选修4-2矩阵与变换教案

第一讲二阶矩阵、二阶矩阵与平面向量的乘法、二阶矩阵与线性变换。

一、二阶矩阵 1.矩阵的概念

①OP → =

→的坐标排成一列，并简记为??????2 3 ????

??

2 3

③

概念一：

象??????

2 3 80908688?????? 23324m ??

??-??

的矩形数字（或字母）阵列称为矩阵.通常用大写的拉丁字母A 、B 、C…表示， 横排叫做矩阵的行,竖排叫做矩阵的列.

名称介绍：

①上述三个矩阵分别是2×1矩阵，2×2矩阵（二阶矩阵），2×3矩阵，注意行的个数在前。 ②矩阵相等：行数、列数相等，对应的元素也相等的两个矩阵，称为A ＝B 。 ③行矩阵：[a 11,a 12]（仅有一行）

④列矩阵：????

??

a 11 a 21 （仅有一列）

— 2 — 3

— ????

??80 90

86 88

231,3242x y mz x y z ++=??-+=?简记为23324m ????-??

⑤向量a →

＝（x,y ），平面上的点P （x,y ）都可以看成行矩阵[,]x y 或列矩阵x y ??????，在本书中规定所有的平面向量均写成列向量x y ??????

的形式。 练习1： 1.已知??????-=243x A ,?

?

?

???-=21z y B ，若A=B ，试求z y x ,,

2.设23x A y ??=????，2m n x y B x y m n ++??

=??--??

，若A=B ，求x,y,m,n 的值。

概念二：

由4个数a,b,c,d 排成的正方形数表a b c d ??

????称为二阶矩阵。a,b,c,d 称为矩阵的元素。

①零矩阵：所有元素均为0，即0000??

??

??

，记为0。 ②二阶单位矩阵：1001??

????

，记为E 2.

二、二阶矩阵与平面向量的乘法

定义：规定二阶矩阵A=a b c d ??????，与向量x y α→??=????

的乘积为ax by A cx dy α→+??=??+??，即A α→＝a b c d ??????x y ??????＝ax by cx dy +??

??

+?? 练习2： 1.（1）??

?

???????

??-131021＝

（2） ??

?

?????????-311021＝ 2.??

????2101??????y x =??????-11，求??

????y x 三、二阶矩阵与线性变换

1.旋转变换

问题1:P （x,y ）绕原点逆时针旋转180o

得到P ’

(x ’

,y ’

),称P ’

为P 在此旋转变换作用下的象。其结果为''x x y y ?=-?=-?，也可以表示为''00x x y

y x y

?=-+??=?-?，

即''x y ??????＝1001-????-????????y x ＝x y -????-??

怎么算出来的？

问题2. P （x,y ）绕原点逆时针旋转30o 得到P ’(x ’,y ’),试完成以下任务①写出象P ’

； ②写出这个旋转变换的方程组形式；③写出矩阵形式.

问题3.把问题2中的旋转30o

改为旋转α

2.反射变换

定义：把平面上任意一点P 对应到它关于直线l 的对称点P ’

的线性变换叫做关于直线l 的反射。

研究：P （x,y ）关于x 轴的反射变换下的象P ’(x ’,y ’

)的坐标公式与二阶矩阵。

3.伸缩变换

定义：将每个点的横坐标变为原来的1k 倍，纵坐标变为原来的2k 倍，（1k 、2k 均不为0），这样的几何变换为伸缩变换。 试分别研究以下问题：

①.将平面内每一点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变的伸缩变换的坐标公式与二阶矩阵.

②. 将每个点的横坐标变为原来的1k 倍，纵坐标变为原来的2k 倍的伸缩变换的坐标公式与二阶矩阵.

4.投影变换

定义：将平面上每个点P 对应到它在直线l 上的投影P ’

（即垂足），这个变换称为关于直线l 的投影变换。 研究：P （x,y ）在x 轴上的（正）投影变换的的坐标公式与二阶矩阵。

5.切变变换

定义：将每一点P （x,y ）沿着与x 轴平行的方向平移ky 个单位，称为平行于x 轴的切变变换。将每一点P （x,y ）沿着与y 轴平行的方向平移kx 个单位，称为平行于y 轴的切变变换。 研究：这两个变换的坐标公式和二阶矩阵。 练习：P 10 1.2.3.4

四、简单应用

1.设矩阵A=1001-??

????

，求点P(2,2)在A 所对应的线性变换下的象。

练习：P 13 1.2.3.4.5

【第一讲.作业】

1.关于x 轴的反射变换对应的二阶矩阵是

2.在直角坐标系下，将每个点绕原点逆时针旋转120o

的旋转变换对应的二阶矩阵是

3.如果一种旋转变换对应的矩阵为二阶单位矩阵，则该旋转变换是

4.平面内的一种线性变换使抛物线2

y x =的焦点变为直线y=x 上的点，则该线性变换对应的二阶矩阵可以是

5.平面上一点A 先作关于x 轴的反射变换，得到点A 1,在把A 1绕原点逆时针旋转180o

，得到点A 2，若存在一种反射变换同样可以使A 变为A 2，则该反射变换对应的二阶矩阵是

6.P （1，2）经过平行于y 轴的切变变换后变为点P 1(1,-5)，则该切变变换对应的坐标公式为

7. 设1

21x A x y ??=??-??

，2

242z x B x ??-=??-??，且A=B.则x ＝ 8.在平面直角坐标系中，关于直线y=-x 的正投影变换对应的矩阵为

9.在矩阵1221A -??

=????

对应的线性变换作用下，点P(2,1)的像的坐标为

10.已知点A （2，－1），B （－2，3），则向量AB →在矩阵11202??????-??

对应的线性变换下得到的向量坐标为 11.向量a →在矩阵1201A -??=????的作用下变为与向量11??

??-??平行的单位向量，则a →＝

12.已知15234A ??-??=??-??

，a →＝12-??????，b →＝34??????，设a b α→→→=+，a b β→→→=-，①求A α→，A β→；

13.已知1012A ??=??-??，a →＝11????-??，b →＝1x ????

??

，若A a →与A b →的夹角为135o

，求x.

14.一种线性变换对应的矩阵为1010??

??-??

。①若点A 在该线性变换作用下的像为（5，－5）,求电A 的坐标；②解释该线性变换的几何意义。

15.在平面直角坐标系中，一种线性变换对应的二阶矩阵为01102??

??????

。求①点A （1/5,3）在该变换作用下的像；②圆22

1x y +=上任意一点00(,)

P x y 在该变换作用下的像。

答案：1.1001?? ?-??

2. 12212?-- ??-??

3. 360o R

4.00a a ?? ???

5.1001-?? ???

6.''

2x x y x y ?=?=-+? 7.－1 8. 11221122??- ? ? ?- ??? 9.（0，5） 10.（2，8）

11.2 ??

，2? -

??

12.718-?? ?-??、194?? ?-??

13.ｘ＝2/3 14.(5,y) 15. 1532??

? ? ? ???

,2o o

x y ??

? ? ???

第二讲 线性变换的性质·复合变换与二阶矩阵的乘法

一、数乘平面向量与平面向量的加法运算

1.数乘平面向量：设x y α→

??=????，λ是任意一个实数，则x y λλαλ→??

=????

2.平面向量的加法：设11x y α→??=????，22x y β→??=????，则1212x x y y αβ→→+??

+=??+??

性质1：设A 是一个二阶矩阵，,αβ→→是平面上的任意两个向量，λ是任意一个实数，则①数乘结合律：()A A λαλα→→

=；②分配律：

()A A A αβαβ→

→

→

→

+=+

【探究1】对以上的性质进行证明，并且说明其几何意义。

二、直线在线性变换下的图形

研究y kx b

=+分别在以下变换下的像所形成的图形。

①伸缩变换：

10 02??????

②旋转变换：

1

2 1

2

?

-??

?

??

③切变变换：

12 01??????

④特别地：直线x=a关于x轴的投影变换？

性质2：二阶矩阵对应的变换（线性变换）把平面上的直线变成. （证明见课本P19）

三、平面图形在线性变换下的像所形成的图形

分别研究单位正方形区域在线性变换下的像所形成的图形。

①恒等变换：

10 01??????

②旋转变换：

cos sin sin cos

αα

αα

-

??????

③切变变换：

1

01

k ??????

④反射变换：1001??

??

-??

⑤投影变换：1000??

????

【练习：P 27】 【应用】

试研究函数1

y x =

在旋转变换22??

??

??

作用下得到的新曲线的方程。

四、复合变换与二阶矩阵的乘法

1.研究任意向量x y α→??

=????

先在旋转变换30o R

：1212?

-??

???

作用，再经过切变变换ρ：1201??????

作用的向量''x y ??????

2.二阶矩阵的乘积 定义：设矩阵A ＝1111a b c d ??????，B ＝2222a b c d ??

????

，则A 与B 的乘积

AB ＝111

1a b c d ???

???2222a b c d ??

????

＝

【应用】

1.计算???21 ???11-???21 ??

?

10＝

2.A ＝cos sin αα??? -s i n c o s αα???，B ＝cos sin ββ??? -s i n c o s β

β

???，求AB

3.求13α→

??=????在经过切变变换σ：A=1021????-??，及切变变换ρ：B=1201????

??

两次变换后的像β→。

4.设压缩变换σ：A ＝10210????????

，旋转变换90o R ：B ＝0110-??????，将两个变换进行复合σ?90o R ，①求向量23α→??=????在复合变换下的像；②求x y α→??=????在复合变换下的像；③在复合变换下单位正方形变成什么图形？

5.试研究椭圆22

134x y +=①伸缩变换：0.5001??????

②旋转变换：

12122?

-?????

?

；③切变变换：1201??????；④反射变换：1001????-??；⑤投影变换：1000????

??五种变换作用下的新曲线方程。

进一步研究在④②，①④等变换下的新曲线方程。

【练习：P 35】

【第二讲.作业】A.B.C.D.

1.下列线性变换中不会使正方形变为其他图形的是（ ） A.反射变换 B.投影变换 C.切变变换 D.伸缩变换

2. 在切变变换ρ：1021??

?

?

-??

作用下，直线y=2x-1变为

3. 在A ＝0.5121-??

?

?

??作用下，直线l 变为y=-2x-3,则直线l 为 4.在1010????-??

对应的线性边变换作用下，椭圆22

124x y +=变为

5.已知平面内矩形区域为12x i x j →

→

+（0≤x 1≤1,0≤x 2≤2）,若一个线性变换将该矩形变为正方形区域，则该线性变换对应的矩阵为

6.将椭圆22

134x y +=绕原点顺时针旋转45ｏ后得到新的椭圆方程为 7.在1010????

??

对应的线性边变换作用下，圆(x+1)2+(y+1)2=1变为 8.计算：

①1324?? ???1104-?? ???＝

②2111?? ???1011-?? ?-??＝ ③1011-?? ?-??2111?? ???＝

9.向量12?? ???

经过1101?? ???和1011?? ???两次变换后得到的向量为

10.

向量1??

先逆时针旋转45o ，再顺时针旋转15o

得到的向量为

11.函数sin()3y x π

=-的图像经过2001?? ???的伸缩变换，和1001-?? ???

的反射变换后的函数是

12. 椭圆

2

2

143x y

+=先后经过反射变换0110?? ???和伸缩变换1000.5?? ???后得到的曲线方程为 13.已知Ｍ＝2111?? ???，且ＭＮ＝1201??

???

，求矩阵Ｎ。

14.分别求出在1020????-??、0.5001??????、1000??????

对应的线性边变换作用下，椭圆22

14x y +=变换后的方程，并作出图形。 15.函数1y x =先后经过怎样的变换可以得到

22

144

x y -=？写出相应的矩阵。 答案：1.Ａ 2.y=-1 3.3x-y+3=0 4.y=-x 5. 01102?? ? ???

6.22772240x y xy ++-=

7.y=x （－2≤x ≤0）

8. 113218-?? ?-??、1101--?? ?-??

、2101--?? ???9.35?? ???

10. 1?? 11.sin()23x y π

=-+ 12.2213x y += 13. 1110?? ?-?? 14.y=-2x(－2≤x ≤2)、y=0(－2≤x ≤2)、22

1x y +=

15. 00

??

22? ?＝1111-?? ?-??

第三讲 矩阵乘法的性质·逆变换、逆矩阵

二、矩阵乘法的性质 1.设Ａ＝0111???

???，Ｂ＝1123-????-??，Ｃ＝0110??

??

??

由A 、B 、C 研究矩阵是否满足，①结合律；②交换律；③消去律。 结论：

2.由结合律研究矩阵Ａ的乘方运算。

3.单位矩阵的性质【应用】

1.设Ａ＝

01

11

??

??

??

，求Ａ8

2. 【练习：P41】

二、逆变换与逆矩阵

1.逆变换：设ρ是一个线性变换，如果存在一个线性变换σ，使得

σρ＝ρσ＝I，（I是恒等变换）则称变换ρ可逆，其中σ是ρ的逆变换。

2.逆矩阵：设Ａ是一个二阶矩阵，如果存在二阶矩阵Ｂ，使得BA=AB=E2,则称矩阵Ａ可逆，其中Ｂ为Ａ的逆矩阵。符号、记法：1

A-，读作Ａ的逆。

【应用】

1.试寻找Ｒ30o的逆变换。

【应用】

1.A＝

31

42

??

?

??

，问A是否可逆？若可逆，求其逆矩阵1

A-。

2. A＝

21

42

??

?

??

，问A是否可逆？若可逆，求其逆矩阵1

A-。

由以上两题，总结一般矩阵A＝

a b

c d

??

?

??

可逆的必要条件。

三、逆矩阵的性质

1.二阶矩阵可逆的唯一性。

2.设二阶矩阵A 、B 均可逆，则AB 也可逆，且111

()AB B A ---=

【练习：P 50】

【第三讲.作业】

1.已知非零二阶矩阵A 、B 、C ，下列结论正确的是 （ ） A.AB=BA B.(AB)C=A(BC) C.若AC=BC 则A=B D. 若CA=CB 则A=B

2.下列变换不存在逆变换的是 （ ）

A.沿x 轴方向，向y 轴作投影变换。

B.60o R 变换。

C.横坐标不变，纵坐标增加横坐标的两倍的切变变换。

D.以y 轴为反射变换 3.下列矩阵不存在逆矩阵的是 （ ） A. 0110??

?

??

B. 0.5001?? ???

C. 0110-?? ???

D. 1010??

??? 4.设A,B 可逆，下列式子不正确的是 （ ） A.111()AB A B ---= B. 111()AB B A ---= C.11()A A --= D. 2112()()A A --=

5.0110N -??=

???

，则Ｎ2

＝

6. 1011?? ???1002?? ???1101?? ???0111?? ???＝

7.1203?? ???2312?? ???4624-?? ?-??

＝

8.设1021A ??= ???，0210B ??= ???则向量11??

?-??

经过先Ａ再Ｂ的变换后的向量为 经过先Ｂ再A 的变换后的向量为

9.关于x 轴的反射变换对应矩阵的逆矩阵是

10.变换ρ将（3，2）变成（1，0），设ρ的逆变换为ρ－1，则ρ－1

将（1，0）变成点

11.矩阵

01

11

??

?

??

的逆矩阵为

12.设ρ：

'

'

x

y

??

?

??

＝

11

01

-

??

?

??

x

y

??

?

??

，点（－2，3）在ρ－1的作用下的点的坐标为

13.A＝

11

01

-

??

?

?

?

1

22

1

2

?

-

?

?

?

?

，则1

A-=

14.△ABC的顶点A(0,0),B(2,0),C(0,1)。如果将三角形先后经过

11

01

??

?

??

和

10

11

??

?

??

两次变换变成△A‘B’C’,求△A‘B’C’的面积。

15.已知A

＝

1

2

1

2

?

?

?

?

?

，B＝

20

01

??

?

??

，求圆221

x y

+=在1

()

AB-变换作用下的图形。

16.已知

21

02

A

??

= ?

??

，试分别计算：2

A,3A,4A,n A

答案：1.B 2.A 3.D 4.A 5.

10

01

-

??

?

-

??

6.

12

34

??

?

??

7.

24

06

??

?

??

8.

2

1

??

?

??

、

2

3

-??

?

-

??

9.

10

01

??

?

-

??

10.（3，2）11.

11

10

-??

?

??

12.

（1，3）

13.

1

2

1

22

?

-

-

??

14.1 15.22

41

x y

+=16. 2

44

04

A

??

= ?

??

、3

812

08

A

??

= ?

??

、4

1632

016

A

??

= ?

??

、

1

22

02

n n

n

n

n

A

-

??

= ?

??

第四讲 二阶行列式与逆矩阵·逆矩阵与二元一次方程组

一.二阶行列式与逆矩阵 【概念】

如果矩阵A ＝a b c d ??

???

是可逆的，则ad bc -≠0. 其中ab cd -称为二阶行列式，记作a b c d ，即a b c d ＝ad bc -，ad bc -也称为行列式a b

c d

的展开式。符号记为：detA 或|A|

【可逆矩阵的充要条件】 定理：二阶矩阵A ＝a b c d ??

???可逆，当且仅当detA=ad bc -≠0.此时 1

det det det det d

b A A A

c a A A --?? ?= ?- ? ???

（请同学一起证明此定理）

【应用】

1.计算二阶行列式： ①

3142

②

2

2

13

λλ-- 2.判断下列二阶矩阵是否可逆，若可逆，求出逆矩阵。

①A ＝0110?? ?-??

②B ＝1100??

???

【练习：P55】

二、二元一次方程组的矩阵形式

1.二元一次方程组的矩阵形式

一般的，方程组

ax by e

cx dy f

+=

?

?

+=

?

可写成矩阵形式为：

2.二元一次方程组的线性变换意义

设变换ρ：

a b

c d

??

?

??

，向量

x

y

??

?

??

、

e

f

??

?

??

，则方程组

ax by e

cx dy f

+=

?

?

+=

?

，意即：ρ

x

y

??

?

??

＝

e

f

??

?

??

三、逆矩阵与二元一次方程组

1.

研究方程组：

1

3

2

1

1

2

x y

x y

-=

?

?+=

??

的矩阵形式与逆矩阵的关系。

【定理】如果关于x,y的二元一次方程组

ax by e

cx dy f

+=

?

?

+=

?

的系数矩阵A＝

a b

c d

??

?

??

是可逆的，则该方程组有唯一解：

x

y

??

?

??

＝

1

a b

c d

-

??

?

??

e

f

??

?

??

【推论】关于x,y的二元一次方程组

ax by

cx dy

+=

?

?

+=

?

（a,b,c,d,均不为0），有非零解?

a b

c d

＝0

【应用】

1.用逆矩阵解二元一次方程组

32 420

x y

x y

+=?

?

+=?

【思考】课本60页思考

ax by e cx dy f +=??+=?

的系数矩阵A ＝a b c d ??

???不可逆，方程组的解如何？

【练习：P 61】 【应用】

1.λ为何值时，二元一次方程组a b c d ?? ???x y ??

???＝λx y ??

???

有非零解？

三、三阶矩阵与三阶行列式 1.三阶矩阵的形式

2.三阶行列式的运算 【第四讲.作业】

1.矩阵A ＝3142??

???，则|A|= 2.矩阵A ＝21510x ??

???

，若A 是不可逆的，则x=

3. 1234??

?-??的逆矩阵为

4. A ＝1031?? ?-??，B ＝1201-?? ???

，则1

()AB -＝

5. A ＝312x ?? ?-??

，31α??= ?-??

，若A 不可逆，则A α ＝

6.若关于x,y 的二元一次方程组30

4110

x my x y +=??-=?有非零解，则m ＝

7.设二元一次方程组224m ?? ?-??x y ?? ???＝x y ??

???

没有非零解，则m 所有值的集合为

8.向量α 在旋转变换60o R 的作用下变为13-??

???

，则向量α ＝

9. 若1301?? ???x y ?? ???＝12?? ???

，则x+y ＝

10. A ＝3110-?? ???，B ＝3201-?? ???，向量α 满足1

()AB α- ＝31?? ???

，则向量α ＝

11.用逆矩阵的方法解方程组： ①71130x y x y -=??

+=? ②30

1240x y x y -=??-=?

12.求下列未知的二阶矩阵X ：

①12323111X -????= ? ?-???? ②123

23

111X -????= ? ?-???? 13.当λ为何值时，二元一次方程组2

21

3??

???x y ?? ???

＝λx y ??

???

有非零解？

14.设A ＝1211?? ?-??，矩阵B 满足1

ABA -＝3012?? ???

，求矩阵B.

答案：1.2

2. 3. 2

155311010??- ? ? ? ??? 4. 7231-?? ?-??

5.155?? ???

6.-33/4

7.32m ≠-

8. 12?? ? ? ? ???

9.－3 10. 30?? ??? 11.11,66x y ==- x=k,y=3k 12. 14771057

7?? ? ? ?-- ???、38774177??- ? ? ?-- ??? 13.1或4 14. 5

23321033??- ?

? ? ??? 第五讲 变换的不变量与特征向量

一. 特征值与特征向量

【探究】

1. 计算下列结果：

1001?? ?-??0a ?? ???＝ 1001?? ?-??0b ?? ???

＝ 以上的计算结果与0a α→

??= ???，0b β→??

= ???

的关系是怎样的？

2. 计算下列结果：

1002?? ???0a ?? ???＝ 1002?? ???0b ?? ???

＝

以上的计算结果与0a α→

??= ???，0b β→??

= ???

的关系是怎样的？

【定义】

设矩阵A ＝a b c d ??

???

，如果存在实数λ及非零向量ξ ，使得A ξλξ= ，则称λ是矩阵A 的一个特征值。

ξ

是矩阵A 的属于特征值的一个特征向量。

（结合探究1、2说明，特征值与特征向量） 【定理1】

如果ξ 是矩阵A 的属于特征值λ的一个特征向量，则对任意的非零常数k ，k ξ

也是矩阵A 的属于特征值λ的特征向量。

其几何意义是什么？ 【定理2】

属于矩阵的不同特征值的特征向量不共线。 【应用】

从几何角度解释旋转变换1212?

-??

???的特征值与特征向量。

二、特征值与特征向量的计算 1. 设A ＝2213??

???

，求A 的特征值及属于每个特征值的一个特征向量。

【总结规律】

一般的，矩阵A ＝a b c d ??

???

的特征值及属于每个特征值的一个特征向量的求法。

【苏教版】高中数学选修4-2《矩阵与变换》.2.4 旋转变换

选修4－2矩阵与变换 2.2.4 旋转变换 编写人： 编号：005 学习目标 1、 理解可以用矩阵来表示平面中常见的几何变换。 2、 掌握旋转变换的几何意义及其矩阵表示。 学习过程： 一、预习： （一）阅读教材，解决下列问题： 问题1：P （x,y ）绕原点逆时针旋转180o 得到P ’(x ’,y ’),称P ’为P 在此旋转 变换作用下的象。其结果为''x x y y ?=-?=-?，也可以表示为''00x x y y x y ?=-+??=?-?，即''x y ??????＝ 1001-????-????????y x ＝x y -????-??怎么算出来的？ 归纳： 问题2：P （x,y ）绕原点逆时针旋转300得到P ’(x ’,y ’),试完成以下任务①写出象P ’； ②写出这个旋转变换的方程组形式；③写出矩阵形式. 问题3：把问题2中的旋转300改为旋转α角，其结果又如何？ 练习

1、在直角坐标系下，将每个点绕原点逆时针旋转120o 的旋转变换对应的二阶矩阵是 2、如果一种旋转变换对应的矩阵为二阶单位矩阵，则该旋转变换是 二、课堂训练： 例1．已知A(0,0),B(2,0),C(2,1),D(0,1),求矩形ABCD 绕原点逆时针旋转900后所得到的图形，并求出其顶点坐标，画出示意图. 例2、若△ABC 在矩阵M 对应的旋转变换作用下得到△A ′B ′C ′，其中A （0，0），B （1，3），C （0，2），A ′（0，0）， C ′（-3，1），试求矩阵M 并求B ′的坐标. 练习： 1. 将向量?? ????=12a 绕原点按逆时针方向旋转4π得到向量b ，则向量b 的坐标为=______________. 2. 在某个旋转变换中，顺时针旋转 3 π所对应的变换矩阵为 ＿＿＿＿＿＿． 三、课后巩固： 1. 曲线xy=1绕坐标原点逆时针旋转90°后得到的曲线方程是＿＿＿＿＿，变换对应的矩阵 是＿＿＿＿.

2020高考矩阵与变换知识点基础与提高(含答案)

2020高考矩阵与变换知识点基础与提高（含答案） 主要考查二阶矩阵的基本运算，选修内容考的题目大都不难，同学们注意基本概念。 1求逆矩阵，注意2*2矩阵的乘法。 2利用矩阵求坐标式的方程。 (10上海 4)行列式6πcos 3πsin 6πsin 3π cos 的值是____________． 考点：行列式的运算法则 解析：考查行列式运算法则6πcos 3 πsin 6π sin 3πcos 02πcos 6πsin 3πsin 6πcos 3πcos ==-= 答案：0. (10福建 21)选修4－2：矩阵与变换 已知矩阵M ＝???? ??11b a ，??? ? ??=d c N 02，且???? ??-=0202MN ， (Ⅰ)求实数a ，b ，c ，d 的值；(Ⅱ)求直线x y 3=在矩阵M 所对应的线性变换下的像的方程． 考点：矩阵的基本运算和线形变换 解析：(1)?? ????-=??????++=????????????=020*******d b bc ad c d c b a MN ， 对应系数有???????-==-==????????=+-==+=1 212022022a d b c d b bc ad c ； (2)取x y 3=上一点()y x ,，设经过变换后对应点为()','y x ，则??????--=??????1111''y x ?? ????--=??????x y y x y x ，从而''x y =，所以经过变换后的图像方程为x y -=． 注意：本题相对基础，要求同学们对矩阵的基本运算方法，尤其是乘法 (09江苏 21)选修4－2：矩阵与变换 求矩阵?? ????=1223A 的逆矩阵. 考点：逆矩阵的求法，考查运算求解能力

苏教版数学高二选修4-2矩阵与变换学案第09课时 逆矩阵的概念

第09课时 逆矩阵的概念 一、要点讲解 1．二阶逆矩阵的概念： 2．逆矩阵的求法： 二、知识梳理 1．对于二阶矩阵，若有______________________，则称A 是可逆的，B 称为A 的逆矩阵． 2．在六种变换中，__________变换一定不存在逆矩阵． 3．一般地，对于二阶可逆矩阵(0)a b A ad bc d c =-≠?????? ，它的逆矩阵为1A -=________________． 4．若二阶矩阵A 、B 均可逆，则AB 也可逆，且(AB )－1=____________． 5．已知A 、B 、C 为二阶矩阵，且AB = AC ，若矩阵A 存在逆矩阵，则___________． 三、例题讲解 例1． 对于下列给出的变换矩阵A ，是否存在变换矩阵B ，使得连续进行两次变换(先T A 后 T B )的结果与恒等变换的结果相同？ (1)以x 为反射轴的反射变换； (2)绕原点逆时针旋转60o作旋转变换； (3)横坐标不变，沿y 轴方向将纵坐标拉伸为原来的2倍作伸压变换； (4)沿y 轴方向，向x 轴作投影变换； (5)纵坐标y 不变，横坐标依纵坐标的比例增加，且满足（x ，y ）→（x + 2y ，y ）． 例2． 用几何变换的观点判断下列矩阵是否存在逆矩阵，若存在，请求出逆矩阵；若不存在， 请说明理由． (1)0110??????=A ； (2)11210??????????=B ； (3)0110??-????=C ； (4)1010?????? =D ； 例3． 求矩阵3221??? ???=A 的逆矩阵． 四、巩固练习 1. 已知矩阵122301,,231210??????? ?????--??????===B C A ，求满足AXB = C 的矩阵X ．

几类特殊线性变换及其二阶矩阵优秀教学设计

几类特殊线性变换及其二阶矩阵 【教学目标】 1．了解二阶矩阵的概念，线性变换与二阶矩阵之间的关系。 2．熟练运用旋转变换、反射变换、伸缩变换、投影变换、切变变换这五种变换的概念与矩阵表示解决具体问题。 3．亲历几类特殊线性变换的探索过程，体验分析归纳得出其二阶矩阵，进一步发展学生的探究、交流能力。 【教学重难点】 重点：掌握几类特殊线性变换及其二阶矩阵。 难点：旋转变换、反射变换、伸缩变换、投影变换、切变变换的实际应用。 【教学过程】 一、直接引入 师：今天这节课我们主要学习几类特殊线性变换及其二阶矩阵，这节课的主要内容有旋转变换、反射变换、伸缩变换、投影变换、切变变换，并且我们要掌握这些知识的具体应用，能熟练解决相关问题。 二、讲授新课 （1）教师引导学生在预习的基础上了解线性变换与二阶矩阵内容，形成初步感知。 （2）首先，我们先来学习线性变换及其相关概念，它的具体内容是： 在平面直角坐标系xoy 内，很多几何变换都具有下列形式：x ax by y cx dy '=+??'=+? ③； 其中系数a ，b ，c ，d 均为常数，我们把形如③的几何变换叫做线性变换。 ③式叫做这个线性变换的坐标变换公式。 (,)P x y '''是(,)P x y 在这个线性变换作用下的像。 像这样，由4个数a ，b ，c ，d 排成的正方形表a b c d ?? ???称为二阶矩阵。数a ，b ，c ，d 称为矩阵的元素 元素全为0的二阶矩阵0000?? ???称为零矩阵，简记为0。

矩阵1001?? ??? 称为二阶单位矩阵，记为E 它是如何在题目中应用的呢？我们通过一道例题来具体说明。 例：在直角坐标系xoy 内，将每个点绕原点O 按逆时针方向旋转30°的变换称为旋转角是30°的旋转变换。求点(1,0)A 在这个旋转变换作用下的像A '。 解析：教师板书。 （3）接着，我们再来看下旋转变换的概念，它的具体内容是： 在直角坐标系xOy 内的每个点绕原点O 按逆时针方向旋转α角的旋转变换（通常记为n R ）的坐标变换公式：cos sin sin cos x x y y x y αααα'=-??'=+?，对应的二阶矩阵为：cos sin sin cos αααα-?? ??? 。 它是如何在题目中应用的呢？我们也通过一道例题来具体说明。 例：例：在直角坐标系xoy 内，将每个点绕原点O 按逆时针方向旋转30°的变换称为旋转角是30°的旋转变换，写出这个旋转变化的表达式。 解析：教师板书。 （4）接着，我们再来看下反射变换内容，它的具体内容是： 一般地，我们把平面上的任意一点P 变成它关于直线l 的对称点P '的线性变换叫做关于l 的反射。 它是如何在题目中应用的呢？我们也通过一道例题来具体说明。 例：在直角坐标系xoy 内，直线l 过原点，倾斜角为α。求关于直线l 的反射变换的坐标变换公式。 学生板书，教师纠正解答。 （5）接着，我们再来看下伸缩变换内容，它的具体内容是： 在直角坐标系xOy 内，将每个点的横坐标变为原来1k 倍，纵坐标变为原来的2k 倍，其中1k ，2k 均为非零常数，我们称这样的几何变换为伸缩变换。 它是如何在题目中应用的呢？我们也通过一道例题来具体说明。 例：直角坐标系xOy 内，将每一点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标保持不变。 （1）试确定该伸缩变换的坐标变换公式及其对应的二阶矩阵。 （2）求点A (1,1)-在该伸缩变换作用下的像A ' 教师请同学上讲台解答，并纠正总结。

初等变换与初等矩阵

2.3 初等变换与初等矩阵 授课题目 2.3 初等变换与初等矩阵 授课时数：4课时 教学目标：掌握初等变换的定义，初等矩阵与初等变换的关系，矩阵的等价标准形，阶梯形矩阵，和行简化阶梯形矩阵 教学重点：用初等变换求矩阵的等价标准形、阶梯形矩阵，和行简化阶梯形矩阵 教学难点：求矩阵的等价标准形、阶梯形矩阵，、行简化阶梯形矩阵 教学过程： 用初等变换化简矩阵A B B A 的性质来探讨通过为,的性质，这是研究矩阵的重要手段。为了把变换过程用运算的式子表示出来，我们要引入初等矩阵，研究初等矩阵与初等变换的关系。 一．初等变换与初等矩阵 1. 初等变换 （1）定义 定义1 矩阵的初等行（列）变换是指下列三种变换： 1）换法变换：交换矩阵某两行（列）的位置； 2）倍法变换：用一个非零数乘矩阵的某一行（列）； 3）消法变换：把矩阵的某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上去，k 为任意数。 矩阵的初等行变换和初等列变换统称为初等变换。 （2）记法 分别用)]([)],([],,[k j i k i j i +表示三种行（列）变换，写在箭头上面表示行变换，写在箭头下面表示列变换。或者行变换用i j i i j R R ,kR ,R kR ?+， 列变换用i j i i j C C ,kC ,C kC ?+ 例1 [][] ???? ? ??--??→?????? ??---???→?????? ??--=+-+131123302001121123302101121121322101)1(13)2(12A . 2. 初等矩阵 （1）初等矩阵的定义

定义2 由单位矩阵I 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵 每个初等变换都有一个与之相应的初等矩阵 ij j i n P j i I =???? ? ?? ? ????? ??? ? ? ????→?行行 1101111011] ,[ [] )(1111)(,k D i k I i j i n =? ???????? ?? ????→?行 [] )(1111)(k T j i k I ij k itj n =? ???? ????? ? ????→?行行 列i 列j

高考数学压轴专题人教版备战高考《矩阵与变换》知识点总复习附解析

【最新】单元《矩阵与变换》专题解析 一、15 1．已知函数cos 2()sin 2m x f x n x = 的图象过点( 12 π 和点2( ,2)3 π -. （1）求函数()f x 的最大值与最小值； （2）将函数()y f x =的图象向左平移(0)??π<<个单位后，得到函数()y g x =的图象；已知点(0,5)P ，若函数()y g x =的图象上存在点Q ，使得||3PQ =，求函数 ()y g x =图象的对称中心. 【答案】（1）()f x 的最大值为2，最小值为2-；（2）(,0)()24 k k Z ππ +∈. 【解析】 【分析】 （1）由行列式运算求出()f x ，由函数图象过两点，求出,m n ，得函数解析式，化函数式为一个角的一个三角函数式，可求得最值； （2）由图象变换写出()g x 表达式，它的最大值是2，因此要满足条件，只有(0,2)Q 在 ()g x 图象上，由此可求得?，结合余弦函数的性质可求得对称中心． 【详解】 （1）易知()sin 2cos 2f x m x n x =- ，则由条件，得sin cos 66 44sin cos 233m n m n ππππ?-=????-=-?? ， 解得 1.m n = =- 故()2cos22sin(2)6 f x x x x π =+=+ . 故函数()f x 的最大值为2，最小值为 2.- （2）由（1）可知： ()()2sin(22)6 g x f x x π ??=+=++ . 于是，当且仅当(0,2)Q 在()y g x =的图象上时满足条件. (0)2sin(2)26g π?∴=+=. 由0?π<<，得.6 π ?= 故()2sin(2)2cos 22 g x x x π =+ =. 由22 x k =+ π π，得().24 k x k Z ππ = +∈ 于是，函数()y g x =图象的对称中心为：(,0)()24 k k Z ππ +∈. 【点睛】 本题考查行列式计算，考查两角和的正弦公式，图象平移变换，考查三角函数的性质，如最值、对称性等等．本题主要是考查知识点较多，但不难，本题属于中档题．

(全国通用)2014届高考数学总复习(考点引领+技巧点拨)矩阵与变换第1课时 线性变换、二阶矩阵及其乘法

《最高考系列 高考总复习》2014届高考数学总复习（考点引领+技巧点拨）选修4－2 矩阵与变换第1课时 线性变换、二阶矩阵 及其乘法 1. (选修42P 34习题第1题改编)求点A(2，0)在矩阵???? ?? 1 00－2对应的变换作用下得到 的点的坐标． 解：矩阵?? ?? ?? 1 00－2表示横坐标保持不变，纵坐标沿y 轴负方向拉伸为原来的2倍的伸 压变换，故点A(2，0)变为点A′(2，0) 2. 点(－1，k)在伸压变换矩阵???? ?? m 001之下的对应点的坐标为(－2，－4)，求m 、k 的 值． 解：??????m 001??????－1 k ＝??????－2－4，??? ?? －m ＝－2，k ＝－4. 解得? ????m ＝2， k ＝－4. 3. 已知变换T 是将平面内图形投影到直线y ＝2x 上的变换，求它所对应的矩阵． 解：将平面内图形投影到直线y ＝2x 上，即是将图形上任意一点(x ，y)通过矩阵M 作用 变换为(x ，2x)，则有??????a 0b 0??????x y ＝?????? x 2x ，解得? ?? ??a ＝1，b ＝2， ∴ T ＝?? ?? ??10 20 .

4. 求曲线y ＝x 在矩阵???? ?? 0110作用下变换所得的图形对应的曲线方程． 解：设点(x ，y)是曲线y ＝x 上任意一点，在矩阵?? ?? ?? 01 10 的作用下点变换成(x′， y ′)，则??????0110???? ??x y ＝?????? x′y′，所以? ????x′＝y y′＝x .因为点(x ，y)在曲线y ＝x 上，所以x′＝y′，即x ＝y. 5. 求直线x ＋y ＝5在矩阵?? ?? ?? 0011 对应的变换作用下得到的图形． 解：设点(x ，y)是直线x ＋y ＝5上任意一点，在矩阵???? ?? 0011的作用下点变换成(x′， y ′)，则?? ????0011???? ?? x y ＝?????? x′y′，所以? ????x′＝0y′＝x ＋y .因为点(x ，y)在直线x ＋y ＝5上，所以y′＝x ＋y ＝5，故得 到的图形是点(0，5)． 1. 变换 一般地，对于平面上的任意一个点(向量)(x ，y)，若按照对应法则T ，总能对应唯一的 一个平面点(向量)(x′，y ′)，则称T 为一个变换，简记为T ：(x ，y )→(x′，y ′)或T ：???? ? ? x y →?? ?? ?? x′y′. 一般地，对于平面向量的变换T ，如果变换规则为T ：??????x y →??????x′y′＝???? ?? ax ＋by cx ＋dy ，那么根 据二阶矩阵与列向量的乘法规则，可以改写为??????x y →??????x′y′＝??????a b c d ???? ?? x y (a 、b 、c 、d∈R )的 矩阵形式，反之亦然． 2. 几种常见的平面变换

高考数学压轴专题最新备战高考《矩阵与变换》知识点总复习有解析

【高中数学】数学《矩阵与变换》高考知识点 一、15 1．已知矩阵2101M ?? =? ??? （1）求矩阵M 的特征值及特征向量； （2）若21α??=? ?-?? r ，求3M αv . 【答案】（1）特征值为2；对应的特征向量为210α?? =???? u u r （2）91????-?? 【解析】 【分析】 (1)先根据特征值得定义列出特征多项式，令()0f λ=解方程可得特征值，再由特征值列出 方程组即可解得相应的特征向量；(2)由12ααα=+u u r u u r r 可得333 12M M M ααα=+u u r u u r r ，求解即 可. 【详解】 （1）矩阵M 的特征多项式为2 1 ()0 1 f λλλ--= -(2)(1)λλ=--， 令()0f λ=，得矩阵M 的特征值为1或2， 当1λ=，时由二元一次方程0 000x y x y --=?? +=? . 得0x y +=，令1x =，则1y =-， 所以特征值1λ=对应的特征向量为111α?-? =? ??? ； 当2λ=时，由二元一次方程00 00 x y x y -=?? +=?. 得0y =，令1x =， 所以特征值2λ=对应的特征向量为210α?? =???? u u r ； （2）1221ααα??==+??-??u u r u u r r Q ， 333 12M M M ααα∴=+u u r u u r r 331212αα=+u u r u u r 311210????=+????-????91??=??-?? . 【点睛】 本题考查矩阵特征值与特征向量的计算，矩阵的乘法运算，属于基础题.

选修4-2 矩阵与变换 第一节 线性变换与二阶矩阵

第一节 线性变换与二阶矩阵 1．矩阵的相关概念 (1)由4个数a ，b ，c ，d 排成的正方形数表?????? a b c d 称为二阶矩阵，数a ，b ，c ，d 称为矩 阵的元素．在二阶矩阵中，横的叫行，从上到下依次称为矩阵的第一行、第二行；竖的叫列，从左到右依次称为矩阵的第一列、第二列．矩阵通常用大写的英文字母A ，B ，C ，…表示． (2)二阶矩阵?? ?? ?? 00 0称为零矩阵，简记为0，矩阵?? ?? ??1 00 1称为二阶单位矩阵，记作E 2. 2．矩阵的乘法 (1)行矩阵[]a 11a 12与列矩阵?? ?? ?? b 11b 21的乘法规则：为[]a 11a 12?? ? ? ?? b 11b 21＝[]a 11×b 11＋a 12×b 21. (2)二阶矩阵??????a 11 a 12a 21 a 22与列向量??????x 0y 0和乘法规则：??????a 11 a 12a 21 a 22??????x 0y 0＝??????a 11×x 0＋a 12×y 0a 21×x 0＋a 22×y 0. (3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个矩阵，其乘法法则如下：

??????a 11 a 12a 21 a 22??????b 11 b 12b 21 b 22＝???? ??a 11×b 11＋a 12×b 21 a 11×b 12＋a 12×b 22a 21×b 11＋a 22×b 21 a 21×b 12＋a 22×b 22. (4)两个二阶矩阵的乘法满足结合律，但不满足交换律和消去律 即(AB )C ＝A (BC )， AB ≠BA ， 由AB ＝AC 不一定能推出B ＝C . 一般地两个矩阵只有当前一个矩阵的列数与后一个矩阵的行数相等时才能进行乘法运算． 3．线性变换的相关概念 (1)我们把形如???? ? x ′＝ax ＋by y ′＝cx ＋dy (*)的几何变换叫做线性变换，(*)式叫做这个线性变换的坐 标变换公式，P ′(x ′，y ′)是P (x ，y )在这个线性变换作用下的像． (2)对同一个直角坐标平面内的两个线性变换σ、ρ，如果对平面内任意一点P ，都有σ(P )＝ρ(P )，则称这两个线性变换相等，简记为σ＝ρ，设σ，ρ所对应的二阶矩阵分别为A ，B ，则A ＝B . 4．几种常见的线性变换 (1)由矩阵M ＝?? ?? ??1 00 1确定的变换T M 称为恒等变换， 这时称矩阵M 为恒等变换矩阵或单位矩阵，二阶单位矩阵一般记为E .平面是任何一点(向量)或图形，在恒等变换之下都把自己变为自己． (2)由矩阵M ＝???? ?? a 00 1或M ＝?? ?? ??1 00 k (k >0)确定的变换T M 称为(垂直)伸压变换，这时称矩 阵M ＝?? ?? ?? k 00 1或M ＝?? ?? ??1 00 k 伸压变换矩阵． 当M ＝?? ?? ??k 00 1时确定的变换将平面图形作沿x 轴方向伸长或压缩，当k >1时伸长，当 01时伸长，当 0

用矩阵的初等变换求逆矩阵

2007年11月16日至18日，有幸参加了由李尚志教授主讲的国家精品课程线性代数（非数学专业）培训班，使我受益匪浅，在培训中，我见识了一种全新的教学理念。李老师的“随风潜入夜，润物细无声”“化抽象为自然”“饿了再吃”等教学理念很值得我学习。作为刚参加工作的年轻教师，我应该在以后的教学中，慢慢向这种教学理念靠拢，使学生在不知不觉中掌握较为抽象的知识。下面这个教案是根据李老师的教学理念为“三本”学生写的，不知是否能达要求，请李老师指教。 用矩阵的初等变换求逆矩阵 一、问题提出 在前面我们以学习了用公式 求逆矩阵，但当矩阵A 的阶数较大时，求 A*很繁琐，此方法不实用，因此必须找一种更简单的方法求逆矩阵，那么如何找到一种简单的方法呢？ （饿了再吃） 二、求逆矩阵方法的推导 （“润物细无声”“化抽象为自然”） 我们已学习了矩阵初等变换的性质，如 1.定理 2.4 对mxn 矩阵A ，施行一次初等行变换，相当于在A 的左边乘以相应m 阶初等矩阵；对A 施行一次初等列变换，相当于在A 的右边乘以相应的n 阶初等矩阵。 2.初等矩阵都是可逆矩阵，其逆矩阵还是初等矩阵。 3.定理2.5的推论 A 可逆的充要条件为A 可表为若干初等矩阵之积。即 4.推论 A 可逆，则 A 可由初等行变换化为单位矩阵。 （1） 由矩阵初等变换的这些性质可知，若A 可逆，构造分块矩阵(A ︱E )，其中E 为与A 同阶的单位矩阵，那么 （2） 由（1）式 代入（2）式左边， 上式说明分块矩阵(A ︱E )经过初等行变换，原来A 的位置变换为单位阵E ，原来E 的位置变换为我们所要求的1A -,即 21121111111112112112s t s s t t m P P P AQ Q Q E A P P P P EQ Q Q Q R R R ----------=?=?11121m R R R A E ---=111121m R R R A ----=()()122n n n n A E E A -???????→ 1*1A A A -=()()()1111A A E A A A E E A ----==111121m A R R R ----=()()111121m R R R A E E A ----=

知识点总结 矩阵的初等变换与线性方程组

第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 第一节 矩阵的初等变换 初等行变换 ()1()i j r r ?对调两行，记作。 ()20()i k r k ≠?以数乘以某一行的所有元素，记作。 ()3()i j k r kr +把某一行所有元素的倍加到另一行对应的元素上去，记作。 初等列变换：把初等行变换中的行变为列，即为初等列变换，所用记号是把“r ”换成“c ”。 扩展 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换，初等变换的逆变换仍为初等变换, 且类型相同。 矩阵等价 A B A B 如果矩阵经有限次初等变换变成矩阵，就称矩阵与等价。 等价关系的性质 （1）反身性 A~A 2 A ~B , B ~A;（）对称性若则 3 A ~B,B ~C, A ~C （）传递性若则。（课本P59） 行阶梯形矩阵：可画出一条阶梯线，线的下方全为零，每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元，也是非零行的第一个非零元。 行最简形矩阵：行阶梯矩阵中非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在的列的其他元素都为0. 标准型：对行最简形矩阵再施以初等列变换，可以变换为形如r m n E O F O O ???= ???的矩阵，称为标准型。标准形矩阵是所有与矩阵A 等价的矩阵中形状最简单的矩阵。 初等变换的性质

设A 与B 为m ×n 矩阵，那么 (1);r A B m P PA B ?=:存在阶可逆矩阵，使 (2)~;c A B n Q AQ B ?=存在阶可逆矩阵，使 (3)P ;A B m P n Q AQ B ?=:存在阶可逆矩阵，及阶可逆矩阵，使 初等矩阵：由单位矩阵经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵。 初等矩阵的性质 设A 是一个m ×n 矩阵，则 （1）对A 施行一次初等行变换，相当于在A 的左边乘以相应的m 阶初等矩阵； ~;r A B m P PA B ?=即存在阶可逆矩阵，使 （2）对A 施行一次初等列变换，相当于在A 的右边乘以相应的n 阶初等矩阵； 即~;c A B n Q AQ B ?=存在阶可逆矩阵，使 (3)~P ;A B m P n Q AQ B ?=存在阶可逆矩阵，及阶可逆矩阵，使 （4）方阵A 可逆的充分必要条件是存在有限个初等方阵1212,,,,l l P P P A PP P =L L 使。 （5）~r A A E 可逆的充分必要条件是。（课本P ？ ） 初等变换的应用 （1）求逆矩阵：()1(|)|A E E A -????→初等行变换或1A E E A -????????→ ? ????? 初等列变换。 （2）求A -1B ：A (,) ~ (,),r A B E P 即() 1(|)|A B E A B -??→行，则P =A -1B 。或1E A B BA -????????→ ? ????? 初等列变换. 第二节 矩阵的秩

【高考精品复习】选修4-2 矩阵与变换 矩阵与变换

【高考会这样考】 1．本部分高考命题的一个热点是矩阵变换与二阶矩阵的乘法运算，考题中多考查求平面图形在矩阵的对应变换作用下得到的新图形，进而研究新图形的性质． 2．本部分高考命题的另一个热点是逆矩阵，主要考查行列式的计算、逆矩阵的性质与求法以及借助矩阵解决二元一次方程组的求解问题． 【复习指导】 1．认真理解矩阵相等的概念，知道矩阵与矩阵的乘法的意义，并能熟练进行矩阵的乘法运算． 2．掌握几种常见的变换，了解其特点及矩阵表示，注意结合图形去理解和把握矩阵的几种变换． 3．熟练进行行列式的求值运算，会求矩阵的逆矩阵，并能利用逆矩阵解二元一次方程组． 基础梳理 1．乘法规则 (1)行矩阵[a 11 a 12]与列矩阵????b 11b 21 的乘法规则： [a 11 a 12]????b 11b 21＝[a 11×b 11＋a 12×b 21]． (2)二阶矩阵????a 11a 21 a 12a 22与列向量??? ?x 0y 0的乘法规则： ????a 11a 21 a 12a 22 ????x 0y 0＝??? ?a 11×x 0＋a 12×y 0a 21×x 0＋a 22×y 0. (3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个矩阵，其乘法法则如下： ????a 11a 21 a 12a 22 ??? ?b 11b 21 b 12b 22＝ ????a 11×b 11＋a 12×b 21a 21×b 11＋a 22×b 21 a 11×b 12＋a 12×b 22a 21×b 12＋a 22×b 22 (4)两个二阶矩阵的乘法满足结合律，但不满足交换律和消去律．即(AB )C ＝

矩阵知识点归纳

矩阵知识点归纳 (一)二阶矩阵与变换 1．线性变换与二阶矩阵 在平面直角坐标系xOy 中，由? ??? ? x ′＝ax ＋by ，y ′＝cx ＋dy ，(其中a ，b ，c ，d 是常数)构成的变换称 为线性变换．由四个数a ，b ，c ，d 排成的正方形数表???? ? ?a b c d 称为二阶矩阵，其中a ，b ，c ， d 称为矩阵的元素，矩阵通常用大写字母A ，B ，C ，…或(a ij )表示(其中i ，j 分别为元素a ij 所在的行和列)． 2．矩阵的乘法 行矩阵[a 11a 12]与列矩阵??????b 11b 21的乘法规则为[a 11a 12]???? ??b 11b 21＝[a 11b 11＋a 12b 21]，二阶矩阵??????a b c d 与列矩阵??????x y 的乘法规则为??????a b c d ??????x y ＝??????ax ＋by cx ＋dy .矩阵乘法满足结合律，不满足交换律和消去律． 3．几种常见的线性变换 (1)恒等变换矩阵M ＝???? ? ?1 00 1； (2)旋转变换R θ对应的矩阵是M ＝???? ?? cos θ －sin θsin θ cos θ； (3)反射变换要看关于哪条直线对称．例如若关于x 轴对称，则变换对应矩阵为M 1＝??????1 00 －1；若关于y 轴对称，则变换对应矩阵为M 2＝???? ?? －1 0 0 1；若关于坐标原点对称，则变换对应矩阵M 3＝???? ?? －1 0 0 －1； (4)伸压变换对应的二阶矩阵M ＝???? ??k 1 00 k 2，表示将每个点的横坐标变为原来的k 1 倍，纵 坐标变为原来的k 2倍，k 1，k 2均为非零常数； (5)投影变换要看投影在什么直线上，例如关于x 轴的投影变换的矩阵为M ＝??????1 00 0； (6)切变变换要看沿什么方向平移，若沿x 轴平移|ky |个单位，则对应矩阵M ＝???? ? ?1 k 0 1， 若沿y 轴平移|kx |个单位，则对应矩阵M ＝???? ??1 0k 1.(其中k 为非零常数)． 4．线性变换的基本性质 设向量α＝??????x y ，规定实数λ与向量α的乘积λα＝??????λx λy ；设向量α＝??????x 1y 1，β＝???? ??x 2y 2，规定向量α与β的和α＋β＝???? ?? x 1＋x 2y 1＋y 2. (1)设M 是一个二阶矩阵，α、β是平面上的任意两个向量，λ是一个任意实数，则①M (λα)＝λMα，②M (α＋β)＝Mα＋Mβ. (2)二阶矩阵对应的变换(线性变换)把平面上的直线变成直线(或一点)．

苏教版数学高二选修4-2矩阵与变换学案第01课时 矩阵的概念

第01课时 矩阵的概念 一、要点讲解 1．矩阵的概念： 2．矩阵的相等： 二、知识梳理 1．在数学中，将形如13?????? ，80908688??????，23324m ????-??这样的__________________称做矩阵．_____________________________________叫做矩阵的行，______________________ ________________叫做矩阵的列．通常称具有i 行j 列的矩阵为i ×j 矩阵． 2．__________________称为零矩阵；______________________称为行矩阵；____________ _______________称为列矩阵． 3．平面上向量α = (x ，y )的坐标和平面上的点P (x ，y )看作行矩阵可记为________，看作列矩阵可记为_________． 4．当两个矩阵A ，B ，只有当A ，B 的_______________________，并且____________________也分别相等时，才有A = B ． 三、例题讲解 例1． 用矩阵表示△ABC ，其中A (－1,0)，B (0，2)，C (2，0)． 例2． 设31,422x y A B z ????==????--???? ，若A = B ，求x ，y ，z ． 例3． 已知n 阶矩阵11221 21247712j n j n i i i j in n n n j nn a a a a A a a a a a a a a ????????=???????????? ，其中每行、每列都是等差数列，ij a 表示位于第i 行第j 列的数． (1)写出45a 的值； (2) 写出ij a 的计算公式． 四、巩固练习 1. 画出矩阵143111-????-?? 所表示的三角形，并求该三角形的面积．

用矩阵初等变换逆矩阵

用矩阵初等变换逆矩阵

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2007年11月16日至18日，有幸参加了由李尚志教授主讲的国家精品课程线性代数（非数学专业）培训班，使我受益匪浅，在培训中，我见识了一种全新的教学理念。李老师的“随风潜入夜，润物细无声”“化抽象为自然”“饿了再吃”等教学理念很值得我学习。作为刚参加工作的年轻教师，我应该在以后的教学中，慢慢向这种教学理念靠拢，使学生在不知不觉中掌握较为抽象的知识。下面这个教案是根据李老师的教学理念为“三本”学生写的，不知是否能达要求，请李老师指教。 用矩阵的初等变换求逆矩阵 一、问题提出 在前面我们以学习了用公式 求逆矩阵，但当矩阵A 的阶数较大时，求A*很繁琐，此方法不实用，因此必须找一种更简单的方法求逆矩阵，那么如何找到一种简单的方法呢？ （饿了再吃） 二、求逆矩阵方法的推导 （“润物细无声”“化抽象为自然”） 我们已学习了矩阵初等变换的性质，如 1.定理 2.4 对mxn 矩阵A ，施行一次初等行变换，相当于在A 的左边乘以相应m 阶初等矩阵；对A 施行一次初等列变换，相当于在A 的右边乘以相应的n 阶初等矩阵。 2.初等矩阵都是可逆矩阵，其逆矩阵还是初等矩阵。 3.定理2.5的推论 A 可逆的充要条件为A 可表为若干初等矩阵之积。即 4.推论 A 可逆，则A 可由初等行变换化为单位矩阵。 （1） 由矩阵初等变换的这些性质可知，若A 可逆，构造分块矩阵(A ︱E )，其中E 为与A 同阶的单位矩阵，那么 （2） 由（1）式 代入（2）式左边， 上式说明分块矩阵(A ︱E )经过初等行变换，原来A 的位置变换为单位阵E ，原来E 的位置 变换为我们所要求的1 A -,即 21121111111112112112s t s s t t m P P P AQ Q Q E A P P P P EQ Q Q Q R R R ----------=?=?L L L L L 111 21m R R R A E ---=L 111121m R R R A ----=L () () 1 22n n n n A E E A -???????→ 1* 1A A A -=( )()() 1111A A E A A A E E A ----==1111 21m A R R R ----=L ( )() 1 111 21m R R R A E E A ----=L

高中数学选修4-2矩阵与变换知识点复习课课件_苏教版

2.1.1 矩阵的概念 1.矩阵的概念，零矩阵，行矩阵，列矩阵; 2.矩阵的表示； 3.相等的矩阵; 2.1.2 二阶矩阵与平面列向量的乘法1.二阶矩阵与平面向量的乘法规则; 2.理解矩阵对应着向量集合到向量集合的映射; 3.待定系数法是由原象和象确定矩阵的常用方法. 2.1 2.1 二阶矩阵与平面向量 二阶矩阵与平面向量

1,3形如??????8090,6085??????23324m ???????的矩形数字（或字母）阵列称为矩阵.通常用大写黑体的拉丁字母A 、B 、C …表示，或者用(a ij )表示，其中i,j i,j 分别表示元素a ij ij 所在的行与列. 同一横排中按原来次序排列的一行数（或字母）叫做矩阵的行，同一竖排中按原来次序排列的一行数（或字母）叫做矩阵的列. 组成矩阵的每一个数（或字母）称为矩阵的元素。

13?????? 80906085??????23324m ???????21矩阵×22×矩阵23矩阵×0所有元素均为的矩阵叫做0矩阵. ,. 对于两个矩阵、的行数与列数分别相等，且对应位置上的元素也分别相和时，记等才相等作A B B A A B =

[][][]111112211111121111122121,规定： 行矩阵与列矩阵的乘法法则为 ＝b a a b b a a a b a b b ?????? ??×+×???? 01112212200110120111221220210220.x a a b b y x a x a y a a b b y b x b y ???????????? ×+×????????????×+×?????? 二阶矩阵与列向量的乘法规则为＝

第2讲矩阵与变换学生

第2讲 矩阵与变换 考情解读 本讲从内容上看，主要考查二阶矩阵的基本运算，考查矩阵的逆运算及利用系数矩阵的逆矩阵求点的坐标或曲线方程等．从形式上看，以解答题为主，本节知识是高考中数学教材和高等数学教材的接轨知识，一般以基础题目为主，难度不大．又经常与其他知识结合，在考查基础知识的同时，考查转化与化归等数学思想，以及分析问题、解决问题的能力．分值为10分． 1．矩阵乘法的定义 一般地，我们规定行矩阵[a 11，a 12]与列矩阵??????b 11b 21的乘法规则为[a 11，a 12]?????? b 11b 21＝[a 11b 11＋a 12b 21]， 二阶矩阵?? ???? a b c d 与列矩阵??????x y 的乘法规则为??????a b c d ??????x y ＝???? ?? ax ＋by cx ＋dy . 说明：矩阵乘法MN 的几何意义为对向量的连续实施的两次几何变换(先T N 后T M )的复合变换． 一般地，对于平面上的任意一个点(向量)(x ，y )，若按照对应法则T ，总能对应惟一的一个 平面点(向量)(x ′，y ′)，则称T 为一个变换，简记为T ：(x ，y )→(x ′，y ′)或T ：??????x y →???? ??x ′y ′. 2．几种常见的平面变换 (1)恒等变换；(2)伸缩变换；(3)反射变换；(4)旋转变换；(5)投影变换；(6)切变变换． 3．矩阵的逆矩阵 (1)逆矩阵的有关概念 对于二阶矩阵A ，B ，若有AB ＝BA ＝E ，则称A 是可逆的，B 称为A 的逆矩阵．若二阶矩阵A 存在逆矩阵B ，则逆矩阵是唯一的，通常记A 的逆矩阵为A －1 ，A －1 ＝B . (2)逆矩阵的求法 一般地，对于二阶可逆矩阵A ＝?? ?? ?? a b c d (ad －bc ≠0)， 它的逆矩阵为A －1 ＝ ????? ???d ad －bc －b ad －bc －c ad －bc a ad －bc . (3)逆矩阵的简单性质

线性变换与矩阵的关系

线性变换与矩阵的关系 学院：数学与计算机科学学院 班级：2011级数学与应用数学

姓名： 学号： 线性变换与矩阵的关系 （西北民族大学数学与应用数学专业，兰州 730124） 指导教师 一、线性变换 定义1 设有两个非空集合V,U，若对于V中任一元素α，按照一定规则总有U中一个确定的元素β和它对应，则这个对应规则被称为从集合V到集合U的变换（或映射），记作β=T(α)或β=T α,( α∈V)。 设α∈V，T(α)= β,则说变换T把元素α变为β，β称为α在变换T下的象，α称为β在变换T下的源，V称为变换T的源集，象的全体所构成的集合称为象集，记作T(V)。即 T(V)={ β=T(α)|α∈V}, 显然T(V) ?U 注：变换的概念实际上是函数概念的推广。

定义2 设V n,U m分别是实数域R上的n维和m维线性空间，T是一个从V n到U m得变换，如果变换满足 （1）任给α1 ，α2∈V n，有T(α1+α2)=T(α1)+T(α2); （2）任给α∈V n，k∈R，都有 T(kα)=kT(α)。 那么，就称T为从V n到U m的线性变换。 说明： ○1线性变换就是保持线性组合的对应的变换。 ○2一般用黑体大写字母T,A,B,…代表现象变换，T(α)或Tα代表元 α在变换下的象。 ○3若U m=V n，则T是一个从线性空间V n到其自身的线性变换，称为线性空 V n中的线性变换。下面主要讨论线性空间V n中的线性变换。 二、线性变换的性质 设T是V n中的线性变换，则 (1)T(0)=0,T(-α)=-T(α); (2)若β=k1α1+k2α2+…+k mαm,则Tβ=k1Tα1+k2Tα2+…+k m Tα m; (3)若α1，…αm线性相关，则Tα1…Tαm亦线性相关； 注：讨论对线性无关的情形不一定成立。 (4)线性变换T的象集T(V n)是一个线性空间V n的子空间。 记S T={α|α∈V n,T α=0}称为线性变换T的核，S T是V n的子空间。

矩阵的初等变换及应用的总结

… 矩阵的初等变换及应用 内容摘要： 矩阵是线性代数的重要研究对象。矩阵初等变换是线性代数中一种重要的计算工具，利用矩阵初等变换，可以求行列式的值，求解线性方程组，求矩阵的秩，确定向量组向量间的线性关系。 一矩阵的概念 定义：由于m×n个数aij（i=1，2，….，m；j=1，2，….，n）排成的m行n列的数表，称为m行n列，简称m×n矩阵 二矩阵初等变换的概念 定义：矩阵的初等行变换与初等列变换，统称为初等变换 ！ 1.初等行变换 矩阵的下列三种变换称为矩阵的初等行变换: (1) 交换矩阵的两行(交换两行,记作); (2) 以一个非零的数乘矩阵的某一行(第行乘数,记作 ); (3) 把矩阵的某一行的倍加到另一行(第行乘加到行,记为). 1.初等列变换 把上述中“行”变为“列”即得矩阵的初等列变换 3 ,如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B,就称矩阵A 与矩阵B等价，记作A~B —

矩阵之间的等价关系具有下列基本性质: (1) 反身性; (2) 对称性若,则; (3) 传递性若,,则. 三矩阵初等变换的应用 1.\ 2.利用初等变换化矩阵为标准形 定理：任意一个m× n矩阵A，总可以经过初等变换把它化为标准形 3.利用初等变换求逆矩阵 求n阶方阵的逆矩阵：即对n×2n矩阵（A|E）施行初等行变换，当把左边的方阵A变成单位矩阵E的同时，右边的单位矩阵也就变成了方阵A的逆矩阵A^(-1) 即(A|E)经过初等变换得到(E|A^(-1)) ：

这种计算格式也可以用来判断A是否可逆，当我们将A化为行阶梯形矩阵时， 若其中的非零行的个数等于n时，则A可逆，否则A不可逆。 设矩阵可逆，则求解矩阵方程等价于求矩阵 ， 为此，可采用类似初等行变换求矩阵的逆的方法，构造矩 阵，对其施以初等行变换将矩阵化为单位矩阵，则上述初等行变换同时也将其中的单位矩阵化为，即 . 这样就给出了用初等行变换求解矩阵方程的方法. 》 同理, 求解矩阵方程等价于计算矩阵亦可利用初等列变换求矩阵. 即 . 3．利用矩阵初等变换求矩阵的秩 矩阵的秩的概念是讨论向量组的线性相关性、深入研究线性方程组等问题的重要工具. 从上节已看到，矩阵可经初等行变换化为行阶梯形矩阵，且行阶梯形矩阵所含非零行的行数是唯一确定的, 这个数实质上就是矩阵的“秩”,鉴于这个数的唯一性尚未证明，在本节中，我们首先利用行列式来定义矩阵的秩，然后给出利用初等变换求矩阵的秩的方法.