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函数的应用综合测试题

一、选择题

1、二次函数ab c x b a x y 2)(22

+++-=的图象的顶点在x 轴上，且a 、b 、c 为▲ABC 的三边长，则▲ABC 为（）

A 、锐角三角形

B 、直角三角形

C 、钝角三角形

D 、等腰三角形 2、已知连续函数y ＝f （x ）在定义域内是单调函数，则方程f （x ）＝c （,R c ∈c 为常数）的解的情况为（）

A 、有且只有一个解

B 、至少一个解

C 、至多一个解

D 、可能无解，可能一个或多个解

3、已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，且为周期函数，若它的最小正周期为T ，则)2

(T f ＝（）

A 、0 B

2T 、 C 、T D 、－2

T 4、已知函数f （x ）满足2f （x ）－)1

f ＝

x ，则f （x ）的最小值是（） A 、2 B 、22 C 、

D 、322

5、已知函数)0(|1|log )(2≠-=a ax x f 满足关系式f （－2＋x ）＝f （－2－x ），则实数a 的值是（） A 、1 B 、－

21 C 、4

D 、－1 6、一个人以6m/s 的速度去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车25m 时，交通灯由红变绿，汽车以1m/2

s 的加速度匀加速开走，那么（）

A 、人可在7s 内追上汽车

B 、人可在10s 内追上汽车

C 、人追不上汽车，其间距离最近为5m

D 、人追不上汽车，其间距离最近为7m 7、设函数x

x x x

x x f cos sin 21)(24++++

=的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m 的值为（）

A 、1

B 、2

C 、3

D 、4 8、定义运算?

??>≤=*)()

(y x y y x x y x 若|1||1|-=*-m m m ，则m 的取值范围是（）

A 、21≥

m B 、1≥m C 、2

0 9、设函数???>≤++=)

0(2)

0()(2x x c bx x x f 若f （－4）＝f （0），f （－2）＝－2，则关于x 的

方程f （x ）＝x 的解的个数为（）

A 、1

B 、2

C 、3

D 、4 10、电信局为了配合客户的不同需要，设有A 、B 两种优惠方案，这两种方案应付电话费（元），于通话时间（分钟）之间的关系如图所示（实线部分），图中MN//CD ，若通话时间为2小时，客户应选择的最佳方案是（）

A 、方案A

B 、方案B

C 、方案A 和方案B 一样

D 、不一定 11、设c bx x x f ++=3

)(是]1,1[-上的增函数，且0)2

1()21(<-f f ，则方程f （x ）＝0在

]1,1[-内 ( )

A 、可能有3个实数根

B 、可能有2个实数根

C 、有唯一的实数根

D 、没有实数根 12、设函数R x x x x f ∈+=,)(2

，若当2

0πθ≤≤时，f （msin θ）＋f （1－m ）>0恒成立，

则实数m 的取值范围是（）

A 、（0，1）

B 、（－0,∞）

C 、（－2

,∞） D 、（－1,∞）二、填空题

13、定义运算???<≥=?)

()(b a a b a b b a 则函数x

x x f 33)(?=-的值域为________.

14、对任意的函数f （x ）、g （x ），在公共定义域内，规定)}(),(min{)()(x g x f x g x f =*，若f （x ）＝3－x ，g （x ）＝32-x ，则)()(x g x f *的最大值为________.

15、函数f （x ）是奇函数，且在[－1，1]上单调递增，又f （－1）＝－1，则f （x ）在 [－1，1]上的最大值为______.又若12)(2

+-≤at t x f 对所有的]1,1[-∈x 及]1,1[-∈a 都成立，则t 的取值范围是________.

16、若定义在区间D 上的函数f （x ）对于D 上的任意n 个值n x x x ,,21，总有：

)()]()()([1

2121n

x x x f x f x f x f n n n +++≤+++ ，则f （x ）称为D 上的凸函数，现已知f （x ）＝cosx 在)2

,0(π上是凸函数，则锐角▲ABC 中，cosA ＋cosB ＋cosC 的最大值

是________. 三、解答题

17、集合A 是由具备下列性质的函数f （x ）组成的：①函数f （x ）的定义域是),0[+∞； ②函数f （x ）的值域是[－2，4]；③函数f （x ）在),0[+∞上是增函数，试分别探究下列两小题：

（1）判断函数)0(2)(1≥-=

x x x f ，及)0()2

(64)(2≥?-=x x f x 是否属于集合A ，并

简要说明理由；

（2）对于（1）中你认为属于集合A 的函数f （x ），不等式f （x ）＋f （x ＋2）<2f （x ＋1）是否对于任意的0≥x 总成立？若不成立，为什么？若成立，请证明你的结论。

18、已知二次函数f （x ）的二次项的系数为a ，且不等式,2)(x x f ->的解集是（1，3）。（1）、若方程06)(=+a x f 有两个相等的根，求f （x ）的解析式；（2）、若f （x ）的最大值为正数，求a 的取值范围。

19、已知f （x ）是定义在),(+∞-∞上的不恒为零的函数，且对定义域内的任意x 、y ，f （x ）都满足f （x ·y ）＝y ·f （x ）＋x ·f （y ）. （1）求f （1）、f （－1）的值；

（2）判断f （x ）的奇偶性，并说明理由；（3）若0≠a ，求证：.0)(2)(2

=+-a f a f a 20、已知二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f .

（1）对于R x x ∈21,，且21x x <，).()(21x f x f ≠求证：方程)]()([2

)(21x f x f x f +=有不等的两实数根，且必有一个实数根属于),(21x x ；（2）若方程)]()([21)(21x f x f x f +=

在),(21x x 内的根为m ，

且21,2

,x m x -成等差数列，设x ＝0x 是f （x ）的对称轴方程，求证：.2

0m x <

21、已知定义在R 上的函数f （x ）为奇函数，且在+∞,0[）上是增函数，问是否存在这样的实数m ，使得)0()cos 24()4cos 2(2

f m m f f >-+-θθ对所有的实数R ∈θ都成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由。

22、如下图ABCD 是一块边长为100米的正方形地皮，其中ATPS 是一块半径为90米的扇形小山，P 是弧TS 上一点（不包括T 、S 两点），其余部分都是平地，现开发商想在平地上建造一个有两边落在BC 与CD 上的矩形停车场PQCR,求矩形停车场的最大值与最小值。

答案与提示一、选择题

1、B 2

)]([)(2)]([b a c b a x b a ab c b a x y --++-=+-+++-=，则顶点

为),(2

b a

c b a --+.由题意知02

22=--b a c ，则▲ABC 为直角三角形.

2、C 由题意可知y ＝f （x ）－c 也为单调函数，函数的零点至多有一个，故选C.

3、A )2(T f -＝)2(T T f +-＝)2(T f ，又)2(T f -＝－)2(T f ，则)2(T f ＝－)2

(T f ，即)2

f ＝0. 4、D 令

x 1代替式中x ，可得2)1

f －f （x ）＝|x|，联立得 ≥+=|)||

(31)(x x x f 322，故选D.

5、B 由f （－2＋x ）＝f （－2－x ），得函数f （x ）的对称轴方程为x ＝－2，又

|)1(|log )(2a x a x f -=，则a 1＝－2，即a ＝－.2

6、D 考虑距离差d ＝（S ＋25）－6t ＝7)6(2

1256212

2+-=+-t t t ，则当t ＝6s 时，

d 有最小值7m ，即人与汽车最少相距7m.

7、B 设F （x ）＝f （x ）－1，易知F （x ）为奇函数，其图象关于原点对称，由于

1)(max -=M x F ，1)(min -=m x F ，则－（m －1）＝M －1，即M ＋m ＝2，故选B.

8、A 由题意，若|1||1|-=*-m m m ，则.|1|m m ≤-当m<0时，此不等式显然不成立；当0≥m 时，此不等式等价于2

2)1(m m ≤-，即－2m ＋10≤，所以，.2

1≥m 9、C 由f （－4）＝f （0）c c b =+-?+-?)4()4(2

，

f （－2）＝－2.2)2()2(2

-=+-?+-?c b 解之得：b ＝4，c ＝2，则

???>≤++=)

0(2)0(24)(2x x x x x f 由f （x ）＝x 得?=++x x x 242?=++0232

x x

x ＝－2或x ＝－1，即0≤x 时有两个交点，当x>0时，有一个交点x ＝2，综上， f （x ）＝x 有三个解.

10、A 函数图象的实质是变量间的对应关系，通话2小时，即120分钟，题意就是比较当x ＝120时两方案图象所对应的y 的值，即应付的话费多少，先分别写出两方案的函数

关系：方案A ：?????>+≤≤=)60(80103)600(98)(x x x x f 方案B ：??

??>+≤≤=)500(18103)5000(168)(x x x x f

因为，f （120）＝116，g （120）＝168，即f （120）

)(是]1,1[-上的增函数，且0)2

1()21

(<-f f 知f （x ）在

,21[-有唯一实根，f （x ）＝0在]1,1[-上有唯一实根。 12、D 由题可知f （x ）是奇函数且是增函数，因为f （msin θ）＋f （1－m ）>0，所以，f （msin θ）>－f （1－m ）＝f （m －1），所以，msin θ>m －1.1)sin 1(<-?θm 所以，当]2

0[π

θ∈时，1)sin 1(<-θm 恒成立，又

1sin 11

≥-θ

，所以，m<1.

二、填空题

13、（0，1] 由题设，则可得x

x f 33)(?=-?????≤>=-)

0(3)0(3x x x x 对于此分段函数通过

其单调性和图象特征，可得值域为（0，1].

14、1 作y ＝)()(x g x f *的图象如图所示，由图可知，当x ＝2时，y ＝)()(x g x f *取得最大值1.

15、1，),2[}0{]2,(+∞--∞ 因为f （x ）在[－1，1]上单调递增，所以当x ＝1时，