x1, y1), (x2, y2)∈[0, 1]，只要|| (x1, y1) - (x2, y2) || < δ，就有| K(x1, y1) -K(x2, y2) | < m ε．
故只要| t1-t2 | < δ时，y∈[0, 1]，都有| K(t1, y) -K(t2, y) | < m ε．
此时，| (S u)(t1) - (S u)(t2)| ≤ (1/m) · max y∈[0, 1] | K(t1, y) -K(t2, y) |
≤ (1/m) ·m ε = ε．
故S(B)是等度连续的．
所以，S(B)是列紧集．
根据Schauder不动点定理，S在C上有不动点u0．
令λ= (?[0, 1] (?[0, 1]K(x, y) u0(y) dy) dx．
则(S u0)(x) = (?[0, 1]K(x, y) u0(y) dy)/λ= (T u0)(x)/λ．
因此(T u0)(x)/λ= u0(x)，T u0 = λ u0．
显然上述的λ和u0满足题目的要求．
[第5节完] 泛函分析题1_6内积空间p75
1.6.1 (极化恒等式) 设a是复线性空间X上的共轭双线性函数，q是由a诱导的二次型，求证：?x, y∈X，有
a(x, y) = (1/4) · ( q(x + y) -q(x-y) + i q(x + i y) -i q(x-i y))．
证明：?x, y∈X，
q(x + y) -q(x-y) = a(x + y, x + y) -a(x-y, x-y)
= (a(x, x) + a(x, y) + a(y, x) + a(y, y)) - (a(x, x) -a(x, y) -a(y, x) + a(y, y))
= 2 (a(x, y) + a(y, x))，
将i y代替上式中的y，有
q(x + i y) -q(x-i y) = 2 (a(x, i y) + a(i y, x))
= 2 (-i a(x, y) + i a( y, x))，
将上式两边乘以i，得到
i q(x + i y) -i q(x-i y) = 2 ( a(x, y) -a( y, x))，
将它与第一式相加即可得到极化恒等式．
1.6.2 求证在C[a, b]中不可能引进一种内积( · , · )，使其满足
( f, f )1/2 = max a ≤x≤b| f (x) |(?f∈C[a, b] )．
证明：若C[a, b]中范数|| · ||是可由某内积( · , · )诱导出的，
则范数|| · ||应满足平行四边形等式．
而事实上，C[a, b]中范数|| · ||是不满足平行四边形等式的，
因此，不能引进内积( · , · )使其适合上述关系．
范数|| · ||是不满足平行四边形等式的具体例子如下：
设f(x) = (x–a)/(b–a)，g(x) = (b–x)/(b–a)，
则|| f || = || g || = || f + g || = || f –g || = 1，
显然不满足平行四边形等式．
1.6.3 在L2[0, T]中，求证函数x# | ?[0, T]e- ( T-τ)x(τ) dτ| ( ?x∈L2[0, T] )在单位球面上达到最大值，并求出此最大值和达到最大值的元素x．
证明：?x∈L2[0, T]，若|| x || = 1，由Cauchy-Schwarz不等式，有
| ?[0, T]e- ( T-τ)x(τ) dτ|2≤ (?[0, T] (e- ( T-τ))2dτ) (?[0, T] ( x(τ))2dτ)
= ?[0, T] (e- ( T-τ))2dτ = e- 2T ?[0, T]e 2τdτ= (1-e- 2T )/2．
因此，该函数的函数值不超过M = ((1-e- 2T )/2)1/2．
前面的不等号成为等号的充要条件是存在λ∈ ，使得x(τ) = λ e- ( T-τ)．
再注意|| x || = 1，就有?[0, T] (λ e- ( T-τ))2dτ= 1．
解出λ= ±((1-e- 2T )/2)- 1/2．
故当单位球面上的点x(τ) = ±((1-e- 2T )/2)- 1/2 ·e- ( T-τ)时，
该函数达到其在单位球面上的最大值((1-e- 2T )/2)1/2．
1.6.4 设M, N是内积空间中的两个子集，求证：M?N ?N⊥?M⊥．
证明：若x∈N⊥，则?y∈N，(x, y) = 0．
而M?N，故?y∈M，也有(x, y) = 0．
因此x∈M⊥．所以，N⊥?M⊥．
1.6.5 设M是Hilbert空间X中的子集，求证：( M⊥)⊥ = cl( span M )．
证明：(1) ?x∈M，?y∈M⊥，总有(x, y) = 0．故有x ⊥M⊥．
所以，x∈( M⊥)⊥．从而得到M ? ( M⊥)⊥．
因( M⊥)⊥是线性子空间，所以，span M? ( M⊥)⊥．
又( M⊥)⊥是闭线性子空间，所以，cl( span M )? ( M⊥)⊥．
(2) ?x∈ ( M⊥)⊥，因cl( span M )是X的闭子空间，
故存在x关于cl( span M )的正交分解
x = x1 + x2，其中x1∈cl( span M )，x2∈(cl( span M ))⊥，
从M ? cl( span M )，根据习题1.6.4，我们有(cl( span M ))⊥?M⊥．
所以x2∈M⊥．
因x∈ ( M⊥)⊥，故?y∈M⊥，总有(x, y) = 0．
而y⊥M蕴含y⊥span M．
再由内积的连续性，得到y⊥cl( span M )．
所以，(x2, y) = (x -x1, y) = (x, y) - (x1, y) = 0．
即?y∈M⊥，总有(x2, y) = 0．
所以x2∈( M⊥)⊥．
故x2∈M⊥?( M⊥)⊥，因此(x2, x2) = 0．
这样就得到x2 = θ，x = x1 + x2 = x1 + θ = x1∈cl( span M )．
所以，( M⊥)⊥? cl( span M )．
1.6.6 在L2[ - 1, 1]中，问偶函数集的正交补是什么？证明你的结论．
解：设偶函数集为E，奇函数集为O．
显然，每个奇函数都与正交E．故奇函数集O ?E⊥．
?f∈E⊥，注意到f总可分解为f = g + h，其中g是奇函数，h是偶函数．
因此有0 = ( f, h) = ( g + h, h) = ( g, h) + ( h, h) = ( h, h)．
故h几乎处处为0．即f = g是奇函数．
所以有E⊥?O．
这样就证明了偶函数集E的正交补E⊥是奇函数集O．
1.6.7 在L2[a, b]中，考察函数集S = {e2π i n x| n∈? }．
(1) 若| b–a | ≤ 1，求证：S⊥ = {θ}；
(2) 若| b–a | > 1，求证：S⊥≠ {θ}；
证明：首先直接验证，?c∈ ，S = {e2π i n x| n∈? }是L2[c, c + 1]中的一个正交集．再将其标准化，得到一个规范正交集S1 = {?n(x) = d n e2π i n x| n∈? }．
其中的d n= || e2π i n x|| (n∈?)，并且只与n有关，与c的选择无关．
(1) 当b–a =1时，根据实分析结论有S⊥ = {θ}．
当b–a <1时，若u∈L2[a, b]，且u∈S⊥，
我们将u延拓成[a, a + 1]上的函数v，使得v(x) = 0 (?x∈(b, a + 1])．
则v∈L2[a, a + 1]．
同时把S = {e2π i n x| n∈? }也看成L2[a, a + 1]上的函数集．
那么，在L2[a, a + 1]中，有v∈S⊥．
根据前面的结论，v = θ．
因此，在L2[a, b]中就有u = θ．
故也有S⊥ = {θ}；
(2) 分成两个区间[a, b– 1)和[b– 1, b]来看．
在[a, b– 1)上取定非零函数u(x) = 1 ( ?x∈[a, b– 1) )．
记p n = ?[a, b– 1)u(x)?n(x) dx．
我们再把u看成是[b– 2, b– 1]上的函数(u在[b– 2, a)上去值为0)．
那么p n就是u在L2[b– 2, b– 1]上关于正交集S1 = {?n(x)| n∈? }的Fourier系数．由Bessel不等式，∑n∈? | p n |2 < +∞．
再用Riesz-Fischer定理，在L2[b– 1, b]中，∑n∈?p n ?n收敛．
并且，若令v = -∑n∈?p n ?n，则(v, ?n)= -p n (?n∈?)．
设f : [a, b] → 为：f(x) = u(x) (当x∈[a, b– 1))，f(x) = v(x) (当x∈[b– 1, b])．
则f∈L2[a, b]，f≠θ，
但( f, ?n) = ?[a, b– 1)f(x)?n(x) dx + ?[b– 1, b]f(x)?n(x) dx
= ?[a, b– 1)u(x)?n(x) dx + ?[b– 1, b]v(x)?n(x) dx
= p n -p n = 0，
因此，f∈S1⊥= S⊥，故S⊥≠ {θ}．
1.6.8 设X表示闭单位圆上的解析函数全体，内积定义为
( f, g ) = (1/i)?| z | = 1 ( f(z) ·g(z)* )/z dz( ?f, g∈X )
求证：{ z n/(2π)1/2 }n ≥ 0是一组正交规范集．
证明：( z n/(2π)1/2, z n/(2π)1/2 ) = (1/i)?| z | = 1 ( z n/(2π)1/2 · (z*)n/(2π)1/2 )/z dz
= (1/(2πi))?| z | = 1z n· (z*)n/z dz = (1/(2πi))?| z | = 1 1/z dz = 1．
若n > m，则n- m - 1 ≥ 0，从z n -m - 1而解析．
( z n/(2π)1/2, z m/(2π)1/2 ) = (1/i)?| z | = 1 ( z n/(2π)1/2 · (z*)m/(2π)1/2 )/z dz
= (1/(2πi))?| z | = 1z n· (z*)m/z dz = (1/(2πi))?| z | = 1z n -m - 1dz = 0．
因此，{ z n/(2π)1/2 }n ≥ 0是正交规范集．
1.6.9 设{e n}n∈?，{ f n}n∈?是Hilbert空间X的两个正交规范集，满足条件
∑n∈? || e n-f n ||2 < 1．
求证：{e n}和{ f n}两者中一个完备蕴涵另一个完备．
证明：不妨假定{e n}完备．
?x∈{ f n}⊥，我们有( x, f n ) = 0(?n∈?)．
由于{e n}完备，故{e n}是基，因此x = ∑ n∈?(x, e n ) e n．
若x ≠θ，则
|| x ||2 = || ∑ n∈?( x, e n ) e n ||2 = ∑ n∈?|( x, e n )|2
= ∑ n∈?|( x, e n-f n )|2≤∑ n∈?|| x ||2 · ||e n-f n ||2
=|| x ||2 ·∑ n∈? ||e n-f n ||2 < || x ||2，
矛盾，故x = θ．
因此{ f n}也完备．
1.6.10 设X是Hilbert空间，X0是X的闭线性子空间，{e n}, { f n}分别是X0和X0⊥的正交规范基．求证：{e n}?{ f n}是X的正交规范基．
证明：容易验证{e n}?{ f n}是正交规范集，下面只证明{e n}?{ f n}是X的基．
?x∈X，由正交分解定理，存在x关于X0的正交分解
x = y + z，其中y∈X0，z∈X0⊥．
因{e n}, { f n}分别是X0和X0⊥的正交规范基，
故y = ∑ n∈?( y, e n ) e n，z = ∑ n∈?( z, f n ) f n．
因z∈X0⊥，故(x, e n) = ( y + z, e n) = ( y, e n) + ( z, e n) = ( y, e n)．
因y∈X0，故(x, f n) = ( y + z, f n) = ( y, f n) + ( z, f n) = ( z, f n)．
故x = y + z = ∑ n∈?( y, e n ) e n + ∑ n∈?( z, f n ) f n
= ∑ n∈?( x, e n ) e n + ∑ n∈?( x, f n ) f n．
因此{e n}?{ f n}是X的正交规范基．
1.6.11 设D是 中开单位圆域，H2(D)表示在D内满足
?D| u(z)| dxdy < +∞ ( z = x + i y )
的解析函数全体组成的空间．规定内积为(u, v) = ?D u(z) ·v(z)*dxdy．
(1) 如果u(z)的Taylor展开式是u(z) = ∑k≥ 0 b k z k，求证∑k≥ 0 | b k |2/( 1 + k ) < +∞；
(2) 设u(z), v(z)∈H2(D)，并且u(z) = ∑k≥ 0 a k z k，v(z) = ∑k≥ 0 b k z k，求证：
(u, v) = π∑k≥ 0 ( a k ·b k*)/( 1 + k )；
(3) 设u(z)∈H2(D)，求证：| u(z) | ≤ || u ||/(π1/2 ( 1 - | z | ))．
(4) 验证H2(D)是Hilbert空间．
证明：首先，令?k (z) = (( k +1 )/π)1/2 z k ( k≥ 0 )，
则{ ?k }k≥ 0是H2(D)中的正交规范基．
那么，?u(z)∈H2(D)，设u(z) = ∑k≥ 0 a k z k，则?k∈?，有
(u, ?k) = ?D u(z) ·?k(z)*dxdy
= ?D (∑j≥ 0 a j z j) ·?k(z)*dxdy
泛函分析答案
泛函分析答案： 1、 所有元素均为0的n ×n 矩阵 2、 设E 为一线性空间，L 是E 中的一个子集，若对任意的x,y ∈L ，以及变数λ和μ均有λx ＋μy ∈L ，则L 称为线性空间E 的一个子空间。子空间心室包含零元素，因为当λ和μ均为0时，λx ＋μy ＝0∈L ，则L 必定含零元素。 3、 设L 是线性空间E 的子空间，x 0∈E\L,则集合x 0+L={x 0+l,l ∈L}称为E 中一个线性流形。 4、 设M 是线性空间E 中一个集合，如果对任何x,y ∈M ，以及λ＋μ＝1，λ≥0，μ≥0的 λ和μ，都有λx ＋μy ∈M ，则称M 为E 中的凸集。 5、 设x,y 是线性空间E 中的两个元素，d(x,y)为其之间的距离，它必须满足以下条件： （1） 非负性：d(x,y)＞0，且d(x,y)＝0＜―――＞x=y （2） d(x,y)=d(y,x) （3） 三角不等式：d(x,y)≤d(x,z)+d(y,z) for every x,y,z ∈E n 维欧几里德空间常用距离定义： 】 设x={x 1,x 2,…x n }T ,y={y 1y 2,…y n }T d 2(x,y)=( 21 ||n i i i x y =-∑)1/2 d 1(x,y)=1 ||n i i i x y =-∑ d p (x,y) = ( 1 ||n p i i i x y =-∑ )1/p d ∞(x,y)=1max ||i i i n x y ≤≤- 6、距离空间(x,d)中的点列{x n }收敛到x 0是指d(x n ,x 0)0(n ∞)，这时记作 0lim n n x x -->∞ =，或 简单地记作x n x 0 7、设||x||是线性空间E 中的任何一个元素x 的范数，其须满足以下条件： （1）||x||≥0,且||x||＝0 iff x=0 （2）||λx||=λ||x||,λ为常数 （3）||x+y||≤||x||+||y||,for every x,y ∈E 8、设E 为线性赋范空间，｛x n ｝∞ n=1是其中的一个无穷列，如果对于任何ε>0,总存在自然数N ，使得当n>N,m>N 时，均有|x m -x n |<ε,则称序列{x n }是E 中的基本列。若E 的基本列的收敛元仍属于E ，则称E 为完备的线性赋范空间，即为Banach 空间。线性赋范空间中的基本列不一定收敛。 9、有限维的线性赋范空间必然完备，所以它必定是Banach 空间。 $ 10、如果内积空间能在由内积诱导的赋范空间完备，则此内积空间称为Hilbert 空间。 11、L 2（a,b ）为定义在(a,b)上平方可积函数空间，即设f(t)∈L 2（a,b ）, 2|()|b a f t dt ? ＜∞。 当 L 2（a,b ）中内积的定义为（f,g ）= _____ ()()b a f t g t dt ? (其中f(t),g(t)∈L 2（a,b ）)时其为Hilbert 空间。 ★ 12、算子表示一种作用，一种映射。设X 和Y 是给定的两个线性赋范空间，集合D ?X ， 若对D 中的每一个x ，均有Y 中的一个确定的变量y 与其对应，则说这种对应关系确定
(完整版)泛函分析复习与总结,推荐文档
《泛函分析》复习与总结 (2014年6月26日星期四 10:20--- 11:50) 第一部分 空间及其性质 泛函分析的主要内容分为空间和算子两大部分. 空间包括泛函 分析所学过的各种抽象空间, 函数空间, 向量空间等, 也包括空间的 性质, 例如完备性, 紧性, 线性性质, 空间中集合的各种性质等等。 以下几点是对第一部分内容的归纳和总结。 一．空间 （1）距离空间 （集合+距离）！验证距离的三个条件：称为是距离空间，如果对于 (,)X ρ,,x y z X ∈(i) 【非负性】，并且当且仅当 (,)0x y ρ≥(,)0x y ρ=【正定性】； x y =(ii) 【对称性】； (,)(,)x y y x ρρ=(iii) 【三角不等式】。 (,)(,)(,)x y x y y z ρρρ≤+距离空间的典型代表：空间、空间、所有的赋范线性空间、 s S 所有的内积空间。 （2）赋范线性空间 （线性空间 + 范数） ！验证范数的三个条件：称为是赋范线性空间，如果 (,||||)X ?是数域（或）上的线性空间，对于和 X K =?K =￡a K ∈，成立 ,x y X ∈(i) 【非负性】，并且当且仅当【正定性】 ||||0x ≥||||0x =0x =； (ii) 【齐次性】； ||||||||||ax a x =?
(iii) 【三角不等式】。 ||||||||||||x y x y +≤+赋范线性空间的典型代表：空间（）、空间（n ?1,2,3,n =L n ￡） 、空间（）、空间（1,2,3,n =L p l 1p ≤≤∞([,])p L a b ）、空间、空间、Banach 空间、所有的1p ≤≤∞[,]C a b [,]k C a b 内积空间（范数是由内积导出的范数）。 （3）内积空间 （线性空间 + 内积） ！验证内积的四个条件：称为是内积空间，如果 (,(,))X ??是数域（或）上的线性空间，对于和 X K =?K =￡a K ∈，成立 ,,x y z X ∈(i) 【非负性】，并且当且仅当【正 (,)0x x ≥(,)0x x =0x =定性】； (ii) 【第一变元可加性】； (,)(,)(,)x y z x z x z +=+(iii) 【第一变元齐次性】； (,)(,)ax z a x z =(iv) 【共轭对称性】。 (,)(,)x z z x =内积空间的典型代表：空间（）、空间（n ?1,2,3,n =L n ￡） 、空间、空间。1,2,3,n =L 2l 2([,])L a b 注. 1) 从概念的外延来理解, 有如下的关系: {内积空间}{赋范线性空间}{距离空间}. ??2) 内积可导出范数, 范数可导出距离, 反之未必. 例如在赋范 线性空间中, 如果范数满足平行四边形公式, 则由范数可以定义内 积. 3) 在距离空间中，，当 0k x x ρ??→?0(,)0k x x ρ→； k →∞赋范线性空间中，，当；|||| 0k x x ???→?0||||0k x x -→k →∞
泛函分析答案
泛函分析答案： 1、所有元素均为0的n ×n 矩阵 2、设E 为一线性空间，L 是E 中的一个子集，若对任意的x,y ∈L ，以及变数λ和μ均有λx ＋μy ∈L ，则L 称为线性空间E 的一个子空间。子空间心室包含零元素，因为当λ和μ均为0时，λx ＋μy ＝0∈L ，则L 必定含零元素。 3、设L 是线性空间E 的子空间，x 0∈E\L,则集合x 0+L={x 0+l,l ∈L}称为E 中一个线性流形。 4、设M 是线性空间E 中一个集合，如果对任何x,y ∈M ，以及λ＋μ＝1，λ≥0，μ≥0的λ和μ，都有λx ＋μy ∈M ，则称M 为E 中的凸集。 5、设x,y 是线性空间E 中的两个元素，d(x,y)为其之间的距离，它必须满足以下条件： （1） 非负性：d(x,y)＞0，且d(x,y)＝0＜―――＞x=y （2） d(x,y)=d(y,x) （3） 三角不等式：d(x,y)≤d(x,z)+d(y,z)foreveryx,y,z ∈E n 维欧几里德空间常用距离定义： 设x={x 1,x 2,…x n }T ,y={y 1y 2,…y n }T d 2(x,y)=(21 ||n i i i x y =-∑)1/2 d 1(x,y)=1 ||n i i i x y =-∑ d p (x,y)=(1 ||n p i i i x y =-∑)1/p d ∞(x,y)=1max ||i i i n x y ≤≤- 6、距离空间(x,d)中的点列{x n }收敛到x 0是指d(x n ,x 0)?0(n ?∞)，这时记作 0lim n n x x -->∞ =，或简单地记作x n ?x 0 7、设||x||是线性空间E 中的任何一个元素x 的范数，其须满足以下条件： （1）||x||≥0,且||x||＝0 iffx=0 （2）||λx||=λ||x||,λ为常数 （3）||x+y||≤||x||+||y||,foreveryx,y ∈E 8、设E 为线性赋范空间，｛x n ｝∞n=1是其中的一个无穷列，如果对于任何ε>0,总存在自然数N ，使得当n>N,m>N 时，均有|x m -x n |<ε,则称序列{x n }是E 中的基本列。若E 的基本列的收敛元仍属于E ，则称E 为完备的线性赋范空间，即为Banach 空间。线性赋范空间中的基本列不一定收敛。 9、有限维的线性赋范空间必然完备，所以它必定是Banach 空间。 10、如果内积空间能在由内积诱导的赋范空间完备，则此内积空间称为Hilbert 空间。 11、L 2 （a,b ）为定义在(a,b)上平方可积函数空间，即设f(t)∈L 2 （a,b ）,2|()|b a f t dt ?＜∞。
泛函分析在力学和工程中的应用
泛函分析在力学和工程中的应用 陆章基 （复旦大学应用力学系） 摘要 本文简单介绍泛函分析方法在力学和工程中的若干应用，包括泛函观点下的结构数学理论、直交投影法、超圆方法、变分法、变分不等式与凸分析、算子的特征值与谱方法、与实验技术有关的泛函方法等。并介绍当前非线性分析中部分动态。 $ 1 泛函分析概述 泛函分析是高度抽象的数学分支，研究各类泛函空间及算子理论。所谓泛函空间是带有某类数学结构（主要是拓扑和代数结构）的抽象集。其元（或点）可以是数、向量、函数、张量场，甚至各种物理状态等。根据不同拓扑和代数结构，泛函空间划分为各个类别。力学和工程中常见的有①：（i）度量（距离）空间。对任意两抽象元引入距离，由此自然地引入开集等拓扑结构。从而，度量空间是一特殊拓扑空间，但尚未赋予代数结构；（ii）线性拓扑空间（拓扑向量空间。同时带有拓扑和代数结构。所谓拓扑无非是在抽象集中规定某些子集为开集），他们满足开集的基本公理。有了拓扑后，即能引入极限、连续、紧致和收敛等初等分析的重要概念。这里所述的代数结构指的是线性结构（加法和数乘运算）。由此可讨论线性无关、基和维数等代数概念。泛函分析的空间（尤其各类函数空间）绝大部分是无限维的。线性空间（带有线性结构的度量空间）是线性拓扑空间的一例。但最重要的线性拓扑空间应是下列线性赋范空间；（iii）线性赋范空间。每个元（常称向量）配有番薯||x||（是普通向量长度的推广）。线性空间配上范数后，能自然地诱导出度量和拓扑。就这个意义而言，它是特殊的线性拓扑和度量空间。于是，具有这两个空间中所有概念。例如可以讨论该空间（或其子集）是否完备。即任何柯西序列是否为收敛序列。（iv）Banach空间。它是完备的线性赋范空间。完备性使该空间具有十分良好的性质。例如闭图像定理、共鸣定理、逆算子定理和开映照原理等。（v）内积空间。内积的引入使该空间更直观形象，内容格外丰富。内积把普通的几何术语差不多全带到抽象空间中。例如：长度、两向量交角、直交性、直交投影、就范直交系、点（向量）和子空间的距离等。使抽象泛函空间涂上浓厚的几何色彩。力学家和工程师对此尤感兴趣。由于内积可诱导番薯，内积空间是特殊线性赋范空间，但反之不然。与普通欧式空间最相像的应数下述Hilbert空间；（vi）Hilbert空间。它是完备的内积空间，内容最丰富。例如Fourier展开、Bessel不等式和Parseval等式等。由于本文讨论泛函的力学应用，必须提及的最后一类空间是Sobolev空间。（vii）Sobolev空间W m,p（Ω）（p （Ω）空间中可以连续求m阶分布导数的函数u组成的子空间，≥1，m≥0）[3]。它是由L p 并配上Sobolev空间。它是特殊的线性赋范空间。其中，分布导数是普通导数的推广，对于性质极差的Dirac delta之类的广义函数，也能求分布导数。因此，对函数的“光滑程度”提供更一般、更精确的含义。由于Sobolev嵌入定理，可以通过找弱解来讨论偏微分方程的定解问题。p=2这类Sobolev空间特别重要，它是特殊的Hilbert空间，记之为H m（Ω），称作Hilbert-Sobolev空间。 泛函分析另一内容是算子理论，可以讲更为重要。它研究上述各类泛函空间上线性与非线性算子的各种特性。对于单个算子，可引入连续、有界、下有界、闭、紧致和全连续等性质。对于算子集（线性连续算子集或线性连续泛函集等）又可引入新的线性结构和范数等，构成高层的算子空间。其中对偶（共轭）空间尤为重要。据此，可引入自共轭（自伴）算子、投影算子、酉算子、正常算子、自反空间、强和弱收敛等。在初等分析中卓见成效的微分运算
《应用泛函分析》前四章重点复习大纲
1 第1章预备知识 1.1集合的一般知识 1.1.1概念、集合的运算 上限集、上极限 下限集、下极限 1.1.2映射与逆映射 1.1.3可列集 可列集 集合的对等关系~（定义1.1）1.2实数集的基本结构 1.2.1建立实数的原则及实数的序关系 阿基米德有序域（定义1.4）1.2.2确界与确界原理 上确界sup E（定义1.5） 下确界inf E 确界原理（定理1.7） 1.2.3实数集的度量结构 数列极限与函数极限 单调有界原理 区间套定理 Bolzano-Weierstrass定理 Heine-Bore定理 Cauchy收敛准则 1.3函数列及函数项技术的收敛性1.3.1函数的连续性与一致连续 函数的一致连续性（定义1.10）1.3.2函数列和函数项级数的一致收敛 逐点收敛（定义1.11） 一致收敛（定义1.12） Weierstrass M-判别法（定理1.15）1.3.3一致收敛的性质 极限与积分可交换次序 1.4 Lebesgue积分 1.4.1一维点集的测度 开集、闭集 有界开集、闭集的测度m G m F 外测度内测度 可测集（定义1.16） 1.4.2可测函数 简单函数（定义1.18） 零测度集 按测度收敛 1.4.3 Lebesgue积分 有界可测集上的Lebesgue积分 Levi引理 Lebesgue控制收敛定理（性质1.9） R可积、L可积 1.4.4 Rn空间上的Lebesgue定理 1.5 空间 Lp空间（定义1.28） Holder不等式 Minkowski不等式（性质1.16）
2 第2章度量空间与赋范线性空间 2.1度量空间的基本概念 2.1.1距离空间 度量函数 度量空间（X，ρ） 2.1.2距离空间中点列的收敛性 点列一致收敛 按度量收敛 2.2度量空间中的开、闭集与连续映射 2.2.1度量空间中的开集、闭集 开球、闭球 内点、外点、边界点、聚点 开集、闭集 2.2.2度量空间上的连续映射 度量空间中的连续映射（定义2.7） 同胚映射 2.3度量空间中的可分性、完备性与列紧性 2.3.1度量空间的可分性 稠密子集（定义2.9） 可分性 2.3.2度量空间的完备性 度量空间中Cauchy列（定义2.11） 完备性 完备子空间 距离空间中的闭球套定理（定理2.9） 闭球套半径趋于零，则闭球的交为2.3.3度量空间的列紧性 列紧集、紧集（定义2.13） 全有界集 2.4 Banach压缩映射原理 压缩映像 不动点 Banach压缩映射原理（定理2.16）2.4.1应用 隐函数存在性定理（例2.31） 2.5 线性空间 2.5.1线性空间的定义 线性空间（定义2.17） 维数与基、直和 2.5.2线性算子与线性泛函 线性算子 线性泛函（定义2.18） 零空间ker(T)与值域空间R(T) 2.6 赋范线性空间 2.6.1赋范线性空间的定义及例子 赋范线性空间 Banach空间（定义2.20） 2.6.2赋范线性空间的性质 收敛性——一致收敛 绝对收敛 连续性与有界性 2.6.3有限维赋范线性空间 N维实赋范线性空间
泛函分析习题解答
第七章 习题解答 1．设（X ，d ）为一度量空间，令 }),(,|{),(},),(,|{),(0000εεεε≤∈=<∈=x x d X x x x S x x d X x x x U 问),(0εx U 的闭包是否等于),(0εx S ？ 解 不一定。例如离散空间（X ，d ）。)1,(0x U ={0x }，而)1,(0x S =X 。 因此当X 多于两点时，)1,(0x U 的闭包不等于)1,(0x S 。 2. 设 ],[b a C ∞是区间],[b a 上无限次可微函数的全体，定义 证明],[b a C ∞按),(g f d 成度量空间。 证明 （1）若),(g f d =0，则) ()(1)()(max ) () ()()(t g t f t g t f r r r r b t a -+-≤≤=0，即f=g （2）)()(1)()(max 2 1 ),()()()()(0t g t f t g t f g f d r r r r b t a r r -+-=≤≤∞ =∑ =d （f ，g ）+d （g ，h ） 因此],[b a C ∞按),(g f d 成度量空间。 3． 设B 是度量空间X 中的闭集，证明必有一列开集ΛΛn o o o 21,包含B ，而且B o n n =?∞ =1 。 证明 令n n n o n n B x d Bo o .2,1},1 ),({K =<==是开集：设n o x ∈0，则存在B x ∈1，使 n x x d 1),(10<。设,0),(1 10>-=x x d n δ则易验证n o x U ?),(0δ，这就证明了n o 是 开集 显然B o n n ??∞=1 。若n n o x ∞ =?∈1 则对每一个n ，有B x n ∈使n x x d 1 ),(1< ，因此
泛函分析在控制工程的应用
泛函分析在控制工程中的 应用 作者：景苏银 学号： 0211443 单位：兰州交通大学 日期：2011.12.1
泛函分析在控制工程中的应用 【摘要】本文综合运用函数论，几何学，代数学的观点来研究无限维向量空间上的函数，算子和极限理论，通过泛函理论求解工程中可微方程的极值问题，为工程的设计提供了理论基础。它可以看作无限维向量空间的解析几何及数学分析。 【关键词】泛函分析控制工程控制优化 泛函分析在数学物理方程，概率论，计算数学等分科中都有应用，也是研究具有无限个自由度的物理系统的数学工具。主要内容有拓扑线性空间等。它广泛应用于物理学、力学以及工程技 术等许多专业领域。 泛函分析（Functional Analysis）是现代数学的一个分支，隶属于分析学，其研究的主要对象是函数构成的空间。泛函分析是由对变换（如傅立叶变换等）的性质的研究和对微分方程以及积分方程的研究发展而来的。使用泛函作为表述源自变分法，代表作用于函数的函数。巴拿赫（Stefan Banach）是泛函分析理论的主要奠基人之一，而数学家兼物理学家伏尔泰拉（Vito Volterra）对泛函分析的广泛应用有重要贡献。 Functional analysis in water conservancy of application
Abstract：This article through the functional theory solution of differential equations can be hydraulic extremum problems, for water conservancy project design provides theory basis. It draws function theory, geometry, algebra point of view to study the infinite dimensional vector space function, operator and limit theory. It can be as infinite dimensional vector space analytic geometry and mathematics analysis。 Functional Analysis (Functional Analysis) is the modern a branch of mathematics, belongs to learn Analysis, the study of main object is function consists of the space. Functional analysis is made to transform (such as Fourier transform, etc.) of the nature of the study and differential equation and integral equation of research and development. Using functional as a statement from the variational method, representative of the function for function. And take Hector <(Stefan Banach) is functional analysis of the theory of the primary founders, and mathematician and physicist voltaire pull (Vito Volterra) to the wide application of functional analysis is an important contribution. Functional analysis is the 1930 s of the formation of the mathematics branch. From the variational problem, integral equation and theoretical physics research develops. Functional analysis in mathematical physics equation, probability theory, the calculation of mathematics branch all has the application, is also a degree of freedom with an infinite physical system mathematical tools. Main content have topological space, etc. It is widely used in physics and mechanics and engineering skills and Art etc many professional fields. 【正文】
泛函分析的应用
现代数学基础学习报告 泛函分析应用 院系： 专业： 导师： 姓名： 学号：
摘要 信号与系统的泛函分析是以泛函理论为工具描述和研究信号与系统特性的近代分析方法。这种方法可使信号与系统的表示更加抽象与概括,并使连续与离散、时域与频域、分析与综合达到统一,从而在信号与系统学科中得到了日益广泛的应用。本文仅就其基本理论及其在电路设计中的应用加以简要的介绍。本文将利用泛函分析中的度量空间的理论研究信号处理纠错的问题，首先介绍度量空间相关理论，然后举例分析其在信号纠错处理中的解决过程，通过应用泛函知识，使纠错过程变得更简便和概括。然后简单介绍泛函的理论知识，使其应用到求解最低功耗电源的设计中，结果表明应用泛函理论可以将求解过程变得更加简便和清晰。
1.泛函分析介绍 泛函分特点和内容[1] 泛函分析是20世纪30年代形成的分科，是从变分问题，积分方程和的研究中发展起来的。它综合运用函数论，几何学，现代数学的观点来研究无限维向量空间上的泛函，算子和。它可以看作无限维向量空间的解析几何及。泛函分析在，概率论，计算数学等分科中都有应用，也是研究具有无限个自由度的物理系统的。 泛函分析的特点是它不但把古典分析的基本概念和方法一般化了，而且还把这些概念和方法几何化了。比如，不同类型的函数可以看作是“”的点或矢量，这样最后得到了“抽象空间”这个一般的概念。它既包含了以前讨论过的几何对象，也包括了不同的函数空间。 泛函分析对于研究现代物理学是一个有力的工具。n维空间可以用来描述具有n个的系统的运动，实际上需要有新的来描述具有无穷多自由度的力学系统。比如梁的震动问题就是无穷多力学系统的例子。一般来说，从力学过渡到连续介质力学，就要由有穷自由度系统过渡到无穷自由度系统。现代物理学中的理论就属于无穷自由度系统。 正如研究有穷自由度系统要求n维空间的几何学和作为工具一样，研究无穷自由度的系统需要无穷维空间的几何学和分析学，这正是泛函分析的基本内容。因此，泛函分析也可以通俗的叫做无穷的几何学和微积分学。古典分析中的基本方法，也就是用的对象去逼近非线性的对象，完全可以运用到泛函分析这门学科中。 泛函分析是分析数学中最“年轻”的分支，是古典分析观点的推广，综合函数论、几何和代数的观点研究无穷维向量空间上的函数、算子、和。他在二十世纪四十到五十年代就已经成为一门理论完备、内容丰富的数学学科了。 半个多世纪来，泛函分析一方面以其他众多学科所提供的素材来提取自己研究的对象和某些研究手段，并形成了自己的许多重要分支，例如算子谱理论、巴拿赫代数、拓扑线性空间理论、等等；另一方面，它也强有力地推动着其他不少分析学科的发展。它在、概率论、函数论、连续介质力学、、计算数学、、等学科中都有重要的应用，还是建立理论的基本工具，也是研究无限个自由度的重要而自然的工具之一。今天，它的观点和方法已经渗入到不少工程技术性的学科之中，已成为近代分析的基础之一。 泛函分析在数学物理方程、、、、等学科有着广泛的应用。近十几年来，泛函分析在工程技术方面有获得更为有效的应用。它还渗透到数学内部的各个分支中去，起着重要的作用。 泛函的理论[2]
应用泛函分析相关习题.doc
泛函分析练习题 一?名词解释： 1.范数与线性赋范空间 2.无处稠密子集与第一纲集 3.紧集与相对紧集 4.开映射 5.共貌算子 6.内点、内部： 7.线性算子、线性范函： 8.自然嵌入算子 9.共貌算子 10.内积与内积空间： 11.弱有界集： 12.紧算子： 13.凸集 14.有界集 15.距离 16.可分 17.Cauchy 列 18.自反空间 二、定理叙述 1、压缩映射原理 2.共鸣定理 3.逆算子定理 4.闭图像定理 5.实空间上的Hahn-Banach延拓定理 6、Bai re纲定理 7、开映射定理 8、Riesz表现定理 三证明题： 1.若(x,p)是度量空间，则d = d也使X成为度量空间。 1 + Q 证明：Vx,y,zcX 显然有(1)d(x, y) > 0 ,日3,)，)= 0当且仅当x = (2) d(x9y) = d(y,x) (3)由/(/) = — = !一一， (/>0)关于，单调递增，得 1+，1+r d(x, z) = PE < Q(x,.y)+Q(y,z)
' 1 + Q(x, z) 一1 + p(x, y) + Q(y, z) 匕Q（x，）'） | Q（）'，z） 一1 + Q（3）1+ /?（），, z） = d（x,y） + d（y,z） 故』也是X上的度量。 2,设H是内积空间，天则当尤〃—尤,乂T y时"（七，月）t （寻），），即内积关于两变元连续。 证明：| （% X,）一（x, y） I2 =| （x/t - x, >; - y）\2<\\x n-x\\-\\y tt-y\\ 己知即II七一尤II—0,|| 乂一>||—0。 故有I ，以）一（x, y）『—。 即Cw〃）T（x,y）。 5.设7x（r） = 若T是从心［0,1］-匕［0,1］的算子，计算||T||;若T是从 ZJ0,1］T ZJ0,1］的算子再求1171。 解：（1）当T是从ZJ0,l］—匕［0,1］的算子。 取x&）=同,贝j］||x（）||2=1>||片）川=［后广出=*. 所以||T||>-^e 故有11『11=±? （2）当T是从ZJ0,1］T ZJ0,1］的算子时 ||八||2=（。誓⑴力度严=nxii2 Vn,(!--
泛函分析知识总结
泛函分析知识总结与举例、应用 学习泛函分析主要学习了五大主要内容：一、度量空间和赋范线性空间；二、有界线性算子和连续线性泛函；三、内积空间和希尔伯特空间；四、巴拿赫空间中的基本定理；五、线性算子的谱。本文主要对前面两大内容进行总结、举例、应用。 一、 度量空间和赋范线性空间 （一）度量空间 度量空间在泛函分析中是最基本的概念，它是n 维欧氏空间n R （有限维空间）的推 广，所以学好它有助于后面知识的学习和理解。 1．度量定义：设X 是一个集合，若对于X 中任意两个元素x ，y,都有唯一确定的实数d(x,y) 与之对应，而且这一对应关系满足下列条件： 1°d(x,y)≥0 ，d(x,y)=0 ? x=y （非负性） 2°d(x,y)= d(y,x) （对称性） 3°对?z ，都有d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y) （三点不等式） 则称d(x,y)是x 、y 之间的度量或距离（matric 或distance ），称为(X,d)度量空 间或距离空间(metric space )。 （这个定义是证明度量空间常用的方法） 注意:⑴ 定义在X 中任意两个元素x ，y 确定的实数d(x,y)，只要满足1°、2°、3°都称为 度量。这里“度量”这个名称已由现实生活中的意义引申到一般情况，它用来描述X 中两个事物接近的程度，而条件1°、2°、3°被认为是作为一个度量所必须满足的最本质的性质。 ⑵ 度量空间中由集合X 和度量函数d 所组成，在同一个集合X 上若有两个不同的度量函数1d 和2d ，则我们认为(X, 1d )和(X, 2d )是两个不同的度量空间。 ⑶ 集合X 不一定是数集，也不一定是代数结构。为直观起见，今后称度量空间(X,d)中的元素为“点” ，例如若x X ∈，则称为“X 中的点” 。 ⑷ 在称呼度量空间(X,d)时可以省略度量函数d ，而称“度量空间X ” 。 1.1举例
最新泛函分析考试题集与答案
泛函分析复习题2012 1．在实数轴R 上，令p y x y x d ||),(-=，当p 为何值时，R 是度量 空间，p 为何值时，R 是赋范空间。 解：若R 是度量空间，所以R z y x ∈?,,，必须有： ),(),(),(z y d y x d z x d +≤成立 即p p p z y y x z x ||||||-+-≤-，取1,0,1-===z y x ， 有2112=+≤p p p ，所以，1≤p 若R 是赋范空间，p x x x d ||||||)0,(==，所以R k x ∈?,， 必须有：||||||||||x k kx ?=成立，即p p x k kx ||||||=，1=p ， 当1≤p 时，若R 是度量空间，1=p 时，若R 是赋范空间。 2．若),(d X 是度量空间，则)1,m in(1d d =，d d d +=12也是使X 成为度量空间。 解：由于),(d X 是度量空间，所以X z y x ∈?,,有： 1）0),(≥y x d ，因此0)1),,(m in(),(1≥=y x d y x d 和0) ,(1) ,(),(2≥+= y x d y x d y x d 且当y x =时0),(=y x d ， 于是0)1),,(m in(),(1==y x d y x d 和0) ,(1) ,(),(2=+=y x d y x d y x d 以及若
0)1),,(m in(),(1==y x d y x d 或0) ,(1) ,(),(2=+= y x d y x d y x d 均有0),(=y x d 成立，于是y x =成立 2）),(),(y x d x y d =， 因此),()1),,(m in()1),,(m in(),(11y x d y x d x y d x y d === 和),() ,(1) ,(),(1),(),(22y x d y x d y x d x y d x y d x y d =+=+= 3）),(),(),(z y d y x d z x d +≤，因此 }1),,(),(m in{)1),,(m in(),(1z y d y x d z x d z x d +≤= ),(),()1),,(m in()1),,(m in(11z y d y x d z y d y x d +=+≤ 以及设x x x f += 1)(，0)1(1)(2 >+='x x f ，所以)(x f 单增， 所以) ,(),(1),(),(),(1),(),(2z y d y x d z y d y x d z x d z x d z x d +++≤+= ),(),(1) ,(),(),(1),(z y d y x d z y d z y d y x d y x d +++++= ),(),() ,(1) ,(),(1),(22z y d y x d z y d z y d y x d y x d +=+++≤ 综上所述)1,m in(1d d =和d d d += 12均满足度量空间的三条件， 故),(1y x d 和),(2y x d 均使X 成为度量空间。
应用泛函分析习题解答
1 泛函分析与应用-国防科技大学 第 一 章 第 一 节 3．设}{k x 是赋范空间E 中的Cauchy 列，证明}{k x 有界，即∞
应用泛函分析相关习题
泛函分析练习题 一名词解释： 1.范数与线性赋范空间 2.无处稠密子集与第一纲集 3.紧集与相对紧集 4.开映射 5.共轭算子 6. 内点、内部： 7. 线性算子、线性范函： 8. 自然嵌入算子 9. 共轭算子 10. 内积与内积空间： 11. 弱有界集： 12. 紧算子： 13. 凸集 14. 有界集 15. 距离 16. 可分 17. Cauchy 列 18.自反空间 二、定理叙述 1、 压缩映射原理 2. 共鸣定理 3.逆算子定理 4. 闭图像定理 5.实空间上的Hahn-Banach 延拓定理 6、Baire 纲定理 7、开映射定理 8、Riesz 表现定理 三证明题： 1.若(,)x ρ是度量空间，则1d ρρ= +也使X 成为度量空间。 证明：,,x y z X ?∈ 显然有 （1）(,)0d x y ≥，(,)0d x y =当且仅当x y =。 （2）(,)(,)d x y d y x = （3）由1()111t f t t t = =-++，(0)t >关于t 单调递增，得 (,)(,)(,)(,)1(,)1(,)(,) x z x y y z d x z x z x y y z ρρρρρρ+=≤+++
(,)(,)1(,)1(,) x y y z x y y z ρρρρ≤+++ (,)(,)d x y d y z =+ 故d 也是X 上的度量。 2， 设H 是内积空间，,,,n n x x y y H ∈，则当,n n x x y y →→时，(,)(,)n n x y x y →，即内积关于两变元连续。 证明：22|(,)(,)||(,)|||||||||n n n n n n x y x y x x y y x x y y -=--≤-?- 已知 ,n n x x y y →→，即||||0,||||0n n x x y y -→-→。 故有 2|(,)(,)|0n n x y x y -→ 即 (,)(,)n n x y x y →。 5.设2()(),Tx t t x t =若T 是从21[0,1][0,1]L L →的算子，计算||||;T 若T 是从 22[0,1][0,1]L L →的算子再求||||T 。 解：（1）当T 是从21[0,1][0,1]L L →的算子。 1 2 10|||||()|Tx t x t dt =?≤? 所以 |||| T ≤。 取2 0()x t =，则02|||| 1.x = 4010||||Tx dt ==? 所以 |||| T ≥。 故有 |||. T = （2）当T 是从22[0,1][0,1]L L →的算子时 11 421/221/22200||||(())(())||||Tx t x t dt x t dt x =≤=?? 所以 |||| 1.T ≤
泛函分析在桥梁工程中的应用
应用泛函分析解决桥梁工程中的一个问题 摘要：本文简单介绍泛函分析方法和在力学和桥梁工程中的若干应用，包括泛函观点下的结构数学理论、超圆方法、变分法、变分不等式与凸分析、算子的特征值与谱方法等。并通过两个例子来说明泛函在力学和桥梁工程当中的应用。 关键词：泛函变分法桥梁工程 中图分类号：U441.5 一泛函分析概述 泛函分析（Functional Analysis）其研究的主要对象是函数构成的空间，是研究无穷维线性空间上的泛函数与算子理论的一门分析数学。无穷维线性空间是描述具无限多自由度的物理系统的数学工具。泛函分析是研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之间满足各种拓扑和代数条件的映射的分支学科，是由对变换（如傅立叶变换等）的性质的研究和对微分方程以及积分方程的研究发展而来的。使用泛函作为表述源自变分法，代表作用于函数的函数。因此，泛函分析是定量地研究诸如连续介质力学等一类具有无穷多自由度的物理系统的有力工具。根据不同拓扑和代数结构，泛函空间划分为各个类别。力学和桥梁工程中常见的有： 1、度量空间：现代数学中一种基本的、重要的、最接近于欧几里得空间的抽象空间。19世纪末叶，德国数学家G.康托尔创立了集合论，为各种抽象空间的建立奠定了基础。20世纪初期,法国数学家M.-R.弗雷歇发现许多分析学的成果从更抽象的观点看来,都涉及函数间的距离关系,从而抽象出度量空间的概念。度量空间中最符合我们对于现实直观理解的是三维欧氏空间。这个空间中的欧几里德度量定义两点之间距离为连接这两点的直线的长度。定义：设X为一个集合，一个映射d：X×X→R。若对于任何x,y,z属于X，有（I）（正定性）d(x,y)≥0,且d(x,y)=0当且仅当x = y；（II）（对称性）d(x,y)=d(y,x)；（III）（三角不等式）d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z）则称d为集合X的一个度量（或距离）。称偶对（X，d）为一个度量空间，或者称X为一个对于度量d而言的度量空间。 2、赋范线性空间 泛函分析研究的主要是实数域或复数域上的完备赋范线性空间。这类空间被称为巴拿赫空间，巴拿赫空间中最重要的特例被称为希尔伯特空间。希尔伯特空间可以利用以下结论完全分类，即对于任意两个希尔伯特空间，若其基的基数相等，则它们必彼此同构。对于有限维希尔伯特空间而言，其上的连续线性算子即是线性代数中所研究的线性变换。 3、巴拿赫空间理论（Banach space） 巴拿赫空间理论是1920年由波兰数学家巴拿赫（S.Banach)一手创立的，数学分析中常用的许多空间都是巴拿赫空间及其推广，它们有许多重要的应用。大多数巴拿赫空间是无穷维空间，可看成通常向量空间的无穷维推广sup n n x x ，巴拿赫空间（Banach space）是一种赋有“长度”的线性空间﹐泛函分析研究的基本对象之一。数学分析各个分支的发展为巴拿赫空间理论的诞生提供了许多丰富而生动的素材。 4、内积空间。内积的引入使该空间更直观形象，内容格外丰富。内积把普通的几何术语差不多全带到抽象空间中。例如：长度、两向量交角、直交性、直交投影、就范直交系、点（向量）和子空间的距离等。使抽象泛函空间涂上浓厚的几何色彩。力学家和桥梁工程师对此尤感兴趣。由于内积可诱导范数，内积空间是特殊线性赋范空间，但反之不然。与普通欧式空间最相像的应数下述Hilbert空间； 5、Hilbert空间。它是完备的内积空间，内容最丰富。例如Fourier展开、Bessel 不等式和Parseval等式等。由于本文讨论泛函的力学应用，必须提及的最后一类空间是Sobolev空间。