选修4-2矩阵与变换习题概要

第一讲二阶矩阵、二阶矩阵与平面向量的乘法、二阶矩阵与线性变换。

一、二阶矩阵 1.矩阵的概念

①OP → =

→的坐标排成一列，并简记为??????

2 3

????

??

2 3

③

概念一：

象??????2 3 80908688??

????

23324m ????-??的矩形数字（或字母）阵列称为矩阵.通常用大写的拉丁字母A 、B 、C…表示， 横排叫做矩阵的行,竖排叫做矩阵的列. 名称介绍：

①上述三个矩阵分别是2×1矩阵，2×2矩阵（二阶矩阵），2×3矩阵，注意行的个数在前。 ②矩阵相等：行数、列数相等，对应的元素也相等的两个矩阵，称为A ＝B 。 ③行矩阵：[a 11,a 12]（仅有一行）

④列矩阵：????

??

a 11 a 21 （仅有一列）

⑤向量a →

＝（x,y ），平面上的点P （x,y ）都可以看成行矩阵[,]x y 或列矩阵x y ??

????

，在本书中规定所有的平面向量均写成列向量x y ??????

的形式。 练习1：

1.已知??????-=243x A ,??

?

???-=21z y B ，若A=B ，试求z y x ,,

2.设23x A y ??=????，2m n x y B x y m n ++??

=??--??

，若A=B ，求x,y,m,n 的值。

概念二：

由4个数a,b,c,d 排成的正方形数表a b c d ??

?

???称为二阶矩阵。a,b,c,d 称为矩阵的元素。 ①零矩阵：所有元素均为0，即0000??

????

，记为0。

②二阶单位矩阵：1001??

??

??

，记为E 2. — 2 — 3

— ????

??80 90

86 88

231,3242x y mz x y z ++=??-+=?简记为23324m ????-??

二、二阶矩阵与平面向量的乘法

定义：规定二阶矩阵A=a b c d ??????，与向量x y α→??=????

的乘积为ax by A cx dy α→+??=??+??，即A α→＝a b c d ??????x y ??????＝ax by cx dy +????

+?? 练习2：

1.（1）?

?????????

??-131021＝ （2） ????????????-311021＝

2.??????2101??????y x =??????-11，求??

????y x 三、二阶矩阵与线性变换 1.旋转变换

问题1:P （x,y ）绕原点逆时针旋转180o

得到P ’

(x ’

,y

’

),称P ’

为P 在此旋转变换作用下的象。其结果为''x x

y y

?=-?=-?，

也可以表示为''00x x y y x y ?=-+??=?-?

，即''x y ??????＝1001-????

-????

????y x ＝x y -??

??-??怎么算出来的？

问题2. P （x,y ）绕原点逆时针旋转30o 得到P ’(x ’,y ’),试完成以下任务①写出象P ’

； ②写出这个旋转变换的方程组形式；③写出矩阵形式. 问题3.把问题2中的旋转30o

改为旋转α角，其结果又如何？

2.反射变换

定义：把平面上任意一点P 对应到它关于直线l 的对称点P ’

的线性变换叫做关于直线l 的反射。

研究：P （x,y ）关于x 轴的反射变换下的象P ’(x ’,y ’

)的坐标公式与二阶矩阵。

3.伸缩变换

定义：将每个点的横坐标变为原来的1k 倍，纵坐标变为原来的2k 倍，（1k 、2k 均不为0），这样的几何变换为伸缩变换。

试分别研究以下问题：

①.将平面内每一点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变的伸缩变换的坐标公式与二阶矩阵.

②. 将每个点的横坐标变为原来的1k 倍，纵坐标变为原来的2k 倍的伸缩变换的坐标公式与二阶矩阵.

4.投影变换

定义：将平面上每个点P 对应到它在直线l 上的投影P ’

（即垂足），这个变换称为关于直线l 的投影变换。 研究：P （x,y ）在x 轴上的（正）投影变换的的坐标公式与二阶矩阵。

5.切变变换

定义：将每一点P （x,y ）沿着与x 轴平行的方向平移ky 个单位，称为平行于x 轴的切变变换。将每一点P （x,y ）沿着与y 轴平行的方向平移kx 个单位，称为平行于y 轴的切变变换。 研究：这两个变换的坐标公式和二阶矩阵。 练习：P 10 1.2.3.4

四、简单应用

1.设矩阵A=1001-??

?

?

??

，求点P(2,2)在A 所对应的线性变换下的象。

练习：P 13 1.2.3.4.5

【第一讲.作业】

1.关于x 轴的反射变换对应的二阶矩阵是

2.在直角坐标系下，将每个点绕原点逆时针旋转120o

的旋转变换对应的二阶矩阵是

3.如果一种旋转变换对应的矩阵为二阶单位矩阵，则该旋转变换是

4.平面内的一种线性变换使抛物线2y x =的焦点变为直线y=x 上的点，则该线性变换对应的二阶矩阵可以是

5.平面上一点A 先作关于x 轴的反射变换，得到点A 1,在把A 1绕原点逆时针旋转180o

，得到点A 2，若存在一种反射变换同样可以使A 变为A 2，则该反射变换对应的二阶矩阵是

6.P （1，2）经过平行于y 轴的切变变换后变为点P 1(1,-5)，则该切变变换对应的坐标公式为

7. 设1

21x A x y ??=??

-??

，2242z x B x ??-=??-??，且A=B.则x ＝ 8.在平面直角坐标系中，关于直线y=-x 的正投影变换对应的矩阵为

9.在矩阵1221A -??

=??

??

对应的线性变换作用下，点P(2,1)的像的坐标为 10.已知点A （2，－1），B （－2，3），则向量AB →在矩阵11202??????-??

对应的线性变换下得到的向量坐标为 11.向量a →在矩阵1201A -??=??

??

的作用下变为与向量11??

??-??平行的单位向量，则a →＝ 12.已知15234A ??-??=??-??

，a →＝12-??????，b →＝34??????，设a b α→→→=+，a b β→→→=-，①求A α→，A β→；

13.已知1012A ??=??

-??，a →＝11????-??，b →＝1x ??????

，若A a →与A b →的夹角为135o

，求x.

14.一种线性变换对应的矩阵为1010??

??-??

。①若点A 在该线性变换作用下的像为（5，－5）,求电A 的坐标；②解

释该线性变换的几何意义。

15.在平面直角坐标系中，一种线性变换对应的二阶矩阵为01

102????????

。求①点A （1/5,3）在该变换作用下的像；

②圆22

1x y +=上任意一点00(,)P x y 在该变换作用下的像。

答案：1.1001?? ?-??

2. 1212?- ??-?

?

3. 360o

R 4.00a a ?? ??? 5.1001-?? ???6.''

2x x

y x y ?=?=-+? 7.－1 8. 1

1221122??- ? ? ?

- ??? 9.（0，5） 10.（2，8）

11.2

??

，2? - ?

?

12.718-?? ?-??、194?? ?-??

13.ｘ＝2/3 14.(5,y) 15. 1532??

? ? ? ???

,2o o

x y ??

? ? ???

第二讲 线性变换的性质·复合变换与二阶矩阵的乘法

一、数乘平面向量与平面向量的加法运算

1.数乘平面向量：设x y α→

??=????，λ是任意一个实数，则x y λλαλ→??

=????

2.平面向量的加法：设11x y α→??=????，22x y β→??=????，则1212x x y y αβ→→+??+=??+??

性质1：设A 是一个二阶矩阵，,αβ→→

是平面上的任意两个向量，λ是任意一个实数，则①数乘结合律：

()A A λαλα→

→

=；②分配律：()A A A αβαβ→

→

→

→

+=+

【探究1】对以上的性质进行证明，并且说明其几何意义。

二、直线在线性变换下的图形

研究y kx b =+分别在以下变换下的像所形成的图形。

①伸缩变换：1002??

?

???

②旋转变换：121

2?-??

??? ③切变变换：1201??

????

④特别地：直线x=a 关于x 轴的投影变换？

性质2：二阶矩阵对应的变换（线性变换）把平面上的直线变成 . （证明见课本P 19）

三、平面图形在线性变换下的像所形成的图形

分别研究单位正方形区域在线性变换下的像所形成的图形。 ① 恒等变换：1001??

????

②旋转变换：cos sin sin cos αααα-??

?

???

③切变变换：101k ??

????

④反射变换：1001??

??-??

⑤投影变换：1000??

????

【练习：P 27】 【应用】

试研究函数1

y x =

在旋转变换22-???

?

?

作用下得到的新曲线的方程。

四、复合变换与二阶矩阵的乘法

1.研究任意向量x y α→??

=????

先在旋转变换30o R

：1212?

-??

???

作用，再经过切变变换ρ：1201????

??作用的向量''x y ??????

2.二阶矩阵的乘积

定义：设矩阵A ＝1111a b c d ??????，B ＝2222a b c d ??

????

，则A 与B 的乘积

AB ＝1111a b c d ??????2222a b c d ??????

＝

【应用】

1.计算???21 ???11-???21 ??

?

10＝

2.A ＝cos sin αα??? -s i n c o s αα???，B ＝cos sin ββ??? -s i n c o s β

β???

，求AB

3.求13α→

??=????在经过切变变换σ：A=1021????-??，及切变变换ρ：B=1201??????

两次变换后的像β→。

4.设压缩变换σ：A ＝10210????????，旋转变换90o R ：B ＝0110-??????，将两个变换进行复合σ?90o R ，①求向量23α→??=????在复合变换下的像；②求x y α→??

=????

在复合变换下的像；③在复合变换下单位正方形变成什么图形？

5.试研究椭圆22134x y +=①伸缩变换：0.5001??????②旋转变换：

1212?-?????；③切变变换：1201??????；④反射变换：1001????-??；⑤投影变换：1000??????

五种变换作用下的新曲线方程。

进一步研究在④②，①④等变换下的新曲线方程。

【练习：P 35】

【第二讲.作业】A.B.C.D.

1.下列线性变换中不会使正方形变为其他图形的是（ ） A.反射变换 B.投影变换 C.切变变换 D.伸缩变换

2. 在切变变换ρ：1021??

?

?-??

作用下，直线y=2x-1变为 3. 在A ＝0.5121-??

??

??作用下，直线l 变为y=-2x-3,则直线l 为 4.在1010????-??

对应的线性边变换作用下，椭圆22

124x y +=变为

5.已知平面内矩形区域为12x i x j →

→

+（0≤x 1≤1,0≤x 2≤2）,若一个线性变换将该矩形变为正方形区域，则该线性变换对应的矩阵为

6.将椭圆22

134x y +=绕原点顺时针旋转45ｏ后得到新的椭圆方程为 7.在1010????

??

对应的线性边变换作用下，圆(x+1)2+(y+1)2=1变为 8.计算：

①1324??

???1104-??

???＝ ②2111?? ???1011-?? ?-??＝ ③1011-?? ?-??2111?? ???＝

9.向量12?? ???

经过1101?? ???和1011?? ???两次变换后得到的向量为

10.

向量1??

先逆时针旋转45o ，再顺时针旋转15o

得到的向量为

11.函数sin()3y x π

=-

的图像经过2001?? ???的伸缩变换，和1001-??

???

的反射变换后的函数是 12. 椭圆22

143x y +=先后经过反射变换0110?? ???和伸缩变换1000.5?? ???后得到的曲线方程为 13.已知Ｍ＝2111?? ???，且ＭＮ＝1201??

???

，求矩阵Ｎ。

14.分别求出在1020????-??、0.5001??????、1000??????

对应的线性边变换作用下，椭圆22

14x y +=变换后的方程，并作出

图形。

15.函数1y x =先后经过怎样的变换可以得到22

144

x y -=？写出相应的矩阵。

答案：1.Ａ 2.y=-1 3.3x-y+3=0 4.y=-x 5. 01102?? ?

?

??

6.22772240x y xy ++-=

7.y=x （－2≤x ≤0）

8. 113218-?? ?-??、1101--?? ?-?? 、2101--?? ???

9.35?? ???

10. 1?? 11.sin()23x y π

=-+ 12.2213x y += 13. 1110?? ?-??

14.y=-2x(－2≤x ≤2)、y=0(－2≤x ≤2)、22

1x y +=

15. 00

??

22? - ??

＝1111-?? ?-??

第三讲 矩阵乘法的性质·逆变换、逆矩阵

二、矩阵乘法的性质 1.设Ａ＝0111???

???，Ｂ＝1123-????-??，Ｃ＝0110??

??

??

由A 、B 、C 研究矩阵是否满足，①结合律；②交换律；③消去律。 结论：

2.由结合律研究矩阵Ａ的乘方运算。

3.单位矩阵的性质

【应用】 1.设Ａ＝0111??

?

???

，求Ａ8

2. 【练习：P 41】

二、逆变换与逆矩阵

1.逆变换：设ρ是一个线性变换，如果存在一个线性变换σ，使得

σρ＝ρσ＝I ，（I 是恒等变换）则称变换ρ可逆，其中σ是ρ的逆变换。

2.逆矩阵：设Ａ是一个二阶矩阵，如果存在二阶矩阵Ｂ，使得BA=AB=E 2,则称矩阵Ａ可逆，其中Ｂ为Ａ的逆矩阵。

符号、记法：1

A -，读作Ａ的逆。 【应用】

1.试寻找Ｒ30o 的逆变换。

【应用】

1.A ＝3142?? ?

??，问A 是否可逆？若可逆，求其逆矩阵1

A -。 2. A ＝2142?? ???

，问A 是否可逆？若可逆，求其逆矩阵1

A -。

由以上两题，总结一般矩阵A ＝a b c d ??

???

可逆的必要条件。

三、逆矩阵的性质

1.二阶矩阵可逆的唯一性。

2.设二阶矩阵A 、B 均可逆，则AB 也可逆，且111()AB B A ---=

【练习：P 50】

【第三讲.作业】

1.已知非零二阶矩阵A 、B 、C ，下列结论正确的是 （ ） A.AB=BA B.(AB)C=A(BC) C.若AC=BC 则A=B D. 若CA=CB 则A=B

2.下列变换不存在逆变换的是 （ ） A.沿x 轴方向，向y 轴作投影变换。 B.60o R 变换。 C.横坐标不变，纵坐标增加横坐标的两倍的切变变换。 D.以y 轴为反射变换

3.下列矩阵不存在逆矩阵的是 （ ）

A. 0110?? ???

B. 0.5001??

??? C. 0110-?? ??? D. 1010?? ??? 4.设A,B 可逆，下列式子不正确的是 （ ） A.111()AB A B ---= B. 111()AB B A ---= C.11()A A --= D. 2112()()A A --=

5.0110N -??=

???

，则Ｎ2

＝

6. 1011?? ???1002?? ???1101?? ???0111?? ???＝

7.1203?? ???2312?? ???4624-?? ?-??

＝

8.设1021A ??= ???，0210B ??= ???则向量11??

?-??

经过先Ａ再Ｂ的变换后的向量为 经过先Ｂ再A 的变

换后的向量为

9.关于x 轴的反射变换对应矩阵的逆矩阵是

10.变换ρ将（3，2）变成（1，0），设ρ的逆变换为ρ－1，则ρ－1

将（1，0）变成点

11.矩阵0111??

???

的逆矩阵为 12.设ρ：''x y ?? ???＝1101-?? ???x y ??

???

，点（－2，3）在ρ

－1

的作用下的点的坐标为

13.A ＝1101-?? ??

?12212?

- ??

?

?

，则1A -= 14.△ABC 的顶点A(0,0),B(2,0),C(0,1)。如果将三角形先后经过1101??

???和1011?? ???

两次变换变成△A ‘B ’C ’

,求△A ‘B ’C ’

的面积。

15.已知A

＝1212?

???

?

，B ＝2001?? ???

，求圆221x y +=在1()AB -变换作用下的图形。

16.已知2102A ??=

???

，试分别计算：2A ,3A ,4A ,n

A 答案：1.

B 2.A 3.D 4.A 5. 1001-?? ?-?? 6. 1234?? ??? 7. 2406?? ??? 8.21?? ???、23-?? ?

-??

9. 1001??

?-?? 10.（3，2） 11. 1110-?? ???

12.（1，3）

13. 12? ? 14.1 15.2241x y += 16. 2

4404A ??= ???

、381208A ??= ???、41632016A ??= ???、12202n n n n n A -??= ?

?? 第四讲 二阶行列式与逆矩阵·逆矩阵与二元一次方程组

一.二阶行列式与逆矩阵

【概念】

如果矩阵A ＝a b c d ??

???

是可逆的，则ad bc -≠0. 其中ab cd -称为二阶行列式，记作a b c d ，即a b c d ＝ad bc -，ad bc -也称为行列式a b

c d

的展开式。符号

记为：detA 或|A|

【可逆矩阵的充要条件】

定理：二阶矩阵A ＝a b c d ??

???可逆，当且仅当detA=ad bc -≠0.此时

1

det det det det d

b A A A

c a A A --?? ?= ?- ? ???

（请同学一起证明此定理）

【应用】

1.计算二阶行列式： ①

3142

②

2

2

13

λλ-- 2.判断下列二阶矩阵是否可逆，若可逆，求出逆矩阵。 ①A ＝0110??

?-??

②B ＝1100?? ???

【练习：P 55】

二、二元一次方程组的矩阵形式 1.二元一次方程组的矩阵形式 一般的，方程组ax by e

cx dy f

+=??

+=?可写成矩阵形式为：

2. 二元一次方程组的线性变换意义 设变换ρ：a b c d ??

???，向量x y ?? ???、e f ?? ???，则方程组ax by e cx dy f

+=??+=?，意即：ρx y ?? ???＝e f ??

???

三、逆矩阵与二元一次方程组

1.

研究方程组：1

322112x y x y -=????+=??的矩阵形式与逆矩阵的关系。

【定理】如果关于x,y 的二元一次方程组ax by e cx dy f

+=??

+=?的系数矩阵A ＝a b c d ??

???是可逆的，则该方程组有唯一解：

x y ?? ???＝1

a b c d -?? ??

?e f ??

???

【推论】关于x,y 的二元一次方程组0

ax by cx dy +=??+=?（a,b,c,d,均不为0），有非零解?a b c d ＝0

【应用】

1.用逆矩阵解二元一次方程组32

420

x y x y +=??+=?

【思考】课本60页思考

ax by e cx dy f

+=??+=?的系数矩阵A ＝a b c d ??

???不可逆，方程组的解如何？

【练习：P 61】 【应用】

1.λ为何值时，二元一次方程组a b c d ?? ???x y ??

???

＝λ

x y ??

???

有非零解？

三、三阶矩阵与三阶行列式 1.三阶矩阵的形式

2.三阶行列式的运算 【第四讲.作业】

1.矩阵A ＝3142??

???，则|A|=

2.矩阵A ＝21510x ??

???

，若A 是不可逆的，则x=

3. 1234??

?-??的逆矩阵为

4. A ＝1031?? ?-??，B ＝1201-?? ???，则1

()AB -＝

5. A ＝312x ?? ?

-??

，31α??= ?-??，若A 不可逆，则A α＝ 6.若关于x,y 的二元一次方程组30

4110x my x y +=??-=?

有非零解，则m ＝

7.设二元一次方程组224m ?? ?-??x y ?? ???＝x y ??

???

没有非零解，则m 所有值的集合为

8.向量α在旋转变换60o R 的作用下变为13-??

???

，则向量α＝

9. 若1301?? ???x y ?? ???＝12?? ???，则x+y ＝

10. A ＝3110-?? ???，B ＝3201-?? ???，向量α满足1

()AB α-＝31?? ???

，则向量α＝

11.用逆矩阵的方法解方程组： ①71130x y x y -=??

+=? ②30

1240

x y x y -=??-=?

12.求下列未知的二阶矩阵X ：

①12323111X -????= ? ?-???? ②1

23

23

111X -????=

? ?-???? 13.当λ为何值时，二元一次方程组2

21

3??

???x y ?? ???

＝λx y ??

???

有非零解？

14.设A ＝1211?? ?-??，矩阵B 满足1

ABA -＝3012?? ???

，求矩阵B.

答案：1.2

2. 3. 2

155311010??- ?

? ? ???

4. 7231-?? ?-??

5.155?? ???

6.-33/4

7.32m ≠-

8. 12?? ? ? ? ???

9.－3 10. 30?? ??? 11.11,66x y ==- x=k,y=3k 12. 1

47710577?? ? ? ?-- ???、38774177??- ? ? ?-- ??? 13.1或4 14. 523321033??- ?

? ? ???

第五讲 变换的不变量与特征向量

一. 特征值与特征向量 【探究】

1. 计算下列结果：

1001?? ?-??0a ?? ???＝ 1001?? ?-??0b ?? ???

＝ 以上的计算结果与0a α→

??= ???，0b β→??

= ???

的关系是怎样的？

2. 计算下列结果：

1002?? ???0a ?? ???＝ 1002?? ???0b ?? ???

＝ 以上的计算结果与0a α→

??= ???，0b β→??

= ???

的关系是怎样的？

【定义】

设矩阵A ＝a b c d ??

???

，如果存在实数λ及非零向量ξ，使得A ξλξ=，则称λ是矩阵A 的一个特征值。

ξ是矩阵A 的属于特征值的一个特征向量。

（结合探究1、2说明，特征值与特征向量）

【定理1】

如果ξ是矩阵A 的属于特征值λ的一个特征向量，则对任意的非零常数k ，k ξ也是矩阵A 的属于特征值λ的特征向量。

其几何意义是什么？ 【定理2】

属于矩阵的不同特征值的特征向量不共线。 【应用】

从几何角度解释旋转变换122122?

-??

????

的特征值与特征向量。

二、特征值与特征向量的计算 1. 设A ＝2213??

???

，求A 的特征值及属于每个特征值的一个特征向量。

【总结规律】

一般的，矩阵A ＝a b c d ??

???

的特征值及属于每个特征值的一个特征向量的求法。

【应用】 求A ＝1214??

?-??

的特征值及属于每个特征值的一个特征向量。

【练习：P 70】 【第五讲.作业】

1.设反射变换'

'

:x x

y y

σ?=?=-?对应的矩阵为A ，则下列不是A 的特征向量的是

（ ）

A.01?? ???

B. 10?? ???

C. 01?? ?-??

D. 11?? ???

2.下列说法错误的是 （ ）

A.矩阵A 的一个特征向量只能属于A 的一个特征值

B.每个二阶矩阵均有特征向量

C.属于矩阵A 的不同特征值的特征向量一定不共线

D. 如果ξ是矩阵A 的属于特征值λ的一个特征向量，则对任意的非零常数k ，k ξ也是矩阵A 的属于特征值λ的特征向量。

3.设1λ，2λ分别是恒等变换与零变换的特征值，则1λ－2λ＝

4.投影变换:σ0001??

???

的所有特征值组成的集合为 5.矩阵a b c d ??

???

的特征多项式为 6.已知A 是二阶矩阵，且A 2

＝0，则A 的特征值为

7.若0是矩阵A ＝110x ??

???

的一个特征值，则A 的属于0的特征向量为 8.已知1、2是矩阵A ＝13m n ?? ???

的特征值，则1

A -＝

9.若向量12?? ???是矩阵122m ??

???

的一个特征向量，则m ＝

10.求下列矩阵的特征值及其对应的所有特征向量：①0140??

???

②1011-?? ??? ③3452?? ???

11.已知向量0k ?? ???是矩阵102m ??

???的一个特征向量，求m 的值。

12.设A ＝23a b ?? ???，分别求满足下列条件的所有矩阵A ：①12-?? ???是A 的属于2的一个特征向量。②12-??

???

是A 的

一个特征向量。

13.对任意实数x ，矩阵322x m m +??

?-??

总存在特征向量，求m 的取值范围。

14设A 是可逆的二阶矩阵，求证：①A 的特征值一定不是0；②若λ是A 的特征值，则1/λ是A －1

的特征值。

1.Ｄ

2.Ｂ

3.１

4.｛0，1｝

5.2

()()f a d ad bc λλλ=-++- 6.0 7.k k ??

?-??

8. 103122?? ? ?-??

9.１ 10.①2,02k k k λ??=≠ ??? 或2,02k k k λ??=-≠ ?-??；②01,0k k λ??=≠ ???

或

21,0k k k λ??=-≠

?-??③7,0k k k λ??=≠ ???或42,05k k k λ??

=-≠ ?-??

11.ｍ＝0

12.①02732?? ? ???

②122332λλ?

?- ? ? ?

+ ???

13.－3≤ｍ≤2 14.①有特征多项式证明；②A αλα=

11()()A A A αλα--∴=， 11()()A A αλαλα--∴== 11

A ααλ

-∴= ∴得征。

第六讲 特征向量的应用

一. n

A α的简单表示 【探究1】

关于x 轴的反射变换σ的坐标公式为：

相应的二阶矩阵为A ＝

矩阵A 的特征值为：

对应于每个特征值的特征向量为：

试研究对特征向量作了n 次变换后的结果：

【定义】

设矩阵A ＝a b c d ?? ???

， α是矩阵A 的属于特征值λ的任意一个特征向量，则n n

A αλα= （*n N ∈）

【探究2】

设探究1中的两个特征向量为1ξ、2ξ，因为这两个向量不共线，所以平面上任意一个向量α可以用1ξ、2ξ为基底表示为： 试研究n

A α的值。 【性质1】

设1λ、2λ是二阶矩阵A 的两个不同特征值，1ξ、2ξ是矩阵A 的分别属于特征值1λ、2λ的特征向量，对于平面上任意一个非零向量α，设1122t t αξξ=+，则n

A α＝111222n n t t λξλξ+

【应用】

1. 【P 76 1、2】

2.人口迁移问题课本P 73

【第五讲.作业】

1.求矩阵A ＝00a a ??

???

的特征值及其对应的所有特征向量。

2.①设λ是矩阵A 的一个特征值，求证：2

λ是2A 的一个特征值。②若2A ＝A 。求证A 的特征值为0或1。

3.设ξ是矩阵A 的属于特征值λ的一个特征向量，求证：ξ是n

A 的属于特征值n

λ的一个特征向量。

【4－2综合·作业】 一、选择题 1.设矩阵A ＝2

190x -??

???，B ＝259x a b --??

???

，若A ＝B ，则x 的值为（ ）

A.3

B.9

C.-3

D.±3 2.矩阵0110-??

???的逆矩阵为 （ ） A. 011

0?? ?-?? B. 1001-?? ??? C. 1001?? ?-?? D. 0110-?? ??? 3.矩阵A ＝1231?? ???，23v -??

= ???

，则Av ＝ （ ）

4.在矩阵2001?? ?-??

对应的线性变换作用下，椭圆22

14x y +=对应的曲线为

（ ）

A.2

2

1x y += B. 22116x y += C. 22

1x y -= D. 22116

x y -= 5.关于矩阵乘法，下列说法正确的是 （ ）

A.不满足交换律，但满足消去律

B. 不满足交换律和消去律

C.满足交换律，但不满足消去律

D. 满足交换律和消去律

6.下列矩阵对应的变换可以把直线1y x =-变为一个点的是 （ ）

A. 1111-??

?-?? B. 1010?? ?-?? C. 1010?? ??? D. 1000??

???

7.Ａ是可逆二阶矩阵，且2

A A =，则A 的特征值为 （ ）

A.0

B.1

C.－1

D.0或1

8.矩阵Ａ＝3122-??

?-??

对应的变换把矩形12x i x j +（103x ≤≤，201x ≤≤）变为

（ ）

A.正方形

B.平行四边形

C.三角形

D.一般四边形 二、选择题

9.2

a c

b d

＝ 10. 1011?? ???1002?? ???1101?? ???0111?? ???

＝

11.设Ａ＝124m ?? ?-??，若存在非零向量ξ使得A ξ＝00??

???

，则ｍ＝

12.坐标平面内某种线性变换将椭圆2

212y x +=的焦点变到直线2y x =上，则该变换对应的矩阵a b c d ?? ???

中的a 、b 、c 、d 应满足关系为

13.已知a 、b 、c 为实数，A 、B 、C 为二阶矩阵，通过类比得出下列结论: ①“若a=b,则ac=bc ”，类比“若A=B,则AC=BC ”；

②“若ac=bc ，且0c ≠，则a=b ”,类比“若AC=BC ，且Ｃ为非零矩阵，则Ａ＝Ｂ”；③“若ab=0,则a=0或b=0”类比“若AB=0000?? ???,则Ａ＝0000?? ???或Ｂ＝0000?? ???”；④“若2

0a =，则0a =”类比“若2A ＝0000?? ???

，则Ａ

＝0000??

???

”

。其中不正确的为 三、解答题

14.①解二元一次方程2312??

???x y ?? ???＝31??

?-??

；②求满足X 2312?? ???＝3211?? ?-??

的二阶矩阵X 。

15.设Ａ＝3241??

???

，求Ａ的特征值及所有的特征向量。 16.已知矩阵Ａ＝12532-??

? ???，向量ξ＝416??

???，求3A ξ。

17.若ｘ＝cos sin sin cos θθ

θθ

，求2()23f x x x =+-的最值。

18.若某种线性变换把向量12α??= ???，32b -??=

?

-??

，分别变为向量'24α-??= ???，'

51b ??= ???，求：①该变换对应的矩阵；②线段21y x =-（－2≤x ≤1）在该变换下所得曲线的方程。

CAABB ABB 9.2ad-2bc 10. 1234??

??? 11.-2 12.d=2b 13.②③④ 14. 95?? ?

-??

、4535-??

?-?? 15. 1,02k k k λ??=-≠ ?-?? 或5,0k k k λ??=≠ ??? 16. 400952?? ???

17.[]0,4 18. 312451324??-- ?

? ?- ???

、

11717

2()444

y x x =---≤≤

【苏教版】高中数学选修4-2《矩阵与变换》.2.4 旋转变换

选修4－2矩阵与变换 2.2.4 旋转变换 编写人： 编号：005 学习目标 1、 理解可以用矩阵来表示平面中常见的几何变换。 2、 掌握旋转变换的几何意义及其矩阵表示。 学习过程： 一、预习： （一）阅读教材，解决下列问题： 问题1：P （x,y ）绕原点逆时针旋转180o 得到P ’(x ’,y ’),称P ’为P 在此旋转 变换作用下的象。其结果为''x x y y ?=-?=-?，也可以表示为''00x x y y x y ?=-+??=?-?，即''x y ??????＝ 1001-????-????????y x ＝x y -????-??怎么算出来的？ 归纳： 问题2：P （x,y ）绕原点逆时针旋转300得到P ’(x ’,y ’),试完成以下任务①写出象P ’； ②写出这个旋转变换的方程组形式；③写出矩阵形式. 问题3：把问题2中的旋转300改为旋转α角，其结果又如何？ 练习

1、在直角坐标系下，将每个点绕原点逆时针旋转120o 的旋转变换对应的二阶矩阵是 2、如果一种旋转变换对应的矩阵为二阶单位矩阵，则该旋转变换是 二、课堂训练： 例1．已知A(0,0),B(2,0),C(2,1),D(0,1),求矩形ABCD 绕原点逆时针旋转900后所得到的图形，并求出其顶点坐标，画出示意图. 例2、若△ABC 在矩阵M 对应的旋转变换作用下得到△A ′B ′C ′，其中A （0，0），B （1，3），C （0，2），A ′（0，0）， C ′（-3，1），试求矩阵M 并求B ′的坐标. 练习： 1. 将向量?? ????=12a 绕原点按逆时针方向旋转4π得到向量b ，则向量b 的坐标为=______________. 2. 在某个旋转变换中，顺时针旋转 3 π所对应的变换矩阵为 ＿＿＿＿＿＿． 三、课后巩固： 1. 曲线xy=1绕坐标原点逆时针旋转90°后得到的曲线方程是＿＿＿＿＿，变换对应的矩阵 是＿＿＿＿.

矩阵合同变换

矩阵的合同变换 摘要：矩阵的合同变换是高等代数矩阵理论中，基本交换。在《高等代数》里，我们仅讨论简单而直接的变换，而矩阵的合同变换与矩阵相似变换，二次型等有着诸多相同性质和联系。 关键词：矩阵 秩 合同 对角化 定义1：如果矩阵A 可以经过一系列初等变换变成B ，则积A 与B 等价，记为A B ? 定义2：设A ，B 都是数域F 上的n 阶方阵，如果存在数域F 上的n 阶段可逆矩阵P 使得1B P Ap -=，则称A 和B 相似A B 定义3：设A ，B 都是数域F 上的n 阶矩阵，如果存在数域F 上的一个n 阶可逆矩阵P ，使得T P AP B = 那么就说，在数域F 上B 与A 合同。 以上三个定义，都具有自反性、传逆性、对称性、 性。 定理1：合同变换与相似变换都是等价变换 证明：仅证合同变换，相似变换完全相似 因为P 可逆，所以P 存在一系列初等矩阵的乘积，即12m P Q Q Q = 。 此时711T T T m n P Q Q Q -= 边为一系列初等矩阵的乘积 若111T T T T m n m B P AP Q Q Q AQ Q -== 则B 由A 经过一系列初等变换得到。所以 A B ?，从而知合同变换是等价变换。 定理2：合同变换与相似变换，不改变矩阵的秩 证明：由 知，合同变换与相似变换都是等价变换，所以不改变秩 定理3：相似矩阵有相同特征多项式 证明：共1A B B P AP -= 1||det ||del I B I P AP λλ--=- 又因为I λ为对称矩阵 所以11det ||||||I P AP P I A P λλ---=- 1||||||P I A P λ-=- ||I A λ=- 注①合同不一定有相同特征多项式 定理4：如果A 与B 都是n 阶实对称矩阵，且有相同特征根，则A 与B 相似且合同 论：设A ，B 为特征根均为12,n λλλ ，因为A 与B 实对称矩阵，所以则在n 阶正 矩阵，,Q P 使得 112[]Q AQ λλ-= 11[]n P BP λλ-= 从而有11Q AQ P BP --=

几类特殊线性变换及其二阶矩阵优秀教学设计

几类特殊线性变换及其二阶矩阵 【教学目标】 1．了解二阶矩阵的概念，线性变换与二阶矩阵之间的关系。 2．熟练运用旋转变换、反射变换、伸缩变换、投影变换、切变变换这五种变换的概念与矩阵表示解决具体问题。 3．亲历几类特殊线性变换的探索过程，体验分析归纳得出其二阶矩阵，进一步发展学生的探究、交流能力。 【教学重难点】 重点：掌握几类特殊线性变换及其二阶矩阵。 难点：旋转变换、反射变换、伸缩变换、投影变换、切变变换的实际应用。 【教学过程】 一、直接引入 师：今天这节课我们主要学习几类特殊线性变换及其二阶矩阵，这节课的主要内容有旋转变换、反射变换、伸缩变换、投影变换、切变变换，并且我们要掌握这些知识的具体应用，能熟练解决相关问题。 二、讲授新课 （1）教师引导学生在预习的基础上了解线性变换与二阶矩阵内容，形成初步感知。 （2）首先，我们先来学习线性变换及其相关概念，它的具体内容是： 在平面直角坐标系xoy 内，很多几何变换都具有下列形式：x ax by y cx dy '=+??'=+? ③； 其中系数a ，b ，c ，d 均为常数，我们把形如③的几何变换叫做线性变换。 ③式叫做这个线性变换的坐标变换公式。 (,)P x y '''是(,)P x y 在这个线性变换作用下的像。 像这样，由4个数a ，b ，c ，d 排成的正方形表a b c d ?? ???称为二阶矩阵。数a ，b ，c ，d 称为矩阵的元素 元素全为0的二阶矩阵0000?? ???称为零矩阵，简记为0。

矩阵1001?? ??? 称为二阶单位矩阵，记为E 它是如何在题目中应用的呢？我们通过一道例题来具体说明。 例：在直角坐标系xoy 内，将每个点绕原点O 按逆时针方向旋转30°的变换称为旋转角是30°的旋转变换。求点(1,0)A 在这个旋转变换作用下的像A '。 解析：教师板书。 （3）接着，我们再来看下旋转变换的概念，它的具体内容是： 在直角坐标系xOy 内的每个点绕原点O 按逆时针方向旋转α角的旋转变换（通常记为n R ）的坐标变换公式：cos sin sin cos x x y y x y αααα'=-??'=+?，对应的二阶矩阵为：cos sin sin cos αααα-?? ??? 。 它是如何在题目中应用的呢？我们也通过一道例题来具体说明。 例：例：在直角坐标系xoy 内，将每个点绕原点O 按逆时针方向旋转30°的变换称为旋转角是30°的旋转变换，写出这个旋转变化的表达式。 解析：教师板书。 （4）接着，我们再来看下反射变换内容，它的具体内容是： 一般地，我们把平面上的任意一点P 变成它关于直线l 的对称点P '的线性变换叫做关于l 的反射。 它是如何在题目中应用的呢？我们也通过一道例题来具体说明。 例：在直角坐标系xoy 内，直线l 过原点，倾斜角为α。求关于直线l 的反射变换的坐标变换公式。 学生板书，教师纠正解答。 （5）接着，我们再来看下伸缩变换内容，它的具体内容是： 在直角坐标系xOy 内，将每个点的横坐标变为原来1k 倍，纵坐标变为原来的2k 倍，其中1k ，2k 均为非零常数，我们称这样的几何变换为伸缩变换。 它是如何在题目中应用的呢？我们也通过一道例题来具体说明。 例：直角坐标系xOy 内，将每一点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标保持不变。 （1）试确定该伸缩变换的坐标变换公式及其对应的二阶矩阵。 （2）求点A (1,1)-在该伸缩变换作用下的像A ' 教师请同学上讲台解答，并纠正总结。

矩阵的合同变换

矩阵的合同变换

矩阵的合同变换 摘要：矩阵的合同变换是高等代数矩阵理论中，基本交换。在《高等代数》里，我们仅讨论简单而直接的变换，而矩阵的合同变换与矩阵相似变换，二次型等有着诸多相同性质和联系。 关键词：矩阵 秩 合同 对角化 定义1：如果矩阵A 可以经过一系列初等变换变成B ，则积A 与B 等价，记为A B ? 定义2：设A ，B 都是数域F 上的n 阶方阵，如果存在数域F 上的n 阶段可逆矩阵P 使得1B P Ap -=，则称A 和B 相似A B : 定义3：设A ，B 都是数域F 上的n 阶矩阵，如果存在数域F 上的一个n 阶可逆矩阵P ，使得 T P AP B = 那么就说，在数域F 上B 与A 合同。 以上三个定义，都具有自反性、传逆性、对 称性、 性。 定理1：合同变换与相似变换都是等价变换 证明：仅证合同变换，相似变换完全相似 因为P 可逆，所以P 存在一系列初等矩阵的乘积，即1 2 m P Q Q Q =L 。 此时7 11 T T T m n P Q Q Q -=L 边为一系列初等矩阵的乘积 若111T T T T m n m B P AP Q Q Q AQ Q -==L L 则B 由A 经过一系 列初等变换得到。所以A B ?，从而知合同变换是等价变换。 定理2：合同变换与相似变换，不改变矩阵

从而11 1 ()PQ QP ---= 又由于1 111()()()QP QP T QP P TQT ----= 1()T T QP P TQ -= T QQ = 1 QQ -= E = 1 QP -∴为正交矩阵 所以A B :且A B ? 定时5：两合同矩阵，若即PTAP B =，若A 为对称矩阵，则B 为对称阵，而两相似矩阵则不一定有些性质 证明：A B ?即T P AP B =，若对称阵，则T A A = ()T T T B P AP = T T P A P = T P AP = B = 所以B 边为对称阵 [注]：相似矩阵对此结论不具有一般性，它在什么情况下成立呢？ 引理6：对称矩阵相似于对角阵?A 的每一个特征根λ有秩||I A n s λ-=-，S 为λ的重数.

(全国通用)2014届高考数学总复习(考点引领+技巧点拨)矩阵与变换第1课时 线性变换、二阶矩阵及其乘法

《最高考系列 高考总复习》2014届高考数学总复习（考点引领+技巧点拨）选修4－2 矩阵与变换第1课时 线性变换、二阶矩阵 及其乘法 1. (选修42P 34习题第1题改编)求点A(2，0)在矩阵???? ?? 1 00－2对应的变换作用下得到 的点的坐标． 解：矩阵?? ?? ?? 1 00－2表示横坐标保持不变，纵坐标沿y 轴负方向拉伸为原来的2倍的伸 压变换，故点A(2，0)变为点A′(2，0) 2. 点(－1，k)在伸压变换矩阵???? ?? m 001之下的对应点的坐标为(－2，－4)，求m 、k 的 值． 解：??????m 001??????－1 k ＝??????－2－4，??? ?? －m ＝－2，k ＝－4. 解得? ????m ＝2， k ＝－4. 3. 已知变换T 是将平面内图形投影到直线y ＝2x 上的变换，求它所对应的矩阵． 解：将平面内图形投影到直线y ＝2x 上，即是将图形上任意一点(x ，y)通过矩阵M 作用 变换为(x ，2x)，则有??????a 0b 0??????x y ＝?????? x 2x ，解得? ?? ??a ＝1，b ＝2， ∴ T ＝?? ?? ??10 20 .

4. 求曲线y ＝x 在矩阵???? ?? 0110作用下变换所得的图形对应的曲线方程． 解：设点(x ，y)是曲线y ＝x 上任意一点，在矩阵?? ?? ?? 01 10 的作用下点变换成(x′， y ′)，则??????0110???? ??x y ＝?????? x′y′，所以? ????x′＝y y′＝x .因为点(x ，y)在曲线y ＝x 上，所以x′＝y′，即x ＝y. 5. 求直线x ＋y ＝5在矩阵?? ?? ?? 0011 对应的变换作用下得到的图形． 解：设点(x ，y)是直线x ＋y ＝5上任意一点，在矩阵???? ?? 0011的作用下点变换成(x′， y ′)，则?? ????0011???? ?? x y ＝?????? x′y′，所以? ????x′＝0y′＝x ＋y .因为点(x ，y)在直线x ＋y ＝5上，所以y′＝x ＋y ＝5，故得 到的图形是点(0，5)． 1. 变换 一般地，对于平面上的任意一个点(向量)(x ，y)，若按照对应法则T ，总能对应唯一的 一个平面点(向量)(x′，y ′)，则称T 为一个变换，简记为T ：(x ，y )→(x′，y ′)或T ：???? ? ? x y →?? ?? ?? x′y′. 一般地，对于平面向量的变换T ，如果变换规则为T ：??????x y →??????x′y′＝???? ?? ax ＋by cx ＋dy ，那么根 据二阶矩阵与列向量的乘法规则，可以改写为??????x y →??????x′y′＝??????a b c d ???? ?? x y (a 、b 、c 、d∈R )的 矩阵形式，反之亦然． 2. 几种常见的平面变换

矩阵初等变换及应用

矩阵初等变换及应用 王法辉 摘要：矩阵初等变换是高等代数的重要组成部分。本文对初等变换进行了研究探讨，详细介绍了与矩阵初等变换有关的基础知识。在阐述矩阵初等变换方法及应用原理的基础上，首先重点讨论该方法在解决高等代数相关计算问题上的应用，如求多项式的最大公因式、求逆矩阵解矩阵方程、求解线性方程组、判定向量的线性相关性、化二次型为标准型、求空间的基等。尤其是利用矩阵初等变换法求空间的基(解空间、特征子空间、核、值域等)的问题的计算,以具体实例生动的展示出问题的内在关系,最后给出了该方法在解决实际问题中的应用。本文理论分析与实际相结合，凸现了矩阵初等变换法直接、便利、有效的威力与作用。 关键词：矩阵初等变换；最大公因式；线性相关性；二次型；空间的基 1 导言 在线性方程组的讨论中我们看到，线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程。在数学的学习和应用中，矩阵理论是高等代数的重要组成部分，矩阵初等变换方法更是贯穿高等代数理论的始终。应用初等变换证明命题过程容易被接受，同时也是解决高等代数相关计算问题最直接、便利、有效的方法。此外，还有大量的各种各样的，表面上看完全没有联系的问题的解决,都可以通过相同的方法实现：矩阵的初等变换。 因此，对矩阵初等变换方法及应用进行探讨，无疑是十分必要和重要的。 目前，有许多文献涉及到对矩阵初等变换方法该的讨论，但比较零散。在研读文献的基础上，对矩阵初等变换的内涵进一步挖掘，使矩阵初等变换方法的威力作用得以充分展示是重要也是必要的。 2 矩阵及其初等变换

2.1 矩阵 由n m ?个数)j ,,,2,1(==m i a ij （i =1,2, ,j =1,2,n ， ）排成m 行n 列 的数表 ? ? ??? ???????=mn m m n n a a a a a a a a a A 2 1 22221 11211 称为m 行n 列的矩阵，简称n m ?矩阵。 2.2 矩阵的初等变换及初等矩阵 矩阵有行列之分，因此有如下定义 定义1 矩阵的初等行（列）变换是指如下三种变换 (1)交换矩阵某两行（列）的位置，记为j i r r ? )(j i c c ?； (2)把某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上，记为j i kr r + )(j i kc c +； (3)用一个非零常数k 乘以某一行（列），记为i kr )(i kc ，k ≠0； 矩阵的初等行变换及初等列变换统称为矩阵的初等变换。 定义2 由单位矩阵E 经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵。有以下3种形式 (1)互换矩阵E 的i 行和j 行的位置，得 ? ???? ? ??? ?? ? ????? ???????????????? ?=1101111011),( j i P ； (2)用数域P 种非零数c 乘E 的i 行，得

矩阵合同变换

矩阵的合同变换 摘要：矩阵的合同变换是高等代数矩阵理论中，基本交换。在《高等代数》里，我们仅讨论简单而直接的变换，而矩阵的合同变换与矩阵相似变换，二次型等有着诸多相同性质和联系。 关键词：矩阵 秩 合同 对角化 定义1：如果矩阵A 可以经过一系列初等变换变成B ，则积A 与B 等价，记为A B ? 定义2：设A ，B 都是数域F 上的n 阶方阵，如果存在数域F 上的n 阶段可逆矩阵P 使得1B P Ap -=，则称A 和B 相似A B 定义3：设A ，B 都是数域F 上的n 阶矩阵，如果存在数域F 上的一个n 阶可逆矩阵P ，使得T P AP B = 那么就说，在数域F 上B 与A 合同。 以上三个定义，都具有自反性、传逆性、对称性、 性。 定理1：合同变换与相似变换都是等价变换 证明：仅证合同变换，相似变换完全相似 因为P 可逆，所以P 存在一系列初等矩阵的乘积，即12 m P Q Q Q =。 此时71 1T T T m n P Q Q Q -=边为一系列初等矩阵的乘积 若111 T T T T m n m B P AP Q Q Q AQ Q -== 则B 由A 经过一系列初等变换得到。所以 A B ?，从而知合同变换是等价变换。 定理2：合同变换与相似变换，不改变矩阵的秩 证明：由 知，合同变换与相似变换都是等价变换，所以不改变秩 定理3：相似矩阵有相同特征多项式 证明：共1A B B P AP -= 1||det ||del I B I P AP λλ--=- 又因为I λ为对称矩阵 所以11det ||||||I P AP P I A P λλ---=-

选修4-2 矩阵与变换 第一节 线性变换与二阶矩阵

第一节 线性变换与二阶矩阵 1．矩阵的相关概念 (1)由4个数a ，b ，c ，d 排成的正方形数表?????? a b c d 称为二阶矩阵，数a ，b ，c ，d 称为矩 阵的元素．在二阶矩阵中，横的叫行，从上到下依次称为矩阵的第一行、第二行；竖的叫列，从左到右依次称为矩阵的第一列、第二列．矩阵通常用大写的英文字母A ，B ，C ，…表示． (2)二阶矩阵?? ?? ?? 00 0称为零矩阵，简记为0，矩阵?? ?? ??1 00 1称为二阶单位矩阵，记作E 2. 2．矩阵的乘法 (1)行矩阵[]a 11a 12与列矩阵?? ?? ?? b 11b 21的乘法规则：为[]a 11a 12?? ? ? ?? b 11b 21＝[]a 11×b 11＋a 12×b 21. (2)二阶矩阵??????a 11 a 12a 21 a 22与列向量??????x 0y 0和乘法规则：??????a 11 a 12a 21 a 22??????x 0y 0＝??????a 11×x 0＋a 12×y 0a 21×x 0＋a 22×y 0. (3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个矩阵，其乘法法则如下：

??????a 11 a 12a 21 a 22??????b 11 b 12b 21 b 22＝???? ??a 11×b 11＋a 12×b 21 a 11×b 12＋a 12×b 22a 21×b 11＋a 22×b 21 a 21×b 12＋a 22×b 22. (4)两个二阶矩阵的乘法满足结合律，但不满足交换律和消去律 即(AB )C ＝A (BC )， AB ≠BA ， 由AB ＝AC 不一定能推出B ＝C . 一般地两个矩阵只有当前一个矩阵的列数与后一个矩阵的行数相等时才能进行乘法运算． 3．线性变换的相关概念 (1)我们把形如???? ? x ′＝ax ＋by y ′＝cx ＋dy (*)的几何变换叫做线性变换，(*)式叫做这个线性变换的坐 标变换公式，P ′(x ′，y ′)是P (x ，y )在这个线性变换作用下的像． (2)对同一个直角坐标平面内的两个线性变换σ、ρ，如果对平面内任意一点P ，都有σ(P )＝ρ(P )，则称这两个线性变换相等，简记为σ＝ρ，设σ，ρ所对应的二阶矩阵分别为A ，B ，则A ＝B . 4．几种常见的线性变换 (1)由矩阵M ＝?? ?? ??1 00 1确定的变换T M 称为恒等变换， 这时称矩阵M 为恒等变换矩阵或单位矩阵，二阶单位矩阵一般记为E .平面是任何一点(向量)或图形，在恒等变换之下都把自己变为自己． (2)由矩阵M ＝???? ?? a 00 1或M ＝?? ?? ??1 00 k (k >0)确定的变换T M 称为(垂直)伸压变换，这时称矩 阵M ＝?? ?? ?? k 00 1或M ＝?? ?? ??1 00 k 伸压变换矩阵． 当M ＝?? ?? ??k 00 1时确定的变换将平面图形作沿x 轴方向伸长或压缩，当k >1时伸长，当 01时伸长，当 0

选修(矩阵与变换)

矩阵与变换 主要考查二阶矩阵的基本运算，选修内容考的题目大都不难，同学们注意基本概念。 1求逆矩阵，注意2*2矩阵的乘法。 2利用矩阵求坐标式的方程。 (10上海 4)行列式6πcos 3πsin 6πsin 3π cos 的值是____________． 考点：行列式的运算法则 解析：考查行列式运算法则6πcos 3 πsin 6π sin 3πcos 02πcos 6πsin 3πsin 6πcos 3πcos ==-= 答案：0. (10福建 21)选修4－2：矩阵与变换 已知矩阵M ＝???? ??11b a ，??? ? ??=d c N 02，且???? ??-=0202MN ， (Ⅰ)求实数a ，b ，c ，d 的值；(Ⅱ)求直线x y 3=在矩阵M 所对应的线性变换下的像的方程． 考点：矩阵的基本运算和线形变换 解析：(1)?? ????-=??????++=????????????=020*******d b bc ad c d c b a MN ， 对应系数有???????-==-==????????=+-==+=1 2 12022022a d b c d b bc ad c ； (2)取x y 3=上一点()y x ,，设经过变换后对应点为()','y x ，则??????--=??????1111''y x ?? ????--=??????x y y x y x ，从而''x y =，所以经过变换后的图像方程为x y -=． 注意：本题相对基础，要求同学们对矩阵的基本运算方法，尤其是乘法 (09江苏 21)选修4－2：矩阵与变换 求矩阵?? ????=1223A 的逆矩阵. 考点：逆矩阵的求法，考查运算求解能力 解析：设矩阵A 的逆矩阵为??????w z y x 则?? ????=????????????10011223w z y x ，

【高考精品复习】选修4-2 矩阵与变换 矩阵与变换

【高考会这样考】 1．本部分高考命题的一个热点是矩阵变换与二阶矩阵的乘法运算，考题中多考查求平面图形在矩阵的对应变换作用下得到的新图形，进而研究新图形的性质． 2．本部分高考命题的另一个热点是逆矩阵，主要考查行列式的计算、逆矩阵的性质与求法以及借助矩阵解决二元一次方程组的求解问题． 【复习指导】 1．认真理解矩阵相等的概念，知道矩阵与矩阵的乘法的意义，并能熟练进行矩阵的乘法运算． 2．掌握几种常见的变换，了解其特点及矩阵表示，注意结合图形去理解和把握矩阵的几种变换． 3．熟练进行行列式的求值运算，会求矩阵的逆矩阵，并能利用逆矩阵解二元一次方程组． 基础梳理 1．乘法规则 (1)行矩阵[a 11 a 12]与列矩阵????b 11b 21 的乘法规则： [a 11 a 12]????b 11b 21＝[a 11×b 11＋a 12×b 21]． (2)二阶矩阵????a 11a 21 a 12a 22与列向量??? ?x 0y 0的乘法规则： ????a 11a 21 a 12a 22 ????x 0y 0＝??? ?a 11×x 0＋a 12×y 0a 21×x 0＋a 22×y 0. (3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个矩阵，其乘法法则如下： ????a 11a 21 a 12a 22 ??? ?b 11b 21 b 12b 22＝ ????a 11×b 11＋a 12×b 21a 21×b 11＋a 22×b 21 a 11×b 12＋a 12×b 22a 21×b 12＋a 22×b 22 (4)两个二阶矩阵的乘法满足结合律，但不满足交换律和消去律．即(AB )C ＝

用矩阵初等变换逆矩阵

用矩阵初等变换逆矩阵

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2007年11月16日至18日，有幸参加了由李尚志教授主讲的国家精品课程线性代数（非数学专业）培训班，使我受益匪浅，在培训中，我见识了一种全新的教学理念。李老师的“随风潜入夜，润物细无声”“化抽象为自然”“饿了再吃”等教学理念很值得我学习。作为刚参加工作的年轻教师，我应该在以后的教学中，慢慢向这种教学理念靠拢，使学生在不知不觉中掌握较为抽象的知识。下面这个教案是根据李老师的教学理念为“三本”学生写的，不知是否能达要求，请李老师指教。 用矩阵的初等变换求逆矩阵 一、问题提出 在前面我们以学习了用公式 求逆矩阵，但当矩阵A 的阶数较大时，求A*很繁琐，此方法不实用，因此必须找一种更简单的方法求逆矩阵，那么如何找到一种简单的方法呢？ （饿了再吃） 二、求逆矩阵方法的推导 （“润物细无声”“化抽象为自然”） 我们已学习了矩阵初等变换的性质，如 1.定理 2.4 对mxn 矩阵A ，施行一次初等行变换，相当于在A 的左边乘以相应m 阶初等矩阵；对A 施行一次初等列变换，相当于在A 的右边乘以相应的n 阶初等矩阵。 2.初等矩阵都是可逆矩阵，其逆矩阵还是初等矩阵。 3.定理2.5的推论 A 可逆的充要条件为A 可表为若干初等矩阵之积。即 4.推论 A 可逆，则A 可由初等行变换化为单位矩阵。 （1） 由矩阵初等变换的这些性质可知，若A 可逆，构造分块矩阵(A ︱E )，其中E 为与A 同阶的单位矩阵，那么 （2） 由（1）式 代入（2）式左边， 上式说明分块矩阵(A ︱E )经过初等行变换，原来A 的位置变换为单位阵E ，原来E 的位置 变换为我们所要求的1 A -,即 21121111111112112112s t s s t t m P P P AQ Q Q E A P P P P EQ Q Q Q R R R ----------=?=?L L L L L 111 21m R R R A E ---=L 111121m R R R A ----=L () () 1 22n n n n A E E A -???????→ 1* 1A A A -=( )()() 1111A A E A A A E E A ----==1111 21m A R R R ----=L ( )() 1 111 21m R R R A E E A ----=L

矩阵的合同变换

矩阵的合同变换 摘要:矩阵的合同变换是高等代数矩阵理论中，基本交换。在《高等代数》里,我们仅讨论简单而直接的变换，而矩阵的合同变换与矩阵相似变换,二次型等有着诸多相同性质和联系。 关键词：矩阵 秩 合同 对角化 定义1：如果矩阵A 可以经过一系列初等变换变成Ｂ,则积A 与B 等价，记为A B ? 定义2:设A ，B 都是数域F 上的ｎ阶方阵，如果存在数域F 上的n 阶段可逆矩阵P 使得1B P Ap -=,则称A 和B 相似A B 定义3：设A,Ｂ都是数域Ｆ上的n 阶矩阵,如果存在数域F 上的一个ｎ阶可逆矩阵P,使得T P AP B = 那么就说,在数域F 上B 与A 合同。 以上三个定义,都具有自反性、传逆性、对称性、 性。 定理1：合同变换与相似变换都是等价变换 证明:仅证合同变换，相似变换完全相似 因为P 可逆，所以P 存在一系列初等矩阵的乘积，即12 m P Q Q Q =。 此时71 1T T T m n P Q Q Q -=边为一系列初等矩阵的乘积 若111 T T T T m n m B P AP Q Q Q AQ Q -== 则B 由A 经过一系列初等变换得到。所以A B ?， 从而知合同变换是等价变换。 定理2:合同变换与相似变换,不改变矩阵的秩 证明:由 知，合同变换与相似变换都是等价变换，所以不改变秩 定理３：相似矩阵有相同特征多项式 证明:共1A B B P AP -= 1||det ||del I B I P AP λλ--=- 又因为I λ为对称矩阵 所以11det ||||||I P AP P I A P λλ---=- ??? 1||||||P I A P λ-=- ? ||I A λ=- 注①合同不一定有相同特征多项式 定理４:如果Ａ与B 都是n 阶实对称矩阵,且有相同特征根，则A 与B 相似且合同 论：设A ，B 为特征根均为12 ,n λλλ，因为A 与B 实对称矩阵,所以则在n 阶正 矩阵， ,Q P 使得 11 2[]Q AQ λλ-= 11[]n P BP λλ-= 从而有11Q AQ P BP --=

矩阵的合同变换之令狐文艳创作

矩阵的合同变换 令狐文艳 摘要：矩阵的合同变换是高等代数矩阵理论中，基本交换。在《高等代数》里，我们仅讨论简单而直接的变换，而矩阵的合同变换与矩阵相似变换，二次型等有着诸多相同性质和联系。 关键词：矩阵 秩 合同 对角化 定义1：如果矩阵A 可以经过一系列初等变换变成B ，则积A 与B 等价，记为A B ? 定义2：设A ，B 都是数域F 上的n 阶方阵，如果存在数域F 上的n 阶段可逆矩阵P 使得1B P Ap -=，则称A 和B 相似 A B 定义3：设A ，B 都是数域F 上的n 阶矩阵，如果存在数域F 上的一个n 阶可逆矩阵P ，使得T P AP B = 那么就说，在数域F 上B 与A 合同。 以上三个定义，都具有自反性、传逆性、对称性、 性。 定理1：合同变换与相似变换都是等价变换 证明：仅证合同变换，相似变换完全相似 因为P 可逆，所以P 存在一系列初等矩阵的乘积，即 12 m P Q Q Q =。 此时71 1T T T m n P Q Q Q -=边为一系列初等矩阵的乘积 若111 T T T T m n m B P AP Q Q Q AQ Q -== 则B 由A 经过一系列初等变 换得到。所以A B ?，从而知合同变换是等价变换。 定理2：合同变换与相似变换，不改变矩阵的秩 证明：由 知，合同变换与相似变换都是等价变换，所以不改变秩

定理3：相似矩阵有相同特征多项式 证明：共1A B B P AP -= 又因为I λ为对称矩阵 所以11det ||||||I P AP P I A P λλ---=- 注①合同不一定有相同特征多项式 定理4：如果A 与B 都是n 阶实对称矩阵，且有相同特征根，则A 与B 相似且合同 论：设A ，B 为特征根均为12,n λλλ，因为 A 与 B 实对称矩 阵，所以则在n 阶正 矩阵，,Q P 使得 从而有11Q AQ P BP --= 由11Q Q E PP E --== 从而有1111PQ QP PEP PP E ----=== 从而111()PQ QP ---= 又由于1111()()()QP QP T QP P TQT ----= 1QP -∴为正交矩阵 所以A B 且A B ? 定时5：两合同矩阵，若即PTAP B =，若A 为对称矩阵，则B 为对称阵，而两相似矩阵则不一定有些性质 证明：A B ?即T P AP B =，若对称阵，则T A A = 所以B 边为对称阵 [注]：相似矩阵对此结论不具有一般性，它在什么情况下成立呢？ 引理6：对称矩阵相似于对角阵?A 的每一个特征根λ有秩||I A n s λ-=-，S 为λ的重数. 证明：任给对称的n 阶矩阵A 一个特征根λ，以其重数以秩||I A r λ-=，则 ||r n s n r s I A λ=-?-=?-1200 0n x x x ???????? ????=???? ?????? ??，线性无关的解向量个数为

线性变换与矩阵的关系

线性变换与矩阵的关系 学院：数学与计算机科学学院 班级：2011级数学与应用数学

姓名： 学号： 线性变换与矩阵的关系 （西北民族大学数学与应用数学专业，兰州 730124） 指导教师 一、线性变换 定义1 设有两个非空集合V,U，若对于V中任一元素α，按照一定规则总有U中一个确定的元素β和它对应，则这个对应规则被称为从集合V到集合U的变换（或映射），记作β=T(α)或β=T α,( α∈V)。 设α∈V，T(α)= β,则说变换T把元素α变为β，β称为α在变换T下的象，α称为β在变换T下的源，V称为变换T的源集，象的全体所构成的集合称为象集，记作T(V)。即 T(V)={ β=T(α)|α∈V}, 显然T(V) ?U 注：变换的概念实际上是函数概念的推广。

定义2 设V n,U m分别是实数域R上的n维和m维线性空间，T是一个从V n到U m得变换，如果变换满足 （1）任给α1 ，α2∈V n，有T(α1+α2)=T(α1)+T(α2); （2）任给α∈V n，k∈R，都有 T(kα)=kT(α)。 那么，就称T为从V n到U m的线性变换。 说明： ○1线性变换就是保持线性组合的对应的变换。 ○2一般用黑体大写字母T,A,B,…代表现象变换，T(α)或Tα代表元 α在变换下的象。 ○3若U m=V n，则T是一个从线性空间V n到其自身的线性变换，称为线性空 V n中的线性变换。下面主要讨论线性空间V n中的线性变换。 二、线性变换的性质 设T是V n中的线性变换，则 (1)T(0)=0,T(-α)=-T(α); (2)若β=k1α1+k2α2+…+k mαm,则Tβ=k1Tα1+k2Tα2+…+k m Tα m; (3)若α1，…αm线性相关，则Tα1…Tαm亦线性相关； 注：讨论对线性无关的情形不一定成立。 (4)线性变换T的象集T(V n)是一个线性空间V n的子空间。 记S T={α|α∈V n,T α=0}称为线性变换T的核，S T是V n的子空间。

矩阵与变换教学指导 新课标 选修4-2

矩阵与变换教学指导 在全省高中数学选修模块教学研讨会上对选修系列4教学指导研讨的发言 吴公强 按照我省及宁夏回族自治区高中数学选修４专题系列选课方案，及０７年高考说明的要求，我省统一选学４－１几何证明选讲 ４－２矩阵与变换 ４－４坐标系与参数方程 ４－５不等式选讲 四门课程，以下我代表中心组就这四门课程的定位、教学目标、教学法及复习迎考建议，借这个机会分专题同同志们一起进行研讨． 关于选修4-２专题：矩阵与变换的教学研究 一、课标内容与要求 矩阵是研究图形（向量）变换的基本工具，有着广泛的应用，许多数学模型都可以用矩阵来表示。 本专题将通过平面图形的变换讨论二阶方阵的乘法及性质、逆矩阵和矩阵的特征向量等概念，并以变换和映射的观点理解解线性方程组的意义，初步展示矩阵应用的广泛性。 1. 引入二阶矩阵 2. 二阶矩阵与平面向量（列向量）的乘法、平面图形的变换 （1）以映射和变换的观点认识矩阵与向量乘法的意义。 （2）证明矩阵变换把平面上的直线变成直线（或点），即证明 ()A A A λαλβλαλβ 1212+=+ （3）通过大量具体的矩阵对平面上给定图形（如正方形）的变换，认识到矩阵可表示如下的线性变换：恒等、反射、伸压、旋转、切变、投影。 3. 变换的复合——二阶方阵的乘法 （1）通过变换的实例，了解矩阵与矩阵的乘法的意义。 （2）通过具体的几何图形变换，说明矩阵乘法不满足交换律。 （3）验证二阶方阵乘法满足结合律。 （4）通过具体的几何图形变换，说明乘法不满足消去律。 4. 逆矩阵与二阶行列式 （1）通过具体图形变换，理解逆矩阵的意义；通过具体的投影变换，说明逆矩阵可能不存在。 （2）会证明逆矩阵的唯一性和() AB B A ---=1 1 1 等简单性质，并了解其在变换中的意义。 （3）了解二阶行列式的定义，会用二阶行列式求逆矩阵。 5. 二阶矩阵与二元一次方程组 （1）能用变换与映射的观点认识解线性方程组的意义。 （2）会用系数矩阵的逆矩阵解方程组。 （3）会通过具体的系数矩阵，从几何上说明线性方程组解的存在性，唯一性。 6. 变换的不变量 （1）掌握矩阵特征值与特征向量的定义，能从几何变换的角度说明特征向量的意义。 （2）会求二阶方阵的特征值与特征向量（只要求特征值是两个不同实数的情形）。 7. 矩阵的应用 （1）利用矩阵A 的特征值、特征向量给出A n α简单的表示，并能用它来解决问题。

线性变换与二阶矩阵

线性变换与二阶矩阵 学习目标 1.理解线性变换、矩阵、单位矩阵、零矩阵的概念； 2.掌握旋转变换的矩阵表示和其几何意义。 教学重点： 旋转变换的矩阵表示和其几何意义。 教学过程 1.旋转变换 P （x,y ）绕原点逆时针旋转180o 得到P ’(x ’,y ’),称P ’为P 在此旋转变换作用下的象。 其结果为''x x y y ?=-?=-?，也可以表示为''00x x y y x y ?=-+??=?-?。 问题1. P （x,y ）绕原点逆时针旋转30o 得到),(///y x p ,试完成以下任务①写出象/p ； ②写出这个旋转变换的方程组形式；③写出矩阵形式. 事实上，在平面直角坐标XOY 内，很多几何变换都具有下列形式： dy cx y by ax x +=+=// ，其中d c b a ,,,均为常数。我们把形如上式的几何变换叫做线性变换。该式叫做这

),(///y x p 是P （x,y ）在这个线性变换作用下的像。 我们引进正方形数表a b c d ??? ???，那么上述线性变换可由a b c d ??????唯一确定，反之，a b c d ??????也可以由上述线性变换唯一确定。 像这样，由4个数d c b a ,,,排成的正方形数表a b c d ?????? 称为二阶矩阵，数d c b a ,,,称为矩阵的元素。 元素全为0的二阶矩阵?? ????0000称为零矩阵，简记作0. 矩阵?? ????1001称为二阶单位矩阵，记为2E 。 问题2.把问题2中的旋转30o 改为旋转α角，其结果又如何？ 四、简单应用

1.设矩阵A=1001-??????，求点P(2,2)在A 所对应的线性变换下的象。 练习： P 13 1.2.3.4.5

矩阵初等变换的一些性质及应用

矩阵初等变换的一些性质及应用 摘要：矩阵的初等变换是线性代数中应用十分广泛的重要工具。文章证 明了矩阵初等变换的两个性质, 以此为基础, 归纳说明了矩阵的初等变 换在线性代数课程中的应用, 并给出了一些实例。 关键词：矩阵初等变换性质应用 Abstract: The elementary alternate of matrix is an important tool broadly used in linear algebra. The paper discusses its properties and application. Key w o rd: matrix, elementary alternate, properties, application 0 引言 矩阵是数域P上的m行n列矩阵,矩阵的行(列)初等变换是指对矩阵施行如下的变换: (1)交换矩阵的两行(列),对调i,j两行,记作←（记作←）； (2)以非零数 k 乘矩阵某一行( 列) 的所有元素,第i行（列）乘k,记作×k(记作×k)； (3)把某一行(列)所有元素的 k 倍加到另一行(列)对应元素上去，如第j 行（列）的k 倍加到第i行（列）上, 记作+（记作+）。 矩阵的初等变换在高等代数课程中有着十分广泛的应用, 也是本课程的基本工具之一。矩阵的初等行变换和初等列变换具有同等的地位和作用, 只是在使用过程中有所区别。本文首先证明初等行变换和初等列变换具有同等的地位和作用，再以具体实例说明矩阵初等变换在求极大无关组和秩的应用。 一、初等变换的性质证明 定理1 第一种初等变换可以由第二、三种初等变换实施得到。 证明: 设是为数域P上的m×n 矩阵(i= 1，2，…，m； j=1，2，…，n) 对矩阵A 施行第二、三种初等行变换:

高三数学(理)《选修4-2_矩阵与变换》专题练习答案

高二数学（理）《矩阵与变换》 1、已知四边形ABCD 的顶点分别为A （-1，0），B （1，0），C （1，1），D （-1，1），四边形ABCD 在矩阵?? ????100a 变换作用下变成正方形，则a ＝ 2、在直角坐标系xOy 内，将每个点的横坐标与纵坐标都变为原来的3倍，则该变换的矩阵是 3、已知矩阵A =1111?? ?-??，B =2111-?? ?-?? ，则AB 等于 4、已知矩阵A =1111-?? ??? ，则矩阵A 的逆矩阵A -1等于 5、点（－１，k ）在伸压变换矩阵?? ????100m 之下的对应点的坐标为（-2, -4 ），则m 、k 的值分别为 6、计算:??????-???? ??321110=__________ 7、点A （1，2）在矩阵?? ????-1022对应的变换作用下得到的点的坐标是___________ 8、若点A 在矩阵1222-????-?? 对应的变换作用下下得到的点为（2，4），则点A 的坐标为_________ 9、将向量?? ????=12a 绕原点按逆时针方向旋转4π得到向量b ，则向量b 的坐标为___________ 10、在某个旋转变换中，顺时针旋转3 π所对应的变换矩阵为＿＿＿＿＿＿ 11、曲线y x =在矩阵0110?????? 作用下变换所得的图形对应的曲线方程为＿＿＿＿＿＿ 12、曲线xy=1绕坐标原点逆时针旋转90°后得到的曲线方程是 ，变换对应的矩阵是＿＿ 13、若曲线x 3cos 2 1y =经过伸压变换T 作用后变为新的曲线cos y x =，试求变换T 对应的矩阵M =＿＿＿＿. 14、矩阵3221A ??=???? 的逆矩阵

选修42矩阵与变换习题

第一讲二阶矩阵、二阶矩阵与平面向量的乘法、二阶矩阵与线性变换。 一、二阶矩阵 1.矩阵的概念 ①OP → (2, 3)，将→的坐标排成一列，并简记为??????2 3 ???? ?? 2 3 初赛 复赛 甲 80 90 乙 86 88 ③ 概念一： 象??????2 3 80908688?? ???? 23324m ????-?? 的矩形数字（或字母）阵列称为矩阵.通常用大写的拉丁字母A 、B 、C…表示， 横排叫做矩阵的行,竖排叫做矩阵的列. 名称介绍： ①上述三个矩阵分别是2×1矩阵，2×2矩阵（二阶矩阵），2×3矩阵，注意行的个数在前。 ②矩阵相等：行数、列数相等，对应的元素也相等的两个矩阵，称为A ＝B 。 ③行矩阵：[a 11,a 12]（仅有一行） ④列矩阵：???? ?? a 11 a 21 （仅有一列） ⑤向量a → ＝（x,y ），平面上的点P （x,y ）都可以看成行矩阵[,]x y 或列矩阵x y ?? ???? ，在本书中规定所有的平面向量 均写成列向量x y ?? ???? 的形式。 练习1： 1.已知??????-=243x A ,?? ? ???-=21z y B ，若A=B ，试求z y x ,, 2.设23x A y ??=????，2m n x y B x y m n ++?? =??--?? ，若A=B ，求x,y,m,n 的值。 概念二： 由4个数a,b,c,d 排成的正方形数表a b c d ?? ????称为二阶矩阵。a,b,c,d 称为矩阵的元素。 ①零矩阵：所有元素均为0，即0000?? ???? ，记为0。 ②二阶单位矩阵：1001?? ?? ?? ，记为E 2. 二、二阶矩阵与平面向量的乘法 2 3 m 3 －2 4 y x 2 3 O P ( 2, 3) — 2 — 3 — ???? ??80 90 86 88 231,3242x y mz x y z ++=??-+=?简记为23324m ????-??