分数四则混合运算知识点及例题拓展应用

第五单元分数四则混合运算

基础知识点：

运算顺序：分数四则混合运算的顺序与整数相同。先算乘除法，后算加减法；有括号的先算括号里面的，后算括号外面的。

运算律：加法的交换律：a+b=b+a

加法的结合律：（a+b）+c=a+(b+c)

乘法的交换律：a×b=b×a

乘法的结合律：(a×b)×c=a×(b×c)

乘法的分配律：(a+b)×c=a×c+b×c

.

分数四则混合运算的应用题：

总数与部分数相比较的问题：【分数乘法、减法】

一般解题方法：先求出未知的部分数，再用总数减部分数等于另一部分数。

已知一个数量比另一个数量多（或少）几分之几，求这个数量是多少的问题：【分数乘法、加减法】

一般解题方法：先求出多（或少）的部分，再用加法或减法求出结果。

注：对于题中出现的带单位与不带单位的分数，要注意它们的意义不一样。

;

例（1）分数四则混合运算 [()]23

11

561023??＋＋

25

4

52426254127－－??

|

例（2）知识点己知总量求部分量的实际问题

岭南小学六年级45个同学参加学校运动会，其中男运动员占9

5

，女运动员有多少人？

\

归纳总结：1.已知总量及一个部分量占总量的几分之几，求另一个部分量时，可以列成形 a-a ×

b c 或a ×(1-b

c

)的算式解题（b ≠0) 2．解决实际问题时，借助线段图理解题意，可以从条件出发思考问题，也可以从问题出发。

思考问题。

例（3）已知一个量以及另一个量比它多（或少）几分之几，求另一个量的解题方法

|

林阳小学去年有24个班级，今年的班级数比去年増加了6

1

,今年一共有多少个班级？

归纳总结：1.已知一个量以及另一个量比它多（或少）几分之几，求另一个量时，可以列成形如a 士 a ×

b c 或a ×(1士b

c

)的算式解题（b ≠0) 2.分析问题时，先找准单位“1”的量，再抓关键词语，弄清是哪两个量作比较，比较的结果。

^

是什么，最后确定解题方法。

拓展部分：

1.运用分数乘法剩余规律解决连续相减问题

200

1减去它的21，再减去余下的31，再减去余下的41，以此类推，一直减到余下的20011

，最后得到

多少？

"

规律总结一个不为0的数，减去它本身的n 分之一，求还剩多少，可以用分数乘法计算，即ー个 数×（1-

n

1

）（n ≠0）：再连续减去余下的几分之ー，求还多少，仍然可以用分数乘法进行计算. 举一反三 （1+

21）×（1-21）×（1+31）×（1-31）×....×（1+991）×（1-99

1） `

2.运用乘法运算解决稍复杂的分数运算

157×83+151×167+151×321 238÷238239

238

"

举一反三

61×131+21×135+35×131

课堂练习 一、计算下面各题，怎样简便怎样算

;

533432101?÷＋ [()]8

92

14365?-- [(

)]

44

1

3197?÷＋

二、解方程

@

1585=-χχ 1851=+χχ 2

38543=-χ

三、用简便方法计算下面各题

85715375??＋ 58

111184.88116.4?÷?－＋

,

151716? 140139

111?

}

四、解决实际问题

1、一条公路长1500米，第一天修了全长的4

1

，第二天修了全长的51，两天一共修多少米？还有

多少米没有修？

·

2、有一条长24千米的公路，第一天修了它的81，第二天修了5

2

千米，两天共修共修多少千米？

3、"

4、

一根钢材长

54米，做了5个同样的零件后，还剩10

3

米。平均每个零件用钢材多少米？

4、一条绳子，第一次用去51米，相当于第二次用去长度的3

2

。两次共用去多少米？

-

课后作业： 1. 计算

[(

)]4

153

1582?＋－ 48

58

341÷?＋

，

1511983252＋＋? ()9

58350385503???－

2. 解方程

—

125655=-

χ 3497=+χχ ()7

5611=-χ

3. 解决问题

：

（1）甲乙两艘轮船从相距70千米的两地相像而行，甲每分钟行21千米，乙分钟行3

2

千米，甲乙两船几分钟后相遇？

（2）一辆汽车从甲地开往乙地，行了全程的83，正好是12千米，如果这辆汽车行了全程的2

1

，应该

行多少千米？

（3）小佳读一本315页的故事书，第一天读了全书的

7

2

，第二天读了余下的51。第二天读了多少页？

（4）一款电脑原价7800元，国庆节期间促销降价

13

1

，国庆节后又提价241，这款电脑现价多少元？

（5）一本书共有240页，敏敏第一天看了它的6

1

，第二天比第一天多看81。剩下的5天看完，平均

每天看多少页？

（6）一座寺庙里，3个和尚合吃一碗饭，4个和尚合分一碗汤，一共用了364只碗。寺庙里一共有

多少个和尚？（用方程解）

垂径定理经典练习题.

圆垂径定理专题练习题 1．垂径定理：垂直于弦的直径____这条弦，并且____弦所对的两条弧． 2．如图，在半径为5 cm的⊙O中，弦AB＝6 cm，OC⊥AB于点C，则OC＝( ) A．3 cm B．4 cm C．5 cm D．6 cm 3．如图，已知⊙O的半径为5，弦AB＝6，M是AB上任意一点，则线段OM的长可能是( ) A．2.5 B．3.5 C．4.5 D．5.5 4. 如图，AB是⊙O的弦，AB长为8，P是⊙O上一个动点(不与A，B重合)，过点O作OC⊥AP于点C，OD⊥PB于点D，则CD的长为___． 5. 如图，圆内接四边形ABDC，AB是⊙O的直径，OD⊥BC于点E. (1)请写出四个不同类型的正确结论； (2)若BE＝4，AC＝6，求DE的长． 6. 一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB＝10，水面宽AB＝16，则截面圆心O到水面的距离OC是( )

A．4 B．5 C．6 D．8 7. 为了测量一铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得有关数据如图所示(单位：cm)，则该铁球的 直径为____． 8. H5N1亚型高致病性禽流感是一种传染速度很快的传染病，为防止禽流感蔓延，政府规定：离疫点3 千米范围内为扑杀区，所有禽类全部扑杀；离疫点3至5千米范围内为免疫区，所有禽类强制免疫；同时，对扑杀区和免疫区内的村庄，道路实行全封闭管理．现有一条笔直的公路AB通过禽流感疫区， 如图所示，O为疫点，在扑杀区内的公路CD长为4千米，问这条公路在免疫区内有多少千米？ 9．如图，直线与两个同心圆交于图示的各点，MN＝10，PR＝6，则MP＝____． 10．如图，矩形ABCD与圆心在AB上的⊙O交于点G，B，F，E，GB＝8 cm，AG＝1 cm，DE＝2 cm， 则EF＝____cm. 11. 如图，⊙O的直径AB＝16 cm，P是OB的中点，∠APD＝30°，求CD的长．

分数四则混合运算和应用题-练习题

分数四则混合运算和应用题 练习题 分数四则混合运算和应用题复习（一） 3÷6= 5 ÷10= 3÷9= 1 － 1 = 18 × 1 = 7 ÷14 = 7 6 8 10 2 4 6 10 15 怎样简便就怎样计算： 1 ÷（1－1×1 ） 9 ×【 7 ÷（ 4＋1 ）】 （1－1×1 ）÷ 1 5 3 2 10 8 5 4 4 4 2 4 5＋9×5×8 9 ×5＋5÷ 1 （ 3＋ 1 ）×8＋ 19 6 8 9 9 6 6 9 8 27 27 X －1X ＝ 2 1－1X ＝ 2 8X ＋1＝ 7 15 :X ＝ 5 3 3 3 3 3 9 44 11 解决问题： 1、一桶油 20 千克，用去 4 5 , 还剩下多 3、一桶油， 用去 18 千克后， 还剩下 2 。 5 少千克？ 这桶油多少千克？ 2、一桶油 20 千克，用去一些后还剩下 3 ， 2 4、一桶油 40 千克，用去的是剩下的 。用去多少千克？ 5 5 用去多少千克？

分数四则混合运算和应用题复习（二） 一、细心填写： 1、 3 小时＝（ ）分 3 千米＝（ ）米 300 克＝（ ）千克 5 5 2、剪去的是剩下的 6 ，剪去的是全长的（ ）；实际比计划增产 1 ，实际是计 11 1 ，今年是去年的（ 3 划的( ); 今年比去年节约 ）。 5 3、15 米的 3 比（ ）多 2 米；28 吨的 3 是（ ）的 2 。 5 3 7 3 4、 20 千克苹果，卖出他的 1 后又卖出 1 千克，共卖出（ ）千克。 10 10 7 ，乙的效率是（ 5、一项工程，甲独做要14 天完成，乙的效率是甲的 ），乙 8 独做需要（ ）天完成这项工程。 二、解决问题： 1、老李用 80 天时间完成了一项任务， 4、一段公路，甲队独修 10 天完成，乙 比计划节省时间 1 。计划用多少天？ 队独修 12 天完成。 甲队先修 4 天后，余 5 下的由乙队独修。乙队还要修多少天？ 2、 501 班有 60 人，其中男生人数是女 5、一个水池有甲乙两个进水管， 独开甲 生的 2 。男女生各有多少人？ 管 6 小时可以注满一池水，独开乙管9 3 小时可以注满一池水。两管齐开，多少 小时可以注满一池水？ 6、书架上有两层书， 第一层比全部的 3 3、新建一条生产线， 实际投资 27 万元， 5 比计划节约 1 。计划投资多少万元？ 多 90 本，第二层是全部的 1 。书架上 10 3 共有书多少本？

分数四则混合运算练习题50道

1、计算。（12分） 43÷87÷1415 （94＋152）÷152 203÷ 0.2×3 2 ．计算（能简算的要简算） 537327723÷÷ 431263715?÷ 61161274?÷ 32 1121131?÷? （ 56 + 38 ）× 48 1214 ÷ 25 5978 ÷ 177 817 ÷23＋123 ×917 165 × 3 ÷ 45 259 ÷ 54 ÷ 45 （59 －12 ×13 ）÷ 56 149×14×92 22÷1211÷4 3 83×65÷1615 5÷（21+61）?152 （21－31+41）×48 256÷9+256×98 （21—7 3）?257+52 30×（52＋61） （85＋171）×8＋17 9 （31－41）÷21＋65 （21＋31＋41）×24 94×61＋95÷6 1213－（121＋51） 65＋53×54 85－41×（98÷32） （21－6 1）×53÷51÷ 61÷[179×（43＋32）] 1211－41＋103÷53 32÷[（43－21）×5 4] 52＋154÷52 76×85＋83÷6 7 （117－83）×88 54÷3＋32×54 52＋21×53＋10 7 13—48×（121＋161） 1213×73＋74×1213＋1213 45×4443 99×100 99 （87－165）×（95＋32） 138÷7＋71×136 【1－（41＋83）】÷4 1 97÷115 ＋92×511 （61＋43－3 2）×12 2－136÷269－32 21÷85＋41×53 43×52＋41÷2 5 （85－41）÷83

垂径定理知识点及典型例题

垂径定理 一、知识回顾 1、到定点距离等于的点的集合叫做圆，定点叫做，定长叫做；连接圆上任意两点间的线段叫做，经过圆心的弦叫做；圆上任意两点间的部分叫做，它分为、、三种。 2、能够的两个圆叫做等圆；能够互相的弧叫做等弧，他只能出现在中。 3、圆既具有对称性，也具有对称性，它有对称轴。 4、垂直于弦的直径，并且；平分弦（不是直径）的直径，并且。 5、顶点在的角叫做圆心角；在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的相等，所对的也相等，也相等；在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的、、；在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的、、。 6、顶点在，并且相交的角叫做圆周角。在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角，都等于这条弧所对的圆心角的；在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，那么它们所对的弧。 7、半圆（或直径）所对的圆周角是，900的圆周角所对的弦是。 8、如果一个多边形的都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的。圆的内接四边形。 二、典例解析 例1 如图，某市新建的滴水湖是圆形人工湖，为了测量该湖的半径，小明和小亮在湖边选取A、B、C三根木桩，使得A、B之间的距离等于A、C之间的距离，并测得BC=240m，A 到BC的距离为5m。请帮忙求出滴水湖的半径。 D两点，已知C（0,3）、D（0，-7），求圆心E的坐标。

变式2 已知O e 的半径为13cm ，弦AB ∥CD ，AB=10cm ，CD=24cm ，求AB 和CD 之间的距离。 变式3 如图，O e 的直径AB=15cm ，有一条定长为9cm 的动弦CD 在半圆AMB 上滑动（点C 与点A ，点D 与点B 不重合），且CE ⊥CD 交AB 于点E ，DF ⊥CD 于点F 。 （1）求证：AE=BF ；（2）在动弦CD 的滑动过程中，四边形CDFE 的面积是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，请予以证明并求出这个值。 变式4 如图，某地方有一座圆弧形的拱桥，桥下水面宽度为7.2米，拱顶高出水面2.4米，现有一竹排运送一货箱欲从桥下通过，已知货箱长10米，宽3米，高2米，问货箱能否顺利通过该桥？ 例2 如图，BC 是O e 的直径，OA 是O e 的半径，弦BE ∥OA 。求证：弧AC=弧AE 。 H D N M F E C B A

六年级上册分数四则混合运算简便计算

六年级分数的四则运算+简便计算 专题复习 一、分数四则运算的运算法则和运算顺序 运算法则是：1、加减：同分母分数相加减，分母不变，分子相加减： 异分母分数相加减，先通分，再分母不变，分子相加减。 2、乘法：先约分，分子乘分子作为积的分子，分母乘分母作为积的分母 3、除法：除以一个数就等于乘这个数的倒数 运算顺序是：1、如果是同一级运算，一般按从左往右依次进行计算 2、如果既有加减、又有乘除法，先算乘除法、再算加减 3、如果有括号，先算括号里面的 4、如果符合运算定律，可以利用运算定律进行简算。 练习： 1、34 -（15 + 13 ）× 98 2、 107 13151321÷?????????? ??+- 3、??? ??-+614121÷121 4、 9798411÷??? ???- 5、?? ???????? ??-÷109329712 6、 52593145-?- 7、8949581÷+? 8、（52－81）÷40 1 二、分数四则运算的简便运算 引言：分数乘法简便运算所涉及的公式定律和整数乘法的简便运算是一样的，基本上有以下三个： ① 乘法交换律：________________________

② 乘法结合律：________________________ ③ 乘法分配律：________________________ 做题时，我们要善于观察，仔细审题，发现数字与数字之间的关系，根据题意来选择适当的公式或方法，进行简便运算。 分数简便运算常见题型 第一种：连乘——乘法交换律的应用 例题：1）1474135?? 2）56153?? 3）26 6 831413? ? 涉及定律：乘法交换律 b c a c b a ??=?? 基本方法：将分数相乘的因数互相交换，先行运算。 第二种：乘法分配律的应用 例题：1）27)27498(?+ 2）4)41101(?+ 3）16)2 1 43(?+ 涉及定律：乘法分配律 bc ac c b a ±=?±)( 基本方法：将括号中相加减的两项分别与括号外的分数相乘，符号保持不变。 第三种：乘法分配律的逆运算 例题：1）213115121?+? 2）61959565?+? 3）75 1754?+? 涉及定律：乘法分配律逆向定律 )(c b a c a b a ±=?±? 基本方法：提取两个乘式中共有的因数，将剩余的因数用加减相连，同时添加括号，先行运算。7 第四种：添加因数“1”

初中数学知识要点及典型例题

初中数学知识要点及典型例题 第一章实数 第一讲实数的有关概念 【回顾与思考】 知识点：有理数、无理数、实数、非负数、相反数、倒数、数的绝对值 课标要求： 1．使学生复习巩固有理数、实数的有关概念． 2．了解有理数、无理数以及实数的有关概念；理解数轴、相反数、绝对值等概念，了解数的绝对值的几何意义。 3．会求一个数的相反数和绝对值，会比较实数的大小 4．画数轴，了解实数与数轴上的点一一对应，能用数轴上的点表示实数，会利用数轴比较大小。 考查重点： 1．有理数、无理数、实数、非负数概念； 2．相反数、倒数、数的绝对值概念； 3．在已知中，以非负数a2、|a|、 a (a≥0)之和为零作为条件，解决有关问题。 实数的有关概念

(1)实数的组成 {} ?????????????????????????????????正整数整数零负整数有理数有尽小数或无尽循环小数正分数实数分数负分数正无理数无理数无尽不循环小数 负无理数 (2)数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴(画数轴 时，要注童上述规定的三要素缺一个不可)，实数与数轴上的点是一 一对应的。数轴上任一点对应的数总大于这个点左边的点对应的数， (3)相反数 实数的相反数是一对数(只有符号不同的两个数，叫做互为相反 数，零的相反数是零)． 从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称． (4)绝对值 ?? ???<-=>=)0()0(0)0(||a a a a a a 从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离 (5)倒数 实数a(a ≠0)的倒数是a 1(乘积为1的两个数，叫做互为倒数)； 零没有倒数． 【例题经典】 理解实数的有关概念

九年级数学： 垂径定理典型例题及练习

典型例题分析： 例题1、 基本概念 1．下面四个命题中正确的一个是（ ） A ．平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B ．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦 C ．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心 D ．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心 2．下列命题中，正确的是（ ）． A ．过弦的中点的直线平分弦所对的弧 B ．过弦的中点的直线必过圆心 C ．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心 D ．弦的垂线平分弦所对的弧 例题2、垂径定理 1、 在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深 度为16cm ，那么油面宽度AB 是________cm. 2、在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，，如果油面宽度是48cm ，那么油的 最大深度为________cm. 3、如图，已知在⊙O 中，弦CD AB =，且CD AB ⊥，垂足为H ，AB OE ⊥于E ，CD OF ⊥于F . （1）求证：四边形OEHF 是正方形. （2）若3=CH ，9=DH ，求圆心O 到弦AB 和CD 的距离. 4、已知：△ABC 内接于⊙O ，AB=AC ，半径OB=5cm ，圆心O 到BC 的距离为3cm ，求AB 的长． 5、如图，F 是以O 为圆心，BC 为直径的半圆上任意一点，A 是 的中点，AD ⊥BC 于D ，求证：AD=21BF. O A E F

例题3、度数问题 1、已知：在⊙O 中，弦cm 12=AB ，O 点到AB 的距离等于AB 的一半，求：AOB ∠的度数和圆的半径. 2、已知：⊙O 的半径1=OA ，弦AB 、AC 的长分别是2、3.求BAC ∠的度数。 例题4、相交问题 如图，已知⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，AE=6cm ，EB=2cm ，∠BED=30°，求CD 的长. 例题5、平行问题 在直径为50cm 的⊙O 中，弦AB=40cm ，弦CD=48cm ，且AB ∥CD ，求：AB 与CD 之间的距离. 例题6、同心圆问题 如图，在两个同心圆中，大圆的弦AB ，交小圆于C 、D 两点，设大圆和小圆的 半径分别为b a ,.求证：22b a BD AD -=?. 例题7、平行与相似 已知：如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，于CD AE ⊥E ，CD BF ⊥于F .求证： FD EC =. A B D C E O

分数四则混合运算练习题

分数四则混合运算（一） 一、准确计算： 5 4 3565?+ ??? ??÷?329841-85 5 15361-21÷???? ?? ! ??? ?????? ??+?÷324317961 ?????????? ? ?5421-4332 5310341-1211÷+ % 6 7 838576÷+? 8883-117???? ?? ?? ? ??+?16112148-13 · 5432354?+÷ 103532152+?+ 13 12131274731312+?+? (

！ 一个数的 109 是4 3，这个数是多少 43 减去43与54的积，所得的差除9，商是几 二、解决问题： 》 1、计算下列物体的表面积。 米52 米 25米 54米 52米 52 米 2、从A 地去B 地，货车需要90分钟，客车需要80分钟。货车每分钟行 3 5 千米，客车每分钟行多少千米 分数四则混合运算（二） 二、解决问题： ` 1、一个三角形的面积83平方米，底边长5 2 米。高多少米（用方程解） 2、一桶油重15千克，倒出5 2 ，平均装到8个瓶子里，每个瓶子装多少千克 3、] 4、 一根绳子，剪去 4 1 后，短了5米。这根绳子长多少米 4、一筐香蕉连筐重42千克，卖出3 1 后，剩下的连筐重29千克。筐重多少千克 !

5、甲 3 2 小时生产60个零件，乙每小时生产60个零件。两人合做多少小时生产100个零件 6、甲车每小时行80千米，乙车每小时行70千米，两车同时从两地相对开出，行40分钟相遇。两地相距多少千米 分数四则混合运算（二） 一、怎样简便就怎样算： ?? ? ??+???? ??3295165-87 136717138?+÷ 41 8341-1÷????????? ? ?+ < 11 5 9251197?+÷ 1232-4361??? ? ??+ 32-269136-2÷ 1009999? ) ， 53418521?+÷ 25415243÷+? 41-652072110÷? 44 4345? !

浙教版初中数学八年级上下册知识点及典型例题汇总

数学八年级上册知识点及典型例题 第一章 平行线 1.1同位角、内错角、同旁内角 如图：直线l 1 , l 2 被直线l 3 所截，构成了八个角。 1. 观察∠ 1与∠5的位置：它们都在第三条直线l 3 的同旁，并且分别位于直线l 1 , l 2 的相同一侧，这样的一对角叫做“同位角”。 2. 观察∠ 3与∠5的位置：它们都在第三条直线l 3的异侧，并且都位于两条直线l 1 , l 2 之间，这样的一对角叫做“内错角”。 3. 观察∠ 2与∠5的位置：它们都在第三条直线l 3的同旁，并且都位于两条直线l 1 , l 2 之间，这样的一对角叫做“同旁内角”。 想一想 问题1.你觉得应该按怎样的步骤在“三线八角”中确定关系角？ 确定前提（三线） 寻找构成的角（八角） 确定构成角中的关系角 问题2：在上面同位角、内错角、同旁内角中任选一对，请你看看这对角的四条边与“前提”中的“三线”有什么关系？ 结论：两个角的在同一直线上的边所在直线就是前提中的第三线。 1．2 平行线的判定（1）

复习画两条平行线的方法： 提问：（1）怎样用语言叙述上面的图形？ （直线l 1，l 2被AB 所截） （2）画图过程中，什么角始终保持相等？ （同位角相等，即∠1＝∠2） （3）直线l 1，l 2位置关系如何？ （ l 1∥l 2） （4）可以叙述为： ∵∠1＝∠2 ∴l 1∥l 2 （ ？ ） 语言叙述：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。 简单地说：同位角相等，两直线平行。 几何叙述：∵∠1＝∠2 ∴l 1∥l 2 （同位角相等，两直线平行） 想一想 o o A B L 1 L 2 （图形的平移变换） 抽象成几何图形 A B 2 1 L 1 L 2 1 2 a c b 若a⊥b,b⊥c 则a c

分数四则混合运算和应用题复习(一)

3÷76= 65÷10= 83÷109= 21－41= 18×61= 107÷15 14= 怎样简便就怎样计算： 51÷（1－31×21） 109×【87÷（54＋41）】 （41－41×21）÷4 1 65＋89×95×98 9×65＋65÷91 （83＋271）×8＋27 19 X － 31X ＝32 1－31X ＝32 8X ＋31＝97 4415:X ＝11 5 解决问题： 1、一桶油20千克，用去 5 4 ,还剩下多少千克？ 2、一桶油20千克，用去一些后还剩下 5 2 。用去多少千克？ 3、一桶油，用去18千克后，还剩下5 2。这桶油多少千克？ 4、一桶油40千克，用去的是剩下的5 3，用去多少千克？

一、细心填写： 1、 53小时＝（ ）分 5 3 千米＝（ ）米 300克＝（ ）千克 2、剪去的是剩下的116，剪去的是全长的（ ）；实际比计划增产3 1 ，实际是计 划的( );今年比去年节约5 1 ，今年是去年的（ ）。 3、15米的53比（ ）多32米；28吨的73是（ ）的3 2 。 4、20千克苹果，卖出他的101后又卖出10 1 千克，共卖出（ ）千克。 5、一项工程，甲独做要14天完成，乙的效率是甲的8 7 ，乙的效率是（ ），乙 独做需要（ ）天完成这项工程。 二、解决问题： 1、老李用80天时间完成了一项任务，比计划节省时间5 1。计划用多少天？ 2、501班有60人，其中男生人数是女生的3 2。男女生各有多少人？ 3、新建一条生产线，实际投资27万元， 比计划节约10 1。计划投资多少万元？ 4、一段公路，甲队独修10天完成，乙 队独修12天完成。甲队先修4天后，余 下的由乙队独修。乙队还要修多少天？ 5、一个水池有甲乙两个进水管，独开甲管6小时可以注满一池水，独开乙管9 小时可以注满一池水。两管齐开，多少小时可以注满一池水？ 6、书架上有两层书，第一层比全部的 5 3多90本，第二层是全部的3 1。书架上 共有书多少本？

分数四则混合运算

教学目标 1．掌握分数四则混合运算的运算顺序，并能正确地计算分数四则混合运算式题。 2．提高学生的自学能力、逻辑推理能力及计算能力。 3．培养学生良好的学习习惯。 教学重点和难点 掌握分数四则混合运算的运算顺序，养成良好的学习习惯，提高做题的正确率。 教学过程设计 (一)复习准备 1．板演练习： (1)88÷2×10＋1(2)88÷[2×(10＋1)] 2．口算： 3．填空： 4．订正板演题。 提问：这两道题是我们以前学过的整数四则混合运算式题，那么运算顺序是什么？(同级运算从左往右依次演算；有两级运算的四则混合运算，应该先算乘除法即二级运算，再算加减法即一级运算；在含有括号的算式中，应该先

脱掉小括号，再脱掉中括号。) (二)学习新课 1．引出课题。 提问：这两道题与板演题有什么相同之处？有什么不同之处？(相同点：都是四则混合运算；不同之处：板演题是整数四则混合运算，这两道题是分数四则混合运算。) 今天，我们就一起来学习分数四则混合运算。(板书课题：分数四则混合运算。) 2．讲授新课。 (1)小组讨论：想一想，分数四则混合运算的运算顺序是什么？ (2)汇报讨论结果：分数四则混合运算的运算顺序与整数四则混合运算的运算顺序相同。 (3)讨论例题。 ①对例1提出问题：这个算式里含有几级运算？应该先算什么？再算什么？(这个算式含有两级运算，应该先算除法，再算加法。) 试做例1。 用投影仪进行订正，并请有错误的同学找出错误的原因，防止再出现类似的错误。

②对例2提问：这个算式里既有小括号又有中括号，应该怎样计算？(应该先脱掉小括号，再脱掉中括号。) 试做例2。 用投影仪进行订正，找出错误原因，并加以改正。 (4)提醒教师注意，学生计算时，要加强巡视，随时发现问题，随时给予辅导和纠正。 (三)巩固反馈 1．全体齐练基本练习。先说出运算顺序，再计算。 同组的两位同学互相说说这两道题的运算顺序，在练习本上完成，比赛看谁做得又对又快。

垂径定理典型例题及练习

垂径定理练习题 典型例题分析： 例题、垂径定理 1、 在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度 为16cm ，那么油面宽度AB 是________cm. 2、在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，，如果油面宽度是48cm ，那么油的 最大深度为________cm. 3、如图，已知在⊙O 中，弦CD AB =，且CD AB ⊥，垂足为H ，AB OE ⊥于E ，CD OF ⊥于F . （1）求证：四边形OEHF 是正方形. （2）若3=CH ，9=DH ，求圆心O 到弦AB 和CD 的距离. 4、已知：△ABC 内接于⊙O ，AB=AC ，半径OB=5cm ，圆心O 到BC 的距离为3cm ，求AB 的长． 5、如图，F 是以O 为圆心，BC 为直径的半圆上任意一点，A 是的中点，AD ⊥BC 于D ，求证：AD=2 1 BF. 例题3、度数问题 1、已知：在⊙O 中，弦cm 12=AB ，O 点到AB 的距离等于AB 的一半，求：AOB ∠的度数和圆的半径. O A E F

2、已知：⊙O 的半径1=OA ，弦AB 、AC 的长分别是2 、3.求BAC ∠的度数。 例题4、相交问题 如图，已知⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，AE=6cm ，EB=2cm ，∠BED=30°，求CD 的长. 例题5、平行问题 在直径为50cm 的⊙O 中，弦AB=40cm ，弦CD=48cm ，且AB ∥CD ，求：AB 与CD 之间的距离. 例题6、同心圆问题 如图，在两个同心圆中，大圆的弦AB ，交小圆于C 、D 两点，设大圆和小圆的半 径分别为b a ,.求证：22b a BD AD -=?. 例题7、平行与相似 已知：如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，于CD AE ⊥E ，CD BF ⊥于F .求证： FD EC =. A B D C E O

中考攻略：初中数学函数知识点大全+典型例题

初中数学函数知识点大全+典型例题 知识点一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念 一般地，如果特)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，特别注意a 不为零 那么y 叫做x 的二次函数。 )0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。 2、二次函数的图像 二次函数的图像是一条关于a b x 2- =对称的曲线，这条曲线叫抛物线。 抛物线的主要特征： ①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。 3、二次函数图像的画法 五点法： （1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴 （2）求抛物线c bx ax y ++=2与坐标轴的交点： 当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 的对称点D 。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。 当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D 。由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称

点A 、B ，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。 知识点二、二次函数的解析式 二次函数的解析式有三种形式：口诀----- 一般 两根 三顶点 （1）一般 一般式：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数， （2）两根 当抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有交点时，即对应二次好方程02=++c bx ax 有实根1x 和2x 存在时，根据二次三项式的分解因式))((212x x x x a c bx ax --=++，二次函数c bx ax y ++=2可转化为两根式))((21x x x x a y --=。如果没有交点，则不能这样表示。 a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 （3）三顶点 顶点式：)0,,()(2≠+-=a k h a k h x a y 是常数， 知识点三、二次函数的最值 如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当 a b x 2-=时，a b a c y 442-=最值。 如果自变量的取值范围是21x x x ≤≤，那么，首先要看a b 2-是否在自变量取值范围21x x x ≤≤内，若在此范围内，则当x=a b 2-时，a b a c y 442-=最值；若不在此范围内，则需要考虑函数在21x x x ≤≤范围内的增减性，如果在此范围内，y 随x 的增大而增大，则当2x x =时， c bx ax y ++=222最大，当1x x =时，c bx ax y ++=121最小；如果在此范围内，y 随x 的增大而减 小，则当1x x =时，c bx ax y ++=121最大，当2x x =时，c bx ax y ++=222 最小。 知识点四、二次函数的性质 1、二次函数的性质

《垂径定理》典型例题

《垂径定理》典型例题 例1. 选择题： （1）下列说法中，正确的是（） A. 长度相等的弧是等弧 B. 两个半圆是等弧 C. 半径相等的弧是等弧 D. 直径是圆中最长的弦答案：D （2）下列说法错误的是（） A. 圆上的点到圆心的距离相等 B. 过圆心的线段是直径 C. 直径是圆中最长的弦 D. 半径相等的圆是等圆答案：B 例2. 如图，已知AB是⊙O的直径，M、N分别是AO、BO的中点，CM⊥AB，DN⊥AB。 分析：要证弧相等，可证弧所对的弦相等，也可证弧所对的圆心角相等。 证明：连结OC、OD ∵M、N分别是OA、OB的中点 ∵OA＝OB，∴OM＝ON 又CM⊥AB，DN⊥AB，OC＝OD ∴Rt△OMC≌Rt△OND ∴∠AOC＝∠BOD 例3. 在⊙O中，弦AB＝12cm，点O到AB的距离等于AB的一半，求∠AOB的度数和圆的半径。 分析：根据O到AB的距离，可利用垂径定理解决。 解：过O点作OE⊥AB于E ∵AB＝12 由垂径定理知：

∴△ABO为直角三角形，△AOE为等腰直角三角形。 例4. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB、BC分别交于点D、E。求AB、AD的长。 分析：求AB较简单，求弦长AD可先求AF。 解：过点C作CF⊥AB于F ∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4 ∵∠A＝∠A，∠AFC＝∠ACB ∴△AFC∽△ACB 例5. 如图，⊙O中，弦AB＝10cm，P是弦AB上一点，且PA＝4cm，OP＝5cm，求⊙O的半径。 分析：⊙O中已知弦长求半径，通常作弦心距构造直角三角形，利用勾股定理求解。 解：连OA，过点O作OM⊥AB于点M ∵点P在AB上，PA＝4cm

分数四则混合运算计算题专题训练500题(脱式计算)

分数的四则混合运算 计算(能用简便的要简算)： 65＋35×54 85－41×（98÷32） （21－61）×53÷51 61÷【179 ×（43＋32）】 1211－41＋103÷53 2 1÷【（43－21）×54】 52＋154－52 76×85＋83÷67 （117－83 ）×88 13—48×（121＋161） 54÷3＋32×54 52＋21×53＋107 1312×73＋74×1312＋1312

（87－165）×（95＋32） 138÷7＋71×136 【1－（41＋83）】÷41 97÷511＋92×115 （61＋43－32）×12 2－136÷269－32 99×10099 21÷85＋41×53 43×52＋41÷25 2110 ×207÷65－41 45×4443 （83－41）÷83 83÷（83－41 ）

65×4－（87＋32） 5－87 －0,125 直接写得数 34 ×16= 12÷ 35 = 0.3× 56 = 35 ÷ 910 = 1÷ 78 = 57 × 23 ÷ 57 = 12 × 13 ÷ 12 × 13 = 0× 712 ＋ 18 = 能简算的要简算 48×( 712 ＋2)÷ 23 23－ 89 × 34 ÷127 59 ×7＋ 5 9 ×11 5÷［( 23 ＋ 15 )× 113 ］ 425 ×23＋ 425 ×67 （21－6 1 ） × 53÷5 1 直接写得数。 3÷ 76= 65÷10= 83÷109= 21－41= 18×6 1 = 107÷15 14=

九年级数学垂径定理圆心角弧弦弦心距间的关系人教版知识精讲

九年级数学垂径定理、圆心角、弧、弦、弦心距间的关系人教版 【本讲教育信息】 一. 教学内容： 垂径定理、圆心角、弧、弦、弦心距间的关系 ［学习目标］ 1. 理解由圆的轴对称性推出垂径定理，概括理解垂径定理及推论为“知二推三”。（1）过圆心，（2）垂直于弦，（3）平分弦，（4）平分劣弧，（5）平分优弧。已知其中两项，可推出其余三项。注意：当知（1）（3）推（2）（4）（5）时，即“平分弦的直径不能推出垂直于弦，平分两弧。”而应强调附加“平分弦（非直径）的直径，垂直于弦且平分弦所对的两弧”。 2. 深入理解垂径定理及推论，为五点共线，即圆心O ，垂足M ，弦中点M ，劣弧中点D ，优弧中点C ，五点共线。（M 点是两点重合的一点，代表两层意义） 3. 应用以上定理主要是解直角三角形△AOM ，在Rt △AOM 中，AO 为圆半径，OM 为弦AB 的弦心距，AM 为弦AB 的一半，三者把解直角形的知识，借用过来解决了圆中半径、弦、弦心距等问题。无该Rt △AOM 时，注意巧添弦心距，或 半径，构建直角三角形。 4. 弓形的高：弧的中点到弦的距离，明确由定义知只要是弓形的高，就具备了前述的（4）（2）或（5）（2）可推（1）（3）（5）或（1）（3）（4），实际可用垂径定理及推论解决弓形高的有关问题。 5. 圆心角、弧、弦、弦心距四者关系定理，理解为：（1）圆心角相等，（2）所对弧相等，（3）所对弦相等，（4）所对弦的弦心距相等。四项“知一推三”，一项相等，其余三项皆相等。源于圆的旋转不变性。即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图象完全重合。 ()()()()1234??? 6. 应用关系定理及推论，证角等，线段等，弧等，等等，注意构造圆心角或弦心距作为辅助线。 7. 圆心角的度数与弧的度数等，而不是角等于弧。 二. 重点、难点： 垂径定理及其推论，圆心角，弧，弦，弦心距关系定理及推论的应用。 【典型例题】 例1. 已知：在⊙O 中，弦AB ＝12cm ，O 点到AB 的距离等于AB 的一半，求：∠AOB 的度数和圆的半径。 点悟：本例的关键在于正确理解什么是O 点到AB 的距离。 解：作OE ⊥AB ，垂足为E ，则OE 的长为O 点到AB 的距离，如图所示： ∴==?=OE AB cm 121 2 126() 由垂径定理知：AE BE cm ==6 ∴△AOE 、△BOE 为等腰直角三角形 ∴∠AOB ＝90° 由△AOE 是等腰直角三角形 ∴==OA AE 626， 即⊙O 的半径为62cm 点拨：作出弦（AB ）的弦心距（OE ），构成垂径定理的基本图形是解决本题的关键。 例2. 如图所示，在两个同心圆中，大圆的弦AB ，交小圆于C 、D 两点，设大圆和小圆的半径分别为a ，b 。 求证：AD BD a b ·=-2 2 证明：作OE ⊥AB ，垂足为E ，连OA 、OC 则OA a OC b ==， 在Rt AOE ?中，AE OA OE 222=- 在Rt COE ?中，CE OC OE 2 2 2 =- ()() ∴-=---AE CE OA OE OC OE 222222 =-=-OA OC a b 22 2 2 即()()AE CE AE CE a b +-=-22 BD AC ED CE ==, AD ED AE CE AE =+=+∴ BD AC CE AE ==- 即2 2b a BD AD -=? 点拨：本题应用垂径定理，构造直角三角形，再由勾股定理解题，很巧妙。 例3. ⊙O 的直径为12cm ，弦AB 垂直平分半径OC ，那么弦AB 的长为（ ） A. 33cm B. 6cm C. 63cm D. 123cm （20XX 年辽宁） 解：圆的半径为6cm ，半径OC 的一半为3cm ，故弦的长度为 ( ) 2632321632 2 2 2 -=-=()cm 故选C 。 例4. 如图所示，以O 为圆心，∠AOB ＝120°，弓形高ND ＝4cm ， 矩形EFGH 的两顶点E 、F 在弦AB 上，H 、G 在AB ? 上，且EF ＝4HE ， 求HE 的长。 解：连结AD 、OG ∠= ∠=??=?AOD AOB 121 2 12060 OA ＝OD ∴△AOD 为等边三角形 ∵OD ⊥AN ∴NO ＝ND ＝4cm C O A B M D O

分数四则混合运算及应用练习

分数四则混合运算及应用练习 韩亮 课题分数四则混合运算及应用练习 教学目标1.通过复习进一步提高计算能力和应用所学知识解决实际的问题能力 2.通过交流解题思路，逐步养成认真倾听的好习惯。 3.学会采用多种策略解决实际问题。 教学 重点提高综合运用所学知识解决简单的实际问题的能力。 探究过程 教师活动学生活动 一、单项练习 （一）找单位“1”的量，并说出数量关系式。 1.全班人数的是男生。 2.黑兔只数的相当于白兔的只数。 3.一条水渠已经修了。 4.小方邮票的等于小华的张数。 （二）根据条件提出问题，并解答。 1.修路队修一条路，已经修了23千米，占全长的， ------------------？ 2.学校图书馆有科技书650本，是故事书的， ---------------------------------？ 3.六年级有学生111人，五年级人数是六年级的， ----------------------------？ 4.暑假里，小强读了24本书，小民读的本数比小强多， ------------------------？ 学生交流时说说自己的思路。 学生提出问题后，全体列式解 答。 5.某商场运进200台冰箱，第一天卖出总数的，第二天卖 出总数的。--------------？ 6. 学校图书馆有科技书600本，比故事书少， ---------------------------------？ 7. 某商场运进一批冰箱，第一天卖出18台，第二天卖出总 学生先画出线段图，然后再独立 完成，集体交流。

探究过程数的，还剩下12台。---------？ （三）计算及解方程。 1.下面各题怎样算简便就怎样算。 １）36 × × ×42（＋）÷ 2）×88＋÷3－× － 3）÷（－）×＋× ÷2 4）÷＋×（－） ×54 5）×0.375＋÷ - ×+ 2.解方程 X ÷ = χ＋χ= X + = χ- χ= 学生先画出线段图，然后再独立 完成，集体交流。 独立计算，集体订正。有板演。 独立计算，集体订正。有板演。 教师活动学生活动 3.列式计算。 1）比一个数的少30，这个数是多少？ 2）的和乘上等于，这个数是多少？ 3）一个数的是80，这个数的是多少？ 二、综合练习 学生列综合算式，并解答。 集体交流。

九上《圆的基本性质》的知识点及典型例题

第三章 《圆的基本性质》的知识点及典型例题 知识框图 1、过一点可作 个圆。过两点可作 个圆，以这两点之间的线段的 上任意一点为圆心即可。过三点可作 个圆。过四点可作 个圆。 2、垂径定理：垂直于弦的直径 ，并且平分 垂径定理的逆定理1：平分弦（ ）的直径垂直于弦，并且平分 垂径定理的逆定理2：平分弧的直径 3、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 ，所对的 圆心角定理的逆定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么 都相等。 注解：在由“弦相等，得出弧相等”或由“弦心距相等，得出弧相等”时，这里的“弧相等”是指对应的劣弧与劣弧相等，优弧与优弧相等。在题目中，若让你求⌒A B ，那么所求的是弧长 圆 概 念 圆、圆心、半径、直径 弧、弦、弦心距、等弧 圆心角、圆周角 三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形 圆的基本性质 圆周角定理及2个推论 圆的相关计算 弧可分为劣弧、半圆、优弧 在同圆或等圆中，能够重合的两条弧叫等弧 点和圆的位置关系 不在同一直线上的三点确定一个圆 圆的轴对称性 垂径定理及其2个逆定理 圆的中心对称性和旋转不变性 圆心角定理及逆定理 求半径、弦长、弦心距 求圆心角、圆周角、弧长、扇形的面积、圆锥的侧面积及表面积 圆的相关证明 求不规则阴影部分的面积 证明线段长度之间的数量关系；证明角度之间的数量关系 证明弧度之间的数量关系； 证明多边形的形状；证明两线垂直 圆心角定理及逆定理都是根据圆的旋转不变性推出来的 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等

4、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的 圆周角定理推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是 ；90°的圆周角所对的弦是 圆周角定理推论2：在同圆或等圆中， 所对的圆周角相等；相等的圆周角所对 的也相等 5、拓展一下：圆内接四边形的对角之和为 6、弧长公式：在半径为R 的圆中，n °的圆心角所对的弧长l 的计算公式为l = 7、扇形面积公式1：半径为R ，圆心角为n °的扇形面积为 。这里面涉及3个变量： ，已知其中任意两个，都可以求出第3个变量。我们中需要记住一个公式即可。 扇形面积公式2：半径为R ，弧长为l 的扇形面积为 8、沿圆锥的母线把圆锥剪开并展平，可得圆锥的侧面展开图是一个 ，圆锥的侧面积等于这个扇形的面积，其半径等于圆锥的 ，弧长等于圆锥的 9、圆锥的侧面积： ；圆锥的全面积： 10、圆锥的母线长l ，高h ，底面圆半径r 满足关系式 11、已知圆锥的底面圆半径r 和母线长l ，那么圆锥的侧面展开图的圆心角为 12、圆锥的侧面展开图的圆心角x 的取值范围为 考点一、与圆相关的命题的说法正确的个数，绝大多数是选择题，也有少部分是填空题（填序号） 考点二、求旋转图形中某一点移动的距离，这就要利用弧长公式 考点三、求半径、弦长、弦心距，这就要利用勾股定理和垂径定理及逆定理 考点四、求圆心角、圆周角 考点五、求阴影部分的面积 考点六、证明线段、角度、弧度之间的数量关系；证明多边形的具体形状 考点七、利用不在同一直线上的三点确定一个圆的作图题 考点八、方案设计题，求最大扇形面积 考点九、将圆锥展开，求最近距离 练习 一、选择题 1、下列命题中：① 任意三点确定一个圆；②圆的两条平行弦所夹的弧相等；③ 任意一个三角形有且仅有一个外接圆；④ 平分弦的直径垂直于弦；⑤ 直径是圆中最长的弦，半径不是弦。正确的个数是（ ） A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 2、如图，AB 是半圆O 的直径，点P 从点O 出发，沿OA AB BO -- 的路径运动一周．设OP 为s ，运动时间为t ，则下列图形能大致地刻画s 与t 之间关系的是（ ） 3、如图所示，在△ABC 中，∠BAC=30°，AC=2a ，BC=b ，以AB 所在直线为轴旋转一周得到一个几何体，则这个几何体的全面积是（ ） A. 2πa B. πab C. 3πa2+πab D. πa （2a+b ） P A O B s t O s O t O s t O s t A ． B ． C ． D ．