等比数列及其前n项和专题练习(含参考答案)

数学 等比数列及其前n 项和

一、选择题

1．在等比数列{a n }中，a 1＝12，q ＝12，a n ＝1

32，则项数n 为( )

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

2．在等比数列{a n }中，若a 1<0，a 2＝18，a 4＝8，则公比q 等于( ) A ．3

2

B ．23

C ．－2

3

D ．23或－23

3．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯塔的2倍，则塔的顶层共有灯( )

A ．1盏

B ．3盏

C ．5盏

D ．9盏

4．已知各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝14，a 3＝8，则a 6＝( ) A ．16 B ．32 C ．64

D ．128

5．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝a ·2n －

1＋16，则实数a 的值为( )

A ．－1

3

B ．1

3

C ．－1

2

D ．12

6．设等比数列{a n }的公比为q >0，且q ≠1，S n 为数列{a n }前n 项和，记T n ＝a n

S n ，则( )

A ．T 3≤T 6

B ．T 3

C ．T 3≥T 6

D ．T 3>T 6

7．已知{a n }是首项为1的等比数列，若S n 是数列{a n }的前n 项和，且28S 3＝S 6，则数列{1

a n

}的前4项和为( ) A ．15

8或4

B ．4027或4

C ．40

27

D ．158

8．已知数列{a n }是递减的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，若a 2＋a 5＝18，a 3a 4＝32，则

S 5的值是( )

A ．62

B ．48

C ．36

D ．31

二、填空题

9．数列{a n }满足：log 2a n ＋1＝1＋log 2a n ，若a 3＝10，则a 8＝_____．

10．已知数列{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝1

4，则a 1a 2a 3＋a 2a 3a 4＋…＋a n a n ＋1a n ＋2＝ ．

11．等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n .已知S 3＝74，S 6＝63

4，则a 8＝_____．

12． 已知等比数列{a n }中，a 2＝1，则其前3项的和S 3的取值范围是_____． 三、解答题

13．等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4a 3． (1)求{a n }的通项公式；

(2)记S n 为{a n }的前n 项和．若S m ＝63，求m ．

14． (2018·安徽联考)已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且满足S n －2a n ＝n －4． (1)证明：{S n －n ＋2}为等比数列． (2)求数列{S n }的前n 项和T n ．

1．已知1，a 1，a 2,4成等差数列，1，b 1，b 2，b 3,4成等比数列，则a 1＋a 2

b 2的值是( )

A ．52或－5

2

B ．－52

C ．5

2

D ．12

2．等比数列{a n }共有奇数项，所有奇数项的和S 奇＝255，所有偶数项的和S 偶＝－126，末项是192，则首项a 1等于( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

3．各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2，S 3n ＝14，则S 4n ＝( ) A ．80 B ．30 C ．26

D ．16

4．在等比数列{a n }中，a 1＋a n ＝82，a 3·a n －2＝81，且前n 项和S n ＝121，则此数列的项数n 等于( )

A ．4

B ．5

C ．6

D ．7

5． 已知等比数列{a n }满足条件a 2＋a 4＝3(a 1＋a 3)，a 2n ＝3a 2n ，n ∈N *

，数列{b n }满足b 1＝

1，b n －b n －1＝2n －1(n ≥2，n ∈N *)．

(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；

(2)若数列{c n }满足c 1a 1＋c 2a 2＋c 3a 3＋…＋c n

a n

＝b n ，n ∈N *，求{c n }的前n 项和T n ．

【参考答案】

一、选择题

1．在等比数列{a n }中，a 1＝12，q ＝12，a n ＝1

32，则项数n 为( C )

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

2．在等比数列{a n }中，若a 1<0，a 2＝18，a 4＝8，则公比q 等于( C ) A ．3

2

B ．23

C ．－2

3

D ．23或－23

[解析] 由?????a 1q ＝18，

a 1q 3

＝8解得?????a 1＝27，q ＝23或?????a 1＝－27，q ＝－23，

又a 1<0，因此q ＝－2

3

.故选C ．

3．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯塔的2倍，则塔的顶层共有灯( B )

A ．1盏

B ．3盏

C ．5盏

D ．9盏

[解析] 设塔的顶层共有灯x 盏，则各层的灯数构成一个公比为2的等比数列，由x (1－27)1－2

＝381可得x ＝3．

4．已知各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝14，a 3＝8，则a 6＝( C ) A ．16 B ．32 C ．64

D ．128

[解析] 由题意得，等比数列的公比为q ，由S 3＝14，a 3＝8，则?????a 1(1＋q ＋q 2)＝14，

a 3＝a 1q 2

＝8，

，解

得a 1＝2，q ＝2，所以a 6＝a 1q 5＝2×25＝64，故选C ．

5．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝a ·2n －

1＋16，则实数a 的值为( A )

A ．－1

3

B ．1

3

C ．－1

2

D ．12

[解析] 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝a ·2n －1－a ·2n －2＝a ·2n －2，当n ＝1时，a 1＝S 1＝a ＋1

6，

又因为{a n }是等比数列，所以a ＋16＝a 2，所以a ＝－1

3

．

6．设等比数列{a n }的公比为q >0，且q ≠1，S n 为数列{a n }前n 项和，记T n ＝a n

S n ，则( D )

A ．T 3≤T 6

B ．T 3

C ．T 3≥T 6

D ．T 3>T 6

[解析] T 6－T 3＝a 6(1－q )

a 1(1－q 6)－a 3(1－q )

a 1(1－q 3)＝q 5(1－q )1－q 6－q 2(1－q )1－q 3＝－q 2(1－q )

1－q 6

，由于q >0且q ≠1，所以1－q 与1－q 6同号，所以T 6－T 3<0，∴T 6

7．已知{a n }是首项为1的等比数列，若S n 是数列{a n }的前n 项和，且28S 3＝S 6，则数列{1

a n

}的前4项和为( C ) A ．15

8或4

B ．40

27或4

C ．40

27

D ．158

[解析] 设数列{a n }的公比为q ．

当q ＝1时，由a 1＝1，得28S 3＝28×3＝84.S 6＝6，两者不相等，因此不合题意． 当q ≠1时，由28S 3＝S 6及首项为1，得28(1－q 3)1－q ＝1－q 6

1－q ，解得q ＝3.所以数列{a n }的通

项公式为a n ＝3n －1．

所以数列{1a n }的前4项和为1＋13＋19＋127＝40

27

．

8．已知数列{a n }是递减的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，若a 2＋a 5＝18，a 3a 4＝32，则S 5的值是( A )

A ．62

B ．48

C ．36

D ．31

[解析] 由a 2＋a 5＝18，a 3a 4＝32，得a 2＝16，a 5＝2或a 2＝2，a 5＝16(不符合题意，舍去)，设数列{a n }的公比为q ，则a 1＝32，q ＝1

2，所以S 5＝32[1－(1

2)5]

1－1

2

＝62，选A ．

二、填空题

9．数列{a n }满足：log 2a n ＋1＝1＋log 2a n ，若a 3＝10，则a 8＝__320___．

[解析] 由题意知log 2a n ＋1＝log 22a n ，∴a n ＋1＝2a n ，∴{a n }是公比为2的等比数列，又a 3

＝10，∴a 8＝a 3·25＝320．

10．已知数列{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2a 3＋a 2a 3a 4＋…＋a n a n ＋1a n ＋2＝

64

7(1－2

－3n

) ．

[解析] 设数列{a n }的公比为q ，则q 3＝a 5a 2＝18，解得q ＝12，a 1＝a 2

q

＝4.易知数列{a n a n ＋1a n

＋2}是首项为

a 1a 2a 3＝4×2×1＝8，公比为q 3＝1

8

的等比数列，所以a 1a 2a 3＋a 2a 3a 4＋…＋a n a n

＋1a n ＋2＝8(1－18n )

1－

18

＝64

7(1－2－3n )． 11．等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n .已知S 3＝74，S 6＝63

4，则a 8＝__32___．

[解析] 由题意知S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝7

4

，

a 4＋a 5＋a 6＝S 6－S 3＝634－74＝14＝7

4·q 3，∴q ＝2．

又a 1＋2a 1＋4a 1＝74，∴a 1＝14，∴a 8＝1

4

×27＝32．

12． 已知等比数列{a n }中，a 2＝1，则其前3项的和S 3的取值范围是__(－∞，－1]∪[3，＋∞)___．

[解析] 设等比数列的公比为q ，则S 3＝1

q ＋q ＋1

∵|1q ＋q |＝1

|q |＋|q |≥2(当且仅当|q |＝1时取等号) ∴1q ＋q ≥2或1

q

＋q ≤－2

∴S 3≥3或S 3≤－1，∴S 3的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)． 三、解答题

13．等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4a 3． (1)求{a n }的通项公式；

(2)记S n 为{a n }的前n 项和．若S m ＝63，求m ．

[分析] 本题考查等比数列的通项公式、前n 项和公式． (1)

根据已知，建立含有q 的方程→求得q 并加以检验→代入等比数列

的通项公式

(2)利用等比数列前n 项和公式与已知建立等量关系即可求解． [解析] (1)设{a n }的公比为q ，由题设得a n ＝q n －1．

由已知得q 4＝4q 2，解得q ＝0(舍去)或q ＝－2或q ＝2.故a n ＝(－2)n －1或a n ＝2n －1． (2)若a n ＝(－2)n －1，则S n ＝1－(－2)n 3.由S m ＝63得(－2)m ＝－188，此方程没有正整数解．

若a n ＝2n －1，则S n ＝2n －1.由S m ＝63得2m ＝64，解得m ＝6.综上，m ＝6． [解后反思] 等比数列基本量运算问题的常见类型及解题策略： (1)求通项．求出等比数列的两个基本量a 1和q 后，通项便可求出． (2)求特定项．利用通项公式或者等比数列的性质求解． (3)求公比．利用等比数列的定义和性质建立方程(组)求解．

(4)求前n 项和．直接将基本量代入等比数列的前n 项和公式求解或利用等比数列的性质求解．

[易错警示] 解方程时，注意对根的检验．求解等比数列的公比时，要结合题意进行讨论、取值，避免错解．

14． (2018·安徽联考)已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且满足S n －2a n ＝n －4． (1)证明：{S n －n ＋2}为等比数列． (2)求数列{S n }的前n 项和T n ．

[解析] (1)证明：由题意知S n －2(S n －S n －1)＝n －4(n ≥2)， 即S n ＝2S n －1－n ＋4，

所以S n －n ＋2＝2[S n －1－(n －1)＋2]， 又易知a 1＝3，所以S 1－1＋2＝4，

所以{S n －n ＋2}是首项为4，公比为2的等比数列． (2)由(1)知S n －n ＋2＝2n ＋1， 所以S n ＝2n ＋1＋n －2，

于是T n ＝(22＋23＋…＋2n ＋1)＋(1＋2＋…＋n )－2n ＝4(1－2n )1－2

＋

n (n ＋1)

2

－2n ＝2n ＋3＋n 2－3n －8

2

．

1．已知1，a 1，a 2,4成等差数列，1，b 1，b 2，b 3,4成等比数列，则a 1＋a 2

b 2的值是( C )

A ．52或－5

2

B ．－5

2

C ．5

2

D ．12

[解析] 由题意得a 1＋a 2＝5，b 22＝4，又

b 2与第一项的符号相同，所以b 2＝2.所以

a 1＋a 2

b 2

＝5

2

.故选C ． [技巧点拨] (1)在等差(比)数列的基本运算中要注意数列性质的运用，利用性质解题可简化运算，提高运算的速度．

(2)根据等比中项的定义可得，在等比数列中，下标为奇数的项的符号相同，下标为偶数的项的符号相同，在求等比数列的项时要注意这一性质的运用，避免出现符号上的错误．

2．等比数列{a n }共有奇数项，所有奇数项的和S 奇＝255，所有偶数项的和S 偶＝－126，末项是192，则首项a 1等于( C )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

[解析] ∵a n ＝192， ∴q ＝S 偶S 奇－a n ＝－12663＝－2．

又S n ＝a 1－a n q

1－q

＝S 奇＋S 偶，

∴a 1－192×(－2)1－(－2)＝255＋(－126)，

解得a 1＝3，故选C ．

3．各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2，S 3n ＝14，则S 4n ＝( B ) A ．80 B ．30 C ．26

D ．16

[解析] 由等比数列的性质知S n 、S 2n －S n 、S 3n －S 2n 成等比数列，∴(S 2n －2)2＝2(14－S 2n )，∴S 2n ＝6或－4(舍去)，又S 2n －S n 、S 3n －S 2n 、S 4n －S 3n 成等比数列，∴82＝4(S 4n －14)，∴S 4n ＝30.故选B ．

另解：(特殊化)不妨令n ＝1，则a 1＝S 1＝2，

S 3＝2(1－q 3)1－q ＝14，∴q 2＋q －6＝0，∴q ＝2或－3(舍去)

∴S 4＝2(1－q 4)1－q

＝30.故选B ．

4．在等比数列{a n }中，a 1＋a n ＝82，a 3·a n －2＝81，且前n 项和S n ＝121，则此数列的项数n 等于( B )

A ．4

B ．5

C ．6

D ．7

[解析] 在等比数列{a n }中，a 3·a n －2＝a 1·a n ＝81，又a 1＋a n ＝82，所以?????a 1＝1，a n ＝81或?????a 1＝81，

a n ＝1.

当a 1＝1，a n ＝81时，S n ＝1－81q

1－q ＝121，解得q ＝3．

由a n ＝a 1q n －1得81＝3n －1，解得n ＝5． 同理可得当a 1＝81，a n ＝1时，n ＝5.故选B ．

5． 已知等比数列{a n }满足条件a 2＋a 4＝3(a 1＋a 3)，a 2n ＝3a 2n ，n ∈N *，数列{b n }满足b 1＝

1，b n －b n －1＝2n －1(n ≥2，n ∈N *)．

(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；

(2)若数列{c n }满足c 1a 1＋c 2a 2＋c 3a 3＋…＋c n

a n ＝

b n ，n ∈N *，求{

c n }的前n 项和T n ．

[解析] (1)设{a n }的通项公式为a n ＝a 1q n －1，n ∈N *，

由已知a 2＋a 4＝3(a 1＋a 3)，a 1q ＋a 1q 3＝3(a 1＋a 1q 2)，得q ＝3，

由已知a 2n ＝3a 2n ，即a 1q 2n －1＝3a 21

q 2n －2， 解得q ＝3a 1，a 1＝1，

所以{a n }的通项公式为a n ＝3n －1．

因为b 1＝1，b n －b n －1＝2n －1(n ≥2，n ∈N *)， 可得b 2－b 1＝3，b 3－b 2＝5，…，b n －b n －1＝2n －1， 累加可得b n ＝n 2．

(2)当n ＝1时，c 1

a 1

＝1，c 1＝1，

当n ≥2时，c 1a 1＋c 2a 2＋c 3a 3＋…＋c n

a n ＝n 2①

c 1a 1＋c 2a 2＋c 3

a 3＋…＋c n －1a n －1

＝(n －1)2② 由①－②得到c n

a n ＝2n －1，c n ＝(2n －1)·3n －1，n ≥2，

综上，c n ＝(2n －1)·3n －1，n ∈N *．

T n ＝1×30＋3×31＋…＋(2n －3)×3n －2＋(2n －1)×3n －1③ 3T n ＝1×31＋3×32＋…＋(2n －3)×3n －1＋(2n －1)×3n ④ 由③－④得到

－2T n ＝1×30＋2×(31＋32＋…＋3n －1)－(2n －1)×3n ＝1×30＋2×3(3n －1－1)3－1

－(2n －

1)×3n ．

所以T n ＝1＋(n －1)×3n ．

等比数列及其前n项和

等比数列及其前n 项和 [考纲传真] 1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系． 【知识通关】 1．等比数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用 字母q 表示，定义的数学表达式为a n ＋1a n ＝q (n ∈N *，q 为非零常数)． (2)等比中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即G 是a 与b 的等比中项?a ，G ，b 成等比数列?G 2＝ab . 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n －1＝a m q n －m . (2)前n 项和公式： S n ＝??? na 1(q ＝ 1)，a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q (q ≠1). [常用结论] 1．在等比数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ，n ，p ，q ，k ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k . 2．若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }(λ≠0)，???? ??1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，???? ??a n b n 仍然是等比数列． 3．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n ，其中当公比为－1时，n 为偶数时除外． 【基础自测】 1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N *，q 为常数)的数列{a n }为等比数列．( ) (2)G 为a ，b 的等比中项?G 2＝ab .( ) (3)若{a n }为等比数列，b n ＝a 2n －1＋a 2n ，则数列{b n }也是等比数列．( )

等比数列的前n项和 优秀教学设计

等比数列的前n 项和 【教学目标】 知识与技能：掌握等比数列的前n 项和公式及公式证明思路；会用等比数列的前n 项和公式解决有关等比数列的一些简单问题。 过程与方法：经历等比数列前n 项和的推导与灵活应用，总结数列的求和方法，并能在具体的问题情境中发现等比关系建立数学模型、解决求和问题。 情感态度与价值观：在应用数列知识解决问题的过程中，要勇于探索，积极进取，激发学习数学的热情和刻苦求是的精神。 【教学重点】 等比数列的前n 项和公式推导 【教学难点】 灵活应用公式解决有关问题 【学情分析】 针对学生学习等差数列前n 项和时的情况，一定在本节课的教学中加大思想方法的教学力度，突破错位相减思想理解困难。引导学生完成基本技能的训练。 【教学过程】 一、课题导入 创设情境 提出问题 :“国王对国际象棋的发明者的奖励” 二、讲授新课 分析问题:如果把各格所放的麦粒数看成是一个数列，我们可以得到一个等比数列，它的首项是1，公比是2，求第一个格子到第64个格子各格所放的麦粒数总合就是求这个等比数列的前64项的和。下面我们先来推导等比数列的前n 项和公式。 等比数列的前n 项和公式： 当1≠q 时， q q a S n n --=1)1(1 ① 或q q a a S n n --=11 ②当q=1时，1 na S n =当已知1a ， q ， n 时用公式①；当已知1a ， q ， n a 时，用公式②。 公式的推导方法一：

一般地，设等比数列 n a a a a ,,321+它的前n 项和是 =n S n a a a a +++321由 ???=+++=-11321n n n n q a a a a a a S 得 ?????++++=++++=---n n n n n n q a q a q a q a q a qS q a q a q a q a a S 1113121111212111 n n q a a S q 11)1(-=-∴ 论同上）∴当1≠q 时， q q a S n n --=1)1(1 ① 或q q a a S n n --=11 ②当q=1时，1 na S n =公式的推导方法二：有等比数列的定义，q a a a a a a n n ====-12 312 根据等比的性质，有q a S a S a a a a a a n n n n n =--=++++++-112132 即 q a S a S n n n =--1?q a a S q n n -=-1)1(（结围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比定理，导出了公式。 公式的推导方法三： =n S n a a a a +++321＝) (13211-++++n a a a a q a ＝11-+n qS a ＝) (1n n a S q a -+?q a a S q n n -=-1)1(（结论同上） 解决问题; 有了等比数列的前n 项和公式，就可以解决刚才的问题。 由11,2,64a q n ===可得 1(1)1n n a q S q -=-=641(12)12?--=6421-。 6421-这个数很大，超过了19 1.8410?。国王不能实现他的诺言。三、 例题讲解 例1．求下列等比数列的各项的和：

高中数学《等比数列的前n项和(第一课时)》教学设计

高中数学《等比数列的前n项和（第一课时）》教学设计 一.教材分析。 (1教材的地位与作用:《等比数列的前n项和》选自《普通高中课程标准数学教科书·数学(5,是数列这一章中的一个重要内容,它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用,如储蓄、分期付款的有关计算等等,而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法,都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。 (2从知识的体系来看:“等比数列的前n项和”是“等差数列及其前n项和”与“等比数列”内容的延续、不仅加深对函数思想的理解,也为以后学数列的求和,数学归纳法等做好铺垫。 二.学情分析。 (1学生的已有的知识结构:掌握了等差数列的概念,等差数列的通项公式和求和公式与方法,等比数列的概念与通项公式。 (2教学对象:高二理科班的学生,学习兴趣比较浓,表现欲较强, 逻辑思维能力也初步形成,具有一定的分析问题和解决问题的能力,但由于年龄的原因,思 维尽管活跃、敏捷,却缺乏冷静、深刻,因而片面、不够严谨。 (3从学生的认知角度来看:学生很容易把本节内容与等差数列前n项和从公式的形成、特点等方面进行类比,这是积极因素,应因势利导。不利因素是:本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有着本质的不同,这对学生的思维是一个突破,另外,对于q = 1这一特殊情况,学生往往容易忽视,尤其是在后面使用的过程中容易出错。 三.教学目标。

根据教学大纲的要求、本节教材的特点和本班学生的认知规律,本节课的教学目标确定为: (1知识技能目标————理解并掌握等比数列前n项和公式的推导过程、公式的特点,在此基础上,并能初步应用公式解决与之有关的问题。 (2过程与方法目标————通过对公式推导方法的探索与发现,向学生渗透特殊到一般、类比与转化、分类讨论等数学思想,培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力和逆向思维的能力. (3情感,态度与价值观————培养学生勇于探索、敢于创新的精神,从探索中获得成功的体验,感受数学的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美。 四.重点,难点分析。 教学重点:公式的推导、公式的特点和公式的运用。 教学难点:公式的推导方法及公式应用中q与1的关系。 五.教法与学法分析. 培养学生学会学习、学会探究是全面发展学生能力的重要前提,是高中新课程改革的主要任务。如何培养学生学会学习、学会探究呢?建构主义认为:“知识不是被动吸收的,而是由认知主体主动建构的。”这个观点从教学的角度来理解就是:知识不是通过教师传授得到的,而是学生在一定的情境中,运用已有的学习经验,并通过与他人(在教师指导和学习伙伴的帮助下协作,主动建构而获得的,建构主义教学模式强调以学生为中心,视学生为认知的主体,教师只对学生的意义建构起帮助和促进作用。因此,本节课采用了启发式和探究式相结合的教学方法,让老师的主导性和学生的主体性有机结合,使学生能够愉快地自觉学习,通过学生自己观察、分析、探索等步骤,自己发现解决问题的方法,比较论证后得到一般性结论,形成完整的数学模型,再运用所得理论和方法去解决问题。一句话:还课堂以生命力,还学生以活力。 六.课堂设计

等比数列前n项和公式-教案

课时教案

一、复习提问 回顾等比数列定义，通项公式 （1）等比数列定义：（， （2）等比数列通项公式： （3）等差数列前n项和公式的推导方法：倒序相加法。二、问题引入： 阅读:课本“国王赏麦的故事”。 问题:如何计算 引出课题:等比数列的前n项和。 三、问题探讨： 问题：如何求等比数列的前n项和公式 回顾：等差数列的前n项和公式的推导方法。 倒序相加法。 等差数列它的前n项和是 根据等差数列的定义 （1） （2） （1）+（2）得：

探究：等比数列的前n项和公式是否能用倒序相加法推导？ 学生讨论分析，得出等比数列的前n项和公式不能用倒序相加法推导。 回顾：等差数列前n项和公式的推导方法本质。 构造相同项，化繁为简。 探究：等比数列前n项和公式是否能用这种思想推导？ 根据等比数列的定义： 变形： 具体： …… 学生分组讨论推导等比数列的前n项和公式，学生不难发现：由于等比数列中的每一项乘以公比都等于其后一项。 所以将这一特点应用在前n项和上。 由此构造相同项。数学具有和谐美，错位相减，从而化繁为简。 （1） （2） 由此构造相同项。数学具有和谐美，错位相减，从而化繁为简。

当q=1时， 当时， 学生经过讨论还发现了其他的推导方法，让学生课后整合自己的思路，将各自的推导过程展示在班级学习园地，同学们共享探究。 由等比数列的通项公式推出求和公式的第二种形 式： 当时， 四.知识整合: 1．等比数列的前n项和公式： 当q=1时， 当时， 2．公式特征： ⑴等比数列求和时，应考虑与两种情况。 ⑵当时，等比数列前n项和公式有两种形式,分别都 涉及四个量，四个量中“知三求一”。 ⑶等比数列通项公式结合前n项和公式涉及五个量， ， 五个量中“知三求二”（方程思想）。 3．等比数列前n项和公式推导方法：错位相减法。

2.5 等比数列的前n项和(一)(优秀经典公开课比赛教案)

澜沧拉祜族自治县第一中学教案 2.5 等比数列的前n项和（一） 学科：数学年级：高二 备课教师：刘德清、龙新荣、郭晓芳、王焕刚、沈良宏 一、教材分析：等比数列的前n项和是“等差数列的前n项和”与“等比数列”内容的延续、是进一步学习数列知识和解决一类求和问题的重要基础和有力工具。它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、 分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中所蕴涵的类比、分类讨论、方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。等比数列的前n项和公式的探究与推导需要学生观察、分析、归纳、猜想，有助于培养学生的创新思维和探索精神, 是培养学生应用意识和数学能力的良好载体． 二、教学目标： 1、（1）了解现实生活中存在着大量的等比数列求和的计算问题； （2）探索并掌握等比数列前n项和公式； （3）用方程的思想认识等比数列前n项和公式，利用公式知三求一； （4）体会公式推导过程中的分类讨论和转化化归的思想. 2、（1）采用观察、思考、类比、归纳、探究得出结论的方法进行教学； （2）发挥学生的主体作用，作好探究性活动. 3、（1）通过生活中有趣的实例，鼓励学生积极思考，激发学生对知识 的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的类比、归纳的能力； （2）在探究活动中学会思考，学会解决问题的方法； （3）通过对有关实际问题的解决，体现数学与实际生活的密切联系，激发学生学习的兴趣. 三、教学重点：等比数列前n项和公式的推导及其应用。 四、教学难点：等比数列前n项和公式的推导，灵活应用公式解决有关问题。 五、教学准备 1、课时安排：1课时 2、学情分析：等差、等比数列的定义和通项公式，等差数列的前ｎ项 和的公式是学生在学习之前已经具备的知识基础。学生具体研究学习了等差数列前n项和公式的推导方法，具备了一定的探究能力。由此，学生会产生思考，等比数列前n项和公式应该如何推导，公式是从什么新的角度建构？

等比数列及其前n项和(作业)

等比数列及其前n 项和(作业) 例1： 已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且1a ，31 2 a ，22a 成等差数列，则 910 78 a a a a +=+（ ） A ．1 B ．1 C ．3+D ．3- 【思路分析】 设公比为q ，则0q >，21a a q =，231a a q =， ∵1a ，31 2 a ，22a 成等差数列， ∴3122a a a =+，即21112a q a a q =+， 解得1q =+ 1， ∴22910787878()3a a a a q q a a a a ++===+++． 故选C ． 例2： 若等比数列 {} n a 中，25112a a a ++=，58146a a a ++=，那么 2581114a a a a a ++++的值为（ ） A ．8 B ．9 C ．242 31 D ． 240 41 【思路分析】 设公比为q ，则335814251125112511() a a a q a a a q a a a a a a ++++==++++，即33q =， ∴38553a a q a ==，9145527a a q a ==， 由58146a a a ++=，得5553276a a a ++=，解得56 31 a = ， ∴2581114251158145242 ()()31 a a a a a a a a a a a a ++++=+++++-=． 故选C ． 例3： 设{}n a 为等比数列，{}n b 为等差数列，且10b =，n n n c a b =+，若数列{} n c

的前三项为1，1，2，则{}n a 的前10项之和是 （ ） A ．978 B ．557 C ．467 D ．1 023 【思路分析】 设数列{}n a 的公比为q ，设数列{}n b 的公差为d ， ∵10b =，11c =， ∴11a =， 则2a q =，23a q =，2b d =，32b d =， ∵21c =，32c =， ∴2122q d q d +=??+=? ，解得21q d =??=-?， ∴数列{}n a 的前10项之和10110(1) 1 0231a q S q -= =-．故选D ． 1. 在等比数列{}n a 中，已知332a = ，前三项和39 2 S =，则公比q =（ ）

等比数列的前n项和例题详细解法

等比数列的前n项和例题详细解法?例题解析 【例1】设等比数列的首项为a(a＞0)，公比为q(q＞0)，前n项和为80，其中 最大的一项为54，又它的前2n项和为6560，求a和q. 解：由S n=80，S2n=6560，故q≠1 ∵a＞0，q＞1，等比数列为递增数列，故前n项中最大项为an． ∴a n=aq n-1=54 ④ 将③代入①化简得a=q－1 ⑤ 由⑤，⑥联立方程组解得a=2，q=3 证∵Sn=a1＋a1q＋a1q2＋...＋a1q n-1 S2n=S n＋(a1q n＋a1q n+1＋...＋a1q2n-1)

=S n＋q n(a1＋a1q＋...＋a1q n-1)=S n＋q n S n=S n(1＋q n) 类似地，可得S3n=S n(1＋q n＋q2n) 说明本题直接运用前n项和公式去解，也很容易．上边的解法，灵活地处理了S2n、S3n与S n的关系．介绍它的用意在于让读者体会利用结合律、提取公因式等方法将某些解析式变形经常是解决数学问题的关键，并且变得好，则解法巧． 【例2】一个有穷的等比数列的首项为1，项数为偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求这个数列的公比和项数． 分析设等比数列为{a n}，公比为q，取其奇数项或偶数项所成的数列仍然是等比数列，公比为q2，首项分别为a1，a1q． 解设项数为2n(n∈N*)，因为a1=1，由已知可得q≠1． 即公比为2，项数为8． 说明运用等比数列前n项和公式进行运算、推理时，对公比q要分情况讨论．有关等比数列的问题所列出的方程(组)往往有高次与指数方程，可采用两式相除的方法达到降次的目的．

等比数列前n项和优秀教案

《等比数列前n项和》教学设计 一、教学目标： 1.知识目标：理解并掌握等比数列前n项和公式的推导过程、公式的特点，在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题。 2.能力目标：通过启发、引导、分析、类比、归纳，并通过严谨科学的解题思想和解题方法的训练，提高学生的数学素养。 3.情感目标：通过解决生产实际和社会生活中的实际问题了解社会、认识社会，形成科学的世界观和价值观。 二、教学重点与难点： 教学重点：公式的推导、公式的特点和公式的应用。 教学难点：公式的推导方法和公式的灵活运用。公式推导所使用的“错位相减法”是高中数学的数列求和方法中最常用的方法之一，它蕴涵了重要的数学思想，所以既是重点也是难点。 三、教学方法：以多媒体辅助教学，引导学生分析求解，师生合作，师生互动。 四、教学过程： 1.复习回顾： （1）等比数列定义及等比数列通项公式。 2.情境导入： 话说猪八戒看见自己的师兄弟都是亿万富豪了，自己也做起了发财梦，于是想成立高老庄集团，但是苦于没有资金，于是想到了他的大师兄，猪八戒：猴哥,能不能帮帮我…… 孙悟空：No problem！我每天给你投资100万元，连续一个月(30天)，但有一个条件：第一天返还1元，第二天返还2元，第三天返还4元…… 后一天返还数为前一天的2倍．30天之后互不相欠。 猪八戒：第一天出１元入100万；第二天出2元入100万;第三天出4元入100万元；……哇，发了……（想：这猴子是不是又在耍我） 让我们帮猪八戒算一算：八戒吸纳的资金为100×30＝3000万元。 需返还悟空的钱数为S30＝1+2+22+23+……+229＝？事实上，这是等比数列的求和问题，那么怎样求等比数列的前n项和呢？使学生带着浓厚的兴趣引。

(经典)讲义：等比数列及其前n项和

（经典）讲义：等比数列及其前n 项和 1．等比数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示． 2．等比数列的通项公式 设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则它的通项a n ＝a 1·q n －1. 3．等比中项 若G 2 ＝a ·b (ab ≠0)，那么G 叫做a 与b 的等比中项． 4．等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n －m ，(n ，m ∈N ＋)． (2)若{a n }为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N ＋)，则a k ·a l ＝a m ·a n . (3)若{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }(λ ≠0)，? ???????? ?1a n ，{a 2n }， {a n ·b n }，? ???????? ?a n b n 仍是等比数列． (4)公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n . 5．等比数列的前n 项和公式 等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，其前n 项和为S n ， 当q ＝1时，S n ＝na 1； 当q ≠1时，S n ＝a 11－q n 1－q ＝a 1－a n q 1－q . 【注意】 6.利用错位相减法推导等比数列的前n 项和： S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1， 同乘q 得：qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3＋…＋a 1q n ， 两式相减得(1－q )S n ＝a 1－a 1q n ，∴S n ＝a 11－q n 1－q (q ≠1)． 7.1由a n ＋1＝qa n ，q ≠0并不能立即断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0. 7.2在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论，

教案-《等比数列的前n项和公式》

高二数学组集体备课教案（第七周10月17日） 课题：2.5等比数列的前n 项和(两个课时) 教学目标：（1）知识目标：理解等比数列的前n 项和公式的推导方法；掌握等比数列 的前n 项和公式并能运用公式解决一些简单问题； （2）能力目标：提高学生的建模意识，体会公式探求过程中从特殊到一 般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想； （3）情感目标：培养学生将数学学习放眼生活，用生活眼光看数学的思 维品质； 教学重点：（1）等比数列的前n 项和公式； （2）等比数列的前n 项和公式的应用； 教学难点：等比数列的前n 项和公式的推导； 教学方法：问题探索法及启发式讲授法 教 具：多媒体 教学过程： 一、复习提问 回顾等比数列定义，通项公式 （1）等比数列定义：q a a n n =-1（2n ≥，)0≠q （2）等比数列通项公式： ) 0,(111≠=-q a q a a n n （3）等差数列前n 项和公式的推导方法：倒序相加法。 二、问题引入： 阅读:课本第55页“国王赏麦的故事”。 问题:如何计算 引出课题:等比数列的前n 项和。 三、问题探讨： 问题：如何求等比数列{}n a 的前n 项和公式 =n S 123n a a a a ++++ 22111111--=+++++ n n a a q a q a q a q 2363 6412222S =+++++

倒序相加法。 等差数列 n a a a a ,,321+它的前n 项和是=n S n a a a a +++321 根据等差数列的定义1+-=n n a a d []1111()(2)（n-1)=+++++++ n S a a d a d a d （1） []()(2)-（n-1)=+-+-++ n n n n n S a a d a d a d （2） （1）+（2）得：12()=+n n S n a a 1()2 += n n n a a S 探究：等比数列的前n 项和公式是否能用倒序相加法推导？ =n S 123n a a a a ++++ 22111111--=+++++ n n a a q a q a q a q 221 --=+++++ n n n n n n n n a a a a S a q q q q 学生讨论分析，得出等比数列的前n 项和公式不能用倒序相加法推导。 回顾：等差数列前n 项和公式的推导方法本质。 构造相同项，化繁为简。 探究：等比数列前n 项和公式是否能用这种思想推导？ 根据等比数列的定义： 1 )（++=∈n n a q n N a 变形：1+=n n a q a 具体：12=a q a 23=a q a 34=a q a …… 学生分组讨论推导等比数列的前n 项和公式，学生不难发现： 由于等比数列中的每一项乘以公比q 都等于其后一项。 所以将这一特点应用在前n 项和上。 由此构造相同项。数学具有和谐美，错位相减，从而化繁为简。 22111111n n n S a a q a q a q a q --=+++++ （1） 23111111-= +++++ n n n qS a q a q a q a q a q （2） 由此构造相同项。数学具有和谐美，错位相减，从而化繁为简。

等比数列前n项和优秀教案

等比数列的前n项和 一、教学目标 1、掌握等比数列的前n项和公式，能用等比数列的前n项和公式解决相关问题。 2、通过等比数列的前n项和公式的推导过程，体会错位相减法以及分类讨论的思想方法。 3、通过对等比数列的学习，发展数学应用意识，逐步认识数学的科学价值、应用价值，发展数学的理性思维。 二、教学重点与难点 重点：掌握等比数列的前n项和公式，能用等比数列的前n项和公式解决相关问题。 难点：错位相减法以及分类讨论的思想方法的掌握。 三、教学设想 本节课采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以“正弦定理的发现”为基本探究内容，以四周世界和生活实际为参照对象，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，将自己所学知识应用于对任意三角形性质的深入探讨。让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展，在“合作”中增知，在“探究”中创新。设计思路如下： 四、教学过程 （一）创设问题情景 课前给出复习：等比数列的定义及性质 课首给出引例：“一个穷人到富人那里去借钱,原以为富人不愿意，哪知富人一口答应了下来,但提出了如下条件：在30天中，富人第一天借给穷人1万元,第二天借给穷人2万元,以后每天所借的钱数都比上一天多1万;但借钱第一天,穷人还1分钱,第二天还2分钱,以后每天所还的钱数都是上一天的两倍,30天后互不相欠.穷人听后觉得挺划算,本想定下来,但又想到此富人是吝啬出了名的,怕上当受骗,所以很为难。”请在座的同

学思考讨论一下,穷人能否向富人借钱? [设计一个学生比较感爱好的实际问题，吸引学生注重力，使其马上进入到研究者的角色中来！] （二）启发引导学生数学地观察问题，构建数学模型。 学生直觉认为穷人可以向富人借钱，教师引导学生自主探求，得出： 穷人30天借到的钱：4652 30)301(3021'30=?+=+++= S （万元） 穷人需要还的钱：=++++=292302221 S ? [直觉先行,思辨引路,在矛盾冲突中引发学生积极的思维!] 教师紧接着把如何求=++++=292302221 S ？的问题让学生探 究， 292302221++++= S ①若用公比2乘以上面等式的两边，得到 302923022222++++= S ② 若②式减去①式，可以消去相同的项，得到： 1073741823 123030=-=S (分) ≈1073(万元) ＞ 465（万元） 答案:穷人不能向富人借钱 （三）引导学生用“特例到一般”的研究方法，猜想数学规律。 提出问题:如何推导等比数列前n 项和公式？（学生很自然地模仿 以上方法推导） )1(11212111--+++++=n n n q a q a q a q a a S )2(111211n n n q a q a q a q a qS ++++=- （1）-（2）有n n q a a S q 11)1(-=- 推导等比数列前n 项和n S 的公式，教师引导讲完课本上的推导方法 后， 教师：还有没有其他推导方法？（经过几分钟的思考，有学生举手发 言） ?? ???≠--=--==1,11)1(1,111q q q a a q q a q na S n n n

等比数列及其前n项和(讲义)

等比数列及其前n 项和（讲义） 知识点睛 一、等比数列 1． 等比数列的概念 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q (0)q ≠表示． （1）等比中项 （2）等比数列的通项公式：11n n a a q -=． 2. 等比数列的性质 （1）通项公式的推广：*()，n m n m a a q m n N -=∈． （2）若{}n a 是等比数列，且*()，，，k l m n k l m n N +=+∈， 则k l m n a a a a =??． （3）若{}n a 是等比数列，则k a ，k m a +，2k m a +，…*()，k m N ∈组成公比为m q 的等比数列． （4）若{}n a 是等比数列，则{}n a λ，{}||n a ，1{}n a ，{}2 n a 也是等比数列． （5）若{}n a ，{}n b 是等比数列，则{}n n a b ?，{ }n n a b 也是等比数列． （6）当数列{}n a 是各项均为正数的等比数列时， 数列{}lg n a 是公差为lg q 的等差数列． 二、 等比数列的前n 项和公式 1. 对于等比数列 1a ，2a ，3a ，…，n a ，…

当1q ≠时， 它的前n 项和的公式为1(1) 1n n a q S q -=-或11n n a a q S q -=-． 当1q =时， 它的前n 项和的公式为1n S na =． 推导过程：错位相减法 2. 等比数列各项和的性质 （1）若m S ，2m S ，3m S 分别是等比数列{}n a 的前m 项，前2m 项，前3m 项的和，则m S ，2m m S S -，32m m S S -成等比数列，其公比为m q ． （2）等比数列的单调性 ①当101a q >??>?或10 01a q ??<?时，{}n a 是递减数列； ③当101a q ≠??=?时，{}n a 是常数列； ④当0q <时，{}n a 是摆动数列． 精讲精练 1. 设{}n a 为等比数列，且4652a a a =-，则公比是（ ） A ．0 B ．1或-2 C ．-1或2 D ．-1或-2

等比数列前n项和公式

数列 等比数列前n项和公式 ■(2015甘肃省白银市会宁二中高考数学模拟,等比数列前n项和公式,选择题,理3)公比不为1等比数列{a n}的前n项和为S n,且-3a1,-a2,a3成等差数列,若a1=1,则S4=() A.-20 B.0 C.7 D.40 解析:设数列的公比为q(q≠1),则∵-3a1,-a2,a3成等差数列, ∴-3a1+a3=-2a2,∵a1=1,∴-3+q2+2q=0, ∵q≠1,∴q=-3.∴S4=1-3+9-27=-20.故选A. 答案:A ■(2015甘肃省兰州市七里河区一中数学模拟,等比数列前n项和公式,选择题,理11)已知函数y=x3在x=a k时的切线和x轴交于a k+1,若a1=1,则数列{a n}的前n项和为() A.n B. - C.3- D.3- - 解析:∵函数y=x3,∴y'=3x2,∴- - =3, 即 - =3, 化简,得3a k+1=2a k,即, 又∵a1=1,∴S n=- - =3- - ,故选D. 答案:D ■(2015甘肃省白银市会宁二中高考数学模拟,数列与不等式相结合问题,填空题,理16)已知数列{a n}的前n项和为S n,且S n+1=2a n,则使不等式+…+<5×2n+1成立的n的最大值为.解析:当n=1时,a1+1=2a1,解得a1=1. 当n≥2时,∵S n+1=2a n,S n-1+1=2a n-1, ∴a n=2(a n-a n-1),∴ - =2. ∴数列{a n}是以1为首项,2为公比的等比数列. ∴a n=2n-1,∴=4n-1. ∴+…+ =1+4+42+…+4n-1=- - (4n-1). ∴(4n-1)<5×2n+1. ∴2n(2n-30)<1,可知使得此不等式成立的n的最大值为4. 答案:4 专题2数列与函数相结合 问题 1

等比数列及其前n项和考点与题型归纳

等比数列及其前n 项和考点与题型归纳 一、基础知识 1．等比数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1 a n ＝q . (2)等比中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即G 是a 与b 的等比中项?a ，G ，b 成等比数列?G 2＝ab . 只有当两个数同号且不为0时，才有等比中项，且等比中项有两个. 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n － 1. (2)前n 项和公式：S n ＝???? ? na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1. 3．等比数列与指数型函数的关系 当q >0且q ≠1时，a n ＝a 1 q ·q n 可以看成函数y ＝cq x ，其是一个不为0的常数与指数函数 的乘积，因此数列{a n }各项所对应的点都在函数y ＝cq x 的图象上； 对于非常数列的等比数列{a n }的前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝－a 11－q q n ＋a 11－q ，若设a ＝a 1 1－q ， 则S n ＝－aq n ＋a (a ≠0，q ≠0，q ≠1)．由此可知，数列{S n }的图象是函数y ＝－aq x ＋a 图象上一系列孤立的点． 对于常数列的等比数列，即q ＝1时，因为a 1≠0，所以S n ＝na 1.由此可知，数列{S n }的图象是函数y ＝a 1x 图象上一系列孤立的点． 二、常用结论汇总——规律多一点 设数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和． (1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n －m (n ，m ∈N *)． (2)若m ＋n ＝p ＋q ，则a m a n ＝a p a q ；若2s ＝p ＋r ，则a p a r ＝a 2s ，其中m ，n ，p ，q ，s ，r ∈N *. (3)a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m (k ，m ∈N *)．

《等比数列前n项和》优秀教案(公开课)

《等比数列前n 项和》教学设计(教案) 一、教学目标： 1．知识与技能目标 理解并掌握等比数列前n 项和公式的推导过程、公式的特点，在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题。 2．过程与方法目标 通过对公式推导方法的探索与发现，向学生渗透特殊到一般、类比与转化、分类讨论等数学思想，培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力和逆向思维的能力。 3．情感、态度与价值观 通过对公式推导方法的探索与发现，优化学生的思维品质，渗透事物之间等价转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点。 二、教学重难点 1.教学重点：公式的推导、公式的特点和公式的运用； 2.教学难点：公式的推导方法及公式应用中q 与1的关系。 三、教学工具：ppt 、多媒体 四、过程分析： 故事情景，引出问题→类比联想，解决问题→例题讲解，加深印象→故事结束，首尾呼应→归纳总结，加深理解 （一）故事导入：（同时播放ppt 漫画） 传说国际象棋的发明人是印度的大臣西萨 班 达依尔，舍罕王为了表彰大臣功绩，准备对宰相进行奖赏。国王问宰相：“我要重重赏赐你，你想得到什么样的奖赏尽管提？”，这位聪明的宰相说：“陛下，请您在这张棋盘的第一个格子内放上1颗麦粒，在第二个格子内放上2颗麦粒，在第三个格子内放上4颗麦粒，在第四个格子内放上8颗麦粒，…，依照后一格子内的麦粒数是前一格子内的麦粒数基础上加一倍，放满棋盘的64个格子．并把这些麦粒赏给您的我吧”。国王认为这样的奖赏很轻，于是爽快地答应了，命令如数付给宰相麦粒 一位大臣帮忙，自找麻烦 大臣计数麦粒的工作开始了，在第一个格内放1粒，第二个格内放2粒，第三个格内放4粒，第四个格内放8粒，……，1+2+4+8+16+32+……宰相所要求的麦粒数究竟是多少呢？大臣算了好久也没有算清楚！ 宰相来提示，帮助这位大臣计算 各个格的麦粒数组成首项为1，公比为2的等比数列，宰相所要的奖赏就是这 23631+2+2+2++2=

等比数列及其前n项和 练习题

等比数列及其前n 项和 [A 级 基础题——基稳才能楼高] 1．(2019·榆林名校联考)在等比数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝2，则a 7＝( ) A ．－8 B ．8 C ．8或－8 D ．16或－16 解析：选B 设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 1＝1，a 3＝2，∴q 2＝2，∴a 7＝a 3q 4＝2×22 ＝8.故选B. 2．(2019·六安一中调研)已知1，a 1，a 2,4成等差数列，1，b 1，b 2，b 3,4成等比数列，则 a 1＋a 2 b 2 的值是( ) A.52或－52 B ．－52 C.52 D ．12 解析：选C 由题意得a 1＋a 2＝5，b 2 2＝4，又b 2与第一项的符号相同，所以b 2＝2.所以 a 1＋a 2 b 2＝5 2 .故选C. 3．(2019·湖北稳派教育联考)在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 5a 11＝4，a 6a 12 ＝8，则a 8a 9＝( ) A ．12 B ．4 2 C ．6 2 D ．32 解析：选B 由等比数列的性质得a 28＝a 5a 11＝4，a 29＝a 6a 12＝8，∵a n >0，∴a 8＝2，a 9 ＝22，∴a 8a 9＝4 2.故选B. 4．(2019·成都模拟)设{a n }是公比为负数的等比数列，a 1＝2，a 3－4＝a 2，则a 3＝( ) A ．2 B ．－2 C ．8 D ．－8 解析：选A 法一：设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 1＝2，a 3－a 2＝a 1(q 2－q )＝4，所以q 2－q ＝2，解得q ＝2(舍去)或q ＝－1，所以a 3＝a 1q 2＝2，故选A. 法二：若a 3＝2，则a 2＝2－4＝－2，此时q ＝－1，符合题意，故选A. 5．(2019·益阳、湘潭高三调研)已知等比数列{a n }中，a 5＝3，a 4a 7＝45，则a 7－a 9 a 5－a 7 的值为( )

§2.5等比数列前n项和公式教学设计

§2.5等比数列前n项和公式教学设计 一、教材分析 1、教学内容：《等比数列的前n项和》是高中数学人教版《必修5》第二章《数列》第5节的内容，教学大纲安排本节内容授课时间为两课时，本节课作为第一课时，重在研究等比数列的前n项和公式的推导过程并充分揭示公式的结构特征、内在联系及公式的简单应用． 2、教材分析：《等比数列的前n项和》是数列这一章中的一个重要内容,就知识的应用价值上看，它是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等,另外公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法,都是学生今后学习和工作中必备的数学素养．就内容的人文价值来看，等比数列的前n项和公式的探究与推导需要学生观察、归纳、证明，这有助于培养学生的创新思维和探索精神,同时也是培养学生应用意识和数学能力的良好载体． 二、学情分析 1、知识基础：前几节课学生已学习了等差数列求和，等比数列的定义及通项公式等内容,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用. 2、认知水平与能力：高一学生初步具有自主探究的能力，能在教师的引导下独立、合作地解决一些问题，但从学生的思维特点看，很容易把本节内容与等差数列前n项和公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导．不利因素是：本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有所不同，这对学生的思维是一个突破，另外，对于q=1这一特殊情况，学生也往往容易忽略，尤其是在后面使用的过程中容易出错． 3、任教班级学生特点：我班学生基础知识还行、思维较活跃，应该能在教师的引导下独立、合作地解决一些问题． 三、目标分析 教学目标 依据教学大纲的教学要求，渗透新课标理念，并结合以上学情分析，我制定了如下教学目标： 1.知识与技能 理解用错位相减法推导等比数列前n项和公式的过程，掌握公式的特点，并在此基础上能简单的应用公式. 2．过程与方法 在推导公式的过程中渗透类比，方程，特殊到一般的数学思想、方法，优化学生思维品质．

等比数列的前n项求和公式

自选课题：等比数列的前n项和 教学设计 1．教学内容解析 本节内容为现行人教A版《必修5》的第二章的核心内容，它在《普通高中数学课程标准（2017年版）》中，被纳入“选择性必修课程”的函数主题之中． 数列作为一类特殊的函数，既是高中函数知识体系中的重要内容，又是用来刻画现实世界中一类具有递推规律的数学模型．在现行教材的编排中，等比数列的前n项和处于等比数列的单元内容之中，是等比数列的概念与通项公式的后继学习内容，它在完善数列单元的知识结构体系，感受数列与函数的共性与差异，体会数学的整体性等方面都是不可或缺，在提升学生探究、应用和实践能力等方面，有着不可替代的作用和价值． 课标要求：学生经历等比数列前n项和公式的探索过程，掌握等比数列前n项和公式及推导方法，并能进行简单应用． 等比数列前n项和公式的知识内容之所以被列为掌握层次，主要是因为它与函数、等差数列的内在联系，尤其是它在数学史上的历史印迹，以及探索过程中所蕴含的丰富的数学思想（如特殊到一般、类比、基本量、分类讨论、函数与方程、转化与化归等），所需要的数学抽象、逻辑推理、数学建模和数学运算素养，都能充分发挥数学的育人功能。 基于以上分析，本节课的教学重点为：等比数列前n项和公式的导出及其应用。 2.学生学情分析 本节课的授课对象为宜昌市夷陵中学高一年级实验班，夷陵中学是湖北省重点中学、省级示范高中，学生有较好的数学学科基础．从学生的思维特点看，很容易把本节内容与等差数列前n项和从公式的发现、特点等方面进行类比，这是积极因素，可因势利导．然而，本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有着本质的不同，对学生的思维能力提出很高的要求．另外，对于q = 1这一特殊情况，运用公式计算时学生往往容易忽视．教学对象刚进入高一不久，虽然逻辑思维能也初步形成，具有一定的分析问题和解决问题的能力，但由于年龄的原因，缺乏深刻的理性思考。 基于以上分析，本节课的教学难点为：等比数列前n项和公式的探究及其推导。 3. 教学目标设置 （1）学生通过课前自主查阅数学史料，课堂演绎历史短剧，了解等比数列前n项和公式的来龙去脉，感受前人严谨的治学精神，体验数学的魅力和数学文化的熏陶。 （2）学生通过研究性学习和小组合作探究的方式，掌握等比数列前n项和公式的不同推导方法，领悟公式的本质，并能运用公式解决简单问题。 （3）学生在经历等比数列前n项和公式的发生、发展、推导和证明的过程中，感悟特

等比数列及其前n项和(含答案)

等比数列及其前n项和 一、单选题(共10道，每道10分) 1.公差不为0的等差数列第二、三、六项构成等比数列，则公比为( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：等比数列的通项公式 2.等比数列中，，，则的值为( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：等比数列的性质 3.在等比数列中，已知，，则( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：等比数列的性质 4.公比为4的等比数列的各项都是正数，且，则( ) A. B.1 C.4 D.16

解题思路： 试题难度：三颗星知识点：等比数列的性质 5.在正项等比数列中，，是方程的两个根，则的值为( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：等比数列的性质 6.一个蜂巢里有1只蜜蜂，第1天，它飞出去找回了5个伙伴；第2天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去，第6天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有( )只蜜蜂． A. B. C. D.

解题思路： 试题难度：三颗星知识点：等比数列的通项公式 7.在等比数列中，表示前n项的和，若，，则公比q=( ) A. B. C. D. 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：等比数列的性质 8.等比数列的前n项，前2n项，前3n项的和分别为A，B，C，则( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：等比数列的性质 9.设等比数列的前n项的和为，已知，，则( ) A. B. C. D. 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：等比数列的性质 10.已知是首项为1的等比数列，是其前n项和，且，则数列的前5项和为( ) A. B. C. D.