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高等数学第三章微分中值定理与导数的应用的习题库

第三章微分中值定理与导数的应用

一、判断题

1. 若()f x 定义在[,]a b 上，在(a,b)内可导，则必存在(a,b)ξ∈使'()0f ξ=。（）

2. 若()f x 在[,]a b 上连续且()()f a f b =，则必存在(a,b)ξ∈使'()0f ξ=。（）

3. 若函数()f x 在[,]a b 内可导且lim ()lim ()x a x b f x f x →+→-

=，则必存在(a,b)ξ∈使'()0f ξ=。（） 4. 若()f x 在[,]a b 内可导，则必存在(a,b)ξ∈，使'()(a)()()f b f f b a ξ-=-。（） 5. 因为函数()f x x =在[1,1]-上连续，且(1)(1)f f -=，所以至少存在一点()1,1ξ∈-使

'()0f ξ=。

（） 6. 若对任意(,)x a b ∈，都有'()0f x =，则在(,)a b 内()f x 恒为常数。（） 7. 若对任意(,)x a b ∈，都有''()()f x g x =，则在(,)a b 内()()f x g x =。（） 8. arcsin arccos ,[1,1]2

x x x π

+=∈-。

（） 9. arctan arctan ,(,)2

x x x π

∈-∞+∞。

（） 10. 若()(1)(2)(3)f x x x x x =---，则导函数'()f x 有3个不同的实根。

（） 11. 若22()(1)(4)f x x x =--，则导函数'()f x 有3个不同的实根。

（） 12. '

222(2)lim lim

21(21)x x x x x x →→=--

（）

13. 22'

0011lim

lim()sin sin x x x x e e x x

→→--= （） 14. 若'()0f x >则()0f x >。

（）

15. 若在(,)a b 内()f x ，()g x 都可导，且''()()f x g x >，则在(,)a b 内必有()()f x g x >。（） 16. 函数()arctan f x x x =-在R 上是严格单调递减函数。

（） 17. 因为函数()f x x =在0x =处不可导，所以0x =不是()f x 的极值点。

（）

18. 函数()f x x =在0x =的领域内有()(0)f x f ≥，所以()f x 在0x =处取得极小值。（） 19. 函数sin y x x =-在[0,2]π严格单调增加。（） 20. 函数1x y e x =+-在(,0]-∞严格单调增加。

（） 21. 方程32210x x x ++-=在()0,1内只有一个实数根。（）

22. 函数y [0,)+∞严格单调增加。（）

23. 函数y (,0]-∞严格单调减少。（） 24. 若'0()0f x =则0x 必为'0()f x 的极值点。（） 25. 若0x 为()f x 极值点则必有'(0)0f =。

（）

26. 3()f x x =在0x =处有(0)0f '=，所以0x =是()f x 的极值点。（） 27. 若00(,())x f x 为曲线()y f x =的拐点，则必有''0()0f x =。

（） 28. 若''0()0f x =，则00(,())x f x 必为函数曲线()y f x =的拐点。

（）

29. 若在I 上，曲线总在它每一点的切线上方，则曲线在I 上是凹的。（） 30. 曲线4263y x x x =-+在区间（0,1）内是凸的。（） 31. 曲线2ln(1)y x =-的图形处处是凹的。（） 32. 曲线3x y xe -=的拐点0x =。

（） 33. 曲线3y x =在(,0]-∞内是凸的，在[0,)+∞内是凹的。

（） 34. 曲线ln x

y x

=有水平渐近线0y =。

（）

二、选择题

1. 若()f x 在(,)a b 内可导，12,x x 是(,)a b 内任意两点，且12x x <，则至少存在一点ξ使（）

A.'()()()()f b f a f b a ξ-=-，其中a b ξ<<

B.'11()()()()f b f x f b x ξ-=-，其中x b ξ<<

C.'1221()()()()f x f x f x x ξ-=-，其中12x x ξ<<

D.'22()()()()f x f a f x a ξ-=-，其中2a x ξ<<

2. 函数3

()3

x f x x =-在(满足罗尔定理条件的ξ等于

（）

A.-1

B.0

C.1 3. 函数2()23f x x x =+-在()1,2-满足拉格朗日中值定理条件的ξ等于

（）

B.0

C.1

D.1

4. 函数(1)y x x =-在区间(0,1)内满足罗尔定理的ξ=

（）

A.0

B.13

C.1

D.1 5. 下列各式中正确运用洛必达法则求极限的是（）

A.000sin cos sin lim lim lim 1x x x x x x x x x e e e →→→-==-

B.sin lim lim(1cos )x x x x x x

→∞→∞+=+不存在 C.232000011sin cos sin cos sin 1lim cot lim lim lim sin 33x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→--??

-==== ???

D.22001lim

lim 1sin cos x x

x x e e x x

→→-== 6. 函数2

()1x

f x x

+ （）

A.在R 上单调减少

B.在R 上单调增加

C.在(1,1)-上单调减少

D.在(1,1)-上单调增加 7. ()ln f x x x =，则

（）

A.在1

(0,)e

内单调增加

B.在1

(,)e

+∞内单调增加

C.在(0,)+∞内单调减少

D.在(0,)+∞内单调增加

8. 函数2()x f x x e -=

（）

A.没有极值

B.既有极大值也有极小值

C.只有极大值

D.只有极小值 9. 若在区间(,)a b 内函数'(0)0f >，''(0)0f <则()f x 在(,)a b 内

（）

A.单调递减且凹的

B.单调增加且凸的

C.单调增加且凹的

D.单调递减且凸的

10. 若()()f x f x -=，(,)x ∈-∞+∞，在(,0)-∞内'()0f x >，()0f x ''<，则()f x 在(0,)

+∞内有

（）

A. '()0f x >，()0f x ''<

B. '()0f x >，()0f x ''>

C. '()0f x <，()0f x ''<

D. '()0f x <，()0f x ''>

11. 要使点(1,3)为曲线32y ax bx =+的拐点则,a b 值应为

（）

A.93,22a b ==-

B.39

a ,22

b =-= C.3,6a b =-= D. 2,1a b ==

12. 点(1,2)是曲线23y ax bx =+的拐点，则

（）

A.0,2a b ==

B.1,1a b ==

C.2,0a b ==

D.3,1a b ==- 13. 曲线23()3f x x x =-在

（）

A.在(,1)-∞内是凸的，(1,)+∞内是凹的

B.在(1,)+∞内是凸的，(,1)-∞内是凹的

C.在(,0)-∞内是凸的，(0,)+∞内是凹的

D.在(0,)+∞内是凸的，(,0)-∞内是凹的

14. 2是函数32362y x x x =-+-在[1,1]-上的

（）

A.极大值

B.极小值

C.最大值

D.最小值

15. 函数3229121y x x x =-++在[]0,2上的最大值点与最小值点分别是

（）

A.1，0

B.1，2

C.2，0

D.2，1

16. 设'()(1)(21),(,)f x x x x =-+∈-∞+∞则在1

(,1)2

内曲线()f x 单调

（）

A.递增凹的

B.递减凹的

C.递增凸的

D.递减凸的

17. 当0x >，则曲线1

sin y x x

（）

A.仅有水平渐近线

B.仅有垂直渐近线

C.既有水平又有垂直渐近线

D.既没有水平又没有垂直渐近线

18. 曲线2

11x x e y e

--+=

- （）

A.仅有水平渐近线

B.仅有垂直渐近线

C.既有水平又有垂直渐近线

D.既没有水平又没有垂直渐近线 19. 曲线11x

y e =-的渐近线

（）

A.1x =为垂直渐近线，0y =为水平渐近线

B.1x =为垂直渐近线，1y =为水平渐近线

C.0x =为垂直渐近线，0y =为水平渐近线

D.0x =为垂直渐近线，1y =为水平渐近线

三、填空题

1. 若函数()f x 在[,]a b 上可导，则至少存在一点(a,b)ξ∈使得'()f ξ= 。

2. 函数23

()1f x x =+在(1,1)-内满足罗尔中值定理的点是ξ= 。

3. 函数()f x =(0,3)内满足罗尔中值定理的点是ξ= 。

4. 函数3()2f x x =在(1,1)-内满足拉格朗日中值定理的点是ξ= 。

5. 函数32()52f x x x x =-+-在(1,0)-内满足拉格朗日中值定理的点是ξ= 。

6. 函数()sin ,()cos ,f x x g x x ==在(0,)2x π

∈内满足柯西中值定理的点是ξ= 。

7. 函数(),()f x x g x ==在(0,1)x ∈内满足柯西中值定理的点是ξ= 。 8. 函数2()p f x x qx r =++在区间(,)a b 内满足拉格朗日中值定理的点是ξ= 。 9. 函数32()2f x x x x =--，()21g x x =+在区间(0,1)内满足柯西中值定理的点是ξ= 。 10. 函数()arctan f x x x =-在(,)-∞+∞上严格单调。

11. 函数()2cos f x x x =+在[0,]2

内的最大值点是。

12. 函数1

()11f x x x =-+-的极大值点是，极小值点是。

13. 曲线2

x y e

-=在区间上是凸的。

14. 曲线31(2)y x =--的拐点是。

15. 曲线2

11x

y x =++的水平渐近线为。 16. 曲线21

4y x x =+的垂直渐近线为。

17. 曲线1x

y e =的水平渐近线为。 18. 曲线2

11x

y x

+的水平渐近线为。

19. 曲线2

(3)2(1)

x y x -=-的斜渐近线为。

20. 曲线3

(3)(1)x y x x =+-的垂直渐近线为。

21. 曲线3

(3)(1)

x y x x =+-的斜渐近线为。

四、求解题

1. 求函数3229123y x x x =-+-的单调性和极值。

2. 求函数2

3(2)(1)y x x =+-的单调性和极值。 3. 求函数23

1(2)y x =--的单调性和极值。 4. 求函数()1x f x e x =--的单调性。

5. 求函数3()(1)f x x x =-的单调区间并求极值。

6. 求函数2

()1x

f x x =

+的单调区间并求极值。 7. 求函数32()231214f x x x x =+-+在[3,4]-上的最值。

8. 求函数32392y x x x =--+在[4,4]-上的最大值和最小值。

9. 求32()23f x x x =-在[1,4]-上的最值。 10. 求32()231214f x x x x =+-+在[3,4]-的最值。

11. 求曲线x y xe -=的凸凹性及其拐点。

五、证明题

1. 设0,1a b n >>>证明：1

1.n n n n a b nb na a b

---<<- 2. 设0x >，

1ln(1) 1.1x x x

+<<+ 3. 证明sin sin a b a b -≤-。

4. 设0a b >>证明：

ln ln .a b a b

a b a b --<-< 5. 证明当0a b <<时，22arctan arctan 11b a b a

b a b a

--<-<++。

6. 当0x >时，1x e x >+。

7. 当0x >时，1

x +

8. 当0x >时，1ln(x x +>

9. 证明3()21f x x x =++在(,)-∞+∞内只有一个零点。 10. 1()()(0,0,,1)22

n n x y x y x y x y n ++>>>≠>。 11.

ln ln ()ln ,(0,0,)2

x y

x x y x x y x y x y ++>+>>≠。

六、应用题

1. 一个房产公司有50套公寓需要出租，当租金每套每月为1000元时，公寓会全部租出，当租金每月增加50元时，就会有一套公寓租不出去。租出去的房子需要每套花费100元的维护费。问房租定为多少可获得最大收入？

2. 有一块边长为6a 的正方形铁片，在每个角剪去一个边长同样的小正方形，然后将四角折起来，做成无盖的方盒。问为了使盒子体积最大，剪去小正方形的边长为多少的？

3. 已知若每英亩种植20棵核桃树，则每年每棵树可以平均收获坚果60磅。据此估算核桃树的种植，若每英亩增加种植一棵树（最多增种15棵），则平均每棵树年减

产量减少2磅。问每英亩种植多少棵树会使亩产最大？最大亩产是多少？

4. 某工厂要建造一个容积为3

2a π立方米的带盖圆柱体，问半径r 和高h 如何确定，则所用的材料最省？

5. 某工厂要建造一个容积为3

a π立方米的无盖圆柱体，问半径r 和高h 如何确定，则所用的材料最省？

6. 要建一个体积为5π立方米的无盖圆柱形的桶，底面用铜制，侧壁用铁制，已知每平方米铁片造价是a 元，每平方米铜片造价是5a 元，问该桶的底面半径r 多大时总造价最低，最低总造价是多少元？

7. 某地区的防空洞的截面拟建成一个矩阵加一个半圆（矩形的宽与半圆的直径重合），截面的面积为5平方米。问底宽x 为多少时，才能使截面的周长最小，从而使建造时最省材料？

8.铁路线上AB段的距离为100千米。工厂C距A处为20千米，AC⊥AB。为了运

输的需要，在AB线上一点D处向工厂C修建一条公里。已知铁路上每千米货运的运费与公路上每千米货运的运费比为3：5。为了使货物从供应站B运到工厂C的运费最省，问点D应选在离开点A距离多少？

高数第三章一元函数的导数和微分

第三章一元函数的导数和微分【字体：大中小】【打印】 3.1 导数概念一、问题的提出 1.切线问题割线的极限位置——切线位置如图，如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT，直线MT就称为曲线C在点M处的切线. 极限位置即切线MT的斜率为 2.自由落体运动的瞬时速度问题

二、导数的定义设函数y=f（x）在点的某个邻域内有定义，当自变量x在处取得增量Δx（点仍在该邻域内）时，相应地函数y取得增量；如果Δy与Δx之比当Δx→0时的极限存在，则称函数y=f（x）在点处可导，并称这个极限为函数 y=f（x）在点处的导数，记为即其它形式关于导数的说明：在点处的导数是因变量在点处的变化率，它反映了因变量随自变量的变化而变化的快慢程度。如果函数y=f（x）在开区间I内的每点处都可导，就称函数f（x）在开区间I内可导。对于任一，都对应着f（x）的一个确定的导数值，这个函数叫做原来函数f（x）

的导函数，记作注意： 2.导函数（瞬时变化率）是函数平均变化率的逼近函数. 导数定义例题：例1、115页8 设函数f（x）在点x=a可导，求：（1）【答疑编号11030101：针对该题提问】（2）【答疑编号11030102：针对该题提问】

三、单侧导数 1.左导数： 2.右导数：函数f（x）在点处可导左导数和右导数都存在且相等. 例2、讨论函数f（x）=|x|在x=0处的可导性。【答疑编号11030103：针对该题提问】解

闭区间上可导的定义：如果f（x）在开区间（a，b）内可导，且及都存在，就说f（x）在闭区间[a，b]上可导. 由定义求导数步骤：例3、求函数f（x）=C（C为常数）的导数。【答疑编号11030104：针对该题提问】解例4、设函数【答疑编号11030105：针对该题提问】解

高等数学第三章微分中值定理与导数的应用的习题库

第三章微分中值定理与导数的应用一、判断题 1. 若()f x 定义在[,]a b 上，在(a,b)内可导，则必存在(a,b)ξ∈使'()0f ξ=。（） 2. 若()f x 在[,]a b 上连续且()()f a f b =，则必存在(a,b)ξ∈使'()0f ξ=。（） 3. 若函数()f x 在[,]a b 内可导且lim ()lim ()x a x b f x f x →+→- =，则必存在(a,b)ξ∈使'()0f ξ=。（） 4. 若()f x 在[,]a b 内可导，则必存在(a,b)ξ∈，使'()(a)()()f b f f b a ξ-=-。（） 5. 因为函数()f x x =在[1,1]-上连续，且(1)(1)f f -=，所以至少存在一点()1,1ξ∈-使 '()0f ξ=。（） 6. 若对任意(,)x a b ∈，都有'()0f x =，则在(,)a b 内()f x 恒为常数。（） 7. 若对任意(,)x a b ∈，都有''()()f x g x =，则在(,)a b 内()()f x g x =。（） 8. arcsin arccos ,[1,1]2 x x x π +=∈-。（） 9. arctan arctan ,(,)2 x x x π += ∈-∞+∞。（） 10. 若()(1)(2)(3)f x x x x x =---，则导函数'()f x 有3个不同的实根。（） 11. 若22()(1)(4)f x x x =--，则导函数'()f x 有3个不同的实根。（） 12. ' ' 222(2)lim lim 21(21)x x x x x x →→=-- （） 13. 22' 0011lim lim()sin sin x x x x e e x x →→--= （） 14. 若'()0f x >则()0f x >。（） 15. 若在(,)a b 内()f x ，()g x 都可导，且''()()f x g x >，则在(,)a b 内必有()()f x g x >。（） 16. 函数()arctan f x x x =-在R 上是严格单调递减函数。（） 17. 因为函数()f x x =在0x =处不可导，所以0x =不是()f x 的极值点。（） 18. 函数()f x x =在0x =的领域内有()(0)f x f ≥，所以()f x 在0x =处取得极小值。（） 19. 函数sin y x x =-在[0,2]π严格单调增加。（） 20. 函数1x y e x =+-在(,0]-∞严格单调增加。（） 21. 方程32210x x x ++-=在()0,1内只有一个实数根。（） 22. 函数y [0,)+∞严格单调增加。（） 23. 函数y (,0]-∞严格单调减少。（） 24. 若'0()0f x =则0x 必为'0()f x 的极值点。（） 25. 若0x 为()f x 极值点则必有'(0)0f =。（）

高数第二章导数与微分知识点与习题

高数第二章导数与微分知识点总结第一节导数 1．基本概念（1）定义 0000000000 ()()()()()|(|)'()lim lim lim x x x x x x x f x x f x f x f x dy df x y f x dx dx x x x x ==?→?→→+?--?====??-或注：可导必连续，连续不一定可导. 注:分段函数分界点处的导数一定要用导数的定义求. （2）左、右导数 0'00000 0()()()()()lim lim x x x f x x f x f x f x f x x x x - --?→→+?--==?-. 0 '00000 0()()()()()lim lim x x x f x x f x f x f x f x x x x + ++?→→+?--==?-. 0'()f x 存在''00()()f x f x -+?=. （3）导数的几何应用曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线方程：000()'()()y f x f x x x -=-. 法线方程：0001 ()()'() y f x x x f x -=- -. 2．基本公式（1）'0C = （2）' 1 ()a a x ax -= （3）()'ln x x a a a =（特例()'x x e e =）（4）1 (log )'(0,1)ln a x a a x a = >≠

（5）(sin )'cos x x = （6）(cos )'sin x x =- （7）2(tan )'sec x x = （8）2 (cot )'csc x x =- （9）(sec )'sec tan x x x = （10）(csc )'csc cot x x x =- （11）2 1(arcsin )'1x x = - （12）2 1(arccos )'1x x =- - （13）21(arctan )'1x x = + （14）2 1 (arccot )'1x x =-+ （15222 2 1[ln()]'x x a x a + += + 3．函数的求导法则（1）四则运算的求导法则 ()'''u v u v ±=± ()'''uv u v uv =+ 2 '' ()'u u v uv v v -= （2）复合函数求导法则--链式法则设(),()y f u u x ?==，则(())y f x ?=的导数为：[(())]''(())'()f x f x x ???=. 例5 求函数2 1 sin x y e =的导数. （3）反函数的求导法则设()y f x =的反函数为()x g y =，两者均可导，且'()0f x ≠，则 11 '()'()'(()) g y f x f g y = =. （4）隐函数求导设函数()y f x =由方程(,)0F x y =所确定，求'y 的方法有两种：直接求导法和公式法' ''x y F y F =-. （5）对数求导法：适用于若干因子连乘及幂指函数 4．高阶导数

微分中值定理例题

理工大学微积分-微分中值定理费马定理罗尔定理拉格朗日定理柯西定理

()()1.()0,(0)0,f x f f f ?ξξξξζξξξ'' <=>><≤[][]''''''[]<<≤１２１２１２１２１２１２１２２１１１２１１１２１１２２１设证明对任何的x ０，ｘ０，有（ｘ＋ｘ）（ｘ）＋ｆ（ｘ）．解：不妨设ｘｘ，（ｘ）＝f （ｘ＋ｘ）－ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ＋ｘ）－ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）－ｆ（０）＝ｆ（）ｘ－ｆ（）ｘ＝ｘｆ（）－ｆ（）＝ｘｆ－．因为，０ｘｘ()ξζ?''<<<<２１１２ｘ＋ｘ，又ｆ０，所以（ｘ）０，所以原不等式成立。 12n 12n 12n 11221122n 001 1 000.x b f x .x x x b 1,f )f x f x f x x *,()()()()n n n n n i i i i i i i X b b x f x f x f x x x λλλλλλλχλχλχλλλλλ=='' >???∈<<1++?+=++?+≤?=<=>α. '''=+-+ ∑∑2设f （）在（a ，）内二阶可导，且（）0，，（a ，），0，，，且则，试证明(（）+（）++（）. 解：设同理可证：()20000i 00 1 1 1 1 0000111() ()()()().x 2! ()()()()()(()()().) n n n i i i i i i i n n i n n i i i i i i i i i i i i f x x f x f x x x f x f x f x f x x x f x X X x x f x f x λλλλξξλλλ=======?? ''-'-≥+-<<'≥+-===- ??? ∑∑∑∑∑∑∑注：x ()3.)tan . 2 F ,F 2 (0)0,(0)0,((cos 2 F f x f F F f ππξ ξπξξπππ πππξ [0]0'∈=[0]0=∴===[0]∈Q 设f(x)在，上连续，在（，）内可导，且f （0）=0，求证：至少存在（0，），使得2f ( 证明：构造辅助函数：（x)=f(x)tan 则（x)在，上连续，在（，）内可导，且））所以（x)在，上满足罗尔定理的条件，故由罗尔定理知：至少存在（0()()()()()()F 011F x cos sin F cos sin 0222222 cos 0)tan 2 2 x x x f f f πξξξ ξξξξ ξ ξπξξ'=''''=- =-='∈≠=，），使得，而f(x)f()又（0，），所以，上式变形即得：2f (，证毕。

导数与微分重点知识归纳

导数的概念例：设一质点沿x轴运动时，其位置x是时间t的函数，，求质点在t0的瞬时速度？我们知道时间从t0有增量△t时，质点的位置有增量这就是质点在时间段△t的位移。因此，在此段时间内质点的平均速度为：若质点是匀速运动的则这就是在t0的瞬时速度，若质点是非匀速直线运动，则这还不是质点在t0时的瞬时速度。我们认为当时间段△t无限地接近于0时，此平均速度会无限地接近于质点t0时的瞬时速度，即：质点在t0时的瞬时速度= 为此就产生了导数的定义，如下导数的定义设函数在点x0的某一邻域内有定义，当自变量x在x0处有增量△x(x+△x也在该邻域内)时，相应地函数有增量，若△y与△x之比当△x→0时极限存在，则称这个极限值为在x0处的导数。记为：还可记为：，函数在点x0处存在导数简称函数在点x0处可导，否则不可导。若函数在区间(a,b)内每一点都可导，就称函数在区间(a,b)内可导。这时函数对于区间(a,b)内的每一个确定的x值，都对应着一个确定的导数，这就构成一个新的函数，我们就称这个函数为原来函数的导函数。注：导数也就是差商的极限左、右导数前面我们有了左、右极限的概念，导数是差商的极限，因此我们可以给出左、右导数的

概念。若极限存在，我们就称它为函数在x=x0处的左导数。若极限存在，我们就称它为函数在x=x0处的右导数。注：函数在x0处的左右导数存在且相等是函数在x0处的可导的充分必要条件函数的和差求导法则法则：两个可导函数的和(差)的导数等于这两个函数的导数的和(差). 用公式可写为：。其中u、v为可导函数。常数与函数的积的求导法则法则：在求一个常数与一个可导函数的乘积的导数时，常数因子可以提到求导记号外面去。用公式可写成：函数的积的求导法则法则：两个可导函数乘积的导数等于第一个因子的导数乘第二个因子，加上第一个因子乘第二个因子的导数。用公式可写成：函数的商的求导法则法则：两个可导函数之商的导数等于分子的导数与分母导数乘积减去分母导数与分子导数的乘积，在除以分母导数的平方。用公式可写成：复合函数的求导法则例题：求=? 解答：由于，故这个解答正确吗? 这个解答是错误的，正确的解答应该如下：我们发生错误的原因是是对自变量x求导，而不是对2x求导。下面我们给出复合函数的求导法则

高数导数的应用习题及答案

一、是非题：１．函数 ()x f 在 []b a , 上连续，且()()b f a f =，则至少存在一点 ()b a ,∈ξ，使()0=ξ'f ．错误 ∵不满足罗尔定理的条件。２．若函数()x f 在0x 的某邻域内处处可微，且()00='x f ，则函数()x f 必在0x 处取得极值．错误 ∵驻点不一定是极值点，如：3 x y =，0=x 是其驻点，但不是极值点。３．若函数()x f 在0x 处取得极值，则曲线()x f y =在点()()00,x f x 处必有平行于x 轴的切线．错误 ∵曲线3 x y =在0=x 点有平行于x 轴的切线，但0=x 不是极值点。４．函数x x y sin +=在()+∞∞-,内无极值．正确 ∵0cos 1≥+='x y ，函数x x y sin +=在()+∞∞-,内单调增，无极值。５．若函数()x f 在()b a ,内具有二阶导数，且()()0,0>''<'x f x f ，则曲线()x f y =在()b a ,内单调减少且是向上凹．正确二、填空：１．设()x bx x a x f ++=2 ln （b a ,为常数）在2,121==x x 处有极值，则=a （ 23- ），=b （ 16 - ）． ∵()12++='bx x a x f ，当2,121==x x 时， 012=++b a ，0142=++b a ，解之得6 1 ,32-=-=b a ２．函数()() 1ln 2 +=x x f 的极值点是（ 0=x ）． ∵()x x x f 211 2 ?+= '，令()0='x f ，得0=x 。又0>x ，()0>'x f ； 0x ，()0>''x f ；0

一元函数微分学知识点

第一章函数与极限 1. 函数会求函数的定义域，对应法则；几种特殊的函数（复合函数、初等函数等）；函数的几种特性（有界性、单调性、周期性、奇偶性） 2. 极限（1）概念无穷小与无穷大的概念及性质；无穷小的比较方法；（高阶、低阶、同阶、等价）函数的连续与间断点的判断（2）计算函数的极限计算方法（对照极限计算例题，熟悉每个方法的应用条件）极限的四则运算法则利用无穷小与无穷大互为倒数的关系；利用无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小的性质；消去零因子法；无穷小因子分出法；根式转移法；利用左右极限求分段函数极限；利用等价无穷小代换（熟记常用的等价无穷小）；利用连续函数的性质；洛必达法则（掌握洛必达法则的应用条件及方法）； ∞ ∞或00型，)()(lim )()(lim x g x f x g x f ''= 两个重要极限（理解两个重要极限的特点）；1sin lim 0=→x x x ，1)()(sin lim 0)(=??→?x x x e x x x =+→10)1(lim ，e x x x =+∞→)11(lim ，一般地，0)(lim =?x ，∞=ψ)(lim x ，)()(lim )())(1lim(x x x e x ψ?ψ=?+ 3 函数的连续连续性的判断、间断点及其分类第二章导数与微分 1 导数（1）导数的概念：增量比的极限；导数定义式的多样性，会据此求一些函数的极限。导数的几何意义：曲线上某点的切线的斜率（2）导数的计算：

基本初等函数求导公式；导数的四则运算法则；（注意函数积、商的求导法则）复合函数求导法则（注意复合函数一层层的复合结构，不能漏层）隐函数求导法则（a ：两边对x 求导，注意y 是x 的函数；b ：两边同时求微分；）高阶导数 2 微分函数微分的定义，dx x f dy x x )(00'== 第三章导数的应用洛必达法则（函数极限的计算）函数的单调性与极值，最值、凹凸性与拐点的求法

微分中值定理及其应用习题解析2

第六节定积分的近似计算 1. 分别用梯形法和抛物线法近似计算 ?21x dx (将积分区间十等份) 解 (1)梯形法 ?21x dx ≈412.111.1121(1012+??+++-)6938.0≈ (2)抛物线法 ?21x dx =???++-(42 113012])8.116.114.112.11(2)9.117.115.113.111.11++++++++6932.0≈ 2. 用抛物线法近似计算dx x x ?π0sin 解当n=2时，dx x x ?π 0sin ≈12π?? ?????+++πππ22)32222(41≈1.8524. 当n=4时，dx x x ?π 0sin ≈ 24π ??? ????????? ??+++??? ??++++πππππππππππ322222287sin 7885sin 5883sin 388sin 841 ≈1.8520. 当n=6时，dx x x ?π 0sin ≈ ??? ? ??+++++???? ??+?+++++πππππππππππππππ54332233321211sin 11122234127sin 712125sin 5122212sin 124136≈1.8517. 3..图10-27所示为河道某一截面图。试由测得数据用抛物线法求截面面积。解由图可知n=5，b-a=8. ? b a x f )(dx ≈()()[]864297531100245*68y y y y y y y y y y y ++++++++++ =()()[]85.075.165.185.0255.02.10.230.15.0400154++++++++++ =()2.102.2215 4+=8.64（m 2）（1）按积分平均 ?-b a t d t f a b )(求这一天的平均气温，其中定积分值由三种近视法分别计算；

导数与微分知识点

第二章导数与微分一、导数 1．导数的定义: 由“变速直线运动的瞬时速度”、“平面曲线的切线斜率”引出设函数()x f y =在点0x 的某领域内有定义，自变量x 在0x 处有增量x ?，相应地函数增量()()00x f x x f y -?+=?。如果极限 ()()x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?0000lim lim 存在，则称此极限值为函数()x f 在0x 处的导数（也称微商），记作()0x f '，或0 x x y =' ， 0x x dx dy =，()0 x x dx x df =等，并称函数()x f y =在点0x 处可导。如果上面的极限不存在，则称函数()x f y =在点0x 处不可导。注：函数()x f 在0x 处的导数，就是导函数f ’(x)在点在0x 处的函数值，即()0x f '=f ’(x)|x=x0。多数情况下用求导法则，有时用定义求导更方便。如题中函有f(x)，而不是具体的方程时。 2、单侧导数右导数：()()()()() x x f x x f x x x f x f x f x x x ?-?+=--='++ →?→+000000lim lim 0 左导数：()()()()()x x f x x f x x x f x f x f x x x ?-?+=--='-- →?→-000000lim lim 0 则有 ()x f 在点0x 处可导()x f ?在点0x 处左、右导数皆存在且相等。 3、导数的几何意义如果函数()x f y =在点0x 处导数()0x f '存在，则在几何上()0x f '表示曲线 ()x f y =在点()()00,x f x 处的切线的斜率，即：()0x f '=K=tan a 。切线方程：()()()000x x x f x f y -'=- 法线方程：()() ()()()01 0000≠'-'- =-x f x x x f x f y 注：切线与法线垂直，切线的斜率与法线的斜率乘积为负1，即：K 切 * K 法 = -1。设物体作直线运动时路程S 与时间t 的函数关系为()t f S =，如果()0t f '存在，则

高等数学导数与微分练习题

作业习题 1、求下列函数的导数。（1）223)1(-=x x y ；（2）x x y sin = ；（3）bx e y ax sin =；（4）)ln(22a x x y ++=；（5）11arctan -+=x x y ；（6）x x x y )1(+=。 2、求下列隐函数的导数。（1）0)cos(sin =+-y x x y ；（2）已知,e xy e y =+求)0(y ''。 3、求参数方程???-=-=) cos 1()sin (t a y t t a x )0(>a 所确定函数的一阶导数dx dy 与二阶导数 2 2dx y d 。 4、求下列函数的高阶导数。（1）,αx y =求)(n y ；（2）,2sin 2x x y =求)50(y 。 5、求下列函数的微分。（1）)0(,>=x x y x ；（2）2 1arcsin x x y -= 。 6、求双曲线122 22=-b y a x ，在点)3,2(b a 处的切线方程与法线方程。 7、用定义求)0(f '，其中?????=, 0,1sin )(2 x x x f .0, 0=≠x x 并讨论导函数的连续性。作业习题参考答案： 1、（1）解：])1[()1()(])1([23223223'-+-'='-='x x x x x x y ]))(1(2[)1(3223222'-+-=x x x x x x x x x x 2)1(2)1(323222?-+-= )37)(1(222--=x x x 。（2）解：2sin cos )sin ( x x x x x x y -='='。（3）解：bx be bx ae bx e y ax ax ax cos sin )sin (+='=' )cos sin (bx b bx a e ax +=。

微分中值定理的证明题(题目)

微分中值定理的证明题 1. 若()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 上可导，()()0f a f b ==，证明：R λ?∈， (,)a b ξ?∈使得：()()0f f ξλξ'+=。。 2. 设,0a b >，证明：(,)a b ξ?∈，使得(1)()b a ae be e a b ξξ-=--。。 3. 设()f x 在(0,1)内有二阶导数，且(1)0f =，有2()()F x x f x =证明：在(0,1) 内至少存在一点ξ，使得：()0F ξ''=。证 4. 设函数)(x f 在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，0)0(=f ，1)1(=f .证明： (1)在(0,1)内存在ξ，使得ξξ-=1)(f ． (2) 在(0,1)内存在两个不同的点ζ，1)()(//=ηζηf f 使得 5. 设)(x f 在[0，2a]上连续，)2()0(a f f =，证明在[0,a]上存在ξ使得 )()(ξξf a f =+. 6. 若)(x f 在]1,0[上可导，且当]1,0[∈x 时有1)(0<

9. 设()f x 在[,]a b 上连续,(,)a b 内可导(0),a b ≤<()(),f a f b ≠ 证明: ,(,)a b ξη?∈使得 ()().2a b f f ξηη +''= (1) 10. 已知函数)(x f 在[0 ,1]上连续，在（0 ，1）内可导，b a <<0，证明存在),(,b a ∈ηξ，使)()()(3/22/2ηξηf b ab a f ++= 略） 11. 设)(x f 在a x ≥时连续，0)(时，0)(/>>k x f ，则在))(,(k a f a a -内0)(=x f 有唯一的实根根 12. 试问如下推论过程是否正确。对函数21sin 0()0 0t t f t t t ?≠?=??=?在[0,]x 上应用拉格朗日中值定理得： 21s i n 0()(0)111s i n ()2s i n c o s 00x f x f x x f x x x ξξξξ --'====--- (0)x ξ<< 即：1 1 1cos 2sin sin x x ξξξ=- (0)x ξ<< 因0x ξ<<，故当0x →时，0ξ→，由01l i m 2s i n 0ξξξ+→= 01lim sin 0x x x +→= 得：0lim x +→1cos 0ξ=，即01lim cos 0ξξ+→= 出 13. 证明：02x π?<<成立2cos x x tgx x <<。