圆锥曲线中的定点定值问题--优选的四种模型.docx

圆锥曲线中的定点定值问题的四种模型

定点问题是常见的出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关

系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。直线过定点问题通法，是设出直线方程，

通过韦达定理和已知条件找出k 和 m的一次函数关系式，代入直线方程即可。技巧在于：设哪一条直线？如何转化题目条件？圆锥曲线是一种很有趣的载体，自身存在很多性质，这些性质往往成为出题老师的参考。如果大家能够熟识这些常见的结论，那么解题必然会事半功倍。下面总结圆锥曲线中几种常见的几种

定点模型：

模型一：“手电筒”模型

例题、（ 07 山东）已知椭圆 C：x

2

y 21若直线 l： y kx m 与椭圆C相交于A，B两点（A，B 43

不是左右顶点），且以 AB为直径的圆过椭圆 C 的右顶点。求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标。

解：设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ，由

y kx m

4k 2 )x28mkx 4( m23) 0 ，3x24y 2

得 (3

12

64m2k 216(3 4k2 )(m23)0 ， 34k 2m20

x1x2

8mk

, x1x2

4( m23)

4k234k2

3

22

3(m24k 2 )

y1y2( kx1m)(kx2 m)k x1 x2mk (x1 x2 )m34k2

Q 以AB为直径的圆过椭圆的右顶点 D (2,0), 且 k AD k BD 1 ，

y1y2

1， y1 y2x1 x22( x1 x2 ) 40 ，

x1 2 x22

3(m24k2 )4(m23)16mk

40 ，

34k 234k234k 2

整理得： 7m216mk4k20 ，解得： m12k ,m22k，且满足 3 4k 2m20

7

当 m2k时， l : y k( x2) ，直线过定点 (2,0),与已知矛盾；

当 m2k时， l : y k (x 2

) ，直线过定点 (

2

,0)

777

综上可知，直线l 过定点，定点坐标为

2 ( ,0). 7

◆方法总结：本题为“弦对定点张直角”的一个例子：圆锥曲线如椭圆上任意一点P 做相互垂直的直

线交圆锥曲线于AB，则 AB必过定点(

x

(a

2

b2 ), y0 (a2

b

2

)

) 。（参考百度文库文章：“圆锥曲线的弦对

a2b2a2b2

定点张直角的一组性质”）

◆模型拓展：本题还可以拓展为“手电筒”模型：只要任意一个限定AP与 BP 条件（如k

AP? k BP定

值， k AP k BP定值），直线 AB 依然会过定点（因为三条直线形似手电筒，固名曰手电筒模型）。（参考优酷视频资料尼尔森数学第一季第13 节）

此模型解题步骤：

Step1 ：设 AB 直线y kx m ，联立曲线方程得根与系数关系，求出参数范围；

Step2 ：由 AP 与 BP关系（如k AP? k BP 1 ），得一次函数 k f ( m)或者 m f ( k) ；

Step3 ：将k f ( m)或者 m f (k ) 代入 y kx m ，得 y k ( x x定 ) y定。

◆迁移训练

练习 1：过抛物线M: y2 2 px 上一点P（1,2）作倾斜角互补的直线PA与 PB，交 M于 A、 B 两点，求证：直线AB过定点。（注：本题结论也适用于抛物线与双曲线）

练习 2：过抛物线 M: y24x 的顶点任意作两条互相垂直的弦OA、OB，求证：直线 AB过定点。（经典例题，多种解法）

练习 3：过2x2y21上的点作动弦 AB、 AC且k AB?k AC 3 ，证明BC恒过定点。（本题参考答案：

11

( ,) ）

55

练习 :4 ：设 A、B 是轨迹C：y2 2 px( P0) 上异于原点 O 的两个不同点，直线OA 和 OB 的倾斜角

分别为和，当,变化且时，证明直线AB 恒过定点，并求出该定点的坐标。（参考答案

4

2 p,2 p ）

【答案】设

A x1, y1,

B x2 , y2，由题意得 x1 , x20，又直线 OA,OB的倾斜角, 满足，

4故 0,，所以直线AB 的斜率存在，否则，OA,OB 直线的倾斜角之和为从而设AB 方程为4

y kx b ，显然x1y12, x2y22，

2 p 2 p

将 y kx b与 y2 2 px( P0) 联立消去x，得 ky2 2 py 2 pb0

由韦达定理知 y1y22 p

, y1y2 2 pb①k k

由，得 1＝tan tan(

tan tan 2 p( y1y2 ) ) =

tan

=

4 p2

441tan y1 y2

将①式代入上式整理化简可得：

2 p

1，所以 b 2 p 2 pk ，b 2 pk

此时，直线 AB 的方程可表示为 y kx 2 p 2 pk 即 k (x 2 p) y 2p 0

所以直线 AB 恒过定点

2 p,2 p .

练习 5：（ 2013 年高考陕西卷（理） ） 已知动圆过定点 A (4,0),

且在 y 轴上截得的弦

MN 的长为

8.

( Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹

C 的方程 ;

( Ⅱ) 已知点 B (-1,0),

设不垂直于 x 轴的直线与轨迹 C 交于不同的两点 P , Q , 若 x 轴是的角平分线 , 证

明直线过定点 .

【答案】 解:( Ⅰ)

A (4,0), 设圆心 C

( Ⅱ)

点 B (-1,0),

.

直线 PQ 方程为 :

所以 , 直线 PQ 过定点 (1,0)

练习 6：已知点 B

1,0 , C 1,0 , P 是平面上一动点，且满足

uuur uuur uuur uuur

| PC | | BC | PB CB

（ 1）求点 P 的轨迹 C 对应的方程；

（ 2）已知点 A(m,2) 在曲线 C 上，过点 A 作曲线 C 的两条弦 AD 和 AE ，且 AD AE ，判断：直

线 DE 是否过定点？试证明你的结论 .

【解】（ 1）设 P (x , y )代入 | PC | | BC |

PB CB 得 (

x 1) 2 y 2

1 x ,化简得 y

2

4x .

（ 5 分）

( 2) 将 A m 代入 y 2

4 x 得 m

1, 点 A 的坐标为

(1,2).

( ,2)

设直线 DE 的方程为 x my t 代入 y 2 4x,得 y 2 4mt 4t 0, 设 D ( x 1 , y 1 ), ( x 2 , y 2 )则 y 1 y 2 4 , y 2 4 t ， （ 4 )2 16 t （0 * ）

E m y 1 m

AD AE (x 1 1)( x 2 1) ( y 1 2)( y 2 2) x 1 x 2 ( x 1

x 2 ) 1 y 1 y 2 2( y 1 y 2 ) 4

y 12 y 22 ( y 12

y 22

)y 1

y

2 2( y 1 y 2 ) 5

4 4 4 4

( y 1 y 2 )2

( y 1 y 2 )2 2 y 1 y 2

y 1 y

2

2( y 1

y 2 ) 5

16 4

( 4t )2 (4m) 2 2( 4t) ( 4t ) 2(4m) 5 0化简得 t 2 6t 5

4m 2

8m

16

4

即 t 2

6t 9 4m 2 8m 4即

（ t 2 4(m 1)2 t 3 2(m 1)

3）

t

2m 5或 t 2m 1, 代入（ *）式检验均满足 0

直线 DE 的方程为 x m( y 2) 5或 x m( y 2) 1 直线 DE 过定点 (5, 2). （定点（ 1，2）不满足题意 ）

练习 7：已知点A（－ 1， 0），B（ 1，－ 1）和抛物线 . C : y2

交抛物线C于 M、 P，直线 MB交抛物线 C于另一点 Q，如图.

uuuur uuur

（I ）证明 : OM OP为定值 ;

（II ）若△POM的面积为5

，求向量OM与OP的夹角；2

（Ⅲ）证明直线PQ恒过一个定点 .

解：（ I ）设点M (y

12, y1 ), P(

y

22, y

2 ),P 、M、A三点共线，44

k

AM k DM ,即

y1y1y2

, 222

y1y1y2

4

1

4

y114

即,y1 y24 y12 4 y1y2

OM

y12y22

y1 y2 5. OP

4

4

(II) 设∠POM=α，则| OM | | OP | cos5.

S ROM 5

, | OM || OP | sin 5. 由此可得tanα=1.

2

4x ，O为坐标原点，过点 A 的动直线 l

第22 题

又(0,),45 ,故向量 OM与OP的夹角为45 .

( Ⅲ ) 设点Q (y

32

, y3 ),

M 、B、Q三点共

线，

k

BQ k QM , 4

即

y3y1y3

,即

y311

,

2222

y31y1y3y3 4 y1 y3

444

y32

( y3 1)(y1y3 )4,即y1 y3y1y3 4 0.L L L L 11分y1 y24,即 y1

44

y3

4

y3 4 0,

,

y2y2

y2

即 4( y2y3 )y2 y340.(*)

k

PQ y2y34

,

y22y32y2y3

44

y22

直线 PQ的方程是 y y24

y3(x)

y24

即(

y y2)(

y2y3

)42,(

y2y3

)

y2 y3

4 .

x y2即 y x

由（ * ）式，y2 y34( y2y3 )4,

代入上式，得( y4)( y2 y3 ) 4( x 1).

由此可知直线 PQ 过定点 E （ 1，－ 4） .

模型二：切点弦恒过定点

例题： 有如下结论：“圆 x 2 y 2

r 2 上一点 P( x 0 , y 0 ) 处的切线方程为 x 0 y

y 0 y r 2 ”，类比也

有结论：“椭圆

x 2 y 2 1(a

b

x 0 x

y 0 y

a 2

b 2

0)上一点 P(x 0 , y 0 ) 处的切线方程为

1”，过椭圆 C ：

a

2

b 2

x 2 y 2 1的右准线 l 上任意一点 M 引椭圆 C 的两条切线，切点为 A 、B.

4

（ 1）求证：直线 AB 恒过一定点；

（ 2）当点 M 在的纵坐标为 1 时，求△ ABM 的面积。

【解】（ 1）设 M

4

3 ,t )(t x 1x y 1 y 1

(

3

R), A( x 1, y 1 ), B(x 2 , y 2 ), 则 MA 的方程为

4

∵点 M 在 MA 上∴

3

x 1

ty 1

1 ①

同理可得

3

x 2 ty 2

1②

3

3

由①②知 AB 的方程为

3 x ty 1,即 x 3(1 ty )

3

易知右焦点 F （

3,0 ）满足③式，故 AB 恒过椭圆 C 的右焦点 F （

3,0 ）

（ 2）把 AB 的方程 x

3(1

y)代入

x 2

y 2

1,化简得 7 y 6 y

1

4

4 3

36 28 16

|

|

2 3

∴ | AB | 1

3

又 M 到 AB 的距离 d

3

7

7

1 3

3

∴△ ABM 的面

积

S 1

16 3

| AB | d

21

2

◆ 方法点评： 切点弦的性质虽然可以当结论用，但是在正式的考试过程中直接不能直接引用，可以用本题的书写步骤替换之，大家注意过程。

◆ 方法总结：什么是切点弦？解题步骤有哪些？

参考： PPT 圆锥曲线的切线及切点弦方程，百度文库

参考：“尼尔森数学第一季 _3 下”，优酷视频

拓展：相交弦的蝴蝶特征——蝴蝶定理，资料

练习 1：（ 2013 年广东省数学（理）卷） 已知抛物线的顶点为原点 , 其焦点到直线 : 的距离为 . 设为直线上的

点 , 过点作抛物线的两条切线 , 其中为切点 .

( Ⅰ) 求抛物线的方程;

( Ⅱ) 当点为直线上的定点时, 求直线的方程;

( Ⅲ) 当点在直线上移动时, 求的最小值 .

【答案】 ( Ⅰ) 依题意 , 设抛物线的方程为, 由结合 , 解得 . 所以抛物线的方程为.

( Ⅱ) 抛物线的方程为, 即 , 求导得

设,( 其中 ),

则切线的斜率分别为,,

所以切线： , 即 , 即

同理可得切线的方程为

因为切线均过点, 所以 ,

所以为方程的两组解.

所以直线的方程为.

( Ⅲ) 由抛物线定义可知,,

所以

联立方程 , 消去整理得

由一元二次方程根与系数的关系可得,

所以

又点在直线上, 所以 ,

所以

所以当时 ,取得最小值,且最小值为.

练习 2：（2013年辽宁数学（理））如图,抛物线,点在抛物线上,过作的切线,切点为(为原点时,重合于),

切线的斜率为.

(I)求的值 ;(II) 当在上运动时 , 求线段中点的轨迹方 .

【答案】

模型三：相交弦过定点

相交弦性质实质是切点弦过定点性质的拓展，结论同样适用。参考尼尔森数学第一季_3 下，优酷视频。

但是具体解题而言，相交弦过定点涉及坐标较多，计算量相对较大，解题过程一定要注意思路，同时注意

总结这类题的通法。

例题：如图，已知直线L：的右焦点F，且交椭圆 C 于A、B 两点，点A、B 在直线上的射影依次为点D、E。连接AE、BD，试探索当m变化时，直

线

AE、BD是否相交于一定点N？若交于定点N，请求出N 点的坐标，并给予证明；否则说明理由。

法一：解：先探索，当 m=0 时，直线 L⊥ox 轴，则 ABED为矩形，由对称性知，AE 与 BD相交于 FK 中点 N , 且猜想：当 m变化时， AE与 BD相交于定点

。

证明：设

，

当 m变化时首先 AE过定点 N

∴ K AN=K EN∴A、N、E三点共线∴ AE与 BD相交于定点

法 2：本题也可以直接得出AE 和

同理可得B、N、 D三点共

线

BD方程，令y=0，得与 x 轴交点

M、 N, 然后两个坐标相减=0. 计算量

也不大。

◆方法总结：方法1采用归纳猜想证明，简化解题过程，是证明定点问题一类的通法。这一类题在答题过程中要注意步骤。

例题、已知椭圆 C：x

2

y21，若直线 l : x t (t2) 与x轴交于点T,点P为直线l上异于点T的任4

一点，直线 PA,PA分别与椭圆交于M、 N 点，试问直线MN是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论。

12

方法 1：点 A1、 A2的坐标都知道，可以设直线 PA1、 PA2的方程，直线 PA1和椭圆交点是 A1 (-2,0) 和 M，通过韦达定理，可以求出点 M的坐标，同理可以求出点 N 的坐标。动点 P 在直线l : x t(t 2)上，相当于

知道了点 P 的横坐标了，由直线

PA 1、 PA 2 的方程可以求出 P 点的纵坐标，得到两条直线的斜率的关系，通

过所求的 M 、 N 点的坐标，求出直线 MN 的方程，将交点的坐标代入，如果解出的 t>2 ，就可以了，否则就

不存在。

解： 设 M ( x 1 , y 1) ， N ( x 2 , y 2 ) ，直线 A 1M 的斜率为 k 1 , 则直线 A 1M 的方

程为

y

k 1 ( x 2) ，由

y k 1 (x 2)

2

) x

2

16k 2 x 2

4 0

x 2 4 y 2

消 y 整理得 (1 4k 1

16k 1

4

Q 2和 x 1 是方程的两个

根，

2x 1 16k 12 4 则 x 1 2 8k 12 ， y 1

1 4k 1 ，

1 4k

2

1 4k 2

4k 12

1

1

2 8k

2

4k

2 )

即点 M 的坐标为 (

1

2 , 1

1

，

1 4k 1 4k 1

同理，设直线 A 2N 的斜率为 k 2，则得点 N 的坐标为 (

8k 22

2 , 4k 2 )

1 4k 2

2 1 4k 22

Q y p

k 1 (t

k 1 k 2

k 1 k 2

2), y p k 2 (t 2)

2

， Q 直线 MN 的方程为： y y 1 y 2 y

1 ，

t x x 1

x 2 x 1

令 y=0，得 x

x 2 y 1

x 1 y 2

，将点 M 、N 的坐标代入，化简后得： x 4

y 1 y 2

t

又Q t 2 ，

4 2 Q 椭圆的焦点为 ( 3,0)

4 3 ，即 t

4 3

t

t

3

故当 t 4 3

时， MN 过椭圆的焦点。

3

方法总结 ：本题由点 A 1(-2,0) 的横坐标－ 2 是方程 (1 4k 12 ) x 2 16k 2x 16k 12

4

0的一个根，结合

韦达定理，得到点

M 的横纵坐标：

x 1

2 8k 12 ， y 1

4k 1

；其实由

y k 2 ( x 2)

消 y 整理得

1 4k 1

2 1 4k 12 x

2

4 y

2

4

(1

2 )x 2

16k 2 x

2 4

0 ，得到 2 x 2

16k 22 4 ，即

x 2

8k 22 2 ， y 2

4k 2

很快。不过如

4k 2

16k 2

1 4k 22

1 4k 2

2 1 4k 22 果看到：将

2 x 1

16k 12 4 中的 k 用 k

换下来， x 1 前的系数 2

用－ 2

换下来，就得点

N

的坐标

1 4k 12

1 2

8k 2 2

4k

) ，如果在解题时， 能看到这一点， 计算量将减少， 这样真容易出错， 但这样减少计算量。

(

2

,

2

1 4k 2

2 1 4k 22

本题的关键是看到点

P 的双重身份： 点 P 即在直线 A 1M 上也在直线

2

k 1 k 2

2

，由直

A N

上，进而得到

k 2

t

k 1

线 MN的方程y

y1y2

y

1得直线与 x 轴的交点，即横截距x x

2 y1

x

1

y

2，将点 M、 N的坐标代入，x x1x2x1y1y2

4443

t

43

是否满足 t 2 。

化简易得x，由 3 解出 t，到此不要忘了考察

3

t t3

◆方法 2：先猜想过定点，设弦 MN的方程，得出A1M、A2N方程，进而得出与 T 交点 Q、S，两坐标相减 =0.如下：

设l MN : x my 3, 联立椭圆方程，整理：

（4 m2） y2 2 3my 1 0; 求出范围；

设M （ x1 , y1）,N（ x2 , y2）,得直线方程：

l

A1M: y

y1

( x 2), l A2N : y

y2

( x 2); x12x22

若分别于 l T相较于 Q、 S：易得

Q（t ,y1）y2(t 2))

(t 2) , S(t,

x1 2x22

y Q y S y1(t2)y2(t2)

x1x2

22

整理

4my1 y22(t3)( y1y2 )( 3t4)( y1y2 )

(x12)( x22)

韦达定理代入

( x1

1[- 4m2 ( 3t4)( 3t 4)( y1 y2 )] 2)( x22)4m

显然，当 t 4

3 时，猜想成立。3

◆方法总结：法 2 计算量相对较小，细心的同学会发现，这其实是上文“切点弦恒过定点” 的一个特例而已。因此，法 2 采用这类题的通法求解，就不至于思路混乱了。相较法 1，未知数更少，思路更明确。

练习 1：（10 江苏）在平面直角坐标系xoy中，如图，已知椭圆x2y2

A,B ，右焦点为 F，+=1 的左右顶点为

95

设过点 T(t,m)的直线 TA,TB 与椭圆分别交于点M(x1,y 1) ， N(x 2,y2)，其中m>0,y 1>0,y 2<0.

⑴设动点P 满足 PF2－PB2=4, 求点 P 的轨迹

1

⑵设 x1=2,x 2=3，求点 T 的坐标

⑶设 t=9, 求证：直线MN必过 x 轴上的一定点( 其坐标与m无关 )

解析：问 3 与上题同。

练习 2：已知椭圆中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过、、三点．过椭圆的右焦点 F 任做一与坐

标轴不平行的直线与椭圆交于、两点，与所在的直线交于点Q.

（1）求椭圆的方程：

（2）是否存在这样直线，使得点Q恒在直线上移动？若存在 , 求出直线方程 , 若不存在 , 请说明理由 .

解析：（ 1）设椭圆方程为

将、、代入椭圆 E 的方程，得

解得 .∴椭圆的方程

（也可设标准方程，知类似计分）

（2）可知：将直线

代入椭圆的方程并整理．得

设直线与椭圆的交点，

由根系数的关系，得

直线的方程为：

由直线的方程为：，即

由直线与直线的方程消去，得

∴直线与直线的交点在直线上．故这样的直线存在

模型四：动圆过定点问题

动圆过定点问题本质上是垂直向量的问题，也可以理解为“弦对定点张直角”的新应用。

例题 1. 已知椭圆C :x

2y

21(a b 0)

的离心率为

2, 并且直线 y x b 是抛物线 y24x 的一a2b22

条切线。（ I ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过点 S(0,

1

) 的动直线 L 交椭圆 C 于 A 、 B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点

T ，使得

3

以 AB 为直径的圆恒过点 T ？若存在，求出点

T 的坐标；若不存在，请说明理由。

解：（ I ）由 y

x b

2

2

y 2

消去 y 得

: x

( 2b 4 ) x b

4 x

因直线

2

2

2

b

1

y

x

与抛物线

y

4x 相切

(2b

4)

4b

b

Q e

c

2 , a 2 b 2

c 2

, a 2

b

2

1

, a

2 ，故所求椭圆方程为 x 2 y 2 1. （II ）当 L 与 x

a

2

a 2

2

2

轴平行时，以 AB 为直径的圆的方程：

x 2

( y 1 ) 2

( 4 ) 2

3 3

当 L 与 x 轴平行时，以

AB 为直径的圆的方程： x 2

y 2 1, 由 x 2 ( y 1 )2

( 4 ) 2

x 0

3

3 解得

x 2 y 2 1

y 1

即两圆相切于点（ 0， 1）

因此，所求的点

T 如果存在，只能是（ 0， 1） . 事实上，点 T （ 0， 1）就是所求的点，证明如下。

当直线 L 垂直于 x 轴时，以 AB 为直径的圆过点

T （ 0， 1）

若直线 L 不垂直于 x 轴，可设直线

L ： y kx

1

3

y kx 1

3

由

消去y 得 : (18k 2

9)x 2

12kx 16 0

x 2

y 2 1 2

x 1

x 2

12k

uur

uur

记点 A( x , y

) 、

18k 2 9

又因为

( x 2 , y 2 1),

1

B( x 2 , y 2 ), 则

1

16

TA ( x 1 , y 1 1),TB

x 1 x 2

2

9

18k

uur uur

4

)(kx 2 4 ) 所以 TA TB x 1 x 2 ( y 1 1)( y 2 1) x 1x 2 ( kx 1

3 3

(1

k 2

) x 1 x 2

4

k( x 1 x 2 )

16 (1 k 2 )

18k 16 9 4 k

12k 9 16 0

3

9

2

3

18k 2 9

∴ TA ⊥ TB ，即以 AB 为直径的圆恒过点 T （ 0， 1） , 故在坐标平面上存在一个定点 T （0， 1）满足条件 . ◆方法总结： 圆过定点问题， 可以先取特殊值或者极值， 找出这个定点， 再证明用直径所对圆周角为直角。

2：如图，已知椭圆 C :

x 2

y 2

2

， A 1, A 2 分别是椭圆 C 的左、右两个

例题

2

2 1(a b 0) 的离心率是

a

b

2

顶点，点 F 是椭圆 C 的右焦点。点

1 1

2 D 是 x 轴上位于 A 2 右侧的一点，且满足

A 2 D

2 。

A 1D

FD

（ 1）求椭圆 C 的方程以及点 D 的坐标；

（ 2）过点 D 作 x 轴的垂线 n ，再作直线

l : y kx m

与椭圆 C 有且仅有一个公共点 P ，直线 l 交直线 n 于点

Q 。求证：以线段 PQ 为直径的圆恒过定点，并求出定

点的坐标。

解：（ 1） A 1 ( a ,0), A 2 (a,0), F ( c,0) ，设 D ( x,0) ，

由

1

1

2 有 1

1

2 ，

A 2 D

A 1D

x a x

a

又 FD

1 ，

x c

1, x c 1 ，于是

1

1

2

1 a

c 1

a

c

c 1 (c 1

a)(c

1 a) ，又 Q

c

2 a

2c ，

a

2

c 1 (c 1

2c)(c 1 2c)

c

2

c 0 ，又 c

0 ， c

1, a

2, b 1 ，椭圆 C :

x 2

y 2

1 ，且 D (2,0) 。

2

y kx

m

x 2

（ 2）方法 1：Q Q(2, 2k

m)

，设 P( x 0 , y 0 ) ，由

x 2

( kx m) 2

1

y 2

2 1

2

x 2 2( kx m) 2

2

(2 k 2 1)x 2 4kmx 2m 2 2

0 ，

由于

16 k 2 m 2 4(2 k 2 1)(2 m 2 2)

2k 2

m 2

1 0

m 2

2k 2 1 （* ），

2x 0

4km x 0

2km 由（* ） 2km

2k

而由韦达定理：

，

2

1

2

2

m

2k

2k 1

m

y 0 kx 0 m

2k 2

m 1 ， P( 2k , 1 ) ，

m m

m m 设以线段 PQ 为直径的圆上任意一点

uuur uuuur 0 有 M ( x, y) ，由 MP MQ

(x

2k

)( x 2) ( y

1

)( y (2 k m)) 0 x

2

y

2

( 2k

2) x (2 k m

1

) y (1

2k

) 0 由 对

m

m

m

m

m

称性知定点在

x 轴上，令 y 0 ，取 x 1时满足上式，故过定点

K (1,0) 。

法 2：本题又解：取极值，

PQ 与 AD 平行，易得

与

X 轴相交于

F （ 1,0

）。接下来用相似证明

PF ⊥ FQ 。

设 P （ x 0 , y 0）,易得 PQ 切线方程为

x 0 x

2y 0 y

2;

易得

D (0,

1 x 0 )

y 0

设 PH FD

PH y 0 ; HF 1 x 0 ; DQ

1 x 0

; DF 1;

y 0

HF DQ

,固 PHF 相似于

FDQ ，易得 PFQ

900

PH

FD

问题得证。

练习：（ 10 广州二模文）已知椭圆

x 2 y 2

1(a

b 0) 的右焦点 F 2 与抛物线 C 2 : y 2

4 x 的焦点重

C 1 :

2

b 2

a

合，椭圆 C 1 与抛物线 C 2 在第一象限的交点为

P ， | PF 2 |

5

. 圆 C 3 的圆心 T 是抛物线 C 2 上的动点 , 圆 C 3

3

与 y 轴交于 M , N 两点，且 | MN | 4 .

（ 1）求椭圆 C 1 的方程；

（ 2）证明 : 无论点 T 运动到何处 , 圆 C 3 恒经过椭圆 C 1 上一定点 .

（ 1）解法 1： ∵抛物线

2

C 2 : y 4x 的焦点坐标为 (1,0)

F

的坐标为

(1,0) .

，∴点2

∴椭圆 C 1 的左焦点 F 1 的坐标为 F 1 ( 1,0) ，抛物线 C 2 的准线方程为 x 1 . 设点 P 的坐标为 ( x 1 , y 1 ) ，由

抛物线的定义可知

PF 2

x 1 1 , ∵ PF 2

5 , ∴ x 1 1 5 ，解得 x 1 2 . 由 y 12 4x 1 8 ，且 y 1 0 ,

3 3

3

3 得

y 1

2

6 . ∴点 P 的坐标为

2 , 2 6 . 在椭圆 C 1 : x 2 y 2

1(a

b

0) 中，

3

3 3 a 2 b 2

c 1 . 2a | PF 1 | | PF 2

|

(

2

1)

2

( 2

6 0) 2

(

2

1)

2

(

2

6 0) 2

4

3

3

3

3

∴ a

2,b

a

2

c

2

3 . ∴椭圆 C 1 的方程为

x 2

y 2

1.

4

3

解法 2：∵抛物线 C 2 : y 2

4x 的焦点坐标为 (1,0) ，∴点 F 2 的坐标为 (1,0) . ∴ 抛物线 C 2 的准线方程为

x

1. 设点 P 的坐标为 ( x 1 , y 1 ) ，由抛物线的定义可知 PF 2

x 1 1,

∵

PF 2

5 , ∴ x 1 1 5 ，解得 x 1

2 . 由 y 12 4 x 1 8 ，且 y 1 0 得 y 1 2 6 .

3

3

3 3 3

∴点 P 的坐标为 (

2 ,

2

6) . 在椭圆 C 1 :

x 2 y 2 1(a

b

0) 中， c

1 .

a 2

b 2

3 3

c

1,

3 . ∴椭圆 C 1 的方程为

x 2

y 2

由 a 2

b 2

c 2 , 解得 a 2, b

1.

4

3

4 24

1.

9a 2

9b 2

（ 2）证法 1: 设点 T 的坐标为 ( x 0 , y 0 ) , 圆 C 3 的半径为 r ，

∵ 圆 C 3 与 y 轴交于 M , N 两点，且 | MN | 4 , ∴ | MN |

2 r 2 x 02 4 . ∴ r

4 x 02 .

∴圆 C 3 的方程为 ( x

x 0 ) 2 ( y y 0 )2

4

x 02 .

∵ 点 T 是抛物线 C 2 : y

2

4 x 上的动点 , ∴ y 0

2

4x 0 ( x 0

0 ). ∴ x 0

1

y 02 .

4

把 x 0

1

y 02

代入

消去 x 0 整理得 : (1

x

) y 02 2 yy 0 ( x 2 y 2

4) 0 .

4

2

1

x

0,

2

x 2,

方程

对任意实数 y 0 恒成立，∴

2 y 0,

解得

y

0.

x

2

y

2

4 0.

∵点 (2,0) 在椭圆 C 1 :

x 2

y 2 上 , ∴无论点 T 运动到何处 , 圆 C 3 恒经过椭圆 C 1 上一定点 2, 0 .

4

1

3

证法 2: 设点 T 的坐标为 ( x 0 , y 0 ) , 圆 C 3 的半径为 r ，

∵ 点 T 是抛物线 C 2 : y 2

4 x 上的动点 , ∴ y 02 4x 0 ( x 0

0 ).

∵ 圆 C 3 与 y 轴交于 M , N 两点，且 | MN | 4 , ∴ | MN | 2 r 2 x 02 4 . ∴ r

4 x 02 .

∴ 圆 C 3 的方程为 (x x 0 )2

( y

y 0 )2

4 x 02 .

令 x 0

0 , 则 y 02 4x 0 0 , 得 y 0 0 . 此时圆 C 3 的方程为 x 2

y 2

4 .

x 2

y 2 4,

x

2,

y

2

由 x

2

y 2

4 与椭圆 C 1 的两个交点为

2, 0

2, 0 .

解得

y

∴圆 C 3

: x 2

、 4

3 1, 0.

分别把点 2, 0 、 2, 0 代入方程

进行检验，可知点

2, 0 恒符合方程

，点

2, 0 不

恒符合方程

. ∴无论点 T 运动到何处 , 圆 C 3 恒经过椭圆 C 1 上一定点

2, 0 .

圆锥曲线中的定点定值问题的四种模型

圆锥曲线中的定点定值问题的四种模型 定点问题是常见的出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。直线过定点问题通法，是设出直线方程，通过韦达定理和已知条件找出k 和m 的一次函数关系式，代入直线方程即可。技巧在于：设哪一条直线？如何转化题目条件？圆锥曲线是一种很有趣的载体，自身存在很多性质，这些性质往往成为出题老师的参考。如果能够熟识这些常见的结论，那么解题必然会事半功倍。下面总结圆锥曲线中几种常见的几种定点模型： 模型一：“手电筒”模型 例题、已知椭圆C ：13 42 2=+y x 若直线m kx y l +=：与椭圆C 相交于A ，B 两点（A ，B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点。求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标。 解：设1122(,),(,)A x y B x y ，由22 3412 y kx m x y =+??+=?得222(34)84(3)0k x mkx m +++-=， 22226416(34)(3)0m k k m ?=-+->，22340k m +-> 2121222 84(3) ,3434mk m x x x x k k -+=-?=++ 222 2 121212122 3(4) ()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -?=+?+=+++=+ 以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D 且1AD BD k k ?=-， 1212122 y y x x ∴?=---，1212122()40y y x x x x +-++=， 222222 3(4)4(3)1640343434m k m mk k k k --+++=+++， 整理得：22 71640m mk k ++=，解得：1222,7 k m k m =-=- ，且满足22 340k m +-> 当2m k =-时，:(2)l y k x =-，直线过定点(2,0),与已知矛盾； 当27k m =- 时，2:()7l y k x =-，直线过定点2(,0)7 综上可知，直线l 过定点，定点坐标为2 (,0).7 ◆方法总结：本题为“弦对定点张直角”的一个例子：圆锥曲线如椭圆上任意一点P 做相互垂直的直 线交圆锥曲线于AB ，则AB 必过定点)) (,)((2 222022220b a b a y b a b a x +-+-。（参考百度文库文章：“圆锥曲线的弦对定点张直角的一组性质”） ◆模型拓展：本题还可以拓展为“手电筒”模型：只要任意一个限定AP 与BP 条件（如=?BP AP k k 定值，=+BP AP k k 定值），直线AB 依然会过定点（因为三条直线形似手电筒，固名曰手电筒模型）。 此模型解题步骤： Step1：设AB 直线m kx y +=，联立曲线方程得根与系数关系，?求出参数范围； Step2：由AP 与BP 关系（如1-=?BP AP k k ），得一次函数)()(k f m m f k ==或者； Step3：将)()(k f m m f k ==或者代入m kx y +=，得定定y x x k y +-=)(。

圆锥曲线中的定值定点问题教学提纲

圆锥曲线中的定值定 点问题

2019届高二文科数学新课改试验学案(10) ---圆锥曲线中的定值定点问题 1.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>> 的离心率为2, 点(在C 上. （I ）求C 的方程； （II ）直线l 不经过原点O ,且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A ,B ,线段AB 中点为M , 证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率乘积为定值. 2.已知椭圆C ：过点A （2,0），B （0,1）两点. （I ）求椭圆C 的方程及离心率； （Ⅱ）设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ， 求证：四边形ABNM 的面积为定值. 22 221x y a b +=

3.椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为12 ，其左焦点到点()2,1P （I ）求椭圆C 的标准方程 （Ⅱ）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于,A B 两点（,A B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆 过椭圆C 的右顶点。求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标.

<圆锥曲线中的定值定点问题>答案 1.【答案】（I ）22 22184 x y +=（II ）见试题解析 试题解析： 【名师点睛】本题第一问求椭圆方程的关键是列出关于22,a b 的两个方程,通过解方程组求出22,a b ,解决此类问题要重视方程思想的应用；第二问是证明问题,解析几何中的证明问题通常有以下几类：证明点共线或直线过定点；证明垂直；证明定值问题. 2.

圆锥曲线中的定点定值问题的四种模型

圆锥曲线中的定点定值问题的四种模型 定点问题是常见的出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关 系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。直线过定点问题通法，是设出直线方程， 通过韦达定理和已知条件找出 k 和m 的一次函数关系式，代入直线方程即可。技巧在于：设哪一条直线? 如何转化题目条件？圆锥曲线是一种很有趣的载体，自身存在很多性质，这些性质往往成为出题老师的参 那么解题必然会事半功倍。下面总结圆锥曲线中几种常见的几种 定点模型: 模型一：“手电筒”模型 8mk x x 4(m 2 3) 2 , x i x 2 2~ 3 4k 2 3 4k 2 定点张直角的一组性质”） 例题、（07山东）已知椭圆C ： 2 X 2 y 1若直线l : y kx m 与椭圆C 相交于 A , B 两点 4 3 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点。求证: 直线 l 过定点，并求出该定点的坐标。 解：设 A(x i , yJ,B(X 2, y 2)，由 y 3x 2 kx 4y 2 m + 2 2 得(3 4k 2)x 2 12 8mkx 4( m 2 3) 0 , 2 2 2 2 64m k 16(3 4k )(m 3) 0 , 3 2 2 4k m (A , B 考。如果大家能够熟识这些常见的结论, X i y i 2 y 2 (kx-i m) (kx 2 m) k x 1x 2 mk(x 1 x 2) Q 以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 D(2,0),且 k AD k B D 3(m 2 4k 2) 3 4k 2 1 , y i y 2 x 1 2 x 2 2 1 , y i y 2 X i X 2 2(X i X 2) 4 0， 3(m 2 4k 2) 4(m 2 3) 3 4k 2 3 4k 2 整理得 :7m 2 16mk 4k 2 当m 2k 时, l:y k(x 当m 2k 亠 时 l:y k(x 16mk 3 4k 2 0 ,解得：m i 2），直线过定点 ―），直线过定点 综上可知，直线 l 过定点，定点坐标为（彳,0）. 2k,m 2 空，且满足3 4k 2 7 （2,0）,与已知矛盾; (2,0) ?方法总结：本题为“弦对定点张直角”的一个例子：圆锥曲线如椭圆上任意一点 P 做相互垂直的直 X )(a 2 b 2) y °(a 线交圆锥曲线于 AB,则AB 必过定点（ a 2 b 2 2 b 2 ） 2 T 1 ） o （参考百度文库文章: a b “圆锥曲线的弦对 7

专题3：圆锥曲线中的定值定点问题(解析版)

专题3：圆锥曲线中的定值定点问题（解析版） 1．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>> 的离心率为2 ，短轴一个端点到右焦点F 的 . （1）求椭圆C 的标准方程 ； （2）过点 F 的直线l 交椭圆于A 、B 两点，交y 轴 于P 点，设 12,PA AF PB BF λλ==，试判断12λλ+是否为定值？请说明理由． 【答案】（1）2 212 x y +=；（2）是定值-4，理由见解析. 【解析】 【分析】 （1）由题意可得a ， c ，b ，可求得椭的圆方程. （2）设直线l 的方程为()1y k x =-，与椭圆的方程联立整理得： ()2 2 22124220k x k x k +-+-=，设()11,A x y ，()22,B x y ， 由一元二次方程的根与 系数的关系可得2122 212241222 12k x x k k x x k ?+=??+?-?=?+? ，再根据向量的坐标运算表示出1111x x λ=-， 2 22 1x x λ= -， 代入计算可求得定值. 【详解】 （1 ）由题可得a = ，又2 c e a = = ，所以1c = ，1b ==， 因此椭圆方程为2 212 x y +=， （2）由题可得直线斜率存在，设直线l 的方程为()1y k x =-， 由()22 112 y k x x y ?=-??+=??消去y ，整理得：()2222124220k x k x k +-+-=，

设()11,A x y ，()22,B x y ， 则2122 2 1224122212k x x k k x x k ?+=??+?-?=?+? ， 又()1,0F ，()0,P k -，则()11,PA x y k =+，()111,AF x y =--， 由1PA AF λ=可得()1111x x λ=-，所以1111x x λ=-，同理可得2 22 1x x λ=-， 所以 12121211x x x x λλ+= +--()()()12 121212121212 22111x x x x x x x x x x x x x x +-+-==---++2222 22 22 422 2121242211212k k k k k k k k --?++=--+ ++4=-， 所以，12λλ+为定值-4. 【点睛】 本题考查直线与椭圆的定值问题，关键在于联立方程组，得出交点的坐标的关系，将目标条件转化到交点的坐标上去，属于中档题. 2．已知椭圆C ：()22 2210x y a b a b +=>>的离心率为12，且经过点31,2??-- ???， （1）求椭圆C 的标准方程； （2）过点()1,0作直线l 与椭圆相较于A ，B 两点，试问在x 轴上是否存在定点Q ，使得两条不同直线QA ，QB 恰好关于x 轴对称，若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）22 143 x y +=； （2）存在(4,0)Q ，使得两条不同直线QA ，QB 恰好关于x 轴对称. 【解析】 【分析】 （1）将点坐标代入方程，结合离心率公式及222a b c =+ ，即可求出2,a b ==，进而可求得椭圆C 的标准方程； （2）设直线l 的方程为1x my =+，与椭圆联立，可得12y y +，12y y 的表达式，根据

圆锥曲线中的定点定值问题(教师版)

第四讲 圆锥曲线中的定点定值问题 一、直线恒过定点问题 例1. 已知动点E 在直线:2l y =-上，过点E 分别作曲线2 :4C x y =的切线,EA EB ， 切点为 A 、 B , 求证：直线AB 恒过一定点，并求出该定点的坐标； 解：设),2,(-a E )4,(),4,(2 22211x x B x x A ，x y x y 2 1 4'2=∴= , )(21 41121点切线过，的抛物线切线方程为过点E x x x x y A -=-),(2 1 421121x a x x -=--∴整理得：082121=--ax x 同理可得：2 22280x ax --= 8 ,2082,2121221-=?=+∴=--∴x x a x x ax x x x 的两根是方程 )2 4,(2+a a AB 中点为可得，又22 12 121212124442 AB x x y y x x a k x x x x - -+====-- 2(2)()22a a AB y x a ∴-+=-直线的方程为，2()2 a y x AB =+∴即过定点0,2. 例2、已知点00(,)P x y 是椭圆22:12x E y +=上任意一点，直线l 的方程为0012 x x y y +=， 直线0l 过P 点与直线l 垂直，点M （-1，0）关于直线0l 的对称点为N ，直线PN 恒 过一定点G ，求点G 的坐标。 解：直线0l 的方程为0000()2()x y y y x x -=-，即000020y x x y x y --= 设)0,1(-M 关于直线0l 的对称点N 的坐标为(,)N m n 则0000001 212022x n m y x n m y x y ?=-?+??-??--=??，解得3200020432 0000 2002344424482(4)x x x m x x x x x n y x ?+--=?-??+--?=?-? ∴ 直线PN 的斜率为4320000032 00004288 2(34) n y x x x x k m x y x x -++--==---+

高考数学专题复习-圆锥曲线定值定点问题

圆锥曲线问题的解题规律可以概括为： “联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布范围，曲线定义不能忘，引参、用参巧解题，分清关系思路畅、数形结合关系明，选好，选准突破口，一点破译全局活。 定点、定直线、定值专题 已知直线l ： y=x+，圆O ：x 2+y 2=5，椭圆E ：过圆O 上任意一点P 作椭圆E 的两条切线，若切线都存在斜率，求证两切线斜率之积为定值． 2．过点作不与y 轴垂直的直线l 交该椭圆于M 、N 两点，A 为椭圆的左顶点，试判断∠MAN 的大小是否为定值，并说明理由． 3．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2 ）是椭圆，（a ＞b ＞0）上的两点，已知向量=（，），=（，），且，若椭圆的离心率，短轴长为2，O 为坐标原点： （Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若直线AB过椭圆的焦点F（0，c），（c为半焦距），求直线AB的斜率k 的值； （Ⅲ）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由． 4．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的倍，且椭圆 C经过点M． （1）求椭圆C的标准方程； （2）过圆O：上的任意一点作圆的一条切线l与椭圆C交于A、B两点．求证：为定值． 5．已知平面上的动点P（x，y）及两定点A（﹣2，0），B（2，0），直线PA，PB的斜率分别是k1，k2且． （1）求动点P的轨迹C的方程； （2）设直线l：y=kx+m与曲线C交于不同的两点M，N． ①若OM⊥ON（O为坐标原点），证明点O到直线l的距离为定值，并求出这个定值 ②若直线BM，BN的斜率都存在并满足，证明直线l过定点，并求出这个定点．

圆锥曲线中的定点和定值问题的解题方法

寒假文科强化（四）：圆锥曲线中的定点和定值问题的解答方法 【基础知识】 1、对满足一定条件曲线上两点连结所得直线过定点或满足一定条件的曲线过定点问题，设该直线（曲线）上两点的坐标，利用坐标在直线（或曲线）上，建立点的坐标满足的方程（组），求出相应的直线（或曲线），然后再利用直线（或曲线）过定点的知识加以解决. 2、在几何问题中，有些几何量与参数无关，这就构成了定值问题，解决这类问题一种思路是进行一般计算推理求出其结果；另一种是通过考查极端位置，探索出“定值”是多少，然后再进行一般性证明或计算，即将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角形式，证明该式是恒定的.如果试题以客观题形式出现，特殊方法往往比较奏效. 题型一 ：定点问题 法一：特殊探求，一般证明； 法二：设该直线（曲线）上两点的坐标，利用点在直线（曲线）上，建立坐标满足的方程（组），求出相应的直线（曲线），然后再利用直线（曲线）过定点的知识加以解决。 例1 设点A 和B 是抛物线?Skip Record If...?上原点以外的两个动点，且?Skip Record If...?，求证直线?Skip Record If...?过定点。 解：取?Skip Record If...?写出直线?Skip Record If...?的方程； 再取?Skip Record If...?写出直线?Skip Record If...?的方程；最后求出两条直线 的交点，得交点为?Skip Record If...?。 设?Skip Record If...?，直线?Skip Record If...?的方程为?Skip Record If...?， 由题意得?Skip Record If...?两式相减得 ?Skip Record If...?，即?Skip Record If...?， ?Skip Record If...?直线?Skip Record If...?的方程为?Skip Record If...?，整理得?Skip Record If...? ① 又?Skip Record If...??Skip Record If...?，?Skip Record If...??Skip Record If...?，?Skip Record If...?，?Skip Record If...? O A B

圆锥曲线的定点、定值和最值问题

圆锥曲线的定点、定值、范围和最值问题 会处理动曲线（含直线）过定点的问题；会证明与曲线上动点有关的定值问题；会按条件建 . 一、主要知识及主要方法： 1. 形式出现，特殊方法往往比较奏效。 2.对满足一定条件曲线上两点连结所得直线过定点或满足一定条件的曲线过定点问题，设该直线（曲线）上两点的坐标，利用坐标在直线（或曲线）上，建立点的坐标满足的方程（组），求出相应的直线（或曲线），然后再利用直线（或曲线）过定点的知识加以解决。 3.解析几何的最值和范围问题，一般先根据条件列出所求目标的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法、不等式法、单调性法、导数法以及三角函数最值法等求出它的最大值和最小值. 二、精选例题分析 【举例1】 （05广东改编）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x =上异于坐标原点O 的两不同 动点A 、B 满足AO BO ⊥． （Ⅰ）求AOB △得重心G 的轨迹方程； （Ⅱ）AOB △的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值； 若不存在，请说明理由． 【举例2】已知椭圆2 2142x y +=上的两个动点,P Q 及定点1,2M ? ?? ，F 为椭圆的左焦点，且PF ，MF ，QF 成等差数列.()1求证：线段PQ 的垂直平分线经过一个定点A ； ()2设点A 关于原点O 的对称点是B ，求PB 的最小值及相应的P 点坐标. 【举例3】（06全国Ⅱ改编）已知抛物线2 4x y =的焦点为F ，A 、B 是抛物线上的两动点，且 AF FB λ=u u u r u u u r （0λ>）．过A 、B 两点分别作抛物线的切线（切线斜率分别为0.5x A ，0.5x B ），设其交点为 M 。 （Ⅰ）证明FM AB ?u u u u r u u u r 为定值；

圆锥曲线中的定点定值问题的四种模型

2017届高三第一轮复习专题训练之 圆锥曲线中的定点定值问题的四种模型 定点问题是常见的出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。直线过定点问题通法，是设出直线方程，通过韦达定理和已知条件找出k 和m 的一次函数关系式，代入直线方程即可。技巧在于：设哪一条直线？如何转化题目条件？圆锥曲线是一种很有趣的载体，自身存在很多性质，这些性质往往成为出题老师的参考。如果大家能够熟识这些常见的结论，那么解题必然会事半功倍。下面总结圆锥曲线中几种常见的几种定点模型： 模型一：“手电筒”模型 例题、（07山东）已知椭圆C ：13 42 2=+y x 若直线m kx y l +=：与椭圆C 相交于A ，B 两点（A ，B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点。求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标。 解：设1122(,),(,)A x y B x y ，由22 3412 y kx m x y =+??+=?得222 (34)84(3)0k x mkx m +++-=， 22226416(34)(3)0m k k m ?=-+->，22340k m +-> 2121222 84(3) ,3434mk m x x x x k k -+=-?=++ 222 2 121212122 3(4) ()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -?=+?+=+++=+ 以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D 且1AD BD k k ?=-， 1212122 y y x x ∴?=---，1212122()40y y x x x x +-++=， 222222 3(4)4(3)1640343434m k m mk k k k --+++=+++， 整理得：22 71640m mk k ++=，解得：1222,7 k m k m =-=- ，且满足22 340k m +-> 当2m k =-时，:(2)l y k x =-，直线过定点(2,0),与已知矛盾； 当27k m =- 时，2:()7l y k x =-，直线过定点2(,0)7 综上可知，直线l 过定点，定点坐标为2 (,0).7 ◆方法总结：本题为“弦对定点张直角”的一个例子：圆锥曲线如椭圆上任意一点P 做相互垂直的直 线交圆锥曲线于AB ，则AB 必过定点)) (,)((2 222022220b a b a y b a b a x +-+-。（参考百度文库文章：“圆锥曲线的弦对定点张直角的一组性质”） ◆模型拓展：本题还可以拓展为“手电筒”模型：只要任意一个限定AP 与BP 条件（如=?BP AP k k 定值，=+BP AP k k 定值），直线AB 依然会过定点（因为三条直线形似手电筒，固名曰手电筒模型）。（参考优酷视频资料尼尔森数学第一季第13节） 此模型解题步骤： Step1：设AB 直线m kx y +=，联立曲线方程得根与系数关系，?求出参数范围； Step2：由AP 与BP 关系（如1-=?BP AP k k ），得一次函数)()(k f m m f k ==或者； Step3：将)()(k f m m f k ==或者代入m kx y +=，得定定y x x k y +-=)(。 ◆迁移训练 练习1：过抛物线M:px y 22 =上一点P （1,2）作倾斜角互补的直线PA 与PB ，交M 于A 、B 两点，求证：直线AB 过定点。（注：本题结论也适用于抛物线与双曲线）

1圆锥曲线中的定值问题

4 / 4 圆锥曲线中的定值问题 1.在圆锥曲线问题中,定值问题是常考题型,解题的一般步骤为:（1）设出直线的方程b kx y +=或t my x +=、点的坐标;（2）通过题干所给的已知条件,进行正确的运算,将需要用到的所有中间结果(如弦长、距离等)表示成直线方程中引入的变量，转化成函数问题。通过计算得出目标变量为定值或者最值。 2.解析几何大题计算过程中经常用到弦长公式,下面给出常用的计算弦长的公式: (1)若直线AB 的方程设为(),,),,(,2211y x B y x A m kx y +=则 ()a k x x x x k x x k AB ??+=-+?+=-?+=22122122121411 (2)若直线AB 的方程设为(),,),,(,2211y x B y x A t my x +=,则 ()a m y y y y m y y m AB ??+=-+?+=-?+=22122122121411 注:其中a 指的是将直线的方程代入圆锥曲线方程后,化简得出的关于x 或y 的一元二 次方程的平方项系数,?指的是该方程的判别式.通常用a k AB ??+=21或 a m AB ??+=21计算弦长较为简便 【例1.】设抛物线,:2x y C =直线l 经过点） （0,2且与抛物线交于A 、B 两点，证明：?为定值。

4 / 4 【例 2.】已知椭圆)0(1:22 22>>=+b a b y a x C 的离心率为 AOB O b B a A ?),0,0(),0),0,(2 3，（，的面积为1. （1）求椭圆C 的方程； （2）设P 为C 上一点，直线PA 与y 轴交于点,M 直线PB 与x 轴交于点.N 求证：BM AN ?为定值。

(完整版)专题——圆锥曲线定值问题

高三二轮一一圆锥曲线中的“定值”问题 概念与用法 圆锥曲线中的定值问题是高考命题的一个热点，也是圆锥曲线问题中的一个难 点.解决这个难点的基本思想是函数思想， 可以用变量表示问题中的直线方程、数量积、 比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系等不受变量所影响的一个值，就是要求 的定值?具体地说，就是将要证明或要求解的量表示为某个合适变量的函数，化简消去 变量即得定值. 基本解题数学思想与方法 在圆锥曲线中，某些几何量在特定的关系结构中， 不受相关变元的制约而恒定不变， 则称该变量具有定值特征. 解答此类问题的基本策略有以下两种： 1、 把相关几何量的变元特殊化，在特例中求出几何量 的定值，再证明结论与特定状态 无关. 2、 把相关几何量用曲线系里的参变量表示，再证明结论与求参数无关. 题型示例 一?证明某一代数式为定值： 1、如图，M 是抛物线上y 2=x 上的一点，动弦ME 、MF 分别交x 轴于A 、B 两点，且MA=MB. 解：由已知条件，得 F(0, 1), Z>O ?设 A(x 1, y 1), B(x 2, y 2).由 AF =入FB , 即得 (一x 1, 1 — y) = ?(X 2, y 2 — 1),所以 —X1=入2 ① 1 — y1 =心2— 1)② 若M 为定点，证明：直线 EF 的斜率为定值; 解：设M (y 0 ,y o ),直线 ME 的斜率为 k(l>0)，直线 MF 的斜率为—k , 直线 ME 方程为y y o k(x y (). ???由 y o k (x yo) ，消 x 得 ky 2 y o (i ky o ) o 解得 y F 1 ky o X F 2 (1 ky o ) 厂； 同理 1 ky ,X F 1 ky 2 y E y F X E X F 1 k (1 ky 。) ky o 1 ky o 2 (1 ky °) 2 k 4ky o 2y o (定值) k 2 所以直线EF 的斜率为定值 k 2 ▲利用消元法 2、已知抛物线x 2= 4y 的焦点为 F , A 、B 是抛物线上的两动点, 且AF =入FB B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为 M .证明FM -AB 为定值

圆锥曲线定点、定直线、定值问题

定点、定直线、定值专题 1、已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程； （Ⅱ）若直线l :y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点（A B ，不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标． 【标准答案】(I)由题意设椭圆的标准方程为22 221(0)x y a b a b +=>> 3,1a c a c +=-=，2 2,1,3a c b ===22 1.43 x y ∴+ = (II)设1122(,),(,)A x y B x y ，由2214 3y kx m x y =+?? ?+=??得222(34)84(3)0k x mkx m +++-=， 22226416(34)(3)0m k k m ?=-+->，22340k m +->. 2121222 84(3) ,.3434mk m x x x x k k -?+=-?=++222 2 121212122 3(4) ()()().34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -?=+?+=+++=+ 以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D 1AD BD k k ?=-，1212122 y y x x ∴ ?=---， (最好是用向量点乘来)1212122()40y y x x x x +-++=， 2222223(4)4(3)1640343434m k m mk k k k --+++=+++， 2271640m mk k ++=，解得1222,7 k m k m =-=- ，且满足22 340k m +->. 当2m k =-时，:(2)l y k x =-，直线过定点(2,0),与已知矛盾； 当27k m =- 时，2:()7l y k x =-，直线过定点2 (,0).7 综上可知，直线l 过定点，定点坐标为2 (,0).7 2、已知椭圆C 的离心率e = ()1A 2,0-，()2A 2,0。（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线x my 1=+与椭圆C 交于P 、Q 两点，直线1A P 与2A Q 交于点S 。试问：当m 变化时，点S 是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由。

圆锥曲线中的定值定点问题

圆锥曲线中的定值定点 问题 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

2019届高二文科数学新课改试验学案(10) ---圆锥曲线中的定值定点问题 1.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>> 点(在C 上. （I ）求C 的方程； （II ）直线l 不经过原点O ,且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A ,B ,线段AB 中点为M , 证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率乘积为定值. 2.已知椭圆C ：22 221x y a b +=过点A （2,0），B （0,1）两点. （I ）求椭圆C 的方程及离心率； （Ⅱ）设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ， 求证：四边形ABNM 的面积为定值. 3.椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为12 ，其左焦点到点()2,1P （I ）求椭圆C 的标准方程 （Ⅱ）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于,A B 两点（,A B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆 过椭圆C 的右顶点。求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标. <圆锥曲线中的定值定点问题>答案 1.【答案】（I ）22 22184 x y +=（II ）见试题解析

试题解析： 【名师点睛】本题第一问求椭圆方程的关键是列出关于22,a b 的两个方程,通过解方程组求出22,a b ,解决此类问题要重视方程思想的应用；第二问是证明问题,解析几何中的证明问题通常有以下几类：证明点共线或直线过定点；证明垂直；证明定值问题. 2.

圆锥曲线中的定点,定值问题

圆锥曲线中的定点，定值问题 《学习目标》： 1. 探究直线和椭圆，抛物线中的定点定值问题 2. 体会数形结合，转化与化归的思想 3. 培养学生分析问题，逻辑推理和运算的能力 活动一 根深蒂固： 题根：已知AB 是圆O 的直径，点P 是圆O 上异于A,B 的两点，k 1，k 2是直线PA,PB 的斜率，则k 1k 2= -1. 问题1 这是一个师生都很熟悉的结论，这个结论能否类比推广到其它一些圆锥曲线呢？ 问题2 如图，点P 是椭圆x 2 4＋y 2 ＝1上除长轴的两个顶点外的任一点，A,B 是该椭圆长轴的2个端点，则直线PA,PB 的斜率之积为______. 问题 3 椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 长轴的两个顶点与椭圆上除这两个顶点外的任一点连线斜率之积为______ ． 问题4 .证明： 设 A 、B 是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上关于原点对称的两点，点P 是该椭圆上不同于A,B 的任一点，直线PA,PB 的斜率为k 1，k 2,则k 1k 2 为2 2b a -

活动二 根深叶茂： 问题5（2012年南通二模卷）如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，B 、C 分别为椭圆的上、下顶点，直线BF 2与椭圆的另一交 点为D.若cos∠F 1BF 2＝725，则直线CD 的斜率为__________． 问题6：（2011年全国高考题江苏卷18）如图，在平面直角坐标系xOy 中，M 、N 分别是椭圆12 42 2=+y x 的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P 、A 两点，其中P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连接AC ，并延长交椭圆于点B ，设直线PA 的斜率为k 。 （1）略 （2）略 （3）对任意k>0，求证：PA ⊥PB

圆锥曲线专题——定值定点问题(附解析)

第1页（共15页） 圆锥曲线专题——定值定点问题 1．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为1 2 ，以原点O 为圆心，椭圆的短半轴长为 半径的圆与直线0x y -+=相切． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程； （Ⅱ）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A 、B 两点，且2 2OA OB b k k a =-，判断AOB ?的面 积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由． 【解答】 解：（1）椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -=相切， ∴b == 又222a b c =+，1 2 c e a = =， 解得24a =，23b =， 故椭圆的方程为22 143 x y +=． ()II 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，由22 14 3y kx m x y =+?? ?+=??化为222(34)84(3)0k x mkx m +++-=， △22226416(34)(3)0m k k m =-+->，化为22340k m +->． ∴122 834mk x x k +=-+，21224(3)34m x x k -=+． 222 2 121212122 3(4) ()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -=++=+++=+， 3 4 OA OB k k =-，

第2页（共15页） ∴ 121234y y x x =-，12123 4 y y x x =-， 22222 3(4)34(3)34434m k m k k --=- + +，化为22 243m k - =， ||AB = = 又114d = =- = ， 1 ||2 S AB d === 22 === （1）求椭圆E 的标准方程； （2）过F 作直线l 与椭圆交于A 、B 两点，问：在x 轴上是否存在点P ，使PA PB 为定值，若存在，请求出P 点坐标，若不存在，请说明理由． 【解答】解：（ 1）由题意知1c =，过F 且与x 轴垂直的弦长为3， 则223b a =，即222() 3a c a -=，则2a =，b ∴椭圆E 的标准方程为22143 x y +=； （2）假设存在点P 满足条件，设其坐标为(,0)t ， 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，当l 斜率存在时，设l 方程为(1)y k x =-， 联立22 (1) 3412 y k x x y =-??+=?，整理得：2222(43)84120k x k x k +-+-=，△0>恒成立．

圆锥曲线中的定值定点问题

2019届高二文科数学新课改试验学案(10) ---圆锥曲线中的定值定点问题 1.已知椭圆()2 2 22:10x y C a b a b +=>> 的离心率为2,点(在C 上. （I ）求C 的方程； （II ）直线l 不经过原点O ,且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A ,B ,线段AB 中点为M , 证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率乘积为定值. 2.已知椭圆C ：22 221x y a b +=过点A （2,0），B （0,1）两点. （I ）求椭圆C 的方程及离心率； （Ⅱ）设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ， 求证：四边形ABNM 的面积为定值.

3.椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为12 ，其左焦点到点()2,1P （I ）求椭圆C 的标准方程 （Ⅱ）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于,A B 两点（,A B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆 过椭圆C 的右顶点。求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标.

<圆锥曲线中的定值定点问题>答案 1.【答案】（I ）22 22184 x y +=（II ）见试题解析 试题解析： 【名师点睛】本题第一问求椭圆方程的关键是列出关于22,a b 的两个方程,通过解方程组求出22 ,a b ,解决此类问题要重视方程思想的应用；第二问是证明问题,解析几何中的证明问题通常有以下几类：证明点共线或直线过定点；证明垂直；证明定值问题.

32c e a ==． 从而四边形ABNM 的面积为定值． 【名师点睛】解决定值定点方法一般有两种：(1)从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、定线与变量无关；(2)直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线.应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算.

圆锥曲线的定点、定值和最值问题

圆锥曲线的定点、定值、范围和最值问题 会处理动曲线（含直线）过定点的问题；会证明与曲线上动点有关的定值问题；会按条件建 立目标函数，研究变量的最值问题及变量的取值范围问题，注意运用“数形结合”“几何法”求某些量的最值. 一、主要知识及主要方法： 1.在几何问题中，有些几何量与参数无关，这就构成了定值问题，解决这类问题一种思路是进行一般计算 般性证明或计算，即将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角形式，证明该式是恒定的。如果试题以客观题形式出现，特殊方法往往比较奏效。 2.对满足一定条件曲线上两点连结所得直线过定点或满足一定条件的曲线过定点问题，设该直线（曲线） 上两点的坐标，利用坐标在直线（或曲线）上，建立点的坐标满足的方程（组），求出相应的直线（或曲线），然后再利用直线（或曲线）过定点的知识加以解决。 3.解析几何的最值和范围问题，一般先根据条件列出所求目标的函数关系式，然后根据函数关系式的特征 选用参数法、配方法、判别式法、不等式法、单调性法、导数法以及三角函数最值法等求出它的最大值和最小值. 二、精选例题分析 【举例1】 （05广东改编）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x =上异于坐标原点O 的两不同 动点A 、B 满足AO BO ⊥． （Ⅰ）求AOB △得重心G 的轨迹方程； （Ⅱ）AOB △的面积是否存在最小值若存在，请求出最小值； 若不存在，请说明理由． 【举例 2】已知椭圆221 42x y +=上的两个动点,P Q 及定点1,2M ? ?? ，F 为椭圆的左焦点，且PF ，MF ，QF 成等差数列.()1求证：线段PQ 的垂直平分线经过一个定点A ；

圆锥曲线中的定点定值问题

第四讲 圆锥曲线中的定点定值问题 、直线恒过定点问题 例1.已知动点E 在直线l : y 2上，过点E 分别作曲线C : x 2 4y 的切线EA, EB ， 直线10过P 点与直线I 垂直，点M （ -1 , 0）关于直线10的对称点为 N 直线PN 恒 过一定点G 求点G 的坐标。 x ° (y y °) 2y °(x 沧)，即 2y °x x °y ^y 。2 2 解：设 E(a, 2), AX,竺)，B%,^), 4 4 2 x y 4 1 y 1 X 2 2 过点A 的抛物线切线方程为y x1 4 1 X 1(X 2 xj, 切线过E 点, 切点为A 、B ,求证：直线 AB 恒过一定点，并求出该定点的坐标; 2 X i 1 2 x 1(a x 1),整理得：x 1 2ax 1 8 0 2 4 同理可得： 2 x 2 2ax 2 8 0 2ax 8 0的两根 X 1 2 a, X 1 x 2 8 可得AB 中点为（a, 4 ），又k AB 上 y X 1 x 2 2 X 1 X 1 X | X 2 a 4 2 2 直线AB 的方程为y e 2) 評a ） ，即y 即2 AB 过定点（0,2 ）. 例1改为：已知A 、B 是抛物线y 2 定点（2p,0）. 2 px （ p 0）上两点，且OA OB ,证明：直线AB 过 x 2 例2、已知点P （x 0,y °）是椭圆E : 一 2 1上任意一点，直线 x °x 的方程为2 解：直线l 0的方程为 x 1, x 2是方程x 2

设M( 1,0)关于直线I 。的对称点 N 的坐标为N (m, n) 2y o x o 2y o 1 X °n 2x 。3 3x o 2 4x o 4 解得 直线 x °y ° x o 2 4 2x o 4 4x 。3 4x o 2 8x o 2 2y o (4 x o ) PN 的斜率为 y o x o 4 x o 4x 03 2x 02 8x 0 8 3 2 2y o ( x o 3x o 4) 从而直线 PN 的方程为: y o x 04 4x 03 2x 02 8 x 0 8 (x x o ) 3 2 2y o ( X o 3x o 4) 2y o ( X 。3 3x o 2 4) X o 4 4x o 3 2x o 2 8x 。8 从而直线PN 恒过定点G(1,0) 二、恒为定值问题 例3、已知椭圆两焦点 F |、F 2在y 轴上，短轴长为2 2，离心率为 一， 2 P 是椭圆在第 UJU UULU 象限弧上一点，且 PF 1 PF 2 1，过P 作关于直线F 1P 对称的两条直线 PA PB 分别交椭 圆于A 、B 两点。 (1) 求P 点坐标; (2) 求证直线 AB 的斜率为定值; 解：(1) 2 设椭圆方程为占 a 2 x _ 1，由题意可得 b 2 a 2,b ■ 2, c 2 2 ，所以椭圆的方程为 2 y 4 则 F 1(0, 2),F 2(0, 2)，设 P(x o ,y o )(x o o, y o 0) uju r UULT l U UUT 则 PF 1 (心」2 y o ), PF 2 x o , y o ), UU LU UUU UUUU … … PF 1 PF 2 x 2 (2 y 2) 1 2 Q 点P(X o , y o )在曲线上，则' 2 2 y o 4 1. 2 X o 2 y o

圆锥曲线中的定点和定值问题(毛玉峰)

圆锥曲线中的定点和定值问题 泰兴市第二高级中学 毛玉峰 圆锥曲线是解析几何的重要内容之一,是高考的重点考查内容.这部分知识综合性较强,对学生逻辑思维能力、计算能力等要求很高,特别是圆锥曲线中的定点与定值问题,此类问题主要涉及到直线、圆、圆锥曲线等方面的知识，渗透了函数、化归、数形结合等思想，是高考的热点题型之一. 【要点梳理】 1.解析几何中，定点、定值问题是高考命题的一个热点，也是一个难点，解决这类问题基本思想是明确的，那就是定点、定值必然是在变化中所表现出来的不变量，所以可运用函数的思想方法，选定适当的参数，结合等式的恒成立求解，也就是说与题中的可变量无关。 2.椭圆中常见的定值结论： 结论1：经过原点的直线l 与椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>相交于,M N 两点，P 是椭圆上的动 点，直线,PM PN 的斜率都存在，则PM PN k k 为定值2 2b a -. 结论2：已知,M N 是椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>两点，P 是,M N 的中点，直线,MN OP 的 斜率都存在，则MN OP k k 为定值2 2b a -. 结论3：设,,A B C 是椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>上的三个不同点，,B C 关于x 轴对称，直线 ,AB AC 分别与x 轴交于,M N 两点，则OM ON 为定值2a . 结论4：过椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>上一点00(,)P x y 上任意作两条斜率互为相反数的直线 交椭圆于,M N 两点，则直线MN 的斜率为定值20 20b x a y . 结论5：分别过椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上两点00(,)P x y ，'' 00(,)Q x y 作两条斜率互为相反 数的直线交椭圆于,M N 两点，则直线MN 的斜率为定值2' 002' 00() () b x x a y y ++. 3. 定点问题：对圆锥曲线中定点的确定，通常设出适当的参数，求出相应曲线系（直线系）方程，利用定点对参变量方程恒成立的特点，列出方程（组），从而确定出定点或者也可以对参变量取特殊值确定出定点，再进行一般性证明 .