《不等式及压轴题》

一、不等式

1.（2009年泸州）关于x 的方程x kx 21=-的解为正实数，则k 的取值范围是

2、（2009年长沙）已知关于x 的不等式组0521

x a x -??->?≥，

只有四个整数解，则实数a 的取值范围是 ．

3、（2009年莆田）一罐饮料净重500克，罐上注有“蛋白质含量≥0.4%”，则这罐饮料中蛋白质的含量至少为__________克．

4、（2009年莆田）甲、乙两位同学参加跳高训练，在相同条件下各跳10次，统计各自成绩的方差得22S S <乙甲，

则成绩较稳定的同学是___________．（填“甲”或“乙”）

5、如果不等式组2

223

x

a x

b ?+???-

6、（2009年新疆乌鲁木齐市）某公司打算至多用1200元印制广告单．已知制版费50元，每印一张广告单还需支付0.3元的印刷费，则该公司可印制的广告单数量x （张）满足的不等式为

7、（2009年孝感）关于x 的不等式组1

2x m x m >->+???

的解集是1x >-，则m = ▲ ．

8、(2009武汉)．如图，直线y kx b =+经过(21)A ，，(12)B --，两点，则不等式1

22

x kx b >+>-的解集为 ．

9、（2009年凉山州）若不等式组220x a b x ->??->?

的解集是11x -<<，则2009

()

a b += ．

10、（2009年湖南长沙）已知关于x 的不等式组0521

x a x -??->?≥，

只有四个整数解，则实数a 的取值范围

是 ． 11、不等式组2

21

x x -??

-

A ．3个

B ．4个

C ．5个

D ．6个

12、（2008年福州）已知三角形的两边长分别为4cm 和9cm ，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（ ） A ．13cm

B ．6cm

C ．5cm

D ．4cm

13、(2009江西）在数轴上，点A 所表示的实数为3，点B 所表示的实数为a ，A e 的半径为2.下列说法中不正确．．．的是（ ） A ．当5a <时，点B 在A e 内 B ．当15a <<时，点B 在A e 内 C ．当1a <时，点B 在A e 外 D ．当5a >时，点B 在A e 外 y

O A B

14、（2009湖北省荆门市）若不等式组0,

122x a x x +??->-?

≥有解，则a 的取值范围是（ ）

A ．1a >-

B ．1a -≥

C ．1a ≤

D ．1a <

15、（09湖北宜昌）如果ab <0，那么下列判断正确的是( )．

A ．a <0，b <0

B ． a >0，b >0

C ． a ≥0，b ≤0

D ． a <0，b >0或a >0，b <0

16、（2009恩施市）如果一元一次不等式组3

x x a >??>?

的解集为3x >．则a 的取值范围是（ ）

A ．3a >

B ．a ≥3

C ．a ≤3

D ．3a <

【解答题】

1、（2009年益阳市）开学初，小芳和小亮去学校商店购买学习用品，小芳用18元钱买了1支钢笔和3本笔记本；小亮用31元买了同样的钢笔2支和笔记本5本.

(1)求每支钢笔和每本笔记本的价格；

(2)校运会后，班主任拿出200元学校奖励基金交给班长，购买上述价格的钢笔和笔记本

共48件作为奖品，奖给校运会中表现突出的同学，要求笔记本数不少于钢笔数，共有多少种购买方案？请你一一写出.

2、（2009年株洲市）初中毕业了，孔明同学准备利用暑假卖报纸赚取140～200元钱，买一份礼物送给父母．已知：在暑假期间，如果卖出的报纸不超过1000份，则每卖出一份报纸可得0.1元；如果卖出的报纸超过1000份，则超过部分

每份可得0.2元．

．．．．

（2）孔明同学要通过卖报纸赚取140～200元，请计算他卖出报纸的份数在哪个范围内．

3、（2009年株洲市）初中毕业了，孔明同学准备利用暑假卖报纸赚取140～200元钱，买一份礼物送给父母．已知：在暑假期间，如果卖出的报纸不超过1000份，则每卖出一份报

每份可得0.2元．

纸可得0.1元；如果卖出的报纸超过1000份，则超过部分

．．．．

（1）请说明：孔明同学要达到目的，卖出报纸的份数必须超过1000份．

（2）孔明同学要通过卖报纸赚取140～200元，请计算他卖出报纸的份数在哪个范围内．

4、（2009眉山）“六一”前夕，某玩具经销商用去2350元购进A、B、C三种新型的电动玩具共50套，并且购进的三种玩具都不少于10套，设购进A种玩具x套，B种玩具y套，三种电动玩具的进价和售价如右表所示，

⑴用含x、y的代数式表示购进C种玩具的套数；

⑵求y与x之间的函数关系式；

⑶假设所购进的这三种玩具能全部卖出，且在购销这种玩具的过程中需要另外支出各种费用200元。

①求出利润P(元)与x(套)之间的函数关系式；②求出利润的最大值，并写出此时三种玩具各多少套。

5、（2009年桂林市、百色市）（本题满分8分）在保护地球爱护家园活动中，校团委把一

批树苗分给初三（1）班同学去栽种．如果每人分2棵，还剩42棵；如果前面每人分3棵，那么最后一人得到的树苗少于5棵（但至少分得一棵）．

（2）初三（1）班至少有多少名同学？最多有多少名

6、（2009年湖北十堰市）为执行中央“节能减排，美化环境，建设美丽新农村”的国策，我市某村计划建造A、B两种型号的沼气池共20个，以解决该村所有农户的燃料问题．两种型号沼气池的占地面积、使用农户数及造价见下表：

已知可供建造沼气池的占地面积不超过365m2，该村农户共有492户．

(1)满足条件的方案共有几种?写出解答过程．

(2)通过计算判断，哪种建造方案最省钱．

7、（2009年山东青岛市）北京奥运会开幕前，某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销，就用32000元购进了一批这种运动服，上市后很快脱销，商场又用68000元购进第二批这种运动服，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元． （1）该商场两次共购进这种运动服多少套？

（2）如果这两批运动服每套的售价相同，且全部售完后总利润率不低于20%，那么每套售价至少是多少元？（利润率100%=?利润成本

）

二、天河一模压轴

1、为了更好的治理流溪河水质，保护环境，市治污公司决定购买10台污水处理设备，现有A，B两种型号的设备，其中每台的价格，月处理污水量如下表：

经调查：购买一台A型号设备比购买一台B型号设备多2万元，购买2台A型设备比购买3台B型号设备少6万元．

（1）求a ，b的值；

（2）经预算：市治污公司购买污水处理设备的资金不超过105万元，你认为该公司有哪几种购买方案. （3）在（2）问的条件下，若每月要求处理流溪河的污水量不低于2040吨，为了节约资金，请你为治污公司设计一种最省钱的购买方案．

边于点E,过E 点作EH ⊥AB,垂足为H,已知⊙O 与AB 边相切，切点为F. （1）求证：OE ∥AB ；

（2）求证：AB EH 2

1

=；

（3）若1=BH ,3=CE ,求⊙O 的半径.

3、如图10（1），在平面直角坐标系中，抛物线a bx ax y 32

-+=经过）（0,1-A 、）（3,0B 两点，与x

轴交于另一点C ，顶点为D.

（1）求该抛物线的解析式及点C 、D 的坐标；

（2）经过点B 、D 两点的直线交x 轴于点E ，若点F 是抛物线上一点，以A 、B 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形，求点F 的坐标；

（3）如图10（2）,）（3, 2P 是抛物线上的点，Q 是直线AP 上方抛物线上一动点，求△APQ 的最大面积和此时Q 的坐标.

图9

O

H F

E D

C

B

A

图10（1）图10（2）

4、如图1，在ABC

AC，ECD

=

?是ABC

?沿BC方向平移得到的，?中，5

AB，6

=

=BC

连接AE、AC、BE，且AC和BE相交于点O．

（1）求证：四边形ABCE是菱形；

（2）如图2，P是线段BC上一动点(不与B、C重合)，连接PO

并延长交线段AE于点Q，过Q作BD

QR⊥交BD于R．

①四边形PQED的面积是否为定值？若是，请求出其值；

若不是，请说明理由；

②以点P、Q、R为顶点的三角形与以点B、C、O为顶点

的三角形是否可能相似？若可能，请求出线段BP的长；

第24题图1

D

C

O

B

A E

第24题图2

P

Q R A

B

O

C E

D

5、如图，在直角坐标系xoy 中，已知点)3,2(P ，过P 作轴y PA ⊥交y 轴于点A ，以点P 为圆心PA 为半径作⊙P ，交x 轴于点C B ,，抛物线c bx ax y ++=2经过A ，B ，C 三点． （1）求点A ，B ，C 的坐标； （2）求出该抛物线的解析式；

（3）抛物线上是否存在点Q ，使得四边形ABCP 的面积是BPQ ?面积的2倍？若存在，请求出所有满足条件的点；若不存在，请说明理由．

第25题图

利用放缩法证明数列型不等式压轴题

利用放缩法证明数列型不等式压轴题 惠州市华罗庚中学 欧阳勇 摘要：纵观近几年高考数学卷，压轴题很多是数列型不等式，其中通常需要证明数列型不等式，它不但可以考查证明不等式和数列的各种方法，而且还可以综合考查其它多种数学思想方法，充分体现了能力立意的高考命题原则。处理数列型不等式最重要要的方法为放缩法。放缩法的本质是基于最初等的四则运算，利用不等式的传递性，其优点是能迅速地化繁为简，化难为易，达到事半功倍的效果；其难点是变形灵活，技巧性强，放缩尺度很难把握。对大部分学生来说，在面对这类考题时，往往无从下笔．本文以数列型不等式压轴题的证明为例，探究放缩法在其中的应用，希望能抛砖引玉，给在黑暗是摸索的学生带来一盏明灯。 关键词：放缩法、不等式、数列、数列型不等式、压轴题 主体： 一、常用的放缩法在数列型不等式证明中的应用 1、裂项放缩法：放缩法与裂项求和的结合，用放缩法构造裂项求和，用于解决和式 问题。裂项放缩法主要有两种类型： （1）先放缩通项，然后将其裂成某个数列的相邻两项的差，在求和时消去中间的项。 例1设数列{}n a 的前n 项的和1412 2333n n n S a +=-?+，1,2,3, n =。设2n n n T S =， 1,2,3, n =，证明： 1 32 n i i T =< ∑。 证明：易得12(21)(21),3 n n n S +=--1132311()2(21)(21)22121n n n n n n T ++= =-----， 11223 111 31131111 11 ()()221212212121212121 n n i i i n n i i T ++===-=-+-++ ---------∑∑ = 113113()221212 n +-<-- 点评： 此题的关键是将12(21)(21)n n n +--裂项成1 11 2121 n n +---，然后再求和，即可达到目标。 （2）先放缩通项，然后将其裂成(3)n n ≥项之和，然后再结合其余条件进行二次放缩。 例2 已知数列{}n a 和{}n b 满足112,1(1)n n n a a a a +=-=-，1n n b a =-，数列{}n b 的

高考数列与不等式压轴题(难题)

高考数列与不等式压轴题 1. 已知数列{}n a 为等差数列，且满足211n n n a a na +=-+，*n N ∈。 1) 求数列{}n a 的通项公式； 2) 求证： 12321 1111 ...ln 2n n n n a a a a ++++++++<. 3) 当01λ<<时，设1 ()2n n b a λ=-，(1)n n c a λ=-，数列1n n b c ?????? 的前n 项和为n T ，求证： 91 43 n n T n -> +。 2. （2013?蓟县一模）已知数列{}n a 中，11a =，*12311 23()2 n n n a a a na a n N +++++???+= ∈ 1) 求数列{}n a 的通项n a ； 2) 求数列2 {}n n a 的前n 项和n T ； 3) 若存在* n N ∈，使得(1)n a n λ≥+成立，求实数λ的取值范围． 3. （2010?无锡模拟）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列是公比为2的等比数列． 1) 证明：数列{}n a 成等比数列的充要条件是13a =； 2) 设*5(1)()n n n b n a n N =--∈，若1n n b b +<对*n N ∈恒成立，求1a 的取值范围． 4. 已知数列{}n a 中，2 2(a a a =+为常数），n S 是{}n a 的前n 项和，且n S 是n na 与na 的等差中项． 1) 求数列{}n a 的通项公式； 2) 设数列{}n b 是首项为1，公比为2 3 - 的等比数列，n T 是{}n b 的前n 项和，问是否存在常数a ，使1012n a T ?<恒成立？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由． 5. 已知数列{}n a 满足11a =，2*123()1 n n n n a a m a n N a +++=∈+。 1) 若恒有1n n a a +≥，求m 的取值范围． 2) 在31m -≤<时，证明： 121111 11112 n n a a a ++???+≥-+++ 3) 设正项数列{}n a 的通项n a 满足条件：*() 10()n n n a na n N +-=∈，求证：1 02 n a ≤≤ 。

8-高考压轴题-不等式证明方法

高考压轴题-不等式证明方法 郑紫灵 数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生综合运用数列与不等式知识解决问题的能力．本文介绍一类与数列和有关的不等式问题。其中用的最多的是放缩法，而放缩法有四个最基本的 1.先求和再放缩。 （1）直接用等差或等比的求和公式求和 例1．求证1111 1 (2242) n -+ +++<()*n N ∈ 证明：111-111121...= =21-2124221-2 n n n -?? ???????++++

七年级下册数学不等式类压轴题

不等式类压轴题 1．不等式组的所有整数解的和是（ ） A ．﹣3 B ．﹣2 C ．0 D ．﹣5 2．若关于x 的不等式mx ﹣n ＞0的解集是x ＜，则关于x 的不等式（m+n ）x ＞n ﹣m 的解集是（ ） A ．x ＜﹣ B ．x ＞﹣ C ．x ＜ D ．x ＞ 3．若关于x 的不等式mx ﹣n ＞0的解集是x ＜，则关于x 的不等式（n ﹣m ）x ＞（m+n ）的解集是（ ） A ．x ＜﹣ B ．x ＞﹣ C ．x ＜ D ．x ＞ 4.如果关于x 的不等式07)(>-+-n m x n m 的解集为1

7．已知同时满足不等式x －2＞6和3x ＋2＞4x －a 的x 的取值中有且只有四个整数，则a 的取值范围是_________ 8．若关于x 的一元一次不等式组 有解，则m 的取值范围为（ ） A ． B ．m ≤ C ． D ．m ≤ 9.不等式组???≤-->-21a x a x 的解集中，任一个x 的值均在3≤x ＜7的范围内，求a 的 取值范围为： ． 10．若均为非负整数，则M=5x+4y+2z 的取值范围是（ ） A ．100≤M ≤110 B ．110≤M ≤120 C ．120≤M ≤130 D ．130≤M ≤140 11．已知x+y+z=0，且x ＞y ＞z ，则的取值范围是 ．

高考数学压轴题秒杀

第五章压轴题秒杀 很多朋友留言说想掌握秒杀的最后一层。关于秒杀法的最难掌握的一层，便是对于高考数学压轴题的把握。压轴题，各省的难度不一致，但毫无疑问，尤其是理科的，会难倒很多很多很多人。 不过，压轴题并不是那般神秘难解，相反，出题人很怕很怕全省没多少做出来的，明白么？他很怕。那种思想，在群里面我也说过，在这里就不多啰嗦了。 想领悟、把握压轴题的思路，给大家推荐几道题目。 全是数学压轴题，且是理科（09的除山东的外我都没做过，所以不在推荐范围内）。 08全国一，08全国二，07江西，08山东，07全国一 一年过去了，很多题目都忘了，但这几道题，做过之后，虽然一年过去了，可脉络依然清晰。都是一些可以秒杀的典型压轴题，望冲击清华北大的同学细细研究。 记住，压轴题是出题人在微笑着和你对话。 具体的题目的“精”，以及怎么发挥和压榨一道经典题目的最大价值，会在以后的视频里面讲解的很清楚。 不过，我还是要说一下数列压轴题这块大家应该会什么（难度以及要求依次增高）\ 1：通项公式的求法（不甚解的去看一下以前的教案，或者问老师，这里必考。尤其推荐我押题的第一道数列解答题。） 2.：裂项相消（各种形式的都要会）、迭加、迭乘、错位相减求和（这几个是最基本和简单的数列考察方式，一般会在第二问考） 3：数学归纳法、不等式缩放 基本所有题目都是这几个的组合了，要做到每一类在脑中都至少有一道经典题想对应才行哦。 开始解答题了哦，先来一道最简单的。貌似北京的大多挺简单的。 这道题意义在什么呢？对于这道题在高考中出现的可能性我不做解释，只能说不大。意义在于，提醒大家四个字，必须必须必须谨记的四个字：分类讨论！！！！！！！ 下面07年山东高考的这道导数题，对分类讨论的考察尤为经典，很具参考性，类似的题目在08、09、10年高考题中见了很多。 (22)(本小题满分14分) 设函数f(x)=x2+b ln(x+1),其中b≠0. (Ⅰ)当b> 时，判断函数f(x)在定义域上的单调性； （Ⅱ）求函数f(x)的极值点； （Ⅲ）证明对任意的正整数n,不等式ln( )都成立. 这道题我觉得重点在于前两问，最后一问..有点鸡肋了~ 这道题，太明显了对吧？

高考数学高三模拟考试试卷压轴题专题六十三不等式的证明

高考数学高三模拟考试试卷压轴题专题六十三不等式的证明 【高频考点解读】 1.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、放缩法、数学归纳法． 2.了解柯西不等式、排序不等式以及贝努利不等式． 3.能利用均值不等式求一些特定函数的极值. 【重点知识梳理】 一、比较法证明不等式 (1)求差比较法： 知道a>b ?a －b>0，ab 只要证明a －b>0即可，这种方法称为求差比较法． (2)求商比较法： 由a>b>0?a b >1且a>0，b>0，因此当a>0，b>0时，要证明a>b ，只要证明a b >1即可，这种方法称为求商比较法． 二、综合法与分析法 1．综合法 利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这种方法叫综合法．即“由因导果”的方法． 2．分析法 证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已经具备，那么就可以判定原不等式成立，这种方法叫作分析法．即“执果索因”的方法． 3．平均值不等式 定理：如果a ，b ，c 为正数，则a ＋b ＋c 3≥3 abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立． 我们称 a ＋ b ＋ c 3 为正数a ，b ，c 的算术平均值，3 abc 为正数a ，b ，c 的几何平均值，定理中的不等式为三个正数的算术—几何平均值不等式，简称为平均值不等式． 4．一般形式的算术—几何平均值不等式 如果a1，a2，…，an 为n 个正数，则a1＋a2＋…＋an n ≥n a1a2…an ，当且仅当a1＝a2＝…＝an 时，等号成立． 【高考考纲突破】

二元一次方程组及不等式典型压轴题

二元一次方程组及不等式难题 一．选择题（共11小题） 1．（2006?大兴安岭）为了奖励进步较大的学生，某班决定购买甲、乙、丙三种钢笔作为奖品，其单价分别为4元、5元、6元，购买这些钢笔需要花60元；经过协商，每种钢笔单价下降1元，结果只花了48元，那么甲种钢笔可能购买（） A．11支B．9支C．7支D．4支2．（2004?苏州）某县响应国家“退耕还林”号召，将一部分耕地改为林地，改还后，林地面积和耕地面积共有180km2，耕地面积是林地面积的25%，设改还后耕地面积为xkm2，林地面积为ykm2，则下列方程组中正确的是（） A．B． C．D． 3．（2013?潍坊）对于实数x，我们规定[x]表示不大于x的最大整数，例如[]=1，[3]=3，[﹣]=﹣3，若[]=5，则x的取值可以是（） A．40B．45C．51D．56 4．（2015?大庆校级模拟）若max{S1，S2，…，S n}表示实数S1，S2，…，S n中的最大者．设A=（a1，a2，a3），b=，记A?B=max{a1b1，a2b2，a3b3}，设A=（x﹣1，x+1，1），， 若A?B=x﹣1，则x的取值范围为（） A．B．C．D． 5．（2013?攀枝花模拟）现规定一种运算：a※b=ab+a﹣b，其中a、b为常数，若2※3+m※1=6，则不等式＜m的解集是（） A．x＜﹣2B．x＜﹣1C．x＜0D．x＞2 6．（2012?河池）若a＞b＞0，则下列不等式不一定成立的是（） A．a c＞bc B．a+c＞b+c C．D．a b＞b2 7．（2012?常州）已知a、b、c、d都是正实数，且＜，给出下列四个不等式： ①＜；②＜；③；④＜ 其中不等式正确的是（） A．①③B．①④C．②④D．②③8．（2012?恩施州）某大型超市从生产基地购进一批水果，运输过程中质量损失10%，假设不计超市其它费用，如果超市要想至少获得20%的利润，那么这种水果的售价在进价的基础上应至少提高（） A．40%B．%C．%D．30%

压轴题经典的不等式专题

经典的不等式专题 1、 证明：2221111+ ...223n +++< ； 2、 若：332a b +=，求证：2a b +≤ ； 3、 若：n N + ∈，求证： 1111...12122n n n ≤+++<++； 4、 若：,0a b >，且3ab a b =++，求：a b +的取值范围 ； 5、 若：,,a b c 是ABC ?的三边，求证：111a b c a b c +>+++ ； 6、 当2n ≥时，求证：222111111 (12) 123n n n - <+++<-+ ； 7、 若x R ∈ ，求y =的值域 ； 8、 求函数2cos y θ θ=-的最大值和最小值 ； 9、 若,,0a b c >，求证： 2229a b b c c a a b c ++>+++++ ； 10、 若,,a b c R ∈，且22225a b c ++=，试求：22a b c -+的取值范围 ； 11、 若,,a b c R ∈，且226a b c --=，求222a b c ++的最小值 ； 12、 若,,a b c R ∈，且222 (1)(2)(3)11654 a b c -+-++=，求a b c ++的最大值和最小值； 13、 若,,0a b c >，,,0x y z >，且满足22225a b c ++=，222 36x y z ++=， 30ax by cz ++=，求：a b c x y z ++++的值 ； 14、 求证：21 15 3n k k =<∑ ；（这回比较紧） 15、 当2n ≥时，求证： 12(1)3n n <+< ； 16、 求证： 113135135...(21)...224246246 (2) n n ???????-++++

2020届高考数学压轴题讲义(选填题)：数列与函数、不等式相结合问题

数列与函数、不等式相结合问题 一．方法综述 数列与函数、不等式相结合是数列高考中的热点问题，难度较大，求数列与函数、不等式相结合问题时会渗透多种数学思想.因此求解过程往往方法多、灵活性大、技巧性强，但万变不离其宗，只要熟练掌握各个类型的特点即可.在考试中时常会考查一些压轴小题，如数列中的恒成立问题、数列中的最值问题、数列性质的综合问题、数列与函数的综合问题、数列与其他知识综合问题中都有所涉及，本讲就这类问题进行分析. 二．解题策略 类型一数列中的恒成立问题 【例1】【安徽省毛坦厂中学2019届高三校区4月联考】已知等差数列满足，，数列满足，记数列的前项和为，若对于任意的，，不等式恒成立，则实数的取值范围为（） A．B． C．D． 【答案】A 【解析】 由题意得，则，等差数列的公差， . 由， 得， 则不等式恒成立等价于恒成立， 而， 问题等价于对任意的，恒成立. 设，，

则，即 ， 解得或 . 故选:A. 【指点迷津】对于数列中的恒成立问题，仍要转化为求最值的问题求解，解答本题的关键是由等差数列通项公式可得，进而由递推关系可得 ，借助裂项相消法得到，又 ，问题等价于对任意 的 ， 恒成立. 【举一反三】已知数列{}n a 的首项1a a =，其前n 项和为n S ，且满足()2 142,n n S S n n n N -++=≥∈，若 对任意1,n n n N a a ++∈<恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．()3,5 B ．()4,6 C ．[)3,5 D ．[)4,6 【答案】A 类型二 数列中的最值问题 【例2】【浙江省湖州三校2019年高考模拟】已知数列满足 ， ，则使 的正整数的最小值是（ ）

专题06 超越不等式(方程)型-2021年高考数学复习压轴题解法分析与强化训练附真题及解析

专题06 超越不等式（方程）型 [真题再现] 例1 （2020·南京三模·20改编）已知函数2e ()x f x x ax a =-+(a ∈R)，其中e 为自然对数的底数，若函数()f x 的定义域为R ，且(2)()f f a >，求a 的取值范围． 例2 （2016·宿迁三校学情调研·14）已知函数f (x )＝x －1－(e －1)ln x ，其中e 为自然对 数的底，则满足f (e x )＜0的x 的取值范围为 ． 例3 （2020·扬州五月测试·20改编）不等式1ln 0x x x --≤的解集是 . 例4 340x +=的根是 . [强化训练] 1. （2020·北京·6）已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是（ ）． A. (1,1)- B. (,1)(1,)-∞-+∞ C. (0,1) D. (,0)(1,)-∞?+∞ 2. 关于的不等式的解集为___________. 3. 方程e eln e 0x x x +-=的根是___________. 4.已知α、β分别是方程510x x ++= 、10x + =的根，则α＋β的值是 . 5.已知实数x 、y 满足( 1x y =，则2234662020x xy y x y ----+的值是 . x 2ln 10x x +-≥

解析： 专题06 超越不等式（方程）型 [真题再现] 例1 【答案】(2，4) 【解析】由函数f (x )的定义域为R ，得x 2－ax ＋a ≠0恒成立， 所以a 2－4a ＜0，解得0＜a ＜4． 方法1（讨论单调性） 由f (x )＝e x x 2－ax ＋a ，得f'(x )＝e x (x －a )(x －2)(x 2－ax ＋a )2 ． ①当a ＝2时，f (2)＝f (a )，不符题意． ②当0＜a ＜2时， 因为当a ＜x ＜2时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(a ，2)上单调递减， 所以f (a )＞f (2)，不符题意． ③当2＜a ＜4时， 因为当2＜x ＜a 时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(2，a )上单调递减， 所以f (a )＜f (2)，满足题意． 综上，a 的取值范围为(2，4)． 方法2（转化为解超越不等式，先猜根再使用单调性） 由f (2)＞f (a )，得e 24－a ＞e a a ． 因为0＜a ＜4，所以不等式可化为e 2＞e a a (4－a )． 设函数g (x )＝e x x (4－x )－e 2， 0＜x ＜4． 因为g'(x )＝e x ·－(x －2)2x 2≤0恒成立，所以g (x )在(0，4)上单调递减． 又因为g (2)＝0，所以g (x )＜0的解集为(2，4)． 所以，a 的取值范围为(2，4)． 例2 【答案】()0,1 【解析】易得f (1)＝f (e)=0

高考数学压轴题：导数与不等式

高考数学压轴题：导数与不等式 利用导数证明不等式是近几年高考命题的一种热点题型．利用导数证明不等式，关键是要找出与待证不等式紧密联系的函数，然后以导数为工具来研究该函数的单调性、极值、最值(值域)，从而达到证明不等式的目的，这时常常需要构造辅助函数来解决．题目本身特点不同，所构造的函数可有多种形式，解题的繁简程度也因此而不同，这里给出几种常用的构造技巧． 类型一 “比较法”构造差函数证明不等式 【例1】已知函数()ln f x ax x =-. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）若21,a e ??∈-∞- ??? ，求证：()1 2ax f x ax xe -≥-. 【解析】（Ⅰ）由题意得()11 'ax f x a x x -=- =， ①当0a ≤时，则()'0f x <在()0,+∞上恒成立， ∴()f x 在()0,+∞上单调递减. ②当0a >时， 则当1,x a ?? ∈+∞ ??? 时，()()'0f x f x >，单调递增， 当10x a ??∈ ??? ，时，()()0f x f x '<，单调递减． 综上：当0a ≤时，()f x 在()0,+∞上单调递减； 当0a >时，()f x 在10, a ?? ???上单调递减，在1,a ?? +∞ ??? 上单调递增. （Ⅱ）令()()1 2ax g x f x ax xe -=-+ 1ln ax xe ax x -=--， 则()1 1 1'ax ax g x e axe a x --=+-- ()()() 1 11111ax ax ax xe ax e x x --+-??=+-= ?? ?， 设()1 1ax r x xe -=-， 则()()1 '1ax r x ax e -=+，

一元一次不等式组压轴题

一元一次不等式组压轴题 1．如图，有三幢公寓楼分别建在点A、点B、点C 处，AB、AC、BC 是连接三幢公寓楼的三条道路，要修建一超市P，按照设计要求，超市要在△ABC的内部，且到A、C的距离必 须相等，到两条道路AC 、AB的距离也必须相等，请利用尺规作图确定超市P的位置． （不要求写出作法、证明，但要保留作图痕迹）． 2．如图1，已知矩形ABED，点C是边DE的中点，且AB=2AD． （1）判断△ABC的形状，并说明理由； （2）保持图1中△ABC固定不变，绕点C旋转DE所在的直线MN到图2中（当垂线段AD、BE在直线MN的同侧），试探究线段AD、BE、DE长度之间有什么关系？并给予证明；（3）保持图2中△ABC固定不变，继续绕点C旋转DE所在的直线MN到图3中的位置（当垂线段AD、BE在直线MN的异 侧）．试探究线段AD、BE、DE长度之间有什么关系？并给予证明。 第1页（共15页）

3．如图①，已知△ABC中，AB=AC，点P是BC上的一点，PN⊥AC于点N，PM⊥AB于点M，CG⊥AB于点G，则CG=PM+PN． （1）如图②，若点P在BC的延长线上，则PM、PN、CG三者是否还有上述关系，若有，请说明理由，若没有，猜想三者之间又有怎样的关系， （2）如图③，AC是正方形ABCD的对角线，AE=AB，点P是BE上任一点，PN⊥AB于点N，PM⊥AC于点M，猜想PM、PN、AC有什么关系；（直接写出结论） ． 4．解不等式组，并把不等式的解集在数轴上表示出来．

（1），（2）． ．写出该不等式组的最小整数解． （3） 5．为鼓励学生参加体育锻炼，学校计划拿出不超过3200元的资金购买一批篮球和排球，已知篮球和排球的单价比为3：2，单价和为160元． （1）篮球和排球的单价分别是多少元？ （2）若要求购买的篮球和排球的总数量是36个，且购买的排球数少于11个，有哪几种购买方案？

【函数与导数压轴题突破】7、三招破解不等式问题

2021高考数学压轴题命题区间探究与突破专题 第一篇 函数与导数 专题07 用好导数，“三招”破解不等式恒成立问题 一．方法综述 不等式恒成立问题一直是高考命题的热点，把函数问题、导数问题和不等式恒成立问题交汇命制压轴题成为一个新的热点命题方向．由不等式恒成立确定参数范围问题，常见处理方法有：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x =图象在()y g x = 上方即可)；③ 最值法：讨论最值()min 0f x ≥或 ()max 0f x ≤恒成立；④ 讨论参数.在诸多方法中，构造函数并利用导数研究函数的单调性、最值等，是必须要考虑的解题门径.本专题举例说明《用好导数，“三招”破解不等式恒成立问题》. 二．解题策略 类型一 构造函数求最值 【例1】【2020·重庆南开中学期末】已知函数()ln x f x ae x x =-，其中a R ∈，e 是自然对数 的底数. （1）若()f x 是()0,∞+上的增函数，求实数a 的取值范围； （2）若22 a e > ，证明：()0f x >. 【分析】（1）由()f x 是()0,∞+上的增函数等价于()0f x '≥恒成立，得1ln x x a e +≥ ，求()()1ln 0x x g x x e += >的最大值，即可得到本题答案； （2）由()e 0ln 0x a f x x x >? ->，证明当22a e ≥时，()()e ln 0x a F x x x x =->的最小值大于0，即可得到本题答案. 【解析】（1）()()1ln x f x ae x '=-+，()f x 是()0,∞+上的增函数等价于()0f x '≥恒成立. 令()0f x '≥，得1ln x x a e +≥ ，令 ()()1ln 0x x g x x e +=>.以下只需求()g x 的最大值. 求导得()1 1ln x g x e x x -??'=-- ??? ，令()11ln h x x x =--，()2110h x x x '=--<，

中考数学压轴题揭秘专题04不等式与不等式组试题(附答案)

中考数学压轴题揭秘专题04不等式与不等式组试题 （附答案） 中考数学压轴题揭秘专题04不等式与不等式组试题（附答案） 专题04 不等式与不等式组 [考点1]不等式的基本性质 [例1]（?广安）若，下列不等式不一定成立的是 A． B． C． D．

[答案]D [解析] 、不等式的两边都加3，不等号的方向不变，故错误； 、不等式的两边都乘以，不等号的方向改变，故错误； 、不等式的两边都除以3，不等号的方向不变，故错误； 、如，，，；故正确； 故选：． 点睛：主要考查了不等式的基本性质，“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱．

A． B． C． D． [答案]A [解析] ，， ． 故选：． 点睛：此题主要考查了等式的性质，正确掌握等式的基本性质是解题关键．[变式1-2]（?玉林）设，则，则的取值范围是．

[解析] ， ， ， ， 即． 故答案为： 点睛：本题主要考查了分式的约分以及不等式的基本性质，熟练掌握分解因式的方法是解答本题的关键．

[考点2]解一元一次不等式（组） [例2]（?呼和浩特）若不等式的解集中的每一个值，都能使关于的不等式成立，则的取值范围是 A． B． C． D． [答案]C [解析]解不等式得：， 不等式的解集中的每一个值，都能使关于的不等式成立， ， ，

解得：， 故选：． 点睛：本题主要对解一元一次不等式组，不等式的性质等知识点的理解和掌握，能根据已知得到关于的不等式是解此题的关键． [变式2-1]（?宁波）不等式的解为 A． B． C． D． [答案]A [解析] ，

不等式和压轴题

一、不等式 1.（2009年泸州）关于x 的方程x kx 21=-的解为正实数，则k 的取值范围是 2、（2009年长沙）已知关于x 的不等式组0521 x a x -?? ->?≥， 只有四个整数解，则实数a 的取值范围是 ． 3、（2009年莆田）一罐饮料净重500克，罐上注有“蛋白质含量≥0.4%”，则这罐饮料中蛋白质的含量至少为__________克． 4、（2009年莆田）甲、乙两位同学参加跳高训练，在相同条件下各跳10次，统计各自成绩的方差得 22S S <乙甲，则成绩较稳定的同学是___________．（填“甲”或“乙”） 5、如果不等式组2 223 x a x b ?+???-->+??? 的解集是1x >-，则m = ▲ ． 8、(2009武汉)．如图，直线y kx b =+经过(21)A ，，(12)B --，两点，则不等式1 22 x kx b >+>-的解集为 ． 9、（2009年凉山州）若不等式组220x a b x ->??->? 的解集是11x -<<，则2009 () a b += ． 10、（2009年湖南长沙）已知关于x 的不等式组0521 x a x -??->?≥， 只有四个整数解，则实数a 的取值范围 是 ． 11、不等式组2 21 x x -?? -

一元一次不等式组压轴题精选文档

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一元一次不等式组压轴题 1．如图，有三幢公寓楼分别建在点A、点B、点C 处，AB、AC、BC 是连接三幢公寓楼的三条道路，要修建一超市P，按照设计要求，超市要在△ABC的内部，且到A、C的距离必须相等，到两条道路AC、AB的距离也必须相等，请利用尺规作图确定超市P的位置． （不要求写出作法、证明，但要保留作图痕迹）． 2．如图1，已知矩形ABED，点C是边DE的中点，且AB=2AD． （1）判断△ABC的形状，并说明理由； （2）保持图1中△ABC固定不变，绕点C旋转DE所在的直线MN到图2中（当垂线段AD、BE在直线MN的同侧），试探究线段AD、BE、DE长度之间有什么关系？并给予证明； （3）保持图2中△ABC固定不变，继续绕点C旋转DE所在的直线MN到图3中的位置（当垂线段AD、BE在直线MN的异侧）．试探究线段AD、BE、DE长度之间有什么关系？并给予证 明。 3．如图①，已知△ABC中， AB=AC，点P是BC 上的一点， PN⊥AC于点 N，PM⊥AB于点M，CG⊥AB于点G，则CG=PM+PN． （1）如图②，若点P在BC的延长线上，则PM、PN、CG三者是否还有上述关系，若有，请说明理由，若没有，猜想三者之间又有怎样的关系， （2）如图③，AC是正方形ABCD的对角线，AE=AB，点P是BE上任一点，PN⊥AB于点N，PM⊥AC于点M，猜想PM、PN、AC有什么关系；（直接写出结论） ． 4．解不等式组，并把不等式的解集在数轴上表示出来． （1），（2）． ．写出该不等式组的最小整数解． （3） 5．为鼓励学生参加体育锻炼，学校计划拿出不超过3200元的资金购买一批篮球和排球，已知篮球和排球的单价比为3：2，单价和为160元． （1）篮球和排球的单价分别是多少元？ （2）若要求购买的篮球和排球的总数量是36个，且购买的排球数少于11个，有哪几种购买方案？ 6．在“老年节”前夕，某旅行社组织了一个“夕阳红”旅行团，共有253名老人报名参加．旅行前，旅行社承诺每车保证有一名随团医生，并为此次旅行请了7名医生，现打算选租甲、乙两种客车，甲种客车载客量为40人/辆，乙种客车载客量为30人/辆．

二元一次方程组及不等式典型压轴题完整版

二元一次方程组及不等 式典型压轴题 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

二元一次方程组及不等式难题 一．选择题（共11小题） 1．（2006大兴安岭）为了奖励进步较大的学生，某班决定购买甲、乙、丙三种钢笔作为奖品，其单价分别为4元、5元、6元，购买这些钢笔需要花60元；经过协商，每种钢笔单价下降1元，结果只花了48元，那么甲种钢笔可能购买（） A．11支B．9支C．7支D．4支 2．（2004苏州）某县响应国家“退耕还林”号召，将一部分耕地改为林地，改还后，林地面积和耕地面积共有180km2，耕地面积是林地面积的25%，设改还后耕地面积为xkm2，林地面积为ykm2，则下列方程组中正确的是（） A．B． C．D． 3．（2013潍坊）对于实数x，我们规定[x]表示不大于x的最大整数，例如 []=1，[3]=3，[﹣]=﹣3，若[]=5，则x的取值可以是（） A．40 B．45 C．51 D．56 4．（2015大庆校级模拟）若max{S1，S2，…，S n}表示实数S1，S2，…，S n中的最大者．设A=（a1，a2，a3），b=，记AB=max{a1b1，a2b2，a3b3}，设A=（x﹣1，x+1，1），，若AB=x﹣1，则x的取值范围为（） A．B．C．D． 5．（2013攀枝花模拟）现规定一种运算：a※b=ab+a﹣b，其中a、b为常数，若2※3+m※1=6，则不等式＜m的解集是（） A．x＜﹣2 B．x＜﹣1 C．x＜0 D．x＞2 6．（2012河池）若a＞b＞0，则下列不等式不一定成立的是（）

最新作业记(一元一次不等式初中数学压轴题)

作业记直播课|一元一次不等式初中数学卷 知识点：不等式性质；不等式解集；一元一次不等式（组）的解法及应用。 一．选择题（共3小题） 1．△ABC的两条高的长度分别为4和12，若第三条高也为整数，则第三条高的长度是（）A．4 B．4或5 C．5或6 D．6 2．现规定一种运算：a※b=ab+a﹣b，其中a、b为常数，若2※3+m※1=6，则不等式＜ m的解集是（） A．x＜﹣2 B．x＜﹣1 C．x＜0 D．x＞2 3．若关于x的不等式整数解共有2个，则m的取值范围是（） A．3≤m＜4 B．3＜m＜4 C．3＜m≤4 D．3≤m≤4 二．填空题（共10小题） 4．按下面程序计算，若开始输入x的值为正数，最后输出的结果为656，则满足条件所有x 的值是． 5．若不等式组有解，则a的取值范围是． 6．对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为（x）．即当n为非负整数时，若n﹣≤x＜n+， 则（x）=n．如（0.46）=0，（3.67）=4． 给出下列关于（x）的结论： ①（1.493）=1； ②（2x）=2（x）； ③若（）=4，则实数x的取值范围是9≤x＜11； ④当x≥0，m为非负整数时，有（m+2013x）=m+（2013x）； ⑤（x+y）=（x）+（y）； 其中，正确的结论有（填写所有正确的序号）． 7．某大型超市从生产基地购进一批水果，运输过程中质量损失10%，假设不计超市其他费用，如果超市要想获得不低于20%的利润，那么这种水果的售价在进价的基础上应至少提高%（保留三位有效数字）．

8．如图A、B、C、D四人在公园玩跷跷板，根据图中的情况，这四人体重从小到大排列的顺序为． 9．如果关于x的不等式组的整数解仅有1，2，那么适合这个不等式组的整数a， b组成的有序数对（a，b）共有个． 10．已知，则当m≥2时，m+n的取值范围是． 11．重庆兴华皮鞋厂的一批皮鞋，需要从西部鞋都（重庆璧山）运往相距300千米的四川成都．甲、乙两车分别以80千米/时和60千米/时的速度同时出发，甲车在距成都130千米的A处发现有部分皮鞋丢在B处，立即以原速返回到B处取回皮鞋，甲车为了还能比乙车提前到达成都，开始以100千米/小时的速度加速向成都前进，设A与B的距离为a千米，结果甲车比乙车提前到达成都（不考虑其它因素），则a的取值范围是． 12．关于x的不等式3x﹣a≤0，只有两个正整数解，则a的取值范围是．13．若自然数n使得作竖式加法n+（n+1）+（n+2）均不产生进位现象，则称n为“可连数”，例如32是“可连数”，因为32+33+34不产生进位现象；23不是“可连数”，因为23+24+25产生了进位现象，那么小于200的“可连数”的个数为． 构建智慧课堂实施有效教学 孙桂芳 智慧与有效犹如一对双胞胎，是紧密相连的，智慧的课堂一定是

导数+不等式,终结压轴题

利用导数证明不等式的两种通法
利用导数证明不等式是高考中的一个热点问题，利用导数证明不等式主要有两种通法，即函数类不等式证明和常 数类不等式证明。下面就有关的两种通法用列举的方式归纳和总结。 一、函数类不等式证明
函数类不等式证明的通法可概括为：证明不等式 f ( x) g (x)（ f ( x) g( x) ）的问题转化为证明 f (x) g (x) 0
（ f ( x) g( x) 0），进而构造辅助函数h(x) f (x) g(x) ，然后利用导数证明函数h( x) 的单调性或证明函数h( x)
的最小值（最大值）大于或等于零（小于或等于零）。
例 1 已知 x (0, ) ，求证： sinx x tan x
2
分析：欲证sinx x tan x ，只需证函数 f (x) sinx x和 g(x) x tan x 在 (0, ) 上单调递减即可。
2
证明：令 f (x) sinx x ，其中x (0, )
2
则 f / (x) cosx 1 ，而 x (0, ) cosx 1 cosx 1 0
2
所以 f (x) sinx x在 (0, ) 上单调递减，即 f (x) sinx x f (0) 0 所以sinx x ；
2
令 g(x) x tan x
，其中 x (0, ) 则 g / ( x)
2
1 1 cos2
x
tan2
x
0
，所以 g (x)
x
tan x
在(0, )
2
上单调递减，
即 g(x) x tan x g(0) 0 所以 x tan x 。综上所述，sinx x tan x
评注：证明函数类不等式时，构造辅助函数比较容易，只需将不等式的其中一边变为0，然后另一边的函数作为辅助函 数，并利用导数证明其单调性或其最值，进而构造我们所需的不等式的结构即可。根据不等式的对称性，本例也可以
构造辅助函数为在 (0, ) 上是单调递增的函数（如：利用 h( x) x s inx在 (0, ) 上是单调递增来证明不等式
2
2
sinx x ），另外不等式证明时，区间端点值也可以不是我们所需要的最恰当的值（比如此例中的 f (0)也可以不是 0，
而是便于放大的正数也可以）。因此例可变式为证明如下不等式问题：
已知 x(0, ) ，求证：sinx 1 x tan x 1
2
证明这个变式题可采用两种方法： 第一种证法：运用本例完全相同的方法证明每个不等式以后再放缩或放大，即证明不等式
sinx x 以后，根据sinx 1 sinx x 来证明不等式sinx 1 x ；
第二种证法：直接构造辅助函数 f (x) sinx 1 x 和 g( x) x tan x 1，其中x (0, )
2
然后证明各自的单调性后再放缩或放大（如：f (x) sinx 1 x f (0) 1 0）
例 2 求证： ln(x 1) x
分析：令 f ( x) ln(x 1) x ，经过求导易知， f ( x) 在其定义域(1,) 上不单调，但可以利用最值证明不等式。
证明：令 f ( x) ln(x 1) x 函数 f(x)的定义域是(1,) ,
f ' (x)= 1 1 .令 f ' (x)=0，解得x=0，当-1
1 x
时, f ' (x)>0,当 x>0 时, f ' (x)<0，又 f(0)=0，
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不等式及压轴题

不等式及压轴题 WTD standardization office【WTD 5AB- WTDK 08- WTD 2C】

一、不等式 1.（2009年泸州）关于x 的方程x kx 21=-的解为正实数，则k 的取值范围是 2、（2009年长沙）已知关于x 的不等式组0521x a x -??->?≥， 只有四个整数解，则实数a 的取 值范围是 ． 3、（2009年莆田）一罐饮料净重500克，罐上注有“蛋白质含量≥0.4%”，则这罐饮料中蛋白质的含量至少为__________克． 4、（2009年莆田）甲、乙两位同学参加跳高训练，在相同条件下各跳10次，统计各 自成绩的方差得22S S <乙甲，则成绩较稳定的同学是___________．（填“甲”或“乙”） 5、如果不等式组2 223 x a x b ?+???-->+???的解集是1x >-，则m = ▲ ． 8、(2009武汉)．如图，直线y kx b =+经过(21)A ，，(12)B --，两点，则不等式 1 22 x kx b >+>-的解集为 ． 9、（2009年凉山州）若不等式组2 20 x a b x ->??->?的解集是11x -<<，则2009()a b += ． y x O A B

10、（2009年湖南长沙）已知关于x 的不等式组0521 x a x -??->?≥， 只有四个整数解，则实数 a 的取值范围是 ． 11、不等式组2 21x x -??-时，点B 在 A 外 14、（2009湖北省荆门市）若不等式组0, 122x a x x +?? ->-? ≥有解，则a 的取值范围是（ ） A ．1a >- B ．1a -≥ C ．1a ≤ D ．1a < 15、（09湖北宜昌）如果ab <0，那么下列判断正确的是( )． A ．a <0，b <0 B ． a >0，b >0 C ． a ≥0，b ≤0 D ． a <0，b >0或a >0，b <0 16、（2009恩施市）如果一元一次不等式组3 x x a >??>?的解集为3x >．则a 的取值范围是 （ ） A ．3a > B ．a ≥3 C ．a ≤3 D ．3a <