大一高数复习资料【全】
高等数学（本科少学时类型）
第一章 函数与极限
第一节 函数
○函数基础（高中函数部分相关知识）（★★★） ○邻域（去心邻域）（★）
(){}
,|U a x x a δδ=-<
(){},|0U a x x a δδ=<-<
第二节 数列的极限
○数列极限的证明（★）
【题型示例】已知数列{}n x ，证明{}lim n x x a →∞
=
【证明示例】N -ε语言
1．由n x a ε-<化简得()εg n >， ∴()N g ε=????
2．即对0>?ε，()N g ε?=????。当N n >时，始终有不等式n x a ε-<成立， ∴{}a x n x =∞
→lim
第三节 函数的极限
○0x x →时函数极限的证明（★）
【题型示例】已知函数()x f ，证明()A x f x x =→0
lim
【证明示例】δε-语言
1．由()f x A ε-<化简得()00x x g ε<-<， ∴()εδg =
2．即对0>?ε，()εδg =?，当00x x δ<-<时，始终有不等式()f x A ε-<成立， ∴()A x f x x =→0
lim
○∞→x 时函数极限的证明（★）
【题型示例】已知函数()x f ，证明()A x f x =∞
→lim
【证明示例】X -ε语言
1．由()f x A ε-<化简得()x g ε>， ∴()εg X =
2．即对0>?ε，()εg X =?，当X x >时，始终有不等式()f x A ε-<成立， ∴()A x f x =∞
→lim
第四节 无穷小与无穷大
○无穷小与无穷大的本质（★） 函数()x f 无穷小?()0lim =x f 函数()x f 无穷大?()∞=x f lim
○无穷小与无穷大的相关定理与推论（★★）
（定理三）假设()x f 为有界函数，()x g 为无穷小，则()()lim 0f x g x ?=????
（定理四）在自变量的某个变化过程中，若()x f 为无穷大，则()1f x -为无穷小；反之，若()x f 为无穷小，且()0f x ≠，则()x f 1-为无穷大 【题型示例】计算：()()0
lim x x f x g x →?????（或∞→x ）
1．∵()f x ≤M ∴函数()f x 在0x x =的任一去心邻域()δ,0x U
内是有界的；
（∵()f x ≤M ，∴函数()f x 在D x ∈上有界；） 2．()0lim 0
=→x g x x 即函数()x g 是0x x →时的无穷小； （()0lim =∞
→x g x 即函数()x g 是∞→x 时的无穷小；）
3．由定理可知()()0
lim 0x x f x g x →?=????
（()()lim 0x f x g x →∞
?=????）
第五节 极限运算法则
○极限的四则运算法则（★★） （定理一）加减法则 （定理二）乘除法则
关于多项式()p x 、()x q 商式的极限运算
设：()()?????+?++=+?++=--n
n n m
m m b x b x b x q a x a x a x p 1
101
10 则有()()???????∞=∞→0
lim
b a x q x p x m n m n m n >=< ()()()
()000lim 0
0x x f x g x f x g x →??
??
=∞
?????
()()()()()0000000,00g x g x f x g x f x ≠=≠== （特别地，当()()00
lim 0
x x f x g x →=（不定型）时，通常分
子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极限值，也可以用罗比达法则求解）
【题型示例】求值23
3
lim
9
x x x →--
【求解示例】解：因为3→x ，从而可得3≠x ，所以原
式()()23333311
lim
lim lim 93336
x x x x x x x x x →→→--====
-+-+ 其中3x =为函数()23
9
x f x x -=-的可去间断点
倘若运用罗比达法则求解（详见第三章第二节）：
解：()()00
2
33323311
lim lim lim 926
9x L x x x x x x x '→→→'--===-'
- ○连续函数穿越定理（复合函数的极限求解）（★★） （定理五）若函数()x f 是定义域上的连续函数，那
么，()()00lim lim x x x x f x f x ??→→??=????????
【题型示例】求值：9
3
lim
23
--→x x x
【求解示例】3
x →==
第六节 极限存在准则及两个重要极限
○夹迫准则（P53）（★★★） 第一个重要极限：1sin lim 0=→x
x
x
∵??
?
??∈?2,
0πx ，x x x tan sin <<∴1sin lim 0=→x x x 0
000lim11lim lim 1sin sin sin lim x x x x x x x x x x →→→→===??
???
（特别地，000
sin()
lim 1x x x x x x →-=-）
○单调有界收敛准则（P57）（★★★）
第二个重要极限：e x x
x =??
?
??+∞
→11lim
（一般地，()()
()()
lim lim lim g x g x f x f x =????????
，其中
()0lim >x f ）
【题型示例】求值：1
1232lim +∞→??
? ??++x x x x
【求解示例】
()()
21
1
1
212
1212
2121
1221
22121lim
212
21232122lim lim lim 121212122lim 1lim 121212lim 121x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +++→∞→∞
+→∞
?++++??+++→∞
+→∞++→∞+++??
??
?
?==+ ? ? ?+++??
??
??
???
???
??=+=+ ? ???
++??
?????
??
???=+
???+????
解：()()12lim 121
21212
121
22lim 121x x x x x x x x x e
e e e
+→∞???+??
+??+→∞+→∞??
?+??
+??
+??
?
+?
?
====
第七节 无穷小量的阶（无穷小的比较） ○等价无穷小（★★）
1．()~sin ~tan ~arcsin ~arctan ~ln(1)~1U
U U U U U U e +- 2．U U cos 1~2
1
2
-
（乘除可替，加减不行）
【题型示例】求值：()()x
x x x x x 31ln 1ln lim 20++++→ 【求解示例】
()()()()()()()3131lim 31lim 31ln 1lim 31ln 1ln lim ,0,000020=++=+?+=++?+=++++=≠→→→→→x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 所以原式即解：因为
第八节 函数的连续性 ○函数连续的定义（★）
()()()00
0lim lim x x x x f x f x f x -
+→→==
○间断点的分类（P67）（★）
??
?∞?
???
?）无穷间断点（极限为
第二类间断点可去间断点（相等）
跳越间断点（不等）
限存在）第一类间断点（左右极（特别地，可去间断点能在分式中约去相应公因式）
【题型示例】设函数()?
??+=x a e x f x 2 ，00
≥ 择数a ，使得()x f 成为在R 上的连续函数？ 【求解示例】 1．∵()()()2010000f e e e f a a f a - -?++?===? ?=+=?? =?? 2．由连续函数定义()()()e f x f x f x x ===+ -→→0lim lim 0 ∴e a = 第九节 闭区间上连续函数的性质 ○零点定理（★） 【题型示例】证明：方程()()f x g x C =+至少有一个根介于a 与b 之间 【证明示例】 1．（建立辅助函数）函数()()()x f x g x C ?=--在闭区间[],a b 上连续； 2．∵()()0a b ???<（端点异号） 3．∴由零点定理，在开区间()b a ,内至少有一点ξ，使得()0=ξ?，即()()0f g C ξξ--=（10<<ξ） 4．这等式说明方程()()f x g x C =+在开区间()b a ,内至少有一个根ξ 第二章 导数与微分 第一节 导数概念 ○高等数学中导数的定义及几何意义（P83）（★★） 【题型示例】已知函数()???++=b ax e x f x 1 ，00 >≤x x 在0 =x 处可导，求a ，b 【求解示例】 1．∵()()0 010f e f a -+'?==??'=??，()()()00001120012f e e f b f e - -+?=+=+=??=? ? =+=?? 2．由函数可导定义()()()() ()001 0002 f f a f f f b -+-+ ''===???====?? ∴1,2a b == 【题型示例】求()x f y =在a x =处的切线与法线方程 （或：过()x f y =图像上点(),a f a ????处的切线与法线方程） 【求解示例】 1．()x f y '='，()a f y a x '='=| 2．切线方程：()()()y f a f a x a '-=- 法线方程：()() ()1 y f a x a f a -=- -' 第二节 函数的和（差）、积与商的求导法则 ○函数和（差）、积与商的求导法则（★★★） 1．线性组合（定理一）：()u v u v αβαβ'''±=+ 特别地，当1==βα时，有()u v u v '''±=± 2．函数积的求导法则（定理二）：()uv u v uv '''=+ 3．函数商的求导法则（定理三）：2 u u v uv v v ' '' -??= ??? 第三节 反函数和复合函数的求导法则 ○反函数的求导法则（★） 【题型示例】求函数()x f 1-的导数 【求解示例】由题可得()x f 为直接函数，其在定于域D 上单调、可导，且()0≠'x f ；∴()() 1 1 f x f x -' ??= ??' ○复合函数的求导法则（★★★） 【题型示例】设( ln y e =，求y ' 【求解示例】 ( 22 arcsi y e x a e e e ' '= ' ? ? ' ?+= ??? ? = ?? = 解：? ? 第四节 高阶导数 ○() ()() ()1n n f x f x -'??=??（或()()11n n n n d y d y dx dx --'??=???? ）（★） 【题型示例】求函数()x y +=1ln 的n 阶导数 【求解示例】()1 111y x x -'= =++， ()()()12 111y x x --'??''=+=-?+?? ， ()()()()()23 11121y x x --'??'''=-?+=-?-?+?? …… ()1(1)(1)(1)n n n y n x --=-?-?+！ 第五节 隐函数及参数方程型函数的导数 ○隐函数的求导（等式两边对x 求导）（★★★） 【题型示例】试求：方程y e x y +=所给定的曲线C ： ()x y y =在点()1,1e -的切线方程与法线方程 【求解示例】由y e x y +=两边对x 求导 即()y y x e ' ''=+化简得1y y e y ''=+? ∴e e y -=-= '11 111 ∴切线方程：()e x e y +--= -111 1 法线方程：()()e x e y +---=-111 ○参数方程型函数的求导 【题型示例】设参数方程()() ?? ?==t y t x γ?，求22 dx y d 【求解示例】1.()()t t dx dy ?γ''= 2.()22dy d y dx dx t ?'?? ???=' 第六节 变化率问题举例及相关变化率（不作要求） 第七节 函数的微分 ○基本初等函数微分公式与微分运算法则（★★★） ()dx x f dy ?'= 第三章 中值定理与导数的应用 第一节 中值定理 ○引理（费马引理）（★） ○罗尔定理（★★★） 【题型示例】现假设函数()f x 在[]0,π上连续，在()0,π 上可导，试证明：()0,ξπ?∈， 使得()()cos sin 0f f ξξξξ'+=成立 【证明示例】 1．（建立辅助函数）令()()sin x f x x ?= 显然函数()x ?在闭区间[]0,π上连续，在开区间 ()0,π上可导； 2．又∵()()00sin00f ?== ()()sin 0f ?πππ== 即()()00??π== 3．∴由罗尔定理知 ()0,ξπ?∈，使得()()cos sin 0f f ξξξξ'+=成立 ○拉格朗日中值定理（★） 【题型示例】证明不等式：当1x >时，x e e x >? 【证明示例】 1．（建立辅助函数）令函数()x f x e =，则对1x ?>， 显然函数()f x 在闭区间[]1,x 上连续，在开区间 ()1,x 上可导，并且()x f x e '=； 2．由拉格朗日中值定理可得，[]1,x ξ?∈使得等式 ()11x e e x e ξ -=-成立， 又∵1 e e ξ>，∴()11 1x e e x e e x e ->-=?-， 化简得x e e x >?，即证得：当1x >时，x e e x >? 【题型示例】证明不等式：当0x >时，()ln 1x x +< 【证明示例】 1．（建立辅助函数）令函数()()ln 1f x x =+，则对 0x ?>，函数()f x 在闭区间[]0,x 上连续，在开区 间()0,π上可导，并且()1 1f x x '= +； 2．由拉格朗日中值定理可得，[]0,x ξ?∈使得等式 ()()()1 ln 1ln 1001x x ξ +-+= -+成立， 化简得()1 ln 11x x ξ +=+，又∵[]0,x ξ∈， ∴()1 11f ξξ '= <+，∴()ln 11x x x +时，x e e x >? 第二节 罗比达法则 ○运用罗比达法则进行极限运算的基本步骤（★★） 1．☆ 等价无穷小的替换（以简化运算） 2．判断极限不定型的所属类型及是否满足运用罗比达法则的三个前提条件 A ．属于两大基本不定型（ 0,0∞ ∞ ）且满足条件， 则进行运算：()()() () lim lim x a x a f x f x g x g x →→'=' （再进行1、2步骤，反复直到结果得出） B ．☆ 不属于两大基本不定型（转化为基本不定型） ⑴0?∞型（转乘为除，构造分式） 【题型示例】求值：0 lim ln x x x α →? 【求解示例】 ()10 00 020 1ln ln lim ln lim lim lim 111 lim 0 x x L x x x x x x x x x x x x x a ααα α ααα∞∞ -'→→→→→' ?===?'??- ??? =-=解： （一般地，()0 lim ln 0x x x β α →?=，其中,R αβ∈） ⑵∞-∞型（通分构造分式，观察分母） 【题型示例】求值：01 1lim sin x x x →??- ?? ? 【求解示例】 200011sin sin lim lim lim sin sin x x x x x x x x x x x x →→→--??????-== ? ? ??? ?????解： ()()()()00 0002 sin 1cos 1cos sin lim lim lim lim 022 2L x x L x x x x x x x x x x ''→→→→' '---=====' ' ⑶0 0型（对数求极限法） 【题型示例】求值：0 lim x x x → 【求解示例】 ()()0000 lim ln ln 000002ln ,ln ln ln 1ln ln 0lim ln lim lim 111 lim lim 0lim lim 11x x x x x L x y y x x x x x y x y x x x x x x x y x x x x y e e e x →∞ ∞ '→→→→→→→==== '→=='?? ??? ==-=====-解：设两边取对数得：对对数取时的极限：，从而有 ⑷1∞ 型（对数求极限法） 【题型示例】求值：()10 lim cos sin x x x x →+ 【求解示例】 ()() () ()() 1 000 000lim ln ln 10 ln cos sin cos sin ,ln , ln cos sin ln 0lim ln lim ln cos sin cos sin 10lim lim 1,cos sin 10lim =lim x x x x L x x y y x x x x y x x y x x x y x y x x x x x x x x y e e e e →→→'→→→→+=+= +→='+??--??====++'===解：令两边取对数得对求时的极限，从而可得 ⑸0 ∞型（对数求极限法） 【题型示例】求值：tan 01lim x x x →?? ??? 【求解示例】 ()()tan 00 20002 22 0011,ln tan ln , 1ln 0lim ln lim tan ln 1ln ln lim lim lim 1sec 1tan tan tan sin sin lim lim li x x x x L x x x L x y y x x x y x y x x x x x x x x x x x x x →→∞ ∞ '→→→'→→?? ?? ==? ? ??? ?? ?? ??→=? ??? ????'=-=-=-??'??- ? ?????'==='解：令两边取对数得对求时的极限，0 0lim ln ln 00 2sin cos m 0,1 lim =lim 1 x x y y x x x x y e e e →→→→?====从而可得 ○运用罗比达法则进行极限运算的基本思路（★★） 00001∞??∞-∞??→←???∞←???∞?∞?∞ (1)(2)(3) ⑴通分获得分式（通常伴有等价无穷小的替换） ⑵取倒数获得分式（将乘积形式转化为分式形式） ⑶取对数获得乘积式（通过对数运算将指数提前） 第三节 泰勒中值定理（不作要求） 第四节 函数的单调性和曲线的凹凸性 ○连续函数单调性（单调区间）（★★★） 【题型示例】试确定函数()3229123f x x x x =-+-的单调区间 【求解示例】 1．∵函数()f x 在其定义域R 上连续，且可导 ∴()2 61812f x x x '=-+ 2．令()()()6 120f x x x '=--=，解得：121,2x x == 4．∴函数f x 的单调递增区间为,1,2,-∞+∞； 单调递减区间为()1,2 【题型示例】证明：当0x >时，1x e x >+ 【证明示例】 1．（构建辅助函数）设()1x x e x ?=--，（0x >） 2．()10x x e ?'=->，（0x >） ∴()()00x ??>= 3．既证：当0x >时，1x e x >+ 【题型示例】证明：当0x >时，()ln 1x x +< 【证明示例】 1．（构建辅助函数）设()()ln 1x x x ?=+-，（0x >） 2．()1 101x x ?'= -<+，（0x >） ∴()()00x ??<= 3．既证：当0x >时，()ln 1x x +< ○连续函数凹凸性（★★★） 【题型示例】试讨论函数2 3 13y x x =+-的单调性、极值、 凹凸性及拐点 【证明示例】 1．()()2 36326661y x x x x y x x '?=-+=--? ?''=-+=--?? 2．令()()320 610 y x x y x '=--=???''=--=??解得：120,21x x x ==??=? 4．⑴函数13y x x =+-单调递增区间为(0,1),(1,2) 单调递增区间为(,0)-∞,(2,)+∞； ⑵函数2313y x x =+-的极小值在0x =时取到， 为()01f =， 极大值在2x =时取到，为()25f =； ⑶函数23 13y x x =+-在区间(,0)-∞,(0,1)上凹， 在区间(1,2),(2,)+∞上凸； ⑷函数2313y x x =+-的拐点坐标为()1,3 第五节 函数的极值和最大、最小值 ○函数的极值与最值的关系（★★★） ⑴设函数()f x 的定义域为D ，如果M x ?的某个邻域()M U x D ?，使得对()M x U x ?∈ ，都适合不等式()()M f x f x <， 我们则称函数()f x 在点(),M M x f x ????处有极大值()M f x ； 令{}123,,,...,M M M M Mn x x x x x ∈ 则函数()f x 在闭区间[],a b 上的最大值M 满足： ()(){}123max ,,,,...,,M M M Mn M f a x x x x f b =； ⑵设函数()f x 的定义域为D ，如果m x ?的某个邻域 ()m U x D ?，使得对()m x U x ?∈ ，都适合不等 式 ()()m f x f x >， 我们则称函数()f x 在点(),m m x f x ????处有极小值 ()m f x ； 令{}123,,,...,m m m m mn x x x x x ∈ 则函数()f x 在闭区间[],a b 上的最小值m 满足： ()(){}123min ,,,,...,,m m m mn m f a x x x x f b =； 【题型示例】求函数()3 3f x x x =-在[]1,3-上的最值 【求解示例】 1．∵函数()f x 在其定义域[]1,3-上连续，且可导 ∴()233f x x '=-+ 2．令()()()3110f x x x '=--+=， 解得：121,1x x =-= 4．又∵12,12,318f f f -=-==- ∴()()()()max min 12,318f x f f x f ====- 第六节 函数图形的描绘（不作要求） 第七节 曲率（不作要求） 第八节 方程的近似解（不作要求） 第四章 不定积分 第一节 不定积分的概念与性质 ○原函数与不定积分的概念（★★） ⑴原函数的概念： 假设在定义区间I 上，可导函数()F x 的导函数为()F x '，即当自变量x I ∈时，有()()F x f x '=或 ()()dF x f x dx =?成立，则称()F x 为()f x 的一 个原函数 ⑵原函数存在定理：（★★） 如果函数()f x 在定义区间I 上连续，则在I 上必存在可导函数()F x 使得()()F x f x '=，也就是说：连续函数一定存在原函数（可导必连续） ⑶不定积分的概念（★★） 在定义区间I 上，函数()f x 的带有任意常数项 C 的原函数称为()f x 在定义区间I 上的不定积分， 即表示为：()()f x dx F x C =+? （ ? 称为积分号，()f x 称为被积函数，()f x dx 称 为积分表达式，x 则称为积分变量） ○基本积分表（★★★） ○不定积分的线性性质（分项积分公式）（★★★） ()()()()1 2 1 2 k f x k g x dx k f x dx k g x dx +=+? ?????? 第二节 换元积分法 ○第一类换元法（凑微分）（★★★） （()dx x f dy ?'=的逆向应用） ()()()()f x x dx f x d x ????'?=?? ????????????? 【题型示例】求221 dx a x +? 【求解示例】 221 111 1 arctan 11x x dx dx d C a x a a a a x x a a ??== =+ ?+??????++ ? ??? ?? ?? ? 解： 【题型示例】求 【求解示例】 ( )( )121212x x C =+=+= ○第二类换元法（去根式）（★★） （()dx x f dy ?'=的正向应用） ⑴对于一次根式（0,a b R ≠∈）： t =，于是2t b x a -=， 则原式可化为t ⑵对于根号下平方和的形式（0a >）： tan x a t =（22 t ππ -<<） ， 于是arctan x t a =，则原式可化为sec a t ； ⑶对于根号下平方差的形式（0a >）： a sin x a t =（22 t ππ -<<）， 于是arcsin x t a =，则原式可化为cos a t ； b sec x a t =（02 t π <<）， 于是arccos a t x =，则原式可化为tan a t ； 【题型示例】求（一次根式） 【求解示例】 2221t x t dx tdt tdt dt t C C t =-=?==+=?? 【题型示例】求（三角换元） 【求解示例】 ()()2 sin () 2 2 22arcsin cos 22cos 1cos 22 1sin 2sin cos 222x a t t x t a dx a t a a tdt t dt a a t t C t t t C π π =-<<==??????→=+?? =++=++ ????? 第三节 分部积分法 ○分部积分法（★★） ⑴设函数()u f x =，()v g x =具有连续导数，则其 分部积分公式可表示为：udv uv vdu =-?? ⑵分部积分法函数排序次序：“反、对、幂、三、指” ○运用分部积分法计算不定积分的基本步骤： ⑴遵照分部积分法函数排序次序对被积函数排序； ⑵就近凑微分：（v dx dv '?=） ⑶使用分部积分公式：udv uv vdu =-?? ⑷展开尾项vdu v u dx '=??? ，判断 a ．若v u dx '?? 是容易求解的不定积分，则直接计 算出答案（容易表示使用基本积分表、换元法 与有理函数积分可以轻易求解出结果）； b ．若v u dx '?? 依旧是相当复杂，无法通过a 中方 法求解的不定积分，则重复⑵、⑶，直至出现容易求解的不定积分；若重复过程中出现循环，则联立方程求解，但是最后要注意添上常数C 【题型示例】求2 x e x dx ?? 【求解示例】 () ()22222 2222222222x x x x x x x x x x x x x x x e x dx x e dx x de x e e d x x e x e dx x e x d e x e xe e dx x e xe e C ?===-=-?=-?=-+=-++???????解： 【题型示例】求sin x e xdx ?? 【求解示例】 ()() ()() sin cos cos cos cos cos cos sin cos sin sin cos sin sin x x x x x x x x x x x x x x e xdx e d x e x xd e e x e xdx e x e d x e x e x xd e e x e x e xdx ?=-=-+=-+=-+=-+-=-+-???????解： ()sin cos sin sin x x x x e xdx e x e x xd e ?=-+-?? 即： ∴()1sin sin cos 2 x x e xdx e x x C ?= -+? 第四节 有理函数的不定积分 ○有理函数（★） 设：()()()()1011 01m m m n n n P x p x a x a x a Q x q x b x b x b --=++?+==++?+ 对于有理函数 () () P x Q x ，当()P x 的次数小于()Q x 的次数时，有理函数 () () P x Q x 是真分式；当()P x 的次数 大于()Q x 的次数时，有理函数() () P x Q x 是假分式 ○有理函数（真分式）不定积分的求解思路（★） ⑴将有理函数() () P x Q x 的分母()Q x 分拆成两个没有 公因式的多项式的乘积：其中一个多项式可以表示为一次因式()k x a -；而另一个多项式可以表示为二次质因式( ) 2 l x px q ++，（240p q -<）； 即：()()()12Q x Q x Q x =? 一般地：n mx n m x m ?? +=+ ?? ? ，则参数n a m =- 2 2b c ax bx c a x x a a ??++=++ ?? ? 则参数,b c p q a a == ⑵则设有理函数 () () P x Q x 的分拆和式为： ()()()()()()122k l P x P x P x Q x x a x px q =+-++ 其中 () ()()() 112 2...k k k P x A A A x a x a x a x a = +++---- () () ()() 21122 2 22 22...l l l l P x M x N M x N x px q x px q x px q M x N x px q ++=+ +++++++++ ++ 参数12 1212,,...,,,,...,l k l M M M A A A N N N ?????? ???由待定系数法（比较法）求出 ⑶得到分拆式后分项积分即可求解 【题型示例】求2 1 x dx x +?（构造法） 【求解示例】 ()()()2 21111111111 ln 112 x x x x dx dx x dx x x x xdx dx dx x x x C x +-++??==-+ ?+++? ?=-+=-++++?????? 第五节 积分表的使用（不作要求） 第五章 定积分极其应用 第一节 定积分的概念与性质 ○定积分的定义（★） ()()0 1 lim n b i i a i f x dx f x I λ ξ→==?=∑? （()f x 称为被积函数，()f x dx 称为被积表达式，x 则称为积分变量，a 称为积分下限， b 称为积分上限，[],a b 称为积分区间） ○定积分的性质（★★★） ⑴ ()()b b a a f x dx f u du =? ? ⑵()0a a f x dx =? ⑶()()b b a a kf x dx k f x dx =?????? ⑷（线性性质） ()()()()1212b b b a a a k f x k g x dx k f x dx k g x dx +=+? ?????? ⑸（积分区间的可加性） ()()()b c b a a c f x dx f x dx f x dx =+? ?? ⑹若函数()f x 在积分区间[],a b 上满足()0f x >，则 ()0b a f x dx >?； （推论一） 若函数()f x 、函数()g x 在积分区间[],a b 上满 足()()f x g x ≤，则 ()()b b a a f x dx g x dx ≤??； （推论二）()()b b a a f x dx f x dx ≤?? ○积分中值定理（不作要求） 第二节 微积分基本公式 ○牛顿-莱布尼兹公式（★★★） （定理三）若果函数()F x 是连续函数()f x 在区间 [],a b 上的一个原函数，则 ()()()b a f x dx F b F a =-? ○变限积分的导数公式（★★★）（上上导―下下导） ()()() ()()()()x x d f t dt f x x f x x dx ?ψ??ψψ''=-????????? 【题型示例】求2 1 cos 2 lim t x x e dt x -→? 【求解示例】 () 2 2 11 cos cos 2002lim lim 解：t t x x x L x d e dt e dt dx x x --'→→='?? () () ()()22 22221 cos cos 000cos 0 cos cos 0 cos 010sin sin lim lim 22sin lim 2cos sin 2sin cos lim 2 1lim sin cos 2sin cos 21122x x x x x L x x x x x x e e x x e x x d x e dx x x e x e x x e x x x x e e ---→→-'→--→-→-?-?-?==?=' ?+??=??=+???=?= 第三节 定积分的换元法及分部积分法 ○定积分的换元法（★★★） ⑴（第一换元法） ()()()()b b a a f x x dx f x d x ????'?=?????????????? ? 【题型示例】求201 21 dx x +? 【求解示例】 ()[]2 220001111 21ln 212122121ln 5ln 5ln122 解：dx d x x x x =+=?+?? ?++=-=? ? ⑵（第二换元法） 设函数()[],f x C a b ∈，函数()x t ?=满足： a ．,αβ?，使得()(),a b ?α?β==； b ．在区间[],αβ或[],βα上，()(),f t t ??'????连续 则： ()()()b a f x dx f t t dt β α ??'=?????? 【题型示例】求4 ? 【求解示例】 ()221 0,43 22 0,1014,3 3 2332311132213111332223522933 解：t t x x t x t t dx t t t dt t dt t x t =-====+??????→+??=??=+=+ ???=-= ???? ⑶（分部积分法） ()()()()()()()()()()()() b b a a b b b a a a u x v x dx u x v x v x u x dx u x dv x u x v x v x du x ''=-=-? ???? ??? ○偶倍奇零（★★） 设()[],f x C a a ∈-，则有以下结论成立： ⑴若()()f x f x -=，则 ()()0 2a a a f x dx f x dx -=? ? ⑵若()()f x f x -=-，则 ()0a a f x dx -=? 第四节 定积分在几何上的应用（暂时不作要求） 第五节 定积分在物理上的应用（暂时不作要求） 第六节 反常积分（不作要求） 如：不定积分公式 21 arctan 1dx x C x =++?的证明。很 多同学上课时无法证明，那么在学期结束时，我给出这样一种证明方法以说明问题： ()tan 22arctan 222 22211tan 11tan 111cos sec cos cos arctan x t t t x dx t dt x t dt t dt dt t t t t C x C π π?? =-<< ???='??????→??++=??=??==+=+????? 如此，不定积分公式2 2 11arctan x dx C a x a a =++?也就很容易证明了，希望大家仔细揣摩，认真理解。 最后，限于编者水平的限制，资料中错误和疏漏在所难免，希望同学们积极指出，以便互相学习改进。 大学的考试比较简单，主要以书本为主，下面的复习指导可作提引作用。 10—11学年第一学期“微积分”期末复习指导 第一章 函数 一．本章重点 复合函数及分解，初等函数的概念。 二．复习要求 1、 能熟练地求函数定义域；会求函数的值域。 2、理解函数的简单性质，知道它们的几何特点。 3、 牢记常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等六类基本初等函数的表达式，知道它们的定义域、值域、性质及图形特点。其中 ⑴. 对于对数函数ln y x =不仅要熟记它的运 算性质，还能熟练应用它与指数函数 x y e =互为反函数的关系，能熟练将幂指函数作如下代数运算： ln v u v u e = ⑵.对于常用的四个反三角函数，不仅要熟习它们的定义域、值域及简单性质，还要熟记它们在特殊点的函数值. 4、 掌握复合函数，初等函数的概念，能熟练地分解复合函数为简单函数的组合。 5、 知道分段函数，隐函数的概念。 . 三．例题选解 例1. 试分析下列函数为哪几个简单函数（基本初等函或基本初等函数的线性函数）复合而成的？ ⑴.2 sin x y e = ⑵.2 1 arctan( )1y x =+ 分析：分解一个复合函数的复合过程应由外层向里层进行，每一步的中间变量都必须是基本初等函数或其线性函数（即简单函数）。 解： ⑴.2,,sin u y e u v v x ===⑵.21 arctan ,, 1.y u u v x v == =+ 例 2. cot y arc x =的定义域、值域各是什么？cot1arc ＝？ 答： cot y arc x = 是cot ,(0,)y x x π=∈ 的反函数，根据反函数的定义域是原来函数的值域，反函数的值域是原来函数的定义域，可知cot y arc x =的定义域是 (,)f D =-∞+∞，值域为(0,)f Z π=. cot14 arc π = 四．练习题及参考答案 1. ()arctan f x x = 则f (x )定义域为 ，值域为 f (1) = ；(0)f = . 2.()arcsin f x x = 则f (x )定义域为 ，值域为 f (1) = ；f = . 3.分解下列函数为简单函数的复合： ⑴.3x y e -= ⑵.3 ln(1)y x =- 答案： 1.（-∞ +∞）, (, )2 2 π π - , ,04 π 大一第二学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-= x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无 穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ， 则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. = +→x x x sin 2 ) 31(lim . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =??x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 8. = -+? 2 1 2 12 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求 11. ． 求，， 设?--??? ??≤<-≤=1 32 )(1020)(dx x f x x x x xe x f x 12. 设函数 )(x f 连续， =?1 ()()g x f xt dt ，且 →=0 () lim x f x A x ，A 为常数. 求'() g x 高等数学（通用复习） 师兄的忠告：记住我们只复习重点，不需要学得太多，这些是每年必须的重点，希望注意 第一章 函数与极限 函数 ○函数基础（高中函数部分相关知识）（★★★） ○邻域（去心邻域）（★） (){},|U a x x a δ δ=-< (U a 1．由n x ∴N 2．即对?∴x ∞ →lim ○x →1．由(f ∴δ=2．即对?∴x x →0 lim ○→x 1．由(f ∴X 2．即对?∴x ∞ →lim 第三节 无穷小与无穷大 ○无穷小与无穷大的本质（★） 函数()x f 无穷小?()0lim =x f 函数()x f 无穷大?()∞=x f lim ○无穷小与无穷大的相关定理与推论（★★） （定理三）假设()x f 为有界函数，()x g 为无穷小，则()()lim 0f x g x ?=???? （定理四）在自变量的某个变化过程中，若()x f 为无穷大，则()1 f x -为无穷小；反之，若()x f 为无穷小，且 ()0f x ≠，则()x f 1 -为无穷大 【题型示例】计算：()()0 lim x x f x g x →?????（或∞→x ） 1．∵()f x ≤M ∴函数()f x 在0x x =的任一去心邻域()δ,0x U 内是有界的； （∵()f x ≤M ，∴函数()f x 在D x ∈上有界；） 2． →x （→x 3（x →0lim x x → 3 9 x x →-【求解示例】解：因为3→x ，从而可得3≠x ，所以原式()() 2 3 3 3 33 11lim lim lim 9 333 6 x x x x x x x x x →→→--==== -+-+ 其中3x =为函数()2 39 x f x x -= -的可去间断点 倘若运用罗比达法则求解（详见第三章第二节）： 大一高数上复习重点 Prepared on 24 November 2020 高数高数重点 本章公式： 两个重要极限： 常用的8个等价无穷小公式：当x→0时， sinx~x tanx~x arcsinx~x arctanx~x 1-cosx~1/2*（x^2） （e^x）-1~x ln(1+x)~x [(1+x)^1/n]-1~（1/n）*x 二.导数与微分 熟悉函数的可导性与连续性的关系求高阶导数会运用两边同取对数隐函数的显化会求由参数方程确定的函数的导数 三.微分中值定理与导数的应用： 洛必达法则： 利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意： ① 在着手求极限以前，首先要检查是否满足或型，否则滥用洛必达法则会出错.当不存在时（不包括∞情形），就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则失效，应从另外途径求极限 . ② 洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止. ③ 洛必达法则是求未定式极限的有效工具，但是如果仅用洛必达法则，往往计算会十分繁琐，因此一定要与其他方法相结合，比如及时将非零极限的乘积因子分离出来以简化计算、乘积因子用等价量替换等等. 曲线的凹凸性与拐点： 注意：首先看定义域然后判断函数的单调区间 求极值和最值 利用公式判断在指定区间内的凹凸性或者用函数的二阶导数判断（注意二阶导数的符号） 四.不定积分：（要求：将例题重新做一遍） 对原函数的理解 原函数与不定积分 1 基本积分表基本积分表（共24个基本积分公式） 不定积分的性质 2 第一类换元法（凑微分法） 2 第二类换元法（三角代换无理代换倒代换） 3 分部积分法 f(x)中含有 可考虑用代换 高数期末考试 一、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 1. = +→x x x sin 2 ) 31(lim . 2. ,)(cos 的一个原函数是已知x f x x = ??x x x x f d cos )(则 . 3. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 221L n n n n n n π π ππ . 4. = -+? 2 12 12 211 arcsin － dx x x x . 二、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 5. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-= x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 6. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 7. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ， 则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 8. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 9. 设函数)(x f 连续， =?1 ()()g x f xt dt ，且→=0 () lim x f x A x ，A 为常数. 求'() g x 并讨论' ()g x 在=0x 处的连续性. 10. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足 =- 1 (1)9y 的解. 四、 解答题（本大题10分） 大一高等数学复习题(含答案) 复习题 一、 单项选择题： 1、5lg 1)(-=x x f 的定义域是（ D ） A 、()),5(5,+∞∞-Y B 、()),6(6,+∞∞-Y C 、()),4(4,+∞∞-Y D 、())5,4(4,Y ∞-Y ()),6(6,5+∞Y 2、如果函数f(x)的定义域为[1，2]，则函数f(x)+f(x 2)的定义域是（ B ） A 、[1，2] B 、[1，2] C 、] 2,2[- D 、 ]2,1[]1,2[Y -- 3、函数) 1lg()1lg(22x x x x y -++++=( D ) A 、是奇函数，非偶函数 B 、是偶函数， 非奇函数 C 、既非奇函数，又非偶函数 D 、既是奇函数，又是偶函数 解：定义域为R ，且原式=lg(x 2+1-x 2)=lg1=0 4、函数)10(1)(2≤≤--=x x x f 的反函数= -)(1 x f （ C ） A 、2 1x - B 、2 1x -- C 、 )01(12≤≤--x x D 、) 01(12≤≤--- x x 5、下列数列收敛的是（ C ） A 、1 ) 1()(1 +-=+n n n f n B 、 ???? ?-+=为偶数为奇数n n n n n f ,11 ,11 )( C 、 ???? ?+=为偶数为奇数n n n n n f ,1 1,1 )( D 、 ???????-+=为偶数为奇数n n n f n n n n ,2 21,221)( 解：选项A 、B 、D 中的数列奇数项趋向于1，偶数项趋向于-1，选项C 的数列极限为0 6、设1 111.0个n n y Λ=，则当∞→n 时，该数列（ C ） A 、收敛于0.1 B 、收敛于0.2 C 、收敛于 9 1 D 、发散 解：)10 11(91101101101111.02n n n y -=+++= =ΛΛ 7、“f(x)在点x=x 0处有定义”是当x →x 0时f(x)有极限的（ D ） A 、必要条件 B 、充分条件 C 、充分必要条件 D 、无关条件 8、下列极限存在的是（ A ） A 、 2 ) 1(lim x x x x +∞→ B 、121lim -∞ →x x C 、x x e 10 lim → D 、x x x 1lim 2++∞ → 解：A 中原式1)11(lim =+=∞ →x x 9、 x x x x x x sin 2sin 2lim 22+-+∞→=（ A ） 大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ） 时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()() x x αβ与是等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 0=+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. = +→x x x sin 2 ) 31(lim . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞-+++= 2 2 2 21n n n n n n ππ π π . 8. = -+? 2 12 12 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求 大一经典高数复习资料经典最新(经典全面复习) ————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期: ? 高等数学(本科少学时类型) 第一章 函数与极限 第一节 函数 ○函数基础（高中函数部分相关知识）(★★★) ○邻域（去心邻域)(★) (){} ,|U a x x a δδ=-< (){},|0U a x x a δδ=<-< 第二节 数列的极限 ○数列极限的证明（★) 【题型示例】已知数列{}n x ，证明{}lim n x x a →∞ = 【证明示例】N -ε语言 1．由n x a ε-<化简得()εg n >, ∴()N g ε=???? 2.即对0>?ε,()N g ε?=????,当N n >时,始终有不等式n x a ε-<成立， ∴{}a x n x =∞ →lim 第三节 函数的极限 ○0x x →时函数极限的证明（★） 【题型示例】已知函数()x f ，证明()A x f x x =→0 lim 【证明示例】δε-语言 １．由()f x A ε-<化简得()00x x g ε<-<， ∴()εδg = 2．即对0>?ε,()εδg =?,当00x x δ<-<时,始终有不等式()f x A ε-<成立， ∴()A x f x x =→0 lim ○∞→x 时函数极限的证明（★) 【题型示例】已知函数()x f ,证明()A x f x =∞ →lim 【证明示例】X -ε语言 1.由()f x A ε-<化简得()x g ε>, ∴()εg X = ２.即对0>?ε，()εg X =?，当X x >时，始终有不等式()f x A ε-<成立， ∴()A x f x =∞ →lim 第四节 无穷小与无穷大 ○无穷小与无穷大的本质(★） 函数()x f 无穷小?()0lim =x f 函数()x f 无穷大?()∞=x f lim ○无穷小与无穷大的相关定理与推论（★★) (定理三）假设()x f 为有界函数,()x g 为无穷小, 则()()lim 0f x g x ?=???? （定理四)在自变量的某个变化过程中，若()x f 为无穷大,则()1f x -为无穷小;反之，若()x f 为无穷小,且()0f x ≠，则()x f 1 -为无穷大 【题型示例】计算：()()0 lim x x f x g x →?????（或∞→x ） １.∵()f x ≤M ∴函数()f x 在0x x =的任一去心邻域()δ,0x U 内是有界的； (∵()f x ≤M ,∴函数()f x 在D x ∈上有界；） ２．()0lim 0 =→x g x x 即函数()x g 是0x x →时的无穷小; （()0lim =∞→x g x 即函数()x g 是∞→x 时的无穷小；) 3．由定理可知()()0 lim 0x x f x g x →?=???? （()()lim 0x f x g x →∞ ?=????） 第五节 极限运算法则 ○极限的四则运算法则（★★） (定理一）加减法则 (定理二）乘除法则 关于多项式()p x 、()x q 商式的极限运算 设:()()?????+?++=+?++=--n n n m m m b x b x b x q a x a x a x p 1 101 10 则有()()???????∞=∞→0 lim 0 b a x q x p x m n m n m n >=< ()()() ()000lim 0 0x x f x g x f x g x →?? ??=∞????? ()()()()()0000000,00g x g x f x g x f x ≠=≠== (特别地，当()()00 lim 0 x x f x g x →=（不定型）时，通常分子 分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极限值，也可以用罗比达法则求解) 【题型示例】求值2 3 3 lim 9 x x x →-- 大一高等数学期末考试试卷 一、选择题（共12分） 1. （3分）若2,0,(),0 x e x f x a x x ?<=?+>?为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. （3分）已知(3)2,f '=则0(3)(3)lim 2h f h f h →--的值为（ ）. (A)1 (B)3 (C)-1 (D) 12 3. （3 分）定积分22 ππ-?的值为（ ）. (A)0 (B)-2 (C)1 (D)2 4. （3分）若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题（共12分） 1．（3分） 平面上过点(0,1)，且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 . 2. （3分） 1 241(sin )x x x dx -+=? . 3. （3分） 201lim sin x x x →= . 4. （3分） 3223y x x =-的极大值为 . 三、计算题（共42分） 1. （6分）求2 0ln(15)lim .sin 3x x x x →+ 2. （6 分）设2,1 y x =+求.y ' 3. （6分）求不定积分2ln(1).x x dx +? 4. （6分）求3 0(1),f x dx -?其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ?≤?=+??+>? 5. （6分）设函数()y f x =由方程00cos 0y x t e dt tdt +=??所确定,求.dy 6. （6分）设2()sin ,f x dx x C =+?求(23).f x dx +? 7. （6分）求极限3lim 1.2n n n →∞??+ ??? 四、解答题（共28分） 1. （7分）设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x 2. （7分）求由曲线cos 2 2y x x ππ??=-≤≤ ???与x 轴所围成图形绕着x 轴旋转一周所得旋转体的体积. 3. （7分）求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程. 4. （7 分）求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题(6分) 设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明 1()[()()]()()().22b b a a b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''=++--?? 标准答案 一、 1 B; 2 C; 3 D; 4 A. 二、 1 3 1;y x =+ 2 2;3 3 0; 4 0. 三、 1 解 原式2 05lim 3x x x x →?= 5分 53 = 1分 2 解 22ln ln ln(1),12 x y x x ==-++ 2分 2212[]121 x y x x '∴=-++ 4分 复习题 一、 单项选择题： 1、5 lg 1 )(-= x x f 的定义域是（ D ） A 、()),5(5,+∞∞- B 、()),6(6,+∞∞- C 、()),4(4,+∞∞- D 、())5,4(4, ∞- ()),6(6,5+∞ 2、如果函数f(x)的定义域为[1，2]，则函数f(x)+f(x 2)的定义域是（ B ） A 、[1，2] B 、[1，2] C 、]2,2[- D 、]2,1[]1,2[ -- 3、函数)1lg()1lg(22x x x x y -++++=( D ) A 、是奇函数，非偶函数 B 、是偶函数，非奇函数 C 、既非奇函数，又非偶函数 D 、既是奇函数，又是偶函数 解：定义域为R ，且原式=lg(x 2+1-x 2)=lg1=0 4、函数)10(1)(2≤≤--=x x x f 的反函数=-)(1 x f （ C ） A 、21x - B 、21x -- C 、)01(12≤≤--x x D 、)01(12≤≤---x x 5、下列数列收敛的是（ C ） A 、1) 1()(1 +-=+n n n f n B 、?????-+=为偶数为奇数n n n n n f ,11,11 )( C 、?????+=为偶数为奇数n n n n n f ,11,1 )( D 、???????-+=为偶数 为奇数n n n f n n n n ,221,221)( 解：选项A 、B 、D 中的数列奇数项趋向于1，偶数项趋向于-1，选项C 的数列极限为0 6、设1 111.0个n n y =，则当∞→n 时，该数列（ C ） A 、收敛于0.1 B 、收敛于0.2 C 、收敛于 9 1 D 、发散 解：)10 11(91101101101111.02n n n y -=+++= = 7、“f(x)在点x=x 0处有定义”是当x →x 0时f(x)有极限的（ D ） A 、必要条件 B 、充分条件 C 、充分必要条件 D 、无关条件 大一上学期高数期末考试卷 一、单项选择题(本大题有4小题，每小题4分，共16分) 1 (X)= cos x(x + |sinx|),贝= O处有( ) (A) n°)= 2(B)广(°)= 1 (C)广(°)= °(D) /(X)不可导. 设a(x) = |—0(兀)=3-3坂，则当^ —1时( ) 2. 1 + 兀? 9 9 (A) &⑴与0(力是同阶无穷小，但不是等价无穷小；(B) a(“)与仪兀)是 等价无穷小； (C) °(x)是比0(力高阶的无穷小；(D) 0(")是比°(x)高阶的 无穷小. 3. 若F(x)= Jo(力-兀)")力,其中/(兀)在区间上(71)二阶可导且广(小＞0,则(). (A) 函数尸⑴ 必在x = 0处取得极大值； (B) 函数尸⑴必在“ °处取得极小值； (C) 函数F(x)在x = 0处没有极值，但点(0,F(0))为曲线＞'=F(x)的拐点； (D) 函数F(x)在* = °处没有极值，点(°，F(0))也不是曲线〉'=F(x)的拐点。 4 设f(x)是连续函数，-W(x) = x + 2j o* f(t)dt，贝!j f(x)=( ) 十竺+ 2 (A) 2 (B) 2 +(C) —I (D) x + 2. 二、填空题(本大题有4小题，每小题4分，共16分) 5.腳(f ____________________________________ 己知竿是/(X)的一个原函数贝IJ“(x)?竽dx = (? 7C #2兀 2 2龙2刃—1 \ lim —(cos —+ cos ——H ------ cos -------- 兀)= 7. nfg n n n n i x2arcsinx + l , ------ / ——dx = 8. 飞__________________________ . 三、解答题(本大题有5小题，每小题8分，共40分) 9. 设函数尸曲由方程严+sing)"确定，求0(兀)以及以。). 高等数学（本科少学时类型） 第一章 函数与极限 第一节 函数 ○函数基础（高中函数部分相关知识）（★★★） ○邻域（去心邻域）（★） (){} ,|U a x x a δδ=-< (){},|0U a x x a δδ=<- 高等数学上（1） 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ） 时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. = +→x x x sin 2 ) 31(l i m . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞-+++=2 2 221 n n n n n n π π ππ . 8. = -+? 2 12 1 2 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求 11. ． 求，， 设?--?????≤<-≤=1 32 )(1020 )(dx x f x x x x xe x f x ( 大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ） 时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是 等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. … 4. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 5. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 6. , 7. = +→x x x sin 20 ) 31(lim . 8. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 9. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 10. = -+? 2 12 1 2 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 11. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 高等数学I 1. 当0x x →时，()(),x x αβ都是无穷小，则当0x x →时（ D ）不一定是 无穷小. (A) ()()x x βα+ (B) ()()x x 22βα+ (C) [])()(1ln x x βα?+ (D) )() (2x x βα 2. 极限 a x a x a x -→??? ??1sin sin lim 的值是（ C ）. （A ） 1 （B ） e （C ） a e cot （D ） a e tan 3. ??? ??=≠-+=001 sin )(2x a x x e x x f ax 在0x =处连续，则a =（ D ）. （A ） 1 （B ） 0 （C ） e （D ） 1- 4. 设)(x f 在点x a =处可导，那么= --+→h h a f h a f h )2()(lim 0（ A ）. （A ） )(3a f ' （B ） )(2a f ' (C) )(a f ' （D ） ) (31 a f ' 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. 极限) 0(ln )ln(lim 0>-+→a x a a x x 的值是 a 1. 6. 由 x x y e y x 2cos ln =+确定函数y (x )，则导函数='y x xe ye x y x xy xy ln 2sin 2+++- . 7. 直线l 过点M (,,)123且与两平面x y z x y z +-=-+=202356,都平行，则直 线l 的方程为 13 121 1--=--=-z y x . 8. 求函数2 )4ln(2x x y -=的单调递增区间为 （－∞，0）和（1，+∞ ） . 三、解答题（本大题有4小题，每小题8分，共32分） 9. 计算极限10(1)lim x x x e x →+-. 第一章函数与极限 1、函数的有界性：在定义域内有 f(x)≥K1 则函数 f(x)在定义域上有下界，K1 为下界；如果有 f(x)≤K2，则有上界，K2 称为上界。函数 f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。 2、数列的极限定理(极限的唯一性)数列{xn}不能同时收敛于两个不同的极限。定理(收敛数列的有界性)如果数列{xn}收敛，那么数列 {xn}一定有界。如果数列{xn}无界，那么数列{xn}一定发散；但如果数列{xn}有界，却不能断定数列{xn}一定收敛，例如数列 1，-1，1，-1，(-1)n+1…该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。定理(收敛数列与其子数列的关系)如果数列{xn}收敛于 a，那么它的任一子数列也收敛于 a.如那么数列{xn}是发散的，如数列 1， 1， (-1)n+1… -1， -1，果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，中子数列{x2k-1}收敛于 1，{xnk}收敛于-1，{xn}却是发散的；同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。 3、函数的极限函数极限的定义中0而且 A>0(或 A0(或f(x)>0)，反之也成立。函数 f(x)当 x→x0 时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等，即f(x0-0)=f(x0+0)，若不相等则 limf(x)不存在。一般的说，如果 lim(x→∞)f(x)=c，则直线 y=c 是函数 y=f(x) 的图形水平渐近线。如果 lim(x→x0)f(x)=∞，则直线 x=x0 是函数 y=f(x)图形的铅直渐近线。 4、极限运算法则定理有限个无穷小之和也是无穷小；有界函数与无穷小的乘积是无穷小；常数与无穷小的乘积是无穷小；有限个无穷小的乘积也是无穷小；定理如果 F1(x)≥F2(x)，而 limF1(x)=a，limF2(x)=b，那么 a≥b. 5、极限存在准则两个重要极限 lim(x→0)(sinx/x)=1；lim(x→∞)(1+1/x)x=1.夹逼准则如果数列 {xn}、{yn}、{zn}满足下列条件：yn≤xn≤zn 且 limyn=a，limzn=a，那么limxn=a，对于函数该准则也成立。单调有界数列必有极限。 6、函数的连续性设函数 y=f(x)在点 x0 的某一邻域内有定义，如果函数 f(x)当 x→x0 时的极限存在，且等于它在点 x0 处的函数值 f(x0)，即 lim(x→x0)f(x)=f(x0)，那么就称函数 f(x)在点 x0 处连续。 不连续情形：1、在点 x=x0 没有定义；2、虽在 x=x0 有定义但 lim(x→x0)f(x)不存在；3、虽在 x=x0 有定义且lim(x→x0)f(x)存在，但 lim(x→x0)f(x)≠f(x0)时则称函数在 x0 处不连续或间断。如果 x0 是函数 f(x)的间断点，但左极限及右极限都存在，则称 x0 为函数 f(x)的第一类间断点(左非第一类间断点的任何间断点都称为第二右极限相等者称可去间断点，不相等者称为跳跃间断点)。类 大一上学期高数复习要点 同志们，马上就要考试了，考虑到这是你们上大学后的第一个春节，为了不影响阖家团圆的气氛，营造以人文本，积极向上，相互理解的师生关系，减轻大家学习负担，以下帮大家梳理本学期知识脉络，抓住复习重点； 1.主要以教材为主，看教材时，先把教材看完一节就做一节的练习，看完一章后，通过看小结对整一章的内容进行总复习。 2.掌握重点的知识，对于没有要求的部分可以少花时间或放弃，重点掌握要求的内容，大胆放弃老师不做要求的内容。 3.复习自然离不开大量的练习，熟悉公式然后才能熟练任用。结合课后习题要清楚每一道题用了哪些公式。没有用到公式的要死抓定义定理！ 一.函数与极限二.导数与微分三.微分中值定理与导数的应用四.不定积分浏览目录了解真正不熟悉的章节然后有针对的复习。 一函数与极限 熟悉差集对偶律（最好掌握证明过程）邻域（去心邻域）函数有界性的表示方法数列极限与函数极限的区别收敛与函数存在极限等价无穷小与无穷大的转换夹逼准则（重新推导证明过程）熟练运用两个重要极限第二准则会运用等价无穷小快速化简计算了解间断点的分类零点定理 本章公式： 两个重要极限： 二.导数与微分 熟悉函数的可导性与连续性的关系求高阶导数会运用两边同取对数隐函数的显化会求由参数方程确定的函数的导数 洛必达法则： 利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意： ①在着手求极限以前，首先要检查是否满足或型，否则滥用洛必达法则会出错.当不存在时（不包括∞情形），就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则失效，应从另外途径求极限 . ②洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止. ③洛必达法则是求未定式极限的有效工具，但是如果仅用洛必达法则，往往计算会十分繁琐，因此一定要与其他方法相结合，比如及时将非零极限的乘积因子分离出来以简化计算、乘积因子用等价量替换等等. 曲线的凹凸性与拐点： 注意：首先看定义域然后判断函数的单调区间 求极值和最值 利用公式判断在指定区间内的凹凸性或者用函数的二阶导数判断（注意二阶导数的符号） 四.不定积分：（要求：将例题重新做一遍） 对原函数的理解 原函数与不定积分 1 基本积分表基本积分表（共24个基本积分公式） 不定积分的性质 最后达到的效果是会三算两证（求极限，求导数，求积分）（极限和中值定理的证明），一定会取得满意的成绩！ 大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1.. （A）（B）（C）（D）不可导. 2.. （A）是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B）是等价无穷小； （C）是比高阶的无穷小；（D）是比高阶的无穷小. 3.若，其中在区间上二阶可导且，则（）. （A）函数必在处取得极大值； （B）函数必在处取得极小值； （C）函数在处没有极值，但点为曲线的拐点； （D）函数在处没有极值，点也不是曲线的拐点。 4. （A）（B）（C）（D）. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. . 6. . 7. . 8. . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9.设函数由方程确定，求以及. 10. 11. 12.设函数连续，，且，为常数. 求并讨论在处的连续性. 13.求微分方程满足的解. 四、解答题（本大题10分） 14.已知上半平面内一曲线，过点，且曲线上任一点处切线斜率数值上等于此 曲线与轴、轴、直线所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分） 15.过坐标原点作曲线的切线，该切线与曲线及x轴围成平面图形D. (1)求D的面积A；(2) 求D绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积 V. 六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分） 16.设函数在上连续且单调递减，证明对任意的，. 17.设函数在上连续，且，.证明：在内至少存在两个不同的点，使（提示： 设） 解答 一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. . 6.. 7. . 8.. 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9.解：方程两边求导 ， 10.解： 11.解： 12.解：由，知。 ，在处连续。 13.解： ， 四、解答题（本大题10分） 14.解：由已知且， 将此方程关于求导得 特征方程：解出特征根： 其通解为 代入初始条件，得 故所求曲线方程为： 五、解答题（本大题10分） 15.解：（1）根据题意，先设切点为，切线方程： 由于切线过原点，解出，从而切线方程为： 则平面图形面积 （2）三角形绕直线x = e一周所得圆锥体体积记为V1，则 曲线与x轴及直线x = e所围成的图形绕直线x = e一周所得旋转体体积为V2 D绕直线x = e旋转一周所得旋转体的体积 六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共12分） 16.证明： 故有： 证毕。大一微积分复习资料教学教材
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