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勾股定理教材分析.word

勾股定理

一、课标要求：

1、经历探索勾股定理的过程，进一步发展自身合情推理意识和主动探究的习惯，体会数学与现实生活的紧密联系。

2、理解直角三角形三边之间的数量关系，有意识地发现自己说理和简单推理的能力

3、可以运用勾股定理解决一些实际问题，并通过实例了解勾股定理的历史和应用，体会它的文化价值。

二、中考要求：

1、已知直角三角形的两边长，会求第三边长（A级）

2、会用勾股定理解决简单问题；会用勾股定理逆定理判定三角形是否为直角三角形。（B级）

3、了解定义、命题、定理含义；了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，并知道原命题成立，逆命题不一定成立（A级）

三、本章结构图：

互逆定理

四、课时安排：

本章教学时间约需要7课时，具体安排如下：

18.1 勾股定理3课时

18.2 勾股定理的逆定理2课时

18.3 小结2课时

五、本章教材在学习中地位：

勾股定理是直角三角形的一条非常重要的性质，它将数与形密切联系起来，揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系,是后续学习解直角三角形、余弦定理的基础，是三角形知识的深化, 他紧密联系了数学中最基本的两个量——数和形，能够把形（直角三角形中一个

角是直角）转化成数量关系（三边之间满足2

+），既是数形结合的典范，又体现了转化和方程思想。

由于本章在二次根式之前，学生对根式的运算极不熟悉，故本章的运算结果如何保留，如何有效地减少计算错，需要老师们注意。

六、本章教学特点：

1、让学生体验勾股定理的探索和运用过程

从勾股定理证明的探索，到教科书让学生利用勾股定理探究三个问题：探究1是木板进

门的问题，探究2是梯子滑动问题，探究3

2、注意体现由抽象到具体的思维过程

本章无论勾股定理还是勾股定理逆定理的研究都体现着由抽象到具体的思维过程。在

勾股定理逆定理的一节中，从古代埃及人画直角的方法谈起，然后让学生画一些直角三角形，可以猜想出如果三边长222,,a b c a b c +=满足，那么这个三角形显然是直角三角形，即教科书的命题2。把命题2的条件、结论与上一节命题1的条件、结论作比较，引出逆命题、逆定理的概念。

3、注重介绍数学文化

在教学中，注意展现与勾股定理有关的背景知识，使学生对勾股定理的发展过程有所了解，感受勾股定理丰富的文化内涵，激发学生的学习兴趣。特别应通过向学生介绍我国古代在勾股定理研究方面的成就，激发学生的爱国热情，培养他们的民族自豪感，为将来担负起振兴中华的重任打下基础。

? 勾股定理的名称

在西方国家，一般称勾股定理为毕达哥拉斯定理，因为人们相信是毕达哥拉斯最早提出并证明了这一定理。并且据说，他在发现这一结论时，欣喜若狂，杀牛百只以供奉神灵。因而这一定理又有了“百牛定理”的称法。在法国和比利时这个定理被称为“驴桥定理”。在中世纪的阿拉伯国家和印度，这一定理还有一个绰号，叫“新娘图”。至于绰号由来，现代人众说纷纭，莫衷一是。

在我国以前也称这一定理为毕达哥拉斯定理。五十年代初，曾展开过关于这一定理命

名的讨论。有人主张叫“商高定理”。因这一结论的在我国最早是由西周初的商高提出的。在数学著作《周髀算经》一书中，记载有商高与周公的对话，其中商高提出了“勾三股四弦五”的说法。不过据推断，他还只是了解三边满足3：4：5关系的特例情况，普遍性的结论，由陈子提出。他说：“……勾股各自乘，并而开方除之……”这是普遍勾股定理在我国的最早记载。故有人主张应称为“陈子定理 ”。后来决定不用人名，而称为 “勾股定理”。单就名称之多，勾股定理就可创下一项平面几何之最了。

七、各节特点： §1、探索勾股定理 1、勾股定理

（1）定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

（2）表示方法：如果直角三角形两直角边分别为,a b ，斜边为c ，那么222a b c += （3）起源与作用：

不仅对中国，它的启示和影响对世界许多重要的科学发现也都很重要。如在西方无理数的发现就应直接归功于勾股定理的发现。在其它文明古国如古代印度、古代巴比伦、古代埃及等的数学发展史上这一定理也都发挥过不可估量的作用。毫不夸张地说，它是世界各大文明古国最早认识也是最广泛使用的数学定理之一，是人类最伟大的十大科学发现之一。天文学家开普勒亦把它称为几何定理中的“黄金”，应该说勾股定理实在是受之无愧的！因此勾股定理有千年第一定理的美誉。

因为：

① 勾股定理是联系数学中最基本也是最原始的两个对象——数与形的第一定理； ② 勾股定理导致无理数的发现，引发数学的第一次危机；

③ 勾股定理开始把数学由计算与测量转化为证明与推理的科学；

④ 勾股定理的公式是第一个不定方程，它一方面引出各种各样的不定方程；另一方面也为不

定方程解题树立了一个范示。勾股定理222a b c +=本身就是一个关于,,a b c 的不定方程，显然它有无数多组解，满足该方程的正整数解,,a b c 通常叫做勾股数组。世界上第一次给出勾股数通解公式的是《九章

算术》，公式为：221()2a m n =-，b mn =，22)1

c m n =+，其中,m n 为互质的奇数()m n >，

则,,a b c 为勾股数。国外最先给出勾股数通解公式为：2a mn =，22b m n =-，22c m n =+，其中,m n ()m n >是互质且一奇一偶的任意正整数，则,,a b c 为勾股数，这是由希腊的丢番图给出的。

2、勾股定理的证明

关于中西方勾股定理不同证法，全日制初中义务教育数学教材(人教版)一共介绍了6种证法，让学生开阔眼界，并让他们感受到我国古代数学家赵爽利用勾股方圆图证明勾股定理是多么巧妙，多么的简捷，融几何知识与代数知识于一体，真可谓独具匠心。勾股定理除了教材中介绍的6种证法外，还有许多巧妙的证明。千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家、画家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单又实用，更容易吸引人，才使它成百次地反复被人炒作，反复被人论证。1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑，其中收集了367种不同的证明方法。实际上还不止于此，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法。这是任何定理无法比拟的。

例如：勾股定理的证明方法非常多，利用拼图的方法验证勾股定理，是我

国古代数学家的伟大贡献。三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注是就给出了弦图，并用它验证了勾股定理。其证明过程是：

221

4()2

c ab b a =??+-=222222ab b ab a b a +-+=+（面积法验证勾股定理）

其它证法：见2008年2月版教师用书117页到118页，124页到125页

3、勾股定理的使用范围

勾股定理揭示了直角三角形三边之间的数量关系，它只适用直角三角形，对于钝角三角形和锐角三角形的三边不具有这一特征。因而在应用勾股定理时必须明了所考察对象是直角三角形。

4、勾股定理的应用

（1）已知直角三角形任意两边的长，利用勾股定理可求出第三边长；（2）知道直角三角形某一边长，可得另两边之间的数量关系；（3）可运用勾股定理解决一些实际问题

5、需要注意的问题：

（1）运用勾股定理解决问题时，必须是在直角三角形的条件下，不可不加分析就用勾股定理来进行计算。典型错误：

例：已知在?ABC 中，,,a b c 分别是A ∠、B ∠，C ∠的对边，且3,4a b ==，且b c <。若c 为整数，则c =

错解：由勾股定理可得c ==分析：上面的解法受“勾三、股四、弦五”的影响，没有认真审题，错在没有注意到题目中的三角形是否为直角三角形。

正解：b a c b a -<<+，又,b c b c a b <∴<<+，即47c <<，c 为整数，c ∴为5或6

（2）在运用勾股定理进行计算时，一定明确哪条是直角边，哪条是斜边，以防止运用不当。典型错误：

已知：三角形两边的长分别是5和12，如果这个三角形是直角三角形，则其第三边长为错解：设第三边长为x ，则由勾股定理可得：222512x +=，13x ∴=

分析：由于此题中已知直角三角形的两边长，但没有明确这两条边是直角边还是斜边，故需要分情况讨论

正解：当x 为斜边时，13x =；当x

为直角边时，x =故第三边长为13

或

6、知识点

知识点一：利用勾股定理求线段长的简单应用

（1）在Rt ?ABC 中，90C ∠=?，①若7,24,a b c ===则；②若5,13,a c ===则b ；③若15,25,b c ===则a

（2

）等腰直角三角形的斜边长为，则此直角三角形的腰长为

（3）在直角三角形ABC 中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，则斜边AB= ，斜边AB 上的高线长为。（与面积的结合）

（4）等边三角形的边长为2㎝，则它的面积为

（5）在Rt ?ABC 中，90ACB ∠=?，且9,4c a c a +=-=，则b = 。

（6）如果一个直角三角形有一条直角边长为11，另两条边长为自然数，则这个直角三角形的周长是

知识点（二）勾股定理在几何中的应用。

例：已知：?ABC 中AB=AC=20，BC=32，D 是BC

上一点，且AD ⊥AC ，求BD 的长。解：过A 作AE ⊥BC 于E 。

AB=AC ，∴BE=EC=1

BC=16

在Rt ABE ?中，AB=20，BE=16，

222222016AE AB BE ∴=-=-=144

12AE ∴=

故在Rt ADE ?中，设DE=x ，则2222144AD AE DE x =+=+

AD AC A ⊥于，22222220(16)9AD AC CD x x ∴+=+=+=，即144+x ，解得

1697BD BE DE ∴=-=-=

[总结]勾股定理是解决直角三角形中线段问题最有效的方法，有时为了需要，作垂线构建直角三角形模型是行之有效的方法。练习：

1、在?ABC 中，AB=15，BC=14，AC=13，求?ABC 的面积。

2、

如图在四边形ABCD 中，90BAD ∠=?，90,4CBD AD ∠=?=，AB=3，BC=12，求以

DC 为边的正方形面积。

3、如图，梯形ABCD 中，A D ∥BC ，DC ⊥BC ，沿对角线BD 折叠，点A 恰好落在DC 上，记为'A .若AD=4，BC=6，求'A B 的长。

知识点（三）利用勾股定理解决实际问题

（1）如图一梯子AB 为2.5米，顶端A 靠在墙AC 上，这时梯米子下端B 与墙角C 处的距离为1.5米。梯子下滑后停在DE 位置上，测得BD=0.5米，问梯子顶端也恰好下落了0.5米吗？说说你的理由。

第2题图

第3题图

（2）平面上有A 、B 两点处有甲、乙两只蚂蚁，它们都发现C 处有食物，已知点C 在A 的东南方向，在B 的西南方向。甲、乙两只蚂蚁同时从A 、B 两地出发爬向C 处，速度都是30/min cm 。结果甲蚂蚁用了2min ，乙蚂蚁2分40秒到达C 处分享食物，试问两只蚂蚁原来所处地点相距多远？

（3）如图A 、B 为两个村庄，AB 、BC 、CD 为公路，BD 为田地，AD 为河宽，且CD 与AD 互相垂直。现要从点E 处开设通往村庄A 、村庄B 的一条电缆，现在共有两种铺设方案：方案一：E D A B →→→；方案二：E C B A →→→。

经测量得

AB=BC=10千米，∠BDC=45°，15ABD ∠=?。已知：地下电缆的修建费为2万元/千米，水下电缆的修建费为4万元/千米。求（1）河宽AD （结果保留根号）；（2）公路CD 的长；

（3）哪种方案铺设电缆的费用低？请说明理由。

知识点四——探索勾股定理的证明

在中考往往以动手操作的形式来考察勾股定理的证明方法，故注意积累用拼图发验证勾股定理的证明思想。一类是利用一些全等的直角三角形纸片拼成正方形或直角梯形，（如弦图和总统证法），另一类是将一种图案通过割补发转化为另一种几何图案，通过面积的计算方式不同从而建立三边之间的关系，获得勾股定理的证明。下面的例子就是用割补发验证勾股定理。

如图，沿虚线剪下三个直角三角形A 、B 、C ，再将它们分别补在'A 、'B 、'C 位置，从而有222

a b c +=。只有平时积累了拼图法和

割补法验证勾股定理的一些方法后，在考试中便能得心应手地解决勾

股定理的证明方法。

练习

（1）用硬纸片做成的两个全等直角三角形，两直角边的长分别为a 和b ，斜边为c 和以c 为

直角边的等腰直角三角形。请开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形。问①画出拼成的这个图形的示意图；②用这个图形证明勾股定理。

（2）作一个Rt ABC ?，以斜边AB 为边向内作正方形ABDE ，过D 作DF ⊥BC ，交BC 的延长线于F ，BC 延长线交DE 于I 。在AC 上截取CG=CB ，作HG ⊥AC 交AB 于H ，这样就将正方形ABDE 分成①、②、③、④、⑤五个部分，将它们剪开就得到一付五巧板。你能利用两副五巧板进行拼图，验证勾股定理吗？自己拼一拼。

§2勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长,,a b c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 所对的角是直角。

（1）勾股定理的逆定理是判别一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状。当222a b c +=时，以,,a b c 为边的三角形是直角三角形；当222a b c +<时，，以,,a b c 为边的三角形是钝角三角形；当222a b c +>时，，以,,a b c 为边的三角形是锐角三角形。

（2）定理中,,a b c 及222a b c +=只是一种表现形式。若三边长,,a b c 满足222a c b +=，那么这个三角形是直角三角形，其中b 所对的角是直角。

（3）勾股定理的逆定理在用文字叙述时，不能说成“当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形。”

知识点一、勾股定理逆定理的应用。

1、根据下列条件，判断ABC ?是否是直角三角形

（1）45,53,28a b c === （2

）1,1,a b c === （3）2222,,2(,a m n b m n c mn m n m n =-=+=>、为正整数）（4）::10:24:26a b c = （5）221,2,1(1)n n n n -+>

2、若一个三角形的三边长分别是2,4m m m ++和，当m = 时，它是直角三角形

3、一个三角形三边之比为5：12：13，且周长为60厘米，则它的面积为

4、已知：,,a b c 为ABC ?的三边且满足222338102426a b c a b c +++=++，试判断ABC ?的形状。

5、已知241,2,2,1k b k a c k ac k >=+==-，判断以,,a b c 为边的三角形的形状。

知识点二：勾股定理与勾股定理的综合应用

1、已知AD 是ABC ?的高，且2AD BD DC =?，试问ABC ?的形状，并说明理由。

2、在ABC ?中，D 是BC 上一点，AB=10，BD=6，AD=8，AC=17，求ABC ?的面积。

3、如图，在四边形ABCD 中，AB=1，BC=2，CD=2，AD=3，且

第1题图第2题图

∠ABC=90°，连结AC ，试判断ACD ?的形状。

4、一艘在海上朝正北方向行驶的轮船，航行240海里时方位仪坏了，

凭经验，船长指挥向左转90°，继续航行70海里，则距出发点有250海里，试判断轮船转弯后，是否沿正西方向航行？

§3、勾股定理应用

用勾股定理可以解决许多直角三角形中的计算问题;可以进行几何计算如求边长、周长、面积等，可以利用勾股定理作图如在数轴上作出表示无理数的点；它在日常生活中有着广泛的应用，诸如用于无法直接实现的测量；它在物理学中的力学、光学的学习中都有所应用，科学家们甚至试图利用勾股定理探索宇宙奥秘。

1、(2009年达州)图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都

是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A 、B 、C 、D 的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E 的面积是（ C ）

A ．13

B ．26

C ．47

D ．94

变式：在直线l 上摆放着七个正方形（如图），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3。正放置的四个正方形的面积依次是1234S S S S 、、、，则1234S S S S +++= 4

2、如图是一个“羊头”形图案，其做法是：从正方形（1）开始，以它的一边为斜边，向外做等腰直角三角形，然后再以其

直角边为边，分别向外做正方形（2）和2’

（），...，依次类推，

若正方形（1）的边长为64厘米，则正方形（7）的边长为 8 厘米

3、（2009年新疆）如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形，两直角边长分别是

a b ，，斜边长为c 和一个边长为c 的正方形，请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．

（1）画出拼成的这个图形的示意图．（2）证明勾股定理．

第1题图

【答案】方法一解：（1）如图

（2）证明：

大正方形的面积表示为2()a b +,大正方形的面积也可表示为

2142c ab +?,221

()42

a b c ab ∴+=+?，22222a b ab c ab ++=+，222a b c ∴+=．即直角三角形

两直角边的平方和等于斜边的平方．方法二解：（1）如图

（2）证明：大正方形的面积表示为：2c ，又可以表示为：

214()2ab b a ?+-,221

4()2

c ab b a ∴=?+-，22222c ab b ab a =+-+，222c a b ∴=+．即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 4、（2004年山东烟台）（1）四年一度的国际数学家大会于2002年8月20日在北京召开。大会标志如图甲。它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形。若大正方形的面积为13。每个直角三角形两直角边的和是5，（1）求中间小正方形的面积；（2）现有一张长为6.5cm ，宽为2cm 的纸片，如图乙，请你将它割成6块，再拼合成一个正方形（要求：先在图乙中画出分割线，再画出拼成的正方形并标明相应的数据）

c a

c c

a a

a c

变式一：如图甲。若大正方形的面积为13，小正方形的面积为1，直角三角形较长的直角边为a ，较短的直角边为b ，则43a b +的值等于变式二．(2009年安顺)图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的。在Rt △ABC 中，若直角边AC ＝6，BC ＝6，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图乙中的实线）是____76__________。

5、（2009年衡阳市）如图2所示，A 、B 、C 分别表示三个村庄，AB ＝1000米，BC ＝600米，AC ＝800米，在社会主义新农村建设中，为了丰富群众生活，拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P 的位置应在（）A

A ．A

B 中点 B ．B

C 中点

C ．AC 中点

D ．∠C 的平分线与AB 的交点

6、一个长方体的纸盒，它的长、宽、高分别为6厘米，4厘米，3厘米。在盒内顶点A 初有一只壁虎，发现盒内对角顶点B 处有一只苍蝇，于是壁虎沿盒壁向B 点爬行。问这只壁虎由A 爬向B 初的最短路程会是多少？（由于展开的方式有三种，此题需分三种情况讨论）

变式一、（2009年山东青岛市）如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm ，高为6cm ．如果用一根细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B ，那么所用细线最短需要 cm ；如果从点A 开始经过4个侧面缠绕n 圈到达点B ，那么所用细线最短需要 cm ．

【答案】10

，

变式二、（2009恩施市）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是（）B

甲

乙

A 6cm 3cm 1cm

． B ．25 C

．5 D ．35

7、（2009丽水市）如图，已知△ABC 中，∠ABC ＝90°,AB ＝BC ，三角形的顶点在相互平行的三条直线l 1，l 2，l 3上，且l 1，l 2之间的距离为2 , l 2，l 3之间的距离为3 ,则AC 的长是（ A ） A ．172 B ．52 C ．24 D ．7

8、在方格纸上，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三

角形。如图，在4×4的方格纸上，以AB 为边的格点三角形ABC 的面积为2个单位，则符合条件的C 点共有 3 个。变式：（上学期期末复习建议中一题再探）

图为76?的正方形网格，点A B C 、、在格点上．在图中确定格点D ，并画出以

A B C D

、、、为顶点的四边形，使其为轴对称图形．

9、（2009年泸州）如图2，已知Rt △ABC 中，AC ＝3，BC ＝ 4，过直角顶点C 作 CA 1⊥AB ，垂足为A 1，再过A 1作A 1C 1⊥BC ，垂足为C 1，过C 1作C 1A 2⊥AB ，垂足为A 2，再过A 2作A 2C 2⊥BC ，垂足为C 2，…，这

样一直做下去，得到了一组

线段CA 1，A 1C 1，12C A ，…，则CA 1＝

，=5554C A A C 4

10．（2009年滨州）某楼梯的侧面视图如图4所示，其中4AB =米，

l 1

l 2

l 3

S 1

S 2 30BAC ∠=°， 90C ∠=°，因某种活动要求铺设红色地毯，则在 AB 段楼梯所铺地毯的长度应为（2+23）米．

11、（2009年浙江省湖州市）如图，已知在Rt ABC △中，Rt ACB ∠=∠，

4AB =，分别以AC ，BC 为直径作半圆，面积分别记为1S ，2S ，

则1S +2S 的值等于 2π ．

12．（2009年宜宾）已知：如图，以Rt △ABC 的三边为斜边分别向外作

等腰直角三角形．若斜边AB ＝3,则图中阴影部分的面积为

29 ．

13、（2009临沂）如图，过原点的直线l 与反比例函数1

y x =-的图象交于M ，N 两点，根据

图象猜想线段MN 的长的最小值是___________．

14、在四边形ABCD 中，90,2,1,B AB BC DC AD ∠=?====求四边形ABCD 的面积。 15、一块四边形的土地，其中120,,,ABD AB AC BD CD AB CD ∠=?⊥⊥==，求这块土地的面积。

第14题第15题

第12题图

16、（2009恩施市）恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世．著名的恩施大峡谷()A 和世界级自然保护区星斗山()B 位于笔直的沪渝高速公路X 同侧，50km AB A =，、B 到直线X 的距离分别为10km 和40km ，要在沪渝高速公路旁修建一服务区P ，向A 、B 两景区运送游客．小民设计了两种方案，图（1）是方案一的示意图（AP 与直线X 垂直，垂足为P ），P 到A 、B 的距离之和1S PA PB =+，图（2）是方案二的示意图（点A 关于直线X 的对称点是A '，连接BA '交直线X 于点P ），P 到A 、B 的距离之和2S PA PB =+．

（1）求1S 、2S ，并比较它们的大小；（2）请你说明2S PA PB =+的值为最小；

（3）拟建的恩施到张家界高速公路Y 与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标系，B 到直线Y 的距离为30km ，请你在X 旁和Y 旁各修建一服务区P 、Q ，使P 、A 、B 、Q 组成的四边形的周长最小．并求出这个最小值．

【答案】

解:⑴图10（1）中过B 作BC ⊥AP,垂足为C,则PC ＝40,又AP ＝10,

∴AC ＝30

在Rt △ABC 中，AB ＝50 AC ＝30 ∴BC ＝40

∴ BP ＝24022=+BC CP S 1＝10240+

⑵图10（2）中，过B 作BC ⊥AA ′垂足为C ，则A ′C ＝50，又BC ＝40

∴BA'＝4110504022=+ 由轴对称知：PA ＝PA' ∴S 2＝BA'＝4110 ∴1S ﹥2S

(2)如图10（2），在公路上任找一点M,连接MA,MB,MA'，由轴对称知MA ＝MA' ∴MB+MA ＝MB+MA'﹥A'B ∴S 2＝BA'为最小

（3）过A 作关于X 轴的对称点A', 过B 作关于Y 轴的对称点B'，连接A'B',交X 轴于点P, 交Y 轴于点Q,则P,Q 即为所求

图（1）

图（3）

图（2）

过A'、 B'分别作X 轴、Y 轴的平行线交于点G , A'B'＝5505010022=+

∴所求四边形的周长为55050+

17．(2009年牡丹江市)有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为6m m ，8．现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8m 为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长．

【关键词】勾股定理的应用

【答案】在Rt ABC △中，9086ACB AC BC ∠===°，，由勾股定理有：10AB =，扩充部分为

Rt ACD △，

扩充成等腰ABD △，应分以下三种情况：①如图1，当10AB AD ==时，可求6CD CB =

=,得ABD △的周长为32m ．②如图2，当10AB BD =

=时，可求4CD =,由勾股定理得：AD =,得ABD △的周长为(20m +．③如图3，当AB 为底时，设AD BD x ==，则6CD x =-，由勾股定理得：253x =

,得ABD △的周长为80

m 3

．

18、（2009白银市）如图13，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB ＝∠ECD ＝90°，D 为AB 边上一点，求证：

（1）ACE BCD △≌△；（2）222AD DB DE +=．

C B

C A

C 图1

图2

图3

【答案】27．证明:（1） ∵ ACB ECD ∠=∠，

∴ ACE ACD BCD ACD ∠+∠=∠+∠．即 ACE BCD ∠=∠

∵ EC DC AC BC ==,， ∴ △ACE ≌△BCD

（2）∵ ACB ?是等腰直角三角形， ∴ ?=∠=∠45BAC B ．

∵ △ACE ≌△BCD ， ∴ ?=∠=∠45CAE B ． ∴ ?=?+?=∠+∠=∠904545BAC CAE DAE ． ∴ 222DE AE AD =+．由（1）知AE ＝DB ，

18、已知：如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，DE ⊥AC 于点F ，交BC 于点G ，交AB 的延长线于点E ，且AE AC =．（1）求证：BG FG =；

（2）若2AD DC ==，求AB 的长．

【答案】（1）证明：90ABC DE AC ∠=°，⊥于点F ， ABC AFE ∴∠=∠．

AC AE EAF CAB =∠=∠，， ABC AFE ∴△≌△ AB AF ∴=．连接AG ，

AG ＝AG ,AB ＝AF ，

Rt Rt ABG AFG ∴△≌△． BG FG ∴=．

（2）解：∵AD ＝DC,DF ⊥AC ，

AF AC AE ∴==．

30E ∴∠=°．

30FAD E ∴∠=∠=°，

AF ∴=

AB AF ∴==

D C

B G

A F D

C E

B G

中学教材全解八年级英语(下)

Module 1 Hobbies 内容详解 1. Which hobby do you think takes up the least spacc? 你认为哪种爱好占用最少的空间？（1）do you think在此用作插入语，意为“你认为，你觉得”。 When do you think they will arrive here? 你觉得他们会在什么时候到达这里？ How many books do you think there are in the box? 你认为箱子里有多少本书？注意 do you think后的句子要用陈述语序。（2）take up 占据 take up既可指时间上的“占据”，也可指空间上的“占据”。 The job takes up all my time. 这项工作占用了我所有的时间。 The table takes up too much room.这张桌子太占空间。注意 take up是一个由动词加副词构成的短语动词，当它的宾语是代词时，必须放在两者之间。[联想] take off 起飞；脱下take out 拿出take away 拿走take back 归还take down 取下take photos 拍照take part in 参加 2. Sorry it's a bit untidy. 抱歉，这儿有点乱。 a bit意为“有点儿；稍微”，该短语在句中作程度状语，用来修饰形容词、副词、动词或介词短语。a bit还可修饰比较级。 I was a bit ill. 我有点不舒服。 He is a bit older than I. 他比我大一点。辨析：a hit与a little 相同之处：（1）两者都可以用作名词词组，意为“一点；少许”，在句中作主语或宾语；（2）两者都可以用作副词词组，用来修饰形容词、副词（原级或比较级）或动词。不同之处：（1）作定语时，a little直接修饰不可数名词，而a bit后面需要加of；（2）如果两者的前面加上not, 则其意义完全不同。not a bit＝not at all，通常用作状语；not a little＝very，可用作状语或定语。一言辨异 Our English teacher often says that she is not a bit tired but in fact she is not a little tired. 我们的英语老师经常说她一点儿也不累，其实她非常累。 3. I'll tidy up the table and chairs. 我来收拾一下桌椅。 tidy up收拾，整理！ tidy up是由动词tidy和副词up构成的动词短语。它的宾语如果是名词，既坷以放在tidy和up之间，又可放在tidy up之后；如果它的宾语是代词，则必须放在tidy和up中间。Lingling, please help tidy up the dinner table. = Lingling, please help tidy the dinner table up. 玲玲，请帮忙收拾一下饭桌。 There are so many books on the desk. I'll tidy them up. 课桌上有这么多书，我将整理一下。拓展 tidy还可用作形容词，意为“整洁的”，可以在句子中作定语或表语。

人教版八年级数学下册 17.1 勾股定理说课稿

17.1 勾股定理各位评委老师大家好：今天我说课的课题是《勾股定理》，下面就教材分析、教学方法选择、学法指导、教学程序设计等四个方面，谈谈我对本课题的理解和认识。一、教材分析（一）、教材地位作用这节课是九年制义务教育课程标准实验教科书，人教版八年级下册第十七章第一节第一课时。勾股定理是学生在已经掌握了直角三角形有关性质的基础上进行学习的，它是直角三角形的一条非常重要的性质，是几何中最重要的定理之一，它揭示了直角三角形三条边之间的数量关系，为以后学习解直角三角形奠定基础,在实际生活中用途很大。（二）、教学目标(八年级学生对新事物充满好奇，他们喜欢动手，勤于思考，乐于探究，已经具备了一定的探索新知的能力。因此，我制定如下教学目标) 1、知识与技能目标（1）理解并掌握勾股定理的内容和证明，能够运用勾股定理进行简单计算和运用；（2）通过观察分析，大胆猜想，并探索勾股定理，培养学生动手操作、合作交流、逻辑推理的能力。 2、过程与方法目标在探索勾股定理的过程中，让学生经历“观察-猜想-归纳-验证”的数学过程，并体会数形结合和从特殊到一般的数学思想方法。 3、情感态度与价值观目标（1）在探索勾股定理的过程中，培养学生的合作交流意识和探索精神，增进数学学习的信心，感受数学之美，探究之趣。（2）利用远程教育资源突出介绍中国古代勾股方面的成就，激发学生热爱祖国和热爱祖国悠久文化的思想感情，培养学生的民族自豪感和钻研精神。（3）培养数形结合的思想。（三）、教学重点及难点【教学重点】勾股定理的证明与运用【教学难点】用面积法和拼图法等方法证明勾股定理【难点成因】对于勾股定理的得出，首先需要学生通过动手操作，在观察的基础上，大胆猜想数学结论，而这需要学生具备一定的分析、归纳的思维方法和运用数学的思想意识，但学生在这一方面的可预见性和耐挫折能力并不是很成熟，从而形成困难二、教学方法及教学手段的选择

2.1 勾股定理

2.1 勾股定理 [趣题导学] 动手做一做：剪裁出若干个大小、形状完全相同的直角三角形，三边长分别记为a 、b 、c ，如图2.1-1①.然后进行拼图：分别用4张直角三角形纸片，拼成如图2.1-1②③的形状，观察图2.1-1②③，图 2.1-1②中两个小正方形的面积之和与图 2.1-2③中小正方形的面积相等吗？你可以用怎样的关系式图 2.1-1表示？解答：容易发现图2.1-1②中两个小正方形的面积之和与图 2.1-2③中小正方形的面积相等.可以用关系式222a b c +=表示，从中也说明了直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，这也就是勾股定理. [双基锤炼] 一、选择题 1、一直角三角形的斜边长比直角边长大2，另一直角边长为6， a c b 图 ① ②

则斜边长为（） A. 4 B. 8 C. 10 D. 12 2、CD 为直角三角形ABC 斜边AB 上的高，若AB = 10，AC ：BC = 3：4，则这个直角三角形的面积为（） A. 6 B. 8 C.12 D.24 3、小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1 m ，当它把绳子的下端拉开5 m 发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（） A. 8m B. 10m C. 12m D. 14m 4、一等腰三角形底边长为10cm ，腰长为13cm ，则腰上的高为 ( ) A. 12cm B. cm 13 60 C.cm 13 120 D.cm 5 13 5、如图2.1-2，一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A 爬到点B 处吃食,要爬行的最短路程( 取3)是 ( ) A.20cm; B.10cm; C.14cm; D.无法确定. 二、填空题 A B 图

中学教材全解八年级英语

中学教材全解八年级英语（下） Module 1 Hobbies 内容详解 1. Which hobby do you think takes up the least spacc? 你认为哪种爱好占用最少的空间？（1）do you think在此用作插入语，意为“你认为，你觉得”。 When do you think they will arrive here? 你觉得他们会在什么时候到达这里？ How many books do you think there are in the box? 你认为箱子里有多少本书？注意 do you think后的句子要用陈述语序。（2）take up 占据 take up既可指时间上的“占据”，也可指空间上的“占据”。 The job takes up all my time. 这项工作占用了我所有的时间。

The table takes up too much room.这张桌子太占空间。注意 take up是一个由动词加副词构成的短语动词，当它的宾语是代词时，必须放在两者之间。 [联想] take off 起飞；脱下take out 拿出take away 拿走take back 归还take down 取下take photos 拍照take part in 参加 2. Sorry it's a bit untidy. 抱歉，这儿有点乱。 a bit意为“有点儿；稍微”，该短语在句中作程度状语，用来修饰形容词、副词、动词或介词短语。a bit还可修饰比较级。 I was a bit ill. 我有点不舒服。 He is a bit older than I. 他比我大一点。辨析：a hit与a little 相同之处：（1）两者都可以用作名词词组，意为“一点；少许”，在句中作主语或宾语；（2）两者都可以用作副词词组，用来修饰形容词、副词（原级或比较级）或动词。

《勾股定理》教材分析

勾股定理教材分析勾股定理是直角三角形的一条非常重要的性质，也是几何中最重要的定理之一。它揭示了三角形三条边之间的数量关系，主要用于解决直角三角形中的计算问题，是解直角三角形的主要根据之一，同时在实际生活中具有广泛的用途，“数学源于生活，又用与生活”是这章书所体现的主要思想。教材在编写时注意培养学生的动手操作能力和分析问题的能力，通过实际操作，使学生获得较为直观的印象；通过联系比较、探索、归纳，帮助学生理解勾股定理，以利于进行正确的应用。 2、教学目标 <1> 通过对几种常见的勾股定理验证方法，进行分析和欣赏。理解数学知识之间的内在联系，体会数形结合的思想方法，进一步感悟勾股定理的文化价值。 <２> 通过拼图活动，尝试验证勾股定理，培养学生的动手实践和创新能力。 <３>让学生经历查询资料、自主探究、合作交流、观察比较、计算推理、动手操作等过程，获得一些研究问题的方法，取得成功和克服困难的经验，培养学生良好的思维品质，增进他们数学学习的信心。 <4> 掌握勾股定理及其逆定理，并能运用这两个定理解决实际问题. 重点： <1> 分析和欣赏几种常见的验证勾股定理的方法。 <2>勾股定理和逆定理的探索和应用。难点： <1> “数形结合”思想方法的理解和应用。 <2> 通过拼图，探求验证勾股定理的新方法。 4、教法和学法：在整个教学过程中，本课的教法和学法体现如下特点： 1、以学生自我探索、合作交流为主，充分发挥教师的主导作用，运用各种手段激发学生学习欲望和兴趣，组织学生活动，让学生主动参与学习全过程。 2、切实体现学生的主体地位，让学生通过观察、分析、讨论、操作、归纳，理解定理，提高学生动手操作能力，以及分析问题和解决问题的能力。 3、通过学生自己得到获得新知的成功感受，从而激发学生钻研新知的欲望。

勾股定理知识点、经典例题及练习题带答案

【趣味链接】我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为S 1,S 2，S 3．若S 1，S 2，S 3＝10，则S 2的值是多少呢？【知识梳理】 1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2 ＋b 2＝c 2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 A B C a b c 弦股勾勾：直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边弦：斜边勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 有下面关系：a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形。 2、勾股数：满足a 2＋b 2＝c 2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a ，b ，c 、为勾股数，那么ka ，kb ，kc 同样也是勾股数组。） *附：常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,13 3、判断直角三角形：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2 ，那么这个三角形是直角三角形。

（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）其他方法：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：（1）确定最大边（不妨设为c）；（2）若c2＝a2＋b2，则△ABC是以∠C为直角的三角形；若a2＋b2＜c2，则此三角形为钝角三角形（其中c为最大边）；若a2＋b2＞c2，则此三角形为锐角三角形（其中c为最大边） 4、注意：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。（3）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。 5、勾股定理的作用：（1）已知直角三角形的两边求第三边。（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。（3）用于证明线段平方关系的问题。（4）利用勾股定理，作出长为n的线段【经典例题】【例1】（2016山东烟台）如图是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角

勾股定理教材分析教案

本章教学时间约需8课时，具体安排如下： 18．1 勾股定理 4 课时 18．2 勾股定理的逆定理 3课时数学活动小结 1课时一、教科书内容和课程学习目标本章知识结构框图：直角三角形是一种特殊的三角形，它有许多重要的性质，如两个锐角互余，30°的角所对的直角边等于斜边的一半。本章所研究的勾股定理，也是直角三角形的性质，而且是一条非常重要的性质。勾股定理是几何中几个最重要的定理之一，它揭示了一个直角三角形三条边之间的数量关系，它可以解决许多直角三角形中的计算问题，是解直角三角形的主要依据之一，在生产生活实际中用途很大。它不仅在数学中，而且在其他自然科学中也被广泛地应用。目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。据说我国著名数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种“语言”的。这个事实可以说明勾股定理的重大意义，发现勾股定理，尤其在2000多年前，是非常了不起的成就。在第一节中，教科书让学生通过观察计算一些直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积与以斜边为边长的正方形的面积的关系，发现两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积，从而发现勾股定理。勾股定理的证明方法很多，教科书正文中介绍的是一种面积证法。其中的依据是图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变。在教科书中，图－3（1）中的图形经过割补拼接后得到图－3（3）中的图形。由此就证明了勾股定理。通过推理证实命题1的正确性后，教科书顺势指出什么是定理。由勾股定理可知，已知两条直角边的长a,b，就可以求出斜边c的长。由勾股定理可得或，由此可知，已知斜边与一条直角边的长，就可以求出另一条直角边的长。也就是说，在直角三角形中，已知两条边的长，就可以求出第三条边的长。教科书相应安排了三个探究栏目，让学生运用勾股定理解决问题。在第二节中，教科书让学生画出一些两边的平方和等于第三边的平方的三角形，可以发现画出的三角形是直角三角形。从而猜想如果三角形的三边满足两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。这个猜想可以利用全等三角形证明，得到勾股定理的逆定理。勾股定理的逆定理给出了判定一个三角形是直角三角形的方法。教科书安排了两个例题，让学生学会运用这种方法。这种方法与前面学过的一些判定方法不同，它通过代数运算“算”出来。实际上利用计算证明几何问题学生已经见过，计算在几何里也是很重要的。从这个意义上讲，勾股定理的逆定理的学习，对开阔学生眼界，进一步体会数学中的各种方法有很大的意义。几何中有许多互逆的命题，互逆的定理，它们从正反两个方面揭示了图形的特征性质，所以互逆命题和互逆定理是几何中的重要概念。学生已见过一些互逆命题（定理），例如：“两直线平行，内错角相等”与“内错角相等，两直线平行”；“全等三角形的对应边相等”与“对应边相等的三角形是全等三角形”等，都是互逆命题。勾股定理与勾股定理的逆定理

中考数学拼图题型赏析

考拼图题型赏析拼图题就是在生动有趣的情境中，引导学生动手操作，巩固有关图形的知识，积累数学活动经验，发展有条理的思考，进一步形成空间概念，认识到图形在日常生活中的应用．它具有开放性、综合性、延伸性等特点，已成为近几年来中考数学命题的一大风景为帮助同学们熟悉题型，迎接挑战，笔者撷取几例中考拼图趣题，进行归类分析，供大家欣赏．一.开放型例1 (广东茂名)如图1，阴影部分是由5个小正方形组成的一个直角图形，请用二种方法分别在下图方格内．．．添涂黑二个小正方形，使它们成为轴对称图形．分析:本题没有给出对称轴,根据轴对称图形的特征,可以在不同的位置进行涂黑,解答时可先确定其对称轴,然后再涂黑,如图4所示.此题答案不唯一，只要在方格内添的二个正方形使整个图形是对称图形即可. 解：如图2所示. 评注：它是一个结论开放型拼图题，其结果可以是多种多样的，只要符合题目要求即方法一方法二图 1 方法一方法二方法三方法四图2

图4 ① ???② ③ 可．在考查灵活运用所学数学知识解决问题的同时，能够让解答者感受到数学的美，较好地展示了解答者的创新精神. 二.网格型例2 （山东日照）如图3所示的阴影部分图案是由方格纸上3个小方格组成，我们称这样的图案为L 形．那么在由4×5个小方格组成的方格纸上最多可以画出不同位置的L 形图案的个数是( ) A.16个 B.32个 C.48个 D.64个分析:观察图形得到，L 形图案在4个小方格组成的正方形中,且这个正方形可以画出4个不同位置的L 形图案, 4×5个小方格组成的方格纸包含12个4个小方格组成的正方形,所以最多可以画出不同位置的L 形图案个数为4×12=48个.故选C. 评注:注意本题的思考方法是分解法,先确定4个小方格组成的正方形中可画出L 形图案个数,再找出图3中包含小方格的个数,进而得到本题答案. 三.规律型例3 (河南)如图4,将图①所示的正六边形进行分割得到图②，再将图②中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割得到图③，再将图③中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割，…，则第n 个图形中共有个正六边形．分析：由题知，图①为1个正六边形；图②为4个正六边形，是（1+3×1）个；图③为7个正六边形，是（1+3×2）个；则第n 个图形中正六边形的个数为：1+3×（n-1）个. 评注: 本题是一道按规律拼图的题目，此类题目只要抓住了图形的变化规律，则问题可解．它着重考查的就是识图能力和归纳推理能力．图3

(完整word版)人教版【初中生物】中学教材全解八年级上册.docx

全书大归纳核心知识归纳知识点一动物类群的主要特征动物类群主要特征举例腔肠身体呈辐射对称；体表有刺细胞；有口无肛门水螅、海蜇、海葵动物扁形身体呈两侧对称；背腹扁平；有口无肛门涡虫、华枝睾吸虫、日动物本血吸虫线形身体细长，呈圆柱形；体表有角质层；有口有肛门蛔虫、蛲虫、钩虫、丝无脊椎动物虫、线虫动物环节身体呈圆筒形，由许多彼此相似的体节组成；靠刚毛或疣蚯蚓、蛭、沙蚕动物足辅助运动软体柔软的身体表面有外套膜，大多具有贝壳；运动器官是足河蚌、缢蛏、文蛤、扇动物贝、蜗牛、乌贼节肢体表有坚韧的外骨骼；身体和附肢都分节虾、蜈蚣、蜘蛛动物鱼生活在水中；体表常有鳞片覆盖；用鳃呼吸；通过尾部和鲫鱼、鲨鱼、带鱼、鲤躯干部的摆动以及鳍的协调作用游泳鱼两栖幼体生活在水中，用鳃呼吸；成体大多生活在陆地上，也青蛙、蟾蜍、大鲵、蝾动物可在水中游泳，用肺呼吸，皮肤可辅助呼吸螈脊椎动爬行体表覆盖角质的鳞片或甲；用肺呼吸；在陆地上产卵，卵蜥蜴、龟、鳖、蛇、鳄物动物表面有坚韧的卵壳鸟体表覆羽；前肢变成翼；有喙无齿；有气囊辅助肺呼吸鸽、金雕、丹顶鹤、大山雀、啄木鸟哺乳体表被毛；胎生，哺乳；牙齿有门齿、犬齿和臼齿的分化兔、猕猴、野马、非洲动物象、鲸知识点二鱼适于水中生活的特点及鸟适于飞行的特点项目具体内容体鱼的身体分头部、躯干部和尾部三部分，通常左右侧扁，大多呈流线型，这样形的体形有利于减少游泳时水的阻力体体表常有鳞片覆盖，鳞片的表面有黏液，可以减少游泳时水的阻力鱼适于水中生活表的特点呼用鳃呼吸，可以吸收溶解在水中的氧气吸运鳍是鱼的运动器官，通过躯干部和尾部的摆动产生前进的动力，各种鳍起协调动作用体身体呈流线型，可以减少飞行中空气的阻力形飞前肢变成翼，体表被覆羽毛，可以扇动空气而飞行行骨骨骼轻、薄、坚固，有些骨内部中空，可以减轻体重鸟适于飞行的特胸胸部龙骨突附着有发达的胸肌，牵动两翼扇动空气而飞行肌点消食量大，消化能力强，直肠很短，粪便能够及时排出体外，从而减轻体重化循心肌发达，血液运输氧的能力强环呼具有与肺相通的气囊，可以进行双重呼吸，为飞行提供充足的氧气吸知识点三动物的运动项目具体内容

八年级数学勾股定理教材分析报告

第十八章勾股定理 18．1 勾股定理（一）一、教学目标 1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。 2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。 3．介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。二、重点、难点 1．重点：勾股定理的内容及证明。 2．难点：勾股定理的证明。 3．难点的突破方法：几何学的产生，源于人们对土地面积的测量需要。在古埃及，尼罗河每年要泛滥一次；洪水给两岸的田地带来了肥沃的淤积泥土，但也抹掉了田地之间的界限标志。水退了，人们要重新画出田地的界线，就必须再次丈量、计算田地的面积。几何学从一开始就与面积结下了不解之缘，面积很早就成为人们认识几何图形性质与争鸣几何定理的工具。本节课采用拼图的方法，使学生利用面积相等对勾股定理进行证明。其中的依据是图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变。三、例题的意图分析例1（补充）通过对定理的证明，让学生确信定理的正确性；通过拼图，发散学生的思维，锻炼学生的动手实践能力；这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。例2使学生明确，图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变。进一步让学生确信勾股定理的正确性。四、课堂引入目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种语言的。这个事实可以说明勾股定理的重大意义。尤其是在两千年前，是非常了不起的成就。让学生画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC，用刻度尺量出AB的长。以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5。再画一个两直角边为5和12的直角△ABC，用刻度尺量AB的长。你是否发现32+42与52的关系，52+122和132的关系，即32+42=52，52+122=132，那么就有勾2+股2=弦2。对于任意的直角三角形也有这个性质吗？例1（补充）已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、 ∠C的对边为a、b、c。求证：a2＋b2=c2。分析：⑴让学生准备多个三角形模型，最好是有颜色的吹塑纸，

勾股定理教材分析

勾股定理教材分析一、教材分析 1、教学内容新版教材在原有教材的基础上进行了修订，“勾股定理”为独立的一章，其主要包括勾股定理(直角三角形三边的关系；直角三角形的判定)、勾股定理的应用．知识结构框架如下：本章所研究的勾股定理，是直角三角形的一条非常重要的性质，它也是几何学中重要的定理之一。勾股定理从边的角度进一步刻画了直角三角形的特征，通过对勾股定理的学习，学生将在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解。通过探索勾股定理的活动，体验由特殊到一般地探索数学问题的方法，尝试用数形结合来解决数学问题的思想。 2、教材编写特点 (1)趣味性—— 本章教材文字通俗，形式活泼，图文并茂，趣味直观； (2)现代性——渗透了现代数学思想方法和勾股定理的历史价值、文化价值和应用价值，并可通过教师教学中使用信息技术增强学生对数学文化价值的体验； (3)实践性—— 问题编排联系社会实际，贴近学生的生活； (4)探究性—— 体验勾股定理的探索过程，为学生提供自主活动、自主探索的机会，从而获取知识技能； (5)思想性—— 通过“赵爽弦图”介绍勾股定理在中国古代的研究情况，激发学生的民族自豪感和爱国情怀。 3 、突出重点、突破难点本章内容的重点是勾股定理及其应用。勾股定理是解几何题中有关线段计算问题的重要依据，也是以后学习解直角三角形的主要依据之一。本章的难点是勾股定理的证明。课本通过构造图形，利用面积相等来证明的，证明思路的获得学勾股定理直角三角形判定直角三角形的一种方法应用

C D E B A 生感到困难，这涉及到了解决几何问题的方法之一：割补法。 4、中考热点勾股定理在中考数学中单独命题考查的选择题和填空题相对较少，而主要是与方程、函数、四边形、圆以及相似形等知识综合在一起考查，灵活性强，涉及面广、能力要求高。二、学情与学法探讨 1 学生在本章学习中存在认知误区和思维障碍。 (1)忽视题目中的隐含条件。如在Rt △ABC 中，∠B ＝900，a ，b ，c 分别为三条边，a ＝3，b ＝4，求边c 的长。不少学生会认为c ＝5，忽视了b 是斜边这一隐含条件。 (2)忽视定理成立的条件是在直角三角形中，有的同学一看到三角形的两边是3和4，就会认为第三边是5， (3)考虑问题不全面造成漏解．如已知直角三角形的两边长分别为5和12，求第三边。 (4)不会添加辅助线将非直角三角形转化为直角三角形．如如图，∠A ＝450， ∠B= ∠D=900 ，BC=1，AD ＝2，求CD 的长。 2 本章内容的学法指导（1）在解题教学中，多让学生体会用方程思想解决问题，多练习利用添加辅助线将非直角三角形转化为直角三角形；（2）让学生在学习、交流、探索中发现勾股定理，感悟几何图形语言和符号语言及文字语言的运用，自主获取新的知识；（3）在学习过程中，不能单纯地依赖模仿与记忆，教师不能以自己的讲解代替学生；（4）充分利用现代信息技术手段，帮助学生更好地理解数学；（5）把探究阵地从课堂延伸到课外，充分挖掘学生的潜能。三、教学建议本章教学教师可采用主体性学习的教学模式，提出问题让学生思考，设计问题让学生做，错误原因让学生找，方法与规律让学生归纳．教师的作用在于组织、点拨、引导，促进学生主动探索、积极思考、大胆想象、总结规律，充分发

北师大版八年级数学上寒假作业：2、用勾股定理解古代趣题

初中数学试卷一、古代趣题 1、12世纪印度著名数学家婆什迦罗给出了一个歌谣式的问题：波平如镜一湖面，3尺高处出红莲。亭亭多姿湖中立，突遭狂风吹一边。离开原处6尺远，花贴湖面像睡莲。请君动脑想一想，湖水在此深若干尺？ 2、《九章算术》中的“折竹抵地”问题上：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺。问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远。问折断后的竹子有多高？

3、苍鹰与蛇的问题：树根下有一蛇洞，树高15米，树顶有一只苍鹰，它看见一条蛇迅速向洞口爬去，与洞口的距离还有三倍树高时，鹰向蛇直扑过去。如果鹰、蛇的速度相等，鹰扑击蛇的路线是直线段，请说出，鹰向何处扑击才能恰好抓住蛇？ 4、有一棵古树直立在地上，树高2丈，粗3尺，有一根藤条从根处缠绕而上，缠绕5周到达树顶，请问这根藤条有多长？（注：古树可以看成圆柱体；树粗3尺指的是圆柱底面周长为3尺。1丈＝10尺）

二、最短距离问题 5、如图，有一个底面半径为6cm，高为24cm的圆柱，在圆柱下底面的点A有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物后再返回到A点处休息，请问它需爬行的最短路程约是多少？（π取整数3） 6、有一个长宽高分别为2cm，1cm，3cm的长方体，如图，有一只小蚂蚁想从点A爬到点C1处，请你帮它设计爬行的最短路线，并说明理由。

7、一个零件的形状如图所示，工人师傅按规定做得AB =3，BC =4，AC =5，CD =12，AD =13，假如这是一块钢板，你能帮工人师傅计算一下这块钢板的面积吗？ 8、若△ABC 的三边长为a 、b 、c ，根据下列条件判断△ABC 的形状。（1）a 2+b 2+c 2+200=12a +16b +20c (2) a 3－a 2b +ab 2－ac 2+bc 2－b 3=0 B C A D

2016年秋学期配套中学教材全解九年级化学(上)(人教版)第讲解

第五单元化学方程式检测题本检测题满分 100分,时间:60分钟一、选择题 (本题包括 20个小题,每小题 2分,共 40分 1下列现象能用质量守恒定律解释的是( A . 10g 冰受热融化成 10g 水 B . 1升芝麻和 1升大米混合,总体积小于 2升 C . 潮湿的衣服在阳光下晒干 D . 一定量的煤完全燃烧后生成的所有物质的质量之和大于煤的原质量 2从 2H 2+O 22H 2O 中获取的信息错误的是( A . 在反应前后,元素的种类没有变化 B . 在常温下氢气与氧气混合就可以发生反应 C . 4g 氢气与 32g 氧气完全反应,可以生成 36g 水 D . 在反应前后,氢原子和氧原子的数目都没有改变 3在一密闭的容器内盛有 20g H 2、 O 2和 N 2的混合气体,在实验室中某同学误加热此密闭容器,混合气体在密闭的容器内爆炸,冷却后,测知生成 H 2O 18g ,请帮此同学判断剩余的气体不可能是( A . H 2和 N 2 B . O 2和 N 2 C . H 2、 O 2和 N 2 D . 2g N 2 4在 2A +B 2C 反应中,已知 A 的相对分子质量为 24, C 的相对分子质量为 40,则B 的相对分子质量为( A . 16g B . 32 C . 16 D . 32g

5(2016·广州是一种重要的阻燃剂 , 工业制取该物质的化学方程式为 +2X。则 X 的化学式为( A. B. C. D. 6(2016 ·南宁下列关于化学方程式的读法,错误的是( A . 磷和氧气在点燃的条件下反应生成五氧化二磷 B . 在点燃的条件下,每 4体积的磷和 5体积的氧气完全反应,生成五氧化二磷 C . 在点燃的条件下,每 4个磷原子和 5个氧气分子结合生成 2个五氧化二磷分子 D . 在点燃的条件下, 每 124份质量的磷和 160份质量的氧气完全反应, 生成284份质量的五氧化二磷

《勾股定理教材分析》

《勾股定理》教材分析一、课标要求： 1、体验勾股定理的探索过程，会运用勾股定理解决简单问题； 2、会运用勾股定理的逆定理判定直角三角形； 3、通过具体的例子，了解定理的含义，了解逆命题、逆定理的概念，知道原命题成立其逆命题不一定成立。二、中考要求： 1、已知直角三角形的两边长，会求第三边长。 2、会用勾股定理解决简单问题；会用勾股定理逆定理判定三角形是否为直角三角形。 3、了解定义、命题、定理含义；了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，并知道原命题成立，逆命题不一定成立。三、本章结构图：互逆定理四、本章的地位和作用五、本章课时安排：本章教学时间约需要7课时，具体安排如下： 18.1 勾股定理 3课时 18.2 勾股定理的逆定理 2课时 18.3 小结 2课时

六、本章重要的数学思想和方法 1. 在定理、逆定理探究过程中所体现出来的由特殊到一般的思想 2.数形结合思想：面积法证明数学问题及由数到形、由形到数 3、整体的方法. 4.分类讨论思想 5.方程思想贯穿始终 6.转化思想：化斜为直，化空间为平面，化曲为直七、教学内容设计八、数学思想的贯穿 2、数形结合思想例1、我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成一个大正方形。如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两条直角边分别为a,b. 那么（ a+b)2的值为_____ 例2 如图，高速公路的同侧有A、B两个村庄，他们到高速公路所在直线MN的距离分别为AA1=2km,BB1=4km,A1B1=8km。现要在高速公路上

人教版【初中生物】中学教材全解八年级上册word版本

全书大归纳核心知识归纳

1．准备做实验的蚂蚁 2．将三块小石头放在盛有少许清水的容器内（如下图所示），形成三个小岛，小岛间用两根等长的小木条连接起来，这样蚂蚁只能通过由小木条搭成的“桥”从一个小岛到达其他的小岛 3．先将饥饿的蚂蚁放在B岛上，食物放在C岛上，A岛什么都不放，观察蚂蚁的通讯

方法一根据结构决定功能的生物学观点解题生物体结构与功能相统一的思想包括两层意思：一是有一定的结构就必然有与之相适应的功能；二是任何功能都需要一定的结构来完成。在学习生物学知识和解题时，一定要把握结构决定功能这一

思想。例如，鱼鳍的特点决定鱼可以在水中游泳，鱼的特点决定了鱼可以吸收溶解在水中的氧气；蚯蚓体壁的特点决定了其可以进行气体交换；兔的牙齿分化特点决定了其食性；大多数细菌和真菌细胞内没有叶绿体（素），决定了其只能利用现成的有机物生活。例1（2015?呼和浩特）关于动物形态结构特点与功能的叙述，错误的是（） A．鱼的身体呈流线型，可减少游泳时的阻力 B．蜥蜴的体表有角质的鳞片，可以减少体内水分的蒸发 C．鸟发达的胸肌两端都附着在胸骨上，牵动两翼完成飞行动作 D．哺乳动物的胎生、哺乳提高了后代的成活率【答案】C 【解析】生物体的形态结构与其功能相适应。鱼的身体呈流线型，可减少游泳时水的阻力，是鱼类对水生生活的适应；蜥蜴的体表有角质的鳞片，可以减少体内水分的蒸发，适应干燥的陆地生活；鸟发达的胸肌一端附着在胸骨上，另一端附着在翼骨上，牵动两翼完成飞行动作，与飞行生活相适应；哺乳动物的胎生、哺乳提高了后代的成活率。故选择C选项。方法二根据生物适应环境的生物学观点解题生物都生活在一定的环境中，生物只有适应它所生活的环境才能生存下去。生物在长期的生活和进化过程中，逐渐形成了与环境相适应的形态结构特点。例如，鱼类通过鳍的游泳和鳃的呼吸适应水中生活；蚯蚓身体分节，利用体壁进行呼吸以适应陆地生活；兔体温恒定、四肢及神经系统发达等使之可以很好地适应陆地生活；鸟类的体形特点，前肢和骨的特点，消化、呼吸、循环等系统的特点都是与飞行生活相适应的；而大多数细菌和真菌可以分解动植物的遗体、遗物等，与其腐生生活相适应。例2（2015?四川资阳）下面的动物与其气体交换部位对应错误的是（） A．牛——肺B．鲫鱼——鳃C．青蛙——肺与皮肤D．家鸽——肺与气囊【答案】D 【解析】不同的动物生活在不同的环境中，形成了与环境相适应的呼吸器官。牛属于哺乳动物，生活在陆地上，依靠肺从空气中获取氧气，完成气体交换；鲫鱼生活在水中，用鳃呼吸，其主要结构鳃丝内密布毛细血管，可吸收溶解在水中的氧气；青蛙幼体生活在水中，用鳃呼吸，成体既能生活在水中，也能生活在潮湿的陆地上，主要用肺呼吸，靠裸露湿润的皮肤辅助呼吸；家鸽在空中飞行，其独特的呼吸方式为双重呼吸，即每呼吸一次，气体两次经过肺，在肺里进行两次气体交换，提高了气体交换的效率，满足了高空飞行时对氧的需求，气囊可以储存气体，不能进行气体交换。故选择D选项。方法三根据生物分了的依据和特点进行解题现在地球上的生物已知的有很多种，它们个体的数量更是数不胜数，而且不同的生物具有不同的基因组成，不同生物的生活环境也不尽相同，这样就构成了生物的多样性。为了认识和更好地保护生物的多样性，需要对生物进行分类。根据生物在形态结构和生理功能上的相似程度将生物分成不同的等级单位，一般生物的分类单位越大，所包含的生物种类越多，生物间的共同特征就越少，生物间的亲缘关系就越远；生物的分类单位越小，所包含的生物种类越少，生物间的共同特征就越多，生物间的亲缘关系就越近。例3（2015?湖南株洲）根据以下动物分类图解（如图），将①②③④⑤与A、B、C、D、E对应连线。【答案】

初中数学八年级上册《勾股定理》教材分析

北师大版初中数学八年级上册《勾股定理》教材分析本章主要研究勾股定理与其逆定理，包括它们的发现、证明和应用。首先让学生通过观察得出直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方的结论并加以证明，从而得到勾股定理，然后运用勾股定理解决问题。在此基础上，引入勾股定理的逆定理，并结合此项内容介绍逆命题、逆定理的概念。全章分为两节： 18。1勾股定理。本节教科书从毕达哥拉斯观察地面发现勾股定理的传说谈起，让学生通过观察计算一些以直角三角形两条直角边为边长的小正方形的面积与以斜边为边长的正方形的面积的关系，发现两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积，从而发现勾股定理，这时教科书以命题1的形式呈现了勾股定理。关于勾股定理的证明方法有很多，教科书正文中介绍了我国古人赵爽的证法。通过推理证实命题1的正确性后，教科书顺势指出什么是定理，并明确命题1就是勾股定理。之后，通过三个探究栏目，研究了勾股定理在解决实际问题和解决数学问题（画出长度是无理数的线段等）中的应用，使学生对勾股定理的作用有一定的认识。 18。2勾股定理的逆定理。本节研究勾股定理的逆定理，教科书从古埃及人画直角的方法说起，给出如果一个三角形的三边满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形的结论，然后让学生画出一些两边的平方和等于第三边的平方的三角形，探索这些三角形的形状，可以发现画出的三角形都是直角三角形，从而猜想如果三角形的三边满足这种关系，那么这个三角形是直角三角形，这样就探索得出了勾股定理的逆定理。此时这个逆定理是以命题2的方式给出的，教科书通过对照命题1和命题2的题设、结论，给出了原命题和逆命题的概念。命题2是否正确，需要证明，教科书利用全等三角形证明了命题2，得到勾股定理的逆定理。勾股定理的逆定理给出了判定一个三角形是直角三角形的方法，这在数学和实际中有着广泛应用，教科书通过两个例题，让学生学会运用这种方法解决问题。课标对本章的要求（本章学习目标）：

必修二中学教材全解-

第五章曲线运动第二节平抛运动考点专项训练 1. 下列关于平抛运动的说法正确的是 A. 平抛运动是非匀变速运动 B. 平抛运动是匀速运动 C. 平抛运动是匀变速曲线运动 D. 平抛运动的物体落地时的速度一定是竖直向下 2. 物体在高处以初速度Vo 水平抛出，落地时速度的大小为v ，则该物体在空中运动的时间（不计空气阻力）为（） A. g vo v - B. g vo v + C. g vo v 2 2- D. g vo v 22+ 3. 以初速度Vo=20 m/s,从20 m 高台上水平抛出抛出一个物体（g 取10 m/s 2），则（） A. 2s 后物体的水平速度为20m/s B. 2s 末物体速度方向与水平方向成45°角 C. 每1s 内物体的速度变化的大小为10m/s D. 每1s 内物体的速度大小的变化为10m/s 4. 如图5-2-17所示，一小球以V 0＝10 m/s 的速度被水平抛出，落地之前经过空中的A 、B 两点，在A 点时，小球速度方向与水平方向的夹角为45°，在B 点时，小球速度方向与水平方向的夹角为60°(空气阻力忽略不计，g 取10 m/s 2)，以下判断中正确的是 ( )． A ．小球经过A 、 B 两点间的时间间隔t ＝(13-)s B ．小球经过A 、B 两点间的时间间隔t ＝3s C ．A 、B 两点间的高度差h ＝10 m D ．A 、B 两点间的高度差h ＝15 m

图 5－2－17 5. 一位运动员在进行射击比赛时，子弹水平射出后击中目标。当子弹在飞行过程中速度平行于射出点于目标的连线时，大小为v ，不考虑空气阻力，已知射出点于目标的连线与水平面的夹角为θ，则在整个飞行过程中，则子弹（） A.初速度v 0=vcos θ B.飞行时间t=2vtan θg C.飞行的水平距离x=v 2 sin2θg D.飞行的竖直距离y=2v 2tan 2θg 6. 如图5-2-18所示，若质点以Vo 的初速度正对倾角为θ=37°的斜面水平抛出，要使质点到斜面时发生的位移最小，则质点的飞行的时间为（） A.g v 430 B. g v 830 C. g v 380 D. g v 340 图5-2-18 7. 如图5-2-19所示，在同一竖直面内，小球a ，b 从高度不同的两点，分别以初速va 和vb 沿水平方向抛出，经时间ta 和tb 后落到与两抛出点水平距离相等的P 点。若不计空气阻力，则下列关系式正确的是（） A ．t a >t b ，v a ＜v b B ．t a >t b ，v a >v b C ．t a ＜t b ，v a ＜v b D ．t a ＜t b ，v a >v b