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算术-几何平均值不等式

信息来源：维基百科

在数学中，算术-几何平均值不等式是一个常见而基本的不等式，表现了两类平均数：算术平均数和几何平均数之间恒定的不等关系。设为个正实

数，它们的算术平均数是，它们的几何平均数是。算术-几何平均值不等式表明，对任意的正实数，总有：

等号成立当且仅当。

算术-几何平均值不等式仅适用于正实数，是对数函数之凹性的体现，在数学、自然科学、工程科学以及经济学等其它学科都有应用。

算术-几何平均值不等式经常被简称为平均值不等式（或均值不等式），尽管后者是一组包括它的不等式的合称。

例子

在的情况，设: ，那么

.可见。

历史上的证明

历史上，算术-几何平均值不等式拥有众多证明。的情况很早就为人所知，但对于一般的，不等式并不容易证明。1729年，英国数学家麦克劳林最早给出了一般情况的证明，用的是调整法，然而这个证明并不严谨，是错误的。

柯西的证明

1821年，法国数学家柯西在他的著作《分析教程》中给出了一个使用逆向归纳法的证明[1]：

命题：对任意的个正实数，

当时，显然成立。假设成立，那么成立。证明：对于个正实数，

假设成立，那么成立。证明：对于个正实数，设，，那么由于成立，。

但是，，因此上式正好变成

也就是说

综上可以得到结论：对任意的自然数，命题都成立。这是因为由前两条可以得到：对任意的自然数，命题都成立。因此对任意的，可以先找使得，再结合第三条就可以得到命题成立了。

归纳法的证明

使用常规数学归纳法的证明则有乔治·克里斯托（George Chrystal）在其著作《代数论》（algebra）的第二卷中给出的[2]：

由对称性不妨设是中最大的，由于，设，则，并且

有。

根据二项式定理，

于是完成了从到的证明。

此外还有更简洁的归纳法证明[3]：

在的情况下有不等式和成立，于是：

所以，从而有。基于琴生不等式的证明

注意到几何平均数实际上等于，因此算术-几何平均不等式等价于：

。

由于对数函数是一个凹函数，由琴生不等式可知上式成立。

基于排序不等式的证明

令，于是有，再作代换，运用排序不等式得到：

，

于是得到，即原不等式成立。

此外还有基于伯努利不等式或借助调整法、辅助函数求导和加强命题的证明。

推广

算术-几何平均不等式有很多不同形式的推广。

加权算术-几何平均不等式

不仅“均匀”的算术平均数和几何平均数之间有不等式，加权的算术平均数和几何平均数之间也有不等式。设和为正实数，并且，那么：

。

加权算术-几何平均不等式可以由琴生不等式得到。

矩阵形式

算术-几何平均不等式可以看成是一维向量的系数的平均数不等式。对于二维的矩阵，一样有类似的不等式：对于系数都是正实数的矩阵

设，，那么有：

也就是说：对个纵列取算术平均数，它们的几何平均小于等于对个横行取的个几何平均数的算术平均。

极限形式

也称为积分形式：对任意在区间上可积的正值函数，都有

这实际上是在算术-几何平均值不等式取成后，将两边的黎曼和中的趋于无穷大后得到的形式。

参考来源

1.^ Augustin-Louis Cauchy, Cours d'analyse de l'école Royale Polytechnique, premier partie, Analyse algébrique, Paris, 1821. p457.

2.^ George Chrystal, Algebra:An Elementary Text-Book, Part II, Chapter .

3.^ P. H. Diananda , A Simple Proof of the Arithmetic Mean Geometric Mean Inequality ,The American Mathematical Monthly, Vol. 67, No. 10 (Dec., 1960), pp. 1007

匡继昌，《常用不等式》，山东科技出版社。

李胜宏，《平均不等式与柯西不等式》，华东师大出版社。

莫里斯·克莱因（Morris Kline），张理京张锦炎江泽涵译，《古今数学思想》，上海科学技术出版社。

李兴怀，《学科奥林匹克丛书·高中数学》，广东教育出版社。

河南省：必修(5)：算术平均数与几何平均数(焦作市第十一中学-郭振东)

《算术平均数与几何平均数》焦作市第十一中学郭振东【教学目标】（1）知识目标使学生能准确表达两个重要不等式；理解它们成立的条件和意义；能正确运用算术平均数与几何平均数定理求最值. （2）能力目标通过对实例的分析和提炼培养学生的观察、分析和抽象、概括能力；通过师生间的合作交流提高学生的数学表达和逻辑思维能力. （3）情感目标让学生经历知识的发生、发展、应用的全过程，鼓励学生在学习中勤于思考，积极探索；通过去伪存真的学习过程培养学生批判质疑的理性思维和锲而不舍追求真理的精神. 【教学重点】两个正数的算术平均数与几何平均数定理及应用定理求最值. 【教学难点】在求最值时如何正确运用定理. 【教学过程】 Ⅰ.引言：某人中秋节到超市买两斤糖果，不巧超市的电子秤坏了，但超市还有一个不等臂但刻度准确的坏天平，于是售货员先把糖果放在天平的左侧称出“一斤”，再拿出一些糖果放在天平的右侧称出“一斤”，然后把两次称出的糖果合在一起给了他，并且解释:“一边多一边少，加在一起就正好.”这种称法准确么？如果不准确，那么是称多了还是称少了？【分析】设天平左右两侧力臂长分别为1l 、2l ，两次称得的糖果实际重量为x 、y 则：12xl l =，12l yl =，

∴2112 l l x y l l +=+ 这个数比2大还是小呢？有没有好的解决方法？请同学们阅读课本第9，10页算术平均数与几何平均数一节的正文及例1，看看能否在课本中找到答案。同时思考以下问题：问题1.糖果给多了还是少了？你用什么知识解决了这个问题？如何解决的？问题 2.除定理外还有一个重要不等式，内容是什么？它与定理有哪些相同点和不同点？问题3.认真分析例1及其证明过程，你能得到什么启示？ Ⅱ. 阅读课文，找寻答案学生阅读课本后回答问题1和问题2，引出本节知识一．两重要不等式如果,a b R ∈那么222a b ab +≥ （当且仅当a b =时取“=”号）. 定理如果,a b 是正数，那么2 a b +（当且仅当a b =时取“=”号）. 想一想：“当且仅当”的含义是什么？介绍2 a b +叫做a 、b a 、 b 的几何平均数. 数列解释：两个正数的等差中项不小于它们的正项等比中项. Ⅲ.例题精析,去伪存真二．定理应用例1．已知,x y 都是正数，求证：（1）如果积xy 是定值P ，那么当x y =时，和x y + 有最小值（2）如果和x y +是定值S ，那么当x y =时，积xy 有最大值214 S . 回答问题3，得出：

(完整版)均值不等式及其证明

1平均值不等式及其证明平均值不等式是最基本的重要不等式之一，在不等式理论研究和证明中占有重要的位置。平均值不等式的证明有许多种方法，这里，我们选了部分具有代表意义的证明方法，其中用来证明平均值不等式的许多结论，其本身又具有重要的意义，特别是，在许多竞赛的书籍中，都有专门的章节介绍和讨论，如数学归纳法、变量替换、恒等变形和分析综合方法等，这些也是证明不等式的常用方法和技巧。 1.1 平均值不等式一般地，假设12,,...,n a a a 为n 个非负实数，它们的算术平均值记为 12...,n n a a a A n +++= 几何平均值记为 112(...)n n n G a a a == 算术平均值与几何平均值之间有如下的关系。 12...n a a a n +++≥ 即 n n A G ≥，当且仅当12...n a a a ===时，等号成立。上述不等式称为平均值不等式，或简称为均值不等式。平均值不等式的表达形式简单，容易记住，但它的证明和应用非常灵活、广泛，有多种不同的方法。为使大家理解和掌握，这里我们选择了其中的几种典型的证明方法。供大家参考学习。 1.2 平均值不等式的证明证法一（归纳法）（1）当2n =时，已知结论成立。（2）假设对n k =（正整数2k ≥）时命题成立，即对 0,1,2,...,,i a i k >=有 1 1212...(...)k k n a a a a a a k +++≥。那么，当1n k =+时，由于

121 1 (1) k k a a a A k +++++= +，1k G +=，关于121,,...,k a a a +是对称的，任意对调i a 与j a ()i j ≠，1k A +和1k G +的值不改变，因此不妨设{}1121min ,,...,k a a a a +=，{}1121max ,,...,k k a a a a ++= 显然111k k a A a ++≤≤，以及1111()()0k k k a A a A +++--<可得 111111()k k k k A a a A a a +++++-≥. 所以 1111211 1(1)...k k k k k k kA k A A a a a A A k k k +++++++-+++-= == 2111...()k k k a a a a A k ++++++-=≥即12111...()k k k k k A a a a a A +++≥+- 两边乘以1k A +，得 111211112111...()...()k k k k k k k k k k A a a A a a A a a a a G ++++++++≥+-≥=。从而，有11k k A G ++≥ 证法二（归纳法）（1）当2n =时，已知结论成立。（2）假设对n k =（正整数2k ≥）时命题成立，即对 0,1,2,...,,i a i k >=有 12...k a a a +++≥ 那么，当1n k =+时，由于

算术-几何平均值不等式

算术-几何平均值不等式信息来源：维基百科在数学中，算术-几何平均值不等式是一个常见而基本的不等式，表现了两类平均数：算术平均数和几何平均数之间恒定的不等关系。设为个正实数，它们的算术平均数是，它们的几何平均数是。算术-几何平均值不等式表明，对任意的正实数，总有：等号成立当且仅当。算术-几何平均值不等式仅适用于正实数，是对数函数之凹性的体现，在数学、自然科学、工程科学以及经济学等其它学科都有应用。算术-几何平均值不等式经常被简称为平均值不等式（或均值不等式），尽管后者是一组包括它的不等式的合称。例子在的情况，设: ，那么 .可见。历史上的证明

历史上，算术-几何平均值不等式拥有众多证明。的情况很早就为人所知，但对于一般的，不等式并不容易证明。1729年，英国数学家麦克劳林最早给出了一般情况的证明，用的是调整法，然而这个证明并不严谨，是错误的。柯西的证明 1821年，法国数学家柯西在他的著作《分析教程》中给出了一个使用逆向归纳法的证明[1]：命题：对任意的个正实数，当时，显然成立。假设成立，那么成立。证明：对于个正实数，假设成立，那么成立。证明：对于个正实数，设，，那么由于成立，。但是，，因此上式正好变成也就是说

综上可以得到结论：对任意的自然数，命题都成立。这是因为由前两条可以得到：对任意的自然数，命题都成立。因此对任意的，可以先找使得，再结合第三条就可以得到命题成立了。归纳法的证明使用常规数学归纳法的证明则有乔治·克里斯托（George Chrystal）在其著作《代数论》（algebra）的第二卷中给出的[2]：由对称性不妨设是中最大的，由于，设，则，并且有。根据二项式定理，于是完成了从到的证明。此外还有更简洁的归纳法证明[3]：在的情况下有不等式和成立，于是：

常用几何公式大全

常用几何公式大全 1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行 11 同旁内角互补，两直线平行 12两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补 15 定理三角形两边的和大于第三边 16 推论三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角） 31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60° 34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）

高考数学百大经典例题算术平均数与几何平均数

典型例题一例1 已知R c b a ∈,,，求证.2 2 2 ca bc ab c b a ++≥++ 证明：∵ ab b a 22 2 ≥+， bc c b 222 ≥+， ca a c 22 2 ≥+，三式相加，得 )(2)(2222ca bc ab c b a ++≥++，即.222ca bc ab c b a ++≥++ 说明：这是一个重要的不等式，要熟练掌握．典型例题二例2 已知c b a 、、是互不相等的正数，求证：abc b a c c a b c b a 6)()()(2 2 2 2 2 2 >+++++ 证明：∵022 2>>+a bc c b ，， ∴abc c b a 2)(22 >+ 同理可得：abc b a c abc c a b 2)(2)(2 2 2 2 >+>+，．三个同向不等式相加，得 abc b a c c a b c b a 6)()()(222222>+++++ ① 说明：此题中c b a 、、互不相等，故应用基本不等式时，等号不成立．特别地，b a =，c b ≠时，所得不等式①仍不取等号．典型例题三例3 求证)(2222222c b a a c c b b a ++≥+++++．分析：此问题的关键是“灵活运用重要基本不等式ab b a 22 2≥+，并能由) (2c b a ++这一特征，思索如何将ab b a 22 2≥+进行变形，进行创造”．证明：∵ab b a 22 2≥+，两边同加2 2b a +得2 2 2 )()(2b a b a +≥+．即2 )(2 2 2 b a b a +≥+．

证明n元均值不等式

学习好资料欢迎下载证明n 元均值不等式 1212n n n a a a n a a a +++≥证明：首先证明，23n 2,222当，，，，时，不等式成立。显然，12122a a a a +≥，又因为412341234123412342+2222=4a a a a a a a a a a a a a a a a +++≥≥?，同理可以证明得到n 2也成立。再证明，当k k+1n 22∈（，）也成立。 k k n=2+i 1i 2-1≤≤不妨设，其中，则有k k k k 21212 222a a a a a a ++ +≥， k+1k+1k+1k+121212 222a a a a a a ++ +≥ 则k k k 121222+12+i =++ +n a a a a a a a a +++++ +（）， k k k k k k k k k k k k k k k k+1212 22k 2+i 1212 22+12+i 1222+1k 2+i 12 22+1 2++1 2+i i 2+2-i =++++2-i 2i i n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a +++++++ ?+≥? （则（）（）） k k k k k k k k k 2+i 12 22+1 2+i k 2+i 12 22+1 2+i 2-2i i -a a a a a a a a a a 其中可以看成是（）个相（）加所得。 k k k k k k k k k k k k 2+i 12 22+12+i k 2+i 1212 22+12+i 22+1 2+i 2-i ++ +2+i a a a a a a a a a a a a a a a ?++ +≥（）最后，在式两边同时减去就得到了（）（） 1212 n n n a a a n a a a ++ +≥即：得证。

解析几何公式大全

变形后：y y y y x x x x --=λ--= λ21 21或 6、若直线l 1的斜率为k 1，直线l 2的斜率为k 2，则l 1到l 2的角为),0(,π∈αα 适用范围：k 1，k 2都存在且k 1k 2≠－1 ， 2 11 21tan k k k k +-= α 若l 1与l 2的夹角为θ，则= θtan 2 1211k k k k +-，]2,0(π ∈θ 注意：（1）l 1到l 2的角，指从l 1按逆时针方向旋转到l 2所成的角，范围),0(π l 1到l 2的夹角：指 l 1、l 2相交所成的锐角或直角。（2）l 1⊥l 2时，夹角、到角= 2 π 。（3）当l 1与l 2中有一条不存在斜率时，画图，求到角或夹角。 7、（1）倾斜角α，),0(π∈α；（2）]0[,π∈θθ→ →，，夹角b a ；（3）直线l 与平面]2 0[π ∈ββα，，的夹角；（4）l 1与l 2的夹角为θ，∈θ]2 0[π ，，其中l 1//l 2时夹角θ=0；（5）二面角,θ],0(π∈α；（6）l 1到l 2的角)0(π∈θθ，， 8、直线的倾斜角α与斜率k 的关系

算术—几何平均不等式

江苏省郑梁梅高级中学高二数学教学案（理）主备人：冯龙云做题人：顾华章审核人：曾庆亚课题：算术—几何平均不等式一、教学目标： 1．掌握平均不等式的基本形式和特点，体会特殊化到一般化的思考方法； 2．利用平均不等式证明相关结论；二、教学重点、难点重点：掌握平均不等式的基本形式和特点；难点：利用平均不等式证明相关结论。三、教学过程 1、问题情境复习回顾：基本不等式 2、建构数学算术—几何平均不等式： 3、数学运用例1、设,,a b c 为正数，证明：2 (1)()16ab a b ab ac bc c abc ++++++≥。

例2、设12,,,n a a a L 为正数，求证：1212111n n a a a n n a a a +++≥+++L L 。例3、证明：对于任意正整数n ，有111(1)(1)1n n n n ++<+ +。 4、课堂练习（1）已知x 、y 都是正数，且 141x y +=，求x y +的最小值。（2）已知x 、y 都是正数，且x y >，求证：22 12232x y x xy y + ≥+-+。 5、课堂小结四、板书设计五、教学后记

江苏省郑梁梅高级中学高二数学作业（理）班级__________ 姓名________ 学号_________ 1、设,,a b c 为正实数，求证：333111abc a b c +++≥ 2、已知a 、b 为正数，求证：22 (1)(1)9a b a b ab ++++≥。 3、已知a 、b 、c 为正数，且()1abc a b c ++=，求()()a b a c ++的最小值。

均值不等式的证明(精选多篇)

均值不等式的证明(精选多篇) 第一篇：常用均值不等式及证明证明常用均值不等式及证明证明这四种平均数满足hn?gn? an?qn ?、ana1、a2、 ?r?，当且仅当a1?a2?? ?an时取“=”号仅是上述不等式的特殊情形，即d(-1)≤d(0)≤d(1)≤d(2)由以上简化，有一个简单结论，中学常用均值不等式的变形： (1)对实数a,b，有a 2 22 ?b2?2ab (当且仅当a=b时取“=”号)，a,b?0?2ab (4)对实数a,b，有 a?a-b??b?a-b? a2?b2? 2ab?0 (5)对非负实数a,b，有 (8)对实数a,b,c，有

a2? b2?c2?ab?bc?ac a?b?c?abc(10)对实数a,b,c，有均值不等式的证明：方法很多，数学归纳法（第一或反向归纳）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。引理：设a≥0，b≥0，则?a?b??an?na?n-1?b n 注：引理的正确性较明显，条件a≥0，b≥0可以弱化为a≥0 ，a+b≥0 (用数学归纳法)。当n=2时易证；假设当n=k时命题成立，即那么当n=k+1时，不妨设ak?1是则设 a1,a2,?,ak?1中最大者， kak?1?a1?a2???ak?1 s?a1?a2???ak 用归纳假设下面介绍个好理解的方法琴生不等式法琴生不等式：上凸函数f?x?,x1,x2,?,xn是函数f?x?在区间(a,b)内的任意n个点，设f?x??lnx，f

?x?为上凸增函数所以，在圆中用射影定理证明（半径不小于半弦）第二篇：均值不等式证明均值不等式证明一、已知x,y为正实数，且x+y=1求证 xy+1/xy≥17/4 1=x+y≥2√(xy) 得xy≤1/4 而xy+1/xy≥2 当且仅当xy=1/xy时取等也就是xy=1时画出xy+1/xy图像得 01时，单调增而xy≤1/4 ∴xy+1/xy≥(1/4)+1/(1/4)=4+1/4=17/4 得证继续追问：拜托，用单调性谁不会，让你用均值定理来证补充回答：我真不明白我上面的方法为什么不是用均值不等式证的法二：证xy+1/xy≥17/4

均值不等式的证明方法

柯西证明均值不等式的方法 by zhangyuong （数学之家）本文主要介绍柯西对证明均值不等式的一种方法，这种方法极其重要。一般的均值不等式我们通常考虑的是n n G A ≥: 一些大家都知道的条件我就不写了 n n n x x x n x x x ......2121≥ +++ 我曾经在《几个重要不等式的证明》中介绍过柯西的这个方法，现在再次提出： 8444844)()(: 4422)()(abcdefgh efgh abcd h g f e d c b a abcd abcd cd ab d c b a d c b a ≥+≥+++++++=≥+≥+++=+++八维时二维已证，四维时：这样的步骤重复n 次之后将会得到 n n n x x x x x x n 2 221221 (2) ...≥ +++ 令A n x x x x x x x x x x n n n n n n =+++= =====++......;,...,2122111 由这个不等式有 n n n n n n n n n n A x x x A x x x A n nA A 2 121 212 221)..(..2 )2(- -=≥ -+= 即得到 n n n x x x n x x x ......2121≥ +++ 这个归纳法的证明是柯西首次使用的，而且极其重要，下面给出几个竞赛题的例子：例1： 1 1 12101(1,2,...,)11(...)n i i i n n n a i n a a a a =<<=≥ --∑ 若证明例2：

1 1 1211(1,2,...,)1 1(...)n i i i n n n r i n r r r r =≥=≥ ++∑ 若证明这2个例子是在量在不同范围时候得到的结果，方法正是运用柯西的归纳法：给出例1的证明： 12121 2 212 2 123 4 211(1)2(1)(1) 11,(1)(2)2(1) 22(1)2(1)2211111111n a a a a a a p a q a q p p q p q pq q p q q q p q a a a a =+ ≥ ?- --≥----=+= ?--≥-+?-+≥?+≥+?≥+ + + ≥+ ----≥ 当时设，而这是元均值不等式因此此过程进行下去因2 1 1 2 1221 1212221 12 2 1 1 2 11(...)...(...)112 2 (2) 1111() 111n n n n n n n n i i n n n n n n n n n i i n n i i a a a a a a a a a a G n a G G G G n a G =++-==≥ --=====+-≥ = ----≥ --∑ ∑ ∑ 此令有即例3： 1 115,,,,1(1),,111,,11( )( ) 1 1 n n i i i i i i i i i n n n i i i i i i n n i i i i i i i i i i i n r s t u v i n R r S s n n T t U u V v n n n r s t u v R ST U V r s t u v R ST U V =>≤≤== = = = ++≥--∑∑∑∑∑∏ 已知个实数都记，求证下述不等式成立：要证明这题，其实看样子很像上面柯西的归纳使用的形式

解析几何公式大全

解析几何中的基本公式 1、两点间距离：若)y ,x (B ),y ,x (A 2211，则212212)()(y y x x AB -+-= 2、平行线间距离：若0C By Ax :l ,0C By Ax :l 2211=++=++ 则：2 2 21B A C C d +-= 注意点：x ，y 对应项系数应相等。 3、点到直线的距离：0C By Ax :l ),y ,x (P =++ 则P 到l 的距离为：2 2 B A C By Ax d +++= 4、直线与圆锥曲线相交的弦长公式：? ? ?=+=0)y ,x (F b kx y 消y ：02 =++c bx ax ，务必注意.0>? 若l 与曲线交于A ),(),,(2211y x B y x 则：2122))(1(x x k AB -+= 5、若A ),(),,(2211y x B y x ，P （x ，y ）。P 在直线AB 上，且P 分有向线段AB 所成的比为λ，则??? ????λ+λ+=λ+λ+=112121y y y x x x ，特别地：λ=1时，P 为AB 中点且??????? +=+=2221 21y y y x x x 变形后：y y y y x x x x --=λ--= λ21 21或 6、若直线l 1的斜率为k 1，直线l 2的斜率为k 2，则l 1到l 2的角为),0(,π∈αα 适用范围：k 1，k 2都存在且k 1k 2≠－1 ， 2 11 21tan k k k k +-= α 若l 1与l 2的夹角为θ，则= θtan 2 1211k k k k +-，]2,0(π ∈θ 注意：（1）l 1到l 2的角，指从l 1按逆时针方向旋转到l 2所成的角，范围),0(π l 1到l 2的夹角：指 l 1、l 2相交所成的锐角或直角。（2）l 1⊥l 2时，夹角、到角= 2 π 。

三个正数的算术-几何平均不等式优秀教学设计

三个正数的算术－几何平均不等式【教学目标】 1．能利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决最值问题； 2．了解基本不等式的推广形式。【教学重难点】 1．三个正数的算术-几何平均不等式 2．利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决最值问题【教学过程】一、知识学习：定理3：如果+∈R c b a ,,，那么 33abc c b a ≥++。当且仅当c b a ==时，等号成立。推广： n a a a n +++ 21≥n n a a a 21 。当且仅当n a a a === 21时，等号成立。语言表述：n 个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。思考：类比基本不等式，是否存在：如果+∈R c b a ,,，那么abc c b a 3333≥++（当且仅当c b a ==时，等号成立）呢？试证明。二、例题分析：例1：求函数)0(322>+=x x x y 的最小值。解一： 3322243212311232=??≥++=+=x x x x x x x x y ∴3min 43=y 解二：x x x x x y 623223222 =?≥+=当x x 322=即2123=x 时 ∴633min 324212322 1262==?=y 上述两种做法哪种是错的？错误的原因是什么？变式训练1 b b a a b a R b a )(1,,-+>∈+求且若的最小值。

由此题，你觉得在利用不等式解决这类题目时关键是要_____________________ 例2 ：如下图，把一块边长是a 的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的边沿名着虚线折转成一个无盖方底的盒子，问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？变式训练2 已知：长方体的全面积为定值Ｓ，试问这个长方体的长、宽、高各是多少时，它的体积最大，求出这个最大值。由例题，我们应该更牢记一 ____ 二 _____ 三 ________，三者缺一不可。另外，由不等号的方向也可以知道：积定____________，和定______________。三、巩固练习 1．函数)0(1232>+=x x x y 的最小值是 ( ) A ．6 B ．66 C ．9 D ．12 2．函数2 22)1(164++=x x y 的最小值是____________ 3．函数)20)(2(24<<-=x x x y 的最大值是（） A ．0 B ．1 C ．2716 D ． 2732 4．(2009浙江自选)已知正数z y x ,,满足1=++z y x ，求2 444z y x ++的最小值。 5.（2008，江苏，21）设c b a ,,为正实数，求证：32111333≥+++abc c b a 四、课堂小结：通过本节学习，要求大家掌握三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会应用它证明一些不等式及求函数的最值，，但是在应用时，应注意定理的适用条件。

(完整版)常用均值不等式及证明证明

2 常用均值不等式及证明证明 Hn n 概念： 1、调和平均数： 1 1 1 a 1 a 2 a n 2、几何平均数： Gn a 1 a 2 1 a n n 3 、算术平均数： An a 〔 a ? a n n 4 、平方平均数： Qn 2 2 a 1 a 2 2 a n n 这四种平均数满足 Hn Gn An Qn 1 r 0 时)； D x a i a ； a n n (当 r 0 时)(即 i D 0 a i a ； a n n 则有：当 r=-1、1、0、2 注意到 Hn w Gn< An w Qn 仅是上述不等式的特殊情形，即 D(-1) w D(0) w D(1) w D(2) 由以上简化，有一个简单结论，中学常用 2 、ab 1 1 a b 均值不等式的变形： (1)对实数a,b ，有a 2 b 2 2ab (当且仅当a=b 时取“=”号),a 2,b 2 0 2ab 对非负实数a,b ，有a a 1> a 2、、a n R ，当且仅当 a 1 a 2 a n 时取“=”号均值不等式的一般形式：设函数 D x a i r a ； a n a b a 2 b 2 2 \ 2

⑶ 对负实数a,b ，有 a b -^ ab 0 ⑷ 对实数a,b ，有 a a - b b a - b 2 2 ⑸ 对非负实数a,b ，有 a b 2ab 0 均值不等式的证明: 方法很多，数学归纳法（第一或反向归纳）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。引理：设 A >0, B >0,则 A B n A n nA n-i B 注：引理的正确性较明显，条件 A > 0, B > 0可以弱化为 A > 0, A+B> 0 （用数学归纳法）。当n=2时易证; 假设当n=k 时命题成立，即 ⑹ 2 . 2 对实数a,b ，有a b a b 2 2 ⑺ 2 对实数a,b,c ，有a b 2 2 c (8) 2 对实数a,b,c ，有 a b 2 c 2 (9) 2 对非负数a,b ，有a ab b 2 a b c (i0) 对实数a,b,c ，有 3 2ab abc 2 ab bc ac 3a b 2 3 abc 原题等价于: n a n a i a 2 a n k a k a i a 2 a k 那么当n=k+i 时，不妨设 a k i 是a i , a 2, ,a k i 中最大者，则 ka k i a k 1 设 s a i a 2 a k

初中数学几何公式大全

初中数学几何公式 1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 同位角相等，两直线平行 10 错角相等，两直线平行 11 同旁角互补，两直线平行 12 两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，错角相等 14 两直线平行，同旁角互补 15 定理三角形两边的和大于第三边 16 推论三角形两边的差小于第三边 17 三角形角和定理三角形三个角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22 边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角） 31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60° 34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边） 35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形 36 推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 40 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合

《三个正数的算术—几何平均不等式》教案

《三个正数的算术—几何平均不等式》教案教学目标 1．能利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决最值问题； 2．了解基本不等式的推广形式. 教学重、难点重点：三个正数的算术-几何平均不等式难点：利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决最值问题教学过程一、引入：思考：类比基本不等式的形式，猜想对于3个正数a ，b ，c ，可能有怎样的不等式成立？类比基本不等式的形式，猜想对于3个正数a ，b ，c ，可能有：若+∈R c b a ,,，那么33 abc c b a ≥++，当且仅当a =b =c 时，等号成立．二、给出定理 .,,3,,,:333等号成立时当且仅当则若证明c b a abc c b a R c b a ==≥++∈+ 和的立方公式：3223333)(y xy y x x y x +++=+ 立方和公式：))((2233y xy x y x y x +-+=+ 定理3 如果+∈R c b a ,,，那么33 abc c b a ≥++当且仅当a =b =c 时，等号成立． (三个正数的算术平均不小于它们的几何平均) 说明：(1)若三个正数的积是一个常数，那么当且仅当这三个正数相等时，它们的和有最小值． (2)若三个正数的和是一个常数，那么当且仅当这三个正数相等时，它们的积有最大值．定理推广：n 个正数的算术—几何平均不等式： . ,,,,,,,321322321131等号成立时当且仅当则若n n n n a a a a a a a a n a a a a R a a a a n ====≥++++∈+ 三、例题解析例5 已知,,x y z R +∈，求证3 ()27.x y z xyz ++≥ 例6如图1.1-5(课本第9页)，把一块边长是a 的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的边沿着虚线折转成一个无盖方底的盒子，问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？

算术平均数与几何平均数——基本不等式

算术平均数与几何平均数——基本不等式知识要点： 1．如果,a b ∈ ，那么2 2 a b + 2ab （当且仅当时取“=”号）；反之， ab 22 2 a b +也成立。 2．如果,a b ∈ ，那么 2 a b +≥ （当且仅当a b =时取“=”号）；反之，ab ≤ 也成立。 3．把2 a b +称,a b 的；把,a b 的；不等式,)2a b a b R *+≥∈可叙述为；疑误知识辨析：例1．若,a b R ∈，求证：222||a b ab +≥；例2．x R * ∈，求证：1 2x x +≥；经典名题：例3．已知0a b >>，全集,{|}2 a b U R M x b x +==<< ， {},{|N x x a P x b x =<<=<≤，则 A ．U P M C N =?; B ．U P N C M =?;C ．P N M =?; D ．P N M =?；例4．已知,,{|0}a b c x x ∈>，证明：（1）1 1 ()()4a b c a b c +++≥+；（2 2 21()2 a b c ++。同步训练：一、选择题 1．“a 是正数，b 是正数”是“a b +≥ 的 A ．充分不必要条件； B ．必要不充分条件； C ．充要条件； D ．既不充分也不必要条件。 2．若a 、b 都是正实数，则在不等式2 2 2,a b ab a b +≥+≥22,2a b a b a b b a b a +≥++≥ 中不正确的个数是 A ．0； B ．1； C ．2； D ．3 3．,x y R * ∈，则下列不等式中等号不成立的是 A ．11 21 x x x x + +≥+； B ．11()()4x y x y ++≥； C ．11 ()()4x y x y ++≥； D ．222lg lg lg lg ()22x y x y ++≤ 二、填空题 4．已知2 211(3),()22 x P a a Q a -=+ >=-，则P 、Q 的大小关系是； 5．若a 、b 、c >0，则b c c a a b a b c +++++≥ ； 6．下列不等式的证明过程 ①若,a b R ∈、则 2b a a b ≥=+；②若0x >，则1cos 2cos x x +≥=；③若0x < ，则44x x + ≤；④若a b R ∈、且0ab <，则 [()()]2a b a b b a b a +=--+-≤--。证明过程正确的是。三、解答题： 7．证明222a b ab +≥下面的几种变形：（1）222||2a b ab ab +≥≥±；（2）2 2 21 ()2 a b a b +≥ +；（3）2 ()4a b ab +≥；（4）(0)a b a b ab b a --≥>；（5）222 ()22 a b a b ++≥ 8．（1）已知a b c R ∈、、，求证：222 ac ab bc a b c ++≤++；（2）已知实数a b x y 、、、满足2 2 2 2 1,1a b x y +=+=，求证：1ax by +≤。 9．设a 、b 、c )a b c >++。 10．设a 、b 、c 为正数，证明：222 a b c a b c b c a ++≥++

均值不等式的证明

平均值不等式及其证明平均值不等式是最基本的重要不等式之一，在不等式理论研究和证明中占有重要的位置。平均值不等式的证明有许多方法，这里，我们选了部分具有代表意义的证明方法，其中用来证明平均值不等式的许多结论，其本身又具有重要的意义，特别是，在许多竞赛的书籍中，都有专门的章节和讨论，如数学归纳法、变量替换、恒等变形和分析综合方法等，这些也是证明不等式的常用方法和技巧。 1.1平均值不等式一般地，假设，，，为n个非负实数，他们的算术平均值记为几何平均值记为算术平均值和几何平均值之间有如下的关系。即，当且仅当时，等号成立。上述不等式成为平均值不等式，或简称为均值不等式。平均值不等式的表达形式简单，容易记住，但它的证明和使用非常灵活、广泛，有多重不同的方法。为使大家理解和掌握，这里我们选择了其中的几种典型的证明方法。供大家参考学习。 1.2平均值不等式的证明证法一（归纳法）（1）当n=2时，已知结论成立。（2）假设对n=k（正整数k）时命题成立，即对，，，，有。那么，当n=k+1时，由于

，关于，，，是对称的，任意对调和，和的值不改变，因此不妨设，，，，，，，显然，以及（）（）可得（）所以（）（）即（）两边乘以，得从而，有证法二（归纳法）（1）当n=2时，已知结论成立。（2）假设对n=k（正整数k）时命题成立，即对，，，，有。那么，当n=k+1时，由于从而，有证法三（利用排序不等式）

设两个实数组，，，和，，，满足；，则（同序乘积之和）（乱序乘积之和）（反序乘积之和）其中，，，是，，的一个排列，并且等号同时成立的充分必要条件是或成立。证明：切比雪夫不等式（利用排序不等式证明）杨森不等式（Young）设，，，则对，有等号成立的充分必要条件是。琴生不等式（Jensen）设，（，）为上凸（或下凸）函数，则对任意，（，，），我们都有或其中，，习题一 1.设，求证：对一切正整数n，有（） 2.设，，，求证（）（）（）（ 3.设，，为正实数，证明：

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