当前位置：文档库 › 高二第二学期数学期中考试

高二第二学期数学期中考试

北大附中高二第二学期数学期中考试

______班姓名：________

一、选择题：（30分）

1．若用C 、R 和I 分别表示复数集、实数集和纯虚数集，其中C 为全集，则

A ．C=R ∪I

B ．R ∩I={0}

C ．I C R ?=

D ．R ∩I=ф

2．已知x 、y 是复数，

（1）若02

2=+y x ，则x=y=0，

（2）若xy=0，则x=0或y=0

（3）22||x x =，

（4）若x x -=则x 是纯虚数。

上面的命题中正确的命题的个数是

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3 3．若a>b>0则=++++++--+∞→1

1221lim n n

n n n n n a b ab b a b a a A ．b a -1 B ．b

a b + C ．

b a a + D ．b a +1

4．某个命题与自然数n 有关，如果当n=k(k ∈N)时该命题成立，那么可推出n=k+1时该命题也成立，现已知当n=100时该命题不成立，那么可以推得：

A ．当n=101时该命题不成立

B ．当n=101时该命题成立

C ．当n=99时该命题不成立

D ．当n=99时该命题成立

5．复数i i i 31)1(22

-+等于

A ．i 31+

B ．i 31+-

C ．i 31-

D ．i 31--

6．集点在（-1，0），顶点在（1，0）的抛物线方程是

A ．)1(82+=x y

B ．)1(82+-=x y

C ．)1(82-=x y

D ．)1(82--=x y

7．用一个与圆柱母线成60度的平面截圆柱，截口是一个椭圆，这个椭圆的离心率是

A ．2

3 B ．0.5 C ．0.25 D ．

22 8．设双曲线C ：13

=-y x 的左准线与x 轴交点是M ，则过M 与双曲线C 有且只有一个交点的直线共有

A ．2条

B ．3条

C ．4条

D ．无数条

9．过抛物线)0(22

>=p px y 的焦点做直线交抛物线与),(11y x A ，),(22y x B 两点，若p x x 321=+则|AB|等于：

A ．2p

B ．4p

C ．6p

D ．8p

10．将曲线C 向右平移3个单位，再向下平移1个单位得到曲线C ′，若曲线C ′的方程为15

2=-y x ，则曲线C 的焦点坐标为：

A ．（6，1），（0，-1）

B ．（-6，1）（0，1）

C ．（-3，2），（-3，-4）

D ．（3，2），（3，-4）

二、填空题：（32分）

11．椭圆：9322=+y x 的离心率e=_______，准线方程：________.

12．复数33254321i

i i i ++++的实部是______，虚部是______. 13．已知等比数列{}n a 中，9321=++a a a ，3654-=++a a a ，

n n a a a a S ++++= 321，则n n S ∞

→lim 等于_________。

14．计算：__________________|43|)23()31()

1()1(484=-+-++-i i i i i 。 15．双曲线中心在原点，对称轴为坐标轴，过)12,25(-A ，一条渐近线方程为12x -5y=0，则双曲线方程为：___________

16．已知方程|z -2|-|z+2|=a 表示等轴双曲线（实轴和虚轴长度相等的双曲线），则实数a 的值为：________

17．已知|z|=2，则当z=_________时，有|z+5i|的最大值等于___________

18．某桥的桥洞是抛物线，桥下水面宽16米，当水面上涨2米后达警戒水位，水面宽变为12米，此时桥洞顶部距水面高度为_________米。（精确到0.1米）

三．过程题：

19．（6分）求满足下列条件的复数z ：i z z 632||-=+

20．（8分）过抛物线x y 42=的焦点，且倾斜角为

43π的直线交抛物线于P 、Q 两点，O 是坐标原点，求△OPQ 的面积。

21．（12分）已知数列{}n a 满足：21=a ，32=a , n n n a a a 2312-=++（n ∈N ）

（1）计算3a 、4a 、5a ，猜想数列{}n a 的通项公式；用数学归纳法给出证明。

（2）比较n a 与2n 的大小，证明得到的结论。

22．（12分）设双曲线C 的中心在原点，对称轴为坐标轴，离心率e=2，其中一个焦点与抛物线x y 3

382=相同，直线a ：y=kx+1与双曲线C 交于A 、B 两点，（1）求双曲线C 的方程；（2）k 为何值时，以AB 为直径的圆过原点；

（3）是否存在这样的实数k ，使A 、B 关于直线y=mx 对称(m 为常数)？若存在求出k ；若不存在说明理由。

北大附中高二第二学期数学期中考试参考答案

一．1.D 2.B 3.A 4.C 5.D 6.D 7.B 8.C 9.B 10.B

二．

11．3

6，263±=y 12．-2，3

13．4

27 14．-1+(7-9i)/5=-12/5-9i/5

15．1144

252

2=-y x 16．22±

17．2i 7

18．2.6

三． 19．解设z=x+yi, x,y ∈R

?????-=-=++6

23222y x y x 解得：?

??===)(403舍或x x y 所求复数为：z=3i

20．解：

（1）计算得：53=a 、94=a 、175=a ；(1分)

猜想{}n a 的通项公式为：121+=-n n a 其中n ∈N

下面用数学归纳法给出证明：

直接验算知21=a ，32=a , 满足121+=-n n a 。

假设n=k 和n=k+1时猜想成立，即121+=-k k a ；121+=+k k a ；

k k k a a a k n 23:212-=+=++

1212)12(2)12(31)2(11+=+=+-+=-++-k k k k

猜想也成立，

由数学归纳法知：

{}n a 的通项公式是121+=-n n

a 其中n ∈N （2）2112>=a ，2223<=a ，2335<=a 、2449<=a 、25517<=a ，

26633<=a 、27765>=a 、

当n ≥7有，2n a n >成立， (1分)

下面证明这一结论：

n=7时已验证命题成立：

假设n=k （≥7）时有2k a k >成立，

n=k+1时：221)1(121212+>->-=+=+k k a a k k k ，

这是因为k ≥7时，03)1()1(122

22>--=+-k k k

命题也成立，由数学归纳法知：

对n ≥7得自然数，有2n a n >成立。(5分)

综上所述：当n=1或n ≥7时：2n a n >；当使：2≤n ≤6时，2n a n >。(6分)

21．解：

抛物线x y 42=的焦点为F （1，0），过F 点倾斜角为4

3π的直线方程设为y=-(x -1)与x y 42=联立。

可以求得|PQ|=8。坐标原点O 到直线y=-(x -1)的距离为△OPQ 的高，其数值为22，故所求△OPQ 的面积为2282

221=??=

?OPQ S （面积单位）。

22．略解：（1）所求双曲线C 的方程：1322=-y x

（2）1322=-y x ……①与直线a ：y=kx+1……②联立

得：022)3(22=---kx x k ……③

△>0得6||

设),(11y x A ，),(22y x B ，要使以AB 为直径的圆过原点，就要OA ⊥OB ，

也即：01)(21212

212121=++++=+x x k x x k x x y y x x

利用③和韦达定理，得12=k ，k=±1这个结果也满足条件④。

（3）若双曲线C 上存在A 、B 关于直线y=mx 对称，则m k k AB /1-==，⑤ AB 的中点2/)(21x x M +，12/)(21++x x k 应在直线y=mx 上，于是：

2/)(12/)(2121x x m x x k +=++……⑥

再由③)3/(2/)(2

21k k x x -=+代入⑥：

)3/()3/(322k mk k -=-。

得到k=3/m 这与⑤矛盾。故所求k 不存在。

新高二数学上期末试卷带答案

新高二数学上期末试卷带答案一、选择题 1．将1000名学生的编号如下：0001，0002，0003，…，1000，若从中抽取50个学生，用系统抽样的方法从第一部分0001，0002，…，0020中抽取的号码为0015时，抽取的第40个号码为（） A．0795B．0780C．0810D．0815 2．把五个标号为1到5的小球全部放入标号为1到4的四个盒子中，并且不许有空盒，那么任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中的概率是（） A．3 20 B． 7 20 C． 3 16 D． 2 5 3．七巧板是古代中国劳动人民的发明，到了明代基本定型．清陆以湉在《冷庐杂识》中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余．如图，在七巧板拼成的正方形内任取一点，则该点取自图中阴影部分的概率是（） A． 1 16 B． 1 8 C．3 8 D． 3 16 4．我国古代数学著作《九章算术》中，其意是：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升．问：米几何？右图是源于其思想的一个程序框图，若输出的2 S=（单位：升），则输入k的值为 A．6 B．7 C．8 D．9 5．执行如图所示的程序框图，若输入8 x=，则输出的y值为（）

A ．3 B ． 52 C ． 12 D ．34 - 6．执行如图的程序框图，如果输入72m =，输出的6n =，则输入的n 是（） A ．30 B ．20 C ．12 D ．8 7．某高校大一新生中,来自东部地区的学生有2400人、中部地区学生有1600人、西部地区学生有1000人.从中选取100人作样本调研饮食习惯,为保证调研结果相对准确,下列判断正确的有（） ①用分层抽样的方法分别抽取东部地区学生48人、中部地区学生32人、西部地区学生20人； ②用简单随机抽样的方法从新生中选出100人；