数学建模期末复习

一、 线性规划

1．求解下列线性规划问题： 共20分 max z=2x 1+7x 2-3 x 3

x 1+3x 2+4x 3≤30 （第一种资源限制约束）

x 1+4x 2- x 3≤10 （第二种资源限制约束）

x 1、x 2、x 3≥0

（1） 求出该问题的最优解和最优值；

（2） 第二种资源限量由10变为20，最优解是否改变；若改变请求出新的最优解； （3） 增加一个新变量x 6，其目标函数系数为3，技术消耗系数为⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=⎪⎪⎭⎫

⎝⎛212616a a ，最优解是否改变；若改变请求出新的最优解。

解：（1）lingo 程序 max =2*x1+7*x2-3*x3;

x1+3*x2+4*x3<=30; x1+4*x2-x3<=10;

最优解（x1 x2 x3）=（10 0 0） 最优值=20

（2） max =2*x1+7*x2-3*x3;

x1+3*x2+4*x3<=30; x1+4*x2-x3<=20;

最优解（x1 x2 x3）=（20 0 0） 最优值=40

或对第一题进行灵敏度分析(第二种资源限量可以在0到30范围内变化，

最优基解不变最优解（x1 x2 x3）=（20 0 0）最优值=40)

（3）max =2*x1+7*x2-3*x3+3*x4; x1+3*x2+4*x3+x4<=30; x1+4*x2-x3+2*x4<=10;

求解得到 最优解（x1 x2 x3 x4）=（10 0 0 0） 最优值=20

2．某校基金会有一笔数额为5000万元的基金，打算将其存入银行。当前银行存款的利率见下表2。取款政策与银行的现行政策相同，定期存款不提前取，活期存款可任意支取。

校基金会计划在5年内每年用部分本息奖励优秀师生，要求每年的奖金额大致相同，且在5年末仍保留原基金数额。校基金会希望获得最佳的基金使用计划，以提高每年的奖金额。请你帮助校基金会设计一个基金最佳使用方案，试建立其模型。（15分）

3、某公司打算在三个不同的地区设置4个销售点，根据市场预测部门估计，在不同的地区设置不同的数量的销售点，每月可得到的利润如表2所示。试问在各个地区应如何设置销售点，才能使每月获得的总利润最大？其最大利润是多少？并给出最优方案。（15分）

表2

解：变量 ij x 为0,1变量x ij ≥0,(i =1,2, 3；j=1,2,3,4,5)

目标函数：Max 3

5

1

1

ij ij i j z x c ===

∑∑

约束条件：

5

13

5

11

1,1,2,3

[*(1)]4

ij j ij

i j x i x

j =====-=∑

∑∑

Cij=0 16 25 30 32 0 12 17 21 22 0 10 14 16 17

程序： model : sets :

s/1..3/; d/1..5/; link(s,d):c,x; Endsets

max =@sum (link:c*x);

!min=@sum(s(i):@sum(d(j):c(i,j)*x(i,j))); ! 同上面相同的目标函数 ; @for (s(i ):@sum (d(j):x(i,j))=1);

@sum (s(i):@sum (d(j):(j-1)*x(i,j)))=4; data :

c=0 16 25 30 32 0 12 17 21 22 0 10 14 16 17; Enddata

结果：Global optimal solution found.

Objective value: 47.00000

Infeasibilities: 0.000000

Total solver iterations: 4

Variable Value Reduced Cost

X( 1, 3) 1.000000 0.000000

X( 2, 2) 1.000000 0.000000

X( 3, 2) 1.000000 0.000000

答：地区1设2个销售点，地区2、3个设1个销售点，最大利润为47

4．一个木材储运公司有很大的仓库用以储运出售木材。由于木材季度价格的变化，该公司于每季度初购进木材，一部分于本季度内出售，一部分储存起来以后出售。已知该公司仓库的最大储存量为20万米3，储存费用为（70+100u）千元/万米3，u为存储时间（季度数）。已知每季度的买进卖出价及预计的销售量如表1所示。表1

由于木材不宜久贮，所有库存木材应于每年秋末售完。为使售后利润最大，试建立这个问题的线性规划模型。（15分）

解：xij:第i季度买进，第j季度卖出，（i<=j）

目标函数：Max=x11*(425-410)+x12*(440-410)+x22*(440-430)+x13*(465-410)+x23*(465-430)+x33*(465-460)+x14*(455-410)+x24*(455-430)+x34*(455-460)+x44*(455-450)-x12*(70+100*1)*0.1-x13* (70+100*2)*0.1-x14*(70+100*3)*0.1-x23*(70+100*1)*0.1-x24*(70+100*2)*0.1-x34*(70+100* 1)*0.1

约束条件：

X11=100

X12+x22=140

X13+x23+x33=200

X14+x24+x34+x44=160

X12+x13+x14<=20

X13+x14+x23+x24<=20

X14+x24+x34<=20

模型：

Max=x11*(425-410)+x12*(440-410)+x22*(440-430)+x13*(465-410)+x23*(465-430)+x33*(465-460)+x14*(455-410)+x24*(455-430)+x34*(455-460)+x44*(455-450)-x12*(70+100*1)*0.1-x13* (70+100*2)*0.1-x14*(70+100*3)*0.1-x23*(70+100*1)*0.1-x24*(70+100*2)*0.1-x34*(70+100* 1)*0.1;

X11=100;

X12+x22=140;

X13+x23+x33=200;

X14+x24+x34+x44=160;

X12+x13+x14<=20;

X13+x14+x23+x24<=20;

X14+x24+x34<=20;

结果：Global optimal solution found.

Objective value: 5160.000

Infeasibilities: 0.000000

Total solver iterations: 0

Variable Value Reduced Cost

X11 100.0000 0.000000

X12 0.000000 0.000000

X22 140.0000 0.000000

X13 20.00000 0.000000

X23 0.000000 7.000000

X33 180.0000 0.000000

X14 0.000000 20.00000

X24 0.000000 27.00000

X34 0.000000 27.00000

X44 160.0000 0.000000

Row Slack or Surplus Dual Price

1 5160.000 1.000000

2 0.000000 15.00000

3 0.000000 10.00000

4 0.000000 5.000000

5 0.000000 5.000000

6 0.000000 3.000000

7 0.000000 20.00000

8 20.00000 0.000000

答：最大利润为：5160，季度冬买进120，本季度卖出100，等到季度夏卖出20 季度春买进140，本季度卖出140 季度秋买进180本季度卖出140 季度秋买进160本季度卖出160

二、 对偶分析

1、求解下列线性规划问题： 共25分 max z=4x 1+x 2+2x 3

8x 1+3x 2+x 3≤2 （第一种资源限制约束）

6x 1+x 2+x 3≤8 （第二种资源限制约束） x 1、x 2、、x 3≥0 （1） 求出该问题的最优解和最优值；

（2） 第一种资源限量由2变为4，最优解是否改变，若改变请求出新的最优解；

（3） 现有新产品丁，每单位产品需消耗第一种资源2单位，消耗第二种资源3单位，问

该产品的售价至少为多少时才值得生产？

（4） 由于资源缺乏，现有第三种原来并不受约束资源现在受到限制，限制方程为：

10x 4x 3x 2321≤++，问此时最优解是否受到影响，若需要改变，请求出新的最

优解

解：（1）最优解x1=x2=0,x3=2,最优值为4 程序：max =4*x 1+x 2+2*x 3;

8*x 1+3*x 2+x 3<=2 ; 6*x 1+x 2+x 3<=8 ;

结果：Global optimal solution found.

Objective value: 4.000000 Infeasibilities: 0.000000 Total solver iterations: 2

Variable Value Reduced Cost X3 2.000000 0.000000

Row Slack or Surplus Dual Price 2 0.000000 2.000000

(2)

法一：第一题进行灵敏度分析(第二种资源限量可以在0到8范围内变化，最优基解不变最优解（x1 x2 x3）= 0 0 4）最优值=8)

Ranges in which the basis is unchanged:

Objective Coefficient Ranges

Current Allowable Allowable Variable Coefficient Increase Decrease X1 4.000000 12.00000 INFINITY X2 1.000000 5.000000 INFINITY X3 2.000000 INFINITY 1.500000

Righthand Side Ranges

Row Current Allowable Allowable RHS Increase Decrease

2 2.000000 6.000000 2.000000

3 8.000000 INFINITY 6.000000

法二：

程序：max =4*x1+x2+2*x3;

8*x1+3*x2+x3<=4;

6*x1+x2+x3<=8 ;

结果：Global optimal solution found.

Objective value: 8.000000

Infeasibilities: 0.000000

Total solver iterations: 2

Variable Value Reduced Cost

X1 0.000000 12.00000

X2 0.000000 5.000000

X3 4.000000 0.000000

Row Slack or Surplus Dual Price

1 8.000000 1.000000

2 0.000000 2.000000

3 4.000000 0.000000

（3）

程序：

max=4*x1+x2+2*x3+x4;

8*x1+3*x2+x3+2*x4<=2;

6*x1+x2+x3+3*x4<=8;

灵敏度分析：x4可由一个单位增加3个单位，即当x4>4时生产，故售价至少大于4

Ranges in which the basis is unchanged:

Objective Coefficient Ranges

Current Allowable Allowable Variable Coefficient Increase Decrease X1 4.000000 12.00000 INFINITY X2 1.000000 5.000000 INFINITY X3 2.000000 INFINITY 1.500000 X4 1.000000 3.000000 INFINITY

Righthand Side Ranges

Row Current Allowable Allowable RHS Increase Decrease

2 2.000000 6.000000 2.000000

3 8.000000 INFINITY 6.000000

（4）最优基解不变，最优解为（x1 x2 x3）= 0 0 2）最优值=4)

程序：max=4*x1+x2+2*x3;

8*x1+3*x2+x3<=2;

6*x1+x2+x3<=8;

2*x1+3*x2+4*x3<=10;

结果：Global optimal solution found.

Objective value: 4.000000

Infeasibilities: 0.000000

Total solver iterations: 1

Variable Value Reduced Cost

X1 0.000000 12.00000

X2 0.000000 5.000000

X3 2.000000 0.000000

Row Slack or Surplus Dual Price

1 4.000000 1.000000

2 0.000000 2.000000

3 6.000000 0.000000

4 2.000000 0.000000

2. 某厂的二种产品I、II分别在四种设备A1 、A2 、A3 、A4上加工。产品所需的机器台时、设备在计划内的有效台时、每件产品利润如下表所示：

（1）请制定一份最佳生产计划，使其总收入达到最大。试建立此问题的数学模型。

（2）求解此问题。（3）若把机器台时出租, 问应如何定价? （20％）解：设生产1型x1 ，生产2型x2，

目标函数：max z=2*x1+3*x2

约束条件：2*x1+2*x2<=12

X1+2*x2<=8

4*x1<=16

4*x2<=12

程序：max =2*x1+3*x2;

2*x1+2*x2<=12;

x1+2*x2<=8;

4*x1<=16;

4*x2<=12;

解得：（x1 x2）=（4 2）

最优值=14

（2）

三、运输问题及整数规划

1．某公司要把4个有关能源工程项目承包给4个互不相关的外商投标者，规定每个承包商只能且必须承包一个项目，试在总费用最小的条件下确定各个项目的承包者，总费用为多少？各承包商对工程的报价如表3所示：（共10分）

表3

A B C D

项目

投标者

甲15 18 21 24

乙19 23 22 18

丙26 17 16 19

丁19 21 23 17

解：

程序：model:

sets:

s/1..4/;

d/1..4/;

link(s,d):c,x;

Endsets

min=@sum(link:c*x);

!min=@sum(s(i):@sum(d(j):c(i,j)*x(i,j)));! 同上面相同的目标函数;

@for(s(i):@sum(d(j):x(i,j))=1);

@for(d(j):@sum(s(i):x(i,j))=1);

data:

c=15 18 21 24

19 23 22 18

26 17 16 19

19 21 23 17;

Enddata

结果：Global optimal solution found.

Objective value: 70.00000

Infeasibilities: 0.000000

Total solver iterations: 7

Variable Value Reduced Cost

X( 1, 2) 1.000000 0.000000

X( 2, 1) 1.000000 0.000000

X( 3, 3) 1.000000 0.000000

X( 4, 4) 1.000000 0.000000

答：甲承包B乙承包A丙承包C 丁承包D

总费用：为70

2．已知运输问题的调运和运价表如下，求最优调运方案和最小总费用。（共10分）。(用

结果如下：

程序：model:

sets:

s/1..3/:a;

d/1..3/:b;

link(s,d):c,x;

Endsets

min=@sum(link:c*x);

!min=@sum(s(i):@sum(d(j):c(i,j)*x(i,j)));! 同上面相同的目标函数;

@for(s(i):@sum(d(j):x(i,j))<=a(i));

@for(d(j):@sum(s(i):x(i,j))=b(j));

data:

a=15 18 17;

b=18 12 16;

c=5 9 2

3 1 7

6 2 8;

Enddata

end

结果：Global optimal solution found.

Objective value: 116.0000

Infeasibilities: 0.000000

Total solver iterations: 6

Variable Value Reduced Cost X( 1, 1) 0.000000 7.000000 X( 1, 2) 0.000000 13.00000

X( 1, 3) 15.00000 0.000000

X( 2, 1) 18.00000 0.000000

X( 2, 2) 0.000000 0.000000

X( 2, 3) 0.000000 0.000000

X( 3, 1) 0.000000 2.000000

X( 3, 2) 12.00000 0.000000

X( 3, 3) 1.000000 0.000000

答：A1运15个单位到B3 A2运18个单位到B1 A3运16个单位到B2 A3运1个单位到B3

总费用：124

3、石油公司有三个石油贮存点，四个石油需求点。其容量和单位运价如表所示：

制定一个贮存点到需求点的运输计划，使总的运输费用最小。试建立此问题的数学模型并且求解。（10％）

4. 许多非洲国家由于恶劣气候而使农业蒙受损害，联合国组织决定派5位农业专家去帮助5个非洲不发达国家，以提高他们的粮食供应。，每位专家能帮助不同国家提高粮食供应达到不同水平，提高的期望值如下表：

专家\国家 A B C D E

1 1

2 15 1

3 1

4 17

2 11 17 14 16 19

3 1

4 1

5 11 18 18

4 1

5 13 12 17 16

5 13 15 12 15 14

假定每个国家有同样的人口，试提出一个专家指派计划，使粮食供应的增长达到极大。试建立此问题的数学模型并且求解。（10％）

5. 某汽车厂与一些单位签订了生产70辆汽车的合同，按合同规定明年每季度末分别提供10，15，25和20台汽车。该厂各季度的生产能力及生产每辆汽车的成本如表所示：

根据生产能力，该厂能提前完成合同，但因此要付出相应的贮存费。现规定每辆汽车积压一个季度需付0.15万元贮存费。试问该厂应怎样安排各季的生产计划，使总的生产费用最少？试建立此问题的数学模型并且求解。（15％）

解：xij：第i季度生产第j季度交的车辆

目标函数：min=x11*10.8+x12*(10.8+0.15)+x22*11.1+x13*(10.8+0.3)+x23*(0.15+11.1)+x33*11+x14*(0 .45+10.8)+x24*(0.3+11.1)+x34*(0.15+11)+x44*11.3

X11=10

X12+x22=15

X13+x23+x33=25

X14+x24+x34+x44=20

X11+x12+x13+x14<=25

X22+x23+x24<=35

X33+x34<=30

X44<=10

程序：min=x11*10.8+x12*(10.8+0.15)+x22*11.1+x13*(10.8+0.3)+x23*(0.15+11.1)+x33*11+x14*(0 .45+10.8)+x24*(0.3+11.1)+x34*(0.15+11)+x44*11.3;

X11=10;

X12+x22=15;

X13+x23+x33=25;

X14+x24+x34+x44=20;

X11+x12+x13+x14<=25;

X22+x23+x24<=35;

X33+x34<=30;

X44<=10;

结果：Global optimal solution found.

Objective value: 773.0000

Infeasibilities: 0.000000

Total solver iterations: 4

Variable Value Reduced Cost

X11 10.00000 0.000000

X12 15.00000 0.000000

X33 25.00000 0.000000

X24 5.000000 0.000000 X34 5.000000 0.000000 X44 10.00000 0.000000

Row Slack or Surplus Dual Price 2 0.000000 -10.95000 3 0.000000 -11.10000 4 0.000000 -11.25000 5 0.000000 -11.40000 6 0.000000 0.1500000 8 0.000000 0.2500000 9 0.000000 0.1000000

答：最小费用为773，第一季度生产25，本季度交10，等到第二季度交15 第二季度生产25，等到第4季度交5

第三季度生产30，本季度交25，等到第4季度交5 第4季度生产10

6. 某服务公司有4名技术员（A 1,A 2,A 3,A 4）为四位顾客（B 1,B 2,B 3,B 4）提供服务，由于技术员专长不同其服务时间随顾客而变化。具体服务时间由下表给出： 服务时间 B 1 B 2 B 3 B 4 A 1 3 6 7 10 A 2 5 6 3 8 A 3 2 8 4 16 A 4

8

6

5

9

试为该公司制定一份指派计划，使其总服务时间达到最小。试建立此问题的数学模型并求解。（10％）

解：xij:i 技术员服务j 顾客，为0,1变量 Cij=3 6 7 10

5 6 3 8 2

8

4

16

顾

客

8 6 5 9

目标函数：4

4

1

1

min *ij ij i j x c ===

∑∑

约束条件：

4

14

1

1,1,2,3,4

1,1,2,3,4

ij j ij i x i x j ======∑

∑

程序：model : sets : s/1..4/;

d/1..4/; link(s,d):c,x; Endsets

min =@sum (link:c*x);

!min=@sum(s(i):@sum(d(j):c(i,j)*x(i,j))); ! 同上面相同的目标函数 ; @for (s(i):@sum (d(j):x(i,j))=1); @for (d(j):@sum (s(i):x(i,j))>=1); data : c=3 6 7 10 5 6 3 8 2 8 4 16 8 6 5 9;

Enddata end

结果：Global optimal solution found.

Objective value: 20.00000 Infeasibilities: 0.000000 Total solver iterations: 8

Variable Value Reduced Cost X( 1, 2) 1.000000 0.000000 X( 2, 3) 1.000000 0.000000 X( 3, 1) 1.000000 0.000000 X( 4, 4) 1.000000 0.000000

答：A1服务B2 A2服务B23 A3服务B1 A4服务B4

四、 目标规划

1、设有一纺织厂可生产衣料和窗帘布共两种产品。该厂两班生产，每周的生产时间为80小时，无论生产哪种产品，该厂每小时的产量都是1千米。据市场预测，每周窗帘布的销售量为70千米，而衣料的销售量为45千米。假定窗帘布和衣料的单位利润分别为2.5千元/千米和1.5千元/千米，上级主管部门对该厂提出了以下四个顺序目标： （1）尽可能避免开工不足；

（2）尽可能限制每周加班时间不超过10小时； （3）尽可能满足市场需求； （4）尽可能减少加班时间。

问该厂应如何安排生产才能使这些目标依序实现，试建立其数学模型。（15分）

解： 约束条件：

11223344128001290017002450

x x d d x x d d x d d x d d -+-+-+-++-+-=+-+-=-+-=-+-=

QSB---Goal programming

一级目标：min=0,x1=45,x2=45,d1+=10,d3+=30 二级目标：min=0,x1=45,x2=45,d1+=10,d3+=30 三级目标：min=0,x1=45,x2=45,d1+=10,d3+=30 四级目标：min=0,x1=45,x2=45,d1+=10,d3+=30

2、求解如下目标规划的满意解：

⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥=-+=-++=-++++=+-+-+-+-+

-+

-+-+0

,,,,,,,71000100100401510)()(33221

121332

2221112132211d d d d d d x x d d x d d x x d d x x d P d d P Minw 3．某农场有3万亩农田，欲种植玉米、大豆和小麦三种农作物。各种作物每亩需施肥

料分别为0.12吨、0.2吨、0.15吨。预计秋后玉米每亩可收获500千克，售价为0.24元/千克，大豆每亩可收获200千克，售价为1.20元/千克，小麦每亩可收获300千克，售价为0.70元/千克。农场年初规划时依次考虑以下的几个方面：

P1：年终收益不低于350万元；

P2：总产量不低于1.25万吨；

P3：小麦产量以0.5万吨为宜；

P4：大豆产量不少于0.2万吨；

P5；玉米产量不超过0.6万吨；

P6：农场现能提供5000吨化肥，若不够，可在市场高价购买，但希望高价采购量愈少愈好。试建立该目标规划问题的数学模型（不需要求解）。（16分

五、图与网络及关键路线

六、1．已知四个城市间的距离如下表所示，求从A城市出发，经其余城市一次且仅一

次，最后返回到A城市的最短路径与距离。（18分）

A B C D

A -- 11 20 28

B 12 -- 18 25

C 23 9 -- 10

D 34 32 6 --

解：

2．某企业拟开发一新产品，该新产品投产前工序资料如下表（15分）：

工序 A B C D E F G H I J K L 工序

紧前关系/ / A A D C，E F B，G B，G H G I，J，K 紧前关系工时（周） 4 10 3 6 8 2 3 2 8 5 2 1 工时（周）

试求：1、绘制网络图；

2、计算时间参数；

3、确定关键线路。

2．某石油公司其输油管网如下图所示，试求该网络中的最大流（15分）。

.

结果为：

MODEL:

sets:

nodes/s,1,2,3,4,t/;

arcs(nodes,nodes)/

s,1 s,2 1,2 1,3 2,4 3,2 3,t 4,3 4,t/:c,f;

endsets

data:

c= 8 7 5 9 9 2 5 6 10;

enddata

max = flow;

@for(nodes(i)|i #ne# 1 #and# i #ne# @size(nodes):

@sum(arcs(i,j):f(i,j))-@sum(arcs(j,i):f(j,i))=0);

@sum(arcs(i,j)|i #eq# 1:

f(i,j)) = flow;

@for(arcs:@bnd(0,f,c));

END

Global optimal solution found.

Objective value: 14.00000

Infeasibilities: 0.000000

Total solver iterations: 4

Variable Value Reduced Cost FLOW 14.00000 0.000000 C( S, 1) 8.000000 0.000000 C( S, 2) 7.000000 0.000000 C( 1, 2) 5.000000 0.000000 C( 1, 3) 9.000000 0.000000 C( 2, 4) 9.000000 0.000000 C( 3, 2) 2.000000 0.000000 C( 3, T) 5.000000 0.000000 C( 4, 3) 6.000000 0.000000 C( 4, T) 10.00000 0.000000 F( S, 1) 8.000000 0.000000 F( S, 2) 6.000000 0.000000 F( 1, 2) 3.000000 0.000000 F( 1, 3) 5.000000 0.000000 F( 2, 4) 9.000000 -1.000000 F( 3, 2) 0.000000 0.000000 F( 3, T) 5.000000 -1.000000 F( 4, 3) 0.000000 1.000000 F( 4, T) 9.000000 0.000000

Row Slack or Surplus Dual Price

1 14.00000 1.000000

2 0.000000 -1.000000

3 0.000000 -1.000000

4 0.000000 -1.000000

5 0.000000 0.000000

6 0.000000 -1.000000

3、某公司一新产品投产前全部准备工作如下表所示，试绘制网络图、计算时间参数和确定关键路线（25分）。

工作工作内容紧前工作工时（周）

A 市场调查/ 4

B 资金筹备/ 10

C 需求分析 A 3

D 产品设计 A 6

E 产品研制 D 8

F 制定成本计划C、E 2

G 制定生产计划 F 3

H 筹备设备B、G 2

I 筹备原材料B、G 8

J 安装设备H 5

K 调集人员G 2

L 准备开工投产I、J、K 1

QSB---PERT-CPM

浙教版八年级上数学期末复习考点

八年级上期末复习资料第十一章三角形 一、知识框架 二、知识概念 1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 2. 3. 4. 5. 6.. 7. 8. 9. 10. 11. 12.平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面， 13.公式与性质： ⑴三角形的内角和：三角形的内角和为180°。 ⑵三角形外角的性质： 性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.

性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. ⑶多边形内角和公式：n边形的内角和等于(n-2)·180°。 ⑷多边形的外角和：多边形的外角和为360°. ⑸多边形对角线的条数：①从边形的一个顶点出发可以引(n-3)条对角 线，把多边形分成(n-2)个三角形.②边形共有n(n-3)/2条对角线. 7 （1 （2 “ “ （3 只改变图形的位置，不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。 全等变换包括一下三种： （1）平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。 （2）对称变换：将图形沿某直线翻折180°，这种变换叫做对称变换。 （3）旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换。中考规律盘点及预测

三角形的两边之和大于第三边的性质历年来是经常考到的填空题的类型，三角形角度的计算也是考到的填空题的类型，三角形全等的判定是很重要的知识点，在考试中往往会考到。 典例分析 例1 如图，已知∠1=∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是（） A、AB=AC B、BD=CD C、∠B=∠C D、∠BDA=∠CDA 考点：全等三角形的判定。 例2 1、在△ABC中，已知∠B = 40°，∠C = 80°，则∠A = 2、在△ABC中，∠A = 60°，∠C = 50°，则∠B的外角= 。 考点：1、2两题均为三角形的内角之和为180° 3、下列长度的三条线段能组成三角形的是（） A.3cm，4cm，8cm B.5cm，6cm，11cm C.5cm，6cm，10cm D.3cm，8cm，12cm 4、小华要从长度分别为5cm、6cm、11cm、16cm的四根小木棒中选出三根摆成一个三角形，那么他选的三根木棒的长度分别是_ ．_____._____. 考点：3、4两题是三角形的两边之和大于第三边的性质 例3 如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为（） A、11 B、5.5 C、7 D、3.5 考点：角平分线的性质；全等三角形的判定与性质。 例4 如图，在下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的是（） A.BD=DC，AB=AC B.∠ADB=∠ADC，BD=DC C.∠B=∠C，∠BAD=∠CAD D.∠B=∠C，BD=DC 考点：全等三角形的判定． 例5 如图，点B、F、C、E在同一条直线上，点A、D在直线BE的两侧，AB∥DE，BF=CE，请添加一个适当的条件：，使得AC=DF. 考点：全等三角形的判定与性质. 第二章特殊三角形 复习总目标 1、掌握等腰三角形的性质及判定定理 2、了解直角三角形的基本性质 2、掌握勾股定理的计算方法 知识点概要 1、图形的轴对称性质：对称轴垂直平分连接两个对称点的线段；成轴对称的两个图形是全等图形 2、等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的性质定理及推论： 定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角） 推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。

数学建模期末知识点复习

1、图形通常是指用数学的方法所描述的 几何形体；图像则是指人眼或仪器所 纪录的观看景象。 2、计算机图形学主要研究的是用计算机技术来生成、显示和处理图形。 3、计算机图形学的应用：计算机辅助设计、用户接口、图示、计算机动画、科学可视化。 4、交互式计算机图形系统是（用户、计算机、图形设备、软件）组成的协调运行的系统。 5、图形软件通常分为两类：通用软件包和专用应用软件包。 6、图形输入设备：1.键盘和鼠标 2.光 笔 3.数字化仪4.扫描仪5.数码相机 6.三维输入设备：空间球、数据手套、 数据衣等。 7、分辨率：是指屏幕在水平方向和垂直方向上能分辨的最大点数。 像素：每一个点就是一个像素。 帧：显示器屏幕上的一幅图像成为一帧，并且每一帧内容都是由“帧 缓冲存储器”存储纪录。 8、点距：荧光屏上两个相同颜色荧光点之间的距离。点距越小显示器显示图像的质量越高。 场频：又称“垂直扫描频率”，即通常 所说的屏幕刷新频率，指每秒 屏幕被刷新的次数，通常以赫 兹（Hz）表示。垂直扫描频率 越高，图像的稳定性越好。 行频：电子枪每秒在荧光屏上扫描过的水平线数量，等于“行数* 场频”。 带宽：即视频带宽，指每秒电子枪扫 描过的总像素数，等于“水平分 辨率* 垂直分辨率* 场频”。 9、生成直线的算法的要求：1.画的线段应是直的2.线的端点位置应正确3.线的浓度应均匀4.直线的生成速度要快10、判断任意一点（x，y），是否在多边形内，可以从该点向（负无穷，y）引直线，并计算该线与多边形交点的数n（自左向右算起）。如果n为偶数，则点在多边形外；如果n为奇数，则点在多边形内；当直线与多边行的顶点相交时，约定如果交点处多边形的两条边位于所引直线的同一侧，交点数记为2；在两侧记为1。 11、所谓齐次坐标表示法就是由n+1维向量表示一个n维向量。 12、齐次坐标的作用：1. 将各种变换用阶 数统一的矩阵来表示。2. 便于表示无穷远 点。3. 齐次坐标变换矩阵形式把直线变换 成直线段，平面变换成平面，多边形变换 成多边形，多面体变换成多面体。(图形拓 扑关系保持不变）4. 变换具有统一表示形 式的优点：1）便于变换合成2）便于硬 件实现 13、正投影分为主视图、侧视图和俯视图 三种。 14、透视投影是按照主灭点的个数来分类， 可分为一点透视、两点透视和三点透视。 15、在交互输入过程中，常用的控制模式 是请求、采样、事件三种。 16、1）定位技术就是在屏幕指定的位置上 插入一个符号，或者定义线段的端点。 2）约束就是几何约束，借助于计算机控 制达到精确定位。约束技术包括:方向约束 和栅格约束 3）橡皮筋技术在交互式绘图过程中，需 要动态的显示几何图形，可通过定位光标 的移动使图形动态变化，这样用户很容易 的根据设计要求现场确定其基本尺寸，这 如同一根橡皮筋在人手拉动下，可随意变 化一样，称为橡皮筋技术。橡皮筋技术包 括: 1.橡皮筋直线2.橡皮筋矩形3.橡皮筋圆 4）拖动技术将光标定位的图符或物体的 图形，动态的从屏幕一个位置移动到另一 个位置。 17、1）世界坐标系，它是右手三维直角坐 标系。有时也称为用户坐标系。 2）目坐标系，它是左手三维直角坐标系。 3）设备坐标系，通常采用左手直角坐标 系。 4）规格化坐标系，它是左手三维直角坐 标系 18、裁剪线段与窗口的关系：(1)线段完 全可见；(2)显然不可见；(3)其它 19、贝齐曲线的性质：1）端点插值性 质2）端点导向量性质3）对称性4）凸包 性5）几何不变性6）变差缩减性7）保凸 性 20、Bezier曲面的性质：（1）Bezier曲 面特征网格的四个角点正好是Bezier曲面 的四个角点，即P(0,0)=P00，P(1,0)=Pm0， P(0,1)=P0n ，P(1,1)=Pmn . （2）Bezier曲面特征网格最外一 圈顶点定义Bezier曲面的四条边界；Bezier 曲面边界的跨界切矢只与定义该边界的顶 点及相邻一排顶点有关， 且、、 和；其跨界二阶导矢只与定义该边 界的及相邻两排顶点有关；…。（3）几何不变性（4） 对称性。（5）凸包性。 21、Bezier曲线有两点不足：1.不能作局部修改， 即改变某一控制点，对整个曲线都有影响。2. n较大 时，特征多边形边数较多，则对整个曲线的控制减弱。 22、B样条曲线的性质：局部性、连续性、凸包性、 分段参数多项式、导数公式、变差缩减性、几何不变 性、仿射不变性、直线保持性、造型的灵活性。 23、物空间算法通过：要确定物体上哪些面是可见 的，哪些面是不可见的，要在三维空间中比较分析各 物体（各部分）之间的遮盖关系。 24、像空间算法：通过分析比较物体投影后的每个 像素点的深度，来确定哪些面是可见的，哪些面是不 可见的。 25、多边形与窗口的位置关系：1.分离：多边形完全 在窗口之外；2.内含：多边形完全在窗口之内；3.相 交：多边形与窗口相交；4.包围：多边形包含整个窗 口。 平移变换只改变图形的位置，不改变图形的大小和形 状 () () ()() 体放大。 则总体缩小；否则，总 若 变换。 ：对整体图形进行伸缩 处产生一个灭点。 ：在 处产生一个灭点。 ：在 ：对图形做投影变换。 。 ：对图形进行平移变换 。 转、对称、错切等变换 ：对图形进行缩放、旋 ,1 1 1 1 1 * * 1 1 > ∴ ? ? ? ? ? ? ? = = = ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? i i y x y x i h y h g x g h g f c e b d a ()()()1 1 1 1 1 1 * * y x y x T y T x T T y x y x+ + = ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 1 1 1 z y x T T T? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 z y x S S S ? ? ? ? ? ? ? = i f c h e b g d a T D 2

高等数学基础期末复习指导

高等数学基础期末复 习指导 Revised on November 25, 2020

中央电大教育学院陈卫宏2010年06月13日 陈卫宏：大家好！这里是高等数学基础课程教学活动。 高等数学基础课程期末考试时间：2010年7月11日11:00～12:30。闭卷。 高等数学基础考试题型 单选题：5题，每题4分，共20分。 填空题：5题，每题4分，共20分。 计算题：4题，每题11分，共44分。 应用题：1题，共16分。 复习要求1 （一）函数、极限与连续 1．理解函数的概念，了解分段函数。能熟练地求函数的定义域和函数值。 2．了解函数的主要性质（单调性、奇偶性、周期性和有界性）。 3．熟练掌握六类基本初等函数的解析表达式、定义域、主要性质和图形。 4．了解复合函数、初等函数的概念。 5．了解极限的概念，会求左右极限。 6．掌握极限的四则运算法则．掌握求极限的一些方法。 7．了解无穷小量的概念，了解无穷小量的运算性质。 8．了解函数的连续性和间断点的概念。 9．知道初等函数在其有定义的区间内连续的性质。 复习要求2 （二）一元函数微分学 1．理解导数与微分概念，了解导数的几何意义。会求曲线的切线方程。知道可导与连续的关系。 2．熟记导数与微分的基本公式，熟练掌握导数与微分的四则运算法则。

3．熟练掌握复合函数的求导法则。掌握隐函数的求导法．知道一阶微分形式的不变性。 4．了解高阶导数概念，掌握求显函数的二阶导数的方法。 5．会用拉格朗日定理证明简单的不等式。 6．掌握用一阶导数求函数单调区间与极值点的方法，了解可导函数极值存在的必要条件。知道极值点与驻点的区别与联系。 7．掌握求解一些简单的实际问题中最大值和最小值的方法（几何问题）。 复习要求3 （三）一元函数积分学 1．理解原函数与不定积分概念，了解不定积分的性质以及积分与导数（微分）的关系。 2．熟记积分基本公式，熟练掌握第一换元积分法和分部积分法。 3．了解定积分的几何意义和定积分的性质。 4．了解原函数存在定理，知道变上限的定积分，会求变上限定积分的导数。 5．掌握定积分的换元积分法和分部积分法。 6．了解无穷积分收敛性概念，会计算较简单的无穷积分。 7．会用定积分计算简单的平面曲线围成图形的面积。 文勇：高等数学考试在即，抓紧时间进行复习了。 陈卫宏：做好形考册与期末复习指导中的综合练习。加油！祝你取得好成绩！ 赵双颖：陈老师您好，今年能否再给期末综合复习题看08年7月的行吗 陈卫宏：赵老师好！会有模拟练习贴出。 王惠书：陈老师您好：今年的高等数学基础有变化吗 陈卫宏：王老师上午好！高等数学基础考试没有变化。 王惠书：合理利用学习资源进行自主学习

七年级数学上册期末复习知识点汇总(全)

七年级数学上册期末复习知识点汇总(全)单元一：数与代数 1. 数的分类：自然数、整数、有理数、无理数 2. 数的比较与排序：大于、小于、等于、大于等于、小于等于 3. 数轴与数的表示：数轴上的点对应的数 4. 负数的概念及表示方法 5. 绝对值的概念与性质 6. 等式与不等式的概念及表示方法 7. 判定一个数是整数的方法 8. 简单的数学计算：加法、减法、乘法、除法 9. 分数的概念及基本性质 10. 分数的四则运算 11. 分数的比较与排序 12. 分数与小数的关系 单元二：方程与不等式 1. 一元一次方程的概念与解法

2. 一元一次方程的应用 3. 不等式的概念及解法 4. 不等式的应用 单元三：空间与图形 1. 点、线、面的概念 2. 多边形的分类与性质 3. 近似计算：数的四舍五入、取整法 4. 空间图形的投影 5. 空间图形的展开图 6. 空间图形的平面展开图 单元四：数据与图表 1. 样本调查与统计的基本概念 2. 图表的阅读与分析 3. 统计图表的制作与应用 4. 平均数的概念与计算方法

单元五：函数与方程 1. 函数与方程的关系 2. 函数的概念与表示方法 3. 函数图象的绘制与应用 4. 线性函数的概念与性质 5. 线性函数的图象与应用 单元六：统计与概率 1. 事件的概念与分类 2. 随机事件与确定事件 3. 随机事件的发生与概率 4. 排列与组合的基本概念与计算方法 单元七：应用问题 1. 数学中的应用问题：问题的分析与解决 2. 数学建模：数学模型的建立与求解 3. 数学理论的应用：数学知识在实际问题中的应用

以上是七年级数学上册的所有复知识点汇总，希望能帮助你顺利复并取得好成绩！加油！

2014-2015-1数学建模复习题答案

2014-2015-1《数学建模》期末复习 一、判断题：（对的打√,错的打×） (1) MATLAB 中变量的第一个字母必须是英文字母.-------- --( ) (2) ones( 3 )命令可以生成一个3阶全零矩阵. ----------------( ) (3) 命令[1,2,3]^2的执行结果是[1,4,9]. ----------------( ) (4) 一元线性回归既可以使用regress 也可以使用polyfit. --( ) (5)插值函数必定过已知的所有数据点. ---------------------------( ) (6) MATLAB 中变量名不区分大小写.----------------------------( ) (7) 命令[1,2,3].^2的执行结果是[1,4,9]. ----------------------( ) (8) 命令linspace(0,1,100)共产生100个等间隔的点. -------------------( ) (9) LINGO 程序中@Gin(x)表示x 取整数. -----------( ) (10) LINGO 集合语言数据段以“data:”开始“enddata”结尾------( ) 二、用MATLAB 命令完成如下矩阵操作： (1)创建矩阵A=??? ?????--252013132; (2)求A 的所有元素的最大值, 赋给x (3)取出A 的第2行所有元素和第3列所有元素,分别赋给B 和C; (4)求A 的逆矩阵, 赋给D. (5)创建一个矩阵B 为3阶全1矩阵; (6)修改B 的第2行第3列元素为2; (7)删除B 的第1列所有元素; (8)求B 的行列式,赋值给x. 三、（1）使用for 循环结构,编写MATLAB 程序,求∑=100 32n n . （2）使用for 、while 循环或prod 语句,编写MATLAB 程序,求10011n n n =+∏ （2）写出求解该模型的LINGO 程序。

数学建模部分概念期末复习

数学建模部分定义概念 第一章 1.1实践、数学与数学模型 一、相关概念（特定对象特定目的特有内在规律） 1. 原型：客观存在的各种研究对象。既包括有形的对象，也包括无形的、思维中的对象，还 包括各种系统和过程等 2. 模型：为了某个特定的目的，将原型的某一部分信息简缩，提炼而构造的整个原型或其部 分或其某一层面的替代物。 3. 原型与模型的关系：原型是模型的前提与基础，模型是原型的提炼与升华。原型有各个方 面和各个层次的特征，而模型只要求反映与某些目的有关的那些方面和层次。 二、什么是数学模型（Mathematical Model 对于现实世界中的一个特定对象，为了一个特定的目的，根据特 有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。 广义上讲，数学模型是指凡是以相应的客观原型作为背景，加以一级抽象或多级抽象的数学概念、数学式子、数学理论等都叫数学模型。 狭义上讲，数学模型是指那些反映特定问题或特定事物的数学符号系统。 （我们所指的数学模型是指狭义上的数学模型） 数学模型不是原型的复制品，而是为了一定的目的，对原型所作的一种抽象模拟。它用数学算式、数学符号、程序、图表等刻画客观事物的本质属性与内在关系，是对现实世界的抽象、简化而有本质的描述，它源于现实又高于现实三、什么是数学建模 数学建模是指应用数学的方法解决某一实际问题的全过程。包括： （1 ）对实际问题的较详细的了解、分析和判断; （2 ）为解决问题所需相关数学方法的选择;

（3 ）针对实际问题的数学描述,建立数学模型; （4 ）对数学模型的求解和必要的计算; （5 ）数学结果在实际问题中的验证; （6 ）将合理的数学结果应用于实际问题之中,从而解决问题。 四数学建模流程图（参见教材上册P14 ） 1 实际问题 2 抽象、简化、假设，确定变量和参数 3 根据某种“定律”或“规律”建立变量和参数间的一个明确的数学关系，即 在此简化阶段上构造数学模型 4 解析地或近似地求解该数学模型 5 用实际问题的实测数据等来解释、验证该数学模型（若不通过，返回第2 步） 6 投入使用，从而可产生经济、社会效益 完美的图画--- 黄金分割 黄金分割又称黄金律，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值为1:0.618 或1.618:1 ，即长段为全段的0.618 。 所谓黄金分割，指的是把长为L 的线段分为两部分，使其中一部分对于 全部之比，等于另一部分对于该部分之比。 计算黄金分割最简单的方法: 计算斐波那契数列1,1,2,3,5,8,13,21,... 从 第 二位起相邻两数之比，1/2,2/3,3/5,5/8,8/13,13/21,... 的近似值。 1.2 八步建模法 1. 问题提出 2. 量的分析 3. 模型假设

2020--2021学年苏科版七年级数学下册期末复习基础专练《解答题》

七年级数学下册期末复习基础专练《解答题》 （一） 1．（2020·保定市八年级期末）图1，线段AB 、CD 相交于点O ，连接AD 、CB ，我们把形如图1的图形称之为“8字形”.如图2，在图1的条件下，∠DAB 和∠BCD 的平分线AP 和CP 相交于点P ，并且与CD 、AB 分别相交于M 、N.试解答下列问题： （1）在图1中，请直接写出∠A 、∠B 、∠C 、∠D 之间的数量关系： ； （2）图2中，当∠D=50度，∠B=40度时，求∠P 的度数. （3）图2中∠D 和∠B 为任意角时，其他条件不变，试问∠P 与∠D 、∠B 之间存在着怎样的数量关系. 2．（2020·吉林长春市·八年级期末）已知：53a =，58b =，572c =． （1）求)(2 5 a 的值． （2）求5a b c -+的值． （3）直接写出字母a 、b 、c 之间的数量关系． 3．（2020·山东烟台市期末）阅读材料：若m 2﹣2mn+2n 2﹣8n+16=0，求m 、n 的值． 解：∵m 2﹣2mn+2n 2﹣8n+16=0，∴（m 2﹣2mn+n 2）+（n 2﹣8n+16）=0 ∴（m ﹣n ）2+（n ﹣4）2=0，∴（m ﹣n ）2=0，（n ﹣4）2=0，∴n=4，m=4． 根据你的观察，探究下面的问题： （1）已知x 2+2xy+2y 2+2y+1=0，求2x+y 的值； （2）已知a ﹣b=4，ab+c 2﹣6c+13=0，求a+b+c 的值． 4．（2020·江西萍乡市·八年级期末）有大小两种货车，3辆大货车与4辆小货车一次可以运货18吨，2辆大货车与6辆小货车一次可以运货17吨. （1）请问1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运货多少吨？ （2）目前有33吨货物需要运输，货运公司拟安排大小货车共计10辆，全部货物一次运完，其中每辆大货车一次运费花费130元，每辆小货车一次运货花费100元，请问货运公司应如

2022-2023学年沪科版九年级数学上册(第21—23章)期末复习综合练习题(附答案)

2022-2023学年沪科版九年级数学上册（第21—23章）期末复习综合练习题（附答案）一、选择题 1．抛物线y＝﹣2x2+1的顶点坐标是（） A．（﹣2，0）B．（0，1）C．（0，﹣1）D．（2，0）2．若，则的值为（） A．B．﹣C．D． 3．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+4x经变换后得到抛物线y＝x2﹣4x，则这个变换可以是（） A．向左平移4个单位B．向右平移4个单位 C．向左平移8个单位D．向右平移8个单位 4．下列函数中，当x＞0时，y随x的增大而增大的是（） A．B．y＝﹣2x+1C．y＝﹣2x2D．y＝3x2﹣1 5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cos A＝，AB＝6，则AC的长为（）A．8B．6C．4D．2 6．如图，在△ABC与△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE，连接BD、CE，若AC：BC＝3：4，则BD：CE为（） A．5：3B．4：3C．：2D．2： 7．二次函数y＝ax2+bx+c（abc≠0）的图象如图所示，反比例函数y＝与正比例函数y＝bx在同一坐标系内的大致图象是（） A．B．C．D．

8．已知抛物线y＝x2+（2a﹣1）x+1﹣2a与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0），且﹣1＜x1＜0，0＜x2＜，则实数a的取值范围是（） A．a＞B．a＜C．a＞或a＜D．＜a＜ 9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，D为AC上任一点，F为AB中点，连接BD，E在BD上，且满足CD2＝DE•BD，连接EF，则EF的最小值为（） A．﹣1B．1C．D． 10．如图，点C、A、M、N在同一条直线l上．其中，△ABC是等腰直角三角形，∠B＝90°，四边形MNPQ为正方形，且AC＝4，MN＝2，将等腰Rt△ABC沿直线l向右平移．若起始位置为点A与点M重合，终止位置为点C与点N重合．设点A平移的距离为x，两个图形重叠部分的面积为y，则y与x的函数图象大致为（） A．B． C．D． 二、填空题

数学组期末总结标题集锦

数学组期末总结标题集锦 目录 一、总结与展望 (2) 二、数学基础知识梳理与提高 (3) 1. 代数与函数 (3) 2. 几何与三角学 (5) 3. 概率与统计 (7) 4. 数字与运算 (9) 三、数学问题解决能力的培养 (12) 1. 问题分析与解决思路 (12) 2. 数学建模与实际应用 (14) 四、创新思维的培养与发展 (16) 1. 灵活运用数学方法 (16) 2. 推理与证明能力的训练 (18) 五、数学学习方法的探索与优化 (20) 1. 做好数学笔记 (20) 2. 多维度学习数学 (22) 3. 使用多种资源辅助学习 (24) 六、数学组中优秀同学分享 (26) 1.数学学习的心得与体会 (26) 2.学习方法与技巧分享 (28) 七、数学组工作总结 (30) 1.组织开展的活动 (30) 2.团队合作与沟通 (31) 3.存在的问题与改进措施 (33)

八、参考文献 (34) 一、总结与展望 本学期，我们数学组以提高学生数学综合素质为目标，通过科学的教学与学习方法，全面 培养学生的数学能力和创新思维。在家长和同学的共同努力下，我们取得了一定的成绩。 回顾本学期的教学工作，我们发现学生对数学能力提高的态度逐渐积极，课堂听课情况逐 渐稳定，作业完成质量也有所提升。但同时我们也发现了一些问题，比如学生对于数学基 础知识的掌握还不够扎实，解决问题的能力有待提高等。因此，在下一个学期的教学中， 我们将更加注重基础知识的梳理与提高，并进一步培养学生的问题解决能力和创新思维。 二、数学基础知识梳理与提高 1. 代数与函数 代数是数学的基础，是数学建模、推理和解决问题的重要工具。在本学期的教学中，我们 注重了基础代数知识的教学和复习。通过学习代数的基本运算、等式与不等式、方程与不 等式的应用，学生对于代数的认识更加深入了。 在下个学期的教学中，我们将进一步加强代数与函数的学习，包括多项式、根与系数、幂 指函数和对数函数等。希望通过对代数与函数的全面学习，提高学生的抽象思维能力和解 决问题的能力。 2. 几何与三角学 几何与三角学在实际生活中经常出现，也是学生在学习数学时较为感兴趣的内容。本学期，我们注重了几何与三角学的基本概念和证明方法的学习。通过解决几何问题和三角函数问题，学生的空间想象能力和推理能力有了一定的提高。 下个学期，我们将进一步学习几何与三角学的高级内容，例如向量、坐标系和立体几何等。力求通过几何与三角学的学习，培养学生的空间思维能力和综合运用数学知识解决实际问 题的能力。 3. 概率与统计 概率与统计是数学中的一个重要分支，也是日常生活中常常接触到的内容。在本学期的教 学中，我们注重了概率与统计的基本概念和应用方法的学习。通过实际例子的引导，学生 对于概率和统计的认识有了一定的提升。 下个学期，我们将深入学习概率与统计的高级内容，例如分布函数与密度函数、抽样与研 究问题等。希望通过概率与统计的学习，培养学生的数据分析能力和问题解决能力。 4. 数字与运算

数学复习课教学方法的研究(最新完整版)

数学复习课教学方法的研究(最新完整版) 数学复习课教学方法的研究 数学复习课的教学方法可以根据不同的复习内容和目标而有所不同，以下是一些通用的教学方法： 1.知识框架法：帮助学生构建一个有关数学知识的大框架，然后在这个框架下填充具体的知识点。这样有助于学生理解知识之间的联系，并能够整体把握知识。 2.错题集复习法：要求学生准备一个错题集，收集他们在过去的学习中犯过的错误。复习时，重点复习错题集，强化错误记忆，避免再犯同样的错误。 3.重点突破法：针对考试的重点和难点，进行针对性的教学。比如，对于一些复杂的问题，可以专门拿出一些时间来集中突破。 4.习题集复习法：推荐学生使用一些经典的数学复习书，如《高中数学必修课》、《奥数教程》等。这些书一般按照知识模块进行组织，条理清晰，重点突出，方便学生查找和复习。 5.互动式复习法：教师可以提出一些问题，让学生进行小组讨论和回答。这样可以提高学生的参与度，促进学生的思考，同时也能帮助学生更好地理解和掌握知识。 6.实践式复习法：除了做题，教师还可以通过一些实践活动来帮助学生复习知识。比如，组织数学竞赛、进行数学建模等。 以上方法并不是孤立的，可以根据具体情况进行组合和调整，以帮助学生更好地复习数学。

数学期末复习教学方法教案 教案：【数学期末复习教学方法】 教学目标： 1.复习和巩固数学期末考试涉及的主要知识点和技能。 2.帮助学生形成系统的知识体系，提高他们的复习效率。 3.通过复习，增强学生的自信心和应试能力。 教学步骤： 一、导入 1.回顾已经学过的数学知识，并引导学生进行反思。 2.简要介绍本次复习的目标和方法，例如系统地复习主要知识点，强化理解和记忆，加强解题技能等。 二、讲解 1.分组讲解：根据知识点的难度和重要性，将学生分为若干小组进行复习。教师提供基本的概念解释和例题解析，学生自行练习，互相讨论。 2.个别指导：对于学习困难的学生，教师需要给予额外的辅导和帮助，帮助他们理解和掌握基础知识。 3.强化训练：针对期末考试的重点和难点，进行强化训练，例如进行模拟试题的练习和讲解。 三、活动 1.小组讨论：组织学生进行小组讨论，让学生们互相提问和解答，加深对知识点的理解和记忆。

初中数学期末总复习方法及技巧大全

初中数学期末总复习方法及技巧大全

初中数学期末总复习方法及技巧大全 初中数学期末总复习方法及技巧大全 数学总复习是初中数学教学的重要组成局部，复习不只是简单重复，加强记忆，重要的是深化认识，从本质上发现数学知识间的联系，提高学生的数学素养，数学的应用能力，它是稳固知识，消化知识，运用知识，培养能力的重要手段。 因此，在组织学生进行全面，系统的复习中，本人认为：首先要认真研读?考试纲要?的说明，明确复习内容与重点，结合学生的实际情况，制定切实的复习方案，不断改良复习方法，把夯实根底，注重过程作为复习的“突破口〞;优化结构，培养能力作为复习的“目标点〞，通过螺旋式的推进，综合提高学生的数学素质。 一、夯实根底，透视考点，重构知识 通过两年多的学习，学生能够已经掌握了一定的根底知识，根本方法和根本技能，但对教材的理解是零碎的，解题规律的探究是浅薄的，因此，在组织学生进行复习时，我采用两步走的方法，首先引导学生系统梳理教材，构建知识结构，让各种概念，公理，定理，公式，常用结论及解题方法技巧，都能在学生头脑中在现。 其次深入挖掘教材的例题，并以其为主要素材，编拟成突破一个重点，攻克一个难点。掌握一种方法，培养一种能力这样一种训练思维的模式来深化学生的思维，要求他们着

眼于教材，扎扎实实地从实际水平开始，一步一个脚印，夯实根底，充分体会根底知识在解题中的指导作用，切实掌握数学思想方法，才能得到有效的提高。 最后，进行一些数学专题来进一步强化根底，拓展学生的数学创造性能力。特别是最后一阶段复习中，教师要以思维突破为主线，适时点拨，启发学生思考，并重视数学题的缜密性与分析法思维策略。 二、方法引导，共同参与，培养能力 1. 探求方法，揭示规律。 在复习教学中，特别是在专题复习教学中，教师教学的主要任务是方法指导与规律揭示。 一、是解题的通用方法。如关于让三角形全等或相似常用的添辅助线(截取相等线段，作平行线，做垂线等)的方法。转移比证明等积等比式的方法等; 二、是重视初中数学蕴涵的数学思想方法，如：代数中的配方，换元，化归，数形结合，待定系数等的方法; 三、是把握中考热点题行的所用方法，如分类讨论的方法。(实际问题数学建模的方法，开放性问题解题方法; 四、是揭示典型题的一般方法及规律，如应用题的图表分析法，几何证明的常用分析思路。使学生在解题中思考有向，有序，有通常规律可寻。 2 共同参与，开展思维。

数学建模与实验教学大纲

数学建模与实验课程教学大纲 课程名称：数学建模与实验(Mathematical Modelling and Experiments) 课程性质：选修 课程代码：FN116120B 学时/学分：48/3 开课单位：理学院 先修课程：解析几何、数学分析、高等代数、概率论与数理统计、常微分方程 适用专业、年级：数学与应用数学和信息与计算科学、三年级 评分方式：平时出勤、作业〔30%〕，命题论文〔课程设计〕〔20%〕，结业考试〔50%〕 一、课程的性质、目的与任务 “数学建模与实验”课程是数学与应用数学和信息与计算科学等专业学生的专业基础选修课程，是一门充分应用其它各数学分支的应用类课程，其主要任务不是“学数学”，而是学着“用数学”，是为培养善于运用数学知识建立实际问题的数学模型，从而善于解决实际问题的应用型数学人材服务的。从这个意义上讲，本课程的开设将对提高广阔学生优良的数学素质和出色的工作能力，开展创新教育和素质教育等诸方面起到重要作用，其发展潜力巨大，前景十分广阔。 通过本课程的学习，使学生较为系统的获得利用数学工具建立数学模型的基本知识、基本技能与常用技巧，并使用数学软件包解答问题的能力，培养学生的抽象概括问题的能力，用数学方法和思想进行综合应用与分析问题的能力，并着力导引实践—理论—实践的认识过程，培养学生辩证唯物主义的世界观。 根据整个教学计划的内容安排，本课程将主要介绍微分和积分模型，运筹学模型，微分方程模型和概率统计模型这四类常见数学模型中的较基本、较简单的部分，以及如何使用数学软件包求解，使学生对数学建模的基本想法与做法有一个较全面的初步的了解，为应用所学数学知识解决实际问题奠定一个较好的基础。 二、教学基本要求 由于本课程的特点，对学生的基本数学基础有以下要求：熟练掌握常微分方程的基本内容，概率论与统计分析基础，运筹学中的线性规划、目标规划的初步知识，图论基础知识、决策论、存贮论与排队论初步等知识。实验要求：能熟练地使用相应的数学软件工具进行求解。 2.通过本课程的学习，应到达以下基本目标： (1)深化学生对所学数学理论的理解和掌握；使学生熟悉并掌握一种〔如MATLAB〕数学软的基本内容； (2)使学生了解数学科学的重要性和应用的广泛性，进一步激发学生学习数学的兴趣； (3)熟悉并掌握建立数学模型的基本步骤、基本方法和技巧； (4)培养学生应用数学理论和数学思想方法，利用电脑技术等辅助手段，分析、解决实际问题的综合能力； (5)培养学生的数学应用意识，同时进一步拓宽学生的知识面，培养学生的科学研究能力。

数学建模学习辅导

数学建模学习辅导 考核说明： 数学建模课程是数学与应用数学专业的限选课，是一门教学生试着用数学方法去解决实际问题的应用性较强的课程。因此，本课程的基本命题原则是按照课程教学大纲的要求，在考核说明所规定的范围内，既要注意考核知识点的覆盖面和突出重点，也要充分体现广播电视大学远程开放教育教学模式和培养师范类应用型人才的特点．因此，本课程的期末考试主要检查学生对数学建模基本理论的理解、基本方法的掌握，以及运用所学的基本理论和基本方法去分析问题、建立实际问题数学模型的能力． 试题类型分为：填空题、分析判断题和计算题． 填空题只要求直接填写结论，不必对结论进行解释；分析判断题要求给出合乎要求的判断结论，但需要进行简明扼要的解释；计算题要求写出运算过程与答案． 四种题型分数的百分比大致为：填空题20%，判断题30%，计算题50%。 关于试题的难易情况的说明： 期末试题按其难易程度分为三类，即容易题、中等题和较难题，这三类题在期末试卷中的比例大体为5：3：2． 关于各章的复习要求与重点在本课程的考核说明和期末复习辅导文章中都有，请大家自己认真阅读. 半开卷考试说明： 本课程期末考试采用半开卷笔试形式，题型不变。 半开卷考试是介于闭卷考试和开卷考试两者之间考试方式。半开卷考试与开卷考试的差别就在于允许考生携带的资料的不同，开卷考试允许考生携带任何资料，而半开卷考试只允许考生携带指定的资料，比如允许考生携带一张统一印制A4纸，考生可以将自己对课程学习内容的总结包括重点、难点、不好记忆的公式、定理等写在这张A4纸上带入考场，作为答卷的参考。 半开卷考试重要的作用是促使成人在职学生复习、归纳、总结所学内容，减少死记硬背的要求，强化学生应用知识、理论分析、解决实际问题的能力，提高学生的学习能力。因此，辅导教师应当注意引导学生在全面学习的基础上，把握重点、难点内容，注意引导学生对重点概念、重点理论、重要公式的理解和应用，注意指导学生解决难点问题，注意指导学生学会复习、归纳、总结所学内容，提升学习能力。

九年级数学期末复习教案

九年级数学期末复习教案 集安市第七中学姚洪君2013.6.19 第十一章相似形与中考 中考要求及命题趋势 1、了解比例的基本性质，线段的比、成比例线段、黄金分割； 2、通过具体实例认识图形的相似，理解相似图形的性质，相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积的比等于对应边比的平方； 3、了解两个三角形相似的概念，理解两个三角形的相似的条件； 4、了解图形的位似，灵活运用位似将一个图形放大或缩小； 5、灵活运用图形的相似解决一些实际问题； 6、认识并能画出平面直角坐标系，会根据坐标描出点的位置，由点位置写出它的坐标； 7、能在方格纸上建立适当的直角坐标系，描述物体的位置； 8、在同一直角坐标系中，感受图形变换后的坐标的变化； 9、灵活运用不同的方式确定物体的位置。 应试对策 1、要掌握基本知识和基本技能； 2、运用相似形的知识解决一些实际问题，要能够在理解题意的基础上，把它转化为纯数学知识的问题，要注意培养数学建模的思想； 3、在综合题中，注意相似形的灵活运用，并熟练掌握等线段、等比代换，等代换技巧的运用，培养综合运用知识的能力； 4、会画直角坐标系，会根据坐标描出点的位置，由点的位置写出它的坐标，会灵活运用不同的方式确定物体的位置，由点的位置写出它的坐标， 5.在坐标系描述物体的位置。 6.感受图形变化后的坐标的变化 第一节图形的相似与位似 【回顾与思考】

【例题经典】 辨别图形相似与位似 例1．下列说法中不正确的是（） A．位似图形一定是相似图形; B．相似图形不一定是位似图形; C．位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比; D．位似图形中每组对应点所在的直线必相互平行 分析:本题考查了位似图形的性质及相似图形与位似图形的关系，A、B、C•正确，因为一对位似对应点与位似中心共线，所以D错误． 会用定义判定相似多边形 例2．在AB=20m，AD=30m的矩形ABCD的花坛四周修筑小路． （1）如果四周的小路的宽均相等，如图（1），那么小路四周所围成的矩形A′B•′C′D′和矩形ABCD相似吗？请说明理由． （2）如果相对着的两条小路的宽均相等，如图（2），试问小路的宽x与y 的比值为多少时，能使小路四周所围成的矩形A′B′C′D′和矩形ABCD相似？请说明理由． 分析：因为矩形每个角都为90°，所以判断矩形A′B′C′D′和矩形ABCD 是否相似关键在它们的长和宽之比是否相等．灵活应用相似与位似的性质． 例3．如图所示，一段街道的两边缘所在直线分别为AB、PQ，并且AB∥PQ，建筑物的一端DE所在的直线MN⊥AB于点M，交PQ于点N，小亮从胜利街的A处，•沿着AB方向前进，小明一直站在点P的位置等候小亮． （1）请你在图中画出小亮恰好能看见小明时的视线，以及此时小亮所在的位置（•用点C标出）； （2）已知：MN=20m，MD=8m，PN=24m．求（1）中的点C到胜利街口的距离CM．

数学建模期末考试监考安排

论文题目期末考试监考安排 摘要 本文针对监考安排问题，设置一般假设、确定约束条件，建立了非线性规划模型和整数规划模型，并且结合人工排考，进一步优化排考问题。本文从时间安排，考场安排、监考安排三个方面建立数学模型，分别解决了考试时间，考场，考试专业以及监考教师安排的问题。 针对问题一、二，在假设具有同一门课程的专业同时考试的前提下（各课程考试人数见表二），用枚举法列举所有合理的考试时间模式（模式表见表一），采用非线性规划确定采用的考试模式。在假设仅安排无限制的教师监考的前提下，建立考场安排与监考教师安排模型。再结合人工排考将具有特殊情况的教师安排考试，求出最短考试时间为2天，并 1. 有 件1 周一至周日都可安排考试。 2.问题 在合考与不能合考两种情况下，求出考完所有课程的最短时间，各种情况下的教师被安排的监考场数应尽量平均，并分别做出期末考试的考场安排表。 为了便于学生的期末复习，规定每个专业一天只能考试一门课程，并且老师一天最多监考2场，2场考试不能在同一时间段，其他条件不变，求出期末考试的最短时间，并做出期末考试的考场安排表。 此外，结合所得知识给学校教务人员安排监考给予建议。 二问题分析 首先，应当确定针对每个考场每天的考试时间段可行的组合模式，即在上午、下午、晚上各个考试时间段中，可以安排60min,90min,120min，3种情况的组合。其次考虑合理

的组合模式，合理的考试时间组合模式是在每个考试时间段中剩余的时间，不应超过或等于每场考试的时间。因而通过枚举法得出18种组合模式，如表一所示。从而求出采取某种模式以及其采用天数，由此可确定考试时间段。 监考教师的安排属于任务分配问题。受监考教师限制，每场考试至多采用40个考场考试，因此对于问题二在允许合考的情况下，应充分利用考场(存在两个D10-D50，一个D16-D50，其余全为D20-D50),从而减短考试时间。 对于问题三，假设有最多门考试课程的专业每天都能考一门，若每场考试采用30个考场，则每场考试的最大考场容量可为1500人。符合若每天在两个时间段共进行两场考试，所有专业考生人数不超过其考场总容量。因此，我们得出至多有12个时间段，建立模型求解后再结合人工排考优化考场安排。 三 模型假设 1.2.3.b c d i ：d P tb B b R i x id y 0T atd h td z tbd y cb A T 1.用i x 表示采用第i 种考试模式（i =1,2，…，18）所用的天数，i x 是非负整数。由此以采用某些合理考试模式所需的考试天数最少为目标，得到目标函数： 18 1min i i z x ==∑，i x N ∈ 由于无特殊情况的监考教师为60人，因此我们假设给定的考场数量为30个，为使考场容量最大化，假设采用考场D21-D50，每场考试所有考场可容纳1500人考试。为满足60min,90min,120min 各个考试时间段的考试人数要求，即考试人数不超过考场容量，有以下约束条件： 1)采取某些合理考试模式下，参加考试时间为60min 科目考试总人数不应超过考场容量：

第8章数学建模活动(一)基础测试-【新教材】北师大版(2019)高中数学必修第一册期末复习

北师大新版数学必修第一册第八章数学建模活动（一）基础测试题 一、单选题 1．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车,利润（单位：万元）分别为L1=5.06x－0.15 x 2和L2=2x，其中x为销售量（单位：辆）.若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为 A．45.606 B．45.6 C．45.56 D．45.51 2．一种产品的成本是a元．今后m（m∈N*）年内，计划使成本平均每年比上一年降低p%，成本y是经过年数x的函数（0