几何不等式
第5章 几何不等式
[赛点突破]
1． 三角形中的几个极值点
（1）到三角形三顶点距离之和最小的点——费马点； （2）到三角形三顶点距离的平方和最小的点——重心； （3）三角形内到三边距离之和最大的点——重心。 2．简单的等周问题
（1）在周长一定的n 边形的集合中，正n 边形的面积最大； （2）在周长一定的简单闭曲线的集合中，圆的面积最大；
（3）在面积一定的n 边形的集合中，正n 边形的周长最小； （4）在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最小。 3．欧拉定理
设r 和R 分别是三角形的内切圆和外接圆的半径，则R r 3，等号成立当且仅当三角形为正三角形。
4．埃德斯—莫德尔不等式
设P 为A B C D 内任意一点，P 到三边的距离分别为x ，y ，z ，则
2()PA PB PC x
y z ++?+
等号成立当且仅当A B C D 为正三角形，且P 为A B C D 的中心。
[范例解密]
例1（2002年首届中国女子数学奥林匹克试题7）锐角三角形ABC 的三条高分别为AD ，BE ，CF 。求证：三角形DEF 的周长不超过三角形ABC 的周长的一半。 分析：要证明
1()2D E E F F D A B
B C C A ++?
+
只要证明
DE FD BC + ，
EF FD AB + ， DE EF CA + 。
证明：∵ 0
90BEC BFC ??
∴ B 、C 、E 、F 四点共圆，且BC 为直径 作点E 关于BC 的对称点E ’，则
'D E D E =
且点E ’也在圆BCEF 上
又 'E D C
ED C
BAC
BD F ???
∴ F 、D 、E ’三点共线 在圆BCEF 中，BC 为直径 ∴ 'FE BC ￡
∴ DE FD BC + 同理 EF FD AB + ，
DE EF CA +
∴ 1()2
D E E F F D A B B C C A ++?
+
评注：“简单的”常常最有用！上述证明的关键是运用性质“在圆中，直径是最大的弦”。
例2（外森比克不等式的加强）在△ABC 中，AB ＝c ，BC ＝a ，CA ＝b ，则
2
2
2
222
()()()ABC
a b c a b b c c a D ++?-+-+-。
证明：令,,a x y b y z c z x =+=+=+，()x y z R +?、、， 则要证不等式等价于
2
2
2
2
2
2
()()()()()()ABC
x y y z z x x z y x z y D +++++?-+-+-
即
ABC xy yz zx D ++
又由海伦公式，得
ABC S D =
于是，只要证明
xy yz zx ++?
两边平方整理，只要证明
xy yz zx x y z z x y
++?+ 又由平均值不等式，得 1[()()()]2xy yz zx xy yz zx xy yz zx x y z z x y z x y z x y ++=+++++?+
故原不等式成立。
评注：设a 、b 、c 分别为△ABC 的三边长，令,,a x y b y z c z x =+=+=+，则x y z R +?、、。从而，将有关三角形三边的几何不等式转化为代数不等式，再运用代数不等式的方法求解。外森比克不等式及其证明，请参看超级训练第1题。
例3（2002年第2届中国西部数学奥林匹克试题2）设O 为锐角△ABC 的外心，P 为△AOB 内部的一点，P 在△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上的射影分别为D 、E 、F ．求证：以FE 、FD 为邻边的平行四边形位于△ABC 内．
分析：以FE 、FD 为邻边作平行四边形DF EG 。要证命题成立，只要证明F E G F E C ? ，且F D G
F D C ? 。
这等价于证明B F D B A C ? ，且A F E A B C ?
。
证明：如图，以FE 、FD 为邻边作平行四边形DFEG ，
过O 作O H B C ^于H
∵ P D B C ^，PF AB ^ ∴ B 、F 、P 、D 四点共圆 ∴ BFD
BPD ?
又 P B D O B H ?
∴ 00
9090PBD
OBH -?-
即 B P D
B O H ?
又 O 为△ABC 的外心 ∴ 12B O H B O C
B A
C ??
∴ B F D B P D B O H B A C ???
即 B F D
B A
C ?
同理可证 AFE ABC ?
故以FE 、FD 为邻边的平行四边形位于△ABC 内
评注：如果O 不为△ABC 的外心，而是内心或者垂心，题中的结论是否成立呢？
例 4 设P 为锐角三角形ABC 内任意一点。求证：6PA PB PC r ++ （r 为ΔABC 内切圆半径）。
分析：因为到三角形三顶点距离之和最小的点是费马点，所以只要考虑P 为ΔABC 的费尔马点时的情形。
证明：设P 为ΔABC 的费尔马点，由于ΔABC 为锐角三角形 故∠AP B ＝∠BPC ＝∠CPA ＝1200
设PA ＝x ，P B ＝y ，P C ＝z ，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c 。 由余弦定理，得
2222
222
22 (1) (2)
(3)x y xy c y z yz a z x zx b ì?++=???++=í
???++=?? 又由面积公式，得
()4
ABC xy yz zx S D ++= （4）
由（1）、（2）、（3）、（4），得
2222
2()ABC x y z a b c D ++=+++
2
2
2
)a b c r a b c =+++++
注意到，
(c o t c o t )22B
C a r =+，(cot cot )22C A b r =+，(cot cot )22
A B c r =+ 所以，有
2
2
2()(cot cot
cot
)2
2
2A B C x y z ++=++ 2
2
2
2
[(cot
cot
)(cot
cot
)(cot
cot
)]
2
2
2
2
2
2B C C A A B r ++++++
2
(cot
cot cot
)
2
2
2A B C =++A
22
2
2
2
[cot
cot
cot
(cot
cot
cot
)]
2
2
2
2
2
2
A B C A B C r ++++++
∵ cot y x =在（0，
2
p ）上为凸函数，从而，2c o t y x =在（0，
2
p
）上为凸函数。∴
2
2
2
2
2()3cot 3cot
(3cot
)]6
6
6
A B C
A B C
A B C
x y z r ++++++++=+
2
2
2
2
3
]72r r =+=
∴ 6x y z r ++
即 6PA PB PC r ++
评注：本题在三角变换后，巧妙利用琴生不等式。
例 5 用怎样的最短曲线可以把一个等边三角形分成等积的两部分？
解：不妨设曲线l 始于AC 边，终于BC 边。 按顺时针将△ABC 依次翻转，得到一个以 C 为中心的正六边形。曲线也围成一个封闭的 图形。由于封闭图形的面积一定（为正六边 形面积的一半，也就是△ABC 的面积的3倍）， 周长为6 l 。所以，要使 l 最短，则封闭图形为 圆。从而，不难得到答案。
评注：这道题从几何变换的角度寻求解答，其构思之巧妙，令人叹服！
例6（2003年泰国数学奥林匹克）已知四边形ABCD 是凸四边形，求证：2
2
2
2
4
A
B C D
A B B C C D D A
S +
+
+
￡
。
证明：设A B a =，BC b =，C D c =，D A d =，则
222sin sin ABCD ABC ACD S S S ab B cd D D D =+=+
∴ 2222222
4()sin sin 2sin sin ABC D S a b B c d D abcd B D =++
对A B C D 、A C D D 应用余弦定理，得 2
2
2
2
2
2cos 2cos a b ab B AC c d cd D +-==+-
∴
22222
222222
()
cos cos 2cos cos 4
a b c d a b B c d D abcd B D +--=+-
∴ 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
()
4()2cos()4
ABCD a b c d S a b c d abcd B D +--+=+-+
∴ 222
2
2
2
4()2()ABC D S a b
c d abcd ab cd ?+=+
∴ 22
22
22
2
ABCD a b c d S ab
cd ++??
B
故 2222
4
ABCD AB BC CD DA
S +++￡
例7（2003年土耳其数学奥林匹克）已知点K 、L 、M 、N 分别在凸四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、D A 上。设1A K N S S D =，2BK L S S D =，3C LM S S D =，4DM N S S D =，ABC D S S =。求证
：+
。
证明：设1S =，
A N A D
a =，
D M D C
b =，
L C B C
g =，
B K B A
d =，'ABD S S D =，"ABC S S D =，则
1(1)'AKN S S S a d D ==- 2(1)"BKL S S S d g D ==- 3(1)(1')CLM S S S g b D ==-- 4(1)(1")D M N S S S b a D ==--
又由均值不等式，得
(1)'
3
S a d +-+
(1)"
3
S d g +-+
(1)(1')
3
S g b +-+-
(1)(1")
3
S b a +-+-
∴
2
即
例8（2004年北欧数学奥林匹克）已知a 、b 、c 和R 分别为三角形的三边长和外接圆半径。求证：2
1111
a b b c c a
R
+
+
。
分析：将要证的不等式结合面积法进行等价转化，再利用欧拉不等式得证。 证明：要证
2
1111ab bc ca
R
++
只要证 2
()a b c R abc ++
又∵
1()2
42abc abc S a b c r a
b c R
Rr
D =
++=
?+=
∴ 只要 2R r 3
由欧拉不等式知，上式显然成立 故所要证的不等式成立。
A
B
C
D
K
L
M
N
例9（2004年美国数学奥林匹克）已知圆外切四边形ABCD 的每个内角和外角均不小于
60。求证：
3
33
33
3
1||||3||3
A B A D B C
C D A B
A D -
??。并给出等号成立的条件。
证明：由对称性，只须证明前一个不等式。 由于四边形ABCD 有内切圆，所以
A B C D B C A D +=+
∴ AB AD BC C D -=- 于是，只要证明
2
22
2
1()3
A B A B A D
A D
B C
B C C D C D +???
①
又∵ 0
60120A C
Ｐ校、
∴
11cos 2
2
A 吵、co s C
-
在ABD D 中，由余弦定理得 2
2
2
2cos BD AB AB AD A AD =-鬃+
2
2
AB
AB AD
AD ??
2
2
2
12()()33
A B A B A D
A D A
B A D =+?+
-
2
2
1()3
A B
A B A D A D ??
②
在B C D D 中，由余弦定理得 2
2
2
2cos BD BC BC CD C CD =-鬃+
2
2
BC
BC CD CD ??
③
由②、③，知不等式①成立，从而原不等式得证。 又易知不等式②中等号成立的充要条件是A B A D
=
，此时必有B C C D =，反之，当
A B A D
=
， B C C D =时，原不等式取等号。故等号成立的充要条件是四边形ABCD 是筝形，即AB AD =，且 B C C D =。
例10（2004年澳大利亚数学奥林匹克）在具有单位面积的等边A B C D 外作A P B D 、
BQC D 、C R A D ，使得0
60APB
BQ C
C RA
???。
（1）求P Q R D 的最大面积；
（2）求顶点是A P B D 、BQC D 、C R A D 的内心的三角形的最大面积。
分析：面积最大的问题可以转化为顶点在给定圆上的等边三角形问题。 证明：（1） ∵ 0
60APB ?
∴ 点P 在?
AC B 关于AB 对称的弧上，而此弧在与A B C D 外接圆同心、半径是A B C D 外接圆半径2倍的圆内（包含边界）
同样地，点Q 和R 适用于类似的结论
∴ PQR D 的面积不大于所有三个顶点都在这个较大圆上的等边三角形的面积
实际上，可以选取点C 关于AB 的对称点X 为P ；点A 关于BC 的对称点Y 为Q ；点B 关于CA 的对称点Z 为R 。此时，这个面积最大的三角形可以被分割成四个与A B C D 全等的三角形。因此，P Q R D 的最大面积等于4。
（2）设M 是A P B D 的内心 ∵ 060APB ?
∴ 0
120BAP ABP
??
∴ 0
180()AM B BAM ABM ?-?
1180()2B A P
A B P =-?
00
1180120
1202=-
?
又∵ 0
60ACB ?
∴ 点M 在A B C D 的外接圆上
同理
BQC D 和C R A D 的内心也在A B C
D 的外接圆上
由于顶点在给定圆上、面积最大的三角形是圆内接等边三角形
故以A P B D 、BQC D 、C R A D 的内心为顶点的面积最大的三角形全等于A B C D ，因而顶
点是A P B D 、BQC D 、C R A D 的内心的三角形的最大面积为1。
[英语数学]
[超级训练]
1．（外森比克不等式）在△ABC 中，AB ＝c ，BC ＝a ，CA ＝b ，则
2
2
2
ABC a b c D ++ 。
2．已知钝角三角形 ABC 的外接圆半径为 1，证明：存在一个斜边长为
2+1 的等腰直
角三角形覆盖三角形 ABC 。
3．设x y z R ?、、，在A B C D 中，求证：
2
2
22
()4(sin sin sin )x y z yz A
zx B xy C ++?+。
4．设a b
c 、、是周长不超过2p 的三角形的三条边长。证明：s i n s i n s i n a b c 、、可构成三角形的三条边长。
5．求最小的数k ，使得
a b t t k a b
+<+，其中a b 、是三角形的两条边长，a b t t 、分别是与这两
条边相对应的角平分线长。
6．（第42届IMO 试题）设锐角A B C D 的外心为O ，从A 作BC 的高，垂足为P 。且0
30BCA
ABC
谐?。证明：0
90CAB
COP ??。
X
第5章 几何不等式
1．∵ 2
2
2
2
2
2
22
131()[()]2
2
2
a b c a b c a b c a ++?+=
+
+-
又由海沦公式，有
A B C S D =
∴ 222ABC a b c D ++
2．不妨设0
90C
?，则0
m i n {
,}45
A B 行<，不妨设0
45A ?
以AB 为直径，在顶点C 的同侧作半圆O e ，则C 位于半圆O e 内。作射线AT 使得
45BAT
?，作射线OE ，使得0
45BOE
?，且与半圆相交于点E 。过点E 作半圆的切线，
分别交AB 的延长线和AT 与点D 和点F ，则等腰直角A D F D 覆盖A B C D ，且
11
22A D A O O D A B A B =+=+
1
(12A B =+
1
(122
R <+
1=+
3．原不等式等价于
2
2
2
2
22
2(sin 1)2(sin 1)2(sin 1)x y z yz A
zx B xy C ++?+-+- 即 2
2
2
2cos(2)2cos(2)2cos(2)x y z yz A zx B xy C p
p p ++?+-+-
设'2,'2,'2A A B B C C p p p =-=-=-，则'''A B C p ++=
∴ 2
2
2
2cos(2)2cos(2)2cos(2)x y z yz A zx B xy C p p p ++------
2
2
2
2cos '2cos '2cos 'x y z yz A zx B xy C =++---
22
(cos 'cos ')(sin 'sin ')0x y C z B y C z B =--+-
故 2
2
22
()4(sin sin sin )x y z yz A zx B xy C ++?+
4．由题设可知 0a b c p <<、、，所以s i n s i n
s i n a b c 、、均大于0 （1）若0a b p < +，由题设可知a b c +>，即2
2
a b c +>
又∵
022
a b p +<
∴ 02
2
c p <<
∴ sin
sin
02
2
a b c +>>
若2a b p p <<+，则02
2
a b p p +<-<
又∵ 2a b c p + +
∴ 22
a b c p +- ，02
2
c p <
<
∴ sin
sin()sin
02
2
2a b a b c p ++=-
>>
（2）又由题设可知 |a b c <-| ∴
|2
2
a b c <-|
∵ 0a b c p <<、、 ∴ |022
a b p ?-|，02
2
p <
<
c
∴ |cos cos
022
a b c >>-|
∴ cos
cos
02
2
a b c
>>-
综合（1）、（2），有
sin
cos
sin
cos
2
2
22
a b a b c c +-?
∴ sin sin sin a b c +> 同理 sin sin sin b c a +>
sin sin sin c a b +>
所以，s i n s i n s i n a b c 、、可构成三角形的三条边长
5．当A B C D 满足a b =，且底角0A ?时，2c b ?，cos
12A ?
又 sin 2cos 2
()sin
2
a bc A bc A t A
b c
b c =
=++
∴
43
a b a t t t a b
a
+=
+
∴ 43
k 3
另一方面，22(1)2(1)22
a b c b b a b
t b b b b c
b c
b a b
a b
+<
=-<-=
+++++
同理 22b a b t a a b +< + ∴
2
42
2()
2()033223(2)(2)
a b t t b
a
a b a b
a b a b a b a b +--
>--= +++++
∴
43
a b t t a b
+<
+
故k 的最小值为43
。
6．令C A B
a ?，ABC
b ?，BCA g ?，C O P d ?
设K 、Q 分别为点A 、P 关于BC 的垂直平分线的对称点，R 为A B C D 的外接圆半径，则
O A O B O C O K R ====
∵ 四边形KQPA 为矩形 ∴ QP KA =
在A O K D 中，O A O K R ==
AO K
AO B
K O B
AO B
AO C ???? 02260g b =-
∴ KA R 3 ∴ QP R 3
又根据三角不等式，有
OP R OQ OC QC QP PC R
PC +=+>=+?
∴ O P P C > ∴ PC O C O P
d ??
又 0
11(1802)
902
2
B O C
P C O P C O a =
?-?-
∴ 0
90a d +< 即 0
90CAB COP
??
1．平面上，半径为r的圆上有三个整点，证明：这三个整点中必有两个点，它们之间的
距离小于
2．设四边形ABCD的面积为S，求证：
1
()
2
S A B C D A D B C
Ｗ+。
3．设ABCD是面积为2的长方形，P为边CD上的一点，Q为△PAB的内切圆与边AB 的切点．乘积PA·PB的值随着长方形ABCD及点P的变化而变化，当PA·PB取最小值时，（1）证明：2
A B B C
3；
（2）求AQ·BQ的值．
4．设I为A B C
D的内心，A B C
行、、的内角平分线分别交其对边于A’、B’、C’。
求证：18
4'''27
AI BI C I
AA BB C C
鬃
＃
鬃
。
5．已知四边形ABCD是圆内接四边形。证明：||||2||
A B C D A D B C A C B D
-+-?。6．设A B C
D的三边长、外接圆半径、内切圆半径分别为a b c R r
、、、、。
求证：
22
22
b c R
bc r
+
￡。
1．设a b c 、、为该圆上的三个整点构成的A B C D 的三边长，则
12
A B C S D 3
另一方面，1s i n 2
4A B C abc S ab C r
D ==
∴
142
abc r
3
∴ 2abc r 3
∴ a b c 、、中必有一个
2．作点D 关于线段AC 的垂直平分线的对称点D ’，则
'A D C D =，'C D A D =，且'A D C A D C
S S D D
=
∴ '''ADC ABC AD C ABC AD B BD C S S S S S S S D D D D D D =+=+=+
111'sin
''sin
'()2
2
2
A D A
B D A B
C
D C B D C B A B C D A D B C =仔+
仔Ｗ
+
即 1()2
S A B C D A D B C Ｗ+
3．（1）∵ 112
A P
B A B
C
D S S D ==
∴
1sin 12
PA PB APB
鬃?
∴ 22sin P A P B A P B
? D
等号仅当0
90APB ?时成立
这表明点P 在以AB 为直径的圆上，该圆应与CD 有公共点 于是，PA ·PB 取最小值时，应有12
B C A B ￡，即
2AB BC 3
（2）设△PAB 的内切圆半径为r ，则 ()()PA PB
r AQ r BQ ?++
()r r AQ BQ AQ BQ =+++
又∵
2APB PA PB
S D ?
()APB r r AQ BQ S D ++=
∴ 1APB AQ BQ S D ?=
4．令2C A B
a ?，2ABC
b ?，2BCA g ?，A B C D 的内切圆半径为r ，则
2
p a b g ++=，sin r A I a
=
，'sin(2)
r A I a b =
+
∴
1(1tan tan )'
2A I A A b g =+ 同理 1(1t a n t a n )
'2
B I B B g a =+
1(1tan tan )'
2
C I C C a b =
+
又∵ 2
p a b g ++=
∴ tan tan tan tan tan tan 1a b b g g a
???
∴
3
118[
(1tan tan 1tan tan 1tan tan )]
'''
32
27
A I
B I
C I A A B B C C a b b g
g a 鬃Ｗ+?+?+?鬃
另一方面，
1
1
1
(1
t a n t a n )(1t a n t a n
)(1t a n t a n )
(11)
'''
8
8
4
A I
B I
C I
A A
B B
C C a b b g g a 鬃?
??壮+=鬃 故 184
'''
27
AI BI C I AA BB C C 鬃＃
鬃
5．记O 为四边形ABCD 的外接圆圆心，设圆O 的半径为1，2A O B
a ?，2BOC
b ?，
2COD
g ?，2D O A
d ?，则a b g d p +++=，且不妨设a g 3，b d 3，故
||2sin AB a =，||2sin BC b =，||2sin CD g =，||2sin DA d =
∴ |||2sin 2sin |AB CD a g -=-2|sin sin |4|sin
cos
|22
a g a g a g -+=-=
()
4|sin
cos
|4|sin
sin
|2
2
22
a g p
b d a g b d --+-+=?
同理 ||4|s i n s i n |
22A D B C b d
a g -+-=
||4|sin
sin
|2
2
A C
B D b d a g ---=
又∵ a b g d p +++=， b d 3 ∴ sin
02
b d +>，sin
02
b d -3
∴ ||||4|sin |(|sin ||sin |)2
2
2AB C D AC BD a g b d b d -+----=-
4|sin
|(sin
sin
)4|sin |2sin cos 2
2
2
2
2
2
a g
b d b d a g d b -+--=-=
又∵ 0d b p
∴ 022
2
d b p <
?
∴ 4|sin
|2sin
cos
02
2
2
a g d
b -壮
∴ ||||AB CD AC BD -?
同理
||||AD BC AC
BD -?
∴ ||||2||AB CD AD BC AC BD -+-?
6．设A B C D 的面积为S ，则
1()2
4abc S r a b c R
=
++=
所以，原不等式等价于
22
2
()
216b c abc a b c bc
S
+++￡
①
又由海沦公式，有 2
16()()()()S a b c b c a c a b a b c =+++-+-+-
所以，不等式①等价于
2
2
2
2
2
16()2()S b c ab c a b c +?+
2
2
2
2
()()()()()2()a b c b c a c a b a b c b c ab c a b c ?++-+-+-+?+
2
2
2
2
()()()()2b
c a c a b a b c b c ab c ?-+-+-+
22
22
2()()()()0ab c
b c a c a b a b c b c ?
+-+-+-+
2
22
2
[()()()][()()()]0b ac b c a c a b a b c c ab b c a c a b a b c ?+-+-+-+-+-+-+- 2
2
2
2
2
2
2
2
{[()]()}{[()]()}0b ac c a b a b c c ab b a c a b c ?--+-+---+- 2
2
2
2
2
2
[()()()][()()()]0b a b a b c c b c c a c a c b b c b ?+---+-+--- 22
2
2
()()()()0b a
b a b
c c a c a c b ?+-+-+-
②
由三角形三边关系，得
00a b c a c b +->+->、
所以，不等式②成立，从而不等式①成立 故原不等式成立
河南省：必修(5)：算术平均数与几何平均数(焦作市第十一中学-郭振东)
《算术平均数与几何平均数》 焦作市第十一中学 郭振东 【教学目标】 （1） 知识目标 使学生能准确表达两个重要不等式；理解它们成立的条件和意义；能正确运用算术平均数与几何平均数定理求最值. （2） 能力目标 通过对实例的分析和提炼培养学生的观察、分析和抽象、概括能力；通过师生间的合作交流提高学生的数学表达和逻辑思维能力. （3） 情感目标 让学生经历知识的发生、发展、应用的全过程，鼓励学生在学习中勤于思考，积极探索；通过去伪存真的学习过程培养学生批判质疑的理性思维和锲而不舍追求真理的精神. 【教学重点】两个正数的算术平均数与几何平均数定理及应用定理求最值. 【教学难点】在求最值时如何正确运用定理. 【教学过程】 Ⅰ.引言： 某人中秋节到超市买两斤糖果，不巧超市的电子秤坏了，但超市还有一个不等臂但刻度准确的坏天平，于是售货员先把糖果放在天平的左侧称出“一斤”，再拿出一些糖果放在天平的右侧称出“一斤”，然后把两次称出的糖果合在一起给了他，并且解释:“一边多一边少，加在一起就正好.”这种称法准确么？如果不准确，那么是称多了还是称少了？ 【分析】设天平左右两侧力臂长分别为1l 、2l ，两次称得的糖果实际重量为x 、y 则：12xl l =，12l yl =，
∴2112 l l x y l l +=+ 这个数比2大还是小呢？有没有好的解决方法？请同学们阅读课本第9，10页算术平均数与几何平均数一节的正文及例1，看看能否在课本中找到答案。同时思考以下问题： 问题1.糖果给多了还是少了？你用什么知识解决了这个问题？如何解决的？ 问题 2.除定理外还有一个重要不等式，内容是什么？它与定理有哪些相同点和不同点？ 问题3.认真分析例1及其证明过程，你能得到什么启示？ Ⅱ. 阅读课文，找寻答案 学生阅读课本后回答问题1和问题2，引出本节知识 一．两重要不等式 如果,a b R ∈那么222a b ab +≥ （当且仅当a b =时取“=”号）. 定理 如果,a b 是正数，那么2 a b +（当且仅当a b =时取“=”号）. 想一想：“当且仅当”的含义是什么？ 介绍2 a b +叫做a 、b a 、 b 的几何平均数. 数列解释：两个正数的等差中项不小于它们的正项等比中项. Ⅲ.例题精析,去伪存真 二．定理应用 例1． 已知,x y 都是正数，求证： （1）如果积xy 是定值P ，那么当x y =时，和x y + 有最小值 （2）如果和x y +是定值S ，那么当x y =时，积xy 有最大值214 S . 回答问题3，得出：
初中数学竞赛专题：几何不等式与极值问题
初中数学竞赛专题：几何不等式与极值问题 17.1.1★ 一个凸行边形的内角中,恰好有4个钝角,求n 的最大值． 解析 考虑这个凸行边形的n 个外角,有4n -个角90?≥,故有()490360n -??,P 为BC 边的高AD 上的一点,求证：AB AC PB PC -<-. P C D B A 解析 易知AB AC PB PC +>+, 又2222AB AC BD CD -=- 22PB PC =-, 故有AB AC PB PC -<-． 评注 读者不妨考虑AD 是角平分线与中线的情况． 17.1.3 已知四边形ABCD ,AC 、BD 交于O ,ADO △和BCO △的面积分别为3、12,求四边形ABCD 面积的最小值． C B O D A 解析 易知 ABO BCO ADO DCO S S BO S DO S == △△△△,故36ABO CDO ADO BCO S S S S ?=?=△△△△. 从而12ABO CDO S S +△△≥, 且当ABO CDO S S =△△（此时四边形ABCD 为一梯形）时等号成立,所以此时四边形ABCD 面积达到最小值27. 17.1.4★ 已知：直角三角形ABC 中,斜边BC 上的高6h =． （1）求证：BC h AB AC +>+；
（2）求()()2 2BC h AB AC ++-. 解析 () ()2 2 BC h AB AC +-+ 222222BC h BC h AB AC AB AC =++?---?, 由条件,知242ABC BC h S AB AC ?==?△,且222AB AC BC +=, 于是()()2 2 236BC h AB AC h +-+==. 注意：这同时解决了（1）和（2）. 17.1.5★ 设矩形ABCD ,10BC =,7CD =,动点F 、E 分别在BC 、CD 上,且4BF ED +=,求AFE △面 积的最小值． B F C E D A 解析设 BF x =,()4DE y x ==-,则()()()1 1 7101077022ABF ADE ECF S S S x y x y xy ++=++--=+????△△△。 由()2 144 xy x y +=≤。故 ()1 70704332 AEF S -?+=△≥. 当2BF ED ==时达到最小值． 17.1.6★ 设P 是定角A ∠内一定点,过P 作动直线交两边于M 、N ,求证：AMN △面积最小时,P 为MN 的中点． 解析 如图,连结AP ,设MAP α∠=,NAP β∠=,θαβ=+,由 AMP ANP MAN S S S +=△△△,得 sin sin sin AM AP AN AP AM AN αβθ??+??=?。 又 左式2AP ≥,
(完整版)高中数学不等式归纳讲解
第三章不等式 定义：用不等号将两个解析式连结起来所成的式子。 3-1 不等式的最基本性质 ①对称性：如果x＞y，那么y＜x；如果y＜x，那么x＞y； ②传递性：如果x＞y，y＞z；那么x＞z； ③加法性质；如果x＞y，而z为任意实数，那么x＋z＞y ＋z； ④乘法性质：如果x＞y，z＞0，那么xz＞yz；如果x＞y，z＜0，那么xz＜yz;（符号法则） 3-2 不等式的同解原理 ①不等式F（x）＜G（x）与不等式G（x）＞F（x）同解。
②如果不等式F （x ） ＜ G （x ）的定义域被解析式H （ x ）的定义域所包含，那么不等式 F （x ）＜G （x ）与不等式F （x ）＋H （x ）＜G （x ）＋H （x ）同解。 ③如果不等式F （x ）＜G （x ） 的定义域被解析式H （x ）的定义域所包含，并且H （x ）＞0，那么不等式F(x)＜G （x ）与不等式H （x ）F （x ）＜H （ x ）G （x ） 同解；如果H （x ）＜0，那么不等式F （x ）＜G （x ）与不等式H (x)F （x ）＞H （x ）G （x ）同解。 ④不等式F （x ）G （x ）＞0与不等式 0)x (G 0)x (F >>或0)x (G 0)x (F <<同解 不等式解集表示方式 F(x)>0的解集为x 大于大的或x 小于小的 F(x)<0的解集为x 大于小的或x 小于大的 3-3 重要不等式
3-3-1 均值不等式 1、调和平均数： )a 1...a 1a 1(n H n 21n +++= 2、几何平均数： n 1 n 21n )a ...a a (G = 3、算术平均数： n )a a a (A n 21n +++= 4、平方平均数： n )a ...a a (Q 2n 2221n +++= 这四种平均数满足Hn ≤Gn ≤An ≤Qn a1、a2、… 、an ∈R +，当且仅当a1=a2= … =an 时取“=”号 3-3-1-1均值不等式的变形 (1)对正实数a,b ，有2ab b a 22≥+ (当且仅当a=b 时 取“=”号)
基本不等式(导学案)
基本不等式(导学案) ab，3.4 ab,2 1、学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等 号“?”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等 a，b2、理解利用基本不等式ab 证明不等式的方法 ,2 ab，3、进一步掌握基本不等式；会应用此不等式求某些函数的最值；能够解决ab,2 一些简单的实际问题 ab，应用数形结合的思想理解不等式并从不同角度探索不等式的证明过程；ab,2 理解“当且仅当a=b时取等号”的数学内涵 1、回顾：二元一次不等式（组）与简单的线形规划问题。 2、如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案 中找出一些相等关系或不等关系吗？ 1、重要不等式： 22如果a,b,R,那么a，b,2ab(当且仅当a,b时取","号) 1
a，b2、基本不等式：如果a,b是正数，那么 ,ab(当且仅当a,b时取","号).2 a，b3、我们称ab为a,b的算术平均数，称的几何平均数为a,b2 a，b224、a，b,2ab和,ab成立的条件是不同的：前者只要求a,b都是实数，2 而后者要求a,b都是正数。 1、已知x、y都是正数，求证： 223333yx(1)?2； (2)（＋）（＋）（＋）?８. xyxyxyxy，xy 92、求(x>5)的最小值. fxx()4,，x,5 283、若x>0,y>0,且,求xy的最小值. ，,1xy 11，4、设a、b?R且a＋b＝1,求＋的最小值 1,a1,b 1、两正数a、b的算术平均数与几何平均数成立的条件。?理解“当且仅当a=b 时取等 号”的数学内涵。 2、当两个正数之积为定值时，其和有最小值 当两个正数之和为定值时，其积有最大值 3、利用基本不等式求最值时必须满足三个条件:一正二定三相等. 4、用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行： (1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数； (2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题； (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值； (4)正确写出答案. 2
算术-几何平均值不等式
算术-几何平均值不等式 信息来源：维基百科 在数学中，算术-几何平均值不等式是一个常见而基本的不等式，表现了两类平均数：算术平均数和几何平均数之间恒定的不等关系。设为个正实 数，它们的算术平均数是，它们的几何平均数是。算术-几何平均值不等式表明，对任意的正实数，总有： 等号成立当且仅当。 算术-几何平均值不等式仅适用于正实数，是对数函数之凹性的体现，在数学、自然科学、工程科学以及经济学等其它学科都有应用。 算术-几何平均值不等式经常被简称为平均值不等式（或均值不等式），尽管后者是一组包括它的不等式的合称。 例子 在的情况，设: ，那么 .可见。 历史上的证明
历史上，算术-几何平均值不等式拥有众多证明。的情况很早就为人所知，但对于一般的，不等式并不容易证明。1729年，英国数学家麦克劳林最早给出了一般情况的证明，用的是调整法，然而这个证明并不严谨，是错误的。 柯西的证明 1821年，法国数学家柯西在他的著作《分析教程》中给出了一个使用逆向归纳法的证明[1]： 命题：对任意的个正实数， 当时，显然成立。假设成立，那么成立。证明：对于个正实数， 假设成立，那么成立。证明：对于个正实数，设，，那么由于成立，。 但是，，因此上式正好变成 也就是说
综上可以得到结论：对任意的自然数，命题都成立。这是因为由前两条可以得到：对任意的自然数，命题都成立。因此对任意的，可以先找使得，再结合第三条就可以得到命题成立了。 归纳法的证明 使用常规数学归纳法的证明则有乔治·克里斯托（George Chrystal）在其著作《代数论》（algebra）的第二卷中给出的[2]： 由对称性不妨设是中最大的，由于，设，则，并且 有。 根据二项式定理， 于是完成了从到的证明。 此外还有更简洁的归纳法证明[3]： 在的情况下有不等式和成立，于是：
第13讲 几何不等式 深圳中学 周峻民
·竞赛专题 几何不等式 深圳中学 周峻民 一、知识与方法 几何不等式，顾名思义是研究几何图形中有关元素的数量不等关系，较多的涉及到三角形或多边形的边长、面积等方面的不等式．处理方法一般分为纯几何方法和转化为代数方法、三角方法加以解决，可寻找解题规律，但没有固定的解题模式，要善于抓住主要矛盾解决问题。其知识往往涉及到平面几何的重要定理、公式，代数（三角）的基本等式和不等式以及相关知识。 1．将几何问题转为代数问题 （1）利用三角形三边关系化为代数式：若三角形三边长为,,a b c ，则b c a +>， c a b +>，a b c +>，由此，可设2y z a += ，2z x b +=，2 x y c +=，即x a b c =-++ 0>，0y a b c =-+>，0z a b c =+->，将含有边长,,a b c 的不等式（三角形几个重要 元素，如，外接圆半径R 、内切圆半径r 、面积、中线、高线、角平分线等）化为含有正数 ,,x y z 的代数不等式. （2）利用正弦定理：2sin ,2sin ,2sin ,a R A b R B c R C ===将含有边长,,a b c 的不等式化为三角函数不等式.在化为三角函数不等式时应注意以下等式的应用： 2 2 2 cos cos cos 2cos cos cos 1A B C A B C +++=； 222222444 2(sin sin sin sin sin sin )sin sin sin B C C A A B A B C ++--- 2 2 2 64sin sin sin A B C =； tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=； cot cot cot cot cot cot 1B C C A A B ++= 等等。 2．几何方法 利用纯粹的平面几何知识来证明几何不等式：
(基本不等式)公开课教案知识分享
基本不等式 2a b +≤ 授课人:祁玉瑞 授课类型：新授课 一、知识与技能： 使学生了解基本不等式的代数、几何背景，学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；学会应用基本不等式解决简单的数学问题。 过程与方法： 通过探索基本不等式的过程，让学生体会研究数学问题的基本思想方法，学会学习，学会探究。 情感态度与价值观： 在探索过程中，鼓励学生大胆尝试，大胆猜想，并能对猜想进行证明，增强学生的信心，获得探索问题的成功情感体验。逐步养成学生严谨的科学态度及良好的思维习惯。同时通过本节内容的学习，让学生体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣。 二、重点及难点 重点：应用数形结合的思想理解不等式，2 a b +≤的证明过程。 难点：2a b +≤等号成立条件。 三、教学过程 1.课题导入 2a b +≤的几何背景： 如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？ 教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。 2.讲授新课 1．探究图形中的不等关系
将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD 中右个全等的直角三角形。 设直角三角形的两条直角边长为a,b 那么正方形的边长为22a b +。这样，4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形的面积为22a b +。由于4个直角三角形的 面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：222a b ab +≥。 当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时 有222a b ab +=。 2．得到结论：一般的，如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a 3．思考证明：你能给出它的证明吗？ 证明：因为 222)(2b a ab b a -=-+ 当 22,()0,,()0,a b a b a b a b ≠->=-=时当时 所以，0)(2≥-b a ，即 .2)(22ab b a ≥+ 4．1）从几何图形的面积关系认识基本不等式2a b ab +≤ 特别的，如果a>0,b>0,我们用分别代替a 、b ，可得2a b ab +≥， 通常我们把上式写作：(a>0,b>0)2a b ab +≤ 22a b ab +≤ 用分析法证明： 32a b ab +≤的几何意义 探究：课本第98页的“探究” 在右图中，AB 是圆的直径，点C 是AB 上的一点，AC=a,BC=b 。过 点C 作垂直于AB 的弦DE ，连接AD 、BD 。你能利用这个图形得出基本 2a b ab +≤的几何解释吗？
高考数学百大经典例题 算术平均数与几何平均数
典型例题一 例1 已知R c b a ∈,,，求证.2 2 2 ca bc ab c b a ++≥++ 证明：∵ ab b a 22 2 ≥+， bc c b 222 ≥+， ca a c 22 2 ≥+， 三式相加，得 )(2)(2222ca bc ab c b a ++≥++，即.222ca bc ab c b a ++≥++ 说明：这是一个重要的不等式，要熟练掌握． 典型例题二 例2 已知c b a 、、是互不相等的正数， 求证：abc b a c c a b c b a 6)()()(2 2 2 2 2 2 >+++++ 证明：∵022 2>>+a bc c b ，， ∴abc c b a 2)(22 >+ 同理可得：abc b a c abc c a b 2)(2)(2 2 2 2 >+>+，． 三个同向不等式相加，得 abc b a c c a b c b a 6)()()(222222>+++++ ① 说明：此题中c b a 、、互不相等，故应用基本不等式时，等号不成立．特别地，b a =，c b ≠时，所得不等式①仍不取等号． 典型例题三 例3 求证)(2222222c b a a c c b b a ++≥+++++． 分析：此问题的关键是“灵活运用重要基本不等式ab b a 22 2≥+，并能由) (2c b a ++这一特征，思索如何将ab b a 22 2≥+进行变形，进行创造”． 证明：∵ab b a 22 2≥+， 两边同加2 2b a +得2 2 2 )()(2b a b a +≥+． 即2 )(2 2 2 b a b a +≥+．
几何不等式
中国计量学院 吴跃生 几何问题中出现的不等式称为几何不等式．证明几何不等式的方法大致可分为三种方法：几何方法、代数方法和三角方法． 记号约定：在ABC V 中，,,a b c 表示三边长；,,A B C 表示对应角；s 表示半周长；,,a a a h t m 分别表示a 边上的高、内角平分线长、中线长；R 和r 分别表示ABC V 的外接圆半径和内接圆半径；S 表示ABC V 的面积．设P 是ABC V 内任意一点，记123,,PA R PB R PC R ===；点P 到三边,,BC CA AB 的距离分别记为123,,r r r ；记,,BPC CPA ABC αβγ∠=∠=∠=；,,BPC CPA ABC ∠∠∠的内角平分线长分别记为123,,w w w ． 一、距离不等式与化直法 仅仅涉及线段长度的几何不等式称为距离不等式． 1． 设,,a b c 是ABC V 的边长，求证： 2a b c b c c a a b ++<+++． ２． 已知：在ABC V 中，c 是最小边，P 是ABC V 内任意一点，求证： PA PB PC a b ++<+． （冷岗松） 加强：在ABC V 中，c 是最小边，P 是ABC V 内任意一点，求证：存在(01)p p λλ<<，使得 (1)[min(,)]p PA PB PC a b a b c λ++<+---． （鱼儿） 3． 设a 是ABC V 的最大边，O 是ABC V 内任意一点，设直线AO BO CO 、、与ABC V 的三边分别交于点P Q R 、、，证明： OP OQ OR a ++<． 二、托勒密(Ptolemy)定理及其应用 托勒密定理：在凸四边形ABCD 中，有 AB CD AD BC AC BD ?+?≥?， 当且仅当四边形ABCD 是圆内接四边形时等号成立． 下面各例中的不等式的等号成立的条件，请读者自行判明，不再赘述． 1． 242b c m m a bc ≤+(1993年，陈计) 对偶式：22242449b c m m a b c bc ≥--+．(1992年，陈计)
《基本不等式》教案
普安县第五届中小学优质课评选授课教案 【课题】3．4 基本不等式（1） 【执教人】吴应艳 【上课时间】2013、12、 【教学方法】探究学习、学案导学 【教学手段】投影仪、彩笔 【课型】新授课 【总课时数】1课时 【教学内容分析】 本节课是必修5第3章第4节的内容，内容安排在实数的性质与不等式性质之后，所以对于不等式的证明不存在太大难度。本节课内容的应用又十分广泛，因此引导学生学习好本节内容显得十分重要。 【学生学习情况分析】 授课的班级学生程度不太高，基础差不多，学习的知识结构较为合理。因此设计时也注重对探究能力的培养，同时也注意对基本不等式的应用教学。【教学目标】 知识目标：1、使学生了解基本不等式及其证明；2、让学生感知与基本不等式相近的一些不等式的证明与几何背景。 能力目标：1、通过对基本不等式的探究，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；2、让学生初步了解用分析法证明不等式，培养学生分析问题能力与逻辑思维能力 情感目标：通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好的探究学习习惯及勇于探索精神及灌输问题教学法。 【教学重点与难点】 重点：应用数形结合的思想理解基本不等式并从不同角度探索不等式的证明
过程，并能说明基本不等式的意义 难点：利用基本不等式推导一些与其相似的不等式 一、教学过程 (一)情景设置 【探究】右图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。 现将图中的“风车”抽象成下图， 这个会标中含有怎样的几何图形？你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系？ 问题1:我们把“风车”造型抽象成图一.在正方形ABCD 中有4个全等的直角三角形.如果设直角三角形的两直角边长为ａ、ｂ，你能用ａ、ｂ表示哪些图形的面积，这些面积有什么关系？那么正方形的边长为多少？面积为多少呢？4个直角三角形的面积和是多少呢？（由学生回答，培养学生独立思考问题的能力） （22 a b +，22a b +、2ab ） 问题2：比较大正方形的面积与4个直角三角形的面积，你能找到怎样的不 等关系？ （根据观察4个直角三角形的面积和正方形的面积，我们可容易得到一个不等 式， >(a ≠b)） 图一 2 2 b a +a b 2
算术—几何平均不等式
江苏省郑梁梅高级中学高二数学教学案（理） 主备人：冯龙云 做题人：顾华章 审核人：曾庆亚 课题：算术—几何平均不等式 一、教学目标： 1．掌握平均不等式的基本形式和特点，体会特殊化到一般化的思考方法； 2．利用平均不等式证明相关结论； 二、教学重点、难点 重点：掌握平均不等式的基本形式和特点； 难点：利用平均不等式证明相关结论。 三、教学过程 1、问题情境 复习回顾：基本不等式 2、建构数学 算术—几何平均不等式： 3、数学运用 例1、设,,a b c 为正数，证明：2 (1)()16ab a b ab ac bc c abc ++++++≥。
例2、设12,,,n a a a L 为正数，求证：1212111n n a a a n n a a a +++≥+++L L 。 例3、证明：对于任意正整数n ，有111(1)(1)1n n n n ++<+ +。 4、课堂练习 （1）已知x 、y 都是正数，且 141x y +=，求x y +的最小值。 （2）已知x 、y 都是正数，且x y >，求证：22 12232x y x xy y + ≥+-+。 5、课堂小结 四、板书设计 五、教学后记
江苏省郑梁梅高级中学高二数学作业（理） 班级__________ 姓名________ 学号_________ 1、设,,a b c 为正实数，求证：333111abc a b c +++≥ 2、已知a 、b 为正数，求证：22 (1)(1)9a b a b ab ++++≥。 3、已知a 、b 、c 为正数，且()1abc a b c ++=，求()()a b a c ++的最小值。
几何不等式测试题
几何不等式测试题 1．在△ABC中，M为BC边的中点，∠B=2∠C，∠C的平分线交AM于D。 证明：∠MDC≤45°。 2．设NS是圆O的直径，弦AB⊥NS于M，P为弧上异与N的任一点，PS交AB于R，PM的延长线交圆O于Q，求证：RS＞MQ。 3．在△ABC中，设∠A，∠B，∠C的平分线交外接圆于P、Q、R。 证明：AP+BQ+CR＞BC+CA+AB。 4．过△ABC内一点O引三边的平行线，DE∥BC,FG∥CA,HI∥AB,点D、E、F、G、I都在△ABC的边上，表示六边形DGHEFI的面积，表示△ABC的面积。 求证：。 5．求证：△ABC的内心I到各顶点的距离之和不小于重心G到各边距离之和的2倍。 6．凸四边形ABCD具有性质：（1）AB=AD+BC，（2）在其内部有点P，P点到CD的距离 为h，并使AP=h+AD,BP=h+BC，求证：。 7．设H为锐角△ABC的垂心，A1，B1，C1，分别为AH，BH，CH与△ABC外接圆的交点。 求证：。其中等号当且仅当△ABC为正三角形时成立。 8．一凸四边形内接于半径为1的圆。证明：四边形周长与其对角线之和的差值u,满足0
新课标八年级数学竞赛讲座：第三十二讲 几何不等式
第三十二讲 几何不等式 1．三角形的不等关系是研究许多几何不等问题的基础，这种不等关系分为两类：一类是在同一三角形中进行比较；一类是在两个三角形中比较．这里主要方法是把要比较的边或角如何转化到同一个三角形或适当安排在两个三角形之中． 2．在同一个三角形中有关边或角不等关系的证明，常有以下定理： (1)三角形任何两边之和大于第三边． (2)三角形任何两边之差小于第三边． (3)三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角． (4)同一三角形中大边对大角． (5)同一三角形中大角对大边． 例题求解 【例1】 如图19-2，在等腰梯形ABCD 中，A ∥BC ，AB=CD ，E 、F 分别在AB 、CD 上且AE=CF ．求证：)(2 1BC AD EF +≥． 思路点拨 如图所示，延长AD 至D 1使DD 1=BC ，延长BC 至C l ，使CC l =AD ，连结C l D l ，则ABC 1D l 是平行四边形，ABCD 和CDD l C l 是两个全等的梯形，在D 1C 1上取一点G 使D 1G=AE ，连结FG 和EG ． 由AE=CF ，则EF=FG ，又EG=AD 1=AD+BC ， ∴ 2EF=EF+FG ≥EG=AD+BC ． 即)(2 1BC AD EF +≥． 注 当且仅当点F 落在EG 上时，即E 为AB 的中点时，结论中的等号成立．证明这类不等式的一个常用方法是能过添加辅助线，把要比较大小的线段或角集中到一个三角形中，或者适当地安排在两个三角形中，以便应用上述基本不等式关系． 【例2】 如图19-3，△ABC 中，AB>AC ，BE 、CF 是中线，求证：BE>CF ． 思路点拨 将BE 、CE 分别平移到FG 、FD ，则四边形EFDC 为平行四边形，作FH ⊥BC 于H ． ∴AB>AC ，且F ，E 分别为AB 、AC 的中点，∴ FB>CE ． ∴ FB>FD ，由勾股定理得：HB>HD ，即FB>FD ． 又∵GH=GB+BH=EF+BH=DC+BH>CD+DH=CH ， 即GH>CH ， ∴ GF>CF ． 即 BE>CF ．
回归课本专题五 不等式、立体几何
回归课本专题五 不等式、立体几何 第 1 页 回归课本专题五：不等式、立体几何 一、不等式： 1．不等式的基本概念和性质 不等（等）号的定义：.0;0;0b a b a b a b a b a b a ?>- 例1．（1）设a ∈R 且a ≠-2,比较a +22 与2-a 的大小． （2）若不等式|x-1|+≥(5)若则（当仅当a=b 时取等号） 2222(6)0||; ||a x a x a x a x a x a x a a x a >>?>?<-><-，则p 是q 的_________. （2）已知1230a a a >>>，则使得2(1)1i a x -<(1,2,3)i =都成立的x 取值范围是 ____. 4.不等式证明的几种常用方法 比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法. 常用不等式的放缩法：① 21111111(2)1 (1)(1)1 n n n n n n n n n n - ==-≥+ +-- 1) n = =≥ 5.不等式的应用 例5：已知)(x f 对一切实数y x ,都有()()()f x y f x f y +=+，且当x ＞0时，)(x f ＜0 （1）证明)(x f 为奇函数且是R 上的减函数；（2）若关于x 的不等式 22[cos ()][sin ()]()66f x f x f m ππ+-+<对一切0,2x π?? ∈???? 恒成立，求m 的取值范围. 6.练习： 1、不等式x x x <-2 4解集是___________. 2．函数)34(log 1 )(22-+-= x x x f 的定义域为_____________. 3．设命题甲为:???<<<+<3042xy y x ;命题乙为:???<<<<3 21 0y x ;则甲是乙的___________条件. 4．若函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数，且0)2(=f ，则使得 x x f 的0)(<的取值范围是_____________. 5．设a 、b 、c 是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立．．．．的是__________. （1）||||||c b c a b a -+-≤- （2）a a a a 1 12 2+ ≥+ （3）21 ||≥-+ -b a b a （4）a a a a -+≤+-+213 6、若不等式|x -1|，则x 1与x 2的关系为____________. 10、若a,b,c ＞0且a(a+b+c)+bc =4-23,则2a+b+c 的最小值为 .
基本不等式
基本不等式2 b a a b +≤ （一） 学习目标：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并 掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件. 学习重点：基本不等式的证明，正确运用基本不等式. 你看到市场买鸡蛋，商贩用不等臂天平秤称量，先把鸡蛋放在左盘，砝码放 在右盘，砝码质量为x ，然后把鸡蛋放在右盘，砝码放在左盘，此时，砝码质量为y ，最后商贩告诉你，鸡蛋质量为 2 y x +，并让你付钱，请问你觉得公平吗？ 学习任务：阅读课本第97页至第100页，完成下列问题: 1.对于基本不等式2 b a a b +≤ ，你用能什么方法证明？ 2.比较不等式ab b a 22 2≥+与2 b a ab +≤ ，它们有什么关系？有什么区别？它们适用范围和等号成立的条件各是什么？ 3.基本不等式2 b a a b +≤ 有何结构特点？利用这个结构可以解决什么问题？应用时应注意什么？ 4.精读课本P 97例1，思考：0,0>>y x （1）如果y x ?是定值P ，和y x +有最值吗？若有，是多少？何时取得最值？ （2）如果y x +是定值S ，积y x ?有最值吗？若有，是多少？何时取得最值？ 5.动手做例2. 6.证明：0,0>>y x （1） 2≥+x y y x （2）21 ≥+x x （3）（y x +）（2 2 y x +）（3 3 y x +）≥83 3y x 必做题： P 100练习2、3、4基本不等式2 b a a b +≤ （二） 芅蚀芃螆蒇罿袃 学习目标：会应用基本不等式求某些函数的最值,能够解决一些简单的实际问 题. 膀膁羃芆莀螂袄 学习重点：会恰当地运用基本不等式求数学问题中的最值. 学习任务： 1．（1）若0>x ，求x x x f 312 )(+= 的最小值. （2）若0
初中数学竞赛专题复习第二篇平面几何第17章几何不等式与极值问题试题新人教版
第17章 几何不等式与极值问题 一个凸行边形的内角中，恰好有4个钝角，求n 的最大值． 解析 考虑这个凸行边形的n 个外角，有4n -个角90?≥，故有()490360n -??，P 为BC 边的高AD 上的一点，求证：AB AC PB PC -<-. 解析 易知AB AC PB PC +>+， 又2222AB AC BD CD -=- 22PB PC =-， 故有AB AC PB PC -<-． 评注 读者不妨考虑AD 是角平分线与中线的情况． 17.1.3 已知四边形ABCD ，AC 、BD 交于O ，ADO △和BCO △的面积分别为3、12，求四边形ABCD 面积的最小值． 解析 易知ABO BCO ADO DCO S S BO S DO S == △△△△，故36ABO CDO ADO BCO S S S S ?=?=△△△△. 从而12ABO CDO S S +=△△≥， 且当ABO CDO S S =△△（此时四边形ABCD 为一梯形）时等号成立，所以此时四边形ABCD 面积达到最小值27. 已知：直角三角形ABC 中，斜边BC 上的高6h =． （1）求证：BC h AB AC +>+； （2）求()()2 2 BC h AB AC ++-. 解析 () ()2 2 BC h AB AC +-+ 222222BC h BC h AB AC AB AC =++?---?， 由条件，知242ABC BC h S AB AC ?==?△，且222AB AC BC +=， 于是()()2 2 236BC h AB AC h +-+==. 注意：这同时解决了（1）和（2）. 设矩形ABCD ，10BC =，7CD =，动点F 、E 分别在BC 、CD 上，且4BF ED +=，求AFE △面积的最小值． 解析设 BF x =， () 4DE y x ==-，则 ()()()11 7101077022ABF ADE ECF S S S x y x y xy ++=++--=+????△△△。 由()2 144 xy x y +=≤ 。故 ()1 70704332 AEF S -?+=△≥.
几何第08讲 几何不等式(2)
第八讲 几何不等式（2） 例1（1996年第37届IMO 备选题） 设△ABC 是等边三角形，P 是其内部一点，线段AP 、BP 、CP 依次交三边BC 、CA 、AB 于A 1、B 1、C 1三点．证明： A 1B 1 ·B 1C 1 ·C 1A 1≥A 1B·B 1C·C 1A. 例2（1997年IMO 预选题） 设ABCDEF 是凸六边形，且AB=BC,CD=DE,EF= FA.证明：?≥++ 2 3 FC FA DA DE BE BC 并指出等式在什么条件下成立？
例3. （1999年保加利亚数学奥林匹克） 面积为S的凸四边形ABCD内接于一圆，圆心在四边形内部，证明：以该 四边形对角线交点在四边上的射影为顶点的四边形面积不超过1 2 S．
例4．(1996年IMO) 设ABCDEF 为凸六边形，且AB 平行于ED ，BC 平行于FE ，CD 平行于AF.设R A ，Rc ，R E 分别表示△FAB ，△BCD 及△DEF 的外接圆半径，P 表示六边形的周长． 证明：?≥++2 P R R R E C A
例5．设P 是ABC ?内的一个点，S R Q ,,分别是C B A ,,与P 的连线与对边的交点 （如图），求证：ABC QRS S S ??≤ 4 1 .（QRS ?是塞瓦三角形） 分析：利用补集思想，证明ABC CQR BSQ ASR S S S S ????≥++4 3 证明1：令 γβα===RA CR QC BQ SB AS ,,，则由塞瓦定理1=αβγ 则 ) 1)(1(++= ??=??γαα AC AB AR AS S S ABC ASR 同理 )1)(1(++=??=??αββAB BC BS BQ S S ABC BSQ ) 1)(1(++= ??=??βγγ AB BC CR CQ S S ABC CQR 只要证明ABC CQR BSQ ASR S S S S ????≥++4 3 即4 3) 1)(1() 1)(1() 1)(1(≥ +++ +++ ++βγγ αββ γαα 只 要证0)()(6≤++-++-γβαγαβγαβ只要证 0)]()1 11[(6≤+++++-γβαγ βα 显然6)()1 1 1 ( ≥+++++ γβαγ βα ，当12αβγ===时取等号， 此时P 是ABC ?的重心 证明2：设z S y S x S PAB PBC PAC ===???,,，则 z x QB QC y z RC RA x y SA SB ===,, ))((y z y x xz AC AB AR AS S S ABC ASR ++=??=??同理))((x z x y yz AB BC BS BQ S S ABC BSQ ++= ??=?? ) )((z y z x xy AB BC CR CQ S S ABC CQR ++= ??= ?? 只要证明ABC CQR BSQ ASR S S S S ????≥++4 3
基本不等式学习知识梳理
基本不等式 【考纲要求】 1. 2 a b +≤ 的证明过程，理解基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等； 2. 2 a b +≤ 解决最大（小）值问题. 3.会应用基本不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题 【知识网络】 【考点梳理】 考点一：重要不等式及几何意义 1．重要不等式： 如果,R a b ∈，那么2 2 2a b ab +≥（当且仅当a b =时取等号“=”）. 2．基本不等式： 如果,a b 是正数，那么 2a b +≥（当且仅当a b =时取等号“=”）. 要点诠释：22 2a b ab +≥ 和2 a b +≥ （1）成立的条件是不同的：前者只要求,a b 都是实数，而后者要求,a b 都是正数；
（2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当a b =时取等号”。 （3）2 2 2a b ab +≥可以变形为：222a b ab +≤，2a b ab +≥可以变形为：2()2 a b ab +≤. 3.如图，AB 是圆的直径，点C 是AB 上的一点，AC a =,BC b =，过点C 作DC AB ⊥交圆于点D ，连接AD 、BD . 易证~Rt ACD Rt DCB ??，那么2 CD CA CB =?，即CD ab = . 这个圆的半径为2b a +，它大于或等于CD ，即ab b a ≥+2 ，其中当且仅当点C 与圆心重合，即a b =时，等号成立. 要点诠释：1.在数学中，我们称 2 b a +为,a b 的算术平均数，称ab 为,a b 的几何平均数. 因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 2.如果把 2 b a +看作是正数,a b 的等差中项，ab 看作是正数,a b 的等比中项，那么基本不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项. 考点二：基本不等式2 a b ab +≤的证明 1. 几何面积法 如图，在正方形ABCD 中有四个全等的直角三角形。 设直角三角形的两条直角边长为a 、b 22a b +4个直角三角形 的面积的和是2ab ，正方形ABCD 的面积为2 2 a b +。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所 以：22 2a b ab +≥。当直角三角形变为等腰直角三角形，即a b =时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有2 2 2a b ab +=。
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