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二次函数图像性质及应用

二次函数图象性质及应用

一选择题

1.已知抛物线y=﹣x+2x﹣3，下列判断正确的是（）

A.开口方向向上，y 有最小值是﹣2

B.抛物线与x轴有两个交点

C.顶点坐标是（﹣1，﹣2）

D.当x＜1 时，y 随x增大而增大

2.若二次函数y=x+bx+5 配方后为y=（x-2）+k，则b、k 的值分别为（）

、5 、1 C.﹣4、5 D.﹣4、1

3.将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是

A. B. 3

=x D.3

y2-

(52+

y C. 3

4.把抛物线y=﹣2x+4x+1 图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位,所得的抛物线函数关系式是（）

=﹣2(x-1)+6 =﹣2(x-1)﹣6 =﹣2(x+1)+6 =-2(x+1)-6

5.函数y=ax+b 和y=ax+bx+c 在同一直角坐标系内的图象大致是（）

A. B. C. D.

6.二次函数y=ax+bx+c 的图象如图,则a bc，b﹣4ac，2a+b，a+b+c 这四个式子中，值为正数的有（）

个个个个

第6题图第8题图

7.二次函数y=ax+bx+c 对于x的任何值都恒为负值的条件是（）

＞0，△＞0 ＞0，△＜0 ＜0，△＞0 ＜0，△＜0 8.抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能是（）

=x-x-2 =﹣x﹣x+2 =﹣x﹣x+1 =﹣x+x+2

9.已知A(2,1)在二次函数(m 为常数)的图像上,则点A关于图像对称轴对称点坐标是（）

A.（4,1）

B.（5,1）

C.（6,1）

D.（

7,1

）

10.抛物线y=﹣x+x﹣1 与坐标轴（含x轴、y 轴）的公共点的个数是（）

11.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象如图,下列结论:①abc>0;②2a+b=0;③当m≠1时，a+b>am+bm;④a﹣b+c＞0;

⑤若a x+bx=ax+bx，且x≠x，x+x=2．其中正确的有（）

A.①②③

B.②④

C.②⑤

D.②③⑤

第11 题图第12 题图

12.如图所示：抛物线y=ax+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，且经过点（﹣1，0），依据图象写出了四个结论：

①如果点（﹣，y ）和（2，y ）都在抛物线上，那么y

＜y

；②b﹣4ac＞0；

③m（am+b）＜a+b（m≠1 的实数）；④=﹣3所

写的四个结论中，正确的有（）

个个个个

二填空题:

13.在函数①y=ax+bx+c;②y=(x-1)﹣x;③y=5x﹣;④y=﹣x+2 中，y 关于x的二次函数是．

14.当m= 时，函数y(m 4)x m 5m 6 +3x 是关于x的二次函数．

15.二次函数y=x﹣2x+6 的最小值是

16.已知抛物线y=ax+bx+c 的部分图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是．

17.若函数y=mx﹣2x+1 的图象与x轴只有一个交点，则m= ．

18.已知抛物线y=ax+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B 两点，若点A的坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴为

直线x=2，则线段A B 的长为

19.有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点．

甲：对称轴是直线x=4；

乙：与x轴两交点的横坐标都是整数；

丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3；

请写出满足上述全部特点的二次函数解析式：．

20.如图,已知⊙P 的半径为2，圆心P在抛物线y=x﹣1 上运动,当⊙P 与x轴相切时,圆心P坐标为．

第22 题图第23 题图

21.如图,以扇形O AB 的顶点O为原点,半径O B 所在的直线为x轴,建立平面直角坐标系,点B的坐标为(2,0).

若抛

物线y=x＋k 与扇形O AB 的边界总有两个公共点，则实数k的取值范围是

三解答题:

22.如图，过点A（-1，0）、B（3，0）的抛物线y=-x+bx+c 与y轴交于点C，它的对称轴与x轴交于点E.

（1）求抛物线解析式；

（2）求抛物线顶点D的坐标；

（3）若抛物线的对称轴上存在点P使，求此时D P 的长.

23.如图，已知□ABCD 的周长为8 cm，∠B=30°，若边长A B 为x cm.(1)

写出□ABCD 的面积y(cm)与x(cm)的函数关系式，并求自变量x的取值范围.

(2)当x取什么值时，y 的值最大并求出最大值.

24.如图，抛物线的顶点M在x轴上，抛物线与y轴交于点N，且O M=ON=4，矩形A BCD 的顶点A、B 在抛物线上，

C、D 在x轴上.

(1)求抛物线的解析式;

(2)设点A的横坐标为t(t＞4)，矩形A BCD 的周长为L,求L与t之间函数关系式.

25.已知抛物线y=x+bx+c 经过点（2，﹣3）和（4，5）．

（1）求抛物线的表达式及顶点坐标；

（2）将抛物线沿x轴翻折，得到图象G，求图象G的表达式；

（3）在（2）的条件下，当﹣2＜x＜2 时，直线y=m 与该图象有一个公共点，求m的值或取值范围．

26．如图12所示，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位AB时，宽20m，水位上升3m就达到警戒线CD，这时水面宽度为10m．

（1）在如图12的坐标系中求抛物线所对应的函数关系式；

（2）若洪水到来时，水位以每小时的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时就能到达拱桥顶

27．南博汽车城销售某种型号的汽车，每辆进货价为25万元，市场调研表明：当销售价为29万元时，平均每周能售出8辆，而当销售价每降低万元时，平均每周能多售出4辆．如果设每辆汽车降价x万元，每辆汽车的销售利润为y万元．（销售利润＝销售价－进货价）

（1）求y与x的函数关系式；在保证商家不亏本的前提下，写出x的取值范围；

（2）假设这种汽车平均每周的销售利润为z万元，试写出z与x之间的函数关系式；

（3）当每辆汽车的定价为多少万元时，平均每周的销售利润最大最大利润是多少

参考答案1、D 2、D ．3、A 4、C 5、C 6、B 7、D 8、D 9、C 10、B

11、D 12、D

13、④14、1 ．15、5．16、x ＜﹣1 或 x ＞5 ．17、0 或 1 18、8 ．

19、 y=（x ﹣3）（x ﹣5）．20、（，2）或（﹣ ，2）．21、－2＜k ＜．

22、解：（1）y=-x+2x+3；（2）D （1，4）；（3）1 或 7.

23、1)过 A 作 A E ⊥B C 于 E ，∵∠B=30°，AB=x ，∴A E=

x ，又∵平行四边形 A BCD 的周长为 8 cm ，

∴BC =4-x ，∴y=AE · B C=x （4-x ）,即 y =-x+2x （0＜x ＜4）.

(2)y=- x+2x=- (x-2)+2， ∴当 x =2 时，y 有最大值，其最大值为 2.

24、

25、【解答】解：（1）根据题意得

，解得，所以抛物线的解析式为 y =x ﹣2x ﹣3．

∵抛物线的解析式为 y=x ﹣2x ﹣3=（x ﹣1）﹣4，∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）．（2）根据题意，﹣y=x ﹣2x ﹣3，所以 y=﹣x+2x+3．

（3）∵抛物线 y =x ﹣2x ﹣3 的顶点为（1，﹣4），当 x =﹣2 时，y=5，抛物线 y =﹣x+2x+3 的顶点（1，4），当 x=﹣2 时，y=﹣5．

∴当﹣2＜x ＜2 时，直线 y =m 与该图象有一个公共点，则m=3或﹣5＜m ＜3． 26．解：（1）设所求抛物线的函数关系式为：2

y ax ，

设(56)D ，，(103)B b -，，

把D B ，的坐标分别代入2

y ax =，得25100 3.

a b a b =??

=-?，

解得1251.a b ?

=-???=-?

，

所以2125y x =-．

（2）因为1b =-，所以

50.2

=（小时）．所以再持续5小时到达拱桥顶． 27．解：（1）因为2925y x =--，

所以4(04)y x x =-+≤≤．

（2）84(88)(4)0.5x z y x x ??

?=+-+ ???

282432x x =-++

38502x ?

?=--+ ??

?．

（3）因为当3

x =

时，50z =最大．所以当定价为29 1.527.5-=万元时，有最大利润，最大利润为50万元．

《

2020年中考数学复习专题训练——二次函数的图像与性质

2020年中考数学复习专题训练——二次函数的图像与性质考点1：二次函数的顶点、对称轴、增减性 1.关于二次函数y=2x2+4x-1，下列说法正确的是( ) A.图像与y轴的交点坐标为（0，1） B.图像的对称轴在y轴的右侧 C.当时，x<0的值随y值的增大而减小的最小值为-3 2.如图，函数y=ax2-2x+1和y=ax-a（a是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系的图象可能是( ) 3.已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表： x-1013 y-3131 下列结论：①抛物线的开口向下;②其图象的对称轴为x=1;③当x<1时,函数值y随x的增大而增大;④方程ax2+bx+c=0有一个根大于4,其中正确的结论有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4.已知二次函数y=-(x-h)2（h为常数），当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为-1，则h的值为( )

或6 或6 或3 或6 5.当a≤x≤a+1时，函数y=x2-2x+1的最小值为1，则a的值为（）或2 或2 6.对于抛物线y=ax2+(2a-1)x+a-3，当x=1时，y，则这条抛物线的顶点一定在（） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限考点2：抛物线特征和a,b,c的关系 1.已知二次函数图形如图所示，下列结论：①abc；②；③；④点(-3,y1),(1,y2) 都在抛物线上，则有y1y 2. 其中正确的结论有( ) 个个个个 2.如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,且过点A(3,0),二次函数图象的对称轴是直线x=1,下列结论正确的是( ) <4ac >0 b=0 b+c=0

二次函数图像和性质专题训练(答案)

二次函数图象专题训练 1．二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，下列结论①a 、b 异号；②当x =1和x=3时，函数值相等；③4a +b =0，④当y =4时，x 的取值只能为0．结论正确的个数有（）个 A ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4 2、已知二次函数2y ax bx c =++(0a ≠)的图象如图所示，有下列结论： ①240b ac ->； ②0abc >； ③80a c +>； ④930a b c ++<．其中，正确结论的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．已知二次函数2 y ax bx c =++的图象与x 轴交于点(20)-，、1(0)x ，，且112x <<，与y 轴的正半轴的交点在(02)，的下方．下列结论：①420a b c -+=；②0a b <<；③ 20a c +>；④210a b -+>．其中正确结论的个数是个． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4、已知抛物线y ＝ax 2 ＋bx ＋c (a ≠0)在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中正确的是( ) A ． a >0 B ． b ＜0 C ． c ＜0 D ． a ＋b ＋c >0 5、如图所示的二次函数2 y ax bx c =++的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：（1）2 40b ac ->；（2）c >1；（3）2a －b <0；（4）a +b +c <0。你认为其中错误．．的有 A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．1个 6、已知二次函数y ＝ax 2 ＋bx ＋c （a ≠0）的图象如图，则下列结论中正确的是（） A ．a ＞0 B ．当x ＞1时，y 随x 的增大而增大 C ．c ＜0 D ．3 是方程ax 2 ＋bx ＋c ＝0的一个根

二次函数图象性质应用(二)(含答案)

学生做题前请先回答以下问题问题1：___________是研究函数、方程、不等式等的一种重要手段． ①二次函数对称性：两点对称，则______相等；纵坐标相等，则两点______；由(x1，y1)，(x2，y1)知，对称轴为直线_________． ②二次函数增减性：y值比大小、取最值，常利用__________，借助____________求解．问题2：利用数形结合，计算二次函数最值问题的具体操作是：先判断______、______，再结合______、______，确定最值．二次函数图象性质应用（二）一、单选题(共10道，每道10分) 1.在二次函数中，当时，y的最大值和最小值分别是( ) A.0，-4 B.0，-3 C.-3，-4 D.0，-2 答案：A 解题思路：试题难度：三颗星知识点：二次函数的性质 2.已知二次函数，当时，y的取值范围是__________；当时，则y的取值范围是_________．( )

A.， B.， C.， D.，答案：A 解题思路：试题难度：三颗星知识点：二次函数的性质 3.已知点和点是抛物线上的两点，且，则m的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：二次函数图象上点的坐标特征 4.已知二次函数，当x>1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是( ) A.m=-1 B.m=3 C. D. 答案：D 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：二次函数图象的对称性 5.已知二次函数，当时，y随x的增大而增大，则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路：试题难度：三颗星知识点：二次函数图象的对称性 6.当时，二次函数有最大值4，则实数m的值为( )

二次函数图象性质及应用(讲义及答案)

二次函数图象性质及应用（讲义） ?课前预习回顾一次函数、反比例函数与二次函数的相关知识，回答下列问题： 1.对二次函数y =ax2 +bx +c 来说，a，b，c 符号与图象的关系： a 的符号决定了抛物线的开口方向，当时，开口向；当时，开口向． c 是抛物线与交点的． b 的符号：与a ，根据可推导．判断下面函数图象的a，b，c 符号：（1）已知抛物线y =ax2 +bx +c 经过原点和第一、二、三象限，那么（） A．a > 0，b > 0，c > 0 C．a < 0，b < 0，c > 0 B．a < 0，b < 0，c = 0 D．a > 0，b > 0，c = 0 （2）二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图所示，其对称轴为直线x=-1，给出下列结论：①abc＞0；②2a-b=0．其中正确的是． 2.函数y 值比大小，主要利用函数的增减性和数形结合．如点 A(x1，y1)，B(x2，y2)在直线y=kx+b 上，当k＞0，x1＜x2时，y1y2．

?知识点睛 1.二次函数对称性：两点对称，则相等；纵坐标相等，则两点；由(x1，y1)，(x2，y1)知，对称轴为直线．2.二次函数增减性：y 值比大小、取最值，常利用，借助求解． 3.观察图象判断a，b，c 符号及组合： ①确定符号及信息； ②找特殊点的，获取等式或不等式； ③代入不等式，组合判断残缺式符号． ?精讲精练 1.若二次函数y=ax2+bx+c 的x 与y 的部分对应值如下表： x -7 -6 -5 -4 -3 -2 y -27 -13 -3 3 5 3 A．5 B．-3 C．-13 D．-27 2.抛物线y=ax2+bx+c 上部分点的横坐标x，纵坐标y 的对应值如下表： x …-2 -1 0 1 2 … y …0 4 6 6 4 … 从上表可知，下列说法中正确的是．（填写序号） ①抛物线与x 轴的一个交点为(3，0)； ②二次函数y =ax2 +bx +c 的最大值为6； ③抛物线的对称轴是直线x =1 ； 2 ④在对称轴左侧，y 随x 的增大而增大． 3.已知二次函数y =x2 - 2mx + 4m - 8 ．若x ≥2 时，函数值y 随 x 的增大而增大，则m 的取值范围是；若x≤1 时，函数值y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是． 4.在二次函数y=-x2+2x+1 的图象中，若y 随x 的增大而增大，则x 的取值范围是． 2 二次函数草图的画法： 1. 一般草图 1找准开口方向、对称轴、顶点坐标，画二次函数； 2根据各点与对称轴的距离描点（或结合函数间关系画图）．2. 坐标系下画草图时，往往要根据四点一线来确定大致图象．四点：二次函数顶点，二次函数与y 轴的一个交点，二次函数与x 轴的两个交点．一线：二次函数对称轴．

二次函数的图像及性质

《二次函数的图像及性质》教学案例及反思教师：同学们，我们上一节课一起研究了二次函数的表达式，那么我们一起来回忆一下表达式是什么？学生齐答：y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a不为0) 教师：好，那么请同学们在黑板上写出一些常数较简单的二次函数表达式. （学生表现很踊跃，一下写出了十多个）教师：黑板上这些二次函数大致有几个类型？学生：（讨论了3分钟）四大类!有y=ax2+bx+c;y=ax2+bx;y=ax2+c;y=ax2! 教师：太棒了！同学们归纳的很好，今天我们就一起来研究比较简单的一种y=ax2的图像及性质！教师在学生板书的函数中选了四个，并把复杂的系数换成简单的常数，找到如下函数：y=x2;y=-x2;y=2x2;y=-2x2.(教师在这里让学生自己准备素材！) 教师启发学生利用函数中的“列表，描点，连线”的方法，把画上述四个函数的任务分配给A,B,C,D小组，一组一个在已画好的坐标系的小黑板上动手操作.生在自己提供的素材上进行再“加工”，兴趣很大，合作交流充分，课堂气氛活跃.教师到每组巡视、指导，在确认画图全部正确的情况下，提出了要求，开始了探究之旅. 教师：请同学们小组之间比较一下，你们画的图象位置一样吗？学生；不一样. 教师：有什么不一样？（开始聚焦矛盾）学生:开口不一样. 学生A：走向不一样. 学生B：经过的象限不一样. 学生C：我们的图象在原点的上方，他们的图象在原点的下方. 教师：看来是有些不一样，那么它们位置的不一样是由什么要素决定的？（教师指明了探究方向，但未指明具体的探究之路，这是明智的）学生：是由二次项系数的取值确定的. 教师：好了，根据同学们的回答，能得到图象或函数的那些结论？（顺水推舟，放手让学生一搏）热烈讨论后，学生D回答并板书，当a>0时，图象在原点的上方，当a<0时，图象在原点的下方。学生E:当a>0时，图象开口向上；当a<0时，图象开口向下. 学生A站起来补充:还有顶点,顶点坐标(0,0),对称轴为y轴! （这个过程约用了十多分时间，学生体会非常充分，从学生的神情看，绝大多数学生已接受了这几个学生的板书，但教师未对结论进行优化。怎么没有一个学生说出二次函数的性质呢？短暂停顿后，教师确定了思路）教师：刚才你们是研究图象的性质，你们能否由图象性质得出相应的函数的性质？看着学生茫然的目光,我在思考是不是我的问题---- 教师：请看同学们的板书，能揣摩图象“走向”的意思吗？学生：（七嘴八舌）当a>0时，图象从左上向下走到原点后在向右上爬；当a<0时，图象从左下向上爬到原点后在向右下走（未出现教师所预期的结论）教师：好，你们从图象的直观形象来理解的图象性质，很贴切，你们能从自变量与函数值之间的变化角度来说明“向上爬”和“向下走”吗？

二次函数图像与性质总结

二次函数的图像与性质一、二次函数的基本形式 1.二次函数基本形式：2 =的性质： y ax 2.2 =+的性质： y ax c 上加下减。 =-的性质： y a x h 左加右减。

4.()2 y a x h k =-+的性质： 1.平移步骤：方法一：⑴将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标 ()h k ，； ⑵保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2.平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．

概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二： ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）三、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?，其中2424b ac b h k a a -=-= ，．四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 五、二次函数2y ax bx c =++的性质 1.当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，．当2b x a <- 时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a =-时，y 有最小值244ac b a -． 2.当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，．当2b x a <- 时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a =-时，y 有最大值2 44ac b a -．六、二次函数解析式的表示方法 1.一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）； 2.顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；

二次函数图像性质及应用

.. 二次函数图象性质及应用一选择题 1.已知抛物线y=﹣x2+2x﹣3，下列判断正确的是（） A.开口方向向上，y 有最小值是﹣2 B.抛物线与x轴有两个交点 C.顶点坐标是（﹣1，﹣2） D.当x＜1 时，y 随x增大而增大 2.若二次函数y=x2+bx+5 配方后为y=（x-2）2+k，则b、k 的值分别为（） A.0、5 B.0、1 C.﹣4、5 D.﹣4、1 3.将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是 A. B. 3 y2- - )2 y2- =x + (5 =x D.3 (52+ )2 (5 - =x )2 y C. 3 4.把抛物线y=﹣2x2+4x+1 图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位,所得的抛物线函数关系式是（） A.y=﹣2(x-1)2+6 B.y=﹣2(x-1)2﹣6 C.y=﹣2(x+1)2+6 D.y=-2(x+1)2-6 5.函数y=ax+b 和y=ax2+bx+c 在同一直角坐标系内的图象大致是（） A. B. C. D. 6.二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图,则a bc，b2﹣4ac，2a+b，a+b+c 这四个式子中，值为正数的有（） A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个第6题图第8题图 7.二次函数y=ax2+bx+c 对于x的任何值都恒为负值的条件是（） A.a＞0，△＞0 B.a＞0，△＜0 C.a＜0，△＞0 D.a＜0，△＜0 8.抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能是（） A.y=x2-x-2 B.y=﹣x2﹣x+2 C.y=﹣x2﹣x+1 D.y=﹣x2+x+2