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第三章微分中值定理应用教学设计及习题

第三章微分中值定理与导数的应用

教学目的和要求：

1、理解罗尔定理和拉格朗日中值定理的条件和结论，并会使用这些定理；了解柯西中值定理的条件和结论

2、掌握用洛必达法则求未定式极限的方法

3、了解泰勒定理以及用多项式逼近的思想

4、理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数单调性和求极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用

5、会用导数判断函数图形的凹凸性，会求拐点，会描绘一些简单函数的图形（包括水平和铅直渐近线）

重点：

1、应用罗尔定理、拉格朗日中值定理证明一些等式、不等式和根等问题

2、用洛必达法则求各种未定式的极限

3、极值的应用

难点：

1、应用中值定理证明一些等式或不等式时辅助函数的作法

2、极值的应用

课时安排：16学时

第一节微分中值定理

教学目的和要求：

微分中值定理是导数应用的理论基础，本节主要讲三个中值定理：罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理，学生要理解这些定理的条件和结论，并会使用这些定理证明等式、不等式等有关问题。培养学生利用辅助函数证明有关问题的能力。

重点：

应用罗尔定理、拉格朗日中值定理证明一些等式、不等式和根等问题

难点：

应用中值定理证明一些等式或不等式时辅助函数的作法

教学过程：

一、罗尔定理

1、费马引理

注：

（1）导数等于零的点称为函数的驻点。曲线)(x f y 在其驻点处有水平的切线。

（2）为罗尔定理的证明打下基础

2、罗尔定理

3、几何解释

注意问题：

（1）罗尔定理中如果有一个条件不满足，结论可能不成立

（2）罗尔定理的条件是充分的但不是必要的。即满足条件，结论一定成立。不满足条件，结论可能成立，也可能不成立。

3、例题分析

例1 不求)3)(2)(1()(---=x x x x f 的导数，说明方程0)(='x f 有几个根，并指出所在的区间．

注：本题考察对罗尔定理的理解和运用．

例２设)(x f 在]1,0[上连续，在)1,0(内可导，且0)1(,1)0(==f f ．证明：至少存在一点)1,0(∈ξ，使得 ξξξ)

()(f f -='．

注：本题考察应用罗尔定理证明抽象函数等式时，辅助函数的构造方法．

例３证明方程0155

=+-x x 有且仅有小于１的正实根．

注：本题考察零点定理和罗尔定理的联合应用，当证明有根时用罗尔定理，证明仅有一个根时采用反证法用罗尔定理．二、拉格朗日中值定理

1、拉格朗日中值定理

2、几何解释

3、推论1、推论2

注意问题：

（1）定理的条件是充分条件而非必要条件．

（2）应用广泛且非常灵活: (a)可用它的变形形式，(b)可用于证明一些等式或不等式,

(c)可在任何一个满足定理条件的区间上应用．

4、例题分析

例４证明：2arccos arcsin π

=+x x )11(≤≤-x ．

注意：本题考察如何利用推论１证明一些恒等式．

例５证明当0>x 时，x x x

x <+<+)1ln(1．注意：本题考察如何利用拉格朗日中值定理证明一些不等式．

例６设0lim >=∞→a a n n ，证明a a n n n n ln )1(lim =-∞

→．注意：本题考察利用拉格朗日中值定理如何求极限．

三、柯西中值定理

1、柯西中值定理

2、几何解释

3、例题分析

例7 设)(x f 在]1,0[上连续，在)1,0(内可导．证明：至少存在一点)1,0(∈ξ，使

)]0()1([2)(f f f -='ξξ．

注意：本题考察如何利用柯西中值定理证明一些等式．

四、小结

罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系：

注意定理成立的条件；注意利用中值定理证明等式和不等式的步骤．关键是利用逆向思维设辅助函数．

五、课外练习

1、思考题：试举例说明拉格朗日中值定理的条件缺一不可.

2、练习

（１）试证至少存在一点),1(e ∈ξ，使ξln cos 1sin =．

提示：令x x f ln sin )(=，x x F ln )(=，用柯西中值定理证明；

令x x x f ln 1sin ln sin )(?-=，用罗尔定理证明．

（２）设],0[)(π∈x f ，且在),0(π内可导，证明至少存在一点),0(πξ∈，使ξξξcos )()(f f -='．

提示：令x x f x F sin )()(=，用罗尔定理证明．

（３）若)(x f 可导，试证在其两个零点之间一定有)()(x f x f '+的零点．

提示：设2121,0)()(x x x f x f <==．

欲证：),(21x x ∈?ξ使0)()(='+ξξf f ，

只要证 0)()(='+ξξξξf e f e ，亦即 0])([='

=ξx x x f e ．作辅助函数)()(x f e x F x =，验证函数)(x F 在],[21x x 满足罗尔定理的条件．

六、练习题

１、填空题：

(１) 函数4

)(x x f =在区间[1,2]上满足拉格朗日中值定理，则ξ=_______.

(２) 设)4)(3)(2)(1()(----=x x x x x f ，方程0)(='x f 有____________个根，它们分别在

区间_____________上.

(３) 罗尔定理与拉格朗日定理之间的关系是_________________.

(４) 微分中值定理精确地表达函数在一个区间上的_______与函数在这区间内某点处的

_______之间的关系.

(５) 如果函数)(x f 在区间I 上的导数__________，那么)(x f 在区间I 上是一个常数.

２、试证明对函数r qx px y ++=2应用拉格朗日中值定理时所求得的点ξ总是位于区间的正中

间 . ３、证明等式21arctan

1arcsin 22π=-+-x x x ))1,0((∈x . ４、设0>>b a ，1>n ，证明

)()(11b a na b a b a nb n n n n -<-<--- .

５、证明下列不等式：

（1）b a b a -≤-arctan arctan ；

（2）时当1>x ，ex e x > .

6、设函数)(x f y =在0=x 的某邻域内且有n 阶导数，且)0()0()0()1(-=='=n f

f f K 试用柯西

中值定理证明： !

)()()(n x f x x f n n θ=，（10<<θ）. 7、设)(x f 在[b a ,]内上连续，在(b a ,)内可导，若 b a <<0,则在(b a ,)内存在一ξ点，使

))](()([)()(b a f f a bf b af --=-ξξξ] .

练习题答案

一、1．34

15； 2．3，)4,3(),3,2(),2,1(；

3．前者是后者的特殊情形，加)()(b f a f =即可；

4．增量、导数；

5．恒为零．

第3章微分中值定理与导数的应用总结

1基础知识详解先回顾一下第一章的几个重要定理 1、0 lim ()()x x x f x A f x A α→∞→=?=+ ，这是极限值与函数值（貌似是邻域）之间的关系 2、=+()o αββαα?: ，这是两个等价无穷小之间的关系 3、零点定理：条件：闭区间[a,b]上连续、()()0f a f b < (两个端点值异号) 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得()0f ζ= 4、介值定理：条件：闭区间[a,b]上连续、[()][()]f a A B f b =≠= 结论：对于任意min(,)max(,)A B C A B <<，一定在开区间(a,b)上存在ζ，使得 ()f C ζ=。 5、介值定理的推论：闭区间上的连续函数一定可以取得最大值M 和最小值m 之间的一切值。第三章微分中值定理和导数的应用 1、罗尔定理条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，f(a)=f(b) 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得'()0f ζ= 2、拉格朗日中值定理条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得()()'()()f b f a f b a ζ-=- 3、柯西中值定理

条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，()0,(,)g x x a b ≠∈ 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得 ()()'() ()()'() f b f a f g b g a g ζζ-= - 拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情况，当g(x)=x 时，柯西中值定理就变成了拉格朗日中值定理。 4、对罗尔定理，拉格朗日定理的理解。罗尔定理的结论是导数存在0值，一般命题人出题证明存在0值，一般都用罗尔定理。当然也有用第一章的零点定理的。但是两个定理有明显不同和限制，那就是，零点定理两端点相乘小于0，则存在0值。而罗尔定理是两个端点大小相同，则导数存在0值。如果翻来覆去变形无法弄到两端相等，那么还是别用罗尔定理了，两端相等，证明0值是采用罗尔定理的明显特征。拉格朗日定理是两个端点相减，所以一般用它来证明一个函数的不等式： 122()()-()1()m x f x f x m x <<；一般中间都是两个相同函数的减法，因为这样便于直接应用拉格朗日，而且根据拉格朗日的定义，一般区间就是12[,]x x 。 5、洛必达法则应用注意正常求极限是不允许使用洛必达法则的，洛必达法则必须应用在正常求不出来的不定式极限中。不定式极限有如下7种： 000,,0*,,0,1,0∞∞ ∞∞-∞∞∞ 每次调用洛必达方法求解极限都必须遵从上述守则。 6、泰勒公式求极限。如果极限是0 lim () x x f x → 那么就在0x 附近展开。如果极限是

高等数学第三章微分中值定理与导数的应用的习题库

第三章微分中值定理与导数的应用一、判断题 1. 若()f x 定义在[,]a b 上，在(a,b)内可导，则必存在(a,b)ξ∈使'()0f ξ=。（） 2. 若()f x 在[,]a b 上连续且()()f a f b =，则必存在(a,b)ξ∈使'()0f ξ=。（） 3. 若函数()f x 在[,]a b 内可导且lim ()lim ()x a x b f x f x →+→- =，则必存在(a,b)ξ∈使'()0f ξ=。（） 4. 若()f x 在[,]a b 内可导，则必存在(a,b)ξ∈，使'()(a)()()f b f f b a ξ-=-。（） 5. 因为函数()f x x =在[1,1]-上连续，且(1)(1)f f -=，所以至少存在一点()1,1ξ∈-使 '()0f ξ=。（） 6. 若对任意(,)x a b ∈，都有'()0f x =，则在(,)a b 内()f x 恒为常数。（） 7. 若对任意(,)x a b ∈，都有''()()f x g x =，则在(,)a b 内()()f x g x =。（） 8. arcsin arccos ,[1,1]2 x x x π +=∈-。（） 9. arctan arctan ,(,)2 x x x π += ∈-∞+∞。（） 10. 若()(1)(2)(3)f x x x x x =---，则导函数'()f x 有3个不同的实根。（） 11. 若22()(1)(4)f x x x =--，则导函数'()f x 有3个不同的实根。（） 12. ' ' 222(2)lim lim 21(21)x x x x x x →→=-- （） 13. 22' 0011lim lim()sin sin x x x x e e x x →→--= （） 14. 若'()0f x >则()0f x >。（） 15. 若在(,)a b 内()f x ，()g x 都可导，且''()()f x g x >，则在(,)a b 内必有()()f x g x >。（） 16. 函数()arctan f x x x =-在R 上是严格单调递减函数。（） 17. 因为函数()f x x =在0x =处不可导，所以0x =不是()f x 的极值点。（） 18. 函数()f x x =在0x =的领域内有()(0)f x f ≥，所以()f x 在0x =处取得极小值。（） 19. 函数sin y x x =-在[0,2]π严格单调增加。（） 20. 函数1x y e x =+-在(,0]-∞严格单调增加。（） 21. 方程32210x x x ++-=在()0,1内只有一个实数根。（） 22. 函数y [0,)+∞严格单调增加。（） 23. 函数y (,0]-∞严格单调减少。（） 24. 若'0()0f x =则0x 必为'0()f x 的极值点。（） 25. 若0x 为()f x 极值点则必有'(0)0f =。（）

(完整版)利用微分中值定理证明不等式

微分中值定理证明不等式微分中值定理主要有下面几种： 1、费马定理：设函数()f x 在点0x 的某邻域内有定义,且在点0x 可导,若点0x 为()f x 的极值点,则必有 0()0f x '=. 2、罗尔中值定理：若函数()f x 满足如下条件：（1）()f x 在闭区间[,]a b 上连续；（2）()f x 在开区间(,)a b 内可导；（3）()()f a f b =, 则在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ,使得 ()0f ξ'=. 3、拉格朗日中值定理：若函数()f x 满足如下条件：（1）()f x 在闭区间[,]a b 上连续；（2）()f x 在开区间(,)a b 内可导；则在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ,使得 ()()()f b f a f b a ξ-'=-. 4、柯西中值定理：若函数()f x ,()g x 满足如下条件：（1）在闭区间[,]a b 上连续；（2）在开区间(,)a b 内可导；（3）()f x ',()g x '不同时为零；（4）()()g a g b ≠；则在开区间(),a b 内存在一点ξ,使得 ()()()()()() f f b f a g g b g a ξξ'-='-. 微分中值定理在证明不等式时,可以考虑从微分中值定理入手,找出切入点,灵活运用相关微分中值定理,进行系统的分析,从而得以巧妙解决. 例1、设 ⑴(),()f x f x '在[,]a b 上连续； ⑵()f x ''在(,)a b 内存在； ⑶()()0;f a f b == ⑷在(,)a b 内存在点c ,使得()0;f c > 求证在(,)a b 内存在ξ,使()0f ξ''<. 证明由题设知存在1(,)x a b ∈,使()f x 在1x x =处取得最大值,且由⑷知1()0f x >,1x x =也是极大值点,所以 1()0f x '=. 由泰勒公式：211111()()()()()(),(,)2! f f a f x f x a x a x a x ξξ'''-=-+-∈. 所以()0f ξ''<. 例2 、设0b a <≤,证明ln a b a a b a b b --≤≤.

微分中值定理例题

理工大学微积分-微分中值定理费马定理罗尔定理拉格朗日定理柯西定理

()()1.()0,(0)0,f x f f f ?ξξξξζξξξ'' <=>><≤[][]''''''[]<<≤１２１２１２１２１２１２１２２１１１２１１１２１１２２１设证明对任何的x ０，ｘ０，有（ｘ＋ｘ）（ｘ）＋ｆ（ｘ）．解：不妨设ｘｘ，（ｘ）＝f （ｘ＋ｘ）－ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ＋ｘ）－ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）－ｆ（０）＝ｆ（）ｘ－ｆ（）ｘ＝ｘｆ（）－ｆ（）＝ｘｆ－．因为，０ｘｘ()ξζ?''<<<<２１１２ｘ＋ｘ，又ｆ０，所以（ｘ）０，所以原不等式成立。 12n 12n 12n 11221122n 001 1 000.x b f x .x x x b 1,f )f x f x f x x *,()()()()n n n n n i i i i i i i X b b x f x f x f x x x λλλλλλλχλχλχλλλλλ=='' >???∈<<1++?+=++?+≤?=<=>α. '''=+-+ ∑∑2设f （）在（a ，）内二阶可导，且（）0，，（a ，），0，，，且则，试证明(（）+（）++（）. 解：设同理可证：()20000i 00 1 1 1 1 0000111() ()()()().x 2! ()()()()()(()()().) n n n i i i i i i i n n i n n i i i i i i i i i i i i f x x f x f x x x f x f x f x f x x x f x X X x x f x f x λλλλξξλλλ=======?? ''-'-≥+-<<'≥+-===- ??? ∑∑∑∑∑∑∑注：x ()3.)tan . 2 F ,F 2 (0)0,(0)0,((cos 2 F f x f F F f ππξ ξπξξπππ πππξ [0]0'∈=[0]0=∴===[0]∈Q 设f(x)在，上连续，在（，）内可导，且f （0）=0，求证：至少存在（0，），使得2f ( 证明：构造辅助函数：（x)=f(x)tan 则（x)在，上连续，在（，）内可导，且））所以（x)在，上满足罗尔定理的条件，故由罗尔定理知：至少存在（0()()()()()()F 011F x cos sin F cos sin 0222222 cos 0)tan 2 2 x x x f f f πξξξ ξξξξ ξ ξπξξ'=''''=- =-='∈≠=，），使得，而f(x)f()又（0，），所以，上式变形即得：2f (，证毕。

北大版高等数学第四章微分中值定理与泰勒公式答案习题

习题4.5 x (,3 2 )3 2 (3 2 ,0) 0(0, 3 2 ) 3 2 (3 2 ,+) f0+00+ f拐点拐点拐点x(,0) -∞0(0,1)1(1,2)2(2,) +∞y'0++0 y''++ y 极小值拐点极大值 ()() ()() 2 22222 22 222 32 1.() ()212,()12(2)4 3 642320,0,. 2 x x x x x x x x f x xe f x e x e e x f x e x x xe e x x xe x x - ------- = ''' -=-=--- =-+=-+==± 求函数的凸凹性区间及拐点. 解= 23 2 1 ,(,). 3 2(2)0,0,2. 220, 1. y x x x y x x x x x y x x =-∈-∞∞ '=-=-== ''=-== 作下列函数的图形： 2.

222223.,(,).2(2)(2)0,0,2;(2)(22)(42)0,2 2. x x x x x x x x y x e x y xe x e e x x e x x x y e x x e x e x x x --------'=∈-∞+∞=-=-=-==''=--+-=-+==± x (,0)-∞ (0,22)- 22- (22,2)- 2 (2,22)+ 22+ (22,)++∞ y ' - + + - - y '' + + - - 0 + y ? 极小值 ? 拐点 ? 极大值 ? 拐点 ? 22231 4.,0. 11 10, 2 1;. y x x x x y x x x y x =+≠-'=-==''=±=

第三章微分中值定理导数的应用

第三章微分中值定理导数的应用教学目的与要求 1掌握并会应用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。 2理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。 3．用二阶导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形。 4．握用洛必达法则求未定式极限的方法。 5．道曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。 6．了解方程近似解的二分法及切线法。一、中值定理，泰勒公式（放入泰勒级数中讲） 1．罗尔定理如()x f 满足：（1）在 []b ,a 连续. （2）在 ()b ,a 可导. （3）()()b f a f = 则至少存在一点()b ,a ∈ξ 使()0f /=ξ 例设()()()()1x 31x 21x x x g -++=，则在区间（-1，0）内，方程()0x g /= 有2个实根；在（-1，1）内()0x g //=有2个根例设()x f 在[0，1]可导，且()()01f 0f ==，证明存在()1,0∈ η，使()()0f f /=ηη+η。证：设()()x xf x F =在[a,b]可导，()()1F 0F = ∴ 存在()1,0∈η使()0F /=η 即()()0f f /=ηη+η 例设()x f 在[0，1]可导，且()()01f 0f ==, 证明存在η ()()0F F /=η+η 。解: 设()()x f e x F x =，且()()1F 0F = 由罗尔定理

存在η 使()0F /=η 即()()0f e f e /=η+ηηη，亦即()()0f f /=η+η 例习题6 设()()()x g e x f x F =（复合函数求导） 2、拉格朗日中值定理如()x f 满足：①在[a,b]连续；②在（a,b ）连续，则存在()b ,a ∈ξ 使()()()()a b f a f b f /-ξ=-。推论：⑴ 如果在区间I 上()0x f /≡，则()c x f = ⑵ 如果在区间I 上())0(0x f /<>， ()x f 在Ｉ单增（减）例对任意满足1x <的x ，都有4x arcsin 21x 1x 1arctg π=++- 设 ()x arcsin 21x 1x 1arctg x f ++-= ∵ ()()0x 1121x 12x 1x 121x 1x 111x f 22/=-++-?+-?+-+= 0x 121x 12x 1x 12x 1212 22=-++?-+?+?-= ∴ ()c x f = ∵ ()4 0f π= ∴ ()4 x f π= 例设()0x >，证明()x x 1ln x 1x <+<+ 求导证明作业：见各章节课后习题。

第四章微分中值定理与导数的应用

第四章微分中值定理与导数的应用第一节中值定理（2课时）要求：理解罗尔中值定理与拉格朗日中值定理。了解柯西中值定理。重点：理解中值定理及简单的应用。难点：中值定理证明的应用。一、罗尔(Rolle)定理罗尔定理如果函数)(x f 满足条件（1）在闭区间],[b a 上连续；（2）在开区间),(b a 内可导；（3）)()(b f a f =．则在开区间),(b a 内至少有一点)(b a <<ξξ，使得函数)(x f 在该点的导数等于零，即0)(='ξf ．几何解释设曲线? AB 的方程为))((b x a x f y ≤≤=，罗尔定理的条件的几何表示，?AB 是一条连续的曲线弧，除端点外处处具有不垂直于x 轴的切线，且两个端点的纵坐标相等，结论是曲线弧? AB 上至少有一点C ，使该点处曲线的切线是水平的．从图中看到，在曲线的最高点或最低点处，切线是水平的，这就启发了我们证明这个定理的思路，ξ应在函数取最值点处找．例1．验证罗尔定理对函数34)(2+-=x x x f 在]3,1[上的正确性．证明因为函数)3)(1(34)(2--=+-=x x x x x f 在闭区间]3,1[上连续，可导．

)2 (2 4 2 ) (- = - = 'x x x f 且0 )3( )1(= =f f 函数) (x f在区间]3,1[上满足罗尔定理条件，所以在区间)3,1(内存在ξ使得 )2 (2 ) (= - = 'ξ ξ f，于是)3,1( 2∈ = ξ．故确实在区间)3,1(内至少存在一点2 = ξ使得0 )2(= 'f，结论成立．二、拉格朗日中值定理（微分中值定理）几何分析拉格朗日中值定理设函数) (x f满足条件（1）在闭区间] , [b a上连续；（2）在开区间) , (b a内可导．则在区间) , (b a内至少存在一点) (b a< <ξ ξ，使得等式 ) )( ( ) ( ) (a b f a f b f- ' = -ξ成立．推论1如果函数) (x f在区间I上的导数恒为零，那么函数) (x f在区间I上是一个常数（它的逆命题也成立）．例2．试证 2 cot arctan π = +x arc x) (+∞ < < -∞x．证明构造函数x arc x x f cot arctan ) (+ =，因为函数) (x f在) , (+∞ -∞上可导，且 1 1 1 1 ) ( 2 2 = + - + = ' x x x f 由推论得()arctan cot f x x arc x C =+=，(,) x∈-∞+∞，

高等数学第三章微分中值定理与导数的应用题库(附带答案)

第三章微分中值定理与导数的应用一、选择题 1、则，且存在，，设 ,1)x (f )x (f )x (f 0)x (f 0)x (f 00000-=+''''='>（）是否为极值点不能断定的极值点不是　的极小值点是的极大值点是0000x )D ()x (f x )C ( )x (f x )B ()x (f x )A ( 2、处必有在则处连续且取得极大值，在点函数 x )x (f x x )x (f y 00==（） 0)x (f )B ( 0)x ('f )A (00<''= 或不存在且 0)x (f )D (0)x (f 0)x (f )C (0'00=<''= 3、的凸区间是 x e y x -=（） ) , 2( (D) ) , (2 (C) 2) , ( (B) 2) , ( (A)∞+-∞+--∞-∞ 4、在区间 [-1，1] 上满足罗尔定理条件的函数是（） (A)x x sin )x (f = (B)2)1x ()x (f += (C) 3 2 x )x (f = (D)1x )x (f 2+= 5、设f (x) 和g (x) 都在x=a 处取得极大值，F (x)=f (x)g (x)，则F(x)在x=a 处（） (A) 必取得极大值 (B)必取得极小值 (C)不取极值 (D)不能确定是否取得极值 6、满足罗尔定理的区间是使函数 )x 1(x y 322-=（） (A) [-1,1] (B) [0,1] (C) [-2,2] (D) ] 5 4, 5 3[- 7、x 2 e x y -=的凹区间是（） (A))2,(-∞ (B) )2,(--∞ (C) ) 1(∞+， (D) ) 1(∞+-， 8、函数)x (f 在0x x = 处连续，若0x 为)x (f 的极值点，则必有（）． (A)0)(0='x f (B)0)(0≠'x f (C)0)(0='x f 或)(0x f '不存在 (D))(0x f '不存在 9、当a= ( ) 时，处取到极值在 3 x 3sin3x asinx f(x )π=+ =（） (A) 1 (B) 2 (C) 3 π (D) 0 10、间是适合罗尔定理条件的区使函数 )x 1(x )x (f 322-=（） ] 5 4 , 5 3[)D ( ]2,2[)C ( ]1,1[)B ( ]1,0[)A (--- 11、()，则上的凹弧与凸弧分界点为连续曲线，若 )x (f y )x (f x 00=（）的极值必定不是的极值点为必定为曲线的驻点，　必为曲线的拐点， )x (f x )D ( )x (f x )C ( ))x (f x ( )B ( ))x (f x ( )A (000000 二、填空题 1、__________________e y 82 x 的凸区间是曲线-=． 2、______________ 2 x y x 的极小值点是函数=．

微分中值定理及其应用习题解析2

第六节定积分的近似计算 1. 分别用梯形法和抛物线法近似计算 ?21x dx (将积分区间十等份) 解 (1)梯形法 ?21x dx ≈412.111.1121(1012+??+++-)6938.0≈ (2)抛物线法 ?21x dx =???++-(42 113012])8.116.114.112.11(2)9.117.115.113.111.11++++++++6932.0≈ 2. 用抛物线法近似计算dx x x ?π0sin 解当n=2时，dx x x ?π 0sin ≈12π?? ?????+++πππ22)32222(41≈1.8524. 当n=4时，dx x x ?π 0sin ≈ 24π ??? ????????? ??+++??? ??++++πππππππππππ322222287sin 7885sin 5883sin 388sin 841 ≈1.8520. 当n=6时，dx x x ?π 0sin ≈ ??? ? ??+++++???? ??+?+++++πππππππππππππππ54332233321211sin 11122234127sin 712125sin 5122212sin 124136≈1.8517. 3..图10-27所示为河道某一截面图。试由测得数据用抛物线法求截面面积。解由图可知n=5，b-a=8. ? b a x f )(dx ≈()()[]864297531100245*68y y y y y y y y y y y ++++++++++ =()()[]85.075.165.185.0255.02.10.230.15.0400154++++++++++ =()2.102.2215 4+=8.64（m 2）（1）按积分平均 ?-b a t d t f a b )(求这一天的平均气温，其中定积分值由三种近视法分别计算；

《高等数学一》第四章-微分中值定理和导数的应用-课后习题汇总(含答案解析)

第四章微分中值定理和导数的应用[单选题] 1、曲线的渐近线为（）。 A、仅有铅直渐近线 B、仅有水平渐近线 C、既有水平渐近线又有铅直渐近线 D、无渐近线【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B 【您的答案】您未答题【答案解析】本题考察渐近线计算. 因为，所以y存在水平渐近线，且无铅直渐近线。 [单选题] 2、在区间[0，2]上使罗尔定理成立有中值为ξ为（） A、4 B、2 C、3 D、1 【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D 【您的答案】您未答题【答案解析】，罗尔定理是满足等式f′（ξ）=0，从而2ξ-2=0，ξ=1. [单选题] 3、，则待定型的类型是（）. A、 B、 C、 D、

【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D 【您的答案】您未答题【答案解析】由于当x趋于1时，lnx趋于0，ln(1-x)趋于无穷，所以是型. [单选题] 4、下列极限不能使用洛必达法则的是（）. A、 B、 C、 D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D 【您的答案】您未答题【答案解析】由于当x趋于无穷时，cosx的极限不存在，所以不能用洛必达法则. [单选题] 5、在区间[1，e]上使拉格朗日定理成立的中值为ξ=（）. A、1 B、2 C、e D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D 【您的答案】您未答题【答案解析】本题考察中值定理的应用。

[单选题] 6、如果在内，且在连续，则在上（）. A、 B、 C、 D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C 【您的答案】您未答题【答案解析】在内，说明为单调递增函数，由于在连续，所以在上f(a)＜f(x)＜f(b). [单选题] 7、的单调增加区间是（）. A、（0，+∞） B、（-1，+∞） C、（-∞，+∞） D、（1，+∞）【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D 【您的答案】您未答题【答案解析】 ,若求单调增加区间就是求的区间，也就是2x-2>0，从而x>1. [单选题] 8、（）.

微分中值定理的证明题(题目)

微分中值定理的证明题 1. 若()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 上可导，()()0f a f b ==，证明：R λ?∈， (,)a b ξ?∈使得：()()0f f ξλξ'+=。。 2. 设,0a b >，证明：(,)a b ξ?∈，使得(1)()b a ae be e a b ξξ-=--。。 3. 设()f x 在(0,1)内有二阶导数，且(1)0f =，有2()()F x x f x =证明：在(0,1) 内至少存在一点ξ，使得：()0F ξ''=。证 4. 设函数)(x f 在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，0)0(=f ，1)1(=f .证明： (1)在(0,1)内存在ξ，使得ξξ-=1)(f ． (2) 在(0,1)内存在两个不同的点ζ，1)()(//=ηζηf f 使得 5. 设)(x f 在[0，2a]上连续，)2()0(a f f =，证明在[0,a]上存在ξ使得 )()(ξξf a f =+. 6. 若)(x f 在]1,0[上可导，且当]1,0[∈x 时有1)(0<

9. 设()f x 在[,]a b 上连续,(,)a b 内可导(0),a b ≤<()(),f a f b ≠ 证明: ,(,)a b ξη?∈使得 ()().2a b f f ξηη +''= (1) 10. 已知函数)(x f 在[0 ,1]上连续，在（0 ，1）内可导，b a <<0，证明存在),(,b a ∈ηξ，使)()()(3/22/2ηξηf b ab a f ++= 略） 11. 设)(x f 在a x ≥时连续，0)(时，0)(/>>k x f ，则在))(,(k a f a a -内0)(=x f 有唯一的实根根 12. 试问如下推论过程是否正确。对函数21sin 0()0 0t t f t t t ?≠?=??=?在[0,]x 上应用拉格朗日中值定理得： 21s i n 0()(0)111s i n ()2s i n c o s 00x f x f x x f x x x ξξξξ --'====--- (0)x ξ<< 即：1 1 1cos 2sin sin x x ξξξ=- (0)x ξ<< 因0x ξ<<，故当0x →时，0ξ→，由01l i m 2s i n 0ξξξ+→= 01lim sin 0x x x +→= 得：0lim x +→1cos 0ξ=，即01lim cos 0ξξ+→= 出 13. 证明：02x π?<<成立2cos x x tgx x <<。