高等代数(上)期末复习题

高等代数（1）复习题

一、判断题

1、四阶行列式中含因子2311a a 的项为42342311a a a a 和44322311a a a a 。（ ）

2、设D 为六阶行列式，则162534435261a a a a a a 是D 中带负号的项。（ ）

3、对任一排列施行偶数次对换后，排列的奇偶性不变。（ ）

4、排列()3211 -n n 的逆序数为n 。（ ）

5、排列()3211 -n n 为偶排列。（ ）

6、若行列式中所有元素都是整数，且有一行中元素全为偶数，则行列式的值一定是偶数。（

）

7、若22B A =，则B A =或B A -=。（ ）

8、若AC AB =，0≠A ，则C B =。（ ）

9、若矩阵A 满足A A =2，则0=A 或E A =。（ ）

10、设A 是n 阶方阵，若0≠A ，则必有A 可逆。（ ）

11、若矩阵A 满足02=A ，则0=A 。（ ）

12、若矩阵B A ,满足0AB =，且0A ≠，则0B =。（ ）

13、对n 阶可逆方阵A ，B ，必有()111---=B A AB 。（ ）

14、对n 阶可逆方阵A ，B ，必有()111---+=+B A B A 。（ ）

15、设A ，B 为n 阶方阵，则必有B A B A +=+。（ ）

16、设A ，B 为n 阶方阵，则必有BA AB =。（ ）

17、若矩阵A 与B 等价，则B A =。（ ）

18、若A 与B 都是对称矩阵，则AB 也是对称矩阵。（ ）

19、若矩阵A 的所有1r +级的子式全为零，则A 的秩为r 。（ ）

20、设n m A ?，n m B ?为矩阵，则()()()B R A R B A R +≤+。（ ）

21、设A =0，则()0=A R 。（ ）

22、线性方程组0=?X A n n 只有零解，则0≠A 。（ ）

23、若b AX =有无穷多解，则0=AX 有非零解。（ ）

24、设n 级方阵C B A ,,满足ABC E =，E 为单位矩阵，则CAB E =。（ ）

25、要使????? ??=→

2111ξ，????

? ??-=→0112ξ都是线性方程组0=AX 的解，则系数矩阵A 可为()111-。（ ） 26、若n ，，，ααα 21线性无关，且02211=+++n n k k k ααα ，则021====n k k k 。（ ）

27、单独的一个零向量是线性相关的。（ ）

28、若两个向量组等价，则它们所包含的向量的个数相同。（ ）

29、一个向量组若线性无关，则它的任何部分组都线性无关。（ ）

30、向量组n ，，，ααα 21（2≥n ）线性相关，则其任何部分向量组也线性相关。（ ）

31、若向量组有一个部分向量组线性无关，则原来的向量组也线性无关。（ ）

32、向量组n ，，，ααα 21线性相关，则n α必由121-n ，，，ααα 线性表示。（ ）

33、若向量组n ，，，ααα 21线性相关，那么其中每个向量都是其余向量的线性组合。（ ）

34、若向量组12,,,s ααα（2s ≥）线性相关，则存在某个向量是其余向量的线性组合。（ ）

35、两个向量线性相关，则它们的分量对应成比例。（ ）

36、任意n 个1+n 维向量必线性相关。（ ）

37、任意1+n 个n 维向量必线性相关。（ ）

38、向量组n ，，，ααα 21的秩为零的充要条件是它们全为零向量。（ ）

39、线性方程组的任意两个解向量之和仍为原线性方程组的解。（ ）

40、齐次线性方程组的任意两个解向量之和仍为原线性方程组的解。（ ）

二、填空题

第一组：

1、已知排列1s46t5为奇排列，则s 、t 依次为

2、若排列n x x x ,...,,21的逆序数是k ，则排列11,...,,x x x n n -的逆序数是

3、四阶行列式659438250

7164

321---中元素23a 的代数余子式为

4、44322311a a a a 在四阶行列式中应带 号

5、=0000000000

00d c b a 6、()=????? ??--123321 7、()=????? ??123321 8、=???? ??n 101λ 9、=???? ??k 1011 10、设()()1,2,2,1==B A ，则()=99B A T

11、设????? ??=600230321A ，则()=-1*

A 12、设A 为三阶方阵，3=A ，则*125A A --=

13、设???

? ??-=θθθθcos sin sin cos A ，则=-1A 14、设???

? ??=d c b a A ，当d c b a ,,,满足 时，1-A 存在，此时=-1A 17、设n 阶方阵A 满足022=+-E A A ，则=-1A

18、要使矩阵????

? ??01112421λ的秩取得最小值，则=λ

19、列向量组n ，，

，ααα 21的秩与矩阵A=()n ，，，ααα 21的秩 20、设向量组()3211=α，()4132=α，()7653=α，()1204=α线性 关

21、设()11111，，，

=α，()11102，，，=α，()11003，，，=α，()10004，，，=α线性 关 22、已知()0011，，

=α，()0102，，=α，()1003，，=α，()1204，，=α，用321ααα，，线性表示=4α 23、21ααβ，，线性相关，则321αααβ，，，线性 关

24、321αααβ，，，线性无关，则321ααα，，线性 关

25、由m 个n 维向量组成的向量组，当m n 时，向量组一定线性相关 26、b x A n m =?有唯一解的充要条件是 有无穷多解的充要条件是 无解的充要条件是

27、设n 阶方阵A ，若()2-=n A R ，则0=Ax 的基础解系所含向量的个数=

28、已知b Ax =有两个不同的解21,x x ，则0=Ax 有一个非零解为

29、若???

? ??=101a A ，且T A A =-1，则=a 30、若242(1)1x ax bx -∣

++，则a = ，b = 。

第二组： 1. 3215332053

7228472184

= 2．1

23101202303102030

= 3. 0000010

0200

1000

n

n D n -==______________。 4. 设行列式12203369

a 中，余子式213A =，则a ＝__________。

5. 设412

20

1112

1113

101----=A ，则=+++44342414A A A A 。

6. 行列式9

413211

11 的余子式232221M M M ++的值为 。

7．设矩阵A 可逆，且1A =，则A 的伴随矩阵A *的逆矩阵为 。

8．设A 、B 为n 阶方阵，则222

()2A B A AB B +=++的充要条件是 。

9．一个n 级矩阵A 的行（或列）向量组线性无关，则A 的秩为 。

10. 设P 、Q 都是可逆矩阵，若PXQ B =，则X = 。 11. 设矩阵1112312536A λμ-?? ?=- ? ???

，且()2R A =,则()()==μλ,。 12. 设A 为n 阶矩阵，且1=A ,则 =)(A R ______________。

13. 2153A ??= ???

,则=-1A ________________。 14. 已知A 01011,001k ?? ?=- ? ???

其中0≠k ，则=-1A _________________。 15. 若A 为n 级实矩阵，并且O AA T =，则A = 。

16. 设A 为5阶方阵，且3det =A ，则=-1det A ，=')det(A A ， =*)det(A 。

17.=????

? ??=-1*)(,121210421A A 则 ____________。

18. 设A 为4阶矩阵，且2=A ,则 *2AA =____________。

19. 设)(2

1I B A +=，则A A =2的充要条件是 。 20. 设A 为n 阶矩阵，且r A rank =)(，则0=AX 的基础解系中有 个解向量.

21.一个齐次线性方程组中共有1n 个线性方程、2n 个未知量，其系数矩阵的秩为3n ，若它有非零解，则它的基础解系所含解的个数为 。

22.含有n 个未知量n 个方程的齐次线性方程组有非零解的充分且必要条件是 。

23. A 是n n ?矩阵，对任何1?n b 矩阵，方程b AX =都有解的充要条件是_____ __。

24.若120s ααα+++=，则向量组12,,,s ααα必线性

25.已知向量组)4,3,2,1(1=α，)5,4,3,2(2=α，)6,5,4,3(3=α，)7,6,5,4(3=α，则该向量组的秩是 。

26. 单个向量α线性无关的充要条件是_____________。

27. 设m ααα,,,21 为n 维向量组, 且n R m =),,,(21ααα ，则n m 。

28. 1+n 个n 维向量构成的向量组一定是线性 的。（无关，相关）

29.已知向量组),3,1(),3,2,2(),1,0,1(321t ===ααα线性无关，则=t _______。

30. 向量组},,,{21n ααα 的极大无关组的定义是___________。

31. 设s t t t ,,,21 两两不同, 则向量组r i t t t r i i i i ,,2,1,),,,,1(12 ==-α线性 。

32． 多项式可整除任意多项式。

33．艾森施坦因判别法是判断多项式在有理数域上不可约的一个 条件。

34．实数域上不可约多项式的类型有 种。

35．若不可约多项式()p x 是()f x 的k 重因式，则()p x 是(1)()k f x -的 重因式。

三、选择题

1.行列式4

1032

6

57a --中，元素a 的代数余子式是（ ）。 A ．40

67- B ．41

65 C ．4067-- D ．4165

- 2. 设,A B n 均为阶矩阵，则下列选项中正确的为（ ）。

A . det()det det A

B A B +=+ B .AB BA =

C ． det()det()AB BA =

D .222()2A B A AB B -=-+

3. 设A 为3阶方阵，321,,A A A 为按列划分的三个子块，则下列行列式中与A 等值的是（ ） A .133221A A A A A A --- B .321211A A A A A A +++

《高等代数》期末试卷B

教育科学系14级小学教育（科学与数学）专业2014—2015学年度春学期 期末考试《高等代数Ⅱ》试卷(B ) 试卷说明：1.本试卷共2页，4个大题，满分100分，120分钟完卷； 2.试题解答全部书写在本试卷上。 班号： 学号 姓名 一、选择题：（每题3分，共15分） 1．当λ=（ ）时，方程组1231 231 222x x x x x x λ++=??++=?，有无穷多解。 A 1 B 2 C 3 D 4 2．若向量组中含有零向量，则此向量组（ ）。 A 线性相关 B 线性无关 C 线性相关或线性无关 D 不一定 3．设α是n 阶可逆矩阵A 的属于特征值λ的特征向量，在下列矩阵中，α不是（ ） 的特征向量。 A 2()A E + B -3A C *A D T A 4．若A 为n 阶实对称矩阵，P 为n 阶正交阵，则1P A P -为（ ）。 A 实对称阵 B 正交阵 C 非奇异阵 D 奇异阵 5．设矩阵 A ， B ， C 均为n 阶矩阵，则矩阵A B 的充分条件是（ ）。 A A 与 B 有相同的特征值 B A 与B 有相同的特征向量 C A 与B 与同一矩阵相似 D A 一定有n 个不同的特征值 1．已知向量组)4,3,2,1(1=α，)5,4,3,2(2=α，)6,5,4,3(3=α，)7,6,5,4(4=α，则向量=+-+4321αααα 。 2．若120s ααα++ +=，则向量组12,, ,s ααα必线性 。 3．设向量空间1212{(,, )|0,}n n i V x x x x x x x R =++ +=∈，则V 是 维 空间。 4．A ，B 均为3阶方阵，A 的特征值为1，2，3，1B =-，则*A B B += 。 5．设矩阵A 满足条件2560A A E -+=，则矩阵A 的特征值 是 。 6.二次型yz xz xy z y x z y x f 222),,(222---++=的矩阵是____________。 二、填空题：（每题3分，共27分）

2013_814高等代数(试题)

南京航空航天大学 2013年硕士研究生入学考试初试试题（ A 卷） 科目代码: 814 科目名称: 高等代数 满分: 150 分 注意: ①认真阅读答题纸上的注意事项；②所有答案必须写在答题纸上，写在本试题纸或草稿纸上均无 效；③本试题纸须随答题纸一起装入试题袋中交回！ 一、(15分)设有向量组T T T a a )1,,3(,)3,1,1(,)1,1,2(321?=?==ααα，这里“T ”表示转置，以下各题相同． １．求参数a ，使得321,,ααα线性相关； ２．在题1的基础上，记T A 21αα=，求方程组3α=AX 的通解． 二、(25分)设二次型AX X X f T =)(的秩为3，其中???? ??????=212111b b a A ，???????????=121α是A 的伴随 矩阵*A 的特征向量. １．求参数a 和b ； ２．求正交矩阵P ,使得AP P T 为对角矩阵; ３．求二次型)(X f 在条件1232221=++x x x 下的最大值． 三、(15分)设1V 是由向量组T T T )7,6,9(,)1,0,3(,)3,2,1(321?==?=ααα生成的子空间, 2V 是由向量组T T T b a )1,2,(,)1,1,0(,)0,1,(321=?==βββ生成的子空间. １．若11V ∈β,求参数a ； ２．若1V 与2V 有相同的维数,求参数b a ,满足的条件； ３．问:对任意给定的常数b a ,,21V V +是否有可能是直和?说明理由. 四、(25分)设3R 的线性变换Γ使得,222321 321321321??????????++++?+=??????????Γbx x x ax x x x x x x x x 且T )1,1,1(=α是Γ的一个特征 向量.

(完整版)高等代数(下)期终考试题及答案(B卷)

高等代数(下）期末考试试卷及答案（B 卷） 一．填空题（每小题3分，共21分） 1. 22 3[]-2-31,(-1),(-1)P x x x x x 在中,在基下的坐标为 2. 设n 阶矩阵A 的全体特征值为12,,,n λλλL ，()f x 为任一多项式，则()f A 的全体特征值为 . 3.'=n 在数域P 上的线性空间P[x]中,定义线性变换:(,则的值域())()A A f x f x A ()-n P[x]= ,的核(0)= 1A A A 4．已知3阶λ-矩阵A （λ）的标准形为21 0 00 00 0λλλ?? ? ? ?+?? ，则A （λ）的不变 因子________________________； 3阶行列式因子 D 3 =_______________. 5. 若4阶方阵A 的初等因子是（λ-1）2，（λ-2），（λ-3），则A 的若当标准形 J= 6.在n 维欧氏空间V 中，向量ξ在标准正交基12,,,n ηηηL 下的坐标是 12(,,,)n x x x L ，那么(,)i ξη＝ 7. 两个有限维欧氏空间同构的充要条件是 ． 二. 选择题( 每小题2分，共10 分) 1.( ) 已知{(,),,,}V a bi c di a b c d R =++∈为R 上的线性空间， 则dim(V)为 (A) 1; (B) 2; (C) 3; (D) 4 2. ( ) 下列哪个条件不是n 阶复系数矩阵A 可对角化的充要条件 (A) A 有n 个线性无关的特征向量； (B) A 的初等因子全是1次的； (C) A 的不变因子都没有重根； (D) A 有n 个不同的特征根； 3．( ) 设三阶方阵A 的特征多项式为322)(23+--=λλλλf ，则=||A

高等代数试题附答案

科目名称：《高等代数》 姓名： 班级： 考试时间：120分钟 考试形式：闭卷 ≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌ ≌≌≌≌ 一、填空题（每小题5分，共25分） 1、在[]X P 中，向量21x x ++关于基23,1,12+--x x x 的坐标为 。 2、向 量 组 ()()()()()8,3,5,2,1,1,3,0,3,2,4,2,1,2,154321-=-==-=-=ααααα的秩 为 ，一个最大无关组为 .。 3、（维数公式）如果21,V V 是线性空间V 的两个子空间，那么 。 4、假设??? ? ? ??-----=175131023A 的特征根是 ，特征向量分别 为 。 5、实二次型()323121321224,,x x x x x x x x x f ++-= 的秩为 二、是非题（每小题2分，共20分） 1、如果r a a a ,,,21 线性无关，那么其中每一个向量都不是其余向量的线性组合。（ ） 2、在][x P 中，定义变换)()(0x f x Af =,其中P x ∈0，是一固定的数，那么变换A 是线性变换。（ ） 3、设21,W W 是向量空间V 的两个子空间，那么它们的并 21W W 也是V 的一个子空间。（ ） 4、两个欧氏空间同构的充分且必要条件是它们有相同的维数。（ ）

5、令),,,(4321x x x x =ξ是4R 的任意向量，那么δ是4R 到自身的线性变 换。其中),,,()(24232221x x x x =ξδ。（ ） 6、矩阵A 的特征向量的线性组合仍是A 的特征向量。（ ） 7、若矩阵A 与B 相似，那么A 与B 等价。（ ） 8、n 阶实对称矩阵A 有n 个线性无关的特征向量。（ ） 9、在)(2R M 中，若W 由所有满足迹等于零的矩阵组成，那么W 是 )(2R M 的 子空间。（ ） 10、齐次线性方程组0)(=-X A E λ的非零解向量是A 的属于λ的特征向量。（ ） 三、明证题（每小题××分，共31分） 1、设n εεε,,,21 是线性空间V 的一组基，A 是V 上的线性变换，证明：A 可逆当且仅当n A A A εεε,,,21 线性无关。 （10） 2、设δ是n 维欧氏空间V 的一个线性变幻，证明：如果δ是对称变幻， 2δ=l 是单位变幻，那么δ是正交变换。（11） 3、设V 是一个n 维欧氏空间，证明：如果21,W W 都是V 得子空间，那么() ⊥⊥⊥ =+2121W W W W 。（10） 四、计算题（每小题8分，共24分） 1、求矩阵??? ? ? ??---=466353331A 的特征根与特征向量，并求满秩矩阵P 使 得AP P 1-为对角形矩阵。 2、求一个正交矩阵U ，使得AU U '使对角形式，其中

高等代数试题及答案

中国海洋大学2007-2008学年第2学期期末考试试卷

授课教师命题教师或 命题负责人签字年月日院系负责人签 字年月日 共 2 页第 2 页

中国海洋大学 XXXX-XXXX 学年 第X 学期 期末考试试卷 五(10分)证明：设A 为n 级矩阵,()g x 是矩阵A 的最小多项式,则多项式()f x 以A 为根的充要条件是()g x |()f x . 六(10分)设V 是数域P 上的n 维线性空间,A B ,是V 上的线性变换，且=AB BA .证明:B 的值域与核都是A 的不变子空间. 七(10分)设2n 阶矩阵a b a b A b a b a ??????? ? =? ?? ??????? O N N O ,a b ≠,求A 的最小多项式. 八(10分)设f 是数域P 上线性空间V 上的线性变换,多项式()(),p x q x 互素,且满足 ()()0p f q f =(零变换) 求证：()()()(),ker ,ker V W S W p f S q f =⊕==

中国海洋大学 2007-2008学年 第2学期 期末考试 数学科学 学院 《高等代数》试题(A 卷)答案 一.判断题 1.× 2.× 3.× 4.√ 5.√ 二.解：A =???? ????????1111111111111111， 3|(4)E A λλλ-=-｜，所以特征值为0，4（3重）. 将特征值代入，求解线性方程组()0E A x λ-=，得4个线性无关的特征向量（答案可以不唯一），再正交单位化，得4个单位正交向量： 11111 ,,,)'2222α＝( ，2α＝， 3α＝ ，4'α＝. 所以正交阵1 212 102610 2 T ?????? ?=??- ?? ???????? 而40'00T AT ??????=??????. 三.证：(1) ,.A B M ?∈ 验证,A B kA M +∈即可. (2) 令1101 010011 0n E D E -???? ? ??? ??== ????? ?????? O O O ，D 为循环阵， 00n k k k E D E -?? = ??? ，(k E 为k 阶单位阵) 则2 1 ,,,,n n D D D D E -=L 在P 上线性无关.

厦门大学《高等代数》期末试题及答案(数学系)

10-11学年第一学期厦门大学《高等代数》期末试卷 厦门大学《高等代数》课程试卷 数学科学学院 各 系 2010 年级 各 专业 主考教师：杜妮、林鹭 试卷类型：（A 卷） 2011.1.13 一、 单选题（32 分. 共 8 题, 每题 4 分） 1) 设b 为 3 维行向量， 123123 V {(,,)|(,,)} x x x x x x b == ，则____。C A)对任意的b ，V 均是线性空间；B)对任意的b ，V 均不是线性空间；C)只有当 0 b = 时，V 是线性空间；D)只有当 0 b 1 时，V 是线性空间。 2)已知向量组 I ： 12 ,,..., s a a a 可以由向量组 II ： 12 ,,..., t b b b 线性表示，则下列叙述正确的是____。 A A)若向量组 I 线性无关，则s t ￡ ；B)若向量组 I 线性相关，则s t > ； C)若向量组 II 线性无关，则s t ￡ ；D)若向量组 II 线性相关，则s t > 。 3)设非齐次线性方程组AX b = 中未定元个数为 n ，方程个数为m ，系数矩阵 A 的秩为 r ，则____。 D A)当r n < 时，方程组AX b = 有无穷多解； B) 当r n = 时，方程组AX b = 有唯一解；C)当r m < 时，方程组AX b = 有解；D)当r m = 时，方程组AX b = 有解。 4) 设 A 是m n ′ 阶矩阵，B 是n m ′ 阶矩阵，且AB I = ，则____。A A)(),() r A m r B m == ；B)(),() r A m r B n == ；C)(),() r A n r B m == ； D)(),() r A n r B n == 。 5) 设 K 上 3 维线性空间 V 上的线性变换j 在基 123 ,, x x x 下的表示矩阵是 111 101 111 ?? ?÷ ?÷ ?÷ è? ，则j 在基 123 ,2, x x x 下的表示矩阵是____。C A) 121 202 121 ?? ?÷ ?÷ ?÷ è? ； B) 1 2 11 22 1 2 11 0 11 ?? ?÷ ?÷ ?÷ è? ； C)11 22 121 0 121 ?? ?÷ ? ÷ ?÷ è? ；D) 1 2 1 2 11 202 11 ?? ?÷ ?÷ ?÷ è? 。 6) 设j 是 V 到 U 的线性映射，dim V ,dim U n m == 。若m n < ，则j ____。B A)必是单射； B)必非单射； C)必是满射；D)必非满射。

大一上学期(第一学期)高数期末考试题

大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ） 时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()() x x αβ与是等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. = +→x x x sin 2 ) 31(lim . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞-+++= 2 2 221 n n n n n n ππ ππ . 8. = -+? 2 12 12 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求

大一上学期高数期末考试题

大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1.. （A）（B）（C）（D）不可导. 2.. （A）是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B）是等价无穷小； （C）是比高阶的无穷小；（D）是比高阶的无穷小. 3.若，其中在区间上二阶可导且，则（）. （A）函数必在处取得极大值； （B）函数必在处取得极小值； （C）函数在处没有极值，但点为曲线的拐点； （D）函数在处没有极值，点也不是曲线的拐点。 4. （A）（B）（C）（D）. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. . 6. . 7. . 8. . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9.设函数由方程确定，求以及. 10. 11. 12.设函数连续，，且，为常数. 求并讨论在处的连续性. 13.求微分方程满足的解. 四、解答题（本大题10分） 14.已知上半平面内一曲线，过点，且曲线上任一点处切线斜率数值上等于此 曲线与轴、轴、直线所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分） 15.过坐标原点作曲线的切线，该切线与曲线及x轴围成平面图形D. (1)求D的面积A；(2) 求D绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积 V. 六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分） 16.设函数在上连续且单调递减，证明对任意的，. 17.设函数在上连续，且，.证明：在内至少存在两个不同的点，使（提示： 设） 解答 一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)

1、D 2、A 3、C 4、C 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. . 6.. 7. . 8.. 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9.解：方程两边求导 ， 10.解： 11.解： 12.解：由，知。 ，在处连续。 13.解： ， 四、解答题（本大题10分） 14.解：由已知且， 将此方程关于求导得 特征方程：解出特征根： 其通解为 代入初始条件，得 故所求曲线方程为： 五、解答题（本大题10分） 15.解：（1）根据题意，先设切点为，切线方程： 由于切线过原点，解出，从而切线方程为： 则平面图形面积 （2）三角形绕直线x = e一周所得圆锥体体积记为V1，则 曲线与x轴及直线x = e所围成的图形绕直线x = e一周所得旋转体体积为V2 D绕直线x = e旋转一周所得旋转体的体积 六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共12分） 16.证明： 故有： 证毕。

高等代数期末试题及解答xxl

西南财经大学2010 — 2011学年第二学期 周二 学 号 评定成绩 （分） 学生 担任教师 《 高等代数 》 期末 A 卷 一、填空（每小题2分，共10分） 1.设向量空间1212{(,, )|0,}n n i V x x x x x x x R =+++=∈，则V 是 n-1 维空间。 2．A ，B 均为3阶方阵，A 的特征值为1，2，3，1B =-，则*A B B += -84 3．设二次型222 1231231223(,,)22f x x x x x x x x tx x =++++正定，则t 满足t > 4．设矩阵A 满足条件2 560A A E -+=，则矩阵A 的特征值是 2 ，3 5．三维线性空间V 的秩为2，则零度为 1 。 二、单项选择（每小题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号。 每小题2分，共20分） 1．设α是n 阶可逆矩阵A 的属于特征值λ的特征向量，在下列矩阵中，α不是（ D ） 的特征向量 （A ）2 ()A E + （B ）-3A （C ）*A （D ）T A 2．已知A ， B 为同阶正交矩阵，则下列（ C ）是正交阵。 （A ）A B + （B ）A-B （C ）AB （D ）kA 3， 设A 为n 阶方阵，则下列结论不成立的是（ C ） （A ）若A 可逆，则矩阵A 的属于特征值λ的特征向量也是矩阵1 A -的属于特征值 1 λ 的特征向量 （B ）若矩阵A 存在属于特征值λ的n 个线性无关的特征向量，则A E λ=

（C ）矩阵A 的属于特征值λ的全部特征向量为齐次线性方程组()0E A X λ-=的全部解 （D ）A 与T A 有相同的特征值 4．若A 为n 阶实对称矩阵，P 为n 阶正交阵，则1P A P -为（ A ）。 （A ）实对称阵 （B ）正交阵 （C ）非奇异阵 （D ）奇异阵 5．设A ，B 都是正定阵，则（ C ） （A ）AB ，A+B 一定都是正定阵 （B ）AB 是正定阵，A+B 不一定是正定矩阵 （C ）AB 不一定是正定阵，A+B 是正定阵 （D ）AB ，A+B 都不是正定阵 6．当（ C ）时，0a A b c ?? = ??? 是正交阵。 （A ）1,2,3,a b c === （B ）1a b c === （C ）1,0,1a b c ===- （D ）1,0a b c === 7．设A ，B 均为n 阶矩阵，且A 与B 合同，，则( D) （A ）A,B 有相同的特征值 （B ）A,B 相似 （C ）A B = （D ）()()r A r B = 8. 3 R 上的线性变换T 在基1111000,1,0001ααα?????? ? ? ?=== ? ? ? ? ? ???????下的矩阵为 121012111A ?? ? = ? ?-?? 则基在123,2,ααα下的矩阵为（ A ） （A ）141011121?? ? ? ?-?? （B ）141044121?? ? ? ?-?? （C ）1211012111?? ? ? ? ?-?? （D ）242024222?? ? ? ? -?? 9．对于n 阶实对称矩阵A ，结论（ C ）正确。 （A ）A 一定有n 个不同的特征值 （B ）A 一定有n 个相同的特征值 （C ）必存在正交矩阵P ，使1 P AP -成为对角矩阵

高等代数期末卷1及答案

沈阳农业大学理学院第一学期期末考试 《高等代数》试卷（1） 题号 一 二 三 四 五 六 七 总分 得分 一、填空（共35分，每题5分） 1．设4 2 ()49f x x x x =++-, 则(3)f -= 69_ .. 2．当t = _2,-2 .时, 3()3f x x x t =-+有重因式。 3. 令()f x ,()g x 是两个多项式, 且33()()f x xg x +被21x x ++整除, 则 (1)f = 0_ , (1)g = _0 . 4. 行列式 31021 62 10113201 -=-- 23 。 5. 矩阵的积41010311 1321022 01134?? ? --?? ?= ? ??? ??? 9219911--?? ???。 6. 1 500031021-?? ?= ? ??? 1 05011023?? ? ?- ? ? - ??? 7. 1234123412 342202220430 x x x x x x x x x x x x +++=?? +--=??---=?的一般解为 134234523423x x x x x x ? =+??? ?=--?? , 34,x x 任意取值。 得分 班级： 学号： 姓名： 装 订 线

二、（10分）令()f x ,()g x 是两个多项式。求证((),())1f x g x =当且仅当(()(),()())1f x g x f x g x +=。 证：必要性. 设(()(),()())1f x g x f x g x +≠。（1%） 令()p x 为()(),()()f x g x f x g x +的不可约公因式，（1%）则由()|()()p x f x g x 知 ()|()p x f x 或()|()p x g x 。(1%) 不妨设()|()p x f x ，再由()|(()())p x f x g x +得()|()p x g x 。故()|1p x 矛盾。(2%) 充分性. 由(()(),()())1f x g x f x g x +=知存在多项式(),()u x v x 使 ()(()())()()()1u x f x g x v x f x g x ++=,(2%) 从而()()()(()()())1u x f x g x u x v x f x ++=,(2%) 故((),())1f x g x =。(1%) 三、(16分),a b 取何值时，线性方程组 1231231 2321(21)31(3)21 ax bx x ax b x x ax bx b x b ++=?? +-+=??+++=-? 有唯一解、没有解、有无穷解？在有解情况下求其解。 解： 21212131011032100122201011000122a b a b a b b a b b b b b a b b b b ???? ? ?-→- ? ? ? ?+-+-???? -?? ?→- ? ?+-?? (5%) 当2 (1)0a b -≠时，有唯一解：1235222 , (1)+11 b b x x x a b b b ---= ==++，； (4%) 当1b =时，有无穷解：3210,1,x x ax ==-1x 任意取值； 当a 0,5b ==时，有无穷解：14 12333,,,x k x x k ==-=任意取值；(3%) 当1b =-或0 1 5a b b =≠±≠且且时，无解。(4%) 得分 得分

高等代数期末复习试题

数学系《高等代数》期末考试试卷 年级 专业 学号 姓名 注：考试时间120分钟，试卷满分100分 。 ；错误的在题后的括号内打“×”.每小题2分，共18分） 1．向量空间一定含有无穷多个向量. ( ) 2．若向量空间 V 的维数2dim ≤V ,则V 没有真子空间. ( ) 3. n 维向量空间中由一个基到另一个基的过渡矩阵必为可逆矩阵. ( ) 4．线性变换把线性无关的向量组映成线性无关的向量组. ( ) 5．每一个线性变换都有本征值. ( ) 6．若向量ξ是线性变换σ的属于本征值λ的本征向量，则由ξ生成的子空间 为σ的不变子空间. ( ) 7．保持向量间夹角不变的线性变换是正交变换. ( ) 8．两个复二次型等价的充分必要条件是它们有相同的秩. ( ) 9. 若两个n 阶实对称矩阵B A ,均正定,则它们的和B A +也正定. ( ) 号码填在题目的括号内.每小题2分，共10分） 1. 下列命题不正确的是 ( ). A. 若向量组},,,{21r αααΛ线性无关，则它的任意一部分向量所成的向量 组也线性无关； B. 若向量组},,,{21r αααΛ线性相关，则其中每一个向量都是其余向量的 线性组合； C.若向量组},,,{21r αααΛ线性无关，且每一i α可由向量},,,{21s βββΛ 线 装 订 线

性表示，则s r ≤； D. )0(>n n 维向量空间的任意两个基彼此等价. 2. 下列关于同构的命题中，错误的是( ). A ．向量空间V 的可逆线性变换是V 到V 的同构映射； B ．数域F 上的n 维向量空间的全体线性变换所成向量空间与数域F 上的所有n 阶矩阵所成向量空间同构； C ．若σ是数域F 上向量空间V 到W 的同构映射，则1-σ是W 到V 的同构映射； D ．向量空间不能与它的某一个非平凡子空间同构. 3．n 阶矩阵A 有n 个不同的特征根是A 与对角矩阵相似的 ( ). A ．充分而非必要条件； B ．必要而非充分条件； C ．充分必要条件； D. 既非充分也非必要条件． 4．二次型??? ? ?????? ??-=21213211312),(),,(x x x x x x x q 的矩阵是( ). A ．???? ??-1312； B ．??? ? ??1112； C ．????? ??-000013013； D ．???? ? ??000011012 5.实二次型Ax x x x x q '=),,(321正定的充分且必要条件是 ( ). A ．0>A ； B ．秩为3； C ．A 合同于三阶单位矩阵； D ．对某一,0),,(321≠'=x x x x 有0>'Ax x . 1. 复数域C 作为实数域R 上的向量空间，它的一个基是________. 2. 设},,2,1,),,,{(21n i F x x x x F i n n ΛΛ=∈=是数域F 上n 元行空间，对任意n n F x x x ∈),,,(21Λ，定义),,,,0,0()),,,((22121-=n n x x x x x x ΛΛσ，则σ是一个线性变换，且σ的核)(σKer 的维数等于______. 3. 若A 是一个正交矩阵，则2A 的行列式2A =________.

高等代数期末考试试卷及答案

高等代数（II ）期末考试试卷及答案（A 卷） 一、 填空题（每小题3分，共15分） 1、线性空间[]P x 的两个子空间的交()()11L x L x -+= I 2、设12,,...,n εεε与12,,...,n εεε'''是n 维线性空间 V 的两个基， 由12,,...,n εεε到12,,...,n εεε'''的过渡矩阵是C ，列向量X 是V 中向量ξ在基12,,...,n εεε下的坐标，则ξ在基12,,...,n εεε'''下 的坐标是 3、设A 、B 是n 维线性空间V 的某一线性变换在不同基下的矩阵， 则A 与B 的关系是 4、设3阶方阵A 的3个行列式因子分别为：()2 1,,1,λλ λ+ 则其特征矩阵E A λ-的标准形是 5、线性方程组AX B =的最小二乘解所满足的线性方程组是： 二、 单项选择题（每小题3分，共15分） 1、 （ ）复数域C 作为实数域R 上的线性空间可与下列哪一个 线性空间同构： （A ）数域P 上所有二级对角矩阵作成的线性空间； （B ）数域P 上所有二级对称矩阵作成的线性空间； （C ）数域P 上所有二级反对称矩阵作成的线性空间； （D ）复数域C 作为复数域C 上的线性空间。 2、（ ）设A 是非零线性空间 V 的线性变换，则下列命题正确的是： （A ）A 的核是零子空间的充要条件是A 是满射； （B ）A 的核是V 的充要条件是A 是满射；

（C ）A 的值域是零子空间的充要条件是A 是满射； （D ）A 的值域是V 的充要条件是A 是满射。 3、（ ）λ-矩阵()A λ可逆的充要条件是： ()()()()0; A A B A λλ≠是一个非零常数； ()()C A λ是满秩的；()()D A λ是方阵。 4、（ ）设实二次型 f X AX '=（A 为对称阵）经正交变换后化为： 222 1122...n n y y y λλλ+++， 则其中的12,,...n λλλ是： ()()1;A B ±全是正数；()C 是A 的所有特征值；()D 不确定。 5、（ ）设3阶实对称矩阵A 有三重特征根“2-”，则A 的若当 标准形是： ()()()200200200020;120;120;002002012A B C ---?? ?? ?? ? ? ? --- ? ? ? ? ? ?---?????? ()D 以上各情形皆有可能。 三、 是非题（每小题2分，共10分） （请在你认为对的小题对应的括号内打“√”，否则打“?”） 1、（ ）设V 1，V 2均是n 维线性空间V 的子空间，且{}120V V =I 则12V V V =⊕。 2、（ ）n 维线性空间的某一线性变换在由特征向量作成的基下 的矩阵是一对角矩阵。 3、（ ）同阶方阵A 与B 相似的充要条件是E A λ-与E B λ- 等价。 4、（ ）n 维欧氏空间的正交变换在任一基下的矩阵都是正交矩阵。 5、（ ）欧氏空间的内积是一对称的双线性函数。

北京理工大学数学专业高等代数期末试题MTH

2009级数学类高等代数期末考试试题A 卷 班级 学号 姓名 成绩 一、（25分）设()n n M F ?表示域F 上的所有n 阶矩阵构成的F 上的线性空间。取定()n n A M F ?∈，对于任意的()n n X M F ?∈，定义()X AX XA σ=-。 （1）证明：σ为()n n M F ?上的一个线性变换。 （2）证明：对于任意的,()n n X Y M F ?∈都有()()()XY X Y X Y σσσ=+。 （3）当a b A c d ??=???? 时，求σ在给定基 1112212201101111,,,11110110F F F F ????????====???????????????? 下的矩阵表示。 （4）当1402A -??=???? 时，求()Ker σ的一组基与维数。 二、（15分）设数域K 上3维线性空间V 的线性变换A 在V 的一个基123,,ααα下的 矩阵为010440212A ????=-????-??。求线性变换A 的Jordan 标准形。 三、（20分）设A 是域F 上n 维线性空间V 上的一个线性变换，证明：（1）如果W 是A 的一维不变子空间，那么W 中任何一个非零向量都是A 的特征向量；反之，如果ξ是A 的一个特征向量，那么ξ生成的子空间ξ<>是A 的一维不变子空间。 （2）A 可以对角化的充分必要条件是V 可以分解成A 的一维不变子空间的直和。 四、（20分）设22()V M F ?=，在V 中取一个基11122122,,,E E E E 。 （1）求它的对偶基11122122,,,f f f f ，要求写出ij f 的表达式。 （2）求V 上任意一个线性函数f 的表达式。 五、（20分）证明：n 维酉空间V 上的线性变换A 是Hermite 变换A 当且仅当在V 的任意一个标准正交基下的矩阵是Hermite 矩阵。

华中科技大学《高等代数》2015年期末考试题及答案

华中科技大学 高等代数2015年期末考试试卷及答案（A 卷） 一、 填空题（每小题3分，共15分） 1、线性空间[]P x 的两个子空间的交() ()11L x L x -+= 2、设12,,...,n εεε与12,,...,n εεε'''是n 维线性空间 V 的两个基， 由12,,...,n εεε到12,,...,n εεε'''的过渡矩阵是C ，列向量X 是V 中向量ξ在基12,,...,n εεε下的坐标，则ξ在基12,,...,n εεε'''下 的坐标是 3、设A 、B 是n 维线性空间V 的某一线性变换在不同基下的矩阵， 则A 与B 的关系是 4、设3阶方阵A 的3个行列式因子分别为：()2 1,,1,λλ λ+ 则其特征矩阵E A λ-的标准形是 5、线性方程组AX B =的最小二乘解所满足的线性方程组是： 二、 单项选择题（每小题3分，共15分） 1、 （ ）复数域C 作为实数域R 上的线性空间可与下列哪一个 线性空间同构： （A ）数域P 上所有二级对角矩阵作成的线性空间； （B ）数域P 上所有二级对称矩阵作成的线性空间； （C ）数域P 上所有二级反对称矩阵作成的线性空间； （D ）复数域C 作为复数域C 上的线性空间。

2、（ ）设 是非零线性空间 V 的线性变换，则下列命题正确的是： （A ） 的核是零子空间的充要条件是 是满射； （B ） 的核是V 的充要条件是 是满射； （C ） 的值域是零子空间的充要条件是 是满射； （D ） 的值域是V 的充要条件是 是满射。 3、（ ）λ-矩阵()A λ可逆的充要条件是： ()()()()0; A A B A λλ≠是一个非零常数； ()()C A λ是满秩的；()()D A λ是方阵。 4、（ ）设实二次型 f X AX '=（A 为对称阵）经正交变换后化为： 222 1122...n n y y y λλλ+++， 则其中的12,,...n λλλ是： ()()1;A B ±全是正数；()C 是A 的所有特征值；()D 不确定。 5、（ ）设3阶实对称矩阵A 有三重特征根“2-”，则A 的若当 标准形是： ()()()200200200020;120;120;002002012A B C ---?? ?? ?? ? ? ? --- ? ? ? ? ? ?---?????? ()D 以上各情形皆有可能。 三、 是非题（每小题2分，共10分） （请在你认为对的小题对应的括号内打“√”，否则打“?”） 1、（ ）设V 1，V 2均是n 维线性空间V 的子空间，且{}1 20V V = 则12V V V =⊕。 2、（ ）n 维线性空间的某一线性变换在由特征向量作成的基下

南京大学《高等代数》期末考试题及答案

南京大学 高等代数xx 期末考试试卷及答案（A 卷） 一、 填空题（每小题3分，共15分） 1、线性空间[]P x 的两个子空间的交()()11L x L x -+= I 2、设12,,...,n εεε与12,,...,n εεε'''是n 维线性空间 V 的两个基， 由12,,...,n εεε到12,,...,n εεε'''的过渡矩阵是C ，列向量X 是V 中向量ξ在基12,,...,n εεε下的坐标，则ξ在基12,,...,n εεε'''下 的坐标是 3、设A 、B 是n 维线性空间V 的某一线性变换在不同基下的矩阵， 则A 与B 的关系是 4、设3阶方阵A 的3个行列式因子分别为：()2 1,,1,λλ λ+ 则其特征矩阵E A λ-的标准形是 5、线性方程组AX B =的最小二乘解所满足的线性方程组是： 二、 单项选择题（每小题3分，共15分） 1、 （ ）复数域C 作为实数域R 上的线性空间可与下列哪一个 线性空间同构： （A ）数域P 上所有二级对角矩阵作成的线性空间； （B ）数域P 上所有二级对称矩阵作成的线性空间； （C ）数域P 上所有二级反对称矩阵作成的线性空间； （D ）复数域C 作为复数域C 上的线性空间。 2、（ ）设A 是非零线性空间 V 的线性变换，则下列命题正确的是：

（A ）A 的核是零子空间的充要条件是A 是满射； （B ）A 的核是V 的充要条件是A 是满射； （C ）A 的值域是零子空间的充要条件是A 是满射； （D ）A 的值域是V 的充要条件是A 是满射。 3、（ ）λ-矩阵()A λ可逆的充要条件是： ()()()()0; A A B A λλ≠是一个非零常数； ()()C A λ是满秩的；()()D A λ是方阵。 4、（ ）设实二次型 f X AX '=（A 为对称阵）经正交变换后化为： 222 1122...n n y y y λλλ+++， 则其中的12,,...n λλλ是： ()()1;A B ±全是正数；()C 是A 的所有特征值；()D 不确定。 5、（ ）设3阶实对称矩阵A 有三重特征根“2-”，则A 的若当 标准形是： ()()()200200200020;120;120;002002012A B C ---?? ?? ?? ? ? ? --- ? ? ? ? ? ?---?????? ()D 以上各情形皆有可能。 三、 是非题（每小题2分，共10分） （请在你认为对的小题对应的括号内打“√”，否则打“?”） 1、（ ）设V 1，V 2均是n 维线性空间V 的子空间，且{}120V V =I 则12V V V =⊕。 2、（ ）n 维线性空间的某一线性变换在由特征向量作成的基下 的矩阵是一对角矩阵。 3、（ ）同阶方阵A 与B 相似的充要条件是E A λ-与E B λ- 等价。

北京大学数学科学学院期末试题-高等代数-2012

01 北京大学数学学院期末试题 2011－ 2012学年第一学期 考试科目 高等代数 I 考试时间 2012年 1 月 3 日 姓 名 学 号 1 1 10分）已知 n 阶方阵 A = 11 求矩阵 X , 使得 A X = B . 解: 对矩阵 [ A | B ] 作初等行变换 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 2 2 2 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 2 3 3 0 1 1 0 1 2 2 0 1 1 1 1 1 2 3 n 0 1 1 1 0 1 2 n1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 n 2 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 01

110 二(. 15分)设 A : X A X 是 R 3 上的线性变换 , 其中 A = 1 1 2 002 (1) 求线性变换 A 像空间的维数和一组基 ; (2) 求矩阵 A 的特征值与特征向量 ; (3) 判断矩阵 A 能否对角化并说明理由 . 解: (1) 在标准基下 , A 像空间就是矩阵 A 的列空间 , 它的一组基 10 为 1 , 2 , 维数是 2 . 02 22 (λ 2) (λ2 2λ) λ(λ 2) 2 A 的特征值为 = 2 ( 代数二重 ), 0 . 对 = 2 解齐次方程组 ( A - 2 I ) X = 0 : 1 1 0 1 1 0 1 1 2 001 0 0 0 000 通解为 x 1 = x 2 , x 3 = 0 , x 2 为自由变量 . 写成向量形式 x 1 x 2 1 x 2 x 2 x 2 1 x 3 α1 = [ 1 1 0 ] T 构成 = 2 特征子空间的一组基 . (2) | λI A | 1 10 λ 1 2 0 λ 2 ( λ 2)

解答-华南农业大学2011高等代数1期末试卷

2011学年第一学期 高等代数Ⅰ(A 卷) 一、选择题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分） 1. 注：此题不考 2. 已知方阵33()ij A a ?=的第1行元素分别为111=a ，212=a ，113-=a ， 且知A 的伴随矩阵*732537425A --?? ? =- ? ?-?? ，则A =（ B ） A . 0 B . -1 C . 1 D . 以上答案都不对 分析： A 的第一行元的代数余子式111213,,A A A 就是*A 的第一列元-7,5,4 所以按照A 的第一行元展开得 111112121313=1-7+25+-=-A a A a A a A =++???（ 1）41。 注意：行列式按本行（列）展开的值为A ，串行（列）展开的值为“0” 内容见课本78页定理3. 3. 下列命题中与命题“n 阶方阵A 可逆”不等价．．． 的是（ ） A . 0A ≠ B . ()R A n = C . 方程组0Ax =有非零解 D . A 的行（列）向量组线性无关 分析：n 阶方阵A 可逆 0A ?≠?判断矩阵可逆的常用方法 0(A)=n A A R ≠??满秩 (A)=n A R A n n ??的行（列）向量组的秩为n 的的个行（列）向量无关 00A Ax ≠?=方程个数与未知数个数相等的齐次线性方程组只有零解 注意：此题改为与“n 阶方阵A 不可逆”的等价条件是？ 4. 设,A B 为n 级矩阵，则下列结论错误的是（ A ） A . A B A B +=+ B . AB BA = C . ()T T T AB B A = D . ()T T T A B A B +=+ 分析：A B A B +=+，纯属杜撰，无此公式